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MATRICES Y DETERMINANTES

123

CAPÍTULO VIII

MATRICES

8.1 INTRODUCCIÓN

Se da por entendido el concepto de transformación lineal entre dos espacios

vectoriales sobre un mismo cuerpo, y se determina la matriz asociada a una

transformación lineal, el estudio de las transformaciones lineales nos conecta a

la suma y producto de matrices, con el fin de evitar una notación engorrosa

simplificaremos la misma expresando una matriz en función de sus elementos

conectados a una fila y columna, de la siguiente manera.

Sea la matriz A de m filas y n columnas.

1,1 1,2 1,3 1,

2,1 2,2 2,3 2,

3,1 3,2 3,3 3,

,1 ,2 ,3 ,

.......

.......

.......

.........................

.......

n

n

n

m m m m n

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

8.2 SUMA DE MATRICES

Para sumar dos matrices se requiere que ambas tengan la misma dimensión, la

suma A+B corresponde a una matriz C de la misma dimensión, cuyos

elementos corresponden a la suma de los elementos que pertenecen a la misma

fila y columna.

Sea:

1,1 1,2 1,3 1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3 3,1 3,2 3,3

a a a b b b

A a a a B b b b

a a a b b b

La matriz suma C=A+B será:

1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3

2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3

3,1 3,1 3,2 3,2 3,3 3,3

a b a b a b

C a b a b a b

a b a b a b

ÁLGEBRA I 124

8.3 MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Si una matriz A se multiplica por un escalar k, todos los elementos de A se

multiplican por el escalar.

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

ka ka kakA

ka ka ka

Ejemplo 1

1 0 2 3 0 6

2 3 1 6 9 33 3

0 8 5 0 24 15

3 4 22 9 12 66

A

8.4 PRODUCTO DE MATRICES

Dos matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de la

primera matriz es igual al número de filas de la segunda, la matriz resultante

tiene las filas de la primera matriz y las columnas de la segunda. Los elementos

de la matriz producto corresponden a la sumatoria de los productos de los

elementos de la i-éima fila de A por la j-ésima columna de B.

1,1 1,2 1,3

1,1 1,22,1 2,2 2,3

2,1 2,23,1 3,2 3,3

3,1 3,24,1 4,2 4,3

a a ab b

a a aA B b b

a a ab b

a a a

La matriz A tiene 4 filas y 3 columnas, la matriz B tiene 3 filas y 2 columnas,

la matriz producto C= A·B tendrá 4 filas y 2 columnas y será igual a:

1,1 1,1 1,2 2,1 1,3 3,1 1,1 1,2 1,2 2,2 1,3 3,2

2,1 1,1 2,2 2,1 2,3 3,1 2,1 1,2 2,2 2,2 2,3 3,2

3,1 1,1 3,2 2,1 3,3 3,1 3,1 1,2 3,2 2,2 3,3 3,2

4,1 1,1 4,2 2,1 4,3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. .

a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a bC

a b a b a b a b a b a b

a b a b a 3,1 4,1 1,2 4,2 2,2 4,3 3,2. . . .b a b a b a b


125

En el caso de matrices de igual número de filas y columnas es posible hallar los

productos A·B y B·A, en general se verifica que el producto de matrices no es

conmutativo, es decir: A·B ≠ B·A

Ejemplo 2

Sean las matrices:

