manual calculo diferencial

7/25/2019 Manual Calculo Diferencial

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Unidad: Instituto Tecnolgico Superior de Edicin No. : 1

Coatzacoalcos Fecha de Edicin: 2014

Departamento: Ingeniera Mecatrnica

Materia: Clculo Diferencial

Elabor: Alicia Enriqueta Prez Yebra; Vctor Gabriel Facundo Landa

INGENIERIA MECATRNICA

Clculo Diferencial

PRIMER SEMESTRE

MANUAL DE PRCTICAS

POR COMPETENCIAS

Elaborado por:

M.C. Alicia Enriqueta Prez Yebra

M.C. Vctor Gabriel Facundo Landa

Revisado por:Academia de Ingeniera Mecatrnica

Coatzacoalcos, Ver., 2014.


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INTRODUCCION

La caracterstica ms sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian

los conceptos sobre los que se construye todo el Clculo: nmeros reales,

variable, funcin y lmite. Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los

esenciales del Clculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de

cambio entre dos variables, nocin de trascendental importancia en las

aplicaciones de la ingeniera. Esta asignatura contiene los conceptos bsicos y

esenciales para cualquier rea de la ingeniera y contribuye a desarrollar en el

ingeniero un pensamiento lgico, formal, heurstico y algortmico. En el Clculo

diferencial el estudiante adquiere los conocimientos necesarios para afrontar con

xito clculo integral, clculo vectorial, ecuaciones diferenciales, asignaturas de

fsica y ciencias de la ingeniera. Adems, encuentra, tambin, los principios y lasbases para el modelado matemtico.

Intencin didctica. La unidad uno se inicia con un estudio sobre el conjunto de

los nmeros reales y sus propiedades bsicas. Esto servir de sustento para el

estudio de las funciones de variable real, tema de la unidad dos. En la tercera

unidad se introduce el concepto de lmite de una sucesin, caso particular de una

funcin de variable natural. Una vez comprendido el lmite de una sucesin se

abordan los conceptos de lmite y continuidad de una funcin de variable real. En

la unidad cuatro, a partir de los conceptos de incremento y razn de cambio, se

desarrolla el concepto de derivada de una funcin continua de variable real.

Tambin se estudian las reglas de derivacin ms comunes. Finalmente, en la

quinta unidad se utiliza la derivada en la solucin de problemas de razn de

cambio y optimizacin (mximos y mnimos).


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Competencias a desarrollar

Comprender las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades

de primer y segundo grado con una incgnita y desigualdades con valor absoluto,

representando las soluciones en la recta numrica real.

Comprender el concepto de funcin reale identificar tipos de funciones, as como

aplicar sus propiedades y operaciones.

Comprender el concepto de lmite de funciones y aplicarlo para determinar

analticamente la continuidad de una funcin en un punto o en un intervalo y

mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que

estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra.

Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizaciny de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de

aproximaciones.


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NDICE.

Nmero Nombre Pgina

1 Nmeros reales 6

2 Funciones 12

3 Lmites laterales 15

4 Derivada 19

5 Aplicaciones de la derivada, Mximos y mnimos 24

6 Aplicaciones de la derivada. Optimizacin 31

Bibliografa 32


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REGLAMENTO PARA LA ENTREGA DE PRCTICAS

Las prcticas se entregan en tiempo y forma, destacndose los siguientes puntos:

1. Solo se reciben las prcticas en la fecha acordada para su entrega.

2. La prctica debe cumplir con los requisitos que se solicitaron al 100%.

3. Deben de cumplir con el material que se les indica, segn sea el caso.

4. No se reciben prcticas con una esttica deficiente (ortografa, orden,

limpieza, coherencia).

5. La entrega de prctica la har el alumno, si se elabora en equipo todos sus

integrantes sern nombrados en la portada y lo entregar uno de ellos.


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NMEROS REALES

Prctica 1

Objetivo:

Comprender las propiedades de los nmeros reales para resolver desigualdades

de primer y segundo grado con una incgnita y desigualdades con valor absoluto,

representando las soluciones en la recta numrica real.

