lucr lab mec asis calculator (1)

7/27/2019 Lucr Lab Mec Asis Calculator (1)

1/78

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEI

LUCRRI DE LABORATOR LAMECANIC ASISTATE DE

CALCULATOR

ndrumar de laborator la fizic

Chiinu2012


2/78

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEI

Facultatea Radioelectronic i TelecomunicaiiCatedra Fizic

Lucrri de laborator la mecanic

asistate de calculator

ndrumar de laborator la fizic

ChiinuU.T.M.

2012


3/78

ndrumarul de laborator este elaborat n conformitate cu

programa de studiu la fizic pentru Universitatea Tehnic. Lafiecare lucrare de laborator sunt formulate scopul i obiectivelelucrrii i este prezentat succint materialul teoretic la tema studiat.De asemenea, la toate lucrrile sunt formulate ntrebri de control,rspunsul la care necesit minimul de cunotine necesare pentruadmiterea la efectuarea lucrrilor de laborator.

ndrumarul este destinat studenilor tuturor specialitilor,seciilor la zi i cu frecvenredus.

Autori: conf. univ., dr. A. Rusuconf. univ., dr. S. Rusulector superior C. Prac

Recenzent conf. univ., dr. fiz.-matem., U.S.M. V.Duciac

U.T.M., 2012


4/78

3

Lucrarea de laborator 1c

Verificarea experimental a teoremei desprevariaia energiei cinetice a unui corp supus aciunii

forei elastice pe un plan orizontal

Scopul lucrrii: Verificarea experimental a teoremei desprevariaia energiei cinetice a unui corp supus aciunii forei elastice lamicarea lui pe un plan orizontal i determinarea constantei deelasticitate a resortului.

Obiective: De rnd cu obiectivele generale ale lucrrii, lasfritul leciei studenii trebuie s mai fie capabili: s defineasc noiunea de energie cinetic i lucru mecanic; s deduc formula pentru energia cinetic a unui corp n micare; s deduc teorema despre variaia energiei cinetice; s verifice experimental teorema despre variaia energiei cinetice

a unui corp supus aciunii forei elastice: 2 22 2m kx=v ;

s construiasc la calculator graficul dependenei ( )21Y m d t = n funcie de ( )

2

0X x x= dup punctele experimentalei s se

conving c acesta reprezint un segment de dreapt; s determine panta dreptei construite utiliznd metoda celor mai

mici ptrate, precum i constanta de elasticitate a resortuluiutilizat n experien;

s estimeze la calculator erorile standard comise i s tragconcluzii privind veridicitatea teoremei despre variaia energiei

cinetice, considernd diferite niveluri de ncredere.


5/78

4

Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesareadatelor experimentale, cablu COM, cronometru electronic, 1 senzor,stativ, plan cu piste pentru direcionarea micrii cruciorului, barde fixare a senzorilor, crucior cu obturator i indicator, set de

arcuri extensibile cu crlige, bulon cu material adeziv, mufe.De studiat: pp. 312, i cap.3 din [1].

Consideraii teoretice i experimentale

Msura micrii corpului, determinat de lucrul forelor externenecesar pentru oprirea acestuia, se numete energie cinetic:

c frE L= . (1.1)

Lucrul unei fore constante const.F =

ce acioneaz asupra unuicorp se determinprinprodusul scalar dintre for i deplasarea s

realizat de corp sub aciunea acestei fore:

( ) cosL F s Fs = =

(1.2)

Pentru determinarea lucrului unei fore variabile const.F

trebuie s divizm imaginar deplasarea n elemente att de micids

, nct de-a lungul lor fora s poat fi considerat constant.Calculm lucrurile elementare, le nsumm i, pentru ca rezultatuls fie exact, trebuie s mai calculm limita acestei sume cnddeplasrile elementare tind spre zero. Aceast procedur, dup cumse tie, se numete integrare. Astfel, lucrul unei fore variabile

const.F

se calculeaz cu ajutorul integralei curbilinii:

( )( )l

L Fds=

, (1.3)

unde integrarea se realizeaz dup curba ( )l , de-a lungul creia se

deplaseaz punctul material.Pentru a stabili formula de calcul a energiei cinetice considerm

un corp de masa m ce se mic cu vitezav

i acionm asupra lui


6/78

5

cu o for de frnarefrF

. Dac fora de frnare este constant i

micarea este rectilinie, adic const.frF =

, atunci lucrul efectuat de

aceasta pn la oprirea complet a corpului este:

cosfr frL F s m a s= = , (1.4)

unde, conform principiului fundamental al dinamicii, fora defrnare a fost nlocuit cu produsul dintre masa corpului m iacceleraia a cauzat de aceast for, adic frF m a= , iar s este

distana parcurs de corp pn la oprirea lui complet. Determinndprodusul a s din formula lui Galilei 2 2 a s= v i substituindu-l

n (1.4), innd seama de (1), obinem:

2

2c

mE =

v

, (1.5)

unde v este viteza corpului.n cazul cnd corpul este frnat cu ajutorul unei fore variabile

const.F

, formula (1.3), dup cum era i de ateptat, ne conducela acelai rezultat (1.5).Dac asupra unui corp cu masa m acioneaz o for constant

F

, atunci lucrul acesteia

cos sL Fs F S mas= = = , (1.6)

unde cossF F = este proiecia forei F

pe direcia micrii

corpului, care este egal cu produsul dintre masa corpului iacceleraia lui, adic sF ma= . Determinnd produsul aS din

formula lui Galilei 2 22 1

2aS =v v i substituindu-l n (1.4), obinem:

2 2

2 1

2 2

m mL =

v v

(1.7)

sau

2 1c cE E L = . (1.8)


7/78

6

Fig. 1.1

Astfel, am demonstrat teorema despre variaia energiei cinetice aunui corp, care arat c aceast variaie este egal cu lucrul forelorexterioare ce acioneaz asupra lui. Se poate demonstra c teoremaeste valabil i n cazul cnd fora exterioar este variabil, cum

este, de exemplu, fora elastic.Aceast teorem se

poate verifica experi-mental pentru diferitecazuri particulare.Vom considera acumunul dintre ele. Fieun crucior de masmce se afl n repauspe un plan orizontal,dilatnd un resort extensibil, avnd constanta de elasticitate k (fig.1.1). Dac resortul este dilatat cu

0x x x= (fig. 1.1), atunci la

eliberarea cruciorului fora elastic

elF kx=

, (1.9)

orientat n sens opus deformaiei resortului va efectua asupracruciorului lucrul mecanic

0 2

2x

kxL k xdx= = , (1.10)

n cazul cnd resortul se restabilete complet sau lucrul mecanic

1 221

2 2

x

x

kxkxL k xdx= = , (1.11)

cnd restabilirea resortului este parial i se micoreaz de la x pn la 1x . n poziia iniial x , cruciorul se afl n repaus i

energia lui cinetic 1 0cE = . n poziia final 0x , resortul este

restabilit complet, iar cruciorul se mic spre dreapta cu viteza

v ,

avnd energia cinetic


8/78

7

2

22

c

mE =

v

. (1.12)

Substituind (1.10) i (1.12) n (1.8) obinem urmtoarea relaie,

echivalent teoremei despre variaia energiei cinetice n experienaconsiderat2 2

m kx=v . (1.13)

Vom aproxima viteza instantanee a cruciorului n poziia0x cu

viteza medie pe distana egal cu grosimea d a obturatorului

1

d

t

=v , (1.14)

unde 1t reprezint intervalul de timp n care obturatorul

cruciorului de grosime d acoper fascicolul senzorului (cndacesta trece prin poziia

0x ) i resortul este restabilit complet.

Substituind (1.14) n (1.13) i innd seama c 0x x x= , obinem

relaia definitiv exprimat prin mrimi direct msurabile i care

este echivalent cu teorema despre variaia energiei cinetice naceast experien:

( )2

2

0

1

dm k x x

t

=

. (1.15)

Vom verifica experimental relaia (1.15), considernd-o drept ofuncie liniar de forma:

Y pX b= +, (1.16)unde

2

1

dY m

t

=

, (1.17)

( )2

0X x x= , (1.18)

iar b este termenul liber, care are sensul valorii mrimii Y atunci

cnd 0X = . Teoretic ar trebui ca 0b = , practic, ns, din cauza


9/78

8

Fig. 1.2

comiterii vreo unei erori sistematice la determinarea deformaieiresortului 0x x x= s-ar putea ntmpla ca termenul liber s se

obin diferit de zero 0b . n acest caz, valoarea constantei deelasticitate determinate direct din formula (1.15) va fi greit, iarvaloarea ei determinat cu ajutorul graficului construit va fi ceacorect, ntruct panta dreptei nu este afectat de valoareatermenului liber.

Construim, n continuare, graficul dependenei ( )2

1Y m d t = ca

funcie de mrimea ( )2

0X x x= . Dac teorema despre variaia

energiei cinetice a corpului n aceast experien este valabil,

atunci graficul trebuie s fie un segment de dreapt (fig. 1.2). Pantaacestei drepte:

tgBC

p kAC

= = = . (1.19)

Graficul se va construi pentru n puncte experimentale ce se obin,efectund 5n serii a cte 10N

msurri. Formula (1.19) se aplicatunci cnd graficul se construietemanual pe hrtie milimetric. Dacgraficul se construiete la calculator,atunci att panta dreptei ,p ct i

eroarea standard p , dar i eroarea

relativ p p k k = = se vor

calcula prin metoda celor mai miciptrate (vezi 3.5 din [3]). Eroareastandard p calculat corespunde unui nivel de ncredere

68,3%P = . Pentru niveluri de ncredere mai ridicate eroareastandard se va calcula manual (vezi [3])

Experiena poate fi efectuat cu unul din cele dou resorturiextensibile cu crlige din setul propus, dar, n caz de necesitate, se

pot utiliza i alte resorturi. Resortul se fixeaz cu crligul din


10/78

9

Fig. 1.3

stnga (fig. 1.3) pe unbulon cu material adezivcare apoi se nurubeazn crucior. Crligul din

dreapta (fig. 1.3) se agade suportul din dreapta al barei directoare. Deasupra resortului, npoziia

0x , se situeaz unul din senzorii cronometrului electronic.

Deplasnd cruciorul n stnga pn n poziia cu coordonata x ,vom ntinde resortul cu 0x x x= . La eliberare, cruciorul va trece

prin poziia cu coordonata 0x , iar cronometrul va msura intervalul

de timp1

t . ntruct resorturile cu crlige au constante de elasticitate

mici, deformarea lor poate fi repetat manual ori de cte ori sedorete cu o precizie suficient, citind coordonatele iniial x ifinal

0x cu ajutorul indicatorului cruciorului de pe rigla planului.

La trecerea de la o serie de repetri la alta este posibil: 1) de meninutneschimbat masa cruciorului m , iar coordonata lui x de variat; 2)de variat att masa cruciorului m , ct i coordonata lui x .

Trebuie de menionatc dac senzorul este fixat exact n poziiacu coordonata

0x , atunci prelungirea segmentului de dreapt

trebuie s treac prin originea axelor de coordonate.

