morfismos, vol 15, no 1, 2011

VOLUMEN 15NÚMERO 1

ENERO A JUNIO DE 2011ISSN: 1870-6525

MorfismosDepartamento de Matematicas

Cinvestav

Chief Editors - Editores Generales

• Isidoro Gitler • Jesus Gonzalez

Associate Editors - Editores Asociados

• Ruy Fabila • Ismael Hernandez• Onesimo Hernandez-Lerma • Hector Jasso Fuentes

• Sadok Kallel • Miguel Maldonado• Carlos Pacheco • Enrique Ramırez de Arellano

• Enrique Reyes • Dai Tamaki• Enrique Torres Giese

Apoyo Tecnico

• Irving Josue Flores Romero • Omar Hernandez Orozco• Roxana Martınez • Carlos Daniel Reyes Morales• Ivan Martın Suarez Barraza • Laura Valencia

Morfismos esta disponible en la direccion http://www.morfismos.cinvestav.mx.Para mayores informes dirigirse al telefono +52 (55) 5747-3871. Toda corres-pondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matema-ticas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, Mexico, D.F. 07000, o por correoelectronico a la direccion: [email protected].

VOLUMEN 15NÚMERO 1

ENERO A JUNIO DE 2011ISSN: 1870-6525

MorfismosDepartamento de Matematicas

Cinvestav

Morfismos, Volumen 15, Numero 1, enero a junio de 2011, es una publicacionsemestral editada por el Centro de Investigacion y de Estudios Avanzadosdel Instituto Politecnico Nacional (Cinvestav), a traves del Departamentode Matematicas. Av. Instituto Politecnico Nacional No. 2508, Col. San PedroZacatenco, Delegacion Gustavo A. Madero, C.P. 07360, D.F., Tel. 55-57473800,www.cinvestav.mx, [email protected], Editores Generales: Drs.Isidoro Gitler Golwain y Jesus Gonzalez Espino Barros. Reserva de DerechosNo. 04-2008-100210441300-102, ISSN: 1870-6525, ambos otorgados por elInstituto Nacional del Derecho de Autor. Certificado de Licitud de TıtuloNo. 14729, Certificado de Licitud de Contenido No. 12302, ambos otorga-dos por la Comision Calificadora de Publicaciones y Revistas Ilustradas de laSecretarıa de Gobernacion. Impreso por el Departamento de Matematicas delCinvestav, Avenida Instituto Politecnico Nacional 2508, Colonia San PedroZacatenco, C.P. 07360, Mexico, D.F. Este numero se termino de imprimir enseptiembre de 2011 con un tiraje de 50 ejemplares.

Las opiniones expresadas por los autores no necesariamente reflejan lapostura de los editores de la publicacion.

Queda estrictamente prohibida la reproduccion total o parcial de los con-tenidos e imagenes de la publicacion, sin previa autorizacion del Cinvestav.

Information for Authors

The Editorial Board of Morfismos calls for papers on mathematics and related areas tobe submitted for publication in this journal under the following guidelines:

• Manuscripts should fit in one of the following three categories: (a) papers covering thegraduate work of a student, (b) contributed papers, and (c) invited papers by leadingscientists. Each paper published in Morfismos will be posted with an indication ofwhich of these three categories the paper belongs to.

• Papers in category (a) might be written in Spanish; all other papers proposed forpublication in Morfismos shall be written in English, except those for which theEditoral Board decides to publish in another language.

• All received manuscripts will be refereed by specialists.

• In the case of papers covering the graduate work of a student, the author shouldprovide the supervisor’s name and affiliation, date of completion of the degree, andinstitution granting it.

• Authors may retrieve the LATEX macros used for Morfismos through the web sitehttp://www.math.cinvestav.mx, at “Revista Morfismos”. The use by authors of thesemacros helps for an expeditious production process of accepted papers.

• All illustrations must be of professional quality.

• Authors will receive the pdf file of their published paper.

• Manuscripts submitted for publication in Morfismos should be sent to the email ad-dress [email protected].

Informacion para Autores

El Consejo Editorial de Morfismos convoca a proponer artıculos en matematicas y areasrelacionadas para ser publicados en esta revista bajo los siguientes lineamientos:

• Se consideraran tres tipos de trabajos: (a) artıculos derivados de tesis de grado dealta calidad, (b) artıculos por contribucion y (c) artıculos por invitacion escritos porlıderes en sus respectivas areas. En todo artıculo publicado en Morfismos se indicarael tipo de trabajo del que se trate de acuerdo a esta clasificacion.

• Los artıculos del tipo (a) podran estar escritos en espanol. Los demas trabajos deberanestar redactados en ingles, salvo aquellos que el Comite Editorial decida publicar enotro idioma.

• Cada artıculo propuesto para publicacion en Morfismos sera enviado a especialistaspara su arbitraje.

• En el caso de artıculos derivados de tesis de grado se debe indicar el nombre delsupervisor de tesis, su adscripcion, la fecha de obtencion del grado y la institucionque lo otorga.

• Los autores interesados pueden obtener el formato LATEX utilizado por Morfismos enel enlace “Revista Morfismos” de la direccion http://www.math.cinvestav.mx. La uti-lizacion de dicho formato ayudara en la pronta publicacion de los artıculos aceptados.

• Si el artıculo contiene ilustraciones o figuras, estas deberan ser presentadas de formaque se ajusten a la calidad de reproduccion de Morfismos.

• Los autores recibiran el archivo pdf de su artıculo publicado.

• Los artıculos propuestos para publicacion en Morfismos deben ser dirigidos a la di-reccion [email protected].

Lineamientos Editoriales

Morfismos, revista semestral del Departamento de Matematicas del Cinvestav,tiene entre sus principales objetivos el ofrecer a los estudiantes mas adelantadosun foro para publicar sus primeros trabajos matematicos, a fin de que desarrollenhabilidades adecuadas para la comunicacion y escritura de resultados matematicos.

La publicacion de trabajos no esta restringida a estudiantes del Cinvestav; de-seamos fomentar la participacion de estudiantes en Mexico y en el extranjero, asıcomo de investigadores mediante artıculos por contribucion y por invitacion. Losreportes de investigacion matematica o resumenes de tesis de licenciatura, maestrıao doctorado de alta calidad pueden ser publicados en Morfismos. Los artıculos apublicarse seran originales, ya sea en los resultados o en los metodos. Para juzgaresto, el Consejo Editorial designara revisores de reconocido prestigio en el orbe in-ternacional. La aceptacion de los artıculos propuestos sera decidida por el ConsejoEditorial con base a los reportes recibidos.

Los autores que ası lo deseen podran optar por ceder a Morfismos los derechos depublicacion y distribucion de sus trabajos. En tal caso, dichos artıculos no podranser publicados en ninguna otra revista ni medio impreso o electronico. Morfismossolicitara que tales artıculos sean revisados en bases de datos internacionales como loson el Mathematical Reviews, de la American Mathematical Society, y el ZentralblattMATH, de la European Mathematical Society.

Morfismos

Editorial Guidelines

Morfismos is the journal of the Mathematics Department of Cinvestav. Oneof its main objectives is to give advanced students a forum to publish their earlymathematical writings and to build skills in communicating mathematics.

Publication of papers is not restricted to students of Cinvestav; we want to en-courage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics researchreports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses of high quality will beconsidered for publication, as well as contributed and invited papers by researchers.All submitted papers should be original, either in the results or in the methods.The Editors will assign as referees well-established mathematicians, and the accep-tance/rejection decision will be taken by the Editorial Board on the basis of thereferee reports.

Authors of Morfismos will be able to choose to transfer copy rights of theirworks to Morfismos. In that case, the corresponding papers cannot be consideredor sent for publication in any other printed or electronic media. Only those papersfor which Morfismos is granted copyright will be subject to revision in internationaldata bases such as the American Mathematical Society’s Mathematical Reviews, andthe European Mathematical Society’s Zentralblatt MATH.

Morfismos

El Cinvestav y su Departamento de Matematicas festejan esteano sus quincuagesimos aniversarios. Por tal motivo, a partirde este numero Morfismos se enorgullece de presentar, medianteartıculos panoramicos, el trabajo matematico de los profesores denuestro departamento con la mayor trayectoria academica.

Al mismo tiempo,Morfismos festeja su decimoquinto aniversariocon una revision y actualizacion de sus objetivos, metas y visiongeneral de su papel en el medio academico nacional e internacional.

Estamos convencidos de queMorfismos y nuestro Departamentode Matematicas continuaran su ascendente y fructıfera trayectoria.

¡ Felicidades a Ambos !

Cinvestav and its Mathematical Department celebrate this yeartheir fiftieth anniversary. Morfismos joins the festivities by proudlypresenting, starting with this issue and through survey papers, thework of the professors in our department with the most notablemathematical influence.

Morfismos is also celebrating its fifteenth anniversary with arevision and general update of its goals and role within the nationaland international scientific community.

We believe Morfismos and our Department of Mathematics willcontinue with an ascending and fruitful development.

Congratulations to Both !

Contents - Contenido

La obra matematica de Samuel Gitler al Quincuagesimo Aniversario del De-partamento de Matematicas del Cinvestav

Jesus Gonzalez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sobre la dinamica del sistema de Lamb con masa cero

Marco Antonio Taneco Hernandez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

Carlos M. Ramos and Feliu D. Sagols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Morfismos, Vol. 15, No. 1, 2011, pp. 1–8

lareltiGleumaSedacitametamarboaLQuincuagesimo Aniversario del Departamento de

vatsevniCledsacitametaM

zelaznoGsuseJ

2010 Mathematics Subject Classification: 55-02, 55-06.Keywords and phrases: Samuel Gitler, Topologıa Algebraica, Departa-

.vatsevniCledsacitametaMedotnem

Es un gran honor poder compartir con ustedes algunos pensamientossacitametamsalnereltiGleumaSedojabartledaicnednecsartalerbos

modernas.1

salralitsedrebasleseociarbeglaogolopotledsedadilaucsaledanU-ergnisusnesalodnasnednoc,soicapsesoledsacirtemoegsedadeiporpedortned,reartnocredop,ograbmeniS.selaicnesesocipotomohsetneidsocitametamsoinegsoledonuedrobalal,sotunim03edalrahcanu

mas influyentes que nuestro paıs ha producido es un reto mayor pues el-ohnoisnemidanurenetropaziretcaracesleumaSedojabartedoicapseominımlasodicudersocincetsellatednoc,seupısA.amisıtlaacipotomropodirroceromisıverbnuarahetnemairasecenalrahcatse,elbisop

los puntos medulares de la obra de Samuel, sus cualidades humanasy cientıficas, y la profunda huella que ha dejado en el desarrollo de latopologıa.

etseaicnunaesednodnesocinortcelesoerrocsosrevidsolrasiverlAevento, se puede ver que el tıtulo de esta charla estaba planeado origi-nalmente como: “Samuel Gitler y el desarrollo de la topologıa en el

eseuqretsopleoreP.”vatsevniCledsacitametaMedotnematrapeD

1 ledoiranetneucniclednoicarbelecaletnarudzelaznoGsuseJ.rDledosrucsiD.vatsevniCledsacitametaMedotnematrapeD

1

2 Jesus Gonzalez

preparo para el evento muestra el ligero cambio que se hizo posterior-mente en el tıtulo, a saber: “Samuel Gitler y el desarrollo de la topologıaen Mexico”.

Para el conocedor de la trayectoria de Samuel, esta extension deobjetivos solo hace patente el hecho de que el tıtulo correcto de la charla,en todo caso, tendrıa que haber sido:

“Samuel Gitler y el desarrollo de la topologıa en el mundo”.En efecto, Samuel es uno de los poquısimos matematicos, no solo mexi-canos, sino a nivel mundial, cuyo talento, amor por la ciencia e incan-sable investigacion cientıfica han trascendido a niveles que le aseguranun lugar destacado en la historia universal de las matematicas.

Cuando Samuel concluyo sus estudios doctorales en la Universi-dad de Princeton, Norman Steenrod, su asesor, le comento sobre loafortunado que era, para un recien doctorado, el poder regresar a supropio paıs a colaborar con Jose Adem, uno de los brillantes jovenesmatematicos de la epoca. Evidentemente, el comentario de Steenrodno fue del todo preciso: fue nuestro querido Mexico el afortunado decontar con estos dos cientıficos de primer nivel, que jugarıan un papelfundamental en la detonacion y posterior consolidacion del vertiginosodesarrollo matematico que nuestro paıs estaba por experimentar. Y nopudo ser mejor el momento: Samuel termino sus estudios doctoralesjusto en un periodo en que una pletora de nuevos metodos hacıan suaparicion para revolucionar la topologıa; por su puesto, todos ellos es-taban empacados en la maleta de la familia Gitler de regreso a Mexico.

El siglo XX se conoce en las matematicas como el Siglo de la Topolo-gıa, y en la decada de los 50’s alcanzo uno de sus momentos cumbres, conel trabajo de diversos matematicos muy distinguidos, entre los que figuraSolomon Lefschetz, otro importante impulsor de la ciencia matematicaen Mexico. Dentro de los temas de mayor actividad en aquel momentose encontraba el de la existencia y clasificacion de encajes e inmersioneseuclideanas de una variedad dada—por ejemplo los modelos tridimen-sional usuales de la botella de Klein y del plano proyectivo. Y ese fuejustamente el tema central que el joven Samuel abordara, por aproxi-madamente los primeros 15 anos de su carrera cientıfica, con notablesresultados, particularmente en el caso de los espacios proyectivos.

Alejandro nos ha platicado acerca del trabajo de Jose Adem enrelacion a las operaciones cohomologicas de Steenrod, sus relacionesuniversales, y las operaciones cohomologicas derivadas. En los albores

La obra matematica de Samuel Gitler 3

de su vida academica profesional, y junto con Jose, Samuel realizo unprofundo estudio de estas operaciones secundarias, aplicando el cono-cimiento ası desarrollado al problema de inmersion de variedades. Losresultados que obtuvieron fueron sobresalientes, particularmente en elcaso de los espacios proyectivos—que tradicionalmente han sido uno delos puntos de comparacion estandar para medir la fuerza de cada nuevoavance en el area. Para nuestros fines, la mejor forma de apreciar los al-cances de los primeros trabajos de la pareja Adem-Gitler es observandoel “antes y despues” en la escena matematica.

El problema de determinar la mınima dimension euclideana dondeun espacio proyectivo dado admite una inmersion es un problema enextremo difıcil, aun abierto en la actualidad, y que recientemente hagenerado un renovado interes debido a una conexion inesperada conproblemas clasicos en robotica. A finales de los 50’s, practicamenteno se conocıan inmersiones explıcitas de espacios proyectivos, mas quelas que se derivan del trabajo de Whitney, quien en la decada de los30’s habıa mostrado que, de hecho, toda variedad admite una inmersioneuclideana en dimension uno menos que el doble de la dimension dela propia variedad. Tambien se sabıa que, en el caso de un espacioproyectivo de dimension potencia de dos, la inmersion de Whitney serıaoptima, es decir que la variedad no admitıa una inmersion en una di-mension euclidena menor. Esta era, pues, la unica familia de inmer-siones optimas conocida a inicios de los 60’s. Pero el trabajo de Samuely sus colaboradores revoluciono tan incipiente panorama al establecer 3de las 7 familias de inmersiones optimas que se conocen en la actualidadpara espacios proyectivos.

De hecho, el papel de lıder mundial que Samuel ha jugado se apre-cia tanto por su prolıfica actividad cientıfica ya desde la decada de los60’s, como porque rapidamente se destaco como experto, no solo porestablecer multiples resultados optimos en el problema de inmersion devariedades, sino por el hecho mas importante aun de que, como veremosen breve, su trabajo moldeo, de forma sustancial, los futuros desarrollosde la topologıa algebraica.

En efecto, la profunda huella dejada por Samuel y sus colaboradoresen el problema de inmersion fue apenas el inicio de una espectacularcarrera cientıfica: el metodo de Adem y Gitler para analizar operacionescohomologicas de ordenes superiores trascendio debido, por una parte,al profundo enraizamiento de la tecnica dentro la teorıa de homotopıa,y por la otra, al extraordinario genio e increıble intuicion matematica

4 Jesus Gonzalez

que caracterizan a Samuel, mismas que invariablemente lo conducenal punto medular que resuelve el problema geometrico en turno. Peroconviene contextualizar el gran desarrollo que se avecinaba.

A inicios de los 50’s, Mikhail Postnikov introdujo un metodo parareconstruir el tipo de homotopıa de un espacio a partir de sus gru-pos de homotopıa. A finales de esa misma decada la construccion dePostnikov fue ampliada y refinada por John Moore, para producir unaextension natural de la teorıa de espacios cubrientes, en donde no solo elgrupo fundamental, sino todos los grupos de homotopıa juegan un pa-pel esencial. Sin embargo, aunque extremadamente poderosa, la teorıaresultante es particularmente difıcil de manipular en casos concretos. Afinales de los 60’s, este inconveniente fue subsanado por Samuel en co-laboracion con Mark Mahowald, quienes modificaron la teorıa de Moore-Postnikov mediante la introduccion de tecnicas del algebra homologica.El resultado fue un metodo altamente manipulable para evaluar opera-ciones cohomologicas de ordenes superiores y, consecuentemente, estu-diar de modo eficaz las propiedades homotopicas de diversos objetosgeometricos de interes. La idea es comparable a la posibilidad de re-construir un organismo a partir de su informacion genetica, solo que,en el caso matematico, esta posibilidad ha sido una autentica realidaddurante ya varias decadas.

La experiencia que Samuel desarrollo con este trabajo rindio frutosimportantes en muy poco tiempo. En colaboracion con Edgar Brown,Samuel construyo uno de los objetos matematicos de la mayor influenciaen el desarrollo de la topologıa moderna: el espectro de Brown-Gitler,introducido en 1973 en un artıculo seminal, y publicado en la principalrevista del area en aquel momento.

