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Boletín Matemático Instituto de Investigaciones de Matemática Aplicada de la Facultad de Cs. Económicas y Empresariales

DecanoDr. Jorge Raúl LemosVicedecanoDr. Jorge Emilio SalvelSecretario AcadémicoDr. Osvaldo Luis PerilloSecretaria AdjuntaDra. Amanda Raquel LlistosellaDirector de Estudios y CoordinaciónDr. Ángel Vicente IommiDirectora de Investigaciones y Enseñanza ExperimentalProf. Elvira Venturo Consejeros del Honorable Consejo Académicode la Facultad de Ciencias Económicas y EmpresarialesDr. Miguel Gregorio SkubicDra. Norma Beatríz IrigoyenDr. Raúl Roque OrellanoLic. Luis Antonio LeoDr. Sergio Andrés GhedinDr. Domingo José Mazza Representante de Profesores ante el H. C. S.Dra. Alicia I. de Montagut de Rodriguez Directores de Carrera:Dr. Raúl Roque Orellano (Contador Público)Dr. Miguel Gregorio Skubic (Licenciatura en Administración)Lic. Domingo José Mazza (Licenciatura en Economía)Lic. Carlos Alberto Ferreras (Lic. en Comercialización/Téc. Superior en Comercialización)Lic. Guillermo José Garberi(Lic. en Recursos Humanos/Analista Univ. en Recursos Humanos)Lic. Luis Antonio Leo (Lic. en Relaciones Públicas/Analista Univ. en Relaciones Públicas)Dra. Amanda Raquel Llistosella (Licenciatura en Seguros / Técnico Superior en Seguros)Lic. Marcelo Emilio Mirón(Tecnicatura en Comercialización Minorista)Lic. Germán Avelino Kraus (Licenciatura en Comercio Internacional) Directores de Institutos de Investigación:• Instituto de Investigaciones ContablesDr. Isaac Aizik Senderovich• Instituto de Investigaciones EconómicasDr. Vicente H. Monteverde• Instituto de Investigaciones AdministrativasDr. Jorge Rumbo• Instituto de Investigaciones de Matemática AplicadaIng. Luinor Edelfio Vilches• Instituto de Investigaciones TributariasDr. Juan Ferrari HerreroSubdirector: Dr. Alfredo Destuniano• Instituto de Metodologia Jurídica Aplicada en las Ciencias EconómicasDr. Eduardo Mario Favier Dubois• Instituto de Investigaciones de la Pequeña y Mediana EmpresaDr. Horacio Armando Irigoyen• Instituto de Investigaciones de Humanidades y Ciencias Sociales Aplicadasa las Ciencias Económicas y EmpresarialesProf. Elvira Venturo

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Autoridades de la Facul-tad de Ciencias Económi-cas y Empresariales

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Aplicación práctica al modelo simple de armado de portafolio deinversiónAutor: Dr. Osvaldo Luis Perillo

El procesamiento matemático cerebralAutor: Dr. Claudio O. Cervino

Programación meta secuencial interactiva. Problema deaplicaciónAutor: Ing. Luinor E. Vilches

Análisis factorial simple aplicado a la caracterizaciónde la problemática de la formación docenteAutores: Profesores: Andrea Lavalle y Lisandro Curia

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Instituto de Investigaciones de Matemática Aplicada de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UM

BOLETÍN MATEMÁTICO ÍNDICE

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LOS CONTENIDOS DE LOS NÚMEROS 1 A 13 DE ESTEBOLETÍN ESTÁN INSTALADOS EN LA PÁGINA WEB DE LAUNIVERSIDAD DE MORÓN:

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(*) Profesor TitularInterino de Mercado deCapitales y de EconomíaMonetaria; SecretarioAcadémico de la Facultadde Ciencias Económicas yEmpresariales de laUniversidad de Morón

APLICACIÓN PRÁCTICA ALMODELO SIMPLE DE ARMADODE PORTAFOLIO DE INVERSIÓN

Por el Dr. Osvaldo Luis Perillo (*)

En un artículo anterior titulado Modelo Simple deArmado de Portafolio de Inversión1 , concluíamos con laecuación que se expone más abajo, donde los subíndicesde las varianzas y covarianzas de la matriz del primer términoindican los números que denominan a los activos queconforman la cartera riesgosa. Los valores indicados comoZ

i representan los volúmenes óptimos relativos de los

distintos activos, con los que se minimiza el riesgo delportafolio, dados los rendimientos esperados (Ri) y la tasade interés libre de riesgo (Rf).

Se explicó en ese artículo que “resolviendo los valoresde Zi tendremos las proporciones de nuestra cartera óptima.Los economistas estamos habituados a utilizar la regla deCramer, pero el Excel permite multiplicar e invertir matrices,con lo cual se evitan los tediosos cálculos que, cuando elnúmero de acciones es elevado, se tornan muy dificultosos.

Lo que hemos visto es la complejidad matemáticadel problema planteado. Los pasos a seguir serían:

a) Elegir un conjunto de acciones o activos riesgososque tengan oferta pública, es decir coticen en Bolsa.

b) Obtener la serie de precios y sacar con los mismoslas variaciones porcentuales de cada período, quepuede ser diario. Podemos calcular con esa serie eldesvío estándar poblacional de cada activo y lascovarianzas entre los mismos.

fN

f

f

NNNN

N

N

RR

RRRR

Z

ZZ

2

1

2

1

221

22221

11221

*

(1)

(1) Boletín Matemático Nº 12, octubrede 2006.

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c) Estimar los rendimientos esperados de cada activoen función de los balances, expectativas, etc. y latasa de interés libre de riesgo.

d) Determinar los valores de Z mediante cualquiera delos métodos conocidos. La suma de las Z se puedeproporcionalizar a 100 para obtener los porcentajesde participación X. Algunos valores pueden sernegativos, lo que significa que hay que tomar unaposición vendedora (short sale). Las posicionesvendedoras se arman tomando un activo prestado,vendiéndolo y esperando que baje el precio pararecomprarlo y, posteriormente, devolverlo. Ennuestro país no es muy usual efectuar esta operación.

El portafolio riesgoso, finalmente, puede ser combinadolinealmente con el activo libre de riesgo cuya tasa utilizamosmás arriba. Los amantes del riesgo elegirán 100 % el portafolioriesgoso y los adversos al riesgo el 100 % del activo libre deriesgo. El resto de los mortales encontrará una combinación quesatisfaga sus preferencias.

Seguidamente, trataremos de ejemplificar lo expuestocon un caso práctico.

1) En primer lugar elegimos aquellas acciones que por su impor-tancia en el Índice Merval tienen una mayor participación, lo querepresenta mayor liquidez. Tomamos solamente las seis prime-ras para simplificar el ejemplo.

2) Tomando los precios diarios de las acciones durante el añofinalizado el 24 de agosto de 2007 (ver Anexo2), se obtienen lossiguientes rendimientos porcentuales:

% sobre Merval 1 TS 16.55 Tenaris 2 PAMP 14.58 Pampa Holding 3 GGAL 11,27 Grupo Fin. Galicia 4 BMA 7,96 Banco Macro 5 PBE 6.53 Petrobras Energy 6 ACIN 5.65 Acindar

TS PAMP GGAL PBE BMA ACIN

32.00

110.70

40.00

(12.58)

45.38

(9.73)

(2) En el ANEXO, la primera seriede valores corresponde a los preciosde las acciones corregidos por pagode di-videndos, provista por el ser-vic io Bolsar Profes iona l(www.bolsar.com), de la Bolsa deComercio de Buenos Aires. Lasegunda serie es de losrendimientos diarios, calculadossobre la base de los precios de laserie anterior.

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Y la siguiente matriz de varianzas y covarianzas:

El último dato que necesitamos es la tasa libre de riesgo,que la estimamos en el 5 %.

3) Para resolver los valores de Zi, tenemos en cuentaque si llamamos:

Si es A-1 la matriz inversa de A , premultiplicando la ecuación(2) por A-1 se obtiene:

De modo que debemos invertir la matriz A de varianzasy covarianzas y multiplicar la matriz A-1 resultante por la matrizcolumna R de los retornos excedentes por sobre la tasa libre deriesgo, que está en el segundo miembro de la ecuación original(1). La inversión de una matriz es un procedimiento muy laborio-so, pero se puede calcular con facilidad utilizando una planilla decálculo electrónica.


TS 3.81

1.64

1.63

1.66

1.66

1.22

PAMP 1.64

4.76

1.92

1.73

1.81

1.10

GGAL 1.63

1.92

3.66

1.90

2.28

1.48

PBE 1.66

1.73

1.90

2.81

1.88

1.14

BMA 1.66

1.81

2.28

1.88

4.04

1.21

ACIN 1.22

1.10

1.48

1.14

1.21

1.88

1 1A A Z A R

1A A I es la matriz unitaria del mismo orden que A,

por lo que

1I Z Z A R (3)

por lo que

la ecuación (1) se puede escribir:

A =

21 12 1

221 2 2

21 2

...

...... ... ... ...

...

N

N

N N N

; Z =

1

2

...

N

ZZ

Z

; R =

1

2

....

f

f

N f

R R

R R

R R

A * Z = R (2)

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La matriz inversa es la siguiente:

Seguidamente, debemos calcular los rendimientosexcedentes sobre la tasa libre de riesgo; esto es, a los rendimientosRi de la primera columna de la tabla siguiente le debemos restarRf (el 5 % anual, en este caso), obteniendo la matriz columna R.De la multiplicación de la matriz inversa anterior por la matrizcolumna R recientemente calculada se obtiene la matriz columnaZ. A partir de la misma se obtienen los porcentajes de posicionesa comprar o vender, proporcionando la suma de los Z a un valor100, con lo que se obtiene la matriz columna X.

4) El resultado obtenido nos indica que debemos inver-tir $ 100, vender posiciones de PBE por $ 83,275 y de ACINpor $ 64,200. Estas operaciones nos reportan un total de


TS 0.3974 -0.0426 -0.017 -

0.1212 -0.043 -

0.117

PAMP -0.043 0.29921 -0.064 -

0.0835 -0.034 -

0.024

GGAL -0.017 -0.0639 0.5764 -

0.1471 -0.157 -

0.216

PBE -0.121 -0.0835 -0.147 0.7056 -0.128 -

0.102

BMA -0.043 -0.034 -0.157 -

0.1281 0.4384 -

0.032

ACIN -0.117 -0.0244 -0.216 -

0.1022 -0.032 0.873

Rendim.

R

R= fR R =Rend. –TasaLRiesgo Z X

TS 32.00 27.00 7.75 19,375

PAMP 110.70 105.70 28.70 71,750

GGAL 40.00 35.00 12.39 30,975

PBE (12.58) (17.58) (33.31) (83,275)

BMA 45.38 40.38 10.19 25,475

ACIN (9.73) (14.73) (25.68) (64,200)

Suma 0.04 100

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$ 147,575. Con esa suma se compran acciones de TS por$ 19,375, PAMP por $ 71,750, GGAL por $ 30,975 y BMA por$ 25,475. Recordemos que se toman posiciones vendidas ha-ciendo ventas en corto, esto es, tomando prestadas las accio-nes, vendiéndolas, para efectuar la recompra a precios más ba-jos. La cartera armada de esta forma minimiza el riesgo y tieneun rendimiento que va a ser el promedio de los rendimientos desus componentes; de esta forma se aumenta el excedente deretorno por unidad de riesgo. Como ya hemos dicho, ese exce-dente es igual a la diferencia entre el rendimiento total y la tasalibre de riesgo. Podemos concluir considerando que el objetivodel armado de portafolios de inversión es maximizar la retribu-ción por riesgo (excedente de retorno) atribuida a cada unidaddel mismo.

NOTA IMPORTANTE: El presente ejemplo adolece de la restricciónde limitar los componentes para el análisis por lo que debe considerarseexclusivamente con fines didácticos, no representando una opiniónde compra o venta de los activos involucrados.

BIBLIOGRAFÍA

MARKOWITZ, Harry: Portfolio Selection, The Journal of Finance,Vol. 7. N°1, pág. 77-91, Nueva York, Marzo1952.

ELTON, Edwin J. y GRUBER, Martín J. : Modern Portfolio Theoryand Investment Analysis, Fourth Edition, Nueva York, John Wiley &Sons Inc., 1991.

REALLY, Frank K. y BROWN, Keith C.: Investment Analysis andPortfolio Management, Fifth Edition, Dryden, 1997.

ALEXANDER, Gordon J., SHARPE, Gordon J. y Bailey, Jeffrey V.:Fundamentos de Inversiones. Teoría y Práctica, 3ra. Edición. México,Prentice Hall Pearson Education, 2003.

ALEXANDER, Gordon J. y SHARPE, William F.: Investment, FourthEdition, Nueva York, Prentice-Hall International Editions,1990.

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FISCHER, Donald E. y JORDAN, Ronald J.: Security Analysis andPortfolio Management, Nueva York, Prentice-Hall International Editions,1991.

BODIE, Zvi, MERTON, Robert C, y VINITZKY, Guillermo: Finanzas yGestión, Primera Edición, México, Pearson Educación , 2006.

BREALEY, Richard A. y MYERS, Steward C.: Principios de FinanzasCorporativas. Quinta Edición, México, McGraw Hill, 1998.

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A N E X OA N E X O

Empresa % Merval1 TS 16,55 Tenaris2 PAMP 14,58 Pampa Holding3 GGAL 11,27 Grupo Fin. Galicia4 BMA 7,96 Banco Macro5 PBE 6,53 Petrobras Energy6 ACIN 5,65 Acindar

TS PAMP GGAL PBE BMA ACINFecha Cierre Cierre Cierre Cierre Cierre Cierre

28/08/2006 57,274 1,215 1,900 3,260 6,225 4,52029/08/2006 57,225 1,177 1,890 3,270 6,255 4,56830/08/2006 56,286 1,158 1,880 3,250 6,176 4,58731/08/2006 55,941 1,196 1,880 3,240 6,166 4,58701/09/2006 57,373 1,196 1,870 3,280 6,156 4,58704/09/2006 57,274 1,177 1,870 3,300 6,206 4,59705/09/2006 57,422 1,205 1,890 3,330 6,147 4,57806/09/2006 56,040 1,177 1,870 3,240 6,107 4,56807/09/2006 55,793 1,184 1,900 3,230 6,018 4,53908/09/2006 54,756 1,164 1,920 3,180 6,087 4,47311/09/2006 52,337 1,164 1,890 3,120 6,008 4,37712/09/2006 53,916 1,174 1,920 3,120 6,008 4,38713/09/2006 55,101 1,164 1,980 3,130 5,999 4,47314/09/2006 54,509 1,174 2,020 3,130 6,018 4,50115/09/2006 53,472 1,174 2,050 3,120 6,117 4,49218/09/2006 55,052 1,174 2,090 3,250 6,176 4,52019/09/2006 54,756 1,194 2,080 3,190 6,176 4,47320/09/2006 54,855 1,234 2,100 3,170 6,304 4,48221/09/2006 55,003 1,234 2,070 3,140 6,176 4,41522/09/2006 54,410 1,234 2,040 3,130 6,196 4,41525/09/2006 53,275 1,204 2,010 3,090 6,166 4,32026/09/2006 54,213 1,214 2,070 3,110 6,265 4,37727/09/2006 54,608 1,214 2,070 3,130 6,383 4,36728/09/2006 54,904 1,273 2,050 3,140 6,462 4,38729/09/2006 54,213 1,273 2,010 3,130 6,541 4,36702/10/2006 55,003 1,283 2,030 3,110 6,561 4,35803/10/2006 52,929 1,263 2,060 3,110 6,640 4,30104/10/2006 53,324 1,263 2,090 3,120 6,827 4,33905/10/2006 53,867 1,263 2,100 3,160 6,956 4,32906/10/2006 53,324 1,254 2,120 3,130 6,906 4,33909/10/2006 53,818 1,244 2,160 3,140 6,906 4,33910/10/2006 53,373 1,234 2,160 3,140 6,867 4,33911/10/2006 52,337 1,234 2,140 3,110 6,896 4,36712/10/2006 53,324 1,224 2,150 3,140 6,906 4,406

