estadistica - soluciones a los problemas propuestos de estadistica descriptiva y probabilidad

ESTADISTICA (SISTEMAS)

Profesores: Hilario Navarro. Jorge Martın

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA,INVESTIGACION OPERATIVA Y CALCULO

NUMERICO

Soluciones a los problemas propuestos de Estadıstica Descriptiva yProbabilidad

Curso 2007-2008

Estadıstica Descriptiva. Probabilidad 1

Problema 1. En 1978, H. Cavendish realizo una serie de 29 experimentos conobjeto de medir la densidad de la tierra. Sus resultados, tomando como unidadde densidad la del agua, fueron:

5.50 5.61 4.88 5.07 5.26 5.55 5.36 5.29 5.58 5.655.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34 5.79 5.10 5.27 5.395.42 5.47 5.63 5.34 5.46 5.30 5.75 5.68 5.85

Analizar descriptivamente estos datos.

Solucion

Si optamos por un diagrama de tallos y hojas para tener una descripciongrafica de la distribucion de frecuencias resulta

48 84950 751 052 679953 0446954 246755 0357856 1235857 5958 5

Respecto a la localizacion del centro de la distribucion obtenemos:

Media:

x =1

29

29∑

i=1

xi = 5.448

Mediana: La posicion central de las observaciones ordenadas esta ocupadapor la que toma el valor 5.46.

Para valorar la dispersion de la distribucion elegimos la desviacion tıpica. Elcalculo de la varianza lo efectuamos mediante la formula

vx =1

29

29∑

i=1

x2i − x2

resultando vx = 0.049.Como consecuencia, el valor de la desviacion tıpica es

√0.049 = 0.221

2 Estadıstica (Sistemas). UNED. Curso 2007-2008

Problema 2. La siguiente es la distribucion del numero de artıculos defectu-osos encontrados en 404 lotes de un producto manufacturado. Calcule la media,mediana, varianza y desviacion tıpica para iniciar la descripcion de los datosreferidos.

No de items defectuosos No de lotes0 531 1102 823 584 355 206 187 128 99 310 111 212 1

Solucion

Para el calculo de las medidas de centralizacion y dispersion pedidas, tenemosque tener en cuenta que partimos de la distribucion de frecuencias. Concreta-mente, segun la tabla del enunciado, el valor 0 se ha presentado en 53 ocasiones(frecuencia absoluta ni), el 1 en 110, el 2 en 82 y ası sucesivamente. Entonces,la media sera el resultado del siguiente calculo

x =1

404[(0 × 53) + (1 × 110) + (2 × 82) + (3 × 58) + · · · + (12 × 1)]

es decir,

x =1023

404= 2.532.

La mitad del numero de observaciones es 202. Observando la tabla vemosque el primer valor que acumula una frecuencia igual o superior a este numeroes el 2 y, por tanto, es la mediana de esta distribucion.

El hecho de que la media supere a la mediana nos indica que la cola derechatiene una “ extension ” mayor que la izquierda.

¿Cuanto se dispersan los datos en torno al centro de la distribucion? Pararesponder a esta pregunta calcularemos la desviacion tıpica. La media de lasdesviaciones cuadraticas (varianza) la obtendremos mediante la expresion

vx =1

404

∑

i

nix2i − x2.


Dado que

1

404

[

(02 × 53) + (12 × 110) + (22 × 82) + · · · + (12 × 1)]

=4561

404= 11.562

y

x2 = 2.5322 = 6.411

resulta que vx = 11.562 − 6.411 = 5.241.

Como la desviacion tıpica es la raız cuadrada positiva de la varianza, nuestramedida de la dispersion es

√5.241 = 2.289.

Problema 3. A partir de una muestra de 26 observaciones de la variable X—que toma valores entre 320 y 430—, se obtuvo el siguiente diagrama de tallosy hojas:

32 5533 493435 669936 3446937 0334538 939 234740 234142 4

(a) Reproduzca las 10 primeras observaciones (en la ordenacion de menor amayor).

(b) ¿Donde esta situada la mediana de la distribucion? ¿Que variacion exper-imentarıa dicha medida de centralizacion si el maximo de la distribucionaumentara su valor en 10 unidades?

(c) Sabiendo que el valor medio es 370.7, ¿como medirıa la dispersion de losdatos respecto a este valor central? (No se requiere realizar los calculos)

Solucion

(a) Las observaciones pedidas son

325, 325, 334, 339, 356, 356, 359, 359, 363, 364


(b) La mediana de la distribucion esta situada en el punto

369 + 370

2= 369.5

Si el maximo de la distribucion, que es 424, aumentara su valor en 10unidades, la mediana estarıa situada en el mismo punto —en 369.5—, yaque seguirıamos teniendo el mismo numero de observaciones a cada lado.