La motivacion original de tal trabajo fue particularmente ambiciosa:estudiar la naturaleza de las obstrucciones de orden mayor que surgendentro del problema de inmersion de variedades arbitrarias. El resul-tado fue una familia de teorıas de cohomologıa generalizada respecto ala cual todas las variedades son orientables, pero a diferencia de la co-homologıa singular con coeficientes modulo 2, la orientabilidad se lograde la manera mas limpia posible, en el sentido de que, si bien la orien-tacion modulo 2 de cualquier variedad se levanta canonicamente a losespectros de Brown-Gitler, en la cohomologıa modulo 2 de estos ultimosse han eliminado todas aquellas operaciones de Steenrod que de por sıse anulan en la clase de Thom del haz normal a cualquier variedad.


Debido a este alto contenido de informacion geometrica, no es desorprenderse que el espectro de Brown-Gitler resultara ser central enla teorıa de homotopıa moderna. En efecto, durante las ultimas cua-tro decadas este objeto ha jugado un papel especial en el avance y/oresolucion de problemas fundamentales en el area.

El primero y mas natural de estos problemas es la llamada “Conje-tura de Inmersion”, que afirma que toda variedad admite una inmersioneuclideana en poco menos que la dimension de Whitney. Este “pocomenos” se refiere al numero de 1’s que aparecen en la expresion bi-naria de la dimension de la variedad en cuestion. En el programa deRalph Cohen para resolver esta conjetura, el espectro de Brown-Gitleres utilizado en un paso clave a fin de identificar el tipo de homotopıadel espacio que clasifica los haces normales a las variedades de una di-mension dada cuando se insiste en ignorar las clases caracterısticas queno detectan a tales haces.

La segunda gran aplicacion del espectro de Brown-Gitler fue en laresolucion de uno de los problemas mas significativos en la teorıa dehomotopıa de los 80’s: la llamada “Conjetura de Sullivan”. En una desus multiples formas, este resultado describe la naturaleza homotopicadel espacio de funciones que parten del espacio clasificante de un grupodiscreto, y llegan a un espacio de lazos iterados de un complejo celu-lar finito. La conjetura afirma que, salvo homotopıa, las unicas talesfunciones son constantes. Haynes Miller probo la “Conjetura de Sul-livan” haciendo uso de la sucesion espectral de Adams que calcula losgrupos de homotopıa del espacio de funciones en consideracion. Laevaluacion del termino inicial de esta sucesion espectral requiere, a suvez, del uso de diversas sucesiones espectrales auxiliares. Miller uso elespectro de Brown-Gitler para probar que, de hecho, la primera de es-tas sucesiones auxiliares se aniquila despues de su primera diferencial.La importancia de esta aplicacion del espectro de Brown-Gitler radicaen sus multiples consecuencias dentro problemas fundamentales en lateorıa de homotopıa. Por ejemplo, la Conjetura de Sullivan implica unafamosa conjetura hecha en los 50’s por Jean-Pierre Serre, y que extiendesu estudio de la torsion en los grupos de homotopıa de esferas. La conje-tura de Serre se refiere al hecho de que cualquier complejo celular finitosin grupo fundamental y cuya homologıa contenga torsion primaria soloen una cantidad finita de dimensiones (como es el caso de las esferas),necesariamente tendra una infinidad de grupos de homotopıa con esamisma torsion primaria.

6 Jesus Gonzalez

La tercera aplicacion del espectro de Brown-Gitler que mencionarees de hecho no menos impresionante, pues esta directamente ligada alobjeto que acabamos de mencionar, y que es central en la topologıaalgebraica, a saber, los grupos de homotopıa de esferas. En los anos60’s Frank Adams introdujo una maquinaria (la sucesion espectral quelleva su nombre) para organizar estos grupos por “capas”, o filtraciones.Como escuchamos en la platica de Alex, el propio Adams demostro quesolo hay 4 elementos con invariante de Hopf unitario en los grupos dehomotopıa de esferas, que estos 4 elementos viven en filtracion 1, ycorresponden a las 4 unicas estructuras de algebras reales de divisionque existen: los reales, los complejos, los cuaternios y los octonios. Otroejemplo mas reciente fue anunciado en el 2009 durante la conferenciaorganizada en la Universidad de Edinburgo para celebrar el octogesimoaniversario de Sir Machael Atiyah. En esa ocasion, Mike Hill, MikeHopkins y Doug Ravenel reportaron que hay a lo mas 6 elementos coninvariante unitario de Kervaire, todos los cuales, se sabe, viven en fil-tracion 2. Este ultimo es un resultado espectacular debido a su relacioncon la clasificacion, en terminos homotopicos, de estructuras diferen-ciales exoticas en esferas.

Pero de regreso a la relevancia del espectro de Brown-Gitler en estecontexto, el punto que quiero marcar aquı es que los dos fenomenosanteriores (la finitud de elementos con invariantes unitarios de Hopf yde Kervaire) apuntan en la direccion de una conjetura hecha por JoelCohen en 1970, y que domino la atencion topologica de esa decada. Laconjetura afirmaba que, en una filtracion dada, solo podrıa haber unacantidad finita de elementos de grupos de homotopıa de esferas. Peroa finales de los 70’s Mahowald observo que el espectro de Brown-Gitlersurge como una pieza clave en la descomposicion estable de algunos es-pacios de lazos iterados de esferas. Esto condujo a la costruccion defamilias infinitas de elementos en los grupos de homotopıa de esferasdentro de una misma filtracion, echando por tierra la tan popular con-jetura de Cohen.

Por su trascendencia, estas tres apariciones del espectro de Brown-Gitler son representativas de la marcada influencia Gitleriana en el de-sarrollo de la topologıa algebraica durante las ultimas 5 decadas. Dehecho, la tecnologıa detras del espectro de Brown-Gitler llego a ser tanimportante desde los 80’s que, en junio de 1985, la Sociedad MatematicaEstadounidense organizo un simposio con ese tema.

Samuel es un cientıfico desbordante de energıa y apasionado de su


labor. Su incansable investigacion cientıfica queda patente al obser-var que, solo durante los dos ultimos anos, ha producido 7 artıculosfascinantes sobre la topologıa de las variedades toricas y los comple-jos de momento angular—su reciente pasion. ¡Este ritmo de trabajopracticamente duplica el promedio mundial de produccion de artıculospor ano entre los mejores topologos del mundo!

Esta alta calidad cientıfica es ampliamente reconocida. En Mexico,Samuel recibio el Premio Nacional de Ciencias en 1976, es miembro deEl Colegio Nacional desde 1986, y fue representante de Mexico ante laUnion Matematica Internacional en 1975. Ha sido invitado a institu-ciones internacionales de reconocida investigacion cientıfica, como son elInstituto de Estudios Avanzados de Princeton, el Instituto de Tecnologıade Massachussets, y el Instituto de Estudios Superiores de Francia. Havisitado multiples universidades de primer nivel entre las que figuranHarvad, Yale, Chicago, Northwestern, Berkeley, Montreal, Cambridge,Manchester, Oxford, Bonn, y Jerusalem.

Pero este genio no solo ha destacado en la ciencia; su afable per-sonalidad aunada a un carisma natural lo ha colocado como el lıderindiscutible de sus multiples grupos de trabajo. La lista de sus co-laboradores cientıficos no se reduce solo a sus coautores; han sido dehecho muchos los matematicos con los que Samuel ha colaborado, in-tercambiando ideas matematicas, y disfrutando del placer de descubrirfenomenos y propiedades geometricas profundas. Estas relaciones detrabajo a menudo han trascendido para formar fuertes lazos de amistadque Samuel ha sabido cultivar con esmero a traves de los anos.

Pero tan importante es el hacer matematicas del mas alto nivel,como saber trasmitir el gusto por las mismas a las nuevas generaciones.En el caso de Samuel, esta maxima tiene un acento especial pues, juntocon figuras como Adem y Lefschetz, Samuel es forjador de una solidaEscuela de Topologıa Mexicana. Para poder apreciar esta aseveracionen su cabal magnitud, debemos comenzar por notar que, a modo global,la ciencia moderna en Mexico surgio como tal hace aproximadamente70 anos, con la decada de los 50’s como periodo de consolidacion dela profesion cientıfica nacional. Sin embargo, al particularizar al casode las matematicas, la situacion tiene un desfazamiento de aproximada-mente diez anos. Por una parte, aun a inicios de los 50’s, el quehacermatematico difıcilmente se hubiera podido considerar una actividad pro-fesional en nuestro paıs. Si bien existıan matematicos talentosos, la in-fraestructura mınima para un desarrollo firme y saludable simplemente

8 Jesus Gonzalez

no existıa. Pero el final de la Segunda Guerra Mundial traerıa con-secuencias favorables para la ciencia matematica en Mexico. En 1944comenzo una larga serie de visitas a nuestro paıs por parte de SolomonLefschetz, una figura singular pero central en la vision moderna de latopologıa algebraica. Durante estas estancias, Lefschetz pudo detec-tar jovenes matematicos brillantes, entre los que destacan Jose Ademy Samuel Gitler, quienes fueron enviados a Princeton a realizar sus es-tudios doctorales. La semilla estaba sembrada y germino en el anode 1961, con un repentino cambio en la concepcion cientıfica nacional,cristalizado en la creacion de nuestro centro de investigacion, teniendocomo uno de los departamentos fundadores el de Matematicas, y a lamancuerna Adem-Gitler como el motor principal. Esta afortunada com-binacion garantizo el inicio de un desarrollo vertiginoso de la cienciamatematica mexicana, pues en tan solo 10 anos de actividad se con-taba con el amplio reconocimiento de la comunidad cientıfica interna-cional, tanto en la investigacion de vanguardia, como en la esmeradapreparacion de recursos humanos de alta calidad.

En conclusion, por medio de su talento, ensenanzas y liderazgo,Samuel Gitler, junto con Jose Adem y Solomon Lefschetz, han sidolos forjadores de una solida Escuela Mexicana de Topologıa.

Por todo esto, gracias, Samuel.

Jesus Gonzalez Espino BarrosDepartamento de Matematicas,Cinvestav,A.P. 14-740, Mexico D.F., 07000,[email protected]


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Resumen

le,bmaLedametsislearapacimanidedaicnetsixealsomaborPednoicaucealaadalpocaadnoednoicauceanuedetsisnoclauc

movimiento de una partıcula de masa m = 0 sujeta a un campo defuerza no lineal. Tal sistema es no lineal conservativo y reversiblecon respecto al tiempo.

2010 Mathematics Subject Classification: 37K05, 35A05, 35A30.Keywords and phrases: Ecuacion de ondas, sistema conservativo, fun-cion hamiltoniana, descomposicion de D’Alembert distribucional.

noiccudortnI.1

En muchas ecuaciones en derivadas parciales lineales y no lineales-nocsetnenopmocsusedsonimretneacimanidusravresbolituyumse-auceedopitetseednoicisopmocsedaL.salucıtrapomocsalodnaredisedsonimretneetnelaviuqenoicpircsedanurenetboetimrepsonsenoicledelbasnopserseyatinfinoisnemidedseoremirple:sametsisbussod

comportamiento, como partıcula (o estado ligado) de una parte de la so-edsonimretsoL.ovisrepsidyatinfininoisnemidedseodnugesle;noicul,noiculosaledacimanidalomocedselbasnopsersolnosotneimalpocaopmacleomocy)oidemo(opmacleneeyuflni,alucıtrapomocatsivomocatsiv,noiculosaledacimanidalneeyuflniovisrepsidsadnoed

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1 -usalojabozilaerrotualeeuqlarotcodnoicagitsevnialedetrapseolucıtraetsE,HNSMU,sacitametaMyacisıFedotutitsnIlenenozreM.EilotanA.rDlednoisivreplenocotnocojabartlE.MANU-HNSMUotnujnoCodargsopedamargorpledortned

apoyo financiero del CONACyT.

9

10 Marco Taneco

El sistema de Lamb fue el primer modelo fısico, introducido porH. Lamb (1900), que describe la radiacion amortiguada (fenomeno queproviene de la electrodinamica clasica [9]). Dicho sistema esta compuestopor un oscilador que se encuentra acoplado a una cuerda de longitudsemi-infinita y Lamb lo uso para describir oscilaciones (vibraciones) deun nucleo en un medio extendido. El oscilador transfiere energıa a lacuerda generando ondas que se propagan a lo largo de esta. El modelode Lamb representa tambien un ejemplo de un sistema en el que existentransiciones entre sus estados estacionarios [14].

Si la fuerza externa es lineal: F (y) = !!2y, ! > 0, H. Lamb [18], fueel primero en estudiar el sistema para explicar aspectos de las solucionesen un dominio infinito. Si la fuerza externa es no lineal y la masa dela partıcula es m " 0, Keller y Bonilla [10] investigaron tal modelopara analizar interrogantes sobre la irreversibilidad y no recurencia. En[11, 13, 15] A. Komech estudia el sistema de Lamb demostrando porprimera vez la existencia de un atractor global minimal y en [7] seestudian regimenes meta estables, para un sistema de Lamb estocastico.

La existencia de una dinamica del sistema de Lamb, para el casom "0 con datos iniciales con soporte compacto, fue tratada en [11, 12, 13],y en [15] se presentan generalizaciones de los artıculos anteriores. Enel presente artıculo se considera el caso m = 0 y datos iniciales masarbitrarios, empleando los mismos metodos pero realizando las pruebascompletas y simplificando argumentos.

Otros trabajos relacionados con este topico de investigacion parasistemas tipo Lamb son los siguientes: los metodos y resultados de[14, 13, 15] se aplicaron y extendieron para tratar el problema del anali-sis de estabilidad e inestabilidad en algunos sistemas lineales de tipoLamb [5]. El artıculo [4] usa la teorıa de dispersion de Lax-Phillips enmodelos lineales de tipo Lamb y establece la existencia de una dinamicapara cierta clase de sistemas no lineales. En [12] se estudia un sistemade ecuaciones del tipo (1) que modela el caso de una cuerda infinitaacoplada a un numero finito N de osciladores no lineales los cuales afec-tan a N partıculas de masas mi = 0, i = 1, · · · , N atadas a la cuerda,aquı solo se demuestra la existencia de un atractor minimal asociado atal modelo.

En todos los artıculos anteriores el sistema de Lamb es citado comoel ejemplo mas simple no trivial de un sistema no lineal conservativoreversible con respecto al tiempo que permite analizar diversas interro-gantes. En [19] se demuestra, por primera vez para el caso m = 0, quetodas las soluciones de energıa finita del sistema de Lamb convergen a

Dinamica del sistema de Lamb 11

un atractor global con respecto a la norma de energıa local y se descubreel caracter de la convergencia, es decir, se describe la asintotica de cadasolucion de energıa finita cuando t ! ±". Y en [16] se hace lo mismopara el caso m > 0.

2. El sistema de Lamb

Consideremos el sistema acoplado

!"#

"$

u(x, t) = u!!(x, t), x # R\{0},

0 = F (y(t)) + u!(0+, t)$ u!(0$, t);y(t) := u(0, t),

%%%%%%%t # R,(1)

en donde, u % !u!t , u

! % !u!x y ası sucesivamente para las derivadas de

orden 2. Las soluciones u(x, t) toman valores en Rd con d & 1. En todoel artıculo las derivadas se entenderan en el sentido de distribuciones[22] a menos que se especifique lo contrario.

Fısicamente (en dimension d = 1) el sistema (1) describe pequenasoscilaciones transversales de una cuerda de longitud infinita que se en-cuentra estirada paralelamente al eje Rx; una partıcula de masa m = 0es atada a la cuerda en el punto x = 0; la fuerza externa F (y) es un cam-po vectorial no lineal, perpendicular a Rx que actua sobre la partıcula(ver Figura 1). En dimensiones d & 2, el modelo de Lamb constituye

Figura 1: Cuerda infinita acoplada a un oscilador.

un sistema de d ecuaciones escalares y podrıa modelar la interaccion

12 Marco Taneco

de d cuerdas que interactuan con un oscilador no lineal. El caso escalarcomplejo corresponde a d = 2.Si la dimension de la variable espacial x es n = 2 el sistema de Lambpodrıa usarse como un modelo simple para estudiar terremotos.

Observacion 2.1. 1. La segunda ecuacion exhibe que la derivada de lasolucion del problema (1) en los puntos (0, t), en general, es discontinua(si F (y) !" 0) (vease Figura. 1.1). Esto significa, en particular, que siu(x, 0) # C!(Rx;Rd) y F (u(0, t)) !" 0, entonces la segunda ecuacion nose cumple en el punto t = 0. Por lo tanto, no debemos entender estaecuacion en el sentido “puntual”. En la Observacion 6.2.4 precisaremosel sentido de la segunda ecuacion de (1).

2. El sistema (1) es formalmente equivalente a una ecuacion de ondano lineal d-dimensional cuyo termino no lineal, concentrado en el puntox = 0, tiene la forma !(x)F (u), a saber:

(2) u(x, t) = u""(x, t) + !(x)F (u(x, t)), (x, t) # R2.

Es importante hacer notar que tal equivalencia es solo formal.3. El sistema (1) es reversible formalmente, es decir, no cambia su

forma despues de hacer el cambio de variable t $% &t. En efecto, con-sideremos u1(x, t) := u(x,&t). Obviamente !2

!x2u1(x, t) =!2

!x2u(x,&t) y!2

!t2u1(x, t) =!2

!t2u(x,&t). Entonces, la primera ecuacion para u1 en (1)se cumple formalmente. Ademas u"1(0+, t) = u"(0+,&t) y u"1(0&, t) =u"(0&,&t). Ya que y(t) = u(0, t), entonces y(&t) = u(0,&t) = u1(0, t).De esta forma por la segunda ecuacion de (1)

F!u1(0, t)

"+ u"1(0+, t)& u"1(0&, t)

= F!y(&t)

"+ u"(0+,&t)& u"(0&,&t)

#t $%"= F

!y(")

"+ u"(0+, ")& u"(0&, ") = 0.

