sobre los morfismos relacionales en teor ia de …
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I
SOBRE LOS MORFISMOS RELACIONALES ENTEORIA DE SEMIGRUPOS
Mariana Narvaez Cardenas.Trabajo de Grado.
Proyecto Curricular de Matematicas.Facultad de Ciencias y Educacion.
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas.Bogota D.C.
2015
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SOBRE LOS MORFISMOS RELACIONALES EN LATEORIA DE SEMIGRUPOS
Mariana Narvaez Cardenas.
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para obtener eltıtulo de:
Matematica
Directora:Msc. Veronica Cifuentes Vargas.
Proyecto Curricular de Matematicas.Facultad de Ciencias y Educacion.
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas.Bogota D.C.
2015
Vo. Bo. Veronica Cifuentes VargasDirectora
Universidad Distrital Francisco Jose De Caldas
Vo. Bo Carlos Orlando Ochoa CastilloEvaluador
Universidad Distrital Francisco Jose De Caldas
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Agradecimientos
De manera inicial doy mis agradecimientos a la Universidad Distrital Francisco Josede Caldas, que me dio las herramientas para forjar y construir mi desarrollo inte-lectual y personal. De allı gracias a mis maestros por otorgarme las directrices delsaber.Igualmente al Dr. Adolfo Ballester y al Dr. Enric Cosme por incentivarme y otor-garme los cimientos para el estudio de la teorıa de semigrupos. Al semillero deinvestigacion ITENUA, especialmente a Pedro, gracias por motivar y permitir hacerrealidad un esfuerzo e interes en comun. Y a la profesora Veronica Cifuentes por sutiempo y colaboracion dada.Gracias al apoyo, amor y comprension de mis padres, mi hermana y mi familia, dadoque ellos me dieron la posibilidad de concentrarme a tiempo completo en mis intere-ses academicos. De manera especial, a mis companeros de estudio Manuel, Diana,Sebas y Ross agradezco por su companıa y grata amistad. Y a los companeros deotras carreras que se impregnaron del mundo matematico y me permitieron relacio-nar las matematicas con mi entorno.Y por ultimo, a Mao por su tiempo, por la voz de aliento, y por ser incondicionalen todo este proceso.
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Indice general
Agradecimintos V
Resumen IX
Introduccion XI
1. Semigrupos 11.1. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Relaciones 52.1. Relaciones Inyectivas y Sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Morfismo Relacional 193.1. Aspectos de la definicion de morfismo relacional . . . . . . . . . . . . 193.2. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Teoremas de caracterizacion de los morfismos relacionales . . . . . . . 24
3.3.1. Factorizacion Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2. Caracterizacion de Morfismos Relacionales (vıa con-
gruencias) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4. En el caso de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. Conclusion 33
5. Anexos 355.1. Categorıa RSgp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Bibliografıa 36
VII
Resumen
Este trabajo consistira en dar algunos conceptos elementales de la teorıa de semi-grupos. Luego, se reconocera a una relacion como una funcion, y se daran algunosresultados del uso de las relaciones de equivalencia y las congruencias sobre semigru-pos. Se reconocera a un morfismo relacional, como una relacion que cumple ciertaspropiedades. Y como ultimo, se presentaran dos formas de descomponer un morfismorelacional.
X
Introduccion
En el siglo XX se desarrollo y formalizo la teorıa algebraica, en particular, el estu-dio de los semigrupos como una estructura algebraicamente simple. En 1968, LazarMatveevich Gluskin matematico ucraniano, publica una investigacion acerca de lacaracterizacion de los semigrupos y la relacion de estos con distintas areas, en espe-cial, con las maquinas inteligentes.
Es desde allı que se inicia la relacion entre teorıa algebraica y la teorıa de automatas.La teorıa de semigrupos en sus inicios, se centro en caracterizar los semigrupos fini-tos bajo isomorfismos. Como resultado de ello, en 1940, D. Rees en su artıculo Onsemi-groups1 representa a los semigrupos simples y 0-simples como ciertas matricessobre grupos.
En 1956, S. C. Kleene en su publicacion titulada, Representation of events in nervenets and finite automata2, los lenguajes regulares son interpretados como subcon-juntos de monoides libres. S. Eilenberg(1976), en su libro Automata, languages, andmachines, estudia por metodos algebraicos, las propiedades de conjuntos reconoci-bles por automatas de estado finito. B. Tilson, contribuye en [4] con dos capıtulos,en los cuales, introduce los morfismos relacionales para resolver algunos problemasrelacionados con la descomposicion del producto de semigrupos finitos y, los relacio-na con la teorıa de categorıas, para dar resultados respecto a la complejidad.
Los morfismos relacionales estan vinculados con las operaciones sobre lenguajes y lastraducciones, siendo tales morfismos una fuerte herramienta para el estudio de ope-raciones sobre lenguajes reconocibles. Es allı donde radica la importancia de conocerla teorıa relacionada a los morfismo relacionales.
1D. Rees, On semi-groups, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical So-ciety36(1940), 387-400.
2 S. C. Kleene, Representation of events in nerve nets and finite automata, In Automata studies,Annals of mathematics studies34(1956), 3-41
XI
Capıtulo 1Semigrupos
Este primer capıtulo reune ciertos conceptos elementales y proposiciones sobre semi-grupos, los cuales son indispensables para el entendimiento pleno de los morfismosrelaciones.
Como estructura algebraica se entiende por semigrupo, una estructura mas debil quelos grupos. Un semigrupo es simplemente un conjunto S junto con una operacionbinaria la cual es asociativa.
Definicion 1.1. [10] Sea S un conjunto, y defınase la operacion binaria · sobre Scomo a·b = ab, para a, b ∈ S. Si la operacion · es asociativa, estos es, a·(b·c) = (a·b)·cpara a, b, c ∈ S, se dice que S tiene estructura de semigrupo.
El orden de un semigrupo es el numero de elementos que constituyen el semigrupo.Un semigrupo puede contar con los siguientes elementos.
Definicion 1.2. [10] Un elemento e del semigrupo S es identidad a derecha si paratodo s ∈ S, se = s. Ası mismo, un elemento e ∈ S es identidad a izquierda si, paratodo s ∈ S, es = s. Se dice que el elemento e ∈ S es identidad si a la vez es identidada derecha e izquierda.
Definicion 1.3. [10] Un elemento e ∈ S se dice que es un cero (a derecha, aizquierda) si, para todo s ∈ S, se = e = es.
Definicion 1.4. [10] Un monoide es un semigrupo S que cuenta con un elementoidentidad bajo la operacion del semigrupo. Se denota por:
S1 =
S si S es monoide
S ∪ {1} si S no es monoide
Un semigrupo (monoide) S se dice conmutativo si lo es su operacion, esto es, a · b =b · a para cualesquiera a, b ∈ S.
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2
Ejemplo 1.1. El conjunto de los numeros enteros Z bajo la operacion + de adi-cion usual, es un semigrupo conmutativo. Igualmente, lo es bajo la operacion · demultiplicacion de numeros enteros.
Ejemplo 1.2. [6] Sea BX el conjunto de todas las relaciones binarias sobre X, ydefınase la operacion binaria composicion ◦ sobre BX como
σ ◦ ρ = {(x, y) ∈ X ×X | (∃z ∈ X)((x, z) ∈ ρ ∧ (z, y) ∈ σ
)}.
Tomese ρ, σ, τ ∈ BX y (x, y) ∈(τ ◦ (σ ◦ ρ)
), con lo que
(x, y) ∈(τ ◦ (σ ◦ ρ)
)⇐⇒ (∃z ∈ X)
((x, z) ∈ (σ ◦ ρ) ∧ (z, y) ∈ τ
)⇐⇒ (∃z ∈ X)
((∃u ∈ X) (x, u) ∈ ρ ∧ (u, z) ∈ σ ∧
(z, y) ∈ τ)
⇐⇒ (∃u ∈ X)((x, u) ∈ ρ ∧ (u, y) ∈ (τ ◦ σ)
)⇐⇒ (x, y) ∈
((τ ◦ σ) ◦ ρ
)est es, la operacion ◦ es asociativa, y por tanto, (BX , ◦) es semigrupo.
Ejemplo 1.3. [10] Sea (S, ·) semigrupo y considerese el conjunto P(S). Defınase laoperacion
(∗) : P(S)× P(S)→ P(S)
como A ∗ B = {a · b | a ∈ A, b ∈ B}, para A,B ∈ P(S) . Para cualesquieraA,B,C ∈ P(S) se tiene que, para x ∈ (A ∗B) ∗C existen a ∈ A, b ∈ B y c ∈ C talque x = (a · b) · c. Por A,B,C ser subconjuntos de S y ser S semigrupo, se obtieneque x = a·(b·c). En consecuencia, x ∈ A∗(B ∗ C), esto es, (A ∗B)∗C = A∗(B ∗ C).Por tanto, P(S) tiene estructura de semigrupo bajo la operacion ∗.
Ejemplo 1.4. [10] Sea X un conjunto finito. Defınase a T (X) como el conjunto delas funciones sobre X. La operacion ◦ sobre T (X) se define para f, g ∈ T (X) como(f ◦ g)(a) = f
(g(a)
), con a ∈ X. Vease que la operacion ◦ es asociativa:((
f ◦ g)◦ h)
(a) = (f ◦ g)(h(a)
)= f
(g(h(a)
))= f
((g ◦ h
)(a))
=(f ◦(g ◦ h
))(a)
Por tanto, (T (X), ◦) es semigrupo.
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1.1. Morfismos
De manera general un morfismo entre dos estructuras algebraicas es una aplicacionque preserva operaciones.
Definicion 1.5. [10] Un morfismo de semigrupos es una aplicacion ϕ de un semi-grupo (S, ·) en un semigrupo (T, ∗) tal que, para todo s1, s2 ∈ S se cumple que
ϕ(s1 · s2) = ϕ(s1) ∗ ϕ(s2), (1.1)
en el caso que S y T sean monoides, ademas de satisfacer 1.1 se debe cumplir queϕ(1S) = 1T .
