eercicios de estadistica 2

8/17/2019 Eercicios de Estadistica 2

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CAPÍTULO VIII. CONTRASTES DE HIPÓTESIS

8.1 INTRODUCCIÓN

Hipótesis: Enunciado acerca de una población, elaborada con el propósito de ponerse a prueba.

Ejemplos de hipótesis acerca de un parámetro de población son:La media mensual de ingresos para analistas de sistemas es 2000,El 20% de los delincuentes juveniles son capturados y sentenciados a prisión

Contrastar na !ipótesis !rueba de hipótesis" es comparar las predicciones con la realidad #ue

observamos. $i dentro del margen de error #ue nos permitimos admitir, hay coincidencia, aceptaremosla hipótesis y en caso contrario la rechaaremos.

Hipótesis n"a: Es a#uella hipótesis #ue se desea contrastar, se simbolia por &o. Esta suele ser unaestrategia o medio del #ue se sirve el investigador para probar la alternativa. El planteamiento de &o permite elaborar un modelo probabil'stico a partir del cual se puede llegar a una decisión (inal.

Hipótesis a"ternati#a: )ambi*n se conoce como e+perimental y se representa por & o &a. Esta es lahipótesis de investigación. -e modo #ue se espera #ue hay un argumento para la hipótesis deinvestigación o alternativa" &, demostrando #ue no lo hay para su contraria, la hipótesis nula.

Los contrastes pueden ser ni"atera"es o $i"atera"es tambi*n llamados %e na o %os &o"as"

El contraste es bilateral (dos colas) si la hipótesis alternativa H 1 es del tipo ≠.

El contraste es unilateral (una cola) si la hipótesis alternativa H 1 es del tipo < o >.

Nota' generalmente una a hipótesis de investigación se plantea como una hipótesis alternativa, esdecir #ue las hipótesis alternativa e hipótesis nula deben (ormularse de manera #ue al rechaar &o, seapoye la conclusión de la investigación.

8.1.1 ERRORES DE TIPO I Y DE TIPO II.


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$i rechaamos una hipótesis cuando debiera ser aceptada, diremos #ue se ha cometido un error %etipo I.

Error tipo : &o es cierto pero lo rechao/ α !rechaar &o" cuando es cierta

Error %e tipo II: Es el error #ue consiste en no rechaar & 0 cuando es (alsa. La probabilidad decometer este error la denotamos con la letra 1

Error tipo : &o es (also pero lo acepto/ 1 !aceptar &o" cuando es (alsa

Errores y conclusiones correctas en las pruebas de hipótesis

Con&"sión

Sita&ión en "a po$"a&iónHo Ver%a%era H1 Ver%eara

Se A&epta Ho onclusión

correcta

Error

tipo

Se re&!a(a Ho Error tipo

onclusióncorrecta

O$ser#a&iones.

. Los errores %e tipo I ) II no están relacionados más #ue del siguiente modo: uando 3 decrece 1crece. !or tanto no es posible encontrar test #ue hagan tan pe#ue4os como #ueramos ambos erroressimultáneamente. -e este modo es siempre necesario privilegiar a una de las hipótesis, de manera #ueno será rechaada, a menos #ue su (alsedad se haga muy evidente. En los contrastes, la hipótesis privilegiada es &0 #ue sólo será rechaada cuando la evidencia de su (alsedad supere el umbral del00 5 3" %.

2. A" to*ar + muy pe#ue4o tendremos #ue 1 se puede apro+imar a uno.Lo ideal a la hora de de(inir un test es encontrar un compromiso satis(actorio entre 3 y 1 aun#uesiempre a (avor de &0". -enominamos potencia de un contraste a la cantidad 5 1.

6. En e" *o*ento %e e"e,ir na !ipótesis privilegiada podemos en principio dudar entre si elegir unadada o bien su contraria.

8.1.2 PRINCIPALES CONCEPTOS IMPLICADOS EN LA PRUEBA DE HIPÓTESIS:

Ni#e" %e si,ni-i&an&ia. Es la probabilidad de cometer un error de tipo , cuando la hipótesis nula esverdadera, se denota con la letra 3, y los mas conocidos son 0.07/ 0.0/ 0.

E" ni#e" %e si,ni-i&an&ia se de(ine como la má+ima probabilidad de rechaar &o cuando *sta esverdadera.

Re,ión &rti&a. El conjunto de todos los valores de la estad'stica de prueba #ue nos har'an rechaar lahipótesis nula.


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Región de aceptación

Región críticaRegión Crítica

Re,ión %e a&epta&ión. Es la región complementaria de la anterior. $i el valor evaluado del estad'stico pertenece a ella No rechazamos la hipótesis. Las hipótesis nunca se aceptan de (orma de(initiva, sólose aceptan provisionalmente, es decir, no se rechaan, a la espera de una nueva in(ormación #ueeventualmente pueda llevarnos a rechaarla en el (uturo".

Va"or &rti&o' El valor o valores #ue separan la región cr'tica de los valores de la estad'stica de prueba#ue no nos har'an rechaar la hipótesis nula.

Los valores cr'ticos dependen de la naturalea de la hipótesis nula, la distribución de muestreo pertinente y el nivel de signi(icancia 3.

En una prueba de dos colas, el nivel de signi(icancia 3se divide e#uitativamente entre las dos colas. En una prueba de una cola, este nivel es el área de la región a partir del valor cr'tico hasta el e+tremo derecho oi#uierdo, seg8n corresponda.

Esta%sti&a %e pre$a' Es una estad'stica obtenida de una muestra o un valor basado en datos demuestra.

p/#a"or. El valor de α más pe#ue4o #ue nos lleve a rechaar &0 se llama el p9valor de la prueba..

8.1.3 PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS

!asos Ejemplo. E+presar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa

&o: o ;s &: &:

2. -eterminar y calcular una estad'stica de prueba ??,

6>

7,0

>2,>=

−=

−=

n

s

u xteo z

6. Establecer los valores cr'ticos #uedeterminan las regiones de rechao de las de norechao en (unción del nivel de signi(icancia

!ara un 3 0,07/

?. @ormular una regla de decisión $i A = A 3 B2 se rechaa &o

$i AC A 3 B2 se acepta &o

&0 se rechaa si = D ,> o C ,>

7. Fplicar la regla de decisión conclusión". Go se rechaa &0 por#ue ,?? es menor#ue el valor cr'tico .>

8.1.4 POTENCIA DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS


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Poten&ia %e na pre$a. $e de(ine como potencia a la probabilidad de rechaar la &ipótesis Gulacuando *sta es (alsa. La potencia se denota como H.

Esta probabilidad representa la chance de concluir #ue &o es (alsa cuando e(ectivamente lo es. La potencia se calcula como H 9 1, donde 1 es la probabilidad de cometer el Error de )ipo .

uanto mayor es la potencia mejor es la prueba. La potencia es (unción de varios (actores: a" el nivelde signi(icación elegido, b" la variana de la variable aleatoria y c" el tama4o de la muestra. uando elnivel de signi(icación se ha (ijado y la variana de la variable aleatoria es conocida o se ha estimado"es posible controlar la potencia de la prueba manejando el tama4o muestral o, en el caso de losdise4os e+perimentales, manejando el n8mero de repeticiones".

8.1.5 EJERCICIOS RESUELTOS

En los siguientes ejercicios identi(i#ue los datos y plantee las &ipótesis

E0er&i&io 1. In jurado de elecciones de cierto pa's dice #ue el porcentaje de ausentismo generalmentees de 60% como m'nimo. $e elige una muestra de 00 individuos y se encuentra #ue ?0 estándispuestos a votar. on un nivel de signi(icancia del 7%, se puede a(irmar #ue el jurado de eleccionestiene raón.

So"&ión.

-atos !o 0.6060% porcentaje de ausentismo poblacional" p >0B000.>0 >0% porcentaje de ausentismo de la muestra" α 0.07 nivel de signi(icancia" n 00 tama4o de la muestra"

Hipótesis

&o: !o J 0.60 el ausentismo como m'nimo es del 60%"&: !o = 0.60 el ausentismo es menor del 60%"

)ambi*n se puede e+presar

&o: !o 0.60 el ausentismo como m'nimo es del 60%" $e considera solo el signo "&: !o = 0.60 el ausentismo es menor del 60%"

E0er&i&io . $e desea ad#uirir tubos (luorescente de una empresa, siempre y cuando la vida media deuna muestra de 0 tubos (luorescentes sea mayor a >0 horas, con una desviación t'pica de 00horas. on un nivel de signi(icancia de 0.07 se #uiere saber si la duración media de los tubos es mayor de >70 horas.a" -* las hipótesis nula y alternativa adecuada b" En esta situación Kuál es el error de tipo KMu* consecuencias

tiene cometer este errorc" En esta situación Kuál es el error de tipo KMu* consecuencias

tiene cometer este error

So"&ión

DatosN >70 media de la población"


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>0= xOedia de la muestra s 00 desviación t'pica de la muestra α0.07

a2 Hipótesis

&o: N P >70 Go se ad#uiere los tubos" &: N C >70 $e ad#uiere los tubos"

b" E" error %e tipo I es rechaar #ue la duración media es menor o igual a >0 horas siendo estasverdaderas, las consecuencias es #ue se ad#uiere productos #ue no cumplen las horasestablecidas.

c" E" error %e tipo II es aceptar #ue la duración media es menor o igual a >0 horas siendo esta(alsa, las consecuencias es #ue se deja de comprar (ocos #ue cumplen las horas re#ueridas.