2 5 13 2 1

1 2 41 1 1 2 1 0

0 1 20 5 2

1 3 1

A B C D

1 2 11 2 2 3 0

0 2 2 22 1 1 2 1

1 4 3

E F G H

Hallar cuando sea posible: a) B·F b) G·B c) C·D d) D·C e) E+C·D

f) E·C g) E·D h) A·B

a) B·F

3 21 2

1 12 1

0 5

B F

3 4 6 2 7 4

1 2 2 1 1 3

0 10 0 5 10 5

B F

b) G·B

2 3 0

1 2 1G

3 2

1 1

0 5

B

6 3 0 4 3 0 3 7

3 2 0 2 2 5 1 1G B B

c) C·D

1

1 2 1 0

2

C D

ÁLGEBRA I 126

2 1 0

2 1 0

4 2 0

C D

d) D·C

1

2 1 0 1

2

D C

2 1 0 3D C

e) E+C·D

1 2 1

0 2 2

1 4 3

E

2 1 0

2 1 0

4 2 0

C D

1 2 2 1 1 0 1 3 1

0 2 2 1 2 0 2 3 2

1 4 4 2 3 0 3 6 3

E C D

f) E·C

1 2 1

0 2 2

1 4 3

E

1

1

2

C

1 2 2 1

0 2 4 2

1 4 6 3

E C

g) E·D

1 2 1

0 2 2

1 4 3

E 2 1 0D

No es posible efectuar el producto por que el número de columnas de E (3) no

es igual al número de filas de D (1)

h) A·B


127

2 5 13 2

1 2 41 1

0 1 20 5

1 3 1

A B

6 5 0 4 5 5 1 14

3 2 0 2 2 20 5 20

0 1 0 0 1 10 1 11

3 3 0 2 3 5 0 10

A B

8.5 MATRICES CUADRADAS

Son aquellas que tienen igual número de filas y columnas, por ejemplo:

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

a a a

A a a a

a a a

Los elementos en los cuales se verifica que i = j constituyen la diagonal

principal, mientras que los que verifican la identidad i+j = n+1 constituyen la

diagonal secundaria, donde n es la dimensión de la matriz.

8.6 MATRIZ IDENTIDAD

Es aquella cuyos elementos de la diagonal principal son igual a uno y los

restantes igual a cero. Para cualquier matriz A se verifica que: A·I = I·A = A

La matriz identidad de dimensión tres por tres será:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

8.7 MATRICES TRIANGULARES

Una matriz A se denomina triangular superior si los elementos que se

encuentran por debajo de la diagonal principal son iguales a cero.

Diagonal Principal

Diagonal Secundaria

ÁLGEBRA I 128

1,1 1,2 1,3

2,2 2,3

3,3

0

0 0

a a a

A a a

a

Una matriz B es triangular inferior si los elementos que se hallan por encima de

la diagonal principal son ceros.

1,1

2,1 2,2

3,1 3,2 3,3

0 0

0

a

B a a

a a a

La matriz C es diagonal por que sólo los elementos de la diagonal principal son

diferentes de cero.

1,1

2,2

3,3

0 0

0 0

0 0

a

C a

a

8.8 MATRIZ TRASPUESTA At

Es aquella en la cual se han intercambiado las filas por las columnas

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

a a a

A a a a

a a a

1,1 2,2 3,1

1,2 2,2 3,2

1,3 2,3 3,3

t

a a a

A a a a

a a a

Para la suma y el producto se verifica que:

;t tt t t tA B A B A B B A

Se denomina matriz simétrica aquella que es igual a su traspuesta.

8.9 INVERSA DE UNA MATRIZ A-1

La matriz A es inversible, si y solo si existe una matriz A-1

tal que su producto

por derecha o por izquierda con la matriz A, es la identidad 1 1A A A A I

En el caso del producto se verifica que: 1 1 1A B B A

8.10 TRANSFORMACIONES EN UNA MATRIZ

Las siguientes operaciones se pueden efectuar en una matriz obteniendo

matrices equivalentes:


129

Se pueden permutar dos filas cualquiera.

Toda ecuación se puede multiplicar por un escalar cualquiera k ≠ 0

de R.

Se puede multiplicar una fila por un escalar y sumarla a cualquier

otra.

8.11 MÉTODO DE GAUSS JORDAN

Permite hallar la inversa de una matriz aplicando un método que consiste en

aumentar la matriz a la derecha con la identidad y a través de transformaciones

elementales trasladar la matriz identidad al lado izquierdo, la matriz que queda

en lugar de la identidad es la inversa buscada.

