ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

PROBABILIDAD Y ESTADSTICAPROBABILIDAD Y ESTADSTICAEstadstica InferencialEstadstica DescriptivaI. INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA1.1 DEFINICIN DE ESTADSTICA1.2DEFINICIN DE TRMINOS ESTADSTICOS BSICOS Tipo de variables1.3 TCNICAS DE MUESTREO 1.4 MANERAS DE RECOLECTAR DATOS a) Haciendo entrevistas personales. b) Haciendo entrevistas por telfono. Mediante cuestionarios emitidos por correo. Por observacin directa.A travs de Internet. Usando simulacin por computadoras INICIOII: ORGANIZACIN Y REPRESENTACIN DE DATOS2.1 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIASDISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS: Variable cualitativaCategora de la variable XiFrecuencias absolutasFrecuencias relativasFrecuencias absolutasAcumuladaFrecuencias relativas acumuladaCiniNiFiC1n1f1N1F1C2n2f2 N2F2Cknkfk n1totaln1

Ejemplo: En una encuesta de opinin acerca de las preferencias de una tipo de platos de comida en un pueblito de Per dieron las siguientes respuestas: P: Pachamanca; L: lomo saltado; C: cebicheP, P, P, P, P, P, P, P, L, L, L, L, L, L, L, L, L, C, C, C; construir la distribucin de frecuencias Plato de comida XiN de personasni% de personasfiNiFiPachamanca(P)840840Lomo saltado(L)9451785Cebiche (c)315 20100total20100DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS: Variable cuantitativa discretanN2N1Frec absolutas acumuladas100F2F1Frecrelativas acumuladasf2 n2X21ntotalfk nkxkf1n1X1niXiFrecuencias relativasFrecuencias absolutasValores de Xi

Ejemplo Ante la pregunta del nmero de hijos por familia (variable x) una muestra de 20 hogares, marco las siguientes respuestas: 2 0 3 1 1 1 2 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 4 4 2Construir la distribucin de la variable X.Nmero de hijos XiNmero de familias ni

%FamiliasfiNmero familias acumuladas% familias acumuladas015

1514205252735126036301890421020100total20100DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS: Variable cuantitativa continuanN2N1Frec absolutas acumuladas100F2F1Frecrelativas acumuladasf2 n2L2-L31ntotalfk nkLk-1-Lkf1n1L1-L2niLo-L1Frecuencias relativasFrecuencias absolutasIntervalosLi-1-Li

Ejemplo 3. Los ingresos semanales en dlares (variable X) de 50 empleados son: 46 47 52 54 56 57 57 58 58 59 60 61 63 63 64 65 66 67 67 67 67 67 68 68 69 69 70 70 70 70 72 72 73 73 73 74 76 76 77 77 77 79 80 82 84 85 86 88 93 94 Construir una distribucin de frecuencias. 1. Decidir cuantos intervalos usar, para eso usaremos la regla de Sturges;K=1+ 3.322 Log(n) = 1+ 3.322 Log (50) = 1+ 3.322 (1.69897) = 6.6447Por lo tanto el nmero de intervalos es K =7NOTA: la aproximacin es al entero inmediatamente superior; se recomienda que el nmero de intervalos deba ser entero y entre 5 y 20.2. Calcular el rango o recorrido de los datosR = Valor mximo Valor mnimo = 94-46+1 = 493. Calcular la amplitud comn del intervalo, usaremos un indicador:A=R/K=49/7=7 ; Luego la amplitud es: A= 7Determinamos el exceso: E = AK-R = 7x7-49=0Li-1-LiniNifiFi]46-53]3366]53-60]8111622]60-67]11222244]67-74]14362872]74-81]7431486]81-88]5481096]88-95]2504100total50100Tabla 01: Ingresos semanales de Empleados ($) . Interpretacin.n3= 11; 11 empleados que ganan entre 60 y 67 $ semN4= 36 empleados que ganan semanalmente entre 46 y 74 $F6 = 96, el 96% de los empelados ganan entre 45 y 88 $ por semana.f5 = 14, el 14% de los empleados ganan entre 74 y 81 $ semanales 154.887.2171.596.798.3172.1107.292.0105.5112.7177.9150.1146.1145.771.8141.053.5143.3104.1146.9177.358.2113.8155.686.1155.180.5123.597.251.2128.3131.7175.3129.0138.971.158.7155.5109.5131.460.2166.857.4169.681.8147.5106.8170.6116.9162.756.996.9146.3154.668.076.2101.8157.454.7151.0119.272.4121.6154.0120.3179.2156.6126.7136.190.0118.4122.696.569.9114.1107.392.770.2121.3157.6152.681.594.8150.9155.2n85kLiLsxiniNifiFixmax179.2150.967.058.95880.0940.094xmin51.2267.083.175.0510180.1180.212k8383.199.291.1511290.1290.341R128.1499.2115.3107.310390.1180.459A16.15115.3131.4123.411500.1290.588E0.76131.4147.5139.510600.1180.706Emin0.37147.5163.6155.616760.1880.894Emax0.48163.6179.7171.79850.1061851Tabla de frecuenciaejercicios2.2 REPRESENTACIONES GRAFICASLa representacin grfica de una distribucin de frecuencias depende del tipo de variable.