E0er&i&io 3. En un muestreo realiado entre los empleados de una multinacional se eligieron al aar

7 empleados y se anotó su sueldo mensual obteni*ndose los siguientes datos: 2Q7, 72, 7?>,?26, 20, >>0, 7>, 270, Q2, 20, 776, 07>, >6, 67Q y ?7R. El gerente a(irma #ue elsueldo medio de sus trabajadores está por encima de los 700 y los sindicatos a(irman #ue es de ?00.$abiendo #ue los sueldos en esa multinacional se distribuyen de (orma apro+imadamente normal,a" rees #ue e(ectivamente el sueldo medio de todos los trabajadores es de ?00 b" rees #ue lo #ue dice el gerente es ciertoc" En la situación del gerente Kuál es el error de tipo KMu* consecuencias tiene cometer este

errord" En la situación del gerente Kuál es el error de tipo KMu* consecuencias tiene cometer este

error

So"&ión

a" %atos

N ?00 media de la población"

7

?7R...722Q7 +++= x

media de la muestra

7

"7?7R...722Q7 2222

−

−+++=

x s

-esviación t'pica de la muestra α0.07

Hipótesis

&o: N ?00 el sueldo medio de todo los trabajadores es ?00"&: N < ?00 el sueldo medio de todo los trabajadores GS es ?00"

b" %atos

N 700 media de la población"

7

?7R...722Q7 +++

= x media de la muestra


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7

"7?7R...722Q7 2222

−−+++

= x

s

desviación t'pica de la muestra α0.07

Hipótesis

&o: N 700 el sueldo medio de todo los trabajadores Go esta por encima de 700, el gerentemiente"

&: N C 700 el sueldo medio de todo los trabajadores esta por encima de 700, el gerente dice laverdad"

c" E" error %e tipo I es rechaar #ue el gerente miente a pesar #ue realmente esta mintiendo, lasconsecuencias es #ue se le cree a un mentiroso.

d" E" error %e tipo II es aceptar #ue el gerente miente a pesar #ue dice la verdad, las consecuencias

es #ue se deja de creer a alguien #ue dice la verdad.E0er&i&io 4. !ara comprobar si más un tercio de las llamadas a un servicio de ambulancias sonurgencias con peligro de muerte, se ha tomado una muestra aleatoria de sus archivos y se haencontrado #ue > de 70 llamadas son de este tipo. K)iene (undamento dicha a(irmación

So"&ión

!o B60.666 !roporción de la población" p >B70 proporción de la muestra"

Hipótesis

&o: !o 0.66 Go mas de B6 de las llamadas son urgentes con peligro de muerte"&: !oC 0.66 mas de B6 de las llamadas son urgentes con peligro de muerte"

8.1.6 EJERCICIOS PROPUESTOS

E0er&i&io 1. In proceso de (abricación produce 2.6 unidades por hora. Esta producción tiene unavariana igual a ?. $e sugiere un nuevo proceso #ue es costoso de instalar, pero se piensa #ue puedeincrementar la producción. !ara decidir si se hace el cambio o no, se prueban 0 má#uinas nuevas yse observa #ue *stas producen en promedio 6.6 unidades.a" alcular la probabilidad del error de tipo en la prueba para 2.6 vs. C2.6 cuando laverdadera esperana del nuevo proceso es ?. )rabajar con 3 0.0.

E0er&i&io . $e acepta #ue despu*s de 6 a4os de almacenamiento el vigor de un arbusto (orrajeromedido como peso seco alcanado a los 20 d'as de la germinación es de ?7 mg promedio. In nuevom*todo de almacenamiento se propone para aumentar el vigor.$e eval8an para ello 20 lotes de 0 semillas cada uno y al cabo de 6 a4os se las hace germinar,obteni*ndose los siguientes resultados de peso seco promedio a los 20 d'as:? ?6 7> 7R 7 >7 72 7 70 77>0 >7 76 7R >R 7> 76 6R ?7 ?2a" !lantear las hipótesis nula y alternativa asociadas al problema. b" Kuál es el error de tipo KMu* consecuencias tiene cometer este error

c" Kuál es el error de tipo KMu* consecuencias tiene cometer este error


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E0er&i&io 3. In cierto tipo de cáncer tiene habitualmente una letalidad n8mero de muertos por cadacien en(ermos" de 60. $e e+perimenta una nueva droga en Q0 casos, en los cuales se producen 7de(unciones.a. $e4ale la hipótesis de trabajo. b. $e4ale el nivel de signi(icación.c. Tealice la prueba de signi(icación estad'stica.


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CAPÍTULO I5. PRUE6A DE HIPÓTESIS PARA LA 7EDIA DE LAPO6LACIÓN.

.1 PRUE6A DE HIPÓTESIS PARA LA 7EDIA ' 7UESTRAS 9RANDES.

9.1.1 INTRODUCCIÓN

$ean U, U2, U6,...,Un una muestra aleatoria simple m.a.s" de una distribución normal o cual#uier distribución si nJ60, la distribución cumple el teorema del limite central" con media desconocida , y

con una variana V2 , la distribución de x

W GN,n

2σ

" y la variable W G0,".

-eseamos contrastar la hipótesis de #ue el parámetro poblacional N toma un determinado valor N 0.

Es decir:

Hipótesis

Caso I Caso II Caso III

&o : µ µ0& : µ = µ0

&o : µ µ0& : µ < µ0

&o : µ µ0& : µ Cµ0

9.1.2 SUPUESTOS

. El tama4o de la muestra es grande nJ602. Las observaciones son independientes6. Las medias de las muestras se distribuyen normalmente distribución normal ", no importa cómosea la distribución de la población original.


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Esta%sti&o %e pre$a

a" $e conoce la variana poblacional V2. b" $e desconoce la variana poblacional σ2.

n

s

u x Z

o−

=

n

u x Z

o

σ

−=

Inter#a"o %e Con-ian(a del 009α"% para la media poblacional µ , es de la (orma:

a" $e conoce la variana poblacional V2. b" $e desconoce la variana poblacional V2.

+≤≤− n s

Z xn

s

Z x 2B2B α α µ

+≤≤− n Z xn Z x σ

µ

σ

α α 2B2B

n x

-onde:

N : media poblacional σ : -esviación estándar poblacional

n : )ama4o de la muestra

x

: Oedia de la muestra s : -esviación estándar de la muestra

Nota' para encontrar s se utilia la siguiente (ormula

22

−

−∑=n

xn x s

Teore*a %e" "*ite &entra": $i x

es la media de una muestra aleatoria de tama4o n #ue se tomade una población con cual#uier distribución oblicua a la derecha, oblicua a la i#uierda, con (ormade tina, etc...", cuya media es y variana (inita V2, entonces la (orma l'mite de la distribución de:

n

x z

σ

µ −=

con(orme n XY, es la distribución normal estándar G 0,".


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Z0,05=1,645

Zona de rechazo HoZona de Aceptación Ho

Z0,05=1,645 Z=2,42



E0er&i&io 1. La casa arma $.F emite su propia tarjeta de cr*dito. arla, la gerente de cr*dito, #uiereencontrar si la media mensual de saldos no pagados es mayor #ue $B.?00. Ina revisión al aar de R2saldos reveló #ue la media de la muestra es $B.?0R y la desviación estándar de la muestra es $B. 6Q.

K-ebe arla concluir #ue la población media es mayor #ue $B.?00, con un nivel de signi(icancia del7%.

So"&ión

Datos.

N ?00?0R= x

s 6Q α 0.07 nivel de signi(icancia 7%"

n R2

Paso 1' Esta$"e&e*os "as !ipótesis

&0 : N ?00 La media mensual de saldo no pagados no es mayor de ?00"& : N C ?00 La media mensual de saldo no pagados si es mayor de ?00"

Nota' la &o tambi*n puede e+presarse como &o : N P 70

Paso ' Ca"&"a*os e" esta%sti&o %e pre$a

omo n C 60 la prueba es la distribución normal A

?2,2

R26Q

?00?0R=

−=

−=

n s

u x z

Paso 3. Esta$"e&e*os "a re,ión %e re&!a(o para n :;.;


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Media de la !e"tra # n $

% e "

& i a c i ó

n e " t '

n d a r

d e l a

! e

" t r a

# " $

o d e l

a p o ( l

a c i ó

n # $

Media de la po(lación # ) $

*i&el de con+anza #1$

Hipóte"i" alternati&a #a-or .!e / / $

aao de la !e"tra # n $

Paso


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&acemos clicZ en Options ingresamos el nivel de con(iana y elegimos la A"ternati#e, (inalmente presionamos OB , luego OB y los resultados son:

One-Sample ZTest of mu = 400 vs > 400

The assumed standard deviation = 38

95%

Lower

N Mean SE Mean ound ! "

#$ 40$&000 &89$ 40&34 &4 0&008

Interpreta&ión' GR2 tama4o de la muestra "Oean ?0R,00 media de la muestra"$E Oean 2,QR error estándar de la media"Lo[er \ound ?02,26? valor m'nimo del nivel de con(iana al 7% "A 2,?2 calculado"! 0.00Q de 00 veces #ue rechaamos &o por ser (alsa, hay un probabilidad de 0.Q% dee#uivocarse"

De&isión' la decisión se puede tomar en (unción de A2,?2 o en (unción de !0,00Q.En el segundo caso, omo ! 0,00Q"= 3 0,07" entonces se rechaa la &o

Con&"sión. arla tiene evidencia su(iciente para aceptar #ue la media de saldos no pagados es mayor #ue $B.?00.

E0er&i&io . El peso de un grupo de ni4os debe ser de 70,00 Zilogramos. $in embargo, lostrabajadores de salud a(irman #ue tienen un peso menor a 70,00 Zilogramos. !ara salir de dudas, setomó una muestra de 6> ni4os, obteniendo un peso de ?,20 Zilogramos, con una desviación estándar de 7,7 Zilogramos. on un % de con(iabilidad, Kpuede a(irmarse #ue el peso de todos los ni4os esmenor de 70,00 Zilogramos

So"&ión.

DatosN 70 n 6>

2,?E= x3 0,0

s 7,7

Pre$a %e !ipótesis

&o: N 70 los ni4os GS tienen pesos menores #ue 70Zg"&: N = 70 los ni4os tienen pesos menores a 70Zg"

Nota' la &o tambi*n puede e+presarse como &o : N J 70


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Z0,01=2,33 z= 0,32

E62,0

6>

7,7

702,?E−=

−=

−=

n

s

u x Z

Esta%sti&a %e pre$a

omo nC60 utiliamos la prueba A, reemplaando datos

Para %e&i%ir si re&!a(a*os o a&epta*os "a Ho

onstruimos el grá(ico y determinamos A0,0 D 2,66 de tabla normal

Con&"sión.

omo A D 0,62 esta dentro de la ona de aceptación, entonces aceptamos &o, es decir, los ni4ostienen pesos mayor o igual a 70.

Uti"i(an%o 7inita$

ngresamos al minitab y hacemos clicZ en Stat?6asi& statisti&s?1/sa*p"e @... y se obtiene la (igurasiguiente, F#u' ingresamos los datos y activamos Options= para ingresar el 9α


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!resionamos O luego O y los resultados obtenidos son:

One-Sample ZTest of mu = 50 vs < 50

The assumed standard deviation = 5.15

95% Upper

N Mean SE Mean Bound P

!" #9.$000 0.5! 50."11 &0.9! 0.176

Con&"sión'

omo P:;.1>" es mayor #ue α 0.07" entonces se acepta la &o, es decir no hay su(icienteevidencia para rechaar #ue los ni4os tengan pesos mayores o iguales a 70,00 Zg.

E0er&i&io 3. Los invitados a una reunión de trabajo tienen una tolerancia de 7 minutos en promedio.

