estadistica y probabilidad- descripcion

7/18/2019 estadistica y probabilidad- descripcion

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Estadística Muestreo

Frecuencias Distribución de frecuencias

Representación graca e interpretación

Media aritmética

Media

Moda

Mediana

Geométrica

Media armónica

Rango

Desviación media

Desviación típica

Varianza

Sesgo

puntamientos

Momentos

!oeciente de corre"ación

Recta de regresión

Error est#ndar de estimación



Muestreo

!oncepto

Es el procedimiento mediante el cuál seleccionamosuna muestra representativa de la población, objeto

de estudio.



Características

El investigador tienen que resolver el diseño y laelección de la muestra. Las dos acciones estánrelacionadas ya que dependiendo del diseño que utilice

el investigados así de será la elección de los sujetos deestudio.

Conceptos básicos: universo, población, muestra,elemento o individuo muestra!

"us etapas son: preparación, muestreo, muestra

individual, muestra participante y muestra real.



Etapas de muestreo

$reparación% En esta se dene e" universo & "a pob"ación a partir

de "a cua" se va e'traer "a muestra Muestreo% se determina "a técnica mas apropiada en función de"

prob"ema( "as )ipótesis & e" dise*o & a "o "argo de" proceso dedatos nos referimos a%

muestras invitada% son "os su+etos de "a pob"ación a ,uienes "e "esinvita a participar

Muestra participante - Son "os su+etos ,ue aceptan formar partede" estudio-

Muestra real- Es "a muestra productora de "os datos ,ue servir#npara e" an#"isis na"- .a diferencia entre "a muestra invitada & "amuestra rea" rara vez aparece especicado en "os informes de

investigación-



#ormula

$ara ca"cu"ar e" tama*o de "a muestra sue"euti"izarse "a siguiente fórmu"a%

Donde%



Ejemplo y uso en la vida

/n co"egio tiene 012 a"umnos de bac)i""erato- Se,uiere e'trear una muestra de 32 a"umnos-

Se enumeran "os a"umnos de" 0 a" 012

Se ca"cu"a e" interva"o constante de cadaindividuo 4 567 pob"ación8n6muestra74 01283249

Sorteando un numero de" 0 a" 9 supongamos ,uesa"e e" numero 3 e" primer a"umno se obtendríasumando 3 )asta tener 32 a"umnos( "os a"umnosse"eccionados para "a muestra serian "os ,uecorresponder#n a "os n:meros 3(;(<(01(0=(0>(10?etc-



#recuencias

E" mane+o de "a información de datos de ta" forma,ue permita obtener una forma mas f#ci" "aobtención de conc"usiones acerca de "a muestra &

se ordenan "os datos de acuerdo a ciertascaracterísticas-

E" mane+o de datos nos permite e" mane+o detab"as sobre todo cuando e" n:mero de datos noes mu& reducido-



Características

En caso de los valores pueden ser representadas porvariables con nombre $i! y el numero de veces en queun dato se representara mediante %recuencias.

#recuencia absoluta, relativas la representación de estatabla se conoce como tabla estadística cuya %unción esla determinar la %recuencia de cada clase.



#ormula

La frecuencia absoluta acumulada Fi: &ara un determinado valorse considera como la %recuencia de cada dato x i mas la suma de losvalores anteriores a dic(a suma.

#i)*ni donde son el numero de datos acumulados de las clases anteriores

La frecuencia relativa hi : es el cociente hi =f i/N , en algunasocasiones se representa como ni+, donde N es el n-mero total dedatos, corresponde a la suma de todas la %recuencias individuales

de cada clase, y ni o f i los datos en cada clase. Las %recuenciasrelativas representan el porciento de veces en que ocurre un dato.Como veremos en teoría de probabilidades, el concepto de%recuencia relativa nos conduce a un concepto de probabilidad.



Ejemplo

ariable X i! #recuencia f(x i)

el n-meroveces ni que se

repite X i !

#recuenciarelativa f(x i)/N= ni+

$/ f(X 1 )= n1 f(X 1 )/N= n1+

$0 f(X 2)= n2 f(X 2)/N= n2+

$1 f(X 3 )= n3 f(X 3)/N= n3+

2..

X n-1 f(X 3 )= n-1 f(X 1 )/N= n-1+

X n f(X 3 )= nn f(X 1 )/N= nn+



3so en la vida



4istribución de%recuencias

.a distribución de frecuencia es una disposición

tabu"ar de datos estadísticos( ordenados ascendente odescendentemente( de acuerdo a "a frecuencia decada dato-



Características FRECUENCIA ABSOLUTA (f i): Es e" n:mero de veces ,ue serepite un determinado va"or de "a variab"e 6' i7- Se designa porf i- $R@$AEDD: "a suma de todas "as frecuencias abso"utas es

igua" a" tota" de observaciones 6n7-

FRECUENCIA ACUMULADA (Fi).as frecuencias acumu"adasde una distribución de frecuencias son a,ue""as ,ue seobtienen de "as sumas sucesivas de "as ,ue integran cadauna de "as "as de una distribución de frecuencia

FRECUENCIA RELATIVA (hi): Es a,ue""a ,ue resu"ta de dividircada una de "as frecuencias abso"utas entre e" n:mero tota" dedatos- .as frecuencias re"ativas se designan con "as "etras ) i-

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (Hi): Es a,ue""a ,ueresu"ta de dividir cada una de "as frecuencias acumu"adasentre n:mero tota" de datos- Se designa con "as "etras B i



#ormulas



Ejemplo El gobierno desea averiguar si el n-mero medio de (ijos por %amilia

(a descendido respecto de la d5cada anterior. &ara ello (aencuestado a 67 %amilias respecto al n-mero de (ijos, y (aobtenido los siguientes datos: 7 7 / / / / 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 8 8 8 8 8 8 6 9



Ejemplo,

en la vida

&ara construir la tabla de %recuencias (ay que tener en cuenta quela variable en estudio es el n-mero de (ijos discreta!, que tomalos valores e$istentes entre 7 y 9 (ijos y las %recuencias son elconjunto de %amilias, de esta %orma tenemos:

En la columna de las %i: 080/)0; ó en la columna de las #i: #0= 0; En la columna de las %i: 0//6)19 ó en la columna de las #i: 80<9)19

En la columna de las (j: 7./07.707.70)7./9, que supone un /9= óen la columna de las >i: /<7.?8)7./9, /9=



@epresentación gra%ica y

interpretación Determinar cómo se van a obtener "os datos &

se"eccionar "a muestra dentro de "a pob"ación-

.a població es e" con+unto fuente para

conseguir "a información re,uerida-

.a !"#$%&a es e" subcon+unto nito de "apob"ación- Debe ser representativa de "acaracterística ,ue se desea estudiar-

R#copilació 'a%o$%

E+ecución en terreno( se ap"ican .S E5!/ESS o"as entrevistas para obtener "os datos so"icitados-

En e" e+emp"o( se pregunta a cada integrante de "amuestra !u#ntas personas conforman su n:c"eofami"iar



Características

Procesamiento de la información: Esta %ase consta de trespartes.

Organización de los datos: "e ordena la in%ormación

Presentación de los datos: &uede (acerse mediante tablaso grá%icos.

Análisis e interpretación de los datos: Es donde se llega aconclusiones sobre la investigación y con los resultados sepueden realiAar pronósticos, (acer valoraciones y tomardecisiones.



#ormula y ejemplo Si e" precio de un via+e en ta'i "o ca"cu"amos mediante"a #c"ació (# ) **+ , 'i$%acia (# -!) .