Introduccin:

Una manera de representar geomtricamente los nmeros reales, consiste en

tomar una recta generalmente en forma horizontal, y fijar dos puntos distintos en

ella, denotando con 0 (cero) al de la izquierda y con 1 (uno) al de la derecha.

Se considera que cada punto de la recta corresponde a un nmero real y

viceversa, a cada nmero real le corresponde uno y solo un punto de dicha recta.

Se establece de esta forma, una correspondencia biunvoca entre los nmeros

reales y los puntos de esta recta, la cual nos permite decir en adelante que cada

punto "es" un nmero real. A la recta sobre la cual se hace representaciones de

los nmeros reales, se llama: RECTA REAL, o, tambin, RECTA NUMRICA.


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En conclusin una escala numrica es una representacin grfica de los nmeros

reales por medio de los puntos de una recta. A cada nmero le corresponde un

solo punto de la recta y recprocamente.

Materiales:

Escuadras Compas de precisin

Hojas blancas

Procedimiento:

1. Recurriendo a la idea de distancia y tomando como unidad de longitud el

segmento de recta entre 0 y 1, que en adelante se llamar segmento

unitario; como punto de partida el 0, que en adelante se llamar origen;

como nmeros positivos los puntos que se dan a la derecha del origen y

negativos, los que se dan a su izquierda, construir la recta real

2. Localizar los nmeros enteros, como aparecen en la siguiente figura.


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8






3. Representar en la recta numrica los siguientes nmeros reales:

a) b) |3|c)

|3|

4. Para ciertos nmeros irracionales, su localizacin en la recta numrica se

logra de una manera sencilla empleando el teorema de Pitgoras

5. Construye una recta real y representa en ella los siguientes nmeros reales:

a) 10b) 17

c) 5


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9






6. Seala con una cruz los nmeros racionales y encierra en un crculo los

nmeros irracionales.

e

e

ln

121

1515.1

1

66.1

3

15

100

10.0

5

3

2

1

1


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Cuestionario:

Encontrar todos los nmeros reales que satisfagan la desigualdad (dar larespuesta en forma de intervalo, se califica procedimiento y resultado)

1

111

13

2

19

20

13

5

32

4

3

3

23

52

13

12

222

2

xxxxx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

035122

xx

032

xx

0452

xx

+ 43 |2 4| 17| 2| 5 > 4


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Bibliografa:

Swokowski Earl W. Clculo con Geometra Analtica. Grupo Editorial Iberoamrica.

Leithold L. Clculo con geometra Analtica. Edit. OXFORD. University Press.


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FUNCIONES

Prctica 2

Objetivo:

Comprender el concepto de funcin real y tipos de funciones, as como estudiar

sus propiedades y operaciones.

Introduccin:

La nocin de correspondencia aparece frecuentemente en la vida diaria. Por

ejemplo:

A cada libro de una biblioteca corresponde un nmero de pginas

A cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento

Si se registra la temperatura del aire a lo largo del da, entonces a cada instante

de tiempo corresponde una temperatura.

Estos ejemplos de correspondencia involucran dos conjuntos, dominio y recorrido.

Al conjunto de nmeros que tienen imagen mediante una funcin le llamamos

dominio de definicin de una funcin. El recorrido de una funcin es el conjunto de

todas las imagines de la funcin. Entonces, una funcin consiste en dos

conjuntos, dominio y recorrido (rango o imagen). A cada miembro del recorrido

debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio.


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Si la relacin entre dos variables xy yes una en la que para cada valor de yhay

exactamente un valor dex, se dice que yes una funcin dex.

Materiales:

Lap top

Software Winplot

internet

Procedimiento:

1) Doble click en Winplot

2) Ventana, seleccionar 2 dim

3) Seleccionar el men Ecua, explicita, se abrir un cuadro de dialogo para

introducir la funcin.4) Introducir la funcin() = 9;de la siguiente manera, sqr(x^2-9)5) Seleccionar color y ancho de lpiz, dar ok

6) Cules son el dominio de f?

