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Submitted on 1 Jan 1926

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Lois de la viscosité des fluidesJean Dubief

To cite this version:Jean Dubief. Lois de la viscosité des fluides. J. Phys. Radium, 1926, 7 (12), pp.402-413.�10.1051/jphysrad:01926007012040200�. �jpa-00205274�

LOIS DE LA VISCOSITÉ DES FLUIDES

par M. JEAN DUBIEF.

Sommaire. 2014 Il n’existait pas jusqu’à présent de loi exprimant la viscosité en fonctionde la densité ou de la pression pour l’ensemble de l’état fluide.La relation donnée par Maxwell ne s’applique qu’aux gaz parfaits, les fluides réels

suivent d’autant moins cette dernière qu’ils s’écartent davantage de la loi de Boyle.La théorie cinétique permet d’établir une relation très simple, valable aussi bien pour

les gaz comprimés que pour les liquides.Soient ~ la viscosité du fluide sous le volume v; ~0, celle du gaz parfait à la même

température; b, le covolume de Van der Waals. On a la relation :

La forme remarquable de cette équation nous a conduit à rechercher la forme de

l’équation d’état. Le rapport v/v- b intervient en effet dans cette dernière. Des raisons

théoriques et expérimentales nous ont fait admettre que l’on a :

03C0 est une fonction linéaire de la densité. L’étude de cette dernière fonction nous amontré des résultats extraordinaires : elle n’est pas continue, mais varie par sautsbrusques. Il est probable que l’on se trouve en présence d’erreurs expérimentales et quela compressibilité des gaz n’est pas connue.

1. - Considérons deux couches Met N d’un fluide se mouvant parallèlement à leur plande séparation géométrique AB avec des vitesses v -~- d7~ et u.

Fig. i .

Soit une surface S située dans le plan AB. "

Les molécules traversent S en tous sens. Soit N’ la masse de gaz passant ex~ nne secondeà travers S (du ns le scns :~’ .-~. la quantité de mouvement transportée de N en M sera :

de même, les molécules allant de M en N transporteront :

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01926007012040200

403

L’échange de quantité de mouvement sera donc :

La force exercée F sera donc :

Dans la théorie classique, on confond L avec le chemin moyen. En réalité. A n’est pasle chemin moyen, mais la profondeur moyenne de pénétration des molécules parlant d’unecouche et arrivant dans la couche immédiatement yoisine.

Cette profondeur moyenne doit être comptée entre les centres de gravité des molécules.car les échanges de quantités de mouvement s’effectuent entre ces derniers.

On a donc, dans lous les cas :. 1 , )

(X, distance moyenne des molécules ; p, diamètre de choc).Ceci posé, désignons par 2_Y" la masse des molécules traversant la surface S en une

seconde. On a la relation évidente :

L’équation fondamentale deyienl :

en posant

Cette relation fondamentale s’applique à tous les fluides parfaits ou réels. Dans le casd’un gaz parfait, on a, d’après Joule : ,

En combinant (3), (4), (5), on retrouve la loi de Maxwell :

Dans la relation (4), une seule grandeur est mal connup : I‘’’. Cette dernière diffère

lorsque l’on a affaire soit à un gaz parfait, soit à un gaz réel.La relation de Joule n’est qu’une approximation. On peut raisonner c1P différentes

manières pour établir une équation plus exacte.Considérons une molécule fictin-e se déplaçant dans le gaz au milieu des autres molé-

chaque choc, elle subit une petite avance, car, au moment de ce dernier, les centresde gravité ne se touchent point, mais sont séparés par une certaine distancie, fonction de laforme et du volume des molécules. Supposons les molécules sphérique. de rayon t. Soient aleur vitessc moyenne ; _1T, leur nombre par unité de volume ; p, le nombrede cllocs subis par une molécule ez~ une seconde ; on a :

Differentions par rapport à p, il vient :

Autrement dit : une surface annulaire limitée par deux cercles concentriques de rayons,z~ et x -+- clx subit :

chocs par seconde ,

404

Sur la sphère moléculaire, les chocs ont lieu sous toutes les incidences. Si l’avance subieà chaque choc est 9- y = CD, l’avance due aux d, chocs sera :

L’avance totale en une seconde sera

~ Or

(Toù:

Fig.2.

Si l’on pose :

(bj = covolume de Van dcr BYaals), on voit que l’avance due aux chocs sera d’autant plusgrande que le volume sera plus petit. Cette avance subie par les molécules oblige à corrigerla relation de Joule :

.

En effet, la masse de gaz passant à travers une surface donnée sera plus grande.’

