79926120 guia estadistica aplicada

Gua de Estadstica y Probabilidades

Prof. Sharmila Cano Villafuerte 1

INTRODUCCION

La estadstica es una de las herramientas mas ampliamente utilizadas en la investigacin cientfica.

Su aplicacin en instituciones gubernamentales y educativas, en los negocios y en la industria, en la banca y en otros quehaceres diarios hace de la estadstica una herramienta indispensable.

Sin embargo el termino Estadstica tiene varios significados para diferentes personas; para la

gente comn y corriente la estadstica solamente significa nmeros. En el periodo de la maana se puede encontrar la estadstica mas reciente sobre los delitos de la

ciudad: de asesinatos, de robos de automviles, de asaltos y dems delitos que hayan sido

denunciados en determinado periodo de tiempo; de los nacimientos y muertes que han ocurrido, o en la relacin con el deporte, el numero de partidos ganados y perdidos por equipos

integrantes de la liga de ese deporte.

Para otras personas es un mtodo para obtener, presentar y escribir grandes cantidades de datos, y para otras es un mtodo para tomar decisiones en situaciones difciles.

El objetivo es aclarar los significados de la Estadstica, definir sus conceptos bsicos utilizados con frecuencia y analizar los usos y abusos de los mtodos estadsticos.

Aunque los significados sean diferentes, todos ellos forman parte del concepto total de Estadstica.

La palabra Estadstica tiene su sentido mas amplio para aquellas personas cuyo trabajo requiere

de un conocimiento de los aspectos mas tcnicos. Para estas personas, la estadstica tiene

relacin con aquellos conceptos y tcnicas que se utilizan en la recopilacin, organizacin, resumen, anlisis, interpretacin y comunicacin de informacin numrica.

Tambin la Estadstica proviene de la palabra estado, porque la funcin tradicional de los gobiernos centrales es y ha sido llevar la cuenta de la cantidad de habitantes, nacimientos,

defunciones, empleo y desempleo, cantidad de empresas, costo de vida y muchas otras

caractersticas de nuestra sociedad.

Estos conceptos y tcnicas juegan un papel importante en las actividades que realizan los

profesionales de todas las ciencias.

Hoy en da, muchas actividades estn relacionadas con la estadstica y muchas ocupaciones

implican el uso del mtodo estadstico.

PROPOSITO

La estadstica es una rama de las matemticas aplicadas que surgi por la necesidad concreta que el hombre tiene que conocer la resolucin de problemas relacionados con la recoleccin,

procesamiento, anlisis e interpretacin de datos numricos cuyo conocimiento le permitir

tomar decisiones acertadas.

Para el conocimiento de la realidad concreta que al hombre le interesa, considera tres etapas

fundamentales que son:

Planear la bsqueda y la obtencin de la informacin.

Sistematizar y organizar la informacin de tal forma que se pueda describir y analizar con facilidad.

Efectuar inferencias sobre la realidad a partir de la informacin obtenida, haciendo estimaciones verificando hiptesis.



La interpretacin de la informacin permite obtener conclusiones que enriquecen nuestro

conocimiento de la realidad y nuestra capacidad para transformarla.

El propsito es de proporcionar los conocimientos para llevar a la prctica las etapas que te

permitirn la resolucin de cualquier problema estadstica.

APLICACIONES DE LA ESTADISTICA

La estadstica da a da gana terreno en su aplicacin en toda actividad humana por simple que

esta sea. La estadstica se aplica en los programas de Gobierno, Ingeniera, Agronoma. Economa,

Medicina, Biologa, Psicologa, Pedagoga, Sociologa, Fsica, etc; no hay alguna ciencia que no

la use o profesin que no lo aplique.

Algunos ejemplos del uso de la estadstica son:

1) En las agencias gubernamentales, tanto federales como estatales utilizan la estadstica para realizar planes y programas para el futuro.

2) En el campo de la ingeniera se aplica en muchas actividades tales como:

a) La planeacin de la produccin. b) El control de la calidad. c) Las ventas. d) El almacn, etc.

3) En la Sociologa se aplica para comparar el comportamiento de grupos socioeconmicos y culturales y en el estudio de su comportamiento.

4) En el campo econmico su uso es fundamental para informar el desarrollo econmico de una empresa o de un pas que da a conocer los ndices econmicos relativos a la

produccin, a la mano de obra, ndices de precios al consumidor, las fluctuaciones del

mercado burstil, las tasa de inters, el ndice de inflacin, el costo de vida, etc.

5) En el campo demogrfico la Estadstica se aplica en los registros de los hechos de la vida diaria, tales como:

Nacimientos.

Defunciones.

Matrimonios.

Divorcios.

Adopciones.

Etctera. En materia de poblacin los datos aportan una buena ayuda para fijar la poltica de

estmulos al control de la natalidad, dirigir la inmigracin o emigracin, establecer los

planes de lucha contra las enfermedades epidmicas o plagas que azotan los campos, etctera.

6) En el campo educativo la Estadstica contribuye al conocimiento de las condiciones fisiolgicas, psicolgicas y sociales de los alumnos y de los profesores. Al perfecciona-

miento de los mtodos de enseanza y de evaluacin.

7) Industria. La mayor parte de los industriales la utilizan para el control de calidad.

8) Agricultura. Se emplea en actividades como experimentos sobre la reproduccin de plantas y animales entre otras cosas. Tambin se usa la Estadstica para determinar los efectos de clases de semillas, insecticidas y fertilizantes en el campo.



9) Biologa. Se emplean mtodos estadsticos para estudiar las reacciones de las plantas y los animales ante diferentes perodos ambientales y para investigar la herencia. Las

leyes de Mendel sobre la herencia en donde los factores hereditarios se atribuyen a unidades llamadas genes y al estudio sistemtico de los cruzamientos entre individuos

portadores de genes diferentes, lo que ha permitido precisar de qu manera los genes se

separan o se renen en las generaciones sucesivas. La verificacin de las hiptesis formuladas por Mendel y sus continuadores necesit el empleo de la Estadstica, la cual

en este caso ha lanzado las primeras luces sobre el mecanismo de la herencia.

10) Medicina. Los resultados que se obtienen sobre efectividad de frmacos se analizan por medio de mtodos estadsticos. Los mdicos investigadores se ayudan del anlisis

estadstico para evaluar la efectividad de tratamientos aplicados. La Estadstica tambin

se aplica en el establecimiento y evaluacin de los procedimientos de medida o clasificacin de individuos con el propsito de establecer la especificidad y sensibilidad

a las enfermedades.

11) Salud. Los tcnicos de la salud la utilizan para planear la localizacin y el tamao de los hospitales y de otras dependencias de salud. Tambin se aplica en la investigacin sobre

las caractersticas de los habitantes de una localidad, sobre el diagnstico y la posible

fuente de un caso de enfermedad transmisible; sobre la proporcin de personas enferma s en un momento determinado, de ciertos padecimientos de una localidad, sobre la pro-

porcin de enfermos de influenza en dos grupos, uno vacunado contra el padecimiento y

el otro no. Tambin se aplica en cualquier otro tipo de investigacin similar a ste.

12) Psicologa. Los psiclogos se valen de los conceptos y tcnicas de la estadstica para medir y comparar la conducta, las actitudes, la inteligencia y las aptitudes del hombre.

13) Negocios. Los hombres de negocios pueden predecir los volmenes de venta, medir las

reacciones de los consumidores ante los nuevos productos, etctera.

14) En la Fsica se utiliza la Estadstica para obtener datos y probar hiptesis.



1. Definicin.- La Estadstica es el estudio cientfico relativo al conjunto de mtodos encamina-

dos a la obtencin, representacin y anlisis de observaciones numricas, con el fin de descri-

bir la coleccin de datos obtenidos, as como inferir generalizaciones acerca de las caractersticas de todas las observaciones y tomar las decisiones ms acertadas en el campo de su apli

cacin.

1.1 Clasificacin: La Estadstica como disciplina o rea de estudio comprende tcnicas descrip-

tivas como inferenciales. Incluye la observacin y tratamiento de datos numricos y el

empleo de los datos estadsticos con fines inferenciales.

Para su estudio se clasifica de la siguiente forma:

a) Estadstica Descriptiva: Es una parte de la estadstica que se encarga de organizar,

describir, ordenar, resumir y presentar datos de manera informativa.

b) Estadstica Inferencial: Es una tcnica mediante la cual se obtienen generalizaciones o

se toman decisiones en base a una informacin parcial o completa obtenida mediante

tcnicas descriptivas. Es tambin la que nos proporciona la teora necesaria para inferir o estimar las leyes de

una poblacin partiendo de los resultados o conclusiones del anlisis de una muestra.

Estas dos partes de la estadstica no son mutuamente excluyentes, ya que para utilizar los

mtodos de la inferencia estadstica, se requiere conocer los mtodos de la estadstica

descriptiva.

