Processos k-Factor Garma

Processos k-Factor Garma

Aishameriane SchmidtProf. Dr. Cleber Bisognin

Orientador

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática

Departamento de Estatística

Projeto de Monografia - Setembro de 2009

Processos k-Factor Garma

Roteiro

1 O fenômeno da longa dependência

2 Processos k-Factor GARMA(p,u,�,q)

3 Objetivos

4 Estimação

5 Simulações

6 Previsão

7 Cronograma

8 Trabalhos

9 Bibliografia

Processos k-Factor Garma

O fenômeno da longa dependência

Longa dependênciaEm séries temporais, a característica de longa dependência dosdados pode ser percebida no domínio do tempo e no domínioda frequencia;No domínio do tempo, através da função de autocorrelação;No domínio da frequencia, através da função densidadeespectral.

Figura: Periodograma e função de autocovariância de um processoARFIMA(p,d ,q) onde p = 0 = q e d = 0.4.

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O fenômeno da longa dependência

Longa dependênciaEm algumas aplicações, observou-se que os picos noperiodograma não ocorriam na origem, o que motivou acriação de novos modelos para modelagem destes problemas.

Figura: Periodograma de um processo k-Factor GARMA(p,u,�,q)com p = 0 = q, u = 0.4 e � = 0.2 e p = 0 = q, u = (0.4,0.45) e� = (0.2,0.45).

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Definição dos processos k-Factor GARMA

DefiniçãoSeja {Xt}t∈ℤ um processo estocástico que satisfaz a equação

�(ℬ)k∏

j=1

(1− 2ujℬ + ℬ2)�j (Xt − �) = �(ℬ)"t , (1)

onde k é um inteiro finito, ∣uj ∣ ⩽ 1 e �j é um número fracionário,para j = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , k , � é a média do processo, {"t}t∈ℤ é um processoruído branco e �(⋅) e �(⋅) são polinômios de grau p e q. Então,{Xt}t∈ℤ é um processo auto-regressivo de média móvelk-Factor Gegenbauer de ordem (p,u,�,q), denotado por k -FactorGARMA(p,u,�,q), onde u = (u1, ⋅ ⋅ ⋅ ,uk )

′ e � = (�1, ⋅ ⋅ ⋅ , �k )′.

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q)

Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,�,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).

ProposiçãoSeja {Xt}t∈ℤ um processo k-Factor GARMA(p,u,�,q)conforme a Definição 1. Então,

i) o processo {Xt}t∈ℤ é estacionário se todas as raízes daequação �(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e �j , para 1 ⩽ j ⩽ k, satisfazem �j < 0.5, quando∣uj ∣ < 1 e �j < 0.25, quando ∣uj ∣ = 1, para j = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , k;

ii) o processo estacionário {Xt}t∈ℤ possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, �j > 0, para 1 ⩽ j ⩽ k;

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q)

Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,�,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).

ProposiçãoSeja {Xt}t∈ℤ um processo k-Factor GARMA(p,u,�,q)conforme a Definição 1. Então,

i) o processo {Xt}t∈ℤ é estacionário se todas as raízes daequação �(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e �j , para 1 ⩽ j ⩽ k, satisfazem �j < 0.5, quando∣uj ∣ < 1 e �j < 0.25, quando ∣uj ∣ = 1, para j = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , k;

ii) o processo estacionário {Xt}t∈ℤ possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, �j > 0, para 1 ⩽ j ⩽ k;

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q)

Na proposição a seguir, apresentamos alguns resultados sobrek -Factor GARMA(p,u,�,q) estabelecidos e provados emGiraitis e Leipus (1995) e Woodward et al. (1998).

ProposiçãoSeja {Xt}t∈ℤ um processo k-Factor GARMA(p,u,�,q)conforme a Definição 1. Então,

i) o processo {Xt}t∈ℤ é estacionário se todas as raízes daequação �(z) = 0 estão fora do círculo unitário, e alémdisso, uj e �j , para 1 ⩽ j ⩽ k, satisfazem �j < 0.5, quando∣uj ∣ < 1 e �j < 0.25, quando ∣uj ∣ = 1, para j = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , k;

ii) o processo estacionário {Xt}t∈ℤ possui longa dependênciase satisfaz as condições do item i) desta proposição e,além disso, �j > 0, para 1 ⩽ j ⩽ k;

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q) (cont.)

Figura: Relação entre os valores dos parâmetros do processok -Factor GARMA(p,u,�,q) com o processo ARFIMA(p,d ,q),ARIMA(p,d ,q) e ARMA(p,q).

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q) (cont.)

