Editorial de la UniversidadTecnolgica Nacional

MATRIZINVERSAIng. Jorge J. L. Ferrante

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS UNIDAD DOCENTE BSICA MATEMTICA CTEDRA CLCULO NUMRICO

a11a21a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

...

...

...

1

a1n a2 n a3n ...an1

...

an 2

...

an3

...

...

... ann

2010

Editorial de la Universidad Tecnolgica Nacional - edUTecNe http://www.edutecne.utn.edu.ar edutecne@utn.edu.ar

PROLOGO

Se presentan en este trabajo distintos mtodos para invertir matrices.Algunos, como un aporte a lo que necesariamente debe conocer un alumno que se inicia en el estudio del clculo numrico, otros interesantes desde el punto de vista conceptual pero definitivamente desaconsejables desde el operativo.Especial atencin ha sido puesta en los problemas numricos insitosen la inversin de matrices.Un par de ejemplos con matrices de Hilbert ponen el acento en este tipo de problemas.La idea subyacente es que no se debe tener respeto reverencial pormtodos y procedimientos de clculo, sino que, por el contrario, todos ellos deben ser analizados con espiritu crtico, analizar si cuadran al problema en estudio y, si es posible, proceder a su verificacin.No hacerlo as, implica por lo menos para la ingeniera, un riesgo muy grande.Esta, en el fondo, es la principal enseanza que puede dar un curso elemental de clculo numrico.

Ing. Jorge J L Ferrante Profesor Titular Clculo Numrico

I Introduccin

1 En diversos problemas matemticos, de ingeniera, econmicos y de otros campos es necesaria la matriz inversa de una matriz dada. Esto es, una matriz tal que premultiplicada o posmultiplicada por la matriz dada produzca como resultado la matriz unitaria del orden considerado. Es decir, dada una matriz A, de orden n, es necesaria una matriz, llamada A-1 que cumpla

AA1 = A1 A = I

2 Se presentan a continuacin mtodos para calcular la matriz inversaA-1 de una matriz dada A.

II Aplicacin reiterada del mtodo de Gauss

3 Este mtodo - no recomendable operativamente, por cierto- consiste en aplicar cannicamente la definicin de matriz inversa y las operaciones entre matrices. En efecto, siendo

a11a21A = a31 ...an1

a12 a22 a32...an 2

a13 a23 a33...an3

...............

a1n

a2 n a3n

... ann

se supone la matriz inversa

11

12

13

...

1n 21

31A1 =

2232

2333

......

2 n 3n ...n1

...n 2

...n 3

......

... nn

constituda por n2 elementos desconocidos ij, i = 1, 2, 3, ..., n ; j = 1, 2, 3, ...,n4 Por definicin de matriz inversa, el producto A A-1 debe ser igual a la matriz unidad del mismo orden (n). Desarrollando ese producto, se tiene

a11

a12

a13

...

a1n 11

12

13

...

1n a

31AA1 = a

a a32

a a33

......

a a3n

31

32

33

......

3n = ...

...

...

...

... ...

...

...

...

... an1

an 2

an 3

...

ann

n1

n 2

n 3

...

nn

n n n n a1k k 1

a1k k 2

a1k k 3

...

a1k kn

k =1n

k =1n

k =1n

k =1

na2 k k1

a2 k k 2

a2 k k 3

...

a2 k kn k =1= n

k =1n

k =1n

k =1 n a3k k 1

a3k k 2

a3k k 3

...

a3k kn k =1 n

...

k =1

n

...

k =1

n

...

