notion de viscosité ; nombre de reynolds i) notions de viscosité 1) rappels
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Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
I) Notions de viscosité
1) Rappels
Actions de contact : Cas de la dynamique
dFn dS
Particule de fluide
Fluide ambiant
n
dF = dFn + dFt
dFt dF
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
I) Notions de viscosité
1) Rappels2) Force de viscosité dans les fluides
newtoniensa) Relation de Newton
v(M,t) = vx(y,t).ux
O
x
y
(R)vx(y,t)
z
Localement, les particules de fluide tournent autour d’un axe porté par Oz
Relation de Newton
Ox
y
y
vx(y + dy,t)y + dy
vx(y,t)gradvxdS
η xvd dS.
yt,sup/inf xF u
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
I) Notions de viscosité
1) Rappels2) Force de viscosité dans les fluides
newtoniensa) Relation de Newton
b) Notion de viscosité
Ordres de grandeur :
air 1,8.10–5 Pl ;
eau 10–3 Pl ;
huile 1 Pl ;
graisse 103 Pl à température ambiante ;
verre 10 Pl à 1400°C ;
verre 1013 Pl à 500°C ;
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
I) Notions de viscosité
3) Transport de quantité de mouvement par diffusion
a) Force volumique de viscosité
Force volumique de viscosité
Ox
y
y
dF(y + dy/2)y + dy/2
vx(y)
dS
y – dy/2dF(y – dy/2)
η2
x2
v
yv xf u
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
I) Notions de viscosité
3) Transport de quantité de mouvement par diffusion
a) Force volumique de viscosité
b) L’équation de Navier – Stokes
L’équation de Navier – Stokes
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
ρ ρ η Δ . . P .tv
v grad v g grad v
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
I) Notions de viscosité
3) Transport de quantité de mouvement par diffusion
a) Force volumique de viscosité
b) L’équation de Navier – Stokes
c) Diffusion de quantité de mouvement
L’équation de Navier – Stokes
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
ρ ρ η Δ . . P .tv
v grad v g grad v
Mode de diffusion Diffusion de particules Diffusion thermique Diffusion de quantité de mouvement volumique
Equation de diffusion n* : densité de particules T : température .v :
densité volumique de quantité de mouvement
Coefficient de diffusion (m2.s–1) D : diffusivité
Dth :
diffusivité thermique : viscosité cinématique
2
2n n
Dt y* *
2
th 2T T
Dt y
ρ ρν
2
2( . ) ( . )
t yv v
Ordres de grandeur :
air 1,8.10–5 Pl ; air 1,3 kg.m–3 ;
air 1,4.10–5 m2.s–1 ;
eau 10–3 Pl ; eau 1,0.103 kg.m–3 ;
eau 1,0.10–6 m2.s–1 ;
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
1) Les différents transports de quantité de mouvement
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
1) Les différents transports de quantité de mouvement
a) Transport par convection
Transport par convection
Le transport par convection est un transport de quantité de mouvement volumique parallèlement à la direction de l’écoulement
Transport par convection
v.dt
dm dS
v
Transfert convectif dpc de quantité de
mouvement
Transport par convection
On définit le débit convectif de quantité de mouvement par unité de surface par :
δρ
22x
p xp
D vdS.dt
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
1) Les différents transports de quantité de mouvement
a) Transport par convection
b) Transport par diffusion
Transport par diffusion
Le transport par diffusion est un transport de quantité de mouvement volumique perpendiculairement à la direction de l’écoulement
Transport par diffusion
x
y
y + dy
y
vx(y + dy)
vx(y)
gradvx(y)
Transfert diffusif dpd de quantité de mouvement
dS
Transport par diffusion
On définit le débit diffusif de quantité de mouvement par unité de surface par :
δη
2 'x x
pp v
D dS.dt y
'
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
2) Le nombre de Reynolds
a) Définition
pe
p
DR
D'
On appelle nombre de Reynolds Re, le rapport positif sans dimension :
Définition :
Description Nombre de ReynoldsÉvolution du manteau terrestre 10–20
Glacier 10–11
Bactéries dans l’eau 10–5
Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10–3
Bille qui tombe dans du miel 10–2
Poisson d’aquarium 102
Nageur dans l’eau 105
