morfismos, vol 12, no 1, 2008

VOLUMEN 12

NÚMERO 1

ENERO A JUNIO DE 2008

ISSN: 1870-6525

Morfismos

Comunicaciones EstudiantilesDepartamento de Matematicas

Cinvestav

Editores Responsables

• Isidoro Gitler • Jesus Gonzalez

Consejo Editorial

• Luis Carrera • Samuel Gitler• Onesimo Hernandez-Lerma • Hector Jasso Fuentes

• Miguel Maldonado • Raul Quiroga Barranco• Enrique Ramırez de Arellano • Enrique Reyes

• Armando Sanchez • Martın Solis• Leticia Zarate

Editores Asociados

• Ricardo Berlanga • Emilio Lluis Puebla• Isaıas Lopez • Guillermo Pastor

• Vıctor Perez Abreu • Carlos Prieto• Carlos Renterıa • Luis Verde

Secretarias Tecnicas

• Roxana Martınez • Laura Valencia

ISSN: 1870 - 6525

Morfismos puede ser consultada electronicamente en “Revista Morfismos”en la direccion http://www.math.cinvestav.mx. Para mayores informes dirigirseal telefono 57 47 38 71.

Toda correspondencia debe ir dirigida a la Sra. Laura Valencia, Departa-mento de Matematicas del Cinvestav, Apartado Postal 14-740, Mexico, D.F.07000 o por correo electronico: [email protected].

VOLUMEN 12

NÚMERO 1

ENERO A JUNIO DE 2008

ISSN: 1870-6525

Informacion para Autores

El Consejo Editorial de Morfismos, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento deMatematicas del CINVESTAV, convoca a estudiantes de licenciatura y posgrado a someterartıculos para ser publicados en esta revista bajo los siguientes lineamientos:

• Todos los artıculos seran enviados a especialistas para su arbitraje. No obstante, losartıculos seran considerados solo como versiones preliminares y por tanto pueden serpublicados en otras revistas especializadas.

• Se debe anexar junto con el nombre del autor, su nivel academico y la instituciondonde estudia o labora.

• El artıculo debe empezar con un resumen en el cual se indique de manera breve yconcisa el resultado principal que se comunicara.

• Es recomendable que los artıculos presentados esten escritos en Latex y sean enviadosa traves de un medio electronico. Los autores interesados pueden obtener el for-mato LATEX2ε utilizado por Morfismos en “Revista Morfismos” de la direccion webhttp://www.math.cinvestav.mx, o directamente en el Departamento de Matematicasdel CINVESTAV. La utilizacion de dicho formato ayudara en la pronta publicaciondel artıculo.

• Si el artıculo contiene ilustraciones o figuras, estas deberan ser presentadas de formaque se ajusten a la calidad de reproduccion de Morfismos.

• Los autores recibiran un total de 15 sobretiros por cada artıculo publicado.

• Los artıculos deben ser dirigidos a la Sra. Laura Valencia, Departamento de Matemati-cas del Cinvestav, Apartado Postal 14 - 740, Mexico, D.F. 07000, o a la direccion decorreo electronico [email protected]

Author Information

Morfismos, the student journal of the Mathematics Department of the Cinvestav, invitesundergraduate and graduate students to submit manuscripts to be published under thefollowing guidelines:

• All manuscripts will be refereed by specialists. However, accepted papers will beconsidered to be “preliminary versions” in that authors may republish their papers inother journals, in the same or similar form.

• In addition to his/her affiliation, the author must state his/her academic status (stu-dent, professor,...).

• Each manuscript should begin with an abstract summarizing the main results.

• Morfismos encourages electronically submitted manuscripts prepared in Latex. Au-thors may retrieve the LATEX2ε macros used for Morfismos through the web sitehttp://www.math.cinvestav.mx, at “Revista Morfismos”, or by direct request to theMathematics Department of Cinvestav. The use of these macros will help in theproduction process and also to minimize publishing costs.

• All illustrations must be of professional quality.

• 15 offprints of each article will be provided free of charge.

• Manuscripts submitted for publication should be sent to Mrs. Laura Valencia, De-partamento de Matematicas del Cinvestav, Apartado Postal 14 - 740, Mexico, D.F.07000, or to the e-mail address: [email protected]

Lineamientos Editoriales

“Morfismos” es la revista semestral de los estudiantes del Departamento de Mate-maticas del CINVESTAV, que tiene entre sus principales objetivos el que los estu-diantes adquieran experiencia en la escritura de resultados matematicos.

La publicacion de trabajos no estara restringida a estudiantes del CINVESTAV;deseamos fomentar tambien la participacion de estudiantes en Mexico y en el extran-jero, ası como la contribucion por invitacion de investigadores.

Los reportes de investigacion matematica o resumenes de tesis de licenciatura,maestrıa o doctorado pueden ser publicados en Morfismos. Los artıculos que apare-ceran seran originales, ya sea en los resultados o en los metodos. Para juzgar esto,el Consejo Editorial designara revisores de reconocido prestigio y con experiencia enla comunicacion clara de ideas y conceptos matematicos.

Aunque Morfismos es una revista con arbitraje, los trabajos se conside-raran como versiones preliminares que luego podran aparecer publicadosen otras revistas especializadas.

Si tienes alguna sugerencia sobre la revista hazlo saber a los editores y con gustoestudiaremos la posibilidad de implementarla. Esperamos que esta publicacion pro-picie, como una primera experiencia, el desarrollo de un estilo correcto de escribirmatematicas.

Morfismos

Editorial Guidelines

“Morfismos” is the journal of the students of the Mathematics Department ofCINVESTAV. One of its main objectives is for students to acquire experience inwriting mathematics. Morfismos appears twice a year.

Publication of papers is not restricted to students of CINVESTAV; we want toencourage students in Mexico and abroad to submit papers. Mathematics researchreports or summaries of bachelor, master and Ph.D. theses will be considered forpublication, as well as invited contributed papers by researchers. Papers submittedshould be original, either in the results or in the methods. The Editors will assignas referees well–established mathematicians.

Even though Morfismos is a refereed journal, the papers will be con-sidered as preliminary versions which could later appear in other mathe-matical journals.

If you have any suggestions about the journal, let the Editors know and we willgladly study the possibility of implementing them. We expect this journal to foster, asa preliminary experience, the development of a correct style of writing mathematics.

Morfismos

Contenido

Pozos potenciales poco profundos para la ecuacion discreta de Schrodinger

Joel Arturo Rodrıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova . . . . . . . . . . . . 1

A proof of the multiplicative property of the Berezinian

Manuel Vladimir Vega Blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Morfismos, Vol. 12, No. 1, 2008, pp. 1–43

Pozos potenciales poco profundos para laregnidorhcSedatercsidnoicauce *

Joel Arturo Rodrıguez-CeballosPetr Zhevandrov Bolshakova

Resumen

Vamos a considerar la ecuacion unidimensional discreta -orhcSeddinger de paso h cuando esta tiene un cierto potencial suficiente-

cErev(oneuqepetnem . (4)). Se sabe que el espectro esencial delcorrespondiente operador discreto -infieDesaev(regnidorhcSed

.laerejeledatinfidutignoledotnemgesnuneetsisnoc)9.1.3noicDos valores propios aislados aparecen en el exterior de dicho espec-tro, proximos, respectivamente, a cada uno de sus extremos. Eneste artıculo se construye una expresion explıcita para cada unode esos valores propios y las funciones propias correspondientes.

2000 Mathematics Subject Classification: 39A12, 35P15.Palabras y expresiones claves: ecuacion discreta de Schrodinger, asinto-tica, funciones propias, serie de Neumann.

1. Introduccion

regnidorhcSed)aunitnoc(lanoisnemidinunoicauceaL

(1)

!− d2

dx2+ εV (x)

"Ψ(x) = EΨ(x)

cuando V (x) ∈ C∞0 (Rx),

#R V (x)dx ≤ 0 y ε → -avocinunueneit,0

lor propio negativo Eε = −µ2(ε), µ(ε) > 0 a la izquierda del espectro

*El material de este artıculo esta basado en la tesis doctoral del primer autor,ex-becario del CONACyT, realizada en el Instituto de Fısica y Matematicas de laUniversidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo.

1

2 Joel Arturo Rodrıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova

esencial [0,∞). Aproximaciones asintoticas (respecto al parametro pe-queno ε) de ese valor propio fueron encontradas explıcitamente Landau& Lifshitz [10], Simon [16] y Zhevandrov & Merzon [19], [20], usandodiferentes metodos (veanse tambien [1], [5]). Con E = −µ2, Zhevandrov& Merzon pasan a la representacion de momentos correspondiente, paraobtener

(2) (p2 + µ2)!Ψ(p) = − ε√2π

"

R

!V (p − p′)!Ψ(p′)dp′,

donde la tilde denota la transformada de Fourier (ver [3]). Ya queV (x) = 0 para |x| grande, para tales x tenemos Ψ(x) ∼ e−µ|x|, y Ψ(x)es casi constante porque µ → 0. Luego su transformada de Fourier esuna funcion tipo δ y el lado derecho en (2) es aproximadamente igual a!V (p) salvo una constante multiplicativa. De aquı que es natural escogerel ansatz sugerido por (2), a saber,

!Ψ(p) =a0(p) + εa1(p) + . . .

p2 + ε2(β0 + εβ1 + . . .)2,(3)

con nuevas incognitas ak(p) ∈ S(R), βk ∈ C, con el fin de construir unasolucion asintotica formal. Sustituyendo (3) en (2), descomponemos laintegral resultante1 usando el metodo de residuos y desarrollamos cadalado de la igualdad que queda en serie de potencias de ε. Igualando entresı los coeficientes de potencias del mismo grado se obtienen ecuacionespara ak(p), βk. A continuacion, por medio de un razonamiento standard,se prueba que la asintotica formal aproxima en efecto a la funcion propia.

Por otra parte las ecuaciones en diferencias surgen frecuentemen-te en analisis numerico, cuando se busca aproximar sistemas continuospor discretos, y en modelos discretos con aplicaciones (vease [7]), loque incluye a la mecanica cuantica (vease [12]). En este contexto lapregunta natural de si aparece tambien un valor propio para la ecua-cion unidimensional discreta de Schrodinger con un potencial “pequeno”puede contestarse afirmativamente. Primeramente veremos la aparicionde valores propios aislados para un potencial rectangular centrado en elorigen, hecho del cual se deduce, haciendo uso del principio variacional,la unicidad de los valores propios aislados que aparecen cuando tenemosun pozo de potencial pequeno con forma arbitraria.

Para poder aplicar al caso discreto la tecnica de Zhevandrov-Merzoncomentada se interpola la ecuacion discreta de Schrodinger a todo el

1Note que el integrando correspondiente solo tiene 2 polos.

Ecuacion discreta de Schrodinger con pozos potenciales poco profundos 3

eje real, pasando a continuacion a la transformada de Fourier (Secc.3). El proceso subsecuente, analogo al de la ecuacion continua, parala obtencion de las aproximaciones asintoticas de los valores propios yfunciones propias en el caso de la ecuacion discreta, se presenta en laSecc. 5 (vease ademas [13]). En la Seccion 6 se expone una modificacionde este acercamiento, obteniendose como resultado neto una solucionexacta al problema del potencial pequeno para la ecuacion discreta deSchrodinger (que por supuesto coincide con la expansion asintotica —dehecho convergente— encontrada previamente).

2. El problema y los resultados

Consideremos la version discreta, usando diferencias divididas finitascentrales, de la ecuacion (1), a saber, la ecuacion unidimensional discretade Schrodinger

(4) − 1h2

(ψj+1 − 2ψj + ψj−1) + εVjψj = Eψj , ψj ∈ ℓ2,

donde ψj y Vj designan los valores de las funciones Ψ(x) y V (x) en losnodos de la malla (uniforme) con paso h > 0, e. g., ψj = Ψ(jh), j ∈ Z,y ε → 0+. Ası V ≡ Vj es un potencial discreto de soporte compacto,i.e.,

(5) Vj = 0, |j| ≥ R, R ∈ R+

suficientemente grande; ası que!∞

j=−∞ Vj =![R]

j=−[R] Vj , donde [R]significa la parte entera de R. Podemos entonces escribir

!j Vj simple-

mente. Ademas, definimos

(6) m0 ≡ |mınVj | , j ∈ Z.

La formulacion matematica del problema consiste en la busqueda delas soluciones no triviales ψj de la Ec. (4) con las condiciones dadasen los parrafos precedentes en esta seccion. Enunciamos los siguientesresultados.

Teorema 2.1.1. Sea!

j Vj ≤ 0. Entonces el unico valor propio negativodel problema (4) es E = −β2

h(ε), donde

βh(ε) = −hε

2

"

j

Vj +h4ε2

16π

#

Γs,h

"

j, k

VjVkei(k−j)hζ dζ

sen2 hζ2

+ O(ε3)(7)


es la solucion de la ecuacion secular para β (136). El contorno Γs,h

esta definido por (66). El vector propio perteneciente a este valor propioes ψj, donde ψj = Ψh(jh) y Ψh(x) es la transformada inversa deFourier de

(8) !Ψh(p) = −"

π

2ε

βh(ε)

h√2π

#j

Vje−ijhp + εfβ(h, ε, p)

4h2 sen2 hp

2 + β2h(ε)

χ[−π/h,π/h](p).

Aquı fβ es analıtica en la banda Bπ/h dada por (55) y 2π/h-periodica.Ademas, ∥fβ∥ = O(1) uniformemente en ε, donde ∥ · ∥ es la norma delsupremo.

Teorema 2.1.2. Sea#

j Vj ≥ 0. Entonces el unico valor propio positivodel problema (4) es E = 4/h2 + γ2

h(ε), donde

(9) γh(ε) =hε

2

$

j

Vj +h4ε2

16π

%

Γc,h

$

j, k

(−1)j+kVjVkei(k−j)hζ dζ

cos2 hζ2

+ O(ε3)

es la solucion de la ecuacion secular para γ (145). El contorno Γc,hesta definido por (142). El vector propio perteneciente a este valor propioes ψj, donde ψj = Ψh(jh) y Ψh(x) es la transformada inversa deFourier de

(10) !Ψh(p) ="

π

2ε

γh(ε)

h√2π

#j

(−1)jVje−ijhp + εfγ(h, ε, p)

4h2 cos2 hp

2 + γ2h(ε)

χ[−π/h,π/h](p).

Aquı fγ es analıtica en la banda Bπ/h dada por (55) y 2π/h-periodica.Ademas, ∥fγ∥ = O(1) uniformemente en ε, donde ∥ · ∥ es la norma delsupremo.