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13/10/2006 54,065 1,244 2,160 3,170 6,906 4,44417/10/2006 55,200 1,244 2,190 3,150 6,827 4,39618/10/2006 56,484 1,254 2,170 3,160 6,867 4,42519/10/2006 57,274 1,244 2,160 3,150 6,847 4,45320/10/2006 57,175 1,244 2,180 3,140 6,758 4,43423/10/2006 56,385 1,254 2,240 3,180 6,808 4,44424/10/2006 57,274 1,273 2,280 3,230 6,946 4,48225/10/2006 59,446 1,323 2,330 3,320 6,995 4,53926/10/2006 59,150 1,343 2,420 3,350 6,965 4,56827/10/2006 59,496 1,313 2,420 3,330 6,956 4,65430/10/2006 58,755 1,303 2,390 3,350 6,808 4,64531/10/2006 58,903 1,333 2,410 3,400 6,847 4,67301/11/2006 59,051 1,393 2,420 3,500 6,936 4,66402/11/2006 61,866 1,443 2,410 3,440 6,906 4,70203/11/2006 62,508 1,393 2,450 3,490 7,015 4,72107/11/2006 63,396 1,413 2,410 3,390 7,054 4,61608/11/2006 65,470 1,393 2,420 3,470 7,311 4,55909/11/2006 66,852 1,363 2,440 3,450 7,360 4,61610/11/2006 66,754 1,403 2,390 3,430 7,340 4,52013/11/2006 67,050 1,383 2,380 3,410 7,449 4,53914/11/2006 66,951 1,423 2,420 3,470 7,597 4,65415/11/2006 66,754 1,443 2,410 3,530 7,626 4,64516/11/2006 65,371 1,443 2,410 3,480 7,656 4,59717/11/2006 64,976 1,452 2,410 3,490 7,705 4,60620/11/2006 65,371 1,452 2,400 3,470 7,834 4,66421/11/2006 67,741 1,462 2,380 3,470 7,844 4,64522/11/2006 69,321 1,452 2,380 3,450 8,070 4,66423/11/2006 68,827 1,482 2,380 3,440 8,080 4,64524/11/2006 69,617 1,542 2,410 3,420 8,051 4,63527/11/2006 67,247 1,482 2,340 3,330 8,061 4,52028/11/2006 68,334 1,552 2,350 3,330 8,070 4,53929/11/2006 70,309 1,612 2,420 3,420 8,317 4,58730/11/2006 70,407 1,681 2,450 3,390 8,386 4,55901/12/2006 68,432 1,661 2,410 3,330 8,386 4,53904/12/2006 69,617 1,761 2,450 3,410 8,524 4,47305/12/2006 70,111 1,781 2,530 3,420 8,682 4,50106/12/2006 69,222 1,761 2,580 3,420 8,791 4,53007/12/2006 68,531 1,811 2,550 3,430 8,791 4,53911/12/2006 68,581 1,910 2,550 3,360 8,820 4,53912/12/2006 68,581 1,970 2,560 3,330 8,791 4,46313/12/2006 73,172 2,069 2,580 3,380 8,879 4,52014/12/2006 73,518 2,059 2,570 3,370 8,929 4,48215/12/2006 74,654 2,059 2,610 3,370 9,156 4,45318/12/2006 72,777 2,099 2,670 3,380 9,264 4,453

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19/12/2006 74,456 2,099 2,690 3,330 8,958 4,42520/12/2006 74,061 2,109 2,690 3,360 8,840 4,39621/12/2006 74,160 2,119 2,680 3,360 9,067 4,45322/12/2006 73,666 2,109 2,680 3,380 8,998 4,53926/12/2006 73,074 2,179 2,770 3,360 8,879 4,55927/12/2006 73,962 2,189 2,820 3,420 8,929 4,63528/12/2006 73,074 2,288 2,860 3,510 8,929 4,60602/01/2007 75,147 2,388 2,870 3,700 9,235 4,66403/01/2007 72,580 2,298 2,840 3,650 9,373 4,54904/01/2007 70,407 2,338 2,790 3,580 9,452 4,54905/01/2007 70,605 2,318 2,800 3,510 9,402 4,52008/01/2007 71,148 2,417 2,810 3,490 9,402 4,48209/01/2007 69,222 2,358 2,690 3,410 8,998 4,40610/01/2007 72,679 2,368 2,710 3,390 8,879 4,46311/01/2007 71,592 2,338 2,760 3,400 8,949 4,39612/01/2007 74,654 2,298 2,790 3,390 9,047 4,32915/01/2007 74,654 2,308 2,800 3,420 9,175 4,44416/01/2007 71,889 2,278 2,900 3,390 9,402 4,42517/01/2007 70,753 2,258 2,900 3,420 9,392 4,37718/01/2007 69,321 2,209 2,840 3,350 9,383 4,34819/01/2007 71,000 2,219 2,830 3,390 9,274 4,38722/01/2007 70,111 2,278 2,820 3,410 9,462 4,42523/01/2007 72,086 2,248 2,830 3,360 9,471 4,36724/01/2007 71,691 2,398 2,800 3,420 9,570 4,32025/01/2007 69,617 2,318 2,740 3,420 9,767 4,24326/01/2007 70,111 2,310 2,690 3,400 9,915 4,25329/01/2007 69,815 2,250 2,710 3,340 9,915 4,22430/01/2007 71,197 2,250 2,750 3,410 9,866 4,28131/01/2007 71,741 2,250 2,760 3,450 10,014 4,32001/02/2007 71,592 2,340 2,790 3,450 10,113 4,30102/02/2007 71,000 2,320 2,820 3,430 10,162 4,26205/02/2007 70,309 2,300 2,830 3,380 10,261 4,23406/02/2007 71,494 2,270 2,880 3,390 10,754 4,25307/02/2007 71,741 2,260 2,910 3,390 10,902 4,22408/02/2007 71,691 2,300 2,920 3,400 10,902 4,20509/02/2007 71,296 2,350 2,880 3,400 10,853 4,17612/02/2007 71,395 2,390 2,870 3,350 11,198 4,10013/02/2007 71,395 2,340 2,880 3,360 11,346 4,19514/02/2007 71,790 2,340 2,950 3,340 11,543 4,19515/02/2007 71,099 2,320 3,010 3,360 11,691 4,15716/02/2007 71,099 2,340 3,200 3,310 11,543 4,16719/02/2007 71,197 2,450 3,330 3,360 11,987 4,37720/02/2007 71,000 2,520 3,370 3,360 11,642 4,52021/02/2007 70,654 2,520 3,350 3,420 11,593 4,415

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22/02/2007 71,099 2,560 3,300 3,420 11,445 4,42523/02/2007 71,889 2,570 3,320 3,350 11,346 4,38726/02/2007 73,074 2,620 3,370 3,400 11,395 4,30127/02/2007 67,445 2,410 3,110 3,190 10,310 4,01428/02/2007 69,222 2,440 3,100 3,200 10,113 4,05201/03/2007 68,432 2,350 3,080 3,150 10,113 4,05202/03/2007 67,445 2,330 2,960 3,090 9,758 3,97605/03/2007 66,161 2,210 2,860 3,020 9,323 3,94706/03/2007 68,136 2,280 2,960 3,080 9,866 3,99507/03/2007 67,889 2,280 2,920 3,070 9,797 3,98508/03/2007 67,494 2,360 3,000 3,150 10,211 4,02309/03/2007 66,951 2,380 3,020 3,120 10,359 4,06212/03/2007 66,852 2,370 3,060 3,190 10,705 4,16713/03/2007 63,693 2,270 2,930 3,100 10,359 4,04314/03/2007 64,384 2,320 2,940 3,130 10,261 4,03315/03/2007 63,693 2,310 2,930 3,130 10,557 3,99516/03/2007 62,903 2,300 2,910 3,080 10,310 4,01419/03/2007 65,124 2,360 2,960 3,140 10,754 4,01420/03/2007 64,483 2,360 3,040 3,140 10,902 4,01421/03/2007 67,050 2,390 3,080 3,180 11,198 4,01422/03/2007 66,063 2,380 3,100 3,180 11,149 3,95723/03/2007 66,951 2,380 3,180 3,150 10,951 3,97626/03/2007 67,050 2,390 3,200 3,150 10,705 3,91827/03/2007 66,852 2,350 3,170 3,140 10,409 3,89928/03/2007 69,617 2,340 3,120 3,140 10,261 3,89029/03/2007 70,704 2,400 3,170 3,180 10,409 3,88030/03/2007 69,222 2,410 3,240 3,160 10,359 3,94703/04/2007 70,062 2,420 3,270 3,150 10,507 3,92804/04/2007 70,457 2,450 3,310 3,140 10,655 3,92809/04/2007 70,111 2,470 3,290 3,160 10,705 3,93710/04/2007 71,543 2,510 3,290 3,290 10,853 3,94711/04/2007 70,605 2,600 3,240 3,300 10,902 4,01412/04/2007 72,136 2,650 3,280 3,290 10,902 4,12913/04/2007 72,925 2,730 3,290 3,300 11,099 4,24316/04/2007 72,975 2,710 3,340 3,360 11,198 4,29117/04/2007 72,432 2,670 3,270 3,370 11,050 4,16018/04/2007 71,839 2,740 3,300 3,390 11,149 4,20019/04/2007 71,000 2,810 3,260 3,350 11,001 4,20020/04/2007 71,592 2,880 3,320 3,320 11,198 4,16023/04/2007 71,099 2,740 3,310 3,290 11,099 4,19024/04/2007 70,358 2,750 3,240 3,320 11,149 4,16025/04/2007 71,197 2,800 3,240 3,270 11,149 4,12026/04/2007 70,309 2,830 3,260 3,270 11,050 4,13027/04/2007 71,296 2,850 3,270 3,270 11,050 4,110

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30/04/2007 69,815 2,780 3,200 3,220 10,853 4,07002/05/2007 69,716 2,740 3,200 3,240 11,050 4,05003/05/2007 71,395 2,710 3,190 3,210 11,297 4,09004/05/2007 71,691 2,680 3,140 3,210 11,247 4,06007/05/2007 67,889 2,680 3,140 3,230 11,099 4,04008/05/2007 66,704 2,760 3,130 3,230 11,050 4,06009/05/2007 67,642 2,790 3,160 3,280 11,001 4,13010/05/2007 66,161 2,740 3,010 3,190 10,557 4,05011/05/2007 68,136 2,720 3,030 3,260 10,853 4,12014/05/2007 67,247 2,670 3,080 3,250 10,655 4,30015/05/2007 68,136 2,670 3,130 3,220 10,606 4,40016/05/2007 68,383 2,670 3,240 3,260 10,853 4,38017/05/2007 68,926 2,660 3,250 3,290 10,853 4,36018/05/2007 69,815 2,700 3,270 3,310 11,050 4,33021/05/2007 70,802 2,730 3,270 3,310 11,500 4,29022/05/2007 70,407 2,710 3,230 3,290 11,300 4,28023/05/2007 71,395 2,690 3,210 3,300 11,150 4,26024/05/2007 69,716 2,680 3,200 3,260 10,950 4,26028/05/2007 71,099 2,670 3,200 3,280 11,050 4,28029/05/2007 71,494 2,700 3,180 3,330 10,950 4,30030/05/2007 72,086 2,670 3,270 3,360 10,950 4,35031/05/2007 74,160 2,630 3,270 3,480 10,950 4,38001/06/2007 74,555 2,620 3,270 3,520 10,900 4,46004/06/2007 74,851 2,610 3,230 3,510 10,650 4,47005/06/2007 74,654 2,630 3,200 3,510 10,650 4,44006/06/2007 73,074 2,650 3,160 3,440 10,400 4,35007/06/2007 71,099 2,590 3,060 3,370 10,150 4,30008/06/2007 70,901 2,650 3,060 3,400 10,050 4,32011/06/2007 71,247 2,620 3,030 3,400 10,000 4,32012/06/2007 70,111 2,590 3,040 3,370 10,050 4,34013/06/2007 71,346 2,600 3,090 3,420 10,200 4,34014/06/2007 72,728 2,640 3,090 3,420 10,450 4,39015/06/2007 73,400 2,680 3,120 3,410 10,700 4,39019/06/2007 74,150 2,780 3,120 3,430 10,550 4,40020/06/2007 73,050 2,790 3,070 3,410 10,550 4,39021/06/2007 74,200 2,830 3,080 3,420 10,400 4,38022/06/2007 73,750 2,830 3,090 3,390 10,300 4,32025/06/2007 73,400 2,780 3,030 3,400 10,150 4,24026/06/2007 73,650 2,760 3,030 3,370 10,200 4,21027/06/2007 75,150 2,800 3,060 3,420 10,500 4,28028/06/2007 75,000 2,770 3,050 3,420 10,250 4,22029/06/2007 74,000 2,770 2,980 3,370 10,050 4,19002/07/2007 76,650 2,790 3,030 3,520 10,400 4,30003/07/2007 75,900 2,770 3,060 3,520 10,300 4,300

_____18_____


04/07/2007 76,150 2,820 3,080 3,530 10,350 4,29005/07/2007 77,100 2,830 3,000 3,600 10,400 4,20006/07/2007 79,000 2,790 3,000 3,690 10,200 4,23010/07/2007 79,450 2,820 2,980 3,640 10,450 4,23011/07/2007 81,500 2,850 2,970 3,620 10,550 4,20012/07/2007 81,950 2,920 3,030 3,660 10,500 4,19013/07/2007 80,100 2,990 3,050 3,630 10,400 4,16016/07/2007 77,900 2,960 3,000 3,540 10,100 4,11017/07/2007 76,900 2,990 3,000 3,540 10,150 4,12018/07/2007 78,400 2,970 2,980 3,500 10,050 4,15019/07/2007 78,750 3,010 3,060 3,600 9,980 4,19020/07/2007 77,300 2,980 3,040 3,550 9,990 4,15023/07/2007 78,800 3,010 3,110 3,560 10,050 4,18024/07/2007 76,900 2,920 3,010 3,440 9,930 4,15025/07/2007 77,200 2,900 2,970 3,490 9,900 4,14026/07/2007 75,900 2,750 2,850 3,360 9,250 4,07027/07/2007 76,900 2,740 2,830 3,330 8,940 4,07030/07/2007 77,300 2,810 2,870 3,380 9,000 4,10031/07/2007 77,100 2,780 2,850 3,420 9,140 4,08001/08/2007 76,850 2,780 2,840 3,390 9,100 4,08002/08/2007 75,500 2,800 2,860 3,350 9,280 4,09003/08/2007 74,600 2,720 2,840 3,380 9,150 4,05006/08/2007 74,000 2,700 2,710 3,260 9,100 4,05007/08/2007 76,450 2,670 2,750 3,230 9,000 4,09008/08/2007 79,850 2,690 2,780 3,230 9,220 4,16009/08/2007 78,050 2,580 2,610 3,000 9,150 4,05010/08/2007 77,500 2,530 2,540 2,990 9,000 3,97013/08/2007 76,700 2,560 2,580 3,010 8,850 4,03014/08/2007 75,500 2,510 2,560 2,930 8,780 4,05015/08/2007 73,000 2,340 2,350 2,740 8,100 3,89016/08/2007 68,700 2,280 2,250 2,610 7,590 3,70017/08/2007 70,500 2,360 2,400 2,790 8,120 3,79021/08/2007 71,850 2,380 2,510 2,850 8,490 3,80022/08/2007 73,600 2,390 2,590 2,810 8,750 3,86023/08/2007 74,700 2,490 2,590 2,800 8,800 3,94024/08/2007 75,600 2,560 2,660 2,850 9,050 4,080

TS PAMP GGAL PBE BMA ACINFecha

28/08/200629/08/2006 (0,09) (3,13) (0,53) 0,31 0,48 1,06 30/08/2006 (1,64) (1,61) (0,53) (0,61) (1,26) 0,42 31/08/2006 (0,61) 3,28 - (0,31) (0,16) - 01/09/2006 2,56 - (0,53) 1,23 (0,16) - 04/09/2006 (0,17) (1,59) - 0,61 0,81 0,22