1.2 Poblacin y Muestra

a) Poblacin Estadstica o Universo: Es un conjunto de elementos (personas, entidades u objetos), del cual se quiere saber algo que nos interesa para tomar una determinacin;

que contiene una o mas caractersticas observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa

que se pueden medir a ellos.

A cada elemento de la poblacin se denomina unidad elemental o unidad estadstica. El

nmero de datos de una poblacin se simboliza con la letra (N).

Ejercicio 1:

Los empleados de una empresa en un da laborable, constituyen una poblacin en la que

cada empleado (unidad estadstica), tiene muchas caractersticas a ser observadas, como por ejemplo: sexo, estado civil, lugar de procedencia, grado de instruccin, etc.

(caractersticas cualitativas), o numero de hijos, ingresos mensuales, etc. (caractersticas

cuantitativas).

El resultado de medir una caracterstica observable de una unidad elemental. Se

denomina dato estadstico o valor observado o simplemente observacin.

Tenemos que poblacin finita si tiene un nmero finito de elementos. En caso contrario la poblacin infinita. Pero en la prctica, una poblacin finita con un nmero grande de

elementos se considere poblacin infinita.

Parmetro: Es una medida descriptiva que resuma una caracterstica de la poblacin como: la media () o la varianza (

2), se calcula a partir de los datos observados de toda

la poblacin.

Ejercicio 2: Mencione tres ejemplos de poblacin

- Poblacin de ventas anuales de los supermercados de Lima Metropolitana.

- Poblacin de todos los posibles resultados cara y sello que se obtienen al arrojar una

moneda un nmero indefinido de veces. - Poblacin de puntajes de rendimiento en la solucin de ejercicios matemticos de

todos los alumnos de la carrera de Ingeniera Industrial tercer ciclo.



b) Muestra: Es un subconjunto de la poblacin que se estudia para determinar el parmetro

que describe la caracterstica deseada de la misma.

Todas las muestras son subconjuntos de la poblacin pero no todas son representativas. Las muestras representativas se seleccionan aleatoriamente.

Muestra aleatoria es aquella que se obtiene de tal manera que cada posible observacin

disponible en la poblacin, tiene la misma probabilidad de ser seleccionada.

El nmero de datos que constituye una muestra se llama tamao de la muestra y se sim-

boliza con la letra (n).

Ejercicio 3: Cite un ejemplo de muestra

-Si se desea estimar el gasto promedio anual de los estudiantes del C.B., se extraera una

muestra formada por cierto nmero de estudiantes, se determinara el gasto anual correspondiente a cada uno de ellos y despus se obtendra el promedio.

Se utiliza una muestra debido a que simplemente no se tiene el tiempo ni los recursos

para establecer el contacto con todos los estudiantes del C.B., aun cuando es posible hacerlo.

Estadstico o estadgrafo: Es una medida descriptiva que resuma una caracterstica de la

muestra, como: la media ( x ) o la varianza (s2) calculada a partir de los datos observados de una muestra aleatoria.

Ejercicio 4:

En un campo de experimentacin agrcola se ha desarrollado una variedad de jitomate.

Se desea determinar el peso promedio de los jitomates de cada planta. Determinar el parmetro y el estadgrafo.

Solucin:

El parmetro de la poblacin es: El peso promedio de todos los jitomates producidos por cada planta en una cosecha determinada.

El estadstico o estadgrafo es el peso promedio de todos los jitomates producidos por

planta, en una muestra aleatoria de plantas cultivadas de la cosecha. ( x ).

2. Variables: Se clasifican de la forma siguiente

a) Variable Cualitativa.- Es aquella que representa una cualidad ya sea en una poblacin o

muestra, no lleva clasificacin numrica.

Por ejemplo, la variable estado civil puede adoptar las modalidades: soltero, casado,

divorciado, viudo, etc. La cual puede ser:

Variable cualitativa nominal o variable categrica, cuando se definen categoras.

Teniendo en cuenta el nmero de observaciones para cada categora como por ejemplo la

variable color de ojos con las posibles modalidades (castao, azul, negro etc.).

Variable cualitativa ordinal, es cuando se ordena los casos en trminos de grado por

ejemplo la variable clase social con las posibles modalidades (bajo, media, alto); otra variable estudio con las posibles modalidades (1er grado, 2do grado, etc.)

b) Variables Cuantitativa.- Son variables que se obtienen como resultados de mediciones o

conteos, (son variables numricas). Son variables cuantitativas el peso de personas, temperatura, el coeficiente intelectual de personas, la presin sangunea, el nmero de

estudiantes del primer semestre, el nmero de accidente que se producen en un periodo

dado de una regin geogrfica.

Las variables cuantitativas se clasifican en:



Variables Cuantitativas Discretas, cuando toman valores numricos aislados o enteros

positivos y no pueden tomar ningn valor entre dos consecutivos fijados por ejemplo el nmero de monedas que una persona lleva en su bolsillo; el nmero de admisiones en

un hospital durante un da determinado.

Variables Cuantitativas Continuas, son aquellas que pueden tomar infinitos valores entre

dos nmeros, por muy prximos que los fijemos por ejemplo la estatura de los estudiantes

de la carrera de ingeniera industrial; nivel de colesterol de ciertos pacientes de hospital

general, la edad etc.

Ejercicio 5:

Un empresario desea saber entre las marcas de carro (Ford, Nissan, Chrysler),cul es el de

preferencia de los habitantes de una ciudad de la Repblica; para ello se encuesta a 20 personas habindose obtenido los siguientes resultados:

F, N, C, F, C, C, N, C, F, N, N, N, F, C, N, F, N, C, F, N.

Que tipo variable es? y Qu marca es la de mayor preferencia? Solucin:

Es una variable cualitativa nominal, porque a los habitantes encuestados los agrupa en tres

categoras sin tener un orden que esta dado por la marca de carro. De los 20 encuestados la mayora prefiere carros de marca Nissan.

Ejercicio 6:

En una encuesta acerca de la preferencias de una marca de bebida gaseosas por sus

colores: Negro(N), Blanco (B), Rojo(R), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas: B,N,N,B,R,,N,N,B,B,N,B,N,N,R,B,N,B,R,B,N

Qu tipo de variable es y porque?; Qu color de bebida es ms favorecido?

Ejercicios de Aplicacin I

1. Del siguiente problema identifica y escribe en la lnea cul es la poblacin, la muestra, el parmetro y el estadgrafo.

De todos los estados de la Repblica Mexicana se desea saber el ingreso bruto sobre recauda-

cin de impuestos sobre la renta y el promedio de ingresos de diez de los estados tomados al azar.

La poblacin es _________________________________________________________

La muestra es __________________________________________________________

El parmetro es _________________________________________________________ El estadgrafo o estadstico es _____________________________________________

2. Al investigar el nivel socioeconmico en los valores: Bajo(B), medio(M), alto(A), 20 familias dieron los siguientes respuestas:

M,B,B,M,A,B,B,M,M,B,M,B,B,A,M,B,M,B,M,A,M,B

Que tipo variable es?: _________________________________

Qu nivel socioeconmico mas frecuente se presenta?_______________________________ Explica con tus propias palabras, cul es el objetivo de la investigacin?.

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

3. La compaa Market con base en Chicago pidi una muestra de 1960 consumidores que probaron un plato de pescado congelado elaborado por la empresa Matn de los 1960 consumidores consultados 1176 dijeron que compraran el platillo si se pusiera a la venta.



a) Que informara la compaa Market de Matn, respecto a la aceptacin del plato

de pescado congelado si se pusiera a la venta?

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

b) Este es un tipo de estadstica descriptiva o inferencial y porque. ________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

4. Clasifique las variables detalladamente: Profesin, Nacionalidad, grado de instruccin, nmero de hijos, nmero de celular, direccin, ao de nacimiento, edad, estado civil,

ingreso mensual familiar promedio, nmero de DNI

5. El mdico de una guardera desea saber el crecimiento que tuvo cada nio a su cuidado,

durante los primeros 6 meses del ao, para ello se obtuvieron los siguientes resultados en

centmetros:

8, 8, 7, 5, 4, 3, 4, 7, 5, 9, 3, 4, 7, 6, 5, 7, 3, 5, 4, 5, 3, 9, 7, 6, 8, 4, 6, 9, 7, 8, 3, 4, 9, 5 Escribe la variable que se investiga: ______________________________________

Es una muestra o poblacin: _____________________________________________

Qu tipo de variable es? _______________________________________________

6. El maestro del grupo 502 del plantel 2 Cien Metros, evalu el grado de aprovechamiento en el curso de estadstica, bajo la siguiente escala: Excelente, Bien, Regular, Mal; habiendo obtenido los siguientes resultados:

R, B, M, R, E, M, B, R, R, M, B, E, B, R, B, B, R, B, B, R, B, M, E, R, R, B, B, E, B, R,

R, R, B, B, R, B, R, R, B, E, M, R, B, R

Responda las siguientes preguntas: Cul es la variable que se est evaluando? ___________________________

Cuntos alumnos obtuvieron E? ____________________________________

Cuntos alumnos obtuvieron B? ____________________________________ Cuntos alumnos obtuvieron R? ____________________________________

Cuntos alumnos obtuvieron M? ____________________________________

Cuntos elementos tiene la muestra? ________________________________ En cuntas categoras se agrupan los elementos? ______________________

Qu tipo de variable es la que se est evaluando? ______________________

7. Las edades de los jvenes que escuchan las casi 60 estaciones de radio, con canciones romnticas en la ciudad de Tacna son:

20 19 27 21 18 16 15 23 17 13 14 15 20 21 22 23 14 16 19 20 21 20

23 19 16 14 17 15 27 24 21 30 29 32 18 17 23 29 23 24 19 13 14 17 29 32 31 21 20 30 34 24 21 19 18.

