Ec.QuispeG.JimmyJavier1 UNI VERSI DAD ESTATAL PENI NSULA DE SANTA ELENA FACULTAD DE CI ENCI AS ADMI NI STRATI VAS Es cu elad e I n gen ier aCom er cia l I NGENI ERI A EN MARKETI NG ESTADI STI CA APLI CADA Segu n d o A o Au t or : Ec.Qu is p e Gon za ba y J im m y J a viere-m a i l: ec. j i m m y qu i s p e@gm a i l. com A o Aca d m ico:20 10 -20 11 Ec.QuispeG.JimmyJavier2INTRODUCCIN Laestadsticatienesusorgenesen1662cuandoJohnGrauntpublicelartculoNaturalandPolitical ObservationsMadeuponBillsofMortality.Lasobservacionesdelautoreranelresultadodeunestudioy anlisis de la publicacin religiosa semanal llamada Bill of Mortality, la cual inclua nacimientos, bautizos y muertes junto con sus causas. Graunt se dio cuenta de que Bill of Mortality representaba apenas una fraccin de los nacimientos y muertes en Londres. Sin embargo, utiliz los datos para llegar a conclusiones relativas al impacto de las enfermedades, como la peste, en la poblacin. Su lgica constituye un ejemplo de inferencia estadstica. Su anlisis e interpretacin de los datos marcan el inicio de la estadstica. Actualmente, hay una ampliagamadeaplicacionesdelaestadsticaenlaadministracin,marketing,economa,enfermera, deportes,etcUnejemploprcticoseranlascuatrocompaasestadounidensesconmayoresingresos: ExxonMobil, General Motors, Ford y Chevron (ao 2005 en www.industryweek.com) No se puede gestionar lo que no se mide. Las mediciones son la clave. Si usted no puede medirlo, no puede controlarlo. Si no puede controlarlo, no puede gestionarlo. Si no puede gestionarlo, no puede mejorarlo. La faltasistemticaoausenciaestructuraldeestadsticasenlasorganizacionesimpideunaadministracin cientficadelasmismas.Dirigirsloenbaseadatosfinancierosdelpasado,realizarprediccionesbasadas msenlaintuicinoensimplesextrapolaciones,ytomardecisionesdesconociendolasprobabilidadesde xitouocurrencia,sonsloalgunosdelosproblemasoinconvenientesmscomuneshalladosenlas empresas. Carecerdedatosestadsticosencuantoaloqueacontecetantointernacomoexternamente,impidedecidir sobrebasesracionales,yadoptarlasmedidaspreventivasycorrectivasconelsuficientetiempoparaevitar daos, en muchos casos irreparables, para la organizacin. En otras pocas disponer de los datos y luego analizarlos resultaba una labor costosa y agotadora, pues ella se basaba en la labor manual de los directivos. Pero hoy se cuenta con computadoras y software que facilitan el clculo, por lo cual las empresas que utilicen dicho potencial obtendrn una fuerte diferencia competitiva en relacin a sus adversarios, pero ms an podrn mejorar continuamente la performance en los diversos ratios y mediciones que hacen a los procesos y actividades de la empresa. Lasempresasquenohaganusodeestasnuevaspotencialidadesyafrontendebidamentestasnuevas exigencias,nosloperderncapacidadcompetitiva,sinoquequedarndesplazadosanteloscontinuos cambios del entorno, poniendo en serio riesgo su propia continuidad. Enotraspocasconlentosprocesosdecambios,loscualesresultabancasiimperceptibleseneltiempo,se podaadministrarunaempresaconpocosdatosestadsticos.Hoy,enunmundodeprofundosyveloces cambiosentodombitoyanoesposibleactuarconindiferencia.Hoyunempresarionecesitapredecira tiempo los niveles de demanda de sus productos, necesita reconocer a tiempo los cambios de tendencia, debe no slo saber en qu se gasto, sino como se gasto en el tiempo y en que conceptos. Paranegociar,paratomardecisiones,paracorregirproblemasdecalidad,paraaumentarlaproductividad, parafijarprecios,paramejorarelmantenimientoydisponibilidaddelasmquinaseinstalaciones,para mejorar la concesin y cobranza de los crditos se requiere s o s contar con datos estadsticos. Todadecisin,todoanlisis,todopresupuesto,estprcticamenteenelairesinosecuentacondatos estadsticos suficientes y fiables. No slo a nivel empresa, sino tambin a nivel pas, los que ms han avanzado han sido aquellos que hicieron delasestadsticasunaherramientafundamental.W.EdwardsDeming,unpioneroenmtodosestadsticos para el control de calidad, seal que en Japn se pone mucho nfasis en las estadsticas para directores de empresa. En parte fue la aplicacin de las tcnicas estadsticas enseadas por Deming lo que hizo que Japn pasara de ser un fabricante de imitaciones baratas a lder internacional en productos de primera calidad. Sinestadsticasunaempresacarecedecapacidadparareconocerqueactividadesoproductoslegeneran utilidades, y cuales slo prdidas. Ec.QuispeG.JimmyJavier3 No contar con datos e interpretarlos correctamente es para los administradores como caminar en la oscuridad. Contarconlosdatoslesilumina,lespermiteverloqueestaconteciendoyenconsecuenciatomarlas medidas ms apropiadas. Un empresario conocedor de estadsticas podra contestar para su empresa: Qu clientes les generan los mayores beneficios? Qu zonas o regiones son las que generan mayores ventasen unidades monetarias y volmenes? (en total y por producto) Cules son las reparaciones que ms se han producido en el ltimo trimestre? En qu da de trabajo de cada mes logra llegar al punto de equilibrio? Qu tipo de reparaciones han generado mayores egresos? Si posee un restaurante Cules son los platos ms pedidos durante el ao y por temporada? Cules son los vinos ms pedidos y cules los ms vendidos? SI dirige una librera Cules son los temas ms vendidos? Cul es la rentabilidad que le aporta cada tema? Cmo contribuye cada tema a lograr el punto de equilibrio? Si dirige un hotel, Cul es el tiempo promedio de estada? La cantidad de clientes por zona o regin?La facturacin por profesin, zona, motivo de su visita ( turismo, negocios, salud, profesionales, capacitacin, otros)? Las estadsticas nos ayudan sobre manera a tomar las decisiones ms correctas en bsqueda del beneficio empresarial y de sus clientes. Nos ayuda por ejemplo a: Adoptar a tiempo las medidas correctivas; Confeccionar un presupuesto viable y efectivo;Administrar eficazmente su flujo de fondos;Evitar los excesos de stock y la obsolescencia de inventarios; Conocer cuando est mejorando la productividad; Negociar un incremento de precios; Prediccin de ventas por canales de comercializacin. Estudios e investigacin de mercado. Tiempos promedios, mximos y mnimos de reparaciones por tipo de averas. Coeficientes de correlacin. La Gestin Moderna Basada en Estadsticas (GMBE) seguro que ayudar a profesionales administradores de empresas En conclusin: Hoyendasehaceindispensabletenerconocimientosbsicosdeestadsticaparalatomadedecisiones ptimasennuestrasempresas,quenospermitatenerlacapacidaddegenerarideasnuevasquealaplicarse den los resultados que se pretende en el negocio. Lapresenteguahasidodiseadadeunamanerasencillaquepermitaalalumnoquegusteonodelas matemticas entender las estadsticas. Por otro lado los ejercicios y problemas estn tomados en su mayora de la realidad diaria donde nos desenvolvemos. Se recomienda que antes de iniciar este curso el alumno debe tener conocimientos bsicos de Excel y tener la predisposicin de hacer de las estadsticas su pasin. Suerte! Ec.QuispeG.JimmyJavier4OBJETIVOS GENERALES Describir las caractersticas principales de los datos agrupados y no agrupados basndose en la informacin recopiladaehistricaparaquemediantelaaplicacindeExcelyspssseanaliceprobabilidadesde fenmenos de estudio con variables discretas y continuas. Analizar informacin mediante un modelo de regresin lineal y pruebas de hiptesis aplicando Excel y spss para la toma de decisin ms ptima previa al lanzamiento de productos o servicios al mercado. COMPETENCIAS Competencias Generales de la carrera Analizar y sintetizar Aplicar los conocimientos a la prctica Trabajar de forma cooperativa en equipo Capacidad de liderazgo METODOLOGA Lapresenteguaestdiseadademaneraquecontribuyaaldesarrollodecompetenciasenlosalumnos, mediantemtodosadecuadoseldocentefavoreceelaprendizajeenlosestudiantes,lasmodalidades organizativasdentroyfueradelaulaayudanparaqueelalumnoconstruyaelconocimientoatravsdel desarrollodeejerciciosyproblemasprcticos,ademselestudiodecasosenalgunasunidadesasistepara que los valores entre compaeros se fortalezcan. Se recomienda que cada alumno vaya desarrollando la clase paso a paso con ejerciciso y problemas y al final de cada captulo se autoevale con la responsabilidad que caracteriza a un alumno universitario. Las modalidades y mtodos que se proponen son los siguientes: Modalidades Organizativas: Seminarios - Talleres Clases prcticas (Laboratorio) Trabajo en grupo Tutoras Trabajo autnomo Trabajo Autnomo: Preparacin de actividades acadmicas dirigidas Consultas bibliogrficas Investigaciones Proyectos Tareas a corto y largo plazo Mtodos de aprendizaje Resolucin de ejercicios y problemas Aprendizaje basado en problemas Estudio de Casos Aprendizaje Cooperativo Aprendizaje orientado a proyectos Ec.QuispeG.JimmyJavier5EVALUACIN El ao acadmico tendr cuatro perodos, cada uno ser evaluado en las siguientes estrategias evaluativas: ESTRATEGIA EVALUATIVA 1: Deberes% Instrumento de evaluacinCriterios 10% 1 Pruebas de ejecucin de tareas reales a corto plazo Presentacin de trabajo2 2Desarrollo 6 3Resultados2 ESTRATEGIA EVALUATIVA 2: Proyecto de Investigacin% Instrumento de evaluacinCriterios 20% 1 Trabajo de campo Encuesta5 2Contenido de trabajo y trabajo en equipo10 3Presentacin de trabajo5 ESTRATEGIA EVALUATIVA 3: Pruebas% Instrumento de evaluacinCriterios 10% 1 Pruebas escritas / Situacin problmica Razonamiento3 2Deduccin conocimientos3 3Interpretacin de resultados4 ESTRATEGIA EVALUATIVA 4: Talleres grupales% Instrumento de evaluacinCriterios 10% 1 Talleres en equipo Comprensin2 2Desarrollo de tema4 3Interpretacin de resultados4 PRUEBA FINAL% Instrumento de evaluacinCriterios 50% 1 Prueba al final de cada perodo Valores de honestidad, limpieza y responsabilidad5 2Desarrollo correcto de temas20 3Interpretacin de resultados correctos25 BIBLIOGRAFA Estadstica aplicada a los negocios y economa: Lind-Marchall;2008. Estadstica para administracin y economa; Anderson; 2005 Muestreo Estadstico, Cesar Prez Lpez; Pearson, Prentice Hall, 2005 Estadstica para administracin, Berenson Levine, Prentice Hall, 2001 Probabilidad y Estadstica para Ingeniera y Ciencias, Mendenhall Sincich, Prentice Hall, 1997 Internet:http://www.vitutor.com/estadistica.html www.spssfree.com/indice.htmlhttp://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm www.youtube.com (videos estadsticos en Excel y spss) http://www.monografias.com/trabajos34/estadistica-negocios/estadistica-negocios.shtml http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_9.htm Biblioteca Virtual UPSE http://site.ebrary.com/lib/upsesp/search.action?p00=probabilidad De esta direccin seleccionar los siguientes textos: Matemtica-Probabilidades, Colegio24hs Problemario de Probabilidad, Escalona Ivn Manual: Teora de Probabilidades, Ramrez Snchez, Waldo Estadstica, Matus, R. Hernndez y Martha Garca E. Ec.QuispeG.JimmyJavier6INDICE UNIDADESPginas Unidad I: Introduccin a Estadstica, Frecuencias y Grficas. 1.1Conceptos bsicos de Estadstica. 1.2Tipos de estadstica y su aplicacin en el marketing. 1.3Recopilacin de datos: Encuestas (directas y por internet)y niveles de medicin 1.4Tabla de frecuencias para conjunto de datos cualitativos.- Definicin y grficos 1.5Distribucin de frecuencias para conjunto de datos cuantitativos.- Definicin y grficos 1.6Representacin grfica de datos en Excel y SPSS. Unidad II: Estadgrafos y anlisis de Datos 2.1. Medidas de localizacin: Media aritmtica, ponderada y geomtrica, mediana y moda. 2.2. Medidas de dispersin: Rango, desviacin media, varianza y desviacin estndar. 2.3. Media, mediana, moda y desviacin estndar para datos agrupados. 2.4. Descripcin de datos 2.4.1.Diagrama de puntos 2.4.2.Cuartiles, decilesy percentiles 2.4.3.Diagramas de caja 2.5. Asimetra y Curtosis 2.6. tica e informe de resultados. 2.7. Aplicacin en Excel y SPSS. Unidad III: Introduccin a la Probabilidad 3.1. Definicin y enfoques 3.2. Experimento, Resultado, Evento y Espacio Muestral 3.3. Reglas de Conteo 3.4. Reglas de adiccin 3.5. Reglas de la multiplicacin 3.6. Tablas de Contingencia y Diagramas de rbol 3.7. Probabilidad Condicional 3.8. Regla de Bayes 3.9. Aplicacin en Excel Unidad IV: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 4.1. Definicin y su distribucin de probabilidad 4.2. Media, Varianza y Desviacin Estndar de una v.a.d. 4.3. Distribucin de Probabilidad Binomial 4.4. Distribucin de Probabilidad de Poisson 4.5. Distribucin de Probabilidad Hipergeomtrica 4.6. Aplicacin en Excel y SPSS. Unidad V: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 5.1. Definicin y su Distribucin de Probabilidad 5.2. Distribucin de Probabilidad Uniforme 5.3. Distribucin de Probabilidad Exponencial, aplicacin en Excel y spss 5.4. Distribucin de Probabilidad Normal y aplicacin en Excel y spss 5.5. Aproximacin de la Binomial a la Normal y aplicacin en Excel y spss 8 8 9 10 12 15 19 20 22 25 29 30 30 31 31 33 34 35 36 37 39 42 43 44 44 47 48 50 51 51 52 53 59 Ec.QuispeG.JimmyJavier7 Unidad VI: MUESTREO Y ESTIMACIN 6.1 Muestreo 6.1.1.Definicin y clasificacin 6.1.2.Mtodos de Muestreo 6.1.2.1.Muestreo Aleatorio Simple 6.1.2.2.Muestreo Sistemtico 6.1.2.3.Muestreo Estratificado Simple 6.1.2.4.Muestreo por Conglomerados 6.1.3.Error de Muestreo 6.1.4.Distribucin Muestral de la Media 6.1.5.Teorema del Lmite Central 6.1.6.Aplicacin de la distribucin muestral de las medias 6.2. Estimacin 6.2.1.Estimadores puntuales e intervalos de confianza de una media 6.2.1.1.Desviacin estndar de la poblacin conocida 6.2.1.2.Desviacin estndar poblacional desconocida 6.2.2.Intervalo de confianza de una proporcin 6.2.3.Intervalo de confianza de una varianza 6.2.4.Factor de correccin de una poblacin finita 6.2.5.Eleccin del tamao adecuado de una muestra Unidad VII: PRUEBA DE HIPTESIS 7.1. Definicin, elementos y Tipos de error 7.2. Pasos para probar una hiptesis 7.3. Prueba de significancia de una y dos colas; y Valor p 7.4. Prueba de la media con desviacin poblacional conocida y desconocida7.5. Prueba de hiptesis de la proporcin 7.6. Error tipo II 7.7. Prueba de Hiptesis para dos muestras: Muestras independientes 7.8. Prueba de proporciones de dos muestras 7.9. Prueba de medias con desviaciones poblacionales desconocidas7.10.Prueba ANOVA7.11.Prueba de bondad de ajuste: frecuencias esperadas iguales y desiguales 7.12.Aplicacin en Excel y SPSS Unidad VIII: REGRESIN LINEAL SIMPLE Y MLTIPLE 8.1. Regresin Lineal Simple 8.1.1.Supuestos y elementos 8.1.2.Mtodo de Mnimos Cuadrados 8.1.3.Interpretacin de la pendiente de la recta8.1.4.Error estndar de estimacin 8.1.5.Coeficiente de correlacin y de determinacin 8.1.6.Intervalos de Confianza y de Prediccin 8.1.7.Aplicacin en Excel y SPSS 8.2. Regresin Lineal Mltiple en spss 8.2.1.Ecuacin de regresin mltiple 8.2.1.1.Error estndar de estimacin y Coeficiente de determinacin mltiple 8.2.2.Evaluacin de supuestos 8.2.3.Regresin por pasos TRABAJO AUTNOMO TABLAS 62 63 67 67 67 67 68 68 69 70 71 71 72 72 73 74 77 78 82 83 84 85 86 87 90 90 90 92 93 94 95 95 95 96 96 96 99 117 Ec.QuispeG.JimmyJavier8 UNIDAD I: INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA, FRECUENCIAS Y GRFICAS Objetivos: Caracterizar conjunto de variables cualitativas y cuantitativas mediante distribucin de frecuencias para su representacin grfica en programas estadsticos. Competencias especficas: Capacidad de identificar variables cualitativas y cuantitativas. Tabular datos informativos en spss. Representacin honesta de los datos en grficas. 1.1Conceptos bsicos de Estadstica. Estadstica.- Ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos con el fin de propiciar la toma de decisiones ms eficaz. Tipos de Variables: a)Variable cualitativa.