/01 construir una tab"a para recorridos de *0 20 10 30 40 /+0/* 6 /2 -!7

La %abla 8"#'a&9 a$:



3so en la vida diaria

.a representación de gracas & interpretación de"a información nos a&uda en una gran cantidadcuando tenemos gran cantidad de datos un

e+emp"o ,ue "o usamos en "a vida viaria seria e"de" aumento a "as bebidascarbonatadas6refrescos7 & ese pe,ue*o impuesto"o recibe e" gobierno ,ue consta de mi""ones depesos por cada cocaco"a vendida con toda esacantidad de información se pueden )acer gracas

,ue informen a "os empresarios de cocaco"acomo se vende su producto con e" impuesto-



Bedia ritm5tica

.a media aritmética o promedio destaca porrepresentar e" reparto e,uitativo( e" e,ui"ibrio( "ae,uidad- Es e" va"or ,ue tendrían "os datos( si

todos e""os fueran igua"es- @( también( e" va"or,ue correspondería a cada uno de "os datos de "adistribución si su suma tota" se repartiera porigua"-



Características

.as características es "a división particu"ar de "osdatos



#ormula



Ejemplo

&ara dos n-meros a b la media seria a b+0

&ara tres n-meros a b c la media seria a b c+1



3so en la vida

4 + 2 + 6 =

12 = 4

3 3

José cosechó del árbol 4 peras, Catalina 2 peras, y María 6 !os ni"os #$ntaron s$s

%r$tas y se las repartieron en %or&a i'$alitaria (C$ántas peras obt$)o cada $no*

Solución. Calc$le&os la &edia arit&ética Resultado: Cada $no obt$)o 4 peras



Bediana Estadistica

La !#'iaa #$%a'$%ica #$ #l ;!#&o c#%&al'# " <&"po '# ;!#&o$ o&'#a'o$ po&%a!a=o7 Si la ca%i'a' '# %>&!io$ #$ pa&0 la

!#'iaa #$ #l p&o!#'io '# lo$ 'o$ ;!#&o$c#%&al#$



Caracteristicas

O&'#a lo$ ;!#&o$ $#<; $" %a!a=o

Si la ca%i'a' '# %>&!io$ #$ i!pa&0 la!#'iaa #$ #l ?alo& c#%&al7

Si la ca%i'a' '# %>&!io$ #$ pa&0 $"!a lo$'o$ %>&!io$ '#l !#'io 6 'i?i'# po& *7



Ejemplo



3so en la vida

3n ejemplo seria si tenemos un numero %inito deempleados de ciertas edades y queremos saber cual esla mediana de ellas para esto tomaremos los registro o

juntar a las personas y acomodarlos de mayor a menordespues dividiremos el valor total y el numero que nossalga será el numero de personas que tiene la edadmediana de la empresa así podemos saber de queedades contratamos a las personas



Boda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

"e representa por o. "e puede (allar la moda para variables

cualitativas y cuantitativas.

!allar la moda de la distribución:

0, 1, 1, 8, 8, 8, 6, 6 o " #

"i en un grupo (ay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa %recuenciaes la má$ima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

/, /, /, 8, 8, 6, 6, 6, ;, ?, D, D, D o" $% &% '

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no (ay moda.

0, 0, 1, 1, 9, 9, D, D"i dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia má(ima, la moda esel promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

7, /, 1, 1, 6, 6, ;, ? o " #



Características Li es e" "ímite inferior de "a c"ase moda"-

f i es "a frecuencia abso"uta de "a c"ase moda"-

f i@@/ es "a frecuencia abso"uta inmediatamente inferior a "ac"ase moda"-

f i@./ es "a frecuencia abso"uta inmediatamente posterior a "ac"ase moda"-

ai es "a amp"itud de "a c"ase-

ambién se uti"iza otra fó&!"la de "a !o'a ,ue daun ?alo& ap&oi!a'o de ésta%

Calc"la& "a !o'a de una distribuci n estad stica ,ue viene



Ejemplo

Calc"la& !o'a ,dada por "a siguiente tab"a%



Los intervalos tienen amplitudesdistintas

En primer "ugar tenemos ,ue )a""ar "as a"turas-

.a c"ase moda" es "a ,ue tiene ma&or a"tura-

.a fó&!"la de "a !o'a ap&oi!a'a cuando e'isten distintas amp"itudes es%

En la siguiente tabla se muestra las cali%icaciones suspenso,




En la siguiente tabla se muestra las cali%icaciones suspenso,aprobado, notable y sobresaliente! obtenidas por un grupo de 67alumnos. )alcular la moda.



Bedia geom5trica

En matem#ticas & estadística( "a !#'ia<#o!>%&ica de una cantidad arbitraria den:meros 6por decir n n:meros7 es "a raíz nésima

de" producto de todos "os n:meros( esrecomendada para datos de progresióngeométrica( para promediar razones( interéscompuesto & n:meros índices-



caracteristicas

odos "os e"ementos de" con+unto tienen ,ue serma&ores ,ue cero- Si a"g:n e"emento fuese cero6Hi427( entonces "a MG sería 2 aun,ue todos "os

dem#s va"ores estuviesen a"e+ados de" cero .a !#'ia <#o!>%&ica es :ti" para ca"cu"ar

medias de porcenta+es( tantos por uno(puntuaciones o índices- iene "a venta+a de ,ueno es tan sensib"e como "a media a "os va"orese'tremos



Ejemplo

&or ejemplo, la media geom5trica de 0 y /? es.

tro ejemplo, la media de /, 1 y D sería



En una empresa ,uieren saber "a p&opo&ció !#'ia'# !"#&#$ en "os diferentes departamentos- $arae""o( se recoge e" porcenta+e de mu+eres en "os cinco

principa"es departamentos.



!omo es "a media de porcenta+es( ca"cu"amos "a !#'ia<#o!>%&ica ,ue es m#s representativa-



Bedia armónica

.a !#'ia a&!óica , denominada H( de unacantidad nita de n:meros es igua" a" recíproco( oinverso( de "a media aritmética de "os recíprocos de

dic)os va"ores & es recomendada para promediarve"ocidades-

sí( dados n n:meros x 1, x 2, ... , x n "a media armónica

ser# igua" a%

La media armónica resulta poco in%luida por la e$istencia

de determinados valores muc(o más grandes que elconjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valoresmuc(o más pequeños que el conjunto.

La media armónica no está de%inida en el caso de quee$ista alg-n valor nulo.



Características

.a inversa de "a media armónica es "a mediaaritmética de "os inversos de "os va"ores de "avariab"e-

Siempre se puede pasar de una media armónica auna media aritmética transformando adecuadamente"os datos-

.a media armónica siempre es me+or o igua" ,ue"a media arménica &a ,ue para cua"es ,uiera

n:meros positivos

HAI2



Ejemplo

.a !#'ia a&!óica no tiene un uso mu& e'tenso ene" mundo cientíco- Sue"e uti"izarse principa"mentepara ca"cu"ar "a media de ve"ocidades( tiempos o en

e"ectrónica-E+emp"o%

/n tren rea"iza un tra&ecto de 922Jm- .a vía tiene enma" estado ,ue no permitían correr- .os primeros 022Jm "os recorre a 012Jm8)( "os siguientes 022Jm "a

vía est# en ma" estado & va a 12Jm8)( "os terceros a022Jm8) & "os 022 :"timos a 032Jm8)- $ara ca"cu"are" promedio de ve"ocidades( ca"cu"amos "a !#'iaa&!óica-




Supóngase ,ue una fami"ia rea"iza un via+e enautomóvi" a un ciudad & cubre "os primeros 022 Jm a;2 Jm8)( "os siguientes 022 Jm a K2 Jm8) & "os

:"timos 022 Jm a >2 Jm8)- !a"cu"ar( en esascondiciones( "a ve"ocidad media rea"izada



@ango

En estadística( e" rango representa "a diferenciaentre e" va"or m#'imo & e" va"or mínimo de uncon+unto de datos- E" rango nos muestra ,ué tan

distribuidos est#n "os va"ores en una serie- Si e"rango es un n:mero mu& a"to( entonces "osva"ores de "a serie est#n bastante distribuidosL encambio( si se trata de un n:mero pe,ue*o( ,uieredecir ,ue "os va"ores de "a serie est#n mu& cercaentre sí-



Donde "a notación x 6i7 indica ,ue se trata de"

e"emento iésimo de "a serie de datos- De

este modo( e" rango sería "a diferencia entree" va"or m#'imo 6k 7 & e" mínimoL o( "o ,ue es"o mismo%



&or ejemplo, para una serie de datos de caráctercuantitativo, como lo es la estatura medida encentímetros, tendríamos:

es posible ordenar los datos como sigue.

R = 185-155 = 30



4E"FCF BE4F

La desviación media es una medida de dispersión, unamedida de cómo los valores individuales de el conjuntopueden di%erir de la media. El valor absoluto se usa

para evitar que las desviaciones de signo contrario secancelan mutuamente.



C@CGE@F"GFC" E" criterio ,ue guía esta estadística( radica en e" uso de diferencias de

cada dato respecto a "a mediana muestra" m.

