clase estadistica descriptiva multivariada

8/18/2019 Clase Estadistica Descriptiva Multivariada

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23/07/2007

PROBABILIDAD

HUMBERTO VILLALOBOS TORRESUNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Y ESTADÍSTICA

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA

23/07/2007

Estadística Multivariada

• Existen Muchas Mediciones asociadas auna población.

– Carrera. – Satisfacción con la

Universidad. – Puntaje de Ingreso. – Número de hermanos. – Etc.

De laPoblación de

Alumnos

USM

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• Se cuenta con una matriz de Datos

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• Observar el comportamiento globalde los datos. – Establecer relaciones

– Establecer grupos

– Determinar patrones.

• Se Requieren herramientas

Computacionales especializadas

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Análisis ExploratorioMultivariado

• Matriz de Asociaciones

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Análisis ExploratorioMultivariado

• Matriz de Correlaciones. – Muestra la asociación lineal entre

pares de variables.


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Organización de Datos

• La organización habitual es a travésde pares ordenados de datos.

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Organización de Datos• Análisis a través de la tabla

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Organización de Datos• Expresión en términos de Frecuencias

Relativas

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Organización de Datos• APLICACIÓN 1: Se realiza una encuesta a

profesionales que se desempeñan en cierta región,en la cual se miden las siguientes características:Cargo que ocupa, Sueldo que percibe y valor delautomóvil que posee, en miles de pesos.

,

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• APLICACIÓN 1: Se realiza una encuesta aprofesionales que se desempeñan …

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• Distribuciones Marginales.

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profesionales que se desempeñan …

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Organización de Datos• APLICACIÓN 1: Se realiza una

encuesta a profesionales quese desempeñan …

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Organización de Datos• APLICACIÓN 2: Antes de construir una presa sobre

el Río Missouri, una empresa efectuó una serie depruebas para medir un flujo de agua (en miles degalones por minuto [Mg/m]) en tres de sus grandesramas: Sioux City, Yankton y Omaha. Losresultados de las pruebas fueron organizados en lasiguiente tabla:

,

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• APLICACIÓN 2: Antes de construir una presa sobre elRío Missouri, … Determine las distribucionesmarginales …

Histograma

0

50

100

150

Flujo de rios [Mg/m]

F r e c u e n c i a

,

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Organización de Datos• APLICACIÓN 3: Un Sociólogo dirigió una

investigación para determinar la incidencia de un tipodeterminado de crimen variaba entre las cuatroregión de mayor índice delictual. Los crímenes deinterés para el sociólogo son: asalto, robo hurto yhomicidio. La siguiente tabla presenta los resultadosen una muestra de 746, 918, 1527 y 854 crímenes parala región IV, V, Central, VIII, respectivamentedurante el último año.,


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Organización de Datos• APLICACIÓN 2: Antes de construir una presa sobre el

Río Missouri, … Compare el flujo de las ramas delos ríos …

,

23/07/2007

Organización de Datos• APLICACIÓN 3: Un Sociólogo dirigió una

investigación para determinar la incidencia …Determine las distribución condicional del tipo decrimen en la quinta región … central y compare

Asalto

Robo

Hurto

Homicidio

,

Asalto

Robo

Hurto

Homicidio

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profesionales que se desempeñan …

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Organización de DatosGráfica deDispersión

Cargo

P r o m e d i o C o n d i c i o n a l a l C a r g o

0

1e6

2e6

3e6

4e6

5e6

6e6

Otros Ventas Administ rat ivo Ejecutivo Sub-Gerente Gerente

• Las Distancias en el Eje de los

Cargos son arbitrarias, Sólo dedebe tener Presente el orden dadoel tipo de escala.

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• Organización de Datos: – Distribuciones Marginales

• Se obtienen Indicadores por variable, segúnsea el tipo de escala de la variable.

– Distribuciones Condicionales• Se obtienen Indicadores por variable, según

sea el tipo de escala de la variable, envariables de interés.

• Mediante el uso adecuado de indicadores sepueden asociar variables.

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Organización de Datos yEstratificación• APLICACIÓN 4: Un estudio de una

administradora de fondos de pensiones acerca dela opción que toma el afiliado, con respecto altipo de fondo donde quiere mantener un mayorporcentaje de sus ahorros previsiones, y surespectivo nivel de ingresos (en miles de pesos)


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Organización de Datos yEstratificación• APLICACIÓN 4: En este caso cada tipo de fondo

representa un estrato o grupo, de donde a travésde las distribuciones condicionales y marginales

se obtienen los indicadores necesarios:

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administradora de ….