_____19_____

05/09/2006 0,26 2,38 1,07 0,91 (0,95) (0,41) 06/09/2006 (2,41) (2,32) (1,06) (2,70) (0,65) (0,22) 07/09/2006 (0,44) 0,59 1,60 (0,31) (1,46) (0,63) 08/09/2006 (1,86) (1,69) 1,05 (1,55) 1,15 (1,45) 11/09/2006 (4,42) - (1,56) (1,89) (1,30) (2,15) 12/09/2006 3,02 0,86 1,59 - - 0,23 13/09/2006 2,20 (0,85) 3,13 0,32 (0,15) 1,96 14/09/2006 (1,07) 0,86 2,02 - 0,32 0,63 15/09/2006 (1,90) - 1,49 (0,32) 1,65 (0,20) 18/09/2006 2,95 - 1,95 4,17 0,96 0,62 19/09/2006 (0,54) 1,70 (0,48) (1,85) - (1,04) 20/09/2006 0,18 3,35 0,96 (0,63) 2,07 0,20 21/09/2006 0,27 - (1,43) (0,95) (2,03) (1,49) 22/09/2006 (1,08) - (1,45) (0,32) 0,32 - 25/09/2006 (2,09) (2,43) (1,47) (1,28) (0,48) (2,15) 26/09/2006 1,76 0,83 2,99 0,65 1,61 1,32 27/09/2006 0,73 - - 0,64 1,88 (0,23) 28/09/2006 0,54 4,86 (0,97) 0,32 1,24 0,46 29/09/2006 (1,26) - (1,95) (0,32) 1,22 (0,46) 02/10/2006 1,46 0,79 1,00 (0,64) 0,31 (0,21) 03/10/2006 (3,77) (1,56) 1,48 - 1,20 (1,31) 04/10/2006 0,75 - 1,46 0,32 2,82 0,88 05/10/2006 1,02 - 0,48 1,28 1,89 (0,23) 06/10/2006 (1,01) (0,71) 0,95 (0,95) (0,72) 0,23 09/10/2006 0,93 (0,80) 1,89 0,32 - - 10/10/2006 (0,83) (0,80) - - (0,56) - 11/10/2006 (1,94) - (0,93) (0,96) 0,42 0,65 12/10/2006 1,89 (0,81) 0,47 0,96 0,15 0,89 13/10/2006 1,39 1,63 0,47 0,96 - 0,86 17/10/2006 2,10 - 1,39 (0,63) (1,14) (1,08) 18/10/2006 2,33 0,80 (0,91) 0,32 0,59 0,66 19/10/2006 1,40 (0,80) (0,46) (0,32) (0,29) 0,63 20/10/2006 (0,17) - 0,93 (0,32) (1,30) (0,43) 23/10/2006 (1,38) 0,80 2,75 1,27 0,74 0,23 24/10/2006 1,58 1,52 1,79 1,57 2,03 0,86 25/10/2006 3,79 3,93 2,19 2,79 0,71 1,27 26/10/2006 (0,50) 1,51 3,86 0,90 (0,43) 0,64 27/10/2006 0,58 (2,23) - (0,60) (0,13) 1,88 30/10/2006 (1,25) (0,76) (1,24) 0,60 (2,13) (0,19) 31/10/2006 0,25 2,30 0,84 1,49 0,57 0,60 01/11/2006 0,25 4,50 0,41 2,94 1,30 (0,19) 02/11/2006 4,77 3,59 (0,41) (1,71) (0,43) 0,81 03/11/2006 1,04 (3,47) 1,66 1,45 1,58 0,40 07/11/2006 1,42 1,44 (1,63) (2,87) 0,56 (2,22)

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08/11/2006 3,27 (1,42) 0,41 2,36 3,64 (1,23) 09/11/2006 2,11 (2,15) 0,83 (0,58) 0,67 1,25 10/11/2006 (0,15) 2,93 (2,05) (0,58) (0,27) (2,08) 13/11/2006 0,44 (1,43) (0,42) (0,58) 1,49 0,42 14/11/2006 (0,15) 2,89 1,68 1,76 1,99 2,53 15/11/2006 (0,29) 1,41 (0,41) 1,73 0,38 (0,19) 16/11/2006 (2,07) - - (1,42) 0,39 (1,03) 17/11/2006 (0,60) 0,62 - 0,29 0,64 0,20 20/11/2006 0,61 - (0,41) (0,57) 1,67 1,26 21/11/2006 3,63 0,69 (0,83) - 0,13 (0,41) 22/11/2006 2,33 (0,68) - (0,58) 2,88 0,41 23/11/2006 (0,71) 2,07 - (0,29) 0,12 (0,41) 24/11/2006 1,15 4,05 1,26 (0,58) (0,36) (0,22) 27/11/2006 (3,40) (3,89) (2,90) (2,63) 0,12 (2,48) 28/11/2006 1,62 4,72 0,43 - 0,11 0,42 29/11/2006 2,89 3,87 2,98 2,70 3,06 1,06 30/11/2006 0,14 4,28 1,24 (0,88) 0,83 (0,61) 01/12/2006 (2,81) (1,19) (1,63) (1,77) - (0,44) 04/12/2006 1,73 6,02 1,66 2,40 1,65 (1,45) 05/12/2006 0,71 1,14 3,27 0,29 1,85 0,63 06/12/2006 (1,27) (1,12) 1,98 - 1,26 0,64 07/12/2006 (1,00) 2,84 (1,16) 0,29 - 0,20 11/12/2006 0,07 5,47 - (2,04) 0,33 - 12/12/2006 - 3,14 0,39 (0,89) (0,33) (1,67) 13/12/2006 6,69 5,03 0,78 1,50 1,00 1,28 14/12/2006 0,47 (0,48) (0,39) (0,30) 0,56 (0,84) 15/12/2006 1,55 - 1,56 - 2,54 (0,65) 18/12/2006 (2,51) 1,94 2,30 0,30 1,18 - 19/12/2006 2,31 - 0,75 (1,48) (3,30) (0,63) 20/12/2006 (0,53) 0,48 - 0,90 (1,32) (0,66) 21/12/2006 0,13 0,47 (0,37) - 2,57 1,30 22/12/2006 (0,67) (0,47) - 0,60 (0,76) 1,93 26/12/2006 (0,80) 3,32 3,36 (0,59) (1,32) 0,44 27/12/2006 1,22 0,46 1,81 1,79 0,56 1,67 28/12/2006 (1,20) 4,52 1,42 2,63 - (0,63) 02/01/2007 2,84 4,37 0,35 5,41 3,43 1,26 03/01/2007 (3,42) (3,77) (1,05) (1,35) 1,49 (2,47) 04/01/2007 (2,99) 1,74 (1,76) (1,92) 0,84 - 05/01/2007 0,28 (0,86) 0,36 (1,96) (0,53) (0,64) 08/01/2007 0,77 4,27 0,36 (0,57) - (0,84) 09/01/2007 (2,71) (2,44) (4,27) (2,29) (4,30) (1,70) 10/01/2007 4,99 0,42 0,74 (0,59) (1,32) 1,29 11/01/2007 (1,50) (1,27) 1,85 0,29 0,79 (1,50) 12/01/2007 4,28 (1,71) 1,09 (0,29) 1,10 (1,52)

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15/01/2007 - 0,44 0,36 0,88 1,41 2,66 16/01/2007 (3,70) (1,30) 3,57 (0,88) 2,47 (0,43) 17/01/2007 (1,58) (0,88) - 0,88 (0,11) (1,08) 18/01/2007 (2,02) (2,17) (2,07) (2,05) (0,10) (0,66) 19/01/2007 2,42 0,45 (0,35) 1,19 (1,16) 0,90 22/01/2007 (1,25) 2,66 (0,35) 0,59 2,03 0,87 23/01/2007 2,82 (1,32) 0,35 (1,47) 0,10 (1,31) 24/01/2007 (0,55) 6,67 (1,06) 1,79 1,05 (1,08) 25/01/2007 (2,89) (3,34) (2,14) - 2,06 (1,78) 26/01/2007 0,71 (0,35) (1,82) (0,58) 1,52 0,24 29/01/2007 (0,42) (2,60) 0,74 (1,76) - (0,68) 30/01/2007 1,98 - 1,48 2,10 (0,49) 1,35 31/01/2007 0,76 - 0,36 1,17 1,50 0,91 01/02/2007 (0,21) 4,00 1,09 - 0,99 (0,44) 02/02/2007 (0,83) (0,85) 1,08 (0,58) 0,48 (0,91) 05/02/2007 (0,97) (0,86) 0,35 (1,46) 0,97 (0,66) 06/02/2007 1,69 (1,30) 1,77 0,30 4,80 0,45 07/02/2007 0,35 (0,44) 1,04 - 1,38 (0,68) 08/02/2007 (0,07) 1,77 0,34 0,29 - (0,45) 09/02/2007 (0,55) 2,17 (1,37) - (0,45) (0,69) 12/02/2007 0,14 1,70 (0,35) (1,47) 3,18 (1,82) 13/02/2007 - (2,09) 0,35 0,30 1,32 2,32 14/02/2007 0,55 - 2,43 (0,60) 1,74 - 15/02/2007 (0,96) (0,85) 2,03 0,60 1,28 (0,91) 16/02/2007 - 0,86 6,31 (1,49) (1,27) 0,24 19/02/2007 0,14 4,70 4,06 1,51 3,85 5,04 20/02/2007 (0,28) 2,86 1,20 - (2,88) 3,27 21/02/2007 (0,49) - (0,59) 1,79 (0,42) (2,32) 22/02/2007 0,63 1,59 (1,49) - (1,28) 0,23 23/02/2007 1,11 0,39 0,61 (2,05) (0,87) (0,86) 26/02/2007 1,65 1,95 1,51 1,49 0,43 (1,96) 27/02/2007 (7,70) (8,02) (7,72) (6,18) (9,52) (6,67) 28/02/2007 2,63 1,24 (0,32) 0,31 (1,91) 0,95 01/03/2007 (1,14) (3,69) (0,65) (1,56) - - 02/03/2007 (1,44) (0,85) (3,90) (1,90) (3,51) (1,88) 05/03/2007 (1,90) (5,15) (3,38) (2,27) (4,46) (0,73) 06/03/2007 2,99 3,17 3,50 1,99 5,82 1,22 07/03/2007 (0,36) - (1,35) (0,32) (0,70) (0,25) 08/03/2007 (0,58) 3,51 2,74 2,61 4,23 0,95 09/03/2007 (0,80) 0,85 0,67 (0,95) 1,45 0,97 12/03/2007 (0,15) (0,42) 1,32 2,24 3,34 2,58 13/03/2007 (4,73) (4,22) (4,25) (2,82) (3,23) (2,98) 14/03/2007 1,08 2,20 0,34 0,97 (0,95) (0,25) 15/03/2007 (1,07) (0,43) (0,34) - 2,88 (0,94)

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16/03/2007 (1,24) (0,43) (0,68) (1,60) (2,34) 0,48 19/03/2007 3,53 2,61 1,72 1,95 4,31 - 20/03/2007 (0,98) - 2,70 - 1,38 - 21/03/2007 3,98 1,27 1,32 1,27 2,72 - 22/03/2007 (1,47) (0,42) 0,65 - (0,44) (1,42) 23/03/2007 1,34 - 2,58 (0,94) (1,78) 0,48 26/03/2007 0,15 0,42 0,63 - (2,25) (1,46) 27/03/2007 (0,30) (1,67) (0,94) (0,32) (2,77) (0,48) 28/03/2007 4,14 (0,43) (1,58) - (1,42) (0,23) 29/03/2007 1,56 2,56 1,60 1,27 1,44 (0,26) 30/03/2007 (2,10) 0,42 2,21 (0,63) (0,48) 1,73 03/04/2007 1,21 0,41 0,93 (0,32) 1,43 (0,48) 04/04/2007 0,56 1,24 1,22 (0,32) 1,41 - 09/04/2007 (0,49) 0,82 (0,60) 0,64 0,47 0,23 10/04/2007 2,04 1,62 - 4,11 1,38 0,25 11/04/2007 (1,31) 3,59 (1,52) 0,30 0,45 1,70 12/04/2007 2,17 1,92 1,23 (0,30) - 2,86 13/04/2007 1,09 3,02 0,30 0,30 1,81 2,76 16/04/2007 0,07 (0,73) 1,52 1,82 0,89 1,13 17/04/2007 (0,74) (1,48) (2,10) 0,30 (1,32) (3,05) 18/04/2007 (0,82) 2,62 0,92 0,59 0,90 0,96 19/04/2007 (1,17) 2,55 (1,21) (1,18) (1,33) - 20/04/2007 0,83 2,49 1,84 (0,90) 1,79 (0,95) 23/04/2007 (0,69) (4,86) (0,30) (0,90) (0,88) 0,72 24/04/2007 (1,04) 0,36 (2,11) 0,91 0,45 (0,72) 25/04/2007 1,19 1,82 - (1,51) - (0,96) 26/04/2007 (1,25) 1,07 0,62 - (0,89) 0,24 27/04/2007 1,40 0,71 0,31 - - (0,48) 30/04/2007 (2,08) (2,46) (2,14) (1,53) (1,78) (0,97) 02/05/2007 (0,14) (1,44) - 0,62 1,82 (0,49) 03/05/2007 2,41 (1,09) (0,31) (0,93) 2,24 0,99 04/05/2007 0,41 (1,11) (1,57) - (0,44) (0,73) 07/05/2007 (5,30) - - 0,62 (1,32) (0,49) 08/05/2007 (1,75) 2,99 (0,32) - (0,44) 0,50 09/05/2007 1,41 1,09 0,96 1,55 (0,44) 1,72 10/05/2007 (2,19) (1,79) (4,75) (2,74) (4,04) (1,94) 11/05/2007 2,99 (0,73) 0,66 2,19 2,80 1,73 14/05/2007 (1,30) (1,84) 1,65 (0,31) (1,82) 4,37 15/05/2007 1,32 - 1,62 (0,92) (0,46) 2,33 16/05/2007 0,36 - 3,51 1,24 2,33 (0,45) 17/05/2007 0,79 (0,37) 0,31 0,92 - (0,46) 18/05/2007 1,29 1,50 0,62 0,61 1,82 (0,69) 21/05/2007 1,41 1,11 - - 4,07 (0,92) 22/05/2007 (0,56) (0,73) (1,22) (0,60) (1,74) (0,23)

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23/05/2007 1,40 (0,74) (0,62) 0,30 (1,33) (0,47) 24/05/2007 (2,35) (0,37) (0,31) (1,21) (1,79) - 28/05/2007 1,98 (0,37) - 0,61 0,91 0,47 29/05/2007 0,56 1,12 (0,62) 1,52 (0,90) 0,47 30/05/2007 0,83 (1,11) 2,83 0,90 - 1,16 31/05/2007 2,88 (1,50) - 3,57 - 0,69 01/06/2007 0,53 (0,38) - 1,15 (0,46) 1,83 04/06/2007 0,40 (0,38) (1,22) (0,28) (2,29) 0,22 05/06/2007 (0,26) 0,77 (0,93) - - (0,67) 06/06/2007 (2,12) 0,76 (1,25) (1,99) (2,35) (2,03) 07/06/2007 (2,70) (2,26) (3,16) (2,03) (2,40) (1,15) 08/06/2007 (0,28) 2,32 - 0,89 (0,99) 0,47 11/06/2007 0,49 (1,13) (0,98) - (0,50) - 12/06/2007 (1,59) (1,15) 0,33 (0,88) 0,50 0,46 13/06/2007 1,76 0,39 1,64 1,48 1,49 - 14/06/2007 1,94 1,54 - - 2,45 1,15 15/06/2007 0,92 1,52 0,97 (0,29) 2,39 - 19/06/2007 1,02 3,73 - 0,59 (1,40) 0,23 20/06/2007 (1,48) 0,36 (1,60) (0,58) - (0,23) 21/06/2007 1,57 1,43 0,33 0,29 (1,42) (0,23) 22/06/2007 (0,61) - 0,32 (0,88) (0,96) (1,37) 25/06/2007 (0,47) (1,77) (1,94) 0,29 (1,46) (1,85) 26/06/2007 0,34 (0,72) - (0,88) 0,49 (0,71) 27/06/2007 2,04 1,45 0,99 1,48 2,94 1,66 28/06/2007 (0,20) (1,07) (0,33) - (2,38) (1,40) 29/06/2007 (1,33) - (2,30) (1,46) (1,95) (0,71) 02/07/2007 3,58 0,72 1,68 4,45 3,48 2,63 03/07/2007 (0,98) (0,72) 0,99 - (0,96) - 04/07/2007 0,33 1,81 0,65 0,28 0,49 (0,23) 05/07/2007 1,25 0,35 (2,60) 1,98 0,48 (2,10) 06/07/2007 2,46 (1,41) - 2,50 (1,92) 0,71 10/07/2007 0,57 1,08 (0,67) (1,36) 2,45 - 11/07/2007 2,58 1,06 (0,34) (0,55) 0,96 (0,71) 12/07/2007 0,55 2,46 2,02 1,10 (0,47) (0,24) 13/07/2007 (2,26) 2,40 0,66 (0,82) (0,95) (0,72) 16/07/2007 (2,75) (1,00) (1,64) (2,48) (2,88) (1,20) 17/07/2007 (1,28) 1,01 - - 0,50 0,24 18/07/2007 1,95 (0,67) (0,67) (1,13) (0,99) 0,73 19/07/2007 0,45 1,35 2,68 2,86 (0,70) 0,96 20/07/2007 (1,84) (1,00) (0,65) (1,39) 0,10 (0,95) 23/07/2007 1,94 1,01 2,30 0,28 0,60 0,72 24/07/2007 (2,41) (2,99) (3,22) (3,37) (1,19) (0,72) 25/07/2007 0,39 (0,68) (1,33) 1,45 (0,30) (0,24) 26/07/2007 (1,68) (5,17) (4,04) (3,72) (6,57) (1,69)

