calculo diferencial e intergral-5

5/11/2018 Calculo Diferencial e Intergral-5

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a

CAPITULO 3

x

Aplicacionesde la derivada3.1 3 . 1Maximos y minimos

Con frecuencia en la vida, nos enfrentamos con el problema de enconmanera de hacer algo. Por ejemplo, un granjero necesita elegir la mezcque sea la mas apropiada para producir la mayor ganancia. Un medicocionar la menor dosis de una droga que curara cierta enfermedad. A ungustaria minimizar el costa de distribuci6n de sus productos. Algunas vecma de este tipo puede formularse de modo que implique maxi mizar 0mfunci6n en un conjunto especffico. Si es asi, los metodos de calculo proporcrramienta poderosa para resolver el problema.

Entonces suponga que se nos da una funci6n f(x) y un dominio S cora 1.Ahora planteamos tres preguntas:1. if(x) tiene un valor maximo 0un valor minimo en S?2. Si tiene un valor maximo 0un valor mfnimo, l,d6nde se alcanzan?3. Si exist en, l,cuales son los valores maximo y rnfnimo?Dar respuesta a estas tres interrogantes es el principal objetivo de estapezamos por introducir un vocabulario preciso.

DefinicionSuponga que S, el dominio de [, contiene el punto c. Decimos que:(i) fCc) es el valor maximo de fe n S, si fCc) 2: f(x) para toda x en S;(ii) fCc) es el valor minimo de fe n S, si fCc) S(x ) para toda x en S;(iii) fCc) es el valor extremo de fe n S, si es un valor maximo 0 un va(iv) la funci6n que queremos maximizar 0mini mizar es la funcion obj

Maximos yminimosMonotonia yconcavidadExtremos locales yextremos enintervalos abiertosProblemas practicesGraficaci6n defuncionesmediante calculoEl teorema delvalor medio paraderivadas

3.7 Soluci6n numericade ecuaciones3.8 Antiderivadas3.9 Introducci6n a

3 . 23.3

3.43 . 5

3.6

ecuacionesdiferenciales3.10 Repaso del capitulo

La cuesti6n de la existencia d tiene un valor maximo (0 minirespuesta depende, sobre todo, del conjunto S. Considere f(x) = l/ x entiene valor maximo ni minimo (vease la figura 2). Por otra parte, la men S= [1,3] tiene el valor maximo def(l) = 1y el valor mfnimo de f(3) =f no tiene valor maximo y el valor minimo es f (3) = * . -

La respuesta tambien depende del tipo de funci6n. Considere la funnua g (vease la figura 3) definida por

g(x) = {~ _ 2 si 1 Sx < 2si2 S::; 3

y

En S = [1,3], g no tiene valor maximo (se acerca arbitrariamcnte a 2,alcanza). Sin embargo, g tiene el valor minirno g(2) = O.Existe un teorema preciso que responde la pregunta de existenciaproblemas que se presentan en la practica, Aunque intuitivamente es omostraci6n rigurosa es muy diffcil, la dejamos para textos mas avanzado

TeoremaA Teorema de existencia de maximo y minimoSifes continua en un intervalo cerrado [a , b ], entonces f alcanza un valun valor minimo en ese intervalo.

Figura 1y

xEn (0. c o l . no hay maximo ni minimaEn [1, 3], maximo = 1, minima = tEn (I, 31 , no hay maximo, minima = t

Figura 2


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152 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivadaY Observe las palabras clave en el teorema A; se requiere que f sea continua y que ejunto S sea un intervalo cerrado.

No hay maximo. minima =0Figura 3

Y

Figura 4

x

;En donde se presentan los valores extrernos? Por 1 0 comun, la fuobjetivo tendra un intervalo Icomo su dorninio. Pero este intervalo puede scualquiera de los nueve tipos estudiados en la seccion 0.2. Algunos de ellos contisus puntos finales (puntos fronterizos); algunos no. Por ejemplo, 1 = [a , b] conambos punt os fronterizos; [a , b) s610 contiene su punto fronterizos izquierdo;no contiene ninguno de sus puntos fronterizos (vease la figura 4).

y y

Figura 5 Figura 6Si c es un punto en el que r(c) =0, 1 0 Ilamamos punto estacionario. EI no

proviene del hecho de que un punto estacionario de la grafica se coloca en una trtoria horizontal, puesto que la recta tangente es horizontal. A menudo, los valoretremos aparecen en los puntos estacionarios (vease la figura 5).Por ultimo, si c es un punto interior de I, en donde r no existe, decimos que c

punto singular. Es un punto en donde la grafica de ftiene una esquina, una tangvertical, quizas un saito, 0cerca del cualla grafica oscila de manera abrupta. Losres extremos pueden aparecer en puntos singulares (vease la figura 6), aunque enblemas practices esto es muy raro.

Estas tres clases de puntos (fronterizos, estacionarios y singulares) son los pclave en la teoria de maximos y minimos, Cualquier punto de uno de estos tres tipel dominio de una funcion f, se denomina punto critico de f..lfjEMPLQi] Encuentre los puntos crfticos de f(x) =-2x3 + 3x2 en [ -~, 2SOLUCION Los puntos fronterizos son -~ y 2. Para determinar los puntos esnarios, resolvemos r(x) = - 6x2 + 6x = 0, para x, obteniendo 0 y L No existen puntogulares. Por 1 0 tanto, los puntos entices son -~, 0, 1, Y2.Teorema B Teorema de los puntos crtticosSea f definida en un intervalo Ique contiene al punto C. Si f( c) es un valor extreentonces c debe ser un punto critico; es decir, c es alguno de los siguientes:(i) un punto fronterizo de I;(ii) un pun to estacionario de f; es decir, un punto en donde r(c) =0; 0(iii) un punto singular de f; esto es, un pun to en donde r(c) no existe.

Demostracton Primero considere el caso en donde f( c) es el valor maximo d1 y suponga que c no es un punto fronterizo ni un punto singular. Debemos demoque c es un pun to estacionario.Ahora, como f(c) es el valor maximo.j'(x) ~ f(c) para toda x en I; esto es,

f ( x ) - f ( c ) ~ 0Por consiguiente, si x


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ne1-

ISn

)-1-

~nar

1 l! 1\\\-1

-1

-2

-3

-4

Figura 7

y

TerminologfaObserve la manera en que los termi-nos se utilizan en el ejemplo 3. EImaximoes 1, que es igual a f( - D yf(l). Decimos que el maximo se al-canza en - ~y en 1.De manera ana-loga,el mtnimo es -4, que se aIcanzaen 2.

" : : - - - - - - 1I'IIIIII

y

-1

Figura 8

- - - - - - - - -- - - - - ; ~ r :",/ IIIIIIIIII

-2

y

2"

Seccion 3.1 Maximos y Min

(2) : _ _ f _ , _ ( _ , _ ) _ - _ : _ f _ : _ ( c _ : _ ) s0

Figura 9

-4

x - cPero f'(c) existe porque c no es un punto singular. En consecuencia, cuanx ~ c en (1) y x ~ c+en (2), obtenemos, respectivamente,f'(c) 2:0 Yf'(c)mos que f'(c) = 0, como se queria.

EI caso en donde f(c) es el valor minimo se maneja de forma analoga.En la demostraci6n que se acaba de dar, utilizamos el hecho de que la d

se preserva bajo la operacion de tomar lirnites,;,Cuales son los valores extremos? En vista de los teoremas A ydemos establecer un procedimiento muy sencillo para determinar los valy minimo de una funcion continua f en un intervalo cerrado I.Paso 1: Encuentre los puntos crfticos de fen I.Paso 2: Evahie fen cada uno de estos puntos criticos, EI mayor de estosvalor maximo; el mas pequefio es el valor minimo.~EMPLO 2 1 Determine los valores maximo y minimo de f(x) =SOLUCION La derivada de f'(x) = 3x2, que esta definida en (-2,2) y esx = O . Por 1 0 tanto, los puntos crfticos son x = 0 y los puntos fronterizos xAl evaluar f en los puntos crfticos se obtiene f( -2) = -8, f (O) = 0 y f(2)tanto, el valor maximo de f es 8(que se alcanza en x = 2) y el minirno ealcanza en x = -2).

Observe que en el ejemplo 2,/'(0) = 0, pero f no alcanza un mfnimoen x = O . Esto no contra dice al teorema B. Este no dice que si c es un puntonces f(c) es un minimo 0 un maximo; dice que si f(c) es un mfnimo 0entonces c es un punto crftico. EjEMPLO 3 1 Encuentre los valores maximo y minimo de

f(x) =2x3 + 3x2

SOLUCION En el ejemplo 1 identificamos - k , 0, 1, y 2 como los puAhoraf(-D = 1,[(0) = 0,[(1) = l,yf(2)=-4.Asi,elvalormaximoeslalcanza en x = - k y x = 1), y el valor minimo es -4 (que se alcanza en x =de f se muestra en la figura 7. EjEMPLO 4 1 La funcion F(x) = x2/3 es continua en todas partes. Evalores maximo y minimo en [-1,2].

x SOI_UCION r(x) = ~x-l/3, nunca es cero. Sin embargo, P(O) no exique 0 es un punto crftico, asi como los puntos fronterizos -1 y 2. AhoraF(O) = 0 y F(2) = \1 4 ;:::;.59. Por consiguiente, el valor maximo esmmimo es O . La grafica se muestra en la figura 8. EjEMPLO 5 1 Determine los valores maximo y minimo de f(x) = x[-7T,27T].

x SOI.UCION La figura 9 muestra una grafica de y = f(x). La derivada essen x, que esta definida en (-7T,27T)Yes cero cuando sen x = 1/2. Los ude x en el intervalo [-7T,27T]que satisfacen sen x = 1/2 son x = 7T/6Yx =dos rnimeros, junto con los puntos fronterizos -7T y 27T,son los puntos cnevalue fen cad a punto crftico:


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f( -7T) = -2 - 7T ~ -5.14 ~ 57Tf ( 5 7 T / 6 ) = - V 3 + 6~.89

154 Capitulo 3 Aplicaciones de Ia derivadaf ( 7 T / 6 ) = V3 + ~ ~ 2.26f ( 2 7 T ) =2 + 27T ~ 8 .28

Par 10 tanto, -2 - TTes el mfnimo (que se a1canza en x =-TT) Yel maximo es 2 + 2TT(qse a1canza en x =2TT).

Revision de conceptos1. Una funci6n en un intervalo siempre ten-

dra un valor maximo y un valor mfnimo en ese intervalo.2. El terrnino valor denota un valor maximo 0 uno

minimo.

3. Una funci6n puede aIcanzar un valor extremo s610 enpunto entice. Los puntos entices son de tres tipos:---y---

4. Un punto estacionario para [ es un numero c tal q___ ; un punto singular para [es un mirnero c tal que _

Conjunto de problemas 3.1En los problemas dell al4 determine todos los puntas criticos y en-cuentre el minima y el maximo de la funcion. Cada funcion tienedominio [-2,4).

1.14 Y1210

2. y1412108

x X4 -2 -I 4

4. y," " ~,~, '

/~v-"

",~' z ' "

4 X 2 -I 4 x

,1

3. v

,1

,2 -1

En los problemas del S al26 identifique los puntos criticos y encuentrelos valores maximo y minimo en el intervalo dado.

5. [(x) =x2 + 4x + 4;1 = [-4,0)6. hex) = x2 + x; 1 =[-2,2]7. 'l'(x) =x 2 + 3x; 1 =[-2,1]8. G (x) = *(2x 3 + 3x2 - 12x); 1 = [-3,3]9. [( x) = x3 - 3x + 1; 1 = (- ~ ,3) Sugerencia: dibuje la grafica.10. f(x) = x 3 - 3x + 1; 1 = ~,3]

111. her) = -; 1= [-1,3]r112 . g(x) = -~; I = [-3,1]1 + x2

13. [(x) =x4 - 2x2 + 2;1 =[-2,2]. 2514. f(x) =x 5 - 3X3 + 20x - 1;1 =[-3,2]

115. g(x) = ---2;I = (-00,00) Sugerencia:dibuje la grafica,I+ xx16. [(x) = - 1 ~2; 1= [-1,4]+ x

17. r(e) = sene;1 = [-~ ,~ ]18. set) = sen t - cos t; != [0, TT]19. a(x) = Ix - 11 ; 1 = [0,3]20. f(s) =13s - 21; 1= [-1,4]21. g(x) = Vx; 1= [-1,27]22. set) = t2 /5;! = [-1,32]23. H(t) = cos t;! = [0,8TT]24. g(x) = x - 2senx;! = [-2TT,2TT]25. gee) =e2sece;I =[-~,~]

t5/326. h(t) = 2 + t;l = [-1,8]27. Para cada funci6n identifique los puntos crfticos y encue

tre los valores extremos en [-1,5).(b) g(x) = If(x) I

28. Para cada funci6n identifique los puntos crit icos y encuetre los valores extremos en [-1,5].(a) [(x) = cos x + x sen x + 2 (b) g(x) = I[(x) IEn los problemas del 29 al 36 haga un bosquejo de Lagrafica de ufuncion con Laspropiedades que se dan.

