estadistica descriptiva y probabilidad

Estadstica

Descriptiva

y

Probabilidad

(Teora y problemas)

3a Edicion

AutoresI. Espejo Miranda

F. Fernandez PalacnM. A. Lopez SanchezM. Munoz MarquezA. M. Rodrguez ChaA. Sanchez NavasC. Valero Franco

Copyright c2006 Universidad de Cadiz. Se concede permiso para copiar, distribuir y/omodificar este documento bajo los terminos de la Licencia de Documentacion Libre deGNU, Version 1.2 o cualquier otra version posterior publicada por la Free Software Foun-dation. Una traduccion de la licencia esta incluida en la seccion titulada Licencia deDocumentacion Libre de GNU.

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Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de CadizC/ Dr. Maranon, 311002 Cadiz

http://www.uca.es/publicaciones

ISBN: 978-84-9828-058-6

Deposito legal:

Indice general

Prologo XIII

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIII

2. History (Historico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV

3. Licencia de Documentacion Libre de GNU . . . . . . . . . XVI

4. GNU Free Documentation License . . . . . . . . . . . . . . XXVI

A Estadstica Descriptiva 1

1 Sntesis de la informacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. Resena historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. La organizacion de la informacion . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Representaciones graficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Medidas centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

VIII Indice general

5. Medidas de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6. Medidas de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7. Desigualdad de Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8. Momentos de la distribucion . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9. Medidas de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10. Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

11. Analisis exploratorio de datos . . . . . . . . . . . . . . . . 37

12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Analisis conjunto de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1. Distribucion conjunta de dos caracteres . . . . . . . . . . . 53

2. Distribuciones marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3. Distribuciones condicionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5. Medidas de dependencia. Coeficientes de relacion . . . . . 61

6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3 Ajuste y regresion bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2. Ajuste. Criterio de los mnimos cuadrados . . . . . . . . . 91

IX

3. Analisis de la bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . 97

4. Regresion. Metodo de regresion a la media . . . . . . . . . 100

5. Analisis de la bondad de la regresion . . . . . . . . . . . . 102

6. Notas y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

B Probabilidad 113

4 Teora de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1. Evolucion historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2. Conjuntos. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3. Algebra de sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4. Distintas definiciones del concepto de probabilidad . . . . . 126

5. Propiedades de la funcion de probabilidad . . . . . . . . . 129

6. Probabilidad condicionada. Independencia . . . . . . . . . 131

7. Dependencia e independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes . . . . 133

9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 Variable aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

X Indice general

1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2. Variables discretas y continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3. Variables unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4. Variables multidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6 Algunos modelos probabilsticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

1. Distribucion uniforme discreta . . . . . . . . . . . . . . . . 185

2. Experimento de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

3. Distribucion hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4. Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5. Distribucion uniforme continua . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6. Distribucion normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

7. Relacion entre binomial, Poisson y normal . . . . . . . . . 200

8. Teorema central del lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9. Distribucion gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10. Distribucion beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11. Distribucion de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

12. Distribuciones derivadas de la normal . . . . . . . . . . . 206

XI

13. Distribucion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

14. Distribucion logstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

15. Distribucion de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

16. Algunos modelos multidimensionales . . . . . . . . . . . . 212

17. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

A Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

2. Variaciones con repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

3. Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

4. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5. Permutaciones con repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6. Combinaciones sin repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7. Combinaciones con repeticion . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

B Tablas Estadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

C Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Estadstica

Descriptiva

y

Probabilidad

(Teora y problemas)

3a Edicion







ISBN: 978-84-9828-058-6

Deposito legal:

Prologo

Estadstica Descriptiva y Probabilidad. Teora y Pro-blemas (Revision: Febrero 2006)I. Espejo Miranda, F. Fernandez Palacn, M. A. Lopez Sanchez,M. Munoz Marquez, A. M. Rodrguez Cha, A. Sanchez Navas,C Valero Francoc2006 Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cadiz.Documento bajo Licencia de Documentacion Libre de GNU(Version 1.2 o posterior).http://www.uca.es/teloydisren

1. Introduccion

El objetivo principal que se persigue con este libro es el de ofrecer alos alumnos de titulaciones experimentales un manual estadstico basicoque, sin dejar de lado el rigor conceptual, proporcione una vision practicae intuitiva de la estadstica descriptiva y el calculo de probabilidades,campos basicos y fundamentales de la ciencia estadstica.

Los contenidos del manual Estadstica Descriptiva y Probabili-dad se han organizado en dos partes, en la primera de ellas se estudia laestadstica descriptiva, dedicandose la segunda al calculo de probabilida-des. Los objetivos de cada una de las partes son esencialmente distintos,en efecto, mientras que la estadstica descriptiva tiene interes por s mis-ma, poniendo de manifiesto los aspectos mas relevantes de un conjuntode datos; el calculo de probabilidades, aunque pueden tener en ocasio-nes una utilidad terminal, generalmente, proporciona herramientas quese usaran para resolver problemas de inferencia estadstica. En cualquiercaso, conviene remarcar que en un analisis inferencial tambien hay quehacer un estudio descriptivo de la muestra.

A lo largo del libro se introducen los conceptos desde una pers-pectiva unidimensional para, a continuacion, generalizarlos al caso demas de una dimension. La importancia del estudio multidimensional sedebe al hecho de considerar la existencia de posibles interacciones entrelas distintas variables objeto de estudio. Esto no significa que se traten

XIV

tecnicas multivariantes, que ciertamente quedan fuera de los objetivosque se han marcado con la realizacion de este manual; en cambio, s sehace una primera, aunque tmida, incursion en el campo de la modeli-zacion, con la inclusion de un captulo sobre ajuste y regresion.

Cada uno de los captulos del libro comienza con una presentaciondel tipo de problema que se va a abordar, continua con la exposicion delos contenidos ilustrados con distintos ejemplos y, en ocasiones, acom-panados por algun ejercicio que pretende profundizar en alguna cuestionde interes, para finalizar con ejercicios resueltos, que intenta globalizarlos aspectos mas relevantes del captulo y una coleccion de ejerciciospropuestos. En la parte final del libro se incluyen dos apendices, unosobre Combinatoria y otro conteniendo las tablas de algunas de las dis-tribuciones.

Para aquellos estudiantes que necesiten en sus curriculas conoci-mientos de estadstica inferencial, los autores ofrecen en el manual titula-do Inferencia Estadstica. Teora y Problemas (Servicio de Publicacionesde la Universidad de Cadiz, 2002) los contenidos correspondientes a estaparte fundamental de la Estadstica. En dicho manual, se abordan cues-tiones relativas a Teora de muestras, Estimacion puntual, Estimacionpor intervalos, Contraste de hipotesis, incluyendo las alternativas No pa-rametricas y Analisis de la varianza. El manual, al igual que el que nosocupa, esta salpicado de ejemplos y ejercicios resueltos y, sin pretenderser un libro teorico, el lector que as lo desee puede encontrar respuestasfundamentadas a las cuestiones conceptuales que se van planteando.

LOS AUTORES.

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2. History (Historico)

La primera version de este libro aparece durante el curso 90/91,en la antigua Escuela de Empresariales de Cadiz, hoy Facultad de Cien-cias Economicas y Empresariales, en modo de apuntes elaborados porF. Fernandez Palacn y A. Sanchez Navas. Esta primera entrega incluacontenidos genericos de una introduccion a la Estadstica, as como unaserie de temas relacionados con aspectos economicos, en concreto Nume-ros ndices, Series temporales y Medidas de desigualdad.

En el ano 1996, y en aras de ampliar su uso como herramientade trabajo en otras titulaciones donde el departamento de Estadsti-ca e Investigacion Operativa tiene docencia, se ajustan los contenidosdel manual y se reparten sus contenidos en dos librillos editados por laCopistera San Rafael: Estadstica Descriptiva 2Variable Aleatoria yProbabilidad, en cuya elaboracion ademas de los citados autores inter-viene M. A. Lopez Sanchez.

Durante el ano 2000 estos manuales se someten a una amplia revi-sion, se amplan los contenidos y se refunden en un solo libro, publicadopor el Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cadiz. Sus autoresson F. Fernandez Palacn, M.A. Lopez Sanchez, M. Munoz Marquez,A.M. Rodrguez Cha, A. Sanchez Navas y C. Valero Franco. Posterior-mente, durante el ano 2003, se actualizan los contenidos incorporandoseentre los autores I. Espejo Miranda.

En el ano 2005, tras una nueva revision, los autores deciden pu-blicar el libro bajo licencia GNU Free Documentation License.

Una version electronica de este documento esta en:http://www.uca.es/grupos-inv/FQM270.

XVI

3. Licencia de Documentacion Libre de GNU

This is an unofficial translation of the GNU Free Documentation License(Version 1.2, Noviembre 2002) into Spanish. It was not published by the FreeSoftware Foundation, and does not legally state the distribution terms for do-cumentation that uses the GNU FDL only the original English text of theGNU FDL does that. However, we hope that this translation will help Spanishspeakers understand the GNU FDL better.