Fia de lucru

1. Accesaiprogramul pentru efectuarea lucrrii de laborator icompletai datele cerute (grupa, numele i prenumele, numele i

prenumele profesorului, localitatea). Accesai butonulContinuare i ajungei la fereastra Caracteristicilelucrrii. Completai compartimentele scopul lucrrii, aparatei accesorii. Accesnd butonul Continuare ajungei lafereastra Efectuarea msurrilor. Selectainumrul de seriin i numrul de msurri N, i introducei-le n calculator.

2. Stabilii planul nclinat cu ajutorul nivelmetrului n poziieorizontal(se poate utiliza i o bil situat pe ulucul director).Msurai diametrul d al obturatorului cu ublerul. nurubai n


11/78

10

crucior indicatorul poziiei, obturatorul i bulonul cu materialadeziv, avnd resortul deja fixat. Determinaiprin cntriremasa sistemului format m . Introducei valorile acestormrimin calculator, bifnd una din posibilitile selectate pentru masa

cruciorului: fix sau variabil. Stabilii cruciorul pe plan iagai resortul de suportul din dreapta al barei directoare.

3. Fixai pe stativ bara senzorilor, iar pe ea un senzor astfel nctobturatorul cruciorului s ntretaie fascicolul lui imediat dupterminarea contractrii resortului. Determinai coordonata lui

0x i introducei-o n calculator.

4. Conectai cronometrul prin cablul COM la calculator ideclanai-l.5. Deplasai cruciorul extinznd resortul pn n poziia cucoordonata x (fig. 1.1). Introducei valoarea x n calculator.Folosind resortul scurt din setul propus, evitai deformaiileprea mari ale acestuia pentru ca s nu apar deformaiiremanente. Se pot lua lungimi ale resortului deformat nu maimari de 0,5 din lungimea planului nclinat.

6. Accesai butonul Start, eliberai cruciorul i observaiintervalul de timp 1t , n care obturatorul lui a acoperit fascicolulsenzorului. Accesai butonul Citirea datelor i transferaiintervalul de timp msurat n calculator, unde se calculeaz

valorile mrimilor ( )2

0X x x= i ( )

2

1Y m d t = .

7. Accesai butonul Urmtoarea msurare i repetai punctele5 i 6 nc de 1N ori. ntruct experiena se efectueaz frbara directoare, dup trecerea obturatorului printre braelesenzorului, cruciorul trebuie susinut cu mna pentru ca acestas nu ias de pe piste i s nu cad de pe plan.

8. Dup terminarea seriei de msurri accesai butonulUrmtoarea msurare, unde se calculeaz valorile medii ale

mrimilor ( )

2

0X x x= ,

( )2

1Y m d t = . Selectai urmtoarea

valoare a coordonatei x i introducei-o n calculator. Adugai

i o mas marcat pe crucior, dac ai ales s efectuai


12/78

11

experiena cu o mas variabil. Efectuai a doua serie demsurri.

9. Repetaipunctul 8 nc de 2n ori pentru alte valori alecoordonatei x .

10.Dup terminarea tuturor seriilor de msurri accesai butonulContinuare i ajungei la fereastra Prelucrarea datelorexperimentale. Analizai tabelul valorilor medii.

11.Accesai butonul Accept la punctul Prelucrarea datelorexperimentale i obinei graficul dependenei studiate,precum i valoarea pantei dreptei, adic a constantei deelasticitate k.

12.Accesai butonul Accept la punctul Calculul erorilor iobinei eroarea standard a pantei.

13.Introducei n calculator rezultatul final.14.Accesai butonul Accept la punctul Concluzii i formulai-le.15.Accesai butonul Referat i iniiai programul de perfectare a

referatului la lucrarea efectuat. Salvai referatul.16.Accesai butonul Fini i finalizaiefectuarea lucrrii.

ntrebri de control

1. Definii noiunile de energie cinetic i de lucru mecanic al uneifore: a) constante; b) variabile.

2. Deducei formula pentru energia cinetic a unui corp de masm ce efectueaz o micare de translaie cu viteza v .

3. Deducei teorema despre variaia energiei cinetice.4. Explicai metoda de verificare experimental a teoremei despre

variaia energiei cinetice n lucrare i deducei formula (1.13).5. Cum se determin viteza cruciorului n poziia final 0x ?6. Cum se determin deformaia resortului?7. Cum se construiete graficul dependenei (1.15)?8. Cnd se consider c teorema variaiei energiei cinetice este

verificat experimental?9. Cum se determin panta dreptei construite i ce semnificaie are

ea?


13/78

12

10.Cte variante de verificare experimental a teoremei variaieienergiei cinetice sunt posibile n lucrare i care sunt ele?

11.Cum se calculeaz eroarea standard a constantei de elasticitatecomis n experiment i crui nivel de ncredere i corespunde?

12.Cum se calculeaz eroarea standard pentru alte niveluri dencredere?13.Cum se scrie rezultatul final?14.Ce concluzii ai trage dac rezultatele experimentale ar fi cele

ateptate?


Verificarea principiului fundamental al dinamicii

micrii de translaie la micarea unui crucior peplanul nclinat

Scopul lucrrii:Verificarea experimental a principiului funda-mental al dinamicii micrii detranslaie.

Obiective: De rnd cu obiectivele generale ale lucrrii, lasfritul leciei studeniitrebuie s mai fie capabili: s formuleze principiul fundamental al dinamicii micrii de

translaie; s verifice experimental justeea principiului fundamental al

dinamicii micrii de translaie n cazurile cnd fora de frecare(rezisten) poate fi neglijat i cnd ea este comparabil cu cea

exterioar; s construiasc la calculator dup punctele experimentale

graficele dependenelor (2.5) i (2.6); s determine cu ajutorul graficelor pantele dreptelor obinute i

valoarea coeficientului de frecare (rezisten) la micareacruciorului pe planul nclinat;

s estimeze erorile standard comise n experiment la determina-rea pantelor dreptelor construite pentru diferite niveluri dencredere;


14/78

13

n baza rezultatelorexperienei efectuate s trag concluzii pri-vind valabilitatea principiului fundamental al dinamicii micriide translaien experiene.

Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesareadatelor experimentale, cablu COM, stativ, plan cu piste pentrudirecionarea micrii cruciorului, 2 bare scurte, aibe de plastic,crucior, set de obturatoare cilindrice, cronometru electronic, 2senzori, bar de susinere a senzorilor, mufe, rigl, ubler.

De studiat: pp.1220 i cap.2 din [1].

Consideraii teoretice i experimentalePrincipiul fundamental al dinamicii micrii de translaie a unui

corp afirm c acceleraia a

a corpului (punctului material) n

micare este direct proporional cu rezultanta F

a tuturor forelorce acioneaz asupra corpului iinvers proporional cu masa m a

acestuia, fiind orientat n sensul rezultantei F

:

Fam

=

(2.1)

sau

F ma=

, (2.2)

adic rezultanta F

a tuturor forelor ce acioneaz asupra corpuluieste egal cu produsul dintre masa lui m i acceleraia a

pe care o

obine corpul sub aciunea forelor cu rezultanta F

.Aceste formulri sunt valabile n cazul cnd masa mobilului nuvariaz n timpul micrii, adic const.m = . n caz mai general,cnd n timpul micrii const.m , principiul fundamental aldinamicii punctului material are aspectul:

d pF

dt=

, (2.3)


15/78

14

Fig. 2.1

unde p m= v

este impulsul punctului material. Astfel, rezultanta

forelor F

ce acioneaz asupra mobilului este egal cu viteza devariaie a impulsului acestui mobil. Este de remarcat c relaia(2.3) este valabil i pentru const.m = , ntruct n acest caz (2.3)trece n (2.2).

n continuare vom considera cazul cnd n timpul micrii

mobilului rezultanta forelor nu variaz ( const.F =

). n acest caz iacceleraia corpului const.a =

. Vom verifica experimental justeeaprincipiului fundamentalal dinamicii la micareade translaie a unui

crucior pe planulnclinat (fig. 2.1). Asupracruciorului acioneazfora de reaciune

normal a planului N

,fora de greutate mg

ifora de frecare (de

rezisten n rulmeniicruciorului)

frF

, care

este foarte mic datorit utilizrii n calitate de roi ale crucioruluia unor rulmeni fini. Se pot realiza dou cazuri:

1. Fora de frecare(rezisten)poate fi neglijat n comparaie cu

rezultanta F

a forelor de greutate mg

i de reaciune normal N

a planului nclinat, adic sinfr

mg F >> , ceea ce corespunde

unghiurilor mari de nclinare aleplanului fa de orizontal;2. Fora de frecare (rezisten) nu poate fi neglijat n comparaie

cu rezultanta F

a forelor de greutate mg

i de reaciune normal N

a planului nclinat, adic sinfr

mg F , ceea ce corespunde

unghiurilor mici de nclinare a planului fa de orizontal.


16/78

15

n primul caz, cnd fora de frecare poate fi neglijat, ecuaia(2.2) scris n proiecii pe axa x (fig. 2.1) de-a lungul creia esteorientat acceleraia a

are aspectul:

sinmg ma = (2.4)sau

ha g

l= , (2.5)

unde sin h l = , iar l este lungimea planului nclinat. Astfel,pentru unghiuri mari de nclinare a planului fa de orizontal,principiul fundamental al dinamicii micrii de translaie este

echivalent cu relaia (2.5).n cazul doi, adic pentru unghiuri mici de nclinare a planului

fa de orizontal fora de frecare nu poate fi neglijat. Principiulfundamental (2.2) n proiecii pe axele x i y (fig. 2.1) n acest cazare aspectul:

sin ,

cos 0,

frmg F ma

mg N

=

=

unde frF N= .

De aici obinem: ( )cos tga g = . ntruct unghiul de

nclinare a planului fa de orizontal este mic, rezult c 0l b

i de aceea 0cos 1b l = . innd seama c 0tg h b = obinem:

0

ha g

b

=

. (2.6)

Se observc micorarea nlimii h a planului conduce la mico-rarea acceleraiei cruciorului. Cnd 0 , formula (2.6) trece n(2.5). Astfel, principiul fundamental al dinamicii n cazulunghiurilor mici este echivalent cu relaia (2.6), care reprezint ofuncie liniar de parametrul 0h b .