Si:

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

a a a

A a a a

a a a

La matriz aumentada será:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

La matriz inversa de A es A-1

1,4 1,5 1,6

12,4 2,5 2,6

3,4 3,5 3,6

a a a

A a a a

a a a

Ejemplo 4

Hallar la matriz inversa de: 1 2

1 3A

3 21 2 1 0 1 0

1 2 1 0 1 2 1 0 5 51 1

1 3 0 1 0 5 1 1 1 10 10 15 5

5 5

F2=F1+F2 F2=F2/5 F1=F2(-2)+F1

F2=F1+F2 debe interpretarse como; fila 1 más fila 2

La matriz inversa será:

ÁLGEBRA I 130

1

3 2

5 5

1 1

5 5

A

Para verificar el resultado multiplicamos la matriz original por su inversa

1 2

1 3

3 2

5 5

1 1

5 5

=

3 2 2 2

1 05 5 5 5

3 3 2 3 0 1

5 5 5 5

Ejemplo 5

Hallar la matriz inversa de:

2 3 1

1 3 2

1 2 1

A

2 3 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1

1 3 2 0 1 0 1 3 2 0 1 0

1 2 1 0 0 1 2 3 1 1 0 0

F1↔F3 F2=F1+F2; F3=F1(-2)+F3

1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1

0 5 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2

0 1 1 1 0 2 0 5 1 0 1 1

F2↔-F(3) F3=F2(-5)+F3

1 2 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1

0 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 2

0 0 6 5 1 9 5 1 90 0 1

6 6 6

=

F3=F3/6 ; F2=F2+F3 ; F1=F1+F3


131

5 1 3 7 1 91 2 0 1 0 0

6 6 6 6 6 6

1 1 3 1 1 30 1 0 0 1 0

6 6 6 6 6 6

5 1 9 5 1 90 0 1 0 0 1

6 6 6 6 6 6

F1=F2(-2)+F1

8.12 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES NO

HOMOGÉNEAS

Considérese el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas, donde no

todos los hi = 0

1,1 1 1,2 2 1, 1

2,1 1 2,2 2 2, 2

,1 1 ,2 2 ,

....

....

......................................................

....

n n

n n

n n n n n n

a x a x a x h

a x a x a x h

a x a x a x h

A este sistema se puede asociar la siguiente matriz aumentada [A H], donde

[A] es la matriz de coeficientes y [H] la matriz columna con los valores hi

1,1 1,2 1, 1

2,1 2,2 2, 2

,1 ,2 ,

....

....[ ]

.........................................

....

n

n

n n n n n

a a a h

a a a hAH

a a a h

El sistema tiene solución, si y sólo si, las ecuaciones son linealmente

independientes, dicha solución puede hallarse llevando la matriz a su forma

canónica de fila, es decir, aquella que tiene la matriz identidad a la derecha de

la misma.

Ejemplo 6

Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas 2 3

2 3 0

2 2 2

x y z

x y z

x y z

La matriz de coeficientes asociada al sistema es:

ÁLGEBRA I 132

1 2 1 31 2 1 3 1 2 1 3

3 62 3 1 0 0 7 3 6 0 1

7 72 1 2 2 0 3 0 8

0 3 0 8

65 171 2 0 1 0 0

1 2 1 3 9 9

3 6 168 80 1 0 1 0 0 1 0

7 7 63 3

38 38 380 0 1 0 0 1 0 0 1

9 9 9

Por tanto: 17 8 38

; ;9 3 9

x y z

Ejemplo 7

Resolver:

2

2 3 1

2

2 0

x y w

x y z w

x z

x y z w

La matriz equivalente es:

