solucionario de calculo diferencial e integral - granville

8/20/2019 Solucionario de Calculo Diferencial e Integral - Granville

1/177

Solucionario de Calculo Integral

SOLUCIONARIO DE

CALCULO DIFERENCIAL

E INTEGRAL - GRANVILLEProblea!" Pagina #$%

Veri&icar la! !iguiente! Integracione!'

(" ∫ ) * d) + )

, c

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = dx

n = 4

∫x 4 dx = x4 + 1 = x

5 + c

4+1 5

#" ∫ d) +

)#

∫x -2.dx

v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv= dx

n = -2

∫ x -2 dx = x-2

+

1 = x

-1 = - x-1 = - 1 + c

-2+1 -1 x

$"∫

)#.$

d)

x2/3+1 = x5/3 = 3 x

5/3 + c

2/3 + 1 5/3 5

*" ∫d)

√)

∫x -1/2.dx = x-1/2 + 1 = x

1/2 = 2x1/2 = 2√x + c

- 1/2 +1 1/2

(


2/177


," ∫ d) +$

)

∫ dx + ∫x-1/3 dx = x

-1/3+1 = x2/3

= 3x2/3 + c

x 1/3

-1/3+1 2/3

2

%" ∫$a/# d/

3a ∫y2 dy = = 3a y2+1 = 3 ay

3 = ay3 + c

2+1 3 .

0" ∫# dt

t#

2∫t -2. dt = 2 t-2+1 = 2t

-1 = - 2.t-1 = - 2 + c

-2+1 - 1

1" ∫ √a) " d)

∫ax!1/2. dx v = ax "alta a! para completar,

dv = a.dx el diferencial. n = 1/2 .

1 ∫ax!1/2. a .dx = 1 ax!1/2+1 = ax!

3/2 = 2ax!3/2 =

a a 1/2+1 3/2a! 3a

2ax!2/2 ax!1/2 = 2. a .x ax!1/2 = 2 x ax !

1/2 = 2 x √ax + c3 a 3 a 3 3

2" ∫ d) +

√#)

∫ dx = ∫2x!-1/2 =

2x!1/2

v = 2x "alta 2! para completar el diferencial.

dv = 2 dx #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c .

#


3/177


n = -1/2 n+1

1 . ∫2x!-1/2.2dx = 1 2x!-1/2+1 = 2x!

1/2= 2x!

1/2 = 2x!1/2 =

2 2 -1/2+1 21/2! 2/2 1

2x!1/2 + c

∫3t!1/3 dt

v = 3t "alta 3! para completar el diferencial.

dv = 3 dt #e aplica$ ∫

vn

dv = vn+1

+ c .n = 1/3 n+1

1 ∫3t!1/3.3dt = 1 3t!1/3+1 = 3t!

4/3= 3t!

4/3 + c

3 3 1/3 + 1 34/3! 4

((" ∫3)$.# - #)#.$ , √) - $4 d)

∫

x3/2

dx - 2∫

x2/3

dx + 5∫√x dx - ∫dx

∫x3/2dx - 2 ∫x2/3 dx + 5 ∫x!1/2 dx - ∫dx

x3/2+1 - 2 x 2/3+1 + 5 x!1/2+1 - x + c

3/2+1 2/3+1 1/2+1

x5/2 - 2 x 5/3 + 5 x!3/2 - x + c

5/2 5/3 3/2

2x5/2 - %x5/3 + 1&x!3/2 - x + c

5 5 3

(#" ∫ *)# - #√) d) )

∫ 4x2 - 2√x dx = ∫ 4x - 2x1/2 dx =

x x x2/2

$

∫ dt.t33 .1&


4/177


∫4x - 2x 1/2.x -2/2! dx = ∫4x - 2x-1/2! dx

∫4x dx - ∫2x -1/2 dx = 4∫x dx - 2∫x-1/2 dx

4 x1+1 - 2 x -1/2+1 = 4 . x2 - 2 . x1/2 = 2x

2 - 4x1/2 = 1+1 -1/2+1 2 1/2

2x2 - 4 √x + c

($" ∫3 )# - # 4 d)

# )#

∫ x2 dx - ∫ 2 dx = 1 ∫ x2 dx - 2 ∫x -2 dx =

2 x2 2

1 x2+1 - 2 x -2+1 = x3 - 2.x -1 = x

3 + 2 + c

2 2+1 -2+1 23! -1 % x

(*" ∫ √)3$) - #4 d)

∫ 3x. √x - 2. √x! dx = ∫3x.x1/2 - 2x1/2! dx = ∫3x 3/2 - 2x1/2! dx .

∫3x3/2 dx - ∫2x1/2 dx = 3∫x3/2 dx - 2∫x1/2 dx =

3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 = 3 x3/2+1 - 2 x1/2+1 =

3/2+1 1/2+1 3/2+1 1/2+1

3x5/2 - 2x 3/2 = %x5/2 - 4x 3/2 + c

5/2 3/2 5 3(," ∫ )$ - %) , d) + )

$ - %) , ln ) c

) $

∫ x3 - %x + 5 dx = ∫ x2 - % + 5 dx = ∫x

2 dx - % ∫dx + 5 ∫dx

x x x x x

x2+1 - %x! + 5ln x! = x3 - %x + 5 ln x + c

2+1 3

*


5/177


(%" ∫ √a b) d) + #3a b)4$.# c$b

∫

a + 'x!