29. [es diferenciable, tiene dominio [0,6), aIcanza un maximo6 (cuandox =3) Yun minimo de (cuandox =0). Ademas, x =5 espunto estacionario.

30. [es diferenciable, tiene dominio [0, 6J, alcanza un maximde 4 (cuando x =6) Y un minima de -2 (cuando x =1). Adernas, x =3,4,5 son puntos estacionarios.

31. [es continua, pero no necesariamente diferenciable, tiedominio [0,6), alcanza un maximo de 6 (cuando x =5) Y un minimde 2 (cuando x = 3). Ademas, x = 1 Yx = 5 son los unicos puntos escionarios.

32. [es continua, pero no necesariamente diferenciable, tieneminio [0,6), aIcanza un maximo de 4 (cuandox =4) Yun minimo d(cuando x =2).Adernas.j no tiene puntos estacionarios.


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33. f es diferenciable, tiene dominio [0,6], aicanza unmaximo de 4(que se obtiene en dos valores diferentes de x, ninguno de los cualeses un punto fronterizo) y un minimo de 1 (que se aicanza en tresvalores diferentes de x, exactamente uno de los cuales es un puntofronterizo ).

34. f es continua, pero no necesariamente diferenciable, tienedominio [0,6], alcanza un maximo de 6 (cuando x =0) y un minimode (cuando x =6). Ademas.j tiene dos puntos estacionarios y dospuntos singulares en (0,6).

1-

l-

la

IeIII

[02,

ie10a-

0-~2

3.2Monotoniay concavidadrDecreciente Creciente

Secdan 3.2 Monotonia y concav35. ftiene dominio en [0,6], pero no necesariamente

y f no aicanza un maximo.36. ftiene dominio en [0,6], pero no necesariamente

y fno aicanza ni maximo ni mfnimo.

Rcspuestas a la revision de conccptos: 1. continu2. extremo 3. puntos fronterizo; puntos estacionariosgulares 4. /,(c) =O;/'(c) no existe.

Considere la grafica en la figura 1. Nadie se sorprenderia cuando decimdecreciente ala izquierda de cy creciente ala derecha de c. Pero, para acoincidimos en la terminologia, damos definiciones precisas.Definicion

c

SeaIdefinida en un intervalo 1(abierto, cerrado 0ninguno de los dos). De(i) Ies creciente en 1si, para toda pareja de numeros Xl YX2 en I,

Xl 0 entonces la recta tangente asciende hacia la derecha, 1 0 cual sugcreciente. (Vease la figura 2.) De manera analoga, si r e x )


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156 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivadaValores de f'

-IFigura 3

-2

-Ill

Figura 4

Valores de g'

-IFigura 5

Creciente, pero de manera oscilanteFigura 6

Necesitamos determinar en donde(x + l)(x - 2) >0

y tambien en donde(x + l)(x - 2) < 0

Este problema fue estudiado con mayor detalle en la seccion 0.2, que vale la penvisar ahora. Los puntos de separacion son -1y 2; estes dividen al eje x en tres intlos (-00, -1), (-1,2) y (2,00). AI utilizar los puntos de prueba -2, 0 Y3, concIuimosrex) >0 en el primero y en el ultimo de estos interval os y que rex) 0 en el intervalo de en medio (vease la figuCon base en el teorema A, concIuimos que g es decreciente en (-00, -1] Yen [Yque es creciente en [-1,1]. Posponemos la graficacion de g para mas adelante;si quiere ver la grafica, vaya a la figura 11y al ejemplo 4.La segunda derivada y concavidad Una funcion puede crecer y tarnbiener una grafica que oscila mucho (vease la figura 6). Para analizar oscilaciones, necmos estudiar como gira la recta tangente cuando nos movemos de izquierda a dera 1 0 largo de la grafica. Si la recta tangente gira constantemente en sentido contralas manecillas del reloj, decimos que la grafica es concava hacia arriba (0 simplemconcava); si la tangente gira en el mismo sentido que las manecillas del reloj, la ges conca va hacia abajo (0 convexa). Ambas definiciones se form ulan mejor en terrnde funciones y sus derivadas.Definici6nSea f derivable en un intervalo abierto I. Decimos que f (al igual que su graficaconcava bacia arriba (concava) en I, sir es creciente en I; y decimos que fes conchacia abajo (convexa) en I, sir es decreciente en I.Los diagramas en la figura 7 ayudaran a acIarar estas nociones. Observese qu

curva que es concava hacia arriba tiene forma parecida a una copa.

f' creciente: ccncavahacia arriba

f' decreciente: c6ncavahacia abajo

C6ncava C6ncavahacia arriba hacia abajo

Figura 7


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aaeaIS

]ra

Condiciones en los teoremas A y BLas condiciones que consideran a lasderivadas en los teoremas A y B sonsuficientes para garantizar las con-clusiones que se establecen. Sinembargo, estas condiciones no sonnecesarias. Es posible que una fun-ci6n sea creciente en algun intervalo,aunque la derivada no siempre seapositiva en ese intervalo. Si conside-ramos la funci6n [(x) =x3 en elintervale [-4,4], notamosque escreciente pero su derivada no siempreespositiva en ese intervale (['(0) =0).La funci6n g(x) =X4 es c6ncava haciaarriba en el intervalo [-4,4), pero lasegunda derivada,g"(x) =12x2,nosiempre es positiva en ese intervalo.

Seccion 3.2 Monotonia y concaEn vista del teorema A, tenemos un criterio senc illo para decidir e

curva es concava (hacia arriba) y en donde es concava hacia abajo (concon tener en mente que la segunda derivada de [es la primera derivadaque,f' es creciente si I" es positiva; es decreciente sir es negativa.

f' + 0 o +

Teorema B

-I

r

Teorema de concavidadSea Idos veces derivable en el intervalo abierto I.(i) Si r(x) >0 para toda x en I, entonces Ies concava (hacia arriba) e(ii) Sir < 0 para toda x en I,entonces Ies concava hacia abajo (conve

Figura 8

Figura 9

g' 0 + o

Para la mayorfa de las funciones, este teorema reduce el problema dconca vidad al problema de resolver desigualdades. En esto somos experto

.EJEMPLO]] l,En donde I (x ) = ~ 3 - x2 - 3 x + 4 es creciente,concava hacia arriba y concava hacia abajo?

I' ( x) = x2 - 2x - 3 = (x + 1) (x - 3)I " (x ) = 2x - 2 = 2(x - 1)

Al resolver las desigualdades (x + 1)(x - 3) >0 Ysu opuesta, (x + l)(x - 3)mos que Ies creciente en (-00, -1] Y [3,(0) Ydecreciente en [-1,3] (veaseDe manera analoga, al resolver 2(x - 1) > 0 Y2(x - 1)


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158 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivadaPara bosquejar la grafica de g, hacemos uso de toda la informacion obten

el momento, mas el hecho de que g es una funcion impar cuya grafica es simepecto al origen (vease la figura 11)._ decreciente -----I+o- creciente --1----- decreciente -- __ c6ncava . . . . , . , ~ I .f-c6ncava --l.- c6ncava c6ncavahacia hacia hacia ---t---- hacia _____.

abajo -\13 arriba 0 abajo \13 arriba

1"2

y

-3 -2 , -I

2 pulg. ----IFigura 11

._EJEMPioIJ Suponga que se vierte agua en un deposito conico,como sen la figura 12,a una razon constante de ~pulgada cubica por segundo. Determtura h como funcion del tiempo t ydibuje h(t) desde el instante t=0 hasta elmoque el deposito esta Ileno.SOI"UC(()N Antes de que resolvamos este problema, reflexionemos envera la grafica. Al principio, la altura aumentara con rapidez, ya que se necepoca agua para Ilenar la parte inferior del cono. Conforme se va llenando ella altura aumentara menos rapido. (,Que sugieren estos enunciados con respfuncion h(t), su derivada h'(t) y su segunda derivada h"(t)? Como el agua semanera constante, la altura siempre aumentara, de modo que h'(t) sera posititura aumentara mas lentamente conforme se eleva el nivel. Por consiguiente,h'(t) esta disminuyendo, de modo que h"(t) es negativa. Por 1 0 tanto, la graficacreciente -ya que h'(t) es positiva- y concava hacia abajo -pues h"(t) es

Ahora, una vez que tenemos una idea intuitiva sobre como debe verse(creciente yconcava hacia abajo), resuelva este problema de manera analfticamen de un cono circular recto esV = ~7Tr2h, donde V, r y h son funciones deLas funciones h y r estan relacionadas; observe los triangulos semejantes en laAl utilizar las propiedades de triangulos semejantes tenemos

r 1h 4

Figura 12

Asi, r =h/4. Por esto, el volumen del agua dentro del cono es

Por otro lado, como el agua esta fluyendo al interior del contenedor a una rpulgada cubica por segundo, el volumen en el instante t es V = ~t, donde t sesegundos. Al igualar estas dos expresiones para V se obtieneI 7T=t =-h2 48Cuando h = 4,tenemos t = ~ 43 = ~7T ~ 8.4; asi, toma alrededor de 8.4segunque se Ilene el deposito. Ahora se despeja h en la ecuacion anterior que relacpara obtener

Figura 133/24.h(t) =\j--;-l


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Ia1 -n

s e0,laIe1 1 -Ines.a,.calu-)0.13 .

h

x

Seccion 3.2 Monotonia y concavLa primera y segunda derivadas de h son

3 / 2 4 . 8 ( 2 4 ) - 2 / 3h'(t) = D, \ j - - - - : ; ; - t = 7T - - ; - t 2

Figura 14

u

que es positiva, y4

3~

Figura 15

p

Figura 16

TerminologfaMientras que el minima a el maximode una funcion es un numero, unpunta de inflexi6n siempre es unapareja ordenada (c,f(c.

que es negativa. La grafica de h(t) se muestra en la figura 14. Como segrafica de h es creciente y concava hacia abajo.~MPLO 6 I Una agencia de noticias reporto en mayo de 2004 qpleo en Asia oriental estaba aumentando en farma continua a una tasa cotra parte, el precio del alimento estaba aumentando, pero a una tasa mantes. Interprete estos enunciados en terminos de funciones crecientes/deconcavidad.SOLUCION Sea u= (t ) el mimero de personas desempleadas en el instaen realidad u salta en cantidades enteras, seguiremos una practica estandar aa u par media de una curva suave, como en la figura 15. Oecir que el desaumentando es decir que du]dt>O . Decir que esta aumentando a una tasa crcir que la funcion duf dt esta creciendo; pero esto significa que la derivada dser positiva. Par 1 0 tanto, d2u/dP > O .En la figura 15, observe que la pendientangente aumenta conforme t aumenta. EI desempleo es creciente y concavoDe forma similar, si p =get ) representa el precio del alimento (por ejemcormin de comestibles diarios para una persona) en el instante t, entonpositiva pero decreciente. Par 10 tanto, la derivada de dp[dt es negativad2p/dP


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160 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivada

F'(x ) = \ / 3 '3x EJEMPLO 7 1 Encuentre todos los puntos de inflexion de F(x ) =X l/3 +

-3 -2 x

SOLUCION-2F" (x ) =-9x5 /3

Figura 19La segunda derivada, F"(x), nunca es cero; sin embargo, no existe enx =O .(0,2) es un punto de inflexion, ya que F"(x) >0 para x


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a

ao

toel

de

un

/yat e

en todo el intervalo /0 es decreciente en todo el intervalo I. Sugerencia:use el teorema del valor intermedio para demostrar que no puedenexistir dos puntos Xl y X2 de 1en donde r tiene signos opuestos.

