md estadistica descriptiva

7/25/2019 Md Estadistica Descriptiva

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FORMA DE ESTUDIOPRESENCIAL

DURACIN75 HORAS

TRAYECTO II

ESTADSTICADESCRIPTIVA

MATERIAL DIDCTICODE LA UNIDAD CURRICULAR


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MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARARELACIONES INTERIORES, JUSTICIA Y PAZ

MinistroMiguel Rodrguez Torres

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARALA EDUCACIN UNIVERSITARIA

MinistroPedro Calzadilla

AUTORIDADES UNIVERSIDAD NACIONALEXPERIMENTAL DE LA SEGURIDAD

RectoraSoraya Beatriz El Achkar Gousoub

Vicerrectora de Desarrollo AcadmicoAimara Aguilar

Vicerrector de Creacin Intelectualy Vinculacin Social

Edgar GavidiaSecretario

Frank Bermdez Sanabria

VICERRECTORADODE DESARROLLO ACADMICO

VicerrectoraAimara Aguilar

Director Nacional de Desarrollo CurricularPablo Fernndez Blanco

Coordinador Nacional del P NF PolicialJos Cardoso

Responsable del PNF PolicialYesenia Bermdez

UNIVERSIDAD NACIONALEXPERIMENTAL DE LA SEGURIDAD

Direccin: Calle La Lnea, zona industrial L, Catia.

Apartado postal: Caracas 1030 - Venezuela

WWW.UNES.EDU.VE

Coordinador Nacional de Imagen UNESOscar Vsquez

Diseadores curricularesMigdalys MarcanoYesenia BermdezMarcos Vsquez

Expertos en contenidoMigdalys Marcano

Marcos Vsquez

Correccin de estiloRomina Ochoa

Diseo grfico y diagramacinOscar Chanova

Caracas, octubre de 2011


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NDICE

PRESENTACIN

PROPSITO

OBJETIVOS ESPECIFICOS

RELACIN DE TEMAS DE LA UNIDAD CURRICULAR

ENCUENTROS DIDCTICOS

ENCUENTRO 1Nociones generales

ENCUENTRO 2

Tablas de frecuencia e histogramas

ENCUENTRO 3Medidas de tendencia central

ENCUENTRO 4Medidas de dispersin y posicin

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

5

5

6

6

9

16

36

27

43

ESTADSTICA DESCRIPTIVATRAYECTO II PNF POLOCIAL


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PRESENTACIN

Acontinuacin, te presentamos el material didc-

tico de la unidad curricular Estadstica Descriptiva,

que ser tu gua en la realizacin de las activida-des, durante los encuentros didcticos con tus compa-

eros y compaeras de estudio y con el educador o la

educadora responsable del ambiente de aprendizaje.

El material te proporciona las instrucciones ne-

cesarias para el acompaamiento en cada una de las

actividades, ya sean de manera individual o colectiva.

Una de las sugerencias para el xito en tus actividades,

consiste en que te desenvuelvas utilizando tus propios

conocimientos, estrategias y herramientas, para luego

socializarlas.La estadstica es el rea de las matemticas que per-

mite recoger, organizar, resumir, presentar y analizar

datos sobre fenmenos y procesos; consiste no slo en

reunir y tabular los datos, sino, sobre todo, en el proceso

de interpretacin de esa informacin para obtener con-

clusiones y apoyar los procesos de toma de decisiones

basadas en esos anlisis. Su aplicacin es muy amplia,

por ejemplo, en la interpretacin de fenmenos fsicos,

meteorolgicos, biolgicos de las ciencias sociales y de

las organizaciones. Por tal razn, es una herramienta desuma importancia para el anlisis e interpretacin de di-

ferentes fenmenos y en ello su utilidad para la investi-

gacin penal.

Este material se desglosa en cuatro encuentros di-

dcticos donde encontrars diversos problemas y acti-

vidades prcticas que te permitirn ejercitar los saberes

estudiados en el ambiente de aprendizaje. La unidad

curricular Estadstica Descriptiva tiene un importante

contenido prctico, es por ello que se recomienda la rea-

lizacin de todos los problemas planteados, a fin de ga-

rantizar la comprensin de los temas propuestos.

Durante el desarrollo de este material surgirn dudas

y preguntas, por lo cual debes consultar a tu educadoro educadora, quienes te darn las respuestas y consejos

pertinentes, igualmente, se recomienda consultar otras

bibliografas aparte de este material, esto con la inten-

cin de profundizar en las temticas y desarrollar tu ca-

pacidad para la investigacin.

Debes realizar todas las lecturas y actividades propues-

tas en este material en el orden que han sido dispuestas

ya que esto garantizar la comprensin total de las mimas.

Para el desarrollo del material didctico se presentan

las siguientes actividades: Problemas estadsticos aplicados a la seguridad ciu-

dadana.

Ejercicios esttico-ldicos referidos a la temtica.

Lecturas en donde se describen las temticas a estudiar.

Estudio de casos vinculados a la temtica.

Es importante mantener una actitud favorable para

realizar todas las actividades; recordando que ello impli-

ca tener una buena disposicin y estado de nimo para

emprenderlas.

PROPSITOLa unidad curricular tiene como propsito que las y

los estudiantes describan y analicen mediante mtodosestadsticos diversas situaciones inherentes a la seguridadciudadana a fin de comprenderlas y planificar las accionesa realizar para su abordaje.


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TRAYECTO II

6 ESTADSTICADESCRIPTIVA

OBJETIVOS ESPECFICOSLas y los estudiantes:

Comprendern los aspectos generales referidos a la

estadstica descriptiva y su importancia como cienciaauxiliar dentro de la seguridad ciudadana.

Elaborarn cuadros y grficos estadsticos a fin de re-

presentar y resumir la informacin recogida en refe-

rencia a la seguridad ciudadana.

Realizarn estudios estadsticos basados en las medi-

das de tendencia central, de dispersin y de posicin,

a fin de comprender los sucesos relacionados con la

seguridad ciudadana y as analizarlos de forma eficaz

y efectiva.

Analizarn los resultados recogidos a partir del proce-

samiento de la informacin por medios estadsticos,

a fin de planificar acciones que permitan coadyuvar a

las funciones de los rganos de seguridad ciudadana.

RELACIN DE TEMAS DE LA UNIDAD CURRICULAR

Tema 1:Nociones generales.

Tema 2:Tablas de frecuencias e histogramas.

Tema 3:Medidas de tendencia central.

Tema 4:Medidas de dispersin.

Tema 5:Medidas de posicin.


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TRAYECTO II

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ENCUENTRO DIDCTICO 1

NOCIONES GENERALES

SABERLas y los estudiantes comprendern los aspectos

generales referidos a la estadstica con la finalidad

de aplicarlos en el estudio y anlisis de situaciones

inherentes a la seguridad ciudadana y a su vez

permita la planificacin acciones para evitar estos

sucesos.

ORIENTACIONES GENERALES PARAEL DESARROLLO DEL ENCUENTRO:

Estimados y estimadas estudiantes, el encuentro di-

dctico denominado Nociones Generales pretende que

nos apropiemos de los conceptos bsicos de la estads-

tica, identificando los tipos de estadstica y sus aplica-

ciones en la funcin de los rganos de seguridad ciu-dadana, definiendo variables, conociendo las tcnicas y

procedimientos para el tratamiento de datos; lo que per-

mitir pensar en nuestro quehacer profesional con una

perspectiva cientfica, rigorosa, basada en el tratamien-

to minucioso de los datos y de su descripcin. En este

encuentro se abordarn los siguientes saberes: Marco

conceptual de la estadstica descriptiva, estadstica infe-

rencial, poblacin, muestra, tipos de muestreo, muestreo

probabilstico, muestreo no probabilstico, muestreo ac-

cidental o no casual, muestreo intencional, tipos de da-

tos, variables cuantitativas, variables cualitativas.

Para desarrollar los saberes mencionados anterior-

mente, te ofrecemos unas actividades que consisten en:

1. Preguntas generadoras, a partir de las cuales activa-

rs tus saberes previos con respecto a la temtica que

se va a desarrollar, con el fin de partir de tu realidad,

condicin histrica y de la toma de conciencia crtica

en torno a ella.

2. Lectura Introduccin a la estadstica.

3. El planteamiento de un caso referido a la seguridad

ciudadana, en el que debers identificar variables, ti-

pos y subtipos, bien sean cualitativas o cuantitativas.

Seguidamente, proponemos realizar un muestreo en

alguna comunidad, empleando cualquier mtodo dis-

ponible para ello. Existen dos mtodos para seleccionar

muestras de poblaciones: el muestreo no aleatorio o de

juicio y el muestreo aleatorio. En las lecturas encontrars el

apoyo terico y metodolgico de estos tipos de muestreo.

Para culminar el encuentro, encontrars una activi-

dad final, donde debers utilizar todo lo aprendido; sta

consta de ejercicios con distintos niveles de complejidad.

Por ltimo, est una clave de respuestas que te permitir

evaluar tus avances.

ACTIVIDAD 1. ESTADSTICA ENNUESTRO QUEHACER LABORAL

A travs de este espacio, se promueve la reflexin y la

introspeccin sobre la aplicacin de la estadstica en la

funcin como funcionarios y funcionarias en seguridad

ciudadana. Para ello, se reflexionar sobre las nociones

de la estadstica como ciencia que describe situaciones

de nuestro quehacer laboral, a travs de las siguientes

preguntas generadoras:

1. Estando en el ejercicio de nuestras funciones: para

qu ser til consultar los datos estadsticos de la

zona o lugar en que laboramos?


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TRAYECTO II


2. En cuanto a la informacin que diariamente se

suministra a travs de partes y reportes: qu utilidad

estadstica tendr? Explique.

3. El registro de poblacin demogrfica que existe

en un sector: cmo coadyuvar al desempeo de

nuestras funciones?

4. Llevar un registro estadstico de las actividades

que realizan los rganos de seguridad ciudadana de

qu manera puede repercutir en una mejora del des-

empeo de los mismos?

ACTIVIDAD 2. LECTURA:INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA

LEAMOS CON ATENCIN!

