clase 2
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Elementos finitos clase 2TRANSCRIPT
FormulaciFormulacióón Directa de n Directa de
Elementos Beam y Elementos Beam y FrameFrame
Grupo de Modelado y MGrupo de Modelado y Méétodos Numtodos Numééricos en ricos en IngenierIngenieríía a -- GNUMGNUM
http://http://www.gnum.unal.edu.cowww.gnum.unal.edu.co//
Programa de Ingeniería Mecánica
Universidad Nacional de Colombia
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Marcos son estructuras complejas formadas por elementos relementos ríígidamente gidamente conectadosconectados. Se diferencian de una armadura en que sus elementos no estásometidos necesariamente a carga axial y pueden soportar otros tipos de carga, como fuerzas transversales y momentos flectores, e incluso torsión si se trata de un marco espacial.
Junta rJunta ríígidagida
Planteamiento del ProblemaPlanteamiento del Problema
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Planteamiento del ProblemaPlanteamiento del Problema
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Planteamiento del ProblemaPlanteamiento del Problema
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Planteamiento del ProblemaPlanteamiento del Problema
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Elemento BEAMBEAM 2D2D (viga bidimensional): es un elemento unidimensional, con dos nodos y dos grados de libertad (D.O.F) por cada nodo: un desplazamiento transversal (vv) y una rotación (θθθθθθθθ ).
Las simplificaciones asociadas a la formulación del elemento BEAMBEAM son:
• El material de la viga se comportará como de forma lineal ellineal eláásticostico e isotrisotróópicopico.
• La viga estará compuesta de un solo materialun solo material y una úúnica seccinica seccióón n transversaltransversal.
• Las deformaciones lateralesdeformaciones laterales de la sección transversal serán nulasnulas, es decir, el material de la viga tendrá un coeficiente de Poisson igual a cero.
• Las cargascargas deben ser aplicada únicamente en los nodos del elementonodos del elemento, las cargas distribuidas requieren un tratamiento especial.
Planteamiento del ProblemaPlanteamiento del Problema
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
g i
mi
g j
mj
=
k11
k21
k31
0 0 00 0 00 0 0
k41 0 0 0
.
v i
θi
v j
θj
gi
mi
gj
mj
=
k11
k21
k31
k12 k13 k14
k22 k23 k24
k32 k33 k34
k41 k42 k43 k44
.
v i
θi
v j
θj
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento Beam 2DBeam 2D
@FD = @KD. @UD
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
gi =12 EI
L3v i
mi =6 EI
L2v i
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento Beam 2DBeam 2D
δ1 − δ2 = v i
−φ1 + φ2 = 0
δ1 =g i L3
3 EIφ1 =
gi L2
2 EI
δ2 =mi L2
2 EIφ2 =
mi L
EI
gj =−12 EI
L3v i
mj =6 EI
L2v i
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
g i
mi
g j
mj
=
k11
k21
k31
k12 k13 k14
k22 k23 k24
k32 k33 k34
k41 k42 k43 k44
.
v i
θi
v j
θj
gi
mi
gj
mj
=
12 EI
L3
6 EI
L2
−12 EI
L3
6 EI
L2
.v i
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento Beam 2DBeam 2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
gi
mi
gj
mj
=
000
k12 0 0k22 0 0k32 0 0
0 k 42 0 0
.
v i
θi
v j
θj
gi
mi
gj
mj
=
k11
k21
k31
k12 k13 k14
k22 k23 k24
k32 k33 k34
k41 k42 k43 k44
.