Esta es una traduccion no oficial de la GNU Free Document License(Version 1.2, Noviembre 2002) a Espanol (Castellano). No ha sido publica-da por la Free Software Foundation y no establece legalmente los terminosde distribucion para trabajos que usen la GFDL (solo el texto de la ver-sion original en Ingles de la GFDL lo hace). Sin embargo, esperamos queesta traduccion ayude los hispanohablantes a entender mejor la GFDL. Laversion original de la GFDL esta disponible en la Free Software Foundation.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html Esta traduccion esta basada en unade la version 1.1 de Igor Tamara y Pablo Reyes. Sin embargo la responsabilidadde su interpretacion es de Joaqun Seoane.

Copyright (C) 2000, 2001, 2002 Free Software Foundation, Inc. 59 Tem-ple Place, Suite 330, Boston, MA 02111-1307 USA. Se permite la copia y dis-tribucion de copias literales de este documento de licencia, pero no se permitencambios1.

Preambulo

El proposito de esta Licencia es permitir que un manual, libro de texto, uotro documento escrito sea libre en el sentido de libertad: asegurar a todo elmundo la libertad efectiva de copiarlo y redistribuirlo, con o sin modificaciones,de manera comercial o no. En segundo termino, esta Licencia proporciona alautor y al editor2 una manera de obtener reconocimiento por su trabajo, sinque se le considere responsable de las modificaciones realizadas por otros.

Esta Licencia es de tipo copyleft, lo que significa que los trabajosderivados del documento deben a su vez ser libres en el mismo sentido. Com-plementa la Licencia Publica General de GNU, que es una licencia tipo copyleftdisenada para el software libre.

1Esta es la traduccion del Copyright de la Licencia, no es el Copyright de estatraduccion no autorizada.

2La licencia original dice publisher, que es, estrictamente, quien publica, dife-rente de editor, que es mas bien quien prepara un texto para publicar. En castellanoeditor se usa para ambas cosas.

XVII

Hemos disenado esta Licencia para usarla en manuales de software libre,ya que el software libre necesita documentacion libre: un programa libre debevenir con manuales que ofrezcan la mismas libertades que el software. Pero estalicencia no se limita a manuales de software; puede usarse para cualquier texto,sin tener en cuenta su tematica o si se publica como libro impreso o no.

Recomendamos esta licencia principalmente para trabajos cuyo fin seainstructivo o de referencia.

1. Aplicabilidad y definiciones

Esta Licencia se aplica a cualquier manual u otro trabajo, en cualquiersoporte, que contenga una nota del propietario de los derechos de autor queindique que puede ser distribuido bajo los terminos de esta Licencia. Tal notagarantiza en cualquier lugar del mundo, sin pago de derechos y sin lmite detiempo, el uso de dicho trabajo segun las condiciones aqu estipuladas. Enadelante la palabra Documento se referira a cualquiera de dichos manualeso trabajos. Cualquier persona es un licenciatario y sera referido como Usted.Usted acepta la licencia si copia. modifica o distribuye el trabajo de cualquiermodo que requiera permiso segun la ley de propiedad intelectual.

Una Version Modificada del Documento significa cualquier trabajoque contenga el Documento o una porcion del mismo, ya sea una copia literalo con modificaciones y/o traducciones a otro idioma.

Una Seccion Secundaria es un apendice con ttulo o una seccionpreliminar del Documento que trata exclusivamente de la relacion entre losautores o editores y el tema general del Documento (o temas relacionados)pero que no contiene nada que entre directamente en dicho tema general (porejemplo, si el Documento es en parte un texto de matematicas, una SeccionSecundaria puede no explicar nada de matematicas). La relacion puede seruna conexion historica con el tema o temas relacionados, o una opinion legal,comercial, filosofica, etica o poltica acerca de ellos.

Las Secciones Invariantes son ciertas Secciones Secundarias cuyosttulos son designados como Secciones Invariantes en la nota que indica que eldocumento es liberado bajo esta Licencia. Si una seccion no entra en la defini-cion de Secundaria, no puede designarse como Invariante. El documento puedeno tener Secciones Invariantes. Si el Documento no identifica las Secciones In-variantes, es que no las tiene.

Los Textos de Cubierta son ciertos pasajes cortos de texto que selistan como Textos de Cubierta Delantera o Textos de Cubierta Trasera en lanota que indica que el documento es liberado bajo esta Licencia. Un Texto de

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Cubierta Delantera puede tener como mucho 5 palabras, y uno de CubiertaTrasera puede tener hasta 25 palabras.

Una copia Transparente del Documento, significa una copia paralectura en maquina, representada en un formato cuya especificacion esta dis-ponible al publico en general, apto para que los contenidos puedan ser vistosy editados directamente con editores de texto genericos o (para imagenes com-puestas por puntos) con programas genericos de manipulacion de imagenes o(para dibujos) con algun editor de dibujos ampliamente disponible, y que seaadecuado como entrada para formateadores de texto o para su traduccion au-tomatica a formatos adecuados para formateadores de texto. Una copia hechaen un formato definido como Transparente, pero cuyo marcaje o ausencia deel haya sido disenado para impedir o dificultar modificaciones posteriores porparte de los lectores no es Transparente. Un formato de imagen no es Trans-parente si se usa para una cantidad de texto sustancial. Una copia que no esTransparente se denomina Opaca.

Como ejemplos de formatos adecuados para copias Transparentes estanASCII puro sin marcaje, formato de entrada de Texinfo, formato de entradade LATEX, SGML o XML usando una DTD disponible publicamente, y HTML,PostScript o PDF simples, que sigan los estandares y disenados para que losmodifiquen personas. Ejemplos de formatos de imagen transparentes son PNG,XCF y JPG. Los formatos Opacos incluyen formatos propietarios que pue-den ser ledos y editados unicamente en procesadores de palabras propietarios,SGML o XML para los cuales las DTD y/o herramientas de procesamientono esten ampliamente disponibles, y HTML, PostScript o PDF generados poralgunos procesadores de palabras solo como salida.

La Portada significa, en un libro impreso, la pagina de ttulo, mas laspaginas siguientes que sean necesarias para mantener legiblemente el materialque esta Licencia requiere en la portada. Para trabajos en formatos que notienen pagina de portada como tal, Portada significa el texto cercano a laaparicion mas prominente del ttulo del trabajo, precediendo el comienzo delcuerpo del texto.

Una seccion Titulada XYZ significa una parte del Documento cuyottulo es precisamente XYZ o contiene XYZ entre parentesis, a continuacionde texto que traduce XYZ a otro idioma (aqu XYZ se refiere a nombres deseccion especficos mencionados mas abajo, como Agradecimientos, De-dicatorias, Aprobaciones o Historia. Conservar el Ttulo de talseccion cuando se modifica el Documento significa que permanece una seccionTitulada XYZ segun esta definicion3.

3En sentido estricto esta licencia parece exigir que los ttulos sean exactamen-te Acknowledgements, Dedications, Endorsements e History, en

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El Documento puede incluir Limitaciones de Garanta cercanas a la notadonde se declara que al Documento se le aplica esta Licencia. Se considera queestas Limitaciones de Garanta estan incluidas, por referencia, en la Licencia,pero solo en cuanto a limitaciones de garanta: cualquier otra implicacion queestas Limitaciones de Garanta puedan tener es nula y no tiene efecto en elsignificado de esta Licencia.

2. Copia literal

Usted puede copiar y distribuir el Documento en cualquier soporte, seaen forma comercial o no, siempre y cuando esta Licencia, las notas de copyrighty la nota que indica que esta Licencia se aplica al Documento se reproduzcan entodas las copias y que usted no anada ninguna otra condicion a las expuestas enesta Licencia. Usted no puede usar medidas tecnicas para obstruir o controlar lalectura o copia posterior de las copias que usted haga o distribuya. Sin embargo,usted puede aceptar compensacion a cambio de las copias. Si distribuye unnumero suficientemente grande de copias tambien debera seguir las condicionesde la seccion 3.

Usted tambien puede prestar copias, bajo las mismas condiciones esta-blecidas anteriormente, y puede exhibir copias publicamente.

3. Copiado en cantidad

Si publica copias impresas del Documento (o copias en soportes quetengan normalmente cubiertas impresas) que sobrepasen las 100, y la nota delicencia del Documento exige Textos de Cubierta, debe incluir las copias concubiertas que lleven en forma clara y legible todos esos Textos de Cubierta:Textos de Cubierta Delantera en la cubierta delantera y Textos de CubiertaTrasera en la cubierta trasera. Ambas cubiertas deben identificarlo a Ustedclara y legiblemente como editor de tales copias. La cubierta debe mostrarel ttulo completo con todas las palabras igualmente prominentes y visibles.Ademas puede anadir otro material en las cubiertas. Las copias con cambioslimitados a las cubiertas, siempre que conserven el ttulo del Documento ysatisfagan estas condiciones, pueden considerarse como copias literales.