- La caracterstica de la variable que se estudia es de naturaleza no numrica, se agrupa en categoras. Ejemplos: el gnero, la filiacin religiosa, color de ojos, etc. b)Variablecuantitativa.-Lavariablequeseestudiaapareceenformanumrica.Sedivideen: Discretas y Continuas. VariablesDiscretas.-Adoptanslociertosvaloresyexistenvacosentreellos.Ejemplos:Nmero de camas en una casa, nmero de autos que pasan por un semforo tal, nmero de alumnos del curso que reciben estadstica aplicada, etc. Variablescontinuas.-Tomancualquiervalordentrodeunintervaloespecfico.Ejemplo:Presin del aire en la llanta de un auto, peso de una caja de tomates, duracin de un viaje Salinas-Guayaquil, etc. Por lo general las variables continuas son el resultado de mediciones. Poblacin.- Conjunto de individuos u objetos de inters o medidas obtenidas a partir de todos los individuos u objetos de inters, se representa con la letra N. Muestra.- Porcin o parte de la poblacin de inters, se representa con la letra n. 1.2 Tipos de estadstica y su aplicacin en el marketing. Tipos de Estadstica: Estadstica Descriptiva.- Mtodo para organizar, resumir y presentar datos de manera informativa. EstadsticaInferencial.-Mtodosempleadosparadeterminar,predeciroinferirunapropiedaddeuna poblacin con base en la informacin de una muestra. La estadstica en el marketing es fundamental pues por medio de esta ciencia se recopila informacin sobre clientes,empresas,productososervicios,etc.,demaneraquesepuedeaplicarestrategiasdemarketing apropiadas para el mejoramiento del negocio. Ejemplo: LaempresadepublicidadconsedeenAtlanta,BrandonandAssociates,solicitaunamuestrade1960 consumidores que probaran un platillo de pollo recin elaborado por Boston Market. De las 1 960 personas de la muestra, 1 176 dijeron que compraran el Laempresaimplementestanuevalneadenegocioenbasealainformacinrecopiladaenlaencuesta porque el platillo fue un xito en la muestra. Ec.QuispeG.JimmyJavier9 1.3 Recopilacin de datos: Encuesta y niveles de medicin Niveles de medicin Losdatosseclasificanpornivelesdemedicin.Elniveldemedicindelosdatosrigelosclculosquese llevanacaboconelfinderesumirypresentarlosdatos,ademsdeterminalaspruebasestadsticasquese deben realizar. Se clasifican desde la medicin ms baja hasta la ms alta que es el nivel de razn. Datos de nivel nominal.- Lasobservacionesacercadeunavariablecualitativasloseclasificanycuentan.Noexisteunaforma particular para ordenar las etiquetas. Ejemplo: Supongaquehaceunconteodelaspersonasqueasistenaunbardelalocalidadeinformacuntosson hombres y cuntas son mujeres. Podra primero presentar a los hombres o a las mujeres, la medicin consiste en contar. Asisten al BarNmeroPorcentaje Hombres4560.81 Mujeres2939.19 Total74100.00 Lascategorasdedatosseencuentranrepresentadasporetiquetasonombres.Ancuandolasetiquetasse codifiquen con nmeros, las categoras de datos no tienen ningn orden lgico Datos de nivel ordinal.- Los datos se ordenan de acuerdo a caractersticas de la variable. Sus propiedades son: Lasclasificacionesdelosdatosseencuentranrepresentadasporconjuntosdeetiquetasonombres(alto, medio, bajo), las cuales tienen valores relativos. En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. Ejemplo: Losestudiantesdesegundoaoevaluaronaldocentedematemticascontestandolasiguientepregunta: Cmo califica las clases del profesor de matemticas? Los resultados se muestran a continuacin: CalificacinFrecuencia Excelente5 Muy bueno29 Bueno14 Regular6 Deficiente1 Total55 La calificacin muestra el uso de la escala de medicin ordinal, una calificacin es ms alta o mejor que la siguiente. La calificacin excelente es mejor que la calificacin muy bueno pero no se sabe en qu grado es mejor calificacin, es decir no es posible distinguir la magnitud de las diferencias entre los grupos. Datos de nivel de intervalo Incluye las caractersticas del nivel ordinal, pero adems, la diferencia entre valores constituye una magnitud constante y no necesariamente la razn entre categoras distintas. Sus propiedades son: Las clasificaciones de datos se ordenan de acuerdo con el grado que posea la caracterstica en cuestin. Diferencias iguales en la caracterstica representan diferencias iguales en las mediciones. Ejemplo: La temperatura, las tallas de ropa Datos de nivel de razn Todoslosdatoscuantitativossonregistradosenelnivelderazndelamedicin.Poseetodaslas caractersticasdelniveldeintervalo,aunque,ademselpunto0tienesentidoylaraznentreentredos nmeros es significativa. Sus propiedades son: Las clasificaciones de datos se ordenan de acuerdo con la cantidad de caractersticas que poseen. Ec.QuispeG.JimmyJavier10Diferenciasigualesenlacaractersticarepresentandiferenciasigualesenlosnmerosasignadosalas clasificaciones. El punto cero representa la ausencia de caractersticas y la razn entre dos nmeros es significativa. Ejemplo: Los salarios, peso, altura, ventas, etc. La siguiente muestra los salarios anuales de 5 profesionales dedicados al rea administrativa: ProfesionalSalario ($) Castro Alex3 000 Revello Gabriela3 600 Roldn Tamara4 200 Santos Andrs4 800 Zambrano Ins6 000 1.4 Tabla de frecuencias para conjunto de datos o variables cualitativas.- Definicin y grficos Frecuencia.-Nmero de ocurrencia de una observacin en particular (f). Tabla de frecuencias.-Agrupacin de datos cualitativos en clases mutuamente excluyentes que muestra el nmero de observaciones en cada clase. Frecuencia relativa de clase.- Fraccindelnmerototaldeobservacionesencadaclase,esdecir,esladivisinentrelatotalidadde elementos de una clase y el nmero total de observaciones (f.r.). Frecuencia relativa porcentual.- Resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100%. Ejemplo: La siguiente tabla contiene informacin sobre las preferencias de lugares de visitas de un grupo de personas en sus vacaciones. Tabla no. Tabla de frecuencias sobre visita a lugares tursticos. Representacin grfica de datos cualitativos Los instrumentos ms comunes para representar una variable cualitativaen forma grfica son la grfica de barra (horizontal o vertical) y el grfico de pastel. Grfica de barras.-En un sistema de ejes X y Y, se encuentra en un eje la variable de inters y en el otro eje la cantidad, nmero o fraccin de cada uno de los posibles resultados. Una caracterstica distintiva de este tipo de grfico es que existeunadistanciaoespacioentrebarras,ademselanchodecadarectnguloesuniformeylaaltura corresponde a la frecuencia de clase (alturas proporcionales a las frecuencias de clase).Respecto al ejemplo sobre lugares de preferencia se presenta un grfico de barras horizontales de frecuencia. LUGARESPersonas que visitan (f)f. r. SALINAS500.43 QUITO250.22 PLAYAS150.13 OLON250.22 Total1151.00 Ec.QuispeG.JimmyJavier11 Interpretacin.- Deacuerdoalagrficadebarras,delas115personasencuestadas,43%prefierenvisitarSalinas,22% personas prefieren visitar Quito al igual que Oln. Grfica de Pastel.- Grficacircularquemuestralaparteoporcentajequerepresentacadaclasedeltotaldenmerosde frecuencias.Paraconstruirunagrficadepastellasfrecuenciasdecadaclasesetransformanafrecuencia porcentual (en porcentajes) y se inicia colocando el porcentaje de la primera categora en el circulo, iniciando a las 12 en punto y el resto de categoras se van sumando de manera acumulada, luego se avanza conforme las manecillas del reloj hasta completar el 100%, Ejemplo: SkiLodges.com realiza una prueba de mercado de su nuevo sitio web y le interesa saber con qu facilidad se navegaensudiseodepginaweb.Seleccionaalazar200usuariosfrecuentesdeinternetylespideque lleven a cabo una tarea de investigacin en la pgina web, solicitndoles que califiquen la relativa facilidad para navegar como mala, buena, excelente o sobresaliente. Los resultados aparecen en la siguiente tabla: Facilidad de navegarf.f. p. (%) Sobresaliente10251% Excelente 5829% Buena3015% Mala105% Total200100% 0 10 20 30 40 50 60SALINASQUITOPLAYASOLONLugaresdepreferencia(variabledeinters)Sobresaliente51%Excelente29%Buena15%Mala5% Ec.QuispeG.JimmyJavier12Interpretacin.- De las 200 personas encuestadas, el 51% calific de sobresaliente navegar en la pgina web de la compaa SkyLodge.com, un 29% calific de excelente y slo un 5% calific como mala navegar en la web, tambin se puede concluir que el 80% ha calificado como excelente y sobresaliente navegar en la web de la compaa. 1.5Distribucin de frecuencias para conjunto de datos cuantitativos.- Definicin y grficos Pararepresentarvariablescuantitativasaprenderemossobreloshistogramasypolgonosdefrecuencia. Primero analizaremos cmo agrupar datos. Distribucin de frecuencia.- Agrupacin de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestra el nmero de observaciones que hay en cada clase. Cmo crear una distribucin de frecuencias? Cuandotenemosdatosdesorganizadossellamandatosnoagrupadosodatosenbruto,selosagrupadela siguiente manera: 1.- Defina el nmero de clases mediante la relacin 2k, se escoge el valor mnimo de k que da como resultado un valormayoral nmero de observaciones. 2.- Determine el intervalo o ancho de clase que debe ser el mismo para todas las clases y deben cubrir todos los datos. Se emplea la frmula: i H-LK Donde: i es el intervalo de clase. H es el mximo valor observador (valor mayor) L el mnimo valor observado k el nmero de clases 3.-Establezcaloslmitesdecadaclasedemaneraquealtabularlosdatosnorepetimosdatos,parael presente curso se trabajar con la modalidad por ejemplo: 1500 a 1600; 1600 a 1700, etc. Esto indica que la primeraclaseabarcadatosdesde1500hasta1599,lasegundaclasedatosdesde1600hasta1699yas sucesivamente.Noolvidarquelaltimaclasedebecontenerlaobservacinmayorcasocontrariohayque volver a establecer el ancho del intervalo redondeando a un nmero un poco mayor. 4.- Tabule las observaciones para cada clase. 5.- Cuente el nmero de elementos que se repiten en cada clase (frecuencia de clase), debe ser el mismo de las observaciones no agrupadas. Ejemplo: Losdatosoriginalesquesepresentanacontinuacinsonloscargosporelectricidadygasduranteunmes, paraunamuestraaleatoriade50departamentosde3recmarasenManhattan.Elaboreunadistribucinde frecuencia. 1.26= 64, valor superior mnimo a las observaciones. Es decir trabajaremos con 6 clases. 9617120217814710215312782197 15718590116172111148130165213 141149206172123128144109167168 95163150154130143187139149166 108119183151114135191129158137 Ec.QuispeG.JimmyJavier132.i 213-826= 21.8S, es decir que el ancho del intervalo ser de 22 (redondeado) 3.Los lmites de clases seran: No.Intervalos 182 a 104 2104 a 126 3126 a 148 4148 a 170 5170 a 192 6192 a 214 Nos damos cuenta que todos los datos se encuentran dentro de los lmites de clases establecidos, sino fuera as entonces se debe ampliar un poco ms el valor i. 4.- Tabule No.IntervalosTabulacinff. r 182 a 104/////5 0,10 2104 a 126///////7 0,14 3126 a 148////////////12 0,24 4148 a 170//////////////14 0,28 5170 a 192////////8 0,16 6192 a 214 ////4 0,08 Total50 1,00 Representacin grfica de una distribucin de frecuencias Histogramas.- Grficaenlaquelasclasessesealanen elejehorizontalylasfrecuenciasdeclaseenelejevertical.Las frecuenciasdeclaseserepresentanpormediodelasalturasdelasbarras,stassedibujandemanera adyacente. Ejemplo: Con los datos del ejercicio anterior presente la informacin mediante un histograma de frecuencia. InterpDeac14 de se puede ele PolgoEssimintersEjemp pretacin.- cuerdoalhistoellas tienen cede concluir qectricidad y gaono de frecuenmilaraunhecciones de loplo con los mi1111Frecuenciaograma,delacargos entre 1que slo 4 recas. ncias.- histograma,coos puntos medismos datos dNo. 1 2 3 4 5 6 024681012141693Histogram024681012141671frecuenciaas50recmar48 y 170 dlamaras cancelonsisteensegdios de clase yel ejercicio anInterva82 a 10104 a 1126 a 1148 a 1170 a 1192 a 2Total115Camadefrecue93 1Cargos14rasencuestadaares, 12 de elllan $192 o mgmentosdery las frecuencinterior. alosPunto04 26 48 70 92 14 l 137argosporelecenciadecarg115 137porelectricidasenManhattlos tienen cargs y 5 cancelarectaqueconias de clase. o medio de cla93 115 137 159 181 203 159ctricidadygasgosporelect159 181dadygasendEctanporcargogos entre 126 an valores mennectanlospuase f 5 7 12 14 8 4 50 181s($)tricidadyga203 2dlaresc.QuispeG.Jimmsdeelectricidy 148 dlaresnores a $104 puntosformado 203as225myJavier dadygas;s, tambin por cargos osporlas Ec.QuispeG.JimmyJavier151.6Representacin grfica en spss y Excel Ec.QuispeG.JimmyJavier16Primero se ingresan los datos en la ventana vista de variables con todas sus caractersticas correspondientes comosisoncualitativasocuantitativas,segnestose deberllenarelcuadrovaloresono,ademsdeesto depender el nivel de medicin. Para graficar se sigue lo siguiente: Paravariablescuantitativas: Ec.QuispeG.JimmyJavier17Histograma para variables cuantitativas Paravariablescualitativas: Ec.QuispeG.JimmyJavier18Grfica para variable cualitativa Ec.QuispeG.JimmyJavier19UNIDAD 2: ESTADGRAFOS Y ANLISIS DE DATOS Objetivos: Describir los diferentes tipos de estadgrafos de localizacin y dispersin a travs de datos agrupados y no agrupados para el anlisis de la informacin. Competencias especficas: Describir estadgrafos Clculo de estadgrafos a mano y computadora Anlisis tico de datos 2.1. Medidas de localizacin: Media aritmtica, ponderada y geomtrica, mediana y moda. Cuando recolectamos informacin de variables cuantitativas, a las medidas de localizacin o ubicacin se las llama a menudo como promedios. Analizaremos las siguientes medidas: MediaPoblacional.-Cuandolosdatosnohansidoagrupadossepuedecalcularlamediaaritmtica poblacional sumando todos los valores en la poblacin divididos para el nmero de valores de la poblacin. Cualquiercaractersticamedibledeunapoblacinrecibeelnombredeparmetro,lamediadeuna poblacin es un parmetro. p =xN Mediadeunamuestra.-Cuandolosdatosnohansidoagrupados,lamediaaritmticadeunamuestrase obtienesumandolosvaloresdelamuestradivididosparaelnmerodevaloresdelamedia.Cualquier caracterstica medible a partir de una muestra recibe el nombre de estadstico, la media de una muestra es un estadstico. x =xn Media ponderada.- Para datos no agrupados la media ponderada es un caso especial de la media aritmtica. Paraobtenerlamediaponderadasemultiplicacadaobservacinporelnmerodevecesqueserepite, dividido para la suma de las ponderaciones. xw=(w. x)w Media geomtrica.- Resulta til para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, ndices o tasas decrecimiento,lamediageomtricasiempreesmenoroigual(nuncamayorque)quelamediaaritmtica. Todos los datos deben ser positivos. 0H = (x1)(x2) (xn)n Mediana.-Puntomediodeunconjuntodedatos(noagrupados)unavezquesehanordenadodemenora mayor o viceversa. Es ms confiable que el valor de lamedia en casos cuando existen valores extremos en los datos. Si el nmero de datos es impar, la mediana es el valor que ocupa la posicin central. Si el nmero de datos es par, la mediana es igual a la media de los dos datos centrales. X =n+12; Este valor significa la ubicacin de la mediana en el conjunto de datos que ha sido previamente ordenado. Ec.QuispeG.JimmyJavier20Sisonpareslosdatoshayquesumarlosdatoscentralesydividirparadosparaobtenerelvalordela mediana. Moda.- Valor de la observacin que aparece con mayor frecuencia. Si existen dos valores que se repiten con la misma frecuencia decimos que el conjunto de datos es bimodal. Ejemplo: Con los siguientes dos conjuntos de datos, ambos con tamao de muestra n=7. Lote 1:10232425 Lote 2:20121312141215 Calcule: a.- Media, mediana y moda para ambos conjuntos. MEDIA x1=1u +2 +S +2 +4 +2 +S7=287= 4 X

