manual de calculo integral i

7/21/2019 Manual de Calculo Integral I

1/95

MANUAL DE CALCULO

INTEGRAL

Luis Felipe Camacho Huante

Jose Antonio Cortes Perez

Instituto Politenico Nacional

Centro de Estudios Cientcos y Tecnologicos

Juan de Dios Batiz Paredes

Julio 2009


2/95

2


3/95

Parte I

Ejercicios

3


4/95


5/95

Captulo 1

Integrales

5


6/95

6 1.1. Integrales Inmediatas

1.1. Integrales Inmediatas

x4

5 x2 dx (1.1)

dx7 +x2

(1.2)

sen x csc2 x

dx (1.3)

t2 2cos t dt (1.4)

y4 + 2y2 1

y dy (1.5)

t2t dt (1.6)

(x 2) (x 5) dx (1.7)

x+ 4

x 5dx (1.8)

a x2 dx (1.9)

u (3u 2) du (1.10)


7/95

1. Integrales 7

1.2. Integrales por Cambio de Variable

1.2.1. Por separacion en dos Integrales

x+ 3x2 + 4

dx (1.11)

2u+ 3

u2 2 du (1.12)

2e

x

1 e2x dx (1.13)

5t 1

3t2 9 dt (1.14)

5x 423

x2 + 3dx (1.15)

x

x4 + 16dx (1.16)


8/95

8 1.2. Integrales por Cambio de Variable

1.2.2. Completando T. C. P.

dx

x2 4x+ 9 (1.17)

x+ 2

x2 + 2x+ 5dx (1.18)

x+ 3

x2 + 8xdx (1.19)

u 5

8u u2 + 6 du (1.20)

2x+ 2

9x2 + 10x+ 4dx (1.21)


9/95

1. Integrales 9

1.2.3. Varios


10/95

10 1.3. Integrales por Partes

1.3. Integrales por Partes

1.3.1. Simples

x sec x tan x dx (1.22)

3xx dx (1.23)

x sec2 x dx (1.24)

(ex + 2x)2 dx (1.25)

x2ex dx (1.26)

x cos

3x

2

dx (1.27)

ln

x2 + 1

dx (1.28)

arcsen x dx (1.29)

x ln x dx (1.30)


11/95

1. Integrales 11

sec2 x sen x dx (1.31)

x5ex

2

dx (1.32)

ln x

(x+ 1)2dx (1.33)


12/95


1.3.2. Recursivas

csc3 x dx (1.34)

e

x

2 cosx

2

dx (1.35)

ex sen (2x) dx (1.36)

cos (ln x) dx (1.37)

e

t

4 cos(t) dt (1.38)


13/95

1. Integrales 13

1.4. Potencias Trigonometricas

1.4.1. Varios

sen4 x cos x dx (1.39)

cos5 x dx (1.40)

tan

3

(x)x

dx (1.41)

tan3 x

cos5

2 xdx (1.42)

sen2

x3

dx (1.43)

(ex)

cos2 (ex)

sen2 (ex)

dx (1.44)

sec3 x

tan4 xdx (1.45)

(sen x cos x)

2

dx (1.46)


14/95

14 1.4. Potencias Trigonometricas

1.4.2. Angulos Diferentes

sen(4x)cos(2x) dx (1.47)

cos(5x)cos(3x) dx (1.48)

sen (4y)sen(y) dy (1.49)


15/95

1. Integrales 15

1.5. Fracciones Parciales

1.5.1. Caso I. Factores lineales diferentes

dx

(x+ 1) (x 2) (1.50)

dx

x2 4 (1.51)

5x 1

x2 1 dx (1.52)

x2

x2 +x 6dx (1.53)

4x 2

x3 x2 2xdx (1.54)


16/95

16 1.5. Fracciones Parciales

1.5.2. Caso II. Factores lineales repetidos

dt

(t+ 2)2 (t+ 1)(1.55)

dx

x3 + 3x2 (1.56)

3x2 8x+ 13(x+ 3) (x 1)2dx (1.57)

4x

(x 1)2 (x+ 1) dx (1.58)


17/95

1. Integrales 17

1.5.3. Caso III. Factores cuadraticos diferentes

dx2x3 +x (1.59)

x2 x 5

(x 1) (x2 + 2x+ 2) dx (1.60)

2x2 x+ 4

x3 + 4x dx (1.61)

6x2 3x+ 1(4x+ 1)2 (x2 + 1)

dx (1.62)


18/95


1.5.4. Caso IV. Factores cuadraticos repetidos


19/95

1. Integrales 19

1.6. Racionalizacion

x3 +

x

dx (1.63)

dx

(x+ 4)

x+ 1dx (1.64)

dx

2 3

x+

x (1.65)

dx

x x 43 (1.66)

arctan

x dx (1.67)


20/95

20 1.6. Racionalizacion


21/95

Parte II

Solucion de Ejercicios

21


22/95


23/95

Captulo 1

Integrales

23


24/95


1.1. Integrales Inmediatas

x4

5 x2 dx (1.1)

5x4 x6 dx

5

x4 dx

x6 dx

x5 +x7

7 +C

dx

7 +x2(1.2)

ln

x+

7 +x2

+C

sen x csc

2

x

dx (1.3)

sen x dx

csc2 x dx

cos x+ cot x+C

t2 2cos t

dt (1.4)

t2 dt 2

cos t dt

t3

3 2sen t+C


25/95

1. Integrales 25

y4 + 2y2 1

y dy (1.5)

y4

y+

2y2y 1

y

dy

y4

ydy + 2

y2

ydy

1

ydy

y

7

2 dy+ 2

y

3

2 dy

y1

2 dy

2y7

2

9 +

4y7

2

5 2y 12 +C

t

2t dt (1.6)