3. Reduccion a un caso continuo

Para aplicar la tecnica de Zhevandrov-Merzon comentada en la Intro-duccion, interpolamos la Ec. (4) a todo el eje real. Cual interpolaciones la mas recomendable se decide por analogıa a lo ocurrido en el casocontinuo. Introducimos entonces la siguiente

Definicion 3.1.3. Sea el operador Dh dado por Dh≡&Eh/2−E−h/2

'/h,

donde Ey : L2(R) −→ L2(R) es el operador de traslacion por y ∈ R talque

(11) [Eyu] (x) = u(x + y), u ∈ L2(R).


Luego la interpolacion correspondiente del primer termino de (4) resultaser

(12) −[Dh2ΨInt](x),

donde ΨInt(x) es una interpolacion de ψj.

Definicion 3.1.4. El operador pseudodiferencial L(x, !p) : L2(R) −→L2(R), !p = −id/dx esta definido por su sımbolo L(x, p) en la siguienteforma [15], [17], [18]

[L(x, !p)u] (x) =1√2π

"

ReipxL(x, p)#u(p)dp , u(x) ∈ L2(R).

De esta forma, ya que2

(13) [Eyu]#(p) = eipy#u(p),

tenemos que eipy es el sımbolo del operador de traslacion Ey dado por(11). Ası

[D2hu]#(p) = − 4

h2sen2 hp

2· #u(p) y Dh =

2i

hsen

h!p2

.

Note que el sımbolo de −d 2/dx2 es p2, mientras que el de −Dh2 es

4h2

sen2 hp

2.

Esto ocasiona que el integrando analogo al que aparece en (2) con elansatz (3) tenga un numero infinito de polos. La interpolacion para (4)debe ser tal que dicho integrando se anule fuera de un intervalo finitoy al reducirse el calculo de la integral solamente a dicho intervalo, sereduzca a dos a su vez el numero de polos efectivos del integrando. Porla forma de la ecuacion para los polos, a saber,

(14)4h2

sen2 hz

2+ β2 = 0,

E = −β2, β → 0, ε → 0, el intervalo en cuestion mas natural es[−π/h,π/h]. Es decir, dicha interpolacion debe pertenecer al espacio

2Usaremos consistentemente la notacion [. . .]e(p) para la transformada de Fourierde [. . .].


de Hilbert de las funciones de banda limitada a frecuencias f = p/2πtales que f ≤ 1/2h, (vease [6] Lecc. 38) definido por

Mh ≡!

u(x) ∈ L2(R) : supp "v(p) ⊂ [−π/h, π/h]#

.

Introduzcamos entonces la funcion seno cardinal dada mediante la for-mula senc x ≡ senx/x, x = 0; senc 0 = 1. Si b ∈ R+,

(15) [senc bx]"(p) =$

π

21bχ[−b, b](p),

donde χI denota la funcion caracterıstica del conjunto I. Observemosque la familia de traslaciones de funciones seno cardinal dada por

(16)%

senc π&x

h− j

'(

j∈Z

constituye una base ortogonal para Mh ya que el intervalo [−π/h, π/h]es el soporte de la transformada de Fourier

)senc π

&x

h− j

'*"(p) =

h√2π

χ[−π/h, π/h](p)e−ijhp

de cada miembro de dicha familia y

(17)+

Rsenc π(x − k) senc π(x − l)dx = δkl, k, l ∈ Z,

donde δjk es el sımbolo de Kronecker. Por ello usamos para la Ec. (4)la interpolacion definida en seguida.

Definicion 3.1.5. Para una sucesion dada vj ∈ ℓ2 definimos la in-terpolacion de Whittaker-Kotelnikov vh(x) por

(18) vh(x) ≡,Kothvj

-(x) =

∞.

j=−∞vj senc π(x/h − j).

La transformada de Fourier de (18) es entonces

"vh(p) ≡,Kothvj

-"(p) =

h√2π

χ[−π/h, π/h](p)∞.

j=−∞vje

−ijhp.(19)

Nota 3.1.6. Por el teorema de Riesz-Fischer, vh(x) ∈ Mh; de hecho, elsoporte de [Kothvj]"(p) sigue siendo [−π/h,π/h].


Aplicando la formula (18) al primer termino en la Ec. (4) obtenemos

(20)!Koth

1h2

ψj+1 − 2ψj + ψj−1"

(x)

=1h2

#Ψh(x + h) − 2Ψh(x) + Ψh(x − h)

$.

Por (12) vemos que el lado derecho de (20) es igual a%D2

hΨh

&(x), con

D2h : Mh −→ Mh.

Definicion 3.1.7. Sea 'Vh : L2(R) −→ Mh el operador tal que

(21) ['Vhu](x) =%KothVjuj

&(x), u ∈ L2(R), uj = u(jh).

Nota 3.1.8. 'Vh puede representarse en la forma integral

(22) ['Vhu](x) =(

RKh(x, x′)uh(x′)dx′

con nucleo

(23) Kh(x, x′) =1h

)

j

Vj senc π(x/h − j) senc π(x′/h − j).

En efecto, sustituimos (23) y la formula (18) aplicada a uh(x) en el ladoderecho de (22). Obtenemos (21) observando la propiedad (17).

Luego la interpolacion del segundo termino en la Ec. (4) es igual a%'VhΨh

&(x), con 'Vh : Mh −→ Mh. Finalmente obtenemos para el proble-

ma (4) la ecuacion interpolada a todo R:

(24)*−Dh

2 + ε'Vh

+Ψh = EΨh,

analoga a (1).

Definicion 3.1.9. Al operador pseudodiferencial 'Hh,ε : Mh −→ Mh

dado por

(25) 'Hh,ε ≡ −Dh2 + ε'Vh,

que actua sobre Ψh en el lado izquierdo de (24), lo llamamos operadordiscreto de Schrodinger (aunque involucra una variable continua).


El paso a la transformada de Fourier de la interpolacion de Whittaker-Kotelnikov (24) de la ecuacion discreta de Schrodinger viene caracteri-zada por el siguiente

Lema 3.1.10. !Ψh(p) (usamos la definicion (19)) satisface la ecuacion

(26)"

4h2 sen2 hp

2 − E#

!Ψh(p) = − ε√2π

$ π/h

−π/hW (p − p′)!Ψh(p′)dp′

en p ∈ [−π/h, π/h]. Aquı W (p) denota la 2π/h-continuacion periodicaa todo R de !Vh(p) (la transformada de Fourier de Vh(x)) y esta dadapor

(27) W (p) =h√2π

%

j

Vje−ijhp.

Nota 3.1.11. Note que W (p) ∈ C∞(Rp) y depende de h tambien.

Demostracion: Sustituimos (1/√

2π )&R e−ip′x′Ψh(x′)dx′ en lugar de

!Ψh(p′) en el integrando de (26), y suponemos que el lado derecho de (26)esta multiplicado por χ[−π/h, π/h](p). Aplicando la transformada inversade Fourier a (26), tenemos

'−D2

h − E(Ψh(x)

= − ε)(2π)3

π/h$

−π/h

eipx

π/h$

−π/h

W (p − p′)∞$

−∞

e−ip′x′Ψh(x′)dx′dp′dp

= − hε

(2π)2

∞$

−∞

π/h$

−π/h

π/h$

−π/h

%

j

Vjeipx−ijh(p−p′)−ip′x′

dp′dp Ψh(x′)dx′

= − ε

h

$

R

%

j

Vj senc π(x/h − j) senc π(x′/h − j)Ψh(x′) dx′.

Igualando la primera y ultima lıneas, usando (22) y transponiendo ob-tenemos (24). !

Vamos ahora a precisar el espectro del operador que actua en el ladoizquierdo de la Ec. (4), a saber, *Hd,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 tal que

(28) *Hd,h,εψj = −Dd,h2ψj + εVjψj,


donde Dd,h : ℓ2 −→ ℓ2 (que es un operador acotado) actua de la forma

Dd,h2 ψj =

1h2

!ψj+1 − 2ψj + ψj−1

"

y Vj es el potencial discreto de soporte compacto de la misma Ec. (4).Tenemos entonces que #Hd,h,εψj = [Hh,εΨh](jh), donde la sucesionψj ∈ ℓ2 y Ψh(x) ≡

$Kothψj

%(x). El operador Dd,h

2 es simetrico:

(29)&

j

(ψj+1 + ψj−1)ψj =&

k

(ψk−1ψk + ψkψk−1),

donde la suma del lado derecho es real ya que ψk−1ψk + ψkψk−1 =2Reψk−1Reψk + Imψk−1Imψk, y por la igualdad (29),

(30)&

j

(ψj+1 + ψj−1)ψj =&

l

ψl(ψl+1 + ψl−1).

Puesto que el termino εVjψj en (28) es una perturbacion autoadjuntay compacta en ℓ2(Z) del operador −Dd,h

2, el teorema de Weyl nosindica que el espectro esencial de (4) coincide con el de la ecuacion libre(Vj ≡ 0). Entonces tenemos el siguiente

Lema 3.1.12. El espectro esencial σess( #Hd,h,ε) del operador #Hd,h,ε es elintervalo [0, 4/h2] del eje real.

Demostracion: En efecto, sea λ ∈ C![0, 4/h2]. Tenemos que λ+Dh2

es uno-uno, ya que'λ − 4

h2 sen2 hp2

()u(p) = 0 implica u = 0. Si para

v ∈ Mh existe alguna u ∈ Mh tal que (λ + Dh2)u = v, entonces

u = (λ + Dh2)−1v =

1√2π

π/h*

−π/h

eipx)v(p)λ − 4

h2 sen2 hp2

dp.

Vemos que el operador (λ + Dh2)−1 es acotado:

++(λ + Dh2)−1v

++2

L2(R)= v

+++++)v(p)

λ − 4h2 sen2 hp

2

+++++

2

L2(R)

≤ 1m2

1

* π/h

−π/h|)v(p)|2 dp =

1m2

1

∥v∥2L2(R) ,


donde m1 es la distancia de λ al segmento [0, 4/h2]. Luego C![0, 4/h2] ⊂el conjunto resolvente ρ(−Dh

2).Tomemos ahora λ ∈ [0, 4/h2] y consideremos la sucesion de funciones

uυ(x) ∈ Mh, υ > 0, υ → 0+ tales que

!uυ(p) =υ−1/4

√2rυ

χ[−π/h,π/h](p)e−(p−p0)2

4υ eip0p, rυ ≡ 1√2

" π/h−p0√2υ

−π/h+p0√2υ

e−τ2dτ,

donde p0 ∈ R+ es una solucion de la Ec. (14) con β2 = −λ. Notese querυ →

#π/2, υ → 0+. Tenemos entonces que

∥uυ∥2L2(R) =

υ−1/2

2rυ

√2υ

" π/h−p0√2υ

−π/h+p0√2υ

e−τ2dτ = 1,

donde τ2 = (p − p0)2/2υ. Por otra parte

$$(λ + Dh2)uυ

$$2L2(R)

=16h4

$$$%sen2 hp0

2 − sen2 hp2

&'uυ

$$$2

L2(R)

=8υ−1/2

h4rυ

" π/h

−π/h(p − p0)2F 2(p, p0)e−

(p−p0)2

2υ dp

≤ 16√

2M0υ

h4rυ

" π/h−p0√2υ

−π/h+p0√2υ

τ2e−τ2dτ

=8√

2M0υ

h4rυ

(√2rυ −

)2υ

πhe−

(π/h−p0)2

2υ

*−−−→υ→0

0,

donde

F (p, p0) =1"

0

%sen2 hξ

2

&′

ξ

++++ξ=p0+s(p−p0)

ds ∈ C∞(Rp)

(lema de Hadamard) y M0 es el maximo de F (p, p0) en [−π/h, π/h].Luego σess(−Dd,h

2) = σess( ,Hd,h,ε) = [0, 4/h2]. !

4. Unicidad de los Valores Propios

Comenzaremos enunciando el siguiente


Lema 4.1.13. Sea

(31) Vj = ±mN!

k=−N

δjk,

m > 0, N ∈ N, donde δjk es el sımbolo de Kronecker. Entonces el unicovalor propio del problema (4) es E = 4 + γ2(ε) (si se toma el signo +en (31)) o E = −β2(ε) (si se toma el signo − en (31)), donde

(32) β = γ = (2N + 1)mhε/2 + O(ε2).

Demostracion: Consideremos primeramente la Ec. (4) cuando Vj =−mχ0(j), con m > 0, E = −β2(ε), β > 0, β → 0+, ε → 0+:

(−ψj+1 + 2ψj − ψj−1)/h2 − χ0(j)mεψj = −β2ψj ,

de donde tenemos

(33) ψj+1 +"χ0(j)mε − 2/h2 − β2

#h2ψj + ψj−1 = 0.

Buscamos ψ = ψj con

(34) ∥ψ∥ℓ2(Z) = 1

para la Ec. (33), y encontramos β, como funcion de la profundidad mεdel potencial εVj. Para ello procedemos a resolver la ecuacion

(35) ψj+1 +"V mh2ε − p1(β)

#ψj + ψj−1 = 0,

donde V es una constante (no depende de j) igual a 0 o 1, y donde

(36) p1(β) = 2 + h2β2.

Proponemos una solucion rjV , donde rV denota una constante dis-

tinta de 0 (no depende de j pero sı de V ); tenemos ahora la ecuacionalgebraica para rV

r2V +

"V mh2ε − p1

#rV + 1 = 0,

cuyas soluciones son

rV ± = 1 +β2 − V mε

2h2 ± h

$

(β2 − V mε)%

1 +β2 − V mε

4h2

&.(37)


La solucion general de la Ec. (35) esta dada por ψV = ψV,j con

(38) ψV,j = AV rjV + + BV rj

V − ,

donde AV , BV son constantes arbitrarias . Ası, la solucion general de laEc. (33) esta dada por ψ = ψj con

ψj = χ0(j)ψ1,j + χZ!0(j)ψ0,j .

Para satisfacer la condicion (34) hacemos C = A1 + B1, B0 = BχZ+(j)y A0 = AχZ−(j). Ası

(39) ψj =

⎧⎪⎨

⎪⎩

Arj+, j ≤ −1;

C, j = 0;Brj

−, j ≥ 1,

donde r± = r0±. En particular

(40)ψ−2 = Ar−2

+ , ψ−1 = Ar−1+ , ψ0 = C,

ψ1 = Br+, ψ2 = Br2− .

Pegando las tres secciones de (39) observando que (33) es satisfechacuando j = −1, j = 0 y j = 1 tenemos

ψ0 − p1ψ−1 + ψ−2 = 0,

ψ1 + (mh2ε − p1)ψ0 + ψ−1 = 0,

ψ2 − p1ψ1 + ψ0 = 0.