Si estas diferencias son mu& grandes( entonces estamos ante un casode gran variabi"idad( & si son pe,ue*as se espera ,ue "a variabi"idad

sea pe,ue*a- 5atura"mente ,ue e" criterio ,ue parece m#s apropiado es agrupar "as

discrepancias individua"es & tratar"as en con+unto-

/n agrupamiento natura" sería una suma de e""as( pero e" só"o uso de"as diferencias no garantiza ,ue se pueda medir discrepancias por,uea"gunas 6pr#cticamente "a mitad7 ser#n menores ,ue "a mediana( con

diferencias negativas( & e" resto ma&ores ,ue "a mediana( condiferencias positivas( & a" sumar dic)os va"ores )abríacompensaciones entre va"ores negativos & positivos-

$or "o tanto( una sa"ida a esta dicu"tad es considerar e" va"or abso"utode "a diferencias ca"cu"adas & promediar"os-



#@B3L"

Esta ca"cu"adora uti"iza "a formu"a siguiente para ca"cu"ar "adesviación media%

Donde n es e" n:mero de va"ores observados( 'bar( "a mediade "os va"ores observados( & 'i son "os va"ores individua"es-

Donde ! representa "a mediana de "os datos



EHEB&L



Ejemplo de la vida diaria

$ara ana"izar "a variabi"idad de "as variab"es deuso diario( depende de "a vida de "a persona( unapersona puede saber "a variabi"diad de" tiempo

,ue tarda en ""egar de su casa a" traba+o &viceversa-.a variabi"idad de "os punta+es de e,uipos def:tbo"( "as carreras anotadas por un e,uipo debeisbo"( "a variación de su peso en un mes( en unna*o( etc-



4E"FCF GF&FC

$ara un con+unto de e"ementos numéricos '0( '1('3('9?'5- .a desviación típica se dene como "araíz cuadrad de" cuadrado de "a media de "osdatos agrupados de "as desviaciones respecto a "amedida arrítmica( es decir( es "a raiz cuadrad de"a varianza.



C@CGE@F"GFC"

.a '#$?iació %pica es "a &a c"a'&a'a '# la?a&iaa-

Es decir( "a raíz cuadrada de "a media de "os

cuadrados de "as puntuaciones de desviación- .a '#$?iació %pica se representa por



#ormulas



@FI

En teoría de probabi"idad( "a ?a&iaa 6,ue sue"erepresentarse como 7 de una variab"e a"eatoria esuna medida de dispersión denida como "aesperanza de" cuadrado de "a desviación de dic)avariab"e respecto a su media-

Est# medida en unidades distintas de "as de "avariab"e- $or e+emp"o( si "a variab"e mide unadistancia en metros( "a varianza se e'presa enmetros a" cuadrado- .a desviación est#ndar es "a

raíz cuadrada de "a varianza( es una medida dedispersión a"ternativa e'presada en "as mismasunidades de "os datos de "a variab"e ob+eto deestudio- .a varianza tiene como va"or mínimo 2-

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Medida_de_dispersi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar

http://es.wikipedia.org/wiki/Desviaci%C3%B3n_est%C3%A1ndar

http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Medida_de_dispersi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoria

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidad



C@CGE@F"C"

&opi#'a'#$ '# la ?a&iaa

Dos propiedades importantes de "a varianza son%

.a varianza de una constante es cero

@tra propiedad importante es ,ue si se tiene "avarianza de un con+unto de datos & a cadaobservación se mu"tip"ica por una constante (entonces "a nueva varianza de "os datos seobtiene mu"tip"icando a "a varianza de "os datos

por



#@B3L"

Su formu"a matem#tica para e" caso de datosreferentes a una muestra es%

• para e" caso de datos de unapob"ación es dada por



Ejemplo



ida diaria

&ara analiAar la variabilidad de las variables de usodiario, depende de la vida de la persona, una personapuede saber la variabildiad del tiempo que tarda enllegar de su casa al trabajo y viceversa.La variabilidad de los puntajes de equipos de %-tbol, lascarreras anotadas por un equipo de beisbol, la variaciónde su peso en un mes, en unn año, etc.



"esgo

S#$<o proviene de $#$<a&( un verbo ,ue )acereferencia a torcer o atravesar a"go )acia uno desus la'o$- E" término( por "o tanto( se uti"iza para)ab"ar de al<o %o&ci'o0 co&%a'o o 8"# $# $i%;a'# fo&!a oblic"a-

E" $#$<o #$%a'$%ico es un error ,ue se detectaen "os resu"tados de un estudio & ,ue se debe afactores en "a reco"ección( an#"isis( interpretacióno revisión de "os 'a%o$-

http://definicion.de/lado

http://definicion.de/datos

http://definicion.de/datos

http://definicion.de/lado



Caracteristicas

eva":a e" grado de distorsión o inc"inación ,ueadopta "a distribución de "os datos respecto a suva"or promedio tomado como centro de gravedad



#ormula

El coe%iciente de asimetría de &earson es:



Ejemplo

En el ejemplo sobre los gastos diarios en periódicos el&romedio es ;.?; le Bediana es ;.?7 y la desviaciónestándar /.0D1, por tanto el sesgo es ligeramentepositivo 7./9



En la vida viaria

!uando se ,uiere medir e" díametro de "ostorni""os de una producción( "a gr#ca de""ado iz,uierdo puede representar "as

mediciones con un instrumento ma"ca"ibrado( ,ue siempre mide por deba+o de"va"or rea"- .a gr#ca de" "ado derec)o puedeobtenerse con otro instrumento ma"ca"ibrado( ,ue siempre mide por encima de"

va"or rea"- .a gr#ca de" centro presenta "adistribución de "os va"ores rea"es de "osdi#metros en toda "a producción-



puntamiento

Es una característica importante en "a variaciónde a"gunas distribuciones especia"mente en "o,uese reere a" grado de agudeza de una curvade frecuencia- Esta agudeza ,ue se observa en "aregión de "a moda( comparada con "as condiciones)a""adas para e" mismo sitio en "a curva norma"(es"o ,ue se ""ama apuntamiento o curtosis



Características



#ormula



Ejemplo



Bomentos

Son formu"aciones matem#ticas( ,ue se denencomo par#metros estadísticos(a"gunos de e""oscua"es tienen amp"ia connotación dentro de"estudio de curvasde distribución de frecuencias &m#s especícamente respecto de" sesgo & de "acurtosis-



Caracteristicas

.os momentos son una forma de genera"izar toda"a teoría re"ativa a "os par#metros estadísticos &guardan re"ación con una buena parte dee""os-Dada una distribución de datosestadísticos x 0( x 1( ---( x n( se dene e" !o!#%oc#%&al o !o!#%o c#%&a'o de orden k como



#ormula

$ara variab"es continuas "a denición cambia sumasdiscretas por integra"es 6suma continua7( aun,ue "adenición es( esencia"mente( "a misma-De esta denición & "as propiedades de "os par#metrosimp"icados ,ue se )an visto m#s arriba( se deduce

inmediatamente ,ue%



Ejemplo




odos "os ob+etos & situaciones de "a vida diariason medib"es( es decir( se pueden medir en sutama*o o vo"umen( en su peso( en su e'tensión(en su duración o inc"usive en "os e,uiva"entes,ue "e )a&amos asignado a cada ob+eto osituación-

Estos e,uiva"entes "os +amos de acuerdo a "ascondiciones particu"ares & a veces de formaconvenciona" sin ,ue sea esa "a norma genera"-

.a medición contribu&e a ,ue podamos construirun principio de rea"idad de" mundo ,ue nosrodean en tanto podamos describir "os ob+etos o"as situaciones en va"ores-



Coe%iciente de correlacion

En una distribución bidimensional puede ocurrir que lasdos variables guarden alg-n tipo de relación entre si.

&or ejemplo, si se analiAa la estatura y el peso de los

alumnos de una clase es muy posible que e$ista relaciónentre ambas variables: mientras más alto sea elalumno, mayor será su peso.



Caracteristicas

Mide e" grado de intensidad de esta posib"e re"ación entre"as variab"es- Este coeciente se ap"ica cuando "a re"ación,ue puede e'istir entre "as variab"es es "inea" 6es decir( sirepresent#ramos en un gr#co "os pares de va"ores de "as

dos variab"es "a nube de puntos se apro'imaría a unarecta7-

5o obstante( puede ,ue e'ista una re"ación ,ue no sea"inea"( sino e'ponencia"( parabó"ica( etc- En estos casos( e"coeciente de corre"ación "inea" mediría ma" "a intensidadde "a re"ación "as variab"es( por "o ,ue convendría uti"izarotro tipo de coeciente m#s apropiado-

$ara ver( por tanto( si se puede uti"izar e" coeciente decorre"ación "inea"( "o me+or es representar "os pares deva"ores en un gr#co & ver ,ue forma describen-



#ormula*umerador: se denomina covarianza y se calcula de la siguiente manera: encada par de valores $,y! se multiplica la J$J menos su media, por la JyJ menossu media. "e suma el resultado obtenido de todos los pares de valores y este

resultado se divide por el tamaño de la muestra.+enominador se calcula el producto de las varianAas de J$J y de JyJ, y a esteproducto se le calcula la raíA cuadrada.Los valores que puede tomar el coeficiente de correlación ,r, son: </ K r K /-i ,r, /, la correlación lineal es positiva si sube el valor de una variable subeel de la otra!. La correlación es tanto más %uerte cuanto más se apro$ime a /.

&or ejemplo: altura y peso: los alumnos más altos suelen pesar más.-i ,r, 0 /, la correlación lineal es negativa si sube el valor de una variabledisminuye el de la otra!. La correlación negativa es tanto más %uerte cuantomás se apro$ime a </.&or ejemplo: peso y velocidad: los alumnos más gordos suelen correr menos.-i ,r, " /, no e$iste correlación lineal entre las variables. unque podría e$istir

otro tipo de correlación parabólica, e$ponencial, etc.!