Qu tipo de variable es?_____________________________________________________

Cul la edad mxima y edad mnima?__________________________________________

Es una muestra o poblacin: __________________________________________________

8. En una encuesta a 180 propietarios de residencias de lujo, 80 eran de la Molina, 60 eran de san Isidro, 30 eran de Mira flores y 10 de Pueblo Libre. Qu tipo de variable es?

9. Un informe de la revista Futuro revelo que los japonenses pronto controlaran un 35% de las ventas de autos en Estados Unidos, comparado con el 28% de los finales de los aos 90 esta apenas a un 8% por encima de lo ocurrido en 1980. Esta informacin contiene

estadstica descriptiva, inferencial o ambas? Explique



3. Descripcin de Datos.- La primera tarea de la Estadstica descriptiva son ordenar, clasificar y

resumir los datos obtenidos en la investigacin de campo, para ello se concentran en tablas de

Frecuencias. Ordenados los datos se facilita su representacin en diagramas y grficas de diferentes tipos. Adems permite sealar donde los valores tienden a concentrarse e indica los valores

menores y mayores.

3.1 Distribucin de Frecuencias o Tablas de Frecuencia.- Los datos agrupados en tablas, nos

permiten ver con facilidad el nmero de observaciones iguales o comprendidos en un

intervalo, a este nmero de repeticiones iguales de la variable se llama frecuencia

3.2 Frecuencia Simple o Absoluta.- Es la observacin de una caracterstica particular de una

poblacin o muestra dada y se denota por (fi). Por ejemplo hay tres clases de carros entonces habr tres frecuencias.

Otros valores relacionados con la frecuencia son:

Frecuencia Acumulada (Fi), como su nombre lo dice es la que va acumulando las frecuencias simples o absolutas (fi).

iii ffF 1 Frecuencia Relativa, se denota por hi y viene hacer el cociente de la frecuencia

simple y el tamao de la muestra.

n

fh ii

Frecuencia Relativa Acumulada: Se representa por Hi y se determina por:

iii hhH 1 Las frecuencias relativas y relativas acumuladas, siempre se expresa en porcentajes.

Y la suma de las frecuencias relativas (hi) es siempre la unidad.

Para el caso de una muestra de tamao



a. Cul es la variable de estudio y que tipo es?

b. Es una muestra o poblacin. Cul es el tamao?

c. Qu representa fi? Cmo interpretara la frecuencia acumulada F12?

Para el caso de una muestra de tamao >29 Procedimiento:

1) Nmero de intervalos (k): Usamos la frmula de Sturges nk log3.31

2) Rango del intervalo: minmax vvrango

3) Amplitud o ancho del intervalo (c): k

rangoc

4) Marca de clase (mi): Es la semisuma del lmite inferior y lmite superior

Ejercicio 8

Sean los siguientes puntajes de los coeficientes de inteligencia de 40 estudiantes

universitarios 93 108 112 90 108 99 110 102 124 96 105

115 108 104 104 103 120 110 108 107 107 93

109 125 106 110 124 110 130 97 115 130 95 136 122 92 102 98 140 103

Se tiene la tabla de distribucin de Frecuencias Complete

Intervalos de clase

Marcas de clase

fi Fi hi

90 98 98 106 106 114 114 122 122 130 130 138 138 146

7

9

13 3

4

3 1

0.175

0.225

0.325 0.075

0.1

0.075 0.025

Total 40

a. Cul es la variable de estudio y que tipo es? Es muestra o poblacin; tamao?

b. Que representa los intervalos de clase y las frecuencias absolutas?

c. Cmo interpretara la frecuencia acumulada F5 y h5?



Ejercicios de Aplicacin II

1. Determine el cuadro de frecuencias cardiacas de un grupo de 50 fumadores

80 79 69 77 69 80 76 80

75 76 79 71 78 77 80 74

70 73 78 68 70 91 66 72

89 88 91 83 81 68 79 86

83 82 81 78 73 79 84 80

90 76 79 80 68 72 79

75 85 66 a) Cul es la variable de estudio y que tipos es?

b) Es una poblacin o muesta?

c) Cul es el peso mximo y peso mnimo? d) Interpretar f3, h6 y F4

2. Construir la tabla o cuadro de distribucin de frecuencias de una muestra que representa el peso de 53 personas en kilogramos

45 50 50 62 60 52 64

80 63 65 64 47 67 61 72 70 73 49 54 60 65

64 61 79 52 62 40 81

69 60 60 70 43 87 43 59 46 57 54 77 60 53

68 58 80 54 64 61 59

60 90 51 75

a) Cul es el peso mximo y peso mnimo?

b) Cul seria la interpretacin de la frecuencia absoluta f3 y frecuencia acumulada F5?

3. Los ingresos quincenales en dlares de 45 personas son

63 89 36 49 56 64 59 35 78 42 53 70 57 62 42 68 62 26

64 72 52 51 62 60 71 61 55

59 60 67 57 67 61 67 51 81

53 64 76 44 73 56 62 63 60 Construir una distribucin de frecuencias

a) Cul es el valor mximo y mnimo? b) Cuntos intervalos de clase sugerira? c) Interpretar la f2 , h5, , H2

4. La inversin anual, en miles de dlares, de una muestra de 40 pequeas empresa fueron:

31 17 27 20 28 10 34 25 4

15 39 18 30 41 26 12 46 18

36 19 29 37 33 27 27 24 26 25 28 33 28 22 23 31 29 35

24 23 31 21

Construir una distribucin de frecuencias y determinar el porcentaje de empresas con una

inversin entre 14 mil y 20 mil dlares.

5. Las notas del examen parcial de matemtica I dieron la siguiente distribucin de frecuencias a) Completar la distribucin de frecuencias.

b) Que porcentaje de notas se encuentran en el complemento del intervalo [6,12>?



N de das

ausentes

Marcas de

clase

hi Hi

6

15

13.5

0.15

0.10

0.45 0.70

Total

6. Los tiempos de vida til (en das) de un tipo de batera, se tabulo en una distribucin de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud con frecuencias relativa acumuladas: 0.10, 0.25, 0.55, 0.80, 1.00. Determinar la distribucin de frecuencias absolutas si la tercera

frecuencia absoluta acumulada es 11, si la segunda marca de clase es 6, y si el lmite inferior

del cuarto intervalo es 12. R. vmin=0; c=4

7. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribucin de frecuencias de 6

intervalos de igual amplitud. Si se tienen: marcas de clase: m2=40, m4=80, frecuencias:

h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4- h1 y h3=h1+0.10 y F6=60, Construir la tabla de distribucin de frecuencias. R. vmin=10; c=20

8. El consumo mensual de agua de 150 hogares, se tabularon en una distribucin de frecuencias simtrica de 6 intervalos, siendo las frecuencias: f2=25, F3=75, F5=130. Si el lmite inferior

del sexto inrvalo igual a 60, y el 70% de los consumos son mayores de 49,99m3. Completar

la distribucin de frecuencias R. vmin=35; c=5

9. La oficina de Estadstica Laboral ha hecho una muestra de 30 comunidades en todo el pas sobre los precios de productos bsicos, en cada comunidad al principio y al final del mes

de agosto, con el fin de encontrar aproximadamente cuanto ha variado el ndice de precios al

Consumidor (IPC) durante ese mes. Los cambios porcentuales en los precios para las 30 comunidades son:

0.7 0.4 -0.3 0.2 -0.1 0.1 0.3 0.7 0.0 -0.4

0.1 0.5 0.2 0.3 1.0 -0.3 0.0 0.2 0.5 0.1 -0.5 -0.3 0.1 0.5 0.4 0.0 0.2 0.3 0.5 0.4

a) Organice los datos en un arreglo ascendente. b) Utilizando las cuatro clases de igual tamao, construya una distribucin de frecuencias:

-0.5 a -0.2; -0.1 a 0.2; 0.3 a 0.6; y 0.7 a 1.0.

c) Cuntas comunidades tienen precios que no cambian o que aumenten menos de 1.0%? d) Son estos datos continuos o discretos.



4. Diagrama de Tallo (o tronco) y Hojas

Es una tcnica que se usa para organizar datos sin perder la identidad de cada dato observado, como si ocurre en una distribucin de frecuencias por intervalos.