Se hara referencia a S como el dominio de ϕ y a T como el codominio; la imagen (orango) de ϕ se define como el conjunto {ϕ(s) | s ∈ S}.
Definicion 1.6. [10] Un subsemigrupo de un semigrupo S es un subconjunto T deS tal que s1 ∈ T y s2 ∈ T implica que s1s2 ∈ T . Un submonoide de un monoide esun subsemigrupo que contiene la identidad.
Los morfismos e inversos de morfismos entre semigrupos tienen la caracterıstica depreservar estructuras y subestructuras.
Teorema 1.1. [10] Sea ϕ : S → T un morfismo de semigrupos. Si S ′ es un subse-migrupo de S, entonces ϕ(S ′) es un subsemigrupo de T . Si T ′ es un subsemigrupode T , entonces ϕ−1(T ′) es un subsemigrupo de S.
Demostracion. Sean t1, t2 ∈ ϕ(S ′), con lo que existen s1, s2 ∈ S ′ tales que t1 = ϕ(s1)y t2 = ϕ(s2). Luego, t1t2 = ϕ(s1)ϕ(s2) y por ser ϕ morfismo, t1t2 = ϕ(s1s2), estoes, t1t2 ∈ ϕ(S ′). En consecuencia, ϕ(S ′) es un subsemigrupo de T . Ahora, tomenses1, s2 ∈ ϕ−1(T ′), con lo que existen t1, t2 ∈ T ′ tales que s1 = ϕ−1(t1) y s2 = ϕ−1(t2),esto es, ϕ(s1) = t1 y ϕ(s2) = t2. Luego, ϕ(s1s2) = t1t2. Ası, ϕ−1(t1t2) = s1s2. Enconsecuencia, s1s2 ∈ ϕ−1(T ′). Y por tanto, ϕ−1(T ′) es un subsemigrupo de S.
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Capıtulo 2Relaciones
En este capıtulo se desarrollaran ciertos aspectos de la teorıa de las relaciones en unsentido mas general y abstracto. Se vera una relacion, de una manera no muy usual,como una funcion, y se reconoceran ciertas propiedades de las funciones extendidasa las relaciones.
Usualmente una relacion se define como
Definicion 2.1. [6] Sean X y Y conjuntos. Una relacion R sobre X y Y , es unsubconjunto de X × Y . Si X = Y simplemente se dice que R es una relacion sobreX.
El dominio e imagen de R se definen como
Dom R = {x ∈ X | (∃ y ∈ Y )((x, y) ∈ R
)}
Im R = {y ∈ Y | (∃ x ∈ X)((x, y) ∈ R
)}
Las relaciones se pueden representar o visualizar mediante grafos, donde
Definicion 2.2. [8] El grafo de la relacion R sobre los conjuntos X y Y , es elconjunto
#R = {(x, y) ∈ X × Y | (x, y) ∈ R} (2.1)
Todo subconjunto de X×Y es el grafo de alguna relacion de X a Y , entonces existeuna biyeccion entre las relaciones R de X y Y , y los subconjuntos de X × Y .
Autores como Eilenberg y Pin en [4] optan por hacer notar que una relacion R sobrelos conjuntos X y Y puede ser vista de la siguiente manera:
Definicion 2.3. Una relacion R sobre los conjuntos X y Y puede ser vista comouna funcion τ de X en P(Y ), definida para cada x ∈ X como
τ(x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ R}. (2.2)
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Nota. Abusando del lenguaje, se acostumbra hacer referencia a la relacion R sobreX y Y , como la funcion τ : X → Y , entendiendose a τ como la funcion de X enP(Y ).
La relacion inversa se define en terminos de un subconjunto de un producto carte-siano como
Definicion 2.4. [8] La relacion inversa de una relacion R ⊆ X × Y es la relacionR−1 ⊆ Y ×X definida como
R−1 = {(y, x) ∈ Y ×X | (x, y) ∈ R}.
Si R es la relacion de X en Y , la relacion R−1 tambien se puede extender a unafuncion de Y en P(X) definida por
τ−1(y) = {x ∈ X | y ∈ τ(x)} (2.3)
La relacion R de X en Y puede ser extendida a una funcion de P(X) en P(Y ),donde para cada A ⊆ X
τ(A) =⋃x∈A
τ(x)
= {y ∈ Y | (∃x ∈ A)((x, y) ∈ R
)},
y si B ⊆ Y , se tiene que
τ−1(B) =⋃y∈B
τ−1(y)
= {x ∈ X | (∃y ∈ B)(x ∈ τ−1(y)
)}
= {x ∈ X | (∃y ∈ B)(y ∈ τ(x)
)}
= {x ∈ X | τ(x) ∩B 6= ∅}.
Ejemplo 2.1. [6] Sobre un conjunto X se pueden definir al menos las siguientestres relaciones:
1. Relacion de Igualdad 1X . Consiste en que todo elemento x ∈ X esta re-lacionado consigo mismo, se denota por 1X = {(x, x) ∈ X × X}. Entonces,1X visto como la relacion τ : X → X establece que para cualquier x ∈ X,τ(x) = {x} y τ−1(x) = {x}, debido a que, 1X = 1−1X .
2. Relacion Universal w . Se define como w = {(a, b) ∈ X ×X | ∀ a, b ∈ X}.Claramente, w = X ×X.
3. Relacion Vacıo ∅. El subconjunto ∅ ⊆ X × X se conoce como la relacionbinaria trivial.
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Ejemplo 2.2. Sea el semigrupo (BX , ◦) presentado en el ejemplo 1.2 . La relacioncomposicion, σ ◦ ρ = {(x, y) ∈ X ×X | (∃z ∈ X)
((x, z) ∈ ρ ∧ (z, y) ∈ σ
)}, entre
las relaciones binarias ρ, σ ∈ BX , vista como una funcion τ de X en P(X), esta dadapara x ∈ X como
τ(x) = (τ2 ◦ τ1) (x) = {z ∈ X | (∃y ∈ X)(y ∈ τ1(x) ∧ z ∈ τ2(y)
)} (2.4)
donde, τ1 y τ2 representan la funcion asociada a las relaciones ρ y σ respectivamente.De manera general, sean los conjuntos X, Y, Z, y las relaciones τ1 : X → Y , τ2 :Y → Z. La composicion de τ1 y τ2, notada por τ2τ1 o τ2 ◦ τ1, se define
τ2 ◦ τ1(x) = {z ∈ Z | (∃y ∈ Y ) (y ∈ τ1(x) ∧ z ∈ τ2(y))} (2.5)
Ejemplo 2.3. Sea el conjunto A = {a, b, c} y la relacion R1 sobre A definida comoR1 = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, b)}. R1 se puede ver como la funcion
τ : A→ P(A)
donde τ(a) = {a, b}, τ(b) = {c}, τ(c) = {b}. Ası mismo, para R−11 = {(b, a), (a, a),(c, b), (b, c)} se obtiene τ−1 : A → P(A) donde τ−1(a) = {a}, τ−1(b) = {a, c} yτ−1(c) = {b}.
Ejemplo 2.4. Sea X un conjunto finito. Considerese, el semigrupo (P(X), ∗) pre-sentado en 1.3 y, la relacion A definida sobre el como
A = {(M,N) ∈ P(X)× P(X) |M ⊆ N}.
Ası, τ : P(X) → P(X) se define como τ(M) = {N ∈ P(X) | M ⊆ N}. Por otraparte,
A−1 = {(N,M) ∈ P(X)× P(X) | (M,N) ∈ A}= {(N,M) ∈ P(X)× P(X) |M ⊆ N}.
Luego, τ−1 : P(X)→ P(X) esta definido como
τ−1(M) = {N ∈ P(X) |M ∈ τ(N)}= {N ∈ P(X) | N ⊆M}.
Para ver que las definiciones de relacion dadas son equivalentes, la prueba del si-guiente teorema se hara de las dos maneras.
Teorema 2.1. [6] Sean ρ, σ y τ relaciones sobre el conjuntos X. Se satisface(ρ−1)−1
= ρ, (2.6)
(ρ ◦ σ)−1 =(σ−1 ◦ ρ−1
), (2.7)
ρ ⊆ σ =⇒ ρ ◦ τ ⊆ σ ◦ τ ∧ τ ◦ ρ ⊆ τ ◦ σ. (2.8)
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Demostracion. Sea
(x, y) ∈(ρ−1)−1 ⇐⇒ (y, x) ∈ ρ−1
⇐⇒ (x, y) ∈ ρ,
por tanto, (ρ−1)−1
= ρ. Considerese a τ : X → X como la relacion ρ ∈ BX . Parax ∈ X, se tiene que: (
τ−1)−1
(x) = {y ∈ X | x ∈ τ−1(y)}= {y ∈ X | y ∈ τ(x)}= τ(x),
por tanto, (τ−1)−1
= τ . Sea
(x, y) ∈ (σ ◦ ρ)−1 ⇐⇒ (y, x) ∈ (σ ◦ ρ)
⇐⇒ (∃z ∈ X) ((y, z) ∈ ρ ∧ (z, x) ∈ σ)
⇐⇒ (∃z ∈ X)((z, y) ∈ ρ−1 ∧ (x, z) ∈ σ−1
)⇐⇒ (∃z ∈ X)
((x, z) ∈ σ−1 ∧ (z, y) ∈ ρ−1
)⇐⇒ (x, y) ∈
(ρ−1 ◦ σ−1
),
por tanto, (σ ◦ ρ)−1 = (ρ−1 ◦ σ−1). Considerese a τ1 : X → X como la relacionρ ∈ BX y a τ2 : X → X como la relacion σ ∈ BX . Para x ∈ X, se tiene que:
(τ2 ◦ τ1)−1 (x) = {y ∈ X | x ∈ (τ2 ◦ τ1) (y)}= {y ∈ X | (∃z ∈ X)
(z ∈ τ1(y) ∧ x ∈ τ2(z)}
)= {y ∈ X | (∃z ∈ X)
(y ∈ τ−11 (z) ∧ z ∈ τ−12 (x)
)}
= {y ∈ X | (∃z ∈ X)(z ∈ τ−12 (x) ∧ y ∈ τ−11 (z)
)}
=(τ−11 ◦ τ−12
)(x),
por tanto, (τ2 ◦ τ1)−1 =(τ−11 ◦ τ−12
).
