estadistica aplicada - tema 5

8/19/2019 Estadistica Aplicada - Tema 5

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Distribuciones de Probabilidad

Tema V


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Universidad de Oriente –Departamento de Ingeniería Civi l –Estadística Aplicada

Tema 5: Distribuciones de Probabilidad

Variables- Variables Variables Cuantitativas Cuantitativas : Son aquellas que adquirieren valores numéricos,por ejemplo:

Numero de hijos Edad Volumen deLíquido

Resistencia de unMaterial

Lasvariablescualitativas a su vez se dividen en: discretasy continuas

- Lasvariables variables cuantitativas cuantitativas discretas discretas son aquellas que presentan separacioneso interrupcionesen la escala de valores que puede tomar. Estas separacionesindican la ausencia de valoresque la variable pude tomar.- - Las variables variables cuantitativas cuantitativas continuas continuas son aquellas que pueden adquirircualquier valor dentro de un intervalo especificado de valores.


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Variables

- Variables Cuantitativas Discretas Variables Cuantitativas Discretas

Numero de hijos Edad Volumen deLíquido

Resistencia de unMaterial

- Variables Cuantitativas Continuas Variables Cuantitativas Continuas

1,2,3,4…. 10 10,11,12… 701; 1.12; 2.345… 20; 21.33…

Otros ejemplos:Gasto familiar, consumo eléctrico,peso, producción de una cosecha, etc.

Otros ejemplos:Barcos que llegan a un puerto,alumnos en un salón, ciudades de unpaís, etc.


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Variable Aleatoria

Una variable se dice que es aleatoria, si los posibles valores que puede

tomar son determinados por el azar. En otras palabras se sabe qué

valorespuede tomar la variable pero no se tiene certeza de su ocurrencia,

sólo se sabe que puede ocurrir con una cierta probabilidad. Por ejemplo,

se sabe por una arteria vial concurrida pueden transitar camiones de

carga pesada pero no se sabe cuantos pasaran ni en que momento loharán. Solo podemostener una idea de la probabilidad de que ocurra el

evento esperado “que pase un numero n de camionespor la vía”.


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Función de Probabilidad de una Variable AleatoriaLas autoridades de la UDO – Núcleo Anzoátegui, está interesada en investigar si losestudiantes están de acuerdo con la aplicación de las medidas de régimen derepitencia en la universidad. Se hace una pregunta con una encuesta: Esta de acuerdoconla aplicacióndel régimende repitencia?

1. Si 2. No

Supongamos que la encuesta se aplica a 3 estudiantes, entonces definimos comovariable aleatoria a:

X:Número de estudiantesque están de acuerdo conel régimen

Antesde hacer la encuesta, se puedenconsiderar las posiblesrespuestas:

x = 0 Ninguno esta de acuerdo

x = 1 Solo un estudiante esta de acuerdo

x = 2 Solo dosestudiantesestán de acuerdo

x = 3 Lostresestudiantesestán de acuerdo

Lo interesante es conocer la probabilidad de que “X” como variable aleatoria puedaasumir alguno de estos4 valores


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Las distribuciones de probabilidad se aplicaran dependiendo

de la naturaleza de la variable, si esta es discreta o continua.



Variable Discreta Distribucion Binomial

Distribucion Poisson

Variable Continua

Distribución Normal

Distribución t Student

Distribución Chi Cuadrado


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Distribución Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidadesque surge al cumplirse cuatro condiciones:

Existe una serie de N ensayos.

En cada ensayo hay sólo dos posibles resultados, éxito ofracaso.

En cada ensayo, los dos resultados posibles son mutuamente

excluyentes. Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser

constantesen todos losexperimentos(se denotan como p y q op y 1-p).




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Donde:

f(X) = probabilidad de X

éxitos dados los parámetros ny p

n = tamaño de la muestra

p = probabilidad de éxito

1 – p = probabilidad de

fracaso X = numero de éxitos en la

muestra ( X = 0, 1, 2, … n)

xn x

x p p x

n

f

1

)!(!

!

xn x

n

x

n

xn x x p p

xn x

n f

1

!!

!


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Distribución BinomialLa distribución binomial es una distribución de variable discretaque se utiliza en situaciones donde los posibles resultados del

ensayo se reducena dosopciones: éxito o fracaso. Ejemplo: Un estudiante puede aprobar o reprobar un examen.

Un producto salido de un fábrica puede ser defectuoso o nodefectuoso.

En el lanzamiento de una moneda puede salir cara o sello.