Sustituyendo las correspondientes ψj ’s dadas por (40) en estas ecuacio-nes obtenemos

(41)

C − p1Ar−1+ + Ar−2

+ = 0,

Br− + (mh2ε − p1)C + Ar−1+ = 0,

Br2− − p1Br− + C = 0.

Este sistema tiene soluciones no triviales para A, B y C si

(42)

∣∣∣∣∣∣

−p1r−1+ + r−2

+ 0 1r−1+ r− mh2ε − p1

0 r2− − p1r− 1

∣∣∣∣∣∣= 0.


Note que

r± = 1 +h2β2

2± hβ

!1 +

h2β2

4,(43)

el cual se obtiene haciendo V = 0 en (37); ademas, note que r+r− = 1,r+ + r− = p1. Por lo tanto, simplificando (42) se convierte en

""""""

−1 0 1r− r− mh2ε − p1

0 −1 1

""""""= 0.

Esto nos provee la ecuacion

2r− + mh2ε − p1 = 0,

de la cual, de acuerdo a (36) y (43), podemos escribir en su turno

(44) mhε − 2β

!1 +

h2β2

4= 0.

Considere la funcion

Fr(β, ε) = mhε − 2β

!1 +

h2β2

4.(45)

Ası tenemos que la funcion Fr(β, ε) es continuamente diferenciable encada argumento. Ademas, Fr(0, 0) = 0, y como

∂βFr = − 2 + h2β2

#1 + h2β2

4

,

tenemos que [∂βFr](0, 0) = −2. De aquı que, por el teorema de la funcionimplıcita, la solucion β(ε) para β de la ecuacion secular (44), la cualtiende a cero cuando ε → 0, existe, es unica y esta dada por (47). Paraencontrar esta ultima expresion tenemos, de la Ec. (44), que

(46) mhε = 2β

!1 +

h2β2

4.

Ya que !1 +

h2β2

4= 1 + O(h2β2)


cuando β → 0, sustituimos la ultima expresion en (46) y obtenemos

(47) β =mhε

2+ O(ε2).

Resolviendo el sistema (41) tenemos que A = B = C. Aquı la constantelibre, digamos C, se determina por la condicion (34).

Consideremos ahora la Ec. (4) en el caso en que Vj = mχ0(j),m > 0. Suponga ademas que E = 4 + γ2(ε), γ > 0, γ → 0+, ε → 0+.Por un proceso analogo al precedente tambien tenemos que γ es unicoy esta dado por γ = mhε/2 + O(ε2). En forma similar, consideremos laEc. (4) cuando Vj esta dado por (31), es decir, cuando V es un potencialdiscreto de barrera (tomando el signo + en (31) o pozo (tomando el signo−) que tiene altura o profundidad m, respectivamente, sobre [−Nh, Nh],y que vale 0 en cualquier otro lugar. Suponga ademas que E = 4+γ2(ε)(para la barrera) o E = −β2(ε) (para el pozo), β, γ > 0, β, γ → 0+,ε → 0+. Por un proceso analogo a los de los potenciales previamenteanalizados en esta demostracion podemos ver que β o γ son unicos, paralos casos del pozo o la barrera respectivamente, y estan dados por (32).

!Ahora vamos a abordar la cuestion de la unicidad de los valores

propios para el problema (4). Tenemos el siguiente

Lema 4.1.14. Supongamos que existe algun valor propio E = −β2(ε),β > 0, β → 0+, ε → 0+, para el problema (4). Entonces para ε suficien-temente pequeno tal valor propio es unico.

Demostracion: Sea el operador !Hd1,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 tal que

!Hd1,h,εψj ="−(ψj+1 − 2ψj + ψj−1)/h2 − m0εχ[−[R], [R]](j)ψj

#,

siendo R la referida en (5) y m0 el definido en (6). Observemos que esteoperador es un caso particular del operador !Hd,h,ε, lo que podemos versustituyendo en el lado izquierdo de la Ec. (28) el potencial Vj dado porel signo negativo de (31), con m = m0 y N = [R]. El potencial discretodel operador !Hd1,h,ε es un pozo rectangular de profundidad m0 que vade −[R]h a [R]h. Este potencial lo expresamos como

Vj,1 ≡ −m0"χj∈Z ! |j|<R(j)

#.

Recordemos que !Hd1,h,ε y !Hd,h,ε son autoadjuntos. Por otra parte tene-mos que los potenciales de ambos operadores estan acotados por debajopor −m0, a saber,

(48) −m0 ≤ Vj,1 ≤ Vj , j ∈ Z.


Luego !Hd1,h,ε y !Hd,h,ε son operadores que estan acotados por deba-jo. En efecto, observemos que −Dd,h

2 es un operador no negativo yaque pasando a la transformada de Fourier F de su interpolacion deWhittaker-Kotelnikov tenemos

"−Dd,h

2ψj, ψj# FKoth−−−−−−−−−−−→ 4

h2

$ π/h

−π/hsen2 hp

2

%%&Ψh(p)%%2dp ≥ 0,

de lo cual" !Hd,h,εψj, ψj

#≥ ε

'

j

Vj |ψj |2 ≥ −εm0∥ψ∥2ℓ2(Z).

Tambien, de (48) y del hecho de que el dominio de definicion de estosoperadores es todo el espacio de Hilbert ℓ2(Z) puede verse que

!Hd1,h,ε ≤ !Hd,h,ε.

Luego, siendoN(λ; T ), λ ∈ R

la funcion de distribucion del espectro de T sobre el intervalo (−∞,λ),se cumple que ([2], Secc. S1.3, Prop. 3.1 y [14], Teorema 1.6)

N(0; !Hd,h,ε

)≤ 1

para ε suficientemente pequeno, ya que, segun la conclusion del Lema4.1.13,

N(0; !Hd1,h,ε

)= 1

en este caso. Ası, hemos mostrado que para ε suficientemente pequeno,el valor propio del operador !Hd1,h,ε, si existe, es unico. !

De manera analoga, tenemos el siguiente

Lema 4.1.15. Supongamos que existe algun valor propio E = 4/h2 +γ2(ε), γ > 0, γ → 0+, ε → 0+, para el problema (4). Entonces para εsuficientemente pequeno se tiene tambien la unicidad de tal valor propio.

Demostracion: En efecto, la Ec. (4) con las condiciones ahora men-cionadas se puede reducir a

1h2

(ψj+1 + 2ψj + ψj−1) − εVjψj = −γ2ψj , ψj ∈ ℓ2,


Definimos el operador !H ′d,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 como aquel tal que

(49) !H ′d,h,εψj = Dd,h

′2ψj + εVj′ψj,

donde Dd,h′ : ℓ2 −→ ℓ2 es tal que actua de la forma

Dd,h′2 ψj =

1h2

"ψj+1 + 2ψj + ψj−1

#

y Vj′ ≡ −Vj. Ademas el operador !H ′

d1,h,ε : ℓ2 −→ ℓ2 es aquel talque

!H ′d1,h,εψj =

"(ψj+1 + 2ψj + ψj−1)/h2 − m′

0εχ[−[R], [R]](j)ψj#,

siendo R la referida en (5) y m′0 el que corresponde a Vj

′ segun (6).Note que !H ′

d1,h,ε es un caso particular de !H ′d,h,ε. Como se da la igualdad

(30), el operador Dd,h′2 es simetrico y, por su dominio de definicion,

autoadjunto. El operador de multiplicacion por una sucesion finita cuyoresultado es la sucesion en el ultimo termino de (49), es autoadjunto ycompacto en ℓ2(Z), ya que la simetrıa de dicho operador viene de queVj

′ ∈ R y la compacidad se ve de manera similar a como se hace parael operador de multiplicacion por una sucesion finita de (28). Tenemosentonces que !H ′

d1,h,ε y !H ′d,h,ε son tambien autoadjuntos. Ademas los

potenciales de ambos operadores estan acotados por debajo por −m′0:

(50) −m′0 ≤ Vj,1

′ ≤ Vj′, j ∈ Z.

Por ello !H ′d1,h,ε y !H ′

d,h,ε estan acotados por debajo, ya que Dd,h′2 es un

operador no negativo, a saber,

$Dd,h

′2ψj, ψj% FKoth−−−−−−−−−−−→ 4

h2

& π/h

−π/hcos2 hp

2

''(Ψh(p)''2dp ≥ 0,

de lo cual $ !H ′d,h,εψj, ψj

%≥ −εm′

0∥ψ∥2ℓ2(Z).

Tambien, de (50) y del hecho de que el dominio de definicion de estosoperadores es ℓ2(Z), puede verse que

!H ′d1,h,ε ≤ !H ′

d,h,ε.

Luego podemos concluir que

N)0; !H ′

d,h,ε

*≤ 1


para ε suficientemente pequeno, ya que

N!0; "H ′

d1,h,ε

#= 1

para este caso segun lo dicho en la conclusion del Lema 4.1.13. Ası,hemos mostrado que para ε suficientemente pequeno, el valor propio deloperador "H ′

d1,h,ε, si existe, es unico. !

5. La Solucion Asintotica

En esta seccion daremos, considerando

(51)[R/h]$

j=−[R/h]

Vj < 0.

en la Ec. (4), la construccion de un vector propio asintotico uniformeψn = ψnj del vector propio normalizado ψ (en adelante en esta sec-cion omitiremos el subındice fijo h), dado por

(52) ψnj =c(ε)√

2π

% π/h

−π/heihpj An(p)

4h2 sen2 hp

2 + (εBn)2dp,

donde

An(p) = a0(p) + εa1(p) + . . . + εnan(p),(53)

a0(p) =1

[R/h]&j=−[R/h]

Vj

[R/h]$

j=−[R/h]

Vje−ihpj ,

Bn = β0 + εβ1 + · · · + εnβn, β0 = −h

2

[R/h]$

j=−[R/h]

Vj ,(54)

siendo β1, . . . , βn determinados por el sistema de ecuaciones (98)–(103).Las funciones ak(p), k = 1, . . . , n son analıticas en la banda

(55) Bπ/h ='z ∈ C

(( |Im z| < π/h)

y se determinan por medio del sistema de ecuaciones (98)–(103) tam-bien. c(ε) es una constante de normalizacion dada por

(56) c(ε) = ε3/2(d0 + d1ε · · · + dnεn), d0 =

*2β3

0

π,


donde los valores restantes d1, d2, . . . , dn se determinan mediante elsistema de ecuaciones (125). ψn pertenece al valor propio

(57) E = −ε2B2n + O(εn+5/2)

y satisface las condiciones

∥ψn∥ = 1 + O(εn+1),

∥ψ − ψn∥ = O(εn+1/2)(58)

cuando ε → 0+. La norma es la de ℓ2(Z). El proceso de esta construccionse modifica ligeramente cuando

![R/h]−[R/h] Vj = 0 (veanse [19], [20]) y

cuando![R/h]

−[R/h] Vj > 0.

Definicion 5.1.16. Denotemos por Ωh el espacio de funciones analı-ticas sobre Bπ/h, continuas en su cerradura y 2π/h-periodicas. Usamosla norma del supremo en Ωh, ∥φ∥ = supz∈Bπ/h

|φ(z)| para todo φ ∈ Ωh.

Buscamos la solucion aproximada de la ecuacion (26) en la forma (pres-cindimos del subındice h)

(59) "ψn(p) =An(p)

4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

,

donde An(p) esta dado por (53) con las funciones ak(p) ∈ Ωh, parabuscar la asintotica respecto a ε, suponiendo que a0(p) ≡ 0 y denotandoexplıcitamente

(60) Bn = β0 + εβ1 + . . . + εnβn.

El nivel de la energıa aproximado es

(61) En = −ε2B2n.

La solucion buscada debera satisfacer las condiciones de normalizacion

(62) a0(0) = 1, ak(0) = 0, k = 2, . . . , n.

Construiremos tales valores de β0, β1, . . . , βn y funciones a0(p), . . . ,an(p) de forma que "ψn(p) satisfaga la ecuacion (26 ) hasta O(εn+1),donde ∥O(εn+1)∥L2(R) ≤ Const εn+1. Sustituyendo (59) y (61) en (26)obtenemos una ecuacion equivalente

(63) An(p) = − ε√2π

# π/h

−π/h

W (p − p′)An(p′)dp′

4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

.


Requerimos el desarrollo asintotico de la integral

(64)!

[−π/h,π/h]

φ(z)4h2 sen2 hz

2 + β2dz

cuando β → 0+, donde φ(z) ∈ Ωh. El integrando en (64) es singularen el origen cuando β = 0. Note que, por los ceros de la expresion4h2 sen2 hz

2 + β2, la continuacion analıtica "Ψh(z) de "Ψh(p) a todo el planocomplejo C tiene polos simples 2kπ/h± zβ,h, k ∈ Z, donde zβ,h esta dadopor

(65) zβ,h = −2i

hln

#−hβ

2+

$1 +

h2β2

4

%.

Sin embargo, ±zβ,h son las singularidades de "Ψh en |Re z| ≤ π/h cuandoβ → 0+. Usamos entonces el metodo basado en el calculo de residuos(vease [4]). Cambiamos el contorno de integracion en el plano complejoen tal forma que el polo z = zβ,h este alejado de el. Introducimos ası elcontorno

(66) Γs,h : = [−π/h,−1] ∪ p + iq : p2 + q2 = 1, q > 0 ∪ [1,π/h].

Si

(67) β < 2hsenhh

2

entonces zβ,h esta localizado debajo de Γs,h. Por el teorema del residuode Cauchy,

!

[−π/h,π/h]

φ(ζ)dζ4h2 sen2 hζ

2 + β2

=!

Γs,h


2 + β2+ 2πi Res

ζ=zβ,h

φ(ζ)4h2 sen2 hζ

2 + β2

=!

Γs,h


2 + β2+

π

βφ(zβ,h)sec

hzβ,h

2.

Consecuentemente

(68)

!

[−π/h;π/h]


2 + β2

=!

Γs,h


2 + β2+

π

β&

1 + h2β2

4

φ(i|zβ,h|).


Atendiendo ahora al ultimo termino de (68), evaluemos el desarrollo deφ en ζ = zβ,h, haciendo primero la siguiente

Definicion 5.1.17. Para cada x = xm e y = ym, ym ∈ C, m =0, 1, . . . , definimos

ck,j(y) =

⎧⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩

χ0(j), k = 0;yj , k = 1;

j1(j,2)∑j2=0

· · ·j1(j,k)∑jk=0

yj2 · · · yjkyj1(j,k)−jk, k > 1;

(69)

dj(x,y) =j∑

k=0

xkck,j−k(y)(70)

donde jk = 0, 1, . . . , j1(j, k),

j1(j, r) = j − j(r)r−j(r)∑

r1=2

jr1 , j(r) = χN!2(r),r∑

r1=2

jr1 ≤ j, r = 2, . . . .

