calculo numerico y estadistica aplicada

8/20/2019 Calculo numerico y estadi stica aplicada

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Cálculo Numérico

y Estadística Aplicada

LUIS M. SESÉ SÁNCHEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA


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CÁLCULO NUMÉRCO Y ESTADÍSTICA APLICADA

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© Universidad Nacional de Educación a DistanciaMadrid 2013

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© Luis M. Sesé Sánchez

Todas nuestras publicaciones han sido sometidas

a un sistema de evaluación antes de ser editadas.

ISBN electrónico: 978-84-362-6654-2

Edición digital: mayo de 2013


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A Mariano, mi padre


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«¡ Bellos copos de nieve! Nunca caen fuera de ninguna parte»

P’ang Yun (S. VIII)

«Tan malo es vivir en la oscuridad absoluta como bajo la más

brillante luz: Ambas te dejan ciego»


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ÍNDICE

Presentación ..................................................................................................................................................... 21

IMÉTODOS NUMÉRICOS

Capítulo 1. AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICASDE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS .............................................. 31

1.1. Introducción ....................................................................................................................................... 32

A. Polinomios de colocación ............................................................................................................ 341.2. Ajustes con polinomios de colocación....................................................................... 34

Opciones de ajuste polinómico......................................................................................... 35El criterio de colocación: casos simples .................................................................. 36

Observaciones de interés ........................................................................................................ 381.3. La tabla de diferencias y los polinomios de Newton ................................... 39

El polinomio de avance de Newton .............................................................................. 40El polinomio de retroceso de Newton ....................................................................... 42Observaciones prácticas .......................................................................................................... 43

1.4. El polinomio de Lagrange ..................................................................................................... 441.5. Otras técnicas .................................................................................................................................... 46

B. Mínimos cuadrados............................................................................................................................ 46

1.6. Concepto y aplicación al caso lineal............................................................................ 46Estudio del caso lineal: determinación de los coeficientes.................... 47Unicidad de la solución............................................................................................................ 48El carácter de mínimo............................................................................................................... 49La «bondad» del ajuste ............................................................................................................. 50La utilidad extendida del caso lineal ........................................................................... 51Nota adicional sobre el error .............................................................................................. 56

1.7. Ajustes de mínimos cuadrados de orden superior......................................... 56El caso cuadrático ......................................................................................................................... 57


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CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA

El caso general.................................................................................................................................. 58Observaciones prácticas .......................................................................................................... 59

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 61

Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 62

Capítulo 2. AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS ORTOGONALES ................ 81

2.1. Introducción ....................................................................................................................................... 822.2. El caso discreto: Polinomios de Gram-Tschebyscheff ............................... 84

El sistema normal de ecuaciones ................................................................................... 85Forma de los polinomios de Gram-Tschebyscheff ........................................ 86

2.3. El caso continuo: Producto escalar y distancia entre funciones...... 88

Producto escalar de funciones .......................................................................................... 89Criterios de aproximación entre funciones........................................................... 93Desarrollos en serie de una base completa ........................................................... 93El cálculo de los coeficientes del desarrollo......................................................... 94Observaciones de interés ........................................................................................................ 96

2.4. Caso continuo: polinomios de Legendre ................................................................. 100Ortogonalización constructiva de Gram-Schmidt ......................................... 100Forma de los polinomios normalizados de Legendre ................................. 102

Forma habitual de los polinomios de Legendre ............................................... 104Propiedades adicionales .......................................................................................................... 1052.5. Caso continuo: polinomios de Tschebyscheff .................................................... 107

Definición .............................................................................................................................................. 107Propiedades adicionales .......................................................................................................... 109La economización de polinomios .................................................................................. 111Observaciones de interés ........................................................................................................ 113

2.6. Caso continuo: polinomios de Hermite y de Laguerre .............................. 114

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 117


Capítulo 3. APLICACIONES NUMÉRICAS BÁSICAS................................................................. 129

3.1. Los errores en el cálculo numérico .............................................................................. 130Errores absoluto y relativo ................................................................................................... 131El error de redondeo y conceptos asociados ....................................................... 132Errores de entrada y cifras significativas «fisico-químicas» ................ 135Consideraciones adicionales ............................................................................................... 137


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ÍNDICE

3.2. Interpolación y extrapolación ............................................................................................ 139Observaciones prácticas en interpolación: elección de grado,selección de puntos de la tabla y tipo de polinomio, tabla

desigualmente espaciada ........................................................................................................ 141Notas complementarias ........................................................................................................... 145El error de interpolación ........................................................................................................ 146

3.3. Propagación de los errores en los datos de entrada ..................................... 149Alternancias de signo en una tabla de diferencias ......................................... 150Errores de entrada ........................................................................................................................ 151

3.4. Diferenciación numérica ........................................................................................................ 152Fórmulas de Newton .................................................................................................................. 153Fórmulas de Stirling ................................................................................................................... 155

Extrapolación de Richardson............................................................................................. 1573.5. Integración numérica ................................................................................................................ 159

Regla del trapecio .......................................................................................................................... 159Regla de Simpson .......................................................................................................................... 162Técnicas Gaussianas: Gauss-Legendre, Gauss-Hermitey Gauss-Laguerre ........................................................................................................................... 163Tratamiento de integrales singulares ......................................................................... 168Tratamiento de integrales oscilantes .......................................................................... 170

Complementos: Tablas para integración Gaussiana .................................... 173Bibliografía ...................................................................................................................................................... 176


Capítulo 4. R ESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS ........................ 201

4.1. Conceptos preliminares ........................................................................................................... 202Raíces (ceros) de ecuaciones no lineales ................................................................. 203Sistemas de ecuaciones y diagonalización ............................................................ 205

A. Ecuaciones no lineales ................................................................................................................... 2064.2. Separación de raíces reales y estimación del error....................................... 2064.3. Método de bisección ................................................................................................................... 2084.4. Método de la falsa posición ( regula falsi)................................................................ 2104.5. Método de Newton-Raphson .............................................................................................. 214

Definición del algoritmo ......................................................................................................... 214Condiciones suficientes de convergencia................................................................ 215Estimación del error ................................................................................................................... 216


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La variante Newton-secante ................................................................................................ 2174.6 Método iterativo de punto fijo.............................................................................................. 2184.7 El caso de las raíces múltiples .............................................................................................. 220

Métodos para determinar la multiplicidad ........................................................... 221 B. Sistemas de ecuaciones ................................................................................................................... 2234.8. Sistema lineal (no homogéneo)........................................................................................ 223

Método de Gauss con pivote ............................................................................................... 225Estimación del error ................................................................................................................... 227

4.9. Sistema no lineal ............................................................................................................................ 228Método de Newton-Raphson .............................................................................................. 228Método del gradiente ................................................................................................................. 229

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 231


IIINTRODUCCIÓN A LA TEORÍA Y APLICACIONES

DE LA ESTADÍSTICA

Capítulo 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ................................................................ 257

5.1. Probabilidad, Estadística y Química........................................................................... 258El concepto de probabilidad ............................................................................................... 258Breve presentación axiomática de la probabilidad ....................................... 261Otras observaciones y las aplicaciones en la Química ............................... 267

5.2. Variables aleatorias, población y muestra............................................................. 2705.3. Funciones de distribución de probabilidades .................................................... 274

Variables monodimensionales (discretas y continuas) ............................. 274

Variables monodimensionales derivadas................................................................ 2815.4. Caracterización de una distribución de probabilidad................................ 284

Valor medio y desviación típica (estándar)........................................................... 284Momentos de una distribución......................................................................................... 286Medidas de asimetría y de exceso .................................................................................. 288Otros parámetros ........................................................................................................................... 289