38. Suponga que f es una funci6n cuya derivada esf'(x) =(x2 - X+ 1)/(xz + 1). Uti lice el problema 37 para demostrar que f es crecien-te en todas partes.

39. Uti lice el teorema de monotonia para demostrar cad a propo-sicion, si 0 0 y g'(x) >0 para toda x. (,Que otras con-diciones sencillas (si existen) se necesitan para garantizar que:(a) f(x) + g(x) sea creciente para toda x;(b) [(x) g(x) sea creciente para toda x;(c) f(g(x sea creciente para toda x?44. Suponga que rex) >0 y g"(x) > 0 para toda x. (,Que otrascondiciones sencillas (si las hay) se necesitan para garantizar que:(a) f(x) + g(x) sea c6ncava hacia arriba para toda x;(b) f(x)g(x) sea c6ncava hacia arriba para toda x;(c) f(g(x sea c6ncava hacia arriba para toda x?[@ Util ice una calculadora graf ica 0una computadora para resolverlos problemas del 45 al 48 .

45. Seaf(x) =sen x + cos(x/2) en el intervalo 1=(-2,7).(a) Dibuje la grafica de fen 1.(b) Utilice esta grafica para estimar en donde f'(x)


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r 162 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivada54. Se bombea agua a un tanque cilindrico, a una razon constan-

te de 5 galones por minuto, como se muestra en la figura 21. EI tan-que ticne 3 pies de diarnetro y 9.5 pies de largo. EI volumen deltanque es 7Tr2[ = 7T X 1.52 X 9.5 "" 67.152 pies cubicos "" 500 ga-lones. Sin hacer calculos, bosqueje una grafica de la altura del aguacomo funcion del tiempo t (vease el ejemplo 6). i,En donde h es con-cava hacia arriba y en donde es concava hacia abajo?

Figura 2155. Se vierte un lfquido al conte ned or que se muestra en la figura

22 a razon de 3 pulgadas ciibicas por segundo. Al contenedor Ie ca-ben 24 pulgadas cubicas, Bosqueje una grafica de la al tura h dellfqui-do como una funci6n del tiempo t. En su grafica, ponga atenci6nespecial a la concavidad de h.

56. Un tonel de 20 galones, como el mostrado en la figura 23, tie-ne una fuga y sale agua a razon constante de 0.1 galones por dia, Di-buje una grafica de la altura h del agua como funcion del tiempo t;suponga que el tonel esta lleno en el instante t=O.En su grafica, pon-ga atencion especial a la concavidad de h.

3 . 3Extremos localesy extremos enintervalos abiertos

Figura 22 Figura 23

Recordemos de la secci6n 3.1 que el valor maximo (si existe) de una funci6nfenconjunto S es el valor mas grande que f alcanza en el conjunto S.A veces se Ie ccomo valor maximo global, 0 valor maximo absoluto de f.Por 10tanto, para la fuf con dominio S=[ a, b 1 cuya grafica se bosqueja en la figura l , f (a) es el valor mglobal. Pero, (,que es f C c ) ? Ouiza no sea el rey del pais, pero al menos es el jefepropia localidad. Le llamamos valor maximo local, 0 valor maximo relativo. Ppuesto, un valor maximo global automaticamente es un valor maximo local. La fiilustra varias posibilidades. Observe que el valor maximo global (si existe) es el mde los valores maximos locales. De manera analoga, el valor minimo global es epequefio de los valores minimos locales.

57. Con base en cad a una de las tablas siguientcs, que puedducir acerca de la forma de un recipiente en el que se da la mdel volumen del agua como una Iuncion de la profundidad.(a) lProfundidad 2--3----- 4 5

1_ _ "'.?lumen 4 8 . 11 14_ ~

I1\Ie1111111

Maximoglobal11111111

1111111Maximolocal

Maximoglobal

(b)

Aquf esta la definici6n formal de maximos y minimos locales. Recuerde qsfrnbolo ndenota la intersecci6n (parte cormin) de dos conjuntos.

29

312

414

local1I

ProfundidadVolumen 4

Respuestas a la revision de conceptos: 1. creciente; conchacia arriba 2. rex) >O,f"(x)


13/64

Seccion 3.3 Extremos locales y extremos en intervalos abLEn donde se presentan los valores extremes locales'? Elpunto critico (teorema 3.1B) se cumple si se reemplaza la frase valor extreextrema local; la demostraci6n es esencialmente la misma. Asi, los punt os cnfronterizos, estacionarios y singulares) son los candid atos a ser puntos en dpresentarse extremos locales. Decimos candidatos porque no aseguramosnerse un extremo local en cada pun to crftico. La grafica de la izquierda

y y

: de-dida

xb (Jva No existe valor extrema local Maximo local Minimo local

Figura 3aclara esto. Sin embargo, si la derivada es positiva en un lado del punto ctiva en el otro (y si la funci6n es continua), entonces tenemos un extremose muestra en las graficas de en medio y a la derecha de la figura 3.unnoce

i c iondmole sur su-ura 2iayormas

TeoremaA Prueba (criterio) de la primera derivadaSea f continua en un intervalo abierto (a, b ) que contiene un punto cntic(i) Si f'(x) > 0 para toda x en (a, c) y f'(x) < 0 para toda x en (c, b), enes un valor maximo local de f(ii) Si f'(x) < 0 para toda x en (a , c) y f'(x) > 0 para toda x en (c, b), en

es un valor minimo local de f(iii) Sif'(x) tiene el mismo signo en ambos lados de c, entonces fCc) noextrema def

Demostracum de (i) Como f'(x) > 0 para toda x en (a , c ) , por elmonotoniaJes creciente en (a , cj.Ademas, como f'(x) < 0 para toda x encreciente en [c , b). Por 1 0 tanto,f(x)


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x

SOLUCI()N Como / '(x) =x 2 - 2x - 3=(x + 1)(x - 3), los unicos puntos crffson -1 y 3. Cuando usamos los puntos de prueba -2,0 Y4, sabemos que (x + l> 0 en (-00, -1) Y (3,00) Y (x + 1)(x - 3) < 0 en (-1,3). Por la prueba de la primrivada, conduimos que f( -}) = es un valor maximo local y que f(3) = -5elor minimo local (vease la figura 5).Bili~~PI"o:~ 1 Encuentre los valores extremos de f (x) = (sen x)2/3 enh/3).SOLUC10N


Figura 5

3Maximolocal 2IIII 1I

-1-2

-4

-3

-5

Figura 6

x_ ! I6

1! _ Jt rt Zr t6 " 3 "2 "3

2 cos x/'(x) = 3( )1/3'sen x x = l = OLos puntos 0 y TT/2 son puntos criticos, ya que /,(0) no existe y/ '( TT/2) =O . Aho0 en (0, TT/2). Por la pruebprimer a derivada conduimos que f (O) =0 es un valor minimo local y que f( TT/2un valor maximo local. La grafica de f se muestra en la figura 6.Prueba (criterio) de la segunda derivada Existe otra prueba para my minimos locales que, a veces, es mas facil de aplicar que la prueba de la primevada. Induye la evaluacion de la segunda derivada en los puntos estacionariosaplica a los puntos singulares.

Teorema B Prueba (criterio) de la segunda derivadaSupongase que /' y [" exist en en todo pun to de un intervalo abierto (a , b) qutiene a c y supongase que /,(c) =O .(i) Si["(c) < O, f (c ) es un valor maximo local de f(ii) Si["(c) > O, f (c ) es un valor mfnimo local de f

Demostraclon de (i) Es una tentacion decir que, como ["(c) < 0,1es conccia abajo cerca de c para asegurar que esto demuestra (i). Sin embargo, para aque f es concava hacia abajo en una vecindad de c, necesitamos que ["(x) < 0 encindad (no solo en c) y nada en nuestra hipotesis garantiza esto. Debemos sermas cuidadosos. Por definicion e hipotesis,

["(c) = lfrn rex) - r(c) = lfrn rex) - 0 < 0x-- - -+c X - C x-- - -+c X - C

de modo que podemos conduir que existe un intervalo (posiblemente pequefioalrededor de c, en donde

rex)-- 0 para a < x < c y I' (x) < 0 para c < x1 0 tanto, por la prueba de la primera derivada,f(c) es un valor maximo local.

La demostracion de (ii) es semejante. EJEMPLO 4 1 Para f (x) =x 2 - 6x + 5, utilice la prueba de la segunda dpara identificar extremos locales.SOLUCION Esta es la funcion del ejemplo 1.Observe que

[ '(x) = 2x - 6 = 2(x - 3)["(x) = 2

Asi,f'(3) =0 y ["(3) > O . En consecuencia, por la prueba de la segunda derivada,un valor mfnimo local.


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a-are-:0

3 )

'or y25

20ida15

10

) es

y

Seccion 3.3 Extremos locales y extremos en intervalos abie

.-EjE~~~LOS _ ] Para J (x) = ~x3 - x2 - 3x + 4, utilice la prueba dederivada para identificar los extremos locales.SOLUCIN Esta es la funci6n del ejemplo 2.

f' (x) = x2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)f"(x) = 2x - 2

Los puntos criticos son -} y 3 (f'(-I) = /,(3) =0). Corno j'{r-L) =-4 y r(3)prueba de la segunda derivada concluimos que J( -1) es un valor maximoJ(3) es un valor minimo local.

Por desgracia, la prueba de la segunda derivada en ocasiones falla, ypuede ser cero en un punto estacionario. Para J(x) = x3 YJ(x) = x4,f'(0) =(vease la figura 7). La primera no tiene un valor maximo 0 minimo local en ceda tiene un minimo local ahi, Esto muestra que sir(x) =0 en un punto estacpodemos sacar una conclusi6n acerca de maximos 0minimos sin mas inforExtrernos en intervalos abiertos Con frecuencia, los problemas qmos en esta secci6n y en la secci6n 3.1 suponen que el conjunto en el qumaxi mizar 0 mini mizar una funci6n fue un intervalo cerrado. Sin embargo,los que surgen en la practica no siempre son cerrados; en ocasiones son abcluso, abierto por un extremo y cerrado por el otro. Todavia podemos mproblemas, si aplicamos correctamente la teorfa desarrollada en esta secpresente que maximo (rnmimo) sin un adjetivo calificativo significa maximglobal. EJEMPLO 6 I Determine (si existen) los valores maximo y minimo de/en (-00,00).SOLUCI(lN

f' (x) = 4x3 - 4 = 4( x3 - 1) = 4( x - I) (x2 + X + 1)Como x2 + x + 1=0 no tiene soluciones reales (f6rmula cuadratica), s610 exto crftico,x =1.Para x O . ConcJ(I) =-3 es un valor mfnimo local de J;y como J es decreciente a la izquierdcreciente a la derecha de 1, en realidad debe ser el valor minirno de f

Los hechos que se acaban de establecer imp Iican que J no puede tenmaximo. La grafica de / se muestra en la figura 8. EJEMPLO 7 I Determine (si existen) los valores maximo y minimo

G(p) p(l - p )en (0 , 1 ).SOLUCION

dG'(p) =- [pel - p)r1dp

x

y

p

EI unico punto crftico es p =1/2. Para cada valor de p en el intcrvalo (0, 1nador es positivo; por 10tanto, el numcrador dctcrmina el signo. Si pesta e10 (0 , 1/2), entonces el numerador es negative; de aquf que G'(p) < Oanaloga, si pesta en el intervalo (1/2, 1), G'(p) >O. Por 10tanto, con base ede la primera derivada, G(1/2) = 4 es un minimo local. Como no hay puntoso puntos singulares por verificar, G(I/2) es un minima global. No hay maxifica de y =G(p) se muestra en la figura 9.

x

Figura 7

y

Figura 8

0.5

Figura 9


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3. Si ['(c) = y ["(c) < 0, esperamos___ local para[en c.4. Si [(x) =x3 , entonces [(0) no es illque t" (0) = _

Revision de conceptos1. Si [es continua en c,[,(x) > cerca de casu lado izquierdo,

y [,(x) < cerca de casu lado derecho, entonccs [(c) es un valor___ local para f.2. Si f(x) = (x + 2)(x - 1),cntonces [( -2) es un valor _

local paraf, y [(1) es un valor local para f.

encontrar un

Conjunto de problemas 3.3En los problemas del 1al 10 identifique los puntas criticos. Despuesutilice (a) la prueba de la primera derivada y (si es posible) (b) laprueba de la segunda derivada para decidir cuales de los puntas criti-cos dan un maximo local y cuales dan un minima local.