Respecto a R ∈ BX vista como (2.2), se redefine (2.1) como:
Definicion 2.5. [12] El grafo de la relacion τ : X → Y esta definido como
#τ = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ τ(x)}. (2.9)
2.1. Relaciones Inyectivas y Sobreyectivas
Se pueden caracterizar propiedades de sobreyectividad e inyectividad en la relacionesvistas como una funcion.
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Definicion 2.6. [10] Sean X y Y conjuntos. Una relacion τ : X → Y es sobreyectivasi, para todo y ∈ Y , existe x ∈ X tal que y ∈ τ(x).
Definicion 2.7. [10] Sean X y Y conjuntos. Una relacion τ : X → Y es inyectivasi, para todo u, v ∈ X, τ(u) ∩ τ(v) 6= ∅ implica que u = v.
Definicion 2.8. [10] Una funcion parcial τ : X → Y es una relacion entre losconjuntos X y Y donde para todo x ∈ X, existe a lo sumo un unico y ∈ Y , tal que,y ∈ τ(x).
Nota. La relacion τ se llama funcion parcial de X en Y si |τ(x)| = 1 para todox ∈ Dom τ . Una funcion parcial φ : X → Y se llama funcion si Dom φ = X.
La relacion inversa de una relacion dada, permite caracterizar la inyectividad de larelacion, como se vera.
Teorema 2.2. [10] Sea τ : X → Y una relacion. τ es inyectiva si y solo si τ−1 esuna funcion parcial.
Demostracion. Supongase que τ es una relacion inyectiva. Para y ∈ Y , si x1, x2 ∈τ−1(y) se tiene que y ∈ τ(x1) y y ∈ τ(x2), luego y ∈ τ(x1)∩τ(x2). En efecto, x1 = x2,esto por ser τ relacion inyectiva. En consecuencia, para todo y ∈ Y existe a lo sumoun unico x ∈ X tal que x ∈ τ−1(y). Por tanto, τ−1 es funcion parcial. Por otra parte,supongamos que τ−1 es funcion parcial y τ(x1) ∩ τ(x2) 6= ∅ para x1, x2 ∈ X. Con loque, existe c ∈ τ(x1) ∩ τ(x2), esto es, c ∈ τ(x1) y c ∈ τ(x2). Luego, x1, x2 ∈ τ−1(c),pero por ser τ−1 funcion parcial a c ∈ Y le corresponde a lo sumo un unico elementode X, en efecto, x1 = x2. Por lo tanto, τ es una relacion inyectiva.
Ejemplo 2.5. La relacion τ del ejemplo 2.3 no es inyectiva, ya que τ(a)∩τ(c) = {b}pero a 6= c. Por otra parte, como a ∈ τ(a), b ∈ τ(a), τ(c), y c ∈ τ(b), entonces τ essobreyectiva.
Ejemplo 2.6. La relacion diagonal 1X vista como la funcion τ definida en el ejemplo2.1 es inyectiva, ya que si τ(x1) ∩ τ(x2) 6= ∅, existe y ∈ τ(x1) y y ∈ τ(x2). Con loque, (x1, y) ∈ 1x y (x2, y) ∈ 1X , en consecuencia x1 = x2. Ademas, como para x ∈ Xse tiene que, x ∈ τ(x), entonces τ es sobreyectiva.
Ejemplo 2.7. La relacion τ sobre P(X) presentado en el ejemplo 2.4 no es inyectiva.Dado que, si B ∈ τ(M) ∩ τ(N), entonces, M ⊆ B y N ⊆ B, pero M 6= N . τ essobreyectiva ya que ∅ ⊆M , para M ∈ P(X), ası M ∈ τ(∅).
2.2. Relaciones de Equivalencia
Se definira de una manera mas general propiedades que seran de utilidad en lacaracterizacion de las relaciones de equivalencia. Es de notar, que siendo ρ unarelacion, la notacion que se usara es la misma, es decir, dos elementos x, y ∈ Xestan relacionados bajo ρ se notara como x ρ y o (x, y) ∈ ρ.
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Definicion 2.9. [6] Una relacion ρ sobre un conjunto X es de equivalencia si ρsatisface ser:
1. Reflexiva si, y solo si, 1X ⊆ ρ.
2. Simetrica si, y solo si, ρ = ρ−1.
3. Transitiva si, y solo si, ρ ◦ ρ ⊆ ρ.
En la teorıa de conjuntos, se acostumbra a decir que la relacion ρ sobre X es reflexivasi para todo x ∈ X, (x, x) ∈ X; la forma como se definıo anteriormente, no es masque una generalizacion, no se trata por elementos, sino a partir del subconjunto 1Xdel producto, X ×X. La relacion se dice simetrica, si para todo x, y ∈ X, (x, y) ∈ ρentonces (y, x) ∈ ρ, estos es que ρ ⊆ ρ−1, aplicando (2.6) se tiene que ρ−1 ⊆ ρ,con lo que, se obtiene la condicion de simetrıa, es decir, ρ = ρ−1. Y en cuanto a latransitividad, se dice que para cualesquiera x, y, z ∈ X, si (x, y) ∈ ρ y (y, z) ∈ ρentonces (x, z) ∈ ρ; por la existencia de y ∈ X que cumple las condiciones anteriorese inspeccionando la forma de (2.4) se obtiene que si (x, z) ∈ ρ◦ρ entonces (x, z) ∈ ρ.
Nota. Si la relacion es de reflexiva, se cumple que, 1x ⊆ ρ, entonces aplicando lapropiedad (2.8) ρ = 1X ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ, en efecto la condicion de transitividad se puedereemplazar por ρ ◦ ρ = ρ, solo cuando la relacion ρ es de equivalencia.
Los conjuntos xρ = {y ∈ X | (x, y) ∈ ρ} forman la particion en X asociada con laequivalencia ρ y son llamados ρ − clase de x o clase de equivalencia de x. A X/ρse le conoce como el cociente de X por ρ, el cual, es el conjunto de las ρ − clases,cuyos elementos son los subconjuntos xρ, para x ∈ X.
En el estudio de los conjuntos cociente, se dara ınteres a aquellos obtenidos por unarelacion de equivalencia especial, la cual se conoce como kernel y se caracteriza dela siguiente manera: si φ : X → Y es una funcion, la relacion ker φ = φ−1 ◦ φ estadefinida como
φ−1 ◦ φ = {(x, y) ∈ X ×X| (∃z ∈ X)((x, z) ∈ φ ∧ (z, y) ∈ φ−1
)}
= {(x, y) ∈ X ×X| (∃z ∈ X)((x, z) ∈ φ ∧ (y, z) ∈ φ
)}
= {(x, y) ∈ X ×X| (∃z ∈ X)(φ(x) = z ∧ φ(y) = z
)}
= {(x, y) ∈ X ×X|φ(x) = φ(y)}.
Definicion 2.10. [6] A la relacion φ−1 ◦ φ = {(x, y) ∈ X × X|φ(x) = φ(y)} se leva a llamar el kernel de φ, y se notara φ−1 ◦ φ = Ker φ.
Teorema 2.3. [6] El ker φ es una relacion de equivalencia.
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Demostracion. Sea (x, y) ∈ 1X , con lo que, x = y. Luego, por ser φ funcion, φ(x) =φ(y), y por tanto (x, y) ∈ φ−1 ◦ φ, ası 1X ⊆ φ−1 ◦ φ, es decir que la relacion φ−1 ◦ φes reflexiva. Ahora, por (2.7), se tiene que(
φ−1 ◦ φ)−1
= φ−1 ◦(φ−1)−1
= φ−1 ◦ φ,
luego, dicha relacion es simetrica. Por ultimo, la relacion es transitiva, ya que,
(x, y) ∈( (φ−1 ◦ φ
)◦(φ−1 ◦ φ
) )⇐⇒
(∃ z ∈ X
) ((x, z) ∈
(φ−1 ◦ φ
)∧
(z, y) ∈(φ−1 ◦ φ
) )⇐⇒
(∃ z, z1, z2 ∈ X
) ((x, z1) ∈ φ ∧ (z1, z) ∈ φ−1
∧(z, z2) ∈ φ ∧ (z2, y) ∈ φ−1)
⇐⇒ (x, z1) ∈ φ ∧ (z, z1) ∈ φ ∧ (z, z2) ∈ φ ∧(y, z2) ∈ φ
⇐⇒ φ(x) = z1 ∧ φ(z) = z1 ∧ φ(z) = z2 ∧φ(y) = z2
⇐⇒ φ(x) = φ(z) ∧ φ(z) = φ(y)
⇐⇒ φ(x) = φ(y).
Luego, (x, y) ∈ φ−1 ◦ φ.
Como es conocido, la interseccion de relaciones es nuevamente una relacion y, enel caso, de que las relaciones sean de equivalencia, la interseccion tambien sera deequivalencia; lo cual permite dada una relacion R ∈ BX , encontrar la relacion deequivalencia mas pequena que contenga a R, como se mostrara a continuacion.
Teorema 2.4. [6] Si {ρi | i ∈ I} es una familia no vacıa de relaciones de equiva-
lencias sobre el conjunto X, entonces⋂i∈I
ρi es tambien una relacion de equivalencia
en X.