Esto significa que tambien la segunda ecuacion para u1 en (1) se cumpleformalmente. Notemos que todavıa no precisamos el sentido de estaecuacion. Entonces el sistema de Lamb (1) es reversible.

3. El problema de Cauchy

Consideremos el sistema (1) junto con las condiciones iniciales

(3) u(x, t)|t=0 = u0(x), u(x, t)|t=0 := v(x, t)|t=0 = v0(x).


Definimos

Y (t) :=!u(x, t), v(x, t)

", Y0 :=

!u0(x), v0(x)

",

V(Y (t)) =!v(x, t), u!!(x, t) + !(x)F (u(x, t))

".

(4)

Entonces, el problema de Cauchy (1), (3) como un sistema dinamico seescribe como

#Y (t) = V

$Y (t)

%, t ! R

Y (0) = Y0.(5)

En efecto, el sistema acoplado (2) (el cual es formalmente equivalentea (1)) puede escribirse como el sistema de ecuaciones

u(x, t) = v(x, t),

v(x, t) = u!!(x, t) + !(x)F (u(x, t)).(6)

Observacion 3.1. Notemos que u!!(x, t) en (6) tiene sentido como laderivada en el sentido de Sobolev [6]. En efecto, podemos definir parau1 ! E1 := C(R;Rd) " {u1 | u1 ! L2(R;Rd)}

#u!!(x, ·), u1(x)$ = %#u!(x, ·), u!1(x)$ = %&

R

u!(x, ·)u!1(x) dx

y lo ultimo tiene sentido ya que u! y u!1 pertenecen a L2(R;Rd). Siconvenimos en tratar a la segunda derivada en este sentido entonces sepuede demostrar que el sistema (6) es formalmente hamiltoniano (vease[21]).

4. Espacio de fases y estructura hamiltonianadel sistema de Lamb

En esta seccion vamos a introducir el espacio de fases E de los es-tados con energıa finita para el sistema (1). Denotaremos por || · || y|| · ||R la norma en los espacios de Hilbert L2(R;Rd) y L2(IR;Rd), res-pectivamente, en donde IR := (%R,R) & R, generados por los produc-tos escalares:

'f(x), g(x)

(L2(R;Rd)

:=)

Rf(x) · g(x)dx, en donde, a · b :=

d*i=1

aibi, para a, b ! Rd. Similarmente se define'f(x), g(x)

(L2(IR;Rd)

. Y

|a| :=+

a21 + · · ·+ a2d .

14 Marco Taneco

Definicion 4.1 (Los espacios de fases E y ER). 1. El sımbolo E deno-tara a el espacio de Hilbert de las parejas (u(x), v(x)) ! C(R;Rd) "L2(R;Rd) con u!(x) ! L2(R;Rd) y la norma de energıa global

(7) ||(u, v)||E := ||u!||+ |u(0)|+ ||v||.

2. El sımbolo EF denotara a el espacio lineal E dotado con la topologıagenerada por la familia de semi normas de energıa local

(8) ||(u, v)||ER:= ||u!||R + |u(0)|+ ||v||R, R > 0.

3. YnEF###$

n"#Y si y solo si ||Yn # Y ||ER

$ 0, para todo R > 0.

Observacion 4.2. 1. Notemos que la derivada u! en la definicion an-terior se entiende en el sentido generalizado D!(R;Rd). Ya que u!(x) !L2(R;Rd), entonces u!(x) existe, salvo un conjunto de medida cero, y co-mo distribucion coincide con la derivada generalizada, vease por ejemplo[17, pagina 15].

2. El espacio EF es un espacio metrizable, ya que la topologıa en EF

se determina por la familia numerable de semi normas || · ||n, n ! N,pero no completo y por lo tanto no es un espacio de Frechet.

Caracter conservativo de la fuerza no linealDenotaremos por V (y) = #

!F (y)dy a la energıa potencial del cam-

po vectorial externo. Supongamos que F (y) : Rd #$ Rd proviene deuna funcion potencial real V : Rd #$ R, V ! C2:

F (u) ! C1(Rd;Rd), F (u) = #%V (u), u ! Rd,(9)

V (u) #####$|u|"+#

+&.(10)

La condicion (10) implica que existe una constante V0 ! R de tal maneraque

(11) V (u) ! V0, ' u ! Rd.

En la Figura 2 mostramos un ejemplo para la fuerza externa F conenergıa potencial V en el caso d = 1:

F (u) = u# u3, V (u) =1

4(u2 # 1)2, u ! R.


Figura 2: Ejemplo de una fuerza consevativa

Proposicion 4.3. [21, Proposicion 1.5, Capıtulo 1] Bajo las suposicio-nes (9), (10), el sistema (2) es formalmente un sistema hamiltonianoen el espacio de faces E con funcional hamiltoniana (energıa total)

(12) H(u, v) =1

2

!

R

"|v(x)|2 + |u!(x)|2

#dx+ V (u(0)),

para (u, v) ! E.

La idea para mostrar la proposicion anterior es verificar que H satis-face las ecuaciones de Hamilton para las funciones (campos) u(x) y v(x).

En la siguiente seccion enunciamos el teorema principal del artıcu-lo, el cual describe todas las soluciones del sistema de Lamb (1) quepertenecen a E, y muestra que existe una cantidad suficiente de ellas.

5. Construccion de la dinamica del sistema deLamb (5)

En el siguiente resultado describe la dinamica del sistema acoplado(1). El caso m " 0 esta considerado en [13] para condiciones inicialesmas particulares.

16 Marco Taneco

Teorema 5.1 (Principal). [19, 21] Supongamos que m = 0 y que sesatisfacen las condiciones (9), (10). Entonces,

1. (Existencia, unicidad y continuidad de Y (t)) Para cada Y0 ! E

el problema de Cauchy (5) admite una solucion unica Y (t) !C(R;E).

2. La transformacion U(t) : Y0 "# Y (t) es continua en E y en EF .

3. La energıa del sistema de Lamb (5) se conserva

(13) H(Y (t)) = H(u(·, t), v(·, t)) = const, t ! R, (u, v) ! E.

en donde, H se define como en (12).

4. Se cumple la siguiente cota a priori

(14) supt!R

$Y (t)$E < %.

Dedicaremos lo que resta del presente artıculo a demostrar el teo-rema anterior. Con el objeto de demostrar la existencia y unicidad desoluciones para el sistema acoplado (1), es necesario obtener la des-composicion de D’Alembert para la ecuacion de onda

!u(x, t) := u(x, t)& u""(x, t) = 0

en la clase de distribucionesD"(!±;Rd), en donde !± son los semiplanosderecho e izquierdo en el plano (x, y). Mencionamos que dicha descom-posicion es analoga a la bien conocida descomposicion de D’Alemberten C2(R2;R) (vease por ejemplo, [22, pagina 201]). En el Apendice resu-mimos las principales construcciones.

6. Unicidad de la solucion del sistema de Lamb

En esta parte probaremos el primer punto de la Teorema 5.1. Esdecir, demostraremos la existencia y unicidad de una solucion Y (t) !C(R;E), para cada estado inicial Y0 ! E, del sistema (1); en la seccion 7probaremos la continuidad de la misma. Estableceremos la unicidad de

la solucion Y (t) =!u(·, t), u(·, t), y(t)

"! C(R;E) suponiendo que tal so-

lucion existe. Al mismo tiempo, obtendremos un metodo para construiruna solucion. De esta forma estaremos probando tambien la existencia.En virtud del Teorema A.4 tenemos


Teorema 6.1. Para u ! D!(!±;Rd) las aseveraciones 1 y 2 son equi-valentes1. u(x, t)" u!!(x, t) = 0, (x, t) ! !" #!+.2. Existen f±, g± ! D!(R;Rd) tales que la distribucion u satisface ladescomposicion de D’Alembert

(15) u(x, t) =

!f+(x" t) + g+(x+ t), x > 0,f"(x" t) + g"(x+ t), x < 0,

"""" t ! R.

3. Si u(x, t) admite otra representacion del tipo (15) con f±, g± !D!(R;Rd), entonces existen C± tales que se cumple

(16) f± = f± " C±, g± = g± + C±.

6.1. Analisis de las propiedades de las soluciones del sis-tema de Lamb a partir de la existencia de su dinami-ca

El siguiente resultado nos dice que la continuidad de la solucionu(x, t) se sigue a partir de la continuidad de la dinamica de Y (t) (supo-niendo que esta existe).

Proposicion 6.1.1. [21, Proposicion 3.3, Capıtulo 2]Si Y (t) =

#u(·, t), u(·, t)

$! C(Rt;E) entonces u(x, t) ! C(R2;Rd).

Corolario 6.1.2. Bajo las suposiciones de la proposicion anterior lasiguiente funcion es continua

(17) R $ t %& u(·, t) ! C(R;Rd).

Ahora podemos decir que si u(x, t) satisface el sistema de Lamb yla dinamica es continua, entonces las funciones f±, g± que aparecen enel desarrollo de D’Alembert (15) son continuas:

Corolario 6.1.3. Si u(x, t) ! D!(!±;Rd) es la solucion del problema deLamb (1) y la dinamica Y (t) ! C(Rt;E), entonces las funciones f±, g±que estan presentes en (15) son continuas.

El siguiente lema tiene caracter tecnico y se usa en la siguiente sub-seccion para el estudio de las funciones u(x, t) y u!(x, t). La prueba deeste resultado usa esencialmente la continuidad de v(·, t) como funcionde t, la continuidad de la norma || · ||L2([x1,x2];Rd) y el teorema de Fubi-ni [1].

18 Marco Taneco

Lema 6.1.4. Sea v(·, t) : Rt ! L2(Rx;Rd) continua. Entonces, v(x, t) "L2

loc(R2;Rd).

A continuacion explicaremos el sentido del problema de Cauchy quedefine el sistema de Lamb.

6.2. Disertacion del problema de Cauchy

Estamos interesado en soluciones u(x, t) del problema de Cauchy (1),(3) tales que

(18) Y (t) =!u(·, t), u(·, t)

"" C(R;E).

Vamos a precisar la definicion de los datos de Cauchy (3) para solucionesY (t) " C(R;E). La funcion u(x, t) satisface la ecuacion de D’Alembert(primera ecuacion de (1)). Por lo tanto, el Teorema 6.1 implica el desa-rrollo (15) para algunas funciones f±, g±. Fijemos estas funciones a par-tir de ahora. Ahora, ya que Y (t) " C(R;E), entonces u(x, t) " C(R2;Rd)por Proposicion 6.1.1 y f+, g+ " C(R;Rd) por el Corolario 6.1.3. Por lotanto podemos ahora sustituir t = 0 en el desarrollo (15) y obtener,

(19) u0(x) = u(x, 0) =

#f+(x) + g+(x), x > 0

f!(x) + g!(x), x < 0.

Ahora derivando (15) con respecto a t y a x en el sentido de D"(!±;Rd)obtenemos

(20) u(x, t) =

##f "

+(x# t) + g"+(x+ t), x > 0

#f "!(x# t) + g"!(x+ t), x < 0

$$$$$ t " R.

(21) u"(x, t) =

#f "+(x# t) + g"+(x+ t), x > 0

f "!(x# t) + g"!(x+ t), x < 0

$$$$$ t " R.

Por definicion del espacio E (vease Definicion 4.1) tenemos que lasfunciones u(·, t), u"(·, t) : Rt ! L2(Rx;Rd) son continuas, luego podemosaplicar el Lema 6.1.4 con v = u y v = u" para obtener

(22) u(x, t), u"(x, t) " L2loc(R2;Rd).

Esto implica, por el Corolario A.6, ii)

(23) f "±(!), g

"±(") " L2

loc(R;Rd).

Notemos que las partes derechas en (20) y (21) admiten restriccionessobre las rectas t = b y x = a respectivamente en el siguiente sentido:


Definicion 6.2.1. Sea h(!) ! L2loc(R!;Rd). Consideremos la funcion de

dos variables h(x " t). Definimos la restrciccion de h(x " t) a la lıneat = b como la funcion h(x" b).

Afirmamos que h(x " b) realmente es una restriccion en el sentidoque h(x" t) ""#

t!bh(x" b), en L2

loc(R;Rd). Esto se sigue de un teorema

conocido (vease por ejemplo [3, paginas 255-257]). Ahora dado que secumple (23), podemos tomar las restricciones de u(x, t) a la lınea t = 0usando (20). Esto nos permite enunciar las siguientes definiciones:

Definicion 6.2.2. Para u(x, t) ! E que satisface la primera ecuacionde (1), colocamos

(24) v0(x) := u(x, 0) =

!"f "

+(x) + g"+(x), x > 0

"f "#(x) + g"#(x), x < 0,

con u(x, 0) ! L2loc

"R;Rd

#.

Notemos que por Teorema 6.1 inciso 3 v0(x) no depende de la elec-cion de f±, g± en (15). Analogamente la siguiente definicion da sentidoa la segunda ecuacion del sistema de Lamb (1).

Definicion 6.2.3. En la segunda ecuacion de (1), definimos

(25) u"(0±, t) := f "±("t) + g"±(t), t ! R.

Observacion 6.2.4. 1. Ahora podemos precisar el sentido de la segundaecuacion de (1). La Definicion 6.2.3 y (23) implican que

u"(0+, t), u"(0", t) ! L2loc(R;Rd).

Esto nos permite entender a la segunda ecuacion de (1) en el sentidoD"(Rt;Rd) (y no puntualmente ver Observacion 2.1).

2. En esta forma precisamos el sentido de los datos de Cauchy (3).

6.3. Expresion de la solucion del sistema de Lamb abajode las caracterısticas

A continuacion expresamos las funciones de la descomposicion deD’Alembert en terminos de los datos iniciales.

20 Marco Taneco

Lema 6.3.1. Sea Y (t) ! C(R;E). Si u es una solucion del sistemaacoplado (1) y satisface las condiciones iniciales (3), entonces existenC± ! R tal que

f±(z) =1

2u0(z)"

1

2

z!

0

v0(!)d!+ C±, ±z > 0

g±(z) =1

2u0(z) +

1

2

z!

0

v0(!)d!" C±, ±z > 0.

(26)

Nota 6.3.2. A pesar de que f+(z) ! D!(R;Rd), la primera formulade (26) se cumple unicamente para z > 0. Para z < 0 aun no hemosdefinido la forma de f+(z) (en la subseccion 6.4 se definira). Comentariossimilares se pueden hacer para g+, g" y f".

Observacion 6.3.3. 1. Vamos a cambiar las funciones f±, g± fijadas alinicio de la subseccion por

(27) f± = f± " C±, g± = g± + C±.

Claro que el desarrollo (15) con estas funciones se sigue cumpliendo asicomo tambien las formulas (26). Por lo tanto, podemos asumir en losucesivo que

(28) C± = 0.

2. Notemos que a partir de la expresion (26), el hecho que (u0, v0) ! E

y la definicion de E, tenemos que

f !±(z), g

!±(z) ! L2(R±;Rd),(29)

f±(z), g±(z) ! C(R±;Rd)(30)

en donde, R± #"x ! R | ± x > 0

#.

La solucion del problema de Lamb es unica bajo las caracterısticasy se expresa por las formulas de D’Alembert por medio de los datosiniciales:

Proposicion 6.3.4. La formula usual de D’Alembert es valida en laregion |x| $ |t|:

(31) u(x, t) = 1

2

$u0(x" t) + u0(x+ t)

%+ 1

2

x+t!

x"t

v0(!)d!, |x| $ |t|.


Demostracion. De (26) (recordando que ahora C± = 0) se siguen lasecuaciones:

(32)1

2u0(x! t)! 1

2

x!t!

0

v0(!)d! =

"f+(x! t), x! t " 0;

f!(x! t), x! t # 0.

(33)1

2u0(x+ t) +

1

2

x+t!

0

v0(!)d! =

"g+(x+ t), x+ t " 0;

g!(x+ t), x+ t # 0.

Luego, sumando se tiene

1

2

#u0(x! t)+u0(x+ t)

$+

1

2

x+t!

x!t

v0(!)d! =

"f+(x! t) + g+(x+ t), x " |t|;

f!(x! t) + g!(x+ t),!x " |t|.

La formula de D’Alembert (31) se sigue de las ecuaciones anteriores yla descomposicion (15). !

Corolario 6.3.5. La solucion del problema de Lamb u(x, t) por abajo delas caracterısticas es unica y se expresa por las formulas de D’Alembert(31).

En la siguiente subseccion damos una expresion para la solucionu(x, t) en la region |x| < |t|.

6.4. Expresion de la solucion a el sistema de Lamb en laregion |x| < |t|. La ecuacion reducida

Mostraremos la unicidad de la solucion u(x, t) en la region |x| <|t|. Consideraremos el caso t > 0, para t < 0 se procede de manerasimilar. Para tal fin construimos una ecuacion diferencial ordinaria no-lineal que nos permitira efectuar la demostracion de la unicidad en dicharegion. Para construir la solucion u(x, t) en la region |x| < t usaremosla descomposicion de D’Alembert (6.1). Notemos que para x > 0 lafuncion g+(x+ t) es conocida para t > 0 por (33), en cambio la funcionf+(x! t) es desconocida para 0 < x < t. De manera similar la funcionf!(x ! t) es conocida para x < 0 y t > 0 por (32), pero g!(x + t)es una funcion desconocida para !t < x < 0. Por lo tanto, tendremosque encontrar las funciones f+(z) para z < 0 y g!(z) para z > 0. Para

22 Marco Taneco

hallar esas funciones desconocidas, deduciremos una ecuacion diferencialordinaria no-lineal para

(34) y(t) := u(0, t).