1. [(x) = x3 - 6x2 + 42. f ( x) = x3 - 12x + 71' 71'3. f() =sen2(),0 < ()O . Demuest[(x) ~ 0 para toda x si y s6lo si B2 - 4AC:oS O.44. Considere [(x) =Ax3 + Bx2 + Cx + D, con A >O.Detre que [tiene un maximo local y un rninimo local si y. s 2 - 3AC>0.45. i.Que conclusiones puede sacar respecto a [, con bas

informaci6n de que ['(c) =r(e) = y ["(c) >0 '1Respuestas a la revision de conceptos: 1. maximo 2. mmo; minimo 3. maximo 4. maximo local; minirno local; O.


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3.4Problemas practices

F ig ur a 1

2 0 0

Seccion 3.4 Problemas practices

y

150

1 0 0

Con base en los ejemplos y la teorfa desarrollada en las primeras tres seccionescapitulo, sugerimos el siguiente metodo paso a paso que puede aplicarse a muchblemas practices de optimizaci6n. No 10siga ciegamente; con frecuencia, el sentmun sugiere un enfoque alterno 0 la omisi6n de algunos pasos.Paso 1: Haga un dibujo del problema y asigne variables id6neas para las canimportantes.Paso 2: Escriba una f6rmula para la funci6n objetivo Q que se maximizara 0mzara, en terminos de las variables del paso 1.Paso 3: Utilice las condiciones del problema para eliminar todas, excepto una dvariables, y por consiguiente expresar a Q como una funci6n de una sola variablPaso 4: Encuentre los puntos crfticos (fronterizos, estacionarios, singulares).Paso $: Sustituya los valores crfticos en la funci6n objetivo 0 bien uti l ice la tela ultima secci6n (es decir, los criterios de la primera 0 segunda derivada) paraminar el maximo 0 el mfnimo.

Use siempre su intuici6n para obtener alguna idea de cual debe ser la solucproblema. Para much os problemas ffsicos puede tener una estimaci6n aproxdel valor 6ptimo antes de que comience a realizar los detalles . EJEMPLO=:_U Una caja rectangular se fabrica con una pieza de cart6n degadas de largo par 9 de ancho, de la cual se cartan cuadrados identicos a partircuatro esquinas y se doblan los lados hacia arriba, como se muestra en la figuratermine las dimensiones de la caja de volumen maximo.j Cual es este volumen?SOLUCION Sea x el ancho del cuadrado que se cortara y Vel volumen de lasultante. Entonces

v = x(9 - 2x)(24 - 2x) = 216x - 66x2 + 4x3Ahora, x no puede ser menor que 0 ni mayor que 4.5. Por 10tanto, nuestro problmaximizar Ven [0,4.5]. Los puntos estacionarios se determinan haciendo dV/da 0 y resolviendo la ecuaci6n resultante:

dV- =216 - 132x + 12x2 =12(18 - llx + x2) =12(9 - x)(2 - x)dxEsto da x=20 x =9, pero 9 no esta en el intervalo [0,4.5]. Vemos que s610 existpuntos crfticos, 0, 2 Y4.5. En los puntos fronterizos 0 y 4.5, V=0; en 2, V=200. Cmos que la caja tiene un volumen maximo de 200 pulgadas cubicas, si x =2, estocaja es de 20 pulgadas de largo, 5 de ancho y 2 de profundidad.

A menudo es iitil graficar la funci6n objetivo. Dibujar funciones puedecon facilidad con una calculadora grafica 0un CAS (del ingles computer algetern: sistema de algebra computacional). La figura 2 muestra una grafica de la

5 x Vex) =216x - 66x2 + 4x3 Cuando x =0, Vex) es igual a cero. En el contextodobleces de la caja, esto significa que cuando el ancho de las esquinas recartacero no hay que doblar hacia arriba, de modo que el volumen es cero, Tambien,x =4.5, el pedazo de cart6n se dobla a la mitad, de modo que no tiene base; estambien tendra volumen cero. Par 10tanto, YeO ) =0 y V ( 4.5) =O.El mayor volumbe alcanzarse para algun valor de x entre 0 y 4.5. La grafica sugiere que el volumximo es cuando x es alrededor de 2; por medio de calculo, podemos determinarvalor exacto de x que maximiza el volumen de la caja es x =2.

-=EJEMPLO ~ Un granjero tiene 100metros de cerca de alambre con la cnea construir dos corrales adyacentes, como se muestra en la figura 3. l,Cualesdimensiones que encierran el area maxima?

50

4

F ig ur a 2

F ig ur a 3


18/64

SOLUCION Sea x el ancho y y el largo del area total encerrada, ambas eComo hay 100 metros de cerca, 3x + 2y =100; es decir,y = 50 - ~x


Figura 4

Algebra y geometrfaSiempre que Iesea posible, trate dever el problema desde los dos puntosde vista. geometrico y algebraieo.El ejemplo 3 es un buen ejemplomediante cl eual esta clasc de enfoquese presta para tener una idea delproblema.

EI area total A esta dada parA = xy = 50x - ~X2

100 ,Como debe haber tres lados de longitud x, vemos que 0 Sx S3ASI, nueblema es maximizar A en [0, I ~ O ] . AharadA- = 50 - 3xdx -

Cuando igualamos 50 - 3x a cero y resolvemos, obtenemos x = ~ como un p. . A' . , . a ')0 100 L d frontecionano. si, existen tres puntos criticos: '3' y3 os os puntos ronte

I~() dan A = 0,mientras que x = ~ da A"", 416.67. Las dimensiones deseadas s"'"16.67 metros y y = 50 - H~)= 25 metros.

(,Es razonable esta respuesta? Sf. Esperariamos utilizar mas de la cen la direccion y que en la direccion x, ya que en la primera se esta cercandomientras que en la segunda esta cercandose tres . -_!UEMPW}] Encuentre las dimensiones del cilindro circular recto demaximo que puede inscribirse en un cono circular recto dado.SOLUCION Sea a la altura y b el radio de la base del cono dado (ambas coDenotese par h, r y V la altura, el radio y el volumen, respectivamente, de uinscrito (vease la figura 4).Antes de proceder, apliquernos un poco de intuicion. Si el radio defuese cercano al radio de la base del cono, entonces el volumen del cilindro serfa cero. Ahara, imagine cilindros inscritos cuya altura aumenta, pero su radioyeoAl principio, los volumenes aumentanan a partir de cero, pero despues dishacia cero cuando la altura de los cilindros fuese cercana a la altura delmanera intuitiva, el volumen debe ser maximo para algun cilindro. Puestoformula del volumen el radio se eleva al cuadrado, cuenta mas que la alturrarfarnos r> h en el maximo.

EI volumen del cilindro inscrito es

Par semejanza de triangulosa - h a

r bque da

ah = a - -rbCuando sustituimos esta expresion para h en la formula para V,obtenemos

V = nr2(a - ~r) =nar2 - n~r3Queremos maximizar V para r en el intervalo [0 , b] . Ahora,

dV a 2 ( 3 )r = Zarar - 3nbr = trar 2 - b rEsto produce los puntos estacionarios r= a y r=2b/3, dandonos a considerartos criticos en [0, b]: 0, 2b/3 Yb. Como se esperaba, r = a y r = b dan un volumrooAsi, r =2b/3 tiene que dar el volumen maximo. Cuando sustituimos este v


19/64

l-

yiO3

las,.).roro10u -an)ela,e-

iun-: ce-Jara

--- Corriente

Figura 5

E F c

Seccion 3.4 Problemas prar en la ecuacion que relaciona r con h, encontramos que h =a/3. En otras plindro inscrito que tiene mayor volumen es cuando su radio es dos terciosla base del cono y su altura es un tercio de la altura del cono.._J..JEMP!:Q.:] Suponga que un pez nada rio arriba con velocidad rev y que la corriente del rio tiene velocidad -Vc (el signa negativo indicadad de la corriente es en direccion opuesta a la del pez). La energfa empcorrer una distancia d a contracorriente es directamente proporcionarequerido para recorrer la distancia d y el cuba de la velocidad.j Que velomiza la energia empleada en nadar esta distancia?SOLUCION La figura 5 ilustra la situacion, Como la velocidad del perriente es v - Vo tenemos d=v - vJt, donde t es el tiempo requerido. AvJ. Por 1 0 tanto, para un valor fijo de v, la energfa requerida para que el pdistancia d es

d v3E(v) = k--v3 = kd--v - Vc v - VcEl dominio para la funcion E es el intervalo abierto (v", (0). Para determinav que minimiza la energia requerida hacemos E'(v)= y despejamos a v

(v - V )3v2 - v3(1)E'(v)=kd c 2(v - vJ kd 2~~~-2 v (2v - 3vJ(v - vJ

D

El unico punto critico en el intervalo (v", (0) se determina resolviendo 2vlleva a v =~vc- El intervalo es abierto, por 1 0 que no existen puntos froverificar. El signa de E'(v) depende por completo de la expresion 2v - 3otras expresiones son positivas. Si v < ~Vn entonces 2v - 3vc < 0, pordecreciente ala izquierda de ~vc- Si v > ~v" entonces 2v - 3vc>0, por 1 0ciente a la derecha de ~vC " Por 1 0 tanto, con base en la prueba de lavada,v = ~Vc produce un minimo local. Ya que este es el unico puntointervalo (ve , (0), esto debe dar un mfnimo global. Por 1 0 tanto, la velocidmiza la energia empleada es una y media veces la rapidez de la corriente.

~EMPL05l Un pasillo de 6pies de ancho da vuelta en angulorla longitud de la varilla delgada mas larga que puede transportarse alredequina, suponiendo que la varilla no puede doblarse?SOIJUCI6N La varilla tocara apenas la esquina interna de la vuelta y lteriores del pasillo. Como se sugiere en la figura 6, sean a y b las longitudementos AB y BC,y sea () la medida de los angulos L DBA Y L FCB. Contriangulos rectangulos semejantes 6ADB y 6BFC; estes tienen hipoterespectivamente. Un poco de trigonometrfa aplicada a estos angulos da

6a = -- = 6 sec (Jcos (J y6b =-- =6 csc IJsen (J

Figura 6 Observe que el angulo () determina la posicion de la varilla. Asf que la lonla varilla en la figura 6 es

L ((J ) =a + b =6 sec IJ + 6 esc IJEl dominio para ()es el intervalo abierto (0,71'/2). La derivada de L es


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()

L'(8) = 6sec8tan8 - 6csc8cot8_ 6( sen 8 _ cos 8 )- cos2 8 serr' 8= 6 sen3 8 - cos3 8

serr' 8 cos? 8Par 1 0 tanto L '(8) = 0 siempre que sen ' 8 - cos ' 8 = O.Esto lie va a sen 8 =unico angulo en (0,71"/2)para el que sen 8 =cos 8 es el angulo 71"/4(vease laNuevamente aplicamos la prueba de la primera derivada. Si 0


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40

'""8 30~0)5": 20~

10

y

Figura 11

y

X0.005 0.010 0.015 0.020 0.lJ25Distancia alargada (metros)

Figura 12

Seccion 3.4 Problemas practice3~ i2 = 12 + 22 + 32 = 14i~l

y n~XiYi = X1Y l + X2Y2 + ... +i~l

En el segundo caso,primero multiplicamos X i YY i Ydespues sumamos.Para encontrar la recta que se ajuste mejor a estos puntos, debemos espec

mo mediremos el ajuste. Nuestra recta que mejor se ajusta, Yque pasa por el odefine como aquella que minimiza la suma del cuadrado de las distancias vertica(X i , y ;) Yla recta Y =bx . Si ( X i, Y i ) es un pun to del conjunto de datos, entonees ( Xel punto sobre la recta Y =bx que se eneuentra directamente arriba 0abajo de (X10 tanto, la distaneia vertical entre (Xi, y; ) Y( X i, b x ;) es Y i - bx.. (Vease la figurala distancia al cuadrado es (Y i - bX il EI problema es encontrar el valor de b qmiza la suma de los cuadrados de estas diferencias. Sidefinimos

nS = ~(Y i - bX i)2

i~lentonces debemos encontrar el valor de b que minimize S. Este es un problemnimizacion, como los que se encontraron antes. Sin embargo, tenga en menteparejas ordenadas (Xi' Y;), i=1,2,...,n estan fijos; en este problema la variable

Procedemos como antes a encontrar dSjdb, igualando el resultado a ceroviendo para b. Como la derivada es un operador lineal, tenemos

x

n d~ db (Y i - bX i)2

~2(Y i - bX i)(! (Y i - bX ;))n

-2 ~X i(Y i - bx;)i~l

Al igualar este resultado a cero Yal resolver se obtienen

o =-2~X i(Y i - bX i)i~ln no = ~X iY i - b ~x}i~l i~l

Para ver que esto da un valor minimo para S observamos que

que siempre es positiva. No hay puntos fronterizos que verificar. Asi, por el crn / nla segunda derivada, concluimos que la recta Y =bx , eon b = ~ X iY i ~ xT,

ta que mejor ajusta, en el sentido de minimizar S.La recta Y =bx se denominaminimos cuadrados que pasa por el origen.