2t

3

2 dt

2

t

3

2 dt

2

2t5

2

5 +C

(x 2) (x 5) dx (1.7)

x2 7x+ 10 dx

x3

37x

2

2 10x+C


26/95


x+ 4

x

5

dx (1.8)

como el numerador y el denominador

son del mismo grado, dividimos

1 +

9

x 5

dx

dx+ 9

dx

x 4dx

x+ 9 ln x 5 +C

a x2 dx (1.9)

a 2ax+x dx

a dx 2

a

x dx+ x dx

ax 2a

x3

2

32

+

x2

2 +C

ax 4

ax3

2

3 +

x2

2 +C

u (3u 2) du (1.10) 3u

3

2 du

2

u du

6u5

2

5 4u

3

2

3 +C


27/95

1. Integrales 27

1.2. Integrales por Cambio de Variable

1.2.1. Por separacion en dos Integrales

x+ 3x2 + 4

dx (1.11)

xx2 + 4

dx+

3

x2 + 4dx

u= x2 + 4

du= 2xdx

dx= du2x

12

du

u+ 3

dx

x2 + 4

u+ 3 lnx+ x2 + 4+C

x2 + 4 + 3 ln

x+

x2 + 4

+C

2u+ 3

u2 2 du (1.12)

2u

u2 2du+

3

u2 2du

w= u2 2dw= 2udu

du= dw2u

dw

w + 3

du

u2 2

lnu2 2+ 3

2

2ln

u

2

u+

2

+C


28/95


2ex

1

e2x

dx (1.13)

2ex

1 (ex)2dx

u= ex

du= exdx

dx= dw

ex

2 ex1 u2 duex

2

du

1 u2

2 arcsenu

1

+C

2arcsen(ex) +C

5t 1

3t2 9 dt (1.14)

5t

3t2 9 dt dt3t2 9

5t

3t2 9 dt dt

3t

2 9

u= 3t2 9 w= 3tdu= 6tdt dw=

3dt

dt=du

6t dt=

dw3


29/95

1. Integrales 29

5

6 du

u 1

3 dw

w2

9

5

6

u

1

2

12

1

3lnw+ w2 9+C

5

3

3t2 9 1

3ln3t+ 3t2 9+C

5x 42

3x

2

+ 3

dx (1.15)

5

x23

x2 + 3dx 4

dx

23

x2

+ 3

u=2

3x2 + 3 w=

2

3x

du=4

3xdx dw=

2

3dx

dx= du43

x dx= dw

23

5

x

u

du43

x

4

1

w2 + 3

dw

23

15

4

du

u 4

23

dw

w2 + 3

15

4 ln |u| 4

3

2

1

3arctan

w

3

+C

15

4 ln

23 x2 + 3 42 arctan

2x

+C


30/95


x

x4 + 16dx (1.16)

x

(x2)2 + 16dx

u= x2

du= 2x

dx= du

2x

xu2 + 16

du2x

1

2

du

u2 + 16

1

2

1

4arctan

u4

+C

1

8arctan

x2

4 +C


31/95

1. Integrales 31

1.2.2. Completando T. C. P.

dx

x2 4x+ 9 (1.17)

dx

x2 4x+

421

2

421

2+ 9

dx

x2 4x+ 4 4 + 9

dxx2 4x+ 4 + 5

dx

(x+ 2)2 + 5

u= x + 2 x= u 2du= dx

du

u2 + 5

15

arctan

u

5

+C

15

arctan

x 2

5

+C

x+ 2

x2 + 2x+ 5dx (1.18)

x+ 2

x2 + 2x+

221

2

221

2+ 5

dx

x+ 2

x2 + 2x+ 1 1 + 5 dx


32/95


x+ 2

(x+ 1)2 + 4dx

u= x+ 1 x= u 1du= dx

(u 1) + 2

u2 + 4 du

u 1 + 2

u2 + 4 du

u+ 1u2 + 4

du

u

u2 + 4du+

du

u2 + 4

w= u2 + 4

dw= 2udu

du=dw

2u

u

w

dw

2u

+

du

u2 + 4

1

2

dw

w +

du

u2 + 4

1

2ln |w| +1

2arctan

u2

+C

1

2lnu

2

+ 4

+

1

2arctanu

2

+C

1

2ln(x+ 1)2 + 4+1

2arctan

x+ 1

2

+C

1

2lnx2 + 2x+ 5+1

2arctan

x+ 1

2

+C


33/95

1. Integrales 33

x+ 3

x2 + 8xdx (1.19)

x+ 3

x2 + 8x+

821

2

821

2 dx

x+ 3

x2 + 8x+ 16 16 dx

x+ 3

(x+ 4)

2

16dx


(u 4) + 3

u2 16 du

u 4 + 3

u2 16 du

u 1

u2 16 du

u

u2 16 du

duu2 16

w= u2 16dw= 2udu

du=dw

2u u

w

dw

2u

duu2 16

1

2

dw

w

duu2 16


34/95


1

2 w1

2 dw du

u2

16

1

2

w

1

2

12

ln

u+ u2 16+C

w lnu+ u2 16+C

u2 16 ln

u+

u2 16

+C

(x+ 4)2 16 ln x+ 4 + (x+ 4)2 16+C

x2 + 8x ln

x+ 4 + x2 + 8x+C

u 58u u2 + 6 du (1.20)

u 5 (8u+u2 6) du

u 5 (u2 8u 6) du

u 5

u2 8u+

821

2

821

2 6

du

u 5 (u2 8u+ 16 16 6) du

u 5 (u 4)2 22 du


35/95

1. Integrales 35

u 5

22 (u 4)2

du

w= u 4 u= w + 4dw= du

(w+ 4) 5

22 w2 du

w+ 4 5

22 w2 dw

w 1

22 w2 dw

w

22 w2 dw

dw22 w2

z= 22 w2dz= 2wdw

dw= dz

2w w

z

dz

2w

dw22 w2

12

dz

z

dw22 w2

12

z

1

2 dz

dw22 w2

12

z

1

2

12

arcsen

w

22

+C

z arcsen

w22

+C


36/95


22 w2 arcsen w

22+C

22 (u 4)2 arcsen

u 422

+C

8u u2 + 6 arcsen

u 422

+C

2x+ 2

9x2 + 10x+ 4dx (1.21)