Ejemplo vamos a ca"cu"ar e" coeciente de corre"ación de "a

siguiente serie de datos de a"tura & peso de "osa"umnos de una c"ase%




El coe%iciente de correlación nos da una idea de que tan relacionadaslinealmente están dos variables. Es un n-mero que varía entre 7 y /."i el coe%iciente es 7.D, entonces es una buena correlación.Buc(a gente coincide en que un coe%iciente K 7.1 indica que las variablesno están correlacionadas.

/ es una correlación per%ecta.

"i tenemos una cantidad de mediciones, y creemos que están relacionadaslinealmente, entonces 5stas se ubicarán más o menos cerca de una recta,que llamamos la mejor recta que se ajusta a los datos.

En regresión lineal, un m5todo para encontrar esta mejor recta,obtendremos dos rectas distintas dependiendo de que valores utilicemos

para el eje de las abscisas y cuáles para las ordenadas. Gendremos dosposibles rectas. El coe%iciente tambi5n nos indica en cuánto di%ieren estasdos rectas."i el coe%iciente es /, entonces las rectas son paralelas."i el coe%iciente es 7, las rectas son perpendiculares.



@ectas de regrecion

bservando el diagrama de dispersión, podemosobtener una primera idea de si e$iste relación o noentre las variables estadísticas. Con el coe%iciente decorrelación podemos medir la correlación lineal, encaso de e$istir. amos a(ora a calcular las líneas quemejor se apro$imen a la nube de puntos. estas líneasse les llama l1neas de regresión.

La %unción que mejor se apro$ima a la nube de puntospuede ser lineal, de segundo grado, e$ponencial,

logarítmica, ... En este tema vamos a calcular-nicamente %unciones lineales, que vamos allamar rectas de regresión.



Caracteristicas

La %orma de obtener estas rectas es por el procedimientoconocido como el m5todo de los mínimos cuadrados.Muscamos una recta de ecuación y)m$n que sea la mejorapro$imación. Cada punto $i de la primera variable

tendrá, por una parte, el valor correspondiente a lasegunda variable yi, y por otra, su imagen por la recta deregresión y)m$in. Entre estos dos valores e$istirá unadi%erencia di)m$in<yi. amos a calcular la recta con lacondición de que la suma de los cuadrados de todas estasdi%erencias Nm$in<yi!0 sea mínima. 4erivando respectode m y de n y realiAando los cálculos matemáticosnecesarios, llegamos a la recta de regresión de O sobre P,que tiene por ecuación en la %orma punto<pendiente:



#ormula

!onsideremos un grupo de 9 personas para "as ,ue



Ejemplo !onsideremos un grupo de 9 personas para "as ,ue

conocemos sus puntuaciones en determinadasvariab"es H e ( seg:n se muestra en "as dosprimeras co"umnas de "a siguiente tab"a



3so en la vida Fmagina que queremos relacionar el tiempo que tarda un ordenador en (acer un cálculo como porejemplo cargar un juego. 4amos nombres de letras a los parametros medidos:

potencias de un ordenador en mega(ercios: $tiempo que tarda en cargar el juego: y

"uponte que tenemos 9 ordenadores, y entondos ellos cargarmos el juego y cronometramos cuantotarda en cargarlo. puntamos los resultados en la siguiente tabla:

$: /77B>A Q 077B>A Q 177B>A Q 877B>A Q 677B>A Q 977B>Ay: 17./ segQ 08.? seg Q 07.6 seg Q /6.1 seg Q D.? seg Q 6.0 seg

plicando la %órmula de J y ) mediay! R CovarianAa + arianAay! ! R $ < media$!! J La %ormula que

tendrás en los apuntes!

La covarianAa, varianAa y la media son %órmulas simples, sólo tienes que (acer las operaciones.>aciendo las operaciones obtienes la %órmula de la %orma J y ) m$ n J. Esa es la recta de regresión.

"i por ejemplo quisieras saber cuánto tardaría en cargarse el juego en el ordenador de ?77 m(A,bastaría con sustituir la $ por ?77 y calculas la y.



Error estándar de estimación

El Error estándar es el t5rmino utiliAado para re%erirsea una estimación de la desviación estándar, derivado deuna muestra especial utiliAada para calcular laestimación en las estadísticas. En la más com-n, error

estándar es un proceso de estimación de la desviaciónestándar de la distribución de muestreo asociada con elm5todo de estimación



Caracteristicas

Cada estadística tiene un error estándar asociado. 3namedida de la precisión de la estadística puede deducirque el error estándar de 7 representa que la estadísticatiene ning-n error aleatorio y el más grande representa

menos preciso de las estadísticas. Error estándar no esconstantemente in%ormados y no siempre %áciles decalcular. Giempos de espera es uno de los ejemplo bienpara



#ormula

E" error est#ndar de "a media 6SEM7 es "adesviación est#ndar de "a estimación promedio demuestra de una media de "a pob"ación- .aca"cu"adora de Error est#ndar uti"iza "a fórmu"a

para ca"cu"ar ,ue e" error est#ndar de "a media esi-e-( "a desviación est#ndar dividida por "a raízcuadrada de" tama*o de "a muestraDondeSE'N 4 Error est#ndar de "a medias 4 Desviación est#ndar de "a median 4 5:mero de observaciones de "a muestra



Ejemplo




.a desviación est#ndar de una distribución( en e" muestreode un estadístico( es frecuentemente ""amada e" errorest#ndar de" estadístico- $or e+emp"o( "a desviación est#ndarde "as medias de todas "a muestras posib"es de" mismotama*o( e'traídas de una pob"ación( es ""amada e" errorest#ndar de "a media- De "a misma manera( "a desviaciónest#ndar de "as proporciones de todas "as muestras posib"esde" mismo tama*o( e'traídas de una pob"ación( es ""amadae" error est#ndar de "a proporción- .a diferencia entre "ostérminos Odesviación est#ndarO & Oerror de est#ndarO es ,ue"a primera se reere a "os va"ores origina"es( mientras ,ue "a:"tima est# re"acionada con va"ores ca"cu"ados- /nestadístico es un va"or ca"cu"ado( obtenido con "ose"ementos inc"uidos en una muestra-

Probabilidad



Probabilidad Operación con conjuntos

Diagrama de ven

Teorema del binomio

Diagrama de árbol

Eventos complementarios

Conceptos básicos Principio de la suma y la multiplicación

Permutación y combinación

Probabilidad condicional

Eventos independientes Teorema de bayes

Selecciones al azar con o sin remplazo

ó d



peración de conjuntos

C í i



Características

.a pa"abra con+unto "a asociamos con "a idea de agruparob+etos por e+emp"o un con+unto de discos( de p"antas decu"tivo( de "ibros & en otras pa"abras como parce"as(campos( fami"ia etc- es decir la palabra conjunto denota una

colección de elementos claramente entre sí, que guardanalguna característica en com-n. Oa sean n-meros, personas,%iguras, ideas y conceptos.

La característica esencial de un conjunto es la de estar biende%inido, es decir que dado un objeto particular, determinar sieste pertenece o no al conjunto. &or ejemplo si se considera elconjunto de los n-meros dígitos, sabemos que el 1 pertenece alconjunto, pero el /D no. &or otro lado el conjunto de las bellasobras musicales no es un conjunto bien de%inido, puesto quedi%erentes personas puedan incluir distintas obras en elconjunto.



!os ob#etos $e %or&an $n con#$nto son lla&ados miembros o elementos. -or ejemplo el conjunto de las letras de al%abetoS a, b, c, ..., $, y, A. que se puedeescribir así: T a, b, c, ..., $, y, AUComo se muestra el conjunto se escribe entre llaves TU! , o separados por comas,!.

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, sedenomina forma tabular% e(tensión o enumeración de los elementos.

+os con2untos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:El conjunto T a, b, c U tambi5n puede escribirse:T a, c, b U, T b, a, c U, T b, c, a U, T c, a, b U, T c, b, a U

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:El conjunto T b, b, b, d, d U simplemente será T b, d U.



BEBM@E"F

Los conjuntos se denotan por letras may-sculas : , M, C,... por ejemplo:

)T a, c, b U

M)T primavera, verano, otoño, invierno U

El símbolo V indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. &or elcontrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de re%erencia,bastará cancelarlo con una raya inclinada + quedando el símbolo como W .

Ejemplo:

"ea M)T a, e, i, o, u U, a V M y c W M

"3MCH3G



"3MCH3G

"ean los conjuntos )T 7, /, 0, 1, 6, ? U y M)T /, 0, 6 U

En este caso decimos que M esta contenido en , o que M essubconjunto de . En general si y M son dos conjuntoscualesquiera, decimos que M es un subconjunto de si todo

elemento de M lo es de tambi5n.