Si los textos requeridos para la cubierta son muy voluminosos para queajusten legiblemente, debe colocar los primeros (tantos como sea razonablecolocar) en la verdadera cubierta y situar el resto en paginas adyacentes.

Si Usted publica o distribuye copias Opacas del Documento cuya canti-dad exceda las 100, debe incluir una copia Transparente, que pueda ser leda

ingles.

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por una maquina, con cada copia Opaca, o bien mostrar, en cada copia Opaca,una direccion de red donde cualquier usuario de la misma tenga acceso pormedio de protocolos publicos y estandarizados a una copia Transparente delDocumento completa, sin material adicional. Si usted hace uso de la ultimaopcion, debera tomar las medidas necesarias, cuando comience la distribucionde las copias Opacas en cantidad, para asegurar que esta copia Transparentepermanecera accesible en el sitio establecido por lo menos un ano despues dela ultima vez que distribuya una copia Opaca de esa edicion al publico (direc-tamente o a traves de sus agentes o distribuidores).

Se solicita, aunque no es requisito, que se ponga en contacto con losautores del Documento antes de redistribuir gran numero de copias, para darlesla oportunidad de que le proporcionen una version actualizada del Documento.

4. Modificaciones

Puede copiar y distribuir una Version Modificada del Documento bajo lascondiciones de las secciones 2 y 3 anteriores, siempre que usted libere la VersionModificada bajo esta misma Licencia, con la Version Modificada haciendo elrol del Documento, por lo tanto dando licencia de distribucion y modificacionde la Version Modificada a quienquiera posea una copia de la misma. Ademas,debe hacer lo siguiente en la Version Modificada:

A. Usar en la Portada (y en las cubiertas, si hay alguna) un ttulo distinto aldel Documento y de sus versiones anteriores (que deberan, si hay alguna,estar listadas en la seccion de Historia del Documento). Puede usar elmismo ttulo de versiones anteriores al original siempre y cuando quienlas publico originalmente otorgue permiso.

B. Listar en la Portada, como autores, una o mas personas o entidadesresponsables de la autora de las modificaciones de la Version Modificada,junto con por lo menos cinco de los autores principales del Documento(todos sus autores principales, si hay menos de cinco), a menos que leeximan de tal requisito.

C. Mostrar en la Portada como editor el nombre del editor de la VersionModificada.

D. Conservar todas las notas de copyright del Documento.

E. Anadir una nota de copyright apropiada a sus modificaciones, adyacentea las otras notas de copyright.

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F. Incluir, inmediatamente despues de las notas de copyright, una nota delicencia dando el permiso para usar la Version Modificada bajo los termi-nos de esta Licencia, como se muestra en la Adenda al final de estedocumento.

G. Conservar en esa nota de licencia el listado completo de las SeccionesInvariantes y de los Textos de Cubierta que sean requeridos en la notade Licencia del Documento original.

H. Incluir una copia sin modificacion de esta Licencia.

I. Conservar la seccion Titulada Historia, conservar su Ttulo y anadirleun elemento que declare al menos el ttulo, el ano, los nuevos autores yel editor de la Version Modificada, tal como figuran en la Portada. Sino hay una seccion Titulada Historia en el Documento, crear unaestableciendo el ttulo, el ano, los autores y el editor del Documento, talcomo figuran en su Portada, anadiendo ademas un elemento describiendola Version Modificada, como se establecio en la oracion anterior.

J. Conservar la direccion en red, si la hay, dada en el Documento para elacceso publico a una copia Transparente del mismo, as como las otrasdirecciones de red dadas en el Documento para versiones anteriores enlas que estuviese basado. Pueden ubicarse en la seccion Historia. Sepuede omitir la ubicacion en red de un trabajo que haya sido publicadopor lo menos cuatro anos antes que el Documento mismo, o si el editororiginal de dicha version da permiso.

K. En cualquier seccion Titulada Agradecimientos o Dedicatorias,Conservar el Ttulo de la seccion y conservar en ella toda la sustanciay el tono de los agradecimientos y/o dedicatorias incluidas por cadacontribuyente.

L. Conservar todas las Secciones Invariantes del Documento, sin alterar sutexto ni sus ttulos. Numeros de seccion o el equivalente no son conside-rados parte de los ttulos de la seccion.

M. Borrar cualquier seccion titulada Aprobaciones. Tales secciones nopueden estar incluidas en las Versiones Modificadas.

N. No cambiar el ttulo de ninguna seccion existente a Aprobaciones nia uno que entre en conflicto con el de alguna Seccion Invariante.

O. Conservar todas las Limitaciones de Garanta.

Si la Version Modificada incluye secciones o apendices nuevos que ca-lifiquen como Secciones Secundarias y contienen material no copiado del Do-cumento, puede opcionalmente designar algunas o todas esas secciones como

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invariantes. Para hacerlo, anada sus ttulos a la lista de Secciones Invariantesen la nota de licencia de la Version Modificada. Tales ttulos deben ser distintosde cualquier otro ttulo de seccion.

Puede anadir una seccion titulada Aprobaciones, siempre que con-tenga unicamente aprobaciones de su Version Modificada por otras fuentespor ejemplo, observaciones de peritos o que el texto ha sido aprobado por unaorganizacion como la definicion oficial de un estandar.

Puede anadir un pasaje de hasta cinco palabras como Texto de CubiertaDelantera y un pasaje de hasta 25 palabras como Texto de Cubierta Trasera enla Version Modificada. Una entidad solo puede anadir (o hacer que se anada)un pasaje al Texto de Cubierta Delantera y uno al de Cubierta Trasera. Si elDocumento ya incluye textos de cubiertas anadidos previamente por usted opor la misma entidad que usted representa, usted no puede anadir otro; peropuede reemplazar el anterior, con permiso explcito del editor que agrego eltexto anterior.

Con esta Licencia ni los autores ni los editores del Documento dan permi-so para usar sus nombres para publicidad ni para asegurar o implicar aprobacionde cualquier Version Modificada.

5. Combinacion de documentos

Usted puede combinar el Documento con otros documentos liberadosbajo esta Licencia, bajo los terminos definidos en la seccion 4 anterior paraversiones modificadas, siempre que incluya en la combinacion todas las Sec-ciones Invariantes de todos los documentos originales, sin modificar, listadastodas como Secciones Invariantes del trabajo combinado en su nota de licencia.As mismo debe incluir la Limitacion de Garanta.

El trabajo combinado necesita contener solamente una copia de esta Li-cencia, y puede reemplazar varias Secciones Invariantes identicas por una solacopia. Si hay varias Secciones Invariantes con el mismo nombre pero con conte-nidos diferentes, haga el ttulo de cada una de estas secciones unico anadiendoleal final del mismo, entre parentesis, el nombre del autor o editor original de esaseccion, si es conocido, o si no, un numero unico. Haga el mismo ajuste a losttulos de seccion en la lista de Secciones Invariantes de la nota de licencia deltrabajo combinado.

En la combinacion, debe combinar cualquier seccion Titulada Histo-ria de los documentos originales, formando una seccion Titulada Historia;de la misma forma combine cualquier seccion Titulada Agradecimientos,y cualquier seccion Titulada Dedicatorias. Debe borrar todas las seccionestituladas Aprobaciones.

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6. Colecciones de documentos

Puede hacer una coleccion que conste del Documento y de otros docu-mentos liberados bajo esta Licencia, y reemplazar las copias individuales deesta Licencia en todos los documentos por una sola copia que este incluida enla coleccion, siempre que siga las reglas de esta Licencia para cada copia literalde cada uno de los documentos en cualquiera de los demas aspectos.

Puede extraer un solo documento de una de tales colecciones y distri-buirlo individualmente bajo esta Licencia, siempre que inserte una copia deesta Licencia en el documento extrado, y siga esta Licencia en todos los demasaspectos relativos a la copia literal de dicho documento.

7. Agregacion con trabajos independientes

Una recopilacion que conste del Documento o sus derivados y de otrosdocumentos o trabajos separados e independientes, en cualquier soporte dealmacenamiento o distribucion, se denomina un agregado si el copyrightresultante de la compilacion no se usa para limitar los derechos de los usuariosde la misma mas alla de lo que los de los trabajos individuales permiten. Cuandoel Documento se incluye en un agregado, esta Licencia no se aplica a otrostrabajos del agregado que no sean en s mismos derivados del Documento.

Si el requisito de la seccion 3 sobre el Texto de Cubierta es aplicable aestas copias del Documento y el Documento es menor que la mitad del agregadoentero, los Textos de Cubierta del Documento pueden colocarse en cubiertasque enmarquen solamente el Documento dentro del agregado, o el equivalenteelectronico de las cubiertas si el documento esta en forma electronica. En casocontrario deben aparecer en cubiertas impresas enmarcando todo el agregado.