2=2u +12 +1S +12 +14 +12 +1S7=987= 14 MEDIANA LOTE 1: 2 2 2 3 4 5 10 LOTE 2: 12 12 12 13 14 15 20 MEDIANA=3MEDIANA=13 LOTE 1: 2 2 2 3 4 5 10 LOTE 2: 12 12 12 13 14 15 20 MODA=2MODA=12 b.- Compare los resultados entre ambos conjuntos. Los datos son similares tomando en cuenta que existe una diferencia de diez entre ambos conjuntos. De ah que se parezcan las respuestas, en cada resultado de los estadgrafos la diferencia es 10. 2.2. Medidas de dispersin: Rango, desviacin media, varianza y desviacin estndar.

Estudiamos dispersin para conocer cuan dispersos se encuentran los datos alrededor de la media aritmtica. Unamedidagrandededispersinindicaquelamedianoesconfiableyunamedidadedispersinpequea indica que los datos se acumulan con proximidad a la media aritmtica. Rango.-Representala diferenciaentrelos valoresmximoymnimodeunconjunto dedatos. Seaplicaen controles de procesos estadsticos por su facilidad de clculo. Ec.QuispeG.JimmyJavier21 Rango = Valor mximo Valor mnimo Desviacinmedia.-Eslamediaaritmticadelosvaloresabsolutosdelasdesviacionesconrespectoala media aritmtica. Es la media de las desviaciones de la media. En el caso de una muestra, la MD es. H = |X -X|n Donde: X= es el valor de cada observacin X= es la media aritmtica de los valores n= el nmero de observaciones de la muestra Varianza.-Mediaaritmticadelasdesviacionesdelamediaelevadasalcuadrado.Nuncaesunvalor negativo y es cero si todas las observaciones son las mismas. La varianza nos muestra como varan los datos al cuadrado respecto a la media. Esto no es fcil de interpretar por lo que se debe calcular su raz cuadrada para su anlisis. Desviacinestndar.-Eslarazcuadrada delavarianza. Muestracuantosedesvanlosdatosrespectoasu media. Frmulas: Varianza Poblacional: o2=(x-)2N

Varianza Muestral: s2=(x-x)2n-1 Desviacin Poblacional: o = o2 Desviacin Muestral: s = s2 Ejemplo: Examinando los registros de cuentas mensuales de una compaa que vende libros por correo, un empresario toma una muestra de 20 de esas cuentas no pagadas. Los adeudados a la compaa eran: (en dlares) 418117710533912 311106263715181021 Calcule el rango, varianza y desviacin estndar de la muestra e interprete los resultados. Media = 13.65 Rango: R= 37 3 = 34 Varianza: 2= (3-13.65)2+(4-13.65)2+(5-13.65)2+(6-13.65)2+(7-13.65)2+20-1 2=88.03 s = os = 88.uS s = 9.38 Ec.QuispeG.JimmyJavier22Podemos darnos cuenta que el promedio de las deudas a la compaa es de $13.65 y la desviacin estndar muestral de $9.88 nos indica que las deudas se desvan en 9.38 dlares. Interpretacin y uso de la desviacin estndar: Teorema de Chebyshev: En cualquier conjunto de observaciones (muestra o poblacin), la proporcin de valores que se encuentran a k desviaciones estndares de la media es de por lo menos 1- 1/k2, siendo k cualquier constante mayor que 1.