5.5. Ejemplos de distribuciones discretas ......................................................................... 291La distribución binomial ........................................................................................................ 291La distribución de Poisson ................................................................................................... 294


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ÍNDICE

La distribución multinomial ............................................................................................... 2965.6. Ejemplos de distribuciones continuas....................................................................... 298

La distribución uniforme ....................................................................................................... 298

La distribución Gaussiana (normal) ........................................................................... 300La distribución logarítmico-normal (log-normal).......................................... 3055.7. Composición de variables aleatorias........................................................................... 307

Valores medios y varianzas de funciones aleatorias .................................... 307Suma y producto de variables aleatorias ................................................................ 310Distribuciones de probabilidad en n dimensiones......................................... 315

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 321


Capítulo 6. MUESTREO, ESTIMACIÓN Y DECISIÓN ESTADÍSTICA ............................. 341

6.1. Muestreo de poblaciones ........................................................................................................ 342Métodos generales de muestreo....................................................................................... 343Observaciones adicionales .................................................................................................... 345

6.2. Distribuciones muestrales..................................................................................................... 347Media y varianza ............................................................................................................................ 347Proporciones ...................................................................................................................................... 351Sumas y diferencias..................................................................................................................... 351Mediana .................................................................................................................................................. 353

6.3. Inferencia estadística (I) ......................................................................................................... 354Estimación por un punto ....................................................................................................... 355Estimación por intervalos de confianza .................................................................. 356

6.4. Inferencia estadística (II): formulación y verificación de hipótesisestadísticas ........................................................................................................................................... 360Cinco pasos a dar en hipótesis estadísticas .......................................................... 360

Observaciones adicionales .................................................................................................... 363Principios de admisión y rechazo de hipótesis ................................................. 3656.5. Función de potencia y curva OC..................................................................................... 3666.6. Gráficos de control (Shewhart) y aleatoriedad ................................................. 3686.7. Comparación de muestras: medias y proporciones...................................... 3716.8. Teoría de pequeñas muestras............................................................................................. 374

Distribución t de Student ....................................................................................................... 375Distribución chi-cuadrado .................................................................................................... 379Distribución F de Fisher.......................................................................................................... 382


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Bibliografía ...................................................................................................................................................... 387


Capítulo 7. CORRELACIÓN, REGRESIÓN Y ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA .... 407

7.1. Experimentos con más de una variable aleatoria, correlacióny regresión ............................................................................................................................................ 408

7.2. Ecuaciones empíricas típicas en dos variables y su reduccióna forma lineal..................................................................................................................................... 411Tipos básicos con dos parámetros................................................................................. 412Tipos con tres y cuatro parámetros.............................................................................. 413

7.3. El coeficiente de correlación en dos variables ................................................... 418

Correlación de poblaciones .................................................................................................. 418Correlación lineal en muestras bivariantes........................................................... 420El coeficiente r como estimador estadístico ........................................................ 425

7.4. Aspectos prácticos de la regresión lineal por mínimos cuadrados 4307.5. Desestimación de puntos en el análisis de datos............................................. 434

Test de cuartiles con extensión «(box-and-whisker plot)» ...................... 435Test de distancias........................................................................................................................... 436

7.6. Correlación lineal múltiple ................................................................................................... 437

7.7. Estadística no paramétrica .................................................................................................. 440Test de signos .................................................................................................................................... 441Correlación por rangos de Spearman ........................................................................ 443

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 447


III.ANÁLISIS Y PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES

EXPERIMENTALES

Capítulo 8. EL TRATAMIENTO DE ERRORES EN DATOS EXPERIMENTALES...... 475

8.1. Introducción ....................................................................................................................................... 4768.2. Los errores en la medición experimental ............................................................... 4788.3. Propagación del error de escala del aparato ....................................................... 4808.4. Propagación de los errores sistemáticos ................................................................. 482


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ÍNDICE

8.5. Propagación de los errores accidentales ................................................................. 485Variables independientes ....................................................................................................... 485Variables dependientes............................................................................................................. 488

La inducción de errores sistemáticos ......................................................................... 4898.6. Un caso de estudio: cálculo del error total de un índicede refracción....................................................................................................................................... 491

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 494


IV

SIMULACIÓN DE PROCESOS Y VALIDACION DE MÉTODOS

Capítulo 9. MÉTODOS AVANZADOS DE CÁLCULO Y DE SIMULACIÓNNUMÉRICA ............................................................................................................................. 511

A. La aproximación trigonométrica........................................................................................... 5139.1. Polinomios trigonométricos ................................................................................................ 513

Cambios de variable .................................................................................................................... 514Ortogonalidad en el caso de número impar de puntos ............................. 515

Ortogonalidad en el caso de un número par de puntos ............................ 516Relaciones útiles ............................................................................................................................. 516Cálculo de los coeficientes .................................................................................................... 517Expresiones finales....................................................................................................................... 519

B. Simulación numérica de procesos deterministas ................................................... 5199.2. Ecuaciones diferenciales: generalidades ................................................................. 5199.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias............................................................................ 522

Casos de estudio.............................................................................................................................. 522

Existencia y unicidad de la solución ........................................................................... 5239.4. Ecuación diferencial de primer orden y primer grado (valor

inicial)....................................................................................................................................................... 524Método de Euler ............................................................................................................................. 524Estabilidad y error ........................................................................................................................ 525Predictor-corrector de Euler ............................................................................................... 526Métodos de Runge-Kutta........................................................................................................ 527

9.5. Ecuación diferencial de segundo orden (valores iniciales) ................... 531Método de Runge-Kutta (IV) .............................................................................................. 531


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Método predictor-corrector de Adams ...................................................................... 5329.6. Problemas de valores de frontera................................................................................... 532

C. Diagonalización numérica de matrices reales y simétricas ........................... 533

9.7. Conceptos generales.................................................................................................................... 533Teorema básico para matrices reales y simétricas ........................................ 534Multiplicidad de raíces y degeneración .................................................................... 535Observaciones prácticas .......................................................................................................... 536

9.8. Método del polinomio característico: cálculo de autovectores.......... 537Caso no degenerado .................................................................................................................... 537Caso degenerado............................................................................................................................. 537

9.9. Método de Jacobi ........................................................................................................................... 542

La transformación ortogonal ............................................................................................. 542La construcción de la matriz ortogonal O ............................................................. 543Observaciones prácticas .......................................................................................................... 547

9.10. Tests de diagonalización y técnicas complementarias ........................... 548

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 551


Capítulo 10. MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE SIMULACIÓN Y VALIDACIÓN .............

589 A. Integración numérica multidimensional ....................................................................... 59010.1. Integración Monte Carlo ..................................................................................................... 590

Aspectos numéricos: familias multiplicativas congruentes ............... 591Aspectos estadísticos: el error de integración ................................................. 595

B. Aplicaciones de los procesos de minimización ......................................................... 59610.2. Promedios con pesos muestrales................................................................................. 59610.3. Ajuste lineal chi-cuadrado de datos .......................................................................... 600

Aspectos numéricos ................................................................................................................. 601Aspectos estadísticos............................................................................................................... 603Observaciones adicionales ............................................................................................... 604

10.4. Ajuste de datos a distribuciones de probabilidad ........................................ 606Caso continuo: ajuste Gaussiano ................................................................................ 606Caso discreto: ajuste binomial ....................................................................................... 609

10.5. Estadística robusta: ajuste de una línea recta................................................. 611

C. Análisis de la varianza .................................................................................................................... 615


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PRESENTACIÓN

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10.6. Homogeneidad de un conjunto de varianzas muestrales .................... 61610.7. Homogeneidad de un conjunto de medias (ANOVA-1) ......................... 617

Estimación entre muestras ............................................................................................... 618