Demostracion. Sea {ρi | i ∈ I} una familia no vacıa de relaciones de equivalenciassobre el conjunto X. Por ser ρi de equivalencia por definicion 2.9, para toda i ∈ I,se tiene que
1. 1X ⊆ ρi,
2. ρi = ρ−1i ,
3. ρi ◦ ρi ⊆ ρi,
12
luego, por cumplirse lo anterior para cada i ∈ I, se concluye que:
1. 1X ⊆⋂i∈I
ρi .
2.⋂i∈I
ρi =⋂i∈I
ρ−1i .
3.⋂i∈I
(ρi ◦ ρi) ⊆⋂i∈I
ρi.
Por tanto, la relacion⋂i∈I
ρi es de equivalencia.
La relacion de equivalencia mas pequena que contiene a una relacion R ∈ BX sedenotara por Re, y se construye de la siguiente forma. Se toma R ∈ BX y formese lafamilia E de relaciones de equivalencia sobre X que contienen a la relacion R. Estafamilia es no vacıa, ya que, por lo menos la relacion universal, w = X ×X ∈ E . Se
define a Re =⋂ρ∈E
ρ. Re es distinto de vacıo, ya que toda relacion ρ en E contiene
a R, y se tiene que R ⊆ Re. Dicha relacion Re, es la relacion de equivalencia maspequena sobre X que contiene a R, y se llama la equivalencia generada por R.
Encontrar todas las relaciones de equivalencia que contienen a una relacion es untrabajo arduo. Se dara una nueva descripcion de la relacion Re en terminos de laclausura transitiva de la relacion, que se mostrara a continuacion. Sea ρ una relacionreflexiva sobre el conjunto X, entonces, se tiene que 1X ⊆ ρ, y aplicando (2.8)sucesivamente:
ρ = 1X ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρρ ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ ◦ ρ
ρ ◦ ρ ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ ◦ ρ ◦ ρ...
se tiene queρ ⊆ ρ ◦ ρ ⊆ ρ ◦ ρ ◦ ρ ⊆ · · ·
simplicando la notacion se escribe
ρ ⊆ ρ2 ⊆ ρ3 ⊆ · · ·
Se llamara a la relacionρ∞ =
⋃{ρn | n ∈ N}
la clausura transitiva de la relacion ρ.
13
Teorema 2.5. [6] Para toda relacion reflexiva ρ ∈ BX , la relacion ρ∞ es la relaciontransitiva mas pequena que contiene a ρ.
Demostracion. Sean (x, y), (y, z) ∈ ρ∞, entonces existen m,n ∈ N tales que (x, y) ∈ρm y (y, z) ∈ ρn. En efecto, (x, z) ∈ ρn ◦ ρm = ρn+m ⊆ ρ∞. Luego, (x, z) ∈ ρ∞.En consecuencia, la relacion ρ∞ es transitiva. Ahora, supongamos que T es unarelacion transitiva sobre X que contiene a la relacion ρ, esto es, ρ ⊆ T . Entonces,ρ2 = ρ ◦ ρ ⊆ T ◦ T ⊆ T , y de manera general ρn ⊆ T para todo n ≥. Por tanto,ρ∞ ⊆ T , es decir, ρ∞ es la relacion mas pequena que contiene a ρ.
Teorema 2.6. [6] Para cualquier relacion R ∈ BX ,
Re = [R ∪R−1 ∪ 1X ]∞.
Demostracion. Denotese por E = [R ∪ R−1 ∪ 1X ]∞ y por S = [R ∪ R−1 ∪ 1X ], severa que la relacion E es de equivalencia, y que es la relacion de equivalencia maspequena que contiene a la relacion R. En primera instancia, por la forma que tienela relacion E en el teorema 2.5 la relacion E es transitiva, y
R ⊆ S ⊆⋃{Sn | n ∈ N} = E
esto es, la relacion R esta contenida en la relacion E. Como,
1X ⊆ S ⊆ E
entonces, la relacion E es reflexiva. Ademas, como S = S−1, se tiene que, S essimetrica. Aplicando (2.7) y por la simetrıa de S(
S2)−1
= (S ◦ S)−1 = S−1 ◦ S−1 =(S−1
)2= S2(
S3)−1
= (S ◦ S ◦ S)−1 = S−1 ◦ S−1 ◦ S−1 =(S−1
)3= S3
...
(Sn)−1 = (S ◦ S ◦ · · · ◦ S)−1︸ ︷︷ ︸n−veces
= S−1 ◦ S−1 ◦ · · · ◦ S−1︸ ︷︷ ︸n−veces
=(S−1
)n= Sn
de donde, Sn es simetrica, para cada n ∈ N. Ahora, tomese (x, y) ∈ E
(x, y) ∈ E ⇒ (x, y) ∈⋃{Sn | n ∈ N}
⇒(∃n ∈ N
)((x, y) ∈ Sn
)⇒
(∃n ∈ N
)((x, y) ∈ (Sn)−1
)⇒
(∃n ∈ N
)((y, x) ∈ Sn
)ası, (x, y) ∈ E−1, luego E ⊆ E−1, por ende E es simetrica. Ası, E es de equivalenciay contiene a la relacion R. Supongase, que σ es una relacion de equivalencia que
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contiene a la relacion R, entonces, R ⊆ σ, y aplicando (2.6), R−1 ⊆ σ−1 = σ y, porla reflexividad de σ, 1X ⊆ σ, con lo que, S = R ∪ R−1 ∪ 1X ⊆ σ. Por otra parte,S ◦ S ⊆ σ ◦ σ = σ, y de manera sucesiva Sn ⊆ σ, para todo natural n ≥ 1. Enconsecuencia, E = S∞ ⊆ σ. Por tanto, E = Re, por ser E de equivalencia y, E ⊆ σ,para toda σ ∈ E .
Teorema 2.7. [6] Sea R una relacion sobre el conjunto X. (x, y) ∈ Re si y solo six = y o, para algun n ∈ N existe una sucesion de transiciones x = z1 → z2 → · · · →zn = y en la cual, para cada i ∈ {1, 2, ..., n− 1}, (zi, zi+1) ∈ R, o (zi+1, zi) ∈ R.
Demostracion. Suponganse que (x, y) ∈ Re, esto equivale a:
(x, y) ∈ Re ⇐⇒ (x, y) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ]∞
⇐⇒ (x, y) ∈⋃n∈N
[R∪R−1 ∪ 1X ]n
⇐⇒(∃n ∈ N
) ((x, y) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ]n
)⇐⇒
(∃n ∈ N
) ((x, y) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ]n−1 ◦ [R∪R−1 ∪ 1X ]
)⇐⇒
(∃n ∈ N
)(∃zn−1 ∈ X
) ((x, zn−1) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ]n−1
∧(zn−1, y) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ])
⇐⇒(∃n ∈ N
)(∃zn−1 ∈ X
)(∃zn−2 ∈ X
) ((x, zn−2) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ]n−2
∧(zn−2, zn−1) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ] ∈ (zn−1, y) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ])
...
⇐⇒(∃n ∈ N
)(∃zn−1, zn−2, . . . z2 ∈ X
) ((x, z2) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ], . . . ,
(zi, zi+1) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ], . . . , (zn−1, y) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ])
con lo que, para la sucesion de transiciones x = z0 → z1 → z2 → · · · → zn = y, setiene que, (zi, zi+1) ∈ [R∪R−1 ∪ 1X ] para cada i ∈ {0, 1, 2, ..., n}. En consecuencia,(zi, zi+1) ∈ R o, (zi, zi+1) ∈ R−1.
2.3. Congruencias
Las congruencias sobre un semigrupo S son una clase de relaciones de equivalenciaen S, las cuales, van a ser compatibles bajo la operacion del semigrupo S. Se notaraCon(S) a el conjunto de todas congruencias sobre el semigrupo S.
Definicion 2.11. [6] Una congruencia C sobre un semigrupo S es una relacion deequivalencia estable o compatible. Es decir, la relacion de equivalencia C sobre el
15
semigrupo S es una congruencia si para cada s, t ∈ S y u, v ∈ S1, se tiene que
s C t implica us C ut ∧ sv C tv.
Nota. La congruencia generada por una relacion no va a ser mas que laclausura transitiva de la relacion , la cual es compatible.
El uso de las congruencias estan presentes en la comprension de los teoremas deisomorfıa. Es de reconocer, que dicho teorema en la teorıa de grupos es una herra-mienta que relaciona subgrupos normales y homomorfismos. Cuando se trabajan consemigrupos, el teorema fundamental de homomorfismo de grupo, tiene su analogo yse basa en congruencias de semigrupos para relacionar semigrupos cocientes.
Teorema 2.8. [5] Sean S, T semigrupos, ρ una congruencia sobre S, y φ : S → Tun morfismo de semigrupos. Entonces:
1. S/ρ es un semigrupo respecto a la operacion definida como (aρ)(bρ) = (ab)ρ.
2. La aplicacion π : S → S/ρ es un morfismo de semigrupos.
3. ker φ es una congruencia sobre S.