Utilizando la Marginal de Ingreso

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administradora de ….

Utilizando la Marginal de Ingreso

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Asociación de Variables•Existe una Matriz de Datos

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Asociación de Variables

• Tipo de Escala de la Medición

– Cuantitativa

Discreta

Continua

Intervalar

ó Razón

– Cualitativa

Nominal

Ordinal

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• Combinación entre Tipos de Escalas

– Nominal - Discreta• Comuna v/s Número de Atrasos

– Nominal - Continua• Comuna v/s % de Crédito

– Nominal - Ordinal• Comuna v/s Establecimiento educacional

– Nominal - Nominal• Comuna v/s Carrera

– Continua - Continua• Tiempo traslado v/s Tiempo dedicado al estudi0


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• Análisis Exploratorio de pares devariables.

– Gráficos Adecuados

• Análisis a través de Indicadores deasociación. – Asociación Monótona de Spearman

– Asociación Lineal de Pearson

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Indicadores de Asociación I

• Estadística de Asociación de Spearman – Es fundamental que los datos se

encuentren en al menos escala ordinal

– La aplicación más utilizada es datos noagrupados, sin embargo, bajo ciertasrestricciones se puede extender a datosagrupados

– Se basa en la relación entre los rangos dela variables

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Estadística de Spearman

• Tiene una estrecha relación con elcoeficiente de asociación de Pearson,que se verá más adelante.

2

2

1

61

( 1)

n

s i

i

r d n n

=

= −− ∑

2

( ) x y R R−• R x = Rango de la variable x.

• R y = Rango de la variable y.

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Estadística de Spearman• Rangear datos

Ordinales Continuos

61 12

8(64 1) sr = −

−6

1 48(64 1)

sr = −−

0,857 sr = 0,952 sr =

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• APLICACIÓN 1: Una Aproximación con datosagrupados en Tablas, para la aplicación de larealización de una encuesta a profesionales …

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Estadística de SpearmanGráfica de Dispersión

Cargo

P r o m e d i o C o n d i c i o n a l a l C a r g o

0

1e6

2e6

3e6

4e6

5e6

6e6

Otros Ventas AdministrativoEjecutivoSub-GerenteGerente

¡ Cuidado !


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0,60 sr =

61 14

6(36 1) sr = − −


• Una Aproximación con datosagrupados en Tablas

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Estadística de Spearman• No muestra relaciones funcionales• Indica una asociación monótona

entre las variables.

– Siempre creciente – Siempre decreciente

• Se encuentra acotado en el intervalo[-1 ; 1] – Monótona creciente 1 – Monótona decreciente -1

• Cuidado con los empates de rangos

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Estadística de Spearman• APLICACIÓN 2: Antes de construir una presa

sobre el Río Missouri, una empresa efectuó :

,

• Es posible determinar mediante el uso delcoeficiente de Spearman, las relacionesmonótonas entre las ramas de río Missouri

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Estadística de Spearman• APLICACIÓN 2: Antes de construir una presa

sobre el Río Missouri, una empresa efectuó :

,

6 50,5( ; ) 1 0,40

8 63S r Y O

×= − =

×

6 12,5( ; ) 1 0,85

8 63

S r S O ×

= − =×

6 24( ; ) 1 0,71

8 63S r S Y

×= − =

×

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Indicadores de Asociación II

• Estadística de Asociación de Pearson – Muestra la relación lineal que existe entre

dos variables

– Es fundamental que los datos seancuantitativos continuos.

– Este coeficiente al igual que Spearman seencentra acotado en el intervalo [-1; 1]

• Lineal creciente 1

• Lineal decreciente -1

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Estadística de Pearson

• Es habitual que se utilice la gráfica dedispersión para visualizar el tipo derelación


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Estadística de Pearson• Si la relación no es lineal, entonces no son

detectadas por este coeficiente.GRÁFICA DE DISPERSIÓN

0

20

40

6080

100

5 10 15 20 25X

Y

GRÁFICA DE DISPERSIÓN

0

10000

20000

30000

40000

12 17 22 27 32X

Y

GRÁFICA DEDISPERSIÓN

0

20

40

60

80

5 10 15 20 25X

Y

GRÁFICA DE DISPERSIÓN

-200

0

200

400

600

22 27 32 37X

Y

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n

i i

i p

n n

i i

i i

y y x x

r

y y x x

=

= =

=

∑

∑ ∑

1

2 22 2

1 1

( - ) ( - )

( - ) ( - )