Estimación dentro de la muestra ................................................................................ 619Observaciones adicionales................................................................................................. 61910.8. Análisis de la varianza con dos factores de variación indepen-

dientes (ANOVA-2) .................................................................................................................. 621Caso de dos efectos fijos ...................................................................................................... 623Caso de dos efectos aleatorios ....................................................................................... 624

10.9. Análisis de la varianza en ajustes de regresión .............................................. 625

Bibliografía ...................................................................................................................................................... 626


A péndice I: Tratamiento de datos experimentales mediante computa-ción (Modelos de Prácticas en Centros Asociados)........................................... 647

Apéndice II: La base ortogonal de Fourier.......................................................................... 651

Apéndice III: Tablas estadísticas .................................................................................................. 665

Bibliografía general .................................................................................................................................... 669

Glosario de términos ................................................................................................................................ 679

Índice alfabético de materias............................................................................................................. 703


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PRESENTACIÓN

El presente texto desarrolla los contenidos de la asignatura Cálculo Numé-rico y Estadística Aplicada, perteneciente al 2.o curso de los Estudios de Gra-do en Química (EEES) por la Universidad Nacional de Educación a Distancia(UNED), de carácter obligatorio y con una carga de 5 créditos ECTS. Esta asig-natura tiene que ver con la aplicación práctica de técnicas matemáticas apro-

ximadas a la resolución de problemas de interés en Química. Con indepen-dencia de opiniones y de gustos particulares, el lenguaje matemático es laherramienta para comprender los procesos naturales tanto cuantitativa comocualitativamente, es decir, tanto obteniendo los resultados numéricos con-cretos, como aplicando ideas abstractas que revelan características muy pro-fundas de dichos procesos. La famosa cita de E. P. Wigner sobre la «irrazo-nable efectividad de las Matemáticas» sirve espléndidamente para subrayarque el conocimiento matemático forma parte del consenso sobre las materias

básicas a conocer que los científicos han alcanzado hace ya muchos años.No obstante, la experiencia docente universitaria viene constatando, des-

de hace ya bastantes años, que los conocimientos previos de matemáticascon los que los estudiantes se acercan a las carreras de Ciencias son, en tér-mino medio, cada vez más escasos. La proyección de esta circunstanciasobre la formación de los estudiantes de estas carreras se ve agravada con losplanteamientos globales de los actuales Planes de Estudio del Grado, enconcreto de Química, en los que la disminución en asignaturas, contenidos,y dedicación esperada, ligados al estudio de Matemáticas es patente, comopone de manifiesto el hecho de que con respecto a Planes de Estudio ante-riores (varios entre 1970 y 2010) la disminución es prácticamente del 50%.Es en este complicado contexto donde se enmarca la presente asignatura.

Dentro de esta posición de principio, si se tiene en cuenta, por otra parte,que el número de problemas en las ciencias naturales que son resolublesmatemáticamente de forma analítica en principio exacta es muy reducido,incluso para los problemas que admiten formulaciones en principio exactas(la ecuación de Schrödinger para átomos poli-electrónicos, por ejemplo), el

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aprendizaje de los métodos numéricos de aproximación para resolverlos escrucial. Añadido a lo anterior y en la misma línea está el carácter experi-mental de la Química, del que se deriva la necesidad de aprender cómo

extraer información significativa de colecciones de datos (experimentales oprocedentes de cálculos extensos), faceta ésta que implica el manejo de herramientas estadísticas. Por consiguiente, es muy importante que el estu-diante de Química conozca, no sólo los principios matemáticos analíticosexactos que se imparten en las asignaturas generales de Matemáticas delGrado, sino también cómo realizar en la práctica operaciones matemáticasaproximadas y cómo analizar estadísticamente tales colecciones de datos.Para satisfacer estas necesidades se tratarán en esta asignatura cuestionespertenecientes a dos disciplinas distintas pero conexas. Por una parte, el Cál-

culo Numérico, que se ocupa de reducir la resolución de complicadas eva-luaciones matemáticas a combinaciones de operaciones elementales. Por laotra, la Estadística Aplicada, que se centra en los aspectos derivados del tra-tamiento de colecciones de datos.

Como aplicación inmediata de estos contenidos, resulta claro que el tra-bajo de laboratorio que realizará el estudiante en las diversas asignaturas deprácticas se verá sustancialmente mejorado. Así, muchas cuestiones prácti-cas que se presentan en las diferentes ramas de la Química (Analítica, Bio-

química, Física, Industrial, Inorgánica, Orgánica) podrán dotarse de uncarácter cuantitativo preciso vía el uso del análisis de los resultados experi-mentales obtenidos en todas ellas. Además, estos mismos conocimientosresultarán muy útiles para proseguir estudios de mayor nivel en todas esasramas. Todo este aprendizaje redundará en beneficio de la autonomía delestudiante, tanto en una mejor formación integral, como en el aumento desu capacidad para abordar los problemas que tendrá que afrontar en elejercicio de su futura actividad profesional.

Aunque es cierto que el nivel de profundidad y la cantidad de conocimientosa impartir tendrían que ser siempre los máximos posibles, no es menos cierto

que la limitación de tiempo a un «semestre» impone severas restricciones a este

deseo. Por consiguiente, en esta asignatura se presenta una selección de ideas

fundamentales sobre determinados temas matemáticos útiles, acordes con las

directrices del Libro Blanco para los Estudios del Grado en Química (2008).

Estos conocimientos se resumen en los siguientes descriptores generales: (I)

Métodos Numéricos; (II) Introducción a la Teoría y Aplicaciones de la Estadística;

(III) Análisis y Propagación de Errores de Datos Experimentales; (IV) Simulación


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y Validación de Métodos; (V) Tratamiento de Datos Experimentales Mediante

Computación. En el primer gran apartado (I) se estudian las cuestiones del

ajuste de funciones mediante desarrollos en bases polinómicas (convencional y

ortogonales –mínimos cuadrados-) y sus aplicaciones, abordándose las opera-ciones numéricas básicas como interpolación, derivación, integración y los

errores asociados, para concluir con la resolución de sistemas lineales y pro-

blemas no lineales típicos (ecuaciones y sistemas). El segundo gran apartado (II)

se concentra en la introducción del lenguaje estadístico (funciones de distribu-

ción de probabilidades y sus parámetros), en los aspectos prácticos del análisis

de muestras (estimaciones, errores, verificación de hipótesis y teoría de peque-

ñas muestras), y se considera el aspecto estadístico de los ajustes de regresión

por mínimos cuadrados, completando lo visto en la primera parte (I) sobre este

último tema. En el tercer apartado (III) se trata la propagación de errores a tra- vés de ecuaciones matemáticas que dan las mediciones indirectas de propieda-

des, estudiando la propagación asociada a cada tipo de error (escala, sistemá-

tico, accidental). El cuarto gran apartado (IV) completa con cuestiones

avanzadas aspectos de interés en el cálculo numérico y en el tratamiento de

datos, estudiándose así: los polinomios trigonométricos, la resolución de ecua-

ciones diferenciales ordinarias, la diagonalización de matrices, la integración

Monte Carlo, algunas aplicaciones de los procesos de minimización, y el análi-

sis de la varianza. En cuanto al quinto apartado (V) dedicado a la computación,merece una consideración más detenida que se va a hacer a continuación.