El diagrama de tallo y hojas se construye partiendo cada Dato numrico en dos.

El tallo que consiste del digito o los dgitos iniciales y las hojas que consisten de los dgitos restantes del dato. Usualmente se eligen entre 5 y 20 tallos.

Los tallos ordenados son ubicados en forma vertical. Las hojas ordenadas de cada tallo son

ubicadas horizontalmente.

Ejercicio 1

Sean los siguientes ingresos quincenales de 45 trabajadores

63 89 36 49 56 64 59 35 78 53 73 60

43 53 70 57 62 43 68 62 26 64 56 64 72 52 51 62 60 71 61 55 76 62

59 60 67 57 67 61 67 51 81 44 63

a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas

b) Halle el porcentaje de ingresos quincenales inferiores a $52

c) Cul es el valor de en medio o centra? d) Cuntos valores estn entre 50 y 65?

Solucin: a) Utilicemos el primer digito de cada dato como tallo y el segundo como hoja. Para el

nmero 63 por ejemplo, el tallo es 6 y la hoja es 3. Como el dato mnimo es 26 y el dato

mximo es 89, entonces los tallos empiezan en 2 y terminan en 8. Despus de organizar

todos los datos, el diagrama de tallo y hoja resulta:

Tallo Hojas

2

6 4

5

6 7

8

6

56 3349

112335667799

000112222334447778 012368

19

b) El porcentaje de ingreso quincenales inferiores a $52 es (9/45) = 0.2 o 20%

c) El valor de en medio o central es: $61 d) Hay 26 valores entre 50 y 65

Ejercicio 2

Los siguientes datos representan el periodo de duracin en meses de 32 bateras DURA doble A:

3.3 4.0 6.0 4.2 6.0 5.4 4.5 6.7

1.5 7.0 6.5 7.4 5.2 5.7 6.2 4.7 5.0 5.2 6.8 3.8 2.4 3.6 2.8 5.6

5.5 6.2 5.3 6.5 5.5 6.0 7.1 5.9

a) Desarrolle un diagrama de tallo y hojas b) Cul es el valor de en medio? c) Cuntas bateras duran entre 2.9 y 5.8 meses?

Solucin:



a) Utilicemos dgito entero de cada dato como tallo y el digito decimal como hoja. Para el

nmero 5.2. por ejemplo, el tallo es 5 y la hoja es 2. Como el dato mnimo es 1.5 el dato mximo es 7.4, entonces los tallos empiezan en 1 y termina en 7. Despus de organizar

todos los datos, el diagrama de tallo y hojas resulta:

Tallo Hojas

1

2

3

4 5

6

7

5

48

368

0257 0223455679

000225578

014

b) El valor de medio es: 5.5 meses

c) Hay 16 bateras que duraron entre 2.9 y 5.8 meses.

Ejercicio 3

El siguiente es el diagrama de tallo y hojas de los valores (un entero y dos decimales) de

una variable continua. El tronco consiste de un entero y un decimal:

Tallo Hojas

1

2 3

4

5 6

7

5

48 368

0257

0223455679 000225578

014

a) Cuntos datos se observaron? Indique el mnimo y el mximo.

b) Cul es el valor del centro? Solucin:

..

..

.. ..

..

..



5. Representacin Grafica de los datos de la Muestra.- Los grficos dan una idea mucho mas

sinttica que los cuadros estadsticos, unas veces su finalidad es simplemente tratar de

mostrar a otras personas la evolucin de dicho fenmeno, pues mientras que la interpretacin de un cuadro estadstico requiere de ciertos conocimientos, cualquiera puede comprender

fcilmente que una lnea ascendente indica un aumento del fenmeno estudiado. Al igual que

los cuadros estadsticos, en los grficos se considera: 1) El titulo. 2) El grafico propiamente dicho 3) Las notas explicativas.

5.1 Representacin Grafica de Variables Cuantitativas.- Las ms usadas son:

1) Histograma.

2) Polgono de Frecuencias. 3) Polgono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas

1) Histograma.- Es una representacin grafica de la distribucin de frecuencias agrupadas

en intervalos de clase, mediante una serie de rectngulos continuos que tienen: a) Sus bases sobre un eje horizontal (eje de las X) con centros en las marcas de clase y

longitud igual al tamao de los intervalos de clase.

b) Las alturas proporcionales a la frecuencia (absoluta o relativa) tomados sobre el eje de las Y.

Nota: Para la determinacin de la escala vertical se usara criterio comn dependiendo de los datos. Generalmente puede ser de 5 en 5 o de 10 en 10

2) Polgono de Frecuencias.-Son lneas rectas que se trazan entre las intersecciones del

punto medio del intervalo de clase y la frecuencia. a) Si la variable es discreta, el polgono de frecuencias se obtiene uniendo los extremos

superiores de las barras en el diagrama de barras.

b) Si la variable es continua o esta agrupada en intervalos de clase, el polgono de frecuencia se obtiene uniendo los puntos medios de las bases superiores de cada rectngulo en el

histograma.

3) Polgono de Frecuencias Acumuladas y Ojivas.-Esta representacin es valida

para variables estadsticas agrupadas en intervalos de clase o categoras.

En el eje de las abscisas (X), representamos los intervalos de clase, en el extremo superior

de cada intervalo se levanta una vertical con altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada, luego se unen los extremos superiores de las lneas verticales con

segmentos rectilneos. As obtendremos la Ojiva del polgono de frecuencias acumuladas.

Alcanzando su mxima altura en el ltimo intervalo.

Histograma y Polgono de Frecuencias de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de inteligencia (k) Coeficientes de inteligencia (mi)



Polgono de Frecuencias Acumuladas u Ojivas de Coeficientes de Inteligencia

Coeficientes de Inteligencia (k)

Ejercicios de Aplicacin III

1. a) Escriba los nmeros 17, 45, 38, 27,6,48,11, 57, 34 y 22 en una lista ordenada.

b) Determine el rango de estos nmeros.

2. Si las marcas de clase en una distribucin de frecuencias de pesos de estudiantes son 128,

137, 146, 155, 164, 173 y 182 libras (lb.) Encuentre (a) El tamao del intervalo de clase y los lmites de clase.

3. Las calificaciones finales en matemticas de 80 estudiantes universitarios se reportan en la

muestra siguiente:

68 84 75 82 68 90 62 88 76 93

73 79 88 73 60 93 71 59 85 75 61 65 75 87 74 62 95 78 63 72

66 78 82 75 94 77 69 74 68 60

96 78 89 61 75 95 60 79 83 71 79 62 67 97 78 85 76 65 71 75

65 80 73 57 88 78 62 76 53 74

86 67 73 81 72 63 76 75 85 77

A partir de esta tabla, encuentre:

a) La calificacin ms alta y ms baja. b) Determine el cuadro de distribucin de frecuencias (ki, mi, fi, Fi). c) El numero de estudiantes con calificaciones de 75 o ms. d) Interprete la frecuencia f4, F6.

4. En una compaa, el sueldo mnimo y mximo de 200 empleados es de $150 y $300

respectivamente. Tales sueldos se tabulan en una distribucin de frecuencias de 5 intervalos

de igual amplitud. Si se sabe que 20 empleados ganan al menos $150, pero menos de $180;

60 ganan menos de $210; 110 ganan menos de $240; 180 ganan menos de $270 y el 10% restante de empleados gana a lo ms $300. Construir la distribucin de frecuencias y graficar

su polgono de frecuencias. Rp. vmin =150; c=30

5. Se muestra los pesos de 40 estudiantes hombres de una universidad, con precisin de una

libra. Construya una distribucin de frecuencias y represente a travs de un polgono de

frecuencias.



138 164 150 132 144 125 149 157

146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165

146 173 142 147 135 153 140 135

161 145 135 142 150 156 145 128

Adems interprete F2 y f5.

6. El Midland Nacional Bank seleccion una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes, enseguida se presentan los saldos (en dlares) a fin de mes:

404 74 234 149 279 215 123 55 43 321 87 234 68 489 57 185 141 758 72 863 703 125 350 440 37 252 27 521

302 127 968 712 503 489 327 608 358 425 303 203

a) Coloque los datos en una distribucin de frecuencias usando $100 como tamao de intervalo de clase y $0 como el punto de partida.

b) Trace un polgono de frecuencias acumuladas.

c) El banco considera como cliente preferido a un estudiante con un saldo final de $400 o ms en su cuenta. Estime el porcentaje de clientes preferidos

7. Las importaciones anuales de un grupo selecto de Proveedores Electrnicos se muestra en la siguiente distribucin de frecuencias

a) Complete y muestre las importaciones en forma de un histograma.

b) Represente las importaciones mediante un polgono de frecuencias

Importaciones Marcas de

clase

N de

proveedores

Fi

2 5 5 8 8 11

11 14 14 17

6

13 20

10

1

Total 50

8. Dada la siguiente distribucin de frecuencias, completar

N de das ausentes

Marcas de clase

N de empleados

Fi hi hi (%)

3 6 9

15

5

8

2

17

40

50

Total

a) Elabore un histograma e interprete. b) Elabore un polgono de frecuencias acumuladas e interprete. c) Interprete la tasa de ausentismo de los empleados observado de los grficos.