• Asociación Lineal de Pearson

2 2 2 2

n

i i

i p

n n

i i

i i

y x n y x

r

y n y x n x

=

= =

=∑

∑ ∑

1

2 2

1 1

-

- -

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( , ) p

x y

cov x yr

s s=

Desviaciones estándarde cada variable

Mide la relaciónlineal ente un par

de variables

1

n

i i

i

y y x x

covn

==−

∑ 1

( - ) ( - )

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Estadística de Pearson• APLICACIÓN 5: Considere la siguiente situación …

Tiempo Transporte

0

10

20

30

40

50

60

70

7 9 11 13 15 17 19 21 23

Tiempos de Transporte

% d

e C a p a c i d a d n o

U t i l i z a d a

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• APLICACIÓN 5: Considere la siguiente situación …

2T 400,491S =

0,7471 pr = −

T 15,609 x = 13,037C x =

2 17,634C S =

T 20,012S = 4,199C S =

T( ; T) 62,782 C Cov C S = − =

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• APLICACIÓN 6: Gastos Publicidad v/s Cantidad

10

14

18

22

26

7 9 11 13 15 17 19 21

P [M/US$]

Q

[ M / U S $ ]


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Estadística de Pearson• APLICACIÓN 6: Gastos Publicidad v/s Cantidad

0,9684 pr =

2 12,267QS =

12,467 P x = 17,867Q x =

2 9,838 P S =

3,502QS =3,137 P S =

( ; ) 10,638 PQCov P Q S = =

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1

P

2

1

22

1

2

1

)-() - (

)-() - (

∑∑

∑ ∑

=••

=••

= =••

=q

j

j j

k

i

ii

k

i

q

j

jiij

xm f ym f

x x ym f

r



2

1

2

1

1

- -

-

2222

1

P

∑∑

∑∑

=

••

=

••

=

••

==

q

j

j j

k

i

ii

k

i

jiij

q

j

xm f ym f

x ymm f

r

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Estadística de Pearson• APLICACIÓN 7: Se aplicó una cantidad

estrógeno (C en mg.) versus su edad ( E enaños)

2 39,393C S = 38,333 E =25,417C =2 167,225 E S =

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Estadística de Pearson• APLICACIÓN 7: Se aplicó una cantidad

estrógeno (C en mg.) versus su edad ( E en años)

15 20 7 15 30 1 ... 35 60 625,417 38,333

60

39,393 167,225 pr

× × + × × + + × × − ×=

×

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La idea de Pronosticar

• Al establecer un relación funcional entrevariables, se puede utilizar una para elpronóstico de la otra.

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Estimación de Parámetros

• Para estimar los parámetros de la función depronóstico, se busca minimizar los errorescuadráticos.


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• Minimización de errores cuadráticos

Modelo funcional entre

las variables

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Clara relacióncon el coeficiente

de Pearson

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Pronósticos en las variables


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Pronósticos en la Cantidad• APLICACIÓN 6: Gastos Publicidad v/s Cantidad

10

14

18

22

26

7 9 11 13 15 17 19 21

P [M/US$]

Q

[ M / U S $ ]

0,9684 pr =

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Pronósticos en el estrógeno

• APLICACIÓN 7: Se aplicó una cantidad estrógeno(C en mg.) versus su edad ( E en años)

2660,0C S =

0,205 pr =

38,333 E =

25,417C =

2 167,225 E S =

660,0ˆ 25,417 0, 205 ( 38,333)

167,225i i y x= + × −

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Enfoque Matricial

• Se cuenta con una matriz de Datos


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Enfoque Matricial

• Es posible determinar un vector de media – Cuidado con la característica de la unidad de

medición de la variable

• Es posible determinar una matriz devarianza y covarianza entre la variables – La covarianza es un indicador de el tipo de

asociación (positiva ó negativa) entre pares devariables

– Puede tomar cualquier valor en los reales

– Es un factor de importancia para Pearson ySpearman

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Enfoque Matricial

1

1

1=

1 p×

1

1X 1t

nµ =

1

2

1

=

p p

µ

µ

µ ×

1X 1t X

n=

1

2

1

=

p p

x

x

x×

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Enfoque Matricial

• Matriz de Varianza y Covarianza (

1 11

(X 1 X ) (X 1 X )1

t t t t t n n

n × ×∑ = − −

−21 21 1

212 2 2

21 2

p

p

p p p p p

s s s

s s s

s s s×

∑ =

• Es una matrizSimétrica

S 12 = S 21

• Es una matrizsemidefinidapositiva

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Enfoque Matricial

• Aplicación Matricial

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Herramientas de Excel

23/07/2007

Herramientas de Excel

ResultadoMatriz de

covarianzas

clase estadistica descriptiva multivariada

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