$e #uiere saber si un grupo de invitados están dentro de la tolerancia, para lo cual se midió el tiempode demora de >0 invitados, los resultados (ueron

2 > R 7 7 7 0 R 7 R 0 > 7 2 6 7 7 ? > 6 7 2 6 R > Q R Q ? 2 Q ? 2 R > R 7 2 2 > > ? ? > 6 ? Q ? > 2

F nivel del 0%, KLos invitados están (uera del tiempo de tolerancia.

So"&ión

Datos

N 7 α 0% 0.0 n >0

alculamos la media aritm*tica x

" y la desviación estándar de la muestra s"

R>>R.?>0

E2>...R>2=

++++++= x

72020.27E

2">>R.?>0"

2E

22

2>...

2R

2>

22

=

−++++++

= s

Hipótesis

&o: N 7 min los invitados están dentro de la tolerancia"&: N C 7 min los invitados GS están dentro de la tolerancia"

Nota' la &o tambi*n puede e+presarse como &o : N P 7 min

Esta%sti&a %e pre$a

omo nC60 utiliamos la prueba A, reemplaando datos


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Z=0,2 Z0,10= 1,2


R2,0

>0

72,2

7R>>R,?−=

−=

−=

n

s

u x Z

Para %e&i%ir si re&!a(a*os o no "a Ho

onstruimos el grá(ico y determinamos A0, ,2Q de tabla normal

Con&"sión. omo 90.R2 cae en la ona de aceptación de &o, esta no se rechaa, por lo tanto losinvitados están dentro del tiempo tolerado.

Uti"i(an%o 7INITA6

ngresamos al minitab y hacemos clicZ en Stat?6asi& statisti&s?1/sa*p"e @... como se ve en la(igura siguiente


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Los datos lo ingresamos en la columna )iempo"

Nota: la desviación estándar de la muestra primero debemos encontrarlo. !ara esto utiliamosStat?6asi& statisti&s?Disp"a) Des&ripti#e estatisti&s

@inalmente los resultados de la prueba de hipótesis son

Con&"sión. como p0.R>6Cα0." se acepta &o. !or lo tanto los invitados están dentro del tiempo

tolerado.

E0er&i&io 4. El control de calidad de una cooperativa #ue produce a8car, veri(ica #ue la presentacióndel producto en bolsas de 700 g. contenga dicha cantidad. $e obtuvo una muestra de 70 bolsas loscuales tuvieron los siguientes pesos en gramos:

707 ?0 700 706 77 ?7 70 ?> ?Q ? ?R 7 ?R700 ?Q ?Q 7> 70> ? 7R ?R 726 70> ?7 700 7?? 7? 700 70? 70 ?R ?Q 70Q 722 ?Q ?Q7 700 ?Q?7 ?R 70R 70 ? 70Q ? 70> 702 706 ?R

a" K&ay evidencia su(iciente en base a esta muestra, de #ue el contenido de las bolsas es di(erente a700 g. si el nivel de signi(icancia es 0.0

b" $e obtuvo otra muestra, esta de 27 bolsas, con una media de ?R g. y una desviación de 0 g. ycon 7% de nivel de signi(icancia. K!odemos a(irmar la hipótesis de #ue las bolsas contienenmenos de 700 g.

So"&ión

a" K&ay evidencia su(iciente en base a esta muestra, de #ue el contenido de las bolsas es di(erente a

700 g. si el nivel de signi(icancia es 0.0DatosN 700g

!ara determinar la media y la desviación estándar utiliamos Oinitab, de la siguiente manera

ngresamos los datos en como se ve en la (igura y &acemos clic en Stat?6asi& statisti&s?Disp"a)Des&ripti#e estatisti&s]

One-Sample Z: Tiempo

Test of mu = 5 vs ' 5

The assumed standard deviation = $.5$

90%

(o)er

*aria+,e N Mean St-ev SE Mean Bound

Tiempo "0 #./"""/ $.5$0$0 0.!$5!! #.!#9/# &0./$ 0./"!


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(inalmente hacemos clicZ en OB= el resultado es

Descriptive Statistics: C1*aria+,e N N Mean SE Mean St-ev Minimum 1 Median !

21 50 0 50!." !.#5 $#.!" #09.00 #9/.00 500.00 50".$5

*aria+,e Ma3imum

21 59/.00

Interpreta&ión G70 tama4o de la muestra"

Oean 706.Q> x

media de la muestra"$t-ev 4.3> s -esviación estándar de la muestra"M?R.00 primer cuartil "

Oedian700.00 Oe Oediana"M670>.27 tercer cuartil"

Hipótesis

&o: N 700 g el contenido es igual a 700g"&: N < 700 g el contenido es di(erente a 700g"

!ara un nivel de signi(icancia de 0.0 tenemos un nivel de con(iana de %Itiliando minitab se tiene


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@inalmente hacemos clic on O luego en OB

Los resultados son

One/Sa*p"e @' C1

Test of mu = 500 vs not = 500

The assumed standard deviation = $#.!"

*aria+,e N Mean St-ev SE Mean 99% 24

21 50 50!."0 $#.!"0 !.##5 #9#.9"6 51$./!#7 1.1$ 0.$"!

Con&"sión

omo p0.2>6" C α0.0" se acepta &o, es decir el contenido es igual a 700g

b.K!odemos a(irmar la hipótesis de #ue las bolsas contienen menos de 700 g.

%atos

N 700 n 27 bolsas g x ?ER=

s 0 g. α 7% 0.07, osea #ue 9 α 0.7

Hipótesis

&o: N 700 g el contenido no es menos de 700g"&: N = 700 g el contenido es menos de 700g"

Itiliando minitab se obtiene

One-Sample ZTest of mu = 500 vs < 500

The assumed standard deviation = 10


19/76

95%

Upper

N Mean SE Mean Bound

$5 #9/.000 $.000 500.$90 &1.50 0.0"/

Con&"sión

omo !0.0>R" C α0.07" se acepta &o, es decir el contenido no es menos de 700g.

E0er&i&io 7 a4os, se tomó una muestra de 70 habitantesy se encontró #ue ten'an una media de >0, una variana es 2 a4os a un nivel de signi(icancia de 0,07.

So"&ión

Datos

N >7 n 70>0= x

$ha 2, α0.07

Hipótesis

&o: u P >7 Edad promedio de la ciudad no es mayor a >7"&o: u C >7 Edad promedio de la ciudad es mayor a >7"/

Ha&e*os so %e 7INITA6

One-Sample ZTest of mu = 65 vs > 65

The assumed standard deviation = 1,4142

95%

Lower

N Mean S Mean !ound " #

5$ 6$,$$$$ $,2$$$ 59,61$ &25,$$ 1,$$$

DECISIÓN: omo !"C 30,07", Go se rechaa la &o, o sea #ue no hay evidencia #ue la edad promedio de la ciudad sea mayor de >7 a4o


20/76

Z0,05=1,645 Z=10


E0er&i&io >. In laboratorio (armac*utico a(irma #ue el antiin(lamatorio de su (abricación elimina lain(lamación en ? minutos en los casos corrientes. on la (inalidad de comprobar estad'sticamenteesta a(irmación, se elige al aar Q cerdas con in(lamaciones varias y se toma como variable derespuesta el tiempo transcurrido entre la administración del antiin(lamatorio y el momento en #uedesaparece la in(lamación. Fdemás, nos dicen #ue la variable tiempo transcurrido entre laadministración del antiin(lamatorio y el momento en #ue desaparece la in(lamación sigue unadistribución normal de media ? y desviación R. El tiempo medio de respuesta de la muestra (ue de minutos.

$e pide comprobar la a(irmación del laboratorio a un nivel de signi(icación de 0.07.

So"&ión'

-atos/ ̂E= x

, N ̂ ?, V^ R, n Q

06,6

Q

R

?E=

−=

−=

n

u x z

σ

Hipótesis

&o: N ?&: N C?

A0,07,>?7/

Luego como ACA0,07 se rechaa la &o.

NOTA' F pesar #ue nQ" = 60 utiliamos la distribución A y no la t esto se debe a #ueconocemos la desviación t'pica de la población V R

E0er&i&io . $e ha tomado una muestra aleatoria de 00 individuos para determinar si tienenhipertensión, a los #ue se ha medido la presión sistólica, obteni*ndose una media muestral de 60mm&g. $e sabe #ue la media y desviación t'pica normal de la población es respectivamente 0 y 20mm&g.Kual es su conclusión a un nivel de signi(icancia de 0.07

So"&ión

-atos

n 00mmHg x 60=

N 0 mm&g σ 20 mm&g

Hipótesis

&o: N 0 no su(ren de hipertensión"&: N C 0 su(ren de hipertensión"

00,0

00

20

060=

−=

−=

n

u x z

σ


21/76

Z0,025 =1,6 Z0,025 =1,6 Z=57

Zona de aceptación

Ho

Zona rechazo HoZona rechazo Ho

67268

57448738

z92 z92 :1 :2

A0.07.>?7

-el grá(ico concluimos #ue se rechaa la &o, o sea los individuos su(ren hipertensión.

E0er&i&io 8. $e cree #ue la edad promedio de los alumnos #ue ingresan a la Iniversidad es de Q.?a4os. -e los alumnos anteriores se elige, al aar, una muestra de 00 y se encuentra #ue tienen unaedad promedio de .7 a4os con desviación t'pica . a4os. -e su opinión al respecto, con un nivel designi(icancia de 0.07.

So"&ión

-atos

n 00años x 7.E=

N Q.? a4os s . a4os

Hipótesis

&o: N .7 la edad promedio es Q.?"&: N < .7 la edad promedio es di(erente a Q.?"

RE.7

00

E.

?.Q7.E=

−=

−=

n

u x z

σ

A0.027.>

-el grá(ico concluimos #ue se rechaa la &o, o sea la edad promedio es di(erente a Q.?

E0er&i&io . Las medidas de los diámetros de una muestra tomada al aar, de 200 cojinetes de bolas,hechos por una determinada má#uina, dieron una media de 2 cm y una desviación t'pica de 0, cm.&allar los intervalos de con(iana del:

a. >Q,2>% b. 7,??%c. ,R6%

!ara el diámetro de todos los cojinetes.


22/76

So"&ión

n 200,2= x

, s0.,

a. 9α0.>Q2>

+−200

.000.2/

200

.000.2

+−n

Z xn

Z xσ

α

σ

α 2B/

2B ( )00R.2/EE6.

b. 9α0.7??

( )0?.2/EQ>.

+−

200

.000.22/

200

.000.22

+−

n

Z x

n

Z xσ

α

σ

α 2B

/

2B

c. 9α0.R6

( )02.2/ERE.