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27/07/2007 1,32 (0,36) (0,70) (0,89) (3,35) - 30/07/2007 0,52 2,55 1,41 1,50 0,67 0,74 31/07/2007 (0,26) (1,07) (0,70) 1,18 1,56 (0,49) 01/08/2007 (0,32) - (0,35) (0,88) (0,44) - 02/08/2007 (1,76) 0,72 0,70 (1,18) 1,98 0,25 03/08/2007 (1,19) (2,86) (0,70) 0,90 (1,40) (0,98) 06/08/2007 (0,80) (0,74) (4,58) (3,55) (0,55) - 07/08/2007 3,31 (1,11) 1,48 (0,92) (1,10) 0,99 08/08/2007 4,45 0,75 1,09 - 2,44 1,71 09/08/2007 (2,25) (4,09) (6,12) (7,12) (0,76) (2,64) 10/08/2007 (0,70) (1,94) (2,68) (0,33) (1,64) (1,98) 13/08/2007 (1,03) 1,19 1,57 0,67 (1,67) 1,51 14/08/2007 (1,56) (1,95) (0,78) (2,66) (0,79) 0,50 15/08/2007 (3,31) (6,77) (8,20) (6,48) (7,74) (3,95) 16/08/2007 (5,89) (2,56) (4,26) (4,74) (6,30) (4,88) 17/08/2007 2,62 3,51 6,67 6,90 6,98 2,43 21/08/2007 1,91 0,85 4,58 2,15 4,56 0,26 22/08/2007 2,44 0,42 3,19 (1,40) 3,06 1,58 23/08/2007 1,49 4,18 - (0,36) 0,57 2,07 24/08/2007 1,20 2,81 2,70 1,79 2,84 3,55

Rendimientos 0,13 0,33 0,16 (0,04) 0,17 (0,03) Anual 32,45 80,47 38,18 (9,98) 42,43 (7,92) Punta a Pta. 32,00 110,70 40,00 (12,58) 45,38 (9,73) VAR POB 3,81 4,76 3,66 2,81 4,04 1,88

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(*) Profesor AsociadoRegular de Fisiología,Director de Investigacióny ConsejeroTitular del H.Consejo Académico en laFacultad de Medicina, yCoordinador de Proyectosde Investigación en laSecretaría de Ciencia yTecnología, de laUniversidad de Morón.

EL PROCESAMIENTOMATEMÁTICOCEREBRAL

Por el Dr. Claudio O. Cervino (*)

Resumen. ¿Cómo el cerebro humano lleva adelante el pensamientomatemático elemental? En este artículo se integran los resulta-dos más relevantes procedentes del ámbito de la neurofisiologíacon los de las técnicas de neuroimagen, y con aquellos obtenidosdesde la neuropsicología. Se presentan el origen del sentido nu-mérico y la forma en que nuestro cerebro representa la informa-ción numérica. A continuación, desde un enfoque multidisciplinar,se presentan resultados de distintos estudios sobre la relaciónentre la habilidad numérica y otras habilidades cognitivas, la di-ferente participación de los hemisferios cerebrales y la especialimplicación del lóbulo parietal en las tareas matemáticas. Final-mente, se repasan los trastornos en el procesamiento del núme-ro y del cálculo. Se concluye que al realizar cualquier tarea arit-mética mental, por muy elemental que sea, intervienen distintasregiones cerebrales, hecho que hace pensar más en términos decircuitos cerebrales que en determinadas regiones con la respon-sabilidad del cálculo aritmético. Alteraciones en el funcionamientode estos circuitos pueden provocar acalculia. La convergenciaentre los resultados analizados permite afirmar que una regiónen particular sobresale por su implicación en la comprensión delsentido numérico: la parte inferior del lóbulo parietal.Palabras clave: Pensamiento matemático - Procesamiento nu-mérico – Aprendizaje matemático - Acalculia - Discalculia -Lóbulo parietal.

INTRODUCCIÓN

La vida cotidiana está atravesada por ideas numéricas:horarios, números de teléfonos, cálculo de los gastos y del tiempo,etc. Estas matemáticas, que se hallan invadidas por elementoscuantitativos, resultan imprescindibles para poder orientarse enuna variada gama de actividades. Los números se utilizan entareas donde adquieren varias significaciones y modalidades:números arábigos y sus correspondencias en el código oral yescrito en los niveles de comprensión y producción (Feld et al.,

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1998). Además, en todos los niveles de educación, como asítambién en la mayoría de las profesiones, la utilización del númeroy del cálculo, junto con las nociones geométricas, es defundamental importancia.

Por lo tanto, hay que aceptar que las matemáticas sonmucho más que saber realizar el simple cálculo “2 + 2”. Implicaconceptos de ordenación y sucesión, clasificación, de conjunto,diferenciar cantidad de número, establecer diferencias ysemejanzas, comparaciones mayor y menor, la noción de espacio,la medida, figuras, etc. La adquisición de las nocionesmatemáticas pone en funcionamiento y comparte muchashabilidades lingüísticas y no verbales, distintos tipos de memorias,actividades visuo espaciales, y pone en marcha habilidadescognitivas específicas, en las que se incluye la interpretación dela naturaleza del código y el conocimiento de la estructura lexicaldel sistema numérico.

Todavía no se conoce suficientemente cómo el cerebroprocesa matematicamente. El objetivo de este artículo es llevaradelante una breve revisión de algunos descubrimientos recientesprocedentes del campo de la Neurociencia que están arrojandoluz sobre el complejo problema de cómo comprendemos yejecutamos mentalmente tareas matemáticas. Los resultadosprovienen del estudio e investigación en varios campos,principalmente experimentos cognitivo-conductuales, estudios depacientes con lesiones cerebrales y técnicas de neuroimagencerebral. Estas últimas técnicas, como la Tomografía por Emisiónde Positrones (TEP), dan información sobre la actividad del cerebro“in vivo”, y permiten investigar en voluntarios y evaluarclinicamente en pacientes, la actividad de los circuitos neuronalesimplicados en el desenvolvimiento de una función cerebralparticular (Cervino, 2006 a y b), por ejemplo, durante la utilizacióndel lenguaje o el procesamiento matemático de algún tipo.

CAPACIDADES MATEMÁTICAS INNATAS DEL CEREBRO

A partir de diversos estudios psicológicos yneuropsicológicos se ha demostrado que el cerebro humano poseeuna capacidad innata para entender y manipular números. Se hademostrado ya en el primer año de vida, los niños cuentan con unconocimiento numérico rudimentario e independiente del lenguaje(Starkey y Cooper, 1980; Winn, 1992; Xu y Carey, 1996). Porejemplo, niños tan pequeños como de 6 meses pueden sumar un

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objeto a otro y producir un conjunto de dos objetos, como tambiénsorprenderse cuando sus expectativas matemáticas son violadas.

El sentido del número en niños está restringido acolecciones de solo 4 o 5 objetos y hay datos que sugieren quelos niños, al igual que los adultos, utilizan para manipular talescolecciones un proceso mental muy diferente al del conteo. Parapequeñas colecciones se percibe su numerosidad directa de lamisma forma que se percibe la forma y el color de esos objetos(Dehaene, 1997; Butterworth, 1999). Esta percepción intuitivade la numerosidad se denomina subitización o repentización.Cuando se ven tres objetos, no se cuenta “uno, dos, tres”, dehecho, simplemente uno se da cuenta de que es un grupo“ternario”, con tres objetos. La mayoría de la gente puede subitizarhasta 6 u 8 objetos, cambiando a una gran variedad de estrategiasde conteo para colecciones más grandes.

Si bien no se puede soslayar la importancia de lascaracterísticas innatas en el tratamiento matemático, tampocose pueden dejar de considerar los aportes sobre el tratamientodel número y el cálculo en el niño incorporados por Piaget y porVigostsky. Piaget (1952) consideraba que esta capacidad aparecíaalrededor de los 5 años de edad y necesitaba: a) la presenciaprevia de algunas habilidades de razonamiento lógico, tales comola capacidad de razonar utilizando la propiedad transitiva; b) lamanipulación de objetos, lo que lleva a la configuración del“esquema de acción” que son las operaciones con objetos, y c) lallamada “conservación del número”, es decir, la capacidad deestablecer correspondencias biunívocas entre dos conjuntos. Porsu lado, Vigostsky (1987) incorporó el carácter histórico socialen el aprendizaje del número. Este autor ruso considera, en unnivel de partida, que se pueden evaluar las nociones matemáticascomo un proceso interactivo entre los “conceptos cotidianos”,esto es, actividades en la vida diaria, y los “conceptos científicos”,incluyendo el aprendizaje pedagógico en la escuela.

Desde el enfoque neuropsicológico, la numerosidadpermite el desarrollo del proceso de conteo y es la base para elresto del desarrollo matemático. Este sentido del número guíaluego al niño al aprendizaje de la adición y sustracción,multiplicación y división. En cada paso sucesivo nuevas reglasacerca de los números son evaluadas a la luz del sentido delnúmero y son incorporados dentro de aquel sentido. Otro conceptoimportante relacionado con la numerosidad, es que desde muypequeños es posible diferenciar entre número y cantidad.

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¿CÓMO PROCESA MATEMATICAMENTE EL CEREBRO?

La Neurociencia Cognitiva surge como disciplina científicaa finales de los años setenta de la convergencia entre la PsicologíaExperimental, la Neurociencia y las Ciencias Cognitivas. Uno delos principios fundamentales de esta nueva visión de la mentehumana es que el cerebro está organizado en módulos funcionalesdiscretos, sustentados por la actividad de redes neuronales delocalización anatómica específica, que interaccionan para originarlas funciones cognitivas (Cervino, 2006b). Como consecuenciade esta organización anátomo-funcional, para entender cómotrabaja el cerebro se hace necesario establecer la dinámicaespaciotemporal de activación de las diferentes regionesanatómicas que contribuyen a cada función cognitiva (Posner etal., 1988). Así, utilizando las técnicas de neuroimágenes, losinvestigadores han comenzado a comprender cómo se procesamatematicamente en el cerebro (Roland y Friberg, 1985; Rueckertet al., 1996; Dehaene et al., 1996). Se ha descubierto que calcularuna suma exacta, como 53 + 68, y estimar si la respuestacorrecta está más cerca de 120 o 150, activan diferentesregiones del cerebro (Tabla I).

Estos resultados revelan la presencia de dos o más redescerebrales para el proceso del número. Las operacionesaritméticas con números pequeños activan mayormente lasregiones lateralizadas izquierdas, codificando los númerosprobablemente en formato verbal. La aproximación y el cálculoexacto con números grandes, sin embargo, ponen énfasisprincipalmente sobre las cortezas parietal izquierda y derecha,las cuales pueden codificar números en un formato de cantidadno verbal, utilizando componentes de procesamientovisuoespacial.

Tabla I. Regiones cerebrales implicadas durante algunos tipos de procesamiento matemático

[activadas (+), inactivadas (0)], evaluadas a través de estudios funcionales cerebrales por

neuroimágenes.

cálculo de

aproximación

cálculo

exacto

cálculo exacto con

números grandes

regiones parietales

bilaterales

+ 0 +

regiones prefrontales

superiores

+ 0 0

corteza prefrontal izquierda 0 + +

corteza parietal inferior

bilateral

0 + 0

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En suma, las investigaciones sugieren que la habilidadmatemática es el resultado de la integración de dos circuitos no-numéricos en el cerebro: uno es del lóbulo frontal izquierdo quecontrola representaciones lingüísticas de valores numéricos exac-tos y el otro involucra los lóbulos parietales que controlan repre-sentaciones visuoespaciales de cantidades aproximadas. Los ló-bulos parietales pueden servir también a otras funciones mate-máticas, incluyendo en parte el desenvolvimiento de los cálculosexactos. También los resultados sugieren que las relaciones com-prensivas entre los números involucran alguna clase de herra-mienta espacial, tales como visualizar una “línea numérica”, tér-mino utilizado por Dehaene (1997) para designar la forma en queel cerebro humano representa los números naturales: éstos nose tratan como símbolos, sino como cantidades que se represen-tan en una línea. Tales ayudas visuales pueden ser fuentes im-portantes de intuición matemática.

Dehaene (1997) presenta datos que apoyan esta idea de laexistencia de una estrecha relación entre números y espacio. Porejemplo: a) las personas tienden a representar mentalmente los nú-meros enteros en una línea recta orientada de izquierda a derecha yesto desempeña un papel importante en la intuición numérica, y b)existe una fuerte correlación entre el talento matemático y las ha-bilidades espaciales. De esta relación infiere que la región parietalinferior (Fig. 1) alberga circuitos neurales dedicados a la representa-ción de información espacial continua, que resulta adecuada para lacodificación de la “línea numérica”. Anatomicamente, esta regiónde la corteza cerebral construye representaciones abstractas de ladisposición espacial de los objetos del entorno. Por tanto, el númeroemergería naturalmente como la más abstracta representación deobjetos en el espacio. Las lesiones en la región parietal pueden dejaral paciente totalmente incapaz para ejecutar incluso cálculos tansencillos como 4-2 o 5x7.

Figura 1. Vista lateral del hemisferio izquierdo del cerebro humano (LF, lóbulo frontal; LP, lóbulo

parietal, LO, lóbulo occipital; LT, lóbulo temporal). Se ha implicado al lóbulo parietal inferior izquierdo

(A) en el cálculo mental, zona adyacente a las áreas cerebrales en donde se construye la noción

de espacio (B) y se procesan las sensaciones corporales que provienen de los dedos de la mano (C).

El área de asociación prefrontal (D) es donde se procesa el pensamiento secuencial, primordial para

el procesamiento matemático cerebral.

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El hecho de que el procesamiento numérico esté asociadocon el lóbulo parietal inferior, trae aparejada una inesperadaconsecuencia. La parte inferior del lóbulo parietal que parece serel responsable de la representación de números, es adyacente ala región de la corteza que es responsable para la sensación deltacto en los dedos (corteza somatosensorial). Esto ha conducidoa algunos científicos a sugerir que el “área del número” en lacorteza aparece evolutivamente como una especialización de larepresentación de los dedos, implicando una profunda relaciónentre el sentido del número y la sensación de los dedos. Los niñosaprenden a contar utilizando sus dedos. Por otro lado, se asociael hecho del “conteo con los dedos” con nuestro sistema numéricodecimal. Por tanto, a lo largo del desarrollo evolutivo del cerebrohumano, es muy probable que las representaciones de los númerosy de los dedos ocupen zonas cerebrales cercanas e intimamenterelacionadas.