9. La tabla muestra un a distribucin de frecuencias de los salarios semanales de 65 empleados

de la empresa P&R. De acuerdo con esta tabla determine:

a) Complete el cuadro de distribucin de frecuencias. b) El porcentaje de empleados que ganan menos de $280 a la semana. c) El porcentaje de empleados que reciben por semana ms de $260, pero menos de $300.



d) Represente los salarios semanales de los 65 empleados a travs de una Ojiva.

Salarios mi N de empleados

Fi

250 260 260 270 270 280 280 290 290 300 300 310 310 320

8

10

16 14

10

5 2

Total 65

5.2 Representacin Grafica de Variables Cualitativas.-Los ms usados son los grficos de barras y tambin los grficos circulares:

1) Grfico Circular: Para esto trabajaremos con un ejemplo. En un examen de Estadstica aprobaron 40 alumnos, desaprobaron 8 alumnos y no se presentaron 6 alumnos.

Categoras fi S.C (grados)

Aprobados 40 267

Desaprobados 8 53

No se presentaron 6 40

Total 54 360

Clculo de los sectores circulares

Aprobados

26767.26654

40360

40

36054)(

xx

x

total

Desaprobados

5333.5354

8360

x No se presentaron

4054

6360

x

2) Grfico de barras.- Para esto trabajaremos con un ejemplo. Se tiene como variable

cualitativa nominal el estado civil de un grupo de personas adultas, se establecieron las

siguientes categoras

Estado Civil fi hi (%)

Casados 25 50

Solteros 13 26

Divorciados 2 4

Viudos 4 8

No declaran 6 12

267

53

40

Examen de Estadstica

Aprobados

Desaprobados

NSP



Total 50 100

- Grfico de barras para frecuencias absolutas:

En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categora. Luego la base=2x5=10cm.

En la escala vertical, criterio comn de acuerdo a los datos que se tiene.

- Grfico de barras para frecuencias relativas

En la escala horizontal se tomara la distancia de 2cm para cada categora.

En la escala vertical, criterio comn de acuerdo a los datos que se tiene. Observe que son

porcentajes

Categoras

Para el alumno representar el grafico de barras de las frecuencias relativas



Ejercicios de Aplicacin IV

1. La tabla dada muestra el numero de pacientes en miles, dados de alta de hospitales, con el diagnostico de virus de inmunodeficiencia humana (VIH), desde 2000 hasta 2004, Grafique

estos datos a travs de barras.

Ao 2000 2001 2002 2003 2004 Altas de pac.

con VIH 146

165 194 225 234

2. Representar en grficos de barras los siguientes cuadros a)

Inflacin en los cuatro

primeros meses

Frecuencia porcentual (%)

Enero 10

Febrero 26

Marzo 24

Abril 40

Total 100

b)

Ganancia en millones de soles de una empresa en

los cuatro trimestres del ao anterior

Frecuencia Absoluta

Primero 50

Segundo 70

Tercero 60

Cuarto 100

Total 280

3. Se muestra el rea de los cinco grandes lagos bajo jurisdiccin de Estados Unidos. Grafique

los datos a travs de un diagrama de barra y circular.

Grandes Lagos rea (en millas cuadradas)

Michigan 22342

Superior 20557

Huron 8800

Erie 5033

Ontario 3446

total 60178

4. Representar en diagramas circulares los siguientes cuadros y completarlos

a) Programas de TV. Preferidos Frecuencia porcentual (%) S.C (grados)

Policiales 50

Cmicos 15

Telenovelas 25

Sin preferencias 10

Total 100

b) Alumnos Matriculados por

facultades Frecuencia Absoluta

S.C (grados)

Contabilidad 8000

Educacin 6000

Psicologa 5000

Derecho 3000

Total 22000



6. Medidas de Tendencia Central.-Son valores que resumen a un conjunto de datos que nos

trata de indicar el centro de los datos. Tambin sirve como base para medir y evaluar valores

anormalmente altos y anormalmente bajos. En estadstica tiene importancia medir la tendencia central, denominados tambin promedios, tales como: Media, Moda, Mediana,

media geomtrica, media armnica.

6.1 Mediana.-La mediana es un valor que divide a un conjunto de observaciones ordenadas en

forma ascendente o descendente en dos grupos de igual nmero de observaciones. La

notacin que vamos emplear Me. Tenemos 2 casos:

- Para datos no agrupados:

a) Cuando la variable en estudio es discreta y n (nmero de elementos de la distribucin)

es impar, la mediana ser el valor ordenado del centro.

Ejemplo:

3, 8, 56, 14, 24, 31, 2, 7, 52; n=9

Primero ordenamos en forma ascendente 2, 3, 7, 8, 14, 24, 31, 52, 56 luego 14eM

b) Si la variable es cuantitativa discreta y n es par, la mediana es la semisuma de los dos

trminos centrales.

Ejemplo:

39, 56, 87, 22, 15, 90, 43, 33; n=8. Hallar la mediana

Ordenando en forma ascendente 15, 22, 33, 39, 43, 56, 87, 90 luego

412

4339

eM

- Para datos Agrupados: Cuando la variable en estudio es cuantitativa continua

cf

FnliM

i

ie

)2/( 1

:li Limite inferior de la clase que contiene a la mediana.

:1iF Frecuencia acumulada del intervalo anterior a la clase que contiene la mediana.

:n Nmero de datos :c Amplitud o longitud de intervalo que contiene a la mediana

Ejercicio 1

Complete y halle el sueldo mediano correspondiente a 80 trabajadores de la tabla de frecuencias e interprete.

Sueldos mi fi Fi 90 120

120 150 150 180 180 210 210 240 240 270 270 300

11 13

20

17

15 3

1

Total 80

.



Nota:(Clculo de Mediana para frecuencias relativas)

Si en lugar de las frecuencias absolutas se utilizan las frecuencias relativas (o porcentajes), entonces, haciendo hi=fi/n, Hi-1=Fi-1/n

ch

HliM

i

ie

)2/1( 1

Ventajas de la mediana:

Como estadgrafo de posicin, la mediana es ms recomendable que la media aritmtica,

cuando:

a) La mediana, solo depende de datos ordenados y no del valor de los datos. Por lo tanto no

es sesgado por algn valor grande o pequeo.

b) Existan valores extremos excepcionalmente grandes o muy pequeos, puesto que la mediana no esta afectada por los valores extremos como sucede con la media.

c) Se trabaja con tablas de frecuencias con intervalos en donde no se indica el extremo inferior del primer intervalo o no se indica el extremo superior del ltimo intervalo, o ambos casos. Esto no niega que exista la mediana, ella existe y siempre se puede calcular.

d) Si se tiene datos cualitativos, se ordena de acuerdo a rangos, clasificaciones o categoras.

Ejercicio 2

En el siguiente cuadro de frecuencias se presenta un conjunto de estudiantes clasificados

por su rendimiento en cinco categoras Cul ser la mediana?

CATEGORIAS fi hi Fi Psimo - 8 Malo 8 - 10

Regular 11 - 13

Bueno 14 - 16 Excelente 17 y +

4 7

12

10 7

0.100 0.175

0.300

0.250 0.175

Total 40 1.000

6.2 Moda.- Es el valor que mas veces se repite en una poblacin o muestra; se denota por oM .

Tenemos dos casos:

- Primer Caso:

1) Determine la moda del siguiente conjunto de datos: 2,2,3,4,5,5,6,7,7,7,9,9,12

Mo =7 porque se repite 3 veces. Esta distribucin se llama unimodal por que solo posee

una moda.

2) Determine la moda del siguiente conjunto de datos:

15, 19, 20, 35, 47, 59, 65 No tiene moda porque ninguno de ellos esta repetido.

3) La siguiente distribucin es bimodal, es decir tiene dos modas:

8,9,9,13,13,13,18,20,24,24,24,33,59,78,78

2413 oo MyM

Nota:

Cuando tiene ms de dos modas se llama multimodal.



- Segundo Caso:

Para datos agrupados; la moda esta dado por la formula:

cliMo21

1

11 ffM ( 1f Frecuencia de la clase inmediata anterior a la clase modal y

Mf frecuencia de la clase modal).

22 ffM ( 2f Frecuencia de la clase inmediata posterior a la clase modal y

Mf frecuencia de la clase modal).

Ejercicio 3 Determine el sueldo modal de los 80 trabajadores dados en el cuadro de distribucin de

frecuencias del ejercicio 1 e interprete

6.3 Media Aritmtica.- Denominada simplemente media, es la suma de los valores observados

de la variable, dividido por el nmero de observaciones.