17/78

16

Fi . 2.2

Pentru verificarea experimental a relaiilor (2.5) i (2.6), caresunt echivalente principiului fundamental al dinamicii micrii detranslaie n dou cazuri limit, trebuie identificat o metodcinematic de msurare indirect a acceleraiei cruciorului ce se

mic pe planul nclinat. Una din posibilitile cele mai potriviteeste folosirea relaiei de definiie a acceleraiei:

0at

=

v v

, (2.7)

unde0veste viteza iniial, iar v viteza mobilului la momentul de

timp t. Deoarece acceleraia a este constant, intervalul de timp tpoate lua valori orict de mari. Din relaia (2.7) rezult:

0 at= +v v . (2.8)

Viteza instantanee, de regul, se aproximeaz cu viteza medie peo distan suficient de mic (grosimea obturatorului). Uneori nsnu este nevoie de aceast aproximaie.Aceasta se ntmpl n cazulmicrii uniform variate cnd se poate considera c viteza medie peo anumit distan coincide cu viteza instantanee n momentul de

timp egal cu jumtate din intervalul de timp n care mobilulparcurge ntreaga distan. ntr-adevr, dac mobilul parcurgedistana S n timpul t, atunci n cazul micrii uniform accelerate:

( )2med 0 02 2S t t at t a t = = + = +v v v , (2.9)

ceea ce demonstreaz afirmaia de mai sus.Pentru determinarea

vitezelor instantanee0vi v se msoar cu

cronometrul stabilit nregimul 3n inter-valele de timp 1t i 3t

n care obturatorulcruciorului de grosime

d n micarea sa


18/78

17

Fig. 2.3

uniform accelerat acoper fascicolele senzorilor situai n poziiileAi B (fig. 2.2),precum i timpul 2t , care dureaz de la descoperirea

fascicolului senzorului A pn la nceputul acoperirii fascicoluluisenzorului B. n continuare, observm c vitezele medii

med. 1Ad t=v i med. 3B d t=v coincid cu vitezele instantanee n

mijlocul intervalelor respective de timp, adic la momentele1 2t i

3 2t . n acest caz, intervalul de timp t din formula (2.8) va fi

1 2 32 2.t t t t = + + Substituind n (2.8), obinem:

3 1

1 2 32 2

d t d t a

t t t

=

+ +. (2.10)

Relaia (2.5) poate fi considerat o funcie liniar de parametrulh l , adic de forma Y pX b= + , unde Y a= , X h l= , p g= .Termenul liber se va lua diferit de zero 0b pentru a puteaidentifica i elimina influena unei eventuale erori sistematice ladeterminarea pantei dreptei. Dinfigura 2.3 se observ c

prelungirea dreptei taie pe axaabsciselor un segment egal cuvaloarea sin , pentru careacceleraia a se anuleaz:

0 0sin h l h l = = . Pentru aceast

valoare, rezultanta F

a forelordegreutate mg

i de reaciune nor-

mal N

a planului nclinat estecompensat de ctre fora defrecare (rezisten):

0 0 0sinfrF F mg mg h l= = = .

Dup cum se observ din (2.5), panta acestei drepte trebuie sfie egal cu acceleraia gravitaional sau mai exact, valoareacunoscut a acceleraiei gravitaionale trebuie s se afle n interiorul

intervalului de ncredere al pantei p : ( )p p g p p < < + . Astfel,


19/78

18

Fig. 2.4

dac graficul dependenei (2.5) construit dup punctele experimen-tale reprezint un segment de dreapt i acceleraia gravitaional seafl n intervalul de ncredere al pantei acestei drepte, atunci putemtrage concluzia c principiul fundamental al dinamicii micrii de

translaie este just n limitele anumitor erori comise n experiment.Relaia (6), de asemenea, poate fi considerat o funcie liniar de

parametrul0

h b , adic de forma Y pX b= + , unde Y a= ,

0X h b= , p g= , iar

b g= . Dac principiulfundamental al dinamiciimicrii de translaie este

just, iarfora de frecare nupoate fi neglijat, atunciconstruind dup puncteleexperimentale graficuldependenei (2.6) deparametrul 0h b , trebuie

s obinem un segment de

dreapt (fig. 2.4) cu pantap BC AC g= = . (2.15)

Totodat, prelungirea acestei drepte (fig. 2.4) ntretaie pe axaabsciselor un segment egal cu coeficientul de frecare . Valoareaobinut a coeficientului de frecare poate fi comparat cu valoareaestimat cu ajutorul relaiei (2.6).

Fia de lucru1. mbrcaio muf pe unul din suporturile verticale ale stativului.

Cu ajutorul nivelmetrului sau al unei bile situate pe unul dinulucele planului, instalaiplanul n poziie orizontal. Ridicaiilipii aceast mufa de una din mufele de fixare ale planului.nurubai n crucior arcul de amortizare i fixai obturatorulcu diametrul 10 mmd = . Situaicruciorul pe plan cu ajutorul

barei directoare.


20/78

19

2. Fixai planul n poziie oblic ridicnd captul lui din stnga(fig. 2.2), astfel nct sin 0, 2h l = . Accesai programulpentru efectuarea msurrilor. Completai informaia cerut nferestreleFoaie de titlu i Caracteristicile experienei i

cu ajutorul butonului Continuare ajungei la fereastraEfectuarea msurrilor. Msurai nlimea h (distana dela mufa ce a fost lipit iniial de una din mufele de fixare aplanului i aceast muf) i lungimea l ale planului nclinat iintroducei valorile obinute n calculator. Introducei, deasemenea, valorile diametrului obturatorului, numrului selectatde serii n de msurri, precum i a numrului de msurri din

cadrul fiecrei seriiN.3. Accesai butonul Start i eliberai cruciorul din punctulsuperior

0M al planului. Msurai cu cronometrul intervalele de

timp 1 2,t t i 3t . Dac micarea cruciorului a avut loc n

condiii satisfctoare, accesai butonul Citirea datelor princare se achiziioneaz datele n calculator i se calculeazraportul h l ,precum i acceleraia cruciorului.

4. Repetai indicaiile de la punctul 3 nc de 1N ori.5. Mrii unghiul de nclinare a planului i repetaiindicaiile de la

punctele 3 i 4.6. Repetai indicaiile de lapunctul 5 nc de 2n ori.7. La terminarea seriilor de msurri accesai butonul

Continuare i ajungei la fereastra Prelucrarea datelorexperimentale. Analizai tabelul valorilor medii. Accesaibutonul Accept la punctul Procesarea datelor i obineigraficul dependenei studiate, precum i valorile pantei i atermenului liber.

8. Accesai butonul Accept la punctul Calculul erorilor iobinei erorile standard ale pantei i termenului liber.Introducei n calculator rezultatul final.

9. Accesai butonul Accept la punctul Concluzii i n ferea-stra aprut formulai-le.


21/78

20

10.Accesai butonul Referat. Se perfecteaz referatul laexperiena efectuat i salvai-l.

11.Accesai butonul Finii finalizaiefectuarea experienei.12.Analogic cercetaicum este satisfcut principiul fundamental al

dinamicii micrii de translaie n cazul unghiurilor mici denclinare cnd fora de frecare (rezisten) este comparabil cucea exterioar.

ntrebri de control

1. Definii noiunile de acceleraie, mas i for.2. Formulai principiul fundamental al dinamicii micrii de

translaie pentru un corp de mas constant i variabil aflat nmicare.

3. n ce cazuri-limit se verific veridicitatea principiului funda-mental al dinamicii micrii de translaie?

4. Deducei relaiile (2.5) i (2.6).5. Demonstrai c la micarea uniform variat viteza medie pe o

anumit distan coincide cu viteza instantanee la momentul de

timp egal cu jumtate din intervalul de timp n care mobilulparcurge ntreaga distan.6. Deducei relaia (2.10).7. De ce la verificarea relaiei (2.5) termenul liber b din depen-

dena liniar se consider diferit de zero?8. Care rezultate experimentale n experienele acestei lucrri de

laborator ar justifica principiul fundamental al dinamiciimicrii de translaie?

9. Cum se determin coeficientul de frecare (rezisten) nexperien?

10.Cum se calculeaz erorile standard ale pantelor dreptelor con-struite i termenilor liberi pentru diferite niveluri de confiden?

11.Cum se scrie rezultatul final?12.Ce concluzii ai trage dac rezultatele experimentale ar fi cele

ateptate?


22/78

21


Verificarea principiului fundamental al dinamicii la

micarea de translaie a unui crucior pe un planorizontal

Scopul lucrrii: Verificarea experimental a principiului funda-mental al dinamicii micrii de translaie i determinarea coefi-cientului de frecare (rezisten) la micarea cruciorului pe un planorizontal.

Obiective: De rnd cu obiectivele generale ale lucrrii la

sfritul leciei, studeniitrebuie s mai fie capabili: s verifice experimental proporionalitatea aFpentru aceeai

mas a sistemului de corpuri ( const.m = ), innd seama defrecarea (rezistena) n axele cruciorului i axa scripetelui;

s construiasc graficul dependenei acceleraiei cruciorului nfuncie de parametrul ( )2 0m nm m = + pentru mai multe valori

ale forei exterioare; s determine panta dreptei obinute; s determine din grafic valoarea coeficientului de frecare (rezi-

sten) ; s estimeze eroarea standard comis n experiment la determi-

narea pantei dreptei; s trag concluzii privind valabilitatea principiului fundamental

al dinamicii micrii de translaie.

Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesareadatelor experimentale, cablu COM, cronometru electronic, 2senzori, bar de susinere a senzorilor, stativ, plan cu piste pentrudirecionarea micrii cruciorului, bar directoare, 2 bare scurte,aibe de plastic, crucior cu taler pentru greuti i scoab pentrulegarea firelor, set de greuti identice mici, taler fr obturator, setde obturatoare cilindrice, mufe, rigl, nivelmetru, ubler.

De studiat: pp. 2128 i cap.2 din [1].


23/78

22

Fi . 3.1

Fig. 3.2


n conformitate cu principiul fundamental al dinamicii (veziConsideraii teoretice i experimentale la lucrarea de laborator

2c),F

am

=

, (3.1)

acceleraia unui mobil estedirect proporional cu fora(rezultanta forelor) Fce aci-oneaz asupra lui dac masa

acestuia nu variaz ( const.m = ):

aF, const.m = (3.2)

Aceasta nseamn c dac prin-cipiul fundamental al dinamiciimicrii de translaie este just,graficul dependenei accelera-

iei a n funcie de fora F trebuie s reprezinte unsegment de dreapt (fig. 3.1).

Relaia fundamenta-l (3.2) poate fi verifi-cat experimental cuajutorul montajului dinfigura3.2, n care planul

este aezat n poziieorizontal cu ajutorulnivelmetrului (sau a uneibile situate pe unul dinulucele lui). Pe plan seamplaseaz un cruciorcu taler pentru greuti,obturator i scoab pen-tru legarea firului, toate


24/78

23

fixate pe crucior. Pe talerul cruciorului se plaseaz 5 sau maimulte corpuri de mase identice (n funcie de numrul seriilor demsurri), de exemplu, cu masa 0m = 2-3 gfiecare, apoi de scoab

se leag un fir subire trecut peste scripete. De cellalt capt alfirului se suspend un taler cu o mas suplimentar, dac estenecesar. n continuare, prin cntrire determinm masa 1m a

sistemului constituit din cruciorul cu scoaba pentru legarea firului,talerul pentru greuti, obturatorul, cele 5n corpuri cu maseidentice mici i masa

2m a talerului suspendat de firul trecut peste

scripete. Notm 1 2m m m= + . Vom analiza cazul cnd fora de

frecare (rezisten) frF n axele scripetelui i alecruciorului estecomparabil cu 2m g i trebuie luat n seam. Pentru a accentua

aceast situaie se pot mbrca pe obturatorul cruciorului ctevacorpuri cu masa de 50 g (ele fac parte din 1m ). n acest caz, fora de

frecare (rezisten) va crete.Mutm acum, pe rnd, de pe talerul cruciorului pe cel

suspendat 0,1,2,3,4,5n = greuti cu masa 0m fiecare. Atunci

ecuaia principiului fundamental al dinamicii micrii de translaiea sistemului, scris n proiecii pe axele x i y pentru ambelecorpuri, va avea aspectul (fig. 3.2):

( )

( )

( ) ( )

. 1 0

1 0

.