2x+ 2

9x2 + 10x+

1029

2

1029

2+ 4

dx

2x+ 2

9x2 + 10x+ 259 25

9 + 4

dx

2x+ 2

3x+ 532 119

dx

u= 3x+5

3 x=

u 53

3du= dx

2u533 + 2u2 11

9

du

2u

3 10

9 + 2

u2 119du

2u3

+ 89

u2 119

du


37/95

1. Integrales 37

2

3 u

u2

119

du+8

9 du

u2

119

du

w= u2 119

dw= 2udu

du= dw

2u

2

3

u

w

dw

2u

+

8

9

du

u2 119

du

13

dw

w +8

9

duu2 11

9

du

1

3ln |w| +8

9

1

2

119

ln

u

119

u+

119

+C

1

3ln

u2 11

9

+ 4

3

11ln

u

119

u+ 119

+C

1

3ln

3x+5

3

211

9

+ 4311 ln

3x+ 53

119

3x+ 53

+

119

+C

1

3ln9x2 + 10x+ 4+ 4

3

11ln

3x+ 53

119

3x+ 53

+

119

+C


38/95


1.2.3. Varios


39/95

1. Integrales 39

1.3. Integrales por Partes

1.3.1. Simples

x sec x tan x dx (1.22)

u= x dv= sec x tan x dx

du= dx v= sec x

x sec x

sec x dx

x sec x ln |sec x+ tan x| +C

x3x dx (1.23)

u= x dv= 3x dx

du= dx v= 3x

ln(3)

x3x

ln(3)

3x

ln (3)dx

x3x

ln(3) 1

ln(3)

3x dx

x3x

ln (3) 1

ln(3)

3x

ln(3)

+C

x3x

ln(3) 3x

ln2 (3)+ C

3x

ln2 (3)(x ln (3) 1) +C


40/95


x sec2 x dx (1.24)

u= x dv= sec2 x dx

du= dx v= tan x

x tan x

tan x dx

x tan x ln |sec x+ tan x| +C

(ex + 2x)2 dx (1.25)

e2x + 4xex + 4x2

dx

e2x dx+ 4

xex dx+ 4

x2 dx

para la segunda integral

u= x dv= ex

dxdu= dx v= ex

e2x

2 + 4

xex

ex dx

+

4x3

3

e2x

2 + 4xex 4ex +4x

3

3 +C

x2e

x dx (1.26)

u= x2 dv= ex dx

du= 2xdx v= ex


41/95

1. Integrales 41

x2ex 2x ex

dxx2ex + 2

xex dx

u= x dv= ex dx

du= dx v= ex

x2ex + 2xex

ex dx

x2ex 2xex + 2

ex dx

x2ex 2xex 2ex +C

ex x2 + 2x+ 2+C

x cos3x

2 dx (1.27)

u= x dv= cos

3x

2

dx

du= dx v=2sen

3x2

3

2

3x sen

3x

2

2sen3x2

3

dx

2

3 x sen3x

223 sen3x2 dx

2

3x sen

3x

2

4

9cos

3x

2

+C


42/95


ln x2 + 1 dx (1.28)

u= ln

x2 + 1

dv= dx

du= 2x

x2 + 1dx v= x

x ln

x2 + 1 2x

x2 + 1

x dx

x ln x2 + 1 2

x2

x2 + 1dx



x ln

x2 + 1 21 1

x2 + 1

dx

x ln

x2 + 1 2 dx+ 2 1

x2 + 1dx

x ln

x2 + 1 2x+ 2 arctan x+C

arcsen x dx (1.29)

u= arcsen x dv= dx

du= 11 x2 dx v= x

x arcsen x x1 x2 dx

w= 1 x2dw= 2xdx

dx= dw2


43/95

1. Integrales 43

x arcsen x x

w dw

2 x arcsen x+

1

2

w

1

2 dw

x arcsen x+1

2

w

1

2

12

x arcsen x+w1

2

x arcsen x+

1 x2 12 +Cx arcsen x+

1 x2 +C

x ln x dx (1.30)

u= ln x dv=

x dx

du= 1x

dx v= 2x3

2

3

2

3x

3

2 ln x

1

x

2x

3

2

3

dx

2

3x

3

2 ln x 23

x

1

2 dx

23

x3

2 ln x 23

x

3

2

32

+C

2

3x

3

2 ln x 4x3

2

9 +C


44/95


sec2 x sen x dx (1.31)

u= sen x dv= sec2 x dx

du= cos x dx v= tan x

tan x sen x

tan x cos x dx

tan x sen x

sen x dx

tan x sen x+ cos x+C

x5ex

2

dx (1.32)

u= x4 dv= xex2

dx

du= 4x3dx v= ex

2

2

x4ex2

2

4x3ex2

2

dx

x4ex2

2 2

x3ex

2

dx

u= x2 dv= xex2

dx

du= 2xdx v= ex

2

2

x4ex2

2 2

x2ex

2

2

(2x)

ex

2

2

dx

x4ex2

2 2

x2ex

2

2

xex

2

dx


45/95

1. Integrales 45

x4ex2

2 x2ex2 + 2 xe

x2

dx

w= x2

dw= 2xdx

dx= dw

2x

x4ex2

2 x2ex2 + 2

xew

dw

2x

x4ex2

2 x2ex2

+

ew

dw

x4ex2

2 x2ex2 +ew +C

x4ex2

2 x2ex2 +ex2 +C

ln x(x+ 1)2dx (1.33)

u= ln x dv= 1

(x+ 1)2dx

du= 1

xdx v= 1

x+ 1

ln xx+ 1

+

1

x

1

x+ 1

dx

ln xx+ 1

+

1

(x) (x+ 1)dx

para la integral utilizamos

fracciones parciales caso I


46/95


1

(x) (x+ 1)=

A

x+

B

x+ 1

1 =A (x+ 1) +B(x)