2.2.1 VARIABLES CUALITATIVAS

Veremos dos tipos de representaciones: Diagrama de sectores (tarta):

Est representacin grfica consiste en dividir un crculo en tantos sectores circulares como modalidades presente el carcter cualitativo, asignando un ngulo central a cada sector circular proporcional a la frecuencia absoluta ni, consiguiendo de esta manera un sector con rea proporcional tambin a ni. El ngulo central se determina as:angulo=360ni/nEjemplo 4 Hacer el diagrama de sectores para tabla siguiente.

CausasNmero de casosMala atencin26Productos inconformes3Reclamos10Otras causas1Total40CausasNmero de casosngulo(grados) Mala atencin26234Productos inconformes337Reclamos1090Otras causas19Total40360360x26/40=234360x3/4=27360x10/40=90360x1/40=9Tabla 01. Nmero de Casos segn causaGrafico 01: Nmero de casos segn CausasMala atencin 26Productos Inconformes 3Reclamos, 10Otros 1DIAGRAMA DE RECTNGULOS:Esta representacin grfica consiste en construir tantos rectngulos como categoras presente la variable cualitativa en estudio, todo ellos con base de igual amplitud. La altura se toma igual a la frecuencia absoluta o relativa (segn la distribucin de frecuencias que estemos representando), consiguiendo de esta manera rectngulos con reas proporcionales a las frecuencias que se quieren representar. Ejemplo. Hacer el diagrama de rectngulos para tabla siguiente.CausasNmero de casosMala atencin206Productos inconformes3Reclamos10Otras causas1Total40Grafico 01: Nmero de casos segn Causas

2.2.2 VARIABLES CUANTITATIVAS: DATOS SIN AGRUPAREstudiaremos dos tipos de representaciones grficas, correspondientes a distribuciones de frecuencias (absolutas o relativas) no acumuladas y acumuladas.

Diagrama de barras:Consiste en levantar, para cada valor de la variable, una barra cuya altura sea su frecuencia absoluta o relativa, dependiendo de la distribucin de frecuencias que estemos representando. Ejemplo. La tabla expresa el nmero de hijos de 25 familias, construya el diagrama de barras de las frecuencias relativas simples (fi) N de hijos(Xi) 0 1 2 3 4 Total N de familias(ni) 5 6 8 4 2 25Xinifi0 50.201 60.24280.32340.16420.08251.00

Nmero de hijosDiagrama de frecuencias acumuladas:Esta representacin grfica se corresponde con la de una funcin constante entre cada dos valores de la variable a representar, e igual en cada tramo a la frecuencia relativa acumulada (o absoluta acumulada si se trata de representar una distribucin de frecuencias absolutas) hasta el menor de los dos valores de la variable que construyen el tramo en el que es constante. Ejemplo . Graficar el diagrama de frecuencias relativas acumuladas del ejemplo anterior XiniNi0 551 61128193423422525