v i
θi
v j
θj
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento Beam 2DBeam 2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
δ1 − δ2 = 0
−φ1 + φ2 = θi
Y de forma análoga
gi
mi
gj
mj
=
6 EI
L2
4 EI
L
−6 EI
L2
2 EI
L
. θi
gi
mi
gj
mj
=
−12 EI
L3
−6 EIL2
12 EI
L3
−
6 EI
L2
.v j
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento Beam 2DBeam 2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
De modo que para el elemento BEAM 2D BEAM 2D :
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento BeamBeam 2D2D
gi
mi
gj
mj
=
6 EI
L2
2 EI
L
−6 EI
L2
4 EI
L
. θj
@FD = @KD . @uD
gi
mi
gj
mj
=
12 EI
L3
6 EIL2
−12 EI
L3
6 EI
L2 −12 EI
L36 EI
L2
4 EIL−
6 EIL2
2 EIL
−6 EIL2
12 EI
L3 −6 EI
L2
6 EI
L22 EI
L−
6 EI
L24 EI
L
.
v i
θi
v j
θj
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
@FD = @KD . @uD
g1
m1
g2
m2
g3
m3
=
k11
k21
k31
k41
k51
k61
k12
k22
k32
k42
k52
k62
k13
k23
k33
k43
k53
k63
k14
k24
k34
k44
k54
k64
k15
k25
k35
k45
k55
k65
k16
k26
k36
k46
k56
k66
.
v1
θ1
v2
θ2
v3
θ3
??
??
??
??
??
??
Ejemplo: Elemento Ejemplo: Elemento BeamBeam 2D2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6
6 2 −6 4
1
La matriz de rigidez de para cada uno de los elementos será:
Elemento 1 Elemento 1 :
Elemento 2 Elemento 2 :
11 11 22 22
11
11
22
22
22 22 33 33
22
22
33
33
12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6
6 2 −6 4
2
Ejemplo: Elemento Ejemplo: Elemento BeamBeam 2D2D
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Expandiendo adecuadamente cada una de estas matrices:
Elemento 1 Elemento 1 : Elemento 2 Elemento 2 :
Ejemplo: Elemento Ejemplo: Elemento BeamBeam 2D2D
12 6 −12 6 0 06 4 −6 2 0 0−12 −6 12 −6 0 0
6 2 −6 4 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 12 6 −12 60 0 6 4 −6 20 0 −12 −6 12 −60 0 6 2 −6 4
2
g1
m1
−10g3
m3
=
12 6 −12 6 0 06 4 −6 2 0 0−12 −6 24 0 −12 6
6 2 0 8 −6 20 0 −12 −6 12 −60 0 6 2 −6 4
.
00V2
θ2
00
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g22
m22
g32
m32
=
12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6
6 2 −6 4
2
.
v2
θ2
v3
θ3
g11
m11
g21
m21
=
12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6
6 2 −6 4
1
.
v1
θ1
v2
θ2
Conocidos los desplazamientos nodales, pueden ser calculadas las fuerzas internas de los elementos así:
Elemento 1 Elemento 1 : Elemento 2 Elemento 2 :
Ejemplo: Elemento Ejemplo: Elemento BeamBeam 2D2D
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@FD = @KD . @uD
f i
gi
mi
f j
gj
mj
=
k11
k21
k31
k41
k51
k61
k12
k22
k32
k42
k52
k62
k13
k23
k33
k43
k53
k63
k14
k24
k34
k44
k54
k64
k15
k25
k35
k45
k55
k65
k16
k26
k36
k46
k56
k66
.
ui
v i
θi
uj
v j
θj
Mientras que el elemento BEAM BEAM
2D2D fue introducido para el análisis
de vigas principalmente, el
elemento FRAME 2DFRAME 2D se formulará
pensando en el análisis de marcos,
por lo que resulta necesario
adicionar el efecto de las cargas
axiales.