2 0 2 0

,

0,

,

,

n fr n n

n

fr n n

n n

T F m nm a

N m nm g

F N

m nm g T m nm a

=

=

= + = +

sau

( ) ( )

( ) ( )

1 0 1 0

2 0 2 0

,

.

n n

n n

T m nm g m nm a

m nm g T m nm a

=

+ = +

De aici obinem acceleraia sistemului:


25/78

24

Fi . 3.3

1 0 2 0

1 0

n

m nm m nma g

m m nm

+=

. (3.3)

Aceast formul poate fi interpretat ca o relaie dintre acceleraia

na a sistemului cu masa 1 2 const.m m m= + = i fora ce acioneaz

asupra lui egal cu ( ) 2 01 01 0

n

m nmF m nm g

m nm

+=

. Relaia (3.3)

poate fi reprezentat i astfel:

( )1na g = + , (3.4)

unde2 0

m nm

m

+= . (3.5)

Din (3.4) se observ cacceleraia sistemului este ofuncie liniar de parametrul. Astfel, dac principiul

fundamental al dinamiciimicrii de translaie estejust, atunci construind duppunctele experimentale grafi-cul dependenei acceleraieide acest parametru trebuie sobinem un segment dedreapt (fig. 3.3) cu panta:

( )1p g = + . (3.6)

Evident, acceleraia sistemului se va determina folosind o metodcinematic, de exemplu, folosind formula (vezi Consideraiiteoretice i experimentale la lucrarea de laborator 2c):

3 1

1 2 32 2

n

d t d t a

t t t

=

+ +

(3.7)


26/78

25

pentru fiecare din cele n serii a cte N msurri (vezi lucrarea delaborator 2c). Extrapolnd segmentul de dreapt pn la intersecialui cu axa absciselor, vom obine valoarea parametrului

0 (fig.

3.3), pentru care acceleraia se anuleaz ( 0na = ), adic:

( )0 1 0 + = . (3.8)

De aici obinem valoarea coeficientului de frecare(rezisten):

( )0 01 = . (3.9)

Din (3.9) se observc dac0

1


27/78

26

se produc o variaie prea mare a forei de frecare n axa scripetelui(de exemplu, 0 3gm ).

Fia de lucru

1. Stabiliiplanul n poziie orizontal ct mai sus pe stativ cuajutorul nivelmetrului sau al unei bile plasate pe unul dinulucele planului, lsnd suficient loc pentru fixarea bareisenzorilor. Fixaipe cruciorcu ajutorul obturatorului subire ia piuliei scoaba pentru fir, talerul mic cu 5 corpuri cu masa deaproximativ 3 g, obturatorul cu grosimea de 10 sau 15 mm i 2- 3 corpuri cu masa de 50 g. Determinaiprin cntrire masa lor

1m . Stabilii cu ajutorul barei directoare cruciorul pe plan.2. Stabilii cei doi senzori cu ajutorul barei senzorilor, astfel nct

la micarea cruciorului, obturatorul s treac prin mijlocul lorperpendicular pe fascicolele senzorilor.

3. Conectai senzorii la cronometru, iar cronometrul la portulCOM al calculatorului.

4. Accesaiprogramul pentru efectuarea lucrrii de laborator icompletai informaia cerut n ferestrele Foaie de titlu iCaracteristicile experienei.

5. Accesai butonul Continuare i ajungei la fereastraEfectuarea msurrilor. Introducei numrul de seriiselectate n , numrul de msurri N , valorile masei 1m , a

masei0

m , a diametrului d al obturatorului selectat i a masei

talerului suspendat2

m . Pentru asigurarea stabilitii micrii

cruciorului pe plan, nainte de cntrirea talerului suspendatadugaipe el o mas de 50 g.6. Accesai butonul Start i eliberai cruciorul din punctul

extrem din stngaplanului. Msurai cu cronometrul intervalelede timp 1 2,t t i 3t . Dac micarea cruciorului a avut loc n

condiii satisfctoare, accesai butonul Citirea datelor, princare se transfer datele n calculator i se calculeaz valoarea, precum i acceleraia cruciorului.


28/78

27

7. Repetai indicaiile de la punctul 6 nc de 1N ori.8. Transferai o mas 0m de pe talerul cruciorului pe cel

suspendat i repetaiindicaiile de la punctele 6 i 7.9. Repetaiindicaiile de la punctul 8 nc de 2n ori.10.La terminarea seriilor de msurri accesai butonul

Continuare i ajungei la fereastra Prelucrarea datelorexperimentale. Analizai tabelul valorilor medii. Accesaibutonul Accept la punctul Procesarea datelor, unde seconstruiete graficul dependenei studiate i se calculeazvalorile pantei i ale termenului liber.

11.Accesai butonul Accept la punctul Calculul erorilor iobinei erorile standard ale pantei i termenului liber cu unnivel de ncredere 0,6827P = . Introducei rezultatul final. Laindicaia profesorului calculai manual erorile standard pentrualte niveluri de ncredere i scriei rezultatul final i pentruaceste niveluri de ncredere.

12.Accesai butonul Accept la punctul Concluzii i formulai-le n fereastra aprut.

13.Accesai butonul Referat, perfectai referatul la experienaefectuat i salvai-l.

14.Accesai butonul Finii finalizaiefectuarea experienei.ntrebri de control

1. Definii noiunile de acceleraie, mas i for.2. Formulai principiul fundamental al dinamicii micrii de

translaie pentru un corp de mas constant i variabil aflat n

micare.3. Cte corpuri de mase identice mici se plaseaz pe talerul

cruciorului?4. Cum se realizeaz o for de frecare (rezisten) mai mare n

experien?5. Cum se asigur n experien o valoare constant a masei

sistemului pe parcursul tuturor seriilor de msurri?6. Indicai toate forele ce acioneaz asupra cruciorului i a

talerului, scriei ecuaia principiului fundamental al dinamicii


29/78

28

micrii de translaie n proiecii pe axele x i y pentru ambelecorpuri i deducei formula (3.3).

7. Deducei relaia liniar (3.4) dintre acceleraia sistemului iparamerul .

8. Ce valoare trebuie s aib panta dreptei (3.4)?9. Deducei formulace se utilizeaz n experien la determinarea

acceleraiei sistemului.10.Ce mrimi msurate n mod direct se utilizeaz la determinarea

acceleraiei?11.Pentru ce valori ale diametrului obturatorului este valabil

formula (3.7)?

12.Cum se determin n experien coeficientul de frecare (rezi-sten)?13.n ce condiii vom putea spune c principiul fundamental al

dinamicii micrii de translaie este verificat?14.De ce n experien este mai indicat s utilizm obturatoare de

grosimi mai mari?15.Cum se asigur o stabilitate mai bun a micrii cruciorului pe

plan?

16.De ce n experien se folosesc corpuri cu mase mici 0m ?17.n ce const metoda de calcul a erorilor standard pentru pant i

termenul liber?18.Cu ce nivel de ncredere se calculeaz aceste erori?19.Cum se calculeaz aceste erori pentru alte niveluri de ncredere?20.Cum se scrie rezultatul fina?


Verificarea principiului fundamental al dinamicii

micrii de rotaie, determinarea momentului deinerie al diferitor corpuri

Scopul lucrrii: Verificarea experimental a principiului funda-

mental al dinamicii micrii de rotaiei a formulei pentru calculul


30/78

29

momentului de inerie al unui disc n raport cu axa fix de rotaie cetrece prin centrul lui de mas perpendicular discului, determinareamomentului de inerie al unui corp de form neregulat.

Obiective: n urma efecturii acestei lucrri studenii trebuie sfie capabili: s defineascnoiunea de corp absolut rigid; s defineasc micarea de rotaie; s formuleze i s explice principiul fundamental al dinamicii

micrii de rotaie, precum i noiunile de moment al forei imoment de inerie;

s deduc formula (7); s deduc i s explice modul de verificare experimental arelaiilor (9),(11) i (12); cu ajutorul softului propus s verifice experimental relaiile (9),

(11), (12), construind graficele dependenelor studiate i deter-

minnd momentele de inerie ale volantului I , discului dI i

corpului de form neregulat cI , precum i momentele forelor

de frecare (rezisten) frM n ax; cu ajutorul softului propus s calculeze erorile standard ale

mrimilor , ,d cI I I , precum i frM ;

s trag concluzii privind valabilitatea principiului fundamentalal dinamicii micrii de rotaie i privind valorile msurateindirect ale momentelor de inerie i ale momentelor forelor defrecare ce acioneaz n axa de rotaie;

cu ajutorul softului propus s perfecteze referatul la lucrarea delaborator.Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesarea

datelor experimentale, cablu COM, cronometru electronic, 1senzor, stativ cu volant fixat, disc omogen i corp de formneregulat cu guri ce trec prin centrele lor de masa, taler cu fir,mase identice, ubler.



31/78

30


Corpul, prile componente ale cruia nu-i modificpoziiile reciproce cnd este supus aciunilor externe se

numete corp absolut rigid sau pur i simplu rigid.Se numete micare de rotaie a unui corp rigid micarea,

n decursul creia punctele lui descriu cercuri, centrele crorase afl pe o dreapt numit ax de rotaie.

Principiul fundamental al dinamicii micrii de rotaie poate fiformulat astfel:

Acceleraia unghiular a unui corp la rotaia sa n jurulunei axe fixe este direct proporional cu momentul rezultantMal tuturor forelor ce acioneaz asupra corpului n raportcu aceast ax i invers proporional cu momentul de inerie I al corpului n raport cu aceeai ax:

M

I = . (4.1)

Aceast expresie este analoag cu expresia principiului funda-mental al dinamicii micrii de translaie:

Acceleraia a

a unui corp n micarea sa de translaie estedirect proporional cu rezultanta F

a tuturor forelor (cauzamicrii de translaie) ce acioneaz asupra corpului, inversproporional cu masa corpului m (msura ineriei corpului la

micarea de translaie)i este orientat de-a lungul rezultantei F

:F

am

=

. (4.2)

Astfel, se poate spune c n cazul micrii de rotaie mrimeaanaloag acceleraiei a

la micarea de translaie este acceleraiaunghiular , mrimea analoag forei F

este momentul forei M

(cauza micrii de rotaie), iar mrimea analoag masei este


32/78

31

O r F

Fi . 4.1

momentul de inerie (msura inerieicorpului la micarea de rotaie).Momentul unei fore F

fa de o axfix de rotaie reprezint produsuldintre modulul acestei fore Fi

braul ei r (fig. 4.1):

M F r= (4.3)

Momentul de inerie al unuipunct material de mas m reprezint produsul dintre masa lui

iptratul distanei rpn la axa de rotaie:2

I mr= . (4.4)

Momentul de inerie al unui sistem din N puncte materialereprezint suma produselor maselor tuturor punctelor materiale im

cuptratele distanelor lor irpn la axa de rotaie:

2

1

N

i ii

I m r== . (4.5)

n cazul cnd sistemul reprezint un corp rigid se poate considerac masa lui este distribuit continuu pe tot volumul corpului. nacest caz, formula (4.5) devine:

( )

2

V

I r dm= , (4.6)

unde dm este masa unui element de volum, iar r este distanaacestuia pn la axa de rotaie, V fiind volumul corpului. Formula(4.6) permite calcularea momentelor de inerie ale diferitor corpuride form regulat. Astfel, pentru momentul de inerie al unui discomogen de mas m i razR n raport cu axa ce trece prin centrullui de masperpendicular pe planul discului, se obine formula

2

2

mRI= . (4.7)


33/78

32

Fig. 4.2

Aceast formul este valabil i pentru un cilin-dru omogen n raport cu aceeai ax.