Un cazador al disparar puede acertar o fallar. Del ensayo de algún material puede resultar que cumple o no

cumple con determinada especif icación.




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Ejemplo

En una oficina de ventas de una constructora se ha

demostrado que losdías sábadosla probabilidad de ventade un apartamento esdel 20%. Si se escogen 15 clientesalazar que entran a la oficina el día sábado, determinar laprobabilidad de:

a. Concretar 1 ventab. Concretar menosde 3 ventas




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Donde:

f(X) = probabilidad de Xéxitos dados los parámetros n

y p

n 15

p = 0.20

1 – p = 0.80

X = concretar una venta =1

1151

1 20.0120.0

1

15

f

)!115(!1

!15

1

15

1319.020.0120.0

!115!1

!15 11511

f

Hay un 13,19% de probabilidades de realizar una venta


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0352.020.0120.00

15 01500

f

0.0352+0.1319+0.2309=0.398 = 39,80% de probabilidades de realizarmenos de 3 ventas

1319.020.0120.01

15 11511

f

2309.020.0120.0215

21522

f


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Distribución Poisson

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento unnúmero "n" muy elevado de vecesy la probabilidad de éxito "p" en

cada ensayo es reducida, entonces se aplica el modelo dedistribución de Poisson. Este modelo posee las siguientescaracterísticas:

La probabilidad de observar exactamente un éxito en elsegmento o tamaño de muestra n esconstante.

El evento debe considerarse un suceso raro. Los mismos ocurrendentro de un continuo (espacio o tiempo) y ocupan una parteinfinitesimal del mismo

El evento debe ser aleatorio e independiente de otroseventos




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! x

e f

x

x

Donde:

f(X) = probabilidad de Xéxitos

= promedio de eventosesperados

e = base logaritmo natural =2.71828

X = numero de éxitos en lamuestra ( X = 0, 1, 2, … n)


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La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde lossucesos son impredecibles o de ocurrencia aletaoria conresultado discreto.

Además es muy útil cuando la probabilidad del evento quenos interesa se distribuye dentro de una distancia, área,

volumeno tiempo definido.


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Algunosejemplosson:

Defectosde una tela por m2 Aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora,

minuto.

Bacteriaspor cm2 de cultivo

Llamadas telefónicas a una central por hora o minuto.

Llegadasde embarcacionesa un puerto por día o mes.




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Ejemplo

Supongamos que estamos investigando la seguridad

de una peligrosa intersección de calles. Los registrospolicíacos indican una media de 5 accidentesmensuales en esta intersección. El departamento deseguridad vial desea que calculemosla probabilidad

de que en cualquier mes ocurran exactamente 3accidentes.




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!3

571828.2 35

3

f

Donde:

f(X) = probabilidad de Xéxitos

= 5

e = base logaritmo natural =2.71828

X = accidente = 3

1404.03 f

Hay un 14,04% de probabilidades de que sucedan 3 accidentes


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Una de las distribuciones teóricas mas estudiadas y más

utilizada en la práctica es la distribución normal, tambiénllamada distribución gaussiana. Este nombre lo debe a JohannCarl Friedrich Gauss(1777-1855) a quien no se le atribuye sudescubrimiento mas si la difusión y aplicación de su uso en losaños1800.

Su importancia se debe fundamentalmente a la frecuencia conla que distintas variables asociadas a fenómenos naturales ycotidianossiguen, aproximadamente, esta distribución.




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Histograma de Frecuencias Absolutas




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2

2

1exp

2

1

x f x

2

2exp

2

1 z f x

x

z

0 1


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La distribución normal posee ciertas propiedades importantes queconviene destacar:

Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

La curva normal esasintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquiervalor entre ∞ y -∞ es teóricamente posible. El área total bajo lacurva es, por tanto, igual a 1.

Essimétrica con respecto a su media. Según esto, para este tipo devariables existe una probabilidad de un 50% de observar un datomayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.




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Distribución Normal La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de

inflexiónde la curva esigual a una desviación típica σ.

El área bajo la curva comprendido entre los valores situadosaproximadamente a dos desviaciones estándar de la media esigual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades deobservar un valor comprendido enel intervalo (µ-1.96σ; µ+1.96σ).

La forma de la campana de Gaussdepende de losparámetrosσ yµ. La media indica la posición de la campana. Por otra parte, la

desviación estándar determina el grado de apuntamiento de lacurva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán losdatosen torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeñoindica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanosal valor medio de la distribución.