Memoria de Trabajo y Matemática. La memoria detrabajo (MT) juega un papel importante en el procesamientomatemático del cerebro.

La MT hace posible los pensamientos y razonamientosde nivel superior e involucra los bancos de memoria y los procesosde toma de decisiones que tratan la información que está activaen ese momento. Esta clase de mecanismo de MT es necesariapara un gran abanico de tareas, como la aritmética mental, lalectura, la resolución de problemas y el razonamiento en general.Todas estas tareas no precisan unicamente una forma de almacéntemporal, sino también una interacción entre la información quese almacena temporalmente y un gran conjunto de conocimientosalmacenados. En otras palabras, la MT es una parte fundamentaldel mecanismo de pensamiento (Cervino, 2006b).

El cálculo es una habilidad que se altera tras una lesiónfrontal, región del cerebro en donde reside la MT, másespecificamente en el área de asociación prefrontal (Fig. 1). Lasoperaciones aritméticas básicas no se alteran, pero es manifiestala alteración en todas aquellas operaciones mentales que impliquensecuenciación o encadenamiento de pasos, así como en aquellasque requieren la MT para mantener la información mientras seopera con ellas. Cuando se realizan sumas y restas con númerosde varias cifras, es la MT la que colabora en recordar el valor dela suma o resta de una columna. También se utiliza un tipo deMT, denominada memoria serial, para contar el número de objetosen un lugar y realizar cálculos con los mismos. Por supuesto,recordar que un objeto ya fue contado para no repetirlo, estambién función de la memoria serial. Otra utilización matemática

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de la MT es mantener en mente una suma total mientras secompran objetos en un negocio o se piden comidas en unrestaurante, para no excederse en una determinada cantidad.

La Participación Hemisférica. Se sabe que cadahemisferio cerebral posee habilidades de procesamiento de lainformación que le son características, pero que ambos funcionande forma complementaria (Cervino, 2006b). El hemisferioizquierdo basa su funcionamiento en el procesado secuencial dela información, la lógica y el lenguaje. El hemisferio derecho serelaciona con las tareas visuoespaciales, el procesamientoholístico, la música y el procesamiento emocional del lenguaje.

En cuanto a la participación hemisférica en el proce-samiento del número, el conocimiento de trastornos del cálculoha demostrado que las lesiones del hemisferio izquierdo producenalteraciones de la comprensión y producción de números yoperaciones aritméticas. Las lesiones del hemisferio derechoocasionan alteraciones en la organización espacial de lascantidades y en la comprensión y realización de problemasabstractos. Según Cohen y Dehaene (1996), cuando una per-sona compara números utiliza representaciones análogas a sutamaño, de forma parecida a como se comparan dos pesos,volúmenes, longitudes o niveles de agua en dos vasos. Amboshemisferios cerebrales usan estas representaciones. Pero, sóloel hemisferio izquierdo puede usar representaciones numéricas.Conjuntamente, esto explicaría el hecho de que las respuestasdel hemisferio derecho sean aproximadas y las del hemisferioizquierdo, exactas.

Gestos Manuales y Matemática. Merece la penaremarcarse que los lóbulos parietales son parte del circuitonervioso que controla los gestos con las manos y los movimientosde los dedos. Esta relación permitió hipotetizar, como ya semencionó, sobre la posibilidad de que estas regiones cerebralescontribuyen al conteo y al cálculo utilizando los dedos, una fasecasi universal en el aprendizaje de aritmética. Recientesinvestigaciones indican que los gestos comunican, casiinconscientemente, información crítica y a menudo tácita. El gestoha sido llamado «la hermana abandonada del lenguaje». Se hademostrado que cuando se conversa se acostumbra con los gestosde la mano a ilustrar las imágenes concretas, así como losconceptos abstractos.

En una investigación, estudiantes en pequeñas tutoríasdidácticas de matemática fueron más propensos a aprender nue-

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vos conceptos cuando sus maestros usaron gestos que apropia-damente reforzaron su mensaje. Los gestos de los maestros nosirvieron sólo para dirigir la atención de los estudiantes a los nú-meros del problema, sino que establecieron estrategias para re-solver el problema directamente no expresadas en el discurso(Goldin-Meadow et al., 1993 y 1999).

Modelos de Circuitos Cerebrales implicados en el Cálcu-lo y en el Procesamiento Numérico. La información obtenida uti-lizando las técnicas de imágenes cerebrales que se vienen des-cribiendo, además de la obtenida de los trastornos relacionadoscon la aritmética mental y con el procesamiento numérico, hanpermitido ampliar el conocimiento sobre la cartografía cerebralasociada a la aritmética mental, así como formular distintosmodelos de procesamiento de la información numérica en nues-tro sistema cognitivo (Alonso y Fuentes, 2001). Si bien son nu-merosas las hipótesis propuestas, debido al alcance de este artí-culo, se mencionarán los modelos más representativos y se des-cribirá sólo uno de ellos: Modelo de McCloskey (1992); Modelode Código Triple (Dehaene, 1992; Dehaene y Cohen, 1995); Mo-delo de Cipollotti (Cipolotti y Butterworth, 1995; Cipolotti, 1995)y Modelo de Cuetos y Miera (1998).

Dehane (1992) ha diseñando un modelo modular acercade la adquisición del número en los niños desde la teoría cognitiva(Fig. 2). Según este modelo, la información numérica se puedemanipular en tres tipos de códigos (Feld et al., 1998; Alonso yFuentes, 2001):

1. Módulo del Formato Verbal Auditivo: en él losnúmeros se representan como cadenas depalabras e incluye contar hechos aritméticos quese basan en los fundamentos generales delprocesamiento de la información lingüística y norequiere otro tipo de representación. Por ejemplo,el contar secuencias requiere de un aprendizajetanto como contar días de la semana o aprenderel alfabeto. De hecho, puede considerarse eneste módulo la participación de una memoriadonde las series automáticas y aprendidas logransu máxima expresión en la representación desecuencias automatizadas.

2. Módulo de la Forma Arábigo Visual: incluye lasoperaciones numéricas en el marco de la sintaxisdel sistema de notación especial del sistema denotación arábiga, en la que los números serepresentan como cadenas de dígitos, y que está

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representada visualmente y organizada en formaespacial con lo cual hay una participación de lossistemas de representación espacial, visual yoperaciones lingüísticas.

3. Módulo de la Representación Análoga a lasMagnitudes: hace referencia a las habilidadesde comparación y aproximación de cantidadesnuméricas, en las que los números se representancomo distribuciones de activación en la líneanumérica. Esta representación numérica de unacantidad se construye en imágenes mentales delíneas y espacios del número que permiten unaresolución correcta de un problema numérico.

Según este modelo modular (Dehaene, 1992; Dehaene yCohen, 1995), hay procesos que permiten que la información setraduzca directamente de uno a otro código (transcodificación),y por otro lado, postula que la selección de uno u otro códigodepende del tipo de operación mental que se requiera en cadacaso. Así, por ejemplo, mientras que el código arábigo visual seusa principalmente para las operaciones aritméticas con númerosde varios dígitos, el código verbal auditivo se usa para contar y larepresentación análoga a las magnitudes se utiliza paracomparaciones.

TRASTORNOS DEL NÚMERO Y DEL CÁLCULO

El procesamiento numérico y sus desórdenes poseen susbases en el funcionamiento cerebral, y están determinados einfluenciados por el desarrollo cerebral humano. La discalculia es

Figura 2. Representación esquemática del Modelo Modular de Código Triple

de Dehaene (Dehaene, 1992; Dehaene y Cohen, 1995).

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la dificultad que poseen los niños para desarrollar las habilidadesmatemáticas (Tallis y Soprano, 1999), comenzando con lasubitización. También es denominada discalculia del desarrollo.La acalculia ocurre cuando un individuo ya adquirió las habilidadesmatemáticas, y por lesión de ciertas regiones cerebrales, pierdedicha capacidad. Es interesante enfatizar que la existencia dedificultades específicas asociadas con la discalculia y la acalculiason una evidencia de que la matemática es una parte integral delcerebro humano.

Los subtipos de discalculia pueden ser explicados porlesiones que afectan desproporcionadamente cada una de lasdistintas redes que procesan el número. Resultados de distintasinvestigaciones sugieren que el trastorno del lóbulo parietal inferiorizquierdo y el gyrus temporal inferior izquierdo están relacionadoscon una parte importante en la acalculia producida en los pacientescon la Enfermedad de Alzheimer.

El predominio de la discalculia del desarrollo en lapoblación escolar puede llegar al 5-6% (Shalev et al., 1998), unafrecuencia similar a la de la dislexia del desarrollo y ADHD(Síndrome de Déficit Atencional con Hiperkinesia). El predominiorelativo de muchachas con discalculia puede reflejar unavulnerabilidad mayor con relación a las influencias ambientales omostrar una predisposición biológica. La discalculia no sólo seencuentra como un trastorno de aprendizaje específico y único(Accardo y Lindsay, 1998), sino también está presente en diversosdesórdenes neurológicos, por ej., acompañando al ADHD,desórdenes del lenguaje, epilepsia, fenilcetonuria y síndrome delX Frágil (Shalev et al., 2000).

Se ha descrito en un niño de inteligencia normal, que fueincapaz de adquirir elementos esenciales de las habilidadesnuméricas cardinales, a pesar del uso relativamente intacto delnúmero ordinal. Estos resultados han llevado a la evidencia de laexistencia de un «dispositivo de adquisición de habilidadescardinal/ordinal» (COSAD) innato (Ta’ir et al., 1997). Se hasugerido que si este COSAD falla, el uso del número ordinal puedecompensarse por la lógica lingüística y las habilidades visuales.Las habilidades del número cardinal, sin embargo, permanecenlimitadas ya que éstos exigirían una representación interior innatade cantidad que no puede compensarse.

CONCLUSIONES

Los actuales resultados obtenidos desde distintos enfo-ques de la Neurociencia están proporcionando un conocimiento

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cada vez más detallado sobre las bases innatas de la capacidadmatemática humana y de la implicación de distintas áreascerebrales en el procesamiento de la información numérica y delcálculo. Esta topografía cerebral de la aritmética, aunqueincompleta todavía, permite afirmar que el sentido numérico seasocia al lóbulo parietal inferior y que la resolución de cualquiertarea aritmética, por simple que sea, no supone la activación deuna única área cerebral, sino la participación de varios circuitosque constituyen el sustrato neuronal de los distintos procesoscognitivos elementales que conforman esa tarea. Se está todavíamuy lejos de saber qué pasa en el cerebro cuando se resuelveuna tarea matemática compleja, como, por ejemplo, tareas quecaen dentro del ámbito de la geometría analítica, álgebra,trigonometría, números complejos o probabilidad.

El estudio de las bases neurales del pensamientomatemático está aún en sus inicios y, posiblemente, en un futurocercano, con el perfeccionamiento de las técnicas de neuroimagencerebral, se pueda llegar a conocer mejor las causas de lostrastornos en el uso y aprendizaje de las matemáticas, lo quepuede suponer el principio de su solución.

Por otro lado, desde la óptica de la Neurociencia Cognitiva,una descripción apropiada de cómo las enfermedades y trastornoscerebrales afectan la función cognitiva requiere la evaluación delos módulos específicos de procesamiento neurocognitivomencionados más arriba. Si se consiguiera llevar a cabo este tipode evaluación, como por ejemplo en la dis- y acalculia, se podríanformular diagnósticos más precisos y específicos, que posibilitaríanla prescripción de intervenciones terapéuticas apropiadas y amedida.

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(*) Profesor Titular Extraor-dinario de InvestigaciónOperativa y Director del Ins-tituto de Investigaciones deMatemática Aplicada, en laFacultad de Ciencias Eco-nómicas y Empresariales dela Universidad de Morón.

PROGRAMACIÓN METASECUENCIAL INTERACTIVA.PROBLEMA DE APLICACIÓN

Por el Ing. Luinor E. Vilches (*)

En el Nº 12 de este Boletín Matemático (octubre de 2006)expuse las bases del método de programación meta secuencialinteractiva de Masud y Hwang (1), que tiene por objeto lograrsoluciones Pareto eficientes en los problemas de programación conobjetivos múltiples. Para detallar su aplicación a un caso concreto,tomaré un problema de dieta basado en otro desarrollado por Hwangy Masud (2). Consiste en determinar las cantidades que se deberíanconsumir de seis alimentos determinados para satisfacer losrequerimientos de un nutricionista, para lograr los siguientes objetivos:

I) Minimizar el costoII) Minimizar la ingestión de colesterolIII) Minimizar la ingestión de carbohidratos

Además, se establecen límites a la ingestión diaria decada uno de los alimentos.

En la siguiente Tabla se suministra la información sobrelos seis alimentos, los requerimientos nutricionales y los respectivoscostos. TABLA 1 X1

Leche (l)

X2 Carne vacuna (kg)

X3 Huevos (docena)

X4 Pan (kg)

X5 Lechuga (kg)

X6 Jugo de naranja(l)

Ingestión diaria mínima

VitaminaA (u.i.) 1268 236 7080 0 4727 1760 5000 Calorías 606 3219 1040 2645 614 423 2500 Colesterol (u) 18 44 20 0 0 0 Proteínas (g) 32 333 151 88 7 7 63 Carbohidratos(g) 42 60 27 529 9 92 Hierro (mg)

0,4 22,3 10,1 26,5 5

2,1 12,5

Máximos 3,5

0,5 0,25

0,3 0,3 2,3

Costos ($) 1,80 8,00 2,40 2,40 2,00 2,50

Con los datos de esta Tabla se formulan los objetivos de nuestro problema: Costo: mín f1(X) = 1,8X1 + 8X2 + 2,4X3 + 2,4X4 + 2X5 + 2,5X6 Colesterol: mín f2(X) = 18X1 + 44X2 + 20X3 Carbohidratos mín f3(X) = 42X1 + 60X2 + 27X3 + 529X4 + 9X5 + 92X6

(1) MASUD, Abu S. y HWANG, Ching-Lai:“Interactive Sequential Goal Programming”.

(2) HWANG, Ching-Lai y MASUD, Abu S.:Multiple Objective Decition Making-Methods and Apliccations: A State of theArt Survey.

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No obstante, como en el formato del Método de ProgramaciónMeta Secuencial Interactiva se busca maximizar los objetivos,se modifican los anteriores multiplicándolos por –1:

Este modelo matemático consta de tres funcionesobjetivo, diez restricciones y seis variables.

Paso 0.- Determinación de los límites de las funciones objetivo

Utilizando el programa ADBASE (3), se determinarontodos los puntos extremos no dominados del sistema, que son losnueve detallados en la Tabla 2, con los respectivos valores de lasfunciones objetivo y de las variables:

TABLA 2 – Totalidad de los puntos extremos no dominados del sistema Punto Extremo

Funciones objetivo f1 f2 f3

Variables de decisión X1 X2 X3 X4 X5 X6

1 - 6,498 - 16,504 - 275,325

0,000 0,261 0,250 0,300 0,300 0,994

2 - 5,470 - 35,908 - 234,824

1,405 0,128 0,250 0,300 0,300 0,000

3 - 8,011 - 9,203 - 358,605

0,000 0,209 0,000 0,300 0,300 2,007

4 - 7,642 - 27,000 - 135,832

0,000 0,500 0,250 0,015 0,300 0,962

5 - 6,708 - 46,292 - 89,455

1,358 0,383 0,250 0,000 0,300 0,000

6 - 8,435 - 7,510 - 383,240

0,000 1,710 0,000 0,300 0,300 2,300

7 - 9,214 - 20,244 - 211,865

0,000 0,460 0,000 0,000 0,300 1,973

8 - 7,606 - 29,341 - 124,836

0,130 0,500 0,250 0,000 0,300 0,869

9 - 8,060 - 25,815 - 148,316

0,000 0,500 0,191 0,000 0,300 1,201

máx f1(X) = -1,8X1 – 8X2 – 2,4X3 – 2,4X4 – 2X5 – 2,5X6 máx f2(X) = - 18X1 – 44X2 – 20X3 máx f3(X) = - 42X1 - 60X2 – 27X3 – 529X4 – 9X5 – 92X6 Las restricciones son: Vitamina A (u.i.) 1268X1 + 236X2 + 7080X3 + + 4727X5 + 1760X6 5000 Calorías 606X1 + 3219X2 + 1040X3 + 2645X4 + 614X5 + 423X6 2500 Proteínas (g) 32X1 + 333X2 + 151X3 + 88X4 + 7X5 + 7X6 63 Hierro (mg) 0,40X1 + 22,3X2 + 10,1X3 + 26,5X4 + 5X5 + 2,1X6 12,5 Leche (l) X1 3,5 Carne vacuna (kg) X2 0,5 Huevos (docena) X3 0,25 Pan (kg) X4 0,3 Lechuga (kg) X5 0,3 Jugo de naranja (l) X6 2,3

(3) STEUER, Ralph E.: Facultyof Management Science, 297Brooks Hall, University ofGeorgia, Athens, Georgia,U.S.A., 30602-6255.