+−200

.000.62/

200

.000.62

+−n

Z xn

Z xσ

α

σ

α 2B/

2B

E0er&i&io 1;. $e sabe #ue el contenido de lactosa de cierto alimento lácteo sigue una distribuciónnormal, cuya variana es conocida, teniendo un valor de 0.Q. $e desea estimar el valor de la media poblacional mediante el valor de la media de una muestra, admiti*ndose un error má+imo de 0,27 conuna con(iana del 7%. Kuál ha de ser el tama4o de la muestra

So"&ión

-atos. σ2

0.Q entonces σ0. si 9 α 0.7 entonces α0.07,

e 0.27 x

9 N !ara α0.07, de la tabla dos colas" se tiene αB2.>

E>.E.0

27.0==

−=

nn

u x z

σ

27.0

E.0E>. xn =

, n?.R,

Luego la muestra debe ser 70 como m'nimo


23/76

07650720 0715

z1 z2

:2 :2

E0er&i&io 11. En una determinada población estudiantil, la nota sigue una distribución normal G?,7". $i se e+trae una muestra aleatoria de >? alumnos y para un nivel de signi(icación del 7%, Ken#u* condiciones se rechaar'a la hipótesis de #ue la media de la población es de ?

So"&ión

Datos

!ara α0.07 .> dos colas"

La hipótesis se rechaar'a cuando el valor de la media de la muestra no perteneca al intervalo decon(iana siguiente.( )22.7/RQ.2

+−>?

7E>.?/

>?

7E>.?

+−n

Z xn

Z xσ

α

σ

α 2B/2B

E0er&i&io 1. )ras realiar un test de cultura general entre los habitantes de cierta población, seobserva #ue las puntuaciones siguen una distribución normal, de media >Q y desviación t'pica Q. $edesea clasi(icar a los habitantes en tres grupos de baja cultura general, de cultura general aceptable,de cultura general e+celente", de manera #ue el primer grupo abar#ue un 20% de la población, elsegundo un >7% y el tercero el 7% restante. Kuáles son las puntuaciones #ue marcan el paso de ungrupo a otro

So"&ión

-atos. σQ N >Qα0.20 baja cultura",α0.>7 cultura media", α0.7 alta cultura"

+ u9σ >Q90.Q?Q" 72.Q7 +2 u_2σ >Q_0.Q?Q"Q6.7


E0er&i&io 1. En una (abrica de productos lácteos, una muestra de 00 unidades, dieron en promedioun peso de .67 Zg., con una desviación estándar de 0.2 Zg. K$e puede asegurar para un 3 0,07 #uelos pesos de los productos esta por debajo de .7 Zg

E0er&i&io . Ina empresa estudia introducir un nuevo sistema de producción para mejorar su productividad media establecida actualmente en ?0 unidades por persona diaria.$e estima #ue el cambio no será rentable si no consigue elevar dicho numero por encima de ?? u.Tealiada una prueba con la nueva tecnolog'a, aplicada a ?0 personas, se obtuvo una producciónmedia de ?7 y no se observó ning8n cambio apreciable en la dispersión #ue estaba establecida enσ.0 u. por d'a. K$e debe e(ectuar el cambio tecnológico


24/76

E0er&i&io 3. La polic'a a(irma #ue las denuncias por robo son resueltas en 0 d'as en promedio, conuna variana de ?. $e hio una encuesta a una muestra de 200 denunciantes cuyas denuncias (ueronresueltas y se encontró #ue sus casos (ueron resueltos en 7 d'a en promedio, considere una población normal, si α 0.07, #ue opina de la a(irmación de la polic'a.

E0er&i&io 4. En la eti#ueta de un producto comestible (igura #ue el tiempo de duración de este es de00 d'as, se eligió una muestra aleatoria de >0 art'culos y se comprobó #ue su tiempo de duración (uede Q0 d'as con una variana de >. K$e puede a(irmar a nivel de signi(icación 0,07 #ue el tiempo deduración media de los productos es 00 d'as.

E0er&i&io ? trabajadores de una (ábrica, concluyó #ue el sueldo medioes de sB. >00 con una desviación t'pica de >?. KEl salario medio es mayor o igual #ue 700 a un nivel designi(icación del 7%

E0er&i&io >. En estudios previos se ha determinado #ue el nivel de colesterol promedio de pacientescon problemas card'acos es 222. In cardiólogo piensa #ue en realidad el nivel es más alto y para probar su a(irmación usa la muestra siguiente. K&abrá su(iciente evidencia estad'stica para apoyar la

a(irmación del cardiólogo `usti(icar su contestación.

2R 2?7 2R 22> 202 266 267 2?2 2 22226 26Q 227 2> 22? 26> 2Q 27 2?026? 2?Q 22> 22 2R 20 207 222 220 2027 220 2?0 260 2? 20

E0er&i&io . In pro(esor universitario está interesado en determinar si las computadoras mejoran elrendimiento de sus alumnos de estad'stica. on este propósito seleccionó aleatoriamente 67estudiantes del tercer ciclo y despu*s de (acilitarles el uso de computadoras durante un semestre,determinó #ue las notas (ueron en promedio 7 con variana de ?. $i los promedios de estad'stica ena4os anteriores eran de 2, y se consideran pruebas normaliadas, Itiliando 3 0.0, determine laconclusión a #ue llegó el pro(esor.

E0er&i&io 8. $e sabe #ue el sueldo anual de los trabajadores de una empresa sigue una distribuciónnormal de media desconocida y desviación t'pica de sB700. $e ha observado el sueldo anual de 6>trabajadores de dicha empresa escogidos al aar, y se ha obtenido un valor medio de sB. 2?00.!robar la hipótesis, a un nivel de signi(icación del 7%, si la media de la distribución muestral es desB2700.

a. Kuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste b. -etermina la (orma de la región cr'tica.c. K$e acepta la hipótesis nula con el nivel de signi(icación indicado

E0er&i&io . El O) a(irma #ue los pasajes de ta+i local son de sB7.00 !ara saber si es cierto, se tomauna muestra de 6> ta+is, resultando #ue el precio medio es de sB>.7 con desviación estándar sB0.70.)iene raón el O) al 7% de con(iana.

E0er&i&io 1;. $e #uiere estudiar la vida media N de unas resistencias producidos en una empresa. !or e+perimentos anteriores, se piensa #ue la desviación t'pica de la población es 0h. Fl e+traer unamuestra de Q0 resistencias, se encuentra una media de R00h. a. ontrastar la hipótesis de #ue N>70h, (rente a la alternativa N70/ b. dem., (rente a la alternativa N C>70.

E0er&i&io 11. $e #uiere probar la e(icacia de una dieta para bajar de peso. El promotor a(irma #ue enun mes los participantes bajar'a 7Zg, para comprobar se puso a dieta a >> personas, luego de un messe obtuvo una disminución de peso en promedio ?Zg y una desviación estándar de .0 Zg. a. on un

% de con(iabilidad, Kpuede a(irmarse #ue es cierto la a(irmación del promotor. b. on un 7% de con(iabilidad, Kpuede a(irmarse #ue es cierto la a(irmación del promotor.


25/76

E0er&i&io 1. ;na &aria(le aleatoria "ig!e !na di"tri(!ción *#), 144$ con )de"conocido7a$ ianza del 58 para )7c$ Con"iderando la i"a hipóte"i" del p!nto a$,


26/76

. PRUE6A DE HIPÓTESIS PARA LA 7EDIA PO6LACIONAL' 7UESTRAS PEUEFAS

9.2.1 INTRODUCCIÓN

!ara realiar pruebas de hipótesis acerca de la media el tama4o de la muestra es pe#ue4o, es necesario

el supuesto de normalidad en las muestras. $upongamos #ue 2 nU ,U , , UF

es una muestra

aleatoria de una población normal con media N y variana V, lan

s

xT

µ −=

tiende a una distribución tcon n9 grados de libertad.

$e #uiere probar las hipótesis

Hipótesis


&o : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0

&o : µ = µ 0 H 1 : µ ≠ µ 0

&o : µ = µ 0&1 : µ > µ 0

9.2.2 SUPUESTOS

. Las muestras son muestras aleatorias simples.2. La muestra es pe#ue4a n = 60"6. Los valores de la muestra provienen de una población con una distribución normal o

apro+imadamente normal.

Esta%sti&o %e pre$a.

a". $e conoce la σ2 poblacional pocas veces sucede" b" $e desconoce la σ2 poblacional

n

s

u xt o

−=

n

u x z o

σ

−=

9ntW

Inter#a"o %e Con-ian(a. del 009α"% para la media poblacional µ , es de la (orma:


+≤≤− −−

n

st x

n

st x nn ",2B",2B α α µ

+≤≤−

n Z x

n Z x

σ µ

σ α α 2B2B


27/76t#0,05,15$ =2,131 t#0,05,15$ =2,131 t=

Zona de aceptación

Ho


n x

-onde:n : )ama4o de la muestra x

: Oedia de la muestraN : Oedia de la poblaciónσ : -esviación estándar poblacionals : desviación estándar de la muestran9 : grados de libertad

Nota' para encontrar la media y la desviación estándar se utilia las siguientes (ormulas

22

−

−∑==∑=

n

xn x s

n

xi

x

n

i

Nota' para determinar si la distribución es normal, podemos utiliar las pruebas de An%erson/%ar"in= s!apiro/Gi"" o Bo"*o,oro#/S*irno# ver ejercicio 6

.2.6 E`ETS$ TE$IEL)S$

E0er&i&io 1. El peso medio en mujeres comprendidas entre 60 y ?0 a4os, es de 67Zg. In estudiorealiado en > mujeres con edades comprendidas en el intervalo anterior y #ue siguen una dietavegetariana da un peso medio de ?7Zg. on una desviación t'pica de 7Zg. onsiderar distribuciónnormal.a. !uede considerarse #ue la dieta vegetariana produce una modi(icación del peso medio

de las mujeres. b. -ar un intervalo de con(iana al 7%, para de las vegetarianas

So"&ión.

Datosn >/ 30,07/

a" !uede considerarse #ue la dieta vegetariana produce una modi(icación del peso medio de lasmujeres.

Hipótesis

&o: N 67 La dieta vegetariana GS produce modi(icaciones en el peso de las mujeres"&: N < 67 La dieta vegetariana $ produce modi(icaciones en el peso de las mujeres". omo la población es normal y n=60 se usa la tabla de una cola t 3,n9" t 0,07,7" 2,6


28/76

Q

?

7

,0

,>

7

67?7==

−

=

−

=

n

s

u xt

$i t C t 0,07,7" se rechaa la &o

De&isión' como tQ" C t 0,07,7" 2,6", se rechaa &o, o sea la dieta si produce modi(icaciones

b. G)ET;FLS:

+− −−

n

st x

n

st x nn ,", / α α

( )>>?6.?R/667R.?2>

76.2?7/

>

76.2?7 =

+−

So"&ión en 7INITA6

ngresamos al minitab y hacemos clicZ en Stat ?6asi& statisti&s ?1/sa*p"e t.. como se ve en la(igura siguiente

Los resultados son los siguientes

One-Sample T

Test of mu = 35 vs not = 35

N Mean St'ev SE Mean 95% () T "

#* 45&0000 5&0000 #&500 +4&335$, 4$&**43- 8&00 0&000


29/76

DECISIÓN' omo ! 0,000" = 3 0,07" luego se rechaa &o.