Lema 5.1.18. Sea φ(z) ∈ Ωh. Entonces

(71) φ(i|zβ,h|) =n∑

k=0

dk(φ, l)(hβ)k + Un(hβ) + O((hβ)n+1)

cuando β → 0+, donde

φ =

φ(m)(0)

m!im

,

l = lm , lm = −2h

m∑

k=0

(−1)k

k + 1ck+1,m−k(b)(72)

b = bm, bm =

⎧⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎩

−1/2, m = 0;

(−1/8)(m+1)/2(m−1)/2∏

k1=0

2k1−1k1+1 , m impar ;

0, m par > 0.

Un(hβ) =in+1Mn(hβ)(hβ)n+1

n!

∫ 1

0(1 − z)nφ(n+1)

(iZn(hβ)z

)dz ;(73)

Mn(hβ) =n∑

j=0

cn+1,j(l)(hβ)j + O((hβ)n+1),


Zn(hβ) =n∑

j=1

cj(hβ)j + O((hβ)n+1), cj = −dj(a, b),

a = am, am =

⎧⎨

⎩

0, m = 0;(−1)m−1

m, m > 0.

Demostracion: Evaluemos el desarrollo de φ en zβ,h:

φ(i|zβ,h|

)=

n∑

k=0

φ(k)(0)k!

(i|zβ,h|

)k +1n!

∫ i|zβ,h|

0φ(n+1)(ζ)

(i|zβ,h|− ζ

)ndζ.

Factorizando(i|zβ,h|

)n en el integrando, haciendo z = ζ/i|zβ,h| y sim-plificando obtenemos

(74)φ(i|zβ,h|) =

n∑

k=0

φ(k)(0)k!

(i|zβ,h|)k

+1n!

∫ 1

0(1 − z)nφ(n+1)(i|zβ,h|z)dz(i|zβ,h|)n+1.

Ahora expresemos cada una de las potencias de zβ,h en serie de potenciasde hβ. Para las sucesiones a = am y b = bm, am, bm ∈ R, m =0, 1, . . . y la serie

(75)n∑

j=0

bjzj + O(zn+1), b0 = 0, z → 0

se tiene

(76)

⎛

⎝n∑

j=0

bjzj + O(zn+1)

⎞

⎠k

=n∑

j=0

ck,j(b)zj + O(zn+1),

k ∈ N, donde ck,j(b) se define de acuerdo a (69), y

(77)n∑

k=0

n∑

j=0

akck,j(b)zk+j + O(zn+1) =n∑

j=0

dj(a, b)zj + O(zn+1),

con dj(a, b) segun (70).Ahora, desarrollando el radical que aparece en (65) en serie tenemos

(78)

√1 +

h2β2

4=

n∑

j=0

pj(hβ)j + O((hβ)n+1)


para cada n ∈ N, con

(79) pj =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩

1, j = 0;

0, j impar;

(−1)j/2

23j/2

j/2−1∏k1=0

2k1−1k1+1 , j par > 0;

de allı que

(80) ln

(−hβ

2+

√1 +

(hβ)2

4

)= ln

⎛

⎝n+1∑

j=0

pj(hβ)j + O((hβ)n+2)

⎞

⎠ ,

redefiniendo p1 = −12 . Escribiendo (80) como ln(1+νhβ) su desarrollo

es

(81)n∑

k=0

akνk(hβ)k + O(νn+1(hβ)n+1),

con

ak =

⎧⎨

⎩

0, k = 0;(−1)k−1

k, k > 0.

Podemos expresar ν en la forma (75) (con bj = pj+1); elevando estaexpresion a las potencias p y n + 1 respectivamente, aplicando (76),sustituyendo los resultados a su vez en (81), aplicando a continuacion(77), y observando que c0 = 0 llegamos a

|zβ,h| = Zn(hβ) ≡n∑

j=1

cj(hβ)j + O((hβ)n+1), cj = −2dj(a, b).

De esto

|zβ,h|k = (hβ)k

(n∑

j=0

lj(hβ)j

)k

+ O((hβ)n+1)

, lj ≡ cj+1.

Aplicando (76) tenemos

|zβ,h|k = (hβ)k

(n∑

j=0

ck,j(l)(hβ)j + O((hβ)n+1)

), l ≡ lm(82)


=n!

j=0

ck,j(l)(hβ)k+j + O((hβ)n+1).(83)

Sustituyendo esta ultima expresion en (74), aplicando luego (77) y sus-tituyendo nuevamente lo indicado en (82), (83) nos queda

(84)

φ(i|zβ,h|) =n!

k=0

n!

j=0

φ(k)(0)k!

ikck,j(l)(hβ)k+j +

"in+1(hβ)n+1

n!

×# 1

0(1 − z)nφ(n+1)

$i

%n!

j=1

cj(hβ)j + O((hβ)n+1)

&z

'dz

×$

n!

j=0

cn+1,j(l)(hβ)j + O((hβ)n+1)

'(+ O((hβ)n+1),

con Un(hβ) dado en (73); simplificando (84) obtenemos (71). !Sustituimos (71) en la Ec. (68) y multiplicamos ambos lados de la

ecuacion resultante por β)

1 + h2β2/4, teniendo

β

*1 +

h2β2

4

$#

[−π/h,π/h]−

#

Γs,h

'φ(z)dz

4h2 sen2 hz

2 + β2=

π

$n!

k=0

dk(φ, l)hkβk + Un(hβ) + O((hβ)n+1)

'.

Sustituyendo (78) en la ecuacion anterior se tiene

(85) β

$n!

j=0

pjhjβj + O((hβ)n+1)

'$#

[−π/h,π/h]−

#

Γs,h

'φ(z)dz

4h2 sen2 hz

2 + β2

= π

$n!

k=0

dk(φ, l)hkβk + Un(hβ) + O((hβ)n+1)

'.

En (85) sustituimos β por

(86) εBn,

φ(ζ) por φn(ζ) = W (z−ζ)An(ζ), con W (z−ζ) continuacion analıtica deW (p−p′), y sustituimos tambien la primera integral en el lado izquierdode (85) por −An(z)

√2π/ε, al tener en cuenta (63). Nos queda


(87) εBn

!n"

j=0

pj (εhBn)j + O#(εhBn)n+1$

%

×!−√

2π

εAn(z) −

&

Γs,h

W (z − ζ)An(ζ)dζ4h2 sen2 hζ

2 + (εBn)2

%

= π

!n"

k=0

dk(φn, l) (εhBn)k + O#(εhBn)n+1$

%,

donde φn ='

iqφ(q)n (0)/q!

(. Definamos el operador integral Tβ,h,n :

Ωh −→ Ωh por la formula

[Tβ,h,nA](z) =1√2π

&

Γs,h

W (z − ζ)ϕ(ζ)dζ4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

,

Note que Tβ,h,n es acotado. En efecto,

∥Tβ,h,nϕ∥ = supz∈Bh

))))1√2π

&

Γs,h

W (z − ζ)ϕ(ζ) dζ4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

))))

≤ 1√2π

supz∈Bh

&

Γs,h

))ϕ(ζ)W (z − ζ) dζ))

| 4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n|

≤Cs,h∥ϕ∥√

2π

&

Γs,h

|dζ|| 4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n|

para alguna constante adecuada Cs,h. Por lo tanto ε ∥Tβ,h,n∥ < 1 paraε suficientemente pequeno. Entonces de (87) se sigue

−√

2π Bn

!n"

j=0

pjεjhjBj

n + O#εn+1hn+1Bn+1

n

$%#1 + εTβ,h,n

$An(z)

= πn"

k=0

dk(φn, l)εkhkBkn + O

#εn+1hn+1Bn+1

n

$,

donde 1 es el operador identidad. Finalmente tenemos

−√

2π

!n"

j=0

pjεjhjBj

n + O#εn+1hn+1Bn+1

n

$%BnAn(z)

= π#1 + εTβ,h,n

$−1

!n"

k=0

dk(φn, l)εkhkBkn + O

#(εhBn)n+1

$%

(88)


Desarrollando el producto BnAn(p) en serie de potencias de ε obtenemos

(89) BnAn(p) =n!

k=0

εk

"k!

l=0

βlak−l(p)

#+ εn+1R0,n(ε, βn, an),

donde βn = (β0, β1, . . . , βn), an = (a0, a1, . . . , an) y R0,n(·, ·, ·) esun polinomio en sus argumentos.

Considerando el lado izquierdo de (88), sustituimos el productoBnAn(z) por la expresion dada por (89) y An(z) y Bn por los desa-rrollos (53) y (60). Tenemos

−√

2π

"n!

j=0

pjεjhjBj

n + O$εn+1hn+1Bn+1

n

%#BnAn(z)

= −√

2π

"n!

j=0

n!

m=0

pjhjcj,m(β)εm+j + εn+1F1,n(ε, βn) + O(εn+1)

#

×"

n!

k=0

εkik(z) + εn+1R0,n(ε, βn, an)

#

= −√

2π

&n!

k=0

"k!

j=0

dj(p, β)ik−j(z)

#εk + O(εn+1)

'(90)

donde β = βj, ik(z) =(k

l=0 βlak−l(z) y p = pjhj.

Consideremos ahora el lado derecho de (88). Calculamos

$W (z − ζ)

%(j)ζ

= (−1)jW (j)(z − ζ), A(k)n (ζ) =

n!

l=0

a(k)l (ζ)εl,

por lo cual aplicando la formula de Leibniz tenemos

φ(k)n (ζ) =

n!

l=0

k!

j=0

)k

j

*(−1)jW (j)(z − ζ)a(k−j)

l (ζ)εl.

Luego

(91) dk(φn, l) =k!

j=0

φ(j)n (0)j!

ijcj,k−j(l) =n!

l=0

G1,k,l(z)εl,

donde

G1,k,l(z) =k!

j=0

j!

k1=0

(−1)k1ijcj,k−j(l)k1!(j − k1)!

W (k1)(z)a(j−k1)l (0).


Entonces, por sustitucion de (91) en lugar de dk(φn, l) en el primertermino del argumento del operador (1 + εTβ,h,n)−1 en el lado derechode (88), dicho termino puede expresarse como

(92)n!

k=0

dk(φn, l)εkhkBkn =

n!

k=0

G1,k(z)εk + O"εn+1

#

donde

G1,k(z) =k!

m=0

hmG2,m,k−m(z), G2,k,l(z) =l!

m=0

G1,k,m(z)ck,l−m(β).

Escribamos el lado derecho de (88), mediante la sustitucion (92) en lugardel primer termino del argumento de (1 + εTβ,h,n)−1, sustituyendo asu vez esta expresion de dicho operador por su serie de Neumann, ydesarrollemos el producto resultante:

(93) π

$n!

l=0

(−1)lεlT lβ,h,n + εn+1Trsen,n

%$n!

k1=0

G1,k1(z)εk1 + O"εn+1

#%

= π

&n!

k=0

$k!

l=0

(−1)lεlT lβ,h,nG1,k−l(z)

%εk + O

"εn+1

#'

,

donde T 0β,h,n = 1 y Trsen,n = (−1)n+1Tn+1

β,h,n(1+εTβ,h,n)−1. Sustituyendo(90) y (93) en los lados izquierdo y derecho de (88) respectivamente,obtenemos la igualdad

(94)√

2π

&n!

k=0

$k!

j=0

dj(p, β)ik−j(z)

%εk + O(εn+1)

'

= π

&n!

k=0

Gk(z)εk + O"εn+1

#'

donde Gk(z) =k!

l=0

(−1)l+1T lβ,h,nG1,k−l(z). Notemos que

(95) Gk(z) = −"G1,k(z) + Tβ,h,nGk−1(z)

#.

Despues, calculando los coeficientes de ε0, ε, ε2, etc., observando tam-bien como figuran β0, . . . , βn−1, an−2, an−1, an en los coeficientes de


εn en ambos lados de (94) y teniendo en mente (95) en el lado dere-cho de (94), obtenemos una igualdad entre dos series de potencias de εequivalente a la ecuacion (85):

√2π

!β0a0(z) + ε

"β0a1(z) + β1a0(z)

#(96)

+ ε2

$β0a2(z) + β1a1(z) +

β30a0(z)

8+ β2a0(z)

%

+n−1&

k=3

'k&

j=0

k−j&

l=0

dj(p, β)βlak−j−l(z)

(εk

+ εn

'n&

j=0

n−j&

l=0

dj(p,β)βlan−j−l(z)

()+ O(εn+1)

= − πa0(0)W (z)

+ επ

!β0

*ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z)

+

+1√2π

,

Γs,h

W (z − ζ)W (ζ)4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

a0(0)dζ − a1(0)W (z)

)

+ ε2π

!β0

*ia1(0)W ′(z) − ia′1(0)W (z)

+

+ β1*ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z)

+

+ β20

-12a0(0)W ′′(z) − a′0(0)W ′(z) +

12a′′0(0)W (z)

.

− 1√2π

,

Γs,h

W (z − ζ)4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

× · · ·

· · ·×'

β0*ia0(0)W ′(ζ) − ia′0(0)W (ζ)

+− a1(0)W (ζ)

+1√2π

,

Γs,h

W (ζ − ζ1)W (ζ1)4h2 sen2 hζ1

2 + ε2B2n

a0(0)dζ1

(dζ

− a2(0)W (z)

)


+n−1!

k=3

εkπ

"Pk

#β0,k−1, a(ı)

0,k−1(0), W (z), W ′(z), . . . , W (k)(z)$

− 1√2π

%

Γs,h

W (p − ζ)Gk−1(ζ)4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

dζ

&

+ εnπ

'β0

(ian−1(0))V ′(z) − ia′n−1(0)W (z)

*

+ β1+ian−2(0)W ′(z) − ia′n−2(0)W (z)

,

+ β20

-12an−2(0)W ′′(z) − a′n−2(0)W ′(z) +

12a′′n−2(0)W (z)

.