Il]iEMPLO 6 I Encuentre la recta de mfnimos euadrados que pasa porpara los datos del resorte en la figura 10.


22/64

172 Capitulo 3 Aplicaciones de Ia derivadaSOtUCION

40

y0.005 . 8 + 0.010' 17 + 0.015 22 + 0.020' 32 + 0.025 36b =~------~------~----~------~----~-----0.0052 + 0.0102 + 0.0152 + 0.0202 + 0.0252

~ 1512.7Por 10tanto, la recta de minimos cuadrados que pasa por el origen es y =1muestra en la figura 13. Por consiguiente, la estimaci6n de la constante dek = 1512.7

Para la mayor parte de los problemas de ajuste de rectas, no es razonabque la recta pase por el origen. Una suposici6n mas razonable es que y esteda con x por medio de y =a + bx. Sin embargo, en este caso la suma de cuuna funci6n de a y b, por 10que nos enfrentamos con el problema de minfunci6n de dos variables, un problema que abordaremos en el capitulo 12.Aplicaciones a Ia econornia (opcional) Considere una empresacornpafifa ABC. Por sirnplicidad, suponga que ABC produce y comercproducto; podrian ser aparatos de television, batenas para autom6viles 0 bb6n. Sivende x unidades del producto en un periodo fijo (por ejemplo, un acobrar un precio,p(x), por cada unidad. En otras palabras,p(x) es el preciopara atraer una demanda de x unidades. EI ingreso total que ABC puede edado por R(x) =xp(x), el mimero de unidades por el precio unitario.

Para producir yvender x unidades,ABC tendra un costa total, C(x). Pores la suma de un costo fijo (material de oficina, impuestos a la propiedad, etcun costo variable que depende del numero de unidades producidas.

EI concepto clave para la compafiia es la utilidad (ganancia) total, P(x)diferencia entre el ingreso y el costa; es decir,

x P(x) = R(x) - C(x) = xp(x) - C(x)

10

tl.OOS 1U110 0.015 0.020 0.G25 xDistancia alargada (metros)

Figura 13

y

Mundoreal

10

x

Ordinariamente, una compafiia busca maximizar su ganancia total.Existe una caracterfstica que tiende a distinguir los problemas en econ

correspondientes a las ciencias fisicas. En la mayoria de los casos, los prABC seran unidades discretas (usted no puede fabricar 0 vender 8.23 aparatosi6n 0 7T baterias para autom6vil). Asf, por 10general las funciones R(x), C(x)estan definidas para x =0, 1,2, ... y, en consecuencia, sus graficas consistendiscretos (vease la figura 14).Para hacer que las herramientas de calculo estbles, conectamos estos puntos por medio de una curva suave (vease la figuracual pretendemos que R, CyP sean funciones derivables. Esto ilustra un asmodelaci6n matematica que casi siempre es necesario, en especial en econmodelar problemas del mundo real, debemos hacer suposiciones que 10siEsto significa que las respuestas que obtengamos son s610 aproximacionespuestas que buscamos; esta es una de las razones por las que la economianos que una ciencia perfecta. Un conocido estadfstico una vez dijo:ningunexacto, pero muchos son utiles.

Un problema relacionado para un economista es c6mo obtener f6rmufunciones C(x) yp(x). En un caso sencillo, C(x) podria tener la forma

C(x) = 10,000 + 50xSi es asi,$10,000 es el costo fijo y $50x es el costo variable, sobre la base decosta directo de $50 por cada unidad producida. Tal vez una situaci6n mas

Figura 14

y

Modelomatemarico

10

C1(x) =10,000 + 45x + 100VxAmbas funciones de costa se muestran en la figura 16.

La funci6n de costa C(x) indica que el costo de fabricaci6n de una uninal es el misrno, sin importar cuantas unidades se hayan fabricado. Por otfunci6n de costo C (x ) indica que el costa de fabricaci6n de unidades adicmenta, pero a una tasa decreciente. Por 10tanto, Cl (x ) permite 10que los edenominan economfas de escala.

La selecci6n de funciones adecuadas para modelar costa y precio no esencilia. A veces, pueden inferirse de las hip6tesis basicas. En otros casos,

Figura 15

50

2010

200 400 600 ROO 1000 xFigura 16


23/64

es

r1-sa

aai-r a10t a.r ,isla

asjev i-llaasli-laL aIra: n .es -le-eslas

unse a

:io-, laau-.tasreadio

C(x)

x

Seccion 3.4 Problemas pracuidadoso de la historia de la cornpafiia sugerira opciones razonables. Asimple mente debemos hacer conjeturas inteligentes.Uso de la palabra marginal Suponga que la empresa ABC conocde costo C(x) y que tiene planeado, tentativamente, producir 2000 unidadNos gustaria determinar el costo adicional por unidad, si ABC aumentaproduccion, Por ejemplo, (,seria menor que el ingreso adicional por unidatendna un buen sentido economico aumentar la produccion,

Si la funcion de costo es la que se muestra en la figura 17, nos estariamtando par el valor de 6.C/1lx ' cuando 6.x =1.Pero esperamos que esto estadel valor de, LlChm-Ll.x->o L lX

cuando x=2000. Este limite se denomina costo marginal. Los matematicomos esto como dC/dx, la derivada de C can respecto ax.De una manera similar, definimos precio marginal como dp rdx, ingrcomo dR/dx y utilidad marginal como dP/dx.Ahora ilustramos como resolver una amplia variedad de problemas econom

.-E]EMPL@Supongaque C(x) = 8300 + 3.25x + 40VX d6laresel costa promedio par unidad y el costa marginal; despues evahielos cuando

C(x) 8300 + 3.25x + 40xl/3

_ _ l _- _ -: f,C,;"-------+----

: l1x :I II II II II II II II II II II II II II II II II II II I2000 2000 + .1.x

Figura 17

Vocabulario de economfaYaque la economia tiende a ser unestudio de fen6menos discretos, suprofesor de economia puede definirel costo marginal en x como el costodeproducir una unidad adicional;esto es, como

C(x + 1) - C(x)En el modelo maternatico, estenumero sera muy cercano en valor adCldx, y puesto que el ultimo es unconcepto principal en calculo, elegi-mos tomarlo como la definicion decosta marginal. Se tienen enunciadossimilares para ingreso marginal yutilidad marginal.

Costa promedio: x xUtilidad marginal: ~~ = 3.25 + ~oX-2/3

En x =1000, estes tiene los valores 11.95 y 3.38, respectivamente. Estoproducir las primeras 1000 unidades cuesta $11.95 cada una, en promedio;ejemplar adicional, despues de 1000, s610 cuesta alrededor de $3.38. EjEMPLO 8 I En la fabricaci6n y venta de x unidades de cierto biemo, las funciones de precio p y de costa C (en dolares) estan dad as par

p(x) =5.00 - 0.002xC(x) = 3.00 + 1.10x

Encuentre las expresiones para el ingreso, el costo y la utilidad marginales.el nivel de producci6n que producira la maxima utilidad total.

R(x) = xp(x) = 5.00x - 0.002x2P(x) = R(x) - C(x) = -3.00 + 3.90x - 0.002x2

Asi, tenemos las derivadas siguientes:Ingreso marginal: dR- = 5 - 0.004xdxCasto marginal: dCdx 1.1

Utilidad marginal: dP dR dC- = - - - = 3.9 - 0.004dx dx dx


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3. La recta de minimos cuadrados que pasa por cl orignmiza S =2:(__ )2r= J

4 dR. de En economia, - sc denomina y - se ddx ------ dx

Para maximizar la utili dad hacemos dP/dx = 0 y resolvemos. Esto dacomo el unico punto crftico a considerar. Este proporciona un maximo, comverificarse par medio del criterio de la primera derivada. La utilidad maP(975) =$1898.25.

Observe que en x=975 tanto el ingreso como el costa marginales son $general, una cornpafifa debe esperar el nivel de utilidad maxima cuando elproducir una unidad adicional es igual al ingreso proveniente de esa unidad.

Revision de conceptos1. Si un rectangulo de area 100 t iene largo x y ancho y,entonces

los valores admisibles para x son ~.2. El perimetro P del rectangulo de la pregunta 1 expresado enterrninos (s610) de x esta dado por P = ~.

Conjunto de problemas 3.41. Encuentre dos numeros cuyo producto sea -16 y cuya suma

de sus cuadrados sea minima.2.


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ea:sn

ti-enie-

ya-iies,deco-que

las dos particiones internas necesitan una cerca que cuesta solo $2por pie. i,Que dimensiones de x y y produciran el costa mas econorni-co para los corrales?

16. Resuelva el problema 14, suponiendo que el area de cada co-rral es de 900 pies cuadrados. Estudie la solucion de este y del proble-ma 14;adernas, haga una conjetura acerca de la razon x/yen todos losproblemas de este tipo. Demuestre su conjetura.

17. Determine lospuntas Py Qenlacurvay=.x2/4,0 :s x :s 2v'3,que estan mas cerca y mas lejos del punta (0,4). Sugerencia: el alge-bra es mas sencil la si considera el cuadrado de la distancia requeridaen lugar de la distancia misma.

18. Un cono circular recto sera inscrito en otro cono circular rec-to de volumen dado, can los mismos ejes y can el vertice del cono in-terior tocando la base del cono exterior. i,Cual debe ser la razon entresus alturas para que el can a inscri to tenga volumen maximo?619. Una pequeiia isla esta a 2 millas del punta mas cercano, P, deuna playa rectilinea deun gran lago. Si una mujer en la isla puede re-mar en una lancha a 3 millas por hora y caminar 4 millas par hora,i,en donde debe desembarcar en el bote para lie gar, en el menortiempo, a un pueblo que esta a 10 millas, medidas sabre la playa, delpunta P?620. En el problema 19 suponga que, cuando llegue a la playa, lamujer sera recogida par un automovil que promedia 50 millas porhora. Entonces, i,en donde debe desembarcar?621. En el problema 19, suponga que la mujer utiliza una lanchade motor, que viaja a 20 millas por hora. Entonces, i,en donde debedesembarcar?

22. Una central electrica esta situada en una ribera de un rio rec-tilmeo que tiene w pies de ancho. Una fabrica esta si tuada en la ribe-raopuesta del rio, L pies rio abajo del punta A, que esta enfrente a lacentral electrica. i,Cual es la ruta mas economic a para conectar un ca-ble de la central a la fabrica, si cuesta a dolares por pie tender el ca-ble bajo el agua y b dol ares par pie en tierra (a> b)?

23. A las 7:00 a. m., un barco estaba a 60 millas al este de un se-gundo barco. Si el primer barco navega hacia el oeste a 20 millas parhora y el segundo navega can rumba sureste a 30 millas par hora,i,cuando estaran mas cerca uno del otro?24 . Encuentre la ecuacion de la recta que es tangente a la elipse

b2x 2 + a 21=a 2b2 en el primer cuadrante y que forma con los ejes decoordenadas el triangulo con menor area posible (a y b son canst an-tes positivas).25 . Encuentre el volumen maximo que puede tener un cilindrocircular recto, si esta inscrito en una esfera de radio r.26. Demuestre que el rectangulo con perfrnetro maximo que

puede inscribirse en un circulo es un cuadrado.27 . i,Cuales son las dimensiones de un cilindro circular recto, can

mayor area de superficie, que puede inscribirse en una esfera de ra-dio r?28. La iluminacion en un punto es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia del punta a la fuente luminosa y directamenteproporcional a la intensidad de la fuente. Si dos fuentes luminosas es-tan separadas spies y sus intensidades son I, e lz, rcspectivamcnte,i,cnque punto entre elias la suma de sus iluminaciones sera minima?29. Un alambre de 100 centfrnetros de largo se corta en dos pe-dazos;uno se dobla para formar un cuadrado y el otro se dobla para

formar un triangulo equilatero. i,En don de debe hacerse el corte si(a) la suma de las dos areas debe ser minima; (b) maxima? (Cabe laposibilidad de no cortar).