Pentru verificarea experimental aprincipiului fundamental al dinamicii micrii

de rotaie vom utiliza un volant fixat pe unstativ. Pe axa fix a volantului OO (fig. 4.2)este fixat o roat de curea de raz r pe carepoate fi nfurat un fir de captul cruia estesuspendat un taler uor de mas tm n care se

pot plasa un numr n de mase mici identice

0m , astfel nct masa talerului ncrcat este

0tm m nm= + . Firul, fiind nfurat pe roata decurea, ridic talerul la o oarecare nlime. Dacvolantul este eliberat, atunci talerul ncepe scoboare, desfurnd firul i punnd n micarede rotaie volantul cu o anumit acceleraie unghiular . Aceastacceleraie, conform principiului fundamental al dinamicii micriide rotaie (4.1), trebuie s fie direct proporional cu momentul

rezultant al tuturor forelor ce acioneaz asupra volantului:fr

M mgr M= , undefr

M este momentul forelor de frecare

(rezisten)ce acioneaz n axa volantului. Momentul de inerie alsistemului 2I mr+ , unde 2mr este momentul de inerie al taleruluin raport cu axa volantului OO , iarIeste momentul de inerie alvolantului mpreun cu roata de curea. Substituind expresiile pentrumomentul forelor i momentul de inerie n (4.1), obinem:

2

frmgr M

I mr =

+. (4.8)

Axa de rotaie a volantului este fixat pe rulmeni. De aceea masacorpului suspendat ce pune n micare volantul este att de mic,nct 2mr I


34/78

33

Fig. 4.3

unde n este acceleraia unghiular a volantului atunci cnd pe taler

se afl n = 0, 1, 2, 3,...corpuri cu mase identice. Vom determina

acceleraiile unghiulare din relaia de definiie: ( )0 t = , adic

0 nt = , (4.10)unde 0 este viteza unghiular a volantului la momentul nceperii

cronometrrii timpului, la momentul t, iar n este acceleraia

unghiular a volantului atunci cnd pe taler sunt plasate n = 0, 1, 2,3,... corpuri cu mase identice. Relaia (4.10) reprezint o funcieliniar de forma n n nY p X b= + , unde 0nY = , X t= , n np = ,

iar nb se ia diferit de zero pentru a avea posibilitatea depistrii ieliminrii influenei unei eventuale erori sistematice asupra panteiacestei drepte

n np = . Construirea graficului acestei dependene

liniare presupune determinarea vitezelor unghiulare i 0 la

momentele de timp t, i respectiv, 0t t= , unde 0t este momentul

iniial de timp. n experien timpul se msoar cu ajutorul unuicronometru electronic cu un singur senzor (fig. 4.2). Cronometrul

msoar un ir de intervale de timp 1 2 3 4 5, , , , ,....t t t t t . Intervalele

impare corespund intervalelor de timp ncare fascicolul AA al senzorului (fig.4.2) este acoperit pe rnd de ctre cele 3obturatoare identice fixate radial pevolant (fig. 4.3). Intervalele pare suntintervalele n care fascicolul este

descoperit. La fiecare rotaie avolantului exist 3 intervale impare i 3pare. Intervalele impare permitdeterminarea vitezei liniare a punctelorobturatoarelor situate la distana R dela axa de rotaie (fig. 4.3), pe unde trecefascicolul senzorului. Viteza liniar a

mijlocului obturatorului se va aproxima


35/78

34

cu viteza medie pe distana d, de exemplu1 1

d t=v , 3 3d t=v ,

5 5d t=v i aa mai departe. Pe de alt parte, la micarea uniform

accelerat viteza medie pe o oarecare distan coincide cu viteza

instantanee la mijlocul intervalului de timp considerat, adic1 1d t=v este viteza instantanee la momentul de timp 0 1 2t t= .

Aceast observaie se refer i la celelalte viteze medii. Astfel,originea de msurare a timpului trebuie luat la momentul

0 1 2t t= . Cunoscnd vitezele instantanee pot fi determinate i

vitezele unghiulare: la momentul de timp 0 1 2t t= : ( )0 1d Rt = ,

la momentul 1 2 32 2t t t+ + : ( )1 3d Rt = , la momentul 1 22t t+ +

3 3 4 5 1 2 3 4 52 2 2 2 2t t t t t t t t t + + + + = + + + + : ( )2 5d Rt = i aa

mai departe, la momentul de timp 1 2 3 2 2 12 2k kt t t t t ++ + + + + :

( )2 1k kd Rt += .Numrul kdepinde de numrul de rotaii selectat

pentru msurri. Acest numr nu poate fi prea mare, ntructcronometrul nu poate msura dect 99 intervale consecutive detimp. Pe de alt parte, acest numr trebuie s aib astfel de valori,nct vitezele liniare ale punctelor obturatoarelor s nu fie preamari, adic intervalele impare de timp s nu fie prea mici, ntructn acest caz se vor comite erori mari la msurarea acestora.

Efectund pentru fiecare valoare n = 0,1,2,3,... cte una saucteva serii de msurri, putem construi cte unul sau ctevagrafice ale dependenei (4.10)(fig. 4.4) i determina cte unasau cteva valori ale acceleraieiunghiulare, care reprezint panteleacestor drepte: n np = . Dac se

construiesc cteva grafice i sedetermin cteva valori aleacceleraiei unghiulare, atunci sedetermin valoarea medie a acesteiacceleraii. Astfel, se pot obine

5n valori ale acceleraiei Fig. 4.4


36/78

35

Fig. 4.5

unghiulare ce corespund numerelor n = 0,1,2,3,... de corpuri cumase identice puse pe talerul suspendat.

Acum se poate construi graficul dependenei (4.9), adic adependenei mrimii ( )0tm nm gr + de acceleraia unghiular n (fig. 4.5). Aceast dependen este, de asemenea, de forma

0 0Y p X b= + , unde ( )0tY m nm gr = + , nX = , 0p I= , iar

0 frb M= . Chiar dac graficul dependenei (4.9) reprezint un segment

de dreapt, nc nu se poate trageconcluzia definitiv privindvalabilitatea principiului funda-mental al dinamicii micrii de

rotaie. Mai este nevoie de nc ocondiie, i anume, panta acesteidrepte trebuie s coincid cuvaloarea teoretic a momentuluide inerie a volantului. Cum nsvolantul are o form destul decomplicat, calculele momen-tului de inerie al acestuia sunt

destul de dificile. Totui, aceastverificare se poate realiza. Pentruaceasta, pe axa volantului seinstaleaz un disc omogen de mas dm i raz dR , astfel nct axade rotaie s treac prin centrul de mas al discului i se repetntreaga experien. Experiena poate ncepe cu un corp de masmai mare a talerului, dac talerul fr corpuri adugate nu poatepune n micare sistemul. Aceasta se poate face adugnd pe talerun corp de o mas potrivit, care apoi va intra n masa talerului

tm .

Relaia (4.9) n acest caz cpt aspectul:

( ) ( )0t d n fr m nm gr I I M + = + + . (4.11)

Aceast dependen este de forma Y pX b= + , unde

( )0tY m nm gr = + , nX = , dp I I= + , iar frb M= . Construind

graficul acestei dependene (fig. 4.5) i calculnd panta dreptei,


37/78

36

determinm momentul de inerie al discului adugat: 0dI p p= .

Aceast valoare experimental a momentului de inerie poate ficomparat cu valoarea teoretic 2 2d d dI m R= (4.7) i se pot trage

concluzii definitive privind valabilitatea principiului fundamental aldinamicii micrii de rotaie.n fine, fixmpe axa volantului un corp de form neregulat,

momentul de inerie al cruia este dificil de calculat, i determinmmomentul de inerie al acestuia urmnd aceeai metod care s-afolosit la determinarea momentului de inerie al discului. Aici se vaine seama de faptul c axa de rotaie trebuie s treac prin centrullui de mas, pentru ca rotaia sistemului pe parcursul experienei s

fie stabil. n acest caz, ecuaia (4.11) se va scrie sub forma:

( ) ( )0t c n fr m nm gr I I M + = + + , (4.12)

undecI reprezint momentul de inerie a corpului de form

neregulat n raport cu axa ce trece prin centrul lui de mas.i nacest caz, experiena poate ncepe de la o mas mai mare atalerului, adugnd pe el un corp de mas potrivit, care apoi va

intra n masa talerului tm . Dependena (4.12), de asemenea, este deforma c cY p X b= + , unde ( )0tY m nm gr = + , nX = , c cp I I= + ,

iarc fr

b M= . Momentul de inerie al corpului de form neregulat

va fi:

0c c cI p I p p= = . (4.13)

Softul aplicat la efectuarea lucrrii utilizeaz metoda celor maimici ptrate la trasarea dreptelor (4.10), (4.9), (4.11) i (4.12),precum i la calculul pantelor lor i a termenilor libericorespunztori. Cu ajutorul aceleai metod se calculeaz i erorilestandard ale acestor pante:

n np = , 0p I = , dp I = ,

precum i ale termenilor liberi: nb , 0 frb M = , frb M = ,

c frb M = . Dac n nb b , atunci se poate trage concluzia c, n

limitele erorilor ntmpltoare comise n experiment, dreapta trece


38/78

37

prin originea de coordonate dup cum o cere dependena teoretic(4.10). Dac n nb b < , atunci dreapta nu trece prin origine. Aceasta,

ns, nu nseamn c relaia (4.10) nu este valabil. Ea estevalabil, numai c n experien se comite o eroare sistematic lamsurarea timpului. Ea poate fi determinat din relaia

0n nt b + = : n nt b p = . Aceast eroare poate aprea din mai

multe cauze. Una dintre ele este ineria sistemului. Dacn

s-ar

calcula direct din formula (4.10), atunci eroarea sistematic arinfluena valoarea acceleraiei unghiulare. ns metoda graficpermite excluderea influenei acestei erori asupra valoriiacceleraiei unghiulare

n

.

Fia de lucru

1. Determinaiprin cntrire masa taleruluit

m . Verificai dac

talerul suspendat fr corpuri adiionale pune volantul nmicare de rotaie. n caz contrar adugai un corp de maspotrivit pe taler, astfel nct volantul s efectueze o micare de

rotaie cu o acceleraie nu prea mare. Includei masa corpuluiadugat n tm .

2. Selectaiun numr anumit de serii de msurri 5n i stabiliidac masa adiional

0nm plasat pe taler rotete volantul cu

acceleraii nu prea mari. n caz contrar selectai alt corp de mas

0m pentru efectuarea experienei.

3.Accesaiprogramul pentru efectuarea lucrrii de laborator iintroducei numrul de serii, numrul de subserii, numrul derotaii, valoarea acceleraiei gravitaionale, masa talerului, masa

0m , raza ra roii de curea pe care se nfoar firul, distana R

de la axa de rotaie pn la punctele obturatorului ceintersecteaz fascicolul senzorului, diametrul obturatorului d,care pe parcursul efecturii ntregii experiene nu vor varia.Declanai cronometrul electronic.