+ Rn

#β3,n−2, a(ı)

2,n−3(0), W (z), . . . , W (n)(z)$

+ βn−1+ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z)

,

− 1√2π

%

Γs,h

W (p − ζ)Gn−1(ζ)4h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

dζ − an(0)W (z)

/

+ O(εn+1)

donde

(97) βp1,r = (βp1 , . . . , βr), p1 < r;ap1,r(ζ) =

0ap1(ζ), . . . , ar(ζ)

1, p1 < r;

β = (β0, . . . , βn), a(ζ) =0a0(ζ), . . . , an(ζ)

1,

a(ı)p1,r(ζ) =

#a(i1)

p1, . . . , a

(ir−p1+1)r

$, a(ı)(ζ) =

0a(i1)

0 , . . . , a(in)n

1,

ı = (i1, i2, . . . , in), ik ≤ n + 1;

Sk, Pk para k = 3, . . . , n− 1, Tn, Rn, Sn+1, Pn+1, Qn+1 son polinomiosde sus argumentos que contienen solamente los terminos proporcionalesa potencias de W (z) (o a potencias de W (z − iZn(εhBn)ζ) para Qn+1)y sus derivadas.

Ya que sen(1/2) ≤ |sen(z/2)| cuando 1 ≤ |z| ≤ π y a consecuencia de(67) se tiene que |εBn/[(2/h)sen(hζ/2)]| < 1 para ζ ∈ Γs,h si h < 1. Porlo tanto reconocemos en los integrandos de (97) una serie geometricaconvergente:

14h2 sen2 hζ

2 + ε2B2n

=1

4h2 sen2 hζ

2

∞!

m=0

(−1)m

4m

h2m sen2m hζ2

ε2mB2mn .


Hacemos justamente esta sustitucion en (97) y desarrollamos W (z) enserie. Igualando los coeficientes de εk, k = 0, . . . , n en ambos lados dela ecuacion resultante obtenemos el sistema de ecuaciones para βk, ak,k = 0, 1, . . . , n:

(98) β0a0(z) = −!

π

2a0(0)W (z),

(99) β0a1(z) + β1a0(z) =!

π

2

"β0

#ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z)

− h2

4π

$

Γs,h

W (z − ζ)sen2 hζ

2

a0(ζ)dζ

%− a1(0)W (z)

&,

(100) β0a2(z) + β1a1(z) + β2a0(z) +18β3

0a0(z)

=!

π

2

"β0

'ia1(0)W ′(z) − ia′1(0)W (z) − h2

4π

$

Γs,h


2

a1(ζ)dζ

(

+ β20

'12a0(0)W ′′(z) − a′0(0)W ′(z) +

12a′′0(0)W (z)

(

+ β1

'ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z) − h2

4π

$

Γs,h


2

a0(ζ)dζ

(

− a2(0)W (z)

&,

(101)

β0a3(z) + β1a2(z) +18β3

0a1(z) + β2a1(z) +38β2

0β1a0(z) + β3a0(z)

=!

π

2

)β0

#ia2(0)W ′(z) − ia′2(0)W (z) − h2

4π

$

Γs,h


2

a2(ζ) dζ

%

+ β20

#12a1(0)W ′′(z) − a′1(0)W ′(z) +

12a′′1(0)W (z)

%

+ β30

#124

ia′0(0)W (z) − 124

ia0(0)W ′(z) +16ia′′′0 (0)W (z)

− 12ia′′0(0)W ′(z) +

12ia′0(0)W ′′(z) − 1

6ia0(0)W ′′′(z)


+h4

16π

!

Γs,h


2

a0(ζ) dζ − h2

32π

!

Γs,h


2

a0(ζ)dζ

"

+ β1

#ia1(0)W ′(z) − ia′1(0)W (z) − h2

4π

!

Γs,h


2

a1(ζ) dζ

"

+ β0β1

#a0(0)W ′′(z) − 2a′0(0)W ′(z) + a′′0(0)W (z)

"

+ β2

#ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z) − h2

4π

!

Γs,h


2

a0(ζ) dζ

"

− a3(0)W (z)$

· · ·(102) β0ak(z) + β1ak−1(z) + . . .

· · · + βka0(z) +k%

j=1

k−j%

l=0

dj(p, β)βlak−j−l(z)

=!

Γs,h

W (z − ζ)Sk

&β0,k−1, a0,k−1(ζ), sen hζ

2

'dζ

senlk hζ2

+ Pk

&β0,k−1, a(ı)

0,k−1(0), W (z), W ′(z), . . . , W (k)(z)'

(103) β0an(z) + β1an−1(z) + β2an−2(z) + . . .

· · · + βn−1a1(z) + βna0(z) +n%

j=1

n−j%

l=0

dj(p,β)βlan−j−l(z)

=(

π

2

)β0

*ian−1(0)W ′(z) − ia′n−1(0)W (z)

−h2

4π

!

Γs,h


2

an−1(ζ)dζ

+

+ β20

*12an−2(0)W ′′(z) − a′n−2(0)W ′(z) +

12a′′n−2(0)W (z)

+

+ β1

*ian−2(0)W ′(z) − ia′n−2(0)W (z) −h2

4π

!

Γs,h


2

an−2(ζ)dζ

+

+!

Γs,h

W (z − ζ)Tn,β3,n−2, a2,n−3(ζ)

-dζ

senln hζ2


+ Rn

!β3,n−2, a(ı)

2,n−3(0), W (z), . . . , W (n)(z)"

+ βn−1

#ia0(0)W ′(z) − ia′0(0)W (z) − h2

4π

$

Γs,h


2

a0(ζ)dζ

%

− an(0)W (z)

&

Lema 5.1.19. El sistema (98)–(103) tiene solucion unica bajo las con-diciones a0(0) = 1, a1(0) = 0, . . . , (62) y sus soluciones ak(z) ∈ Ωh,k = 0, 1, . . . .

Demostracion: Poniendo p = 0 en (98) y teniendo en cuenta que por(51) (notemos que para p ∈ [−π/h,π/h], W (p) = [Vh(x)]'(p))

(104) W (0) =[R/h](

j=−[R/h]

Vj

$

Rsencπ(x/h − j)dx =

h√2π

(

j

Vj < 0,

obtenemos

(105) β0 = −)

π

2W (0).

Por la condicion a0(0) = 1 obtenemos de (99)

(106) a0(z) =W (z)W (0)

.

Fijemos z = 0 en (99). Por (106) y la condicion a1(0) = 0 obtenemos

(107) β1 =h2

8

$

Γs,h

W (ζ)W (−ζ)sen2 hζ

2

dζ.

Ahora encontremos a1(z) de (99). Sustituyendo (105), (106) y (107) en(99), y tomando en cuenta el hecho de que a0(0) = 1, obtenemos

(108) a1(z) =i

W (0)

)π

2*W ′(z)W (0) − W ′(0)W (z)

+

− h2

4√

2πW (0)

$

Γs,h

W (ζ)W (z − ζ)sen2 hζ

2

dζ

+h2W (z)

4√

2π,W (0)

-2

$

Γs,h

W (ζ)W (−ζ)sen2 hζ

2

dζ.


Observamos que de hecho a1(0) = 0. Procediendo analogamente, ob-tenemos βn y an suponiendo que conocemos β0, β1, . . ., βn−1, a0, a1,. . ., an−1, y que ak(0) = 0, k = 2, . . . , n − 1. Buscamos an(z) tal quean(0) = 0. Poniendo z = 0 en (103) y tomando en cuenta el hecho deque a0(0) = 1, obtenemos

(109) βn = β0

!− i

"π

2a′n−1(0)W (0)

− h2

4√

2π

#

Γs,h

W (−ζ)an−1(ζ)sen2 hζ

2

dζ

$

+ . . . + βn−1

!i

"π

2W ′(0) − i

"π

2a′0(0)W (0)

− h2

4√

2π

#

Γs,h

W (−ζ)a0(ζ)sen2 hζ

2

dζ

$;

esto es, βn esta determinado de manera unica. Sustituyendo (109) y β0,β1, . . . , βn−1, a0, a1, . . . , an−1 en (103) vemos que an(p) se determinaen forma unica puesto que β0 = 0. Y ası no es difıcil ver que de hechoan(0) = 0. !

Del Lema 5.1.19 y de (98)-(103) se sigue que Bn y An, expresados enterminos de los valores β0, . . . , βn y las funciones a0, . . . , an mediante(53), (60), resuelven la ecuacion (63) hasta un orden mayor que O(εn+1)en la norma de L2(R). Para demostrar esto, consideremos el coeficientede εn+1 en (97). Tenemos que Pn+1 ∈ Ωh, ya que W (z), ak(z) ∈ Ωh,k = 0, 1, . . . , n. El primer sumando en el coeficiente en εn+1 pertenecea Ωh por la finitud del contorno Γs,h y la misma propiedad para W (z) yak(z). Finalmente, el tercer sumando en el mismo coeficiente pertenecea Ωh de igual manera. Esto significa que

(110) %Hh,εψn = Enψn + O(εn+1)

en L2(R).A continuacion multiplicaremos la solucion aproximada ψn por cierta

constante c(ε) para que la norma de la funcion propia ası obtenida (esdecir, normalizada) Ψn satisfaga la condicion de normalizacion

(111) ∥Ψn∥ = 1 + O(εn+1).

De (59) y la identidad de Parseval se sigue que

(112) ∥ψn(x)∥ =& # π/h

−π/h

|An(p)|2dp

| 4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n|2

'1/2

.


Notemos que β0 > 0 por (54) y (104). Ası, para ε suficientemente pe-queno tenemos |Bn| = Bn. De (60) se sigue que la expresion (Bn)−3/2

es analıtica en ε para ε pequeno. Tambien necesitamos la asintotica dela integral en (112). Para obtener el primer termino de esta expansion,usamos el siguiente metodo. Hacemos la particion de la unidad forma-da por las tres funciones χ1,2,3(p) ∈ C∞ tales que χ2(p) = χ3(−p),∑

j χj(p) = 1, y

χ1(p) =

⎧⎨

⎩

0, p ∈ [−π/h,−π/2h] ∪ [π/2h, π/h];

1, p ∈ [−1/h, 1/h],

χ3(p) =

⎧⎨

⎩

0, p ∈ [−π/h, 1/h];

1, p ∈ [π/2h, π/h].

Luego

∫ π/h

−π/h

A2n(p)dp

(4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

)2 =∫ π/h

−π/h

3∑

j=1

χj(p)A2

n(p)dp(

4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

)2

=∫ π/h

−π/hχ1(p)

A2n(p)dp

(4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

)2(113)

+∫ π/h

−π/h

(χ2 + χ3

)(p)

A2n(p)dp

(4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

)2(114)

Haciendo el cambio de variable q = 2hsenhp

2 en la integral (113) la po-demos escribir

(115)∫ 2/h

−2/h

χ1

(2harcsenhq

2

)A2

n

(2harcsenhq

2

)dq

(q2 + ε2B2

n

)2√

1 − h2q2

4

=∫ √

2/h

−√

2/h

κ1(q)(1 + O(q) + O(q)O(ε)

)(1 + O(q2)

)dq

(q2 + ε2B2

n

)2

ya que sucesivamente (tomando en cuenta las condiciones de norma-lizacion (62) An(p) = a0(p) + O(p)O(ε), a0(p) = 1 + O(p), A2

n(p) =


1 + O(p) + O(p)O(ε), 2harcsenhq

2 = O(q) y por ende A2n

(2harcsenhq

2

)=

1 + O(q) + O(q)O(ε), y donde κ1(q) ∈ C∞ y

κ1(q) = χ1

(2h

arcsenhq

2

)

=

⎧⎨

⎩

0, q ∈[−2/h,−

√2/h

]∪

[√2/h, 2/h

];

1, q ∈[− 2

hsen12 , 2

hsen12

],

Luego la integral (115) se puede sucesivamente escribir

(116)∫ √

2/h

−√

2/h

A1,n(q)dq(q2 + ε2B2

n

)2 =∫ ∞

−∞

(1 + O(q) + O(q)O(ε)

)dq

(q2 + ε2B2

n

)2

donde

A1,n(q) =κ1 (q)A2

n

(2harcsenhq

2

)

√1 − h2q2

4

esta en C∞0 y su serie asintotica es 1 + O(q) + O(q)O(ε). Haciendo

otro cambio de variable, q = εBnt, en (116), dicha integral la podemosexpresar como

(117)1

ε3B3n

∫

R

(1 + O(ε)P1

(β, ε, t

))dt

(t2 + 1)2= ε−3B−3

n

(π

2+ O(ε)

),

tomando en cuenta (62) y el hecho que∫

R

dt

(t2 + 1)2= π/2.

Por otra parte, la integral (114) podemos escribirla como

h4

16

∫

1/h≤|p|≤π/h

(χ2 + χ3

)(p)A2

n(p)dp

sen4 hp2

(1 +

ε2B2n

4h2 sen2 hp

2

)2

= Const2 h4∫

1/h≤|p|≤π/h

(χ2 + χ3

)(p)

(1 + O(ε)

)(1 + O(ε2B2

n))dp

sen4 hp2

= Const2 h4∫ π/h

1/h

χ3(p)dp

sen4 hp2

+ O(ε),(118)


ya que csc2 hp2 = csc2 π

4

!1 + O(p)

"y χ2(p) = χ3(−p). Sustituyendo

(117) y (118) en (113) y (114) respectivamente tenemos que

(119)# π/h

−π/h

A2n(p)dp

!4h2 sen2 hp

2 + ε2B2n

"2

= ε−3B−3n

!π

2+ O(ε)

"+ Const2 h4

# π/h

1/h

χ3(p)dp

sen4 hp2

+ O(ε)

por lo que la norma

∥ψn(x)∥ = ε−3/2B−3/2n

!π

2+ O(ε)

"1/2= ε−3/2B−3/2

n

$%π

2+ O(ε)

&

= β−3/20 ε−3/2

%π

2'1 + O(ε)

((120)

Aplicando argumentos similares a aquellos del Lema 5.1.18 y toman-do en cuenta la analiticidad de B−3/2

n podemos escribir la expansionasintotica de la norma (112):

(121) ∥ψn(x)∥= ε−3/2

)l0

'β, a(p)

(+ . . . + εnln

'β, a(p)

(+ O(εn+1)

*

cuando ε → 0. Luego, de acuerdo a (120) el termino principal l0'β, a(p)

(

es

(122)%

π

2β30

.

Vamos a normalizar la funcion propia ψn seleccionando la constanteapropiada c(ε). De (121) se sigue que esta constante tiene la forma

(123) c(ε) = ε3/2(d0 + d1ε + . . . + dnεn) + O(εn+5/2).

Multiplicando la expresion (121) por la que es para ∥ψn∥, obtenemos

(124) c(ε)∥ψn∥ = d0l0 + (d0l1 + d1l0)ε + . . .

+ (d0ln + · · · + dnl0)εn + O(εn+1).