De especial importancia en toda la asignatura es la realización de cálculosconcretos, aunque, por razones obvias de tiempo, en este curso de introduc-ción el nivel de sofisticación no pasará, en general y con las excepciones quese discutirán más adelante, de lo que se pueda lograr con una calculadora demano o de escritorio. Sin embargo, en los descriptores ya señalados aparecendos conceptos: Tratamiento de Datos Experimentales Mediante Computación,

y Simulación y Validación de Métodos. En ambos casos la computación esnecesaria y, aunque la presencia de ordenadores personales en los hogares esamplia, ni todos ellos van a estar preparados con las herramientas de softwareadecuadas, ni todos los estudiantes dispondrán de los conocimientos previosnecesarios, como para que puedan ser abordadas sin más estas tareas com-putacionales. Hay que señalar, de paso, que no se contempla una asignaturaespecífica de Computación, dedicada al aprendizaje de lenguajes de progra-mación científica, en los Estudios de Grado en Química y esto añade unasgraves dificultades al planteamiento general. Se supone así, dentro de dicho

PRESENTACIÓN

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planteamiento, que para impartir la presente asignatura los Centros Univer-sitarios estarán dotados tanto de los medios materiales («hardware», PCs,«software» correspondiente, etc.), como del personal que instruya en len-

guajes de programación y supervise estas actividades.Por lo que respecta a la UNED y en cuanto a los medios materiales, pueden

éstos darse por satisfechos a efectos prácticos en los Centros Asociados, ya queprácticamente todos poseen una infraestructura informática razonablementeadaptada a esta demanda. La otra cuestión relativa a los lenguajes de progra-mación y al personal asociado plantea ya muchos problemas por la diversidadde lenguajes y la escasez de personas preparadas en cálculo científico y/o endisposición de enseñarlo (el lenguaje utilizado en este área sigue siendo por

excelencia el Fortran, aunque cualquier otra opción que sirva a los mismosfines es igualmente válida). Item más, en este punto hay que recordar la expe-riencia bien contrastada de que solamente después de saber cómo se resuelveun problema «a mano» es uno capaz de, disponiendo de los conocimientos deprogramación adecuados, abordar el diseño de programas o códigos pararesolver con el computador los cálculos de interés. Hay que notar que la posi-bilidad de realizar el aprendizaje de un lenguaje de programación como partede la tarea asociada con los créditos Prácticos (1,5) en esta asignatura consti-tuiría sin duda un ejercicio de voluntarismo con resultados altamente incier-

tos. Un lenguaje de programación es justamente eso, un lenguaje, y su apren-dizaje eficaz es demasiado lento para el escaso tiempo disponible.

Una alternativa a esta situación es la realización de Prácticas con la uti-lización de paquetes informáticos comerciales (las populares hojas de cál-culo) que pueden permitir tratar algunas cuestiones de interés en la asigna-tura, y ello siempre con todos los inconvenientes que plantea un usoindiscriminado de «cajas negras» sin una preparación adecuada. Es eviden-te que, aunque ciertos tratamientos de datos experimentales pueden reali-

zarse así, otras cuestiones como las de simulación y validación, no podríanllevarse a cabo de esta manera. Se dejan a un lado los usos de herramientasmás sofisticadas (software del tipo de los «laboratorios» matemáticos inte-grados), pues a este nivel de un segundo curso están aún más alejadas de losobjetivos que se persiguen. Por otra parte, desde el punto de vista del perso-nal necesario para supervisar determinados tipos sencillos de Prácticas conlos paquetes estándar mencionados antes en los Centros Asociados deUNED, los problemas son ciertamente menores, pues en definitiva, esto noes ya computación, sino que se trata de una Ofimática avanzada. Así, y


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optando por el menor de dos males, entre la ignorancia absoluta y el (des)«conocimiento» parcial, esta alternativa puede resultarle útil al estudiante,abriéndole perspectivas desconocidas y motivándole al estudio en profundi-

dad de estos temas con posterioridad. En este sentido, se incluye un Apén-dice de orientación con una selección de posibles prácticas para que sirvancomo modelo de actividades en este contexto a estudiantes y Tutores.

Para cursar esta asignatura con el máximo aprovechamiento se recomien-da haber cursado las asignaturas de Matemáticas I y II previas en estos estu-dios de Grado. En particular sería conveniente para el estudiante refrescar susconocimientos, algunos posiblemente adquiridos durante su enseñanza secun-daria, en los temas que se especifican a continuación. Análisis Matemático:

Funciones reales de una variable real (continuidad, diferenciación, integra-ción), funciones de varias variables (derivación parcial, integración multidi-mensional), sucesiones, series numéricas y funcionales (Fourier) y ecuacionesdiferenciales ordinarias. Álgebra Lineal: Espacios vectoriales, matrices y deter-minantes. También le será útil recordar conocimientos adquiridos en estudiosanteriores a los universitarios de Probabilidad y Estadística: Histogramas defrecuencias, probabilidad, valores medios y dispersiones, distribuciones bino-mial y Gaussiana. Estos pre-requisitos lo son para el conjunto de la materia yno resulta posible individualizarlos pormenorizadamente por capítulos más

allá de la separación hecha por bloques temáticos y de algunas indicacionesmuy concretas, ya que de una u otra forma todos resultan necesarios para elestudio que aquí se propone. Las Matemáticas son así.

Los matemáticos encontrarán este libro ciertamente incompleto, pero valga en descargo de esta modesta obra que se ha escrito con la esperanza deprestar un servicio a la comunidad universitaria implicada en la enseñanzade la Química en estos tiempos de cambio. Cada uno de los cuatro grandesapartados teóricos del programa está estructurado en capítulos. Cada capí-

tulo comienza mostrando un sumario con los contenidos principales (los objetivos generales de conocimiento) y una breve descripción de ellos. Secontinúa con el desarrollo en detalle de los conceptos y las técnicas, inclu-yendo ejercicios intercalados para ilustrar unos u otras, y se ofrece en unasección independiente una serie representativa de problemas teóricos ynuméricos. Los problemas marcados con ** son de una mayor dificultad ypueden ser obviados en una primera lectura. Cada capítulo concluye con unaselección bibliográfica de consulta y ampliación. El texto contiene TRESapéndices, uno para orientación de prácticas, otro con un repaso de las

PRESENTACIÓN

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series de Fourier (Apéndice II) por su importante relación con el Cap. 2 yparte del Cap. 9, y un tercero que contiene unas breves tablas estadísticas porcompletitud del texto. Finalmente se presentan una bibliografía general

comentada, un amplio glosario de términos, y un índice alfabético de mate-rias para facilitar la localización de conceptos. Como cuestión adicional serelacionan en la sección de Bibliografía General algunas lecturas avanzadaspara que el estudiante interesado pueda considerar los conceptos vertidos enel texto desde otras perspectivas complementarias. Se ha optado por estaposibilidad, en vez de recomendar estas actividades por capítulo concreto,para no distraer con trabajo extra al estudiante medio.

El texto está ilustrado con más de medio centenar de figuras diseñadasen color para facilitar la comprensión y comparación de conceptos. El lectorencontrará un total de 200 ejercicios y problemas completamente resueltos ypreparados con la intención de ayudarle con efectividad en el estudio per-sonal, faceta que en el caso de asignaturas de los primeros cursos, como lapresente, cobra una importancia de primera magnitud en lo que debe ser eltrabajo del estudiante en ellas. Sólo así podrá éste, alcanzada una buena for-mación, colaborar con eficacia en trabajos de equipo en un futuro. Comoaplicación de estas ideas, el momento más adecuado para los estudiantes deponer los conocimientos adquiridos en común y trabajar en grupo será

durante la realización de las Prácticas.Existen disciplinas en las que puede resultar fácil (y hasta provechoso en

algunos casos) señalar los aspectos más relevantes para orientar el estudio.No este el caso de la presente, pues al ser una materia de formación mate-mática «básica» todos los conceptos que aquí se discuten son igualmentenecesarios y están de una u otra forma relacionados, no siendo así aconse-

jable centrar la atención en alguno en particular como preponderante, sopena de cometer un error de juicio importante. Puede, no obstante, resultar

de utilidad indicar el siguiente esquema de influencias entre los diversoscapítulos del texto

1Æ 2, 3, 7, 92Æ 3, 7,93Æ 9, 104Æ 7, 9, 105Æ 6, 7, 8, 106Æ 7, 8, 107Æ 1, 10


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Para no enmarañar innecesariamente este texto, todas las cuestiones rela-tivas a objetivos generales y específicos, competencias y habilidades a adqui-rir, planificación del estudio y demás sutilezas pedagógicas, se dejan para las

herramientas complementarias adecuadas, como son las Guías Didácticas delestudiante y del Tutor, que se incluirán en el Curso Virtual de esta asignaturaa encontrar en la plataforma educativa ALF (http://www.uned.es). El autor haintentado eliminar al máximo erratas y errores, pero como es sabido este pro-ceso «no converge bien« y cabe la posibilidad de que algunos de estos inde-seables elementos se hayan deslizado en el material que se presenta. Cual-quier indicación que ayude a eliminarlos será muy bien recibida.