8. Traduccion

La Traduccion es considerada como un tipo de modificacion, por lo queusted puede distribuir traducciones del Documento bajo los terminos de laseccion 4. El reemplazo de las Secciones Invariantes con traducciones requierepermiso especial de los duenos de derecho de autor, pero usted puede anadirtraducciones de algunas o todas las Secciones Invariantes a las versiones origi-nales de las mismas. Puede incluir una traduccion de esta Licencia, de todaslas notas de licencia del documento, as como de las Limitaciones de Garanta,siempre que incluya tambien la version en Ingles de esta Licencia y las ver-siones originales de las notas de licencia y Limitaciones de Garanta. En caso

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de desacuerdo entre la traduccion y la version original en Ingles de esta Licen-cia, la nota de licencia o la limitacion de garanta, la version original en Inglesprevalecera.

Si una seccion del Documento esta Titulada Agradecimientos, De-dicatorias o Historia el requisito (seccion 4) de Conservar su Ttulo (Sec-cion 1) requerira, tpicamente, cambiar su ttulo.

9. Terminacion

Usted no puede copiar, modificar, sublicenciar o distribuir el Documentosalvo por lo permitido expresamente por esta Licencia. Cualquier otro intentode copia, modificacion, sublicenciamiento o distribucion del Documento es nulo,y dara por terminados automaticamente sus derechos bajo esa Licencia. Sinembargo, los terceros que hayan recibido copias, o derechos, de usted bajo estaLicencia no veran terminadas sus licencias, siempre que permanezcan en totalconformidad con ella.

10. Revisiones futuras de esta licencia

De vez en cuando la Free Software Foundation puede publicar versio-nes nuevas y revisadas de la Licencia de Documentacion Libre GNU. Ta-les versiones nuevas seran similares en espritu a la presente version, peropueden diferir en detalles para solucionar nuevos problemas o intereses. Veahttp://www.gnu.org/copyleft/.

Cada version de la Licencia tiene un numero de version que la distingue.Si el Documento especifica que se aplica una version numerada en particular deesta licencia o cualquier version posterior, usted tiene la opcion de seguirlos terminos y condiciones de la version especificada o cualquiera posteriorque haya sido publicada (no como borrador) por la Free Software Foundation.Si el Documento no especifica un numero de version de esta Licencia, puedeescoger cualquier version que haya sido publicada (no como borrador) por laFree Software Foundation.

ADENDA: Como usar esta Licencia en sus documentos

Para usar esta licencia en un documento que usted haya escrito, incluyauna copia de la Licencia en el documento y ponga el siguiente copyright y notade licencia justo despues de la pagina de ttulo:

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Copyright (c) ANO SU NOMBRE. Se concede permiso para co-piar, distribuir y/o modificar este documento bajo los terminos dela Licencia de Documentacion Libre de GNU, Version 1.2 o cual-quier otra version posterior publicada por la Free Software Founda-tion; sin Secciones Invariantes ni Textos de Cubierta Delantera niTextos de Cubierta Trasera. Una copia de la licencia esta incluidaen la seccion titulada GNU Free Documentation License.

Si tiene Secciones Invariantes, Textos de Cubierta Delantera y Textos deCubierta Trasera, reemplace la frase sin ... Trasera por esto:

siendo las Secciones Invariantes LISTE SUS TITULOS, siendo losTextos de Cubierta Delantera LISTAR, y siendo sus Textos deCubierta Trasera LISTAR.

Si tiene Secciones Invariantes sin Textos de Cubierta o cualquier otracombinacion de los tres, mezcle ambas alternativas para adaptarse a la situa-cion.

Si su documento contiene ejemplos de codigo de programa no triviales,recomendamos liberar estos ejemplos en paralelo bajo la licencia de softwa-re libre que usted elija, como la Licencia Publica General de GNU (GNUGeneral Public License), para permitir su uso en software libre.

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4. GNU Free Documentation License

Version 1.2, November 2002

Copyright c2000,2001,2002 Free Software Foundation, Inc.

51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA

Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies of this licensedocument, but changing it is not allowed.

Preamble

The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other fun-ctional and useful document freein the sense of freedom: to assure everyonethe effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it,either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves forthe author and publisher a way to get credit for their work, while not beingconsidered responsible for modifications made by others.

This License is a kind of copyleft, which means that derivative worksof the document must themselves be free in the same sense. It complementsthe GNU General Public License, which is a copyleft license designed for freesoftware.

We have designed this License in order to use it for manuals for freesoftware, because free software needs free documentation: a free program shouldcome with manuals providing the same freedoms that the software does. Butthis License is not limited to software manuals; it can be used for any textualwork, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book.We recommend this License principally for works whose purpose is instructionor reference.

1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS

This License applies to any manual or other work, in any medium, thatcontains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributedunder the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-freelicense, unlimited in duration, to use that work under the conditions statedherein. The Document, below, refers to any such manual or work. Anymember of the public is a licensee, and is addressed as you. You accept the

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license if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permissionunder copyright law.

A Modified Version of the Document means any work containingthe Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modificationsand/or translated into another language.

A Secondary Section is a named appendix or a front-matter sectionof the Document that deals exclusively with the relationship of the publishersor authors of the Document to the Documents overall subject (or to relatedmatters) and contains nothing that could fall directly within that overall sub-ject. (Thus, if the Document is in part a textbook of mathematics, a SecondarySection may not explain any mathematics.) The relationship could be a matterof historical connection with the subject or with related matters, or of legal,commercial, philosophical, ethical or political position regarding them.

The Invariant Sections are certain Secondary Sections whose titlesare designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says thatthe Document is released under this License. If a section does not fit the abovedefinition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant.The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does notidentify any Invariant Sections then there are none.

The Cover Texts are certain short passages of text that are listed,as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that theDocument is released under this License. A Front-Cover Text may be at most5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words.

A Transparent copy of the Document means a machine-readablecopy, represented in a format whose specification is available to the generalpublic, that is suitable for revising the document straightforwardly with generictext editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (fordrawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for inputto text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitablefor input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent fileformat whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart ordiscourage subsequent modification by readers is not Transparent. An imageformat is not Transparent if used for any substantial amount of text. A copythat is not Transparentis called Opaque.

Examples of suitable formats for Transparent copies include plain AS-CII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML orXML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML,PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparentimage formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprie-

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tary formats that can be read and edited only by proprietary word processors,SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generallyavailable, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced bysome word processors for output purposes only.

The Title Page means, for a printed book, the title page itself, plussuch following pages as are needed to hold, legibly, the material this Licenserequires to appear in the title page. For works in formats which do not haveany title page as such, Title Pagemeans the text near the most prominentappearance of the works title, preceding the beginning of the body of the text.

A section Entitled XYZ means a named subunit of the Documentwhose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses followingtext that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a speci-fic section name mentioned below, such as Acknowledgements, Dedi-cations, Endorsements, or History.) To Preserve the Title ofsuch a section when you modify the Document means that it remains a sectionEntitled XYZ.according to this definition.

The Document may include Warranty Disclaimers next to the noticewhich states that this License applies to the Document. These Warranty Dis-claimers are considered to be included by reference in this License, but onlyas regards disclaiming warranties: any other implication that these WarrantyDisclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.

2. VERBATIM COPYING

You may copy and distribute the Document in any medium, either com-mercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices,and the license notice saying this License applies to the Document are repro-duced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to thoseof this License. You may not use technical measures to obstruct or controlthe reading or further copying of the copies you make or distribute. However,you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a largeenough number of copies you must also follow the conditions in section 3.

You may also lend copies, under the same conditions stated above, andyou may publicly display copies.

3. COPYING IN QUANTITY

If you publish printed copies (or copies in media that commonly haveprinted covers) of the Document, numbering more than 100, and the Docu-

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ments license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in co-vers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Textson the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers mustalso clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The frontcover must present the full title with all words of the title equally prominentand visible. You may add other material on the covers in addition. Copyingwith changes limited to the covers, as long as they preserve the title of theDocument and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying inother respects.

If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly,you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actualcover, and continue the rest onto adjacent pages.

If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbe-ring more than 100, you must either include a machine-readable Transparentcopy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy acomputer-network location from which the general network-using public hasaccess to download using public-standard network protocols a complete Trans-parent copy of the Document, free of added material. If you use the latteroption, you must take reasonably prudent steps, when you begin distributionof Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remainthus accessible at the stated location until at least one year after the last timeyou distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) ofthat edition to the public.

It is requested, but not required, that you contact the authors of theDocument well before redistributing any large number of copies, to give thema chance to provide you with an updated version of the Document.