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Los valores máximos de cada una de las funciones objetivoy el punto extremo al que pertenecen están subrayados. Esosvalores máximos, junto con los de las otras dos funciones objetivocorrespondientes al mismo punto extremo, están agrupados enla Tabla 3:

En esta Tabla, los valores máximos aparecen dispuestossegún la diagonal principal. Los valores mínimos son los mínimosde las respectivas columnas.

Paso 1.- Fijación de las metas iniciales

Los valores máximo y mínimo de cada columna de laTabla 3 son los límites del valor que puede tomar lacorrespondiente función objetivo. En cada paso de este algoritmo,el tomador de decisión debe fijar sus metas bi entre esos límites,de acuerdo con las inecuacions (3) del artículo mencionado:

fimín < bi fimáx (3)

Paso 2.- Determinación de la Solución Principal

Para aplicar el modelo matemático (sistema (6)), esnecesario determinar los pesos de las desviaciones de las metaspor medio de la ecuación (5):

TABLA 3 – Valores de las funciones objetivo para las soluciones ideales Función objetivo maximizada

Punto extremo

Valores de las funciones objetivo f1 f2 f3

f1 2 - 5,470 (máximo) - 35,908 - 234,824 f2 6 - 8,435 (mínimo) - 7,510 (máximo) - 383,240 (mínimo) f3 5 - 6,708 - 46,292 (mínimo) - 89,455 (máximo)

Por lo tanto, deberá ser:

Para f1: - 8,435 < b1 - 5,470

Para f2: - 46,292 < b2 - 7,510 : Para f3: -383,240 < b3 - 89,455

Supongamos que el decisor elige las metas:

b1 = - 7 ; b2 = -20 ; b3 = -200

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wi = bi - fimín (5) Para la meta b1: w1 = b1 – f1mín = -7 – (- 8,435) = 1,435 Para la meta b2: w2 = b2 – f2mín = -20 – (- 46,292) = 26,292 Para la meta b3: w3 = b3 – f3mín = -200 – (- 383,240) = 183,240

El sistema (6) se plantea como sigue, multiplicando por–1 las ecuaciones de las metas para que los segundos miembrossean positivos. Por otra parte, como se utilizará el programaWinQSB, todas las variables deben expresarse en X, de modoque se pondrá:

Además, debe ser cada n i (o sea X7, X9 y X11) 1,para que cada fi no resulte menor que el correspondiente fimín.. Elsistema queda, entonces:

Funciones objetivo:

Debe cumplirse, también, la condición de no negatividad(ni , pi 0), pero no es necesario agregarla al modelo matemáticoporque ello se fija en el comienzo del programa computacional deresolución.

n1 = X7 ; p1= X8 ; n2 = X9 ; p2 = X10 ; n3 = X11 ; p3 = X12

mín a1 = n1 + n2 + n3 = X7 + X9 + X11

mín a2 = - p1 – p2 – p3 = - X8 – X10 –X12

sujeto a: 1268X1 + 236X2 + 7080X3 + + 4727X5 + 1760X6 5000 606X1 + 3219X2 +1040X3 + 2645X4 + 614X5 + 423X6 2500 32X1 + 333X2 + 51X3 + 88X4 + 7X5 + 7X6 63 0,40X1 + 22,3X2 +10,1X3 + 26,5X4 + 5X5 + 2,1X6 12,5 X1 3,5 X2 0,5 X3 0,25

X4 0,3 X5 0,3 X6 2,3

1,8X1 + 8X2 +2,4X3 + 2,4X4 + 2X5 + 2,5X6 - 1,435X7 + 1,435X8 = 7 18X1 + 44X2 + 20X3 - - 26,292X9 + 26,292X10 = 20

42X1 + 60X2 + 27X3 + 529X4 + 9X5 + 92X6 – 183,24X11 + 183,24X12 = 200 X7 1 X9 1 X11 1

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En definitiva, el modelo planteado tiene dos funcionesobjetivo, dieciséis restricciones y doce variables (seis es-tructurales, las Xi, y seis de desviación, las ni y pi). Resolviéndolocon el programa WinQSB se obtiene la Solución Principal SP f

0 ,

que se registra en el Sector IV de la Tabla 4.

Paso 3.- Determinación de las Soluciones Alternas

Como el modelo matemático original de este problematiene tres funciones objetivo, se definen tres soluciones alternas(de orden r= 1, 2, 3), las que se obtienen aplicando el sistemaanterior en forma secuencial, anulando cada vez una variable dedesviación.

Solución Alterna SA1 (r =1)

En el sistema anterior se asigna el valor cero a ladesviación por defecto n1(= X7), es decir que se cambian laprimera función objetivo y la undécima restricción por lassiguientes:

Resuelto con el programa WinQSB da la soluciónregistrada en la segunda línea del Sector IV de la Tabla 4, comoSA1 : f

1

Solución Alterna SA2 (r=2) Ahora se asigna el valor cero a la desviación por defecto

n2(= X9) , cambiando en el sistema de la solución principal laprimera función objetivo y la duodécima restricción por lassiguientes (la undécima restricción vuelve a la expresión original):

La solución está registrada en la tercera línea del SectorIV de la Tabla 4, como SA2 : f

2 .

mín 11a = n2 + n3 = X9 + X11

1,8X1+ 8X2 + 2,4X3 + 2,4X4 + 2X5 + 2,5X6 + 1,435X8 = 7

mín 21a = n1 + n3 = X7 + X11

18X1 + 44X2 + 20X3 + 26,292X10 = 20

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Solución Alterna SA3 (r = 3)

El valor cero se asigna, ahora, a la desviación por defecton3 (= X11) , y se cambian en el sistema la primera función objetivoy la decimotercera restricción por las siguientes (la restriccióndecimosegunda recupera la expresión original):

La solución se registra en la cuarta línea del Sector IV dela Tabla IV, como SA3 : f

3 .

Paso 4.- Construcción de la Tabla de Intercambio

Con los valores determinados hasta ahora se construyela Tabla 4. En el Sector I de esta Tabla se colocan los límites delas funciones objetivo que se determinaron en el Paso 0. En elSector II, los valores bi que se adoptaron para las metas inicialesen el Paso 1. En el Sector III, los pesos wi adoptados en el Paso2 para las desviaciones ni y pi . En el Sector IV se registran losvalores de las funciones objetivo y de las variables estructuralesXi de las soluciones Principal y Alternas que se calcularon en losPasos 2 y 3 . El Sector V se reserva para registrar las nuevasmetas que se adopten en el Paso 5 si las soluciones del Paso 3 noresultan satisfactorias y el Sector VI, para anotar las desviacio-nes que se calcularán en el Paso 6.

mín 3

1a = n1 + n2 = X7 + X9

42X1 + 60X2 + 27X3 + 529X4 + 9X5 + 92X6 + 183,24X12 = 200

Tabla 4 – Tabla de Intercambio SECTOR FUNCIONES OBJETIVO

f1 f2 f3 VARIABLES DE DECISIÓN X1 X2 X3 X4 X5 X6

I – Límites de las metas fmáx

fmín

- 5,470 - 7,410 - 89,455 - 8,435 - 46,292 - 383,240

II- Metas iniciales bi - 7 - 20 - 200 III- Pesos wi 1,435 26,292 183,240 IV- Soluciones Principal SP: f0

Alterna SA1: f1

Alterna SA2: f2

Alterna SA3: f3

- 5,632 -19,800 -201,750 -11,300 -20,160 -198,660 - 5,060 -19,800 -201,140 - 5,532 -19,800 -201,140

0,44 0,27 0,00 0,30 0,93 0,00 0,24 0,36 0,00 0,17 0,69 0,77 0,00 0,30 0,33 0,32 0,55 0,00 0,44 0,27 0,00 0,30 0,93 0,00

V- Metas para la itera- ción siguiente b

- 6 - 10 - 180

VI- Desviaciones

positivas f2

f3

Desviaciones

negativas

f1

9,8 21,75 0,368

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Paso 5.- Evaluación

Supongamos que el tomador de decisión no encuentrasatisfactoria ninguna de las soluciones halladas en los pasos 2 y3. Se le requiere, entonces, que formule nuevos valores para lasmetas, comprendidos entre los límites registrados en la Tabla deIntercambio, Sector I. Esos valores son los consignados en elSector 5, o sea : b1 = -6 ; b2 = -10 ; b3 = -180.

Paso 6.- Desviaciones de las nuevas metas especificadas

Para el control de consistencia de las nuevas metas, sedeben calcular las desviaciones positivas y negativas de las mismascon respecto a la Solución Principal, registrada en el Sector IVde la Tabla de Intercambio.Desviaciones en más:

Paso 7.- Control de consistencia de las nuevas metas

Las metas son consistentes si, habiendo alguna desviaciónen más positiva, existe por lo menos una desviación en menos,también positiva. Aquí tenemos dos desviaciones en más y unadesviación en menos, todas ellas positivas. Luego, las metasadoptadas son consistentes.

Paso 8.- Determinación de la Solución Principal con las nuevasmetas

Para determinar las soluciones principal y alternas delsistema con las nuevas metas adoptadas, se empieza por separarestas metas en dos grupo:- el grupo j, de las metas que se han reducido o permanecen sincambio con respecto a las metas de la iteración anterior, que sonlas de la segunda y tercera funciones objetivo (j = 2, 3); y- el grupo i, de las metas que se han aumentado, en este casosolamente la de la primera función objetivo (i = 1)

Luego se fijan tres prioridades:

f2 = b2 - f0

2 = - 10 - (-19,8) = 9,8 > 0

f3 = b3 - f03 = - 180 - (- 201,75) = 21,75 > 0

Desviación en menos:

f1 = b1 - f01 = - 5,632 - (- 6) = 0,368 > 0

_____46_____


1ª. : alcanzar las metas del grupo j, o sea minimizar lasdesviaciones por defecto de estas metas 2ª. : alcanzar las metas del grupo i, o sea minimizar las desvia-ciones por defecto de estas metas 3ª. : minimizar las desviaciones en exceso de todas las metas,para asegurar la no dominancia de la solución.

Los pesos de las desviaciones de las nuevas metas son,de acuerdo con la ecuación (5):

Entonces el sistema (10), para este caso, es:mín a1 = n2 + n3 = X9 + X11mín a2 = n1 = X7mín a3 = - p1 –p2 – p3 = -X8 - X10 - X12

Este sistema tiene tres funciones objetivo, dieciséisrestricciones y doce variables. La Solución Principal, obtenidacon el programa WinQSB, se registra como SP: f0 en el Secor IVde la Tabla 5.

w1 = b1 - f1mín = - 6 – (- 8,435) = 2,435 w2 = b2 - f2mín = - 10 – (- 46,292) = 36,292 w3 = b3 – f3mín = -180 – (-383,240) = 203,240

sujeto a: 1268X1 + 236X2 + 7080X3 + + 4727X5 + 1760X6 5000 606X1 + 3219X2 + 1040X3 + 2645X4 + 614X5 + 423X6 2500

32X1 + 333X2 + 151X3 + 88X4 + 7X5 + 7X6 63 0,40X1 + 22,3X2 + 10,1X3 + 26,4X4 + 5X5 + 2,1X6 12,5 X1 3,5 X2 0,5 X3 0,25 X4 0,3 X5 0,3 X6 2,3 1,8X1 + 8X2 + 2,4X3 + 2,4X4 + 2X5 + 2,5X6 – 2,435X7 + 2,435X8 = 6 . 18X1 + 44X2 + 20X3 - - 36,292X9 + 36,292X10 = 10 42X1 + 60X2 + 27X3 + 529X4 + 9X5 + 92X6 - 203,24X11 + 203,24X12 =180 X7 1

X9 1 X11 1

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Paso 9.- Determinación de las nuevas Soluciones Alternas

Para calcular las Soluciones Alternas SAr, se utiliza elsistema formulado en el Paso 8 en forma secuencial, anulandocada vez una función objetivo.

Las respectivas soluciones, obtenidas con el programaWinQSB (Goal Programming), están registradas en el Sector IVde la Tabla 5.

SA1

Se hace 2 9 0n X , cambiando la primera función objetivo y la restricción duodécima por las siguientes:

mín 12a = n3 = X11 = 0

18X1+ 44X2 + 20X3 + + 36,292X10 = 10

SA2

Ahora , con 3 11 0n X , cambian la primera función objetivo y la decimotercera restricción por las siguientes (las modificadas para la solución anterior vuelven a su expresión original):

mín 22a = 2 9n X

42X1 + 60X2 + 27X3 + 529X4 + 9X5 + 92X6 + 203,24X12 = 180

SA3

Asignando ahora el valor cero a 1 7n X , se modifican la segunda función objetivo y la restricción undécima, quedando:

mín a32 = 0

1,8X1 + 8X2 + 2,4X3 + 2,4X4 + 2X5 + 2,5X6 + 2,435X8 = 6

_____48_____


Paso 4.- Nueva Tabla de Intercambio

Paso 5.- Evaluación

Se presentan al tomador de decisión las últimas solucioneshalladas. Si no le resulta satisfactoria ninguna de ellas, se le pideque formule nuevos valores para las metas, teniendo en cuentalos valores límites registrados en el Sector I, y se itera el algoritmo.Supongamos que, en este caso, el decisor considera satisfactoriala Solución Principal SP de esta iteración, o sea:

X1= 0,24 l de leche (< 3,5 l)X2 = 0,36 kg de carne vacuna (< 0,5 kg)X3 = 0,00 docena de huevos (< 0,25 doc)X4 = 0,17 kg de pan (< 0,3 kg)X5 = 0,69 kg de lechuga (superior al límite de 0,3 kg)X6 = 0,77 l de jugo de naranja (< 2,3 l)

Cabe señalar que, en este problema, hay más solucionesalternas sobre las cuales se puede continuar indagando con elmismo criterio seguido hasta aquí.

BIBLIOGRAFÍA

MASUD, Abu S. y HWANG, Ching-Lai : “Interactive Sequential GoalProgramming”, Gran Bretaña, Journal of the Operational ResearchSociety, Vol. 32, 1981.

HWANG, Ching-Lai y MASUD, Abu S.: Multiple Objective DecitionMaking-Methods and Apliccations: A State of the Art Survey, Berlin,Springer Verlag, 1979.

STEUER, Ralph E.: Faculty of Management Science, 297 Brooks Hall,University of Georgia, Athens, Georgia, U.S.A., 30602-6255.

Tabla 5 - Nueva Tabla de Intercambio SECTOR FUNCIONES OBJETIVO

f1 f2 f3 VARIABLES DE DECISIÓN X1 X2 X3 X4 X5 X6

I- Límites de las metas fmáx fmín

- 5,470 - 7,410 - 89,455 - 8,435 - 46,292 - 383,240

II-Últimas metas bi - 6 - 10 - 180 III- Pesos wi 2,435 36,292 203,240 IV- Soluciones Principal SP: f0 Alterna SA1: f1

Alterna SA2: f2 Alterna SA3: f3

- 7,025 -20,160 - 188,479 - 5,532 -19,800 - 201,750 - 6,357 -19,920 - 202,330 - 5,060 -19,800 - 201,140

0,24 0,36 0,00 0,17 0,69 0,77 0,44 0,27 0,00 0,30 0,93 0,00 0,00 0,38 0,16 0,17 0,48 0,88 0,00 0,30 0,33 0,32 0,55 0,00

V- Metas para la ite- ración siguiente b

VI- Desviaciones positivas Desviaciones negativas

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(*) Del Departamento deEstadística de la Facultadde Economía y Adminis-tración de la UniversidadNacional del Comahue.