La estadstica es elrea de las matemti-

cas que permite reco-

ger, organizar, resumir,

presentar y analizar da-

tos sobre fenmenos y

procesos. La estadstica

consiste no slo en reunir y tabular los datos, sino so-

bre todo en el proceso de interpretacin de esa infor-

macin para obtener conclusiones y apoyar los proce-

sos de toma de decisiones basadas en esos anlisis.

La estadstica se divide en dos reas: estadstica

descriptiva y estadstica inferencial.

a. Estadstica descriptiva: se dedica a los mtodos

de recoleccin, descripcin, visualizacin y resu-

men de datos originados a partir de los fenmenos

de estudio. Los datos pueden ser resumidos num-

rica o grficamente.

b. Estadstica inferencial:se dedica a la generacin

de los modelos, inferencias y predicciones asocia-

das a los fenmenos en cuestin teniendo en cuen-

ta la aleatoriedad de las observaciones.

En este momento nos interesa estudiar la estadsti-

ca descriptiva, como una herramienta que nos per-

mite conocer el comportamiento de una muestra

a partir de datos arrojados a travs de encuestas o

bases de datos.

Aplicada a la investigacin cientfica, tambin infie-

re cuando provee los medios matemticos para esta-

blecer si una hiptesis debe ser rechazada o no.

La estadstica puede aplicarse en diversas reas yciencias, entre algunas de ellas podemos mencionar la

fsica, qumica, biologa, medicina, astronoma, psico-

loga, sociologa, lingstica, demografa, etc.

Segn las ltimas estadsticas, de

cada tres nios que nacen en el

mundo, dos son chinos, excepto en

China que son los tres.

SABASQUE?


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TRAYECTO II

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Poblaciones y Muestra

Cuando se realiza un estudio de investigacin, se

pretende generalmente inferir o generalizar resultados

de una muestra a una poblacin. Se estudia en parti-

cular a un reducido nmero de individuos a los que

tenemos acceso con la idea de poder generalizar los

hallazgos en la poblacin de la cual esa muestra proce-

de. Este proceso de inferencia se efecta por medio de

mtodos estadsticos basados en la probabilidad.

La poblacinrepresenta el conjunto grande de in-

dividuos que deseamos estudiar y generalmente suele

ser inaccesible. Es, en definitiva, un colectivo homog-

neo que rene unas caractersticas determinadas.

La muestra es el conjunto menor de individuos

(subconjunto de la poblacin accesible y limitado so-

bre el que realizamos las mediciones o el experimento

con la idea de obtener conclusiones generalizables so-

bre la poblacin).

El individuoes cada uno de los componentes de la

poblacin y la muestra. La muestra debe ser represen-

tativa de la poblacin y con ello queremos decir que

cualquier individuo de la poblacin en estudio debe

haber tenido la misma probabilidad de ser elegido. Las

razones para estudiar muestras en lugar de poblacio-

nes son diversas y entre ellas podemos sealar:

Ahorrar tiempo. Estudiar a menos individuos es evi-

dente que lleva menos tiempo.

Como consecuencia del punto anterior, ahorrare-

mos costos.

Estudiar la totalidad de los pacientes o personas con

una caracterstica determinada en muchas ocasio-

nes puede ser una tarea inaccesible o imposible de

realizar.

Aumentar la calidad del estudio. Al disponer de mstiempo y recursos, las observaciones y mediciones

realizadas a un reducido nmero de individuos pue-

den ser ms exactas y plurales que si las tuvisemos

que realizar a una poblacin.

La seleccin de muestras especficas nos permitir

reducir la heterogeneidad de una poblacin al indi-

car los criterios de inclusin y/o exclusin.

Muestreo

Habitualmente, el investigador no trabaja con todos

los elementos de la poblacin que estudia sino slo

con una parte o fraccin de ella; a veces porque es muy

grande y no es fcil abarcarla en su totalidad. Por ello, se

elige una muestra representativa y los datos obtenidos

en ella se utilizan para realizar pronsticos en poblacio-

nes futuras de las mismas caractersticas.

Se conoce con el nombre de muestreo al proceso de

extraccin de una muestra a partir de la poblacin. El

proceso esencial del muestreo consiste en identificar la

poblacin que estar representada en el estudio.

La importancia del muestreo radica en que no es

necesario trabajar con la totalidad de los elementos de

una poblacin (N) para comprender con un nivel razo-

nable de exactitud la naturaleza del fenmeno estu-

diado.

Este conocimiento se puede obtener a partir de una

muestra que se considere representativa de aquella po-

blacin.

Tipo de muestreo

Existen dos mtodos para seleccionar muestras de

poblaciones; el muestreo no aleatorio o de juicio y el

muestreo aleatorio o de probabilidad.

Muestreo probabilstico

Conocido tambin como muestreo de seleccin

aleatoria; utiliza el azar como instrumento de seleccin,

pudindose calcular de antemano la probabilidad de

que cada elemento sea incluido en la muestra. Para

Marn Ibez (1985) este tipo de muestreo es el que

alcanza mayor rigor cientfico y se caracteriza porque

se cumple el principio de la equiprobabilidad, segn el

cual todos los elementos de la poblacin tienen la mis-ma probabilidad de salir elegidos en una muestra.

Muestreo aleatorio simple

Es la modalidad de muestreo ms conocida y que

alcanza mayor rigor cientfico. Garantiza la equiproba-

bilidad de eleccin de cualquier elemento y la inde-

pendencia de seleccin de cualquier otro. En este pro-

cedimiento se extraen al azar un nmero determinado


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TRAYECTO II


de elementos, (n), del conjunto mayor (N) o poblacin,

procediendo segn la siguiente secuencia:

Definir la poblacin, confeccionar una lista de todos

los elementos, asignndoles nmeros consecutivos

desde 1 hasta n; La unidad de base de la muestra debe ser la misma;

Definir el tamao de la muestra y extraer al azar los

elementos.

La muestra quedar formada por los n elementos

obtenidos mediante sorteo de la poblacin. Los proce-

dimientos ms comunes de extraccin de los elemen-

tos en este tipo de muestreo son: las tablas de nmeros

aleatorios, incluidas en los manuales de estadstica; los

clsicos sistemas de lotera y otros procedimientos de

extraccin al azar, incluidos las aplicaciones informticas.

Muestreo estratificado

Este muestreo se utiliza cuando la poblacin est

constituida en estratos o conjuntos de la poblacin ho-

mogneos con respecto a la caracterstica que se estudia.

Dentro de cada estrato se puede aplicar el muestreo alea-

torio o sistemtico. Consiste en subdividir la poblacin

en subgrupos o estratos con arreglo a la/s caracterstica/s

que se consideren y en elegir la muestra de modo que es-

tn representados los diferentes estratos.Para la obtencin de la muestra estratificada se siguen

los siguientes pasos: a) se divide la poblacin en estratos;

b) de cada estrato se extrae una muestra por algn pro-

cedimiento de muestreo; c) el nmero de individuos de

cada estrato se puede decidir por paridad o proporciona-

lidad; y d) la suma de las muestras de cada estrato forman

la muestra total n. (Latorre, Rincn y Arnal, 2003).

Muestreo no probabilstico

En estas tcnicas no se utiliza el muestreo al azar

sino que la muestra se obtiene atendiendo al criterio o

criterios del investigador o bien por razones de econo-

ma, comodidad, etc. Consecuentemente, estas tcni-

cas no utilizan el criterio de equiprobabilidad, sino que

siguen otros criterios, procurando que la muestra obte-

nida sea lo ms representativa posible. Estas muestras,

al no utilizar el muestreo al azar, no tienen la garanta

de las muestras probabilsticas, pero en la prctica son

a menudo necesarias e inevitables, en opinin de Ker-

linger (1975). Dentro de este tipo de muestreo se suele

distinguir el muestreo accidental y el muestreo inten-

cional o deliberado.

Muestreo accidental o no casual

Este tipo de muestreo se caracteriza por utilizar las

muestras que tiene a su alcance. Se denominan acci-

dentales porque no responden a una planificacin pre-

via en cuanto a los sujetos a elegir. De hecho, toma las

muestras disponibles sin introducir seleccin o modifi-

cacin alguna. Por ejemplo, empresas, centros comple-

tos, cursos o grupos dentro de un nivel, etc.

Muestreo intencional o deliberado

En esta tcnica, el investigador selecciona de modo

directo los elementos de la muestra que desea partici-

pen en su estudio. Se eligen los individuos o elementos

que se estima que son representativos o tpicos de la

poblacin. Se sigue un criterio establecido por el exper-

to o investigador. Se suelen seleccionar los sujetos que

se estima que pueden facilitar la informacin necesaria.

Tipos de datos:

Los datos se dividen en dos tipos:

Variables cuantitativas

Variables cualitativas

Lo que estudiamos en cada individuo de la muestra

son las variables (edad, sexo, peso, talla, tensin arterial

sistlica, etc.). Los datos son los valores que toma la va-

riable en cada caso. Lo que vamos a realizar es medir, es

decir, asignar valores a las variables incluidas en el estu-

dio. Deberemos adems concretar la escala de medida

que aplicaremos a cada variable.

La naturaleza de las observaciones ser de gran im-

portancia a la hora de elegir el mtodo estadstico ms

apropiado para abordar su anlisis. Con este fin, clasi-

ficaremos las variables, a grandes rasgos, en dos tipos:

variables cuantitativas o variables cualitativas.

DatoVariable

Contenedor Contenido

=


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TRAYECTO II

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Variables cuantitativas:son las variables que pue-

den medirse, cuantificarse o expresarse numrica-

mente. Las variables cuantitativas pueden ser de

dos tipos:

1. Variables cuantitativas continuas, si admiten tomarcualquier valor dentro de un rango numrico de-

terminado. Suelen tomar valores reales (edad, peso,

talla).

2. Variables cuantitativas discretas, si no admiten todos

los valores intermedios en un rango. Suelen tomar

solamente valores enteros (nmero de hijos, nme-

ro de partos, nmero de hermanos, etc.).

Variables cualitativas:este tipo de variables repre-

sentan una cualidad o atributo que clasifica a cada

caso en una de varias categoras. La situacin mssencilla es aquella en la que se clasifica cada caso en

uno de dos grupos (hombre/mujer, enfermo/sano,

fumador/no fumador). Son datos dicotmicos o bi-

narios. Como resulta obvio, en muchas ocasiones

este tipo de clasificacin no es suficiente y se requie-

re de un mayor nmero de categoras (color de losojos, grupo sanguneo, profesin, etc.).