...

k =1

n

... ank k1

ank k 2

ank k 3

...

ank kn k =1

k =1

k =1

k =1

debiendo verificarse que

n a1k k 1 = 1

k =1n a2 k k 1 = 0

k =1n a3k k 1 = 0 k =1.......... .......... n

ank k 1 = 0k =1

na1k k 2 = 0

k =1na2 k k 2 = 1

k =1na3k k 2 = 0 k =1.................... n

ank k 2 = 0k =1

na1k k 3 = 0

k =1na2 k k 3 = 0

k =1na3k k 3 = 1 k =1.................... n

ank k 1 = 0k =1

.........................

na1k kn = 0

k =1na2 k kn = 0

k =1na3k kn = 0 k =1.................... n

ank kn = 1k =1

para que se cumpla que A A-1 = I. Cada uno de los grupos de igualdades es un sistema de ecuaciones lineales. Aplicando a cada uno de ellos el mtodo de Gauss, por ejemplo, se van obteniendo los elementos constitutivos de las columnas de la matriz inversa.5 Obsrvese que:

La matriz del sistema es siempre la misma. La matriz A dada cuya inversa se busca.

Las incgnitas son los elementos de las columnas de la matriz inversa.

El vector de trminos independientes est constituido por 0 (ceros) excepto en la posicin correspondiente a la columna de elementos que se calcula, teniendo all el valor 1 (uno)

6 Este mtodo requiere la solucin de n SEL con igual matriz y distintos trminos independientes, razn por la cual resulta ms eficaz aplicar otros mtodos ms aptos para este tipo de problemas. Por este motivo, en prrafo3 se calific a este mtodo de no recomendable operativamente. Se lopresenta por la claridad conceptual insita en el mismo.

7 Se invierte con este mtodo la matriz

Primer paso

5A = 10

1 05 11 5

5 1

01

5 1

0 1

5 1

0 1

0.20869 1 5

10 0

4.8

1 0.2 0

4.8

1

0.2

0.043470 1

50

0 1

5

0

0 0

4.79

0.04166

0.008698

Segundo paso

5 1

00

5 1

00

5 1

0

0 0.0434781 5

11 0

4.8

11 0

4.8

1 1

0.21738 0 1

50

0 1

50

0 0

4.79

0.20833

0.04347

Tercer paso

5 1

00

5 1

0 0

5 1

0 0

0.0086981 5

10 0

4.8

1 1

0

4.8

1 0 0.4349 0 1

51

0 1

5 0.2

0 0

4.79

1

0.20876

pudiendo escribirse, finalmente

0.2086A1 = 0.0434

0.43470.2173

0.0086 0.43490.0086

0.0434

0.2087

donde, con seguridad, se han filtrado y propagado errores de redondeo. Elclculo ha sido hecho mediante una calculadora de mesa, redondeando a cuatro decimales. La matriz obtenida puede ser mejorada mediante el procedimiento descripto en el punto VI del presente trabajo.De cualquier forma, se insiste en desaconsejar en forma vehemente este procedimiento para hallar la inversa de una matriz. Su valor es conceptual. Solamente por ello se lo incluye.

III Mtodo de Gauss Jordan

8 Sea A la matriz cuadrada no singular cuya inversa se busca. Si se le adosa, por derecha, la matriz unidad del mismo orden se tendr una nueva matriz de n filas y 2n columnas del siguiente aspecto.

a11a

a12a

a13a

......

a1na

1 0 00 1 0

... 0 ... 0 21 22 23 2 n A I = a31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n...ann

0...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

9 Si se multiplica por izquierda por A-1 este arreglo se tieneA1 (A I ) = I A1

dado que A-1 no es conocida, la idea central del mtodo en consideracin es efectuar transformaciones sobre el arreglo hasta que el mismo tenga, a su izquierda, la matriz unidad de orden n en cuyo caso tendr, a su derecha, la matriz A-1 buscada. Para esto, por sucesivas transformaciones en los elementos de A, cuyos efectos se prolonguen sobre la matriz unidad agregada, se busca la obtencin de 1 (unos) en la diagonal principal de A y 0 (ceros) en el resto de las posiciones de esta matriz.10 Se agregan a continuacin los pasos de clculo necesarios para esas transformaciones.