4. MODIFICATIONS

You may copy and distribute a Modified Version of the Document underthe conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the ModifiedVersion under precisely this License, with the Modified Version filling the roleof the Document, thus licensing distribution and modification of the ModifiedVersion to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these thingsin the Modified Version:

A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from thatof the Document, and from those of previous versions (which should, ifthere were any, be listed in the History section of the Document). Youmay use the same title as a previous version if the original publisher ofthat version gives permission.

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B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities res-ponsible for authorship of the modifications in the Modified Version,together with at least five of the principal authors of the Document (allof its principal authors, if it has fewer than five), unless they release youfrom this requirement.

C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version,as the publisher.

D. Preserve all the copyright notices of the Document.

E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent tothe other copyright notices.

F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice givingthe public permission to use the Modified Version under the terms of thisLicense, in the form shown in the Addendum below.

G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections andrequired Cover Texts given in the Documents license notice.

H. Include an unaltered copy of this License.

I. Preserve the section Entitled History, Preserve its Title, and add toit an item stating at least the title, year, new authors, and publisher ofthe Modified Version as given on the Title Page. If there is no sectionEntitled Historyin the Document, create one stating the title, year,authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, thenadd an item describing the Modified Version as stated in the previoussentence.

J. Preserve the network location, if any, given in the Document for publicaccess to a Transparent copy of the Document, and likewise the networklocations given in the Document for previous versions it was based on.These may be placed in the Historysection. You may omit a networklocation for a work that was published at least four years before theDocument itself, or if the original publisher of the version it refers togives permission.

K. For any section Entitled Acknowledgements.or Dedications, Preservethe Title of the section, and preserve in the section all the substance andtone of each of the contributor acknowledgements and/or dedicationsgiven therein.

L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in theirtext and in their titles. Section numbers or the equivalent are not consi-dered part of the section titles.

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M. Delete any section Entitled Endorsements. Such a section may not beincluded in the Modified Version.

N. Do not retitle any existing section to be Entitled Endorsements.or toconflict in title with any Invariant Section.

O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendicesthat qualify as Secondary Sections and contain no material copied from theDocument, you may at your option designate some or all of these sections asinvariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in theModified Versions license notice. These titles must be distinct from any othersection titles.

You may add a section Entitled Endorsements, provided it containsnothing but endorsements of your Modified Version by various partiesforexample, statements of peer review or that the text has been approved byan organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and apassage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of CoverTexts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and oneof Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) anyone entity. If the Document already includes a cover text for the same cover,previously added by you or by arrangement made by the same entity you areacting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one,on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this Licen-se give permission to use their names for publicity for or to assert or implyendorsement of any Modified Version.

5. COMBINING DOCUMENTS

You may combine the Document with other documents released underthis License, under the terms defined in section 4 above for modified versions,provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of allof the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sectionsof your combined work in its license notice, and that you preserve all theirWarranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, andmultiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If thereare multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make

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the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses,the name of the original author or publisher of that section if known, or else aunique number. Make the same adjustment to the section titles in the list ofInvariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled Historyinthe various original documents, forming one section Entitled History; likewisecombine any sections Entitled Acknowledgements, and any sections EntitledDedications. You must delete all sections Entitled Endorsements.

6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS

You may make a collection consisting of the Document and other do-cuments released under this License, and replace the individual copies of thisLicense in the various documents with a single copy that is included in the co-llection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copyingof each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distributeit individually under this License, provided you insert a copy of this License intothe extracted document, and follow this License in all other respects regardingverbatim copying of that document.

7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS

A compilation of the Document or its derivatives with other separate andindependent documents or works, in or on a volume of a storage or distributionmedium, is called an aggregateif the copyright resulting from the compilationis not used to limit the legal rights of the compilations users beyond what theindividual works permit. When the Document is included in an aggregate, thisLicense does not apply to the other works in the aggregate which are notthemselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copiesof the Document, then if the Document is less than one half of the entireaggregate, the Documents Cover Texts may be placed on covers that bracketthe Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if theDocument is in electronic form. Otherwise they must appear on printed coversthat bracket the whole aggregate.

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8. TRANSLATION

Translation is considered a kind of modification, so you may distributetranslations of the Document under the terms of section 4. Replacing InvariantSections with translations requires special permission from their copyright hol-ders, but you may include translations of some or all Invariant Sections inaddition to the original versions of these Invariant Sections. You may includea translation of this License, and all the license notices in the Document, andany Warranty Disclaimers, provided that you also include the original Englishversion of this License and the original versions of those notices and disclaimers.In case of a disagreement between the translation and the original version ofthis License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled Acknowledgements, Dedica-tions, or History, the requirement (section 4) to Preserve its Title (section1) will typically require changing the actual title.

9. TERMINATION

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document exceptas expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify,sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminateyour rights under this License. However, parties who have received copies, orrights, from you under this License will not have their licenses terminated solong as such parties remain in full compliance.

10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE

The Free Software Foundation may publish new, revised versions of theGNU Free Documentation License from time to time. Such new versions willbe similar in spirit to the present version, but may differ in detail to addressnew problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number. Ifthe Document specifies that a particular numbered version of this License orany later version.applies to it, you have the option of following the terms andconditions either of that specified version or of any later version that has beenpublished (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Documentdoes not specify a version number of this License, you may choose any versionever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.

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ADDENDUM: How to use this License for yourdocuments

To use this License in a document you have written, include a copy ofthe License in the document and put the following copyright and license noticesjust after the title page:

Copyright cYEAR YOUR NAME. Permission is granted to copy,distribute and/or modify this document under the terms of theGNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later ver-sion published by the Free Software Foundation; with no InvariantSections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copyof the license is included in the section entitled GNU Free Docu-mentation License.

If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts,replace the with...Texts.line with this:

with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with theFront-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Textsbeing LIST.

If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other com-bination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.

If your document contains nontrivial examples of program code, we re-commend releasing these examples in parallel under your choice of free softwarelicense, such as the GNU General Public License, to permit their use in freesoftware.

Estadstica

Descriptiva

y

Probabilidad

(Teora y problemas)

3a Edicion







ISBN: 978-84-9828-058-6

Deposito legal:

Parte A

Estadstica Descriptiva

1

Introduccion a la estadstica descriptiva


La primera parte de este libro esta dedicada a la estadstica des-criptiva. Atendiendo a lo que tradicionalmente se ha entendido por des-criptiva se estara hablando de un conjunto de herramientas, formadopor coeficientes y tecnicas, que tratan de resumir la informacion conte-nida en un conjunto de datos. Sin embargo, la estadstica descriptiva esmucho mas que eso, en realidad es una parte fundamental de cualquieranalisis estadstico complejo, en la que se empiezan a tomar decisionesque afectaran al conjunto de la investigacion. Los coeficientes descripti-vos daran informacion sobre la estructura de la poblacion que se estudia,indicando, por ejemplo, si esta es simetrica, si realmente se trata de unaunica poblacion o hay una superposicion de poblaciones, tambien puedendetectarse valores extraordinariamente raros, etc.

Desde otra optica, la mayora de los coeficientes descriptivos ten-dran su homologo inferencial o poblacional, que necesariamente deberanser estudiados a la luz de aquellos. Haciendo una pequena abstraccionmuchos de los coeficientes descriptivos, los mas importantes, se convier-ten en poblacionales al sustituir frecuencias por probabilidades.

En resumen, el analisis descriptivo es una parte inseparable decualquier analisis estadstico, que puede tener su continuidad con unanalisis inferencial cuando los datos que se manejan se correspondencon una muestra probabilstica extrada de una poblacion.

Esta primera parte del libro esta compuesta por tres captulos, el

4 Introduccion a la estadstica descriptiva

primero de ellos aborda el problema unidimensional. Se trata de identifi-car la informacion que se va a analizar, bien sean variables cuantitativaso de clase, procediendose a organizarla en distribuciones de frecuencias.Se indica que la primera toma de contacto con las peculiaridades deuna distribucion se obtiene a traves de sus representaciones graficas yse da al menos una representacion para cada uno de los tipos de datosque se manejan. Se calculan todos los coeficientes tradicionales: medi-das de centralizacion, de posicion, de dispersion y de forma; se obtienenlos momentos respecto al origen y respecto a la media, indicandose quegeneralizan la mayora de las medidas anteriores. Se introduce la de-sigualdad de Tchebychev, poniendose de manifiesto la relacion existenteentre la varianza y la media aritmetica. Se estudian las transformacio-nes de variables, haciendo ver que el objetivo es conseguir distribucionesmas regulares, que sean comparables, mas simetricas; entre todas lastransformaciones se dedica especial atencion a la normalizacion o tipifi-cacion. Por ultimo, se hace una breve incursion en el analisis exploratoriode datos, recurriendo a representaciones, como los diagramas de cajas,que resaltan las regularidades y las especificidades del conjunto de datos,entre las que cabe destacar la presencia de observaciones candidatas aser valores extranos o anomalos.