39/78

38

4. nfurai firul ridicnd talerul fr corpurile de mas0

m , dar

eventual cu un corp adugat, accesai butonul Start, eliberaivolantul i msurainumrul selectat de intervale de timp.

5. Dac talerul a cobort n condiii satisfctoare, accesai butonulCitirea datelor, achiziionnd n calculator intervalele detimp msurate, construiigraficul dependenei (4.10) i calculaipanta ei, adic acceleraia unghiular a volantului, eroareastandard a acesteia

n i a termenului liber nb . Verificai

dacn nb b .

6. Accesai butonul Urmtoarea msurare, repetai indicaiile dela p. 5 dup numrul de subserii selectat, calculai valoarea mediea acceleraiei unghiulare i a valorilor medii ale erorilor standard;

7. Adaugai pe taler un corp cu masa 0m i repetai indicaiile de lapp. 4, 5 i 6.

8. Repetai indicaiile de la p. 7 i pentru celelalte serii prevzute.9. Accesai ultima dat butonul Urmtoarea msurare i

butonul "Continuare", deschidei fereastra Prelucrarea

datelor experimentale, analizai tabelul valorilor medii alemrimilor calculate.

10. Accesai butonul Procesarea datelor, unde se construietegraficul dependenei (4.9), se calculeaz panta dreptei 0p I=

i valoarea termenului liber0 fr

b M= .

11. Accesai butonul Calculul erorilor, unde se calculeaz erorilestandard ale momentului de inerie a volantului 0I p = i amomentului forelor de frecare din axa volantului

0frM b = .

12. Scrieirezultatul final pentru mrimile determinate.13. Accesai butonul Concluzii, deschidei fereastra Concluzii

i formulai-le.14. Analogic verificai i relaiile (4.11) i (4.12), determinai

momentele de inerie a discului i a corpului de dimensiuni

neregulate. Tragei concluziile finale.


40/78

39

ntrebri de control

1. Definii noiunea de corp absolut rigid.2. Definii micarea de rotaie.3. Definii noiunea de moment al forei.4. Definii noiunea de moment de inerie.5. Formulai principiul fundamental al dinamicii micrii de

rotaie si explicai analogia dintre acesta i principiul funda-mental al dinamicii micrii de translaie.

6. Explicai formula (4.6) i deducei relaia (4.7).7. Explicai principiul de funcionare a montajului destinat verifi-

crii experimentale a principiului fundamental al dinamiciimicrii de rotaie.

8. Cnd se poate neglija momentul de inerie a talerului suspen-dat 2mr n comparaie cu momentul de inerie a volantuluiI?

9. Explicai relaia (4.9).10.Ce se msoar ntr-o serie de msurri?11.Cum se determin viteza unghiular a volantului la diferite

momente de timp?

12.Explicai cum se determin acceleraia unghiular a volantuluintr-o serie de msurri.13.Cte serii i cte subserii de msurri se realizeaz i de ce?14.Cum se determin momentul de inerie a volantului?15.Cum se determin momentul forelor de frecare (de rezisten)

ce acioneaz n axa volantului?16.Cum se determin momentul de inerie a discului omogen?17.Cnd se poate afirma c principiul fundamental al dinamicii

micrii de rotaie este verificat?18.Cum se determin momentul de inerie al unui corp neregulat?19.Cum se calculeaz erorile standard ale momentelor de inerie

i ale termenilor liberi?20.Cnd se poate considera ca dreapta trasat trece prin originea

de coordonate?


41/78

40

21.Cum se determin eroarea sistematic la msurarea timpului icum se elimin influena ei asupra valorii acceleraiei unghiu-lare?

22.Cum se determin eroarea la determinarea momentelor deinerie pentru diferite niveluri de ncredere?

23.Cum se scriu rezultatele finale?Lucrarea de laborator 5c

Verificarea experimental a principiului fundamentalal dinamicii micrii de rotaie i a teoremei despre

micarea centrului de masScopul lucrrii:Verificarea experimental a legii fundamentale

a dinamicii micrii de rotaie i a teoremei despre micareacentrului de mas la rostogolirea unei bile pe planul nclinat.Determinarea forei de frecare de rostogolire.

Obiective: n urma efecturii acestei lucrri studenii vor ficapabili: s defineasc micarea de rotaie, momentul de inerie; s deduc formula pentru momentul de inerie a unei bile n

raport cu axa ce coincide cu unul din diametrele sale; s formuleze i s explice legea fundamental a dinamicii

micrii de rotaie i teorema despre micarea centrului de mas; s deduc formulele (5.5), (5.6) i (5.10) i s le explice; s obin experimental graficul dependenei mrimii Y a= =

3 1

1 2 32 2

d t d t

t t t=

+ +

-

de mrimea ( )2 2

2 2 2 2

0

5

7 5

R e HX

R e H b

=

+, s

demonstreze c el reprezint un segment de dreapt cu pantap g= ;

s construiasc la calculatorgraficul dependenei forei de freca-re la rostogolire ( )2 2 22 5F mR R e a = de acceleraia ei;


42/78

41

Fig. 5.1

Fig. 5.2

s estimeze erorile standard ale pantelor dreptelor i aletermenilor liberi;

s trag concluzii privind veridicitatea legii fundamentale adinamicii micrii de rotaie i a teoremei despre micarea

centrului de mas.Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesarea

datelor experimentale, cablu COM, cronometru electronic, 2senzori, stativ, mufe, bar scurt, plan nclinat cu uluc director,bil, ubler, rigl.

De studiat: pp.4050, cap.2 i cap.4 din [1].

Consideraii teoretice i experimentaleAsupra bilei ce se

rostogolete pe planulnclinat, acioneaz forade greutate mg

aplicatn centrul ei de mas C,fora de reaciune norma-

l N

, care trece prin Cifora de frecare la rosto-

golire F

, orientat tan-gent la planul nclinat iaplicat punctelor ce se afl pe axainstantanee de rotaie, orientatperpendicular planului nclinat n

punctul A (fig. 5.1) (axa AA nfig. 5.2, n care este prezentatseciunea transversal a bilei i aulucului). Bila se rostogolete de-alungul ulucului director. De aceeaaxa de rotaie a bilei nu estetangent la suprafaa bilei ci trecela distana AC r= de la centrul ei

de mas C (fig. 5.1).


43/78

42

Bila particip simultan n dou micri: una de rotaie n jurulaxei mobile CC (fig. 5.2), care trece prin centrul ei de mas Cperpendicular planului nclinat (fig. 5.1), i alta de translaie cu viteza

Cv

a centrului de mas C, orientat paralel planului nclinat.

Axa mobil de rotaie CC efectueaz o micare de translaie,adic aceast ax n procesul micrii rmne paralel cu poziia eiiniial. n acest caz legea fundamental a dinamicii micrii derotaie se aplic ca i n cazul rotaiei n jurul unei axe fixe:Produsul dintre momentul de inerie CI (msura ineriei

corpului la micarea de rotaie mrime analoag masei m lamicarea de translaie) i acceleraia unghiular d dt =

(mrime analoag acceleraiei a

la micarea de translaie) este egalcu momentul rezultant CM al tuturor forelor ce acioneaz

asupra corpului n raport cu axa de rotaie(analogul forei F

lamicarea de translaie):

C C

dI M

dt

= , (5.1)

unde CM este momentul tuturor forelor exterioare n raport cu axa

CC, ( ) 22 5CI mR= este momentul de inerie al bilei n raport cu

axa CC, este viteza unghiular a punctelor bilei fa de axa CC,iar d dt = este acceleraia unghiular a bilei n raport cu

aceeai ax, R este raza bilei, iarm este masa ei. CM se reduce la

momentul forei de frecare la rostogolire, ntruct forele de

reaciune normal N

i de greutate mg trec prin axa de rotaie CC(fig. 5.1) i, neavnd bra, nu au nici moment (produsul dintre fori braul eidistana de la axa de rotaie pn la linia de aciune aforei (fig. 5.1) se numete moment al forei). Braul forei de

frecare la rostogolire F

(fig. 5.1) este r. De aceea, CM rF= i

expresia (5.1) pentru ecuaia legii fundamentale a dinamiciimicrii de rotaie pentru bila ce se rostogolete pe planul nclinatcapt aspectul


44/78

43

22

5mR rF

= . (5.2)

Dup cum se tie, centrul de mas C al unui sistem de

puncte materiale se mic tot aa precum un punct material cumasa egal cu cea a sistemului sub aciunea unei fore egale curezultanta tuturor forelor exterioare ce acioneaz asupratuturor punctelor materiale ale sistemului:

ext

dm F

dt=

v

. (5.3)

Aceasta este teorema despre micarea centrului de mas a unui corp

sau al unui sistem de puncte materiale. Ecuaia (5.3) poate fi scrisi pentru bil n proiecii pe axa x a sistemului de coordonateselectat (fig. 5.1):

sinma mg F = . (5.4)

Observm c ntruct a d dt r d dt r = = =v , avem a r = .Substituind aceast expresie n (5.4) i innd seama de (5.2),

precum i observnd c

2 2

0sin H l H H b= = +

(fig. 5.1),pentru acceleraia bilei i fora de frecare la rostogolire obinemrelaiile:

( ) ( )2 2 2 22 2 2 2 2 2

0

5 5sin

7 5 7 5

R e R e Ha g g

R e R e H b

= =

+, (5.5)

2 2

2 2 2 2

2 20

2 2sin

7 5 7 5

mR mR H F g g

R e R e H b

= =

+

. (5.6)

n aceste relaii am nlocuit 2 20l H b= + , ntruct n experiment

lungimea planului nclinat l se msoar cu unele dificulti, iarbaza planului nclinat 0b este o constant a instalaiei de msurare:

00,4mb = , rmnnd de msurat direct n fiecare serie numai

nlimea planuluiH(fig. 5.1).