En el proceso de medicin de estas variables, se

pueden utilizar dos escalas:

1. Escalas nominales:sta es una forma de observaro medir en la que los datos se ajustan por catego-

ras que no mantienen una relacin de orden entre

s (color de los ojos, sexo, profesin, presencia o au-

sencia de un factor de riesgo o enfermedad, etc.).

2. Escalas ordinales: en las escalas utilizadas, existe

un cierto orden o jerarqua entre las categoras (ni-

veles jerrquicos, rangos, etc.).

ACTIVIDAD 3. RECONOCIENDO VARIABLES

Realizar un estudio estadstico de situaciones del quehacer como funcionario o funcionaria de los rganos de

seguridad ciudadana, nos lleva a escoger diversas variables en las cuales se resuman las mismas; como por ejemplo:

edad, altura, peso o sexo. Este proceso de seleccin de variables permite, mediante un diagnstico estadstico, com-

prender el origen de la situacin y adems, nos permite plantearnos algunas soluciones. En funcin de desarrollar la

siguiente actividad:

1.Realiza con atencin la lectura del caso titulado Incendio en establecimiento penitenciario.

Incendio en establecimiento penitenciario

El da de hoy 30 de octubre de 2012, siendo aproximada-

mente las 16:00 horas, se recibi una llamada telefnica pro-

veniente del Director del establecimiento penitenciario La

Rotunda, informando que en las instalaciones del centro de

reclusin ubicado en la Calle 4, Urbanizacin El Pial del esta-

do Tchira, se ha producido un incendio.

En forma inmediata, se destaca el tren de alarma con todo

su personal a bordo, integrado por las unidades:

Bomba (primera mquina) con capacidad de 3000 litros de

agua; Cisterna (segunda mquina) con capacidad de 6000 li-

tros de agua; un vehculo de Rescate; una unidad Ambulancia

y un camin tipo Escalera.

Una vez aparcadas las unidades en el lugar de los aconteci-

mientos, se percibe en el edificio principal una amplia colum-

na de humo gris de importantes proporciones, proveniente de

un incendio con llamas de aproximadamente ocho metros (8

m) de altura que se origina en el pabelln nmero dos (2).

Al instante se despliegan los equipos de trabajo con los

materiales necesarios para el acceso a los ambientes siniestra-

dos y dar inicio al desalojo y posterior extincin del incendio.

El equipo de custodios y custodias se encargan del desalojo

de los privados de libertad, mientras los funcionarios y funcio-

narias de bomberos con la ayuda de la Polica Nacional Boliva-

riana buscan controlar la situacin. Debido a la gran magnituddel siniestro se hizo necesaria la participacin del equipo de

proteccin civil, pues el edificio estaba a punto de colapsar.

Gracias a la intervencin inmediata de los rganos de se-

guridad ciudadana se pudo controlar la situacin con pocos

heridos y ninguna baja humana. El CICPC tambin se hizo

presente en el sitio a fin de realizar las investigaciones para

conocer la causa del suceso.


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TRAYECTO II


2. Identifica en la lectura al menos 10 variables esta-

dsticas.

3. Clasifica las variables identificadas en cualitativas o

cuantitativas y justifcalas.

ACTIVIDAD 4.EL MUESTREO ENNUESTRO QUEHACER DIARIO

El muestreo constituye una herramienta primordial

para el estudio estadstico de diversas situaciones; es la

primera fase del mismo y de su correcta realizacin de-

penden los resultados del anlisis.

Esta actividad invita a realizar un muestreo estadsti-

co en nuestras comunidades, tomando en consideracin

para ello, lo siguiente:

1. Seleccionar una muestra de al menos 20 personas del

contexto.

2. Recolectar datos de 7 variables (datos personales) delas personas que hacen vida en la comunidad (ejem-

plo: edad, sexo, telfono, fecha de nacimiento, etc.).

3. Con los datos recolectados, reflexionar sobre lo si-

guiente:

Qu ventajas tienen los mismos en estudios es-

tadsticos futuros para los rganos de seguridad

ciudadana?

Cmo estos estudios impactan en la percepcin

de seguridad por parte de la ciudadana?

ACTIVIDAD FINAL DEL ENCUENTRO

Con el fin de sistematizar los saberes abordados a tra-

vs de las actividades planteadas en el encuentro didc-

tico, cerraremos con una actividad final donde se podr

valorar tu proceso de aprendizaje. En esta seccin, estn

una serie de planteamientos referidos a las nociones b-

sicas de estadstica, a los cuales se dar respuesta clara y

coherente. Para ello:

Responder todas las preguntas planteadas en el or-

den que se te presentan.

Socializar las reflexiones y comentarios con los demscompaeras y compaeros de ambiente en los en-

cuentros presenciales.

Sistematicemos la experiencia para establecer rela-

ciones entre los saberes abordados y nuestro contex-

to laboral.

1. Identificar: cules de las siguientes variables son

cualitativas y cules cuantitativas? Responda en los

espacios seleccionados justificando su respuesta:

Mujer y hombre.

Edades de los funcionarios y funcionarias en una

estacin policial.


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TRAYECTO II

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Colores de un grupo de automviles resguardados en

un depsito.

Nacionalidad de un grupo de personas.

Cantidad de armas asignadas a una polica.

Nmero de personas que conforman una determinada

direccin.

Tipos de drogas incautadas.

Color de los ojos de los detenidos en un procedimiento.

Prdidas materiales en un desastre.

Clasificacin de los privados de libertad.

2. Identificar: cules de las siguientes variables cuan-

titativas son continuas y cules de estas son discretas?

Justifica tu respuesta:

Nmero de personas en tu rea de servicio.

Salario de las y los oficiales policiales en Bolvares.


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TRAYECTO II


Edades de jvenes transgresores del informe estads-

tico mensual.

Velocidad de algn automvil al pasar un punto de

control.

Talla de zapato de tus compaeros de trabajo.

Cantidad de camiones de bombero que estn

asignados en una determinada zona.

Medidas de distancia en la planimetra de algn acci-dente de trnsito.

Nmero de evidencias que se observan en el sitio del

suceso.

Aos de servicio de los y las supervisores policiales.

Intensidad de un sismo.

Clave de correccin:

1.

1.1. Cualitativa. La variable sexo toma valores no numricos

(hombre o mujer) con lo cual la variable es cualitativa.

1.2. Cuantitativa. La variable edad toma valores numri-

cos (10, 11, 12, 13, 14) con lo cual la variable es

cuantitativa.

1.3. Cualitativa. La variable colores toma valores no nu-

mricos (rojo, azul, blanco, etc.) con lo cual la varia-ble es cualitativa.

1.4. Cualitativa. La variable nacionalidad toma valores no

numricos (venezolano, cubano, chino, etc.) con lo

cual la variable es cualitativa.

1.5. Cuantitativa. La variable cantidad toma valores nu-mricos (10, 20, 30, 40, 50) con lo cual la variablees cuantitativa.


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TRAYECTO II



Estimados y estimadas estudiantes, en el encuen-

tro didctico Tablas de frecuencias e histogramas debes

aprender tcnicas y herramientas para el ordenamiento

de los datos estadsticos recogidos en un determinado

contexto social, la manera de agruparlos, las diversas dis-

posiciones de los datos en intervalos, la frecuencia con

las que esos datos se presentan y finalmente las diferen-

tes formas de representarlas grficamente. Se abordarn

los siguientes saberes: Recorrido de una variable, inter-valos, tipos de intervalos, tablas de datos estadsticos, ti-

pos de tablas, frecuencia, frecuencia absoluta, frecuencia

relativa, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia rela-

tiva acumulada, histogramas y grficos circulares.

El uso adecuado de los datos, su ordenamiento y agru-

pacin de manera efectiva permite comunicar informar y

dar rdenes de manera precisa, mantiene una correcta

informacin hacia los supervisores, de manera oportuna,

activa y promueve la comunicacin asertiva, estimula la

participacin preventiva que involucre directamente alas comunidades. Este encuentro procura desarrollar en

cada funcionario y funcionaria estas habilidades, a travs

de los saberes mencionados.

Se presentan a continuacin, las actividades a desa-

rrollar, que debers desarrollar con el fin de sintetizar la

teora y la prctica, con miras a mejorar la funcin de los

rganos de seguridad ciudadana, dentro de las cuales

tenemos:

TABLAS DE FRECUENCIA E HISTOGRAMAS


SABERLas y los estudiantes construirn cuadros de datos y

grficos estadsticos a partir de la recoleccin de datos

estadsticos que les permitan representar sucesos

referidos a la seguridad ciudadana, a fin de tomar las

medidas pertinentes para su prevencin.

1. Recoleccin de muestras para construir una tabla de

datos. Este ejercicio permitir consolidar la tcnica

para obtener datos confiables.

2. Construccin de una tabla de frecuencia y un histogra-

ma. Organizan los datos en clases, es decir, en grupos

de valores que describan una caracterstica de los da-

tos. Para ello, utiliza la metodologa para construir clases

(frecuencia absoluta y frecuencia relativa) que se pro-pone en la lectura Tablas de frecuencia e histogramas

y su aplicacin en los rganos de seguridad ciudadana.

Para culminar el encuentro, hallars una actividad fi-

nal donde debers utilizar todo lo aprendido; consta de

ejercicios con distintos niveles de complejidad. Para con-

cluir encontraras una clave de respuestas que te permiti-

r evaluar tus avances.

ACTIVIDAD 1. CMO PRESENTAR DATOSESTADSTICOS

Realizar un estudio de al-

gn problema lleva a reco-

lectar un conjunto de datos

que representen a nuestra

poblacin. Agrupar los da-

tos en una tabla nos permi-

te acceder a los mismos con

mayor facilidad.

La presentacin de datos estadsticos constituye en susdiferentes modalidades uno de los aspectos de ms uso en

la estadstica descriptiva. A partir de all se puede visualizar

a travs de los diferentes medios escritos y televisivos de

comunicacin masiva la presentacin de los datos estads-

ticos sobre el comportamiento de las principales variables

econmicas y sociales, nacionales e internacionales.