1 =Ax+A+Bx

1 = (A+B) x+A

A+B = 0

A= 1

B= 1

ln xx+ 1

+

1

x 1

x+ 1

dx

ln xx+ 1

+

1

xdx

1

x+ 1dx

ln x

x+ 1+ ln |x| ln |x+ 1| +C


47/95

1. Integrales 47

1.3.2. Recursivas

csc

3

x dx (1.34)

csc2 x csc x dx

u= csc x dv= csc2 x dx

du= csc x cot x dx v= cot x

csc3 x dx= csc x cot x ( csc x cot x) (cotx) dx

csc3 x dx= csc x cot x

csc x cot2 x dx


csc x

csc2 x 1 dx


csc3 x dx+

csc x dx

2

csc3 x dx= csc x cot x+ ln |csc x cot x|

csc3 x dx=

csc x cot x+ ln |csc x cot x|2

csc3 x dx= 1

2csc x cot x+

1

2ln |csc x cot x| +C

ex2 cos

x2

dx (1.35)

w=x

2

dw=dx

2dx= 2dw


48/95


2

ew cos w dw

integramos a

ew cos w dw por separado y al final

multiplicamos por el 2 que esta fuera de la integral

ew cos w dw

u= ew dv= cos w dw

du= ew dw v= sen w ew cos w dw= ew sen w

ew sen w dw

u= ew dv= sen w dw

du= ew dw v= cos w

ew cos w dw= ew sen w ew cos w

ew ( cos w) dw

e

w

cos w dw= ew

sen w+ew

cos w ew cos w dw2

ew cos w dw= ew sen w+ew cos w

ew cos w dw=

ew sen w+ew cos w

2

multiplicamos por el 2 que estaba fuera de la integral

e

x

2 cos

x2

dx= 2

ew sen w+ew cos w

2

ex

2 cosx

2

dx= e

x

2 senx

2

+e

x

2 cosx

2

+C

e

x

2 cosx

2

dx= e

x

2

sen

x2

+ cos

x2

+C


49/95

1. Integrales 49

ex sen(2x) dx (1.36)

u= ex dv= sen(2x) dx

du= ex dx v= cos (2x)2

ex sen(2x) dx= e

x cos (2x)

2

ex

cos(2x)

2

ex sen (2x) dx= e

x cos (2x)

2 +

1

2 ex cos (2x)

u= ex dv= cos(2x) dx

du= ex dx v= sen (2x)

2

= ex cos (2x)

2 +

1

2

ex sen(2x)

2

ex

sen (2x)

2

= ex cos (2x)

2 +

ex sen(2x)

4 1

4 ex sen (2x)

1 +

1

4

ex sen (2x) dx= e

x cos(2x)

2 +

ex sen (2x)

4

5

4

ex sen (2x) dx= e

x cos(2x)

2 +

ex sen (2x)

4

ex sen(2x) dx=

ex cos(2x)2 +

ex sen(2x)4

54

+C

ex sen(2x) dx= 2e

x cos (2x)

5 +

ex sen (2x)

5 +C

ex sen (2x) dx=

ex

5 (2cos(2x) + sen (2x)) +C


50/95


cos (ln x) dx (1.37)u= cos(ln x) dv= dx

du= sen (ln x)x

dx v= x

cos (ln x) dx= x cos (ln x)

sen(ln x)

x

x dx

cos (ln x) dx= x cos (ln x) +

sen (ln x) dx

u= sen(ln x) dv= dx

du=cos (ln x)

x dx v= x

=x cos (ln x) x sen(ln x)

cos(ln x)

x

x dx

=x cos(ln x) x sen(ln x)

cos (ln x) dx

2

cos (ln x) dx= x cos (ln x) x sen(ln x)

cos (ln x) dx=

x cos (ln x) x sen (ln x)2

+C

cos (ln x) dx=

x

2(cos (ln x) sen(ln x)) +C

e

t

4 cos(t) dt (1.38)

u= et

4 dv= cos (t) dt

du= e

t

4

4 dt v=

sen(t)


51/95

1. Integrales 51

et

4 cos(t) dt=e

t

4sen (t)

et

4

4 sen(t)

dt

et

4 cos(t) dt= e

t

4sen (t)

1

4

e

t

4 sen(t) dt

u= et

4 dv= sen(t) dt

du=e

t

4

4 dt v= cos(t)

=

et

4sen (t)

1

4e

t

4cos (t)

et

4

4cos(t) dt

= e

t

4sen (t)

1

4

e

t

4cos (t)

+

1

4

e

t

4 cos(t) dt

=e

t

4sen (t)

+

et

4cos (t)

42 1

162

e

t

4 cos(t) dt

162 + 1

162

et

4 cos(t) dt=e

t

4sen (t)

+e

t

4cos (t)

42

162 + 1

162

e

t

4 cos(t) dt=e

t

4sen (t)

+

et

4cos (t)

42

e

t

4 cos(t) dt=et4 sen(t)