(c) Mediante la desviacion tıpica, que se define como la raız cuadrada positivade la varianza. Para el calculo de esta ultima, se puede aplicar directamentela definicion:

vx =1

n

∑

i

(xi − x)2

o, equivalentemente,

vx =1

n

∑

i

x2i − x2

=1

26

(

3252 + 3252 + 3342 + ... + 4242)

− 370.72

Problema 4. Cada uno de los dıgitos que forman una clave de tres dıgitosse elige, con independencia de los otros, entre los numeros: 0, 1, 2, . . . , 9. De-termınese:

(a) la probabilidad de que la clave tenga al menos dos cifras iguales.

(b) la probabilidad de que, si la clave obtenida es un numero par, no seasuperior a 100.

Solucion

(a) Se pueden formar un total de 103 claves con los dıgitos del 0 al 9.

Denotaremos por A el suceso

A = “ la clave tiene al menos dos cifras iguales ”

Vamos a calcular la probabilidad del complementario

Ac = “ todas las cifras que forman la clave son distintas ”

Hay 10 · 9 · 8 claves favorables al suceso Ac; ya que la cifra de las centenaspuede ser uno cualquiera de los diez dıgitos, la de las decenas uno de losnueve restantes y la de las unidades uno cualquiera de los ocho que noocuparon el lugar de las centenas y decenas.


10 9 8

× × ×

La probabilidad del complementario es P (Ac) =10 · 9 · 8

103; de donde se

sigue la probabilidad pedida:

P (A) = 1 − P (Ac) = 1 − 10 · 9 · 8103

= 1 − 18

25=

7

25.

(b) Vamos a resolver el problema utilizando dos metodos.

Metodo 1. El enunciado nos informa sobre el resultado del experimento: laclave obtenida es un numero par. Con esta informacion la incertidumbrese modifica; de entrada excluirıamos todas las claves impares. Por tanto,el espacio muestral cambia y queda restringido al conjunto de todas las

claves pares entre la 0 0 0 y la 9 9 9 ; un total de 500, es decir

Ω = Conjunto de claves pares entre la 0 0 0 y la 9 9 9

De todas ellas hay un total de 51 que no superan a 100; todos los pares com-

prendidos entre el 0 cuya clave es 0 0 0 y el 100 con clave 1 0 0 .

Consecuentemente, la probabilidad pedida sera 51/500.

Metodo 2. Se considera el espacio muestral inicial que esta formado por elconjunto de todas las claves comprendidas entre el 0 y el 999:

Ω = Conjunto de claves entre la 0 0 0 y la 9 9 9

A continuacion, se consideran los sucesos

A = “ la clave obtenida no supera a 100 ”

B = “ la clave obtenida es un numero par ”

Nos estan pidiendo calcular la probabilidad condicionada

P (A|B) =P (A ∩ B)

P (B).

Del conjunto de todas las claves, un total de 1000, hay 51 que son paresmenores o iguales que 100; con lo cual se tiene que


P (A ∩ B) =51

1000.

Por otro lado, hay un total de 500 claves que son pares; luego se obten-dra que

P (B) =500

1000.

Por tanto, la probabilidad pedida es

P (A|B) =51/1000

500/1000=

51

500.

Problema 5. Con el enunciado del problema anterior se pide calcular:

(a) la probabilidad de que la clave sea un numero de dos cifras.

(b) la probabilidad de que la clave sea un multiplo de 5.

(c) la probabilidad de que la clave sea un numero par de dos cifras.

Solucion

(a) Denotaremos por A el suceso “ la clave es un numero de dos cifras ”.

Las claves de dos cifras tendran el 0 en el lugar de las centenas, cualquierdıgito menos el 0 —un total de 9 dıgitos posibles— en el lugar de lasdecenas y uno cualquiera de los 10 dıgitos en el lugar de las unidades:

1 9 10

0 × ×

Consecuentemente, habra un total de 1 · 9 · 10 = 90 claves de dos cifras.Por tanto, la probabilidad pedida sera

P (A) =1 · 9 · 10

103=

9

100.

(b) Vamos a denotar por B el suceso “ la clave es un multiplo de 5 ”.

Obtendremos un multiplo de 5 —contando el 0, con clave 0 0 0 , entre

los multiplos de 5— cuando en las unidades aparece un 0 o un 5 y en lascentenas y decenas uno cualquiera de los 10 dıgitos:


10 10 2

× × ×

Hay un total de 10 · 10 · 2 = 200 claves en que esto ocurre; luego laprobabilidad pedida sera

P (B) =10 · 10 · 2

103=

1

5.

(c) Finalmente, sea C el suceso “ la clave es un numero par de dos cifras ”.