1. Presentacin escrita: esta forma de presentacin de in-

formaciones se usa cuando una serie de datos inclu-


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TRAYECTO II

17

ye pocos valores, por lo cual resulta ms apropiada la

palabra escrita como forma de plasmar el comporta-

miento de los datos; mediante la forma escrita, se re-

salta la importancia de las informaciones principales.

2. Presentacin tabular: cuando los datos estadsticos sepresentan a travs de un conjunto de filas y de colum-

nas que responden a un ordenamiento lgico; es de

gran peso e importancia para el usuario ya que cons-

tituye la forma ms exacta de presentar las informa-

ciones.

Ejemplo:

3. Presentacin grfica: proporciona al lector o usuario

mayor rapidez en la comprensin de los datos, unagrfica es una expresin artstica usada para repre-

sentar un conjunto de datos.

1 2 2 3 5 6 6 7

7 7 10 13 13 14 16 16

20 21 21 21 25 25 27 27

28 29 30 31 32 32 33 36

Ejemplo:

Conociendo esto, realiza la siguiente actividad:

Toma una muestra de al menos 10 personas.

Recolecta datos de al menos 5 variables (datos perso-

nales) de personas que conozcas (edad, sexo, nmero

de hijos, etc.)

Con los datos recolectados elabora una tabla en la cual

se representen los mismos.

Despus de realizar la actividad anterior, responde:

1.Qu ventajas tiene la elaboracin de esta tabla de

datos?

ACTIVIDAD 2. LECTURA: TABLAS DEFRECUENCIA E HISTOGRAMAS

LEAMOS CON ATENCIN!

As como las grficas de barras, los histogramas se

usan para resaltar la diferencia entre las clases que se

han agrupado los datos. Por tanto, para construir cual-

quiera de los dos tipos de grficas, se necesita primero

agrupar los datos en una tabla la cual se conoce como

una tabla de frecuencia.

Es por eso, que invitamos a explorar la siguientelectura, para adentrarnos un poco ms y de forma de-

tallada en conceptualizaciones sobre estadstica.

La elaboracin de tablas representa una parte fun-

damental en el estudio de las estadsticas. El construir

una buena tabla de datos puede ser la diferencia entre

obtener un anlisis acertado de la poblacin que se

quiere estudiar o no.

Algunos conceptos necesarios para realizar estas

tablas son:

Recorrido de una variable:tambin conocido como

rango. Es la diferencia que existe entre la variable de ma-

yor valor y la de menor valor en la muestra, es decir:

Intervalos: es un subconjunto de los nmeros reales

comprendido entre dos puntos dados a y b. Los puntos

a y b son conocidos como extremos o lmites inferior y

superior, respectivamente.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,55

Categora 1 Categora 2 Categora 3 Categora 4

Serie 1

Serie2

Serie3


18/44

TRAYECTO II


El tamao de un intervalo (a,b) se calcula de la si-

guiente forma:

Es sencillo elaborar cuadros estadsticos, sin embargo,

no es simplemente colocar los datos en una tabla; es ne-

cesario analizar los datos que se poseen para as realizar

una adecuada tabla que permita comprender de forma

rpida y correcta los datos.

No existe una nica forma de elaborar tablas. Nos po-

demos guiar por los siguientes tipos:

a. Tabla tipo I:cuando el tamao de la muestra y el re-

corrido de la variable son pequeos, por ejemplo el

nmero de nios de cinco (5) familias. Estas se agru-

paran as:

b. Tabla tipo II: cuando el tamao de la muestra esgrande y el recorrido de la variable es pequeo, por lo

que hay valores de la variable que se repiten.

Ejemplo: Las edades de adolescentes con problemas de

drogadiccin en un sector especfico.

Datos de las edades: 12, 15, 13, 16, 12, 13, 16, 17, 17,

12, 17, 15, 15, 14, 12, 17, 16, 17, 13, 15, 15, 16, 17, 17.

Tabla (a):

Intervalos abiertos: es un intervalo que no contiene

a los extremos, este se denota (a,b). Formalmente, los in-

tervalos abiertos se definen de la siguiente manera:

Grficamente el intervalo (a,b) se representa de la si-

guiente forma:

Intervalos cerrados: es un intervalo que contiene a

los extremos, este se denota [a,b]. Formalmente, los in-

tervalos cerrados se definen de la siguiente forma:

Grficamente el intervalo [a,b] se representa de la si-

guiente forma:

Intervalos semi-abiertos: es un intervalo que no

contiene uno de sus extremos, este se denota [a,b) si no

contiene el extremo b o (a,b] si no contiene el extremo a.

Formalmente, los intervalos semi-abiertos se definen de

la siguiente forma:

O tambin:

Grficamente los intervalos [a,b) y (a,b] se representan

de la siguiente forma:

Observa que un intervalo de la forma contienesolo al punto pero un intervalo de la forma , nocontiene ningn punto: lo ves?

, = { < < }

, = { < < }

, = { }

, = { < }

=

Familia Nmero de miembros menores deedad

Vsquez 0

Bermdez 1

Marcano 3

Tras 8

Celis 2


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TRAYECTO II

19

Edades N de jvenes

12 4

13 3

14 1

15 5

16 4

17 7

Total de datos: 24

Tabla tipo III: se utilizan cuando el tamao de la

muestra y el recorrido de la variable son grandes, por lo

que ser necesario agrupar en intervalos los valores de

la variable.

Ejemplo: En los ltimos cinco (5) aos se han ana-

lizado los datos correspondientes a las denuncias de

violencia basados en gnero de diferentes sectores de

todo el territorio nacional y estos son los resultados sin

ningn orden especfico:

11 700 16 500 13 300 10 000 11 900 10 450 14 750 12 220 9 500 10 420

18 000 13 400 12 100 15 500 9 300 8 750 14 420 13 480 5 330 9 870

7 450 14 850 12 140 11 320 17 450 10 020 7 550 8 320 9 450 9 980

8 790 12 340 14 450 12 330 9 350 5 750 6 340 7 350 5 340 6 420

7 850 6 435 8 450 13 400 10 500 8 750 5 320 12 340 11 150 8 770

Para crear una tabla de datos a partir de esta infor-

macin necesitamos conocer el tamao del intervalo o

amplitud, para ello nos fijamos un nmero de intervalos

conveniente que normalmente oscila entre los 10 y los

12 intervalos aunque este depende del tamao de la

muestra, tambin es posible calcularlo a partir de la si-

guiente ecuacin:

En donde n es el nmero de observaciones y c es el

nmero de intervalos, luego calculamos el tamao de la

siguiente forma:

Para el ejemplo tomaremos un nmero de intervalos

igual a 10 y calcularemos el tamao de los intervalos del

ejemplo anterior:

2!=

=

=

De esta forma conocemos que cada intervalo debe

tener un tamao 1 268, con lo cual nuestra tabla de da-

tos queda as:

=18

0005

320

10 = 1

268

Intervalo N de regiones

[5 072, 6 340) 4

[6 340, 7 608) 6

[7 608, 8 876) 7[8 876, 10 144) 8

[10 144, 11 412) 5

[11 412, 12 680) 8

[12 680, 13 948) 4

[13 948, 15 216) 4

[15216, 16484) 1

[16 484, 17 752) 2

[17 752, 19 020) 1


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TRAYECTO II


Algunos datos importantes para elaborar este cuadro

son:

Colocar pocos intervalos puede generar perdida de

informacin.

Cada intervalo debe estar cerrado a la izquierda yabierto a la derecha.

Frecuencia

Se conoce como frecuencia al nmero de veces que

se repite un determinado dato.

En estadstica se conocen cuatro tipos de frecuencia:

1. Frecuencia absoluta: es el nmero de veces que se

repite un determinado dato. La suma total de la fre-

cuencia absoluta debe ser igual al total de la muestra

estudiada (N). Esta se representa con las letras fi, enalgunos textos se representa con las letras n

i.

2. Frecuencia relativa: es el cociente entre la frecuen-

cia absoluta y el total de la muestra (N). Esta se repre-

senta con las letras hi, en algunos textos se represen-

ta con las letras fi. La frecuencia relativa es mayor o

igual a cero y menor o igual a 1. La suma total de las

frecuencias absolutas es igual a 1.

Al multiplicar la frecuencia relativa por 100 obtene-

mos el porcentaje del total de datos. Este se represen-

ta con las letras pi.

3. Frecuencia absoluta acumulada: es la suma de la

frecuencia absoluta de un determinado dato con to-dos los anteriores. Esta se representa con las letras F

i.

La ltima frecuencia absoluta debe ser igual al tama-

o de la muestra.

4. Frecuencia relativa acumulada: es el cociente en-

tre la frecuencia absoluta acumulada y el total de la

muestra. Esta se representa con las letras Hi.

Al multiplicar la frecuencia relativa acumulada por

100 obtenemos el porcentaje acumulado del total de la

muestra. Este se representa con las letras Pi.

Ejemplo: Tomemos los datos de la tabla (a) y veamos

las definiciones antes estudiadas.

AyudaSi te parece que la nomenclatura te confunde o sete olvida, te invitamos a revisar la simbologa de

toda la unidad curricular al final de este material.

Histograma

Primeramente se debe recordar algunas nociones

bsicas de lo que son los planos cartesianos. El pla-no cartesiano est formado por dos rectas numricas

perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se

cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje

de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las

ordenadas o de las yes (y); el punto donde se cortan re-

cibe el nombre de origen.

El plano cartesiano sirve para graficar puntos, rec-

tas, funciones o figuras geomtricas de manera precisa.

Edades(xi) fi

hi

pi

Fi

Hi

Pi

12 4 0,17 17% 4 0,17 17%

13 3 0,13 13% 7 0,29 29%

14 1 0,04 4% 8 0,33 33%

15 5 0,2 20% 13 0,54 54%

16 4 0,17 17% 17 0,7 70%

17 7 0,29 29% 24 1 100%

Suma total 24 1 100%

En nuestro caso nos interesa graficar puntos p(x,y) en

el plano cartesiano, para ello debemos ubicarnos en elcentro del plano y trasladarnos a la derecha o izquierda

x veces, recordemos que a la izquierda estn los n-

meros negativos y a la derecha los positivos; luego nos

trasladamos hacia arriba o hacia abajo y veces, recor-

dando que hacia arriba estn los positivos y hacia abajo

los negativos. Grafiquemos los siguientes puntos:

A(3,10), B(4,9), C(5,6), D(6,8), E(7,0), F(8,7), G(9,4),

H(10,2)


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TRAYECTO II

21

Es una representacin grfica de una variable que nos

permite describir un conjunto de datos. Comnmente

en el histograma el eje de las x representa las variables,

mientras que el eje de las y representa las frecuencias.