Ahora es claro que podemos hacer este producto igual a 1 + O(εn+1).De hecho, para este fin, es suficiente resolver el sistema de ecuacionescon incognitas di, i = 0, . . . , n:

(125) d0l0 = 1, d0lk + · · · + dkl0 = 0, k = 1, . . . , n.


Esto es posible ya que l0 = 0 por (122). Ademas,

(126) d0 =

!2β3

0

π.

Ası hemos encontrado la constante c(ε) tal que la funcion propia apro-ximada

(127) Ψn(x) ≡ c(ε)ψn(x)

satisface la condicion (111). Es evidente que esta funcion propia norma-lizada Ψn satisface (110) con un nuevo termino residual O(εn+1ε3/2),i.e.,

(128) "Hh,εΨn = EnΨn + O(εn+5/2), n = 0, . . . .

Esta normalizacion fue necesaria para la aplicacion del siguiente

Lema 5.1.20 (Lema 1.3 de [11]). Sea T un operador autoadjunto en unespacio de Hilbert H. Sea µ algun punto sobre la recta real, r la distanciade µ al espectro del operador T . Entonces para cada g ∈ D(T ) es validala siguiente desigualdad:

(129) r∥g∥ ≤##(T − µ)g

##.

Este lema nos provee de un fundamento riguroso para esta construc-cion. Para aplicarlo consideramos el operador discreto de Schrodinger"Hh,ε (dado por (25)) como el operador T del lema. El espacio de Hil-bert H en este caso es L2(R). Vamos a sustituir la distancia del valorpropio aproximado En al espectro en vez de r en la desigualdad (129)y la funcion propia aproximada Ψn en lugar de g. Ası obtenemos de laestimacion (129) la estimacion (57). En una forma parecida aplicamosel Lema 1.4 de [11] para obtener la estimacion (58).

6. La Solucion Exacta

Resulta que la solucion asintotica de la Ec. (26), E = −β2, β → 0+,construida en la seccion precedente, es en realidad una solucion exacta.Para verlo, consideremos la solucion $Ψh(p) (no distinguimos entre estay su continuacion periodica) de dicho problema en la forma

(130) $Ψh(p) =Ah(p)

4h2 sen2 hp

2 + β2,


donde suponemos que Ah(z) ∈ Ωh (probaremos que este es en efecto elcaso). Sustituyendo en (26) la funcion !Ψh dada por (130) obtenemos laecuacion equivalente

Ah(p) = − ε√2π

" π/h

−π/h

W (p − p′)Ah(p′)dp′

4h2 sen2 hp′

2 + β2.(131)

Ası (131) toma la forma

(132) β

#1 +

h2β2

4

$−Ah(p)

√2π/ε −

"

Γs,h

W (p − ζ)Ah(ζ)dζ4h2 sen2 hζ

2 + β2

%

= πW (p − i|zβ,h|)Ah(i|zβ,h|).

Definicion 6.1.21. Definimos el operador integral Tβ,h : Ωh −→ Ωh

por la formula

(133) [Tβ,hϕ(ζ)](z) =1√2π

"

Γs,h

W (z − ζ)ϕ(ζ)dζ4h2 sen2 hζ

2 + β2, z ∈ Ωh.

Nota 6.1.22. [Tβ,hϕ(ζ)](z) ∈ Ωh porque el integrando es analıtico. Porlo tanto Tβ,h esta bien definida. [Tβ,hϕ(ζ)](z) es analıtica en β tambienya que

&&β/[(2/h)sen(hζ/2)]&& < 1 para ζ ∈ Γs,h y

14h2 sen2 hζ

2 + β2=

14h2 sen2 hζ

2

∞'

m=0

(−1)m

4m

h2m sen2m hζ2

β2m.

Ademas, Tβ,h es acotado, digamos, en la norma del supremo, y comoε → 0, ε ∥Tβ,h,n∥ < 1 para ε suficientemente pequeno.

Ahora, de (132) se sigue que

−√

2π β

#1 +

h2β2

4

()1 + εTβ,h

*Ah(ζ)

+(z)

= π εW (z − i|zβ,h|)Ah(i|zβ,h|),

donde 1 es el operador identidad. Supongamos que Ah(i|zβ,h|) = 1 (pro-baremos que siempre puede suponerse esto). Tenemos que

(134) Ah(z) =

−#

π

2ε

β,

1 + h2β2

4

()1 + εTβ,h, ζ→z

*−1W (ζ − i|zβ,h|)

+(z).


Ya que εTβ,h es un operador de contraccion,!1+ εTβ,h

"−1 es igual a suserie de Neumann y (134) se expresa como

Ah(z) = −#

π

2ε

β$

1 + h2β2

4

∞%

l=0

(−1)lεl&T l

β,h, ζ→zW (ζ − i|zβ,h|)'(z),

donde T 0β,h ≡ 1. Ası, por la Nota 6.1.22, tenemos una serie uniforme-

mente convergente de funciones analıticas en z sobre Bπ/h. Por lo tantoAh(z) es analıtica en z ∈ Bπ/h.

Nota 6.1.23. Aplicando l veces el operador Tβ,h a una funcion ϕ ∈ Ωh,l = 1, 2 . . . , tenemos

(135) [T lβ,hϕ(ζ)](z)

= (2π)−l/2(

Γs,h

· · ·(

Γs,h

ϕ(ζ)l)

n=1

W (ζn−1 − ζn)4h2 sen2 hζn

2 + β2dζn,

donde ζ0 ≡ z, ζl ≡ ζ.

Evaluando en z = i|zβ,h|, de (134) obtenemos la ecuacion secularpara β:

(136) β

#1 +

h2β2

4

= −#

π

2ε&!

1 + εTβ,h, ζ→z

"−1W (ζ − i|zβ,h|)

'(i|zβ,h|).

Consideremos la funcion

(137) Fh(β, ε) = β

#1 +

h2β2

4

+#

π

2ε&!

1 + εTβ,h, ζ→z

"−1W (ζ − i|zβ,h|)

'(i|zβ,h|).

Sustituyendo nuevamente!1 + εTβ,h

"−1 por su serie de Neumann en(137), esta se convierte en

(138) Fh(β, ε) = β

#1 +

h2β2

4

+#

π

2ε

∞%

l=0

(−1)lεl&T l

β,h, ζ→zW (ζ − i|zβ,h|)'(i|zβ,h|).


Nota 6.1.24. Observemos que [T lβ,h, ζ→zW (ζ−i|zβ,h|)](i|zβ,h|) es analı-

tica en β. En efecto, en la Ec. (135) podemos sustituir i|zβ,h| en lugar dez y W (ζ − i|zβ,h|) en lugar de ϕ(ζ), teniendo en cuenta las expansiones

W (i|zβ,h|− ζ1) =∞∑

k=0

ikW (k)(−ζ1)|zβ,h|k/k!,

W (ζ − i|zβ,h|) =∞∑

k=0

(−1)kikW (k)(ζ)|zβ,h|k/k!,

l∏

n=1

14h2 sen2 hζn

2 + β2=

l∏

n=1

⎛

⎝ 14h2 sen2 hζn

2

∞∑

kn=0

(−1)kn

4kn

h2kn sen2kn hζn2

β2kn

⎞

⎠,

|zβ,h|k =∞∑

j=0

ck,j(l)hk+jβk+j ,

donde los coeficientes ck,j(l) se definen de acuerdo a (69) y (72).

Ası tenemos que la funcion Fh(β, ε) es analıtica en cada argumento,y por el teorema de Hartogs ([9], Secc. 2.2), es analıtica en C2. Ademas,Fh(0, 0) = 0, [∂βFh](0, 0) = 1, lo ultimo por el factor ε en el segundotermino de (138). De aquı que, por el teorema de la funcion implıcita([8], Teor. I,B4), la solucion βh(ε) para β de la ecuacion secular (136),la cual tiende a cero cuando ε → 0, existe, es unica y esta dada por (7).

De igual manera, tomemos ahora E = 4/h2 + γ2, γ → 0+ en la Ec.(26); entonces tenemos

(139)(

4h2 cos2 hp

2 + γ2)

Ψh(p) =ε√2π

∫ π/h

−π/hW (p − p′)Ψh(p′)dp′

en p ∈ [−π/h, π/h]. Similarmente a lo anterior, buscamos la solucion enla forma

(140) Ψh(p) =Dh(p)

4h2 cos2 hp

2 + γ2,

donde Dh(z) es una funcion analıtica en Bπ/h y 2π/h-periodica. Susti-tuyendo en (139) la funcion Ψh dada por (140) obtenemos la ecuacionequivalente

Dh(p) =ε√2π

∫ π/h

−π/h

W (p − p′)Dh(p′)dp′

4h2 cos2 hp′

2 + γ2.(141)


Nota 6.1.25. Note que el integrando en el lado derecho de Ec. (141) essingular en p′ = −π/h y p′ = π/h cuando γ = 0. Para reducir nuestraecuacion a una situacion similar a la de la Seccion 6, observemos que yaque se supuso que Dh es 2π/h-periodica, tenemos

!" 0

−π/h=

" 2π/h

π/h

#W (p − p′)Dh(p′)dp′

4h2 cos2 hp′

2 + γ2.

Ası podemos calcular la integral en la Ec. (141) de 0 a 2π/h con elmismo integrando, la cual, dentro del nuevo intervalo de integracion,es solamente singular en p′ = π/h cuando γ = 0 (similarmente al casodiscreto con

$j Vj no positiva).

Nota 6.1.26. La unica singularidad con parte imaginaria positiva de%ψγ(z) en 0 ≤ Re z < 2π/h cuando γ → 0+ es

zγ,h ≡ π/h − 2i

hln

!−hγ

2+

&1 +

h2γ2

4

#.

En forma analoga a la de la Seccion 6, suponemos que Dh(z) ∈ Ωh eintroducimos el contorno formado por la traslacion de Γs,h a la derechapor π/h:

(142) Γc,h : = [0,π/h − 1]

∪ p + iq : (p − π/h)2 + q2 = 1, q > 0 ∪ [π/h + 1, 2π/h].

Si γ < 2hsenhh

2 , por el teorema del residuo de Cauchy tenemos

γ

&1 +

h2γ2

4

!"

[0,2π/h]−

"

Γc,h

#W (p − ζ)Dh(ζ)dζ

4h2 cos2 hζ

2 + γ2

= πW (p − zγ,h)Dh(zγ,h),

y (141) se convierte en

(143) γ

&1 +

h2γ2

4

!Dh(p)

√2π/hε −

"

Γc,h

W (p − ζ)Dh(ζ)dζ4h2 cos2 hζ

2 + γ2

#

= πW (p − zγ,h)Dh(zγ,h).

Definimos el operador integral Tγ,h : Ωh −→ Ωh por la formula

[Tγ,hϕ(ζ)](z) =1√2π

"

Γc,h

W (z − ζ)ϕ(ζ)dζ4h2 cos2 hζ

2 + γ2.


Tenemos que [Tγ,hϕ(ζ)](z) ∈ Ωh y es analıtica en γ. Ademas, Tγ,h esacotado. Por lo tanto ε ∥Tγ,h∥ < 1 para ε suficientemente pequeno.Ahora, de (143) se sigue que

√2π γ

!1 +

h2γ2

4"#

1 − εTγ,h

$Dh(ζ)

%(z) = π εW (z − zγ,h)Dh(zγ,h).

Suponiendo Dh(zγ,h) = 1, tenemos

(144) Dh(z) =!

π

2ε

γ&

1 + h2γ2

4

'#1 − εTγ,h, ζ→z

$−1W (ζ − zγ,h)

((z),

la cual se convierte en

Dh(z) =!

π

2ε

γ&

1 + h2γ2

4

∞)

l=0

εl'T l

γ,h, ζ→zW (ζ − zγ,h)((z).

Por lo tanto, Dh(z) es analıtica en z ∈ Bπ/h.Evaluando (144) en z = zγ,h, obtenemos la ecuacion secular para γ:

(145) γ

!1 +

h2γ2

4=

!π

2ε'#

1 − εTγ, ζ→z

$−1W (ζ − zγ,h)

((zγ,h).

Consideremos la funcion

Gh(γ, ε) ≡ γ

!1 +

h2γ2

4−

!π

2ε'#

1 − εTγ, ζ→z

$−1W (ζ − zγ,h)

((zγ,h)

= γ

!1 +

h2γ2

4−

!π

2ε

∞)

l=0

εl'T l

γ, ζ→zW (ζ − zγ,h)((zγ,h).

Ya que [T lγ, ζ→zW (ζ − iγ)](zγ,h) es analıtica en γ tambien, por el teo-

rema de Hartogs, tenemos que Gh(γ, ε) es analıtica en C2. Ası, por lasigualdades Gh(0, 0) = 0, [∂γGh](0, 0) = 1 y el teorema de la funcionimplıcita, la solucion γh(ε) para γ de la ecuacion secular (145), la cualtiende a cero cuando ε → 0, existe y es unica. Esta dada por (9), yaque expandiendo Gh(γ, ε) en serie de Taylor, tenemos, hasta terminosdel segundo orden,

Gh(γ, ε) = γ − ε

!π

2W (0) − ε2

2

*

Γc,h

W (ζ)W (−ζ)4h2 cos2 hζ

2

dζ − . . . .


Ademas, por sustitucion de (9) en (144) obtenemos Dh(z). En la mis-ma forma que antes, podemos verificar que Dh(zγh(ε),h) = 1. Ası losTeoremas 2.1.1 y 2.1.2 quedan probados.

AgradecimientosEl primer autor agradece profundamente a Dios, a su familia, a la Uni-versidad Michoacana, al CONACyT, al Dr. Petr Zhevandrov por suvaliosa asesorıa y a la revista Morfismos.

Joel Arturo Rodrıguez-CeballosInstituto de Fısica y Matematicas,Universidad Michoacana de San Ni-colas de Hidalgo,Edificio C3, Ciudad Universitaria -58060Morelia, Michoacan, [email protected]

Petr Zhevandrov BolshakovaFacultad de Ingenierıa,Universidad de la Sabana,Campus Puente del Comun,Km. 21 Autopista Norte, Chıa,Colombia; con licencia de laFacultad de Ciencias Fısico-Mate-maticas,Universidad Michoacana de SanNicolas de Hidalgo,Edificio B Planta Baja, CiudadUniversitaria - 58060Morelia, Michoacan, [email protected]

Referencias

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Morfismos, Vol. 12, No. 1, 2008, pp. 45–61

A proof of the multiplicativeproperty of the Berezinian ∗

Manuel Vladimir Vega Blanco

Abstract

The Berezinian is the analogue of the determinant in super-linearalgebra. In this paper we give an elementary and explicative proofthat the Berezinian is a multiplicative homomorphism. This paperis self-conatined, so we begin with a short introduction to super-algebra, where we study the category of supermodules. We writethe matrix representation of super-linear transformations. Thenwe can define a concept analogous to the determinant, this is thesuperdeterminant or Berezinian. We finish the paper proving themultiplicative property.