1 Matriz dada, ampliada con la matriz unidad del mismo orden

a11a

a12a

a13a

......

a1na

1 0 00 1 0

... 0 ... 0 21 22 23 2 n a31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n...ann

0...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

1 / a1100...0 010...0 2 Divisin de la primera fila por a11 llamado pivote. Naturalmente elpivote no debe ser nulo.

1 a12 / a11a a

a13 / a11a

......

a1n / a11a 21 22 23 2 na31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n...ann

0...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

3 Multiplicacin de la primera fila del segundo paso por a21

a21a

a21a12 / a11a

a21a13 / a11a

......

a21a1n / a11a

a21 / a11 00 1

0 ... 0 0 ... 0 21 22 23 2 n a31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n...ann

0...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

4 Sustraccin de la segunda fila menos la primera fila del paso 3anterior.

a21

a21a12 / a11

a21a13 / a11

...

a21a1n / a11

a21 / a11

0 0 ... 0 0 a 22

a21

a12

/ a11

a23

a21

a13

/ a11

...

a2 n

a21

a1n

/ a11

a21

/ a11 1

0 ... 0 a31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n...ann

0...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

5 Multiplicacin de la primera fila del segundo paso por a31

a31

a31a12 / a11

a31a13 / a11

...

a31a1n / a11

a31 / a11

0 0 ... 0 0 a 22

a21

a12

/ a11

a23

a21

a13

/ a11

...

a2 n

a21

a1n

/ a11

a21

/ a11 1

0 ... 0 a31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n...ann

0...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

6 Sustraccin de la tercera fila menos la primera fila del paso 5anterior. Obsrvese que la segunda fila queda modificada.

a31

a31a12 / a11

a31a13 / a11

...

a31a1n / a11

a31 / a11

0 0 ... 0

22

21 12 11 23

21 13 11

2 n 21 1n 11

21 11 0 ...an1

a32 a31a12 / a11...an 2

a33 a31a13 / a11...an 3

.........

a3n a31a1n / a11...ann

a31 / a11...0

0...0

1...0

.........

0 ...1

7 Continan pasos similares en los que se multiplica la primera fila delarreglo del paso 2 por a41 ,a51, ..., an1 y luego se efecta la sustraccin entre las filas 4, 5, ..., n y la primer fila as modificada. Se obtiene

1 a12 / a11

a13 / a11

...

a1n / a11 0 a 22

a21

a12

/ a11

a23

a21

a13

/ a11

...

a2 n

a21

a1n

/ a11

21 11 0... 0

a32 a31a12 / a11...an 2 an1a12 / a11

a33 a31a13 / a11...an 3 an1a13 / a11

.........

a3n a31a1n / a11...ann an1a1n / a11

a31 / a11... an1 / a11

0...0

1...0

.........

0

1 / a1100...0 a / a10...0 ...1

11 Obsrvese que cada uno de los elementos de esta ltima matriz seobtiene reemplazando cada elemento que no est en la fila o columna del pivote, por ese mesmo elemento al que se le sustrae el producto del elemento que est en su fila y el la columna del pivote multiplicado por el que est en su columna y en la fila del pivote, dividido por el pivote.12 Por su parte, la fila del pivote queda dividida por el pivote y la columna del pivote queda dividida por el pivote cambiada de signo. Por ltimo se observa que el pivote queda reemplazado por su inversa.

13 El procedimiento contina con la matriz

1 a12 / a11

a13 / a11

...

a1n / a11

1 / a11

0 0 ... 0 0 a 22

(1)

(1)

a23

(1)

(1)

...

a2 n

(1)

(1)

a21

/ a11 1

0 ... 0 0

a... 0

a32...(1)n 2

a33...(1)

an 3

......

a...

a3n...(1)nn

a31 / a11... an1 / a11

0...0

1...0

.........