1 1 0 1 2

2 3 1 1 1

1 0 1 0 2

1 1 1 2 0

1 1 0 1 2

0 5 1 3 3

0 1 1 1 0

0 2 1 3 2

F2=F1(-2)+F2 ; F3=F1-F3 ; F4=F1-F4

1 1 0 1 2 1 1 0 1 2

0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

0 5 1 3 3 0 0 4 2 3

0 2 1 3 2 0 0 3 1 2

F2↔-F3 ; F3=F2(-5)+F3 ; F4=F2(2)+F4


133

1 1 0 1 21 1 0 1 2

0 1 1 1 00 1 1 1 0

1 31 3 0 0 1

0 0 1 2 42 4

5 10 0 3 1 2 0 0 0

2 4

F3=F3/-4 ; F4=F3(-3)+F4

211 1 0 0

1 1 0 1 2 10

10 1 1 1 00 1 1 0

101 30 0 1

72 4 0 0 1 0101

0 0 0 1110 0 0 0 1

10

F4=F4(2/5) ; F3=F4(1/2)+F3 ; F2=F2-F3 ; F1=F1-F4

21 131 1 0 0 1 0 0 0

10 10

8 80 1 0 0 0 1 0 0

10 10

7 70 0 1 0 0 0 1 0

10 10

1 10 0 0 1 0 0 0 1

10 10

F1=F2-F1

Las soluciones serán:

1 2 3 4

13 4 7 1; ; ;

10 5 10 10x x x x

8.13 DETERMINANTES

El determinante de una matriz cuadrada A de dimensión n, es un elemento

único que corresponde a la sumatoria de n! productos de todas las

combinaciones que se pueden hacer con sus elementos tomados de tal manera

ÁLGEBRA I 134

que de cada fila hay uno, y solo uno, y de cada columna uno y solo uno, cada

producto esta dotado de un signo que alterna iniciándose en positivo.

n

n

s

njjjjP aaaaA ...321 321

Donde Sn es el conjunto de todas las permutaciones de n símbolos contiene n!

elementos.

Ejemplo. El determinante de una matriz de dimensión [2,2] será:

1,1 1,2

1,1 2,2 1,2 2,12,1 2,2

a aA a a a a

a a

Si la dimensión es [3,3]

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

1,1 2,2 3,3 2,3 3,2 1,2 2,1 3,3 2,3 3,1 1,3 2,1 3,2 2,2 3,1( ) ( ) ( )

a a a

A a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a

Si la dimensión es [4,4]

1,1 1,2 1,3 1,4

2,2 2,3 2,42,1 2,2 2,3 2,4

1,1 3,2 3,3 3,43,1 3,2 3,3 3,4

4,2 4,3 4,44,1 4,2 4,3 4,4

2,1 2,3 2,4 2,1 2,2 2,4

1,2 3,1 3,3 3,4 1,3 3,1 3,2 3,4 1,4

4,1 4,3 4,4 4,1 4,2 4,4

...

..

a a a aa a a

a a a aA a a a a

a a a aa a a

a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

4,1 4,2 4,3

a a

a a a

a a a

8.14 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Si todos los elementos de una fila o columna son ceros entonces |A|=0

Si A es triangular superior, inferior o diagonal el determinante es igual

al producto de los elementos de la diagonal principal.

Si B se obtiene de A multiplicando su fila i (columna i) por un escalar

no nulo k se tiene |B|=k|A|.

Si se permutan dos columnas de una matriz, entonces los

correspondientes determinantes son opuestos.

El determinante de toda matriz que tenga dos columnas idénticas es


135

nulo.

El determinante de una matriz no varía si a una columna se le suma una

combinación lineal de las otras.

El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales.

Ejemplo 8

1 2 3

2 1 0 1( 2 0) 2(4 0) 3( 4 3) 2 8 3 13

3 2 2

A

o bien:

1 2 3 1 2 35 6

2 1 0 0 5 6 1 35 48 138 7

3 2 2 0 8 7

A

Ejemplo 9

2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 2 3 2 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1

0

0

0

a b c d b a c a d a

a b c d b ab c ac d ad

a b c d b ab c ac d ad

F2=F2+F1(-a) ; F3=F3+F2(-a) ; F4=F4+F3(-a)

2 2 22 2 2

1 1 1 1

0( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( )

b a c a d ab a c a d a

b b a c c a d d ab b a c c a d d a


2 2 22 2 2

1 1 1 1

0( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) ( )

b a c a d ab a c a d a



ÁLGEBRA I 136

2 2 2

1 1 1

( )( )( )b a c a d a b c d

b c d

F2=F2+F1(-b) ; F3=F3+F2(-b)