2000 Mathematics Subject Classification: 81R99.Keywords and phrases: Berezinian, superalgebra, supergeometry, super-calculus.

1 Introduction

Linear superalgebra arises in the study of elementary particles and itsfields, specially with the introduction of super-symmetry. In naturewe can find two classes of elementary particles, in accordance with thestatistics of Einstein-Bose and the statistics of Fermi, the bosons andthe fermions, respectively. The fields that represent it have a parity,there are bosonic fields (even) and fermionic fields (odd): the formercommute with themselves and with the fermionic fields, while the latteranti-commute with themselves. This fields form an algebra, and withthe above non-commutativity property they form an algebraic structure

∗Research supported by a CONACyT scholarship. This paper is part of the autor’sM. Sc. thesis presented at the Department of Mathematics of CINVESTAV-IPN.

45

46 Manuel Vladimir Vega Blanco

called a which we call a superalgebra. Super-linear algebra is the firststage in the development of super-geometry [1, 2, 3, 4].

The purpose of this paper is to develop super-linear algebra asfar as proving in an elementary fashion that the super-determinant orBerezinian1 satisfies:

Ber(TR) = Ber(T )Ber(R).

In order to do this we follow an elegant idea sketched in a paragraph ofManin’s book [2] filling up all the details. Let us start by introducingsome elementary definitions.

2 Rudiments of superlinear algebra

Definition 2.0.1. A supervector space is a Z2-graded vector space Vover a field K, this means that there are two subspaces V0 and V1 of Vsuch that V = V0⊕V1. The elements of V0∪V1 are called homogeneous.In particular the elements of V0 (V1) are called even (odd). The parityfunction p : V0 ∪ V1 \ 0 −→ Z2 over the homogeneous elements isdefined by the rule v %→ α for each v ∈ Vα. There is a problem withthe parity of 0, our convention is that 0 is of any parity. Let V andW be supervector spaces. A linear map f : V −→ W that is Z2-degreepreserving (namely p(f(v)) = p(v) for each v in V homogeneous) iscalled a graded morphism or a superlinear morphism.

Thus supervector spaces and the graded morphisms between themnaturally form a category, denoted by SVect.

Example 2.0.2. Consider the vector space Rp+q. We have that Rp isnaturally embedded in Rp+q and with its orthogonal complement Rq inRp+q forms a supervector space R(p|q), naturally isomorphic to Rp+q,where R(p|q)0 = Rp and Rp|q

1 = Rq.

Example 2.0.3. Let M(2n; R) the vector space of 2n × 2n matriceswith entries in R. Note that each matrix in M(2n; R) can be written as

!X11 X12

X21 X22

",

1The Berezinian is named after the russian physicist Felix A. Berezin (1931-1980),and it is fundamental in the theory of integration over super-manifolds also knownas Berezin integration.

Multiplicative property of the Berezinian 47

where each Xij is a n × n matrix for i = 1, 2.Define M(2n; R)0 as the matrices of the form

!X11 00 X22

"

and M(2n; R)1 as the matrices of the form!

0 X12

X21 0

".

Given this structure M(2n; R) becomes a supervector space of even(odd) dimension 2n2.

As in the case of usual vector spaces it is possible to define a tensorproduct for supervector spaces. Making this category into a symmetricmonoidal category.

Definition 2.1.4. Let V and W supervector spaces, the tensor productof V and W is a supervector space V ⊗W together with a bilinear mapu : V × W −→ V ⊗ W satisfying the following universal property: foreach supervector space U and for each bilinear map f : V × W −→ Uthere exists a unique graded morphism k : V ⊗ W −→ U such thatk u = f . The bilinear map u is called a universal bilinear map. Thisis equivalent to the existence of a unique k filling up the following com-mutative diagram:

(1) V × Wf !!

u""!!!!!!!!!! U

V ⊗ W

k

##"""

Proposition 2.1.5. The tensor product is unique up to unique isomor-phism. That is, if T is a supervector space and u′ : V × W −→ T is agraded morphism satisfying the universal property of the previous def-inition, then T ∼= V ⊗ W by an unique isomorphism. We say that theunique isomorphism k is canonical or natural.

Proof. The hypothesis give unique graded morphisms k : V ⊗W −→ Tand k′ : T −→ V ⊗ W such that u′ = k u and u = k′ u′. Hencek′ k u = u and k k′ u′ = u′. Since the identities idV ⊗W and idT areunique, then k′ k = idV ⊗W and k k′ = idT . Whence T ∼= V ⊗ W . !


Proposition 2.1.6. Let V and W supervector spaces. The tensor prod-uct V ⊗ W satisfies

(V ⊗ W )k =!

i+j=k

Vi ⊗ Wj

for each k in Z2, where Vi ⊗ Wj is the usual tensor product of vectorspaces.

Proof. Define the map

φ : V × W −→ T :=!

k∈Z2

!

i+j=k

Vi ⊗ Wj

by (v, w) %→ v ⊗ w on homogeneous elements, and extend it on allV × W by linearity. Whence φ is bilinear. Let U a supervector spaceand let f : V × W −→ U a bilinear map. Define k : T −→ U byk(v⊗w) = f(v, w) on homogeneous elements, extending by linearity isclear that k is graded morphism and f = k φ, moreover is unique: ifk′ : V ⊗ W −→ U is other graded morphism such that f = k′ φ, mustbe happen that k = k′ on homogeneous elements. Therefore k = k′ onT . As a consequence, by the uniqueness up to unique isomorphism ofthe tensor product we have T ∼= V ⊗ W .!Proposition 2.1.7. Let V and W supervector spaces, then V ⊗W exists

Proof. Consider the set G = (V0 ∪ V1) \ 0 × (W0 ∪ W1) \ 0. Let Sa supervector space. Define a parity map p : G −→ Z2 by p(v, w) =p(v) + p(w). Now consider the set F (G,S, p) of functions from G toS that vanishes at each g in G except at finitely many elements. Weshow that this is a supervector space. In fact, we define the sum by(f + f ′)(g) = f(g) + f ′(g) and the left product by elements in K as(af)(g) = af(g). Thus F (G,S, p) is a vector space. Now for each i inZ2 set F (G,S, p)i as the elements in F (G, p) with image into Si−p(g).It is easy to verify that F (G,S, p) satisfies the definition of supervectorspace.

Define the following sets: Hsum as the set that contains the elementsof the form f(v + v′, w)− f(v + w)− f(v′, w) and Hprod as the set thatcontains the elements f(av,w)−af(v, w), f(v, aw)−f(va, w) for all v, v′

in Vi, w in W1−i and a in K for each i in Z2. Let I the space generatedby Hsum∪Hprod, write V ⊗W := F (G,S, p)/I. The canonical projectionis the map π : F (G,S, p) −→ V ⊗ W defined by f(v, w) %→ [f(v, w)].


Where [f(v, w)] is the equivalence class with representant f(v, w). Setu : F (G,S, p) −→ V ⊗ W as

f(v, w) −→!

i,j∈Z2

π(f(vi, wj)).

We have that u is a bilinear map satisfying the universal property ofthe tensor product. !

The tensor product of supervector spaces satisfies the following prop-erties whose proofs can be found in [4].

Proposition 2.1.8. Let U , V and W supervector spaces. Then

U ⊗ (V ⊗ W ) ∼= (U ⊗ V ) ⊗ W

canonically.

Definition 2.1.9. Let V and W supervector spaces. The commuta-tivity isomorphism cV, W : V ⊗ W −→ W ⊗ V is defined by v ⊗ w %→(−1)p(v)p(w)w ⊗ v on homogeneous elements, hence by linear extensioncan be defined over all V ⊗ W .

Proposition 2.1.10. Let V1, . . . , Vn a finite collection of supervectorspaces, let k and l two integers such that 1 ≤ k < l ≤ n and let τ thetransposition with τ(k) = l,τ(l) = k, τ(j) = j if j = k and j = l. Then,there exists a canonical isomorphism

η :"

1≤i≤n

Vi −→"

1≤i≤n

Vσ(i)

such that, on homogeneous elements, η is given by"

1≤i≤n

vi %−→ (−1)N"

1≤i≤n

vτ(i)

where N is the number of pairs of odd elements such that i < j andτ(i) > τ(j).

3 Superalgebras

Definition 3.0.11. Let A a supervector space and K an algebraicallyclosed field (v.g R or C). A graded bilinear morphism A ⊗ A −→ A;a⊗ b %→ ab, is called product and A with this graded morphism is called


a superalgebra over the field K. The superalgebra A is associative ifx(yz) = (xy)z for all x,y and z in A. A unit is an even element 1 inA such that 1x = x1 = x for each x in A. It is common to reserve thename superalgebra only for an associative superalgebra A with unity.

Remark 3.0.12. Note that a superalgebra A is not necessary commu-tative as an usual algebra. Also it is not difficult to show that if the unitexists, then it is unique.

Definition 3.0.13. Let A a superalgebra we say that a supervector spaceM is called a left (resp. right) A-module if there exist a graded mor-phism that is bilinear and posses a unity element 1 = 0, also calledproduct, A ⊗ M −→ M (resp. M ⊗A −→ M). The superalgebra A iscalled supercommutative if xy = (−1)p(x)p(y)yx.

Remark 3.0.14. If A is supercommutative, clearly a left A-module Mis also a right A-module. This can be done writing

m · a := (−1)p(m)p(a)a · m

for each a in A and m in M .

Example 3.0.15. (The exterior algebra of a real vector space with thewedge product). Let V a real n-dimensional vector space. Define theexterior algebra Λ∗(V ) of V as the direct sum of the exterior powersΛ1(V ), . . ., Λn(V ). Remember that the k-th exterior power ΛkV isdefined as the quotient of the k-fold tensor product V ⊗k modulo theideal I generated by the elements of the form v ⊗ v with v in V . Thewedge product

∧ : Λn(V ) × Λm(V ) −→ Λn+m(V )

induces in a natural way a product

∧ : Λ∗(V ) ⊗ Λ∗(V ) −→ Λ∗(V ).

A well-know fact is that Λ∗(V ) ∼= R[θ1, . . . , θn] where R[θ1, . . . , θn] isthe ring of polynomials in n variables with coefficients in R and thevariables θj satisfies θiθj = −θjθi for each i, j = 1, . . . , n. Thus a typicalelement can be written as

!J aJθi1 · . . . · θik where J is the ordered set

1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n and k varying between 1 up to n. Such elementwill be even (odd) iff k is even (odd).


Definition 3.0.16. Let M and N A-modules. The tensor product ofM and N respect to A is defined by M ⊗A N := (M as right module)⊗(N as left module). With this definition we get a new A-module. Alsowe have the commutativity isomorphism and its definition is analogousto the tensor product of supervector spaces. Namely we can write:

(M ⊗A N)γ =⊗

γ=α+β

Mα ⊗A Nβ

Definition 3.0.17. On SVect we define the parity reversing functor∏

by(∏

V )0 := V1, (∏

V )1 := V0.

4 Supermodules and linear transformations

In this section we study the linear maps between supervector spaces.These can be represented by a matrix with entries in a superalgebra.We shall define the analogous concepts of trace, transpose and bases.In what follows A denotes a superalgebra over R.

Definition 4.0.18. Let A be a superalgebra and let e1, . . . , ep ando1, . . . , oq be finite sets. Define

Ap|q :=

⎧⎨

⎩

p∑

i=1

aiei +q∑

j=1

bjoj |∀i, j ai, bj ∈ A

⎫⎬

⎭ ,

we call to Ap|q the standard free supermodule of rank p|q.

Remark 4.0.19. The ranks of the free supermodules are pairs of inte-gers rather that just integers

Naturally in the case A = R we have a real supervector space offinite dimension p + q, with even dimension p and odd dimension q.We write Rp|q for the free supermodule of rank p|q on R. A standardfree supermodule is Z2-graded: let x =

∑pi=1 aiei +

∑qj=1 bjoj where

the ai, bj are in A, we say that the element x is even (odd) whenp(ai) = 0(p(ai) = 1) and p(bj) = 1 (p(bj) = 0) for each i and j. Thestandard free supermodules over the super algebra A form a category.


Definition 4.0.20. Let Ap|q and Ar|s A-free supermodules. A mor-phism of supermodules T : Ap|q −→ Ar|s is a usual linear transforma-tion such that exclusively preserve (or exclusively anti-preserve) the par-ity of the homogeneous elements, that is p(T (v)) = p(v) (or p(T (v)) =−p(v)), for all v in Ap|q. We denote the morphisms from Ap|q to Ar|s asHomA(Ap|q,Ar|s), if p = s and q = s we write End(Ap|q) for that mor-phisms and we use the suggestive notation GL(Ap|q) for the invertiblemorphisms in End(Ap|q). If T is in HomA(Ap|q,Ar|s) and preserves(anti-preserves) the parity of the homogeneous elements, then we saythat T is an even morphism ( odd morphism). Clearly the even mor-phisms form a real vector space (similarly the odd), we denote the evenmorphisms by HomA(Ap|q,Ar|s)0 and HomA(Ap|q,Ar|s)1 for the odd. Itis also clear that

HomA(Ap|q,Ar|s)0 ∩ HomA(Ap|q,Ar|s)1 = 0

Proposition 4.0.21. HomA(Ap|q,Ar|s) is a graded vector space.

Proof Let T in HomA(Ap|q,Ar|s) and choose ordered basis for Ap|q

and Ar|s B = e1, . . . , ep, o1, . . . , oq and B′ = e′1, . . . , e′r, o′1, . . . , o′srespectively. For each element X in B we have that

T (x) =r!

k=1

ake′k +

s!

l=1

bko′k.

Since al = al,0 + al,1 and bl = bl,0 + bl,1, where ak,0, bl,0 are in Ar|s0 and

ak,1, bk,1 are in Ar|s1 for each 1 ≤ k ≤ r and for each 1 ≤ l ≤ s, we can

define T0 and T1 on each element in B by

T0(x) :=r!

k=1

ak,0e′k +

s!

l=1

bl,0o′l

and

T1(x) :=r!

k=1

ak,1e′l +

s!

l=1

bl,1o′l.

It is clear that for each x in B, T (x) = T0(x) + T1(x), p(T0(x)) = p(x)and p(T1(x)) = p(x) + 1, hence T0 is even and T1 is odd, and extendingby linearity we have that T (v) = T0(v) + T1(v), then

HomA(Ap|q,Ar|s) = HomA(Ap|q,Ar|s)0 ⊕ HomA(Ap|q,Ar|s)1.!