0 ...1

donde se ha colocado el suprandice (1) para indicar a los elementos(1)modificados en el primer paso de clculo. Si el elemento a22

es distinto decero, se lo toma como pivote y se procede de la misma forma que en los pasos antes detallados hasta obtener una columna como la siguiente:

0 1 0 ... 0

14 En esta etapa del clculo, la segunda columna de la matriz unidadadosada se trasforma de manera similar a la transformacin de la primera columna en el primer paso, la fila del nuevo pivote queda dividida por este valor y los restantes elementos se transforman segn la expresin

(1)

(1)

(1)

aij

ai 2 a2 j (1)

a22

15 Se obtiene as una matriz con el siguiente aspecto

1 0

a13

( 2 )

...

a1n

( 2 )

11

( 2 )

a12

(1)

0/ a22

(1)

0 ... 0

3 nn

/ 11 0

0 1

a23

(1)

...

a2 n

( 2 )

21

( 2 )

1 / a22

(1)

0 ...

0 0

a33

(1)

...

a3n

( 2 )

31

( 2 )

a32

(1)

/ a22

(1)

1 ... 0

/ a

... 0

...

a0

...(1)n 3

...

a...

...( 2 )nn

...( 2 )

n1

an 2

...(1)22

(1)

...0

...

1...

...

el procedimiento de clculo contina en la misma forma, tomando como

3333pivote a a (2)

, (a (2)

0), a44

(3)

(3)

(ann44

0),..., a (n-1)

(n-1)

(ann

0),cumplindose en todos los casos que

La fila del pivote queda dividida por el pivote.

La columna del pivote queda dividida por el pivote y cambiada de signo.

El pivote queda reemplazado por su inversa.

Todo elemento que no est en la fila o columna del pivote se modifica segn la expresin.

( k 1)

( k 1)a ( k ) = a

( k 1) aik akj ij ij

akk

( k 1)

16 Las columnas 's -transformadas de la matriz unidad adosada- sepueden almacenar o guardar en lugar de las columnas de matriz unidad quese generan "por izquierda". Esto se denomina inversin "in situ" pero tratndose de una computadora significa que la matriz A se pierde, quedando reemplazada por su inversa A-1.

17 El siguiente seudo programa concreta el tema

1 Hacer k = 12 Calcular p = 1/ akk3 Hacer i = 14 i = k? no, seguir; si, ir a orden N 105 Hacer j = 16 j = k ?, no, seguir, si ir a orden N 87 hacer aij = aij - aikakjp8 Incrementar j en una unidad9 j < = n? si, ir a orden N 6, no, seguir10 Incrementar i en una unidad11 i < = n? si, ir a orden N 4, no, seguir12 Hacer l = 113 Hacer akl = p akl14 Incrementar l en una unidad15 l < = n? si, ir a orden N 13; no, seguir16 Hacer l = 117 Hacer alk = - p alk18 Incrementar l en una unidad19 l < = n? si, ir a orden N 17; no, seguir20 Hacer akk = p21 Incrementar k en una unidad22 k < = n? si, ir a orden N 2; no, salir al salir, en el lugar de A, estar A-118 Se desarrolla a continuacin un ejemplo. La matriz a invertir es la siguiente.

5 4A = 3 18 0

269

Primer paso, k=1

5425555 4 2

0.2

0.8

0.43 1

6 3

1 3 * 4

6 3 * 2 = 0.6

1.4

4.8 5 5

5 8 0 9

8

0 8 * 4

9 8 * 2

1.6

6.4

5.85 5 5

Segundo paso, k = 2

0.2

0.8

0.4

0.2 (0.6) * 0.8 (1.4)

0.8 (1.4)

0.4

0.8 * 4.8 (1.4) 0.6

1.4

4.8

(0.6)

1

4.8 =

(1.4)

(1.4)

(1.4) 1.6

6.4

5.8

1.6

(0.6) * (6.4)

(6.4)

5.8

(6.4) * 4.8 (1.4)