Regla emprica: En cualquier distribucin de frecuencias simtrica con forma de campana, se cumple lo siguiente: El 68% de las observaciones se encuentran entre: x _1o El 95% de las observaciones se encuentran entre. x _2o El 99.7% de observaciones se encuentran en: x _So Cabe recalcar que los valores de la regla emprica son como su nombre indica empricos, ms adelante conoceremos valores ms exactos.

Para el ejemplo anterior podramos decir: El 68% de las cuentas adeudadas a la compaa se encuentran entre $4.26 y $23.03, es decir que la cuenta adeudada ms baja es de $4.26 y la cuenta ms alta es $23.03: Esto se calcul de la siguiente manera: x _1o 1S.6S _1 - (9.S8) (1S.6S.9.S8; 1S.6S +9.S8) (4.26; 2S.uS)Jolorcs El95%delainformacindelasdeudasalacompaaseencuentranentrelosvaloresde-$5.11y $32.41,perocomonosdamoscuentaellmiteinferior($-$5.11)esimposible,porloqueelintervalo real que contiene al 95% de cuentas adeudadas se encuentra entre$0.00 y $32.41. El 99.7% de la informacin contiene a las cuentas entre $0.00 y $ 37.00 (revisar clculos) En Excel se utilizan las siguientes funciones estadsticas: Media aritmtica: funcin promedio Mediana: funcin Mediana Moda: funcin moda Desviacin estndar de la muestra: funcin DESVEST Varianza de la muestra: VAR Calcular parmetros (valores poblacionales)no es sencillo porque no se posee informacin a la mano o no es fcil su acceso por lo que siempre podemos encontrar informacin para obtener estadsticos.

2.3. Media, mediana, moda y desviacin estndar para datos agrupados. Cuando los datos se han agrupado en intervalo de clases, los estadgrafos siguientes se obtienen de la siguiente manera, la aplicacin de Excel y dominar conceptos facilita su clculo: Media. Xm.]nin Ec.QuispeG.JimmyJavier23Descripcin de las abreviaturas de la Media Xm= Punto medio, Valor medio de la clase. fi= Frecuencia de la clase n= Total de datos de la muestra. MedianaHc = x-1+[n2-P-1,P-P-1 Ci Descripcin de las abreviaturas de la Mediana Xi-1=Limite real inferior n2, = Posicion ue la meuiana Fi= Frecuencia acumulada donde se encuentra la mediana. Fi-1= Frecuencia acumulada absoluta menor a Fi Ci= Ancho del intervalo. Moda verdadera aproximada Ho = x-1_--1(--1) +(-+1)_ Ci Descripcin de las abreviaturas de la Moda Xi-1=Limite real inferior del intervalo donde se encuentra la moda. Fi-Fi+1=Diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia inmediato superior. Fi-Fi-1= Diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y la frecuencia inmediato inferior. Ci= Ancho del intervalo. Ejemplo: Calcule lamedia, mediana y moda para los siguientes datos agrupados: DasFrecuencia fiXmXm*fiFi 0-120.4950.9902 1-241.4955.9806 2-362.49514.97012 3-473.49524.46519 4-554.49522.47524 5-635.49516.48527 6-716.4956.49528 TOTAL2891.86 Ec.QuispeG.JimmyJavier24Media.- X= Xm.fInX = 91.8628 = 3.28 Das Mediana.-Hc = x-1+n2-Pi-1P-P-1Ci Para encontrar la mediana nos ubicamos en la columna de Frecuencia Acumulada y analizamos en que clase se encuentra n/2, esa clase ser nuestro Fi.Me =3 + 14-1219-12*1 Me= 3 + 27 1 = 3.28 DIAS Moda.-Ho = x-1_--1(--1) +(-+1)_ Ci Paracalcularlamodanosubicamosenlacolumnadelafrecuenciayobservamoslaclaseconmayor frecuencia (moda) esta clase ser nuestro fi. Mo =3 + 7-6(7-6) +(7-5)- 1 Me =3 +13 1 = 3.33 DIAS En la siguiente distribucin de frecuencia que muestra la altura en pulgadas de 20 atletas, calcular la media y la moda para los datos agrupados. AlturaFrecuencia fiXmXm-fiFi 60 - 625613055 63 - 65164646 66 - 6866740212 69 - 7157035017 72 - 7437321920 TOTAL201340 MediaX= Xm.fInX = 134020 = 67 pulgadas ModaMo =66 + 6-1(6-1) +(6-5)

66+552 = 68 pulgadas Ec.QuispeG.JimmyJavier25 Desviacin estndar de la muestra s =_. (xm-x)2n -1 2.4. Descripcin de datos Los diagramas siguientes proporcionan una idea adicional del lugar en el que los valores se concentran, as como de la forma general de los datos. Diagrama de puntos.- Agrupa los datos lo menos posible y evita la prdida de identidad de cada observacin. Cadaobservacinserepresentaconunpunto.Siexistenobservacionesidnticasocercanaslospuntosse apilanpermitiendoverdondeseencuentrandatossimilares.Losdiagramasdepuntossonmstilespara conjunto de datos pequeos mientras que los histogramas para conjunto de datos grandes. Diagrama de tallo y hojas.- Tcnica estadstica que divide a cada observacin en dos partes: un tallo y varias hojas si es el caso. El tallo se coloca en orden de manera vertical mientras que las hojas se van apilando de acuerdo al tallo. Ejemplo: Lassiguientescalificacionesfueronobtenidaspor25estudiantesenlaasignaturadeestadstica.Clasifique los datos mediante un diagrama de puntos; diagrama de tallo y hojas y diagrama de caja. 5160718290 7789777573 7684828368 7692777571 5462576263 Diagrama de puntos: (Grfica de spss) 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00calificaciones de 25 estudiantes de estadistica0123Recuento$ $ $ $$$ $$$$ $$$$ $ $ $ $ Ec.QuispeG.JimmyJavier26En spss los datos con frecuencia no los presenta un punto sobre otro punto sino que se sobreentiende que el eje y (recuento) nos indica aquello.

Diagrama de tallo y hojas a mano y en spss TalloHojas tallo 5 6 7 8 9 147 02238 135566777 223489 02 calificaciones de 25 estudiantes de estadstica Stem-and-Leaf Plot FrequencyStem &Leaf 2.005 .14 1.005 .7 4.006 .0223 1.006 .8 3.007 .113 7.007 .5566777 4.008 .2234 1.008 .9 2.009 .02 Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s) Nos podemos dar cuenta que en spss hay tres columnas, la primera muestra la frecuencia de los datos (hojas), la segunda columna nos muestra el tallo (stem) en este caso existe dos 5, dos 6, dos 7 y dos 8, cada uno el softwarelohaasumidocomoelprimer5corresponde a lashojas desde0hasta5,el segundo5alashojas desde 6 hasta 9, etc. En la tercera columna podemos darnos cuenta que estn las hojas (datos analizados) Cuartiles, decilesy percentiles.-Son medidas de dispersin, mtodos que determinan la ubicacin de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales, se estudiarn los cuartiles (dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales), deciles (dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales) y los percentiles (dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales). Cuartiles: 1: Signiico quc cl 2S% Jc los Jotos son incriorcs o mcnorcs o csc :olor o cl 7S% cs moyor. 2: El Su% Jc los Jotos son mcnorcs o csc :olor o cl Su% moyorcs, cs lo mcJiono. 3: El 7S% Jc los Jotos son mcnorcs o csc :olor o cl 2S% cs moyor. Frmulas 1= n +14 2=n +12 Ec.QuispeG.JimmyJavier273=S(n +1)4 Ejemplo: Con los datos del ejemplo anterior encuentre los caurtiles Q1, Q2 y Q3. Localizacin de un percentil: LP=(n +1)P1uu Donde:n= es el nmero de observaciones P= representa al percentil que se busca

Para hallar el cuartil uno es lo mismo que hallemos el precentil 25, la frmula quedara: L25=(2S +1)25100 = 6.50 ubicacin de los datos que previamente han sido ordenados

Nos podemos dar cuenta que esta frmula nos ayuda para calcular cuartiles y deciles tambin. EnspssapreciamosqueelcuartilQ1,eselPercentil25dandocomoresultado62.50,estosignificaqueel 25%dealumnosobtuvocomocalificacinmxima62.50puntos(enotraspalabrasel25%dealumnos obtuvo 62,50 puntos o menos), podemos concluir tambin que el 75% de estudiantes obtuvo 62,50 puntos o ms (obtuvieron 62,50 puntos como mnimo) Estadsticos calificaciones de 25 estudiantes de estadistica NVlidos 25Perdidos 0Mnimo 51.00Mximo 92.00Percentiles25 62.500050 75.000075 82.0000 No olvidemos que los precentiles 25, 50 y 75 son los cuartiles primero, segundo y tercero. Diagramasdecaja.-Eslarepresentacingrfica,basadaencuartiles,queayudaaexhibirunconjuntode datos: Para construir un diagrama de caja se necesita conocer 5 estadsticos: Valor mnimo, Q1, la mediana, Q3, y el valor mximo. A la distancia entre el tercer y primer cuartil se denomina rango intercuartl. Ec.QuispeG.JimmyJavier28 Los datos tienen un sesgo positivo (la distancia entre el cuartil 1 y el mnimo es mayor a la distancia entre el cuartil 3 y el mximo. Adems la mediana est ms cercana al cuartil 3, por otro lado el 50% de calificaciones de los alumnos (desde el cuartil 1 al 3) estn entre 62,50 puntos y 82 puntos. Para calcular los datos atpicos se utilizan dos frmulas: . A. < 1-1.S (3-1) . A. > 3+1.S (3-1) La primera frmula sirve para verificar o calcular si un dato que es menor al conjunto de datos recopilados se lo podra considerar atpico, es decir un dato extremo. La segunda frmula nos ayuda a saber si un dato que est por encima del conjunto de datos es o no un dato extremo. Hay que tener cuidado con los signos de mayor o menor que. Ejemplo: Si las edades de un grupo de jvenes es el siguiente conjunto: 14151516171615 18191819151615 18191720121213 Q1= 15 Aos Q2= 16 Aos Q3= 18 Aos Ec.QuispeG.JimmyJavier29A partir de qu edad se considerara dato extremo? Como el dato es extremo superior, entonces se utiliza la segunda frmula: . A. > 3+1.S (3-1) . A. > 18 +1.S (18 -1S) . A. > 18 +4.S . A. > 22.S oos Este valor significa que una edad de 23 aos se considerara atpica o extrema. 2.5. Asimetra y Curtosis Asimetra.- Nos indica si los datos se distribuyen de manera normal o con algn sesgo (izquierda o derecha) que significa que los datos se concentran por debajo o por encima de la media. Asimetra (sesgo positivo)grfica simtrica Asimetra (sesgo negativo) Curtosis.-l coeficiente de curtosis analiza el grado de concentracin que poseen los datos alrededor de la zona central. S2< 1Curvaleptocrtica.Losdatosestnmuyconcentradosalrededordelamedia.S2> 1Curvaplaticrtica.Indicaquelosdatosestnmuydispersos,esdecirnoestnmuyconcentradosalrededordelamedia. Ec.QuispeG.JimmyJavier30 2.6. tica e informe de resultados.- Conforme se avanza en el estudio de la estadstica es muy importante no perder la objetividad en nuestras conclusiones ni tampoco principios ticos de manera la comunicacin de los resultados sean expuestos de manera honesta, clara y verdadera. Dar un mal informe podra ocasionar una toma de decisin no eficaz que podra terminar en el cierre de una empresa o hasta la propia imagen del investigador verse mancillada. 2.1Aplicacin en Excel y spss Del ejercicio anterior en Excel: S2= 1Curvamesocrtica.Ocurvanormal.Estnlosdatosdistribuidosdemaneranormal. Ec.QuispeG.JimmyJavier31UNIDAD 3: INTRODUCCIN A PROBABILIDAD Objetivo: Determinar el espacio muestral de sucesos mediante reglas y tablas de contingencia para el clculo de posibilidades de ocurrencia de un fenmeno de estudio. Competencias especficas: Identificar reglas de probabilidad Clculo de probabilidades a mano y a computadora Toma de decisin a partir de posibilidades de sucesos en fenmenos 3.1Definicin y enfoques 3.2Experimento, Resultado, Evento y Espacio Muestral Probabilidad.- Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad de ocurrencia de un evento. Experimento.- Proceso que induce a que ocurra una y slo una de varias posibles observaciones. Tiene dos o ms posibles resultados y no se sabe cual ocurrir. Resultado.- Un resultado particular de un experimento. Evento.- Conjunto de uno o ms resultados de un experimento. Se denotan con letras maysculas. Eventossimples.-Cuandosedeseaosevaaobservarunasolacaractersticaopropiedaddeun experimento. Eventos compuestos.- Cuando en un experimento se observa dos o ms propiedades. Espacio Muestral.- Elementos que conforma un evento. Se denota con S. Ejemplo: Experimento: Lanzamiento de un dado Resultado: Son varios, por ejemplo: Se observa un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, un 6. Eventos Simples:Evento A: Se observa un nmero par, Evento B: Se observa un nmero mayor que 4, Eventos Compuestos: Evento C: Se observa un 2 o un nmero mayor. Evento D: Se observa un nmero par y mayor que 4. Espacio Muestral: El espacio Muestral del evento D sera: S= {4,6} Enfoques.- Hay dos enfoques: Subjetivo y Objetivo. Probabilidad Subjetiva.- Posibilidad de un evento en particular que asigna un individuo a partir de cualquier informacin que encuentre disponible. Ejemplos: CalcularlaposibilidaddequeBarcelonasercampenesteao.(Lainformacinqueposeeesqueest ganando sus partidos actualmente) Calcular la probabilidad de que contraiga matrimonio antes de los 30.