El captulo segundo supone una generalizacion al caso de que con-juntamente se tenga mas de una variable, viendose con detenimiento elcaso bivariable y destacando el hecho de la posible existencia de rela-ciones entre dichas variables. La existencia de dependencias merece unaespecial atencion por las consecuencias que de ella se derivan en muchastecnicas estadsticas. Se introducen coeficientes que expresaran el gradode relacion entre las variables, distinguiendo los casos en que estas seancontinuas, ordenadas o de clase; lo que conduce a definir medidas decorrelacion, concordancia y contingencia o asociacion.

En el ultimo captulo de esta parte se aborda el problema delajuste y la regresion en el plano, lo que supone un primer acercamientoa la modelizacion estadstica. El desarrollo del tema se hace planteandoun modelo lineal, empleandose para la estimacion de los parametros elmetodo de los mnimos cuadrados. El analisis de la bondad del ajustese realiza a traves del coeficiente de determinacion. El metodo de la

5regresion a la media permite calibrar la calidad de los posibles ajustes arealizar. Tambien se analizan algunas extensiones a los casos de modeloslinealizables y polinomiales.

Captulo 1

Sntesis de la informacion


1. Resena historica

1.1. Introduccion

Al acercarse a una ciencia es interesante indagar en sus raceshistoricas para obtener una vision de su naturaleza y de sus objetivoscomo disciplina cientfica. El estudio de dichas races permitira entenderel grado de desarrollo actual, la relacion entre sus distintas partes, com-prender su terminologa -dado que el nombre de un coeficiente, de unatecnica, . . . suele estar asociado a su origen historico-, e incluso preveren que direccion evolucionara. En el caso de la Estadstica este estudioretrospectivo es particularmente rico en ensenanzas.

A lo largo de los tiempos han sido muchas las concepciones que sele ha dado a la ciencia Estadstica, desde la que la ha entendido comoun conjunto de tecnicas aplicables a una serie de datos, hasta la quela ha concebido como un proceso de extrapolacion de conclusiones de lamuestra a la poblacion. Actualmente, no puede entenderse la Estadsticacomo un conjunto de conceptos y expresiones matematicas abstractas,olvidando las motivaciones historicas sobre las que se construyo y suactual papel esencial en cualquier tipo de investigacion emprica, tal ycomo destaca Kruskal en su Enciclopedia Internacional de Estadstica.

8 Captulo 1. Sntesis de la informacion

1.2. Orgenes de la estadstica descriptiva

Los orgenes historicos de la Estadstica (descriptiva) hay que bus-carlos en los procesos de recogida de datos, censos y registros sistemati-cos, asumiendo un papel asimilable a una aritmetica estatal para asistiral gobernante, que necesitaba conocer la riqueza y el numero de sussubditos con fines tributarios y polticos.

Los primeros registros de riqueza y poblacion que se conocen sedeben a los egipcios. Ramses II en el 1400 a.C. realizo el primer censoconocido de las tierras de Egipto, no siendo este, se supone, ni el primeroni el ultimo que se hiciera en las tierras banadas por el Nilo.

Posteriormente, desde el siglo III a.C., en las civilizaciones chinay romana se llevan a cabo censos e inventarios de posesiones, que pue-den considerarse precedentes institucionalizados de la recogida de datosdemograficos y economicos de los Estados Modernos.

Hay que realizar una mencion especial del perodo helenico, enel que las escuelas matematicas se suceden. Centros como el de Quios,donde estudio Hipocrates (Hipocrates de Quios) el matematico, consi-derado como el inventor del metodo matematico y escuelas como las deCirene, Megara y al final Atenas, donde se reunen los matematicos, unosalrededor de Protagoras y otros en torno a Socrates.

En la Edad Media se vuelve a la utilizacion de la Aritmetica parala recogida de datos, existiendo menos interes por la elucubracion ma-tematica abstracta. Es en este perodo de tiempo cuando Carlomagnoordeno en su Capitulare de villis la creacion de un registro de todossus dominios y bienes privados.

En el siglo XVII se producen avances sustanciales, y as, en las uni-versidades alemanas se imparten ensenanzas de Aritmetica Poltica,termino con el que se designa la descripcion numerica de hechos de in-teres para la Administracion Publica. Destacados autores de AritmeticaPoltica fueron los ingleses Graunt (1620-1674) y Petty (1623-1687).

1.2 La organizacion de la informacion 9

Con metodos de estimacion en los que caba la conjetura, la expe-rimentacion y la deduccion, Graunt llega a estimar tasas de mortalidadpara la poblacion londinense, analizando ademas la verosimilitud de lainformacion de que dispona. Por su parte, Petty, cuyas aportaciones es-tadsticas fueron menos relevantes, tiene el merito -en opinion de Gutie-rrez Cabria- de proponer la creacion de un departamento de estadstica,en el que se reuniese informacion no solo de caracter demografico, sinotambien sobre recaudacion de impuestos, educacion y comercio. Surgeen esta epoca la conciencia de la necesidad de disponer de informacion,conciencia que va tomando cuerpo a partir de la segunda mitad del sigloXVII en la mayor parte de las potencias europeas y americanas, consi-derandose como primera oficina de estadstica la instituida en Suecia en1756.

En Espana, el interes por las investigaciones estatales nacio con lapreocupacion de los Reyes Catolicos por mejorar el estado de las CosasPublicas, estableciendose el primer censo del que se tiene referencia en1482, elaborado por Alonso de Quintanilla. Durante el siglo XVIII seelaboraron censos como el de Ensenada en 1749 y el de Floridablancaen 1787, con una metodologa con visos de modernidad. Los actualescensos de periodicidad decenal empezaron a elaborarse en 1860 a cargode la Junta General de Estadstica.

2. La organizacion de la informacion

Los datos constituyen la materia prima de la Estadstica, pudien-dose establecer distintas clasificaciones en funcion de la forma en queestos vengan dados. Se obtienen datos al realizar cualquier tipo de prue-ba, experimento, valoracion, medicion, observacion,. . .

Este captulo tiene por finalidad la descripcion de un conjunto dedatos, sin considerar que estos puedan pertenecer a un colectivo masamplio y, por supuesto, sin la intencion de proyectar los resultados quese obtengan al colectivo global; objeto esto ultimo de lo que se conocecomo Inferencia Estadstica.


2.1. Variable y atributo

Se realiza una primera clasificacion del tipo de datos en funcionde que las observaciones resultantes del experimento sean de tipo cua-litativo o cuantitativo, en el primero de los casos se tiene un atributo yen el segundo una variable. Para hacer referencia genericamente a unavariable o a un atributo se utilizara el termino caracter.

Ejemplo 1.1 Como ejemplos de atributos pueden considerarse elcolor del pelo de un colectivo de personas, su raza oel idioma que hablan y como variables su estatura,peso o edad.

Para poder operar con un atributo es necesario asignar a cada unade sus clases un valor numerico, con lo que se transforma en una variable,esta asignacion se hara de forma que los resultados que se obtengan alfinal del estudio sean facilmente interpretables.

Ejercicio 1.1 Clasifique los siguientes datos segun sean variableso atributos:

a) El color de ojos de un grupo de 20 per-sonas.

b) La nacionalidad de un conjunto de indi-viduos.

c) Las dioptras de un grupo de personasmiopes.

d) Los matices de color de un cuadro im-presionista.

e) Las dianas que consigue un arquero so-bre un total de 100 intentos.

2.2. Variables discretas y continuas

Dentro del conjunto de las variables se distingue entre discretas ycontinuas. Se dice que una variable es discreta cuando entre dos valo-res consecutivos no toma valores intermedios y que es continua cuandopuede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.


Ejemplo 1.2 La estatura de un grupo de personas sera una va-riable continua, mientras que el numero de cabellosque tienen en la cabeza sera una variable discreta.

En la practica todas las variables son discretas debido a la limi-tacion de los aparatos de medida, y as, en el ejemplo de las estaturas,quizas se podra detectar una diferencia de una cienmilesima de metro,o a lo mas, de una millonesima, pero dados dos individuos que se di-ferencien en una millonesima no puede detectarse otro que tenga unaestatura intermedia. De todas formas, en general se trata a las varia-bles teoricamente continuas como tales, por razones que se pondrande manifiesto mas adelante.

Ejercicio 1.2 Indique cuales de las siguientes variables son con-tinuas y cuales discretas:

a) El numero de moleculas de agua de unpantano.

b)La edad exacta de un grupo de 50 ninos.c) La distancia por carretera entre las ca-

pitales de provincia peninsulares espanolas.d) La distancia al centro de la diana de las

flechas lanzadas por un arquero.e) El numero de docenas de huevos que se

recolecta al da en una granja de gallinas.