La escritura de un libro de texto siempre implica una buena cantidad de

renuncias a otros proyectos y actividades por parte del autor, pero tambiénpor parte de los miembros de su familia. En el caso presente darles sólo lasgracias por su comprensión y ánimo se antoja poco, pero al autor ya se leocurrirá algo al respecto.

Madrid, abril de 2011Luis M. Sesé

PRESENTACIÓN

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IMÉTODOS NUMÉRICOS

1. Ajuste de funciones con polinomios: técnicas de colocacióny de mínimos cuadrados

2. Ajuste de funciones con polinomios ortogonales

3. Aplicaciones numéricas básicas4. Resolución numérica de ecuaciones y sistemas


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CAPÍTULO 1AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS:

TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS

1.1. Introducción

A. Polinomios de colocación

1.2. Ajustes con polinomios de colocación1.3. La tabla de diferencias y los polinomios de Newton1.4. El polinomio de Lagrange

1.5. Otras técnicas B. Mínimos cuadrados

1.6. Concepto y aplicación al caso lineal1.7. Ajustes de mínimos cuadrados de orden superior

Bibliografía

Problemas teóricos y numéricos

Se presenta una introducción operativa de la aproximación de funcionesreales de variable real. Primero se trata el problema de aproximar mediantepolinomios de colocación funciones definidas no mediante una expresión analí-tica sino mediante una tabla numérica ( xi, yi), normalmente asociada a un conjunto de resultados experimentales, discutiendo de forma general el problema delerror cometido. Con ello se pone de manifiesto que las operaciones matemáticasaproximadas a realizar quedan reducidas a las meramente aritméticas (suma,resta, multiplicación y división), lo que redunda en la facilidad de cálculo(manual y con máquina). Por otra parte, el uso de polinomios se ve beneficiadopor el hecho de que las diferenciaciones e integraciones son inmediatas y pro-ducen también polinomios. Además sus raíces son fácilmente calculables y unaalteración del origen de coordenadas no altera su forma global, ya que sólocambian sus coeficientes. Se introduce el concepto de tabla de diferencias, muyútil por otra parte en el análisis de datos (búsqueda de errores de entrada), y seaplica a la obtención de dos tipos de polinomios de colocación clásicos paradatos igualmente espaciados: avance y retroceso de Newton. Seguidamente, se

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estudia el polinomio de Lagrange, indicado para representar datos no igual-mente espaciados. Se continúa con la presentación del problema general de laaproximación de mínimos cuadrados en la base polinómica convencional como

una alternativa con propiedades de suavidad a los ajustes polinómicos anteriores.Las cuestiones tratadas aquí se completarán con detalle en capítulos siguientes,tanto desde el punto de vista numérico como del estadístico.

1.1. Introducción

Supóngase un fenómeno físico o químico que se describe con dos varia-bles ( x, y( x)) como, por ejemplo, una cinética química con valores de la con-centración c(t) de un reactivo (o de un producto) en función del tiempo t,(t, c(t)) la posición x(t) de un móvil unidimensional en función del tiempo t, ola energía de interacción u( r ) de dos átomos en función de la distancia entreambos, ( r , u( r )). La ecuación exacta del fenómeno en cuestión, en general

y = y( x), pudiera ser conocida o desconocida. Si la función es conocida y sufi-

cientemente simple, trabajar con ella directamente puede resultar adecuado.Pero si la función es conocida pero complicada y hay que evaluarla muchas veces, o si la función es desconocida y sólo viene dada por una tabla finita dedatos ( xi, yi), i = 1, 2, 3, …, N , entonces la utilización de «ajustes» de datosnuméricos particulares de tales funciones utilizando funciones simples cono-cidas resultan bien muy ventajosos en el caso de la función conocida, bien laforma más razonable de tratar matemáticamente con la función desconocida.Tales ajustes deben claramente seguir criterios definidos que garanticen lafiabilidad de las manipulaciones que se hagan con los datos.

Colocación Mínimos cuadrados

Argumentos

Igualmente espaciados

Caps. 3, 9

Argumentos

Desigualmente espaciados

Argumentos

Igual/Desigualmente espaciados

Tablas de diferenciasPol. Newton

(Pol. Lagrange)

Casos:Lineal

(Error RMS)

Orden superior

Pol. Lagrange

Caps. 2, 7


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AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS

Hay una gran variedad de criterios y de funciones simples a utilizar eneste contexto y, dependiendo del problema, algunos son más adecuadosque otros. Todos ellos y sus diversas aplicaciones forman la disciplina del

Cálculo Numérico, de la cuál se dice que es tanto una ciencia como un arte,como puede deducirse fácilmente del comentario anterior. El uso de cálculocon computador está fuertemente ligado a las aplicaciones de esta rama delas matemáticas, máxime teniendo en cuenta que la mayor parte de los pro-blemas de interés en química y en física no pueden ser resueltos de unamanera analítica exacta. El estudioso de estos temas se ve así en la necesidadde elaborar estrategias aproximadas para obtener respuestas a los proble-mas. Estas estrategias se basan en el diseño de los programas de cálculo enlenguajes como fortran, C, pascal, y otros. Aprender estas técnicas de pro-

gramación es un asunto que requiere cursos especializados y no se van a tra-tar aquí.

La comprensión de la naturaleza de los métodos numéricos puede, noobstante, lograrse con aplicaciones que no van a mucho más allá de aquéllasque pueden realizarse con calculadoras de escritorio o con el uso de recursossencillos en ordenador personal. Esta comprensión es muy importante, puescapacita al que la posee para analizar los resultados obtenidos y para poderdiseñar esas estrategias de cálculo adecuadas cuando se trata de resolver un

problema nuevo. Como se dice en el argot: «Sólo cuando se sabe resolver unproblema a mano, se puede empezar a diseñar bien un programa de cálcu-lo». Tal es el objetivo general de este texto: aprender, comprender, y aplicarestos métodos en casos suficientemente simples pero a la vez suficiente-mente ilustrativos. De entre los métodos utilizados en este campo van apresentarse en este capítulo dos que son básicos para tratar con funcionesdadas por tablas numéricas: los polinomios de colocación y las aproxima-ciones de mínimos cuadrados. Los polinomios de colocación ajustan exac-tamente los puntos tabulares y forman la base del cálculo numérico clásico(interpolación, diferenciación, integración, etc.). Las aproximaciones demínimos cuadrados realizan una «suavización» de los puntos tabulares,pero como nota distintiva están relacionados con conceptos fundamentalespara el estudio de sistemas atómicos y moleculares, como son los desarrollosen serie de funciones ortogonales. Por otra parte, no hay que desdeñar nun-ca el uso de representaciones gráficas de los datos ( xi, yi) que orienten en ladecisión del tipo de ajuste a realizar.