Probabilidad Objetiva.- Se divide en dos: Probabilidad Clsica y Probabilidad Emprica. Ec.QuispeG.JimmyJavier32ProbabilidadClsica.-Parte delsupuestodequelos resultadosde unexperimentoson igualmenteposibles. Viene dada por la frmula: P(A) =XN Donde:P(A): Probabilidad de un evento X: Nmero de resultados favorables N: Nmero total de posibles resultados Nota: La probabilidad de un evento(A) siempre est entre 0y 1. Es decir: 0 p(A) 1 Ejemplo: Considereelexperimentodelanzarundado.Culeslaprobabilidaddeleventocaeunnmeroparde puntos? A: Se observa un nmero par. P (A): Probabilidad de obtener un nmero par al lanzar un dado. X: Hay 3 nmeros pares (esto es favorable para lo que deseo observar) P(A) =XN P(A) =S6= u.S Evento Mutuamente Excluyente.- Cuando un evento se presenta significa que ninguno de los dems eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Ejemplo: Si vive en Salinas no puede vivir en La Libertad, si al lanzar una moneda se obtiene cara no puede salir sello, una persona encuestada es hombre o mujer pero no ambos. Evento Colectivamente Exhaustivo.- Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se lleva a cabo un experimento. Ejemplo: Allanzarundadoseobservarresultadosparoimpar,hayeventoscolectivamenteexhaustivosporqueal lanzarel dado saldr un nmero par oimpar, otroresultado no es posible.(esdecirnocaerel dado en un vrtice.

ProbabilidadEmprica.-Sellamatambinfrecuenciarelativa,sebasaenelnmerodevecesqueocurreel evento como proporcin del nmero de intentos conocidos. P(A) =N Y: Nmero de veces que el evento ocurre. N: Nmero total de observaciones. Ejemplo: En un curso de estadstica hay 32 estudiantes: 14 Mujeres y 18 Hombres. Cul es la probabilidad de que sea mujer? Sea hombre? Evento A: Sea Mujer P(A): Probabilidad de que sea Mujer X: Nmero de mujeres en el curso. Ec.QuispeG.JimmyJavier33N: Nmero total de observaciones: Se cont 32 alumnos de un curso. Mujeres: Hombres: P(A) =1432= u,4S7S = u.44P(B) =1832= u.S62S = u.S6 3.3Reglas de Conteo Tambinseconocencomoprincipiosdeconteo,sonreglasquemediantefrmulasfacilitancontar,se analizarn tres: Frmula de la multiplicacin, de las permutaciones y de las combinaciones. Frmula de la multiplicacin.- Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay entonces m x n formas de hacer ambas cosas. Nmero total de hacer de disposiciones = (m)(n) La frmula se puede generalizar para ms de dos eventos. Ejemplo: Si fueran tres eventos m, n y o. Nmero total de disposiciones = (m)(n)(o) Ejemplo: Un distribuidor de automviles quiere anunciar que por $20 000 usted puede adquirir tres modelos de autos: un sedn dos puertas, un modelo de cuatro puertas o un auto deportivo, cada modelo est disponible en dos colores: blanco o negro. Cuntas modelos diferentes puede ofrecer el distribuidor? Nmero total de hacer de disposiciones = (m)(n) m: nmero de modelos de autos = 3 n: nmero de colores de autos = 2

Nmero total de hacer de disposiciones a ofrecer = (3)(2) = 6 modelos diferentes a ofrecer. Permutacin.-Cualquierdistribucinderobjetosseleccionadosdeunsologrupodenposibles objetos.

La frmula de la multiplicacin se aplica para determinar el nmero de posibles disposiciones de dos o ms grupos.Encambiolafrmuladelaspermutacionesseaplicaparadeterminarelnmeroposiblede disposiciones cuando slo hay un grupo de objetos. En las permutaciones no importa el orden de los objetos. Frmula de las permutaciones: Pn = n!(n-)! n: representa el total de objetos r: representa el total de objetos seleccionados Si se va a colocar en una repisa un grupo de seis libros de texto, pero solo hay lugar para cuatro de ellos. En cuntas formas se puede colocar en l estn estos libros? n= numero de objetos o elementos distintos r = objetos seleccionados Frmulasdelascombinaciones.-Sielordendelosobjetosseleccionadosnoesimportante, cualquierseleccinseconocecomocombinacin.Lafrmulaparacontarelnmeroder combinaciones de objetos de un conjunto de n objetos es: nCr = n!!(n-)! Ec.QuispeG.JimmyJavier34En las combinaciones por lo general el nmero posible de disposiciones es menor a las permutaciones Ejemplo: Unestudiantetiene7librosquelegustaracolocarenunportafolio,perosolocabencuatro.Sinteneren cuenta como los ordeno de cuantas formas hay de colocar cuatro libros en el portafolio? 7C4= 7!4!(7-4)!=504026(6)=5040144= SS moncros posiblcs Jc colocor los libros 3.4Reglas de adicin a)Loseventossonmutuamenteexcluyentes.-Esdecirquecuandouneventoocurre,ningunodelos demseventospuedeocurriralmismotiempo.Estaregladelaadicinconocidacomoregla especial de la adicin indica la probabilidad de que ocurra uno u otro evento pero no ambos. P (A o B) = P (A) + P (B) b)Los eventos no son mutuamente excluyentes.- Los resultados de un experimento pueden suceder al mismo tiempo. Es decir, esta regla de la adicin conocida como regla general de la adicin indica la probabilidad de que suceda el evento A o el evento B o ambos. P (A o B) = P (A) + P (B) P (A y B) LaletraoindicauninU,esdecirsumadeeventostomandoencuentasisononomutuamente excluyentes. A la probabilidad de un evento simple se conoce como probabilidad marginal o simple de ese evento, y a la probabilidaddeeventoscompuestos(esdecir,laprobabilidaddedosomseventos)seconocecomo probabilidad conjunta. Alcomplementodeuneventosimplesedenotapor:AC yalaprobabilidaddeuneventocomplementose denota por: P (AC) Esto nos lleva a la regla del complemento que viene dada por la frmula: P(A) +P(Ac) = 1 Diagrama de Venn Ejemplo: La siguiente tabla nos indica el nmero de alumnos por paralelos de una carrera de segundo ao que reciben estadsticas aplicadas. ParalelosEventoNo alumnosProbabilidad de que ocurra el evento 1A400.26 2B300.20 3C450.30 4D350.23 Total1501.00 Comoseobservaenestatablaexisten4eventossimplesconsusrespectivasprobabilidades.Sisequiere obtener la probabilidad de seleccionar un alumno del paralelo B, sera: Evento B: Alumnos del paralelo 2 P (A): Probabilidad de seleccionar un alumno del paralelo 2. (Probabilidad simple) AAC Ec.QuispeG.JimmyJavier35P (B) =Su1Su= u.2 Cul sera la probabilidad de seleccionar un alumno del paralelo 2 o 4? P(B o ) = P(B) +P() = 30150+35150= u.2u +u.2S = u.4S Aestaprobabilidadsedenominaprobabilidadconjunta,loseventossonmutuamenteexcluyentespuesun alumno no puede ser del paralelo 2 y del 4 al mismo tiempo. Nota.- Cuandosetratedeejerciciosdecartas(barajas)seconsideran52cartas,delascuales26sonnegrasy26 rojas. 3.5Reglas de la multiplicacin En esta parte se estimar la probabilidad de ocurrencia de dos eventos de manera simultnea. Hay dos reglas: a)Regla especial de la multiplicacin.- Requiere que dos eventos, A y B, sean independientes, y lo son sielhechodequeunoocurranoalteralaprobabilidaddequeelotrosuceda,esdecirqueel muestreo es con reposicin. Independencia.- Si un evento ocurre, no tiene ningn efecto sobre la probabilidad de que otro evento acontezca.Frmula: P (A y B) = P(A) P (B) En el caso de tres eventos, la frmula es: P (A y B y C) = P(A) P (B) P(C) Regla general de la multiplicacin.- Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. En esta regla se aplica un muestreo sin reposicin. Por ejemplo: si hay tres naranjas en la refrigeradora y se toma una,enlarefrigeradoraquedandosylaprobabilidaddeserseleccionadaunasegundanaranjayavari(a 0.50). Frmula: P (A y B) = P (A/B) P (B)