(1.4)

(1.4)

0.1428

0.5714

3.1428 = 0.4285

0.7143

3.4285 1.1428

4.5714

16.1428

Tercer paso, k= 3

0.1428

0.5714

3.1428

0.0797

0.3186

0.1947 0.4285

0.7143

3.4285 0.1857

0.2566

0.2124 1.1428

4.5714

16.1428

0.0708

0.2831

0.0615

0.0797A1 = 0.1857 0.0708

0.31860.25660.2831

0.1947 0.2124 0.0615

si se calcula, como verificacin A A-1. Se obtiene

0.99970.00000.0004

0.00040.9994 0.0009

0.00010.00031.0005

que "se parece" bastante a I3. Esto es debido a que los inevitables errores numricos debidos a la aritmtica en uso hacen que A-1 sea una buenaaproximacin a la inversa y no "LA INVERSA".

IV Mtodo del Orlado

19 La aplicacin de este mtodo requiere particionar la matriz dada

a11

a12

a13

...

a1n

a 21

a22

a23

...

a 2 n A = a31 ...an1

a32...an 2

a33...an 3

.........

a3n

... ann

segn el siguiente esquema a1n

An 1

a 2 n A

a = n 1

u n a n1

a n 2

a n 2

...

3 n

a... a nn

v n

nn

donde An-1 es una matriz de orden n-1

a11 a

a12a

a13a

......

a1n 1 a 21 22 23

2 n 1 An 1 = a31

a32

a33

...

a3n 1 ...

...

...

...

... an 11

an 12

an13

...

an 1n 1

un es un vector columna

a1n a 2 n un = a3n ... an 1n

vn es un vector fila

vn = [an1

an 2

an 3

...

ann 1 ]

y ann es un escalar.

20Suponiendo conocida la inversa de la matriz dada, particionndola de la misma forma se puede escribir

Pn 1A1 =

qn

rn 1 n

donde

11

12

13

......

1n 1 21 22 23

2 n 1 Pn 1 = 31

32

33

...

3n 1 ...

...

...

...

... n 11

n 12

n 13

...

n 1n 1

1n 2 n rn = 3n ... n 1n

qn = [n1

n 2

n 3

...

nn 1 ]

y 1/n es un escalar

21 Por ser An An-1 = In, deber ser

An 1

u Pn 1

n

r

n 1 = I n 1 0 vn

q

a nn n

10n

desarrollando el producto, se tiene:

A n 1 Pn 1

+ u n q n

= I n 1

A n 1 rn

+ u n = 0 nv n Pn 1 +

a nn q n = 0v n rn +

a nn = 1n

22 Premultiplicando la segunda expresin por An-1-1 quedaA 1 A r

un r

1

A un 1 n 0n 1

n 1 n +

= n + =n n

de donde

A 1ur = n 1 n n n

reemplazando este valor de rn en la ltima expresin se tiene

A 1u a v n 1 n + nn = 1n

u 1n n

de donde se despeja

n =

a nn

v n A n 1 n

23 Premultiplicando la primera expresin del desarrollo del productoAn An-1 por An-1 se obtiene

1

An 1

(An 1

111Pn 1

+ u n q n ) =

1

An 1

I n 1

Pn 1 +

An 1

u n q n

= An 1

Pn 1 =

1

An 1

An 1

u n q n

nreemplazando esta matriz en la tercera expresin se tiene

(Anvn n 1

1

Ann 1

1u q

)+ a q = 0

nvn An 1

1 + ( v

uAn 1

1

nnnn

+ ann )q = 0

el parntesis es la expresin encontrada en el prrafo anterior para n.Reemplazando resulta