INTERVALO' ?2,667R/ ?R,>>?6" al 7%

E0er&i&io . En un muestreo realiado entre los empleados de una multinacional se eligieron al aar 7 empleados y se anotó su sueldo mensual obteni*ndose los siguientes datos: 2Q7, 72, 7?>,?26, 20, >>0, 7>, 270, Q2, 20, 776, 07>, >6, 67Q y ?7R. El gerente a(irma #ue elsueldo medio de sus trabajadores está por encima de los 700 y los sindicatos a(irman #ue es de ?00.$abiendo #ue los sueldos en esa multinacional se distribuyen de (orma apro+imadamente normal,rees #ue lo #ue dice el gerente es cierto

So"&ión.

Datos

n 7 N700 sueldo promedio seg8n el gerente" s KKL= x

Pri*ero !a""a*os s y x

7

?7R67Q>607>77620Q2270E7>>>020?267?>722Q7 ++++++++++++++= x

?,62R7

EE == x

7

"?,62R7"?7R67Q.............7?>722Q7 222222

−−+++++

= s

s 2??,07

Pre$a %e Hipótesis&o: N700 sueldo promedio no es mayor #ue 700"&: NC700 sueldo promedio es mayor a 700, seg8n el gerente"

Esta%sti&o %e pre$a

omo la población es apro+imadamente normal y n=60 , utiliamos la prueba t de student

R6Q,2

7

07,2??

700?,62R−=

−=

−=

n

s

u xt


30/76

t = G 2,34 t#140,05$=1,61


Para %e&i%ir si re&!a(a*os Ho o a&epta*os Ho, construimos la gra(ica y determinamos el valor det, de la tabla. t?/0,07" ,R>

Con&"sión.

omo tD2,R6 cae en la ona de aceptación aceptamos &o, es decir #ue el gerente esta e#uivocado,el sueldo de los trabajadores no es mayor #ue 700.

E0er&i&io 3. In (abricante de lámparas el*ctricas sostiene #ue la duración media de las mismashoras" es en promedio superior a 600 h. $e toma una muestra de > lámparas siendo el resultado dela inspección el siguiente:

Q0 670 020 ?0 720 60 207 Q0 R0 ?20 Q70 600 607 0?0 070 720;eri(icar la &o del (abricante con un coe(iciente de riesgo del 7%.

So"&ión

DatosN 600 n >

L= x

s α 0.07Pri*ero

-ado #ue no sabemos si la población es normal/ entontes debemos determinar si la distribución esnormal, para eso aplicamos la prueba de Bo"*o,oro#/S*irno# de Oinitab

&o: la distribución es normal&: la distribución no es normal

$i !9value es mayor #ue 0.07, la distribución se considera normal.

&acemos clicZ en ?Stat?6asi& Statisti&s?Nor*a"it) Test,


31/76

Los datos lo ingresamos en la columna 6. y hacemos clicZ en S, para obtener los resultados

Los resultados son

C3

P e r c e n t

2000100160014001200100000600

5

0

0

0

60

50

40

30

20

10

5

1

Mean

07150

1265

=t%e& 24173

* 16

I= 07126

D,Jal!e

Probability Plot of C3*oral


32/76

)enemos #ue p/Va"e puede tomar valores mayores a 0.70

!ara un nivel de signi(icancia de 0.07

p9value0.7" C α0.07", luego se acepta la hipótesis nula, es decir la distribución es normal, en elgra(ico puede con(irmar esta a(irmación.

Se,n%o

$abiendo #ue la distribución es normal para nuestro ejemplo aplicamos la prueba de t de estudents

Hipótesis&o: N P 600 La duración de las lámparas no es mayor #ue 600"& : u C600 La duración de las lámparas es mayor #ue 600"

Uti"i(an%o 7INITA6 tene*os'

ngresamos las horas en 6, luego ejecutamos las opciones Stat6asi& statisti&s1/sa*p"e t..= luegocompletamos los datos como se ve en la (igura y clicZeamos oZ, oZ

Los resultados son:

One-Sample T: C3Test of mu = 1!00 vs ' 1!00

95%

(o)er

*aria+,e N Mean St-ev SE Mean Bound T

2! 1" 1$"5.00 $#1.!$ "0.!! 1159.$# &0.5 0./15

De&isión

) D 0,7Q/ t0,07/>" ,R?>

Luego 0,7> = ,R7>, se acepta &o.


33/76

t#0,05,24$ =2,064 t#0,05,24$ =2,064

t= G 2

Zona de aceptación

HoZona rechazo HoZona rechazo Ho

t#0705,24$=27064t=2 t#0705,24$= 27064

Ta*$in J p 0,R07"C 30,07" luego se acepta &o. Es decir #ue la duración de las lámparas no esmayor #ue 600 horas.

cmS

cm

,0

,R0

=

=

E0er&i&io 4. onocemos #ue las alturas U de los individuos de una ciudad, se distribuyende modo gaussiano. -eseamos contrastar con un nivel de signi(icación de 3 0, 07 si la altura mediaes di(erente de R? cm. !ara ello nos basamos en un estudio en el #ue con una muestra de n 27 personas se obtuvo:

So"&ión'

omo n= 60 se toma la prueba de t de student por ser la distribución gaussiana normal"El contraste #ue se plantea es:

&0: N R? la altura media es igual a R?"

&: N < R? la altura media es di(erente a R?"

La t*cnica a utiliar consiste en suponer #ue &0 es cierta y ver si el valor #ue toma el estad'sticoae dentro de la ona de rechao de &o.

2

7

,0

?

27

,0

,R?,R0−=

−

=

−

=

−

=

n

s

u xt

Con&"sión.

omo t D2, cae dentro la ona de aceptación de &o, además t D2" = t 0,07,2?"D 2,0>?" se acepta &o,es decir la altura media es igual a R?

En 7INITA6 teems:

One-Sample TTest of mu = #$4 vs not = #$4

N Mean St'ev SE Mean 95% () T "

5 #$0&000 #0&000 &000 +#*5&8$, #$48- .&00 0&05$

AK s interpreta&ión'

)est o( mu R? vs not R?

Pre$a %e "a *e%ia JHo' : 142 #s JHo' M 142

G Oean $t-ev $E Oean 7% ) !


34/76

n Oedia-esviaciónEstándar

uadradomedio

del error

ntervalo decon(iana al 7%

;alor ) ;alor !

27 R0,000 0,000 2,000 >7,QR22/ R?,2RQ" 92,00 0,07R

La interpretación es la misma #ue se hace en el caso manual ya visto anteriormente.!ero hay otra (orma de tomar la decisión de aceptar la &o y esto se hace con el ;alor !/

$i Va"or P + se re&!a(a "a Ho de lo contrario se Fcepta.

En este caso tenemos #ue Va"or P:;=;/ ?0.?"

E0er&i&io . In empresario de una editorial, paga un salario mensual de sB.000 si un vendedor vende

mas 00 libros a lo mucho en 60 d'as, de lo contrario solo paga sB.7 por libro vendido, un grupo de 0vendedores vendió mas de 00 libros en 62 d'as, con un variana de ? d'as, si la distribución de lasventas se considera normal, con una con(iana de 0.7, Kobran sB000 cada vendedor.


35/76

So"&ión

,>2.6

,0

2

6062=

−

=

−

=

n

s

u xt

-atos n0,

x

60, s2&o: N P 60 obran los sB000"&: N C 60 Go cobran los sB000"

t0,07/" .Q66

Con&"sión. omo t6.>2"C t0,07/" .Q66" se rechaa &o o sea no cobran los sB 000.

E0er&i&io 8. Ina muestra de 27 (amilias de una ciudad pagan en promedio por servicios sB 200

mensual y una variana de sB>. $e trata de ver si esta muestra es consistente con la &o #ue la mediaen la ciudad por servicios es de sB Q, con una con(iana de %, considerar la distribución normal.

So"&ión

7.2

27

?

,EQ200=

−

=

−

=

n

s

u xt

-atos n27,

x

200, s?&o: N Q La media de la ciudad es sBQ"&: N < Q La media de la ciudad no es sBQ"t0,007/2?" 2.RR

Con&"sión. omo t2.7"= t0,007/2?" 2.RR" no se rechaa &o o sea la media de la ciudad es sBQ.

E0er&i&io . In (abricante de mante#uilla #uiere comprobar si el peso promedio de cada pa#uete es de00 g. $e toma una muestra de 7 pa#uetes siendo el resultado de la inspección el siguiente:

Q.R .7 00.2 .R 00.7 Q.Q 00.0 Q.> . 00.6 00.2 00.? 0.0 .0 00.0;eri(icar la &o del (abricante con un coe(iciente de riesgo del 7%.

So"&ión.

Pri*ero determinamos si la distribución es normal.Fplicando o"*o,oro#9S*irno# de minitab


36/76

$e tiene #ue p9value0.70 esto es mayor #ue 0.07, luego la distribución es normal, podemos aplicarla t de estuden para probar nuestra hipótesis.

Se,n%o

?,.,

,7

R??.0

,00R6.EE−=

−

=

−

=

n

s

u xt

Datos n7, x

.R6, s0.R??2

Hipótesis

&o: N 00 El pa#uete pesa en promedio 00 g"&: N < 00 El pa#uete no pesa en promedio 00 g"t0,027/?" 2.?7

Con&"sión. omo t.?"= t0,027/?" 2.?7" no se rechaa &o o sea el pa#uete pesa en promedio00 g.

E0er&i&io . El aumento de peso promedio de Q vacas bajo una dieta alimenticia durante dos meses(ue de Q Zg con una s6Zg. $e desea probar si es válido a(irmar #ue esta ración aumenta el peso al

menos en 0 Zg. durante los dos meses con un nivel de signi(icación del 7%, considerar distribuciónnormal.

So"&ión.

Q2Q.2

,Q

6

,0Q−=

−

=

−

=

n

s

u xt

Datos nQ, x

Q, s6

&o: N J 0 El peso aumenta al menos en 0 g"

&: N = 0 El peso no aumenta al menos en 0 g"

-e la tabla t se tiene t0,027/?" .R?0

Con&"sión. omo t2.Q2Q"C t0,07/?" .R?0" se rechaa &o o sea el peso no aumenta al menos en0 g.