+ e

t4 cos(t)42

162+1162

+C

e

t4 cos(t) dt=

et4

sen(t

) +

cos(t)

4

162+1162

+C

e

t

4 cos(t) dt= 16e

t

4

162 + 1

sen(t) +

cos (t)

4

+C


52/95


1.4. Potencias Trigonometricas

1.4.1. Varios

sen4 x cos x dx (1.39)

u= sen x

du= cos x dx

dx= du

cos x

u4 cos x

ducos x

u4 du

u5

5 +C

sen5 x

5 +C

cos5 x dx (1.40)

cos x

cos4 x

dx

cos x

cos2 x

2

dx

cos x

1 sen2 x2 dx

cos x

1 2sen2 x+ sen4 x dx


53/95

1. Integrales 53

cos x 1 2sen2 x+ sen4 x dx

cos x dx 2

sen2 x cos x dx+

sen4 x cos x dx

u= sen x

du= cos x dx

dx= du

cos x

cos x dx 2 u2 cos x

du

cos x+ u4 cos x

du

cos x

cos x dx 2

u2 du+

u4 du

sen x 2

u3

3

+

u5

5 +C

sen x 2 sen3 x

3 +

sen5 x

5 +C

tan3 (

x)

x dx (1.41)

u=

x

du= 1

2

xdx

dx= 2

x du

tan

3

ux

2x du

tan3 u du


54/95


55/95

1. Integrales 55

tan x sec2 x 1 sec

5

2 x dx

tan x sec

9

2 x dx

tan x sec5

2 x dx

tan x sec x sec

7

2 x dx

tan x sec x sec3

2 x dx

u= sec x

du= sec x tan x dx

dx= du

sec x tan x tan x sec x u

7

2

du

sec x tan x

tan x sec x u3

2

du

sec x tan x

u

7

2 du

u3

2 du

u9

2

92

u5

2

52

+C

2u9

2

9 2u

5

2

5 +C

2sec9

2 x

9 2 sec

5

2 x

5 +C

sen2

x3

dx (1.43)

u= x

3

du= dx

3dx= 3du


56/95


3 sen2 u du

3

1 cos(2u)

2 du

3

2

(1 cos (2u)) du

3

2

du 3

2

cos(2u) du

w= 2udw= 2du

du=dw

2

3

2

du 3

2

cos w

dw

2

3

2

du 3

4

cos w dw

3u

23 sen w

4 +C

3u

23 sen (2u)

4 +C

3x

3

2 3 sen

2x

3

4

+C

x

23 sen 2x3

4 +C

(ex)

cos2 (ex)

sen2 (ex)

dx (1.44)


57/95

1. Integrales 57

u= ex

du= ex dx

dx= duex

(ex)

cos2 u

sen2 u

duex

cos2 u

sen2 u

du

1 cos(2u)2

1 + cos (2u)2

du

1 cos2 (2u)4

du

1

4

1 cos2 (2u) du

1

4

du 1

4

cos2 (2u) du

1

4

du 1

4

1 + cos (4u)

2 du

1

4

du 1

8

(1 + cos (4u)) du

1

4

du 1

8

du 1

8

cos (4u) du

w= 4u

dw= 4du

du= dw

4

1

4

du 1

8

du 1

8

cos w

dw

4

(1.45)


58/95


1

4 du 1

8 du 1

32 cos w dwu

4 u

8sen w

32 +C

u

8 sen (4u)

32 +C

ex

8sen (4e

x)

32 +C

sec3 x

tan4 xdx (1.46)

1cos3 xsen4 xcos4 x

dx

cos4 x

sen4 x cos3 xdx

cos

x

sen4 xdx

u= sen x

du= cos x dx

dx= du

cos x

cos x

u4

du

cos x

du

u4

u4 du

u3

3 +C


59/95

1. Integrales 59

13u3

+C

13sen3 x

+ C

csc3 x

3 +C

(sen x cos x)2 dx

sen2 x 2sen x cos x+ cos2 x dx

1 cos (2x)

2 2sen x cos x+1 +cos (2x)

2

dx

1

2cos (2x)

2 2sen x cos x+1

2+

cos (2x)

2

dx

(1 2sen x cos x) dx

dx 2

sen x cos x dx

u= sen x

du= cos x dx

dx= du

cos x

dx 2 u cos x du

cos x

dx 2

u du

x 2

u2

2

+C


60/95


x u2 +C

x sen2 x+C


61/95

1. Integrales 61

1.4.2. Angulos Diferentes

sen (4x)cos(2x) dx (1.47)

1

2(sen (4x+ 2x) + sen (4x 2x)) dx

1

2

(sen(6x) + sen (2x)) dx

1

2 sen(6x) dx+1

2 sen(2x) dxu= 6x w= 2x

du= 6dx dw= 2dx

dx=du

6 dx=

dw

2

1

2

sen u

du

6

+

1

2

sen w

dw

2

1

12

sen u du+

1

4

sen w dw

1

12( cos u) +1

4( cos w) +C

112

cos (6x) 14

cos (2x) +C

cos (5x)cos(3x) dx (1.48) 1

2(cos (5x+ 3x) + cos (5x 3x)) dx

1

2

(cos (8x) + cos (2x)) dx


62/95


1

2 cos (8x) dx+1

2 cos (2x) dxu= 8x w= 2x

du= 8dx dw= 2dx

dx= du

8 dx=

dw

2

1

2

cos u

du

8

+

1

2

cos w

dw

2

1

16 cos u du+1

4 cos w dw

1

16(sen u) +

1

4(sen w) +C

1

16sen (8x) +

1

4sen (2x) +C

sen(4y)sen(y) dy (1.49) 1

2(cos (4y y) cos(4y+y)) dy

1

2

(cos (3y) + cos (5y)) dy

1

2

cos(3y) dy 1

2

cos(5y) dy

u= 3y w= 5ydu= 3dy dw= 5dy

dy= du

3 dy=

dw

5


63/95

1. Integrales 63

1

2 cos udu

3 1

2 cos wdw

5 1

6

cos u du 1

10

cos w dw

1

6(sen u) 1

10(sen w) +C

1

6sen (3y) 1

10sen (5y) +C


64/95


1.5. Fracciones Parciales

1.5.1. Caso I. Factores lineales diferentes

dx

(x+ 1) (x 2) (1.50)