Let A a superalgebra, Ap|q and Ar|s standard free supermodules aneven morphism T : Ap|q −→ Ar|s have a matrix representation

(2) XT =

⎛

⎝X11 X12

X21 X22

⎞

⎠

where the sizes of X, X11, X12, X21 and X22 are (p+ q)× (r + s), r× p,r × q, s × p and s × q respectively. The matrices Xii are composed byeven elements and the other two by odd elements. When the morphismis odd, the matrices in the diagonal Xii are composed by odd elementsand the off-diagonal matrices by even elements. An element x in Ap|q

can be represented by a column vector

ux =

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

a1...

ap

b1...bq

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

then T (x) is represented by the matrix product XT ux. And by abuse ofnotation we simply write T for XT , and x for ux, hence Tx representsto XT ux.

The appropriate generalization for the concept of trace of a squarematrix in the case when T is in End(Ap|q) is as follows:

Definition 4.0.22. Let T in End(Ap|q) with matrix representation asin (2), the supertrace of T , denoted by Str(T ) is defined by

Str(T ) := tr(X11) − (−1)p(T )tr(X22)

for each homogeneous morphism T in End(Ap|q)

In the case q = 0, we have Str(T ) = tr(T ), the usual trace. It isstraightforward that Str(T + T ′) = Str(T ) + Str(T ′) for each T and T ′

in End(Ap|q).In ordinary linear algebra when we have a matrix X we can construct

its transpose denoted by Xt defining Xtij := Xji. In the super case we

need to consider whether the matrix is even or odd. The followingdefinition is useful


Definition 4.0.23. Let X in HomA(Ap|q,Ar|s) with matrix represen-tation, again, as in 2. Then the graded transpose o supertranspose ofX, denoted by Xt is defined by

T t =

⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

(Xt

11 Xt21

−Xt12 Xt

21

), T even;

(Xt

11 −Xt12

Xt12 Xt

22

), T odd.

An immediate consequence of this definition is that for each Xand Y matrices of appropriated dimensions we have that (XY )t =(−1)p(X)p(Y )Y tXt. Also if X is in End(Ap|q) we have that Str(X) =Str(Xt).

Now we motivate the concept of superdeterminant. As the superde-terminant will be a generalization of the usual determinant it must besatisfies, at least, the following requisites:

1. For each X and Y matrices, Ber(XY ) = Ber(X)Ber(Y ) that is:the Berezinian is multiplicative.

2. If X is an endomorphism of Rp|0, then Ber(X) = det(X).

An important difference between the classical determinant and theBerezinian is that while the determinant is defined on any endomor-phism, the Berezinian is defined only on invertible endomorphisms. Asa first step, to understand the concept, we can define the Berezinian inthe simplest case A = R, each T in End(Rp|q) has a matrix representa-tion (

X11 00 X22

).

We provide a provisional definition of Ber as

Ber(T ) := det(X11)/ det(X22).

In this case if

X =(

X11 00 X22

)and Y =

(Y11 00 Y22

)


Ber(XY ) = Ber(!

X11X ′11 0

0 X22X ′22

")

= det(X11X′11) det(X22X

′22)

−1

=det(X11)det(X22)

· det(X ′11)

det(X ′22)

= Ber(X)Ber(Y ).

The invertible matrices can be nicely characterized as the followingresult shows:

Lemma 4.0.24. If T is in End(Ap|q) and has a matrix representationas in (2) then X is invertible if and only if X11 and X22 are invert-ible matrices over the commutative ring A0, equivalently, det(X11) anddet(X22) are units of A0.

Proof. First we need proof the case when all the odd variables are zero.For this define the ideal J of A as J = A1 + A2

1, this is the idealgenerated by A1. Then consider the quotient [A] = A/J . We have anatural quotient map q : A −→ [A] defined by a #→ a + I, so to eachmatrix X with entries in A correspond a matrix [X] with entries theimages of entries by q of the entries of X, that is [Xij ] = q(Xij), then qcan be extended to End(Ap|q).

The first step is to prove that X is invertible if and only if [X] isinvertible. Is clear that if X is invertible, then [X] is invertible, forXX−1 = I implies [X][X−1] = [I]. Reciprocally suppose that [X] isinvertible, then we can find a matrix Z such that XZ = I + Y where Yis a matrix with Yij is in J for all i, j. To see that I + Y is invertiblenote that Y r = 0 for some r integer, that is Y is nilpotent. For, if Y isnilpotent

(I + Y )r−1#

i=0

(−1)iY i = I − Y r = I,

where r = mink ∈ N|Y k = 0, hence

X−1 = Zr−1#

i=0

(−1)iY i.

To see that Y is nilpotent note that there are odd elements o1, . . . , ok

in A such that any entry of Y take the form$

i aioi for some suitable


elements ai in A, thus when we calculate Xr, we have that each entryof Y r have the form !

i1...ir

a′i1...iroi1 · · · oir

then choose r such that the product oi1 · · · oir has at least two equalfactors, so it vanishes. As consequence [X] invertible if and only if X isinvertible. Observe that if X is an even matrix we have that

[X] ="

[X11] 00 [X22]

#,

thus X is invertible if and only if [X11] and [X22] are invertible, and thiswill be true if and only if X11 and X22 are invertible. This proves thelemma. !

We are in position to define the Berezinian in the general case, thatis when A1 = 0.

Definition 4.0.25. Let T even in GL(Ap|q) that have the matrix rep-resentation as in 2. The Berezinian of T ,denoted by Ber(T ) is definedby

Ber(X) := det(X11 − X12X−122 X21) det(X22)−1.

Remark 4.0.26. Note that Ber(X) = 1 for the identity matrix X11 =Ip, X22 = Iq, X12 = 0 and X21 = 0, the two latter matrices has oddentries.

In the way to prove the multiplicative property of the Berezinian werequire the following lemma, whose easy proof we leave to the reader asan exercise.

Lemma 4.0.27. For each matrix

X ="

X11 X12

X21 X22

#,

we have

X ="

1 X12X−122

0 1

# "X11 − X12X

−122 X21 0

0 X22

#"1 0

X−122 X21 1

#,

when X22 is invertible, and

X ="

1 0X21X

−111 1

# "X11 00 X22 − X21X

−111 X12

#"1 X−1

11 X21

0 1

#,

when X11 is invertible.


The proof of the multiplicative property of the Berezinian can bedivided into two steps. The first one is to prove the property for certainfamilies of matrices, this is the content of lemmas 1 y 2 and, then,show that any matrix can be decomposed in terms of matrices of thosefamilies. Let us to begin defining the following subsets of GL(Ap|q):

∆1 = X ∈ GL(Ap|q)|X =!

I 0X21 I

"

∆−1 = X ∈ GL(Ap|q)|X =!

I X12

0 I

"

∆0 = X ∈ GL(Ap|q)|X =!

X11 00 X22

",

each one of this is closed by the usual multiplication of matrices, aseasily one can prove. Then we have:

Lemma 4.0.28. For each X in ∆k and Y in ∆l, where k, l ∈ −1, 0, 1,we have

(3) Ber(XY ) = Ber(X)Ber(Y ).

Proof. The statement is clear for X and Y in ∆k with k ∈ −1, 0, 1since in the case k = −1 if we let

X =!

I 0X21 I

"and Y =

!I 0

X ′21 I

"

we have that!

I 0X21 I

"!I 0

X ′21 I ′

"=

!I 0

X21 + X ′21 I

",

and

Ber(!

I 0X21 + X ′

21 I

") = det(I) det(I)−1

= det(I) det(I) det(I)−1 det(I)−1

= [det(I) det(I)−1][det(I) det(I)−1]= Ber(X)Ber(Y ),

the other cases are similar since for each X in ∆0 X∆k ⊂ ∆k. Theimportant case is X in ∆−1 ∪ ∆1, then we have that


X =!

I 0X21 I

"and Y =

!I X ′

12

0 I

",

and

XY =!

I X ′12

X21 X21X ′12 + I

"

hence

Ber(XY ) = Ber!!

I X ′12

X21 X21X ′12 + I

""

= det(I − X ′12(X21X

′12 + I)−1X21) det((X21X

′12 + I))−1,

then we need to prove that

det(I − X ′12(X21X

′12 + I)−1X21) = det((X21X

′12 + I)).

For this suppose that X ′12 is elementary, this means that there exists a

single nonzero entry, namely b, and the others are zero. This b is odd,hence b2 = 0. Therefore (X21X ′

12)2 = 0 and (X ′12X21) = 0 since each

entry is multiple of b. So is clear that (I +X21X ′12)−1 = I −X21X ′

12, asconsequence

I − X ′12(I + X21X

′12)

−1X21 = I − X ′12(I − X21X

′12)X21

= I − X ′12X21 − (X ′

12X21)2

= I − X ′12X21.

We have that X ′12X21 is a square matrix, then

det(I − X ′12X21) = 1 + det(−X ′

12X21) + tr(−X ′12X21)

but det(X ′12X21) = 0 for b2 = 0, hence

det(I − X ′12X21) = 1 + tr(−X ′

12X21).

In the other hand det(I +X21X ′12) = 1+tr(X21X ′

12), and tr(X21X ′12) =

−tr(X ′12X21) = tr(−X ′

12X21) for X ′12 and X21 are odd. Thus det(I −

X ′12X21) = det(I + X21X ′

12), hence

det(I − X ′12(X21X

′12 + I)−1X21) det((X21X

′12 + I))−1 = 1

as we want, and this proves the lemma.!


Theorem 4.0.29. Let T and R in GL(Ap|q) even morphisms such thatits matrix representations are X and Y respectively, then

Ber(TR) = Ber(T )Ber(R).

Equivalently we can say that the Berezinian is an homomorphism.

Proof. Let

X =!

X11 X12

X21 X22

"and Y =

!Y11 Y12

Y21 Y22

",

that represents to T and R in GL(Ap|q) respectively. Now, by thelemma we have that X = UxVxWx and Y = UyVyWy, where Ux, Uy

is in ∆−1,Vx, Vy is in ∆0 and Wx,Wy is in ∆1. Precisely we have

Ux =!

I X12X22

0 I

"Uy =

!I 0

Y21Y−111 I

"

Vx =!

X11 − X12X−122 X21 0

0 X22

"Vy =

!Y11 00 Y22 − Y21Y

−111 Y12

"

Wx =!

I 0X−1

22 X21 I

"Wy =

!I Y −1

11 Y12

0 I

".

By direct calculation we have that

Ber(Ux) = Ber(Wx) = Ber(Uy) = Ber(Wy) = 1,

and Ber(Vx) = Ber(T ), Ber(Vy) = Ber(R), hence by the lemma 4.0.28is clear that

Ber(TR) = Ber(Ux)Ber(Vx)Ber(Wx)Ber(Uy)Ber(Vy)Ber(Wy)= Ber(UxVxWx)Ber(UyVyWy)= Ber(T )Ber(R).!

Corollary 4.0.30. Let Rp|q, Ber ∈ HomA(GL(Ap|q)0,A0) is well de-fined, that is let

B = e1, . . . , eq, o1, . . . , oq and B′ = e′1, . . . , e′p, o′1, . . . , o′q

be two ordered basis of Rp|q, T in GL(Ap|q); X the matrix representationof T for B and X ′ the matrix representation of T for B′, we have that

Ber(X) = Ber(X ′).


Proof. Each element in B′ can be expressed in terms of the elementsof B as a linear combination in such way that for each 1 ≤ i ≤ p and1 ≤ j ≤ q we have that

e′i =!p

k=1 ai,kek +!q

l=1 ci,lol and o′j =!p

k=1 bj,kek +!q

l=1 dj,lol.

Define the matrices A,B, C and D by Aki := ai,k, Bkj := bj,k,Cli := ci,l and Dlj := dj,l respectively, now define the matrix Y as

"A BC D

#

The matrix Y is even and invertible for B is linearly independent. HenceX ′ = PXP−1, then by theorem 4.0.29

Ber(X ′) = Ber(PXP−1)= Ber(P )Ber(X)Ber(P−1)= Ber(PP−1)Ber(X)= Ber(I)Ber(X)= Ber(X).!

When X is an odd matrix its Berezinian can be defined as follows.First suppose that p = q, and consider the following matrix

Υ ="

0 Ip

−Ip 0

#

where Ip denote the identity of size p × p. Then ΥX is an invertiblematrix. Define

Ber(X) := Ber(ΥX).It is immediate that again Ber(X) satisfies the multiplicative property.

AcknowledgementThe author express its gratitude to Dr. Ernesto Lupercio Lara for

his appreciable guide and valuable suggestions. Also the author wishesto thank to his wife Griselda Ortigoza Alcala for her patience and un-conditional support.

Manuel Vladimir Vega BlancoDepartamento de Matematicas,CINVESTAV,A. Postal 14-740,07000, Mexico D.F., MEXICO,[email protected]


References

[1] Claudio Bartocci, Ugo Bruzzo and Daniel Hernndez-Ruiprez. The geometry ofsupermanifolds, Kluwer Academic Publishers, (1991).

[2] Yuri I. Manin, Gauge Field Theory and Complex Geometry, Translated fromthe Russian by N. Koblitz and J. R. King, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,(1988).

[3] Pierre Deligne, Pavel Etingof, Daniel S. Freed, Lisa C. Jeffrey, David Kazhdan,John W. Morgan, David R. Morrison, and Edward Witten, Quantum FieldTheory and Strings: A Course for Mathematicians, American MathematicalSociety, (1999).

[4] Manuel Vladimir Vega Blanco, Supermanifolds as superalgebras, M. Sc. Thesis,Departamento de Matematicas del CINVESTAV-IPN, Mexico, (2007).

Morfismos, Comunicaciones Estudiantiles del Departamento de Matematicas delCINVESTAV, se termino de imprimir en el mes de diciembre de 2008 en el taller dereproduccion del mismo departamento localizado en Av. IPN 2508, Col. San PedroZacatenco, Mexico, D.F. 07300. El tiraje en papel opalina importada de 36 kilo-gramos de 34 × 25.5 cm consta de 500 ejemplares con pasta tintoreto color verde.

Apoyo tecnico: Omar Hernandez Orozco.

Contenido

regnidorhcSedatercsidnoicaucealarapsodnuforpocopselaicnetopsozoP

Joel Arturo Rodrıguez-Ceballos y Petr Zhevandrov Bolshakova . . . . . . . . . . . . 1

A proof of the multiplicative property of the Berezinian

Manuel Vladimir Vega Blanco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

morfismos, vol 12, no 1, 2008

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