6.3.1 Media para datos no tabulados:

1) Media de una Poblacin.- La media de N valores x1, x2, x3,.., xN, de la variable cuantitativa X, observados en una muestra es el nmero:

N

xN

i

i 1

: Media de una poblacin

:ix Todo los valores de la poblacin.

:N Nmero de elementos de una poblacin

Ejercicio 4

Hay dos 12 fabricantes de automviles en EE.UU. a continuacin se presentamos el numero de patentes otorgados por el gobierno de EE.UU. a partir del aos pasado.

N Compaa N de patentes

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

General Motors Nissan

D. Benz

Toyota

Honda

Ford

Mozde

Chysla

Porsele

Misuvichi

Volvo

BMW

511 385

275

257

249

234

210

97

50

36

23

13



a) Es una muestra o poblacin: b) Cual es su media aritmtica e interprete?

Nota: Toda caracterstica Medible de una poblacin se denomina parmetro.

2) Media de una Muestra.- La media de n valores x1, x2, x3,.., xn, de la variable

cuantitativa X, observados en una muestra es el nmero:

n

x

x

n

i

i 1

:x Media de una muestra :ix Todo los valores

:n Numero de elementos de una muestra

Ejercicio 5

Cierta Empresa se especializa en Tratos a largo plazo de pases extranjeros, interesa saber la tasa de inters de estos acuerdos financieros, en una muestra aleatoria de 6 bonos presenta

lo siguiente:

N Articulo Tasa de inters

1

2

3

4 5

6

Bono de Australia

Bono de Blgica

Bono de Canad

Bono de Francia Bono de Italia

Bono de Espaa

9.5%

7.25%

6.50%

4.75% 12.00%

8.30%

Cual es la media de la tasa de inters de la muestra e interprete?

..

6.3.2 Media para datos de tamao menor 30 (29)

3) Media Para Datos de Variable Cuantitativa.- Si n valores de una variable estadstica

discreta X se clasifican en k valores distintos x1, x2, x3,, xk, con frecuencias absolutas

respectivas f1, f2, f3,, fk, entonces, su media es el nmero:

n

xf

x

k

i

ii 1

.

Ejercicio 6

Completar el cuadro y calcular la media aritmtica de la distribucin del numero de hijos

por familia

Valores X

xi

Frecuencias

fi

Productos

fi.xi

0

1 2

3

4

1

4 7

6

2

Tot1al 20



a) Es una muestra o poblacin: b) Cual es su media aritmtica e interprete? .

4) Media Para Datos Agrupados.- Tambin puede considerarse como una media aritmtica

ponderada. Si n valores de alguna variable estadstica cuantitativa x estn tabulados en una distribucin

de frecuencias de k intervalos, donde: m1, m2, m3,, mk, son las marcas de clase, y f1, f2,

f3,, fk, son las frecuencias absolutas o simples respectivas, entonces, su media es el nmero:

n

mf

x

k

i

ii 1

:x Media :im Marcas de clase

:if Frecuencias simples o absolutas :n Nmero de datos.

Ejercicio 7

Complete el cuadro de distribucin de frecuencias de los ingresos quincenales de 45

personas y determine la media aritmtica e interprete.

Ingresos

Quincenales

mi N de

personas

fi.mi

26 34 34 42 42 50 50 58 58 66 66 74 74 82 82 90

1 2

4

10

16 8

3

1

Total 45

Nota: La media aritmtica de datos tabulados, se calcula tambin, utilizando las frecuencias relativas. En el caso de datos agrupados por intervalos, se tiene:

k

i

iimhx1

Ejercicio 8

Si 5, 8, 6 y 2 ocurren con frecuencias 3, 2, 4 y 1, en ese orden su media es:

7,510

57x

O tambin puede ser 7,510

57

1423

)1)(2()4)(6()2)(8()3)(5(

x

xi 5 8 6 2 Total

fi 3 2 4 1 10

fixi 15 16 24 2 57

Ejercicio 9

Si el examen final del un curso cuenta tres veces mas que una evaluacin parcial y un estudiantes obtiene una calificacin de 85 en el examen final, 70 y 90 en los dos parciales, la



calificacin media es

835

415

311

85)3(90)1(70)1(

x

La calificacin media o promedio es de 83 puntos.

Propiedades de la Media

-Al evaluar la media se incluyen todos los valores.

-Para un conjunto de observaciones la media es nica. -La media es una medida til para comparar dos o ms poblaciones.

-La media aritmtica no puede calcularse en las distribuciones que tiene intervalos de

clases de extremos abiertos (menor que o mayor que).

Otras Propiedades Importantes:

1. La media aritmtica de una constante es igual a la misma constante. kkx )(

2. La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la

constante por la media de la variable. xkkxx )(

3. La media de la suma de dos o mas variables, es igual al la suma de las medias de cada una

de dichas variables. )()()( yxxxyxx

4. La media de una variable mas una constante, es igual a la media de la variable ms la

constante. kxxkxx )()(

5. Si una muestra de tamao n con media x , se divide en dos o tres submuestras de tamaos

n1, n2 y n3; con sus medias respectivas 321, xyxx . Donde n= n1+ n2+ n3

Entonces n

xnxnxnx

332211

Ejercicio 10

a) En una empresa la edad promedio de las 17 trabajadoras mujeres es de 31.2 aos y la

edad promedio de los 23 trabajadores hombres es de 38 aos cual es la edad promedio

del total de trabajadores?

b) En un examen de Estadstica participaron tres grupos A, B y C con un total de 180 alumnos; habiendo Obtenido nota promedio general de 72 puntos. Los puntajes

promedios de los grupos A y B fueron 75 y 62, y estaban constituidos por 80 y 60

alumnos respectivamente. Cul es la nota promedio del grupo C?



6.4 Uso de los promedios

1. de los promedios definidos, la media aritmtica se usa con ms frecuencia por su mejor tratamiento algebraico. Pero no siempre es un buen promedio.

2. Si la distribucin de las frecuencias es simtrica (o casi simtrica), la media, o la mediana

o la moda es el promedio representativo, pues, en este caso, los tres promedios son iguales o casi iguales).

3. Si la distribucin tiene una marcada asimetra, entonces, la mediana es la medida promedio

ms representativa.

Ejercicios de Aplicacin V

1. Si un alumno en el semestre anterior ha obtenido 11 en el curso A de 5 crditos, 13en el curso B de 4 crditos, y 16 en el curso C de 3 crditos, entonces, su promedio (ponderado por los

crditos) es. R. 12.92

2. Si en este mes el aumento de los alimentos fue del 5%, de vivienda el 10% y de educacin 8% entonces

a) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta el 40% de su

sueldo en alimentos, el 35% en vivienda y el 25% en estudios esta dado por: R. 0.075 b) Cuando el aumento promedio en los tres rubros para una persona que gasta S/. 1200 en

alimentos, S/.600 en vivienda y S/.1000 en estudios esta dado por: R. 0.0714

3. Los sueldos del mes de enero de 200 empleados de una empresa tiene una media de $230.

a) Si el 60% de los empleados son hombres (el resto son mujeres) y tienen un sueldo medio

de $250, Cunto es el sueldo medio de las mujeres en enero? R. 200

b) Si en el mes de julio, se propone un aumento del 30% a cada sueldo de enero ms una bonificacin de $30 Cunto dinero adicional necesitara la empresa para pagar los sueldos

de julio? R. $19800.

4. Para calcular el suministro de agua que una ciudad requiere mensualmente, se escogen 15

familias de la ciudad, resultando los siguientes consumos en metros cbicos:

11.2 21.5 16.4 19.7 14.6 16.9 32.2 18.2 13.1 23.8 18.3 15.5 18.8 22.7 14.0

Si en la ciudad hay 5000 familias, Cuntos metros cbicos de agua se requieren

mensualmente si el consumo promedio por familia permaneces igual? R. media=18.46, consumo estimado=92300

5. En este mes los precios de venta de una muestra de 60 antigedades vendidas en Erie Pennsylvania, el mes pasado, fueron organizados en la siguiente distribucin de frecuencia.