4. Existe un monomorfismo α : S/ (ker φ)→ T tal que im α = im φ.
Demostracion. La operacion sobre las clases de equivalencias esta bien definida, yaque, si para a, a′, b, b′ ∈ S, aρ = a′ρ y bρ = b′ρ entonces (a, a′), (b, b′) ∈ ρ y por serρ congruencia (aa′, bb′ ∈ ρ), con lo que (ab)ρ = (a′b′)ρ. Ademas, la operacion entrelas ρ− clases es asociativa
(ab)ρ · cρ = ((ab)c) ρ
= (a(bc)) ρ
= aρ · (bc)ρ,
por tanto, el conjunto S/ρ es semigrupo bajo la operacion de clases de equivalencia.Sea la aplicacion π : S → S/ρ definida como π(a) = aρ para a ∈ S, entonces
π(ab) = (ab)ρ
= (aρ)(bρ)
= π(a)π(b)
para a, b ∈ S, es decir que, π es un morfismo de semigrupos. Por teorema 2.4la relacion ker φ es de equivalencia. Resta por ver que es compatible. Tomense(a, a′), (b, b′) ∈ ker φ, con lo que, φ(a) = φ(a′) y φ(b) = φ(b′), luego por ser φmorfismo
φ(ab) = φ(a)φ(b)
= φ(a′)φ(b′)
= φ(a′b′),
16
en consecuencia, (aa′, bb′) ∈ ker φ, esto es, ker φ es una congruencia. Notese aker φ = κ y defınase α : S/ (ker φ) → T como α(aκ) = φ(a), para a ∈ S. Su-pongase que α(aκ) = α(a′κ) y α(bκ) = α(b′κ), ası φ(a) = φ(a′) y φ(b) = φ(b′),entonces φ(ab) = φ(a′b′), de donde, α((ab)κ) = α((a′b′)κ) y la aplicacion α quedabien definida. Ademas,
α((aκ)(bκ)) = α((ab)κ)
= φ(ab)
= φ(a)φ(b)
= α(aκ)α(bκ),
esto es, α es morfismo, como era de esperarse por la definicion de α. En cuanto a lainyectividad, si α(aκ) = α(bκ), se tiene por definicion de α que, φ(a) = φ(b), con loque, (a, b) ∈ κ y en consecuencia, aκ = bκ. Por ultimo, respecto a la imagen de α yφ se tiene que:
im α = {t ∈ T | (∃a ∈ S) (α(aκ) = t)}= {t ∈ T | (∃a ∈ S) (φ(a) = t)}= im φ.
Teorema 2.9. [10] Sea ϕ : S → T un morfismo de semigrupos, y sea π : S →S/ (ker ϕ) un morfismo de semigrupos. Entonces, existe un unico morfismo de se-migrupos
ϕ : S/ (kerϕ)→ T
tal que ϕ = ϕ ◦ π. Por otra parte, ϕ es un isomorfismo de S/ (kerϕ) sobre ϕ(S).
Sϕ
��
π
~~S/κ
ϕ// T
Demostracion. Notese a la congruencia ker ϕ como κ. Sea s = (xκ) para algunx ∈ S, entonces necesariamente ϕ(xκ) = ϕ(s) = ϕ(x). Ademas, si x, y ∈ s entoncesϕ(x) = ϕ(y), ası ϕ esta bien definido. Tomense, π(x1) = x1κ y π(x2) = x2κ parax1, x2 ∈ S, entonces π(x1x2) = (x1x2)κ = (x1κ) (x2κ) = s1s2.Luego,
ϕ(x1κ)ϕ(x2κ) = ϕ(x1)ϕ(x2)
= ϕ(x1x2)
= ϕ ((x1x2)κ)
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ası ϕ es un morfimo de semigrupos. Ahora, supongase que ϕ(x1κ) = ϕ(x2κ) y seax1 ∈ π−1(x1κ) y x2 ∈ π−1(x2κ), entonces, ϕ(x1) = ϕ(x2), y ası (x1, x2) ∈ κ. Enconsecuencia, π(x1) = π(x2), esto es, x1κ = x2κ. Ası, ϕ es inyectivo. Por tanto, ϕinduce un isomorfismo de S/ (kerϕ) sobre ϕ(S).
18
Capıtulo 3Morfismo Relacional
3.1. Aspectos de la definicion de morfismo rela-
cional
El concepto de morfismo relacional es clave para la caracterizacion de la resolubilidadde un semigrupo asociado a una variedad de grupos finitos. La definicion de morfismorelacional aparece por primera vez en [4], siendo Tilson (1937) el primer divulgadorcientıfico del concepto de morfismo relacional, de sus propiedades y del papel delconjunto de los morfismos relacionales, como el conjunto de morfismos de la categorıaRSgp, cuyos objetos son los semigrupos y los morfismos entre los objetos son losmorfismos relacionales, presentada en [13].
La categorıa derivada de un morfismo relacional determina los conceptos de productodirecto y division, ası como todas las descomposiciones de dicho morfismo relacional.
Pero tal vez, la primera muestra latente de la nocion de morfismo relacional, en lacomunidad matematica del siglo XX, se presenta en [4]. Wedderburn(1882) planteauna forma mas simple y mas clara de definir y trabajar con morfismos entre grupos,esto debido a la simetrıa.
3.2. Conceptos Generales
Se entendera por morfismo relacional, a una relacion como se presento en 2.2, quecumple ciertas condiciones. Se daran caracterizaciones de los morfismos relacionales.
Definicion 3.1. [7] Sean S y T semigrupos. Un morfismo relacional de S en T , esuna relacion, τ : S → P(T ) que satisface las siguientes condiciones
1. τ(s) 6= ∅, para todo s ∈ S,
19
20
2. τ(s)τ(s′) ⊆ τ(ss′), para todo s, s′ ∈ S,
en el caso de que S y T sean monoides, ademas de cumplir 1 y 2, se debesatisfacer que:
3. 1T ∈ τ(1S).
Nota. De aquı en adelante se notara al morfismo relacional entre los semigruposo monoides S y T , como τ : S ◦ // T , entendiendose que se hace referencia a larelacion τ : S → P(T ) que cumpla las condiciones anteriores.
Teorema 3.1. Si τ : S ◦ // T es morfismo relacional entonces la imagen de τ
Im τ = {t ∈ T | (∃s ∈ S)(t ∈ τ(s)
)}
es un subsemigrupo de T .
Demostracion. Sean t1, t2 ∈ Im τ , con lo que, existen s1, s2 ∈ S tales que t1 ∈ τ(s1)y t2 ∈ τ(s2). Luego, t1t2 ∈ τ(s1)τ(s2). Y por ser τ morfismo relacional, t1t2 ∈ τ(s1s2).En consecuencia, t1t2 ∈ Im τ .
Nota. Se llamara aτ(S) =
⋃s∈S
τ(s)
el subsemigrupo imagen de τ sobre T .
Definicion 3.2. [10] El grafo de un morfismo relacional τ es el subconjunto de S×Tdefinido por
#τ = {(s, t) ∈ S × T | t ∈ τ(s)}
La primera condicion implica que Dom τ = S. Debido a que si, s ∈ S, se tieneque ∃A ∈ P(T ), A 6= ∅ tal que τ(s) = A. La segunda condicion equivale a que unmorfismo relacional τ : S ◦ // T es una relacion de S a T tal que el grafo
#τ = {(s, t) | s ∈ S, t ∈ τ(s)}
es un subsemigrupo de S × T .
Teorema 3.2. [10] Sean S, T semigrupos y τ : S ◦ // T morfismo relacional. Elgrafo
#τ = {(s, t) | s ∈ S, t ∈ τ(s)}es un subsemigrupo de S × T .
Demostracion. Es claro que #τ ⊆ S × T . Sean (s, t), (s1, t1) ∈ #τ , con lo que, t ∈τ(s) y t1 ∈ τ(s1). Luego, tt1 ∈ τ(s)τ(s1), de donde, tt1 ∈ τ(ss1), por ser τ morfismorelacional. En consecuencia, (ss1, tt1) ∈ G. Por tanto, #τ es un subsemigrupo deS × T .
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Para dar una mejor comprension a la definicion 3.1, vena central de este trabajo, sepresentara el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.1. Considerese el semigrupos de los N bajo la multiplicacion y, el semi-grupo de transformaciones T (X), con X = {0, 1}, del ejemplo 1.4. Para este caso,P(X) = {1X , c0, c1, δ}, donde,
1X : X → X
0 → 0
1 → 1
c0 : X → X
0 → 0
1 → 0
c1 : X → X
0 → 1
1 → 1
σ : X → X
0 → 1
1 → 0
La relacion τ : N→ P(T (X)) definida como
τ(n) =
{1X , c0} si n = 0
{c0} si n 6= 0
es un morfismo relacional. Claramente, por la forma en que se definio τ , se tieneque, τ(n) 6= ∅ para todo n ∈ N. Para probar la segunda condicion, considerense lossiguientes casos:
τ(0)τ(0) = {1X , c0} · {1X , c0} = {1X , c0} ⊆ τ(0)
τ(0)τ(n) = {1X , c0} · {c0} = {c0} ⊆ τ(0)
τ(n)τ(0) = {c0} · {1X , c0} = {c0} ⊆ τ(0)
τ(m)τ(n) = {c0} · {c0} = {c0} ⊆ τ(mn)
Vease como se esta operando
τ(n)τ(0) = {c0} · {1X , c0}= {c0 ◦ 1X , c0 ◦ c0}= {c0, c0}= {c0} ⊆ τ(0).
Primero se efectua la operacion del semigrupo P(T (X)), por definicion de esta loselementos de T (X) se operan bajo la operacion composicion de funciones.
Definicion 3.3. [8] Sea τ : S ◦ // T morfismo relacional. El inverso de τ es larelacion τ−1 : T → S definida por τ−1(t) = {s ∈ S | t ∈ τ(s)} para t ∈ T . Ademas,si T ′ es un subsemigrupo de T se define τ−1(T ′) = {s ∈ S | τ(S) ∩ T ′ 6= ∅}.
Definicion 3.4. [8] Un morfismo relacional τ : S ◦ // T es inyectivo si τ(s1) ∩τ(s2) 6= ∅ implica que s1 = s2, para s1, s2 ∈ S cualesquiera.
22
Nota. Por teorema 2.2, la definicion 3.4 equivale a que τ−1 es una funcion parcial.Tilson llama a los morfismos relacionales inyectivos “elementales”.
Definicion 3.5. [8] Un morfismo relacional τ : S ◦ // T es sobreyectivo si parat ∈ T existe s ∈ S, tal que, t ∈ τ(s).
Teorema 3.3. Sea τ : S ◦ // T morfismo relacional. Si τ es sobreyectivo entoncesτ−1 es morfismo relacional.