ANÁLISIS FACTORIAL SIMPLEAPLICADO A LACARACTERIZACIÓN DE LAPROBLEMÁTICA DE LAFORMACIÓN DOCENTE

Por los Profesores: Andrea Lavalle y Lisandro Curia (*)

Nota de la Dirección: Si bien el presente trabajo se refiere a unproblema de formación docente de una zona determinada, se haconsiderado de interés su publicación por dos razones: la primeraes que dicho problema se presenta, lamentablemente, en la ma-yor parte de nuestro país; y la segunda , porque es un ejemplobien concreto y claro de la aplicación de la técnica de AnálisisFactorial a un problema de la realidad.

RESUMEN

Tanto los diseños curriculares como las recomendacionesde enseñanza para los niveles obligatorios, incluyen la probabilidadcomo un tópico relevante. Sin embargo, es evidente que estoscontenidos no se están enseñando en las escuelas secundariasde Neuquén. Dentro de las posibles causas de esta situación, seencuentran los factores referidos a la formación de grado de losprofesores que imparten los contenidos. En este trabajo, se analizala opinión de los profesores de Matemática en ejercicio, sobreaspectos relevantes de su formación. El propósito del mismo esdetectar cuáles se manifiestan como problemáticos,obstaculizando la enseñanza efectiva de la probabilidad en dichonivel. Para ello se realizó un cuestionario formado por quinceafirmaciones de valor, el cual fue suministrado a los profesoresde Matemática de las escuelas medias. Las respuestas seanalizaron mediante la técnica de Análisis Factorial, obteniéndosetres factores: “Valoración del modelo de formación”, “Valoraciónde la formación en contenidos” y “Valoración de la formación enProbabilidad y Estadística”. A partir de un análisis de estosfactores se realizó una caracterización de la problemática de laformación de los profesores de Matemática. De ella se desprendeuna serie de recomendaciones para ser consideradas en los planesde formación, que intentan revertir la situación descripta.

_____50_____


PALABRAS CLAVES: formación de profesores – probabilidad -análisis factorial.

INTRODUCCIÓN

En la actualidad se proporcionan muy pocos conoci-mientos estadísticos básicos en la escuela obligatoria, pese aque existe un creciente interés en que los contenidos deprobabilidad y estadística se incluyan en el currículum, como partedel discurso básico de Matemática que todos los ciudadanos delmundo actual deberían poseer.

En la Provincia de Neuquén, si bien existe en la comunidadeducativa en general un cierto consenso acerca de la necesidadde incluir los contenidos de probabilidad en los niveles de enseñanzaobligatoria, estas intenciones aún no se ven reflejadas en la práctica.La formación de los Profesores de Matemática, encargados deimpartir los contenidos, juega un papel decisivo en la implementaciónefectiva de la enseñanza de la probabilidad en las escuelas. En elcaso particular del Profesorado en Matemática de la UniversidadNacional del Comahue, la formación sobre estocástica impartida alos alumnos contempla un cuerpo de conocimientos teóricoscompletos, que abarca estadística descriptiva, probabilidad einferencia estadística y está basada en cálculos estadísticos y enun aprendizaje de la probabilidad en términos matemáticosformales. Por lo tanto, una formación de estas característicasparece dificultar la comprensión de los conceptos y obstaculizar latransposición de estos contenidos en la enseñanza. Es decir, unamplio y profundo conocimiento estadístico, aun cuando es esencial,no es suficiente para enseñar probabilidad.

La problemática de la formación de los profesores parala enseñanza de la probabilidad y la estadística, es consideradaactualmente una cuestión prioritaria de investigación (Bataneroet al, 2000). El presente trabajo tiene como propósito la obtenciónde información que permita caracterizar la problemática de laformación de profesores para la enseñanza de la probabilidad y apartir de esta descripción, se sugieren algunas recomendacionespara los planes de estudio.

DISEÑO DEL INSTRUMENTO

La información a recabar se refiere a la opinión de losprofesores de Matemática en servicio sobre su formación degrado. El instrumento utilizado consta de quince afirmaciones de

_____51_____

valor acerca de aspectos que resultan relevantes en la formaciónde grado. Para cada afirmación, el docente entrevistado debeindicar su grado de acuerdo o desacuerdo según la siguienteescala: “acuerdo”, “medianamente de acuerdo”, “ni acuerdo nidesacuerdo”, “medianamente en desacuerdo”, “desacuerdo”.

Para elaborar el instrumento se recoge un cierto númerode proposiciones que se consideran relevantes para la opinión oactitud por estudiar. En este caso, las afirmaciones seconstruyeron, por un lado, a partir de las recomendaciones osugerencias que aportan los diferentes autores de renombreacerca de las características que debe tener la formación inicialy por otro lado, de acuerdo con los propósitos explicitados en lasdiferentes asignaturas de la carrera. A continuación se detallanlos aportes teóricos utilizados en la elaboración de las afirmacionesy la forma en que se redactaron las mismas, identificándose cadauna con el número de variable usado en el análisis.

... el profesor de Matemática poseerá: conocimiento y forma-ción en las áreas básicas que constituyen la Matemática, conoci-miento del lenguaje, la simbología y la metodología propia de ladisciplina, capacidad para utilizar el formalismo lógicomatemáticoy realizar razonamientos deductivos .... (1 )

“Los cursos de Probabilidad y Estadística de los profeso-rados deben estar pensados a partir de las ideas y problemassimples que el profesor deberá enseñar en la escuela elemental omedia” (Santaló, 1994 a).

“Si los cursos de Probabilidad y Estadística se dan de lamisma manera que para los licenciados, el futuro profesor seencuentra desvalido y se siente incapaz de seleccionar entre lomucho aprendido, los contenidos y metodología que va a tenerque enseñar en los cursos elementales” (Santaló, 1994 a).

“No se deberían dar las materias de la misma manera quepara licenciados, ingenieros o economistas” (Santaló, 1994 a).

(1) Plan de estudios de la carrera “Profeso-rado en Matemática” de la Universidad Na-cional del Comahue, apartado: Perfil delegresado.

.

VAR 1: “Los contenidos de Matemática constituyeron una sólida formación básica”

VAR 2: “Los contenidos de Probabilidad y Estadística que le fueron enseñados en su carrera constituyeron una buena base para enseñar Probabilidad y Estadística en la escuela”

. VAR 3: “Haber cursado Probabilidad y Estadística conjuntamente con alumnos de otras carreras no permitió obtener un enfoque específico de la asignatura, orientado al profesorado”.

VAR 4: “Haber cursado las materias de Matemática con alumnos de otras carreras le permitió interpretar problemas de otras ciencias”.

_____52_____


Con esta última afirmación se pretende averiguar si huboalgún aspecto positivo relacionado con los cursados compartidos,dado que, en general, en las universidades las materias no se danen forma separada para el profesorado.

“Además de los contenidos de probabilidad, la formaciónde profesores debe contemplar los problemas filosóficos derivadosde las diferentes nociones de probabilidad y las característicasdel pensamiento probabilístico en contraposición con eldeterminístico” (Fischbein, 1990).

“Se ganaría eficacia y tiempo si en todas las materias deMatemática se aplicara la metodología que se recomienda enDidáctica. La enseñanza en el profesorado debe ser coherente,salvando los niveles y la extensión de los temas, con lo que losalumnos, futuros profesores, deberán luego enseñar a sus alum-nos” (Santaló, 1994).

“Los futuros profesores deben pasar por los mismos es-tadios y procesos por los que pasarán sus alumnos” (García Cruz,2000).

“ ... proponer a los futuros docentes las mismas activida-des que éstos después habrán de proponer a sus alumnos...”(Sadovsky et al , 1994).

“.... es propósito de la asignatura que el alumno com-prenda y analice las tendencias actuales en la didáctica de laMatemática mediante: la apropiación crítica de las distintas pro-puestas en didáctica de la Matemática a través del tiempo; elanálisis de los resultados de investigaciones en nivel medio; elanálisis de las propuestas de la enseñanza de la Matemática através de la resolución de problemas ....” (2 )

“.... se considera pertinente la inclusión de constructosteóricos que den cuenta de la constitución de la identidad, ya se

VAR 5: “La asignatura Probabilidad y Estadística le permitió diferenciar las características del razonamiento probabilístico y el determinísitco”.

VAR 6: “Las estrategias didácticas aplicadas cuando aprendió Probabilidad y Estadística son aplicables en la enseñanza de la Probabilidad y Estadística a sus alumnos”.

VAR 7: “Las orientaciones metodológicas sobre cómo enseñar los contenidos de secundario fueron escasas”.

(2) Fundamentación de la asigna-tura Didáctica II. UNC 2000.

VAR 8: “Las asignaturas de didáctica contemplaron las diferentes corrientes de didáctica de la Matemática”.

_____53_____

trate de objetivar el posicionamiento de los alumnos como deconsiderar el lugar del docente y las vicisitudes de la posición deautoridad.” (3 )

“Contenidos mínimos de la asignatura Psicología II:...adolescencia con autonomización en el plano cognitivo, afectivoy social; perspectiva psicoanalítica: la construcción del sujeto;perspectiva de la psicología genética: desarrollo intelectual en laadolescencia, el pensamiento; perspectiva sociocultural:adolescente y familia, adolescente y escuela, adolescente ytrabajo; adolescencia y aprendizaje...” (4 ).

“Contenidos mínimos de la asignatura Psicología I: ....laimportancia de las teorías psicológicas y sus implicanciaseducativas: conductismo, psicología genética, psicología cognitiva,psicoanálisis; teorías del aprendizaje ...” (4)

“Las estrategias metodológicas deben basarse en laresolución de problemas de manera que el estudiante deprofesorado experimente directamente el significado delaprendizaje constructivo y sus dificultades” (Santaló, 1994).

“Hay una necesidad importante de vincular la Matemáti-ca con otras materias de la enseñanza. En todas las materias deMatemática del profesorado se deben mencionar en abundanciasus vinculaciones con otras para los niveles elementales, paraque el profesor, siempre propenso a enseñar como él fue enseña-do, no olvide relacionar sus cursos con la mayor área posible deconocimientos, procurando una enseñanza holística, que ademásserá atractiva para los alumnos” (Santaló, 1994).

(3) Fundamentación de la asignaturaPsicología II, UNC 2000.

(4) Plan de estudios de la carrera “Profe-sorado en Matemática” de la UniversidadNacional del Comahue.

VAR 9: “Los contenidos de psicología vistos en su formación de grado le aportaron elementos teóricos para conocer las características de los alumnos de secundario”.

VAR 10: “Las materias de psicología le permitieron obtener una visión crítica sobre las diferentes teorías del aprendizaje”.

VAR 11: “Las materias de Matemática promovieron una visión constructivista del aprendizaje de la Matemática”.

VAR 12: “Las materias de su formación contemplaron las relaciones de la Matemática con otras ciencias”.

VAR 13: “Los contenidos de Probabilidad y Estadística estuvieron relacionados con otras disciplinas”.

_____54_____


“La formación del profesorado no se debe basar en laimitación de profesores expertos. Debe basarse en una interacciónpositiva entre conocimientos establecidos y el mundo de la prácticadocente” (Artigue, 2000).

“... el estudiante estará en condiciones de analizar losprocesos y las interrelaciones que se establecen dentro de lainstitución educativa, a fin de ver la posible correspondenciaexistente con las relaciones propias del sistema social en que seinserta....” (5 ).

“... reconocer la práctica educativa como objeto deconocimiento, en sus dimensiones de práctica social, política,escolar y áulica....” (Davini, 1997).

“.... que el paradigma en el que son iniciados les sirvacomo modelo para su futura profesión....” (García Cruz, 2000).

“.... el modelo de formación actúa siempre como currí-culum oculto de la enseñanza ....” (Imbernón, 1998).

“.... todo enfoque y práctica pedagógicos enseñan nosólo por lo que dicen que enseñan, sino aún mucho más por loque no dicen ..., por lo que se instauran en la práctica mismacomo estilo de interacción...” (Davini, 1997).

POBLACIÓN Y MUESTRA

La población en estudio está constituida por los docentesque tienen título de Profesor de Matemática (o equivalentes, porejemplo: Profesor de Matemática, Física y Astronomía, etc.). Lamuestra se obtuvo mediante un muestreo aleatorio sistemáticorealizado sobre el listado de docentes inscriptos en la JuntaProvincial de Clasificación Rama Media de Neuquén. Seentrevistaron 67 docentes de la población por lo que la muestrarepresenta un 35 % del total (N = 192). Del muestreo resultaron3 egresados de Escuelas Normales Nacionales; 34 egresados deInstitutos de Formación del Profesorado; 26 egresados de la

(5) Fundamentación de la asig-natura “Educación, sociedad ypolítica”. UNC 2000.

VAR 14: “La formación de grado no está orientada a conocer las características del medio laboral”.

VAR 15: “El modelo de formación del profesorado condiciona la práctica pedagógica de los egresados”.

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Universidad Nacional del Comahue y 4 egresados de otrasUniversidades Nacionales.

RESULTADOS

Los resultados de la encuesta se analizaron mediante latécnica de “Análisis Factorial”, con la finalidad de definirdimensiones subyacentes al conjunto de variables originales detal forma que permitan caracterizar a los docentes en serviciosegún su opinión y detectar problemáticas comunes. Acontinuación se muestra la matriz de correlaciones entre variablesobtenida en la aplicación de la técnica.

Los valores resaltados son las correlaciones nosignificativas, es decir, las correlaciones menores a 0,30. Éstasson 21 de 105, lo que representa un 20% de correlaciones bajas.Por lo tanto, existe más de un 50% de correlaciones significativas.Esto brinda una cobertura adecuada para continuar con el análisis.La variable 2 es la que presenta la mayor cantidad de correlacionesbajas. Una opción podría haber sido eliminarla del análisis, peroesta variable se refiere a los contenidos de Probabilidad yEstadística, por lo que resulta de particular interés para este trabajo.

Determinación del número de factores

La siguiente tabla muestra los autovalores mayores a 1,los cuales corresponden a tres factores.

VAR1 VAR2 VAR3 VAR4 VAR5 VAR6 VAR7 VAR8 VAR9 VAR10 VAR11 VAR12 VAR13 VAR14 VAR15VAR1 1.000 0.111 -0.351 0.380 0.324 -0.381 0.511 0.306 0.639 0.544 0.230 0.389 0.293 -0.184 -0.210VAR2 1.000 -0.006 0.017 0.187 -0.212 -0.050 0.300 0.123 0.112 0.222 0.117 0.085 -0.022 0.060VAR3 1.000 -0.429 -0.575 0.649 -0.594 -0.468 -0.394 -0.395 -0.694 -0.703 -0.591 0.630 0.571VAR4 1.000 0.621 -0.383 0.210 0.464 0.420 0.379 0.404 0.452 0.432 -0.424 -0.587VAR5 1.000 -0.441 0.348 0.595 0.282 0.466 0.679 0.545 0.518 -0.430 -0.391VAR6 1.000 -0.493 -0.566 -0.423 -0.353 -0.529 -0.603 -0.639 0.697 0.515VAR7 1.000 0.298 0.491 0.579 0.431 0.502 0.398 -0.432 -0.391VAR8 1.000 0.373 0.329 0.530 0.442 0.671 -0.568 -0.324VAR9 1.000 0.635 0.369 0.571 0.454 -0.257 -0.447VAR10 1.000 0.429 0.447 0.444 -0.400 -0.438VAR11 1.000 0.573 0.501 -0.453 -0.469VAR12 1.000 0.617 -0.424 -0.551VAR13 1.000 -0.598 -0.444VAR14 1.000 0.612VAR15 1.000

Autovalores significativos

% Total Acumul. % Acumul. Factor Autovalor Variancia Autovalores 1 7.1652889 47.768593 7.1652889 47.768593 2 1.4795431 9.8636207 8.644832 57.632214 3 1.2626761 8.4178407 9.9075081 66.050054

_____56_____


Matriz factorial Factor 1 Factor 2 Factor 3

VAR1 0.104093 0.845503 0.141848VAR2 0.053821 0.054114 0.878179VAR3 -0.797288 -0.295813 0.110360VAR4 0.586333 0.292014 0.037785VAR5 0.690564 0.221414 0.305015VAR6 -0.746321 -0.268036 -0.108915VAR7 0.395574 0.652657 -0.200235VAR8 0.690712 0.146478 0.448728VAR9 0.255113 0.826097 0.081742VAR10 0.318476 0.750420 0.048191VAR11 0.721640 0.214305 0.229492VAR12 0.653607 0.449204 0.036138VAR13 0.742663 0.252710 0.123308VAR14 -0.819364 -0.083288 0.121033VAR15 -0.692176 -0.272129 0.298826Expl.Var 5.477110 3.096997 1.333401Prp.Totl 0.365141 0.206466 0.088893

DISCUSIÓN

Para poder interpretar estos factores se analizaron lasvariables asociadas a cada uno de ellos.