Estime el precio de venta medio, mediano y modal; (interprete cada medida)

Precio de venta [70,80[ [80, 90[ [90, 100[ [100, 110[ [110, 120[ Frecuencia 3 7 18 20 12

6. Una muestra de familias que estn suscritas a la compaa telefnica United Bell, registro los

siguientes nmeros de llamadas recibidas la semana pasada. Determine la media y la mediana de la llamadas recibidas

52 43 30 38 30 42 12 46 39 37 34 46 32 18 41 5



7. Los puntajes de una prueba de aptitud se tabularon en una distribucin de frecuencias de 6

intervalos de igual amplitud. Se tiene algunas marcas de clase: m2=40, m4=80, frecuencias

relativas h1=h6, h3=h5, h4=0.25, h2=h4-h1 y h3=h1+0.10 y F6=60. Construir la tabla de distribucin de frecuencias y determine el puntaje medio y mediano de la prueba de aptitud

e interprete

8. El sueldo promedio de 200 empleados de una empresa es $400. Se propone dos alternativas

de aumento

a) $ 75 a cada uno.

b) 15% de su sueldo mas 10 dlares a cada uno. Si la empresa dispone a los ms de $94000 para pagar sueldos, Cul es la alternativa mas

conveniente? R. a) 95000; b) 9400, alternativa b)

9. Al tabular las calificaciones de un examen se obtuvieron las siguientes notas: 07, 08, 09, 10,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las frecuencias del numero de alumnos respectivas:1, 1,1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2.

a) Cunto es la media, mediana y moda de las notas?, Qu valor escogera como promedio?

b) Cunto es la nota mnima para estar en el quinto superior? R. a) 14.2 5; 15; 16 b) 16

10. A una muestra se aplic un test para medir autoestima y los puntajes se tabularon en una

distribucin de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud, siendo la puntuacin mnima

25, la tercera marca de clase 62.5. Si las frecuencias en porcentajes del primero al tercero son: 5, 15, 25, y si el 90% de las puntuaciones son menores que 85.

a) Calcule el promedio,mediana. b) Si se considera normal una autoestima comprendida entre 55 y 84 puntos, Qu

porcentaje de la muestra no tiene un autoestima normal? Rp. a) Me=71.67

11. La compaa Petroperu maneja un pequea refinera en Ica que vende gasolina al por mayor, a minoristas independientes, Las ventas de la semana pasada fueron las siguientes:

Galones de Gasolina N de operaciones Fi

0 10 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80

10

20

30 25

15

10 5

5

Total 120

a) Determine la media de los galones vendido en cada operacin.

b) La moda se encuentra por debajo o por arriba de los 25, 000 galones

12. Los siguientes son los nmeros de videocmaras Temban producidas durante 50 turnos de

ocho horas seleccionadas al azar. Determine la media del nmero de videocmaras

elaboradas durante un turno de ocho horas e interprete

348 371 360 369 376 397 368 361 374 410 374 377 335 356

322 344 399 362 384 365 380 349 358 343 432 376 347 385 399 400 359 329 370 398 352 396 366 392 375 379 389 390

386 341 351 354 395 338 390 333

13. Complete los siguientes cuadros de distribucin halle la media, mediana y moda e

interprete.



a) Cuadro de frecuencias de los pesos en kilogramos de 50 personas.

Pesos

Kg

mi N

personas

Fi

73 79 79 85 85 91 91 97

97 103 103 109 109 115

2

6 8

11

13 8

2

Total 50

c) Cuadro de frecuencias de coeficientes de inteligencia de 40 nios.

Puntajes mi N nios Fi 88 96

96 104 104 112 112 120 120 128 128 136 136 144

5 8

15

3 5

2

2

Total 40

c) Cuadro de frecuencias de alturas en centmetros de 40 estudiantes universitarios.

Alturas

m

mi N

estudiantes

Fi

117 126 126 135 135 144 144 153 153 162 162 171 171 180

2 3

10

13 6

4

2

total 40



7. Medidas de Posicin.-

7.1 Cuartiles: Son medidas de posicin que dividen en cuatro partes iguales al conjunto de valores ordenados de una distribucin de frecuencias. Estas medidas son: el primer cuartil

1Q , el segundo cuartil 2Q y el tercer cuartil 3Q

El segundo cuartil 2Q coincide con la mediana eM , luego 2QMe

Las formulas para calcular los Cuartiles se derivan de la formula de la mediana y los pasos son los mismos:

cf

FnliQ

i

i )4/( 11

cf

FnliQ

i

i )4/3( 13

7.2 Deciles: Son medida de posicin que dividen en 10 puntos iguales al conjunto de los

valores ordenados de una distribucin de frecuencias. Estas medidas son el primer decil

1D , el segundo decil 2D y as sucesivamente hasta el noveno decil 9D .

1D distribuye al lado izquierdo el 10% de los datos y al otro lado el 90%, es decir ocupa la

posicin n/10.

El segundo decil clasifica a los datos colocando al lado izquierdo el 20% del nmero de

datos y al otro lado el 80 %, sea, ocupa la posicin 2n/10. Ver figura

La formula para los Dciles es cf

FrnliD

i

ir

)10/)(( 1

7.3 Percentiles: Son medidas de posicin que indican el lugar que corresponde a un puntaje

dentro de una escala ordenada de cien elementos. Su formula:

cf

FrnliP

i

ir

)100/( 1

- :rP Indica el percentil buscado.

- r, el rango del percentil, es decir, la situacin dentro de la escala ordenadas de cien

elementos.

- rn/100, el valor de este trmino indica el intervalo donde se halla el percentil. - n, nmero de elementos de la distribucin de frecuencias.

Ejercicio 9

Hallar del siguiente cuadro de distribucin de frecuencias

a) 1Q y 3Q b) 2D y 9D c) 10P y 90P



Intervalos fi Fi 88 96 96 104 104 112 112 120 120 128 128 136 136 144

5

8 15

3

5 2

2

total 40

Solucin:

a) 1Q y 3Q

b) 3D y 8D

c) 10P y 90P

Ejercicios Aplicacin VI

1. En una prueba de aptitud mental la menor y mayor puntuacin fueron 50 y 199

respectivamente. Los puntajes (sin decimales) se tabularon en una distribucin de

frecuencias simtrica de 5 intervalos de igual amplitud donde el 20% de los casos son menores que 95 y el 705 de los caso son menores que 140.

a) Hallar el intervalo centrado en la mediana donde se encuentra el 50% de los puntajes.

b) En el cuartil 2, el punto medio del cuartil 1 y 3? R. a) Me=Q2=125 [102.5, 147.5 [ b) si

2. Del siguiente cuadro de distribucin de frecuencias de puntajes obtenidos de un grupo de 120

alumnos despus de haber rendido una prueba matemticas

a) Determinar el 25% inferior ( 1Q ) y el 25% superior ( 3Q )

b) Que puntajes se encuentran en el dcimo superior y que puntajes deben tener los que se

encuentran en el 20% inferior.



c) Calcular el 10P y el 90P

Intervalos fi Fi 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70 70 75 75 80 80 85 85 90

3

6 13

26

30 12

15

8 5

2

Total 120

3. El consumo mensual de agua (en metros cbicos) de una muestra de 225 viviendas, se tabularon en una distribucin de frecuencias simtrica de cinco intervalos de igual longitud.

Si el consumo mnimo es de 35 m3, el consumo medio de 45 m

3, y si 1/3 de la muestra

consume al menos 43 m3 pero menos de 47m

3.

a) Qu porcentaje de la muestra consume al menos 47 m3?

b) Cuntos metros cbicos como mnimo consumen el 60% de las viviendas con mayor

consumo? R. a) 75 de 225 b) P40=43.8

4. Se tiene la distribucin de las edades de 80 alumnos de la escuela de ingeniera Industrial de

alguna universidad de Lima

edades N

alumnos

hi Hi Fi

15 18 18 21 21 24 24 27 27 30

5

0.5875

0.0375

0.925

Total 80

a) Complete la tabla.

b) Interpretar f2, F3 y H4 c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes.

d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes.

5. Determinar el 4to decil y el 72avo percentil de la siguiente distribucin de frecuencias.

Intervalos de clase

fi Fi

40 50 50 60 60 70 70 80 80 90

90 100

8

20

30 40

10

2

Total 110



8. Medidas de Dispersin.-

Hemos estudiado, que los datos tienden a concentrarse o agruparse alrededor de los valores

medios y a esta caracterstica hemos denominado medidas de tendencia central. Ahora vamos a examinar el efecto contrario. Consideremos que los datos tienden a

extenderse alejndose de los valores medios, lo que llamamos grado de dispersin o

variabilidad de datos. Se hace necesario medir el grado de separacin o dispersin de los datos con respecto a un valor central. Las principales mediadas de dispersin son: El rango,

desviacin media, el rango intercuartil, varianza desviacin estndar y coeficiente de

variacin.

8.1 Para datos no agrupados:

1. El Rango.- Amplitud de variacin, extensin o recorrido de los datos se designa por la letra I; indica la extensin de los valores que puede tomar la variable cuyas medidas

constituyen los datos. Se calcula por la formula:

I= valor mximo valor mnimo

2. Desviacin Media.- Es la media de las desviaciones. La formula para calcularla es:

n

i

i xxn

DM1

1

3. Varianza.- Es una medida que cuantifica el grado de dispersin o de variacin de los

valores de una variables cuantitativa con respecto a la media aritmtica. Si los valores

tienden a concentrarse alrededor de su media, la varianza es pequea. Si los valores tienden distribuirse lejos de la media, la varianza es grande.

-Varianza Poblacional

N

xn

i

i

2

12

ianzavar2 poblacionladedatosdetotalnmeroN

poblacinladedatosx

poblacionladearitmeticamedia

-Desviacin Estndar Poblacional: Debido a la dificultad de interpretar la varianza por sus

unidades cuadrticas, la raz cuadrtica de la varianza poblacional se denomina Desviacin estndar.