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento FrameFrame 2D2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Reformulando el elemento TRUSS TRUSS :
Reformulando el elemento BEAM BEAM :
f i
gi
mi
f j
gj
mj
=
AE
L0 0 − AE
L0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
−AEL
0 0 AE
L0 0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
.
ui
v i
θi
uj
v j
θj
f i
gi
mi
f j
gj
mj
=
0 0 0 0 0 0
0 12 EI
L36 EI
L2 0 − 12 EI
L36 EI
L2
0 6 EI
L24 EI
L0 − 6 EI
L22 EI
L
0 0 0 0 0 0
0 − 12 EI
L3 −6 EI
L2 0 12 EI
L3 −6 EI
L2
0 6 EI
L22 EI
L0 − 6 EI
L24 EI
L
.
ui
Vi
θi
uj
Vj
θj
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento FrameFrame 2D2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Como ya se mencionó, el elemento FRAMEFRAME resulta útil para el análisis de marcos, por lo es necesario formular la matriz [K][K] en términos del ángulo de orientación del elemento.
@KDFRAME = @KDTRUSS +@KDBEAM
Resulta claro entonces que la matriz de rigidez del elemento FRAME 2DFRAME 2Dpuede ser alcanzada superponiendo las matrices del elemento TRUSS 2DTRUSS 2Dy del elemento BEAM 2DBEAM 2D.
f i
gi
mi
f j
gj
mj
=
AE
L0 0 −
AEL
0 0
0 12 EI
L36 EI
L2 0 −12 EI
L36 EI
L2
0 6 EI
L24 EI
L0 −
6 EI
L22 EI
L
−AEL
0 0 AE
L0 0
0 −12 EI
L3 −6 EI
L2 0 12 EI
L3 −6 EI
L2
0 6 EI
L22 EI
L0 −
6 EI
L24 EI
L
.
ui
v i
θi
uj
v j
θj
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento FrameFrame 2D2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
@FD = @TDt@K' D@TD@uD
@TD =
Cos HαL Sin HαL 0 0 0 0−Sin HαL Cos HαL 0 0 0 0
0 0 1 0 0 00 0 0 Cos HαL Sin HαL 00 0 0 −Sin HαL Cos HαL 00 0 0 0 0 1
Considerando el elemento FRAMEFRAME,
expresado en coordenadas locales,
la matriz de rigidez en coordenadas
globales se expresa como:
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento FrameFrame 2D2D
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento FrameFrame 2D2D
@FD = @KD@uD
@FD = @TDt@K' D@TD@uD
� = Cos HαL � = Sin HαL
@KD =
AE L2�
2+12 EI �
2
L3H−12 EI +AE L2L � �
L3 −
6 EI �
L2 −
AE L2�
2+12 EI �
2
L3H12 EI −AE L2L � �
L3 −
6 EI �
L2
H−12 EI +AE L2L � �
L312 EI �
2+AE L2
�2
L36 EI �
L2H12 EI −AE L2L � �
L3 −
12 EI �2+AE L2
�2
L36 EI �
L2
−
6 EI �
L26 EI �
L24 EI
L
6 EI �
L2 −
6 EI �
L22 EI
L
−
AE L2�
2+12 EI �
2
L3H12 EI −AE L2L � �
L36 EI �
L2AE L2
�2+12 EI �
2
L3H−12 EI +AE L2L � �
L36 EI �
L2
H12 EI −AE L2L � �
L3 −
12 EI �2+AE L2
�2
L3 −
6 EI �
L2H−12 EI +AE L2L � �
L312 EI �
2+AE L2
�2
L3 −
6 EI �
L2
−
6 EI �
L26 EI �
L22 EI
L
6 EI �
L2 −
6 EI �
L24 EI
L
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Se propone analizar la siguiente grúa empleando elementos FRAMEFRAME.