1 1 1

( )( )( ) 0

0 ( ) ( )

b a c a d a c b d b

c c b d d b

( )( )( )( ) ( )

c b d bb a c a d a

c c b d d b

1 1( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( )

b a c a d a c b d bc d

b a c a d a c b d b d c

Ejemplo 10

Hallar el determinante de:

1 3 1 1

4 0 1 1

0 2 1 1

0 1 2 3

A

F2=F1(-4)+F2

1 3 1 112 3 5

0 12 3 52 1 1

0 2 1 11 2 3

0 1 2 3

A

12 3 5

2 1 1 12( 3 2) 3( 6 1) 5(4 1) 60 21 15 54

1 2 3


137

8.15 REGLA DE CHIO

Permite reducir un determinante de orden n a otro de orden n-1, con objeto de

facilitar el cálculo del mismo. Consiste en elegir un elemento cualquiera de la

matriz diferente de cero como pivote y transformar la fila o columna en ceros,

con un mecanismo similar al método de Gauss Jordan teniendo en cuenta, el

factor (-1)i+j

aij

Ejemplo 11 Calcular el siguiente determinante

2 3 1 2 1 0 2 81 2 8

1 3 2 0 4 0 5 64 5 6

1 1 1 2 1 1 24 8 1

4 0 8 1 8

1

4 0 1

A

F2=F3(-3)+F2 ; F1=F3(-3)+F1 ; ; F3=F3-F2 ; F2=F1(4)+F2

1 2 83 26

0 3 26 15 78 933 5

0 3 5

Ejemplo 12 Hallar el determinante de:

3 2 2 3 1 6 0 111 6 11

2 3 2 4 0 1 0 120 1 12

1 2 1 4 1 2 1 42 6 2

2 6 0 2 2 6 0 2

A

F2=F3(-2)+F2 ; F1=F3(2)+F1 ; ; F3=F1(-2)+F3

1 6 111 12

0 1 12 20 72 526 20

0 6 20

ÁLGEBRA I 138

8.16 INVERSIÓN DE MATRICES POR PARTICIÓN1

Sea una matriz M particionada en cuatro bloques de matrices de la siguiente

manera

A BM

C D

Y sea la una partición similar de la matriz inversa M-1

1 X YM

Z U

Siendo M-1

la inversa de M se verifica que:

p

q

I NA B X Y

C D Z U N I

O sea

(1) (3)

(2) (4)

p

q

AX BZ I AY BU N

CX DZ N CY DU I

De la ecuación (2) obtenemos 1 1 1; ; (5)DZ CX D DZ D CX Z D CX

(5) en (1) 1 1 1 1; ) ; ( ) (6)p pAX BD CX I A BD C X I X A BD C

De (4) 1 1; (7)qDU I CY U D D CY

Sustituyendo en (3) 1 1 1 1; ( )AY BD BD CY N A BD C Y BD

Premultiplicando por 1 1( )A BD C X resulta:

1 (8)Y XBD

Las relaciones (5), (6), (7), (8) permiten la determinación de X, Y, Z, U en

función de los datos y de la inversa de D.

Ejemplo 13

Utilizando el método de las particiones hallar la inversa de:

1 Rojo Armando Edit. El Ateneo 1985 Pag 141


139

1 1 0 0

1 1 1 0

2 1 1 0

1 2 0 1

M

Particionamos en cuatro bloques de dimensión dos por dos

11 0

0 1

1 1 0 0 2 1

1 1 1 0 1 2

D I D

A B C

1 1 1( ) ( )X A BD C A BC

1 1 0 0 2 1

1 1 1 0 1 2A BC

1 1 0 0 1 1

1 1 2 1 1 0A BC

La inversa de esta matriz será:

1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

1 1

1 1X

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 1 0Y XBD XB

1 2 1 0 1 1 3

1 2 1 1 2 1Z D CX CX

ÁLGEBRA I 140

1 1 0 1 2 1 1 0

0 1 1 2 1 0

1 0 3 0 2 0

0 1 1 1 1 1

U D D CY I CY

Con los cuatro bloques obtenidos se forma la matriz inversa

1

0 1 1 0

1 1 1 0

1 3 2 0

2 1 1 1

M

8.17 COFACTOR

El cofactor de cada elemento de una matriz el igual al determinante que se

obtiene luego de eliminar la fila y columna del elemento correspondiente,

alternando los signos de cada determinante empezando por la primera fila.