Secci6n 3.4 Problemas practi30. Una caja cerrada en forma de paralelepipedo

can base cuadrada tiene un volumen dado. Si el material uel fondo cuesta 20% mas par pulgada cuadrada que el matelados y el material de la tapa cuesta 50% mas par pulgadque cada lad0, encuentre las proporciones mas econornicaja.

31. Un observatorio debe tener la forma de un cilinrecto, coronado por un domo serniesferico. Si el domocuesta el doble par pie cuadrado que las paredes cilindrison las proporciones mas econornicas para un volumen d

32. Una masa conectada a un resorte se mueve a 10.r, de modo que su abscisa en el instante t es

x = sen 2t + V3 cos 2ti,Cual es la mayor distancia del origen que alcanza la ma

33. Una jardinera tcndra la forma de un sector circugion en forma de rebanada de pastel) de radio r y anguloce de IJ . Encuentre r y IJ , si su area, A, es constante y el pminima.

34. Una barda de h pies de altura corre paralela a unyaw pies de el (vease la figura 23). Encuentre la longitudlera mas corta que llegue del suelo hasta la pared del edido por encima de la barda.

h wFigura 23

35. Un rectangulo tiene dos vertices sabre el eje x yen la parabola y =12 - x2, can y 2: 0 (vease la figura 24).las dimensiones del rectangulo de este tipo can area max

y

Figura 24 Figura 25

36. Un rectangulo se inscribira en un semicfrculo demo se muestra en la figura 25. i,Cuales son las dimensiontangulo, si su area debe maximizarse?

37. De todos los cilindros circulares rectos can un arficie dada, determine aquel can el volumen maximo. Obseextremos de los cilindros son cerrados.

38. Determine las dimensiones del rectangulo canque puede inscribirse en la elipse x 2/a 2 + l/b2 = I.

39. De todos los rectangulos can una diagonal dadaaquel can el area maxima.


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176 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivada40. Un humidificador utiliza un disco giratorio de radio r que es-ta sumergido parcialmente en el agua. La mayor evaporacion ocurrecuando la region hiimeda expuesta (mostrada como la region supe-

rior sombreada en la figura 26) se maximiza. Demuestre que esto su-cede cuando h (la distancia del centro al agua) es igual a r/~.

Agua

Figura 2641. Un canal on rnetalico para el agua de lluvia tiene lados de 3

pulgadas y un fondo horizontal de 3 pulgadas, los lados forman an-gulos iguales 6 con el fondo (vease la figura 27). i,Cmil debe ser 6para maxi mizar la capacidad de desalojo de agua del canalon? No-ta: 0


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ea

e s -00ve

L '

oana-

adoUn

ob-ob-tan-me-en yoide.n eltara

50. Un folleto publicitario debe tener 50 pulgadas cuadradas pa-ra el espacio impreso con margenes, superior e inferior, de 2 pulgadascada uno, y cada margen lateral de una pulgada. i,Que dimensionesdel folleto requeriran el menor papel?J 51. Un extremo de una escalera de 27 pies descansa en el piso yel otro esta apoyado en la parte superior de una pared de 8 pies.Cuando el extremo inferior se empuja por el pi so hacia la pared, laparte superior sobresale de la pared. Encuentre la maxima distanciahorizontal que sobresale el extremo superior de la escalera .[g52. Se produce laton en rollos largos de una hoja delgada. Paracontrolar la calidad, los inspectores seleccionan al azar una pieza dela hoja, miden su area y enumeran las imperfecciones en la superficiede esa pieza. El area varia de pieza a pieza. La siguiente tabla propor-ciona los datos del area (en pies cuadrados) de la pieza seleccionaday el mimero de imperfecciones encontradas en su superficie.

Area en Numero de imperfeccionesPieza pies cuadrados en la superficie1 1.0 32 4.0 123 3.6 94 1.5 55 3.0 8

(a) Haga un diagram a de dispersion con el area en el eje horizontaly el nurnero de imperfecciones en el eje vertical.

(b) i,Le parece que una recta que pasa por el origen seria un buenmodele para estos datos? Explique.

(c) Encuentre la ecuacion de la recta de minimos cuadrados que pa-sa por el origen.

(d) Utilice el resultado de la parte (c) para predecir cuantas imper-fecciones en la superficie tendria una hoja con area de 2.00 piescuadrados.

II] 53. Suponga que cada orden del cliente tom ada por la compafiiaXYZ requiere de exactamente 5 horas de trabajo para el papeleo; es-te intervale de tiempo es [ijo y no varia de lote a lote. Entonces, el mi-mero de horas requeridas y para fabricar y vender un lote de tamafiox sena:

y =(numero de horas para producir un lote de tamafio x) + 5En la siguiente tabla se dan algunos datos de los estantes de la com-pafifaXYZ.

Total de horasOrden Tamaiio de lote, x de trabajo11 38

2 16 523 8 294 7 255 10 38

(a) A partir de la descripcion del problema, la recta de mfnimoscuadrados tiene 5 como su interseccion con el eje y. Encuentreuna formula para el valor de la pendiente b que minimiza la su-rna de los cuadrados

nS = 2:[Y i - (5 + bxJfi~l(b) Utilice esta formula para estimar la pendiente b.(c) Utilice su recta de minimos cuadrados para predecir el numero

total de horas de trabajo para producir un lote que consiste en15 libreros.

Seccion 3.4 Problemas prac54. Los costos fijos mensuales de operar una plant

ciertos artfculos es de $7000, mientras que el costa de fcada unidad es de $100. Escriba una expresion para C(xtal de producir x articulos en un meso

55. EI fabric ante de los artfculos del problema anque pueden venderse 100 unidades por mes, si el precio$250 y que las vent as aumentan en 10 unidades por cadde $5 en el precio. Escriba una expresion para el preciogreso R(n), si se venden n unidades en un mes, n 2: 100.

56. Utilice la informacion en los problemas 54 y 55una expresion para la utilidad total mensual P(n), n 2: 1

57. Dibuje la grafica de pen ) del problema 56 y coestime el valor de n que maximiza P. Encuentre exactamedio de los metodos de calculo.[g58. El cos to total de producir y vender x unidadescierto articulo es C(x) =100 + 3.002x - 0.000lx2. Si elduccion es de 1600 unidades mcnsuales, encuentre el coC(x)/x, de cad a unidad y el costa marginal .

59. El costa total de producir y vender, por sernande cierto bien de con s umo es C(n) = 1000 + n2/1200.costa promedio, C(n)/n, de cad a unidad y el cos to margvel de produccion de 800 unidades semanales.

60. EI costa total de producir y vender 100x unidadna de un bien en particular es

C(x) = 1000 + 33x - 9x2 + x3Encuentre (a) el nivel de produccion en el que el costminimo, y (b) el costa marginal minirno.

61. Una funcion de precio,p, esta definida porx2p(x) =20 + 4x - -3

donde x 2: 0 es el nurnero de unidades.(a) Encuentre la funcion de ingreso total y la funcio

marginal.(b) i,En que intervalo es creciente el ingreso total?(c) i,Para que numero x el ingreso marginal es maximIT ] 62. Para la funcion de precio definida por

p(x) =(182 - x/36)1/2encuentre el mimero de unidades XI que hace que seagreso total y establezca el maximo ingreso posible. i ,Cuso marginal cuando se vende el nurnero optimo de unid

63. Para la funcion de precio dada porp(x) = 800/(x + 3) - 3

encuentre el ruimero de unidades Xl que hacen maximotal, y establezca el maximo ingreso posible. i,Cual es el inal cuando se vende el numero optimo de unidades, XI?

64. Por el dfa de la independencia, una companiario ofrece una excursion a una organizacion fraternal,dido de que sera para 400 pascantes, por 10 menos. El pboleto sera de $12.00 y la compafua acepta hacer un$0.20 por cad a 10 pasajeros que excedan a 400. Escribapara la funcion del precio p(x) y encuentre el numero Xque hacen maximo el ingreso total.


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178 Capitulo 3 Aplicaciones de Ia derivada65. La compafifaXYZ fabrica sillas de mimbre. Con sus actuales

rnaquinas, tiene una producci6n anual maxima de SO O unidades. Si fa-brica x sillas, puede establecer un precio de p (x ) =200- O. lSx d61arespara cada una y tendra un cos to total por afio de C( x ) =S OOO+ 6x-0 .002x2 d6lares. La compania tiene la oportunidad de comprar unamaquina nueva por $4000, con 10que aumentaria su producci6n en2S 0 sillas anuales. Por 10tanto, la funci6n de costa para valores de xentre SO O y 7S 0 es C( x ) =9000 + 6 x - 0 .002X 2. Con base en su anali-sis de la utilidad para el afio siguiente, responda las siguientes pre-guntas.(a) (,La compafifa debe comprar la rnaquina adicional?(b) (,Cual debe ser el nivel de producci6n?

66. Repita el problema 6S , suponiendo que la maquina adicionalcuesta $3000.67. La comparua ZEE fabrica ciertos objctos, los cuales se ven-den a un precio de p (x ) =10 - O .OO l x dolares, donde x es el numero

producido cad a meso Su costa mensual total es C( x ) =200 + 4x -0.01x2 En el maximo de produccion puede fabricar 300 unidades.( ,Cual es su utilidad mensual maxima y que nivel de produccion pro-porciona esta utilidad?

68. Si la compania del problema 67 amplfa sus instalaciones demodo que puede producir hasta 4S 0 unidades mensuales, su funcionde costa mensual lorna la forma C( x ) =800 + 3 x - 0.01x2 para 300


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rI-).Ir:-a, -y1-)-

a-6,

eses

r-2

Figura 1

f N

Seccion 3.5 Graficacion de funciones mediante caAsi, los puntos crfticos son -2, 0 Y2; rapidamente descubrimos que (vea1) f'(x) > 0 en (-00, -2) Y en (2, (0),Y que f'(x)


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180 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivadaAl derivar dos veces se obtiene

x(x - 4)f'(x) = (x _ 2) 2 8f " ( x )Por 1 0 tanto, los puntas estacionarios son x =0 y x =4.

Asi,r(x) >0 en (-00,0) U (4,00) Yrex) < 0 en (0,2) U (2,4). (Recuerde que rno existe cuando x =2). Tambien,[,,(x) > 0 en (2,00) Y["(x)


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)-

1 2II1 0

y

Seccion 3.5 Graficacion de funciones mediante cal

SOLUCI()N EI dominio de Fes [0,(0) y el rango es lO,oo),de modo que lFesta confinada al primer cuadrante y la parte positiva de los ejes de coordeintersecciones con el eje x son y 5;y la interseccion con el eje y es 0. De

5(x - l)(x - 5)F'(x) = .r: '8vxencontramos los puntos estacionarios 1 y 5.Como F'(x) >0 en (0, 1)y (5,(0que P(x) o

" 5(3x2 - 6x - 5)F(x )= 3'2'16x - J x>o

Figura 5

que esmuycomplicada. Sinembargo, 3x2 - 6x - 5= tiene una soluci6n en (0,1 + 2Y 6/3 ~ 2.6.

Utilizando los puntos de prueba 1y3 concluimos que r e x ) 0 en (1 + 2Y6j3, (0). Entonces, se deduce que el punto ( 1F(1 + 2Y6/3), es un pun to de inflexion.