1vn An 1

+ n qn = 0

de donde, finalmente

q n =

1

v A n n 1 n

124 Si se toma este valor y se lo reemplaza en la expresin de Pn-1 setiene

Pn 1 =

+1

An 1

An 1

1 u n v n An 1 n

25 Premultiplicando la segunda expresin del desarrollo del producto AnAn-1 por An-1 resulta

1

A A

r + u n = 0n 1

n 1 n

n

rn +

A 1 u n 1 n = 0n

rn =

A 1 u n 1 n n

26 Resumiendo, puede escribirse

u v A 1

A 1u Pn 1

rn

An 1

1

+ A1n 1

1 n n n 1

n 1 n A1 =

1 = n n qn

vn An 1 n

11 n

ann vn An 1

un

donde queda claro que, si se conoce la inversa de la matriz An-1, todos loselementos de esta ltima matriz pueden calcularse a partir de la particinde la matriz A efectuada.27 Entonces, la idea central del mtodo es, conociendo la inversa de A1, (un nmero real) calcular la inversa de A2, cosa que se logra orlando la matriz A1 con los elementos de A de sombreado ms suave en el grfico que se agrega. Despus de obtenida la inversa de A2, se orla nuevamente con los elementos de sombreado ms fuerte para trabajar con A3. Obtenida por este medio la inversa de esta matriz, una nueva orla lleva a A4 y as sucesivamente hasta que la ltima orla (negra) permite obtener la inversa buscada.

28 Se desarrolla un ejemplo buscando la inversa de la siguiente matriz

5 1

A = 1 50 1

0

15

Primer paso

A1 = [a11 ] = [5]

A 1 = [a

]1 = 1 = [0.2]1 11

5

Segundo paso

5 1

15A2 = u2 = [1] v2 = [1] a22 = 5

Con estos valores se calcula 2 = 5 [1].[0.2].[1] = 4.8

q2 =

[1].[0.2]4.8

= 0.0416

P = [0.2]+ [0.2][1].[1].[0.2] = 0.20831 4.8

r2 =

[0.2].[1]4.8

= 0.0416

Entonces

Tercer paso

1 0.2083

A2 = 0.0416

0.0416

0.2083

5 1

3 A = 1 50 1

0

15

0u3 = 1

v3 = [0 1]

a33 = 5Como A-12 es conocida del paso anterior, se calcula

0.2083

0.04160 3 = 5 [0

1]

= 4.7917 0.0416

0.2083 1

q3 = [0

0.2083

]1

0.0416 1

= [0.0087

0.0434] 0.0416

0.2083 4.7917

0.2083

0.0416

1 0.2083

0.04160

0.2083

0.0416P2 =

+

[0

1] = 0.0416

0.2083

4.7917 0.0416

0.2083 1

0.0416

0.2083

0.2086= 0.0434

0.0434

0.2173

0.2083

0.04160 1

0.0087 r3 =

= 0.0416

0.2083 1 4.7917

0.0435

Finalmente

P2

r3

0.2086

0.0434

0.0087 A 1 =

1 = 0.0434

0.2173

0.0435

3 q3 3

0.0087

0.0434

0.2086

Que es la inversa buscada

29 Como verificacin se calcula A A-1. Resulta

5 1

0 0.2086

0.0434

0.0087

0.9996

0.0003

0.0000 1 5

1 0.0434

0.2173

0.0435 = 0.0003

0.9997

0.00020 1

5

0.0087

0.0434

0.2086

0.0001

0.0003

0.9995

que se parece bastante a I3V Otros mtodos

30 En numerosos casos de inters para matemtica e ingeniera, por ejemplo, ecuaciones diferenciales, vibraciones de sistemas estructurales, pandeo; etc. es necesario hallar las races del denominado polinomio caracterstico de una matriz. Dichas races se denominan autovalores y los vectores a ellas asociados, autovectores.