1

(x+ 1) (x 2)= A

x+ 1+

B

x 2

1 =A (x 2) +B(x+ 1)

1 =Ax 2A+Bx+B

1 = (A+B) x+ (2A+B)

A+B = 0

2A+B = 1

A= 13

B=1

3

13

x+ 1+

13

x 2

dx

13

dx

x+ 1+

1

3

dx

x 2

u=

x+ 1

w=

x 2du= dx dw= dx

13

du

u +

1

3

dw

w


65/95

1. Integrales 65

13

ln |u| +13

ln |w| +C

13

ln |x+ 1| +13

ln |x 2| +C

dx

x2 4 (1.51)

dx

(x 2) (x+ 2)

1

(x 2) (x+ 2) = A

x 2+ B

x+ 2

1 =A (x+ 2) +B(x 2)

1 =Ax+ 2A+Bx 2B

1 = (A+B) x+ (2A 2B)

A+

B= 0

2A 2B= 1

A=1

4

B= 14

14x 2

14

x+ 2

dx

1

4

dx

x 21

4

dx

x+ 2

u= x 2 w= x + 2du= dx dw= dx


66/95


1

4 du

u1

4 dw

w

1

4ln |u| 1

4ln |w| +C

1

4ln |x 2| 1

4ln |x+ 2| +C

5x 1

x2 1 dx (1.52)

5x 1

(x 1) (x+ 1) dx

5x 1(x 1) (x+ 1) =

A

x 1+ B

x+ 1

5x 1 =A (x+ 1) +B(x 1)

5x 1 =Ax+A+Bx B

5x 1 = (A+B) x+ (A B)

A+B = 5

A B= 1

A= 2

B = 3

2

x 1+ 3

x+ 1

dx

2

dx

x 1+ 3

dx

x+ 1


67/95

1. Integrales 67

u= x 1 w= x + 1du= dx dw= dx

2

du

u + 3

dw

w

2 ln |u| + 3ln |w| +C

2 ln |x 1| + 3ln |x+ 1| +C

x2x2 +x 6

dx (1.53)



1 +

x+ 6x2 +x 6

dx

dx+ x+ 6x2 +x 6

dx

dx+

x+ 6(x+ 3) (x 2)dx

x+ 6(x+ 3) (x 2)=

A

x+ 3+

B

x 2

x+ 6 =A (x 2) +B(x+ 3)

x+ 6 =Ax 2A+Bx+ 3B

x+ 6 = (A+B) x+ (2A+ 3B)

A+B = 1

2A+ 3B= 6


68/95


A= 95

B=4

5

dx+

95

x+ 3+

45

x 2

dx

dx 9

5

dx

x+ 3+

4

5

dx

x 2

u=

x+ 3

w=

x 2

du= dx dw= dx

x 95

du

u +

4

5

dw

w

x 95

ln |u| +45

ln |w| +C

x 95

ln |x+ 3| +45

ln |x 2| +C

4x 2

x3 x2 2xdx

4x 2

x (x2 x 2)dx

4x 2

x (x 2) (x+ 1) dx

4x 2x (x 2) (x+ 1)) =

A

x +

B

x 2+ C

x+ 1

4x 2 =A (x 2) (x+ 1) +B(x) (x+ 1) +C(x) (x 2)

4x 2 =A x2 x 2+B x2 +x+Cx2 2x


69/95

1. Integrales 69

4x 2 =Ax2 Ax 2A+Bx2 +Bx+Cx2 2Cx

4x 2 = (A+B+C) x2 + (A+B 2C) x+ (2A)

A+B+C= 0

A+B 2C= 4

2A= 2

A= 1

B= 1

C= 2

1

x+

1

x 2 2

x+ 1

dx

dx

x +

dx

x 2 2

dx

x+ 1

u= x 2 w= x+ 1du= dx dw= dx

dx

x +

du

u 2

dw

w

ln |x| + ln |u| 2 ln |w| +C

ln |x| + ln |x 2| 2 ln |x+ 1| +C


70/95


1.5.2. Caso II. Factores lineales repetidos

dt(t+ 2)2 (t+ 1) (1.54)

1

(t+ 2)2 (t+ 1)=

A

(t+ 2)2+

B

t+ 2+

C

t+ 1

1 =A (t+ 1) +B(t+ 2) (t+ 1) +C(t+ 2)2

1 =A (t+ 1) +B

t2 + 3t+ 2

+C

t2 + 4t+ 4

1 =At +A+Bt2

+ 3Bt+ 2B+Ct2

+ 4Ct+ 4C

1 = (B+C) t2 + (A+ 3B+ 4C) t+ (A+ 2B+ 4C)

B+C= 0

A+ 3B+ 4C= 0

A+ 2B+ 4C= 1

A= 1

B= 1

C= 1

1(t+ 2)2

+ 1t+ 2

+ 1

t+ 1

dt

dt(t+ 2)2 dtt+ 2+ dtt+ 1u= t + 2 w= t + 2

du= dt dw= dt

du

u2

du

u +

dw

w


71/95

1. Integrales 71

u2 du

du

u +

dw

w

u1

1 ln |u| + ln |w| +C

1

t+ 2 ln |t+ 2| + ln |t+ 1| +C

dx

x3 + 3x2 (1.55)

dx

x2 (x+ 3)