7) Sugerencia: ir al men ecua, seleccionar la liga inventario, en el cuadro de

dialogo que aparece seleccionar tabla, ah se podr observar la tabulacin

que realiz el software para hacer la grfica.

8) Hacer el mismo procedimiento para hacer la grfica y determinar el dominio

de las siguientes funciones

a)() = 1b)() =


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c)() = ln +

d)() = +6+

e)() = 1 4 Cuestionario:

Visitar la siguiente pgina y realizar la actividad sealadas con los incisos a y b.

Reportar resultados

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementale

s_2/valorabs.htm

Bibliografa:



http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones%20elementales_2/valorabs.htm


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LMITES LATERALES

Prctica 3

Objetivo:

Comprender el concepto de lmite de funciones y aplicarlo para determinar

analticamente la continuidad de una funcin en un punto o en un intervalo y

mostrar grficamente los diferentes tipos de discontinuidad.

Introduccin:

Imagnate que sufres una pesadilla (por tanto estudiar matemtica) en la que te

encuentras cerca de una puerta. Decides abrirla, as que te acercas. Te das

cuenta que estas cada vez ms cerca, pero no alcanzas a tocar el picaporte.

Corres tratando de llegar, mas, siempre hay espacio entre tu mano y ese

picaporte, no importa cunto lo intentes. Esa "pesadilla" tiene nombre matemtico

"lmite".

El concepto de lmite en Matemticas tiene el sentido de lugar hacia el que se

dirige una funcin en un determinado punto o en el infinito.

Desde el punto de vista del conjunto de los nmeros reales, que es denso (infinito

e infinitsimo), podemos encontrar entre dos nmeros consecutivos infinitos

nmeros: tomemos dos nmeros, por ejemplo, 4 y 5, busquemos un nmero real

entre ellos, podemos tomar 4 que est entre 4 y 5, ahora un nmero que este

entre 4 y 4, por ejemplo 4.1, nuevamente busquemos un nmero entre 4 y 4.1, tal


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vez 4.01, y as sucesivamente ppodemos seguir as eternamente. Siempre nos

podremos acercar al nmero "4" todo lo que queramos sin llegar a l. Justamente

"4" es el lmite que no podemos tocar.

Materiales:

Lap top Software Winplot

Procedimiento:

Para calcular el1

1

2

1

x

x

lmx

realizar los siguientes pasos

1) Graficar utilizando winplot la funcin

.

2) Para realizar el clculo de limite lateral por la izquierda nos acercaremos a1 con valores ms pequeos que l, para ello hay que completar la

siguiente tabla

< 1 xf 0.9

0.99

0.9990.9999

3) Podemos concluir observando los resultados cul es ese valor que

queremos alcanzar, llamado lmite, entonces:


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lim

=4) Se realizarn los mismos pasos para calcular el lmite pero ahora

acercndonos por la derecha

> 1 xf 1.1

1.011.001

1.0001

lim 1

1 =

Cuestionario:

Graficar y estimar el valor del lmite sealando si se acerca por la izquierda o por

la derecha:

1)

4

2

4 x

x

lmx

2)

6

2

2

2 xx

x

lmx

3)

x

ex

x

lm 1

0

4)lims

5) lim


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Bibliografa:




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DERIVADAS

Prctica 4

Objetivo:

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que

estudia y analiza la variacin de una variable con respecto a otra.

Introduccin:

Todo fenmeno natural, desde las vibraciones cunticas de las partculas

subatmicas hasta el propio universo, es una manifestacin del cambio. Los

organismos en desarrollo cambian conforme crecen. Las poblaciones de criaturas

vivas, desde los virus hasta las ballenas, sufren modificaciones da con da o de

un ao a otro. La historia, la poltica, la economa y el clima estn sujetos a

cambios constantes y con frecuencia desconcertantes.

Algunos cambios son simples: el ciclo de las estaciones, el flujo y reflujo de las

marcas. Otros parecen ms complicados: las recesiones econmicas, los brotes

de enfermedades, las condiciones metereolgicas. Cambios de toda ndole

influyen en nuestras vidas.