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A. POLINOMIOS DE COLOCACIÓN

1.2. Ajustes con polinomios de colocación

El uso de polinomios p(n)( x) para aproximar funciones (conocidas o no)tiene una gran cantidad de ventajas, ya que la aproximación

(1.2.1)

involucra sólo potencias x j con j entero positivo, lo que resulta muy conveniente tanto desde el punto de vista del cálculo manual como con máqui-na de calcular. Además, tanto la derivación como la integración de p(n)( x)

son operaciones inmediatas que producen de nuevo polinomios, y las n raí-ces de p(n)( x) pueden calcularse con un esfuerzo razonable. Además, unmero cambio del origen de coordenadas no afecta a la forma general de laaproximación, sino sólo a los coeficientes a j. Por brevedad en la notación,en adelante y cuando convenga se utilizará [ x1, x2] x1 ≤ x ≤ x2 para deno-tar un intervalo cerrado y ( x1, x2) = x1 < x < x2 para denotar un intervalo

abierto.

Todo esto está relacionado con el hecho de que la base de los polinomios

{ xn}n=0 , = {1, x, x2, x3,...} es completa sobre cualquier intervalo cerrado [ x1, x2],lo que forma la esencia del conocido teorema de Weierstrass que estableceque cualquier función continua arbitraria y( x) puede expresarse con tantaprecisión como se desee mediante un polinomio

(1.2.2)

sin más que ir añadiendo términos a j x j al desarrollo. Esto implica la acota-

ción siguiene para la diferencia entre la función y la aproximación en el

intervalo:

(1.2.3)

en donde e es una cota prefijada y el orden n a alcanzar depende de tal cotan = n(e ). El anterior es sencillamente el criterio de convergencia uniforme (tie-ne lugar en todo el intervalo a la vez) y la demostración debida a Bernstein(1912) involucra un tipo especial de polinomios que no son muy adecuadosen la práctica para el cálculo. No obstante, se pone con todo ello de mani-

y x p x a a x a x a xnn

n( ) ( ) ...( )≈ = + + + +0 1 22

y x p xn( ) ( )( )−


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fiesto el carácter completo de la base polinómica como base del espacio vec-torial de las funciones continuas en un intervalo finito (la dimensión de esteespacio vectorial es infinita). El uso de un criterio de convergencia diferente,

como el de convergencia en media que se verá más adelante, lleva natural-mente al concepto de ajuste por mínimos cuadrados. El problema a resolveren ambos casos es el de la determinación de los coeficientes a j.

Opciones de ajuste polinómico

Dentro de los ajustes polinómicos hay un buen número de opciones,colocación, osculación, splines, etc., pero hay que indicar primero que en la

práctica es preferible utilizar varios polinomios de grado pequeño pararepresentar secciones de la función y( x) en vez de utilizar un único polino-mio de grado elevado que represente a la función en su conjunto. Estoresulta especialmente importante para minimizar el efecto de las fuertesoscilaciones de los polinomios en los extremos del intervalo de ajuste, queson tanto más pronunciadas cuanto mayor es el grado, y pueden destruir lacalidad de una operación numérica (derivada, integral, etc.).

En esencia la aproximación por polinomios de grado pequeño (entre 1 y

5) está relacionada con el familiar desarrollo de Taylor en torno a un punto x = x0, y truncado a un cierto orden, para una función («de buen comporta-miento») continua con derivadas continuas y finitas:

(1.2.4)

del que se sabe que, cuanto más cercanos sean x y x0 un grado bajo en el

truncamiento ya realiza una buena aproximación. En este caso de los poli-nomios de Taylor la magnitud del error cometido al truncar a un ciertoorden n es, en principio, conocida. Se trata del resto de Lagrange:

(1.2.5)

en donde x es un punto indeterminado dentro del intervalo abierto definidopor x y x0 y que depende de x, x = x(x ), y se denota con y

(n+1 a la derivada

R x y

n x xn

nn

+

++=

+ −1

1

01

1( )

( )( )!

( )( ξ

y x y x dy

dx x x

d y

dx( ) ( ) ( )

!≈ +

− +

0 00

2

2

1

2 − + +

−

0

0

2

0

0

1( ) ....

! ( ) x x

n

d y

dx x x

n

n

n


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36

(n + 1) – ésima de y( x). Esta expresión, conocida y( x), permite acotar en loscasos adecuados el valor absoluto del error Rn+1( x), una operación siemprenecesaria, pero que en el caso de la aproximación polinómica general no va

a ser siempre posible de ser llevada a cabo con la misma exactitud que la deTaylor.

El criterio de colocación: casos simples

Si sólo se conocen dos datos o puntos ( x1, y1) y ( x2, y2), con x1


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37

debiendo estudiarse la compatibilidad del sistema de ecuaciones linealesresultante para obtener los coeficientes a j

(1.2.9)

De nuevo se plantea la cuestión de lo que sucede para diferentes valoresde x y la discusión es mutatis mutandi la misma que antes relativa a (1.2.6)en cuanto a la interpolación e extrapolación.

EJERCICIO 1.2.1

Discutir la existencia y unicidad de un polinomio p(2)( x) = a0 + a2 x2 que

ajuste una tabla de dos puntos ( x1, y1), ( x2, y2).

La parábola que se plantea como función de ajuste es de eje vertical y consólo dos incógnitas a0 y a2, lo que dados dos puntos tiene, en principio, sen-tido. El sistema a resolver es pues

y para que sea compatible determinado el rango de la matriz de los coefi-cientes A debe necesariamente ser r ( A) = 2 = número de incógnitas. Estoimplica el determinante no nulo

lo que lleva a que el ajuste tiene sentido si se verifican las condiciones x1 ≠ ± x2.Si las dos abscisas son iguales, x1 = x2, no hay parábola definida con eje ver-tical que pase por tales puntos, y si las dos abscisas son de signo contrario,

x1 = –x2, entonces puede haber infinitas parábolas que pasen por ellos (Fig.1T.1). De manera que para que exista una única parábola deben satisfacerselas condiciones indicadas por la no anulación del determinante.

y a a x a x

y a a x a x

y a a x

1 0 1 1 2 12

2 0 1 2 2 22

3 0 1 3

= + += + +

= + + a a x2 32

11

012

22 2

212 x

x x x= − ≠

y a a x

y a a x

1 0 2 12

2 0 2 22

= +

= +


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38

Podría pensarse que el problema ha quedado resuelto, pero queda poranalizar un detalle más relacionado con la naturaleza de la solución obteni-da. Nótese que no se ha hecho ninguna referencia a los valores y

k

pues no van a afectar a la existencia de solución en tanto se cumplan las condicionesseñaladas arriba. Sin embargo, si y1 = y2 entonces

y la solución final no mantendría la forma cuadrática inicial. Desde el puntode vista de la utilidad de la aproximación en aplicaciones concretas esta cir-cunstancia puede perfectamente representar un problema no deseado. El cal-

culista numérico debe, por consiguiente, estar precavido contra una gran variedad de efectos que, no siendo erróneos matemáticamente, sí puedenresultar inconvenientes en las aplicaciones.

Observaciones de interés

En general con N + 1 datos, {( xi, yi)}i=1 ,N+1, con los valores xi en orden cre-ciente, puede ensayarse en principio un polinomio grado N , p( N )( x) = y = a0 +

p x a a x a a x x( )( ) { } ;2 0 22

2 0 1 20= + = = = ≠ ±

Figura 1T.1. Ejemplos de la no unicidad en un polinomio de ajuste al no haber condicionessuficientes. Existen infinitos polinomios de segundo grado p(2)( x) = a0 + a2 x

2 que pasanpor los puntos (–1, 2) y (+1, 2).