Ocurre C si en las centenas aparece un 0, en las decenas uno cualquiera delos 10 dıgitos exceptuando el 0 (9 casos posibles) y en las unidades algunode los dıgitos 0, 2, 4, 6, 8 (5 casos posibles):

1 9 5

0 × ×

Hay un total de 1 · 9 · 5 = 45 claves pares de dos cifras; con lo cual laprobabilidad pedida sera

P (C) =1 · 9 · 5

103=

9

200.

Problema 6. Consideremos el circuito de la figura. Cada conmutador esta cer-rado con probabilidad p; y esta abierto o cerrado con independencia del estadode los otros. El circuito esta cerrado si la corriente pasa desde A hasta B.

Consideremos el circuito de la figura. Cada conmutador esta cerrado conprobabilidad p; y esta abierto o cerrado con independencia del estado de losotros. El circuito esta cerrado si la corriente pasa desde A hasta B.

A

B

c1 c2

c3 c4


Sean los sucesos: Ci = “ el conmutador ci esta cerrado ” : 1 ≤ i ≤ 4; y el suceso:C = “ el circuito esta cerrado ”. Calcular P (C) y P (C1 ∩ C2|C).

Solucion

El circuito esta cerrado o bien cuando c1 y c2 estan cerrados, o bien cuandoc3 y c4 estan cerrados. Por tanto, con la notacion del enunciado, podemos ponerel suceso C como

C = (C1 ∩ C2) ∪ (C3 ∩ C4),

con lo cual, teniendo en cuenta que los sucesos Ci son independientes, setendra que

P (C) = P (C1 ∩ C2) + P (C3 ∩ C4) − P (C1 ∩ C2 ∩ C3 ∩ C4)

= p2 + p2 − p4 = p2(2 − p2).

Para calcular la probabilidad condicionada P (C1 ∩ C2|C), recurrimos a ladefinicion:

P (C1 ∩ C3|C) =P ((C1 ∩ C3) ∩ C)

P (C).

Ahora bien, dado que C1 ∩ C2 ⊂ C, se tiene que (C1 ∩ C2) ∩ C = C1 ∩ C2;con lo cual

P (C1 ∩ C2|C) =P (C1 ∩ C2)

P (C)=

p2

p2(2 − p2)=

1

2 − p2.

Problema 7. Un algoritmo de busqueda inspecciona una lista de 1000 reg-istros a fin de localizar un registro determinado. El algoritmo emplea un pro-cedimiento secuencial de busqueda: recorre la lista de izquierda a derecha, com-probando si cada registro coincide con el que busca, hasta que lo encuentra. Sepide:

(a) Calcular la probabilidad de que lo encuentre en 6 intentos.

(b) Calcular la probabilidad de que tenga que realizar k intentos.

(c) Determinar el numero medio de intentos que realiza.

Solucion


(a) Sea X la variable aleatoria

X = numero de intentos hasta encontrar el registro buscado.

Supongamos que ponemos todos los registros en fila:

· · · · · · · · · · · · · ·

El algoritmo realizara seis intentos cuando no localice el registro que buscaen las cinco primeras posiciones de la fila y lo encuentre en la sexta.

Si denotamos por Ai el suceso “ el registro buscado ocupa la i−esimaposicion de la fila ” la probabilidad pedida sera

P (X = 6) = P (Ac1 ∩ Ac

2 ∩ Ac3 ∩ Ac

4 ∩ Ac5 ∩ A6).

Por la regla de la multiplicacion para calcular de la probabilidad de lainterseccion de sucesos, se tiene que

P (X = 6) = P (Ac1)P (Ac

2|Ac1)P (Ac

3|Ac1∩Ac

2) · · ·P (A6|Ac1∩Ac

2∩Ac3∩Ac

4∩Ac5).

Por tanto, la probabilidad pedida sera

P (X = 6) =

(

999

1000

)(

998

999

)(

997

998

) (

996

997

)(

995

996

)(

1

995

)

=1

1000

(b) De la misma manera, la probabilidad de realizar k intentos es la proba-bilidad de que el algoritmo no localice el registro en los k − 1 primeroslugares de la fila y lo encuentre en el k-esimo. Por tanto, para cadak = 1, 2, . . . , 1000

P (X = k) =

(

999

1000

)

· · ·(

1000 − k + 1

1000 − k + 2

) (

1

1000 − k + 1

)

=1

1000

El calculo anterior se generaliza sin dificultad a una lista con n registros.Ası, para cada k = 1, 2, . . . , n, se tiene que

P (X = k) =

(

n − 1

n

) (

n − 2

n − 1

)

· · ·(

n − k + 1

n − k + 2

)(

1

n − k + 1

)

=1

n


Sin embargo, para calcular P (X = k) en el caso general, preferimos utilizarel razonamiento recurrente que se sigue del procedimiento secuencial debusqueda.