Es de la mayor importancia la necesidad de entender y controlar el mundo

cambiante en que vivimos. Para hacer esto de manera eficaz debemos ser

sensibles a los patrones de cambio, incluyendo el descubrimiento de patrones

ocultos en los eventos que primera vista parezcan no tenerlos. Para ello es

necesario:


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Representar los cambios en una forma comprensible.

Entender los tipos fundamentales de cambio

Identificar tipos particulares de cambio cuando ocurran.

Aplicar estas tcnicas al mundo exterior y

Controlar un universo cambiante para nuestro mayor provecho.

El medio ms eficaz para llevar a cabo estas tareas son las matemticas. Con las

matemticas construimos universos modelo y los descomponemos para investigar

la forma en que operan, resaltamos sus rasgos estructurales importantes y

percibimos y desarrollamos principios generales. Las matemticas son el summum

en la transferencia de tecnologa: los patrones percibidos en un ejemplo

individual pueden aplicarse en el espectro entero de las ciencias y del mundo de

los negocios.

Materiales:

Lap top

Software Winplot


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Procedimiento:

1. Las grficas que aparecen a continuacin representan, en cada caso, la

variacin de la velocidad de una partcula que se mueve por una trayectoria

recta. Con base en ellas, describe, en cada caso, la variacin de la posicin

de la partcula y bosqueja, tambin en cada caso, la grfica

correspondiente.

cc c)a)

v

t

v

t

v

t


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2. La figura de la parte superior es la lnea (graduada en cm) en la cual, como

parte de un experimento, una partcula se movi durante 16 segundos. La

grfica de la parte inferior representa la variacin de la velocidad de dicha

partcula durante el movimiento, que inici en la posicin 10 cm.

Con base en la informacin que proporciona la grfica de la velocidad de la

partcula, contesta las siguientes cuestiones:

a) El valor de la velocidad inicial.

b) El intervalo o los intervalos de tiempo durante los cuales el mvil se movi

hacia la derecha

Trayectoria

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-5

v

15

-10

5

10

0 1614 t2 4 6 10 128


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.

c) El instante o los instantes en los cuales cambi de direccin

d) El intervalo o los intervalos de tiempo durante los cuales el mvil iba

frenando.

e) El intervalo o los intervalos de tiempo durante los cuales el mvil se estaba

moviendo a la izquierda del origen, dirigindose a l aumentando su

velocidad.

Cuestionario:

Demostrar las siguientes derivadas:

= =

= ++ =

= =


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= 1 2 = () = (2 3 ) () = 18 (2 3)() = 4 9 () = ()

= = ()

() = (2 5 ) () = ( )

= ( ) = ( )

= ( ) = 6

= = + +

= =

+

+

= + = (+)

= + =

()

= + =

+

=

=

(

)

= 3 4 = 6

= + = (+)


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= + =

()

= +

= (+ ) ( )

Bibliografa:

Ayres Frank. Clculo diferencial e integral. Mc Graw Hill.

Granville William A. Clculo Diferencial e Integral. Edit. NoriegaLIMUSA


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MXIMOS Y MNIMOS

Prctica 5

Objetivo:

Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin y

de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de

aproximaciones.

Introduccin:

Muchos estudiantes estn capacitados para reconocer inmediatamente algunos

tipos bsicos de la variacin que correspondan a figuras en una grfica cartesiana.

Steve Monk ha entrevistado estudiantes de College al resolver el Problema de la

escalera (Monk,1990) usando un modelo fsico. El problema pide el movimientodel extremo superior de la escalera recargada sobre una pared cuando el extremo

inferior se mueve a velocidad constante sobre el piso. Mientras experimentan con

el modelo fsico a menudo los estudiantes expresan certeza acerca de la forma de

la grfica, an antes de determinar el eje o las unidades. Por ejemplo, uno de ellos

haba una forma como la de la figura 4 sera apropiada, y se esforzaban por

encontrar cules deberan ser las variables sobre los ejes de tal figura grfica para

mostrarla. Esta es una evidencia de que ha reconocido en el movimiento del

extremo superior de la ESCALERA como una variacin de crecimiento creciente y

su correspondencia con una figura grfica en particular. sta es una inversin del

supuesto ms usual de acerca de la construccin de una grfica cartesiana, esto

es, que primero se definen los ejes y las unidades y entonces se determina la

grfica; lo que muestra que el reconocimiento del tipo bsico de la variacin y su


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correspondiente figura pueden ser el primer paso en la construccin de la grfica

cartesiana, y el cual lleva a la seleccin apropiada de los ejes y las escalas.