&or lo tanto si M es un subconjunto de se escribe M X . "i M no essubconjunto de se indicará con una diagonal Y .

ote que V se utiliAa solo para elementos de un conjunto y X solopara conjuntos.

3FE@" CH3G 3FE@"L



El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se (ace re%erencia recibe elnombre de conjunto 3niversal, este conjunto depende del problema que se estudia, sedenota con la letra 3 y algunas veces con la letra " espacio muestra!.

&or ejemplo si solo queremos re%erirnos a los 6 primeros n-meros naturales el conjuntoqueda:

3)T /, 0, 1, 8, 6 U

#orma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de n-meros naturales enteros mayores que cero! representados por la letra donde

)T /, 0, 1, .... U

Conjunto de n-meros enteros positivos y negativos representados por la letra I donde

I)T..., <0, </, 7, /, 0, ... U

Conjunto de n-meros racionales n-meros que se representan como el cociente de



Conjunto de n-meros racionales n-meros que se representan como el cociente dedos n-meros enteros T%racciones U!. Estos n-meros se representan por una Z

Conjunto de n-meros irracionales n-meros que no puedan representarse como elcociente de dos n-meros enteros! representados por la letra F.

Conjunto de los n-meros reales que son los n-meros racionales e irracionales esdecir todos, representados por @.

Godos estos conjuntos tienen un n-mero in%inito de elementos, la %orma desimboliAarlos por e$tensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los

conjuntos a los que se (ace re%erencia tienen pocos elementos para poder trabajarcon ellos se emplean la notación llamada compre(ensión.

&or ejemplo, la denotar el conjunto de los n-meros naturales menores que 97.quí 3 es el conjunto y se tiene una propiedad que caracteriAa a los elementosdel conjunto: ser menores que 97.

&ara indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:

T $+$ V S $K97 U

En esta e$presión se maneja un conjunto de $ que pertenece a los n-meros



En esta e$presión se maneja un conjunto de $ que pertenece a los n-merosnaturales ! y además que los valores de $ son menores que 97.

(ora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos puedenser representados por medio de una e$presión algebraicaS supongamos que sedesea e$presar los n-meros enteros I! entre <07 y 17 el conjunto quedaría de lamanera siguiente:

T $+$ V I S <07 * $ * 17 U

Gambi5n se puede e$presar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o nopertenencia a uno di%erente, por ejemplo

L)T /, 1, 8, 9, D U

&)T $+$ V S P W L U

En el conjunto & se indica que los elementos $ de un conjunto pertenecen a losn-meros naturales y además $ no pertenece al conjunto L.

# l



#ormulas

3F

La unión de dos conjuntos y M la denotaremos por [ M y es elconjunto %ormado por los elementos que pertenecen al menos auno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

[ M ) T $+$ V ó $ V M U

Ejemplo: "ean los conjuntos )T /, 1, 6, ;, D U y M)T /7, //, /0 U

[ M )T /, 1, 6, ;, D, /7, //, /0 U

FGE@"ECCF



FGE@"ECCF

"ean )T /, 0, 1, 8, 6, 9, ?, D U y M)T 0, 8, ?, /0 U

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: T 0, 8, ? U. este conjunto se lellama intersección de y MS y se denota por \ M, algebraicamente se escribe así:

\ M ) T $+$ V y $ V M U

O se lee el conjunto de elementos $ que están en y están en M.

Ejemplo:

"ean Z)T a, n, p, y, q, s, r, o, b, ] U y &)T l, u, a, o, s, r, b, v, y, A U

Z \ &)T a, b, o, r, s, y U

CH3G CF



CH3G CF

3n conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto

nulo lo que denotamos por el símbolo ^ .

&or ejemplo:

"ean )T 0, 8, 9 U y M)T /, 1, 6, ; U encontrar \ M.

\ M) T U

El resultado de \ M) T U muestra que no (ay elementos entre las llaves, si

este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representarcomo:

\ M)^

CH3G" HE"



CH3G" HE"

"í la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío,entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, esdecir:

"i \ M ) ^ entonces y M son ajenos.

CB&LEBEG



CB&LEBEG

El complemento de un conjunto respecto al universo 3 es el conjunto de

elementos de 3 que no pertenecen a y se denota como _ y que se representapor compre(ensión como:

_)T $ V 3+$ y $ W U

Ejemplo:

"ea 3 ) T /, 0, 1, 8, 6, 9, ;, ?, D U

) T /, 1, 6, ;, D U donde X 3

El complemento de estará dado por:

_) T 0, 8, 9, ? U

4F#E@ECF



"ean y M dos conjuntos. La di%erencia de y M se denota por <M y es el conjunto de los elementos de que no están en M y se representa por compre(ensión como:

< M)T $+$ V S P W M U

Ejemplo:

"ea ) T a, b, c, d U y

M) T a, b, c, g, (, i U

< M) T d U

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto que no est5n en M. "ila operación %uera M < el resultado es

M ` ) T g, (, i U

E indica los elementos que están en M y no en

Ejemplo



Ejemplo

sí, por ejemplo, si ) T a, b, c, d, e U y M ) T a, e, i,o U, entonces la di%erencia de dic(os conjuntos estará%ormada por todos los elementos que est5n solamenteen , esto es:

` M ) T b, c, d U





La teoría de conjuntos para nuestra vida diaria tienedemasiados ejemplos desde un salón de clases en dondetenemos una cantidad %inita de alumnos (asta en laeconomía mundial donde se generan muc(os productos

divididos es electrónicos, cosas para el (ogar etc.,donde todos ellos son un subconjunto del universo de(erramientas o utensilios para el uso diario a si mismodesde la primaria no (acen contar con manAanas queson un conjunto de%inido que cuando queremossumarlas con las perras no es posible por que son doscosas distintas la vida diaria esta llena de este tematanto subi5ndote al camión que es un subconjunto detodas las unidades de transporte publico etc.

4iagramas de venn



4iagramas de venn

Caracteristicas



Caracteristicas

Los diagramas de enn que de deben al %ilóso%o ingl5sHo(n enn /?18</??1! sirven para encontrar relacionesentre conjuntos de manera grá%ica mediante dibujos ódiagramas. La manera de representar el conjunto

3niversal es un rectángulo, ó bien la (oja de papel conque se trabaje.

La manera mas %ácil de comprender las ideas de la teriade conjuntos es por medio de los 4iagramas de venn.

4ic(os grá%icos nos ayudan a relacionar entre los

conjuntos a la igualdad, las operaciones de unión,intersección, di%erencia y complemento.

En los diagramas de enn, los conjuntos se representanmediante óvulos, círculos o nubes y el punto de re%erencias

l j t i l 3 t



es el conjunto universal 3 que se representa por unrectángulo.

Con los conjuntos y M contenidos en el conjuntouniversal 3, por medio de los diagramas de enn sepueden determinar las siguientes relaciones

En este diagrama se representa la igualdad entre y MStambi5n se establece que el conjunto es un subconjuntodel conjunto M o viceversa.



j

&or lo tanto ) MS c M ó M c

En este diagrama el conjunto representa a un subconjuntopropio del conjunto M, es decir, todos los elementos de

están contenidos en M, mientras que M tiene por lo menosun elemento no contenido en .

En este diagrama los conjuntos y M tienen en com-nalgunos, pero no todos los elementos, es decir,



representan la intersección entre y M.

&or lo tanto n M

En este conjunto y M no tienen ning-n elemento en

com-n, es decir, representan a dos conjuntos disjuntos endonde su intersección es el conjunto vacío.

&or lo tanto n M )

#ormulas L i i l i d j



Las principales operaciones entre dos conjuntos serepresentan por medio de los siguientes diagramas deenn. Las super%icies sombreadas en las siguientes

%iguras ilustra la intersección del conjunto con elconjunto M.

Las super%icies sombreadas en las siguientes %iguras,ilustran la intersección del conjunto con el conjunto M.



La super%icie sombreada en la siguiente %igura, ilustra ladi%erencia del conjunto con el conjunto M



di%erencia del conjunto con el conjunto M.