Demostracion. Por definicion τ−1(t) = {s ∈ S | t ∈ τ(s)}. Luego, existe s ∈ S, talque, s ∈ τ−1(t), por ser τ sobreyectiva. En consecuencia τ−1(t) 6= ∅.Ademas, para t, t′ ∈ T , existen s, s′ ∈ S tales que s ∈ τ−1(t) y s′ ∈ τ−1(t′). Conlo que, ss′ ∈ τ−1(t)τ−1(t′). Por definicion de τ−1, t ∈ τ(s), y t′ ∈ τ(s′), ası tt′ ∈τ(s)τ(s′), de donde, tt′ ∈ τ(ss′), por ser τ morfismo relacional. Con lo que, ss′ ∈τ−1(tt′). En consecuencia, τ−1(t)τ−1(t′) ⊆ τ−1(tt′), para t, t′ ∈ T .
Teorema 3.4. [7]Sean S y T monoides, y φ : S → T homomorfismo sobreyectivo(epimorfismo). La funcion τ : T → P(S), definida para t ∈ T como τ(t) = φ−1(t)es un morfismo relacional.
Demostracion. Debido a que φ es epimorfismo, para t ∈ T cualquiera, existe s ∈ S,tal que, t = φ(s). Luego, s ∈ φ−1(t). Por ende, τ(t) 6= ∅ para todo t ∈ T . Por otraparte, para s ∈ φ−1(t) se tiene que φ(s) = t e igualmente para s′ ∈ φ−1(t′), φ(s′) =t′, ası φ(s)φ(s′) = tt′, y por ser φ homomorfismo, φ(ss′) = tt′. En consecuencia,ss′ ∈ φ−1(tt′), y por tanto, τ(t)τ(t′) ⊆ τ(tt′).Por ser S y T monoides, existen 1S ∈ S y 1T ∈ T unidades de cada monoiderespectivamente. Ası,
τ(1T ) = φ−1(1T ) = {s ∈ S | 1T ∈ φ(s)}= {s ∈ S | 1T = φ(s)}.
Como φ es homomorfismo entonces φ(1S) = 1T . Luego, 1S ∈ φ−1(1T ), esto es,1S ∈ τ(1T ).
Definicion 3.6. [8] La composicion entre los morfismos relacionales τ1 : R ◦ // Sy τ2 : S ◦ // T se define como t ∈ (τ2 ◦ τ1)(r) si existe s ∈ τ1(r) tal que t ∈ τ2(s).
Teorema 3.5. [8]Sean R, S, T semigrupos. Si τ1 : R ◦ // S y τ2 : S ◦ // T sonmorfismos relacionales entonces τ2 ◦ τ1 : R→ T es morfismo relacional.
Demostracion. Para ver que τ2 ◦ τ1 es morfismo hay que mostrar que:
1. (τ2 ◦ τ1) (r) 6= ∅ para todo r ∈ R
2. (τ2 ◦ τ1) (r) (τ2 ◦ τ1) (r′) ⊆ (τ2 ◦ τ1) (rr′)
23
Sea r ∈ R. Por ser τ1(r) 6= ∅, existe s ∈ S, tal que, s ∈ τ1(r). De igual manera, porser τ2(s) 6= ∅, existe t ∈ τ2(s), ası, t ∈ τ2 ◦ τ1(r). Y por la arbitrariedad de r ∈ R,(τ2 ◦ τ1) (r) 6= ∅ para todo r ∈ R.Por lo anterior, para r, r′ ∈ R, existen t, t′ ∈ T tales que t ∈ (τ2 ◦ τ1) (r) yt′ ∈ (τ2 ◦ τ1) (r′). Ası, tt′ ∈
((τ2 ◦ τ1) (r)
)((τ2 ◦ τ1) (r′)
). Ademas, por definicion
3,5, existen s, s′ ∈ S, donde s ∈ τ1(r) y s′ ∈ τ2(r′), tales que, t ∈ τ2(s) y t′ ∈ τ2(s′).Con lo que, para ss′ ∈ S se tiene que ss′ ∈ τ1(rr′) tal que tt′ ∈ τ2(ss′), esto por serτ1 y τ2 morfismos relacionales. Por tanto, tt′ ∈ (τ2 ◦ τ1) (rr′).
En el teorema anterior, se probo que la composicion de dos morfismos relacionaleses nuevamente un morfismo relacional. Ahora, vease que la composicion de dos mor-fismos relacionales inyectivos, generan como se muestra a continuacion un morfismorelacional inyectivo.
Teorema 3.6. [8] Sean R, S y T semigrupos. Si τ1 : R ◦ // S y τ2 : S ◦ // T sonmorfismos relacionales inyectivos entonces τ2 ◦ τ1 : R → T es morfismo relacionalinyectivo.
Demostracion. En el teorema anterior se probo que la composicion de morfismosrelacionales es un morfismo relacional, solo basta probar la inyectividad. Supongamosque τ1 y τ2 son morfismos relacionales, y ademas que para r, r′ ∈ R cualesquieraτ2τ1(r) ∩ τ2τ1(r′) 6= ∅. Con lo que, existe t ∈ τ2τ1(r) ∩ τ2τ1(r′), en efecto existes1 ∈ τ1(r) tal que t ∈ τ2(s1) y existe s2 ∈ τ1(r′) tal que t ∈ τ2(s2), esto por definicion3.5. Luego, t ∈ τ2(s1) ∩ τ2(s2), es decir, τ2(s1) ∩ τ2(s2) 6= ∅. Como τ2 es inyectivoentonces s1 = s2. Ası, s1 = s2 ∈ τ1(r)∩τ1(r′), lo que equivale a que, τ1(r)∩τ1(r′) 6= ∅,y por ser τ1 inyectivo se obtiene que r = r′. Por tanto, τ2 ◦ τ1 es inyectivo.
Teorema 3.7. Teorema de correspondencia entre morfismos relacionales ysubsemigrupos[10]Sea τ : S ◦ // T morfismo relacional. Si S ′ es un subsemigrupo de S, entoncesτ(S ′) es un subsemigrupo de T . Si T ′ es un subsemigrupo de T , entonces τ−1(T ′) esun subsemigrupo de S.
Demostracion. Sean t1, t2 ∈ τ(S ′), con lo que existen s1, s2 ∈ S ′ tales que t1 ∈ τ(s1)y t2 ∈ τ(s2), ası, t1t2 ∈ τ(s1)τ(s2). Y por ser τ morfismo relacional, se tiene quet1t2 ∈ τ(s′), donde s1s2 = s′ ∈ S ′. En consecuencia, t1t2 ∈ τ(S ′), esto es, τ(S ′) essubsemigrupo de T .Por otra parte, para s1, s2 ∈ τ−1(T ′), existen t1, t2 ∈ T ′ tales que s1 ∈ τ−1(t1)y s2 ∈ τ−1(t2). Con lo que, t1 ∈ τ(s1) y t2 ∈ τ(s2). Ası, t1t2 ∈ τ(s1s2). Luego,s1s2 ∈ τ−1(t′), donde t1t2 = t′ ∈ T ′. Por ende, τ−1(T ′) es un subsemigrupo de S.
24
3.3. Teoremas de caracterizacion de los morfismos
relacionales
Los siguientes dos teoremas, representan dos maneras de caracterizar la existencia delmorfismo relacional τ : S ◦ // T para los semigrupos S y T . El primer teorema,se conoce como la factorizacion canonica de τ , en dicha factorizacion intervienenmorfismos inducidos por las funciones proyecciones de S × T en los semigrupos S yT respectivamente. El segundo teorema, caracteriza a τ por medio de la existenciade un subsemigrupo V de T , junto con una congruencia φ sobre el subsemigrupo Vy, de un epimorfismo ϕ entre el semigrupo S y el semigrupo V/φ.
3.3.1. Factorizacion Canonica
Teorema 3.8. [10] Sean S,T semigrupos. Si τ : S ◦ // T es morfismo relacional y#τ es el grafo asociado a la relacion τ , entonces las proyecciones π1 : S × T −→ Sy π2 : S × T −→ T inducen los morfismos α : #τ −→ S y β : #τ −→ T , tales que,α es sobreyectivo y, τ = β ◦ α−1.
Demostracion. Sea #τ = {(s, t) ∈ S × T | t ∈ τ(s)} el grafo asociado al morfismorelacional τ : S ◦ // T . Por teorema 3.2, #τ es un subsemigrupo de S × T , y lasfunciones proyecciones π1 : S × T −→ S y π2 : S × T −→ T estan definidas para(s, t) ∈ S × T como
π1[(s, t)] = s ∧ π2[(s, t)] = t
e inducen las funciones (restriccion) α : #τ −→ S y β : #τ −→ T , donde
α ((s1, t1)(s2, t2)) = α ((s1s2, t1t2))
= s1s2
= α(s1, t1)α(s2, t2)
y
β ((s1, t1)(s2, t2)) = β ((s1s2, t1t2))
= t1t2
= β(s1, t1)β(s2, t2)
estos es, tanto α como β son morfismos de semigrupos.Ahora, para s ∈ S, se tiene que τ(s) 6= ∅, por ser τ morfismo relacional. Con lo que,existe t ∈ T tal que t ∈ τ(s). Luego, (s, t) ∈ #τ . En efecto, para cada s ∈ S existe(s, t) ∈ #τ tal que s = α(s, t). En consecuencia, α es morfismo sobreyectivo, y porende, la relacion α−1 esta definida sobre todo S.
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Tomemos t ∈ (β ◦ α−1) (s), con lo que,
t ∈(β ◦ α−1
)(s) ⇐⇒
(∃ r ∈ α−1(s)
)(t ∈ β(r))
⇐⇒ α(r) = s ∧ β(r) = t
⇐⇒ (s, t) ∈ #τ
⇐⇒ t ∈ τ(s)
Por tanto, (β ◦ α−1) (s) = τ(s), para cada s ∈ S.
La factorizacion τ = β ◦ α−1 se llama la factorizacion canonica de τ , y esta repre-sentada por el siguiente diagrama
#τβ
α
~~S
τ=β ◦ α−1// T
Teorema 3.9. [8] Sea β ◦ α−1 la factorizacion canonica del morfismo relacionalτ : S ◦ // T . Entonces, τ es inyectivo si y solo si β es inyectivo.