Para una lista de n registros, sea pk,n la probabilidad de localizar el registrobuscado en k intentos, y A el suceso “el primer registro de la fila es distintoal buscado”.

Para localizar el registro en k intentos, debe ocurrir A, y a continuacion,se han de realizar k − 1 intentos en una nueva lista con n − 1 registros(todos menos el primero). Por tanto,

pk,n = P (X = k) =n − 1

npk−1,n−1 : k = 2, 3, . . . , n

de donde se sigue la ecuacion recurrente

npk,n = (n − 1)pk−1,n−1 (1)

Teniendo en cuenta la condicion inicial: p1,i =1

i(en una lista con i reg-

istros la probabilidad de localizar el buscado en el primer intento es 1/i),basta aplicar la ecuacion anterior sucesivamente para obtener que

npk,n = (n−1)pk−1,n−1 = (n−2)pk−2,n−2 = · · · · · · = (n−k+1)p1,n−k+1 = 1

de donde se sigue que pk,n = P (X = k) =1

n: k = 1, 2, . . . , n.

(c) Ya que hemos sido capaces de generalizar el problema, vamos a seguirutilizando la lista de n registros.

El numero medio de intentos que realiza el algoritmo es la media de lavariable aleatoria X.

EX =

n∑

k=1

kP (X = k) =1

n

n∑

k=1

k.

Calcular esta suma es sencillo si se tiene en cuenta que la suma de cadados terminos del sumatorio que equidistan de los extremos es igual a lasuma de estos:

1 2 3 · · · · · · · · · n − 2 n − 1 nn n − 1 n − 2 · · · · · · · · · 3 2 1

n + 1 n + 1 n + 1 · · · · · · · · · n + 1 n + 1 n + 1


De lo anterior se sigue que 2∑n

k=1 k = n(n + 1), es decir,

EX =1

n

n∑

k=1

k =n + 1

2.

Cuando n = 1000, el numero medio de intentos es 1001/2.

El razonamiento recurrente nos proporciona de nuevo un procedimientode calculo de la media que evita cuentas “engorrosas” como las anteriores.

Denotamos por µn el numero medio de intentos en una lista con n registros.

Si el registro buscado esta en la primera posicion de la fila, lo cual ocurrecon probabilidad 1/n, se realiza un intento y se acaba la busqueda. En

cambio, si no esta, lo cual ocurre con probabilidad(n − 1)

n, contamos un

intento y comenzaremos a buscar en una lista con n − 1 registros; con loque, en este caso, el numero medio de intentos sera 1 + µn−1.

De este razonamiento resulta la siguiente ecuacion recurrente:

µn =1

n+

n − 1

n(1 + µn−1) (2)

con la condicion inicial µ1 = 1 (en una lista con un solo registro se localizael buscado en un intento). Poniendo Qn = nµn, (2) se transforma en

Qn = Qn−1 + n con Q1 = µ1 = 1 (3)

Es posible que no sepas resolver esta ecuacion en diferencias. En realidadno lo necesitas, ya que el enunciado tan solo te pide que encuentres µ1000 =Q1000

1000. Seguro que sı sabes programar un bucle que realice el calculo:

Q=1for n = 2 to 1000Q=Q+nnext nQ/1000

Para los aficionados a resolver problemas, vamos a solucionar (3).

Ensayamos para Qn una solucion de la forma: Qn = a+bn+cn2. Partiendode la condicion inicial, basta aplicar la recurrencia dos veces para obtener

Q1 = 1 Q2 = 3 Q3 = 6


Sustituyendo los valores n = 1, n = 2 y n = 3 en la solucion general, sellega al siguiente sistema de ecuaciones.

a + b + c = 1a + 2b + 4c = 3a + 3b + 9c = 6

La solucion del sistema es a = 0, b = 1/2, c = 1/2; con lo que

µn =Qn

n=

1

n

(

n

2+

n2

2

)

=n + 1

2

Problema 8. Una cadena de montaje produce lotes de piezas. La proporcionde piezas defectuosas en cada uno de esos lotes es una variable aleatoria X confuncion de densidad

f(x) =

k(

14 − x

)

, si 0 < x < 14

0 , en otro caso

Determınese

(a) El valor de la constante k.

(b) La proporcion media de piezas defectuosas que contendra un lote deter-minado.

(c) Ciertos controles de calidad obligan a retirar los lotes que contienen unaproporcion de piezas defectuosas superior al 10%. Si el coste de produccionde cada lote es de 100 euros, ¿cual debera ser el precio mınimo de ventapara garantizar un beneficio por lote de al menos 4 euros?.