El complemento del conjunto se ontine sombreado lasuper%icie del conjunto universal 3 no contenida en , es

decir:

Ejemplo



Ejemplo En una escuela de idiomas (ay /07 alumnos de los

cuales 96 estudian alemán, 66 ejercitan su inglesS 17estudian a la veA alemán e ingles. plicando el diagramade enn determinarS

a! Los alumnos que solo estudian alemán

b! Los alumnos que solo estudian ingles

c! El n-mero de alumnos que estudian alemán o ingles

d! El numero de alumnos que no estudian de estos idiomas

&ara empeAar a analiAar por medio de un diagrama deenn, el conjunto universal será los /07 alumnosS el

j l di l á l M l di



conjunto el que estudian alemán y el M el que estudiaingles por la intersección de ambos conjuntos tenemosque 17 alumnos que estudian alemán a la misma veA que

ingles.Los alumnos que solo estudian alemán son:

!<nM!) 96<17) 16

Los alumnos que solo estudian ingles son:

M!< nnM!) 66<17)06El numero de alumos alemán o ingles son:

161706) D7

El numero de alumnos que no estudian ninguno de estos

idiomas son: 3<1606!)/07<D7)17

3so en la vida díaria



3so en la vida díaria &ues se me viene a la mente un problema de administración de

recursos (umanos, en donde tengas un grupo de personas dedi%erente genero, niveles de percepción, obligaciones laborales,antigedad y todas la s variables que te puedas imaginar. a partirde solo conocer algunas características de este grupo determinarel per%il completo de todo el grupo.

Lo mismo aplica para un proceso de producción en donde de un

grupo de di%erentes productos solo se conoce cierta in%ormaciónlimitada y se pide determinar optimiAaciones en los tiempos deproducción.

En ambos casos la lógica de conjunto y los di%erentes teoremasaplicados de manera correcta te ayudaran a de%inircompletamente todos los rasgos de la población.

34cnicas de conteo



Conceptos básicos

&rincipio de la suma y lamultiplicación

&ermutación y combinación

)onceptos básicos



)onceptos básicos

Fntroducción:

&ara determinar sin describir directamente el n-mero deresultado posible de un e$perimento en particular o el numerode elementos de un conjunto en especial, se requiere algunos

principios básicos que %aciliten el proceso, destacando. Eldiagrama de árbol, el principio %undamental del conteo, lanotación %actorial, teorema del binomio, triangulo de &ascal, laspermutaciones y las particiones.

4e otra manera podemos decir que permite determinar el

numero de elementos de un e$perimento, o el numero deorganiAar de n elementos sin tener que contarlos.

4iagrama de rbol



4iagrama de rbol

Es un gra%ico que ilustra cómo enumerar todos losresultados posibles de una serie de e$perimentos, endonde cada e$perimento puede suceder de un numero%inito de maneras

Ejemplo



Ejemplo

"i una dama tiene dos %aldas T%/,%0U y cuatro blusas decuantas maneras puede seleccionar una %alda y luegouna blusa

GraAando el diagrama tenemos: puede seleccionar una%alda y una blusa de ? maneras di%erentes

&rincipio %undamental del



&rincipio %undamental delconteo

"i una operación puede e%ectuarse independientementede n/ maneras di%erentes y si, continuando elprocedimiento, una segunda operación puedee%ectuarse independientemente de n0 maneras

di%erentes y si, despu5s de realiAadas, una terceraoperación puede e%ectuarse independientemente de n1maneras di%erentes y así sucesivamentepara un n-mero%inito arbitrario de operaciones!, entonces el n-merototal de maneras de las cuales pueden e%ectuarse todaslas operaciones en el orden es el producto n/n0n12.n/.

Ejemplo



Ejemplo

"i un (ombre tiene /6 camisas, // corbatas y Dpantalones de cuantas maneras puede escoger unacamisa, una corbata y luego un pantalón

"olución: El proceso completa tres pasos a e%ectuarseen %orma sucesiva, es decir para escoger una camisa sitiene /6 maneras di%erentes, para seleccionar unacorbata se tiene // maneras y para un pantalón se tieneD maneras distintas. plicando el principio %undamentaldel conteo tenemos que: /6! //! D! ) /8?6

combinaciones

otación %actorial



otación %actorial

El símbolo nf que se lee %actorial de n, representa elproducto de los n nuemros enteros consecutivos desde /(asta n inclusiveS matemáticamente se e$presa por:

f)nn</!n<0!n<1!2/

Es el desarrollo de cantantidades %actoriales, siempre esnecesario conocer las siguientes equivalencias que sede%ine por 7f)/ /f)/

Ejemplo

4etermina el DfDf)D!?!;!9!6!8!1!0!/!)190??7

"uma y resta de cantidades



"uma y resta de cantidades%actoriales &ara sumar y+o restar dos o más n-meros %actoriales, el

proceso consiste en seleccionar como %actor de laoperación al menor de los n-meros %actoriales dado y%inalmente que se realiAa la operación para determinarsu resultado.

Ejemplo"umar /9f/?f</Df

Considerando al /9f Como el menor de los n-meros%actoriales dados, tenemos que la %actoriAación de lae$presión es:

/9f/?f</Df) /9f/9f/;!/?!</9f/;!/?!/D!

"acando el %actor com-n nos quedaría

/9f///;!/?!<//;!/?!/D!h)/9f/179<6?/8!) </9f667;!

&or lo tanto el resultado es) </9f667;!

&icipio '# la $"!a 6 lal%i li ió



!"l%iplicació

&icipio '# la $"!a:

Supongamos ,ue un suceso E0 puede ocurrirde PmQ maneras & e" segundo suceso E1 puedeocurrir de PnQ maneras( & supongamos ,ue

ambos sucesos no pueden ocurrirsimu"t#neamente- Entonces E0 o E1 puedeocurrir de 6m n7 maneras- Este principio sepuede e'tender a tres o m#s sucesos-

Recordando e" "ema de teoría de con+untos

,ue dice- Supónganos ,ue & soncon+untos distintos- Entonces n6 7 4 n67 n67( este también es principio de "as suma-

"i seguimos todos los caminos posibles desdeel origen (asta cada una de las terminales,

d l % l i j



tendremos las %ormas en que los viajerospueden (ospedarse y que en este caso son seis

>/>0, >/>1, >0>/, >0>1, >1>/, >1>0!.

/na /niversidad tiene 3 cursos diferentes dematem#ticas 9 de ciencias & 1 de )umanidades



matem#ticas( 9 de ciencias & 1 de )umanidades-

T !uantas posibi"idades )a& de escoger uno de "os

cursosT !uantas posibi"idades )a& de escoger un curso decada tipo

En "a primer pregunta "os sucesos no pueden ocurrir demanera simu"tanea( &a ,ue e"egir uno de "os cursos(

e'c"u&e "os dem#s tipos de curso( por "o tanto por e"principio de reg"a de "a suma( tenemos% 3 9 1 4 <posibi"idades de escoger uno de "os cursos-

En "a segunda pregunta "os sucesos pueden ocurrir deforma simu"tanea( escoger un curso( por e+emp"o dematem#ticas( no e'c"u&e a "os otros tipos de curso( por

"o tanto( usando e" principio de mu"tip"icación 6ver e"arc)ivo anterior7( tenemos% 637 697 617 4 19posibi"idades de escoger un curso de cada tipo-

Aplicacio#$



E" principio de "a suma se encuentra sub&acente entoda prueba o enumeración donde se divida unconteo en casos separados-

E#!plo: Co%#o '# opcio#$

Bultiplicación de cantidades%actoriales



%actoriales La multiplicación se realiAa directamente al desarrollar

los %actoriales. Ejemplo: btener el producto de 8f! 1f! "olución

4esarrollando los %actoriales, datos tenemos que suproducto es:

8f! 1f! ) 8!1!0!/!h1! 0! /!h) 08!9!) /88La respuesta es /88

4ivisión de %actoriales



El proceso para dividir dos o más %actoriales, consisteen %actoriAar el numerador y+o el denominador ymediante la simpli%icación se obtiene el resultado.

btener el cociente de /Df+/;f

Ejemplo: Considerando al denominador /;f! como elmenor de los n-meros %actoriales dados, tenemos que%actoriAar el numerador y simpli%icar la e$presión,resultado.

/Df+/;f ) /D!/?!/;f+/;f ) 180

Formula



Cuando se tienen objetos, al escoger al aAar uno o más de ellos,interesa calcular la probabilidad de cada elección. Escoger al aAar unobjeto de los disponibles, signi%ica que cada uno tiene la mismaprobabilidad de ser elegido. Escoger al aAar dos objetos de los ,signi%ica que cada posible par de objetos, sin considerar el orden,tiene la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro parS sie$isten ] pares di%erentes, entonces la probabilidad es escoger nobjetos de los , signi%ica que cada posible conjunto de n objetos,

sin considerar el orden, tiene la misma probabilidad de ser elegidoque cualquier otra conjunto de n objetos. El análisis combinatorioestudia los procedimientos y estrategias para contar las posiblesagrupaciones de los elementos de un conjunto, permitiendodeterminar el n-mero de posibilidades lógicas que cabe esperar alrealiAar alg-n e$perimento, sin necesidad de enumerarlasS es una

%orma abreviada de contar que se resume en unas cuantas t5cnicasbasadas en procedimientos y %órmulas recurrentes.