45/78

44

Relaiile (5.5) i (5.6) sunt nite consecine ale principiuluifundamental al dinamicii micrii de rotaie i a teoremei despremicarea centrului de mas a unui sistem de puncte materiale.Confirmarea experimental cel puin a uneia din aceste relaii ar

confirma indirect legile enunate, precum i cealalt relaie.Experimental se poate verifica uor relaia (5.5) schimbnd unghiulde nclinare al planului fa de orizontal (a nlimii H aplanului) i determinnd acceleraia din relaia de definiie pentrufiecare valoare a unghiului de nclinare a planului (vezi lucrarea delaborator 2c):

0 3 1

1 2 32 2

d t d t

a t t t t = =

+ +

v - v -

. (5.7)

n (5.7) am inut seama de faptul c la micarea uniform accelerat,cum este rostogolirea fr alunecare a bilei pe planul nclinat,viteza medie pe durata unui interval anumit de timp coincide cuviteza instantanee a corpului n mijlocul acestui interval. Aici 1t

(3

t ) este intervalul de timp n care bila, ce servete i n calitate de

obturator, ntretaie fascicolul senzorului aflat mai sus (mai jos) peplanul nclinat, 2t este intervalul de timp ce dureaz de la

descoperirea de ctre bil a fascicolului senzorului aflat mai sus peplan i nceputul acoperirii fascicolului senzorului aflat mai jos peplan, d este diametrul seciunii bilei ce acoper fascicolulsenzorului. Aceast mrime se msoar indirect cunoscnd razabilei R (se msoar diametrul bilei 2R cu ublerul), limea

ulucului 2e (se msoar cu ublerul) i distana f de la margineasenzorului pn la fascicolul senzorului:f= 6 mm. ntr-adevr, dinfigura5.2 se observ:

( ) ( )

( )

2 2 2

22 2

2 ,

.

d R f c R

R R c e

+ =

= +

(5.8)

De aici se obine2 2 2 2

2 2d e f f R e= + . (5.9)


46/78

45

Aceast formul va putea fi utilizat la determinarea acceleraieibilei numai dac vom asigura n experiment valoarea distanei de laplan pn la fascicolul senzorului f = 6 mm. Aceast distan seasigur lipind marginile braelor senzorului de plan perpendicular

pe el.Astfel, relaia (5.5) exprimat prin mrimi direct msurabile

capt aspectul:

( )2 23 1

2 2 2 21 2 3 0

5

2 2 7 5

R ed t d t Hg

t t t R e H b

=

+ + +

-

. (5.10)

Relaia (5.10) reprezint o dependen liniar de forma Y=pX+ b,

unde 3 1

1 2 32 2

d t d t Y a

t t t= =

+ +

-

, ( )2 2

2 2 2 2

0

5

7 5

R e HX

R e H b

=

+ i

p g= . Pentru a putea depista o eventual eroare sistematic ce arputea s se comit n experiment vom considera 0b . n cazulcnd erori sistematice la determinarea mrimii Y nu se comittrebuie s aib loc relaia b b , adic n limitele erorilor comise

n experiment dreapta (5.10) trece prin originea de coordonate.Dac graficul dependenei (5.10), construit dup n puncteexperimentale obinute n urma efecturii a 5n serii a cte

7N msurri indirecte ale acceleraiei bilei reprezint unsegment de dreapt cu panta p g= , atunci se poate trage concluziac legea fundamental a dinamicii micrii de rotaie i teoremadespre micarea centrului de mas al unui corp sau al unui sistemde puncte materiale, precum i expresia (5.6) pentru fora de frecarela rostogolire n limitele anumitor erori ntmpltoare comise nexperiment, sunt juste. Eroarea comis la determinarea panteip g= poate fi considerat ca i eroarea de verificareexperimental a legilor amintite n condiiile experimentuluiconcret. Fiecare din cele 5n serii de msurri se efectueazpentru un anumit unghi de nclinare a planului fa de orizontal.S clarificm n ce limite poate varia acest unghi. Relaiile (5.5) i

(5.6) sunt valabile la rostogolirea fr alunecare a bilei. Deci,


47/78

46

trebuie s admitem astfel de unghiuri de nclinare pentru care bilanu ar aluneca n procesul rostogolirii. Din (5.6) se observc forade frecare la rostogolire este o mrime ce crete odat cu mrirea unghiului de nclinare a planului i ar putea exista astfel de

unghiuri pentru care fora de frecare la rostogolire ar deveni egalcu fora de frecare la alunecare cos

frF N mg = = , unde 0b

este baza planului nclinat, iar este coeficientul de frecare laalunecare (a oelului pe o suprafa de aluminiu). Pentru carostogolirea bilei s nu fie nsoit i de alunecarea ei este nevoie ca

frF F

< , adic ( )2 2 22 7 5 sin cosg mR R e mg < . De aici se

obine ( )2 2max2

7 5tg tg

2

R e

R

< = . (5.11)

Considernd = 0,2, 2e = 5 mm, 2R = 25 mm, obinem tg< 0,68,adic 34 < . Cum 0tg H b = , pentru nlimea de utilizat a

planului rezult valoarea0 max maxtgH b H< = , adic

( )2 202

7 5

2

b R eH

R

< . Cu datele precedente i 0 0,4mb = se obine

0,272mH < . Pentru astfel de valori ale nlimii planului se poateconstrui graficul dependenei forei de frecare la rostogolire nfuncie de nlimea planului (5.6). Aceast dependen estesimilar dependenei acceleraiei a de nlimea H . De aceea,fora de frecare la rostogolire se poate exprima prin acceleraia a :

( )

2

2 2

2

5

mRF a

R e =

. (5.12)

Astfel, fora de frecare la rostogolire este o funcie liniar deacceleraia micrii de translaie a bilei. Pe de alt parte, fora defrecare la rostogolire se msoar indirect cu ajutorul relaiei (5.6).Deci, se poate construi graficul dependenei (5.12) care, de

asemenea, este o funcie liniar de forma Y p X b = + , unde


48/78

47

Y F

= , 3 1

1 2 32 2

d t d t X a

t t t

= =+ +

-

, iar panta dreptei p , calculat

prin metoda celor mai mici ptrate, n limitele erorilor comise nexperiment, trebuie s coincid cu valoarea teoretic:

( )

2

2 2

2

5

mRp

R e

=

. Relaia teoretic (5.12) indic lipsa termenului

liber n ecuaia dreptei, dar pentru a depista o eventual eroaresistematic i a elimina influena acesteia la determinarea panteip , se va considera 0b . Fiind confirmat experimental relaia

(5.12), se poate calcula fora de frecare la rostogolire cu ajutorul

formulei (5.6), avnd i o estimare a erorii standard ce se comite ladeterminarea acesteia (ea coincide cu eroarea standard b ).

Dac dreapta (5.10) se construiete la calculator folosind rezultatelea 5n serii din cte 7N msurri a intervalelor de timp 1t , 2t i

3t , atunci panta dreptei p g= i eroarea ei standard p g = se vor

calcula aplicnd metoda celor mai mici ptrate. Termenul liber dinecuaia Y pX b= + n limitele erorilor comise n experiment trebuie

s se anuleze, adic b b , unde b este eroarea standard aparametrului b . Satisfacerea relaiei b b subliniaz faptul c nlimitele acestor erori dreapta construit trece prin originea decoordonate dup cum o cere dependena teoretic (5.10).

Utiliznd, de asemenea, metoda celor mai mici ptrate, se vaconstrui dreapta Y p X b

= + i se va calcula panta ei p i

erorile standard p i b . Ca i n cazul precedent, trebuie s se

ndeplineasc relaia b b .

Fia de lucru

1. Fixai planul nclinat pe stativ sub un unghi mic fa deorizontal, astfel nct s se poat selecta cel puin 5n valoriale acestuia ce satisfac relaia (5.11).


49/78

48

2. Fixai bara senzorilor paralel cu planul, iar pe ea doi senzori cetrebuie s se sprijine de plancu toat suprafaa lor.

3. Accesai programul pentru efectuarea lucrrii de laborator,selectainumrul de serii 5n i numrul de msurri 7N ,

msuraicu ublerul diametrul bilei 2R , limea ulucului 2e ,6 mmf = , lungimea l , nlimea H i baza 0b ale planului

nclinat, introducei n calculator aceste date i modul lor devariaie la trecerea de la o serie de msurri la alta. Verificaidac

maxH H< .

4. Stabilii bila n vrful planului, accesai butonul Start ieliberai bila. Dac micarea bilei a avut loc n condiii

satisfctoare, accesai butonul Citirea intervalelor itransferai n calculator aceste intervale.

5. Repetai indicaiile de la p. 4 nc de 1N ori.6. Accesai butonul Continuare i obinei valorile medii ale

acceleraiei, mrimii X , precum i a forei de frecare larostogolire pentru nlimea H selectat a planului nclinat,ambele necesare pentru construirea graficelor dependenelor

(5.10) i (5.12).7. Mriipuin nlimea planului nclinat, introducei noile valoriale mrimilor l , H i 0b . Fixai din nou bara directoare i

senzorii ca n p. 2 i efectuai urmtoarea serie de msurri.8. Repetai indicaiile de la pp. 4, 5, 6 i 7 nc de 2n ori.9. Dup terminarea seriilor de msurri accesai butonul

Continuare i ajungei la fereastra Procesarea datelorexperimentale, unde analizai tabelul valorilor medii ale

mrimilor ,Y X i F .10.Accesai butonul Accept la punctul Procesarea datelor

experimentale i obinei graficele dependenelor (5.10) i(5.12), precum i valorile pantelor dreptelor ce reprezint acestedependene.

11. Accesai butonul Accept la punctul Calculul erorilor iobinei erorile standard i erorile relative ale pantelor i

termenilor liberi.


50/78

49

12.Accesai butonul Accept la punctul Concluzii i formulaiconcluziile.

13.Accesai butonul Continuare i astfel activai butonulReferat. Accesndu-l, iniiai programul de perfectare i

salvare a referatului la lucrarea efectuat. Salvai referatul;14.Accesai butonul Fini i finalizai efectuarea lucrrii de

laborator.

ntrebri de control

1. Definii micarea de rotaie.2. Definii noiunea de moment al forei.3. Definii noiunea de moment de inerie.4. Formulai principiul fundamental al dinamicii micrii de rotaie

si explicai analogia dintre acesta i principiul fundamental aldinamicii micrii de translaie.

5. Formulai teorema despre micarea centrului de mas a unuicorp sau al unui sistem de puncte materiale.

6. Deducei formula pentru momentul de inerie a unei bileomogene fa de axa ce coincide cu unul din diametrele ei.7. Deducei relaiile (5.5) i (5.6).

8. Cum se determin acceleraia bilei?9. Explicai pentru ce valori a grosimii obturatorului este valabil

formula (5.7).10. Cum se determin diametrul seciunii bilei ce ntretaie fascico-

lul senzorului.11. Cum trebuie de fixat senzorii n timpul msurrilor i de ce?12. De ce n formula (5.10) termenul liber se consider 0b ?13. Cnd se poate considera c dreapta (5.10) trece prin originea

de coordonate?14. Cnd se poate trage concluzia c legea fundamental a

dinamicii micrii de rotaie i teorema despre micareacentrului de mas a unui corp, precum i expresia (5.6) pentrufora de frecare la rostogolire sunt juste n condiiile

experimentului?15. n ce condiii este valabil formula (5.10)?


51/78

50

16. Pentru ce unghiuri de nclinare a planului este valabil formula(5.10)?

17. n ce const metoda de calcul a pantelor dreptelor (5.10) i(5.12) i a termenilor liberi ale acestora?

18. Cum se calculeaz erorile standard ale pantelor i termenilorliberi?19. Cum se calculeaz erorile comise pentru diferite niveluri de

confiden?20. Cum se scrie rezultatul final?


Verificarea legii conservrii energiei mecanice larostogolirea unei bile pe planul nclinat

Scopul lucrrii: Verificarea experimental a legii conservriienergiei mecanice la rostogolirea unei bile pe planul nclinat.

Obiective: n urma efecturii acestei lucrri studenii vor ficapabili: s defineasc micarea de rotaie, momentul de inerie; s deduc formulele pentru momentul de inerie a unei bile i

pentru energia cinetic a unui corp ce efectueaz o micare derotaie;

s obin experimental graficul dependenei mrimii( )

( )

2 2 2 2

2 22 2

3 1

7 5

10

R b d dY

t tR b

=

de mrimea( )2 1

2 2

0

x x HX

H b

=

+

i s

demonstreze c ea reprezint un segment de dreapt cu pantap g= ;

s estimeze erorile standard comise; s trag concluzii privind veridicitatea legii conservrii energiei

mecanice la rostogolirea unei bile pe planul nclinat.