Cuando x crece, F(x ) crece sin cota ymucho mas rapido que cualquierneal; no hay asfntotas. La grafica se dibuja en la figura 5.Resumen del metodo Al graficar funciones no hay sustituto para elmun. Sin embargo, el procedimiento siguiente sera util en la mayoria de losPaso 1: Haga un analisis antes de utilizar calculo,(a) Verifique el dominio yel rango de la funci6n para ver si existen regione

no que estan excluidas.(b) Verifique la simetria con respecto al eje y yal origen. ,La funci6n espa(c) Encuentre las intersecciones con los ejes de coordenadas.Paso 2: Analisis con calculo,(a) Utilice la primera derivada para encontrar los puntos crfticos ydetermin

de la grafica es creciente y en d6nde es decreciente.(b) Verifique los puntos crfticos para saber si son maximos 0minimos local(c) Utilice la segunda derivada para determinar en d6nde la grafica es c6n

arriba y en d6nde es c6ncava hacia abajo, ypara localizar puntos de inf(d) Encuentre las asintotas.Paso 3: Dibuje algunos punt os (incluya todos los puntos crfticos y los puflexion).Paso 4: Haga un bosquejo de la grafica.~EMPLO!J Haga un bosquejo de las graficas de f (x) =X l/3 y g(x)sus derivadas.SOLUCION EI dominio de ambas funciones es (-00,00). (Recuerde que laexiste para todo numero real). EI rango paraf (x) es (-00, (0), ya que cada mes la raiz cubica de algun otro numero, Al escribir g(x) como g (x ) =x 2 /3 =(Xlque g(x) debe ser no negativa;su rango es [0,(0). Como f ( - x ) =(-x) 1/3=_x l / 3vemos que f es una funci6n impar. De forma analoga, como g(-x) = (_x)2 /3 =(x2) 1/3=g(x), vemos que g es una funci6n par. Las primeras derivadas son

1 1['(x) = _x-2/3 = _-3 3x2/3y


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2g'(x) =-x-1/332

3xl/3


-3-I - / 1 - --I

- 2

-2

r3 - t -

-3 -2 -IFigura 6

y

-3 -2 -I

-2

-3 -}-

Figura 7

y

-I

y las segundas derivadas son

x r e x ) 2__ x-5/3 =9 2y 2g"(x) = - - x-4/3 =9

2

x

Para ambas funciones el unico punto entice, en este caso un punto en donde lada no existe, es x =0

Observe que rex) > 0 para toda x, excepto x =o . Por 10 tanto,f es creciente e0] y tambien en [0,(0); pero como fes continua en (-00, (0), podemos concluir quepre es creciente. En consecuencia,fno tiene maximo ni mmimo locales. Como rex)sitiva cuando x es negativa y negativa cuando x es positiva (e indefinida cuandoconcluimos que f es concava hacia arriba en (-00,0) y concava hacia abajo en (0punto (0,0) es un punto de inflexion porque es en donde la concavidad cambia.

Ahora considere g(x). Observe que g'(x) es negativa cuando xes negativa ycuando xes positiva. Como g es decreciente en (-00,0] y creciente en [0,00),g(O) =minimo local.Tambien observe que g"(x) es negativa siempre que x '" O. Por 10 tanconcava hacia abajo en (--00,0) y concava hacia abajo en (0,00),as1 que (0,0) no esto de inflexion. Las graficas de f(x),f '(x), g(x) y g'(x) se muestran en las figuras 6 y

Observe que en el ejemplo anterior ambas funciones tienen un punto criticoen donde la derivada no esta definida. Sin embargo, las graficas de las funcionfundamentalmente diferentes. La grafica de y =f(x) tiene una recta tangente elos puntos, pero es vertical cuando x =o . (Si la recta tangente es vertical, entoncesrivada no existe en ese punto). La grafica de y =g(x) tiene un punto esquina, d

x nada pico, en x =O .Uso de la grafica de la derivada para graficar una funcion El scho de conocer la derivada de la funcion puede decirnos mucho acerca de lamisma y cual es la apariencia de su grafica.

x EJEMPLO 5J La figura 8 muestra una grafica de y =f'(x). Determine toextremos locales y puntos de inflexion de fe n el intervalo [-1,3]. Dado que f(haga un bosquejo de la grafica de y =f(x)

I' es !' escr~~:n~te decf~~ente _ I_ r es creciente ~

I h - Ies concava haciaava hacia concava acra arribaarnba abajoI-,(x) < 0 - I - !,(x) < 0 -- ....t . . .'(X) > 0--1IIes decreciente Ies decreciente Ies creciente I

-I

Figura 8 Figura 9


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l-'I-),~lan:sI-I),nIS

i-

~-

)S0 ,

Seccion 3.5 Graficaci6n de funciones mediante cal

SOLUCION La derivada es negativa en los intervalos (-1,0) Y (0,2) Y pintervalo (2,3). Par 1 0 tanto,f es decreciente en [-1,0] yen [0,2], par 1 0 queximo local en el punta fronterizo izquierdo x =-1. Como f'(x) es positivoes creciente en [2,3], par 1 0 que existe un maximo local en el punta frontcho x =3.Ya queIes decreciente en [-1,2] Y creciente en [2,3], existe un men x =2.La figura 9 resume esta informaci6n.

Los puntas de inflexion para Ise producen cuando la concavidad dComo!, es creciente en (-1,0) y en (1,3),fes concava hacia arriba en (-1,0)Ya que!' es decreciente en (0,1),1 es c6ncava hacia abajo en (0,1). As! que,fconcavidad en x = 0 yx = 1.Par 1 0 tanto, los puntas de inflexi6n son (0,/(0La informacion anterior, junto can el hecho de que 1(1)=0,puede usarsela grafica de y =I(x). (Este dibujo no puede ser demasiado preciso ya que ainformaci6n limitada acerca de f).En la figura 10se muestra un bosquejo.

fH)f(2)f(3)(0,1(0(1,1(1

Maximo localMinima localMaximo localPunta de inflexionPunta de inflexion

y

-1 3 x

-1

Figura 10

Revision de conceptos1. La grafica de f es simetrica respeeto al eje y si f( -x) =__

para toda x; la grafica es simetrica con respeeto al origen sif(-x)= __ para todar.

2. Sif'(x) 0 para toda x en un intervalo I, entoneeslagrafica de f es __ y __ en I.

3. La grafica def(x) =x3/[(x + 1)(x- 2)(x - 3)] tienetas vertieales las rectas __ y como asintota horizontal l4. LIamamos a f(x) =3x5 - 2x2 + 6 una funci6n __

mos a g(x) =(3x5 - 2x2 + 6)/(x2 - 4) una funci6n __ .

Conjunto de problemas 3.5En los problemas dell al 27 haga un analisis como el sugerido en elresumen anterior y despues elabore un bosquejo de la grafica.

1. f(x) = x3 - 3x + 5 2. f(x) = 2x3 - 3x - 103. f(x) =2x3 - 3x2 - 12x + 34. f(x) = (x - 1)3 5. G(x) = (x - 1)46 . H(t) = t2(t 2 - 1)7. f(x) =x3 - 3x2 + 3x + 10

4S4 - 8s2 - 128. F (s) = 3

(x - l)(x - 3)15. f(x) =(x + l)(x - 2)

() x2 + X - 617. g x = x - 1

Z2 +16. w(z) =-- z

d x18. f(x) =I x l 3 Sugerencia:-l I x l(X Ix l19. R(z) = zlzl 20. H(q) = q21q lI x l + x21. g(x) =-2-(3x + 2)

I x l - x22. hex) = --2-(x2 - X + 6)x (s - 7T)29. g(x) = x + 1 10. g(s) = sx r P11. f(x) = -2-- 12. A (e ) ---x + 4 - e2 + 1x 113. hex) = --1 14. P(x) = -2--x- X + 1

23. f(x) = [ s e n x l25. h(t) =cos' t

f( ) - 5.235x3 - 1.245x227. x - 7.126x - 3.141

24. f(x) = ~26. get) = tan'' t


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184 Capitulo 3 Aplicaciones de la derivada28. Bosqueje la grafica de una funcion [que tenga las siguientes

propiedades:(a) [es continua en todas partes; (b) [(0) = 0,[(1) = 2;(c) [es una funcion par;(e) ["(x) > 0 para x > O.

29. Trace la grafica de una funcion jque tenga las siguientes pro-piedades:

(d) ['(x) > Oparax>O;

(a) res continua en todas partes; (b) [(2) =-3,[(6) = 1;(c) ['(2) = O,['(x) > Oparax '* 2,[,(6) = 3;(d) ["(6) = O,[,,(x) > o para 2 < x < 6,[,,(x) < Oparax>6;

30. Bosqueje la grafica de una Iuncion g que tenga las siguientespropiedades:(a) g cs suave en todas partes (continua y con primera derivada con-

tinua);(b) g(O) =0; (c) g'(x) 0 para x > 0

31. Haga la grafica de una funcionf que tenga las siguientes pro-piedades:(a) [es continua en todas partes;(b) [(-3) = 1;(c) rex) < 0 para x < -3,f'(x) > 0 para x > -3, ["(x) < 0 para x '* 3.32. Elabore la gratica de una func ion [que tenga las siguientespropiedades:(a) [es continua en todas partes;(b) [(-4) = -3,[(0) = 0,[(3) = 2;(c) ['(-4) = 0,['(3) = O,['(x) > 0 para x < -4,[,(x) > 0

para-4 < x < 3,[,(x) < Oparax > 3;(d) ["(-4) = 0,[,,(0) = O,[,,(x) < 0 para x < -4,["(x) > 0

para -4 < x < 0, ["(x) < 0 para x > O.33. Bosqueje la grafica de una funcion jque

(a) tenga primera derivada continua;(b) sea descendente y concava hacia arriba para x < 3(c) tenga un extremo en el punto (3, 1);(d) sea ascendente y concava hacia arriba para 3 < x < 5;(e) tenga un punto de inflexion en (5,4);(f) sea ascendente y concava hacia abajo para 5 < x < 6;(g) tenga un extremo en (6,7);(h) sea descendente y conca va hacia abajo para x > 6.

Las aproximaciones lineales proporcionan una buena aproxima-cion, en particular cerca de los puntas de inflexion. Mediante una calcu-ladora grafica uno puede investigar can [acilidad tal comportamiento enlos problemas del 34 al 36.

34. Grafique y = sen x y su aproximacion lineal L(x) =x en elpunto de inflexion x = O.

35. Grafique y = cos x y su aproximacion lineal L(x) = - x + 71"/2enx= 71"/2.

36. Encuentre la aproximacion lineal a la curva y = (x - 1) 5 + 3en su punto de inflexion. Grafique tanto la funcion como su aproxi-macion lineal en la vecindad del punto de inflexion.

37. Suponga que rex) = (x - 2)(x - 3)(x - 4) y [(2) = 2. Haga unagrafica de y =[(x).

38. Suponga que rex) = (x - 3)(x - 2)2(x -1) y[ (2) = O.Bosque-je una grafica de [(x).

39. Suponga que h'(x) = x2(x - 1 )2(x - 2) y h(O) = O . Elabgrafica de y =hex).

40. Considere una curva cuadratica general y = ax' + bxmuestre que tal curva no tiene puntos de inflexion.

41. Demuestre que la curva y = ax' + bx' + ex + d en dontiene exactamente un punto de inflexion.

42. Considere una curva general de cuarto grado y = ax4cx2 + dx + e, donde a '* O . i,Cmil es el numero maximo de puntoflexion que tal curva puede tener?[EXPLIICASI En los problemas del 43 al47la grdfica de y =(x)de un pardmetro c. Mediante un CAS investigue como dependentas extremos y los puntas de inflexion del valor de c. Identifiqueres extremos de c en los cuales cambia la forma basica de las cur

43. [(x) = x2~ 44. f(x) = cx 24 + (cx)1[(x) = x2 + 4x +145. f(x) = 2 2 2 46.(cx - 4) + cx

47. f(x) = c + sen cx48. Con base en la informacion de que r(c) = ["(c) = 0 y r

i ,que conclusiones puede obtener acerca de f?49. Sea g(x) una funcion que tiene dos derivadas y sati

siguientes propiedades:(a) g(l)=l;(b) g'(x) > 0, para toda x '* 1;(c) g es concava hacia abajo para toda x < 1 Y concava par

para toda x > 1;(d) [(x) =g(x4).Haga un bosquejo de una posible grafica de lex) y justifrespuesta.

50. Suponga que H(x) tiene tres derivadas continuas,que H(l) = H(l) = H"(l) = 0, pero H"'(l) '* O.i,Tiene H(x)mo relativo, minimo relativo 0un punto de inflexion en x = Ique su respuesta.