E#!ploSALGN DE CLASE7 De cu#ntas maneras diferentes se pueden

sentar "os 52 a"umnos de" grupo de $robabi"idad en un sa"ón ,ue

dispone de 60 p"azasE" primer a"umno ,ue entra a" sa"ón puede escoger su "ugar de entre60 posib"es( e" segundo puede escoger "ugar de entre 59 posib"es(---& así( sucesivamente( )asta e" a"umno n:mero 52( ,ue puedeescoger "ugar de entre 9 posib"es-

Evidentemente( 8 de "os 60 "ugares ,uedar#n vacíosL se trata deca"cu"ar "as ordenaciones de 60 ob+etos de orden 52



Aplicacio#$ .as técnicas de conteo son a,ue""as ,ue son usadas

para enumerar eventos difíci"es de cuanticar-

Se "es denomina técnicas de conteo a% "ascombinaciones( permutaciones & diagrama de#rbo"( "as ,ue a continuación se e'p"icar#n & )a&,ue destacar ,ue éstas nos proporcionan "a

información de todas "as maneras posib"es en ,ueocurre un evento determinado-

Principio de la multiplicación



Principio de la multiplicación:

"upongamos que un suceso E/ puede ocurrir de mmaneras y el segundo suceso E0 puede ocurrir de nmaneras, sucesos independientes!. Entonces lascombinaciones de E/ y de E0 pueden ocurrir de m! n!maneras.

Este principio se puede e$tender a tres o más sucesos.@ecordando el teorema de teoría de conjuntos. "upónganosque y M son conjuntos %initos.

Entonces n M! ) n! nM!, este tambi5n es principio dela multiplicación.

Fo&!"la



&@FCF&F 4FGF.

"i se desea llevar a e%ecto una actividad, la cuál tiene%ormas alternativas para ser realiAada, donde la primerade esas alternativas puede ser realiAada de B maneras o%ormas, la segunda alternativa puede realiAarse de maneras o %ormas ..... y la -ltima de las alternativas

puede ser realiAada de k maneras o %ormas, entoncesesa actividad puede ser llevada a cabo de,

B ......... k maneras o %ormas

"i una operación se puede e%ectuar de n/ maneras y paracada una de ellas se puede e%ectuar una segunda operaciónde n0 maneras y así sucesivamente (asta la operación nr



de n0 maneras y así sucesivamente (asta la operación nr,entonces el n-mero de maneras en que el proceso puede

realiAarse será el producton/ n0...nr. El principio de multiplicación se puede representar

grá%icamente mediante el diagrama del árbol en la %ormasiguiente:

E#!plo



Dos via+eros ""egan a una ciudad en "a ,ue )a& 3)ote"es De cu#ntas maneras pueden )ospedarse

si cada uno debe estar en un )ote" diferente

So"ución-

E" primer via+ero puede se"eccionar cua",uiera de"os 3 )ote"es & e" segundo via+ero tendr# 1)ote"es para escoger( &a ,ue debe de estar enuno diferente( por "o ,ue e" n:mero de formas en,ue pueden )ospedarse "os 1 via+eros en "os 3)ote"es ser# 637 617 4 ;-

Si deseamos reso"ver este prob"ema mediante e"diagrama de" #rbo"( representamos "os )ote"es

como B0( B1 & B3- Entonces tendremos%

Georema del Minomio



El teorema del binomio es una %órmula por esto sellama tambi5n %órmula del binomio! con la cual sepuede escribir directamente los t5rminos del desarrollode una potencia entera y positiva de un binomio. &ara

%ormarnos una idea de la estructura del desarrollo de :&or multiplicación directa podemos obtener

4e acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar unaidea acerca de la ley que siguen en su %ormación:

"i el e$ponente del binomio es n, (ay n/ t5rminos en el



desarrollo.

&ara cada valor de n, el desarrollo de empieAa con y

termina con . En cada t5rmino los e$ponentes de a y bsuman n.

Las potencias de a disminuyen de / en / al pasar de cadat5rmino al siguiente. La b aparece por primera veA en elsegundo t5rmino con e$ponente / que aumenta de / en /.

El e$ponente de b siempre es una unidad menor que eln-mero de orden del t5rmino.

El primer coe%iciente es la unidad, el de cualquier otrot5rmino se obtiene multiplicando en el t5rmino anteriorsu coe%iciente por el e$ponente de a y dividiendo eseproducto entre el n-mero de t5rminos anteriores al que se

trata de %ormar. Cierta simetría constituye una característica del

desarrollo del binomio. Esta simetría se puede apreciar aldisponer los coe%icientes en el siguiente orden que seconoce como Griángulo de &ascal, para valores enteros nonegativos de n en el desarrollo de .

ERMUTACION



COMBINACION

Ba& dos tipos de permutaciones%

USe permite repetir% como "a cerradura de arriba( podríaser O333O-

USin repetición% por e+emp"o "os tres primeros en unacarrera- 5o puedes ,uedar primero & segundo a "a vez-

/na permutación de ob+etos es un arreg"o de éstos en e",ue orden sí importa- $ara encontrar e" n:mero depermutaciones de n ob+etos diferentes en grupos de r-

/na combinación de ob+etos es un arreg"o de éstos en e"

,ue e" orden no importa- $ara encontrar e" n:mero decombinaciones de n ob+etos en grupos de r-

Formu"as



!uando no se permite repetición

!uando se permita repetición



!ombinación

n( r no son n:meros enteros negativos &r4n-

r 4 es e" tama*o de cada permutación-

n 4es e" tama*o de" con+unto de e"ementos ,ue se permutan-

W4es e" operador factoria"-

E+emp"o



!u#ntas cantidades de tres cifras se pueden formarcon "os dígitos 2( 0( 1( 3 & 9 si no se permite "arepeticiónSo"ución%

!u#ntas cantidades de cuatro cifras se puedenformar con "os dígitos 2( 0( 1( 3 & 9 si se permite "arepeticiónSo"ución%

p"icaciones



.as combinaciones & permutaciones forman parte de una ramade "as matem#ticas ""amada combinatoria- Dado un con+unto dee"ementos( e" n:mero de combinaciones te dice de cu#ntasmaneras esos e"ementos se pueden +untar- .as permutacionesson simi"ares( pero éstas toman e" orden en cuenta% 60( 17 & 61(

07 son dos permutaciones diferentes( pero "a mismacombinación- .as cerraduras de combinación )acen uso de "aspermutaciones( & pueden uti"izar estos b"o,ueos para ense*ar asus estudiantes cómo funcionan "as permutaciones- $uedesdise*ar un +uego simp"e ,ue permita a "os estudiantes areso"ver "as cerraduras de combinación en una carrera-

Determina e" n:mero de subgrupos de 0( 1( 3( etc- e"ementos,ue se pueden formar con "os OnO e"ementos de una nuestra-!ada subgrupo se diferencia de" resto en "os e"ementos ,ue "ocomponen( sin ,ue inXu&a e" orden-



Probabilidad

paraeventos

ROBABILIDAD



CONDICIONAL

.as probabi"idades condicionadas se ca"cu"an una vez ,ue se)a incorporado información adiciona" a "a situación departida-

$robabi"idad condiciona" es "a probabi"idad de ,ue ocurra unevento ( sabiendo ,ue también sucede otro evento - .aprobabi"idad condiciona" se escribe $6Y7( & se "ee Z"aprobabi"idad de dado [-

5o tiene por ,ué )aber una re"ación causa" o tempora" entre & - puede preceder en e" tiempo a ( suceder"o opueden ocurrir simu"t#neamente- puede causar (viceversa o pueden no tener re"ación causa"- .as re"aciones

causa"es o tempora"es son nociones ,ue no pertenecen a"#mbito de "a probabi"idad- $ueden desempe*ar un pape" o nodependiendo de "a interpretación ,ue se "e dé a "os eventos-

Formu"a



4onde:& M+! es la probabilidad de que se de el suceso Mcondicionada a que se (aya dado el suceso .