Demostracion. Sea τ inyetivo. Tomemos r1, r2 ∈ #τ tal que β(r1) = β(r2) = t. Porser α sobreyectiva, para todo s ∈ S, existe r ∈ #τ tal que s ∈ α(r), con lo que,r ∈ α−1(s). Ası, r1 ∈ α−1 (α(r1)) y r2 ∈ α−1 (α(r2)). Luego,
t ∈ β(α−1(α(r1))
)∩(α−1(α(r2))
)t ∈ τ (α(r1)) ∩ τ (α(r2)) .
Por tanto, α(r1) = α(r2), por ser τ es inyectiva. Entonces,
r1 = (α(r1), β(r1)) = (α(r2), β(r2)) = r2.
Por otra parte, α−1 es un morfimo relacional inyectivo por teoremas 2.2 y 3.3. Ade-mas, α−1 es sobreyectiva, ya que para (s, t) ∈ #τ , α(s, t) = s, ası (s, t) ∈ α−1(s).Con lo que, si β es inyectiva, se tiene que β ◦ α−1 = τ es inyectiva.
3.3.2. Caracterizacion de Morfismos Relacionales (vıa con-gruencias)
Teorema 3.10. [2] Sean S, T semigrupos. Las siguientes proposiciones son equiva-lentes:
1. Existe un morfismo relacional τ : S ◦ // T .
2. Existe un subsemigrupo (submonoide) V de T y una congruencia φ ∈ Con (V )junto con un epimorfismo ϕ : S −→ V/φ.
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Demostracion. Supongase que existe un subsemigrupo V de T y una congruencia φsobre V junto con un epimorfismo ϕ : S −→ V/φ. Tomese, τ = ϕ. Vease que, ϕes morfismo relacional. Sea s ∈ S, entonces τ(s) = ϕ(s) = ts/φ, entendiendose, ats/φ, como la φ − clase de t ∈ τ(s). La eleccion de t ∈ τ(s) es arbitraria. Con loque, ts/φ 6= ∅, ya que, por lo menos ts ∈ ts/φ. Luego, para todo s ∈ S, τ(s) 6= ∅. Lasegunda condicion, se satisface debido a que , para cualesquiera s, s′ ∈ S, se tieneque
τ(s)τ(s′) = ϕ(s)ϕ(s′) = ϕ(ss′) = τ(ss′)
por ser ϕ morfismo de semigrupos. En consecuencia, ϕ = τ es morfismo relacionalentre los semigrupos S y T . En el caso, de que S y T sean monoides, se tieneque, 1T ∈ 1T/φ = ϕ (1S) = τ(1S). Por lo tanto, τ es morfismo relacional entre lossemigrupos(monoides) S y T .Respecto a la suficiencia, supongase que existe τ : S ◦ // T . Defınase, V ⊆ T , comoV = Im(τ) = {t ∈ T | (∃ s ∈ S) (t ∈ τ(s))}. Por teorema 3.1 V es subsemigrupode T . En el caso, que S y T sean monoides, 1T ∈ τ(1S), ası 1T ∈ V = Im(τ).En segunda instancia, defınase la relacion φ sobre V , de modo tal que, para t, t′ ∈ V
tφt′ ⇐⇒(∃ s ∈ S
)(t, t′ ∈ τ(s)
).
La relacion φ esta bien definida, por definicion de V . La relacion φ es reflexiva, yaque para (t, t′) ∈ 1V , t ∈ V , con lo que, existe s ∈ S tal que t ∈ τ(s), y como t = t′
entonces t′ ∈ τ(s). En consecuencia, tφt′, esto es, (t, t′) ∈ φ. Ası, 1V ⊆ φ. Ademas,φ es simetrica, debido a que si
(t, t′) ∈ φ ⇐⇒ (∃s ∈ S) (t, t′ ∈ τ(s))
⇐⇒ (∃s ∈ S)(t′, t ∈ τ(s)
)⇐⇒ (t′, t) ∈ φ⇐⇒ (t, t′) ∈ φ−1,
es decir, φ = φ−1. Pero nada se puede asegurar de la transitividad. Con lo que, tomeseφ como la clausura transitiva de φ. Entonces, φ es una relacion de equivalencia. Restapor ver, que φ es estable bajo la operacion de V . Tomense tφt′ y uφu′. Por teorema2.7 por la construccion de φ existen sucesiones finitas de φ-elementos relacionadosen T tales que
tφa2φa3φ · · · φan−1φt′
uφb2φb3φ · · · φbm−1φu′.
Sin perdida de generalidad, se toman las sucesiones del mismo tamano. Por definicionde φ, para i ∈ {0, ...,m− 1}
(∃ s ∈ S)(ai, ai+1 ∈ τ(s)
)∧ (∃ s′ ∈ S)
(bi, bi+1 ∈ τ(s′)
)
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Y por ser τ morfismo relacional
(aibi) , (ai+1bi+1) ∈ τ(s)τ(s′) ⊆ τ(ss′)
con lo que, (aibi) φ (ai+1bi+1), para cada i ∈ {0, ...,m − 1}. Entonces, se puedenoperar las dos sucesiones y obtener la sucesion
(tu)φ(a2b2)φ(a3b3)φ · · · φ(am−1bm−1φ(t′u′)
y en consecuencia (tu)φ(t′u′), es decir, φ es congruencia sobre V , esto es, φ ∈ Con(V ).Por ultimo, se debe definir el epimorfismo, tomese la funcion ϕ : S → V/φ definidapor ϕ(s) = t/φ, donde t es un elemento arbitrario de τ(s). ϕ no depende de laeleccion de t en τ(s). Sean s, s′ ∈ S y tomese t ∈ τ(s), t′ ∈ τ(s′) y t′′ ∈ τ(ss′), setiene que:
ϕ(s)ϕ(s′) = (t/φ) (t′/φ) = tt′/φ
Por ser τ morfismo relacional,
tt′ ∈ τ(s)τ(s′) ⊆ τ(ss′)
con lo que, tt′, t′′ ∈ τ(ss′). Ası,
(tt′) φ t′′ ∧ (tt′)φ t′′
luego,
ϕ(ss′) = t′′/φ = tt′/φ = ϕ(s)ϕ(s′).
En consecuencia, ϕ es un morfismo entre los semigrupos S y V/φ. Para el caso, enque S y T sean monoides, se tiene que, 1T ∈ τ(1S), entonces por la manera como seconstruyo ϕ
ϕ(1S) = 1T/φ
y ası, ϕ es un morfismo de monoides. ϕ es sobreyectivo, ya que para cualquiert ∈ V = Imτ , existe algun s ∈ S tal que t ∈ τ(s), en consecuencia, ϕ(s) = t/φ.
Corolario 3.11. [2] Sean S y T semigrupos. Las siguientes proposiciones son equi-valentes:
Existe un morfismo relacional τ : S ◦ // T .
Existe un subsemigrupo(submonoide) V de T , congruencias θ ∈ Con(S) yφ ∈ Con(V ), tal que,
S/θ ∼= V/φ.
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Demostracion. Supongase que existe un morfismo relacional τ : S ◦ // T . Porteorema 3.10 existe un subsemigrupo(submonoide) V de T , una φ ∈ Con(V ) yun morfismo sobreyectivo ϕ : S −→ V/φ. Por teorema 2.8, se tiene que ker ϕ ∈Con(S). Tomese, θ = ker ϕ. Aplicando, el teorema 2.9 a ϕ, existe una biyeccionϕ : S/ker ϕ→ V/φ. En consecuencia, S/θ ∼= V/φ.Ahora, supongase que existe un subsemigrupo(submonoide) V de T y, congruenciasθ ∈ Con(S) y φ ∈ Con(V ), tal que,
S/θ ∼= V/φ
Con lo que, existe una biyeccion ϕ : S/ker ϕ → V/φ, donde ϕ : S −→ V/φ esmorfismo. Luego, nuevamente por teorema 2.9, ϕ = ϕ◦φ, y como ϕ y φ son morfismossobreyectivos, se obtiene que, ϕ es un morfismo sobreyectivo. Y por teorema 3.10,existe un morfismo relacional τ : S ◦ // T .
Teorema 3.12. [2] Sean S y T semigrupos. Si exite un morfismo relacional τ :S ◦ // T entonces θ ∈ Con(S), donde θ es la clausura transitiva de la relacion θ
sobre S, definida para s, s′ ∈ S por
sθs′ ⇐⇒ τ(s) ∩ τ(s′) 6= ∅.
Demostracion. La relacion θ es reflexiva, ya que, si (s, s′) ∈ 1S, se tiene que, τ(s) ∩τ(s′) = τ(s) ∩ τ(s) = τ(s) 6= ∅, por ser τ morfismo relacional. Entonces, (s, s′) ∈ θ.Ademas, θ es simetrica, dado que:
θ−1 = {(x, y) ∈ S × S | (y, x) ∈ θ}= {(x, y) ∈ S × S | τ(y) ∩ τ(x) 6= ∅}= {(x, y) ∈ S × S | τ(x) ∩ τ(y) 6= ∅}= θ.
Respecto a la transitividad, tomese θ la clausura transitiva de θ. Dicha relaciontransitiva θ es reflexiva, ya que, 1S ⊆ θ ⊆
⋃n∈N θ
n. Tambien, θ es simetrica, dadoque:
θ =⋃n∈N
θn
=⋃n∈N
(θ−1)n
= θ−1.