1

x2 (x+ 3)=

A

x2+

B

x +

C

x+ 3

1 =A (x+ 3) +B(x) (x+ 3) +C(x)2

1 =A (x+ 3) +B

x2 + 3x

+C(x)2

1 =Ax+ 3A+Bx2 + 3Bx+Cx2

1 = (B+C) x2 + (A+ 3B) x+ (3A)

B+C= 0

A+ 3B= 0

3A= 1

A=1

3

B= 19

C= 19


72/95


13

x2

19

x+

19

x+ 3 dx1

3

dx

x2 1

9

dx

x +

1

9

dx

x+ 3

u= x + 3

du= dx

1

3

x2 dx 1

9

dx

x +

1

9

du

u

13

x1

119

ln |x| +19

ln |u| +C

13x1

9ln |x| +1

9ln |x+ 3| +C

(1.56)


73/95

1. Integrales 73

1.5.3. Caso III. Factores cuadraticos diferentes


74/95


1.5.4. Caso IV. Factores cuadraticos repetidos


75/95

1. Integrales 75

1.6. Racionalizacion

x3 +

x

dx (1.57)

z2 =x z=

x

2zdz= dx

z2 (2z)

1 +

z2dz

2 z3

1 +zdz

como el numerador es de mayor

grado que el denominador, dividimos

2

z2 z+ 1 1

1 +z

dz

2 z2 dz 2 z dz+ 2 dz 2

1

1 +zdz

2z3

3 z2 + 2z 2 ln |1 +z| +C

2 (

x)3

3 x2 + 2 x 2 ln 1 + x+C

2 (

x)3

3 x+ 2x 2 ln

1 +

x

+C

dx

(x+ 4)

x+ 1dx (1.58)

z2 =x + 2 z=

x+ 2 x= z2 22zdz= dx


76/95


2z

((z2

2) + 4)

z2

dz

2

z

(z2 + 2) zdz

2

dz

z2 + 2

2

1

2arctan

z

2

+C

22

arctan

x+ 22

+C

dx

2 3

x+

x (1.59)

z6 =x z= x1

6

6z5dz= dx

6z5

2 3

z6 +

z6dz

6

z5

2 (z6)1

3 + (z6)1

2

dz

6

z5

2z2 +z3dz

6

z5

z2 (2 +z)dz

6

z3

2 +zdz


77/95

1. Integrales 77

como el numerador es de mayor

grado que el denominador, dividimos

6

z2 2z+ 4 8

z+ 2

dz

6

z2 2z+ 4 8

z+ 2

dz

6

z2 dz 12

z dz+ 24

dz 48

dz

z+ 2

6z3

3 12 z

2

2 + 24z 48ln |z+ 2| +C

2

x1

6

3 6

x

1

6

2+ 24

x

1

6

48ln

x 16+ 2+C2x

1

2 6x 13 + 24x 16 48lnx 16 + 2+C

dxx x 43 (1.60)

z3 =x z= x1

3

3z2dz= dx

3z2

(z3) (z3) 43dz

3 z2z3 z4

dz

3

z2

z3 (1 z)dz

3

dz

z(1 z)


78/95


para la integral utilizamos

fracciones parciales caso I

1

z(1 z)= A

z +

B

1 z

1 =A (1 z) +B(z)

1 =A Az+Bz

1 = (A+B) z+A

A+B = 0

A= 1

B= 1

3

1

z+

1

1 z

dz

3

1z

dz+ 3

11 zdz

3 ln |z| 3 ln |1 z| +C

3 lnx 13 3 ln 1 x 13 +C

arctan

x dx (1.61)

z2 =x z=

x

2zdz= dx

2

arctan

z2 dz


79/95

1. Integrales 79

2 arctan z dzintegramos a

arctan z dzpor separado y al final

multiplicamos por el 2 que esta fuera de la integral

arctan z dz

u= arctan z dv= dz

du= 11 +z2dx v= z

z2 arctan z

2

z2

2

1

1 +z2

dz

z2 arctan z

2 1

2

z2

1 +z2dz



z2 arctan z

2 1

2

1 1

z2 + 1

dz

z2 arctan z

2 1

2

dz+

1

2

dz

z2 + 1

z2 arctan z

2 z

2+

1

2arctan z

multiplicamos por el 2 que estaba fuera de la integral

2

z2 arctan z

2 z

2+

1

2arctan z


80/95


z2 arctan z z+ arctan zx2 arctan x x+ arctan x+C

x arctan

xx+ arctan x+C


81/95

Parte III

Apendices y Bibliografa

81


82/95


83/95

Apendice A

Formularios

83


84/95

84 A.1. Formulario de Integrales

A.1. Formulario de Integrales

u, v y w son funciones. a es constante. (du+dv dw) =

du+

dv

dw

dx = x+C

a du = a

du

un du =

un+1

n+ 1+ C

1

udu = ln |u| +C

eu du = eu +C

a

u

du =

au

ln a+C

sen u du = cos u+C

cos u du = sen u+C

sec2 u du = tan u+C

csc2 u du = cot u+C

tan u sec u du = sec u+C


85/95

A. Formularios 85

cot u csc u du = cot u+C tan u du = ln |sec u| +C

cot u du = ln |sen u| +C

sec u du = ln |sec u+ tan u| +C

csc u du = ln |csc u cot u| +C

1

a2 +u2du =

1

aarctan

ua

+C

1

a2 u2 du = arcsenu

a

+C

1uu

2

a2

du = 1

a

arcsecua+C

1

u2 a2du = 1

2aln

u au+a+C

1

a2 u2du = 1

2aln

a+ua u+C

1

u2 a2 du = lnu+

u2 a2

+C

a2 u2 du = u

2

a2 u2 + a

2

2 arcsen

ua

+C

u2 a2 du = u

2

u2 a2 a

2

2 lnu+ u2 a2+C


86/95

86 A.2. Formulario de Derivadas

A.2. Formulario de Derivadas

u, v y w son funciones de x. a es constante.