On a, au lieu de (5) :

Cette dernière relation n’est encore qu’une approximation, car la formule donnant lenombre de chocs doit être elle-même corrigée quand le gaz est très comprimé. En raison-nant d’une façon analogue à celle de Van der Waals, on arrive à la formule :

405

La relation précédente peut encore être généralisée en remarquant la similitude étroitequ’elle présente avec le viriel répulsif -¡;7. On a, en effet :

, - 1

Toutes les formules établie par les différents auteurs à propos de l’équation d’état sontvalables ici :

Nous même, en tenant compte des chocs doubles qui deviennent très nombreux à12

partir de v 2013 bo, avons établi la relation :

i2cette formule n’est valable que pour v 2013 b,. ,

71

En remplaçant dans (4) une des valeurs [(7) 2013(7)], on obtient les relations fonda-mentales suivantes :

viscosité du gaz parfait à t °C ; (7)v

La relation (7)v mise à part, c’est l’équation de Bollzmann et Mache qui représente lemieux la viscosité des fluides comprimés, même près du point critique ou sur la courbe desaturation du liquide. La relation (7)1 v donne de bons résultats également, mais sondomaine de validité est plus restreint. Elle ne s’applique à l’état liquide qu’au voisinage dupoint critique. (7)I n’est pratiquement valable que pour des densités relativement faibles,car lorsque le rapport augmente, le nombre des termes non négligeables de la série aug-mente considérablement. (7) et (7)’1 ne sont valables que dans un domaine très restreint.Dans ces équations, bo est fonction du volume.

406

Nous av ©ns dpssillé, sur la iig 3, les courbes relatives il

pour t = 20°1 données parlesormules (7)IH et (7;11B . croix rephésentent les résiilta[sexpérimentaux de Philippx [Proc. t. 87 (1912), p.

ig. 3. - Viscosité de CO~ en fonction de la pression. Les croix représentent les données expérimentalede Philipps; § les traits pleins, la loi (-i)"l de Boltzmann ; les traits pointillés, la loi de l’auteur.Les donnres néces;aire; au calcul de l’expression v (v - b) sont empruntées à Amagat.

On voit que les résultats donnés par les formules (7)HI (traits pleins) et (7)II’ (traitspointillés) sont très voisins les uns des autres à A ~0°(~, la formule de variation deBoltzmann et Mâche est plus près de l’expérience que l’expression (7)1B’.

Le covolume bo des deux formules a des valeurs très voisines dans les deux formules :

pour (’7) 1~~, bo = 0,002 300 (dans le système 1) == 1, v = 1 à 0° C) ;_ pour (7)~, bo zzr ( icl. id. ).

Si l’on se rappelle que la valeur donnée par la loi de Van der Waals

est bo ~ 0,0023, d’après les expériences de Van der Waal’s sur la compressibilité, ontrouvera que la concordance entre la théorie et l’expérience est tout t à fait remarquable.Cette concordance se inaintient pour les autres corps, mcme sur la courbe de saturation du

liquide, notamment CliH6, CHCII, (C2JI,»20, CH3 CO CHB SU’. Pour tous ces corps, nousavions trouvé que /;0 pouvait s’exprimer par la formule purement empirique :

407

poids moléculaire ; ~1, densité critique); or nous nous sommes aperçu que cette loi

avait un fondement théorique : on sait que, d’après Van der le volume critique :

Nadjeshdine et Kannunikoîf ont déduit de leurs expériences que cette relation étaitinexacte et devait être remplacée par la suivante :

or, on a évidemment : -.

~2400 = volume moléculaire..

On a ùonc :

ou

Relation qui concorde entièrelllent avec la formule (8) déduite des données sur laviscosité. Il y a donc identité cOl1zplète entre la valeur de 6o donnée par la cO’lnpressibilité etcelle des lois de la viscosité.

Posons

On démontre facilement que la relation : ~

.

peut être mise sous la forme :

2. Viscosité et états correspondants. - Xous avons rassemblé sur la figure 4.

toutes les données expérimentales relatives aux corps précédents. Nous avons pris commeabscisses les tetnpératures réduites.

D’après la théorie des états correspondants, les courbes des différents corpsdevraient ètre très voisines, on voit qu’en réalité des écarts assez sérieux se produisent.

Cependant, on ne peut nier un certain groupement des courbes. Nous avons ajouté les

408

données relatives au brome et des points malheureusement uniques ponr H2 et mêmel’air liquéfié.

Les données sont trop peu nombreuses pour que l’on puisse déduire des lois générales et

grouper les corps par familles. Téanmoins, le groupement des courbes -. = f - devait’0 B /être signalé.

°

3. Viscosité et équation d’état. - La relation (7)v

ouvre une voie toute nouvelle pour rechercher la solution du problème de la compressibilitédes fluides.

Deux phénomènes antagonistes rendaient, jusqu’à présent, la recherche de la véritable

Fig. 4. - laats correspondantes 1 _ 7 (d’aprés fn 6

équation d’état très difficile : l’influence du volume des molécules tendant à augmenter lapression et les attractions moléculaires diminuant cette dernière sur les parois.

La difficulté s’évanouit ici, car la viscosité donne la valeur de l’influence des forcesrépulsives ; connaissant les constantes de compressibilité de Boltzmann et Mâche par les

phénomènes de frottement, nous pouvons, au moyen des données connues sur la compres-sibilité des corps, calculer la valeur de la pression intérieure sous toutes les pressions etsous toutes les températures.