Materiale i accesorii: Calculator, soft pentru procesarea

datelor experimentale, cablu COM, cronometru electronic, 2


52/78

51

Fig. 6.1

senzori, stativ, mufe, bar scurt, plan nclinat cu uluc director,bil, ubler, rigl.



Aplicnd legea conservrii energiei la rostogolirea bilei trebuies inem seama de faptul c bila ia parte la dou micri: una detranslaie cu viteza Cv a centrului de mas C al bilei i alta de

rotaie fa de axa cetrece prin centrul de

mas C perpendicularpanului (fig. 6.1). Deaceea, legea conservriienergiei mecanice larostogolirea bilei pe pla-nul nclinat n sistemulde referin inerial legatcu pmntul are aspectul

2 2 2 2

1 1 2 2

2 2 2 2

C C C C m I m I mgh

+ + = +v v

. (6.1)

Aici se consider c bila cu masa m este eliberat din vrfulplanului, astfel nct n poziia 1x ea are viteza 1Cv i deja posed

energia cinetic 2 21 1 12 2c C CE m I = +v , dar i potenial

pE mgh= , unde h este nlimea poziiei 1x fa de 2x , CI estemomentul de inerie al bilei n raport cu axa ce trece prin centrul eide mas C, iar 1 este viteza unghiular a bilei poziia 1x . Energia

potenial n poziia2x se transform complet n energie cinetic,

adugndu-se la 1cE , astfel nct n poziia 2x energia total devine


53/78

52

Fig. 6.2

2 2

2 2 22 2c C CE m I = +v , unde 2Cv este viteza centrului bilei n

poziia2

x , iar 2 este viteza unghiular a bilei n aceeai poziie.

ntruct asupra bilei ce se rostogolete pe planul nclinat aci-

oneaz fora de frecare la rostogolire F

, apar ntrebrile: aciuneaacestei fore nu conduce oare la micorarea energiei bilei? De ce,totui, se poate aplica legea conservrii energiei mecanice n acestcaz? Rspunsul este c n lipsa alunecrii fora de frecare esteaplicat n acele puncte ale bilei care se afl pe axa momentan derotaie. Viteza instantanee a acestor puncte este egal cu zero. Deaceea, fora de frecare la rostogolire nu efectueaz lucru mecanic i,

deci, nu influeneaz asupra valorii energiei cinetice a bilei nmicarea ei de rostogolire. Fora de frecare la rostogolire F

este o

for de frecare de repaus i rolul ei se reduce la aducerea bilei nmicare de rostogolire pur. n prezena forei de frecare larostogolire lucrul forei de greutate se consum pentru mrireaenergiei cinetice nu numai a micrii de translaie, ci i a celei de

rotaie. Vom observa c fora de reaciune a planului nclinat N

,

fiind perpendicular pe direcia micrii, de asemenea, nuefectueaz lucru mecanic.Pentru a direciona micarea bilei

pe plan, de-a lungul lui este trasat unuluc cu limea 2e (n fig. 6.2, undeeste prezentat seciunea transver-sal a bilei, ulucul se afl n planulperpendicular pe figur). Vitezele

micrii de translaie ale bilei 1Cv i

2Cv n poziiile 1x i 2x sunt orien-

tate paralel planului nclinat (fig. 6.1)(n figura 6.2 aceste viteze suntorientate perpendicular pe planulfigurii). Vitezele unghiulare 1 i 2 n poziiile 1x i 2x sunt

1 1 1A Cr r = =v v i

2 2 2A Cr r = =v v , unde

1Av i

2Av sunt


54/78

53

vitezele liniare ale punctelorAfa de centrul C n poziiile 1x i,

respectiv,2

x . Dup cum se observ din figura 6.2, mrimea

2 2r R e= . Totodat, ( ) 22 5CI mR= . Astfel,

( )( )

2 2 22 211 1

2 2

7 5

2 2 10

CC Cm R em I

R e

+ =

vv

. (6.2)

Analog,

( )

( )

2 2 22 222 2

2 2

7 5

2 210

CC Cm R em I

R e

+ =

vv

. (6.3)

Substituind n (6.1), obinem:

( )( )

( )( )

2 2

2 12 2

2 12 2 2 2

0

7 5

10C C

R e g x x H

R e H b

=

+v v , (6.4)

unde pentru nlimea ha fost utilizat relaia ( )2 1 sinh x x = =

( ) 2 22 1 0x x H H b= + ce rezult din figura 6.1. Aici H este

nlimea planului nclinat, iar 2 20

l H b= + este lungimea lui. n

(6.4) s-a nlocuit 2 20l H b= + , ntruct n experiment lungimea

planului nclinat l se msoar cu unele dificulti, iar baza planuluinclinat 0b este o constant a instalaiei de msurare: 0 0,4m,b =

rmnnd de msurat direct n fiecare serie de msurri numainlimea planuluiHi coordonatele poziiilor bilei, care coincid cucele ale poziiilor senzorilor 1x i 2x (fig. 6.1). ntruct senzorii

sunt identici dup form, rezult c n calitate de 1x i 2x se pot lua

coordonatele oricror puncte identice ale acestora, de exemplu,coordonatele marginilor superioare sau inferioare. Acestea se vorciti pe rigla planului nclinat. Coordonatele poziiilor bilei 1x i 2x

pot fi msurate cu rigla milimetric, ntruct diferena 2 1x x are


55/78

54

valori de ordinul zecilor de centimetri i erorile comise nu vor fimari. Prin aceast metod, ns, nu poate fi msurat i diametrul d al seciuniiFFa bilei (fig. 6.2) ce acoper fascicolul senzorului. nacest caz este necesar o precizie mai mare i, de aceea, diametrul

bilei se msoar cu ublerul i se determin raza eiR. De asemenea,cu ublerul se msoar limea 2e a ulucului director pe care semic bila i se determin mrimea e . Cunoscnd raza bilei R ijumtate din limea ulucului e, se poate determina diametrul dalseciunii FF(vezi lucrarea de laborator 5c):

2 2 2 22 2d e f f R e= + , (6.5)

unde mrimile R, fi e trebuie msurate cu erori ce nu depesc0,1 mm (adic cu ublerul).

Raionamentele de mai sus sunt valabile, evident, dac planul ibila sunt absolut rigide. ntruct corpurile reale nu pot fi absolutrigide, devine clar c la rostogolirea bilei att planul, ct i bila sevor deforma puin. Aceasta va face ca fora de frecare la rostogolires efectueze un anumit lucru mecanic negativ

frL i relaia (6.4) n

cazul real trebuie s posede aspectul:( )

( )( )

( )2 2

2 12 2

2 12 2 2 2

0

7 5

10

fr

C C

R e Lg x x H

mR e H b

= +

+v v (6.6)

Vitezele medii pe distana d egal cu grosimea obturatoruluicoincid cu vitezele instantanee

Cv1i

Cv2n mijlocul intervalelor

de timp t1i, respectiv, t

3n care acest obturator(bila cu seciunea

de diametrul d) acoper fascicolul senzorului, ntruct bila semic pe plan uniform accelerat. Vom aproxima vitezeleinstantanee

Cv1 i

Cv2cu vitezele bilei la mijlocul distanei

parcurse d. Se poate demonstra c aceast aproximaie estevalabil, dac

1 3, 2t t d a


56/78

55

Fig. 6.3

unde a este acceleraia bilei. Astfel,

1 1 2 3,C Cd t d t = =v v . (6.8)

Acum, cnd cunoatem modul de msurare direct i indirect a

mrimilor ce intr n (6.6), vom observa c aceasta reprezint ofuncie liniar de forma

Y pX b= + , (6.9)

unde( )

( )

2 2 2 2

2 22 23 1

7 5

10

R e d dY

t tR e

=

,

( )2 12 2

0

x x HX

H b

=

+, p g= , iar

termenul liber frb L m= .

Construind dup puncteleexperimentale graficul acesteidependene, trebuie s obi-nem un segment de dreaptcu panta egal cu valoareaacceleraiei gravitaionale. n

acest caz se poate afirma clegea conservrii energieimecanice n experien esteverificat. Graficul poate ficonstruit (fig. 6.3) lund

5n serii din cte 10N msurri a intervalelor de timp 1t i 3t . n cadrul seriei concrete

poziiile senzorilor 1x i 2x vor rmne neschimbate. La trecereade la o serie de msurri la alta trebuie s avem grij ca distana

2 1x x parcurs de bil ntre senzori s nu se modifice, pentru ca

fora de frecare la rostogolire sefectueze acelai lucru mecanic cai n seria precedent. Mrimile 1x i 2x pot s varieze, ns drumul

parcurs de bil2 1x x trebuie s rmn acelai. Pentru construirea

graficului vom modifica nlimea planului nclinatHla trecerea dela o serie de msurri la alta. Dar, n ce limite poate s varieze H?


57/78

56

nlimeaH nu trebuie s fie prea mic, ntruct n acest cazcomponenta forei de greutate ce pune n micare bila estecomparabil cu fora de frecare la rostogolire i micarea bilei nuva fi suficient de stabil. TotodatH nu poate fi nici prea mare,

deoarece n acest caz poate aprea i micarea de alunecare a bilei,iar relaia (6.6) a fost obinut pentru rostogolirea bilei fralunecare. Dup cum am stabilit n lucrarea de laborator 5c,rostogolirea bilei se va produce fr alunecare, dac unghiul denclinare a planului satisface condiia

( )2 2max2

7 5tg tg

2

alR e

R

< = , (6.10)

de unde rezult( )2 20

2

7 5

2

alb R e

HR

< . Considernd 0,1al = ,

2 5 mme = , 2 25 mmR = , obinem 0,136mH < . Pentru a avea,ns, o rezerv de ncredere, vom lua nlimea H n limitele de la30pn la 100 mm. n aceste limite fora de frecare la rostogolire,pe de o parte, este suficient de mic n comparaie cu componenta

forei de greutate care pune bila n micare de rostogolire stabil,iarpe de alt parte rostogolirea se produce fr alunecare.

Determinnd termenul liberbcu ajutorul graficului i a metodeicelor mai mici ptrate, putem estima lucrul forei de frecare larostogolire

frL mb= . Dar ( ) ( )2 1 2 1cosfr fr frL F x x F x x= =

undefr

F este fora medie de frecare la rostogolire. De aici se

obine

( ) ( )2 1 2 1fr frF L x x mb x x= = . (6.11)

ValoareafrF poate fi comparat cu valorile obinute n lucrarea de

laborator 5c. Cunoscnd valoarea forei de frecare la rostogolire,din relaia cos

fr r r rF N mg mg = = se poate estima i

valoarea coeficientului de frecare la rostogolire r :


58/78

57

( )2 1

fr

r

F b

mg g x x =

, (6.12)

ntruct pentru unghiuri mici cos 1 .

Dac dreapta Y = pX + b (6.9) se construiete la calculatorfolosind rezultatele celor 5n serii a cte 10N msurri aleintervalelor de timp 1t i 3t , n care fa

lucr lab mec asis calculator (1)

Documents