Primero, las condiciones iniciales (3) implican que

(35) y(0) = u0(0),

ya que u(x, t) ! C(R2;Rd) por Proposicion 6.1.1. Luego introduciendo lafuncion y(t) = u(0, t), obtenemos que y(t) ! C(R;Rd) por continuidadde u(x, t).

Lema 6.4.1. Para cada solucion Y (t) =!u(·, t), u(·, t)

"! C(R;E) del

sistema (5) la funcion y(t) := u(0, t) es una solucion de las ecuacionesreducidas en D!(Rt;Rd)

0 = F!y(t)

"" 2y(t) + 2win(t), t ! R,(36)

0 = F!y(t)

"+ 2y(t)" 2wout(t), t ! R,(37)

en donde, la funcion win(t) es la suma de las ondas incidentes (para tpositivos) en el punto x = 0:

(38) win(t) := g+(t) + f"("t), t ! R

y wout(t) es la suma de las ondas reflejadas (para t negativos) en elpunto x = 0:

(39) wout(t) := g"(t) + f+("t), t ! R.

Ademas, se cumple

(40) win(t) ! L2(R+;Rd), wout(t) ! L2(R";Rd).

Demostracion. Mostremos que la trayectoria y(t) satisface la primeraecuacion. La descomposicion (15) y el hecho que u(x, t) ! C(R2;Rd)implica

y(!) := u(0+, !) = u(0", !) = f+("!) + g+(!)

= f"("!) + g"(!), ! ! R.(41)

Diferenciando en el sentido D!(R;Rd) obtenemos

(42) y!(!) = "f !+("!) + g!+(!) = "f !

"("!) + g!"(!), ! ! R.


Luego por (23) obtenemos que y!(!) ! L2loc(R;Rd).

Expresamos las ondas reflejadas en terminos de las ondas incidentesy de la trayectoria y(t). Las igualdades (41) implican

f+("!) = y(!)" g+(!), g"(!) = y(!)" f"("!), ! ! R.(43)

Esto implica

f+(x" t) = y(t" x)" g+(t" x),

g"(x+ t) = y(t+ x)" f"("t" x).

!!!!! x, t ! R.(44)

Sustituyendo f+ y g" de las ecuaciones anteriores en (15) obtenemos

(45) u(x, t) =

"y(t" x)" g+(t" x) + g+(x+ t), x > 0,

y(t+ x)" f"("t" x) + f"(x" t), x < 0,

!!!!! t ! R.

Derivando (43) en el sentido D!(R;Rd) tenemos

f !+("t) = "y!(t) + g!+(t), g!"(t) = y!(t) + f !

"("t) t ! R.

Luego en virtud de la Definicion 6.2.3 obtenemos

u!(0+, t) = "y(t) + 2g!+(t), u!(0", t) = y(t) + 2f !"("t), t ! R.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la segunda ecuacion del siste-ma (1), obtenemos

0 = F (y(t))" 2y(t) + 2#g!+(t)" f !

"("t)$, t ! R.

Por lo tanto, la ecuacion reducida (36) se sigue de la definicion de win

(38). Finalmente, (40) se obtiene de (38) y (29).Por ultimo mostremos que y(t) satisface la ecuacion (37). Expresa-

mos las ondas incidentes g+ y f" en terminos de las ondas reflejadas yla trayectoria y(t). De (41) tenenos

g+(!) = y(!)" f+("!), f"("!) = y(!)" g"(!), ! ! R.(46)

Esto implica

g+(x+ t) = y(x+ t)" f+("x" t),

f"(x" t) = y("x+ t)" g"("x+ t).

!!!!! x, t ! R.(47)

24 Marco Taneco

Sustituyendo g+ y f! de las ecuaciones anteriores en (15) obtenemos(48)

u(x, t) =

!y(x+ t) + f+(x! t)! f+(!x! t), x > 0,

y(!x+ t)! g!(!x+ t) + g!(x+ t), x < 0,

""""" t " R.

Derivando (46) en el sentido D"(R;Rd) tenemos

g"+(!) = y"(!) + f "+(!!), !f "

!(!!) = y"(!)! g"!(!), ! " R.(49)

Luego en virtud de la Definicion 6.2.3 obtenemos

u"(0+, t) = y"(t) + 2f "+(!t), u"(0!, t) = !y"(t) + 2g"!(t), | t " R.

(50)

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la segunda ecuacion del siste-ma (1) obtenemos

(51) 0 = F#y(t)

$+ 2y(t)! 2

#g"!(t)! f "

+(!t)$, t " R.

Por lo tanto, la ecuacion reducida (37) se sigue de la definicion de wout,(39). Finalmente, la segunda expresion de (40) se obtiene de la definiciony de (29). !

Corolario 6.4.2. Si existe una solucion u(x, t) a el sistema de Lamb(1) en la region 0 # |x| < t, t > 0, entonces u(x, t) se expresa mediante(45) y es unica.

De manera analoga se tiene un resultado cuando t < 0 y cuya de-mostracion es similar.

Corolario 6.4.3. Si existe la solucion u(x, t) a el sistema de Lamb (1)en la region t < |x| # 0, t < 0, entonces u(x, t) se expresa mediante(48) y es unica.

6.4.1. Existencia y unicidad local de las soluciones de la ecua-cion reducida

Demostramos que existe una unica solucion local para el problemade Cauchy (36), (35), en una clase de las funciones continuas, usando elPrincipio de Contraccion2

2Definicion. Sea (X, !) un espacio metrico. Si existe un numero L < 1 tal que lafuncion f : X ! X satisface la desigualdad !(f(x1), f(x2)) " L!(x1, x2), para todox1, x2 # X, entonces decimos que f es una contraccion en X.

Teorema. Sea (X, d) es un espacio metrico completo. Si f : X ! X es unacontraccion en X, entonces existe un unico a # X tal que f(a) = a.


Definicion 6.4.1.1. Sea I! := [0, !). Definimos el espacio de funcionesL21(I!;Rd) por

(52) L21(I!;Rd) :=

!y ! C(I!;Rd) | y ! L2(I!;Rd)

",

con la norma

(53) "y"L21(I!;Rd) := "y"L2(I!;Rd) + |y(0)|

en donde, la derivada de y se entiende en el sentido de distribuciones.

Observacion 6.4.1.2.#L21(I!;Rd), "·"L2

1(I!;Rd)

$es un espacio de Ba-

nach.

No es difıcil demostrar que

Lema 6.4.1.3. Si y ! L21(I!;Rd) con y(0) = 0, entonces

(54) "y"L2(I!;Rd) # ! "y"L21(I!;Rd) .

Sea M! :=!y ! L2

1(I!;Rd) | y(0) = u0". Es claro que M! es ce-

rrado en L21(I!;Rd), luego M! es un espacio metrico completo con la

metrica generada por la norma (53). Consideremos el operador integralA : M! $ M! definido por

(55) (Ay)(t) :=1

2

% t

0F (y("))d" +

% t

0win(")d" + u0, t ! I!,

en donde, F es como en (9) y win(t) esta definida por (38). Es facilverificar que A realmente manda M! en si mismo, ya que (Ay)(0) =u0 y d

dt

&(Ay)(t)

'! L2(I!;Rd) por (40) y dado que F ! C1(Rd;Rd).

El objetivo consiste en demostrar que el operador integral A es unacontraccion, para una eleccion apropiada de algun !0 > 0, en el espaciometrico M!0 . De esta manera, estaremos demostrando que hay una solay(t) ! M! tal que

Ay(t) = y(t), t ! I!.

Ya que y ! M!0 , se tiene que y(0) = u0, entonces encontrar un puntofijo del operador integral A, definido por (55), es equivalente a encontraruna solucion unica y(t) ! M!0 del problema de Cauchy (36), (35).

Proposicion 6.4.1.4 (Contraccion de A). Para todo ! > 0, el operadorintegral A : M! $ M!, definido por (55), es Lipschitz-continuo conconstante de Lipschitz K(!) = K1

2 !; es decir, existe una constante K1 %0 que no depende de ! ! [0, 1], tal que & y1, y2 ! M!, tenemos que

(56)((Ay1 'Ay2

((L21(I!;Rd)

# K(!)((y1 ' y2

((L21(I!;Rd)

.

26 Marco Taneco

Demostracion. La ecuacion (55), implica que

(57) Ay1(t)!Ay2(t) =1

2

! t

0

"F#y1(!)

$! F

#y2(!)

$%d!.

Derivando con respecto a t (usando el Teorema de Newton-Liebniz, dadoque F " C1(Rd;Rd) e y " C(R+;Rd)) obtenemos

(58)d

dt

"Ay1(t)!Ay2(t)

%=

1

2

"F#y1(t)

$! F

#y2(t)

$%.

Sin perdida de generalidad vamos a suponer que F (y) = 0 para |y| #R > 2|u0|. En el caso cuando esto no se cumpla podemos multiplicar aF (y) por la funcion

(59) "(y) :=

&1, |y| $ 3

2R,

0, |y| # R

y entonces caemos en la situacion anterior. Primero notemos que exis-te K1 que no depende de # " [0, 1] tal que para cada y1(t), y2(t) "L21(I!;Rd),

(60)''F

#y1(t)

$! F

#y2(t)

$'' $ K1

''y1(t)! y2(t)'', t " I!.

En efecto. Lo anterior se sigue del hecho que F " C1(Rd;Rd) y supp (F )es compacto:

''F#y1(t)

$! F

#y2(t)

$'' $ supz!supp (F )

''F "(z)'' ·

''y1(t)! y2(t)''

en donde, F "(z) es el jacobiano de F y la norma de F "(z) esta acotadaen supp (F ). De aqui (60) se sigue para K1 = sup |F "(z)|. Luego, de (58)y (60) obtenemos

(61)

''''d

dt

"Ay1(t)!Ay2(t)

%'''' $K1

2

''y1(t)! y2(t)'' , t " I!, # " [0, 1].

Lo cual implica que

(62)(((d

dt

"Ay1(t)!Ay2(t)

% (((2

L2(I!;Rd)$ K2

1

4

!

I!

"|y1(t)! y2(t)|

%2dt.


o equivalentemente(63)!!!!d

dt

"Ay1(t)!Ay2(t)

#!!!!L2(I!;Rd)

" K1

2

!!y1(t)! y2(t)!!L2(I!;Rd)

, ! # [0, 1].

Definimos "(t) := y1(t) ! y2(t), entonces " # L21(I!;Rd); en particular

" # L2(I!;Rd) $ L1(I!;Rd). Luego, por el Teorema fundamental delcalculo en el sentido de Lebesgue y tomando en cuenta que "(0) = 0,ya que y1, y2 # M! tenemos

(64) "(t) =

t$

0

"(s)ds.

Es claro que " # C(I!;Rd). Ademas, dado que "(0) = 0, entonces por(54) se satisface la desigualdad

(65) |"|L2(I!;Rd) " ! |"|L21(I!;Rd) .

Ahora a partir de la definicion de " (65) es equivalente a

%%y1(t)! y2(t)%%L2(I!;Rd)

" !%%y1(t)! y2(t)

%%L21(I!;Rd)

, ! # [0, 1].(66)

Luego de (63), (66), (55) y (53) obtenemos (56). !

Corolario 6.4.1.5 (Existencia y unicidad local). Existe !0 > 0 tal queel problema de Cauchy (36), (35) admite una solucion unica y(t) #L21(I!0 ;Rd), para t # [0, !0).

Demostracion. Sea K(!) = K12 !. Si ! % 0, entonces K(!) % 0. Luego,

existe !0 > 0 tal que 0 " K(!0) < 1. Entonces, para tal !0 el operadorintegral A definido por (55) es una contraccion en M!0 por Proposicion6.4.1.4. Luego, el Principio de Contraccion implica que existe y(t) # M!

tal que Ay(t) = y(t), t # [0, !0). Por lo tanto de (55) se sigue

(67) y(t) =1

2

t$

0

F (#($))d$ +

t$

0

win($)d$ + u0(0), t # [0, !0),

Finalmente diferenciando a (67) con respecto a t obtenemos que y(t) #M!0 es solucion del problema de Cauchy (36), (35). !

28 Marco Taneco

6.4.2. Existencia y continuidad de la solucion global a la ecua-cion reducida

La meta principal de esta subseccion consiste en demostrar la exis-tencia global, para t > 0 de la solucion local del problema de Cauchy(36), (35) y ademas que esta es unica. Asi como tambien demostrarque esta solucion es continua en R+. La existencia de la extension ycontinuidad de y(t) para t > 0 se sigue de la estimacion a priori que acontinuacion desarrollaremos y la cual es esencial en nuestro trabajo.

Proposicion 6.4.2.1 (Estimacion a priori). Las soluciones de la ecua-cion (36), con F satisfaciendo (10) admite la estimacion a priori

(68) supt>0

|y(t)|+!!

0

|y(t)|2dt ! B < ",

en donde, B es acotado para #(u0, v0)#E acotado.

Demostracion. Tomando el producto interior de y(t) con cada miembrode la ecuacion (36) y usando la identidad F (y) = $%V (y) obtenemos

"%V (y(t))

#· y(t) = $2y(t) · y(t) + 2win(t) · y(t), t & 0.

lo cual es equivalente a

d

dtV$y(t)

%= $2|y(t)|2 + 2win(t) · y(t), para casi todo t & 0.

Ahora utilizando la desigualdad $2a2 + 2ab ! $a2 + b2, obtenemos

$2|y(t)|2 + 2win(t) · y(t) ! $|y(t)|2 + |win(t)|2.

Luego, para casi todo t & 0,

(69)d

dtV (y(t)) ! $|y(t)|2 + |win(t)|2.

Entonces, la formula de Newton-Leibniz clasica implica (dado que V 'C2(Rd;R))

(70) V (y(t)) +

t!

0

|y(s)|2ds ! V (y(0)) +

t!

0

|win(s)|2ds,


para todo t ! 0.Ahora dado que win(t) " L2(R+;Rd) por el Lema 6.4.1, entonces

existe B1 ! 0 tal que

!!

0

|win(s)|2ds # B1.

Notemos que B1 es acotada si ||(u0, v0||E es acotada ya que win se ex-presa por medio de u0 y v0 mediante las formulas de (26).Luego, para todo t ! 0,

(71) V (y(t)) +

!!

0

|y(s)|2ds # B2,

en donde, B2 = V (y(0))+B1, la cual es acotada ya que B1 lo es siempreque ||(u0, v0||E es acotado. La desigualdad (71) implica que V (y(t)) # B2

para todo t ! 0. Por otro lado, V (y) $ +% cuando |y| $ %, por (9).Entonces, existe B3 ! 0 tal que

(72) supt>0

|y(t)| # B3.

Finalmente, (71) y (72) implican la estimacion a priori (68). Ademas B3

es acotado si ||(u0, v0||E es acotado ya que B2 tiene esta propiedad. !

El Corolario 6.4.1.5 implica la existencia local de solucion a el pro-blema de Cauchy (36), (35). En el siguiente corolario demostraremos,usando la estimacion a priori (68) la existencia global de tal solucion.

Corolario 6.4.2.2 (Existencia global). La solucion local y : [0, !0) &$Rd, obtenida por el Principio de Contraccion, para problema de Cauchy(36), (35) puede ser extendida al semi eje R+ y tal extencion y(t) escontinua en R+:

(73) y(t) " C(R+;Rd).

Demostracion. La estimacion a priori (68) implica |y(t)| # B < % paracasi todo t > 0, lo cual muestra la existencia de la solucion global paracasi todo t > 0 por argumentos estandares (con ciertas modificaciones)de la teorıa de ecuaciones diferenciales (ver por ejemplo [2, pagina 102]).La inclusion (73) se sigue tambien de la estimacion a priori (68). !

30 Marco Taneco

Corolario 6.4.2.3. i) La estimacion a priori (68), las identidades (43)y (46) implican por (29)

(74) f !+(!) ! L2(R";Rd), g!"(!) ! L2(R+;Rd), ! > 0,

(75) g!+(!) ! L2(R";Rd), f !"(!) ! L2(R+;Rd), ! < 0.

De (74), (75) y (29) se sigue que

(76) f !"(!), f

!+(!), g

!"(!), g

!+(!) ! L2(R;Rd).

ii) (74) y (75) implican

f+(!) ! C(R";Rd), g"(!) ! C(R+;Rd),(77)

f"(!) ! C(R+;Rd), g+(!) ! C(R";Rd).(78)

iii)

(79) f"(!), f+(!), g"(!), g+(!) ! C(R;Rd).

Demostracion (de iii). Probemos que f+(!), g"(!) ! C(R;Rd). La con-tinuidad de f+, g" (30), (26) y (28) implican que

(80) f"(0") = f+(0+) = g"(0") = g+(0+) =u0(0)

2.

Por lo tanto, (73), (43), (35) y (30) nos dan que!"#

"$

f+(0") = y(0)" g+(0+) =u0(0)

2,

g"(0+) = y(0)" f"(0") =u0(0)

2.

(81)

De aquı tenenmos

(82) f+(0") = f+(0+), y g"(0") = g"(0+).

Ahora (78) y (30) implican f+(!), g"(!) ! C(R;Rd).Similarmente (73), (46), (35) y (30) implican

!"#

"$

f"(0+) = y(0)" g"(0") =u0(0)

2,

g+(0") = y(0)" f+(0+) =u0(0)

2.

(83)

luego tenemos que

(84) f"(0+) = f"(0"), y g+(0") = g+(0+).

Finalmente (78) y (30) implican f"(!), g+(!) ! C(R;Rd). !


7. Existencia y continuidad de la dinamica Y (t)del sistema de Lamb

A continuacion demostraremos la existencia y continuidad de la so-lucion a el problema de Cauchy (5), Y (t) ! C(Rt;E), esto completa laprueba del punto 1 del Teorema 5.1. Para tal fin usaremos los resultadosde la secciones previas. Sea

(85) Rt := {x ! R | |x| " t " 0}.

