INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CANCÚN

Ing. sistemas computacionales

• Matemáticas V

• Palacios Calixto David

Transformada Inversa de Laplace Sea F(s) la Transformada de Laplace de una función f(t).

a Transformada Inversa de Laplace (o Transformada inversa) de F(s) se representa por:

£-1 { F(s)} = f(t)

Métodos para hallar la Transformada Inversa de Laplace:

Existen varios métodos para determinar la transformada inversa de Laplace; método de las

fracciones simples, de las series, de las ecuaciones diferenciales, derivación respecto de un

parámetro, inversión compleja.1

Usaremos el Método de las Fracciones Parciales, o Fracciones Simples.

Cualquier función racional de la forma

B(s) / A(s), donde A(s) y B(s) son polinomios en s, con el grado de B(s), menor que el de A(s).

F(s), se separa en componentes

F(s) = F1(s) + F2(s) + F3(s) + ……… + Fn(s)

Cuando F(s), tiene polos diferentes, se escribe de la siguiente manera en forma factorizada

El valor de la constante ak se conoce como residuo del polo en s = - pk, y se encuentra multiplicando ambos miembros de la ecuación por (s + pk); suponiendo que s = - pk

Como :

Tenemos que :

Ejemplo: Hallar la Transformada Inversa de:

Factorizando el denominador, tenemos que hay dos polos complejos conjugados:

En este caso no conviene expandir en fracciones simples, sino expandirlas en la suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. Podemos considerar la siguiente igualdad:

Por propiedad de transformadas, tenemos que:

Entonces podemos tener la siguiente igualdad:

Teoremas de traslaciónNo es adecuado utilizar la definición cada vez que se quiera calcular una transformada, por ejemplo, la integración por partes involucrada al calculares bastante tediosa. Por esta razón vamos a enunciar algunos teoremas que ahorran trabajo en el cálculo de este tipo de transformadas.

Si conocemos que podemos calcular la transformada de como una traslación, de a como lo enuncia el siguiente teorema.

Primer teorema de traslación:Si es un número real y existe, entonces

Donde

Forma inversa del primer teorema de traslación:

Teorema de la transformada de la derivada

• resolviendo la integral por partes:

• L {f ' ( t ) } = L { f(t) } - f(0) Resultado.• Obtener la transformada de Laplace de f '' (t) .• Haciendo f ' (t) = g(t) ; f '' (t) = g ' (t) ;y g(0)= f ' (0) ; y aplicando el resultado

anteriormenteobtenido de la transformada, para la primera derivada tenemos :

• L { f ' ' (t) } = L { f ' (g) } = s L {g (t)} - g(0) ;• s L { g( t ) } = s L { f ' ( t ) } = s ( - f (0) + s L { f (t) } )• L { f ' ' (t) } = s2 L { f (t) } - s f (0) - f ' (0) Resultado.• Generalizando tenemos:• L { } = sn L { f (t) } - sn-1 f (0) - sn-2 f ' (0) - .... - f n-1 (0)

Función gama• Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1

• Obtener la función gamma de 1: sustituir x=1

• Integrando por partes

• Resultando• Generalizando tenemos que:

• esta es la propiedad mas importante

Aplicando la función gamma obtener la transformada de Laplace de f(t) = tn siendo nun entero no negativo y, t menor igual a 0 ;

• L {tn } = • Si sustuimos

• tenemos que L{ }

Transformada de una derivada• son continuas en [0, oo), son de orden exponencial, y si f (n)(t) es continua

parte por parte en [0, oo), entonces

• Ejemplo• que la suma kt cos kt + sen kt es la derivada de t sen kt. En consecuencia,

• Si las funciones f y g son continuas parte por parte en [0, oo), la convolucion de f y g se representa por f * g y se define con la integral

• Por ejemplo, la convolución de f(t) = et y g(t) = sen t es

• Se deja como ejercicio demostrar que

• Esto es, que f * g = g * f

INTEGRALES Y FUNCIONES PERIODICAS

• Transformada de una derivada Â• Convolucion de dos funciones Â• Teorema de convolucion • Forma inversa del teorema de convolucion • Transformada de una integral Â• Transformada de una función periodica

• Nuestra meta es aplicar la transformada de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. Para ello necesitamos evaluar cantidades como

• • por ejemplo, si f1 es continua para t> 0, al integrar por partes obtenemos• 1

• Para ello hemos supuesto que esta  f(t) à 0 cuando t à oo. De igual forma, la transformada de

• la segunda derivada es

• 2

• De manera analogía se puede demostrar que• 3

• Por los resultados en (1), (2) y (3), se ve que la transformada de Laplace de las derivadas de una funcion f es de naturaleza recursiva. El siguiente teorema determina la transformada de Laplace de la ensima derivada de f.

Sistemas de ecuaciones lineales • Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

• a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · + a1n · xn = b1• a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · + a2n · xn = b2.

• am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · + amn · xn = bm

• En este caso tenemos n ecuaciones y n incognitas.• Los números reales se denominan coeficientes y los xi• se denominan incognitas (o números a determinar) y bien se denominan términos independientes.• En el caso de que las incognitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2• , y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el• sistema.• Resolver el sistema consiste en calcular las incognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones• del sistema simultáneamente.• Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones

Bibliografía • Pagina 1http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node4.html

• Pagina 2http://usuarios.multimania.es/bnunez/Archivos%20propios/Control/Clase3_Laplace_Inversa.pdf

• Pagina 3http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Transformada_inversa_de_Laplace

• Pagina 1[http://html.rincondelvago.com/transformada-de-laplace.html ]

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node4.html]Pagina3[http://www.monografias.com/trabajos17/transformada-laplace/transformada-laplace.shtml]Pagina 4[http://mazinger.sisib.uchile.cl/repositorio/ap/ciencias_quimicas_y_farmaceuticas/apmat4f/07d.html]