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a1 x + a2 x2 +...+ a N x

N , del que habrá que estudiar su compatibilidad y lascuestiones sobre su validez en puntos x arbitrarios. En ausencia de másinformación sobre la función exacta y( x) el criterio de colocación suele dar

buenas aproximaciones para el comportamiento global de dicha funciónsiempre que: i) se utilicen grados polinómicos no muy elevados, lo queimplica una segmentación de la tabla original; y ii) se restrinja su uso a laregión conocida x1 ≤ x ≤ x N+1 (interpolación). La predicción de lo que puedesuceder fuera de esta región (extrapolación) suele ser errónea en la mayorparte de los casos. Hay que notar que la resolución de un sistema de ecua-ciones, del tipo (1.2.9), para determinar los coeficientes de un polinomio degrado N , resulta poco eficiente. Es preferible utilizar técnicas un tantomás sofisticadas como: iii) los polinomios de Newton (avance, retroceso),Everett u otras versiones cuando los datos están igualmente espaciados( x k+1 – x k = h = constante >0; o iv) el polinomio de Lagrange cuando losdatos están desigualmente espaciados.

1.3. La tabla de diferencias y los polinomios de Newton

Para una función tabular definida por una tabla de datos {( x k, y k)} k=0 ,N con

los argumentos x k igualmente espaciados x k+1 – x k = h = constante > 0 una for-ma eficiente para poder determinar su polinomio de colocación viene dadapor la construcción que se muestra en la Tabla 1.1. Esta construcción secontinúa por la derecha y hacia abajo hasta agotar todas las posibilidades deefectuar diferencias entre valores y k y sus magnitudes D

n y k asociadas. EstasDn y k se denominan diferencias de avance (de Newton) y su forma general es cla-ramente Dn y k = D

n–1 y k+1 – Dn–1 y k. El orden máximo n con columna no nula que

puede alcanzarse en este tipo de tabla es, para N + 1 puntos, justamente N.

Puede suceder, sin embargo, que aparezca constancia en una determi-nada columna n


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El polinomio de avance de Newton

Para una tabla igualmente espaciada el polinomio de avance de Newtonestá dado por

(1.3.1)

en donde por comodidad se ha utilizado la variable de ordenación auxiliar k

y que está definida incluso para puntos no tabulares pero comprendidos den-tro del rango delimitado por los argumentos x k. Así los valores k no sonnecesariamente enteros, por ejemplo para x0 < x < x1 los valores de esta

variable de orden estarían entre 0


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general para el error del ajuste por colocación recuerda a la del resto deLagrange (1.2.5) y para un polinomio de grado n es

(1.3.2)

en donde x es un punto indeterminado que está dentro del intervalo abiertodefinido por x0 y xn pero no puede coincidir con ninguno de los puntostabulares. Más adelante, en el Cap. 3 se tratará con esta expresión en detallepara las aplicaciones.

EJERCICIO 1.3.1

Obtener la tabla de diferencias para la función y( x) = 3 x2 + x – 1 , en el intervalo [–1, 1] utilizando un espaciado h = 0,25.

Cualquier otro espaciado h y utilizando un intervalo de tabulación dife-rente presentaría un resultado análogo con constancia en las diferenciassegundas, pero no necesariamente con el mismo valor constante.

y x p x

x x x x x x

n yn n n

( ) ( )

( )( )...( )

( )!( ) (

− = − − −

+0 1

1++1

( )ξ

k x k y k y k 2 y k

3 y k

0 –1 1

–1,0625

1 –0,75 –0,0625 0,375

–0,6875 0

2 –0,5 –0,75 0,375

–0,3125 0

3 –0,25 –1,0625 0,375

0,0625 0

4 0 –1 0,3750,4375 0

5 0,25 –0,5625 0,375

0,8125 0

6 0,5 0,25 0,375

1,1875 0

7 0,75 1,4375 0,375

1,5625

8 1 3

Tabla 1.2. Ejercicio 1.3.1Tabla de diferencias de avance para y( x) = 3 x2 + x – 1; h = 0,25


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EJERCICIO 1.3.2

Obtener los polinomios de avance de Newton para una tabla de diferencias

en la que se tienen los comportamientos: a) D2 y k = 0 ; b) D3 y k = 0.

a) El polinomio en este caso será de grado n = 1 y es sencillamente laecuación de una línea recta:

b) El polinomio será ahora de grado n = 2 y es la parábola:

El polinomio de retroceso de Newton

La numeración de los datos en una tabla igualmente espaciada no tieneporqué empezar necesariamente en k = 0 y puede hacerse esta operacióntomando como origen cualquier punto de la tabla. La elección anterior es lanatural cuando se va a calcular un polinomio de avance de Newton, pero unpolinomio de diferencias reversivas o de retroceso tomaría la numeración

k = 0 partiendo del dato N y asignando al resto de los datos índices negativoscorrelativos. La situación se resume en la Tabla 1.3, en la que como antes setienen valores x k crecientes al ir hacia abajo.

Como puede comprobarse la tabla es idéntica a la anterior de avance, losresultados para las diferencias se obtienen de la misma forma, solamente lanotación de cada elemento difiere. Con esta nueva construcción se puededeterminar el polinomio de retroceso de Newton:

(1.3.3) p y k y k k y k k k y

k = + ∇ + + ∇ + + + ∇0 0

20

30

12

1 1

3 1 2

! ( )

! ( )( ) ++ +

+ + + + − ∇ +

...

...! ( )...( ) ...

11 1 0n

k k k n yn

p y k y k k y

y x x

h y

x

k = + + − =

+ −

+ −

0 02

0

00

0

12

1

12

∆ ∆

∆

! ( )

!

( x x x x h

h y a bx cx0 0

22

02)( )− − = + +∆

p y k y y x x

h y y m x x

k = + = +

−= + −0 0 0

00 0 0∆ ∆ ( )


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con la definición de la variable auxiliar k idéntica a la de antes, pero cuyos valores son ahora k ≤ 0 al estar el origen en el argumento x máximo de la

tabla

Observaciones prácticas

Hay que tener en cuenta que una tabla finita con N + 1 datos igualmenteespaciados puede representarse igualmente tanto con el polinomio de avan-ce como con el de retroceso. Si se efectúan y utilizan todas las diferenciashasta el orden n máximo posible, ambas representaciones son idénticas, yaque el polinomio que ajusta una tabla finita es único (Fig. 1T.2). El utilizaruna u otra versión, avance o retroceso, depende de la aplicación que vaya ahacerse. Para una precisión en el cálculo prefijada, si la zona de interésestá en la parte superior, puede ser suficiente utilizar una aproximación deavance con grado j < n que ya suministre resultados aceptables y evite engo-rrosas operaciones que no los mejorarían sustancialmente. Lo mismo suce-de con el polinomio de retroceso si el interés se concentra en la zona inferiorde la tabla.

k x x

h x x=

−≥0 0; .