Proposição

iii) a função densidade espectral do processo k-FactorGARMA, definido pela expressão (1), é dada por

fX (w) =�2"

2�∣�(e−iw )∣2

∣�(e−iw )∣2k∏

j=1

[2(cos(w)− uj)]−2�j , (2)

onde 0 < w ⩽ � e Gj = cos−1(uj) são as chamadasfreqüências de Gegenbauer. fX (⋅) é ilimitada nasfreqüências Gj = cos−1(uj), j = 1, ⋅ ⋅ ⋅ , k.

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q) (cont.)

Figura: Função densidade espectral dos processos k -FactorGARMA(p,u,�,q), com � = (0.2,0.2), para k = 2 e� = (0.2,0.2,0.2), para k = 3: (a) k = 2, u = (−0.4,0.8), p = 0 = q;(b) k = 3, u = (−0.7,0.3,0.9), p = 0 = q.

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Processos k-Factor GARMA(p, u,�, q)

Propriedades dos processos k-FactorGARMA(p,u,�,q) (cont.)

Proposição

iv) Representação MA(∞)

(z) =∑ℓ⩾0

ℓzℓ =�(z)�(z)

k∏j=1

(1− 2ujℬ + ℬ2)−�j . (3)

v) Representação AR(∞)

�(z) =∑l⩾0

�lz l =�(z)�(z)

k∏j=1

(1− 2ujℬ + ℬ2)�j . (4)

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Objetivos

Objetivos do estudo

i) Levantar informações de cunho teórico a respeito dosprocessos Gegenbauer, GARMA e k-Factor GARMA;

ii) Gerar o processo k-Factor GARMA;iii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos

parâmetros � e u para o processo k-Factor Garma paradiferentes valores de k;

iv) Fazer previsões;v) Aplicações em dados reais.

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Objetivos

Objetivos do estudo

i) Levantar informações de cunho teórico a respeito dosprocessos Gegenbauer, GARMA e k-Factor GARMA;

ii) Gerar o processo k-Factor GARMA;

iii) Estudar os diferentes métodos de estimação dosparâmetros � e u para o processo k-Factor Garma paradiferentes valores de k;

iv) Fazer previsões;v) Aplicações em dados reais.

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Objetivos

Objetivos do estudo

i) Levantar informações de cunho teórico a respeito dosprocessos Gegenbauer, GARMA e k-Factor GARMA;

ii) Gerar o processo k-Factor GARMA;iii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos

parâmetros � e u para o processo k-Factor Garma paradiferentes valores de k;

iv) Fazer previsões;v) Aplicações em dados reais.

Processos k-Factor Garma

Objetivos

Objetivos do estudo

i) Levantar informações de cunho teórico a respeito dosprocessos Gegenbauer, GARMA e k-Factor GARMA;

ii) Gerar o processo k-Factor GARMA;iii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos

parâmetros � e u para o processo k-Factor Garma paradiferentes valores de k;

iv) Fazer previsões;

v) Aplicações em dados reais.

Processos k-Factor Garma

Objetivos

Objetivos do estudo

i) Levantar informações de cunho teórico a respeito dosprocessos Gegenbauer, GARMA e k-Factor GARMA;

ii) Gerar o processo k-Factor GARMA;iii) Estudar os diferentes métodos de estimação dos

parâmetros � e u para o processo k-Factor Garma paradiferentes valores de k;

iv) Fazer previsões;v) Aplicações em dados reais.

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Estimação

Estimadores utilizados

GPH: Proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), é umestimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;

BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;FT: Consiste em minimizar uma soma escrita em funçãodo periodograma e pode ser utilizado para qualquersequência gaussiana estacionária. Utiliza umaaproximação para a matriz de covariâncias.

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Estimação

Estimadores utilizados

GPH: Proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), é umestimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;

EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;FT: Consiste em minimizar uma soma escrita em funçãodo periodograma e pode ser utilizado para qualquersequência gaussiana estacionária. Utiliza umaaproximação para a matriz de covariâncias.

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Estimação

Estimadores utilizados

GPH: Proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), é umestimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;

FT: Consiste em minimizar uma soma escrita em funçãodo periodograma e pode ser utilizado para qualquersequência gaussiana estacionária. Utiliza umaaproximação para a matriz de covariâncias.

Processos k-Factor Garma

Estimação

Estimadores utilizados

GPH: Proposto por Geweke e Porter-Hudak (1983), é umestimador semi-paramétrico que utiliza a funçãoperiodograma;BA: É baseado no uso da função periodograma suavizadode covariâncias;EMLE: É obtido maximizando-se a função deverossimilhança;FT: Consiste em minimizar uma soma escrita em funçãodo periodograma e pode ser utilizado para qualquersequência gaussiana estacionária. Utiliza umaaproximação para a matriz de covariâncias.

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Simulações

Simulações

Simulações de Monte Carlo com 1000 replicações dasséries;

Geração dos processos através da representação MA(∞);Comparação da eficiência dos estimadores em relação aovício, EQM e variância;Serão simuladas séries para diferentes valores de u e de�;As rotinas serão implementadas em S-Plus.