Creemos que el enriquecimiento de las intuiciones de los estudiantes acerca de

los tipos bsicos de la variacin y de su comprensin de cmo estn conectadas

con el comportamiento de entidades matemticas, tales como nmeros, funciones

y ecuaciones, son objetivos centrales para la educacin matemtica. Las

investigaciones sobre la comprensin y el aprendizaje de los estudiantes acerca

de los tipos bsicos de la variacin tienen el potencial para describir la enseanza

de las matemticas del cambio, a travs de los niveles educacionales.

Figura 4

VolumenTasa

de

Tiempo Tiempo


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Materiales:

Lap top

Software Winplot

Procedimiento:

Sabiendo que la velocidad de una partcula que se desplaza por una trayectoria

recta est representada analticamente por la expresin v(t)= t24t +2, en la que

v est medida en m/seg y t est medido en segundos, analiza y contesta las

siguientes cuestiones:

a) Analiza la variacin de la velocidad, bosqueja su grfica, descrbela y

determina:

i) Su valor inicial

ii) Los intervalos de tiempo en los cuales es positiva y aquellos en

los que es negativa

iii) Los instantes en los cuales vale cero.


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iv) Los intervalos de tiempo en los cuales es creciente y aquellos en

los cuales es decreciente.

v) El mximo y el mnimo valor en los primeros ocho segundos del

recorrido.

b) A partir del anlisis que hiciste de la variacin de la velocidad, contesta lo

pedido en los incisos b), c), d) y e) del problema # 2.

c) Sabiendo que la funcin velocidad es la derivada de la funcin posicin,

obtn esta ltima, es decir, determina cul es la funcin cuya derivada es la

funcin velocidad dada.

d) Utiliza la funcin posicin obtenida para calcular la distancia recorridadesde el instante t= 0, hasta el primer cambio de direccin.


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e) Bosqueja la grfica de la funcin posicin y describe su variacin.

Cuestionario:

Calcular los mximos y mnimos de cada una de las funciones siguientes,

utilizando cualquiera de los dos criterios, hallar sus puntos de inflexin y bosquejar

su grfica:

2 12 3 2

3 2

3 4 12 2

Bibliografa:

Ayres Frank. Clculo diferencial e integral. Mc Graw Hill.

Granville William A. Clculo Diferencial e Integral. Edit. NoriegaLIMUSA


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OPTIMIZACIN

Prctica 6

Objetivo:

Aplicar el concepto de la derivada para la solucin de problemas de optimizacin y

de variacin de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de

aproximaciones.

Materiales:

Lap top

Software Winplot

Procedimiento:

Resolver los siguientes problemas de optimizacin:

1. Se quiere disear un tanque de almacenamiento de crudo, para ello es

necesario hallar el dimetro que permite almacenar 10 000 litros, es

importante ahorrar en el material de acero al carbn que se requiere para

su construccin. Considere que el tanque debe estar tapado para evitar la

evaporacin del crudo y como medida de seguridad.


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2. Se desea construir un depsito rectangular de base cuadrada, abierto por

arriba, Debe tener 125 de capacidad. Si el costo de las caras lateraleses de 2 pesos por , y el fondo es de 4 pesos por .Cules deben serlas dimensiones para que el costo sea mnimo?

Bibliografa:

Ayres Frank. Clculo diferencial e integral. Mc Graw Hill, 2005.

Granville William A. Clculo Diferencial e Integral. LIMUSA,2009

Leithold, Louis. El Clculo con Geometra Analtica, Editorial Oxford UniversityPress, 2009.

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