97000342202
176000274.62π/21
AEAE
[kN]
EIEI
[kN m2]
LL
[m]
αααααααα[rad]Elemento
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
@KD2=
48 500 0 0 −48 500 0 00 513 513 0 −513 5130 513 684 0 −513 342
−48 500 0 0 48 500 0 00 −513 −513 0 513 −5130 513 342 0 −513 684
2
@KD1=
411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.90. 88 000. 0. 0. −88 000. 0.−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9
0. −88 000. 0. 0. 88 000. 0.−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2
1
Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Planteando la matriz de rigidez [K]matriz de rigidez [K] para cada elemento:
11 11 22 22
11
11
22
22
11
22
2211
22
22
33
33
22
33
22 22 33 33 3322
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Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Se expande cada una de las matrices de rigidez elementales:
@KD1=
411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.9 0 0 00. 88 000. 0. 0. −88 000. 0. 0 0 0−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6 0 0 0−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9 0 0 0
0. −88 000. 0. 0. 88 000. 0. 0 0 0−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
1
@KD2=
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 48 500 0 0 −48 500 0 00 0 0 0 513 513 0 −513 5130 0 0 0 513 684 0 −513 3420 0 0 −48 500 0 0 48 500 0 00 0 0 0 −513 −513 0 513 −5130 0 0 0 513 342 0 −513 684
2
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
@FD = @KD . @uD
Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Y el sistema global de ecuaciones será:
f 1
g1
m1
f 2
g2
m2
f 3
g3
m3
=
411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.9 0 0 00. 88 000. 0. 0. −88 000. 0. 0 0 0−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6 0 0 0−411.9 0. 411.9 48 911.9 0. 411.9 −48 500 0 0
0. −88 000. 0. 0. 88 513. 513. 0 −513 513−411.9 0. 274.6 411.9 513. 1233.2 0 −513 342
0 0 0 −48 500 0 0 48 500 0 00 0 0 0 −513 −513 0 513 −5130 0 0 0 513 342 0 −513 684
.
u1
v1
θ1
u2
v2
θ2
u3
v3
θ3
??
??
??
??
??
??
??
??
??
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Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Resolviendo el sistema de ecuaciones reducido se obtiene:
u2
v2
θ2u3
v3
θ3
=
0.291333−0.000227273−0.2913330.291333−0.738838−0.408292
f 1
g1
m1
=
020.40.
Finalmente, calculando las reacciones se encuentra:
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f 11
g11
m11
f 21
g21
m21
=
411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.90. 88000. 0. 0. −88000. 0.−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9
0. −88000. 0. 0. 88000. 0.−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2
1
.
u1
v1
θ1
u2
V2
θ2
Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Las fuerzas internas pueden calcularse ahora empleando los desplazamientos nodales hallados. Para el primer elemento:
f 11
g11
m11
f 21
g21
m21
=
411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.90. 88000. 0. 0. −88000. 0.−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9
0. −88000. 0. 0. 88000. 0.−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2
1
.
000
0.291333−0.000227273−0.291333
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D
Para el segundo elemento:
f 22
g22
m22
f 32
g32
m32
=
48 500 0 0 −48 500 0 00 513 513 0 −513 5130 513 684 0 −513 342
−48 500 0 0 48 500 0 00 −513 −513 0 513 −5130 513 342 0 −513 684
2
.
u2
v2
θ2
u3
V3
θ3
f 22
g22
m22
f 32
g32
m32
=
48500 0 0 −48500 0 00 513 513 0 −513 5130 513 684 0 −513 342
−48500 0 0 48500 0 00 −513 −513 0 513 −5130 513 342 0 −513 684
2
.
0.291333−0.000227273−0.291333
0.291333−0.738838−0.408292
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AnexosAnexos
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DeflexiDeflexióón de vigasn de vigas
δ =PL3
3 EI
L
L
φ =PL2
2 EI
δ =ML2
2 EI
φ =ML
EI
Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia
• Chandrupatla, T.R., Belengundu, A.D., Introducción al Estudio del Elemento Finito en Ingeniería. Segunda Edición. Editorial Pearson. México. 1999. Pág. 238-278.
• Liu, G.R., Quek, S.S., The Finite Element Method: A practical course. Editorial Butterworth Heinemann. 2003. Pág. 90-128.
BibliografBibliografííaa