E0er&i&io 1;. In (abricante #ue elabora alimento balanceado, desea comprobar #ue los pesos de los pa#uetes tienen un promedio >0Zg. En una muestra de pa#uetes tomados al aar se obtuvo unamedia de >.2 Zg. con una desviación de .7 Zg. si la distribución es normal KMue a comprobado el(abricante con un nivel de signi(icación del %

So"&ión.


37/76

>.,

E

7.,

>22.>,−=

−

=

−

=

n

s

u xt

Datos n, x

>.2, s.7

&o: N >0 El peso promedio es >0 Zg"&: N < >0 El peso promedio no es >0 Zg"

-e la tabla t se tiene t0,007/Q" 6.677

Con&"sión. omo t.>"= t0,007/Q" 6.677" no se rechaa &o o sea el peso promedio es >0 Zg.


E0er&i&io 1. La corporación )ampico desea saber cuál es la má+ima tensión de ruptura #ue soportan

los cables de acero #ue (abrica. In cliente importante está interesado en la compra de un n8merogrande de cables y ha establecido #ue el punto de ruptura no debe ser menor #ue un tonelada.

)ampico piensa #ue una tonelada es apro+imadamente el punto de ruptura de los cables, pero decide

probar la hipótesis de #ue la tensión de ruptura promedio es una tonelada. La muestra es de 0,

α0.07, + 0.>, s0.7

E0er&i&io . $e tiene las siguientes pruebas de hipótesis&o: N 20&: N< 20

Los datos de una muestra de > elementos son >, 20, Q, , 20, Qa. alcule la media de la muestra b. Encuentre la desviación estándar de la muestrac. on 37%, cual es la regla de rechaod. alcule el valor del estad'stico te. Kuál es su concusión(. KMue puede decir acercad del valor p

E0er&i&io 3. $e tiene la siguiente prueba estad'stica &o: N 0&: N= 0

on una muestra de 7 datos se obtuvo una s7, use 37% determine el valor de t y su conclusión para cada uno de los siguientes resultados

a" x

b" x

c" x

Q.7 d" x

.7 e" x

2

E0er&i&io 4. In cardiólogo desea hallar un intervalo de con(iana del 0% para el nivel colesterol promedio de todos los pacientes #ue presentan problemas card'acos. !ara esto asume #ue ladistribución de los niveles de colesterol es normal con una desviación estándar σ 6 y usa lasiguiente muestra al aar de niveles de colesterol de 20 pacientes con problemas card'acos.2R 226 227 2?7 26Q 2> 2R 22> 202 266 267 2?2 2 22 26? 26> 2?Q 2Q 22?

E0er&i&io >. El p& medio del agua #ue sale de una planta de tratamiento debe ser de R.0. La autoridadsospecha #ue es posible #ue cierta planta no cumpla con la normativa. $e tomaron 7 muestras de


38/76

agua de esa planta y se obtuvo un p& de >.R, R., >.Q, >., R.6, R.7, >.7, >.>, R.6, R., >.6, >.Q, R.0, R.y >.Q. $abiendo #ue el p& var'a seg8n una distribución normal, Khay raón para dudar #ue semantenga la especi(icación

E0er&i&io . -os secciones de un curso de estad'stica son sometidas a un mismo e+amen (inal. -e lascali(icaciones obtenidas se e+trae una muestra aleatoria de tama4o en la grupo F, y otra detama4o ? en el grupo \.rupo F: >7, >Q, R2, R7, Q2, Q7, QR, , 7rupo \: 70, 7, R, Q0a. on un nivel de signi(icación de 0.07 Kpodr'a decirse #ue los dos grupos tienen las mismas

cali(icaciones promedio. $uponga #ue provienen de poblaciones normales con varianas iguales.

E0er&i&io 8. La e+periencia en la investigación de demandas por accidentes en una instituciónaseguradora revela #ue en promedio cuesta >0 la realiación de los trámites. Este costo se consideróe+orbitante en comparación al de otras compa4'as aseguradoras y se instauraron medidas para reducir costos. F (in de evaluar el impacto de las medidas, se seleccionó una muestra de > demandasrecientes. $e encontró un costo promedio de 7R y una desviación estándar de 0. Elabore una

prueba de hipótesis #ue permita comprobar si los costos han disminuido, con un % de con(iana.

E0er&i&io . !or registros pasados se sabe #ue la duración promedio de unas pilas el*ctricas #ue se(abrican para ser utiliadas en un reloj digital es de 600 d'as.&ace poco tiempo, el proceso de (abricación (ue modi(icado para darle mayor duración. !aracomprobar la e(ectividad del proceso modi(icado, se probó una muestra de 20 pilas, y se encontró unaduración promedio de 6 d'as y una desviación estándar de 2 d'as. F un nivel de signi(icación de0,07, Kpuede a(irmarse #ue el nuevo proceso aumenta la duración de las pilas

E0er&i&io 1;. In gerente de ventas de libros universitarios a(irma #ue en promedio sus representantesde ventas realian ?0 visitas a pro(esores por semana. ;arios de estos representantes piensan #uerealian un n8mero de visitas promedio superior a ?0. Ina muestra tomada al aar con Q semanas

reveló un promedio de ?2 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Itilice un nivel decon(iana del % para aclarar esta cuestión.

E0er&i&io 11. C!ando la cantidad de "eilla" de "oa .!e .!edan en el "!elo l!egode pa"ar la co"echadora e" ig!al o a-or a 0 "eilla"92, la prdida deprod!cción, en ..9ha, e" grande7 ;n prod!ctor decide pro(ar el >!ncionaientode "! '.!ina - para ello l!ego de co"echar !na parcela c!enta en 10 !nidade"de 1 2 c!'nta" "eilla" .!edan en el "!elo7 Fo" re"!ltado" >!eron, en"eilla"92E 3 2 2 1 6 6 5a$


39/76


40/76

.3 PRUE6A DE HIPÓTESIS SO6RE LA DIERENCIA ENTRE 7EDIAS' 7UESTRAS9RANDES

9.3.1 INTRODUCCIÓN

$upóngase #ue se tiene dos poblaciones in%epen%ientes con medias desconocidas N y N2, y

#arian(as V2 y V22. $ean x

y2 x

las medias de las muestras de dos poblaciones. El tama4o de cadauna de estas muestras son n y n2 respectivamente.

Mueremos observar si la di(erencia entre las medias es signi(icativa o no, es decir.

Hipótesis


&o: N D N2 J

& : N D N2 =

&o: N D N2

& : N D N2 <

&o: N D N2 P

& : N D N2 C

9.3.2 SUPUESTOS

1. Las observaciones de las muestras son aleatorias

2. Las poblaciones son independientes

3. Los tamaos de las muestras son n 1! 3" # n2 !3"

$. Las poblaciones son normales o cumplen las condiciones del teorema del l%mite central.

Esta%sti&o %e pre$a

a" ;arianas conocidas σ2 y σ22 b" ;arianas desconocidas σ2 y σ22


41/76

2

2

2

2

22 "

nn

u x x z

σ σ

µ

+

−−−=

2

2

2

2

22 "

n

s

n

s

u x xt z

+

−−−==

µ

Inter#a"o %e Con-ian(a. -el 009α"% para la di(erencia de medias poblacionales µ 1! µ ", es de la(orma:


++−≤−≤+−−

2

2

2

,

2

,

2B2,2,

2

2

2

,

2

,

2B2,

nn Z x x

nn Z x x

σ σ µ µ

σ σ α α

++−≤−≤+−−

2

2

2

,

2

,

2B2,2,

2

2

2

,

2

,

2B2,

n

s

n

s Z x x

n

s

n

s Z x x

α α µ µ

n x

-onde:n: )ama4o de la muestras / n2 : )ama4o de la muestras 2

x

: Oedia de la muestra ,

2 x

: Oedia de la muestra 2N : Oedia de la población 2/ N2 : Oedia de la población 2/σ : -esviación estándar poblacional / σ2 : -esviación estándar poblacional 2s : desviación estándar de la muestra / s : desviación estándar de la muestra 2

Notas. . !ara muestras grandes es indistinto usar la distribución A o distribución t de student, para

calcular el p9valor en la práctica se usa generalmente la distribución t por#ue en la mayor'a delos pa#uetes estad'sticos viene como una opción

2. $i GS se conoce las desviaciones estándar de las poblaciones σ y σ2 se estima con s y $ha las


42/76

Z0,025=1,6 Z0,025 =1,6

Z= G 1,3

Zona de aceptación

Ho


desviaciones estándar de las muestras6. eneralmente se tiene #ue N D N2 0


E0er&i&io 1. $e conocen los datos de dos muestras de dos poblaciones, #ue son los siguientes: Lasmedias 1 R? / " RQ / las varianas $2 227 / $22 >/ las muestras n ?2 / n2 7>/ $e pide contrastar estad'sticamente si e+iste di(erencia entre las dos poblaciones, a un nivel designi(icación del 0.07. Las dos poblaciones siguen una distribución Gormal GN,V2" y GN2, V22"

So"&ión. $abemos #ue las distribuciones de las dos poblaciones son Gormales, pero desconocemos elvalor de su desviación, sólo conocemos el valor de la desviación t'pica de las muestras entoncesestimamos las desviaciones poblacionales con las de las muestras.

Hipótesis'

&o: N 9 N 2 0, es decir, N N 2 no e+iste di(erencia entre las poblaciones"&: N 9 N 2 < 0, es decir, N


43/76

Res"ta%os

Two-Sample T-Test and CI

Sam/e N Mean St'ev SE Mean

# 4 $4&0 #5&0 &3

5* $8&0 #3&0 #&$

'ifferen1e = mu +#- . mu +-

Estimate for differen1e2 .4&0000095% () for differen1e2 +.9&$580$, #&$580$-

T.Test of differen1e = 0 +vs not =-2 T.aue = .#&38 ".aue = 0$# ' = 8#

Con&"sión. omo p 0,R" C 30,07" luego no se rechaa &o.

E0er&i&io . $e realió un estudio para comparar los a4os promedio de servicio de #uienes se retiraron

en 2007 con los #ue se retiraron el a4o anterior en un hospital. on un nivel de signi(icancia de 0,0


44/76

Kpodemos concluir #ue los trabajadores #ue se retiraron el 2007 trabajaron menos #ue los del 200?,seg8n la siguiente muestra

F4o 200? 2007

Oedia de la muestra 60,?0 27,>0

-esviación estándar muestra 6,> 2,

)ama4o de la muestra ?7,0 ?0,0

So"&ión.

HIPÓTESIS

&o: N 2 9 N J 0, los trabajadores del 2007 trabajan igual o mas #ue los del 200?"

&: N 2 9 N = 0, los trabajadores del 2007 trabajan menos #ue los del 200?"