Solucion

(a) Puesto que la integral de la funcion de densidad ha de ser 1, se tendra que

1 =

∫

∞

−∞

f(x) dx = k

∫ 1/4

0

(

1

4− x

)

dx =k

32,

de donde se deduce que k = 32.

La representacion grafica de la densidad de la variable X es la que apareceen la siguiente figura.


8

1/4

f(x) = 32(

1

4− x

)

Figura 1: Funcion de densidad de la variable aleatoria X

(b) La proporcion media es

E(X) =

∫

∞

−∞

xf(x) dx = 32

∫ 1/4

0

(x

4− x2

)

dx = 32

[

x2

8− x3

3

]1/4

0

=1

12.

(c) Sea B la variable aleatoria beneficio obtenido en la venta de un lote.Supongamos que el precio de venta del lote es 100 + a con a > 0.

Puesto que los lotes que no pasan los controles de calidad se retiran, laprobabilidad de perder 100 euros en un lote es la probabilidad de quecontenga una proporcion de piezas defectuosas superior al 10%, es decir,

P

(

X >1

10

)

=

∫ 1/4

1/10

f(x) dx = 32

∫ 1/4

1/10

(

1

4− x

)

dx =9

25.

Por tanto, la variable B toma los valores a y −100 con probabilidades:

P (B = a) =16

25, P (B = −100) =

9

25.

Para tener un beneficio por lote de al menos 4 euros, debe ocurrir que

E(B) =16a

25− 900

25> 4,

de donde se obtiene que a > 62.5.

Por tanto, el precio mınimo de venta de cada lote debe ser de 162.5 euros.


Problema 9. Se supone que el voltaje medido en cierto circuito electrico esuna variable aleatoria con distribucion normal de media 120 y desviacion tıpica2. Realizada una medicion cualquiera, calcule la probabilidad de que

(a) Proporcione un voltaje superior a 118. Un voltaje entre 116 y 118.

(b) Se obtenga un voltaje que difiera del voltaje medio en al menos una unidad.

Solucion

Al tipificar la variable aleatoria X que mide el voltaje del circuito, se obtieneuna variable

Z =X − 120

2

cuya distribucion es una normal de media 0 y desviacion tıpica 1.

(a) En este apartado nos estan pidiendo la probabilidad del suceso X > 118.Utilizando la estandarizacion anterior se tiene que

−1 1

Figura 2: Probabilidades: P (Z > −1) y P (Z < 1)

P (X > 118) = P (Z >118 − 120

2) = P (Z > −1).

Teniendo en cuenta la simetrıa de la distribucion normal, se obtendra queP (Z > −1) = P (Z < 1) = Φ(1) —vease la figura 2—, siendo Φ la funcionde distribucion de una N(0, 1). Por tanto,

P (X > 118) = P (Z > −1) = P (Z < 1) = Φ(1) = 0.8413.

Para la segunda de las cuestiones de este apartado, se obtiene, despues detipificar la variable X, que

P (116 < X < 118) = P (116 − 120

2< Z <

118 − 120

2) = P (−2 < Z < −1).


De nuevo, teniendo en cuenta la simetrıa de la distribucion (ver figura 3),podremos concluir que

P (116 < X < 118) = P (−2 < Z < −1) = P (1 < Z < 2)

= P (Z < 2) − P (Z < 1) = Φ(2) − Φ(1) = 0.9772 − 0.8413 = 0.1359.

−2 −1 21

Figura 3: Probabilidades: P (−2 < Z < −1) y P (1 < Z < 2)

(b) Una medida difiere del voltaje medio en al menos una unidad cuando|X − 120| > 1. Consecuentemente, la probabilidad pedida sera

P (|X − 120| > 1) = P (|X − 120|

2>

1

2) = P (|Z| >

1

2).

De nuevo por la simetrıa de la distribucion (ver figura 4), se puede afirmar

que P (|Z| >1

2) = 2P (Z >

1

2). Por tanto,

P (|X − 120| > 1) = 2P (Z >1

2) = 2[1 − Φ(

1

2)] = 2[1 − 0.6915] = 0.617.

Problema 10. El tiempo que un ordenador tarda en ejecutar cierto algoritmo esuna variable aleatoria con distribucion normal de media y varianza desconocidas.Se sabe que el 15.87 % de las ocasiones el algoritmo tarda en ejecutarse al menos6 segundos y que el 99% de las ocasiones el tiempo de ejecucion no es superiora 7 segundos. Determınese la media y la desviacion tıpica de la distribucion.

Solucion

Sea X la variable aleatoria tiempo de ejecucion del algoritmo; denotaremos lamedia y la varianza desconocidas de dicha variable por µ y σ2 respectivamente.El enunciado del problema establece las siguientes condiciones:

P (X ≥ 6) = 0.1587 , P (X ≤ 7) = 0.99.