Demostracion del Teorema 5.1, 1. Probaremos la existencia de una solu-cion Y (t) = (u(·, t), v(·, t)) ! E del problema de Cauchy (5) para t " 0.El caso t # 0 se muestra de forma similar. En otras palabras demostra-remos que existe una solucion (u(·, t), v(·, t)) ! E, $ t ! R que satisfaceel sistema de Lamb (1) y las condiciones iniciales (3). El desarrollo dela prueba sera en varios pasos:

Paso 1. Definimos u(x, t) en la region |x| " t mediante la formula deD’Alembert (31).Demostremos que u(x, t)!C(Rt;Rd), u!(x, t), u(x, t) !L2(Rt;Rd). En efecto, u(x, t) ! C(Rt;Rd) para t " 0, dado que u0(z) !C(R;Rd) y v0(z) ! L2(R;Rd) (ya que (u0, v0) ! E). Ademas (31) implica(86)u!(x, t) = 1

2

!u!0(x% t) + u!0(x+ t)

"+ 1

2

!v0(x+ t)% v0(x% t)

",

u(x, t) = 12

!u!0(x+ t)% u!0(x% t)

"+ 1

2

!v0(x+ t) + v0(x% t)

",

######|x| " t

de donde se ve que

(87) u!(x, t), v(x, t) = u(x, t) ! L2(Rt;Rd), t " 0,

ya que u!0(z), v0(z) ! L2(R;Rd), pues (u0, v0) son elementos de ! E.Paso 2. Definimos u(x, t) en la region |x| < t, para t > 0. Prime-

ro, resolviendo la ecuacion reducida (36) con la condicion inicial (35)obtenemos, por el Corolario 6.4.2.2 la unica solucion y(t) que cumple(73). Ahora definimos u(x, t) por (45) en el sentido de distribucionespara t > 0, x ! R, en donde las funciones g+ y f" se expresan me-diante las formulas (26) para ±z > 0 y y(t) es la solucion del problemade Cauchy (36), (35). Demostremos que u(x, t) ! C

${|x| < t};Rd

%y

u!(x, t), u(x, t) ! L2${|x| < t};Rd

%para t > 0.

1) u(x, t) ! C${|x| < t};Rd

%, t > 0. Esto se sigue de (45), la continuidad

de y(t) (vease Corolario 6.4.2.2) y la continuidad de f±, g±, (vease (30)).

32 Marco Taneco

2) La ecuacion (45) implica para t > 0

(88) u!(x, t) =

!!y!(t! x) + g!+(t! x) + g!+(x+ t), x > 0,

y!(t+ x) + f !"(!t! x) + f !

"(x! t), x < 0,

y

(89) u(x, t) =

!y(t! x)! g!+(t! x) + g!+(x+ t), x > 0,

y(t+ x) + f !"(!t! x)! f !

"(x! t), x < 0.

De donde observamos que u!(x, t), u(x, t) " L2"{x " R | |x| < t};Rd)

t > 0, ya que y " L2(R+;Rd) y g!+, f!" " L2(R;Rd) por la estimacion a

priori (68) y (76).Paso 3. Sea t > 0. Mostremos la continuidad de u(x, t) en: 1) x = t

para x > 0, y 2) x = !t si x < 0.1) Por la representacion (45), tenemos

(90) u(t!, t) = y(0)! g+(0) + g+(2t), x > 0, t > 0,

de aquı vemos que u(t!, t) es continua por (73) y (79).2) La descomposicion de D’Alembert (31) implica(91)

u(!t+, t) =u0(0)

2+u0(!2t)

2+1

2

0#

"2t

v0(!)d! = u(!t!, t); x < 0, t > 0,

la cual tambien es continua.Por lo tanto, tomando en cuenta que u(x, t) " C

"{|x| # t};Rd) (por

Paso 2 y Paso 3) y u(x, t) " C"{|x| $ t};Rd

$(por Paso 1) obtenemos

(92) u(x, t) " C"{(x, t) " R2 | |x| # t, t $ 0};Rd

$.

De esta forma los Pasos 2 y 3 implican que (u(x, t), u(x, t) " E paratodo t > 0.

Paso 4. A continuacion probemos que la funcion u(x, t) satisface elsistema de Lamb (1) y las condiciones iniciales (3). Las aseveraciones 1.y 2. del Teorema 6.1 muestra que u(x, t) satisface la ecuacion 1 de (1)para x %= 0, t " R. Probemos que u(x, t) satisface la segunda ecuaciondel sistema de Lamb. La expresion (45) implica para t > 0

(93) u!(0+, t) = !y(t) + 2g!+(t), u!(0!, t) = y(t) + 2f !"(!t).


Luego, sustituyendo las ecuaciones anteriores en la segunda ecuacion delsistema (1), obtenemos

F (y(t))! 2y(t) + 2!g!+(t)! f !

"(!t)", t > 0.

Ahora en virtud de la ecuacion reducida (36), la definicion de win (38) y(73) obtenemos la igualdad en la segunda ecuacion del sistema de Lamb.Finalmente la descomposicion de D’Alembert (31) fija las condiciones(3).

Paso 5. Demostremos que Y (t) " C(R+;E). Por la Definicion 4.1 denorma en E

(94) #Y (t1)! Y (t2)#E = |u(0, t1)! u(0, t2)|

+###!u(x, t1)! u(x, t2)

"!###L2(R;Rd)

+ #u(x, t1)! u(x, t2)#L2(R;Rd)

= |y(t1)! y(t2)|+###!u(x, t1)! u(x, t2)

"!###L2(R;Rd)

+ #u(x, t1)! u(x, t2)#L2(R;Rd) .

Sea ! > 0. Por (73) existe "1 > 0 tal que

(95) |y(t1)! y(t2)| <!

6, si |t1 ! t2| < "1.

Ahora examinemos los ultimos terminos.Caso 1: por abajo de la caracterısticas. Por monotonıa de la integral deLebesgue y usando (86) tenemos

###!u(x, t1)! u(x, t2)

"!###L2(Rt;Rd)

$###!u(x, t1)! u(x, t2)

"!###L2(R;Rd)

$###1

2[u!

0(x! t1)! u!0(x! t2)]

###L2(R;Rd)

+###1

2[u!

0(x+ t1)! u!0(x+ t2)]

###L2(R;Rd)

+###1

2

$v0(x+ t1)! v0(x+ t2)

%###L2(R;Rd)

+###1

2

$v0(x! t1)! v0(x! t2)

%###L2(R;Rd)

en donde, Rt es como en (85). Sea !t := t2!t1. Haciendo un cambio devariable (en el sentido de Lebesgue): y = x! t1 y usando la continuidadde las traslaciones en L2 (vease por ejemplo [3, paginas 255–257]) tene-mos para la ultima desigualdad que existe "2 > 0 tal que

###1

2[u!

0(y)! u!0(y !!t)]

###L2(R;Rd)

+###1

2[u!

0(y)! u!0(y +!t)]

###L2(R;Rd)

+###1

2

$v0(y)! v0(y +!t)

%###L2(R;Rd)

+###1

2

$v0(y)! v0(y !!t)

%###L2(R;Rd)

<!

6,

34 Marco Taneco

si |!t| < !2, ya que u0, v0 ! L2(R;Rd). Esto implica que

(96)!!!"u(x, t1)" u(x, t2)

#!!!!L2(Rt;Rd)

# "

6, si |!t| < !2.

Finalmente para el ultimo sumando de (94) tenemos, de (86)

$u(x, t1)" u(x, t2)$L2(Rt;Rd) # $u(x, t1)" u(x, t2)$L2(R,Rd)

#!!!1

2[u!

0(x" t1)" u!0(x" t2)]

!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2[u!

0(x+ t1)" u!0(x+ t2)

!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v0(x+ t1)" v0(x+ t2)

%!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v0(x" t1)" v0(x" t2)

%!!!L2(R;Rd)

Ahora usando los mismos argumentos como en el sumando anteriortenemos que existe !3 > 0 tal que

(97)!!!1

2[u!

0(y)" u!0(y "!t)]

!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2[u!

0(y)" u!0(y +!t)]

!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v0(y)" v0(y +!t)

%!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v0(y)" v0(y "!t)

%!!!L2(R;Rd)

<"

6,

si |!t| < !3, ya que u0, v0 ! L2(R;Rd). Esto implica que

(98) $u(x, t1)" u(x, t2)$L2(Rt;Rd) #"

6, si |!t| < !3.

Ahora de (95), (96) y (98) tenemos

(99) |u(0, t1)" u(0, t2)|+!!!"u(x, t1)" u(x, t2)

#!!!!L2(Rt;Rd)

+ $u(x, t1)" u(x, t2)$L2(Rt;Rd) #"

2, si |!t| < !1,

en donde, !1 := mın (!1, !2, !3).Caso 2: en la region |x| < |t| . La ecuacion (88) para x > 0, t > 0,

las formulas (26) y la monotonıa de la integral implican

!!!"u(x, t1)" u(x, t2)

#!!!!L2((0,t);Rd)

#!!!"u(x, t1)" u(x, t2)

#!!!!L2(R;Rd)

# $y(t1 " x)" y(t2 " x)$L2(R;Rd) +!!!1

2

$u!0(t1 " x)" u!

0(t2 " x)%!!!

L2(R;Rd)

+!!!1

2

$u!0(x+ t1)" u!

0(x+ t2)%!!!

L2(R;Rd)+!!!1

2

$v0(t1 " x)" v0(t2 " x)

%!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v0(x+ t1)" v0(x+ t2)

%!!!L2(R;Rd)

.

Sea !t := t1 " t2. Haciendo los cambios de variable (en el sentido deLebesgue): #1 = t1 " x, #2 = x + t1 y usando la continuidad de las


traslaciones en L2 (vease por ejemplo [3, paginas 255-257]) tenemos,para la ultima desigualdad, que existe !1 > 0 tal que

!y("1)" y("1 "!t)!L2(R;Rd) +!!!1

2

"u!0("1)" u!0("1 "!t)

#!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

"u!0("2)" u!0("2 "!t)

#!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

"v0("1)" v0("1 "!t)

#!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

"v0("2)" v0("2 "!t)

#!!!L2(R;Rd)

# #

8

si |!t| < !1, ya que u0, v0 $ L2(R;Rd) y y $ L2(R+;Rd) por (68). Porlo tanto

(100)!!!$u(x, t1)" u(x, t2)

%!!!!L2((0,t);Rd)

# #

8, si |!t| < !1.

De manera analoga, usando (88) para x < 0, t > 0 y los argumentosanteriores tenemos que existe !2 > 0 tal que

(101)!!!$u(x, t1)" u(x, t2)

%!!!!L2(("t,0);Rd)

# #

8, si |!t| < !2.

Por lo tanto (100) y (101) implican(102)!!!$u(x, t1)" u(x, t2)

%!!!!L2({|x|<t};Rd)

# #

4, si |!t| < !3 = mın (!1, !2).

Usando (89), obtenemos de manera analoga que existe !4 > 0 tal que

(103) !u(x, t1)" u(x, t2)!L2({|x|<t};Rd) ##

4, si |!t| < !4.

Ahora (102) y (103) implican

(104) |u(0, t1)" u(0, t2)|+!!$u(x, t1)" u(x, t2)

%!!L2${|x|<t};Rd

%

+ !u(x, t1)" u(x, t2)!L2({|x|<t};Rd) ##

2si |!t| < !2,

en donde, !2 = mın (!1, !3, !4) Por lo tanto, de la definicion de normaen E y de (99) y (104) tenemos

||Y (t1)" Y (t2)||E # #, si |!t| < ! = mın (!1, !2).

El primer punto del Teorema 5.1 esta probado. !

36 Marco Taneco

8. Continuidad del flujo U(t) del sistema de Lamb

En esta parte demostraremos el punto 2 del Teorema 5.1. La pruebausa las construcciones de las subsecciones previas. Probaremos un re-sultado que establece que las soluciones de la ecuacion (36) dependencontinuamente de los datos iniciales (3).

Lema 8.1. Consideremos el problema de Cauchy (5) con los datos ini-ciales Y i

0 = (ui0, vi0) ! E, i = 1, 2. Sean y1(t), y2(t) dos soluciones co-

rrespondientes de la ecuacion reducida (36) con las condiciones iniciales

(105) y1(0) = u10(0), y2(0) = u20(0)

Entonces, para cualquier T > 0 existen CT > 0, C0T > 0 tal que

(106) maxt![0,T ]

!!y1(t)" y2(t)!! # CT

""Y 10 " Y 2

0

""E,

(107)""y1(t)" y2(t)

""L2([0,T ];Rd)

# C0T

""Y 10 " Y 2

0

""E.

Ademas CT y C0T son acotadas si

""Y i0

""E, i = 1, 2 es acotado.

Demostracion. Sean y1(t), y2(t) soluciones de (36) con (105) satisfacien-dose. Supongamos que (ui0, v

i0) ! B $ E, i = 1, 2, en donde B es un

conjunto acotado. Esto implica que u10(0), u20(0) ! B0 $ Rd en donde

B0 es acotado por la Definicion 4.1 de E. Luego y1(t), y2(t) ! B1 $ Rd

para t > 0 con B1 acotado por la cota a priori (68), Proposicion 6.4.2.1.Entonces como F ! C1(Rd;Rd) por (9), tenemos

!!!!d

dt

#y1(t)" y2(t)

$!!!! =1

2

!!F%y1(t)

&" F

%y2(t)

&!!(108)

# C1

!!y1(t)" y2(t)!! , t ! [0, T ],

en donde, C1 > 0 es acotada ya que y1(t), y2(t) estan contenidas enel conjunto acotado B1 para t ! [0, T ]. Esta desigualdad implica laestimacion

!!y1(t)" y2(t)!! # C1

t'

0

!!y1(!)" y2(!)!! d! +

!!y1(0)" y2(0)!! , t ! [0, T ].

Ahora usando la desigualdad de Gronwall [8, pagina 3] obtenemos!!y1(t)" y2(t)

!! #!!y1(0)" y2(0)

!! eC1t, t ! [0, T ].


Tomando el maximo sobre el intervalo [0, T ] (ya que y1, y2 ! C(R+;Rd)por (34) y Proposicion 6.1.1) obtenemos

(109) maxt![0,T ]

!!y1(t)" y2(t)!! # CT

!!y1(0)" y2(0)!! ,

en donde, CT = eC1T es acotada ya que C1 es acotada. Ademas, por(105)

!!y1(0)" y2(0)!! =

!!u10(0)" u20(0)!! #

""Y 10 " Y 2

0

""E. Entonces, (109)

implica (106).Ahora mostremos la segunda estimacion. Usando (108) y (106) ob-

tenemos

""y1(t)" y2(t)""2L2([0,T ];Rd)

=

T#

0

!!y1(t)" y2(t)!!2 dt # C2

1

T#

0

!!y1(t)" y2(t)!!2 dt

# C21

T#

0

C2T

""Y 10 " Y 2

0

""2Edt = C2

1 C2T T

""Y 10 " Y 2

0

""2E.

Ası hemos demostrado (107), en donde C0T = C2

1 C2T T es acotada ya

que C1 y CT son acotadas. !

Sea t fijo y Y 10 = (u10, v

10) y Y 2

0 = (u20, v20). El siguiente teorema

prueba el punto 2 del Teorema 5.1.

Teorema 8.2. Para todo t > 0 existe Ct > 0 tal que

!!Y 1(t)" Y 2(t)!! # Ct

""Y 10 " Y 2

0

""E

es decir, U(t) es continua en E.

Demostracion. Por la Definicion 4.1 de norma en E

(110)""Y 1(t)" Y 2(t)

""E= |u1(0, t)" u2(0, t)|+

"""$u1(x, t)" u2(x, t)

%!"""L2(R;Rd)

+""u1(x, t)" u2(x, t)

""L2(R;Rd)

=!!y1(t)" y2(t)

!!+"""$u1(x, t)" u2(x, t)

%!"""L2(R;Rd)

+""u1(x, t)" u2(x, t)

""L2(R;Rd)

.

38 Marco Taneco

Ahora

(111)!!!u1(0, t)! u2(0, t)

!!! " Ct||Y 10 ! Y 2

0 ||E

por el Lema 8.1 y dado que ui(0, t) = yi(t), i = 1, 2 (vease (34)). Restaexaminar los ultimos terminos.Caso 1: por abajo de las caracterısticas. Por monotonıa de la integralde Lebesgue, en donde Rt se define en (85) y usando (86) obtenemos

"""#u1(x, t)! u2(x, t)

$!"""L2(Rt;Rd)

""""#u1(x, t)! u2(x, t)

$!"""L2(R;Rd)

""""1

2[(u1

0)!(x! t)! (u2

0)!(x! t)]

"""L2(R;Rd)

+"""1

2

%v10(x+ t)! v20(x+ t)

&"""L2(R;Rd)

+"""1

2[(u1

0)!(x+ t)! (u2

0)!(x+ t)]

"""L2(R;Rd)

+"""1

2

%v10(x! t)! v20(x! t)

&"""L2(R;Rd)

=""(u1

0)! ! (u2

0)!""

L2(R;Rd)+""v10 ! v20

""L2(R;Rd)

"""Y 1

0 ! Y 20

""E,

ya que'|f(x± t)|2 dx =

'|f(x)|2 dx para toda f # L2(R;Rd). Esto

implica que

(112)"""#u1(x, t)! u2(x, t)

$!"""L2(Rt;Rd)

"""Y 1

0 ! Y 20

""E.

Finalmente para el ultimo sumando de (110) tenemos, de (86)

""u1(x, t)! u2(x, t)""L2(Rt;Rd)

"""u1(x, t)! u2(x, t)

""L2(R;Rd)

""""1

2[(u2

0)!(x! t)! (u1

0)!(x! t)]

"""L2(R;Rd)

+"""1

2

%v10(x+ t)! v20(x+ t)

&"""L2(R;Rd)

+"""1

2[(u1

0)!(x+ t)! (u2

0)!(x+ t)

"""L2(R;Rd)

+"""1

2

%v10(x! t)! v20(x! t)

&"""L2(R;Rd)

=""(u1

0)! ! (u2

0)!""