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Generalmente no se dispone de información acerca de la distribución

teórica de la población, sino que másbienel problema se plantea a lainversa: a partir de una muestra extraída al azar se realizan una serie

de mediciones y se desea extrapolar los resultados obtenidos a la

población de origen. En un ejemplo supongamos que se dispone del

peso de n=100 individuosde esa misma población, obteniéndose una

media muestral de Kg, y una desviación estándar muestral Kg,

querríamos extraer alguna conclusión acerca del valor medio real de

ese peso en la población original.




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La solución a este tipo de cuestionesse basa enun resultado elemental de

la teoría estadística, el llamado teorema central del límite. Dicho axioma

viene a decirnos que las medias de muestras aleatorias de cualquier

variable siguen ellasmismas una distribución normal con igual media que

la de la población y desviación estándar la de la población dividida por

√n. Puesto que losvaloresde µ y σ son desconocidos, podríamos pensar

en aproximarlos por sus análogos muestrales y construir un intervalo de

confianza donde entre un porcentaje importante de los posibles valores,

típicamente se considera el 95%.




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nn

96.1;

96.1

n

S X

n

S X

96.1;

96.1

100

03.096.150.0;100

03.096.150.0

En un estudio de la cantidad de agua en las arcillas plásticaspresentesenel tramo vialBarcelona- Anaco en un total de 100 muestras extraídas se obtuvo un a media de0.50ml/ m3 y una desviación estándar de 0.08ml/ m3. Queremos saber la media realde la población µ .

5157.0;4843.0

Estamos seguros en un 95% que lamedia poblacional se encuentraentre 0.4843ml/ m3 y 0.5157ml/ m3


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Ejemplo

La media de la temperatura resistida por 500 láminas de una aleación

especial de aluminio es de 70ºC y la desviación típica 3ºC. Suponiendo

que estas temperaturas se distribuyen normalmente, estimar la

probabilidad de que un conjunto de laminasextraídasal azar resistan:

a. Entre 60ºCy 75ºC

b.

Menosde 64ºC




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Ejemplo




33.33

706060

z

67.13

707575

z

Z=-3.33 Z=0

P(X)=0.4996

Z=1.67Z=0

P(X)=0.4525


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Ejemplo




P(X)=0.4996+0.4525=0.9521=95.21%

Z=-3.33 Z=0 Z=1.67


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Ejemplo

a. Menosde 64



P(X)=0.50-0.4772=0.0228=2,28%

00.23

706464

z

Z=-2.00 Z=0

P(X)=0.4772


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Distribución t student

En muchas ocasiones no se conoce y el número de observaciones enla muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar ladesviación estándar de la muestra S como una estimación de , perono es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. Elestadístico de prueba adecuado esla distribución t .




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Distribución t student

1. Al igual que la distribución normal, esuna distribución continua.

2. La distribución t tiene una media de cero, essimétrica respecto de la mediay se extiende de - a + la varianza de t v/ v-2 para v > 2. Cuando losgrados de libertad son suficientemente grandes la varianza de la distribuciónt tiende a 1.

3. Tiene forma acampanada y simétrica

4. No hay una distribución t, sino una "familia" de distribuciones t . todascon la

misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente deacuerdo con el tamaño de la muestra n.




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5. La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribuciónnormal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en

las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sinembargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t seaproxima a la distribución normal estándar.



nS

X

t

t


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¿Qué son los grados de libertad? Supongamos que estamos tratando con dosvalores de muestra, a y b, y sabemos que tienen una media de 18, es decir,

(a +b)/ 2 = 18.¿Cómo podemos encontrar los valores que a y b pueden tomar en estasituación? a y b pueden ser cualesquier valor cuya suma entre los dos sea 36.Suponga que a tiene el valor de 10. Ahora b ya no eslibre de tomar cualquiervalor, sino que debe de tomar el valor de 26.

La situación de este ejemplo se puede generalizar para cualquier (n) en dondedada la media de los valores sólo quedan (n -1) elementos que puedendefinirse libremente y uno esfunción de la media y el resto de loselementos.

v=n-1




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Distribución chi cuadrado X2

Tenemosuna muestra de tamaño n en la que observamosel carácter X y nos

planteamos hasta qué punto esta muestra se puede considerar comoperteneciente a una población con una distribución teórica ya conocida.

Deseamos saber si dos caracteres X e Y de una población son dependientes

o independientes.

Se trata de determinar si varias muestras que estudian el mismo carácter A

han sido tomadas o no de la misma población, respecto de dicha

característica A.



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