Factor 1:

Factor 1 vs. Factor 2Rotación: Varimax normalized

Factor 1

Fact

or 2

1

2

3

45

6

7

8

910

11

12

13

14

15

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Plano de variables según Factor 1

_____57_____

Para poder darle un nombre al factor, se observaron lasvariables correlacionadas con el mismo. Lo primero que seobserva en este grupo de variables es que no se refieren acontenidos de la carrera sino a la forma en que estos contenidosfueron impartidos. Como las afirmaciones se refieren a la opiniónde los docentes sobre su formación de grado, estas variablesindican el valor que cada docente le adjudica a todo aquello queincidió en su formación a partir del modelo de actuación de losdocentes que impartieron las cátedras, el estilo de interaccióncon el conocimiento y con el contexto. Podemos notar que estasvariables se refieren a la especificidad de la materia y de la carreraen general, a la interdisciplinariedad y a diferentes orientacionesque pudieron estar presentes en la carrera, como por ejemplo, elenfoque en la práctica docente o el enfoque metodológico. Todoesto forma parte de las decisiones que toman los docentesformadores y que configuran un modelo de formación, más alláde los contenidos y de las instituciones formadoras. Este factorse denominó: VALORACIÓN DEL MODELO DE FORMACIÓN.

Factor 2:

El grupo de variables correlacionadas con el factor serefiere a contenidos en general. Las afirmaciones se refieren a silas materias específicas constituyeron una base de conocimientosútiles en relación con el perfil de la carrera. La única variable decontenidos que no forma parte de este factor es la referida aProbabilidad y Estadística. Este factor se denominó:VALORACIÓN DE LA FORMACIÓN EN CONTENIDOS.

Factor 1 vs. Factor 2Rotación: Varimax normalized

Factor 1

Fact

or 2

1

2

3

45

6

7

8

910

11

12

13

14

15

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


_____58_____


Factor 3:

Hay una sola variable relacionada con el factor. Tieneuna alta correlación positiva con el mismo y se puede observarque está muy cerca del eje del factor. Este factor se denominó:VALORACIÓN DE LA FORMACIÓN EN PROBABILIDAD YESTADÍSTICA.

Interpretación de los grupos de individuos

A continuación se describe cada uno de ellos de acuerdocon las respuestas dadas a cada una de las variables.

Factor 1 vs. Factor 3Rotation: Varimax normalized

Factor 1

Fact

or 3

1

2

34

5

67

8

9 10

11

121314

15

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


FACTOR 1

FAC

TOR

2

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Grupos de individuos en los Factores 1 y 2.

1

2

3

4

_____59_____

Grupo 1:Son los individuos que contribuyen con mayor inercia al

Factor 1: “Valoración del modelo de formación” en el extremoderecho del gráfico. Tienen una opinión favorable sobre suformación general salvo en lo referido a los contenidos deProbabilidad y Estadística, donde los individuos presentandispersión.. Grupo 2:

Son los individuos que contribuyen con mayor inercia alFactor 2: “Valoración de la formación en contenidos” en elextremo superior del gráfico. Este grupo está formado porindividuos que están de acuerdo con la formación que recibieronen contenidos, salvo en Probabilidad y Estadística. Además, estegrupo opina que las estrategias didácticas con las que aprendieronProbabilidad y Estadística no son aplicables en la escuelasecundaria.


Factor 1: “Valoración del modelo de formación” en el extremoizquierdo del gráfico. Este grupo tiene un comportamiento opuestoal grupo 1 en las variables relacionadas con el factor. Semanifiestan en desacuerdo con las variables relacionadas con elmodelo de formación. Tienen opinión favorable respecto a laformación recibida en contenidos de Matemática, Psicología yPedagogía. Los individuos presentan dispersión respecto a lasvariables referidas a contenidos de Probabilidad y Estadística yde Didáctica.


Factor 2: “Valoración de la formación en contenidos” en elextremo inferior del gráfico. Este grupo tiene un comportamientoopuesto al grupo 2 en las variables relacionadas con el factor. Engeneral están en desacuerdo con la formación que recibieron encontenidos. En cuanto a Probabilidad y Estadística, opinan queno tuvieron un enfoque específico de la asignatura para elprofesorado, que la materia no estuvo relacionada con otrasciencias y que no les permitió diferenciar el razonamientoprobabilístico del determinístico. Están en desacuerdo con la formaen que aprendieron Probabilidad y Estadística.

_____60_____


FACTOR 1

FAC

TOR

3

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Grupos de individuos en el factor 3 y grupo de individuos con comportamiento promedio

5

6


Factor 3: “Valoración de la formación en contenidos deProbabilidad y Estadística” en el extremo superior del gráfico.Estos individuos opinan que tuvieron una buena base enProbabilidad y Estadística en la carrera. Además, consideran quetuvieron una buena base de contenidos de Matemática en general.


Factor 3: “Valoración de la formación en contenidos deProbabilidad y Estadística” en el extremo inferior del gráfico. Estegrupo tiene un comportamiento opuesto al grupo 5 en la variablerelacionada con el factor. Opinan que los contenidos deProbabilidad y Estadística no constituyeron una buena base paraenseñar en la escuela. También consideran que tuvieron buenaformación en contenidos de Matemática en general.

Grupo de individuos con comportamiento promedio:Estos individuos no contribuyen con inercia significativa

a ninguno de los factores. Graficamente se encuentran dentrodel círculo unitario y las respuestas son en general “ni de acuerdoni en desacuerdo”.

CONCLUSIONES

El factor “Valoración del modelo de formación” identificalo que se enseña en la formación a través del enfoque o modelo

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de actuación y que establece en la práctica pedagógica una formade relación entre los sujetos, entre ellos y el conocimiento y conel medio. La importancia de este factor reside en que el modelode formación promueve aprendizajes implícitos. Además, estemodelo no es neutro sino que está inmerso en un marco social,cultural e ideológico que influye en la configuración pedagógicadel egresado y en su práctica laboral.

Observando las variables que lo componen, es posiblenotar que este factor involucra algunas decisiones institucionales,como por ejemplo la posibilidad de impartir la carrera solamentepara los alumnos del profesorado o compartida con alumnos deotras carreras. Las demás variables relacionadas con este factorinvolucran decisiones de los docentes que imparten el profesorado.Es decir, es el docente el que elige las estrategias didácticas aaplicar en la materia, las orientaciones metodológicas, la inclusiónde vinculaciones con las ciencias para las cuales la Matemáticabrinda el marco de referencia. Estas decisiones están vinculadascon la postura epistemológica, consciente o no, que tiene cadadocente formador y que depende a su vez de su propia formación.

El factor “Valoración de la formación en contenidos”identifica la opinión de los docentes en ejercicio sobre elcumplimiento de los propósitos mínimos de las asignaturas. Eneste estudio se observó una fuerte aceptación de la formaciónen Matemática, Psicología y Pedagogía. En cuanto a Didáctica,esta variable no presentó una correlación alta con el factor.

El factor “Valoración de la formación en Probabilidad yEstadística” tiene como característica que se presenta comofactor separado del resto de los contenidos. Si bien esto puedeexplicarse por las bajas correlaciones de esta variable con lasdemás, es de particular interés para este estudio que la materiaen cuestión revele que las opiniones de los docentes sobre ellasean diferentes a las de otros contenidos.

Por otro lado, el análisis realizado resumió la informacióncontenida en las encuestas y permitió, en este trabajo en particulary por la forma en que se enunciaron las afirmaciones de la misma,considerar a partir de la opinión de los docentes los valorespositivos, los vacíos y deficiencias que integran la formación.

Respecto al factor “Valoración del modelo de formación”,las variables que se presentaron como problemas a tratar son lasvariables 8, 13, 6 y 14. La variable 8 se refiere a que lasestrategias didácticas aplicadas en la materia Probabilidad yEstadística no son aplicables en la enseñanza secundaria. Los

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individuos que identifican este problema pertenecen a los grupos2, 3, 4, 6 y aproximadamente la mitad del grupo de individuospromedio. La variable 13 se refiere a que los contenidos deProbabilidad y Estadística no estuvieron relacionados con otrasdisciplinas. Los individuos que identifican este problemapertenecen a los grupos 3, 4 y la mitad del grupo 6.

Otra característica notable es que aproximadamente el 50% delos entrevistados señaló que no tiene opinión respecto de lavariable 3. Esta variable se refiere a si haber cursado Probabilidady Estadística con alumnos de otras carreras no permitió obtenerun enfoque específico de la asignatura orientado al profesorado.

La variable 6 se refiere a que la carrera brinda escasasorientaciones metodológicas. Los individuos que identifican esteproblema pertenecen a los grupos 3, 4 y aproximadamente lamitad del grupo 5. La variable 14 se refiere a que la formaciónde grado no está orientada a conocer las características del mediolaboral. Los individuos que apoyan esta afirmación pertenecen alos grupos 2, 3, 4, 5 y aproximadamente la mitad del grupo deindividuos promedio.

Respecto al factor “Valoración de la formación encontenidos”, se observó que salvo el grupo 3, el cual semanifiesta en desacuerdo con la formación recibida enMatemática, Psicología, Didáctica y Pedagogía, el resto de losgrupos sí está de acuerdo o, en algunos casos, presentanvariabilidad. Respecto al Factor 3 “Valoración de la formaciónen contenidos de Probabilidad y Estadística”, los individuos queidentificaron un problema respecto a este factor son del grupo6. Además, se observó que existe un 60% de individuos que semanifestó en desacuerdo o medianamente en desacuerdo conesta afirmación. Esto indica que si bien no fue una característicapropia de los demás grupos (en los cuales se observó variabilidad)existe en conjunto un alto porcentaje de individuos que detectaeste problema.

PROPUESTAS

Las propuestas que se describen a continuación tienenpor objetivo plantear un acercamiento al ideal teórico deformación que promueva una alternativa de mejora a losproblemas detectados. Con esta modificación se pretende quelos egresados incorporen elementos teóricos y prácticos que lesfaciliten la tarea de enseñar probabilidad en el ámbito en quedeben ejercer.

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Problemática: La formación no proporciona una base deconocimientos adecuada para la enseñanza.Propuesta: Los contenidos relacionados con Probabilidadabordados en la asignatura cubren ampliamente el temario decontenidos de nivel medio. La modificación que se propone eneste sentido está referida a la inclusión del desarrollo históricode la probabilidad (Santaló, 1955; (Santaló, 1994 b). Por unlado, se sugiere contemplar los problemas que dieron origen a losconceptos, como por ejemplo, los desarrollados por Fermat yPascal. Por otro lado, es posible analizar las diferentesconcepciones de azar que primaban en distintos momentoshistóricos.

Problemática: Las estrategias didácticas utilizadas en la formaciónno son aprovechables en la enseñanza secundaria.Propuesta: De acuerdo con lo formulado anteriormente, el modelode formación se convierte de manera involuntaria en modelo deactuación, es decir, las personas tienden a enseñar de la maneraen que se les enseñó. Por lo tanto, es necesario promover lautilización de estrategias de enseñanza que puedan ser practicadasde manera natural por los futuros egresados cuando se incorporena su ámbito de trabajo. Para ello es fundamental que el formadorde formadores que esté a cargo del dictado de la asignaturaconozca y practique una metodología adecuada, acorde con losprincipios que caracterizan la enseñanza – aprendizaje de laestocástica desde una perspectiva constructivista basada en laresolución de problemas (Garfield, 1995; García Cruz, 2000;Sadovsky et al, 1994). La simulación, tanto con artefactosaleatorios como con computadoras, y la visualización sonestrategias de enseñanza que pueden resultar provechosas, dela misma manera que la vinculación con la estadística descriptivaen el recuento de resultados, la tabulación, el gráfico y lainterpretación de datos (Borovnick & Peard, 1996).

Problemática: La formación no provee orientacionesmetodológicas.Propuesta: Las orientaciones metodológicas se refieren arecomendaciones de enseñanza del contenido en el nivelsecundario. Una alternativa es proponer la discusión de lasrecomendaciones realizadas por diferentes autores y sobre laforma en que se enseña en la materia de grado (Godino et al,1996). También se debe propiciar el conocimiento de materialesy recursos adecuados para este contenido.

Problemática: Carencia de relaciones con otras disciplinas.Propuesta: Como la propuesta se basa en la resolución deproblemas, es posible incorporar situaciones relacionadas con

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otras asignaturas o con otras ramas de la misma Matemática(Santaló, 1994 b). En principio, es posible vincular la probabilidadcon conceptos de geometría, aritmética y álgebra. Además existenproblemas de biología y física que podrían ser de interés si losalumnos del profesorado contaran con los conocimientos previosnecesarios.

Problemática: La formación no propicia el conocimiento de lapráctica docente.Propuesta: Las instituciones formadoras deben promover uncontacto asiduo entre los estudiantes de los profesorados y loscentros de enseñanza. De esta manera, es posible conocer yanalizar aspectos concretos relativos a la práctica docente. Laobservación de clases de Probabilidad en los centros de enseñanzabrinda un adecuado marco de discusión. 3tra alternativa esconseguir trabajos de alumnos de secundario sobre Probabilidado respuestas a cuestionarios predeterminados sobre concepciónde azar, o de problemas usados en la investigación del aprendizajede la Probabilidad (Godino et al, 1998). Otro de los aspectos quepromueve la vinculación con el mundo de la práctica docente esel conocimiento de los errores de enseñanza y aprendizaje(Shaugnessy, 1992; 1998; Girard, 1997). Esto puede ayudar alos futuros docentes a comprender tanto sus dificultades comolas que deberán enfrentar sus alumnos. Estas últimas propuestaspermiten también impulsar la lectura crítica y la discusión deinvestigaciones sobre enseñanza.

En síntesis, se busca modificar el modelo de formación apartir de dos aspectos fundamentales. Por un lado, se requiereun cambio actitudinal y metodológico del docente formador. Estecambio implica que el docente formador reconozca la incidenciaque tiene su actuación en el aprendizaje de los futuros profesores.A partir de este reconocimiento es que se pueden generarproyectos de superación de dificultades. Se busca que el alumnodel profesorado experimente los procesos por los que pasaránsus estudiantes mediante la resolución de problemas, laexperiencia con material concreto, las simulaciones, etc. Por otrolado, se propone complementar la asignatura con aspectosrelativos al conocimiento de la práctica docente. De esta manerase espera que la materia contemple no solo los conocimientosrelativos a la asignatura específica, sino que además proporcioneuna base de conocimientos adecuados para la enseñanza.

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BIBLIOGRAFÍA

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SANTALÓ, Luis: La probabilidad y sus aplicaciones, Buenos Aires,Editorial Ibero Americana, 1955.

SHAUGNESSY, Michael: Research in Probability and Statistics:Reflections and Directions. En: Douglas A. Grouws (Ed.) Handbook ofResearch on Mathematics Teaching and Learning Nueva York,MacMillan,1992.

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INVITACIÓN

Se invita a los señores profesores y docentes en general, a presentar sus trabajos para

ser incluidos en los próximos números de este Boletín, así como las colaboraciones

que estimen. Las mismas pueden presentarse a nombre de esta dirección, en el aula

311 del edificio central de la Universidad.

Por cualquier consulta, comunicarse al teléfono 4659-2417.

Ing. Luinor E. Vilches

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