De la primera de ellas se obtiene que


−1/2 1/2

Figura 4: Funcion de densidad de una N(0, 1)

P (X ≥ 6) = P (Z ≥ 6 − µ

σ) = 1 − P (Z ≤ 6 − µ

σ) = 0.1587.

Consecuentemente, P (Z ≤ 6 − µ

σ) = Φ(

6 − µ

σ) = 0.8413, lo cual implica que

6 − µ

σ= Φ−1(0.8413) = 1,

valor que se obtiene de las tablas de la distribucion N(0, 1).De la misma manera, la segunda condicion conduce a

P (X ≤ 7) = P (Z ≤ 7 − µ

σ) = Φ(

7 − µ

σ) = 0.99,

de donde se deduce que

7 − µ

σ= Φ−1(0.99) = 2.33.

Las dos condiciones anteriores dan lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

6 − µ

σ= 1 ,

7 − µ

σ= 2.33

del cual se obtienen los valores desconocidos de la media y la desviacion tıpica:µ = 5.25 y σ = 0.75.

Problema 11. Cierto aparato registra el nivel de saturacion de la red electricaen una comarca. El error relativo porcentual de la medida dada por el aparatoes una variable aleatoria continua X con funcion de distribucion

F (x) =

0 , si x < 0

1 − (1 − x)3 , si 0 ≤ x ≤ 1

1 , si x > 1

Determinar:

(a) La funcion de densidad de la variable X.

(b) La probabilidad de que una medida registrada por el aparato tenga unerror entre el 0.1% y el 0.2%.


(c) El error relativo medio.

Solucion

(a) La representacion grafica de la funcion de distribucion F (x) es la queaparece en la figura 5.

0 1 2−1−2

1

Figura 5: Funcion de distribucion de la variable aleatoria X

Puesto que la variable X es continua, la funcion de densidad se obtienederivando la de distribucion. Dicha funcion viene dada por

f(x) = F ′(x) =

0 , si x < 0

3(1 − x)2 , si 0 ≤ x ≤ 1

0 , si x > 1

Su representacion grafica es la que aparece en la figura 6.

0 1 2−1−2

1

2

Figura 6: Funcion de densidad de la variable aleatoria X

(b) El error de medida esta entre el 0.1% y el 0.2% cuando 0.1 ≤ X ≤ 0.2.Por tanto, la probabilidad pedida sera

P (0.1 ≤ X ≤ 0.2) =

∫ 0.2

0.1

f(x) dx = 3

∫ 0.2

0.1

(1 − x)2 dx = 0.217.

Esta probabilidad es el area sombreada de la figura 7.

Un modo alternativo de llegar al mismo resultado es haciendo uso de lafuncion de distribucion dada en el enunciado del problema.


Figura 7: P (0.1 ≤ X ≤ 0.2)

P (0.1 ≤ X ≤ 0.2) =

∫ 0.2

0.1

f(x) dx =

∫ 0.2

−∞

f(x) dx −∫ 0.1

−∞

f(x) dx

= F (0.2) − F (0.1) = 1 − (1 − 0.2)3 − (1 − (1 − 0.1)3) = 0.217.

(c) Finalmente, en este apartado nos estan pidiendo la media de la variablealeatoria X que mide el error, la cual viene dada por

EX =

∫

∞

−∞

xf(x) dx = 3

∫ 1

0

x(1−x)2 dx = 3

(

x2

2− 2x3

3+

x4

4

)]1

0

=1

4

Problema 12. La variable aleatoria X que mide —en dıas— el tiempo de fun-cionamiento de determinados equipos, hasta que comienzan a presentar fallos,tiene la siguiente funcion de densidad:

f(x) =

0 , si x ≤ 01

1000e−x/1000 , si x > 0

Determinar:

(a) La probabilidad de que uno de estos equipos dure al menos 100 dıas.

(b) La probabilidad de que un equipo que no ha fallado en 100 dıas, comiencea hacerlo antes de 500.

(c) Si un sistema esta formado por tres de estos equipos conectados en serie,¿cual es la probabilidad de que el sistema funcione correctamente duranteal menos 300 dıas? Supongase que cada equipo funciona con independenciade los otros.


100

Figura 8: P (X > 100) para una exponencial de media 1000

Solucion

(a) La funcion de densidad del enunciado es la de una exponencial de media1000. Un equipo durara al menos 100 dıas cuando X > 100; con lo cual,la probabilidad pedida —area de la zona sombreada de la figura 8— sera

P (X > 100) =

∫

∞

100

f(x) dx =1

1000

∫

∞

100

e−x/1000 dx = e−1/10.

(b) Puesto que nos suministran la informacion adicional de que cierto equipoha durado al menos 100 dıas, nos enfrentamos ante el calculo de unaprobabilidad condicionada.