2.2.3 VARIABLES CUANTITATIVAS: DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS

Existen dos tipos de representaciones grficas dependiendo de si la distribucin de frecuencias en estudio es de datos acumulados o de datos sin acumular. Histograma. Al ser esta representacin una representacin por reas, hay que distinguir si los intervalos en los que aparecen agrupados los datos son de igual amplitud o no. Si la amplitud de los intervalos es constante, dicha amplitud puede tomarse como unidad y al ser Frecuencia (rea) = amplitud del intervalo altura,la altura correspondiente a cada intervalo puede tomarse igual a la frecuencia. Si los intervalos tienen diferente amplitud, se toma alguna de ellas como unidad (generalmente la menor) y se levantan alturas para cada intervalo de forma que la ecuacin anterior se cumpla. Ejemplo. Grafique los datos de la tabla

Iinifi7.65 9.1549.15 10.65810.65 12.151012.15 13.65913.65 15.15215.15-17.0134Polgono de frecuencias acumuladas:Se utiliza para representar distribuciones de frecuencias (relativas o absolutas) acumuladas. Consiste en representar la grfica de una funcin que una por segmentos las alturas correspondientes a los extremos superiores de cada intervalo, tengan o no todos igual amplitud, siendo dicha altura igual a la frecuencia acumulada, dando una altura cero al extremo inferior del primer intervalo y siendo constante a partir del extremo superior del ltimo. IinifiNiFi07.65 - 09.15 40.11840.11809.15 - 10.65 80.235120.35310.65 - 12.15100.294220.64712.15 - 13.6590.265310.91213.65 - 15.1520.059330.97115.15 - 16.6510.029341341Polgono de frecuencia

7.65 9.15 10.65 12.15 13.65 15.15 16.652.3 OTRAS REPRESENTACIONES GRAFICAS2.3.1 DIAGRAMA DE CAJA (BOX-PLOT)

A diferencia de los otros grficos ya vistos, los diagramas de caja hacen nfasis en las medidas de posicin. Es muy til para hacer comparaciones entre muestras de distintas poblaciones. Un diagrama de caja consiste en un rectngulo cuya longitud es el rango intercuartlico (IQR), dividido por un segmento a la altura de la mediana y complementado por dos lneas (llamadas bigotes) que parten de los extremos del rectngulo, cuya longitud no supera 1,5 veces el rango intercuartlico y que intentan alcanzar los valores mnimo y mximo observados.En un simple grfico se suministra informacin sobre la mediana (o media), sobre el 50% y 90% de los datos, sobre la existencia de situaciones con datos atpicos, as como de la simetra de la distribucin.

Q1=5Q3=14Q2=8Li=Q1-1.5IQRLs=Q3+1.5IQRIQR=9Ejemplo. Con base en una muestra de 20 entregas, Marcos Pizza determin la siguiente informacin:Valor mnimo = 13 minutos, Q1 = 15 minutos, mediana = 18 minutos, Q3 = 22 minutos,Valor mximo = 30 minutosDesarrolle un diagrama de caja para los tiempos de entrega.Li = q1 - 1.5 IQR = 15 - 1.5 (22-15) = 15- 1.5(7) = 4.5, como min=13, el Li=13 y no 4.5Ls = q3 + 1.5 IQR = 22 + 1.5 (22-15) = 22 + 1.5(7) = 32.5, como el mximo es 30 entonces Ls=30 y no 32.5

2.3.2 DIAGRAMA DE PARETOSe ordenan las categoras de mayor a menor frecuencia y se dibujan los rectngulos correspondientes. Es muy utilizado en controles de la calidad, donde cada clase representa un tipo de disconformidad o problema de produccin.Ejemplo 16. Durante una jornada laboral el equipo de control de calidad decidi hacer un conteo de los defectos que se presentaban en los elementos estructurales para puertas que se manufacturaban dentro de la empresa recabando los siguientes datos. Construir el diagrama de Pareto de los defectos en elementos estructurales en puertas.DefectoCantidadPorcentaje del totalFuera de perfil3037Piezas desordenadas2126Agujeros/ranuras perdidos67Fuera de secuencia67Partes no lubricadas56Piezas con rebabas56Abolladuras/Picaduras45Otros45Digama de pareto