Q,>

?7

>,6

?0

E,2

"0?,60>,27"

22

2

2

2

2

22 −=

+

−−=

+

−−−=

n

s

n

s

u x x z

µ

Con&sión' omo A 9>,Q" = A0,0 2,62>6" se rechaa &o/ luego los trabajadores del 2007 trabajanmenos #ue los de 200?


45/76

Uti"i(an%o 7INITA6

Two-Sample T-Test and CISam/e N Mean St'ev SE Mean

# 40 5&*0 &90 0&4*

45 30&40 3&*0 0&54


Estimate for differen1e2 .4&80000

99% u//er ound for differen1e2 .350

T.Test of differen1e = 0 +vs 6-2 T.aue = .*&80 ".aue = 0&000 ' = 8

Con&"sión' como p9value0,00"=30,0", se rechaa &o, es decir hay su(iciente evidencia parasuponer #ue los trabajadores del 2007 trabajan menos #ue los del 200?.

E0er&i&io 3. En un ensayo cl'nico para evaluar un hipotensor se compara un grupo placebo con elgrupo tratado. La variable medida es la disminución de la presión sistólica y se obtiene: grupo placebo

n 67/= x

6,R mm de &g. y $ha 66,/ grupo tratado n ?0/= x

7, mm de &g. y $ha 2,Q. KEse(ica el tratamiento

So"&ión.

$e trata de un contraste sobre di(erencias de medias

&0: N D N2 P 0 no varia la presión"&: N D N2 C 0 la presión disminuye"


46/76

omo no conocemos V ni V2 utiliamos la s y $ha y la distribución t, pero como la distribución t paramuestras nC60, se apro+ima a A utiliamos la distribución A, los resultados serán iguales a la t de$tudents.

22,0

?0

Q,2

67

E,66

,7R,6"

2

2

2

2

22 −=

+

−=

+

−−−=

n

s

n

s

u x x z

µ

Luego tenemos #ue A D 0,22" = A0,07 D ,>?7", entonces se FE!)F la &o, signi(ica #ue la presión con el nuevo tratamiento no ha disminuido.

Itiliando OG)F\ :


# 35 3&$0 5&8 0&98

40 #5 3&58 0&5$



47/76

Estimate for differen1e2 .##&4000

95% ower ound for differen1e2 .#3&998

T.Test of differen1e = 0 +vs >-2 T.aue = .#0&04 ".aue = #&000 ' = 54

Con&"sión. -e a#u' tenemos #ue p9valor " C 30,07" luego se acepta &o. La presión no var'a.


E0er&i&io 1. En la actualidad las cali(icaciones de e(iciencia de 70 trabajadores de una empresa tienenun valor promedio de ?.7 puntos y una desviación estándar de .> puntos. $in embargo, en (echasrecientes se evaluó a >? trabajadores, #ue obtuvieron una puntuación media de >.7 puntos y unavariana de .-entro de un nivel de con(iana del 7%, Kpuede decirse #ue la puntuación actuales de lostrabajadores de la empresa es menor #ue en (echas recientes.

E0er&i&io . -os compa4'as #ue (abrican blo#ues de concreto desean comparar la compresión promedio de sus blo#ues. El inter*s es determinar si las dos compa4'as tienen compresiones promedioiguales, o si por el contrario, e+isten di(erencias entre las mismas. on base a un muestreo, pudodeterminarse la in(ormación #ue sigue. Itiliando un nivel de signi(icación de 0,02, Kes posibleconcluir #ue hay di(erencias entre la compresión promedio de los blo#ues de ambas compa4'as

ompa4'a ompa4'a 2ompresión promediopsi" 0R0 0?7-esviación estándar psi" >6,> 7R,)ama4o Ouestra 00 >?

E0er&i&io 3. In producto #u'mico especialmente dise4ado para a4adir peso al grano desea determinar si es o no e(ica. $e tomaron dos grupos: el primer grupo (ue (ormado con grano al cual no se le

aplicó el producto y el segundo grupo (ue de grano al cual si se le aplicó el producto. Ina muestra de00 maorcas de ma' no tratado con el producto tuvo un peso promedio de 7,2 onas, con unadesviación de ,2 onas. Ina muestra de ?00 maorcas de ma' tratado con el producto tuvo un peso promedio de > onas, con una desviación de ona. Itiliando una prueba de hipótesis con un 7%de con(iabilidad, Kes posible concluir #ue el producto es e(ica

E0er&i&io 4. Las e+istencias de un medicamento se han surtido siempre en una (armacia un promediode >,2 veces al a4o, con una desviación de ,7 veces. $e sospecha #ue esta tasa ha cambiado en los8ltimos meses. Ina muestra de los 8ltimos 6> meses reveló #ue ahora se surte 7,? veces al a4o. K&acambiado la tasa de surtido Itilice un nivel de con(iabilidad del Q%.

E0er&i&io 0g con desviación estándar de 0. K)iene raón el (abricante Itilice un nivel de con(iana del %.

E0er&i&io >. La cadena de Oc!ato situadas en la ciudad de !iura a(irma #ue su servicio es mas rápido#ue cual#uier otra cadena, una muestra de ?2 atenciones demoró en promedio de 6 minutos condesviación t'pica de minuto. Ina muestra de ?7 atenciones de la cadena Oc!ollo arrojó un tiempo promedio de atención de ? minutos con desviación de 0.Q minutos K)iene Oc!ato raón Itilice una prueba estad'stica con un nivel de signi(icación de 0,0.


48/76


49/76

E0er&i&io 1 de 60 empresas (ueron en promedio de Q00toneladas m*tricas, con una variana de 200 toneladas m*tricas al cuadrado, el 200R estas mismasempresas e+portaron 000 toneladas con una variana de 70, a un nivel de con(iana de 7% se puede a(irmar #ue el 200R se incremento las e+portaciones de mango.


50/76

&.4 PRUE6A DE HIPÓTESIS SO6RE LA DIERENCIA ENTRE 7EDIAS' 7UESTRASPEUEFAS

9.4.1 INTRODUCCIÓN

Estas pruebas se utilian cuando el muestreo destruye a los elementos, cuando resulta muy costoso ocuando solo se puede obtener unos cuantos valores históricos.

$ea u y u2, las medias de dos poblaciones normales o apro+imadamente normal/ $e #uiere probar lahipótesis sobre la di(erencia de medias bajo el supuesto #ue &o es cierto es decir:

Hipótesis


&o: N D N2 J o

& : N D N2 = o

&o : No D N2 o& : N D N2 < o &o: No D N2 P o

&: N D N2 C o

9.4.2 SUPOSICIONES

17 Fa" o("er&acione" de la" do" !e"tra" "on independiente"

27 Fa" do" po(lacione" "on apro:iadaente norale"37 Al eno" !na !e"tra e" pe.!ea n = 30

Pre$a Esta%sti&a..

Caso 1. Se &ono&en las desviaciones estándar de las poblaciones V y V2,.

2

2

2

2

2

nn

x x z o

σ σ +

∆−−=


++−≤−≤+−−

2

2

2B22

2

2

2B2

nn z x x

nn z x x

σ σ µ µ

σ σ α α


51/76

n x

Caso . Se %es&ono&e σ y σ2 pero son iguales σσ2σ, se determina s la desviación estándar combinada, en (unción de s y $2.

2

2

nn s

x xt

o

+

∆−−=


++−≤−≤+−− −+−+

22,2B22

22,2B2

nn st x x

nn st x x nnnn α α µ µ

n x

Pre$a t &on n1n Q ,ra%os %e "i$erta%

-onde s es un estimado conjunto de V desviación estándar com8n para ambas poblaciones poo"e%#arian&e""

2

""

2

2

22

2

−+−+−

=nn

sn sn s

Caso 3. $e %es&ono&e σ y σ2 pero desiguales σ


52/76

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

++

+

+

=

n

s

nn

s

n

n

s

n

s

g%


++−≤−≤+−−

2

2

,2B22

2

2

,2B2

n

s

n

st x x

n

s

n

st x x g% g% α α µ µ

n x

-onde:n: )ama4o de la muestras / n2 : )ama4o de la muestras 2

x

: Oedia de la muestra ,2 x

: Oedia de la muestra 2N : Oedia de la población 2/ N2 : Oedia de la población 2/σ : -esviación estándar poblacional σ2 : -esviación estándar poblacional 2s : desviación estándar de la muestra / $ha : desviación estándar de la muestra 2

s: desviación estándar combinada. gl : grados de libertad

Nota' en caso gl no sea entero se apro+ima al menor entero


E0er&i&io 1. omo psicólogo de un hospital para en(ermos mentales el lector obtiene cali(icaciones

para una prueba visual motora para cada uno de dos grupos de pacientes. La cali(icación media para elgrupo F 0 pacientes" es Q0 con desviación estándar Q, y la correspondiente al grupo \ 7 pacientes" es R0 con desviación estándar 22. El lector cree tener su(iciente raones para considerar lasdesviaciones estándar de población iguales, las poblaciones son normales. K-i(ierensigni(icativamente las cali(icaciones con nivel de signi(icación 0%.

So"&ión

Datos

nF 0 n\ 7Q0= & x R0= ' x

sF Qs\ 22 α 0.0

Hipótesis


53/76

#0,123$=1,14 t#0,123$ =1,14

t= 1,13

Zona de aceptación

Ho


!1!2

H1

"1

"2

, x

2 x

1=2

n2

n1

&o: NF 9 N\ 0 las cali(icaciones no di(ieren"&: NF 9 N\ < 0 las cali(icaciones si di(ieren"

E6,

7

072RQ.20

R0Q0

=+

−=

+

−=

' &

' &

nn s

x xt

s

72RQ.20270

22"7Q"0

2

"" 2222

=−+

−+−=

−+−+−

' &

' ' & &

nn

sn sn

De&isión' como se observa en la (igura el t esta dentro del área de aceptación de &o., luego se acepta&o, es decir #ue las cali(icaciones no di(ieren

Uti"i(an%o 7INITA6Ejecutamos las opciones Stat6asi& statisti&s Sa*p"e t..= luego completamos los datos como se veen la (igura y clicZeamos oZ, oZ

NotaE *ote .!e Assume equal viariances e"t' acti&adoe"to "e hace c!ando la" &arianza" de la" po(lacione" "on ig!ale"


# #0 80&0 #8&0 5&$

#5 $0&0 &0 5&$


Estimate for differen1e2 #0&000090% () for differen1e2 +.4&3*30, 4&3*30-

T.Test of differen1e = 0 +vs not =-2 T.aue = # ".aue = 0&45 ' = 3

%e ta(la" t para do" cola" teneo" .!eEt #@ n1n22$ = t #0,1 10152$ = t #0,1 23$ = 1,14


54/76

t=0,6 #0,0510$=1,12


oth use "ooed St'ev = 0&5$8

Con&"sión' omo p9value 0,2?7" C 3 0," luego se acepta &o.