& M L ! es la probabilidad del suceso simultáneo de y

de M

& ! es la probabilidad a priori del suceso

E+emp"o



$ 687 es "a probabi"idad de ,ue sa"ga e" n:mero 1 6suceso7 condicionada a ,ue )a&a sa"ido un n:mero par 6suceso 7-

$ 6 . 7 es "a probabi"idad de ,ue sa"ga e" dos & n:mero par-

$ 67 es "a probabi"idad a priori de ,ue sa"ga un n:mero par-

$or "o tanto%

$ 6 . 7 4 08;

$ 67 4 081

$ 687 4 608;7 8 60817 4 083

.uego( "a probabi"idad de ,ue sa"ga e" n:mero 1( si &asabemos ,ue )a sa"ido un n:mero par( es de 083 6ma&or ,uesu probabi"idad a priori de 08;7-



En un estudio sanitario se )a ""egado a "a conc"usión de ,ue "a probabi"idad de ,ue una persona sufra prob"emascoronarios 6suceso 7 es e" 2(02 6probabi"idad a priori7-

dem#s( "a probabi"idad de ,ue una persona sufra prob"emas de obesidad 6suceso 7 es e" 2(1= & "a probabi"idadde ,ue una persona sufra a "a vez prob"emas de obesidad & coronarios 6suceso intersección de & 7 es de" 2(2=-

!a"cu"ar "a probabi"idad de ,ue una persona sufra prob"emas coronarios si est# obesa 6probabi"idad condicionada$6877-

$ 6 . 7 4 2(2=

$ 67 4 2(1=

$ 687 4 2(2= 8 2(1= 4 2(12

$or "o tanto( "a probabi"idad condicionada es superior a "a probabi"idad a priori- 5o siempre esto es así( a veces "aprobabi"idad condicionada es igua" a "a probabi"idad a priori o menor-

$or e+emp"o% probabi"idad de ,ue a" tirar un dado sa"ga e" n:mero 1( condicionada a ,ue )a&a sa"ido un n:meroimpar-

.a probabi"idad condicionada es en este caso cero( frente a una probabi"idad a priori de 08;-

p"icaciones



" presentar una variedad de ap"icaciones de "a probabi"idadcondiciona" a prob"emas rea"istas( p"anteamos ,ue "asactividades interactivas & e" uso de tecno"ogía )acen a "aprobabi"idad condiciona" m#s entendib"e( interactiva einteresante para a"umnos con distintos nive"es de )abi"idad

matem#tica-

.a denominada Z$robabi"idad !ondiciona"[ +ustamente sirvepara ca"cu"ar "os c)ances de ocurrencia de un evento D1dada "a ocurrencia de un evento D0( teniendo en cuenta si"os eventos en cuestión son dependientes o independientesentre sí( & genera"mente este tipo de probabi"idad se

e'presa mediante "a fórmu"a $6D1\D07 en "a ,ue se usa e"símbo"o matem#tico bacJ s"as) 6\7 para separar "os eventosana"izados( e'presión ,ue se "ee como Z"a probabi"idad deocurrencia de D1 dada "a ocurrencia de D0[-

EVENTOS



INDEENDIENTES

Dos eventos son independientes si e" resu"tado de" segundo evento noes afectado por e" resu"tado de" primer evento- Si & son eventosindependientes( "a probabi"idad de ,ue ambos eventos ocurran es e"producto de "as probabi"idades de "os eventos individua"es-

.a principa" característica de una situación con eventos

independientes es ,ue e" estado origina" de "a situación no cambiacuando ocurre un evento- E'isten dos maneras de ,ue esto suceda%

.os eventos independientes ocurren &a sea cuando%

E" proceso ,ue genera e" e"emento a"eatorio no e"imina ning:nposib"e resu"tado o

E" proceso ,ue sí e"imina un posib"e resu"tado( pero e" resu"tado essustituido antes de ,ue suceda una segunda acción- 6 esto se "e""ama sacar un reemp"azo-

Formu"a



& y M! ) &! &M!

E+emp"o



/na ca+a contiene 9 canicas ro+as( 3 canicas verdes & 1 canicasazu"es- /na canica es e"iminada de "a ca+a & "uego reemp"azada-@tra canica se saca de "a ca+a- !u#" es "a probabi"idad de ,ue "aprimera canica sea azu" & "a segunda canica sea verde

a ,ue "a primera canica es reemp"azada( e" tama*o de" espaciomuestra" 6<7 no cambia de "a primera sacada a "a segunda así "oseventos son independientes-

P6azu" "uego verde7 4 P6azu"7 T P6verde7

p"icaciones



.a independencia de sucesos es a"gomu& importante para "a estadística & escondición necesaria en mu"titud de

teoremas- $or e+emp"o( una de "asprimeras propiedades ,ue se deriva de"a denición de sucesos independienteses ,ue si dos sucesos son

independientes entre sí( "a probabi"idadde "a intersección es igua" a" productode "as probabi"idades-

TEOREMA DE BAES



E" teorema de ba&es es un teorema de"a rama de "as matem#ticas dedicada a"a estadística( dice ,ue "a probabi"idad

de ,ue se cump"a un suceso escantidad de casos favorab"es entrecantidad de casos tota"es-

Formu"a



E+emp"o



Si )a& un tota" de 02 personas & 3 dee""as est#n enfermas "a probabi"idad de,ue si escoges una persona a" azar este

enferma es de 3802( es decir e" 2(3mu"tip"icado por 022 es 32]( entonces"a probabi"idad de escoger una personaenferma es de" 32 ]- 5umero de casos

favorab"es4 numero de personasenfermas43L numero de casos tota"es402 personas-

"i i



p"icaciones

E" teorema de a&es es v#"ido en todas "as ap"icaciones de "ateoría de "a probabi"idad- Sin embargo( )a& una controversiasobre e" tipo de probabi"idades ,ue emp"ea- En esencia( "osseguidores de "a estadística tradiciona" só"o admitenprobabi"idades basadas en e'perimentos repetib"es & ,ue tengan

una conrmación empírica mientras ,ue "os ""amados estadísticosba&esianos permiten probabi"idades sub+etivas- E" teorema puedeservir entonces para indicar cómo debemos modicar nuestrasprobabi"idades sub+etivas cuando recibimos información adiciona"de un e'perimento- .a estadística ba&esiana est# demostrando suuti"idad en ciertas estimaciones basadas en e" conocimientosub+etivo a priori & e" )ec)o de permitir revisar esas estimacionesen función de "a evidencia empírica es "o ,ue est# abriendo

nuevas formas de )acer conocimiento- /na ap"icación de esto son"os c"asicadores ba&esianos ,ue son frecuentemente usados enimp"ementaciones de "tros de correo basura o spam( ,ue seadaptan con e" uso-

SELECCIONES AL AAR0CON O SIN REEMLAO



CON O SIN REEMLAO

Es tomar una muestra de un cierto con+unto 6comouna submuestra7-

!on reemp"azo se reere a ,ue tu después de tomarmuestra "a vue"ves a de+ar en e" con+unto de donde

"a tomaste-

Sin reemp"azo se reere a ,ue después de tomar "amuestra no "a devue"ves & "a apartas de" con+unto dedonde "a tomaste-

Formu"a



E+emp"o



/na bo"sa con 02 pe"otas% 3 ro+as( 3 negras &9b"ancas- tu tomas una pe"ota 6muestra de unaunidad7 & dependiendo ,ue es "o ,ue estés buscandoen esa muestra tienes e" 32] de sacar una pe"ota

ro+a( 32] de sacar una negra & 92] de sacar unab"anca- después de observar ,ue co"or es( "adevue"ves a "a bo"sa & sacas otra pe"ota( como es!@5 REEM$.^@ tu estas regresando "a pe"ota & "aprobabi"idad no se ve afectada &a ,ue siguesteniendo "as mismas 02 pe"otas de "os mismos

co"ores & cantidades por "o ,ue en otra muestratienes "as mismas probabi"idades-



SA5 REEM$.^@%

En e" mismo e+emp"o mencionado( tu sacasuna pe"ota & tienes% e" 32] de sacar una

pe"ota ro+a( 32] de sacar una negra & 92]de sacar una b"anca( en este caso tu despuésde tomar "a pe"ota "a apartas & dependiendode ,ue co"or )a&a sa"ido puede ver ,ue &ano tienes "as 02 pe"otas sino < por "o tanto "a

probabi"idad va disminu&endo & puede sermas f#ci" e" ,ue por probabi"idad deduzcasde ,ue co"or sa"dr# "a otra pe"ota-

Aplicacio#$



Sirve muc)o en e" contro" deca"idad de productos-

Enlaces

Libro de te$to



Georía del binomio

(ttp:++.eplc.umic(.m$+salvadorgs+matematicas/+contenido+CapFFF+166teobin.(tm Principios de multiplicación

http://148.204.211.134/ polilibros../!basura/"olilibros

/"robabilidad/doc/#nidad$201/1.2.2.%&'

SELECCIONES AL AAR0 CON O SIN REEMLAO

https://prei.com/m((bmo18nc8s/selecciones)al)aar)con)o)sin)reemplao /

&eorema de ba*es

http://+++.mono,rafias.com/traba-os8/probabilidad)total)*)teorema)ba*es/probabilidad)total)*)teorema)ba*es.shtml

Evento independientes(ttp:++colpos%esA.galeon.com+est67/+probabi+teo+cap1/0+cap1/0.(tm

http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_5_5_teo_bin.htm



http://148.204.211.134/polilibros../z_basura/Polilibros/Probabilidad/doc/Unidad%201/1.2.2.HTM



https://prezi.com/mqqbmo18nc8s/selecciones-al-azar-con-o-sin-reemplazo/


















http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap312/cap312.htm




estadistica y probabilidad- descripcion

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