L2(R;Rd)+""v10 ! v20

""L2(R;Rd)

"""Y 1

0 ! Y 20

""E,

en donde hemos usando, como en el anterior sumando, el cambio devariable para la integral de Lebesgue. Luego obtenemos

(113)""u1(x, t)! u2(x, t)

""L2(Rt;Rd)

"""Y 1

0 ! Y 20

""E.

Ahora (111), (112) y (113) implican

(114)!!u1(0, t)! u2(0, t)

!!+""#u1(x, t)! u2(x, t)

$""L2(Rt;Rd)

+""u1(x, t)! u2(x, t)

""L2(Rt;Rd)

" Ct

""Y 10 ! Y 2

0

""E.


Caso 2: en la region |x| < |t|. De (88) y usando las formulas (26) tenemos,cuando x > 0, por la monotonıa de la integral, el cambio de variable enla integral de Lebesgue y por el Lema 8.1 (estimacion (107)):

!!!"u1(x, t)! u2(x, t)

#!!!!L2((0,t);Rd)

"!!!"u1(x, t)! u2(x, t)

#!!!!L2(R;Rd)

"!!y2(t! x)! y1(t! x)

!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$(u1

0)!(t! x)! (u2

0)!(t! x)

%!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$(u1

0)!(x+ t)! (u2

0)!(x+ t)

%!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v10(t! x)! v20(t! x)

%!!!L2(R;Rd)

+!!!1

2

$v10(x+ t)! v20(x+ t)

%!!!L2(R;Rd)

=!!y2 ! y1

!!L2(R;Rd)

+!!(u1

0)! ! (u2

0)!!!

L2(R;Rd)+!!v10 ! v20

!!L2(R;Rd)

" Ct

!!Y 10 ! Y 2

0

!!E.

Similarmente, usando (88) para x < 0 obtenemos

!!!"u1(x, t)! u2(x, t)

#!!!!L2(("t,0);Rd)

" Ct

!!Y 10 ! Y 2

0

!!E.

Luego

(115)!!!"u1(x, t)! u2(x, t)

#!!!!L2({|x|<t};Rd)

" Ct

!!Y 10 ! Y 2

0

!!E.

Usando (89), obtenemos de manera analoga

(116)!!u1(x, t)! u2(x, t)

!!L2({|x|<t};Rd)

" Ct

!!Y 10 ! Y 2

0

!!E.

Ahora (111), (115) y (116) implican

(117)&&u1(0, t)! u2(0, t)

&&+!!"u1(x, t)! u2(x, t)

#!!L2({|x|<t};Rd)

+!!u1(x, t)! u2(x, t)

!!L2({|x|<t};Rd)

" Ct

!!Y 10 ! Y 2

0

!!E.

Por lo tanto, de la definicion de norma en E y de (114) y (117)tenemos

||Y 1(t)! Y 2(t)||E " C0t

!!Y 10 ! Y 2

0

!!E.

El Teorema 8.2 esta probado. !

Observacion 8.3. La continuidad de U(t) : Y0 #$ Y (t) en EF se de-muestra de manera similar a como se probo el Teorema 8.2.

40 Marco Taneco

9. Conservacion de la energıa del sistema deLamb

El plan para demostrar la conservacion de la energıa en el sistemade Lamb es el siguiente: probaremos la ley de conservacion de energıa,punto 3 del Teorema 5.1 para datos iniciales suficientemente suaves ydespues usaremos argumentos de densidad en subespacios adecuadosde E junto con la continuidad de H(Y (t)) (ver (12)) como funcion deE ! R y la continuidad del flujo U(t). Antes damos algunos resultadostecnicos.

Definicion 9.1. Sea F el conjunto de las parejas!u(x), v(x)

"tales que:

1. u " C2(R\{0};Rd), v " C1(R\{0};Rd) y2. los lımites u(0±), u!(0±) y v(0±) existen.

Corolario 9.2. La Definicion 9.1 implica que u!(x ± t), v(x ± t) "C2

!{|x| #= |t|};Rd

".

A continuacion demostraremos una propiedad importante de las so-luciones de las ecuaciones reducidas (36) y (37), para t > 0 y t < 0respectivamente, suponiendo que los datos iniciales del problema deCauchy para el sistema de Lamb pertenecen a el conjunto F.

Lema 9.3. Sea y(t) una solucion de las ecuacion reducidas (36) (37),para t > 0 y t < 0 respectivamente y supongamos que (u0, v0) " F.Entonces, y(t) " C2(R\{0};Rd).

Demostracion. Sea t > 0. Las formulas (26) y la definicıon de win(t)(38) implican

(118) win(t) = R(t), t > 0,

en donde, R(t) :=u!0(t)"u!

0("t)2 + v0(t)+v0("t)

2 . Esto implica que win(t) "C(R+;Rd), dado que u!0, v0 " C(R\{0};Rd) (ya que (u0, v0) " F).Ademas, por Proposicion 6.1.1 y (34) tenemos que y(t) " C(Rt;Rd);luego como F " C2(Rd;Rd) (ver (9)), entonces F (y(t)) " C(Rt;Rd).Ahora usando la ecuacion reducida (36) junto con la continuidad deF (y(t)) y win(t) en R+ obtenemos que y(t) " C(R+;Rd).

Sea t < 0. Las formulas (26) y la definicion de wout(t) (39) implican

(119) wout(t) = R(t), t < 0.


Luego usando la ecuacion reducida (37) y argumentando de maneraanaloga al caso t > 0 obtenemos que y(t) ! C(R!;Rd). Por lo tanto,y(t) ! C(R\{0};Rd).

Mostremos que y(t) ! C(R\{0};Rd). Usando (118) tenemos que

win(t) = R(t), t > 0, en donde R(t) =u!!0 (t)+u!!

0 (!t)2 +

v!0(t)!v!0(!t)2 . De

aquı vemos que win(t) ! C(R+;Rd), dado que u""0, v"0 ! C(R\{0};Rd)

(ya que (u0, v0) ! F). Ademas,

d

dtF (y(t)) = "yF (y(t)) · y(t) ! C(Rt;Rd),

ya que y(t)!C(R;Rd) por Proposicion 6.1.1 y (34), y F (y)!C2(Rd;Rd).Ahora derivando la ecuacion reducida (36) con respecto a t junto conla continuidad de d

dtF (y(t)) y win(t) en R+ obtenemos que y(t) !C(R+;Rd).Finalmente, wout(t) = R(t), t < 0 en virtud (119), luego wout(t) !C(R!;Rd), dado que u""0, v

"0 ! C(R\{0};Rd) (ya que (u0, v0) ! F). Luego

derivando la ecuacion reducida (37) con respecto a t y usando la conti-nuidad de d

dtF (y(t)) y win(t) en R! obtenemos que y(t) ! C(R!;Rd).Y por consiguiente y(t) ! C(R\{0};Rd). Lema esta probado. !

Corolario 9.4. y(t± x) ! C2!{|x| #= |t|};Rd

".

Notemos que en particular el Corolario anterior implica que y(t ±x) ! C2

!{|x| < |t|};Rd

".

Lema 9.5. Supongamos que se cumplen las hipotesis del Lema 9.3.Entonces existen los lımites lım

t#±0y(t).

Demostracion. Consideremos el caso t $ 0+. La ecuacion reducida (36)implica que lım

t#+0y(t) existe si existen los lımites de F (y(t)) y win(t)

cuando t $ 0+. Como win(t) = R(t), entonces por la Definicion 9.1tenemos que lım

t#+0win(t) existe. Ademas como F ! C2(Rd;Rd) (ver

condicion (9)) e y(t) ! C(R;Rd) por (34) y por la Proposicion 6.1.1,entonces F (y(t)) ! C(Rt;Rd) luego lım

t#+0F (y(t)) tambien existe. Por lo

tanto, se tiene la existencia de lımt#+0

y(t). El caso cuando t $ 0% se

demuestra de manera analoga, usando la ecuacion reducida (37). !

Denotemos por R2c a el conjunto

#(x, t) ! R2 | x #= 0, x #= ±t

$.

Teorema 9.6. Sean (u0, v0) ! F y!u(x, t), v(x, t)

"= Y (t) con Y (0) =

Y0. Entonces

42 Marco Taneco

i) u(x, t) ! C(R2; Rd),ii) u!(x, t), u(x, t), u!!(x, t) y u(x, t) existen, coinciden con las deri-

vadas clasicas y son localmente acotadas en x ! R2c .

iii) Para todo t ! R los lımites laterales(120)a) lım

x"0±v(x, t), b) lım

x"0±u!(x, t), c) lım

x"±t±0u!(x, t), d) lım

x"±t±0v(x, t)

existen.

Demostracion. i) se sigue por Proposicion 6.1.1 ya que F " E por laDefinicion 4.1.

Probemos la afirmacion ii). De la representacion de D’Alembert (31)se sigue que las primeras y segundas derivadas parciales de u(x, t) conrespecto a x y t existen en el sentido clasico y son localmente acotadasen

!(x, t) ! R2 | |x| > |t|

"(ya que u0, v0 ! F). De esta forma hemos

demostrado ii) en |x| > |t|.Demostremos la aseveracion ii) en la region |x| < |t|. Usando la

representacion (45), para t > 0, y las expresiones (26) obtenemos(121)

u!(x, t) =

#$

%#y!(t# x) + u!

0(t+x)+u!0(t"x)

2 + v0(t+x)+v0(t"x)2 , 0 < x < t,

y!(t+ x) + u!0("t+x)+u!

0("t"x)2 # v0("t+x)+v0("t"x)

2 , #t < x < 0.

Luego por el Corolario 9.4 y dado que (u0, v0) ! F obtenemos queu!(x, t) existe y es localmente acotada en la region

!(x, t) ! R2 | |x| <

t, x $= 0". Similarmente, usando la representacion (48), para t < 0 y las

expresiones (26) obtenemos(122)

u!(x, t) =

#$

%y!(t+ x) + u!

0("t+x)+u!0("t"x)

2 # v0("t+x)+v0("t"x)2 , 0 < x < #t,

#y!(t# x) + u!0(t"x)+u!

0(t+x)2 + v0(t"x)+v0(t+x)

2 , t < x < 0.

Luego por el Corolario 9.4 y dado que (u0, v0) ! F obtenemos queu!(x, t) existe y es localmente acotada en la region

!(x, t) ! R2 | # |x| >

t, x $= 0". De esta manera hemos mostramos que u!(x, t) existe y es

localmente acotada en!(x, t) ! R2 | |x| < |t| , x $= 0

". Analogamente

se demuestra que u(x, t) existe y es localmente acotada en la mismaregion. Finalmente la existencia de las derivadas parciales de orden 2,con respecto a x, de u(x, t) en

!(x, t) ! R2 | |x| < |t| , x $= 0

", se

obtiene del Coralario 9.4, (121) y (122), dado que (u0, v0) ! F. Se razonasimilarmente para justificar que u(x, t) existe y es localmente acotadaen

!(x, t) ! R2 | |x| < |t| , x $= 0

".


Probemos la afirmacion a) de iii). Consideremos el primer lımitelım

x!0+v(x, t). La representacion (45) para u(x, t) y la formula para g+

(ver 2da. expresion de (26)) implican para 0 < x < t

(123) lımx!0+

v(x, t) = lımx!0+

u(x, t)

= lımx!0+

!y(t!x)+ 1

2

"!u"0(t!x)!v0(t!x)+u"0(t+x)+v0(t+x)

#$.

Ahora dado que u"0, v0 " C(R\{0};Rd) ya que (u0, v0) " F tenemos para

0 < t, que lımx!0+

"!u"0(t!x)! v0(t!x)+u"0(t+x)+ v0(t+x)

#existe y

por el Lema 9.3 obtenemos de (123) la existencia del lımite lımx!0+

v(x, t)

para 0 < t.Analicemos el caso: t < 0. A partir de la representacion (48) y la formulapara f+ (ver 1a. expresion de (26)) tenemos para 0 < x < !t

(124) lımx!0+

v(x, t) = lımx!0+

u(x, t)

= lımx!0+

!y(t+x)+1

2

"!u"0(!t+x)+v0(!t+x)+u"0(!t!x)!v0(!t!x)

#$.

Luego como u"0, v0 " C(R\{0};Rd) ya que (u0, v0) " F obtenemos para

t < 0 que lımx!0+

"!u"0(!t+x)+v0(!t+x)+u"0(!t!x)!v0(!t!x)

#existe

y por el Lema 9.3 obtenemos de (124) la existencia del lımite lımx!0+

v(x, t)

para t < 0. De esta forma concluimos que lımx!0+

v(x, t) existe para todo

t " R\{0}.El lımite lateral de v(x, t) cuando x # 0! se demuestra de manerasimilar, usando la expresion (45) de u(x, t) para x < 0 y 0 < t, y laformula (26) para f#. Para t < 0 se usa la expresion (48) para u(x, t)junto con la formula para g# (ver formulas (26)), cuando x < 0 y t < 0.Finalmente analicemos el caso t = 0, es decir, lım

x!0±v(x, 0). La expresion

(31) para t = 0 implica

v(x, 0) = 1

2[!u"0(x) + u"0(x) + v0(x) + v0(x)], x " R.

De aquı, por la condicion 2 de la Definicion 9.1 concluimos que existelım

x!0±v(x, 0). El inciso a) de la afirmacion iii) esta probado.

Probemos el inciso b). Para ello analicemos el lımite de u"(x, t) cuan-do x # 0±. La expresion (121) para t > 0, el Lema 9.3 y la Definicion

44 Marco Taneco

9.1 implican

lımx!0±

u"(x, t) = !y"(t)± u"0(±t) + v0(±t).

Similarmente, la expresion (122) para t < 0 implica

lımx!0±

u"(x, t) = ±y"(t) + u"0(!t)" v0(!t).

De esta forma concluimos que existe lımx!0±

u"(x, t) para todo t # R\{0}.Finalmente analicemos el lım

x!0±u"(x, 0). La expresion (31) para t = 0

implica

u"(x, 0) = 1

2[u"0(x) + u"0(x) + v0(x)" v0(x)], x # R.

De aquı, por la condicion 2 de la Definicion 9.1 concluimos que existelım

x!0±u"(x, 0). El inciso b) de la afirmacion iii) esta probado.

Probemos el inciso c). Consideremos el caso x $ t± 0, el caso x $"t ± 0 se maneja similarmente. Mostremos la existencia de los lımiteslım

x!t±0u"(x, t). Primero analizaremos dicho lımite cuando x $ t+ 0. La

descomposicion de D’Alembert (31) implica para |x| > |t|, ±t > 0

lımx!t±0

u"(x, t) = lımx!t±0

1

2

!u"0(x+ t) + u"0(x" t) + v0(x+ t)" v0(x" t)

",

ya que (u0, v0) # F, entonces por la Definicion 9.1 el ultimo lımite existepara ±t > 0.Ahora tratemos el lım

x!t±0u"(x, t) si ±t < 0. La representacion (122) de

u"(x, t) para |x| < |t| implica

lımx!t±0

u"(x, t)

= lımx!t±0

["y(t" x) + 1

2(u"0(t" x) + v0(t" x) + u"0(t+ x) + v0(t+ x))],

± t < 0.

Luego por el Lema 9.5 y la Definicion 9.1 el utimo lımite existe para±t < 0.Para t = 0 el lımite lım

x!t±0u"(x, t) tambien existe, en virtud del inciso

b). Por lo tanto, lımx!t±0

u"(x, t) existe para todo t # R. El inciso c) de la

afirmacion iii) esta probado.


Mostremos el inciso d) considerando el caso t > 0 la situaciont < 0 se maneja de forma similar. Demostremos la existencia del lımitelım

x!t±0v(x, t). Razonando analogamente al inciso c) (el caso x ! ±t,

±t > 0), usando la descomposicion de D’Alembert (31) y la Definicion9.1 obtenemos la existencia de

lımx!t±0

v(x, t) = lımx!t±0

u(x, t)

= 1

2lım

x!t±0[u"0(x+ t)" u"0(x" t) + v0(x+ t) + v0(x" t)], ±t > 0.

Ahora trataremos el lımite lımx!t±0

v(x, t) cuando ±t < 0. Usando argu-

mentos analogos al inciso c) (el caso x ! ±t, ±t < 0) obtenemos de larepresentacion (48) para t < x < 0

lımx!t+0

v(x, t) = lımx!t+0

u(x, t)

= lımx!t+0

!y(t"x)+ 1

2

""u"0(t"x)"v0(t"x)+u"0(t+x)+v0(t+x)

#$.

Luego el Lema 9.5 y la Definicion 9.1 implican la existencia del limiteanterior cuando ±t < 0. Para t = 0 este mismo lımite tambien existe, envirtud del inciso a). Por lo tanto, lım

x!t±0v(x, t) existe para todo t # R.

El inciso d) de la afirmacion iii) esta probado. !

Corolario 9.7. Y (t) es invariante sobre F, es decir Y (t) # F si Y0 # F,para todo t # R.Lema 9.8. Sea (u(x, t), v(x, t)) # F, entonces%u+ u"

&|x=t+0 =

%u+ u"

&|x=t#0,

%u" u"

&|x=#t#0 =

%u" u"

&|x=#t+0,

for all t $= 0.

Demostracion. Probemos la primera igualdad. De la representacion deD’Alembert (31) para u(x, t), las formulas (26) y la Definicion 9.1 ob-tenemos%u+u"

&|x=t+0 =

!u"0(x+ t)+ v0(x+ t)

$

x=t+0= u"(2t)+ v(2t), % t $= 0.

Ahora usando la representacion (45), las formulas (26) y la Definicion9.1 obtenemos%u+ u"

&|x=t#0 =

!u"0(x+ t) + v0(x+ t)

$

x=t#0= u"(2t) + v(2t), % t $= 0.