N

xn

i

i

2

1

-Varianza Muestral

n

xx

s

n

i

i

2

12

1

2

12

n

xx

s

n

i

i

ianzas var2

.muestraladenesobservaciodetotalnmeron

muestraladevalorx muestraladearitmeticamediax



- Desviacin Estndar Muestral

n

xx

s

n

i

i

2

1

1

2

1

n

xx

s

n

i

i

8.2 Para Datos Agrupados:

1. Amplitud de Variacin.- Para hallar la amplitud de variacin se resta el lmite inferior de

la clase ms pequea, del lmite superior de la clase mayor.

2. Desviacin media.- Como la media es n

mf

x

k

i

ii 1 entonces

k

i

ii xmfn

DM1

1

3. Varianza y Desviacin Estndar.-

21

2

2 xn

mf

s

k

i

ii

21

2

xn

mf

s

k

i

ii

11

2

1

2

2

n

xn

n

mf

s

k

i

ii

11

2

1

2

n

xn

n

mf

s

k

i

ii

Investigacin para el alumno (puntos extras) Cmo se llega a la 1era formula de varianza?

Partiendo de aqu n

xmf

s

k

i

ii

2

12

)(

Nota: La desviacin Estndar tambin llamada desviacin tpica.

Si 02 s , entendemos que los xi coinciden con la media x , es decir que todos las observaciones estn concentradas en un mismo punto, por lo que la dispersin es

mnima. (Nula). La varianza se calcula tambin con frecuencias relativas (o porcentuales). En efecto, si

se hace nfh ii en la varianza de datos agrupados, se tiene

2

1

22 xmhsk

i

ii

, donde

k

i

iimhx1

4. Coeficiente de Variacin (C.V.).-Es una medida de dispersin relativa (libre de unidades

de medida), que se define como la desviacin estndar dividido por la media aritmtica

x

sVC .

El coeficiente de variacin se utiliza para comparar la variabilidad de dos o ms de series de datos que tengas medias iguales o diferentes o que tengan unidades de medidas iguales o

diferentes (por decir, una serie en kilogramos y otra serie en metros).

5. El Rango Semiintercuartilar.- El rango semiintercuartilar o desviacin cuartilar de un conjunto de datos se denota por Q y se define como:



2

13 QQQ

Donde 31 QyQ son el primer y tercer cuatil de los datos. Algunas veces se usa el rango

intercuartilar 13 QQ , aunque el rango semiintercuartilar es ms comn como medida de

dispersin.

Ejercicios de Aplicacin VII

1. Calcule el I, la media aritmtica y desviacin media (DM).

a) El departamento de estadstica de la universidad ofrece 8 cursos de estadstica bsica, teniendo la cantidad de estudiantes inscritos en tales cursos, 34, 46, 52, 29, 41, 38, 36 y 28

b) 5 representantes de servicios al cliente de cierta empresa que trabajan el ltimo viernes vendieron respectivamente: 5, 8, 4, 10, 3 video grabadoras.

c) La siguiente lista indica el nmero de minutos necesarios para la instalacin de puertas en

una muestra de 10 puertas 28, 32, 24, 46, 44, 40, 54, 38, 32, 42.

d) Una muestra de 8 compaas sobre la industria area espacial fue examinada con relacin

a sus rendimientos sobre la inversin el Ao pasado, los resultados son en porcentajes: 10.6, 12.6, 14.8, 18.2, 12, 14.8, 12.2, 15.6

2. Un fabricante produce dos tipos de dispositivos para televisores, A y B, los cuales tiene una duracin media de 1495 horas para A y 1875 horas para B, con desviaciones estndar 280

horas para a y 310 horas para B. Cul dispositivo posee presenta menor variabilidad o

dispersin?

3. Complete el siguiente cuadro de distribucin de frecuencias:

k fi Mi fi*mi mi2

fi*mi2

30 35 35 40 40 45 45 50 50 55 55 60 60 65 65 70

3 7

11

22 40

24

9

4

Total 120

Halle la media, la varianza y desviacin estndar

4. Las edades de 5 pacientes de pabelln de quemados en el hospital son 38, 26, 13, 41, 22 aos

Cul es la varianza y desviacin poblacional?

5. La oficina de Filadelfia de cierta empresa contrato 5 postulantes a contabilidad este ao sus

sueldos mensuales al comienzo fueron: 2536, 2173, 2448, 2121, 2629 Calcule la media poblacional, varianza poblacional, desviacin estndar poblacional. Si su

oficina en Miami contrata 6 postulantes de contabilidad donde su sueldo mensual promedio

fue 2550 dlares y la desviacin estndar 250 dlares. (Compare)

6. El nmero de pacientes atendidos en la sala de emergencia de un hospital para una muestra de

5 das del ao pasado fueron: 103, 97, 101, 106, 103 hallar la desviacin media



7. En un examen final de estadstica, la calificacin media de un grupo de 150 estudiantes fue

78 y la desviacin estndar fue 8. Sin embargo, la calificacin final media de lgebra del

grupo fue 73 y la desviacin estndar fue 7.6. En que materia hubo mayor variabilidad o dispersin?

8. La distribucin de medidas de SAT para un grupo de estudiantes de preparatoria tiene una medida de primer cuartil igual a 825 y de tercer cuartil igual a 1125. Indique el coeficiente de

variacin cuartilar para la distribucin de las puntuaciones del SAT de este grupo de

estudiantes.

9. Dada la distribucin de frecuencias de 150 persona segn su edad, calcule su desviacin

estndar

Edad 30,20 40,30 50,40 60,50 70,60

N de personas 15 22 48 40 25

10. En un examen de historia las 4 secciones: A, B, C, D del segundo semestre de alguna universidad obtuvieron los puntajes medios 46.7 - 41.3 - 34.8 y 29.2 con sus respectivas

desviaciones estndares: 8.7 - 10.3 - 9.1 y 12.3 Cuales son su coeficientes de variacin o

dispersiones relativas y en que orden se deben colocar segn la homogeneidad de su

rendimiento?



9. Asimetra y Curtosis.-

9.1 Asimetra.- Es la deformacin horizontal de las curvas de frecuencias.

Cuando la curva esta inclinada o alargada hacia la derecha, se denomina asimetra a la derecha o asimetra positiva. Observamos que la media aritmtica queda hacia el lado

mas largo (el derecho) y que oe MMx

Cuando la curva esta alargada o inclinada a lado izquierdo, se llama asimetra a la izquierda o asimetra negativa. Notamos que la media esta del lado mas largo

(el izquierdo) y que oe MMx

Cuando la curva esta igualmente inclinada a los dos lados por eso se llama curva simetra. Es importante observar que la media, mediana y moda coinciden en un mismo

punto del eje horizontal en este caso oe MMx

xMM eo oe

MMx

oe MMx

9.2 Coeficiente de Asimetra.- Es la deformacin horizontal de una distribucin de frecuencias.

Se presenta los siguientes coeficicentes de Asimetria ( sA ):

1) Primer coeficiente de asimetra de Pearson

s

MxAo

s

MxA es

os

)(3

Si 0sA , la distribucin es simtrica.

Si 0sA , la distribucin es sesgada hacia el lado izquierdo.

Si 0sA , la distribucin es sesgada hacia el lado derecho.

Es razonable pensar que tiene sentido obtener este coeficiente en distribuciones

unimodales.

2) Segundo coeficiente de asimetra de Pearson

13

13 2

QQ

MQQA es

Este coeficiente se utiliza cuando no se puede calcular la media y la desviacin estndar.



Si 0sA , la distribucin es simtrica.

Si 0sA , la distribucin es sesgada hacia el lado izquierdo.

Si 0sA , la distribucin es sesgada hacia el lado derecho.

9.3 Curtosis.- Es el grado de deformacin vertical o apuntamiento; son tres: Leptocrtica,

Mesocrtica y Platicrtica. Luego el coeficiente de curtosis )(k esta dado por:

)(2 1090

13

PP

QQk

Si 263.0k , la distribucin es Mesocrtica.

Si 263.0k , la distribucin es Leptocrtica.

Si 263.0k , la distribucin es Platicrtica o Platocrtica.

Leptocrtica Mesocrtica

Platicrtica

Ejercicios de Aplicacin VIII

1. Determine el coeficiente de Asimetra por los dos procesos de pearson para la distribucin

Intervalos 60,50 70,60 80,70 90,80 100,90 fi 15 20 30 20 15

2. Calcule el sesgo para las tasas de alquiler mensual de 200 departamentos que estn dados en la siguiente tabla

Tasas de alquiler 180,150 210,180 240,210 270,240 300,270 330,300 N de Dptos 3 8 10 13 33 40

360,330 390,360 420,390 450,420

35 30 16 12

3. Se han medido las pulsaciones de un equipo de atletas despus de una carrera obteniendo los

79926120 guia estadistica aplicada

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