Tabla 1.3. Tabla de diferencias de retroceso para datos igualmente espaciados: x k+1 – x k = h = constante >0

k x k y k y k 2 y k

3 y k

… … … … … …

… … … — y –3 = y –3 – y –4 … …

–3 x –3 y –3 —2 y –2 = — y –2 – — y –3

— y –2 = y –2 – y –3 —3 y –1 = —

2 y –1 – —2 y –2

–2 x –2 y –2 —2 y –1 = — y –1 – — y –2

— y –1 = y –1 – y –2 —3 y

0 = —2 y0 – —

2 y –1

–1 x –1 y –1 —2 y

0 = — y0 – — y –1

— y0 = y0 – y –1

0 x0 y0


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En línea con la discusión precedente, conviene señalar que existen otrospolinomios de colocación para tablas igualmente espaciadas y que estánadaptados para situaciones en las que el interés está en zonas apartadas delos extremos (Gauss, Everett, etc.). Estas versiones utilizan un origen situa-do en un punto interior de la tabla y numeran los datos como positivos onegativos según sean de mayor o menor argumento x k que el del origenseleccionado x0. Más adelante, en el Cap. 3 y al estudiar las aplicaciones, se

considerará con más detalle este tipo de ajuste «central».En todos los casos de polinomios de ajuste por colocación se utilizan

determinados operadores de diferencia, como los de avance D o de retroceso —presentados arriba para los polinomios de Newton, o los denominados ope-radores de diferencia central utilizados en los polinomios de Gauss, Everett,etc. Estos operadores permiten una formulación compacta de las expresionesde estos polinomios y utilizan todos la misma tabla de diferencias, peroseleccionando puntos de ella adecuados a cada caso. También convieneinsistir de nuevo en que resulta siempre más ventajoso utilizar polinomios degrado pequeño que representen segmentos de la tabla, en vez de utilizarrepresentaciones polinómicas de alto grado que incluyan la tabla completa.

1.4. El polinomio de Lagrange

Cuando la tabla de datos {( xi, yi)}i=1 ,N+1 no está igualmente espaciada lastécnicas anteriores no son utilizables y hay que recurrir a otros métodos. Elmás sencillo, siguiendo el criterio de colocación de puntos tabulares, es el lla-

Figura 1T.2. (a) Polinomio de colocación de 5º grado a una serie de datos. (b) Ajustes parcialesa los datos anteriores utilizando polinomios de 2º grado consecutivos.


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mado polinomio de Lagrange. Si se desea ajustar la tabla completa, esto selogra con el algoritmo:

(1.4.1)

en donde los casos i = 1 e i = N + 1, son simples de interpretar. Esta expresiónse puede reducir utilizando menos puntos para representar segmentos de esatabla. La suma incluye tantos sumandos como puntos se utilicen, siendocada sumando un producto de N factores, y con j recorriendo los númerosentre 1 y N + 1 evitando siempre el caso j = i. Es fácil comprobar que el algo-ritmo anterior reproduce (coloca) la tabla o su segmento ajustado. La apli-cación de este algoritmo puede parecer un tanto complicada y se va a ilustrarcon un ejemplo numérico concreto en el siguiente Ejercicio.

EJERCICIO 1.4.1

Se conocen las tres parejas de datos temperatura-presión siguientes perte-

necientes a la curva de fusión del helio-4:

T (K) 10 13 20

P(kg/cm2

) 604,2506 917,7237 1810,5190 Encontrar una representación polinómica para esta tabla.

Va a tomarse la temperatura como variable independiente y como haytres datos el polinomio será en principio de grado 2: P(2)(T ) = a + bT + cT 2.Para determinar los coeficientes podría efectuarse la resolución del sistemade ecuaciones (1.2.9) derivado de sustituir los datos. Esto sería esencial-mente correcto, pero en general resulta siempre más eficiente calcular el

polinomio de Lagrange, que en este caso viene dado por

Esta es una expresión muy cómoda para evaluar valores de P en tempe-raturas comprendidas en el intervalo de definición (interpolación).

P T T T

P T ( )( )

( )( )

( )( )

( )21

13 20

10 13 10 20

10=

− −− −

+ − (( )

( )( )

( )( )

( )

T P

T T −− −

+ − −

−20

13 10 13 20

10 13

20 102 (( )

( )( )

( )( ),

20 13

13 20

10 13 10 20604 25

3− =

− −− −

P

T T 006

10 20

13 10 13 20917 7237

1+

− −− −

+ −( )( )

( )( ),

(T T T 00 13

20 10 20 131810 5190

)( )

( )( ),

T −− −

p x x x x x

y x j i j N j

i j j ii

( )( ) ( )( )

( );= −−

≠ ⇒ =

≠∏ 11 2 1 1 1

1

1

, ,.., , ,..., ,i i N N i

N

− + +=

+

∑


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1.5. Otras técnicas

Todas las estrategias de ajuste anteriores van a considerarse con más

detalle en el Cap. 3 en conexión con sus aplicaciones. Hay que señalar que noson las únicas y que existe una gran variedad de técnicas de colocación porpolinomios aparte de ellas y conviene mencionar algunas: i) el método deAitken, que utiliza polinomios de colocación con grados crecientes que vanajustando subconjuntos de los puntos tabulares; ii) la técnica de las dife-rencias divididas, que generalizan las diferencias vistas antes construyendococientes de éstas entre diferencias de argumentos; iii) los polinomios oscu-ladores, que no sólo colocan datos tabulares de la función, sino también

valores de las derivadas de ésta en esos puntos; y iv) los ajustes por splines

cúbicos, que utilizan los valores de la función y estimaciones de su derivadasegunda para construir aproximaciones cúbicas entre cada dos puntos tabu-lares consecutivos. En este último caso el polinomio de «splines» toma entre( xi, yi) y ( xi+1, yi+1) la forma

en donde

Se trata de un ajuste aplicable a cualquier tipo de tabla. Una eleccióncomún es y1¢¢ = y N ¢¢ = 0 en los extremos de la tabla («splin» cúbico natural).

B. MÍNIMOS CUADRADOS

1.6. Concepto y aplicación al caso lineal

Una técnica de aproximación de funciones definidas por una tabla numérica

con N + 1 puntos, {( xi, y

i)}

i=0 ,N que no tiene que estar necesariamente igualmente

espaciada, y que es diferente de la de colocación, es la de mínimos cuadrados.

Aquí el criterio director es el de hacer mínima la suma de los cuadrados de las

diferencias entre cada valor de entrada yiy su valor correspondiente y%

iobtenido

A x x

x x B x x

x x

C A

i

i i

i

i i=

−− =

−−

=

++ +

11 1

1 5 2

16

; ( . . )

(

a

331

2 31

216

1 5 2− − = − −+ + A x x D B B x xi i i i)( ) ; ( )( ) ( . . b))

p x Ay By Cy Dyi i i i

( )( ) ( . . )3 1 1 1 5 1= + + ′′ + ′′+ +


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a través de la expresión que se postula como aproximación. Para el caso de

una expresión polinómica de grado n esta estimación vendría dada por

(1.6.1)

Para ajustar el conjunto completo de puntos se exige que los coeficientes am sean tales que

(1.6.2)

Nótese que en mínimos cuadrados la única relación existente entre el gra-do del polinomio n y el número de puntos a ajustar N + 1 es que n


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49

Esto puede probarse del modo siguiente:

(1.6.8)

en donde la doble suma completa sobre i y k se ha desdoblado en dos con-tribuciones i = k e i ≠ k. Nótese la abreviatura utilizada para la suma (doble)restringida i


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hay que demostrar que el Hessiano H es positivo (existe extremo local para lafunción S)

(1.6.9)

y que sus elementos diagonales también lo son (el extremo es un mínimo)

(1.6.10)

Todo esto equivale a la condición de que la forma cuadrática S( a0, a1) sea definida positiva. De aquí en adelante, y por simplicidad de notación, seomitirán cuando no sean necesarias las variables constantes en las deriva-ciones parciales. Se tienen así las desigualdades

(1.6.11a)

(1.6.11b)

Por otra parte, las derivadas cruzadas son

(1.6.12)

y el Hessiano resulta

(1.6.13)

quedando así demostrada la cuestión.

La «bondad» del ajuste

El último punto es de la bondad o adecuación de la expresión linealpropuesta y%i = y%( xi) = a0 + a1 xi para representar a la tabla de datos. Primero

calculo numerico y estadistica aplicada

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