La primera identidad esta probada en virtud de las expresiones anterio-res. La otra identidad se muestra de manera similar. !

46 Marco Taneco

Lema 9.9. Sea D2(R) := {! ! C! | !"(x) ! D(R)}. El conjuntoD2(R)"D(R) # E es denso en

!E, $·$E

".

Demostracion. Sea (u, v) ! E y " > 0. Es conocido que D(R) es densoen L2(R) (vease [22, pagina 80]). Luego existe #,$ ! D(R) tales que

(125) $v % #$L2(R) &"

2,

##u" % $##L2(R) &

"

2.

Definimos !(x) :=x$

0$(%)d% + u(0), claramente (!,#) ! D2(R)"D(R).

Entonces

$(u% !, v % #)$E =##u" % !"##

L2(R) + |u(0)% !(0)|+ $v % #$L2(R)

=##u" % $

##L2(R) + $v % #$L2(R) & ".

!Definimos el conjunto(126)

K :=%(u, v) ! E

&&&' K±, R ! R tal que u(x) = K±, v(x) = 0, para ±x > R'.

Lema 9.10. El conjunto F (K # E es denso en!E, $·$E

".

Demostracion. ObviamenteD2(R)"D(R) # K. Es facil ver queD2(R)"D(R) # F, ya que u(x), v(x) ! C!(R). Entonces, D2(R) " D(R) #F (K. Luego la Proposicion 9.9 implica que D2(R)"D(R) es denso en!E, $·$E

", por lo tanto, F (K # E es denso en

!E, $·$E

". !

Lema 9.11. La trayectoria U(t) : Y0 )* Y (t) es invariante en F (K,es decir, Y (t) ! F (K para todo t ! R si Y0 ! F (K.

Demostracion. Sea (u0, v0) ! F(K, entonces la formula de D’Alembert(31) implica que

!u(x, t), v(x, t)

"! K. Ademas,

!u(x, t), v(x, t)

"! F por

Corolario 9.7. !

Demostracion del Teorema 5.1, 3 (Conservacion de la energıa del sistemade Lamb) Para t + 0, escribimos

!H(Y0)

"(t)(u0, v0) = H

!Y (t)

"(u0, v0)

:=1

2

(

R

)|u(x, t)|2 +

&&u"(x, t)&&2*dx+ V (u(0, t)),(127)

en donde,!u(x, t), v(x, t)

"= Y (t) y Y (0) = Y0.


Notemos que!H(Y0)

"(t) : (u0, v0) ! R es una funcion continua de E

en R, ya que u!0(x, 0), v0(x, 0) " L2(R;Rd) y la transformacion U(t) delTeorema 5.1 punto 2, es continua de E ! E. Ademas,

(128)!H(Y0)

"(t) " C(R),

ya que Y (t) " C(R;E) por Teorema 5.1, punto 1.Demostremos que

!H(Y0)

"(t) = const para todo t " R con Y0 =

(u0, v0) " F # K. Consideremos la integral “energetica”de la cuerdadel sistema de Lamb

(129) E(t) =1

2

#

R

$|u(x, t)|2 +

%%u!(x, t)%%2&dx.

Notemos que de (127) se sigue que!H(Y0)

"(t) = E(t) + V

!u(0, t)

".

Dividimos la integral energetica en

(130)

E(t) =

"t#

"#

'[u(x, t)]2

2+

[u!(x, t)]2

2

(dx+

0#

"t

'[u(x, t)2]

2+

[u!(x, t)]2

2

(dx

+

t#

0

'[u(x, t)]2

2+

[u!(x, t)]2

2

(dx+

+##

t

'[u(x, t)]2

2+

[u!(x, t)]2

2

(dx.

Demostremos que existe H "R tal que!H(Y0)

"(t) :=E(t)+V

!u(0, t)

"=

H para todo t $ 0 y para todo (u0, v0) " F #K.Diferenciando con respecto de t > 0 los primeros dos sumando de

(130) y usando la formula de Liebniz para derivar integrales que depen-den de un parametro obtenemos

(131)d

dt

) !t#

!"

'[u(x, t)]2

2+

[u#(x, t)]2

2

(dx+

0#

!t

'[u(x, t)2]

2+

[u#(x, t)]2

2

(dx

*

=

!t#

!"

[u(x, t)u##(x, t)+u#(x, t)u#(x, t)]dx+

0#

!t

[u(x, t)u##(x, t)+u#(x, t)u#(x, t)]dx

% 1

2

$(u(%t% 0, t))2 +(u#(%t% 0, t))2

&+

1

2

$(u(%t+0, t))2 +(u#(%t+0, t))2

&.

Usando la primera ecuacion de (1) (la cual es satisfecha para u(x, t) enel sentido clasico para x &= 0 y x &= ±t, por Teorema 9.6 ii)) tenemos

48 Marco Taneco

que

!t!

!"

[u(x, t)u##(x, t) + u#(x, t)u#(x, t)]dx+

0!

!t

[u(x, t)u##(x, t) + u#(x, t)u#(x, t)]dx

=

!t!

!"

[u(x, t)u(x, t) + u#(x, t)u#(x, t)]dx+

0!

!t

[u(x, t)u(x, t) + u#(x, t)u#(x, t)]dx.

Ahora una integracion por partes en esta ultima igualdad nos da queel lado izquierdo de (131) es igual a

"u#(x, t)u(x, t)

#!t!0

!"+"u#(x, t)u(x, t)

#0!!t+0

!1

2

"(u(!t! 0, t))2 + (u#(!t! 0, t))2

#+

1

2

"(u(!t+ 0, t))2 + (u#(!t+ 0, t))2

#.

(132)

En forma analoga, para los ultimos dos sumandos de (130) obtenemos

(133)

d

dt

$ t!

0

%[!u(x, t)]2

2+[!u!(x, t)]2

2

&dx+

+"!

t

%[!u(x, t)2]

2+[!u!(x, t)]2

2

&dx

'

="u!(x, t)u(x, t)

#t#0

0++"u!(x, t)u(x, t)

#+"

t+0!1

2

"(u(t+0, t))2+(u!(t+0, t))2

#

+ 1

2

"(u(t! 0, t))2 + (u!(t! 0, t))2

#.

De esta forma

(134)

E(t) ="u!(x, t)u(x, t)

##t#0

#"+

"u!(x, t)u(x, t)

#0##t+0

+"u!(x, t)u(x, t)

#t#0

0+

+"u!(x, t)u(x, t)

#+"

t+0! 1

2

"(u(!t!0, t))2+(u!(!t!0, t))2

#

+ 1

2

"(u(!t+0, t))2+(u!(!t+0, t))2

#! 1

2

"(u(t+0, t))2+(u!(t+0, t))2

#

+ 1

2

"(u(t! 0, t))2 + (u!(t! 0, t))2

#.

Definiendo

(135) !±(x, t) := ±" [u(x, t)]2

2+

[u!(x, t)]2

2

#+ u!(x, t)u(x, t)

= ±1

2

((u(x, t)± u!(x, t)((2 , t > 0,


obtenemos por (134)

(136) E(t) = !!(x, t)!!!x=!t!0

x=!t+0+ u(x, t)u"(x, t)

!!!x=0!

x=0++ !+(x, t)

!!!x=t!0

x=t+0,

ya que u(x, t), v(x, t) ! K. Luego se sigue del Lema 9.8

(137) !±(x, t)!!!x=±t!0

x=±t+0= 0, t > 0,

dado que (u(x, t), v(x, t)) ! F.Ahora la continuidad de u(x, t) (vease Teorema 9.6 i)) y la expresion(34) implican que u(0+, t) = u(0", t) = u(0, t) = y(t). De esta forma lasegunda ecuacion de (1) (la cual se satisface para u(x, t) en el sentidoclasico, para x #= 0 y x #= ±t (vease Teorema 9.6 ii)) y el caracterconservativo de F (vease (9)) implican

u(x, t)u"(x, t)!!!x=0!

x=0+= u(0", t)u"(0", t)" u(0+, t)u"(0+, t)

= "u(0, t)"u"(0+, t)" u"(0", t)

#

= "y$V (y) = " d

dtV (y(t)), t > 0.(138)

Luego se sigue de (136)-(138) que

$H(Y0)

%(t) = E(t) +

d

dtV (y(t)) = 0, t > 0.

Esto implica que existe H ! R tal que$H(Y0)

%(t) = H, t > 0, Y0 !

F%K. Ahora usando la continuidad de$H(Y0)

%(t) con respecto de t ! R

obtenemos que$H(Y0)

%(0+) = H. Por lo tanto,$H(Y0)

%(t) = H, t & 0.

El caso t ' 0 se maneja de forma analoga. De esta manera demostramosque

$H(Y0)

%(t) = const, t ! R, Y0 ! F %K. Nos falta mostrar que esto

mismo se cumple para Y0 ! E.El siguiente diagrama esquematiza el paso final de la prueba:

F %K F %K R

E

!U(t) !H(t)

"#!denso

#####$

(H$U)(t)

Recordemos que H : E ( R es una funcion continua por (12) y la defi-nicion de la topologıa de E. Por lo tanto, H

$Y (t)

%(u0, v0) = const para

(u0, v0) ! E, por el Lema 9.10, la continuidad de U(t) (vease Teorema9.6 ii)) y la invarianza de U(t) en F %K (vease Lema 9.11). !

50 Marco Taneco

10. Acotamiento de las soluciones de energıafinita del sistema de Lamb

En esta ultima seccion se demuestra que todas las soluciones deenergıa finita del sistema de Lamb estan acotadas para todo t ! R, conrespecto a la topologıa dada sobre el espacio de fases E.

Demostracion del Teorema 5.1, 4 (Estimacion a priori del sistema deLamb) Demostraremos la estimacion a priori (14) para t " 0. Sea Y (t) !E, por la definicion de norma en E

(139) #Y (t)#E =!!u!(x, t)

!!L2(R;Rd)

+ |u(0, t)|+ #v(x, t)#L2(R;Rd) .

Tenemos dos casos: 1) |x| " |t|. Las formulas (86), la defincion delespacio E y un cambio de variable (en el sentido de Lebesgue) implicanque existe C1 > 0 tal que

(140)!!u!(x, t)

!!L2(Rt;Rd)

+ #v(x, t)#L2(Rt;Rd) $ C1, t " 0,

en donde Rt esta definido en (85).2) |x| < |t|. Las formulas (88), (89) y (26), la defincion del espacio E, uncambio de variable (en el sentido de Lebesgue) y la cota a priori (68)implican que existe C2 > 0 tal que

(141)!!u!(x, t)

!!L2(("t,t);Rd)

+ #v(x, t)#L2(("t,t);Rd) $ C2, t " 0.

Ahora (140) y (141) implican que existe C > 0 tal que

(142)!!u!(x, t)

!!L2(R;Rd)

+ #v(x, t)#L2(R;Rd) $ C, t " 0.

Nuevamente por (34) y la estimacion a priori (68) obtenemos a partirde (139) la estimacion (14) para t " 0.

El caso t $ 0 se demuestra de manera analoga, usando las represen-taciones adecuadas de u(x, t) en |x|" |t| y |x|<|t|, cuando t < 0. !

A. La descomposicion de D’Alembert en laclase de distribuciones D%(!;Rd)

Las demostraciones de los resultados de esta seccion se pueden con-sultar en [21, Capıtulo 2] y usan basicamente la teorıa de distribucionesy un analisis detallado de las bien conocidas formulas de D’Alembertpero en el sentido distribucional.


Definicion A.1. Sea ! : R2 ! R2, una transformacion lineal definidapor

(143) !(x, t) = (x" t, x+ t);

con funcion inversa !!1 : R2 ! R2,

(144) !!1(", #) =1

2(" + #,"" + #).

Claramente tenemos

(145) |J!| = 2 y |J!!1 | = 1

2,

en donde, |J | denota el jacobiano de una transformacion lineal.Los sımbolos !+ y !! denotaran a los semi planos derecho e iz-

quierdo respectivamente. Es decir,

(146) !± :=!(x, t) # R2 | ± x > 0

".

La imagen de !+ bajo ! sera denotada por "+,

"+ = ![!+] = {(", #) # R2 : # > ""}.

Lema A.2. Sea w(", #) # D"("+;Rd) y

$"#w(", #)

$= 1(")$ r(#),

en donde, r(#) # D"(R";Rd). Entonces1) existen f+(") # D"(R#;Rd) y g+(#) # D"(R";Rd) tales que

(147) w(x, t) := w(", #) % !(x, t)

con !(x, t) definida por (143), se representa en la forma siguiente:

(148) w(x, t) = f+(x" t) + g+(x+ t),

en donde,

f+(x" t) :=#f+(")$ 1(#)

$% !(x, t),

g+(x+ t) :=#1(")$ g+(#)

$% !(x, t).

(149)

2) Si f+ # D"(R#;Rd), g+ # D"(R";Rd) es otra pareja de distribucionesque satisface (148), entonces existe una constante C+ # R tal que

(150) f+ = f+ " C+, g+ = g+ + C+.

52 Marco Taneco

Observacion A.3. Notemos que la identidad (148) se extiende de !+

a todo R2.

Ahora podemos enunciar el teorema sobre la descomposicion deD’Alembert en D!("±;Rd).

Teorema A.4. [21, Capıtulo 2] a) Si u ! D!("±;Rd), entonces lasafirmaciones 1 y 2 son equivalentes:

1.

(151) !u(x, t) = 0, sobre "±.

2. Existen f±, g± ! D!(R;Rd) tal que (148) se cumple.

3. b) Ademas, sea u(x, t) que admite el desarrollo (148). Si f±, g± !D!(R;Rd) son tales que

(152) u(x, t) = f±(x" t) + g±(x+ t), en "±,

entonces existen C± ! R tal que

(153) f± = f± " C±, g± = g± + C±.

A continuacion enunciaremos algunas propiedades especiales de lasfunciones f± g± que aparecen en (148) bajo ciertas hipotesis sobreu(x, t).

Lema A.5. Sea v(!, ") ! D!(R2;Rd) y supongamos que existen p±, q± !D!(R;Rd) tales que

(154) v(!, ") = p±(!)# 1(") + 1(!)# q±("), (!, ") ! !±.

Entonces, se cumplen las siguientes implicacionesi) v(!, ") ! C(R2;Rd) =$ p, q ! C(R;Rd),ii) Si v(!, ") ! L2

loc(R2;Rd) =$ p, q ! L2loc(R;Rd).

Corolario A.6. Sea u(x, t) ! D!("±;Rd) y supongamos que existenf±, g± ! D!(R) tal que se cumple (148) en (x, t) ! "±. Entonces, setienen las siguientes implicaciones

i) u ! C(R2;Rd) =$ f±, g± ! C(R;Rd),ii) si u ! L2

loc(R2;Rd) =$ f±, g± ! L2loc(R;Rd).


AgradecimientosEl autor expresa su profundo agradecimiento a Dios, a su familia,

al Dr. Anatoli E. Merzon y al CONACyT por su gran apoyo en estainvestigacion.

Marco Antonio Taneco HernandezInstituto de Fısica y Matematicas,Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo,Ciudad Universitaria, S/N, 58060,Morelia, Michoacan, Mexico, Edificio C-3,Centro de Ciencias Matematicas, UNAM,Apartado Postal 61-3 (Xangari), 58089,Morelia, Michoacan, Mexico,[email protected] and [email protected]

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The minimum cost flow problem with intervaland fuzzy arc costs !

Carlos M. Ramos 1 slogaS.DuileF

Abstract

We follow the total order for intervals and fuzzy numbers intro-duced by Hashemi et al. in [1] and Ghatee et al. in [2] to solve theminimum cost flow problem with either, interval or fuzzy arc costsby using its crisp model, a minimum cost flow problem associatedto original imprecise problem. Numerical simulations compare theperformance of this method in real scenarios with the algorithmproposed in [1].

2010 Mathematics Subject Classification: 65G30, 65G40, 03E72, 90C70.

Keywords and phrases: minimum cost flow problem, interval arc costs,fuzzy arc costs, crisp model.

1 Introduction

The Minimum Cost Flow Problem (MCFP) is a basic problem in net-work flow theory with several applications. The standard formulationof the MCFP assumes that input data are known precisely. In thispaper we study a slight variation of this problem where the arc costsare imprecisely known. There are previous related results in the litera-ture. In [3] the MCFP with stochastic arc costs is studied and solutionmethods are developed based on two optimality concepts: cycle marginalcosts, and network equilibrium. In [1] the MCFP with interval arc costs

!This paper extends the methods and results in the Master Thesis of the firstauthor. The thesis has been submitted to the Department of Mathematics of theCINVESTAV under the supervision of the second author.

1Supported by Conacyt (Mexico, Scolarship 230102).

55

56 C. M. Ramos and F. D. Sagols

is considered and two solution methods are introduced based on ex-tensions of some e!cient combinatorial algorithms for the MCFP. Alsotwo performance indexes are used to measure the e!ciency of thesemethods in simulations performed on di"erent scenarios. In [2] theMCFP is established for fuzzy arc costs and, just as for the problemwith interval arc costs, the proposed solution modifies the negative-cycle-canceling algorithm in order to allow the use of fuzzy numbers.In this work we solve both approaches of the MCFP: with interval andfuzzy arc costs. In both cases we solve the problem by transforming itinto a conventional MCFP. We use the performance indexes introducedin [1] to compare both, the methodology in [1] and ours.

2 Intervals and fuzzy numbers

Intervals and fuzzy numbers are mathematical representations of impre-cise quantities sucessfully applied to solve several problems in industrialengineering and operations research. Interval and fuzzy mathematicsare generalizations of real aritmethic where numbers are replaced byintervals or fuzzy numbers. Some basic fuzzy numbers concepts aredefined in Section 2.2. For all of the undefined concepts about fuzzynumbers we follow [5].