E0er&i&io . !ara contrastar si mediante el proceso \ se disminuye el tiempo de ejecución de ciertostrabajos respecto del F, se ejecutaron > tareas con ambos procesos obteni*ndose los siguientestiempos, medidos en horas:F 2,7 R, 7 Q,7 R Q,\ 2,6 R, ? Q >,> 7Fdmiti*ndose normalidad y con un nivel de con(iana del 7% K#u* conclusión puede derivarse deestos datos. $uponer #ue ambos procesos tienen la misma variabilidad.

So"&ión.

&o: NF D N\ P 0 on el proceso \ no se disminuye el tiempo de ejecución"

&: NF D N\ C 0 on el proceso \ se disminuye el tiempo de ejecución"

6R,>>

,QR7,Q7,R7,2=

+++++= & x

7,7>

7>,>Q?,R6,2=

+++++=

' x

27,2>

2"6R,>>"

2",Q

2"R

2"7,Q

2"7

2",R

2"7,2

=−

−+++++

= & s

6,2>

2"7.7Q"

27

2>,>

2Q

2?

2,R

26,2

=−

−+++++=

' s

t0,07,0" ,Q2 una cola

>Q,0

>

>

>E2Q.0

7,76R,>

=

+

−=

+

−=

'n

&n

s

' x

& x

t

>E2Q.02>>

6.2"727.2"7

2

"" 2222

=−+

+=

−+−+−

' &

' ' & &

nn

sn sn

Con&"sión' En la grá(ica vemos #ue t0,>Q esta en la

ona de aceptación de la &o, luego on el proceso \ no sedisminuye el tiempo de ejecución


55/76

En 7INITA6

!rimero ingresamos los datos en la columna UF" y 2 U\" como en la (iguraf ejecutamos las opciones Stat6asi& statisti&s Sa*p"e t..= luego completamos los datos como seve en la (igura y clicZeamos oZ, oZ

AK "os res"ta%os.

Two-Sample T-Test and CI: XA; XBTwo.sam/e T for 7 vs 7

N Mean St'ev SE Mean

7 * *&3$ &5 0&9

7 * 5&50 0&8$

'ifferen1e = mu +7- . mu +7-

Estimate for differen1e2 0&8****$

95% ower ound for differen1e2 .#&4$*8*

T.Test of differen1e = 0 +vs >-2 T.aue = 0&*8 ".aue = 0&55 ' = #0

oth use "ooed St'ev = *

Con&"sión. omo p9value0,277"C3 0,07" se acepta &o.

E0er&i&io 3. $e #uiere saber el trabajo a(ecta el rendimiento acad*mico de los estudiantes de unaespecialidad, para ello se eval8a a dos grupos independientes de estudiantes, supóngase #ue las poblaciones son normales. El grupo es el de estudiantes #ue trabajan y el grupo 2 es el deestudiantes #ue no trabajan, los datos obtenidos en la investigación son los siguientes.

7 2 Q 2 6 Q 2 0 0 > R 7 > ? >

on un nivel de signi(icancia de 0.0, puede a(irmarse #ue el trabajo disminuye el rendimientoacad*mico.

So"&ión

µ: media de estudiantes #ue trabajan µ2: media de estudiantes #ue no trabajan

!rimero: Go se conocen las σ y σ2 además no sabemos si son o no iguales, para determinar si soniguales aplicamos la prueba de la variana.


56/76


57/76

Gota: a#u' hemos puesto g2 primero y luego g, por#ue $haCs

Luego como p9value0.00?"= α0.0" se rechaa &o, o sea #ue el trabajo diminuye el rendimientoacad*mico de los estudiantes.

E0er&i&io 4. $e determinó la contaminación de dos r'os F y \ de una ciudad analiando el !& de 00ml de agua, el r'o F esta ubicado en una ona industrial y el r'o \ esta ubicada en una ona rural. $edice #ue el agua no esta contaminada si su !& esta cercano a RLos datos encontrados (ueron

T'o n x $ha

F 7 7 0.R\ 7 R 0.0R

on un α0.07 se desea saber si el r'o F esta más contaminado #ue \. Las distribuciones sonnormales, pero no se sabe si las varianas son iguales.

So"&ión

!rimero. -ebemos determinar si las varianas son iguales.

Itiliamos la comparación de varianas

Test -or EKa" Varian&es

7% \on(erroni con(idence intervals (or standard deviations

$ample G Lo[er $t-ev Ipper 7 0.?>Q?0> 0.Q6>>>0 2.Q??R 2 7 0.?Q26 0.2>?7R7 0.76

@9)est normal distribution")est statistic 0.00, p9value 0.0?R

omo p9valor0.0?R" = 0.07 se rechaa &o, luego las distribuciones Go son iguales.

2

22

2

22 "

n

s

n

s

u x xt

+

−−−=

µ

Co*o 1M ti"i(a*os "a %istri$&ión

&o: µ µ2 El r'o F no esta más contaminado #ue el r'o \"&: µ = µ2 El r'o F esta más contaminado #ue el r'o \"

$eg8n minitab tenemos


58/76

To/Sa*p"e T/Test an% CI

$ample G Oean $t-ev $E Oean 7 7.000 0.R00 0.62 7 R.0000 0.0R00 0.06

-i((erence mu " 9 mu 2"Estimate (or di((erence: 92.000007% upper bound (or di((erence: 9.6260)9)est o( di((erence 0 vs =": )9;alue 9>.6> !9;alue 0.002 -@ ?

omo p9value0.002 = 0.07 luego se rechaa &o, es decir el r'o F está mas contaminado #ue el r'o \.

E0er&i&io


59/76

27.7

E

2Q2Q?2R.2

"22Q

""=

−=

+

−−−=

N( N

N( N N( N

nn s

t

µ µ

El valor tabulado de t, para > grados de libertad y nivel de signi(icación del % es igual a 2,2.

omo el valor de la estad'stica calculada supera al valor tabulado, se rechaa &0 .

onclusión e+isten di(erencias estad'sticamente signi(icativas entre los tratamientos, siendo superior el promedio por planta de naranjo, de a#uellas #ue reciben el tratamiento G!.

E0er&i&io >. $e #uiso probar si la cirrosis de h'gado hacia variar el 'ndice de actividad de lacolinesterasa en suero. $e eligieron dos muestras aleatorias e independientes de individuos. Losresultados (ueron:

ndividuos normales n20 Q, = x

$0,?

ndividuos cirroticos n227 >>,02 = x $20,2

La cirrosis de h'gado, Khace variar el 'ndice de la colinesterasa en suero

So"&ión'



Test -or EKa" Varian&es7% \on(erroni con(idence intervals (or standard deviations$ample G Lo[er $t-ev Ipper 20 0.26072 0.? 0.>RQ 2 27 0.70>? 0.2 0.22R?

@9)est Gormal -istribution")est statistic ?.00, p9value 0.002

omo p9valor0.002" = 0.07 se rechaa &o, luego las distribuciones Go son iguales.omo σ < σ2 utiliamos la distribución

2

2

2

2

22 "

n

S

n

S

x xt

+

−−−=

µ µ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

++

+

+

=

n

S

nn

S

n

n

S

n

S

g%


60/76

Hipótesis'

H"'

2 µ µ = (o var%a)

H1'

2 µ µ ≠ (ar%a)

$eg8n Oinitab tenemos

To/Sa*p"e T/Test an% CI$ample G Oean $t-ev $E Oean 20 .Q00 0.?00 0.0Q2 27 0.>>0 0.200 0.0?0

-i((erence mu " 9 mu 2"Estimate (or di((erence: .?007% (or di((erence: 0.6Q>, .6??")9)est o( di((erence 0 vs not ": )9;alue .>? !9;alue 0.000 -@ 2>

omo !9;alue 0,000 = 0,07 luego se rechaa &o, es decir el 'ndice de la colinesterasa en suero nohace variar la cirrosis de h'gado.

E0er&i&io . Ouchos autores a(irman #ue los pacientes con depresión tienen una (unción cortical pordebajo de lo normal debido a un riego sangu'neo cerebral por debajo de lo normal. F dos muestras deindividuos, unos con depresión y otros normales, se les midió un 'ndice #ue indica el (lujo sangu'neoen la materia gris dado en mgB00gBmin"" obteni*ndose:

-epresivo n ?R = x

$R,Q

Gormales n222 Q,762 = x $2>,

K&ay evidencia signi(icativa a (avor de la a(irmación de los autores

So"&ión'



Test -or EKa" Varian&es% \on(erroni con(idence intervals (or standard deviations$ample G Lo[er $t-ev Ipper 7.2R0> R.Q 6.77 2 22 ?.22? >. 0.67?0@9)est Gormal -istribution")est statistic .>?, p9value 0.2R

omo p9valor0.2R" = 0.07 se rechaa &o, luego las distribuciones Go son iguales.omo σ < σ2 utiliamos la distribución


61/76

2

2

2

2

22"

n

S

n

S

x xt

+

−−−=

µ µ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

++

+

+

=

n

S

nn

S

n

n

S

n

S

g%

Hipótesis'

H"'

2 µ µ = ((unción cortical Gormal)

H1'

2 µ µ > (@unción cortical por debajo de lo normal)

$eg8n Oinitab tenemosTo/Sa*p"e T/Test an% CI$ample G Oean $t-ev $E Oean ?R.00 R.Q0 .Q2 22 76.Q0 >.0 .6-i((erence mu " 9 mu 2"Estimate (or di((erence: 9>.Q07% lo[er bound (or di((erence: 90.7?)9)est o( di((erence 0 vs C": )9;alue 96.0R !9;alue 0.Q -@ 66

omo !9;alue 0,Q C 0,07 luego se acepta &o, es decir no hay evidencia signi(icativa a (avor de la

a(irmación de los autores.

E0er&i&io 8. In (abricante de llantas para bicicleta a(irma #ue sus llantas duran más #ue los de lacompetencia, para ello se tomaron 7 llantas y la duración promedio (ue de >0.000 Zilómetros y unavariana de 00. > llantas de la competencia arrojo un tiempo promedio de duración de 7Q000Zilómetros y una variana de 0. $i las poblaciones se consideran normales de varianas desconocidasdi(erentes Ktiene raón el (abricante Itilice un nivel de con(iana del %.

So"&ión'

@abricante n 7 >0000 = x ; 00

ompetencia n2 > 7Q0002 = x ;2 0

Itiliamos la distribución

2

2

2

2

22"

n

S

n

S

x xt

+

−−−=

µ µ 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

−

++

+

+

=

n

S

nn

S

n

n

S

n

S

g%


62/7

eercicios de estadistica 2

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