Nos piden calcular la probabilidad del suceso X < 500 supuesto que secumple que X > 100, es decir, P (X < 500|X > 100).

En efecto, de la definicion de probabilidad de un suceso condicionado porotro se obtiene que

P (X < 500|X > 100) =P (100 < X < 500)

P (X > 100).

La probabilidad del denominador es la que ya hemos calculado en elapartado anterior.

Para el calculo de la probabilidad del numerador —area sombreada de lafigura 9—, se integra la densidad exponencial en el intervalo (100, 500),obteniendose que

P (100 < X < 500) =

∫ 500

100

f(x) dx =1

1000

∫ 500

100

e−x/1000 dx

= −e−x/1000]500

100= e−1/10 − e−1/2.


100 500

Figura 9: P (100 < X < 500) para una exponencial de media 1000

Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3

Figura 10: Conexion en serie de los tres equipos

Ahora ya tenemos todos los ingredientes que permiten evaluar la proba-bilidad condicionada que nos piden:

P (X < 500|X > 100) =e−1/10 − e−1/2

e−1/10= 1 − e−2/5.

(c) Vamos a denotar por E, E1, E2 y E3 los sucesos:

E =“El sistema funciona correctamente durante al menos 300 dıas ”

E1 =“El equipo 1 funciona correctamente durante al menos 300 dıas ”



Dado que la conexion es en serie —vease la figura 10—, el sistema fun-cionara durante al menos 300 dıas cuando los tres equipos que lo componenpermanezcan en funcionamiento por al menos este periodo de tiempo. Portanto, teniendo en cuenta la hipotesis de independencia del enunciado, setendra que

P (E) = P (E1 ∩ E2 ∩ E3) = P (E1)P (E2)P (E3).

Estas tres probabilidades: P (E1), P (E2) y P (E3) son iguales y vienendadas por


P (E1) = P (E2) = P (E3) =

∫

∞

300

f(x) dx =1

1000

∫

∞

300

e−x/1000 dx = e−3/10.

Consecuentemente, la probabilidad pedida sera P (E) = e−9/10.

Problema 13. El tiempo de vida de ciertos aparatos de medida es una variablealeatoria X con funcion de densidad

f(x) =

ke−x , x > 30 , en otro caso

Se pide:

(a) El valor de la constante k. Hallar la probabilidad: P (5 < X < 7) .

(b) La media de la variable X.

Solucion

(a) Puesto que f(x) es una funcion de densidad, se tiene que

f(x) ≥ 0 : −∞ < x < ∞ ,

∫

∞

−∞

f(x) dx = 1

De la segunda condicion se sigue que:

k

∫

∞

3

e−x dx = −k e−x∣

∣

∞

3= ke−3 = 1

con lo cual la constante sera: k = e3.

A continuacion, calculamos la probabilidad que se pide —area sombreadade la figura—. Para ello basta integrar la densidad entre 5 y 7.

P (5 < X < 7) =

∫ 7

5

e3−x dx = −e3 e−x∣

∣

7

5= −e3(e−7 − e−5) = e−2 − e−4.

(b) La esperanza de la variable aleatoria X viene dada por

EX =

∫

∞

−∞

xf(x) dx =

∫

∞

3

xe3−x dx.


3 5 7

Figura 11: Representacion grafica de la funcion de densidad

Integrando por partes (para los que hayan olvidado la integracion porpartes, se recomienda que repasar los metodos de integracion que se estu-dian en cualquier curso de introduccion al Calculo), se obtendra que

EX = e3

[

−xe−x∣

∣

∞

3+

∫

∞

3

e−x dx

]

= e3[

3 · e−3 + e−3]

= 4.

Problema 14. La probabilidad de error en la transmision de un bit por uncanal de comunicacion es p = 10−4. Los bits se empaquetan en bloques deinformacion; y la transmision de cada bit del bloque es independiente del resto.Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que se produzca algun error en la transmisionde un bloque de 1000 bits.

b) Calcular la probabilidad de que se hayan producido mas de dos errores enla transmision de un bloque de 1000 bits si se observo algun error en latransmision del bloque.

Solucion

a) Dado que en la transmision de cada bit se esperan dos resultados posi-bles —transmision incorrecta o correcta— con probabilidades respectivasp = 10−4 y 1 − p = 1 − 10−4, estamos ante un experimento aleatorio deBernoulli.

La variable aleatoria X que sirve de modelo para este experimento aleato-rio es la de Bernoulli con funcion de masa

P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 − p

El numero de errores en la transmision de un bloque de 1000 bits vienedado por la variable aleatoria S = X1 + X2 + · · · + X1000 —donde cadauna de las Xi de la suma sigue la distribucion de Bernoulli anterior—,es decir, S es una variable aleatoria Binomial de parametros n = 1000 yp = 10−4; ya que los bits se transmiten independientemente.