2.1 Intervals arithmetic

A closed interval in R is a set [aL, aR] = {x ! R|aL " x " aR} whereaL and aR are the left and right limits of the interval. An intervalA = [aL, aR] is an interval number and is represented by AI = #a, aw$where a = aR+aL

2 and aw = aR!aL2 % 0 are the center and the width of

the interval number AI respectively.It is common to use the following two operations on intervals.

Definition 2.1.1. Let #a, aw$ and #b, bw$ be interval numbers and ! % 0a real number. The addition of two interval numbers and the multipli-cation of an interval number by an escalar satisfies, respectively

(1) #a, aw$+ #b, bw$ = #a+ b, aw + bw$

(2) !#a, aw$ = #!a,!aw$ = #a, aw$!

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs 57

A review of intervals and their algebraic properties appears in [4].An ordering on a special kind of interval numbers was introduced

by Hashemi et al. [1] based on a weighted scheme.

Definition 2.1.2. Let !a, aw" and !b, bw" be interval numbers and k, lreal positive numbers. A relation #k,l on intervals is

!a, aw" #k,l !b, bw" $ ka+ law # kb+ lbw.

The relation #k,l on interval numbers is reflexive, transitive andcomplete. The following definition and proposition establishes that thisrelation is an ordering on a particular subset of interval numbers for aspecial election of k and l.

Definition 2.1.3. Let IQ = {!a, aw"|a, aw % Q} be the set of intervalswith rational entries.

Proposition 2.1.4 ([1]). Let ! be a non-algebraic real positive numberand k = q1!n1, l = q2!n2, where q1, q2 % Q+&{0} are non-zero rationalnumbers and n1 '= n2 % Z+. Then, the relation #k,l provides a totalorder on IQ.

2.2 Fuzzy numbers arithmetic

A fuzzy set A in the universe X is characterized by a membership (cha-racteristic) function µA : X ( [0, 1] which associates with each point

in X a “membership grade” in the interval [0, 1]. A fuzzy number A isa fuzzy set in the universe R with membership function µA where

1. µA is piecewise continuous

2. There exists a unique x0 % R with µA(x0) = 1

3. µA("x1+(1&")x2) ) min(µA(x1), µA(x2)) *x1, x2 % R, *" % [0, 1]

A fuzzy number M is said to be an LR fuzzy number if and only if

µM (x) =

!"

#L$m& x

mL

%for x # m, mL > 0

R$x&m

mR

%for x ) m, mR > 0

where L,R : R ( [0, 1] are symmetric and non-increasing on [0,++)functions such that L(0) = R(0) = 1. Quantities m, mL and mR are


called the mean value, and the left and right spreads of M respectively.Let us denote M = (m,mL,mR)LR.

For LR fuzzy numbers there are two basic operations too [5].

Definition 2.2.1. Let (a, aL, aR)LR and (b, bL, bR)LR be LR fuzzy num-bers and ! ! 0 a real number. The addition of two LR fuzzy numbersand the multiplication of a fuzzy number by escalar satisfies, respec-tively

(3) (a, aL, aR)LR !+ (b, bL, bR)LR = (a+ b, aL + bL, aR + bR)LR

(4) !(a, aL, aR)LR = (!a,!aL,!aR)LR = (a, aL, aR)LR!

Analogous to interval numbers it is possible to define an ordering ona subset of LR fuzzy numbers.

Definition 2.2.2. Let (a, aL, aR)LR and (b, bL, bR)LR be LR fuzzy num-bers and k, l, r real positive numbers. A relation "k,l,r on LR fuzzynumbers may be defined as

(a, aL, aR)LR "k,l,r (b, bL, bR)LR # ka+ laL + raR " kb+ lbL + rbR.

Definition 2.2.3. Let LRQ = {(m,mL,mR)LR|m,mL,mR $ Q} bethe set of LR fuzzy numbers with rational entries.

Proposition 2.2.4 ([2]). Let " be a non-algebraic real positive numberand k = q1"n1, l = q2"n2 and r = q3"n3 where q1, q2, q3 $ Q+%{0} arenon-zero rational numbers and n1 &= n2 &= n3 $ Z+. Then, the relation"k,l,r provides a total order on LRQ.

3 The minimum imprecise-cost flow problem

Let G = (N,A) be a directed graph where N and A are sets of nodesand arcs respectively. Each arc (i, j) $ A has a cost ci,j , and an integralcapacity ui,j . Each node i $ N has a supply or demand represented asan integer bi. If bi is negative (resp. positive or zero) then the node i isa demander (resp. supplier or transient) node. Moreover, the sum of

supplies and demands is assumed to be zero, i.e.,"

i!Nbi = 0.


The cost vector is denoted by c = (ci,j)(i,j)!A. Similarly u =(ui,j)(i,j)!A and b = (bi)i!N denote respectively the capacities and sup-plies vector. The 5-tuple N = (N,A, u, c, b) is a network.

The minimum cost flow problem on network N = (N,A, u, c, b) con-sists in determining the flow xi,j on each arc (i, j) ! A that solves thefollowing problem.

Minimize:

(5)!

(i,j)!A

ci,jxi,j

Subject to:

(6)!

{j:(i,j)!A}

xi,j "!

{j:(j,i)!A}

xj,i = bi # i ! N

(7) 0 $ xi,j $ ui,j # (i, j) ! A

The flow vector x = (xi,j)(i,j)!A is feasible if and only if it satisfiesthe contraints (6) - (7) and it is an optimal flow if its total transportingcost (5) is minimal among the costs of all feasible flows.

It is well-known that the MCFP can be solved e!ciently in (strongly)polynomial time. The running times for several algorithmic implemen-tations appears in [7, 8].

If instead of using numbers in the entries of the cost vector c weuse interval numbers (resp. fuzzy numbers) a minimum interval-costflow problem (resp. minimum fuzzy-cost flow problem), MICFP (resp.MFCFP) for short, is defined on network N . We have a minimumimprecise-cost flow problem on network N if we have either a MICFPor a MFCFP on N . The notion of feasible flow remains inaltered in thiscase, however the objective function

!

(i,j)!A

ci,jxi,j

is an interval or fuzzy number and the flow x is optimal if its cost is theminimum among all costs of feasible flows with respect to the $k,l or$k,l,r ordering.


4 The crisp model for a minimum imprecise-cost flow problem

Suppose we have a minimum imprecise-cost flow problem on a networkN = (N,A, u, c, b) with imprecise arc cost vector c, and that all arccosts ci,j are in IQ (resp. LRQ). Let k and l (resp. k, l and r) benumbers such that the Hashemi’s order is a total order on IQ (resp.LRQ).

For each arc (i, j) ! A, let us define the crisp cost ci,j as

ci,j =

!kci,j + lcwi,j , if ci,j = "ci,j , cwi,j#kci,j + lcLi,j + rcRi,j , if ci,j = (ci,j , cLi,j , c

Ri,j)LR

so we can establish the crisp model associated to the original minimumimprecise-cost flow problem as

Minimize:

(8)"

(i,j)!A

ci,jxi,j

Subject to:

(9)"

{j:(i,j)!A}

xi,j $"

{j:(j,i)!A}

xj,i = bi % i ! N

(10) 0 & xi,j & ui,j % (i, j) ! A

which is a conventional minimum cost flow problem where the restric-tions (9) - (10) are the same as in the imprecise problem but now withreal arc costs in the objective (8) instead of imprecise values.

Proposition 4.1. Let x" = (x"i,j)(i,j)!A be a feasible flow which is anoptimal solution for the crisp model (8) - (10) associated to a MFCFP.Then x" also is an optimal solution for the MFCFP.

Proof. Let k, l, and r be numbers inducing a total order on LRQ (as inProposition 2.2.4).

Notice that a flow is a feasible flow in the crisp model if and only ifit is a feasible flow in the MFCFP.

Let x" = (x"i,j)(i,j)!A be an optimal flow for the crisp model. Thenx" is a feasible flow for the MFCFP too.


If the optimal solution for the MFCFP is y! = (y!i,j)(i,j)"A and!

(i,j)"A

ci,jy!i,j <k,l,r

!

(i,j)"A

ci,jx!i,j . Then we have that

!

(i,j)"A

"ci,j , c

Li,j , c

Ri,j

#LR

y!i,j <k,l,r

!

(i,j)"A

"ci,j , c

Li,j , c

Ri,j

#LR

x!i,j

!!

(i,j)!A

"ci,jy

"i,j , c

Li,jy

"i,j , c

Ri,jy

"i,j

#LR

<k,l,r

!

(i,j)!A

"ci,jx"

i,j , cLi,jx

"i,j , c

Ri,jx

"i,j

#LR

!$ !

(i,j)"A

ci,jy!i,j ,

!

(i,j)"A

cLi,jy!i,j ,

!

(i,j)"A

cRi,jy!i,j

%

LR

<k,l,r

$ !

(i,j)"A

ci,jx!i,j ,

!

(i,j)"A

cLi,jx!i,j ,

!

(i,j)"A

cRi,jx!i,j

%

LR

! k!

(i,j)"A

(ci,jy!i,j) + l

!

(i,j)"A

(cLi,jy!i,j) + r

!

(i,j)"A

(cRi,jy!i,j) <

k!

(i,j)"A

(ci,jx!i,j) + l

!

(i,j)"A

(cLi,jx!i,j) + r

!

(i,j)"A

(cRi,jx!i,j)

!!

(i,j)"A

"kci,j + lcLi,j + rcRi,j

#y!i,j <

!

(i,j)"A

"kci,j + lcLi,j + rcRi,j

#x!i,j

!!

(i,j)"A

ci,jy!i,j <

!

(i,j)"A

ci,jx!i,j

which is a contradiction to the optimality of x! for the crisp model.Therefore, x! is an optimal solution for the MFCFP.

Corollary 4.2. Let x! = (x!i,j)(i,j)"A be a feasible flow that is an optimalsolution for the crisp model (8) - (10) associated to a MICFP. Then x!

also is an optimal solution for the MICFP.

Proof. Analogous to proof of Proposition 4.1.

The last results are rewriten as follows.

Theorem 4.3. The optimal solution for a minimum imprecise-cost flowproblem is given by the optimal solution for the associated crisp model.


Theorem 4.3 yields a simple method to solve a minimum imprecise-cost flow problem: we can directly use polynomial-time combinatorialalgorithms to obtain the optimal solution for the associated crisp model.The optimal flow found is optimal for the original minimum imprecise-cost flow problem too.

5 Numerical simulation results

The crisp model methodology was tested on networks with interval arccosts consisting of 20 nodes and exactly 40 arcs. The nodes in thesenetworks had two as average degree. These networks were randomlygenerated using the following procedure (see [3] for details).

1. Label the nodes in the network from 1 through n.

2. Set b1 = b and bn = !b for a positive integer b. The remainingnodes are transient nodes.

3. Generate n! 1 directed arcs (i, i+ 1) for all i = 1, · · · , n! 1 andset ui,i+1 = b, and ci,i+1 = "c, cw# where c and cw are positiverational constants.

4. Generate the remainning n+1 arcs (i, j) by selecting their tail andhead nodes randomly, each node should have the same probabilityto be selected, but parallel arcs and loops must be avoided. Arc’scapacities, center costs, and cost widths are uniformly drawn from[0, b], [0, c] and [0, cw] respectively.

To measure the accuracy of the crisp model for the prediction ofoptimal flows in an imprecise environment we follow the scenario ideaused in [1]. Let N = (N,A, u, c, b) be a network with interval arc costs;the network Ns = (N,A, u, cs, b) is a scenario of N if and only if eacharc cost csi,j belongs to the interval arc cost "ci,j , cwi,j# for all (i, j) $ A.Two performance indexes for a set of scenarios S of N are defined in [1]as follows.

Let V !(N ") be the optimal value of a instance of one of the problemsMCFP, MICFP or MFCFP on a given network N ". An instance of theMICFP on network N solved by the crisp model has an interval asoptimal cost, i.e., V !(N ) = "V, V w# for an interval "V, V w#. The firstperformance index denoted I1(N ), is the proportion of scenarios of N


|S| 1000 3000 5000

k l I1 I2 I1 I2 I1 I21 4! 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 6.01 3! 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 0.01 2! 1.0 5.0 1.0 5.0 1.0 0.01 ! 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.01 !/2 1.0 4.0 1.0 3.9 1.0 7.01 !/3 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 9.01 !/4 1.0 0.0 1.0 8.9 1.0 18.0

Table 1: Results of the MICFP in the random networks with 20 nodes.

whose optimal costs are in the interval V !(N ). More precisely,

I1(N ) =| {Ns ! S : V !(Ns) ! V !(N )} |

|S| .

As much as this index is close to one, the crisp model predicts the costof shipment more accurately.

Let x = (xi,j)(i,j)"A be the optimal flow in the MICFP on networkN obtained by solving its associated crisp model, and xs = (xsi,j)(i,j)"Abe the optimal flow for scenario Ns. The second performance indexdenoted I2(N ), is the maximum di!erence between arc flow entries inx and in xs normalized per cost unit. More precisely,

I2(N ) = maxNs"S

max(i,j)"A

!"

#|xi,j " xsi,j |csi,j

max(i,j)"A

csi,j

$%

& .

The method yields a better solution as the second index is close to zero.In Table 1 we report the results produced by the crisp model metho-

dology to solve some instances of the MICFP’s and the values obtainedfor I1(N ) and I2(N ). We choose similar values for k and l as used in[1, 2], and for each pair of values k and l a random network with intervalarc costs is created and then a set S of scenarios is generated. Finallythe indexes I1 and I2 are calculated.

Now let us consider the MCFP on network N where the arc costs areall LR fuzzy numbers, i.e., a MFCFP. For every " ! [0, 1] the "-level set(or "-cut) of a fuzzy set A is the ordinary set A! = {x ! X | µA(x) # "}and when A is an LR fuzzy number A! is always a closed interval.


! 0.0 0.25 0.5 0.75

k l r I1 I2 I1 I2 I1 I2 I1 I21 4" 16"2 1.0 9.5 1.0 0.0 1.0 12.0 1.0 0.01 3" 9"2 1.0 11.2 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.01 2" 4"2 1.0 10.0 1.0 3.0 1.0 0.0 1.0 0.01 " "2 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 1.01 "/2 "2/4 1.0 12.0 1.0 0.0 1.0 4.0 1.0 0.01 "/3 "2/9 1.0 20.0 1.0 0.0 1.0 0.0 1.0 0.01 "/4 "2/16 1.0 9.0 1.0 4.0 1.0 15.0 1.0 0.0

Table 2: Results for 5000 !-escenarios in the MFCFP on random net-works with 20 nodes.

Extending the scenario idea for networks with fuzzy arc costs we cantake each cost csi,j of scenario Ns in the interval defined by an !-cut ofthe fuzzy cost ci,j . Actually this gives us an !-scenario Ns(!) for eachpossible value of !.

By a similar procedure applied on a randomly generated network Nwith triangular fuzzy arc costs we measured the performance indexes I1and I2 for several !-scenarios of the MFCFP. The results obtained forsome possibility level ! are show in Table 2.

In both, Tables 1 and 2, we obtained I1 = 1 for all experiments.This improves the results reported in [1] where a value of one was neverreached for I1. On the other hand, in the same reference no valuereported for I2 is zero, but there are several entries in Tables 1 and 2where this optimal value is reached. Thus, in more than 40% of theentries in Table 1 we obtained the best possible value for I2 by usingthe crisp model and the same happened for more than 50% of entriesin Table 2. The authors of [1] never got zero values. The combinationI1 = 1 and I2 = 0 appears in 48% of the results reported in Tables 1and 2, hence in almost 50% of all experiments performed we obtainedaccurate solutions.

6 Conclusion

Minimum cost flow problems are important in network optimizationdue to their wide range of applications. In this paper we assumed that


arc costs in the network are imprecise values that could be describedby intervals as well as by LR fuzzy numbers. We solved the minimumcost flow problem with imprecise arc costs by applying the crisp modelmethodology and transforming it into a crisp minimum cost flow pro-blem. This transformation was based on the total order introduced in[1, 2] for a special kind of intervals and fuzzy numbers. Although in thispaper we choose the k, l and r values accordingly to the recommenda-tions in [1, 2], it is an important question to ask for a proper way to dothis selection, because in a floating arithmetic system it is impossible torepresent non-algebraic numbers even if they are computable.

Our choosing of k, l and r as powers (including exponent 0) ofrational multiples of ! is motivated (and supported) by the positiveresults reported in Tables 1 and 2. Yet, we believe a deeper study is inorder because the use of a floating point system has radical consequenceson the truthfulness of Propositions 2.1.4 and 2.2.4.

Finally, numerical simulation showed that the use of the crisp modelmethodology improves upon the extension of the combinatorial algo-rithm proposed in [1] and [2], and it is at least comparable to the existingmethods.

Carlos M. RamosDepartamento de matematicas,Centro de Investigacion y deEstudios Avanzados del IPN,Apartado Postal 14-740,07000 Mexico, [email protected]

Feliu D. SagolsDepartamento de matematicas,Centro de Investigacion y deEstudios Avanzados del IPN,Apartado Postal 14-740,07000 Mexico, [email protected]

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Morfismos se imprime en el taller de reproduccion del Departamento de Matema-ticas del Cinvestav, localizado en Avenida Instituto Politecnico Nacional 2508, Colo-nia San Pedro Zacatenco, C.P. 07360, Mexico, D.F. Este numero se termino de im-primir en el mes de marzo de 2012. El tiraje en papel opalina importada de 36kilogramos de 34 × 25.5 cm. consta de 50 ejemplares con pasta tintoreto color verde.

Apoyo tecnico: Omar Hernandez Orozco.

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Marco Antonio Taneco Hernandez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

The minimum cost flow problem with interval and fuzzy arc costs

slogaS.DuileFdnasomaR.MsolraC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

morfismos, vol 15, no 1, 2011

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