Si la ocasion lo requiere se tiene la posibilidad de transformar unavariable discreta en continua o viceversa. Para transformar una variablediscreta en continua, una vez ordenados los valores, se asigna a cada unode ellos un intervalo que tenga por extremos el punto medio respecto alvalor anterior y el punto medio respecto al valor siguiente. Esta ope-racion tiene interes, por ejemplo, en la aproximacion de distribucionesdiscretas a continuas, como se tendra la oportunidad de comprobar enla segunda parte de este manual.

Para transformar una variable continua en discreta basta con hacercorresponder a cada uno de los intervalos su punto medio o marca declase.


Ejercicio 1.3 Transforme la variable continua que toma valoresen los intervalos (0, 2], (2, 3], (3, 6], (6, 10], (10, 15]en variable discreta.

2.3. Clasificacion de las series estadsticas

Ademas de por su naturaleza, se pueden realizar distintas clasifi-caciones del conjunto de los datos o serie estadstica.

1. Por su numero

a) Finitas. Las que tienen un numero finito de elementos.

b) Infinitas. Cuando tienen infinitos elementos.

2. Por su obtencion

a) Objetivas. Obtenidas con metodos exactos de medicion.

b) Subjetivas. Obtenidas mediante apreciaciones personales.

3. Por su dimension

a) Unidimensionales: x1, x2, x3, , xn.b) Bidimensionales: (x1, y1), (x2, y2), , (xn, yn).c) n-dimensionales: (x11, x

12, , x1n), , (xr1, xr2, , xrn).

4. Por su dependencia temporal

a) Temporales. Los valores se toman en instantes o perodos detiempo.

b) Atemporales. No dependen de ningun soporte temporal.

2.4. Distribucion de datos

La organizacion de los datos constituye la primera etapa de sutratamiento, pues, facilita los calculos posteriores y evita posibles con-fusiones. Realmente, la organizacion de la informacion tiene una raizhistorica y aunque actualmente con el desarrollo de los medios informa-ticos deja de tener importancia desde un punto de vista aplicado, desde


la perspectiva de la ensenanza de la Estadstica tiene un gran valor con-ceptual. La organizacion va a depender del numero de observacionesdistintas que se tengan y de las veces que se repitan cada una de ellas.En base a lo anterior se pueden estructurar los datos de tres manerasdistintas:

1. Tipo I: Cuando se tiene un numero pequeno de observacionescasi todas distintas, estas se daran por extension.Ejemplo 1.3 En la serie: 2, 3, 5, 7, 7, 8, 11, 14, 16, 19, el

7 se repite dos veces y el resto de los valoresesta presente una vez.

2. Tipo II: Cuando se tiene un gran numero de observaciones peromuy pocas distintas, se organizan en una tabla de frecuencias, esdecir, cada uno de los valores acompanado de la frecuencia con laque se presenta.Ejemplo 1.4 La tabla

Valor Frecuencia

2 44 45 36 27 38 39 1

indica que el valor 2 se repite 4 veces, el valor4 se repite 4 veces, etc.. . .

3. Tipo III: En el caso de que haya muchas observaciones, la ma-yora de ellas distintas, pueden disponerse agrupandolas en inter-valos e indicando el numero de observaciones que caen dentro decada intervalo.


Ejemplo 1.5 La tabla

Intervalo Frecuencia

(2,3] 4(3,7] 6(7,12] 12(12,21] 8(21,25] 6(25,30] 4(30,50] 3

nos dice que en el intervalo (2, 3] hay 4 ob-servaciones, que en el (3, 7] hay 6, etc. . .

En cualquiera de los tres casos o tipos se tiene una distribucionde frecuencias. A la variable que representa a la distribucion se le llamagenericamente X, a cada uno de los valores que toma la variable se ledenota por xi, y a la frecuencia con que toma dicho valor por ni. Paraevitar confusiones es aconsejable ordenar los valores de la variable demenor a mayor. Los valores ordenados de una distribucion se presentancon los subndices entre parentesis:

x(1), x(2), , x(n)de tal forma que siempre se verifica que x(i) x(i+1).

Para efectuar calculos, sea cual sea el tipo de distribucion, se dis-ponen los datos de la siguiente forma:

xi ni Ni fi Fix1 n1 N1 f1 F1x2 n2 N2 f2 F2...

......

......

xr nk Nr = n fr Fr = 1

Donde:

n representa al numero total de observaciones y sera igual ari=1

ni

1.3 Representaciones graficas 15

fi es la frecuencia relativa, definida como nin

Ni es la frecuencia absoluta acumulada, que se obtiene comoi

j=1

nj

Fi es la frecuencia relativa acumulada, que viene dada pori

j=1

fj

Observe que si la distribucion es de tipo I cada una de las frecuen-cias absolutas es igual a 1, y si la distribucion es de tipo III los valoresxi representan a las marcas de clase o puntos medios de los intervalos1.

3. Representaciones graficas

En funcion de la naturaleza de los datos y de la forma en que estosse presenten existen distintos tipos de representaciones. Se muestranaqu las mas interesantes.

1. El diagrama de tarta se emplea para representar atributos.Ejemplo 1.6 En una votacion entre cuatro candidatos a

representante de una comunidad se han ob-tenido los siguientes resultados:

Candidato Numero de votos

A 287B 315C 275D 189

La representacion grafica mediante un dia-grama de tarta sera la que se muestra en lafigura 1.1.

2. Una distribucion dada por extension, se representa mediante undiagrama de puntos.

1Dado el intervalo (Li, Li+1), la marca de clase viene dada por xi =Li+Li+1

2


Figura 1.1: Diagrama de tarta

Ejemplo 1.7 En un estudio sobre el peso y la estatura deun grupo de siete estudiantes se han obtenidolas siguientes mediciones:

(73, 187), (67, 175), (75, 180),(66, 167), (80, 195), (64, 178), (83, 177).

La representacion grafica mediante un dia-grama de puntos es la que se muestra en lafigura 1.2.

A dicha representacion se le suele denominarnube de puntos o diagrama de dispersion; seestudiara mas a fondo en el captulo 2.

3. Para representar una distribucion del tipo II, se utiliza un diagramade barras:Ejemplo 1.8 La representacion de la distribucion del ejem-

plo 1.4 es la que se muestra en la figura 1.3.

4. Por ultimo, si se tiene una distribucion del tipo III, se utiliza unhistograma:Ejemplo 1.9 El histograma correspondiente a la distribu-

cion del ejemplo 1.5 es el de la figura 1.4.

Observe que el efecto que produce el histograma es el de relacionarel numero de observaciones con el area dentro de cada rectangulo,por lo que si estos tienen la misma base, es decir, si los intervalosson de la misma amplitud, basta con construir rectangulos conbase los intervalos y altura las frecuencias asociadas a ellos. En

1.4 Medidas centrales 17

Figura 1.2: Diagrama de puntos

cambio, si las bases son distintas, o lo que es lo mismo, si losintervalos son de distinta amplitud, y se emplea el criterio anteriorde asignacion de alturas, se producira una distorsion optica. Porello, en estos casos en vez de utilizar la frecuencia como altura delos rectangulos se utiliza la denominada altura del histograma odensidad de observaciones en el intervalo, definida como hi = niai ,donde ai es la amplitud del intervalo correspondiente.

4. Medidas centrales

Una vez organizados los datos en su correspondiente distribucionde frecuencias, se procede a dar una serie de medidas que resuman todaesa informacion y que, de alguna manera, representen a la distribucion.

4.1. La media

La media es una medida de representacion central que necesaria-mente debe cumplir tres requisitos:


Figura 1.3: Diagrama de barras

1. Para su obtencion deben utilizarse todas las observaciones.

2. Debe ser un valor comprendido entre el menor y el mayor de losvalores de la distribucion.

3. Debe venir expresada en la misma unidad que los datos.

Entre todas las funciones que verifican estas tres propiedades sedestaca la media aritmetica, a partir de ahora media simplemente, quese define de la siguiente manera:

x =

ri=1

xini

n.

Donde las xi representan, segun el caso, a los valores de la variable o alas marcas de clase de los intervalos.

Ejemplo 1.10 La media de la distribucion del ejemplo 1.4 vienedada por:

x = 2 4 + 4 4 + 5 3 + + 9 14 + 4 + 3 + + 1= 10520 = 5

25.


Figura 1.4: Histograma

Con el mismo esquema tambien se puede definir la media geome-trica como:

xg = nxn11 x

n22 . . . x

nkr .

Ejemplo 1.11 La media geometrica de la distribucion del ejem-plo 1.3 se obtendra como:

xg =102 3 5 72 . . . 19 = 7483.

Cuando se tiene que hacer un promedio de un grupo de razones seutiliza la media armonica, definida como:

xa =n

ki=1

nixi

.

Ejemplo 1.12 La media armonica de la distribucion del ejem-plo 1.4 se obtendra como:

xa =20

42 +

44 +

35 + + 19

= 4125.