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Simulações

Simulações

Simulações de Monte Carlo com 1000 replicações dasséries;Geração dos processos através da representação MA(∞);

Comparação da eficiência dos estimadores em relação aovício, EQM e variância;Serão simuladas séries para diferentes valores de u e de�;As rotinas serão implementadas em S-Plus.

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Simulações

Simulações

Simulações de Monte Carlo com 1000 replicações dasséries;Geração dos processos através da representação MA(∞);Comparação da eficiência dos estimadores em relação aovício, EQM e variância;

Serão simuladas séries para diferentes valores de u e de�;As rotinas serão implementadas em S-Plus.

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Simulações

Simulações

Simulações de Monte Carlo com 1000 replicações dasséries;Geração dos processos através da representação MA(∞);Comparação da eficiência dos estimadores em relação aovício, EQM e variância;Serão simuladas séries para diferentes valores de u e de�;

As rotinas serão implementadas em S-Plus.

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Simulações

Simulações

Simulações de Monte Carlo com 1000 replicações dasséries;Geração dos processos através da representação MA(∞);Comparação da eficiência dos estimadores em relação aovício, EQM e variância;Serão simuladas séries para diferentes valores de u e de�;As rotinas serão implementadas em S-Plus.

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Previsão

Previsão

Segundo Priestley (1981), para um processo linear, aprevisão de erro quadrático médio mínimo é dada por

X̂t(h) := E(Xt+h∣Xℓ, ℓ ⩽ t). (5)

Quando {Xt}t∈ℤ é um processo k-factor GARMA, aprevisão de erro quadrático médio mínimo é dada por:

X̂n(h) = −∑k∈ℕ

�k X̂n(h − k), (6)

onde {�k}j⩾0.

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Previsão

Previsão

Segundo Priestley (1981), para um processo linear, aprevisão de erro quadrático médio mínimo é dada por

X̂t(h) := E(Xt+h∣Xℓ, ℓ ⩽ t). (5)

Quando {Xt}t∈ℤ é um processo k-factor GARMA, aprevisão de erro quadrático médio mínimo é dada por:

X̂n(h) = −∑k∈ℕ

�k X̂n(h − k), (6)

onde {�k}j⩾0.

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Cronograma

Cronograma

Figura: Cronograma do projeto.

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Trabalhos

Trabalhos apresentados e aceitos para apresentação

Schmidt AV, Bisognin C, Lopes SRC. Geração e estimaçãoem processos Gegenbauer apresentado no 4o Salão deGraduação - UFRGS, Porto Alegre. Maio, 2009.Schmidt AV, Bisognin C, Lopes SRC. Estimação emprocessos GARMA apresentado na 13a ESTE - ICMCUSP, São Carlos. Julho, 2009.Schmidt AV, Bisognin C, Lopes SRC. Generation andestimation in k-factor GARMA processes aceito para o XICLAPEM - Venezuela. Novembro, 2009.

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Bibliografia

Referências BibliográficasBrockwell, P.J. e R.A. Davis (1991). Time Series: Theoryand Methods. New York: Springer-Verlag.

Bisognin, C. (2007). Estimação e Previsão em ProcessosSARFIMA(p,d ,q)x(P,D,Q)s na Presença de Outliers.Tese de Doutorado, Instituto de Matemática, UFRGS.

Ferrara , L. e D. Guégan (2001). “Forecasting with k-factorGegenbauer processes: Theory and Applications". Journal ofForecasting, Vol. 20, pp. 581-601.

Fox, R. e M.S. Taqqu (1986). “Large-sample Properties ofParameter Estimates for Strongly Dependent StationaryGaussian Time Series”. The Annals of Statistics, Vol. 14, pp.517-532.

Geweke, J. e S. Porter-Hudak (1983). “The Estimation andApplication of Long Memory Time Series Model”. Journal of TimeSeries Analysis, Vol. 4(4), pp. 221-238.

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Bibliografia

Referências Bibliográficas

Giraitis, L. e R. Leipus (1995). “A Generalized FractionallyDifferencing Approach in Long Memory Modelling”.Lithuanian Mathematical Journal, Vol. 35(1), pp. 53-65.

Gray, H. L., N-F. Zhang e W.A. Woodward (1989). “OnGeneralized Fractional Processes”. Journal of Time SeriesAnalysis, Vol. 10(3), pp. 233-257.

Sowell, F. (1992). “Maximum Likelihood Estimation ofStationary Univariate Fractionally Integrated Time SeriesModels”. Journal of Econometrics, Vol. 53, pp. 165-188.

Woodward, W.A., Q.C. Cheng e H.L. Gray (1998). “Ak -Factor GARMA Long-Memory Model”. Journal of TimeSeries Analysis, Vol. 19(4), pp. 485-504.

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Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Matemática

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