Normalmente se usan para grandes volmenes de da-tos y que se encuentran agrupados en clases. Se pueden

usar tanto para variables continuas como discretas.

Ejemplo: Realicemos un histograma a partir del si-

guiente grfico:

En el grfico se puede apreciar datos como la moda,

que es el dato que ms se repite o que presenta mayor

frecuencia, en el grfico sera el dato 17 y se traduce

como que el mayor nmero de personas con problemas

de drogadiccin tienen 17 aos. Adems a simple vista

podemos observar cierta dispersin de los datos. Otras

formas de graficar son las siguientes:

ACTIVIDAD 3. INTERPRETANDO DATOSESTADSTICOS

Hemos avanzado hasta conocer que el histograma es

aquella representacin grfica de estadsticas de diferen-tes tipos. La utilidad del histograma tiene que ver con la

posibilidad de establecer de manera visual, ordenada y

fcilmente comprensible todos los datos numricos es-

tadsticos que pueden tornarse difciles de entender. Hay

muchos tipos de histogramas y cada uno se ajusta a dife-

rentes necesidades como tambin a diferentes tipos de

informacin.

Es entonces que este espacio intenta promover un

dilogo donde confluyan ideas y experiencias persona-

les de manera participativa y dinmica.

Para ello, partiendo de los datos estadsticos recolec-

tados, internalizar sobre cmo se interpretan y vinculan

con situaciones de nuestro quehacer laboral, a travs de

la siguiente pregunta generadora:

1. Qu informacin til proporciona el histograma

de un estudio relacionado a los rganos de seguridad

ciudadana?


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TRAYECTO II


ACTIVIDAD4. CONSTRUYENDO UNA TABLA DE FRECUENCIA Y SUHISTOGRAMA

Las tablas de frecuencia son elementos que nos ayudan a representar un gran conjunto de datos estadsticos de

manera sencilla, y nos permite realizar clculos de forma ms dinmica. Otra forma de representar dichos datos es

mediante los histogramas, herramienta que nos ayuda a visualizar los datos mediante el uso de barras. En este senti-

do, realicemos la siguiente actividad:

1. A partir de la lectura antes realizada, construye una tabla de frecuencia, utilizando datos estadsticos refe-

ridos a alguna de las siguientes situaciones: robo de vehculos por zona, incendios en una zona durante un

determinado perodo de tiempo, cantidad de emergencias con materiales peligrosos, incidentes con armas

blancas en un determinado penal, hurtos de pertenencias, entre otros. Esta tabla debe contener una muestra

de tamao 30 y los siguientes tipos de frecuencia: frecuencia relativa, absoluta, relativa acumulada y absoluta

acumulada.

2. Tomando como referencia la tabla antes elaborada, realiza su representacin grfica en forma de histograma.


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TRAYECTO II

23


Con el fin de sistematizar los saberes abordados a

travs de las actividades planteadas en el encuentro

didctico, cerraremos con una actividad final donde se

podr valorar el proceso de aprendizaje. En esta sec-

cin, estn una serie de planteamientos referidos a ta-

blas de frecuencia e histogramas, a los cuales se dar

respuesta clara y coherente. Para ello:

Responder todas las preguntas planteadas en el or-

den que se te presentan.

Socializar tus reflexiones y comentarios con tus de-

ms compaeras y compaeros de ambiente en los

encuentros presenciales.

Sistematizar la experiencia para establecer relacio-

nes entre los saberes abordados y nuestro contexto

laboral.

1. Realiza una tabla de frecuencias que permita

analizar de mejor forma la informacin arrojada por

una encuesta que se realiz en la ciudad de Caracas.

Dicha encuesta est dirigida a conocer la cantidad de

personas que habitan en una misma casa. Los datos

arrojados por la encuesta fueron los siguientes:

5 3 6 8 7 9 4 4 6 2 3 6 7 4 8

6 8 4 7 3 3 7 5 6 8 9 10 8 7 9

8 5 6 4 3 5 4 7 2 3 2 4 7 9 10

3 5 7 8 3 2 6 7 5 3 4 6 7 3 4

Posteriormente elabora un histograma que resuma los datos recogidos.

Tabla de frecuencia:

Histograma:


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TRAYECTO II


Histograma:

Grfico circular:

2. Se te ha pedido ayuda en un estudio para determinar la frecuencia en la que se cometen delitos individuales o

grupales. Los datos de los ltimos 15 das en una determinada zona de Caracas se presentan en la siguiente tabla:

Tipo de delito Individual Grupal

ltimos15das

Hurtos a personas 9 3Homicidio 15 11

Robo a transporte pblico 1 9

Robo a microempresas 4 17

Apropiacin indebida 5 2

Violacin 13 6

Secuestro 1 7

Extorsin 9 4

Con base en estos datos, responde las siguientes

preguntas:

a. Cmo se delinque con mayor frecuencia: individual ocolectivamente? Qu dato estadstico nos lo indica?

b. Qu delito se comete mayormente y con qu fre-

cuencia? Qu dato estadstico nos lo indica?

c. Cul ser la cantidad estimada de delitos para dentro

de 4 aos?

d. Elabora un histograma con los datos presentados.

e. Elabora un grfico circular que describa los datos re-

cogidos.


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TRAYECTO II

25

Clave de respuestas

1. La tabla de frecuencia que resume los datos es la siguiente:

N de personas f i

hi

pi

Fi

Hi

Pi

2 4 0,06666667 6,66666667 4 0,06666667 6,66666667

3 10 0,16666667 16,6666667 14 0,23333333 23,3333333

4 9 0,15 15 23 0,38333333 38,3333333

5 6 0,1 10 29 0,48333333 48,3333333

6 8 0,13333333 13,3333333 37 0,61666667 61,6666667

7 10 0,16666667 16,6666667 47 0,78333333 78,3333333

8 7 0,11666667 11,6666667 54 0,9 90

9 4 0,06666667 6,66666667 58 0,96666667 96,6666667

0 2 0,03333333 3,33333333 60 1 100

Recordemos que la frecuencia absoluta es el nmero

de veces que se repite un dato, la frecuencia relativa es

el cociente entre la absoluta y el tamao de la muestra N

y los pison los porcentajes (producto de las frecuencias

relativas con 100)

El histograma es el siguiente:

a. Individual el homicidio y grupal el robo a microem-

presas, el dato estadstico consultado es la frecuencia

relativa de los datos.

b. El delito que mayormente se comete es el homicidio,

con una frecuencia de 26; el dato estadstico consul-

tado es la suma de las frecuencias relativas de los ho-

micidios.

c. Conocemos que el nmero de delitos durante los 15

das estudiados es 116 (suma de las frecuencias), el

ao posee 12 meses, con lo cual por ao se comete-

ran un estimado de 116 x 24 = 2 784, luego por cua-

tro aos dara un total estimado de 11 136 delitos.

d.Histogram


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TRAYECTO II


e.

Individual Grupal


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TRAYECTO II

27


Estimados y estimadas estudiantes, al incursionar en

el estudio de fenmenos sociales se debe describir gru-

pos de observaciones y comportamiento de diferentes

variables. Esta descripcin coadyuva a la comprensin

de la dinmica social con relacin a la funcin como

funcionario y funcionaria de los rganos de seguridad

ciudadana en el ejercicio profesional. Este encuentropretende la construccin de saberes referentes a las me-

didas de tendencia central: media, mediana y moda y la

comparacin entre ellas, con el fin de evaluar situaciones

para decidir niveles de actuacin precisa y clara, reportar

a sus superiores cifras que reflejen resumidamente los ni-

veles de violencia, comportamientos delictivos, factores

crimingenos, entre otros.

Asimismo, el uso de medidas de tendencia central

nos permite describir en forma resumida la realidad de

los grupos medianos, unidades de trabajo e institucionesque estn bajo nuestra supervisin. Este conocimiento

preciso permite promover actividades para mejorar el

desempeo de las y los supervisados, coordinar acciones

con otras instituciones y la comunidad, promover y esti-

mular las buenas prcticas; en funcin de los resultados

que reflejen aquellas medidas.

Para construir slidamente las nociones sobre las me-

didas de tendencia central, sugerimos construir un mapa


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

SABERLas y los estudiantes desarrollarn habilidades para

la elaboracin de estudios estadsticos aplicando

las medidas de tendencia central en problemas

vinculados a la seguridad ciudadana con lo cual se

puedan planificar acciones que permitan su abordaje

y resolucin.

mental, donde se represente grficamente las nociones

generales sobre esas medidas.

Realiza la lectura Estudio de las medidas de tendencia

central. Esto permitir conocer y reforzar los aspectos

metodolgicos, tcnicos y tericos necesarios para com-

prender su utilidad, especialmente relacionndolo con

las funciones de las funcionarias y funcionarios de los r-

ganos de seguridad ciudadana.

Asimismo, dentro de las actividades se proponen al-gunos datos que se utilizarn para calcular media arit-

mtica, moda y mediana en datos agrupados y datos no

agrupados.

Para culminar el encuentro, est una actividad final

donde se utilizar utilizar todo lo aprendido, consta de

ejercicios con distintos niveles de complejidad. Por lti-

mo, se presentan las claves de respuestas que permitir

evaluar los avances.

ACTIVIDAD 1. LECTURA: MEDIDAS DETENDENCIA CENTRAL

LEAMOS CON ATENCIN!

Una vez que se han recogido los valores que toman

las variables de nuestro estudio (datos), procederemos

al anlisis descriptivo de los mismos. Para variables ca-

tegricas, como el sexo, se quiere conocer el nmero

de casos en cada una de las categoras, reflejando ha-

bitualmente el porcentaje que representan del total, y

expresndolo en una tabla de frecuencias.