Con las reglas de adicin se analizaron las probabilidades simples y conjuntas, en cambio con las reglas de la multiplicacin se analizar la probabilidad condicional. Probabilidadcondicional.-Probabilidaddequeuneventoenparticularocurra,dadoqueotroeventoha acontecido. De la regla multiplicativa se obtiene la probabilidad condicional como: P(A B) =P(A y B)P(B) Ejemplos: En un recipiente hay dos tubos defectuosos y cinco buenos. Se seleccionan al azar, dos tubos del depsito, sin reposicin. a) Cul es la probabilidad de que ambos tubos sean defectuosos?2tubos defectuosos +5tubos buenos 7 Evento Ad: 1 tubo defectuosoEvento Bd: 2 tubo defectuoso P (Ad y Bd)= P(Ad) P(Bd/Ad) = 27 16 =242= 121 Ec.QuispeG.JimmyJavier36 El 2/7 significa que hay dos tubos defectuosos de un total de 7, el trmino 1/6 significa que seleccionaremosotro tubo defectuoso pero de 6, dado que ya sali un defectuoso. b) Cul es la probabilidad de que el primer tubo seleccionado sea defectuoso y que el segundo sea bueno? Evento Ad: tubo defectuoso Evento Bb:tubo bueno P (Ad y Bb) = P (Ad) P (Bb/Ad) = 2756= 1042= 0,24 El 2/7 significa que hay dos tubos defectuosos de un total de 7, el trmino 5/6 significa que seleccionaremosotro tubo pero esta vez un tubo bueno de los 5, pero que ahora son 6 en totaldado que ya sali un tubo del recipiente. c)Supongaqueahoraelmuestreoesconreposicin,Culeslaprobabilidaddequeelprimertubo seleccionado sea defectuoso y que el segundo sea bueno? Evento Ad: tubo defectuoso Evento Bb:tubo bueno P (Ad y Bb) = P (Ad) P (Bb/Ad) = 2757= 1049= 0,21 El 2/7 significa que hay dos tubos defectuosos de un total de 7, el trmino 5/7 significa que seleccionaremosotrotuboperoestavezesuntubobuenodelos5,sinembargoelhaberseleccionadounprimertuboNO afecta la probabilidad de seleccionar un segundo debido a que se ha realizado un muestreo con reposicin. La formula puede ser tambin: P (Ad y Bb) = P (Ad) P (Bb) = 2757= 1049= 0,21 Esta frmula que se aplica para eventos donde el muestreo es con reposicin: 3.6Tablas de Contingencia y Diagramas de rbol Tabla de contingencia.- Tabla utilizada para clasificar observaciones (datos) de una muestra, de acuerdo con dos o ms caractersticas identificables, se la conoce tambin como tablas cruzadas o de doble entrada. En estatablasepuedeobtenerlaprobabilidadsimpleomarginal(queestenlosmrgenesosubtotalesdela misma) y la probabilidad conjunta que se encuentra dentro de la tabla misma. Para elaborar tablas de contingencia en Excel y en spss, podemos revisar en las siguientes direcciones: http://www.youtube.com/watch?v=awBkfxyk1fM (Excel) http://www.youtube.com/watch?v=VFnPhbM_6T4 (spss) Diagramas de rbol.- Es una grfica til para organizar clculos que implican varias etapas. Cada segmento del rbol constituye una etapa del problema. Las ramas del rbol se ponderan por medio de probabilidades. En las primera ramas se encuentra las probabilidades simples, y en las sub ramas de cada rama se encuentran las probabilidades condicionales, al final (diramos el fruto) se encuentran las probabilidades conjuntas. Ejemplo resumen: Enunaampliareametropolitanaseseleccionounamuestrade500entrevistadosparadeterminardiversas informacionesrelacionadasconelcomportamientodelconsumidor.Entrelaspreguntasrealizadasse encontraba:Disfrutairdecompras?De240hombres;136contestaronques.De260mujeres;224 contestaron que s. a.- Elabore una tabla cruzada y un diagrama de Venn para evaluar las probabilidades Ec.QuispeG.JimmyJavier37Eventos Sidisfrutairde compras Nodisfrutairde compras Total Hombres Mujeres 136 224 104 36 240 260 TOTAL360140500 Con los valores subrayados son los que se obtienen las probabilidades conjuntas, se divide cada valor para el total de la tabla. Cadasubtotal defilasycolumnassonvaloresconlos queseobtienen probabilidadessimplesomarginales dividido cada valor para el total de la tabla. Estatablapresenta4eventossimples:2estnenlasfilasy2eventosmsestnenlascolumnas,adems presenta 4 eventos compuestos que resultan de las intersecciones de las filas con las columnas. 3.7Probabilidad Condicional Como ya se mencion la probabilidad condicional de un evento viene dado por: P(A B) =P(A y B)P(B) P(A/B) significa Probabilidad del evento A dado el evento B. Esto quiere decir: * Que primero debi haber sucedido el evento B para que ocurra el evento A. * Si sucede B ocurre A. * Si sucede B entonces ocurre A. * Sucede A dado que ocurri B Ejemplo resumen:Tomando el ejemplo anterior sobre hombres/mujeres y si disfrutan o no ir de compras, desarrolle:

a.- Escriba los eventos simples y dos eventos compuestos Ec.QuispeG.JimmyJavier38Eventos simples: A: Si disfruta ir de compras Ac: No disfruta ir de compras B: Mujer Bc: Hombre Eventos compuestos: A y B: Mujer que disfruta ir de compras. A y BC: Hombre que disfruta ir de compras.

Probabilidad simple: b.- Cul es la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria: Sea Hombre?, disfrute ir de compras?P(Bc) = 240/500 = 0.48 P(A) = 360/500 = 0.72 c.- Cul es la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria: Sea Mujer?, no disfrute ir de compras? P(B) = 260/500 = 0.52 P(Ac) = 140/500 = 0.28 Probabilidad conjunta: d.- Qu probabilidad hay de que un entrevistado seleccionado al azar: Sea mujer y disfrute ir de compras?Sea hombre y no disfrute ir de compras?P(BA) = 224/500= 0,448 P(BcrAc) = 104/500 = 0.21 e.- Qu probabilidad hay de que un entrevistado seleccionado al azar: Sea hombre y disfrute ir de compras? P (BcrA) = 136/500 = 0.27 Probabilidad condicional: f.- Supngase que el entrevistado seleccionado sea mujer Entonces cul es la probabilidad de que no disfrute ir de compras? Primero debe ser mujer el seleccionado y luego que no disfrute ir de compras: P (AcB) = P (AcrB)P(B) = 36S00260S00 = 0.14 g.-SupngasequeelentrevistadodisfruteirdecomprasEntoncesculeslaprobabilidaddequesea hombre? P (BcA) = P (BcrA)P(A) = 136S00360S00 = 0.38 Diagrama de rbol donde se aprecian las tres probabilidades, simple o marginal, condicional y conjunta. Ec.QuispeG.JimmyJavier39 Regla de Adicin: h.- Cual es la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria sea mujer o disfrute ir de compras? P (BUA)= P(B) + P(A) P(BA) [260500 +[360500 [224500= 396500 = 0.79 i.- Cual es la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria sea hombre o no disfrute ir de compras? P (Bcu Ac) = P (Bc) + P ( Ac) P (BcrAc) [240500 +[140500 [104500= 276500 = 0.55 j.- Cul es la probabilidad de que el entrevistado seleccionado en forma aleatoria sea hombre o mujer? P (Bc u B) = P (Bc) + P (B) P (BcrB) _24uSuu] +_26uSuu]-u = SuuSuu= 1 3.8Regla de Bayes El Teorema o Regla de Bayes nos brinda un mtodo para contestar algunas preguntas muy importantes. En su esencia,estareglanosindicaculinformacinesnecesariateneryelmtodoparainvertirlacondicin cuando calculamos una probabilidad condicional: si A y B son eventos y conocemos: P(A | B), P(B), P(A | Bc) EntoncespodemoscalcularP(B|A).Lanecesidaddecalcularesteltimovalorapartirdelainformacin disponible es imprescindible para entender las consecuencias de algunas de nuestras decisiones. Teorema.- Sea {A1,A2,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad decadaunodeellosesdistintadecero.SeaBunsucesocualquieradelqueseconocenlasprobabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresin: Ec.QuispeG.JimmyJavier40p(A1B) =P(A1)P(BA1)P(A1)P(BA1) +P(A2)P(BA2) +...P(An)P(BAn) donde: P(Ai) son las probabilidades a priori (probabilidades basadas en el nivel de informacin actual) P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hiptesis Ai.P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori (probabilidades revisadas a partir de informacin adicional) Ejemplos: 1.- Considera una fbrica de botellas que cuenta con dos mquinas para producir sus botellas. En esa fbrica seproducen10,000botellasalda.LamquinaAproduce6,500botellasdiariasdelascualesel2%son defectuosas. La mquina B produce 3,500 botellas cada da de las cuales el 1% son defectuosas. El inspector de calidad de la compaa selecciona una botella al azar y encuentra que est defectuosa. Cul es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la mquina A? Para visualizar mejor los datos, los organizamos en un diagrama de rbol. Denotamos por A el evento de que la botella seleccionada haya sido producida por la mquina A y por B el evento de que haya sido producida por la mquina B. El evento de que la botella seleccionada sea defectuosa se denota por D, su complemento Dc representa una botella que no es defectuosa. LaprobabilidaddequeunabotellacualquierahayasidoproducidaporlamquinaAes.65,puesdelas 10,000 producidas, 6,500 son producidas por A. Nos interesa calcular P(A | D), la cual no se puede obtener de forma directa de los datos o del rbol que los representa. Para esto recurrimos directamente a la definicin de probabilidad condicional: P( A | D) = P(A y D) / P(D). Las cantidades P(AD) y P(A) se pueden obtener del rbol. Para que una botella seleccionada al azar sea una defectuosaproducidaporlamquinaA,debemosseleccionarprimerolamquinaAydelasbotellas producidas all seleccionar una defectuosa. Tenemos que P(A y D) = P(A) P( D | A), lo que equivale a hacer la travesa en el rbol desde su raz o comienzo hasta la hoja donde obtenemos el resultado A y D.As P(A y D) = .65 x 0.02. Para encontrar P(D) debemos darnos cuenta que una botella defectuosa puede ser producida de la mquina A odelaB.Siexaminamoslashojasdelrbol,vemosquehaydoslugaresdondeobtenemosunabotella defectuosa, A y D o B y D. Esto equivale a hacer una travesa por uno de caminos en el rbol. Estos caminos Ec.QuispeG.JimmyJavier41son mutuamente excluyentes, pues si caminamos por uno no podemos estar caminando por el otro. Segn se muestra en la figura de al lado, el evento D = (A y D) o (B y D) y su probabilidad es entonces calculada: P(D) = P(A y D) + P(B y D). Complete el Diagrama de Venn para este problema: ElprimerodeestostrminosP(AyD)yahabasidocalculado.Elsegundoseobtienedeformasimilar. Obtenemos entonces que P( B y D) = P(B) P(D | B). Uniendo estos resultados tenemos que: P(D) = P(A) P( D | A) + P(B) P(D | B). Finalmente podemos calcular la probabilidad deseada: P (A/D)=P(A)P(A)P(A)P(A)+P(B)P(B) P(A/D)=(0.65)(0.02)(0.65)(0.02)+(0.35)(0.01)=0.0130.013+0.0035= u.788 Esto quiere decir que una vez sabemos que una botella seleccionada al azar est defectuosa, la probabilidad dequehayasidoproducidaporlamquinaAes0.788.Dichodeotramanera,detodaslasbotellas defectuosas producidas, aproximadamente el 79% son producidas por la mquina A. Pregunta: Cmo se puede explicar que la mquina A produzca el 79% de las botellas defectuosas? Este hecho se debe a dos factores. El primero es que la mquina A produce casi el doble de botellas que la mquina B. An si la tasa de botellas defectuosas fuera la misma para ambas mquinas, por el mero hecho de producir un mayor nmero de botellas, la mquina A producira casi el doble de defectuosas de la mquina B. ElsegundofactoresquelatasadeproduccindedefectuosasdelamquinaAeseldobledela correspondientedelamquinaB.Enestecaso,ansiambasmquinasprodujeranlamismacantidadde botellas, las producidas por la mquina A contendran el doble de botellas defectuosas que las que vienen de la mquina B. 2.- El gerente de Ventas de una fbrica de juguetes est planeando introducir al mercado un nuevo juguete. En el pasado el 40% de los juguetes creados por la compaa han tenido xito y el 60% no ha sido exitoso. Antes de que se llegue a comercializar realmente el juguete se lleva a cabo una investigacin de mercado y se preparauninforme,favorableodesfavorable.Enelpasadoel80%delosjuguetesexitososrecibieron informesfavorables.Algerentedemercadotecnialeagradaraconocerlaprobabilidaddequeelnuevo juguete tendr xito si recibe un informe favorable. Eventos: E: Exitoso F: Favorable Ec: No ExitosoFc: Desfavorable P(E) = 0.40P(F/E) = 0.80P(E/F) = ? P(Ec) = 0.60P(F/Ec) = 0.30 P (E/F)=P(PL)P(L)P(PL)P(L)+P(PL)P(Lc) P(E/F)=(0.80)(0.40)(0.80)(0.40)+(0.30)(0.60)=0.320.32+0.18=0.320.50= u.64 Ec.QuispeG.JimmyJavier423.-Unaestacindetelevisinquerramedirlahabilidaddesumeteorlogo.Lainformacinrecopilada seala lo siguiente: La probabilidad de que se predijera un da de sol en das soleados es 0.80 La probabilidad de que se predijerada de sol en das no soleados es 0.40 La probabilidad de un da de sol es 0.60 Encuentre la probabilidad de que: a.- Sea un da soleado, sabiendo que se ha pronosticado un da de sol Eventos: S: Das SoleadosR: Pronstico de un da de sol Sc : Das no soleados Rc: Pronstico de un da no soleado P(S)=0,60P(R/S)=0,80P(R/Sc)=0,40 P(S/R)=P(RS)P(S)P(RS)P(S)+P(RS)P(Sc) P(S/R)=(0,80)(0.60)(0,80)(0,60)+(0,40)(0,40)=0,480,64= u,7S b.- Predecir un da soleado P(R)=0,64 3.9Aplicacin en Excel Revisarlasdireccionesenyoutubesobrecomoarmartablasdecontingenciaydiagramasderbol.Enla siguiente hoja de clculo se muestra dos de las tres reglas de conteo analizadas en clases: Ec.QuispeG.JimmyJavier43 UNIDAD 4: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Objetivos: identificar variables aleatorias discretas mediante sus distribuciones de probabilidad para el anlisis del comportamiento poblacional Competencias especficas: Identificar distribuciones de probabilidad Aplicar distribuciones en computadora Capacidad de analizar poblaciones y su distribucin Enloscaptulosanterioressemencionabaeltrminodistribucindefrecuenciasrelativasparadescribirun pasadodeocurrencia,ahoraencambiodistribucindeprobabilidaddescribelaprobabilidaddequeun evento ocurra en el futuro. Supongamosqueeljefedecontroldecalidadselecciona4artculoscualesquierade240entotalpara determinar si estn o no defectuosos, en la unidad anterior vimos que el jefe podra seleccionar los 4 artculos de varias maneras, en este caso 4 de 120, pero por otro lado el jefe de control de calidad querr saber de esos cuatro,cuntosestndefectuososycuntosestnbuenos,porloqueexistenartculosquepuedentener0 defecto, 1 defecto, 2 defectos, 3 defectos o 4 defectos, si nos damos cuenta el hecho de que el artculo pueda tomar varios valores numricos lo convierten en una variable aleatoria que para nosotros ser x. En este caso, los valores que puede tomar x son: 0,1, 2, 3 y 4. 4.1Definicin y su distribucin de probabilidad VariableAleatoria.-Cantidadqueresultadeunexperimentoque,porazar(aleatorio),puedeadoptar diferentes valores. Variable Aleatoria Discreta.- Variable aleatoria que adopta slo valores claramente separados. Distribucin de probabilidad.- Listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada resultado. Es decir, cada resultado tiene una probabilidad de ocurrencia. Ejemplo.-Ustedlanzadosmonedasydeseaobservaralmenosunacaraenloslanzamientos.Culesla distribucin de probabilidad del nmero de caras?Los resultados posibles son los siguientes: C: Cara Cr: Cruz Resultado posible Primer lanzamiento Segundo lanzamiento Nmero de caras 1CC2 2CCr1 3CrC1 4CrCr0 La distribucin de probabilidad para el nmero de caras es: Nmerode caras: X Probabilidaddel resultado: P(x) 2 1 0 Total1 4.2Media, Varianza y Desviacin Estndar de una v.a.d. Ec.QuispeG.JimmyJavier44 Media de una v.a.d..- Es el valor promedio de larga duracin de la variable aleatoria. Se conoce como valor esperado o esperanza matemtica. Medta = = |xt. P(xt)] Varianza de una v.a.d.- Describe el grado de dispersin en una distribucin, es decir la variacin. Vartanza = n2= |(xt-)2P(xt)] La siguiente distribucin corresponde a las ventas de automviles de una empresa durante los das sbados. Calcule la media y la desviacin estndar de la distribucin de probabilidad discreta.Media Empresa A: Nmerodeautos vendidos: X P(X)X. P(x) 00.500.00 10.200.20 20.150.30 30.100.30 40.050.20 Total1.00