La probabilidad que se pide es: P (S > 0) = 1 − P (S = 0).

Puesto que en las condiciones de enunciado la distribucion Binomial sepuede aproximar por una de Poisson de parametro λ = np = 1000 ·10−4 =1/10, la probabilidad pedida se aproximara mediante:

P (S > 0) ≈ 1 − e−1/10(1/10)0

0!= 1 − e−1/10.

b) El enunciado nos dice que es ha observado algun error en la transmisiondel bloque, es decir, se nos informa que ocurrio el suceso S > 0. Sepide hallar la probabilidad del suceso S > 2, dada esta informacion adi-cional sobre la eleccion del azar, es decir, se pregunta por la probabilidadcondicionada: P (S > 2|S > 0).

Utilizando la formula de la probabilidad condicionada se obtiene que

P (S > 2|S > 0) =P (S > 2 ∩ S > 0)

P (S > 0)=

P (S > 2)

P (S > 0)

La probabilidad del denominador se hallo en el apartado anterior; paracalcular la del numerador, utilizamos otra vez la aproximacion de la Bi-nomial por la distribucion de Poisson. De este modo se obtiene que

P (S > 2) = 1 − P (S ≤ 2) = 1 − P (S = 0) − P (S = 1) − P (S = 2)

≈ 1 − e−1/10 − e−1/10(1/10)

1!− e−1/10(1/10)2

2!

Por tanto,

P (S > 2|S > 0) ≈ 1 − e−1/10 − e−1/10(1/10)1! − e−1/10(1/10)2

2!

1 − e−1/10

= 1 − e−1/10(1/10) + 12e−1/10(1/10)2

1 − e−1/10

Problema 15. Un canal de transmision esta formado por un emisor de dıgitosbinarios y un receptor. La probabilidad de error en la transmision de cada dıgitoes p = 10−2. El error se produce con independencia de lo sucedido en los dıgitosemitidos anteriormente.

a) Si se emite un mensaje con 10 dıgitos, ¿cual es la funcion de masa dela variable aleatoria X = “numero de dıgitos que se reciben con error”?Calcular E X.


b) Si se emiten dıgitos consecutivamente, ¿cual es la funcion de masa de lavariable aleatoria Y = “numero de dıgitos que se transmiten hasta que seproduce el primer error”? Calcular E Y .

Solucion

a) La variable aleatoria modelo para la transmision de un dıgito es la Bernoul-li de parametro p = 10−2. Por la hipotesis de independencia, la variableX que contabiliza el numero de transmisiones erroneas en un bloque de10 bits sera una Binomial de parametros n = 10 y p = 10−2.

La funcion de masa de una variable aleatoria X Binomial de parametros(n, p) viene dada por

P (X = x) =

(

n

x

)

px(1 − p)n−x : x = 0, 1, . . . , n

En este caso, con los parametros dados por el enunciado, se obtiene que

P (X = x) =

(

10

x

)

(1/100)x(1 − 1/100)10−x : x = 0, 1, . . . , 10

Se sabe que la media de la distribucion binomial es EX = np. Para lasituacion del enunciado, se tiene que EX = 10 · (1/100) = 1/10

b) La variable aleatoria Y cuenta el numero de dıgitos que se transmiten hastaque se produce el primer error. Tomara el valor Y = 0 si el primer dıgito setransmitio erroneamente, lo cual ocurre con probabilidad 10−2; tomara elvalor Y = 1 si el primero se transmitio correctamente y el segundo no,suceso que tiene probabilidad (1−10−2) ·10−2 (por la independencia en latransmision de cada dıgito); el valor Y = 2 si el primer error ocurre en latransmision del tercer dıgito, lo cual tiene probabilidad (1− 10−2)2 · 10−2.En general, funcion de masa de la variable Y vendra dada por

P (Y = y) = (1 − 10−2)y · 10−2 : y = 0, 1, 2, . . .

La distribucion anterior se conoce con el nombre de geometrica de parametrop = 10−2. La funcion de masa de una geometrica de parametro p vienedada por

P (Y = y) = (1 − p)y · p : y = 0, 1, 2, . . .

A partir de la funcion de masa anterior, se puede obtener que la media de

la distribucion es EY =1 − p

p. Para el caso que nos ocupa, la esperanza

sera:


EY 1 − 1/100

1/100=

99/100

1/100= 99.

Las tres distribuciones que aparecen en este problema son el objeto de lassecciones 2, 3 y 4 del capıtulo 6 del texto base.

estadistica - soluciones a los problemas propuestos de estadistica descriptiva y probabilidad

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