Lorsqu’on effectue le calcul au moyen de l’équation du viriel :3 i3 w - A (r) + viriel des forces répulsives ( 1,’),== 2

l,ri 7}lU2 - ! ) + viriel des forces répulsives ( )

on s’aperçoit que ce que l’on appelle la pression intérieure est elle-même

proportionnelle à 1,’..Autrement dif, en langage ordinaire, si, dans l’équation d’état,

409

i T ion remplace par l’expression équivalente 2013 -(calculée par la relation de Boltzmann),p

v - q

on observe que a est à peu près constant pour l’état gazeux peu comprimé, il devientdirectement proportionnel à r,jro sous de fortes densités.

La constatation de ce fait capital a orienté nos recherches vers les effets exercés surune masse homogène, contenue dans un récipient, par l’attraction moléculaire. La loi decette dernière est complètement inconnue, tant en fonction de la distance r que de l’intensité.

La théorie complète de l’atome de Bohr nous donnera certainement la solution du

problème. Cependant, dès maintenant on peut admettre que cette loi doit être très voisinede la suivante :

Cette somme étant soit finie, soit indéfinie (série développée en il est entier,positif et, comme nous le verrons plus bas, supérieur à 4.

La force F appliquée à toutes les molécules va créer un champ nul au milieu du fluideet maximum à la paroi. Cette dernière sera soumise a une force proportionnelle à sa

’

surface, donc à une certaine pression négative Non seulement la paroi sera attirée vers l’intérieur, mais tout ce qui adhère (couche de

passage) subira la même loi, d’où une deuxième pression négative 7t2 s’ajoutant à ’1tj.

//J .

Fig. ~.

Ce n’est pas tout. Considérons une molécule l%I. Si la pression extérieure n’existait pas,elle frapperait la paroi avec une force vive mu2 et la pression exercée par toutes les molé-cules M serait :

mais, en réalité, elle est soumise à une force jf-r1 calculable d’après la force F :

0 représente la densité du fluide. On démontre facilement, au moyen des équations dela mécanique, que la pression s’exprime alors par la relation :

’

On peut faire sortir à de la somme, î- représente la distance du centre de gravité de lamolécule à la paroi au 1110ment du choc. Posons :

410

Il vient :

En tenant compte de l’attraction de la paroi et de la couche de passage, il vient finale-ment :

Fig. 6. - Pression intérieuia de Isolherme de 30~C.

étant due à l’attraction de la paroi, sera simplement. proportionnelle à la densité Adu fluide, car cette même paroi est pratiquement incompressible.

Posons donc :

411

1’ dépend de ~’ et peut dépendre de la température. 7’:2 représente l’attraction de lacouche superficielle de passage par le gaz ; elle est proportionnelle, d’une part à la densitédu gaz, d’autre part à la densité de la couche de passage, laquelle est certainement fonc-tion de la densité du gaz (l’expérience exige une proportionnalité de la forme --)- 1") . 6

On a donc :

~", a", a peuvent être naturellement des fonctions de la température 7’.

Fib. i. - Pression intérieure de C02. Isotherme de 500C.

La somme des deux pressions 7:’ pourra donc s’exprimer par une relation :

,2(7,) (T) étant uniquement fonctions de T et non du volume. _

Ces fonctions sont à Eheuro actuelle inconnues et ne pourront l’être que lorsque léproblème des attractions moléculaires sera complètement résolu.

412

Quoi qu’il en soit, sur un isotherme donné on a la relation :

Posons 7t’ V = x.

On peut écrire :

La fonction r doit être une fonction linéaire de la densité. L’équation (17) appliquée

Fig. S. - Pression intérieure de C02. Isotlierme de 13’!oC.

aux: isothermes de C02 du grand réseau d’Amagat nous a conduit à découvrir une loi des .

plus extraordinaires : la compressibilité gaz n’est pas une fonction côntinue de ladensité; la fonction ~, qui aurait dû être une fonction unique sur un isotherme, estformée par une série de droites coudées. Ce fait peut être dÙ à des erreurs expérimentales.

Nous avons rassemblé sur les figures 6, 7 et 8 les résultats de nos calculs.

413.

En abscisses, nous avons porté la densité arbitraire :

En ordonnées, la fonclion

4. Conclusions. - En présence de tels résultats, il est imprudent de conclure.La loi est-elle réelle’l Dans ce cas, elle renverse complètement tout ce que nous savons

sur les gaz.Des erreurs systématiques se sont-elles glissées dans les mesures d’Amagat?Weiss avait cru déjà remarquer-que les courbes :

présentaient des points anguleux, mais n’a pu maintenir ses conclusions dans la suite. Sespropres expériences sur l’éthylène contredisent celles d’Amagat.

On voit tout l’intérêt qu’il y aurait à reprendre, avec des moyens modernes, toutes lesexpériences entreprises par les anciens auteurs. Cela nous réserverait peut-être des surprises.

Manuscrit reçu le août 1926.

BIBLIOGRAPHIE

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d’état, C. R., t. 18 (1926), p. 688.

BOLTZMANN et MACHE, Wied. Ann., t. 68 (1899), p. 350.

PLANCK, Berl. Ber., (1908), p. 633.

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