Serpent dans l’eau 106
Oiseau 106
Gros poisson dans l’eau 108
νeL.U
R
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
2) Le nombre de Reynolds
a) Définition
b) Autres définitions du nombre de Reynolds
L’équation de Navier – Stokes
En M, à la date t, dans le référentiel R galiléen :
ρ ρ η Δ . . P .tv
v grad v g grad v
Autres définitions du nombre de Reynolds
ν ν Δe( . )L.U accélération convective
R accélération diffusive
v grad vv
Autres définitions du nombre de Reynolds
τν τ
de
c
L.UR
etemps caractéristique de diffusion
R temps caractéristique de convection
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
2) Le nombre de Reynolds
a) Définition
b) Autres définitions du nombre de Reynolds
c) Interprétation du nombre de Reynolds
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
3) La classification des écoulements
a) Les écoulements laminaires et turbulents
Re < 1
L’écoulement est laminaire rampant
Re = 10
L’écoulement est laminaire
Re = 13
Re = 26
Re 2.103
L’écoulement est turbulent
Re 105
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
II) Nombre de Reynolds d’un écoulement
3) La classification des écoulements
a) Les écoulements laminaires et turbulents
b) Réflexion sur l’écoulement parfait
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle
1) Le paradoxe de d’Alembert
Fluide en mouvement
Ov0v0
P0 P0
v, P
Le fluide parfait
Un fluide ne peut être considéré comme parfait qu’en dehors de la couche limite et du sillage
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle
1) Le paradoxe de d’Alembert
2) Écoulement autour d’un obstacle
L’écoulement parfait est un modèle d’écoulement à fort nombre de Reynolds en dehors de la couche limite et du sillage
Définition :
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle
1) Le paradoxe de d’Alembert
2) Écoulement autour d’un obstacle
3) Description d’un écoulement autour d’une sphère
Pour les valeurs de Re inférieures à 1, l'écoulement est laminaire et approximativement linéaire.Les lignes de courant ont l'allure représentée ci – contre. Cx est inversement proportionnel à Re.
Pour des valeurs de Re supérieures à 1 (de l'ordre de Re 20), il apparaît un tourbillon torique stable derrière la sphère. Les dimensions de ce tourbillon augmentent avec le nombre de Reynolds.
Ce tourbillon finit par occuper toute la partie arrière de la sphère, pour des nombres de Reynolds de l'ordre de 300 à 450.
À partir de Re voisin de 450,le tourbillon se détache, en prenant une forme hélicoïdale.Ce tourbillon a pour conséquence l'existence d'une force transversale «tournante» s'exerçant sur la sphère
Pour Re 1000, l'écoulement n'est plus régulier :il se forme un sillage, zone turbulente et chaotique derrière la sphère.Le point de décrochement de la couche limite est situé en « avant » de la sphère.
Si Re devient très grand, (Re > 5.105), le sillage diminue d'importance.Les tourbillons évoluent de façon chaotique. Il n'est plus possible de décrire simplement l'écoulement qui devient turbulent.Alors que précédemment la couche limite était laminaire, elle devient turbulente : elle se décroche vers l’arrière
Application à la balle de golf :
Dans les mêmes conditions de lancement, une balle de golf (bosselée) va plus loin qu’une balle lisse.Autour de la balle de golf, il existe une couche limite turbulente tandis qu’autour de la balle lisse la couche limite est laminaire. Le Cx de la balle de golf est moins élevé que celui de la balle lisse pour le même nombre de Reynolds.
Description Nombre de ReynoldsÉvolution du manteau terrestre 10–20
Glacier 10–11
Bactéries dans l’eau 10–5
Spermatozoïdes dans le liquide séminal 10–3
Bille qui tombe dans du miel 10–2
Poisson d’aquarium 102
Nageur dans l’eau 105
Serpent dans l’eau 106
Oiseau 106
Gros poisson dans l’eau 108
νeL.U
R
Notion de viscosité ;Nombre de Reynolds
4) Évolution de la force de traînée
III) Écoulement d’un fluide autour d’un obstacle
1) Le paradoxe de d’Alembert
2) Écoulement autour d’un obstacle
3) Description d’un écoulement autour d’une sphère
Evolution du coefficient de traînée Cx(Re) d'une sphère lisse