31 El polinomio caracterstico resulta del desarrollo del determinante

a11 a21a31...an1

a12a22 a32...an 2

a13a23a33 ...an3

...............

a1na2 na3n = 0...ann

de ese desarrollo resulta un polinomio en de la forma

np() = a0

+ a1

n1

+ a2

n 2

+ a3

n 3

+ ... + an1 + an = 0

32 Uno de los mtodos para hallar los coeficientes del polinomiocaracterstico es el mtodo de Leverrier Faadeva. Su demostracin estcompletamente fuera del alcance de estas pginas pero su esquema final de clculo resulta muy sencillo. Debe sealarse que, sin las facilidades que brindan los lenguajes algebraicos actualmente en uso, su aplicacin para matrices de orden no demasiado grande resulta impracticable por la cantidad de clculos que implica obtener las sucesivas potencias de la matriz dada y varios otros productos matriciales

33 El esquema final de clculo mencionado es el siguiente, tomando a0 = 1B = I

a = 1 traza( AB )1 n 1 1 1B = AB +a I

a = 1 traza( AB )2 1 1 n

2 2 2B = AB

+ a I

a = 1 traza( AB )3 2 2 n 3 3 3...................................................................

Bn = AB

n1

+ an1 I n

a = 1 traza( AB )n n n

debindose cumplir que

ABn + an I n = 0

V.1 Mtodo de Leverrier Faadeva

34 Partiendo de la ltima expresin puede escribirse y despejarse

nA1 (AB

+ an I n

) = 0

Bn

+ an

A1 = 0

A1 = Bn an

obtenindose as la inversa buscada.

V.2 Aplicacin del Teorema de Cayley Hamilton

35 Por otra parte, el teorema de Cayley Hamilton establece que toda matriz es raz de su polinomio caracterstico. Es decir que

np ( A) = a 0 A

+ a1 A

n 1

+ a 2 A

n 2

+ a 3 A

n 3

+ ... + a n 1 A + a n = 0

Entonces, multiplicando este polinomio por A-1 se tiene

102A1 (a

An + a

An1 + a

An2 + a

An3 + ... + a

n1

A + an

) = 0

102a An1 + a

An2 + a

An3 + a

An4 + ... + a

33n1

I + an

A1 = 0

3Despejando de esta ltima A-1 resulta finalmente

102A1 = 1 (aan

An1 + a An2 + a

An 3 + a

An4 + ... + a

n 1 I )

36 A ttulo de ejemplo se calcula con este mtodo la inversa de la matriz

Se toma

5 4

A = 3 18 0

2

69

1

3I = 00

0 0

01 0 1

Y se calcula

B = I

a = 1 Tr ( AB ) = 151 3 1 1 1

Se calcula

10 4 2

=B2 = AB1

+ a1 I 3 3 8

140

6 6

Con esta matriz se calcula

a = 1 Tr ( AB2 2 2

) = 31

Y luego

9 36

22 B3 =

AB 2

+ a 2 I 3

= 21

29 24

8 32 7

Y con esta ltima matriz

a = 1 Tr ( AB ) = 1133 3 3Aplicando V.1 resulta

9

21

3629

22

24

0.079646

0.318584

0.19469 A1 = B3 = = 8 32 7

= 0.185841

0.256637

0.212389 a3 113

0.0707965

0.233186

0.0619469

Para aplicar V.2 se calculan ahora, haciendo notar el incremento en losclculos, lo que, definitivamente permite calificar a este mtodo deacadmico

A 2 =

53

66112

24 52

13 66 32 97

Con los elementos obtenidos se calcula finalmente la matriz inversa

53

24 52

5 4 2

1 0

0

0.079646

0.318584

0.19469 A1 = 1 66

13 66 153 1

6 + 310 1

0 = 0.185841

0.256637

0.212389 113 112 32

97

8

0 9

0

0 1

0.0707965

0.233186

0.0619469

Que coinciden con la hallada por aplicacin del mtodo de Gauss Jordan enprrafo 18 precedente.