Las medidas de centralizacin o medidas de tenden-

cia central vienen a responder a la primera pregunta.

Las medidas de tendencia central corresponden a

valores que generalmente se ubican en la parte cen-

tral de un conjunto de datos. Ellas permiten analizar los

datos en torno a un valor central). Entre stas estn la

media aritmtica, la moda y la mediana.


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TRAYECTO II


Media

La mediano es ms que la suma de todos los valores

de una variable dividida entre el nmero total de datos

de los que se dispone.

Ejemplo 3.1: se realiz una redada en la cual se detu-vieron 10 personas con las siguientes edades: 15, 16, 19,

20, 22, 24, 26, 33, 40, 41. A partir de estos datos calcule-

mos la media:

De esta forma tenemos que la media de edad es 23.

Ms formalmente, si denotamos por (X1, X2,..., Xn) los

n datos que tenemos recogidos de la variable en cues-

tin, el valor medio vendr dado por:

Para datos agrupados la media se calcula de la si-

guiente forma:

En donde fies la frecuencia absoluta, n es la suma de

las frecuencias absolutas, m el nmero de clases y Xiel

punto medio de cada clase.

=15+ 16+ 19+ 20+ 22+ 24+ 33+ 40+ 41

10 = 23

= =!

!

!!!

= =!!

!

!

Mediana

Otra medida de tendencia central que se utiliza habi-

tualmente es la mediana. Es la observacin equidistante

de los extremos.

La mediana del ejemplo anterior sera el valor que

deja a la mitad de los datos por encima de dicho valor y

a la otra mitad por debajo. Los datos deben estar orde-

nados. Para el clculo de la mediana tenemos que tomar

en consideracin si el nmero de datos es par o impar.

Si el nmero de datos es impar, la mediana es igual al

dato central de la misma, si el nmero de datos es par,

la mediana es igual a la media de las dos puntaciones

centrales.

En el ejemplo anterior tenemos 10 datos con lo cual la

mediana es igual a:

Si la media y la mediana son iguales, la distribucin

de la variable es simtrica. La media es muy sensible a la

variacin de las puntuaciones. Sin embargo, la mediana

es menos sensible a dichos cambios.

Si tenemos datos agrupados, la mediana se encuen-

tra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega

hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es

decir, tenemos que buscar el intervalo en donde se en-

cuentre el valor N/2 (semi-suma de las frecuencias abso-

lutas). La mediana se calcula de la siguiente forma:

Lies el lmite inferior de la clase donde se encuentra la

mediana, Fi-1

es la frecuencia acumulada anterior a la cla-

Mediana

=22+ 24

2 = 23

= ! +

2 !!!

!!


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TRAYECTO II

29

se mediana y aies la amplitud de la clase. Un dato impor-

tante es que la mediana es independiente de la amplitud

de los intervalos.

Veamos un ejemplo: Tomemos los datos del ejemplo

de la tabla tipo III, referida en el estudio didctico 2. Cal-culemos la mediana a partir de esa tabla.

Realicemos ahora una tabla de frecuencia:

Analizando el valor calculado (N/2) concluimos que el

intervalo de la mediana es [8 876, 10 144), con lo cual el Li

= 8 876, el Fi-1

=17 y fi= 8. Veamos la ecuacin:

Moda

Por ltimo, otra medida de tendencia central, no tanusual como las anteriores, es la moda, siendo ste el

valor de la variable que presenta una mayor frecuencia

dentro de un conjunto de datos. Puede haber ms de

una moda, si todos los datos tienen la misma frecuencia

decimos que no tenemos moda.

Con el ejemplo de la tabla tipo II la moda es igual a 17,

pues es el valor que posee mayor frecuencia.

2 =

50

2 = 25

Intervalo f i

Fi

[5 072, 6 340) 4 4

[6 340, 7 608) 6 10

[7 608, 8 876) 7 17[8 876, 10 144) 8 25

[10 144, 11 412) 5 30

[11 412, 12 680) 8 38

[12 680, 13 948) 4 42

[13 948, 15 216) 4 46

[15216, 16484) 1 47

[16 484, 17 752) 2 49

[17 752, 19 020) 1 50

= 8876+25 17

8 1268 = 10144

Para datos agrupados la moda se calcula con la si-

guiente ecuacin:

En donde Lies el lmite inferior de la clase modal (Cla-

se con mayor frecuencia), fi es la frecuencia de la clase

modal, fi-1

es la frecuencia de la clase anterior a la clase

modal, fi+1

es la frecuencia de la clase siguiente a la clase

modal y aies la amplitud de la clase.

Comparacin entre las medidas de tendenciacentral

La media es la medida ms comn de tendencia cen-

tral. Se presta para mayor manipulacin e interpretacinalgebraica. Desafortunadamente, la media se ve afecta-

da por valores extremos, o valores atpicos, y a diferencia

de la mediana, puede ser sesgada por las observaciones

que estn muy por encima o muy por debajo de sta.

La moda tambin es menos afectada por unas pocas

observaciones atpicas. Sin embargo si no hay moda o si

el conjunto de datos es bimodal, su uso puede ser con-

fuso.

Esto no implica que una medida sea necesariamente

mejor que otras. La medida que se seleccione dependede la naturaleza de los datos o de la forma como se utili-

cen los datos.

ACTIVIDAD 2. CONOCIENDO LASMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las estadsticas permiten observar el comporta-

miento de una variable, con lo cual se puede describir

y hasta predecir sus acciones posteriores. Unas de las

herramientas ms sencillas con las cuales se puede des-cribir estas variables son las medidas de tendencia cen-

tral. En este sentido, te invitamos a realizar la siguiente

actividad:

1. Elabora un mapa mental en donde describas las

medidas de tendencia central (media, moda y media-

na). Utiliza las palabras o imgenes que te vengan a la

mente, no es necesario leer ningn contenido previo.

= ! + ! !!!

! !!! + (! !!!)!


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TRAYECTO II


2. El mapa debe tener al menos 8 palabras o imgenes

relacionadas con cada una de las medidas de tenden-

cia central.

3. Posteriormente realiza una breve reflexin (mximo

5 lneas) acerca de lo que se entiende sobre las me-

didas de tendencia central, utilizando como base el

mapa elaborado.

ACTIVIDAD 3. CALCULANDO LASMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son muy utilizadas

en distintos mbitos porque nos permite resumir el com-

portamiento de una variable, sin embargo, el resultado

del clculo de estas medidas requiere de una interpre-

tacin contextualizada en funcin de la temtica que se

aborda, para obtener una correcta descripcin. Por ello,

desarrollemos la siguiente actividad:

Realiza los siguientes problemas vinculados a tu

funcin:

1. Se desea estudiar las denuncias por robo de auto-

mviles en Venezuela, para el cual slo se conoce el

porcentaje de robo por da de la semana y el total de

robos semanal en promedio. Los porcentajes son los

siguientes: lunes 13%, martes 10%, mircoles 17%,

jueves 19%, viernes 18%, sbado 14%, domingo 9%. Eltotal de denuncias de robos semanales es de 110 por

semana. Utilizando estos datos realiza lo siguiente:

a. Elabora un cuadro con las frecuencias semanales utili-

zando los porcentajes dados.

b. Elabora un histograma con los porcentajes dados.

c. Realiza una grfica circular con los porcentajes diarios.

d. Calcula la media, mediana y moda de la muestra. In-

terpreta los resultados.

2. La direccin de proteccin civil y administracin de

desastres est interesada en conocer el promedio de

vctimas de sucesos adversos a travs del tiempo a fin

de estudiarlos y as conseguir abordarlos de la mejor

forma posible. Para ello tenemos la siguiente tabla en

la cual se nos presentan un conjunto de sucesos y sus

nmero de vctimas:

Realiza un estudio de las medidas de tendencia cen-

tral y realiza un grfico circular que represente los datos

de la tabla.

3. Se han presentado diversos accidentes con armas

de fuego de disparos involuntarios entre las y los ofi-

ciales de una la estacin policial A. Se desea conocer

las razones de estos incidentes por lo cual se te solicita

realizar un anlisis de los incidentes de este tipo

ocurridos en los ltimos 6 meses desde el punto de

vista estadstico. Los datos registrados se presentan a

continuacin:

Suceso adverso Nmero de vctimas

1982. Tacoa: explosin de gas en los depsitos de combustible. 62

1987. El Limn: desastre natural. 100

1993. Tormenta Brett. 184

1997. Terremoto de Cariaco, estado Sucre. 71

2004. Macuto y Margarita: intensas precipitaciones ocasionadas por el Huracn

Ivn.14

2005. Tragedia del Mocotes: vaguada y deslizamientos producidos

por intensas lluvias.70

2008: Fuertes lluvias en todo el territorio nacional. 14

2009. Derrame txico en Clarines, estado Anzotegui. 13

2012: Explosin en la refinera de Amuay, estado Falcn 55


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TRAYECTO II

31

Oficial N de disparos Hora del suceso Lugar del suceso Razn manifestada

Vsquez 1 7 am Estacin policial Descuido

Gmez 1 5pm Estacin policial Mal manejo

Daz 2 10am Estacin policial Descuido

Garca 1 8am Fuera de la estacin Desconocida

Mendoza 1 1 pm Fuera de la estacin Mal manejo

Quintero 1 8pm Estacin policial Mal manejo

Martnez 1 10am Estacin policial Mal manejo

Utilizando estos datos realiza lo siguiente:a. Elabora un grfico circular que represente los porcen-

tajes de frecuencia de cada una de las variables invo-lucradas, para ello en el caso de las horas, elabora unaclase en donde se pueda apreciar de mejor forma losresultados (Clases de 4 horas o clases por la maana,

tarde y noche, etc.)

b. Calcula la media, mediana y moda de las variables encaso de ser variables cuantitativas y slo la moda enlas variables cualitativas. Analiza los resultados.