Luego, la relacion θ es de equivalencia sobre S. Resta por ver que θ es estable sobreS. Tomense, s, s′, r, r′ ∈ S, tal que, sθs′ y rθr′. Por la construccion de θ, existensucesiones finitas de θ elementos relacionados en S, tal que,
sθa2θa3 · · · θan−1θs′
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rθb2θb3 · · · θbn−1θr′
Sin perdida de generalidad n = m. Para i ∈ {0, · · · ,m − 1} por definicion de θ, setiene que:
τ(ai) ∩ τ(ai+1) 6= ∅ ∧ τ(bi) ∩ τ(bi+1) 6= ∅
ası, existen c ∈ τ(ai) ∩ τ(ai+1) y d ∈ τ(bi) ∩ τ(bi+1), de donde,
cd ∈ τ(ai)τ(bi) ⊆ τ(aibi) ∧ cd ∈ τ(ai+1)τ(bi+1)
con lo que, cd ∈ τ(aibi) ∩ τ(ai+1bi+1), es decir, τ(aibi) ∩ τ(ai+1bi+1) 6= ∅. Luego,(aibi) θ (ai+1bi+1). En consecuencia,
(sr) θ (a2b2) θ · · · θ (am−1bm−1) θ (s′r′) ,
ası (sr, s′r′) ∈ θm ⊆⋃n∈N θ
n. Luego, srθs′r′, y por tanto, θ ∈ Con(S).
Teorema 3.13. [2] Sean S y T semigrupos. Sea un morfismo relacional τ : S ◦ // Ty considerese
El morfimo de semigrupos ϕ : S → (V = Imτ) /φ, con φ ∈ Con(V ).
La congruencia θ en S, donde θ es la clausura transitiva de la relacion θ sobreS, definida para s, s′ ∈ S por
sθs′ ⇐⇒ τ(s) ∩ τ(s′) 6= ∅.
Entonces, ker ϕ = θ.
Demostracion. Para la primera contenencia, supongase que (s, s′) ∈ ker ϕ, esto es,ϕ(s) = ϕ(s′) = t/φ. Por la forma como se construyo ϕ, se tiene que:
t ∈ τ(s) ∧ t ∈ τ(s′)
con lo que, τ(s) ∩ τ(s′) 6= ∅. En consecuencia, sθs′, esto es, (s, s′) ∈ θ. Luego, comoθ ⊆ θ, (s, s′) ∈ θ, es decir, ker ϕ ⊆ θ.Ahora, respecto a la otra contenencia, supongase que (s, s′) ∈ θ, con lo que, existeuna sucesion finita de θ elementos relacionados en S
sθa2θa3 · · · θam−1θs′
Luego, para i ∈ {1, · · · ,m − 1}, se tiene que, aiθai+1, esto es, τ(ai) ∩ τ(ai+1) 6= ∅.Luego, existe di ∈ τ(ai) ∩ τ(ai+1), y ası formese, la sucesion d0, d1, · · · , dm−1 deelementos en V = Imτ . Elıjase, i ∈ {1, · · · ,m − 2} y considerense los elementosdi, di+1 ∈ V , entonces:
di ∈ τ(ai) ∩ τ(ai+1) ∧ di+1 ∈ τ(ai+1) ∩ τ(ai+2)
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En particular, di, di+1 ∈ τ(ai+1). Ası, diφdi+1 y se obtiene la sucesion
d0φ · · · φdm−1
Notese que, d1 ∈ τ(s) ∩ τ(a2). En particular, t, d1 ∈ τ(s), y por tanto tφd1. Igual-mente, dm−1 ∈ τ(am−1) ∩ τ(s′), y en particular, dm−1φt
′. En consecuencia,
tφd0φd1 · · · φdm−2φdm−1φt′
entonces tφt′. Luego,ϕ(s) = t/φ = t′/φ = ϕ(s′).
Por tanto, (s, s′) ∈ ker ϕ, esto es, θ ⊆ ker ϕ.
3.4. En el caso de Grupos
Teorema 3.14. [7] En caso que G y H sean grupos, el morfismo relacional entreellos se comporta como un morfismo (homomorfismo), ya que cumple las siguientescondiciones:
1. |τ(x)| = |τ(1)| para todo x ∈ G.
2. τ(x)τ(y) = τ(xy) para cualesquiera x, y ∈ G.
3. Para z ∈ H, si z ∈ τ(x) entonces z−1 ∈ τ(x−1).
Demostracion. Primero se vera que el cardinal de τ(x) ∈ P(H) va hacer igual alcardinal del τ(1) ∈ P(H), donde el cardinal de A ∈ P(H) se denota por |A|. Parax ∈ G, se tiene que x1 = x. Luego, por ser τ morfismo relacional
τ(x) = τ(x1) ⊇ τ(x)τ(1)
entonces dado que las imagenes de τ son subconjuntos de un grupo, los elementos sepueden cancelar, obteniendose que, |τ(1)| ≤ |τ(x)|. Por otro lado, por ser G grupo,para x ∈ G, existe x−1 ∈ G tal que xx−1 = 1, y nuevamente por ser τ morfismorelacional, se obtiene que
τ(1) = τ(xx−1) ⊇ τ(x)τ(1)
entonces por la razon anterior, |τ(1)| ≥ |τ(x)τ(x−1)| ≥ |τ(x)|. Por tanto, |τ(1)| =|τ(x)|.
Para la segunda parte, sean x, y ∈ G y z ∈ τ(x), se tiene que:
zτ(y) ⊆ τ(x)τ(y) ⊆ τ(xy)
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Por 1, al estar trabajando sobre grupos, la cardinalidad de los subconjutos de Hbajo τ es la misma, con lo que, |zτ(y)| = |τ(y)| = |τ(xy)|. Ası, se infiere que,τ(x)τ(y) = τ(xy).
Por ultimo, supongase zτ(x−1) = τ(1). Luego, existe b ∈ τ(x−1) tal que zb = 1, demanera que z−1 ∈ τ(x−1).
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Capıtulo 4Conclusion
Como se vıo, para la comprension de algunos aspectos iniciales de los morfismosrelacionales, se es necesario conocer el tratamiento de las relaciones, sus propieda-des y la definicion alterna de relacion. Los morfismos relacionales entre semigruposhereden definiciones y teoremas analogos a los grupos, como lo son: la preservacionde estructuras, la composicion entre morfismos relacionales, y propiedades de inyec-tividad, sobreyectividad e inverso del morfismo relacional.
Los teoremas de caracterizacion, permiten proporcionar a los morfimos relacionalesde semigrupos como composicion de morfismos relacionales de semigrupos, comorelaciones inversas de morfismos sobreyectivos de monoides. La existencia de losmorfismos relacionales, proporcionan isomorfismos entre semigrupos cocientes, jun-to con una descripcion de la congruencia kernel. Todo esto, se puede realizar vıacongruencias, siendo tales relaciones de equivalencia, la herramienta principal paradotar a conjuntos cocientes de estructura de semigrupo y, la vıa para establecer losteoremas de isomorfıa en la teorıa de semigrupos.
Todo ello, permite obtener una gran cantidad de morfismos relacionales, con lo que,cualquier morfismo relacional va a pertencer a las caracterizaciones y descripcio-nes dadas. Por ultimo, se reconoce que los morfismos relacionales ademas de poseerpropidades algebraicas, dan el surgimiento de las categorıa en los semigrupos.
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Capıtulo 5Anexos
5.1. Categorıa RSgp
Se presentara la categorıa cuyos objectos son los semigrupos y los morfismos entredos objetos de la categorıa son los morfismos relacionales.
Definicion 5.1. Una categorıa es una cuadrupla A = (O, hom, id, ◦) que consistede
Una clase O, cuyos miembros son llamados A-objetos.
Para cada pareja (A,B) de A-objetos, un conjunto hom(A,B), cuyos miembrosson llamados A-morfismos de A a B.
Para cada A-objeto A, un morfismo AidA→ A llamado la A-identidad de A.
Una ley de composicion asociando con cada A-morfismo Af→ B y cada A-
morfismo Bg→ C un A-morfismo A
g◦f→ C, llamado la composicion de f y g,sujeto a las siguientes condiciones:
1. La composicion es asociativa, es decir, para morfismos Af→ B, B
g→ C y
Ch→ D, se cumple h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f .
2. A-identidades actuan como identidades con respecto a la composicion, es
decir, para A-morfismos Af→ B, se tiene idB ◦ f = f = f ◦ idA.
La categorıa RSgp consiste en:
Ob (RSgp) = {S | S es semigrupo finito}.
hom(S, T ) = {τ | τ : S ◦ // T }.
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Para cada RSgp-objeto S , la RSgp-identidad sobre S, se define como:
idS : S → S
s → idS(s) = {s}
Para f ∈ hom (R, S) y g ∈ hom (S, T ) se tiene asociado la ley de composiciondada en la definicion 3.6. La cual, satisface lo siguiente:
1. Sean f ∈ hom (R, S), g ∈ hom (S, T ) y h ∈ hom (T, U). Entonces
(h ◦ (g ◦ f)) (r) = {u ∈ U | (∃t ∈ T )(t ∈ (g ◦ f) (r) ∧ u ∈ h(t)
)}
= {u ∈ U | (∃t ∈ T ) (∃s ∈ S)(s ∈ f(r) ∧ t ∈ g(s) ∧ u ∈ h(t)
)}
= {u ∈ U | (∃s ∈ S) (∃t ∈ T )(s ∈ f(r) ∧ t ∈ g(s) ∧ u ∈ h(t)
)}
= {u ∈ U | (∃s ∈ S)(s ∈ f(r) ∧ u ∈ (h ◦ g) (s)}
)= ((h ◦ g) ◦ f) (r)
2. Sea f ∈ hom(S, T ). Entonces,
(f ◦ idS) (s) = {t ∈ T | (z ∈ S) z ∈ idS ∧ t ∈ f(z)}= {t ∈ T | (z ∈ S) z = s ∧ t ∈ f(z)}= {t ∈ T | t ∈ f(s)}= f(s)
(idT ◦ f) (s) = {t ∈ T | (z ∈ T ) z ∈ f(s) ∧ t ∈ idT (z)}= {t ∈ T | (z ∈ T ) z ∈ f(s) ∧ t = z}= {t ∈ T | t ∈ f(s)}= f(s).
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