37 Se aplica ahora, como nuevo ejemplo, el mtodo de Leverrier - Faadeva a un caso extremo, el de invertir una matriz de Hilbert de orden 5. Esta matriz es la siguiente:

1 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 1 2 3 4 5H = 1 1 1 15 3 4 5 6 1 1 1 1

1111678 4 5 6 7

1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 Todas ellas, independientemente del orden, estn muy mal condicionadas y encontrar sus respectivas inversas es un serio problema numrico.

Siguiendo el procedimiento descripto se obtiene la siguiente matriz inversa

Como verificacin se calcula el producto de la matriz H5 por su inversa. Se obtiene

Que es bastante parecida a la matriz I5

Intentando el mismo procedimiento con la matriz H6 los resultados son calamitosos. Ocurre que, para este tipo de matrices, cuanto mayor es el orden, ms cercano a cero es su determinante lo que explica la extrema inestabilidad que poseen.

Los clculos han sido efectuados con MATHEMATICA 6 operando como calculadora en aptitud de efectuar producto de matrices.

Cabe sealar que, aplicando el comando Inverse[...] cuando H6 es manejada como una matriz de elementos fraccionarios, se obtiene la inversa buscada, pero si algn elemento de H6 lleva un punto, lo que motiva el clculo en aritmtica de t dgitos, los resultados son malos.VI Correccin de los elementos de la inversa

37 Como se ha visto en los ejemplos anteriores, la inversa de una matriz A, calculada con una aritmtica de t dgitos est afectada por inevitables errores y por su propagacin a travs del algoritmo de clculo elegido, de manera tal que, una vez finalizado el clculo, no se dispone de la inversa buscada sino de una aproximacin a la misma.

ABAlgoritmode clculo

B A-1

38 Si B es una buena aproximacin a A-1 el producto BA ser cercano a la matriz unidad del orden considerado y

R = I BA

ser una matriz pequea, en el sentido de alguna de sus normas.

39 Obsrvese que los elementos de R son los desvos de BA con respecto a la matriz unidad ya que por ser B una buena aproximacin a A-1, BA es bastante parecida a I

40 De la ltima expresin puede escribirse

BA = I R

multiplicando por izquierda por B-1 se tiene

B 1 BA = B 1 (I R)

de donde

A = B 1 (I R )

Invirtiendo

6A1 = [B 1 (I R)]1

De donde

A1 = (I R)1 B

Por ser

R < 1, se puede efectuar el siguiente desarrollo

A1 = (I R )1 B = (I + R + R 2 + R 3 + R 4 + ...)B

Expresin en la que el factor I + R + R2 + R3 + R4 +puede ser considerado como correctivo de los elementos de B. Por ser supuestamente pequea R sus sucesivas potencias sern todava menores, razn por la cual es esperable una buena correccin con pocos trminos en el factor.

41 Por ejemplo, siendo

5 4

A = 3 18 0

29

El clculo de su inversa aplicando el algoritmo de Gauss Jordan da

0.0797

B = 0.1857 0.0708

0.31860.25660.2831

0.1947

0.2124 0.0619

1.0003

BA = 0.0009

0.00020.9994

0.0001

0.00060.0001

0.0001

0.9999 0.0003

0.0002

0.0001

3 2

1R = 0.0009

0.0005

0.0006 = 10 4 9

6 6 0.0001

0.0001

0.0001

1 1

1

8 7

10

R 2 = 10 8 21 24

33 11 9 8

Entonces I + R + R2

I + R + R 2

1 0

= 0 1

0

0 + 10

3 2

964

1

6 + 10

8 7

21248

10

33 =0 0 1

1 1 1

11 9 8

0.999699920 0.000900210

0.00020000701,000600240

0.000100100

0.000600330 0.000099890

0.000100900

1.000100080

Calculando (I + R + R2) B se obtiene

0.079646017

0.185840707 0.070796309

0.3185840700.2566371680.283186048

0.194690265

0.212389380 0.061947074

Que es una mejor aproximacin a A-1