4. La direccin nacional de bomberos est interesadoen conocer las medidas de tendencia central para elnmero de servicios realizados por estados. Los datosson presentados a continuacin, debes calcular lamedia, mediana y moda:

Estados de Venezuela Total de servicios atendidospor cuerpos de bomberos

Amazonas 3 000

Anzotegui 20 816

Apure 4 000

Aragua 10 533

Barinas 1 000Bolvar 7 666

Carabobo 6 500Cojedes 11 030

Distrito Capital 103 215

Falcn 14 963

Gurico 4 000

Lara

6 000

Mrida 18 320

Miranda 118 517

Monagas 10 877

Nueva Esparta 5 000

Portuguesa 3 924

Sucre 5 000

Tchira 5 500

Trujillo 11 699

Vargas 4 500

Yaracuy 7 000Zulia 175 932

5. Se desea conocer el comportamiento delictivo en

una determinada zona, para lo cual se posee un cierto

nmero de casos de diversos delitos. Se realiza el es-

tudio de estos casos dividindolos por horarios y por

el clima que se tena en ese momento, se seleccion

una muestra con la misma cantidad de das para cadaestacin climatolgica y se agruparon los datos en la

siguiente tabla:

Das lluviosos

Horas Nmero de delitos

12am-3am 243

3am-6am 102

6am-9am 105

9am-12pm 56

12pm-3pm 43

3pm-6pm 99

6pm-9pm 121

9pm-12am 208

Das soleados

Horas Nmero de delitos

12am-3am 2 156

3am-6am 1 245

6am-9am 1 134

9am-12pm 820

12pm-3pm 906

3pm-6pm 1 243

6pm-9pm 1 564

9pm-12am 2 322

Utilizando estos datos responda lo siguiente:

a. Cul es el promedio de delitos para los das lluviosos

y para los das soleados? Cmo se traducen estos

datos en la vida real?


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TRAYECTO II


Institucin educativa Trimestre N de privados de libertad

UNEFA

1ero 10

2do 8

3ro 9

4to 13

INCES

1ero 15

2do 18

3ro 19

4to 23

Misin Sucre

1ero 22

2do 203ro 18

4to 26

Estudios musicales

1ero 32

2do 35

3ro 37

4to 41

Sector Delitos contra la propiedad Delitos contra la persona

El Valle 34 543

Coche 54 372

El Hatillo 177 101

Catia 89 769

Altamira 132 53

San Agustn 39 438

Prados del este 172 45

Petare 42 655

Las Mercedes 145 23Cumbres de Curumo 122 18

El Guarataro 10 375

Propatria 13 402

b. Elabora un histograma que refleje los datos presenta-

dos en la tabla, y responde: Qu se puede apreciar en

el grafico? En qu intervalo se encuentra la moda de

cada variable? Calcule la moda.

6. Una compaa est interesada en el nmero de

privados de libertad que estudian en el centro peni-

tenciario de Carabobo. Los datos de este recinto son

los siguiente:

Realiza un estudio de las medidas de tendencia cen-

tral por instituciones y por trimestres, luego describe tus

conclusiones.

7. Se realiz un estudio estadstico utilizando los

datos delictivos que se presentaron en un perodo de

tiempo divididos por sectores en la ciudad capital. Los

datos son los siguientes:

Utilizando estos datos realiza lo siguiente:

a. Organiza los datos en dos grandes grupos de acuerdo

con el comportamiento delictivo que predomina en

cada sector y calcula e interpreta el promedio de cada

uno de ellos.

b. Realiza dos grficos circulares con los porcentajes

de delitos de los dos grandes grupos elaborados

en el primer tem, compara los mismos y refleja tus

conclusiones.


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TRAYECTO II

33

fuego). Se conoce que este tipo de robos se realizacuando la unidad lleva un alto nmero de personaspero no excesivo. Para realizar este anlisis se presen-tan los siguientes datos:

Los datos de la tabla corresponden a 7 camionetas y

al promedio de pasajeros que la abordan. Calcula el pro-

medio de la afluencia de pasajeros en cada horario para

posteriormente calcular una media general del mismo.

Con los promedios de cada horario elabora un grfico de

histograma e identifica la moda en el mismo, interpreta

estos resultados. En qu horario son ms propensas las

camionetas de ser abordadas por delincuentes armados?

ACTIVIDAD 4. INTERPRETANDO LAREALIDAD

Estimadas y estimados estudiantes, en la actividad

titulada Calculando la medida de tendencia central se

resolvieron los problemas estadsticos contextuali-

zados en el ejercicio de la funcin de los rganos de

seguridad ciudadana; en este apartado proponemos

determinar algunas medidas de tendencia central vin-

culadas a tus funciones en las comunidades en donde

prestas tus servicios como funcionario o funcionaria de

seguridad ciudadana. Para llevar a cabo esta actividad:

Realiza un estudio estadstico en donde recojas da-

tos de una muestra de al menos 15 datos, en los

cuales se estudien 3 variables tanto cualitativas

como cuantitativas (por ejemplo, dos cualitativas y

una cuantitativa).

Elabora una tabla de frecuencia y su representacin

grfica.

Calcula las medidas de tendencia central e inter-

preta los resultados.


Con el fin de sistematizar los saberes abordados atravs de las actividades planteadas en el encuentro di-dctico, cerraremos con una actividad donde se podrvalorar el proceso de aprendizaje. En esta seccin estuna serie de planteamientos referidos a las medidas detendencia central, a los cuales se dar respuesta clara ycoherente. Para ello:

Responde todas las preguntas planteadas en el ordenque se te presentan.

Socializa tus reflexiones y comentarios con tus demscompaeras y compaeros de ambiente en los en-

cuentros presenciales.

Sistematicemos la experiencia para establecer rela-ciones entre los saberes abordados y nuestro contex-to laboral.

1. Se quiere estudiar la afluencia de pasajeros de unalnea de camionetas que labora en Caracas con elfin de conocer el momento en el cual se realiza ma-yor cantidad de robos a mano armada (con arma de

Horas A B C D E F G

5:00am a8:00am

155 122 189 143 100 121 117

8:00am a11:00am

206 203 188 127 145 180 192

11:00am a2:00pm

88 67 78 45 39 67 58

2:00pm a5:00pm

105 89 97 68 79 102 110

5:00pm a8:00pm

307 224 267 289 301 206 224

8:00pm a

12:00pm89 70 35 46 78 11 46


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TRAYECTO II


Histograma:

2. A continuacin se presentan los datos del nmero

de infracciones de trnsito registradas en un conocido

cruce, esto con la intencin de disminuir los acciden-

tes en el mismo, los datos se presentan durante los

doce meses del ao anterior:

Calcula las medidas de tendencia central (media,

moda si la hay y mediana) e indica cul representa mejor

los datos.

ENE FEB MAR ABR MAY JUN

321 412 326 375 398 306

JUL AGO SEPT OCT NOV DIC

299 2354 487 378 384 455

Claves de respuestas

1. El promedio es igual a la media, la cual se calcula de la

siguiente forma:

EL tamao de la muestra es 7. As los promedios son:

Entre 5 am y 8 am

Entre 8 am y 11 am

Entre 11 am y 2 pm

Entre 2 pm y 5 pm

Entre 5pm y 8 pm

Entre 8pm y 12 pm

Media general:

Histograma:

= =!

!

!!!

=1 + 122+ 189+ 143+ 100+ 121+ 117

7= 135,28

=206+ 203+ 188+ 127+ 14 + 180+ 192

7= 177,28

=88+ 67+ 78+ 4 + 39+ 67+ 8

7= 63,14

=10 + 89+ 97+ 68+ 79+ 102+ 110

7= 92,85

=307+ 224+ 267+ 289+ 301+ 206+ 226

7

= 260

=89+ 70+ 3 + 46+ 78+ 11+ 46

7= 53,57

=13 ,28 + 177,28+ 63,14+ 92,8 + 260+ 3, 7

6= 130,35


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TRAYECTO II

35

No hay moda pues no existe dato que se repita.

El dato ms propenso es entre las 5pm y las 8pm como se puede ver en el grfico (es decir, tiene mayor frecuencia).

2. Calculemos la media:

No existe moda pues no existe dato que se repita.

Calculemos la mediana, para ello primero organicemos los datos de menor a mayor:

=

321+ 412+ 326+ 37 + 398+ 306+ 299+ 23 4+ 487+ 378+ 384+ 4

12= 541,25

La mediana describe mejor los datos pues la media se ve afectada por un dato atpico (2 354) y los datos no

tienen moda.

299 306 321 326 375 378 384 398 412 455 487 2354

:378+ 384

2= 381


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TRAYECTO II



Estimados y estimadas estudiantes, el encuentro cua-

tro invita a conocer las medidas de dispersin y las me-

didas de posicin. Considerando que a la funcin de los

rganos de seguridad ciudadana estn asociados al co-

nocimiento sobre cmo se comporta una determinada

variable, es necesario estudiar cul podra ser su varia-

bilidad, en funcin de las posibles acciones que pudiera

asumir la y el funcionario en diferentes circunstancias.

Estas medidas de dispersin nos dan una idea del acerca-miento o alejamiento con respecto a una medida de ten-

dencia central. Este tipo de resultados, nos dan muestra

de cmo se comporta un hecho social; para nuestras fun-

ciones, estaran referidas a delitos, niveles de violencia,

situaciones de desastres naturales, incendios, conflictos

sociales, factores crimingenos, entre otros. Asimismo,

en este encuentro tendrs la oportunidad de conocer las

medidas de posicin. Estas permiten conocer otros pun-

tos caractersticos de la distribucin que no son los valo-

res centrales. El uso de las medidas de posicin precisanlos datos en un conjunto ms especfico, lo cual permite

describir con mayor precisin una realidad determinada.

Para desarrollar este encuentro realiza la lectura Las

medidas de dispersin y medidas de posicin, la cual te

permitir verificar que una vez agrupados los datos en

distribuciones de frecuencias, se calculan unos valores

que sintetizan la informacin. Estudiars dos grandes

secciones: Medidas posicin: situacin de los valores al-

rededor de los cuales fluctan los dems y las medidas

de dispersin: grado de desviacin de los datos respecto

de las medidas de tendencia central.

Seguidamente, presentamos una serie de ejercicios

de aplicacin para clculo de medidas de dispersin y

posicin.

Para culminar esta la actividad se deber utilizar todo

lo aprendido en los ejercicios que se presentan con dis-

tintos niveles de complejidad. Al final, estn las claves derespuestas que permitir evaluar los avances.