da

dx = 0

dx

dx = 1

d

dx(u+v w) = du

dx+

dv

dxdw

dx

ddx

(a u) = cdudx

d

dx(u v) = v

du

dx+ u

dv

dx

d

dx

uv

=

v dudx udv

dx

v2

d

dx

(un) = nu(n1)du

dx

d

dx

u

= 1

2

u

du

dx

d

dx(ln u) =

1

u

du

dx

d

dx(logau) =

1

u ln a

du

dx

ddx

(eu) = eududx

d

dx(au) = au ln a

du

dx


87/95

A. Formularios 87

d

dx(uv) = v u(v1) +

du

dxuv ln u

dv

dx

d

dx(sen u) = cos u

du

dx

d

dx(cos u) = sen udu

dx

d

dx(tan u) = sec2 u

du

dx

d

dx(cot u) = csc2

u

du

dx

d

dx(sec u) = tan u sec u

du

dx

d

dx(csc u) = cot u csc udu

dx

d

dx(arcsen u) =

11 u2

du

dx

d

dx(arccos u) = 1

1 u2du

dx

d

dx(arctan u) =

1

1 +u2du

dx

d

dx(arccot u) = 1

1 +u2du

dx

d

dx(arcsec u) = 1

uu2 1du

dx

d

dx(arccsc u) = 1

u

u2 1du

dx


88/95

88 A.3. Formulario de Trigonometra

A.3. Formulario de Trigonometra

csc = 1sen

sec = 1

cos

cot = 1

tan

sen2 + cos2 = 1

tan2 + 1 = sec2

cot2 + 1 = csc2

sen2 = 1 cos (2)

2

cos

2

=

1 + cos (2)

2

sen cos = 1

2 [sen(+) + sen ( )]

cos cos = 1

2 [cos(+) + cos ( )]

sen sen = 1

2 [cos( ) sen(+)]

sen(2) = 2 sen cos

cos(2) = cos2 sen2


89/95

Apendice B

Tips para Integrales

89


90/95

90 B.1. Separar en dos Integrales

B.1. Separar en dos Integrales

Cuando tenemos una inegral en forma de fraccion algebraica con denomi-

nador de segundo grado (sin termino lineal), el cual puede estar dentro o node una raz cuadrada, y con numerador de primer grador (con termino lineal).

x+ 4

x2 + 5dx

3x 14

x2 + 36dx

Conviene separar en dos integrales. La primera se resuelve por cambio devariable y la segunda es directa.

Separar en dos integrales al primer ejemplo: x+ 4

x2 + 5dx

x

x2 + 5dx+

4

x2 + 5dx

x

x2 + 5dx+ 4

dx

x2 + 5

la primera integral se resuelve haciendo u al denominador

u= x2 + 5

du= 2xdx

dx= du

2x

x

u

du

2x

+ 4

dx

x2 + 5

12

du

u + 4

dxx2 + 5


91/95

B. Tips para Integrales 91

Separar en dos integrales al segundo ejemplo:

3x 14

x2 + 36dx

3x

x2 + 36dx+

14x2 + 36

dx

3

x

x2 + 36dx 14

dx

x2 + 36

la primera integral se resuelve haciendo u

a lo que esta dentro de

u= x2 + 36

du= 2xdx

dx= du

2x

3

x

u

du

2x

14

dx

x2 + 36

3

2 du

u 14

dxx2 + 36


92/95

92 B.2. Completar T. C. P. en el denominador

B.2. Completar T. C. P. en el denominador

Cuando tenemos una inegral en forma de fraccion algebraica con denomi-

nador de segundo grado (con ternino lineal y con o sin termino independi-ente), el cual puede estar dentro o no de una raz cuadrada, y con numeradorde menor grado.

x+ 3

x2 + 2x+ 10dx

3x+ 1

x2 + 4x+ 6dx

Conviene completar el T. C. P. en el denominador. Al completar el T. C. P.se tiene que sumar y restar la misma cantidad para no afectar a la integral.

La formula para completar el T. C. P. es: b

2

a

2

a coeficiente del termino cuadratico

bcoeficiente del termino lineal

Completando el T. C. P. para el primer ejemplo: x+ 3

x2 + 2x+ 10dx

x+ 3

x2 + 2x+

221

2

221

2+ 10

dx

x+ 3

x2 + 2x+ 1 1 + 10dx

factorizando y simplificando terminos independientes

x+ 3

(x+ 1)2 + 9dx


93/95

B. Tips para Integrales 93

cambio de variable con uigual a lo que este dentro de ( )2


sustituyendou, dxy x

u+ 2

u2 + 9du

se separa en dos integrales para su solucion

Completando el T. C. P. para el segundo ejemplo: 3x+ 1

x2 + 4x+ 6dx

3x+ 1

x2 + 4x+

421

2

421

2+ 6

dx

3x+ 1

x2 + 4x+ 4 4 + 6 dx

3x+ 1

(x+ 2)2 + 2dx


3 (u 2) + 1

u2 + 2du

3u 5

u2 + 2du

se separa en dos integrales para su solucion


94/95

94 B.2. Completar T. C. P. en el denominador


95/95

Bibliografa

[1] Granville

[2] Leithold

manual de calculo integral i

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