Varianza Empresa A XP(xi)(Xi-)(Xi-)2 * P(Xi) 00,50(0-1)1 * 0,50= 0,50 10,20(1-1)0 * 0,20= 0,00 20,15(2-1)1 * 0,15= 0.15 30,10(3-1)4 * 0,10= 0,40 40,05(4-1)9 * 0,05= 0,45 Total1.50 Lamediafue1autovendidoenpromediolossbadosconunadesviacinde1.23autosvendidos.(La desviacin estndar se obtiene al extraer la raz cuadrada de la varianza) 4.3Distribucin de Probabilidad Binomial Enladistribucinbinomialsepresentanslodosposiblesresultados:xitoresultados:xitoyfracaso,los eventos son mutuamente excluyentes. La distribucin binomial inicia con n pruebas idnticas de distribucin de bernoulli que tiene un xito () y un fracaso (1- ), es decir: Distribucin de Bernoulli.- P (xito) + P(fracaso) = 1 Frmula:P (x) = x. (1- ) 1-x Donde: X:Variable aleatoria discreta Ec.QuispeG.JimmyJavier45:Probabilidad de xito 1- : Probabilidad de fracaso. Sinembargoladistribucindebernoullinosayudaparaunsoloexperimento,porloqueladistribucin binomialesmsgeneralyaplicativa.Nota:Loquesedeseaobservarenelexperimento(elresultado)se convierte en l xito. Distribucin Binomial Caractersticas de un experimento de probabilidad binomial.- 2-Es el resultado de (n) pruebas de bernoulli idnticas. 3-El resultado de cada prueba de clasifica en una de dos categoras mutuamente excluyentes: xito o fracaso. 4-La variable aleatoria permite contar el nmero de xitos en una cantidad fija de pruebas. 5-Lasprobabilidaddexitoyfracasopermanecenconstantesoigualesentodoelexperimento (prueba). 6-Laspruebassonindependientes,esdecirelresultadodeunapruebanoinfluyeenelresultadode otra prueba. Frmula: P (x) = nCx. nx. (1 -n)n-x x: variable aleatoria discreta Binomial : Probabilidad de xito 1-: Probabilidad de fracaso nCx: Combinacin n de x. (Revisar Reglas de conteo) Media de una distribucin binomial.- = n Varianza de una distribucin binomial.- 2 = n (1 - ) ParafortalecerlosconocimientosenExcelserecomiendaingresaralaBibliotecavirtual(pgina5)y seleccionar le texto: Manual: Teora de Probabilidades, Ramrez Snchez, pginas 24 a 30. Ejemplo:Enlabaseaexperienciasanterior,laimpresoraprincipaldelcentrodecmputodeciertauniversidad funciona adecuadamente el 90% del tiempo si se hace una muestra aleatoria de 10 inspecciones. a.- Cul es la probabilidad de que la impresora principal funcione en forma apropiada: 1.- Exactamente nueve veces? (es decir 9 veces ni ms ni menos) n = 10 = 0.90P (x = 9) = ? x= Nmero de veces que funcione de forma apropiada la impresora principal. P(x = 9) = 1uC9 (u.9u)9u.1u1 P(x = 9) = 1uxu.S8742u489xu.1u P(x = 9) = u.7S61es la probabilidad de que la impresora 9 veces funcione correctamente. 2.- Por lo menos nueve veces? (es decir mnimo 9 veces) P(x 9) =. P(x 9) = P(x = 9) +P(x = 1u) P(x 9) = 1uC9(u.9u)9(u.1u)1+1uC1u(u.9u)10(u.1u)0 P(x 9) = u.S8742u489 +u.S467844 P(x 9) = u.7S61es la probabilidad de que la impresora funcione correctamente 9 veces o ms. Ec.QuispeG.JimmyJavier46 3.- Cuando ms nueve veces? (es decir mximo 9 veces) P(x 9) =. P(x 9) = P(x = 9) +P(x = 8) +P(x = 7) +P(x = 6) +P(x = S) +P(x = 4) +P(x = S)+P(x = 2) +P(x = 1) +P(x = u) P(x 9) = 1uC9(u.9u)9(u.1u)1+1uC8(u.9u)8(u.1u)2+1uC7(u.9u)7(u.1u)3+1uC6(u.9u)6(u.1u)4+1uCS(u.9u)5(u.1u)5+1uC4(u.9u)4(u.1u)6+1ucS(u.9u)3(u.1u)7+1uC2(u.9u)2(u.1u)8+1uC1(u.9u)1(u.1u)9 1uCu(u.9u)0(u.1u)10 P(x 9) = u.S8742u489 +u.19S71u244 +u.uS7S9S626 +u.u1116u261 +u.uu1488uS48+u.uuu1S7781 +u.uuuuuuuuu1 p(x 9) = u.6S1S Unamanerasencilladecalcularestetipoprobabilidadesyprobabilidadesyevitarunclculoamanomuy extenso es usando la regla del complemento (captulo anterior), es decir, en lugar de calcular la probabilidad de xitos menores o iguales a 9, calculamos los xitos de su complemento (en este caso es 10) P(x 9) = 1 -P(x > 9)=1P(x=10)=10.3487844=0.651215eslaprobabilidaddequela impresora funciones correctamente 9 veces o menos. Se recomienda revisar desigualdades, especficamente sobre el conjunto solucin de una desigualdad lineal. Repaso de signos y desigualdades: Expresin Equivalencia en intervalo y palabras Conjunto solucin de la desigualdad nmeros reales positivos ms el cero Otros significados Complemento X > 3 (3, ) No incluye al 3 4, 5, 6, 7 Valoresmayoresa3, ms de 3 X 3 0, 1, 2, 3 X 3 [3, ) Si incluye al 3 o Desde el 3 3, 4, 5, 6, 7 Valoresmayoreso igualesa3,3oms, mnimo3,porlomenos 3,almenos3,cuando menos 3 X < 3 0, 1, 2 X < 3 (, 3) No incluye al 3 0, 1, 2 Valoresmenoresa3, menos de 3 X 3 3, 4, 5, 6, 7 X 3 (, 3] Si incluye al 3 o Hasta el 3 0, 1, 2, 3 Valoresmenoreso igualesa3,3omenos, mximo3,mximo3,cuandoms3,alo mucho 3 X > 3 4, 5, 6, 7 4.- mas de nueves veces? P(x > 9) =. P(x > 9) = P(x = 1u) P(x > 9) = u.S487es la probabilidad de que ms de 9 impresoras funciones correctamente. 5.-menos de nueve veces? p(x < 9) =. p(x < 9) = p(x = 8) +p(x = 2) +p(x = 1) +p(x = u) Ec.QuispeG.JimmyJavier47p(x < 9) = 1uC8(u.9u)8(u.1u)2+1uC7(u.9u)7(u.1u)3+1uC6(u.9u)6(u.1u)4+1uCS(u.9u)5(u.1u)5+1uC4(u.9u)4(u.1u)6+1uCS(u.9u)3(u.1u)7+1uC2(u.9u)2(u.1u)8+1uC1(u.9u)1(u.1u)9+1uCu(u.9u)0(u.1u)10 p(x < 9) = u.19S71u244 +u.uS7S9S628 +u.u1116u261 +u.uu1488uS48 +u.uuu1S7781+u.uuuuu8748 +u.uuuuuuS64S +u.uuuuuuuuu9 +u.uuuuuuuu1 p(x < 9) = u.26S9 es la probabilidad de que menos de 9 impresoras funciones correctamente. Se puede obtener la respuesta mediante la regla del complemento. b.- Cuntas veces se puede esperar que funcione en forma apropiada la impresora principal? Se aplica valor esperado. = n. p =10(0.90) = 9 veces se esperara que funcione correctamente la impresora. 4.4Distribucin de Probabilidad de Poisson Describe el nmero de veces que se presenta un evento durante un intervalo especfico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, rea o volumen. La distribucin se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidadesproporcionalalalongituddelintervaloyelsegundoconsisteenquelosintervalosson independientes.Esdecir,cuntomsgrandeseaelintervalo,mayorserlaprobabilidad,yelnmerode vecesquesepresentauneventoenunintervalonoinfluyeenlosdemsintervalos.Ladistribucinde probabilidad de Poisson es el promedio esperado de de xitos Caractersticas de un experimento de probabilidad de Poisson: 1-La variable aleatoria es el nmero de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. 2-La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamao del intervalo. 3-El numero de eventos que ocurren son independiente entre si. l numero de medio o esperado de eventos en cada unidad se denota por (lambda).Frmula: P(x) = xx.c-x! = Nmero esperado de xitos. c = Constante equivalente a 2,71828(base uel sistema ue logaiitmos napeiianos) x= Nmero de xitos por unidad. P(x) = Probabilidad para un valor especfico de x. ! = factorial Repaso de factorial: n!= n x (n 1) x (n 2)(n (n 1)) Ejemplos: 8!=8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =40.320 0! = 1 1! = 1 Ejemplos de distribucin de Poisson: 1-El nmero de palabras mal escritas por pgina del reglamento de una empresa. 2-El nmero de llamadas por hora que recibe una empresa de Publicidad. 3-El nmero de autos vendidos por da en Automotores Continental. Cada ejemplo tiene palabra clave: por.