Otra media que tiene interes practico es la media ponderada. Estaconsiste en asignar a cada valor xi un peso wi que depende de la im-portancia relativa de cada uno de estos valores bajo algun criterio. Suexpresion responde a:

xp =

ri=1

niwixi

ri=1

niwi

.

Ejemplo 1.13 Para superar la asignatura de estadstica, un alum-no debe ser evaluado en distintas pruebas referen-tes a la misma: test, problemas y practica, cadauna de ellas ponderada segun su importancia o con-tribucion en la nota final. As, los pesos de cadaprueba seran del 30%, 50% y 20% respectivamen-te. Sabiendo que las notas obtenidas por el alumnoen cada prueba son 7, 3 y 5 respectivamente, cuales la nota global en la asignatura?

xp = 7 30 + 3 50 + 5 2030 + 50 + 20= 460100 = 4

6.

Propiedades de la media. Se analizan a continuacion una serie depropiedades de la media que hacen de esta una medida optima de repre-sentacion.

1. La suma de las desviaciones de los valores de la distribucion res-pecto a la media es igual a cero, es decir:

ri=1

(xi x)ni = 0.

2. Si a cada observacion de una distribucion X se le suma una cons-tante k (traslacion), se tiene una nueva variable Y = X + k conmedia igual a la de X mas la constante k.


3. Si se multiplica una variable X por una constante k (homotecia),la variable resultante Y = kX tendra media igual a k por la mediade X.

Estas dos propiedades se pueden resumir en la siguiente:

Y = aX + b y = ax+ b.

4. La media es el valor que hace mnima la expresion:

ri=1

(xi )2ni.

Precisamente ese mnimo sera la varianza de X, medida de dis-persion que se estudia mas adelante. Por otra parte, se comprobara queesta propiedad de la media garantiza su bondad como medida de repre-sentacion.

Ejercicio 1.4 Demuestre las propiedades anteriores.

4.2. La mediana

Lamediana es un valor que, previa ordenacion, deja la mitad de lasobservaciones en la recta real a la izquierda y la otra mitad a la derecha.Es decir, el 50% de los datos son menores o iguales que la mediana yel otro 50% mayores o iguales a esta. Para su calculo y suponiendo quelos valores estan ordenados se procede de la siguiente manera:

1. Si los datos vienen dados por extension, y hay un numero imparde ellos la mediana es el elemento que se encuentra en el centro, esdecir x(n+1

2). Si el numero de datos fuera par habra dos elementos

centrales y la mediana se obtendra como la media de ambos, esdecir:

Me =x(n

2) + x(n

2+1)

2.


Ejemplo 1.14 La mediana de la distribucion del ejemplo 1.3se obtendra como:

Me =x(5) + x(6)

2=

7 + 82

= 75.

2. A partir de una distribucion de tipo II ordenada, se construye lacolumna de frecuencias absolutas acumuladas, se obtiene el valorde n2 , deslizandose por la columna de Ni hasta detectar la primerafrecuencia mayor o igual que n2 ; si dicha frecuencia es estrictamentemayor que n2 la mediana toma el valor de la observacion que laostenta, si por el contrario n2 coincide con algun Ni la medianavale xi+xi+12 .Ejemplo 1.15 Para calcular la mediana en la distribucion

del ejemplo 1.4 se obtiene n2 que es igual a10, construyendo la columna de frecuenciasacumuladas:

xi ni Ni2 4 44 4 85 3 11 6 2 137 3 168 3 199 1 20

Puesto que N2 < 10 y N3 > 10 entoncesMe = 5.

3. Por ultimo, si la distribucion viene agrupada en intervalos, se cons-truye tambien la columna de Ni para fijar el intervalo donde sehalla la mediana, este queda determinado porque es el primeroque verifica que la frecuencia acumulada del intervalo es mayoro igual que n2 . Una vez fijado el intervalo, la mediana adopta lasiguiente expresion:

Me = Li1 +n2 Ni1

niai

donde Li1 es el extremo inferior del intervalo y ai su amplitud.


Ejemplo 1.16 En la distribucion del ejemplo 1.5, n2 = 215.

La tabla de frecuencias acumuladas que seobtiene es:

(Li1, Li] ni Ni(2, 3] 4 4(3, 7] 6 10(7, 12] 12 22 (12, 21] 8 30(21, 25] 6 36(25, 30] 4 40(30, 50] 3 43

Por tanto:

Me = 7 +215 10

125 = 1179.

Ejercicio 1.5 Demuestre que la mediana es el valor que hacemnima la expresion:

ri=1

|xi |ni.

4.3. Las modas

La moda absoluta de una distribucion es el valor que mas vecesse repite. Ademas de la moda absoluta, aquellos valores que tengan fre-cuencia mayor a la de los valores adyacentes seran modas relativas.

Las modas se pueden obtener facilmente cuando los datos vienendados en forma puntual.

Ejemplo 1.17 En la distribucion 2, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 10, la modaabsoluta es 7, puesto que es el valor que se repitemas veces, concretamente 3. Ademas, el 3 es unamoda relativa, puesto que su frecuencia es 2, su-perior a la de los valores 2 y 4, ambas iguales a 1.


Si las observaciones vienen agrupadas en intervalos hay que dis-tinguir dos casos:

1. Intervalos de igual amplitud. En este caso se fija el intervalo quetenga mayor frecuencia intervalo modal absoluto y aquellos confrecuencia superior a la de los intervalos adyacentes intervalosmodales relativos. Dentro de cada intervalo modal la moda co-rresponde al valor:

Mo = Li1 +ni+1

ni+1 + ni1ai.

Ejemplo 1.18 En la distribucion que sigue, el intervalo mo-dal absoluto es el (4, 5], ademas se tiene unintervalo modal relativo, el (6, 7].

(Li1, Li] ni(2, 3] 2(3, 4] 3(4, 5] 7(5, 6] 3(6, 7] 6(7, 8] 5(8, 9] 3

La moda absoluta sera:

Mo = 4 +3

3 + 31 = 45.

Y la moda relativa:

Mo = 6 +5

5 + 31 = 6625.

2. Intervalos de distinta amplitud. En este caso el intervalo modalabsoluto sera aquel que tenga mayor altura de histograma, hi, conidentica discusion que antes para las modas relativas. La expresionde la moda viene dada por:

Mo = Li1 +hi+1

hi1 + hi+1ai.


Ejemplo 1.19 Para la distribucion que sigue:

(Li1, Li] ni hi(2, 3] 1 1(3, 7] 6 15(7, 9] 12 6(9, 14] 8 16(14, 20] 6 1(20, 30] 4 04

El intervalo modal, solo existe uno, es (7, 9],con lo que la moda vale:

Mo = 7 +16

16 + 152 = 8032.

Para terminar este epgrafe observe que cuando las distribucionesson de intervalos los calculos puntuales de la mediana y la modautilizan criterios de ponderacion que suponen, como no puede serde otra manera, la disposicion uniforme de las observaciones dentrode los intervalos.

4.4. Comparacion entre media, moda y mediana

Salvo en casos muy especficos, la media es la mejor de las medi-das de representacion, pues la moda es bastante inestable y un pequenocambio en las observaciones puede afectarle mucho, mientras que la me-diana es insensible al tamano de los datos, permaneciendo constante si,por ejemplo, se altera arbitrariamente y en cierto sentido las observacio-nes extremas. Por otra parte, si se dispone de las modas y medianas dedos distribuciones hay que conocer cada uno de los datos de estas paracalcular la moda y mediana de la distribucion conjunta. La media por elcontrario es sensible a las alteraciones de los datos, al tamano de estosy si se conocen las medias de dos conjuntos de datos, basta con saberlos tamanos de ambos grupos para calcular la media global.

Ejercicio 1.6 Calcule la media, mediana y moda de la distribu-cion:

1, 2, 4, 7, 9, 9, 9, 11, 13, 14, 17, 21, 34


Obtenga de nuevo dichas medidas para la distri-bucion a la que se ha anadido los valores 1 y 47.Comente los resultados en lo que se refiere a laestabilidad de las medidas obtenidas.

5. Medidas de posicion

Se llaman medidas de posicion o cuantiles de orden k a aquellasque dividen a la distribucion en k partes, de tal forma que en cada unade esas partes haya el mismo numero de elementos2. De entre todas lasmedidas de posicion destacan los cuartiles, los deciles y los percentiles.Los cuartiles dividen a la distribucion en cuatro partes iguales, los de-ciles en diez y los percentiles en cien. Habra, por tanto, tres cuartiles(Q1, Q2, Q3), nueve deciles (D1, D2, , D9) y, noventa y nueve percenti-les (P1, P2, , P99). El segundo cuartil, el quinto decil y el quincuagesi-mo percentil son iguales y coinciden con la mediana. En distribucionespuntuales el calculo es identico al de la mediana, siendo ahora rnk el valorde discusion. En distribuciones por intevalos la forma general de calculopara un cuantil