ACTIVIDAD 1. LECTURA: MEDIDAS DEDISPERSIN

En nuestro esfuerzo por describir un conjunto de n-

meros hemos visto que es de utilidad ubicar el centro

del conjunto de datos. Pero identificar una medida de

tendencia central rara vez es suficiente. Una descripcin

ms completa del conjunto de datos puede obtenerse si

se mide qu tan dispersos estn los datos alrededor de

dicho punto central. Esto es precisamente lo que hacen

las medidas de dispersin: indican cunto se desvan las

observaciones alrededor de su media.

Veamos los siguientes conjuntos:

Los tres tienen una media de cinco. Se debe por tan-

to concluir que los conjuntos de datos son similares? Cla-ro que no. Sin embargo, si se informa slo sus medias,

sin ver las observaciones, se puede concluir que hay si-

militud. Una imprecisin ms notoria de los conjuntos

de datos resultara si se compara el grado en el cual se

dispersaron las observaciones individuales en cada con-

junto de datos o se expandieron alrededor de la media

cinco. Las observaciones en el primer conjunto de datos

estn muy dispersas por encima y por debajo de la me-

Conjunto de datos A Conjunto de datos B Conjunto de datos C

0,5,10 4,5,6 5,5,5

MEDIDAS DE DISPERSIN Y POSICIN


SABERLas y los estudiantes desarrollarn habilidades para

la elaboracin de estudios estadsticos aplicando las

medidas de dispersin en problemas vinculados a la

seguridad ciudadana con lo cual se puedan planificar

acciones que permitan su abordaje y resolucin.


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TRAYECTO II

37

dia, mientras que aquellas del segundo grupo de datos

estn comparativamente cerca de sta. El tercer conjun-

to de datos no tiene dispersin, todas las observaciones

son iguales a la media. Sabiendo esto, sera poco proba-

ble asumir de manera errnea cualquier similitud en losconjuntos de datos simplemente con base en su media.

En este sentido, las medidas de dispersin son muy tiles

e informativas.

El rango

La medida de dispersin ms simple (y menos til) es

el rango o recorrido. El rango es simplemente la diferen-

cia entre la observacin ms alta y la ms baja. Su ventaja

es que es fcil de calcular. Su desventaja es que consi-

dera slo dos de los cientos de observaciones que hay

en un conjunto de datos. El resto de las observaciones

se ignoran. Si tenemos una muestra (x1,,x

n) ordenada

de menor a mayor, el rango viene dado por la siguiente

ecuacin:

Si los datos no estn ordenados, el rango viene dado por:

Veamos un ejemplo:Se realiz un estudio basado en los aos de servicio

que poseen los oficiales en determinada divisin y estos

son los resultados arrojados:

13 10 1 2 4 14 11 7 4 5

Se desea calcular el rango a partir de estos datos con

lo cual debemos primero ordenar los datos de menor a

mayor:

Una vez ordenados calculemos el rango:

Varianza

La varianza es una medida estadstica que mide la

dispersin de los valores respecto a un valor central (la

media). Es la media de los cuadrados de las diferencias

= ! !

= max!!!!!

! min!!!!!

!

= 14 1 = 13

entre cada valor de la variable y la media de la muestra o

poblacin. Comnmente se denota S2 2. Formalmente

la varianza para una poblacin X=(x1,,x

n) se calcula de

la siguiente forma:

Esta varianza es utilizada cuando se posee los datos

de una poblacin.

Ejemplo: Tomando los datos del ejemplo anterior, cal-

culemos la varianza. Primero calculemos la media:

Una vez calculamos la media, podemos hallar la varianza:

En algunos casos se suele trabajar con la varianza cen-

trada, que se utiliza para cuando se poseen muestras de

la poblacin. Esta viene dada por la siguiente expresin:

La varianza puede ser en algunas ocasiones difcil de

interpretar: por ejemplo en el caso antes estudiado qu

significa tener una varianza tan grande en comparacin

con los datos. Para evitar este problema definimos otra

medida de dispersin: la desviacin tpicao desviacin

estndar. Esta se halla con la raz cuadrada positiva de la

varianza. Comnmente se representa con las letras S .

Formalmente esta se calcula de la siguiente forma:

Ejemplo: Calculemos la desviacin tpica para la po-

blacin anterior:

!

!=

(!

)!!!!!

=1+ 2+ 4+ 4+ 5+ 7+ 10+ 11+ 13+ 14

10 = 7,1

!

!=

1 7,1 !+ 2 7,1

!+ 4 7,1

!+ 4 7,1

!+ 5 7,1

!

10

+

7 7,1 ! + 10 7,1 ! + 11 7,1 ! + 13 7,1 ! + (14 7,1)!

10 = 19,29

!!= (

!

)

!!

!!!

1

= !

!

= 19.29 = 4.39

1 2 4 4 5 7 10 11 13 14


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TRAYECTO II


Covarianza

La covarianza entre dos conjuntos de datos es un re-

sumen estadstico que permite conocer si las variables

estn relacionadas entre s. Si tenemos dos grupos de

variables X e Y, la covarianza viene dada por la siguienteexpresin:

Interpretacin de la covarianza

Si la covarianza es positiva, hay una dependencia di-

recta o positiva entre las variables; es decir, a grandes

valores de X le corresponden grandes valores de Y.

Si la covarianza es negativa, hay una dependencia in-versa o negativa entre las variables; es decir, a gran-

des valores de X le corresponden pequeos valores

de Y.

Si la covarianza es 0, decimos que no hay relacin li-

neal entre las variables.

Medidas de posicin

Como extensin de la idea de mediana (que divide

los datos en dos partes iguales) podramos pensar en

aquellos valores que dividen a los datos en cuatro par-tes iguales aproximadamente, representados por Q

1, Q

2y

Q3, los cuales se llaman primero, segundo y tercer cuartil,

respectivamente, claramente Q2es la mediana.

Si denotamos por Q1= x

0.25, Q

2= x

0.50, Q

3= x

0.75la no-

tacin nos dice el significado de cada uno de ellos. As,

x0,25

es un valor tal que aproximadamente el 25% de las

observaciones estn a su izquierda, similarmente para

los otros casos.

Anlogamente, los valores que dividen los datos en

diez partes iguales se llaman deciles:

En algunas aplicaciones, especialmente cuando hay

una gran cantidad de datos, es preferible usar percenti-

les (divisin de datos en cien partes iguales). El percentil

Pp o percentil psimo es el centil de p% y representa

un nmero tomado entre las observaciones, ordenadas

de menor a mayor tal que p% de la muestra est a la iz-

!" =! (! )

!

!!!

! = !,!" ,! = !,!" , ,! = !,!"

quierda y el (100 p)% est a la derecha. Para hallar Pp

procedemos de manera anloga al caso de la mediana.

En primer lugar buscamos la clase donde se encuen-

tra con p= 1,.., 99, en la tabla de las frecuencias acumula-

das. Luego aplicamos la siguiente ecuacin:

En donde Lies el lmite inferior de la clase donde

se encuentra el percentil, N es la suma de las frecuencias

absolutas, Fi-1

es la frecuencia absoluta acumulada ante-

rior a la clase media y aies la amplitud de la clase.

Ejemplo: La Universidad Nacional Experimental de la

Seguridad realiz una evaluacin para determinar el gra-

do de avance de sus estudiantes en una escala del 1 al100, arrojando la siguiente tabla de frecuencia:

Clases Frecuencia (f i) Frecuencia absoluta (F

i)

[0,10) 189 189

[10,20) 213 402

[20,30) 335 737

[30,40) 315 1 052

[40,50) 343 1 395

[50,60) 460 1 855

[60,70) 585 2 440

[70,80) 351 2 791

[80,90) 274 3 065

[90,100) 203 3 268

Se va a realizar una premiacin a las y los estudian-

tes por mrito, a partir de los resultados de la evaluacin,

slo se tomar en cuenta 20% de la poblacin. Para ello

calculemos el percentil 80-simo ya que a la izquierda deste se refleja 80% de los datos y a su derecha 20% de

ellos.

Primeramente calculamos la ubicacin del percentil,

para ello resolvamos la siguiente ecuacin:

! = ! +

100 !!!

!!

100 =

803

268

100 = 2614,4


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TRAYECTO II

39

Con esta informacin conocemos que el percentil se

encuentra en la clase [70,80), el Lies 70, el F

i-1es igual a 2

440, el fies igual a 351 y a

ivale 10. Una vez hallados los

datos, calculemos el percentil:

De esta forma sabemos que los y las estudiantes

con calificacin por encima de 74 968 son los candi-

datos a recibir la premiacin.

Simbologa

La simbologa utilizada en este programa es la siguiente:

Smbolo Descripcin

Pertenece

Nmeros reales

x,y z Variables

a,b c Constantes

max Mximo valor de un conjunto

min Mnimo valor de un conjunto

Sumatoria

: Tal que

< Menor que

> Mayor que

Menor o igual que

Mayor o igual que

Media

Li

Lmite inferior de un intervalo

fi

Frecuencia absoluta

Fi

Frecuencia absoluta acumulada

hi

Frecuencia relativa

Hi

Frecuencia relativa absoluta

pi

Porcentaje de los datos

Pi

Porcentaje acumulado de los datos

ai

Amplitud de la clase o tamao del

intervalo

Varianza

S Desviacin tpica

ACTIVIDAD 2. APLICANDO LASESTADSTICAS

Te invitamos a resolver los siguientes problemas en

los cuales debers utilizar todos los saberes abordados

en estos cuatro encuentros. Recuerda que puedes revisar

las lecturas previas si tienes alguna duda. Los problemas

son los siguientes:

Con el siguiente cuadro de datos correspondientes al

nmero de personas con problemas de drogadiccin

a partir de la edad en una zona del pas, completa losrecuadros con la respectiva informacin,

Posteriormente elabora un grfico de histograma e

interpreta el resultado obtenido. Realiza un grfico

circular que contenga los porcentajes de cada inter-

valo de edades. Calcula las medidas de tendencia

central y la desviacin tpica de la muestra y elabora

un resumen de los resultados encontrados. Calcula el

percentil 60 e interprtalo.

Se desea conocer el patrn de comportamiento de

los violadores (en caso de existir algn patrn). Para

ello se realiza un estudio de 10 personas v

md estadistica descriptiva

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