Ejemplo: 1.- El nmero promedio de estudiantes de estudiantes que no asistan a clases de estadstica es de 8 alumnos por una hora clase. = 8 (en una hora clase) Ec.QuispeG.JimmyJavier48x= Estudiantes que no asisten a clases a) Cul es la probabilidad de que en una hora clase cualquiera no asistan 10? p (x=10) =c-8.81010!= 0.099 b) Cul es el promedio de alumnos que no asisten a una hora clase?= 8 estudiantes no asisten a una hora clase c) Cul es el promedio de alumnos que no asisten a dos horas clase? = 16 estudiantes no asisten a dos horas clase 2.- Una empresa de publicidad observa que el nmero de clientes que desean promocionar su negocio es una variable aleatoria de Poisson. Si el nmero promedio de clientes que desean publicidad durante un mes es de 8 = 8 durante un mes x= clientes que desean publicidad a) Cul es la probabilidad de que en un mes se acerquen 10 clientes? p (x=10) = c-8.81010! = 0.09926 b) Cul es la probabilidad de que en una semana por lo menos se acerquen 3 clientes? = 2 por semana p (x3) = 1 p (x u.uS. Por lotanto, la probabilidad de xito cambia en cada prueba. Ec.QuispeG.JimmyJavier49 Formula: P (X) = (rCx)(N-rCn-x)NCn Donde: N: Nmero de la Poblacin n: Nmero de la muestra r: Nmero de xitos en la poblacin x: Nmero de xitos en la muestra C: Combinacin

Media: p =n. rN Varianza: o2=r. (N -r). n. (N -n)N2. (N -1) Ejemplo: De un inventario de 48 celulares NOKIA (con radio) que se embarcan a distribuidores locales, 12 tienenradios defectuosos. a) Cul es la probabilidad de que ciertos distribuidores reciban ocho celulares y: 1.- Todos tengan radios defectuosos? La variable x es igual a celulares que tengan radios defectuosos y como el propsito de mi investigacin es encontrar la probabilidad de celulares nokia con radios defectuosos; la variables x se convierte en mi xito. N = 48 n= 8r= 12 x= 8 P (x = 8)= C CC=C CC=495 .1377348994=495377348994= u.uuuuu1S11 es la probabilidad de que en una muestra de 8 celulares del total (48) se seleccionan 8 celulares con radios defectuosos. PoblacinNconrxitosMuestranconxxitos Ec.QuispeG.JimmyJavier50Si nos damos cuenta la suma de las dos combinaciones del numerador debe ser igual a la combinacin del denominador. (48C8)

2.-Ningn celular tenga radio defectuoso? P (x = 0)=C CC=1 .C3773=1 .30260377348994=30260377348994= u.u8u1919 probabilidad de que al seleccionar una muestra de 8 celulares, ninguno salga con radio defectuoso. 3.-Por lo menos un celular tenga el radio defectuoso? Usamos la regla del complemento: P (x 1) = 1 - P (x < 1) = 1 - P (x = 0) = 1 - 0.08019 = 0.9198 es la probabilidad de que al menos o por lo menos un celular salga con la radio defectuosa, al decir por lo menos uno significa que pueden salir 1,2,3 hasta 8 con la radio defectuosa. b) Cuntos celulares con radios defectuosos se esperara recibir? = nN=8 .1248=9648= 2celularesconradiosdefectuosasseesperaraseanseleccionadossiserepiteeste experimento varias veces. 4.6Aplicacin en Excel y SPSS. La siguiente hoja de clculo muestra los tres primeros literales del ltimo ejercicio, las dems distribuciones siguen similares pasos. Ec.QuispeG.JimmyJavier51UNIDAD 5: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Objetivo:identificarvariablesaleatoriascontinuasmediantesusdistribucionesdeprobabilidadparael anlisis del comportamiento poblacional. Competencias especficas: Identificar distribuciones de probabilidad Aplicar distribuciones en computadora Capacidad de anlisis de poblaciones y su comportamiento 5.1Definicin y su Distribucin de Probabilidad Variable aleatoria continua.- Variable aleatoria que adopta una infinidad de valores dentro de un intervalo. Silavariablealeatoriaescontinuaentoncesserealizaunadistribucindeprobabilidad(unidadanterior) donde se liste los posibles resultados con sus respectivas probabilidades. Ladiferenciaentreunadistribucindeprobabilidadyunavariablealeatoriasehallaenquelavariable aleatoriarepresentaelresultadoparticulardeunexperimento;encambio,ladistribucindeprobabilidad representa todos los posibles resultados, as como la correspondiente probabilidad. 5.2Distribucin de Probabilidad Uniforme Esta distribucin tiene la forma rectangular, se la describe completamente con los valores mnimo y mximo deladistribucinparacalcularlamediayladesviacinestndar.Losvaloresmnimoymximoayudana calcular cualquier probabilidad de sucesos que se encuentren dentro de este intervalo pues fuera del mismo la probabilidad siempre ser cero. a La distribucin de probabilidad uniforme viene dada por la frmula: P(x) =1b -o si o x b y;u cncuolquicr otro punto Media de una distribucin Uniforme.- Se localiza en la mitad del intervalo (a, b). p =o +b2 Desvi Ejemp El vol500 liEsdeest eEl valEs dec

5.3DEn es0 cuya El val iacin estndaplo: lumen de precitros por metroecir,queelvontre 401 y 402lor medio especir, la precipitDistribucin dtadstica la dia funcin de dlor esperado y ar.- cipitaciones eo cuadrado. Columendepre2 litros, otro 1erado es: tacin media ede Probabilidistribucin expdensidad es: y la varianza dstimado para Calcular la fun ecipitacionese1%, etc. estimada en Sdad Exponencponencial es u de una variable52el prximo acin de distribestentre400Sevilla para el cial una distribucie aleatoria X c o en la ciudabucin y la pre0y401litros prximo ao n de probabicon distribuciEcad de Sevilla vecipitacin mtieneun1% es de 450 litroilidad continun exponenciac.QuispeG.Jimmva a oscilar enmedia esperadadeprobabilidos. ua con un paral son: myJavierntre 400 y a: dades;que metro > Ec.QuispeG.JimmyJavier535.4Distribucin de Probabilidad Normal Distribucin de probabilidad normal.- Es una distribucin continua en forma de campana con una media qie divideladistribucinendospartesiguales.Ademslacurvanormalseextiendeindefinidamenteen cualquier direccin y nunca toca el eje x (es decir, solo se aproxima al eje x. La distribucin queda definida por su media y desviacin estndar. P(x) =1o2nc-12jx-c[2 Caractersticas: 1-Tiene forma de campana. 2-Es simtrica. 3-La distribucin es asinttica (asntota en y=0) y el eje X va desde - , +. 4-Lalocalizacindeunadistribucinnormalsedeterminaatravsdelamedia.Ladispersino propagacin de la distribucin se determina por medio de la desviacin estndar, . 5-La media, mediana y moda son iguales. 6-Hay 3 desviaciones a la derecha y 3 desviaciones a la izquierda aproximadamente. Curva normal con misma media y varianzas diferentes

Curva normal con misma 2 y diferentes . Ec.QuispeG.JimmyJavier54 Parafacilitarelclculodelasprobabilidadesconladistribucinnormalseaplicalasiguientefmrulaque est estandarizada: (z) =12 IIc-(12)z2 Distribucindeprobabilidadnormalestndar.-Cualquierdistribucinnormalpuedeconvertirseenuna distribucinnormalestndaralrestarlamediadecadaobservacinydividirestadiferenciaentrela desviacin estndar como se aprecia en la f+ormula anterior. Los resultados reciben el nombre de valores z o valores tipificados que se obtiene a partir del uso de la tabla de distribucin normal (est al final de la gua) o aplicando Excel y/o spss. La curva normal estandarizada quedara as: En el grfico se puede comparar los valores z que ya estn estandarizados y los valores de =16 horas y de =2 horas de estudio que un alumno a la semana destina para los deberes. Valor z.- Distancia con signo (+ o -) entre un valor seleccionado, designado x, y la media, , dividida entre la desviacin estndar, . El rea sombreada es la probabilidad de un valor cualquiera. Frmula del valor normal estndar: z =x-c Parte de la tabla de la distribucin normal estndar X0,000,010,020,03 0,04 0,05 0,06 0,070,080,090,00,50000,50400,50800,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,52790,53190,53590,10,53980,54380,54780,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,56750,57140,57230,20,57930,58320,58710,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,60640,61030,61410,30,61790,62170,62550,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,64430,64800,65170,40,65540,65910,66280,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,68080,68440,6879 La tabla que se utilizar es de frecuencia acumulada, se lee de la siguiente manera: La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando. Ec.QuispeG.JimmyJavier55 Ejemplo: queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 0,45.Entonces buscamos en la columna de laizquierdaelvalor0,4yenlaprimerafilaelvalor0,05.Lacasillaenlaqueseinterseccionanessu probabilidad acumulada (0,6736, es decir 67.36%), en Excel se aplica el mismo anlisis. Atencin:latablanosdalaprobabilidadacumulada,esdecir,laquevadesdeeliniciodelacurvaporla izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribucin continua en elquelavariablepuedetomarinfinitosvalores,laprobabilidadenunpuntoconcretoesprcticamente despreciable (es decir es cero). EnExcelencambiosetrabajaconlafuncinestadsticadistr.norm.estand(valordez)quenosda exactamente el valor acumulado como se explic en la tabla. Ejemplos de clculo de probabilidades con distribucin normal estndar, diferentes casos: Supongamos que X es una variable aleatoria que se distribuye segn una distribucin N con media = 70 y varianza = 36. Calcular: a)P (x 80) z =x -po z =8u -7u6 Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (z 1.67) = 0.95254 (rea sombreada) b)P (x > 80) z =8u -7u6 Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (z > 1.67) = 0.04745 (que se obtuvo restando 1 0.95254) c)P (x 60) z =6u -7u6 Ec.QuispeG.JimmyJavier56 Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (z -1.67) = 0.04745 (probabilidad igual al anterior literal) d)P (x > 60) z =6u -7u6 Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (z >-1.67) = 0.04745, cuya probabilidad igual al literal a). e)P (50 < x 80) z1=Su -7u6=-S.SS z2=8u -7u6= 1.67 Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (-3.33 < z 1.67)= 0.95210. Para este tipo de ejercicios siempre se obtiene el valor deseado restando la probabilidad del nmero positivo menos la probabilidad del nmero negativo. En este caso: 0.95254 0.000432 = 0.952106 f)(50 < x 60) z1=Su -7u6=-S.SS z2=6u -7u6= -1.67 Ec.QuispeG.JimmyJavier57 Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (-3.33 < z -1.67)= 0.04702. Para este tipo de ejercicios siempre se obtiene el valor deseado restando la probabilidad del nmero negativo ms cercano al cero (es decir el mayor) menos la probabilidad del nmero negativo ms pequeo (es decir ms alejado del cero). En este caso: 0.047459 0.0004342 = 0.04702 g)P (80 < x 90)

z1=8u -7u6=1.67 z2=9u -7u6= S.SS Calcular la probabilidad anterior es lo mismo que decir:P (1.67 < z 3.33)= 0.04702 (probabilidad igual alanteriorliteral).Paraestetipodeejerciciossiempreseobtieneelvalordeseadorestandolaprobabilidad delnmeropositivomayormenoslaprobabilidaddelnmeropositivomenor.Enestecaso:0.99956 0.95254 = 0.047025 Problemas: 1.- El salario medio de los empleados de una empresa se distribuye segn una distribucin normal, con media 5 mil dlares y desviacin tpica de mil dlares. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 mil dlares. Lo primero que haremos es transformar esa distribucin en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (z) que ser igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviacin tpica: z =x -po En el ejemplo, la nueva variable sera: z =x -S1 Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada. La variable z que corresponde a una variable X de valor 7 es: Ec.QuispeG.JimmyJavier58z =7 -S1= 2 Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 mil dlares). Esta probabilidad es 0,97725 Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 mil dlares es del 97,725%. 2.-La vida media de los habitantes de un pas es de 68 aos, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequea ciudad de 10.000 habitantes: a) Cuntas personas superarn previsiblemente los 75 aos? Es decir nos piden cuantas personas vivirn (previsiblemente) ms de 75 aos, para eso calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 aos. z =7S -68S= 1.4 Por lo tanto P (X > 75) = (z > 1,4) = 1 - P (z < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 Luego, el 8,08% de la poblacin (808 habitantes) vivirn ms de 75 aos. b) Personas que vivirn (previsiblemente) menos de 60 aos Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 aos z =6u -68S= -1.6 Por lo tanto P (X < 60) = (z < -1,6)= 0,0548 Es decir, el 5,48% de la poblacin (548 habitantes) no llegarn probablemente a esta edad.

3.- La renta media de los habitantes de un pas es de 4 mil dlares/ao, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye segn una distribucin normal. Calcular: a) Porcentaje de la poblacin con una renta inferior a 3 mil dlares. Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada: z =S -41,22= -u,816 P (X < 3) = P (z < -0,816) Ahora tenemos que ver cul es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Por lo tanto: P (z < -0,816) = 0,2072 Luego, el 20,72% de la poblacin tiene una renta inferior a 3 mil dlares. Ec.QuispeG.JimmyJavier59 b) Renta a partir de la cual se sit