Ejemplo 14

Encuentre la matriz de cofactores de:

3 4 1

2 1 3

5 0 1

A

Matriz de cofactores

1 3 2 3 2 1

0 1 5 1 5 0

4 1 3 1 3 4

0 1 5 1 5 0

4 1 3 1 3 4

1 3 2 3 2 1

Matriz de cofactores

1 13 5

4 2 20

13 7 11

8.18 MATRIZ ADJUNTA

Es la traspuesta de la matriz de cofactores


141

Ejemplo 15

Encuentre la matriz adjunta de:

3 4 1

2 1 3

5 0 1

A

Matriz Adjunta

1 4 13

13 2 7

5 20 11

8.19 INVERSA DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE LA

ADJUNTA

Si una matriz cuadrada tiene inversa, se puede hallar a través de la siguiente

expresión:

1Adj A

ADet A

La inversa de una matriz es igual a la matriz adjunta dividida entre el

determinante de la matriz.

Ejemplo 16

Encuentre la matriz inversa de:

3 4 1

2 1 3

5 0 1

A

El determinante de esta matriz será:

3 4 1

2 1 3 3( 1) 4(2 15) 1( 5) 3 52 5 54

5 0 1

A

La Matriz Inversa

1Adj A

ADet A

ÁLGEBRA I 142

1

1 4 13 1 2 1313 2 7 54 27 54

5 20 11 13 1 7

54 54 27 54

5 10 11

54 27 54

A

Ejemplo 17

Hallar la inversa de la siguiente matriz, utilizando el método de la matriz

aumentada y el método de la adjunta.

2 3 1

1 2 1

3 1 2

A

2 3 1 1 0 0

1 2 1 0 1 0

3 1 2 0 0 1

1 2 1 0 1 0

2 3 1 1 0 0

3 1 2 0 0 1

F1↔F2 F2=F1(-2)+F2 ; F3=F1(-3)+F3

1 2 1 0 1 0

0 1 1 1 2 0

0 7 5 0 3 1

1 2 1 0 1 0

0 1 1 1 2 0

0 0 2 7 11 1

F3=F2(2)+F3 F3=F3/2

1 2 1 0 1 0

0 1 1 1 2 0

7 11 10 0 1

2 2 2

1 2 1 0 1 0

5 7 10 1 0

2 2 2

7 11 10 0 1

2 2 2

F2=F3+F1 F1=F3(-1)+F1


143

7 9 11 2 0

2 2 2

5 7 10 1 0

2 2 2

7 11 10 0 1

2 2 2

3 5 11 0 0

2 2 2

5 7 10 1 0

2 2 2

7 11 10 0 1

2 2 2

F1=F2(2)+F1


1

3 5 1

2 2 2

5 7 1

2 2 2

7 11 1

2 2 2

A

La matriz de cofactores será:

2 1 1 1 1 2

1 2 3 2 3 1

3 1 2 1 2 3

1 2 3 2 3 1

3 1 2 1 2 3

2 1 1 1 1 2

=

3 5 7

5 7 11

1 1 1

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores

Matriz Adjunta=

3 5 1

5 7 1

7 11 1

El determinante de la matriz es:

2 3 1

1 2 1 2(4 1) ( 3)( 2 3) 1(1 6) 6 15 7 2

3 1 2

A


ÁLGEBRA I 144

1

3 5 1

2 2 2

5 7 1

det 2 2 2

7 11 1

2 2 2

Adjunta AA

A

Que coincide con el resultado hallado con el primer método.

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