51. En cada caso, i,es posible para una funcion F con dodas continuas satisfacer todas las propiedades siguientes?grafique tal funcion, En caso contrario,justifique su respuesta(a) F'(x) > 0, F"(x) > 0, mientras que F(x) < 0 para toda x.(b) F" (x) < 0, mientras F(x) > O .(c) F"(x) < 0, mientras F(x) > O .I Q Q 52. Utilice una calculadora grafica 0 un CAS para trazarficas de cada una de las funciones siguientes en los interval oindican. Determine las coordenadas de los extremos globalespunt os de inflexion, si existen. Usted debe ser capaz de dartas que tengan al menos una precision de un decimal. Resventana del eje y a -5 oS Y oS 5.(a) f(x) = x2tanx; (-~,~)(b) f(x) = x3 tan x; (-~,~)(c) f(x) = 2x + sen x; [-71", 71"]

sen x(d) f(x) = x - -2-; [-71", 1 T ]I Q Q 53. Cada una de las siguientes funciones es periodica. Utcalculadora grafica 0 un CAS para hacer las graficas de cadalas siguientes funciones en un periodo completo con el centintervalo ubicado en el origen. Determine las coordenadas, s


35/64

a

0,

+n-

den-o-

0,

las

iba

sutalixi-tifi-

tva-asi,

gra-e se.Iosues-ala

:unara deen el.hay,

de los extremos globales y los punt os de inflexi6n. Debe ser capaz dedar las respuestas que tengan una precisi6n de al menos un decimal.(a) f(x) = 2 sen x + cos2 x (b) f(x) = 2 sen x + serr' x(c ) f(x) = cos 2x - 2 cos x (d) f(x) = sen 3x - sen x(e) f(x) = sen 2x - cos 3x

54. Sea tuna funci6n continua con f(-3) =f(O) =2. Si la graficade y =['(x) es como se muestra en la figura 6, bosqueje una posiblegraf ica para y =f(x).

y

x

Figura 1155. Seafuna funci6n continua y suponga que la grafica de [' es la

que se muestra en la figura 12. Bosqueje una posible grafica parafyrespond a las siguientes preguntas.(a) i,En d6nde es creciente f? i,En d6nde es decreciente?(b) i,En d6nde es concava hacia arriba? i,En donde es concava ha-

cia abajo?(c) i,En donde falcanza un maximo local? i.Y un minimo local?(d) i.En donde estan los puntos de inflexion paraf?

y y

Seccion 3.6 El teorema del valor medio para deriv57. Seafuna funci6n continua con f(O) =f(2) = O.S

y =['(x) es como la que se muestra en la figura 7, bosquble grafica para y =f(x).

y

x

Figura 14

58. Suponga que ['(x) =(x - 3)(x -1 ) 2 ( X + 2) Yf(l)bosquejo de una posible grafica de f.19 59. Utilice una calculadora grafica 0 un CAS parafica de cada una de las siguientes funciones en [-1,7]. Dcoordenadas, si existen, de los extremos globales y puxion. Usted debe ser capaz de dar respuestas con una pmenos un decimal.(a) f(x) =xy'-x;C-2--6-x~+-4-0(b) f(x) =VixT(x2 - 6x + 40)(c) f(x) = Yx2 - 6x + 40/(x - 2)(d) f(x) =sen[(x2 - 6x + 40)/6]19 60. Repita el problema 59 para las funciones siguie(a) f(x) = x3 - 8x2 + 5x + 4(b) f(x) = I x 3 - 8x2 + 5x + 4 1(c) f(x) =(x3 - 8x2 + 5x + 4)/(x - 1)(d) f(x) = (x3 - 8x2 + 5x + 4)/(x3 + 1)

Respuestas a la revision de conceptos: 1. f(x);2. decreciente; c6ncava hacia arriba 3. x =-1, x =2, x4. polinomial; racional.

3.6EI teorema del valormedio para derivadas

En lenguaje geometrico, el teorema del valor medio es facil de formularDice que si la grafica de una funci6n continua tiene una recta tangente, quetical, en cada punto entre A y B, entonces existe al menos un pun to C en ltre A y B en el cualla recta tangente es paralela a la recta secante AB. Eexiste exactamente un punto C; en Ia figura 2 existen varios. Primero forteorema en ellenguaje de funciones y despues 1 0 demostramos.

__;~" \" \,/ \/ -4.- - - - / - - - --_y-i

Figura 2

-3 -2

Figura 12 Figura 1356. Repita el problema 55 para la figura 13.

Figura 1


36/64


y

Figura 3

La clave de una demostraci6nLa clave de esta demostraci6n esque c es el valor en el cualf '(c) = feb) - f(a ) y s'(c) = O .b - aMuchas demostraciones tienen unao dos ideas clave; si usted entiendela clave, cornprendera lademostraci6n.

b

Teorema A Teorema del valor medio para derivadasSi f es continua en un intervalo cerrado [a , b ] Y derivable en su interior (a , b) , enton-ces existe al menos un mimero c en (a, b) donde

feb) - f(a ) = f '(c)b - a

0, de manera equivalente, dondefeb) - f(a ) = f'(c ) (b - a )

Demostracum Nuestra demostraci6n se apoya en un analisis cuidadoso de la fuci6n s (x) = (x ) - g (x ), introducida en la figura 3.Aqui, y =g(x) es la ecuaci6n de la reta que pasa por (a , f (a y (b,j(b. Como la recta tiene pendiente [ feb) - f(a )]/(b -y pasa por (a , j (a, la ecuaci6n en la forma punto pendiente es

feb) - f(a )g (x) - f(a ) = b _ a (x - a )Esto, a su vez, da una f6rmula para sex):

feb) - f(a )sex) = f(x ) - g (x ) = f(x ) - f(a ) - b _ a (x - a )x Observe de inmediato que s(b) =s ea ) =0 y que, para x en (a , b) ,

s ' (x) = f'(x ) _ feb) - f(a )b- aAhora hacemos una observaci6n crucial. Si supiesernos que hay un mimero c

(a , b) que satisface s ' (c) =0, estaria todo hecho. Pues entonces la ultima ecuaci6n dirque

o = f'(c ) _ feb) - f(a )b- a

que es equivalente a la conclusi6n del teorema.Para ver que s ' (c) =0 para alguna c en (a , b), raz6nese como sigue. Es claro que

es continua en [ a, b ], ya que es la diferencia de dos funciones continuas. Asi, por el terema de existencia de maximo y mfnimo (teorema 3.1A), s debe alcanzar tanto el valmaximo como el minimo en [ a , b ]. Si ambos valores se presentan en cero, entonces s ees identicamente cero en [ a , b ], yen consecuencia s ' (x) =0 para toda x en ( a, b ), muchmas de 10que necesitamos.

Si el valor maximo -0 el valor mfnimo- es diferente de cero, entonces ese valse a1canza en un punto interior c, ya que sea) = s(b) = O.Ahora, s tiene derivadacada punto de (a , b), de modo que, por el teorema del punto critico (teorema 3.1Bs ' (c) =O.Esto es to do 10que necesitabarnos saber.Ilustraci6n del teorema EJEMPLO 1 I Encuentre el numero c garantizado por el teorema del valor mdio para f (x) = 2Vxen[1,4].SOLUCION

1 1f '(x) =2_[12=-2 Vxy

f(4) - f(l)4 - 1

4-2 23 3


37/64

1a

s1-

)orrn),

y

Seccion 3.6 El teorema del valor medio para derivAsi, debemos resolver

1 2Vc 3

La unica solucion es c =~(vease la figura 4). EjEMPLO 2 I Sea f(x) =x3 - x2 - X + 1 en [-1,2].Encuentre todosc que satisfagan la conclusion del teorema del valor medio.SOtUCI()N La figura 5 muestra una grafica de la funcion f Con base enparece que existen dos mimeros Cl YC2 con la propiedad que se pide.Ahora e

f' (x) =3x2 - 2x - 1Y

f(2)-f(-1)=3-0=12-(-1) 3

Por 1 0 tanto, debemos resolver3c2 - 2c - 1 =1

0, de manera equivalente,3c2 - 2c - 2 =0

Por la formula cuadratica, existen dos soluciones (2 ~)/6, queden a C1 "" -0.55 YC2 "" 1.22.Ambos mimeros estan en el intervalo (-1,2). EjEMPLO 3 1 Seaf(x) =x2/3 en [-8,27]. Demuestre que no se cumpsion del teorema del valor medio y explique por que.SOLUCION

x = 1 = 0

4 x

yf (27) - f( -8 )27 - (-8)

9 - 4 135 7

Figura 4y

Figura 5

-9

y

Debemos resolver

1 0 cual da

( 1 4 ) 3C = 3 ""02x Pero C =102no pertenece al intervalo (-8,27) como se requiere. Y como

grafica de y =f(x) (vease la figura 6),f'(0) no existe, de modo que el problf(x) no es derivable en todo el intervalo (-8,27).Si la funcion se t ) representa la posicion de un objeto en el instante t,

teorema del valor medio establece que en cualquier intervalo de tiempoinstante para el que la velocidad instantanea es igual a la velocidad promed EjEMPLO 4] Suponga que un objeto tiene una funcion de posicion se tDetermine la velocidad promedio sobre el intervalo [3, 6] Yencuentre elque la velocidad instantanea es igual a la velocidad promedio.

18 27

Figura 6


38/64


F

Figura 7

Geometrfa y alqebraComo en la mayoria de los temas deeste texto, usted debe intentar verlas cosas desde un punto de vistaalgebraico y otro geometrico. Demanera geometrica, el teorema Bdice que si F y G tienen la mismaderivada, entonces la grafica de G esuna traslaci6n vertical de la graficade F.

SOLUCION La velocidad promedio en el intervalo [3,6] es igual a (s (6 ) - s(3 ))/(6- 3) = 8 . La velocidad instantanea es s'(t) = 2t - 1.Para determinar el punto en dondela velocidad promedio es igual ala velocidad instantanea, igualamos 8=2t - 1,y despejamos t para obtener t =9/2. IUso del teorema En la secci6n 3.2 prometimos una demostraci6n rigurosa deteorema de monotonfa (teorema 3.2A). Este es el teorema que relaciona el signo de lderivada de una funci6n con el hecho de que la funci6n sea creciente 0decreciente.Demostracuni del teorema de monotonia Supongamos que f es continuaen / y que ['(x) >0 en cada punto x interior de 1. Considere cualesquiera dos puntos Xy X 2 de /, con Xl


39/64

:re l

te

er -

Ice

Seccion 3.6 El teorema del valor medio para deriv

Conjunto de problemas 3.6En cada uno de los problemas dell al21 se define una funcion y se daun intervalo cerrado. Decida si el teorema del valor medio se aplica ala funcion dada en el intervalo que se da. Si es asi, encuentre todos losposibles valores de c; si no, establezca la raron. En cada problema bos-queje la grafica de la funcion dada en el intervalo dado.

1. f(x) = [x]; [1,2] 2. g(x) Ixl; [-2,2]3. f(x) =x2 + x; [-2,2] 4. g(x) =(x + 1)3;[-1,1]5. H(s) = S2 + 3s - 1; [-3, 1]

x36. F(x) ="'3;[-2,2]7. fez) = ! ( Z 3 + Z - 4); [-1, 2]

18. F(t) = --1; [0,2]t -x9. hex) = --; [0,2]x - 3

x-4 h( t) = (2/3; [0,2]0. f(x) = --3; [0,4] 1 1 .x-12. h(t) = P/3; [-2, 2] 1 3 . g(x) = XS/3; [0,1]14. g(x) = x5 /3; [-1, 1) 15. S(O) = sen 0; [ - 7 T , 7 T ]16. C(O) = esc 0; [ - 7 T , 7 T ] 17. T(O) = tan 0; [0, 7 T ]

f(x) = X + 1 . ; [ -1,~l 118. 19. [(x) = x + -; [1, 2]x x20. f(x) = Ix]; [1,2] 21. [(x) = x + [x]; [-2, 1]22. (Teorema de Rolle) Si Ies continua en [a, b] y derivable en (a,

b) y si [ta) =[ib), entonces existe al menos un numero c en (a, b), talque f'(c) =0. Demuestre que el Teorema de Rolle, es s610 un caso es-pecial del teorema del valor medio. [Michel Rolle (1652-1719) fueun matematico frances].

23. Para la funci6n graficada en la figura 8 encuentre (de maneraaproximada) todos los punto

calculo diferencial e intergral-5

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valor minimo es f

valor minimo en s

si c es

tiene valor maximo y

si f c es

caso en donde f c es

3x2 en

punto en donde rc