1/2

dx .

v = a + 'x! "alta '! para completar el diferencial.

dv = ' dx ∫vn dv = v

n+1 + c

n = 1/2 n+1

1 . ∫a + 'x!1/2. 'dx = 1 a + 'x!1/2+1 = a + 'x!

3/2 = a + 'x!3/2 =

' ' 1/2+1 '3/2! 3' .

22a + 'x!3/2 + c

3'

(0" ∫ d/

√a - b/

∫ dy = ∫a - 'y!-1/2 dy =

a - 'y!

1/2

v = a - 'y! "alta -'! para completar el diferencial.

dv = - ' dy ∫vn dv = v

n+1 + c

n = - 1/2 n+1

- 1 ∫a - 'y!-1/2. - '! dy

'

- 1 a - 'y!-1/2+1 = - a - 'y!1/2 = - a - 'y!

1/2 = -2 a - 'y!1/2 + c

' -1/2+1 '1/2! '/2 '

(1" ∫3a bt4# dt + 3a bt4$ c

$

v = a + 't! "alta '!, para completar el diferencial, se aplica$

dv = ' dt ∫vn dv = v

n+1 + c .

,


6/177


n = 2 n+1

1 ∫a + 't!2.' dt = a + 't!2+1 = a + 't!

3 + c

' '2+1! 3'

(2" ∫ ) 3# )#4# d) + 3# )# 4$

%

∫2 + x2!2. x dx

v = 2 + x2! "alta 2!, se aplica$ ∫ v n = v n+1/n+1 + c .

dv = 2x dx 1 ∫2 + x2!2. 2x dx = 1 2 + x2 !2+1 = 2 + x2 !3 = 2 + x2 !3 + c

n = 2 2 2 2+1 23! %

#5" ∫ / 3a - b/#4 d/ + - 3a - b/# 4# c

*b

∫a - 'y2! " y dy

v = a - 'y2! "alta -2'!,para completar el diferencial.

dv = -2'y dy #e aplica$ ∫ v n = v n+1/n+1 + c .

n = 1

∫a - 'y2! . y dy = -1 a - 'y2 !1+1 = - a - 'y!

2 = - a - 'y2 ! + c

2' 1+1 2'2! 4'

#(" ∫ t √#t# $ dt + 3#t # $4$.# c%

∫2t2 + 3!1/2. t dt

v = 2t2

+ 3! "alta 4! para completar el diferencial.dv = 4t dt . #e aplica$ ∫v

n dv = vn+1 + c .

n = 1/2 n+1

1 ∫2t2 + 3!1/2. 4t dt = 1 2t2 +3! 1/2+1 = 2t

2 +3! 3/2 = 2t2 +3! 3/2 =

4 4 1/2+1 43/2! 12/2

2t 2 +3! 1/2 + c

%

%


7/177


##" ∫ ) 3#) (4# d) + )* *) $ )# c

$ #

(rimero sol)cionamos el prod)cto nota'le$

2x + 1!2 = 4x2 + 4x + 1

∫x 4x2 + 4x + 1! = ∫4x3 + 4x2 + x! dx

∫4x3 dx + ∫4x2 dx + ∫x dx = 4∫x3 dx + 4∫x2 dx + ∫x dx

4 x3+1 + 4 x2+1 + x1+1 = 4x4 + 4x 3 + x2 =

3+1 2+1 1+1 4 3 2

x4 + 4x 3 + x2 + c

3 2

#$"∫

*)# d) "

√)$ 1

∫

3x3

+ *!-1/2

. 4x2

dx

v = x3 + *! "alta 3! para completar el diferencial.

dv = 3x2 dx #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c

n = -1/2 n+1El 4 sale f)era de la integral por)e no nos va a servir en dv

4 ∫ x3 + *!-1/2 . 3x2 dx = 4 x3 + *!-1/2+1 = 4x

3 + *!1/2 =3 3 -1/2+1 31/2!

4x 3 + *!1/2 = 24x3 + *!1/2 = *x

3 + *!1/2 = *√x3 + *! + c3/2 3 3 3

#*" ∫ %6 d6

3, - $6#4#

∫5 - 32!-2.% d

0


8/177


v = 5 - 32! 0 la integral original para )e se integre

dv = - % solo le falta el signo negativo.

n = -2

-∫

5 - 32

!-2

. -! % d

-5 - 32 !-2+1 = -5 - 32 !-1 = 5 - 3

2!-1 = 1 + c

-2+1 -1 5 - 32!

#," ∫3√a - √)4# d)

#ol)cionando el prod)cto nota'le$ √a - √x!2 = a - 2√a.√x + x

∫

√a!2 - 2√a .√x + √x!2 dx = ∫a - 2√a .√x + x ! dx

∫a dx - ∫2√a .√x + ∫x dx = a ∫dx - 2√a ∫ √x dx + ∫x dx

a ∫dx - 2a1/2 ∫ x1/2 dx + ∫x dx = a. x - 2a

1/2 .x1/2+1 + x1+1 =1/2+1 1+1

ax - 2a1/2 x3/2 + x2 = ax - 4 x

2/2 a1/2 x1/2 + x2 =3/2 2 3 2

ax - 4x√a . √x + x 2 = ax - 4x√ax + x2 + c3 2 3 2

#%" ∫3√a - √)4# d) √)

v = √a - √x! "alta -1/2! para completar el diferencial.dv = - 1 dx . #e aplica$ ∫v

n dv = vn+1 + c

2√x n+1

n = 2

∫√a - √x!2. 1 .dx = - 2 ∫√a - √x!2 1 dx √x 2√x

-2 √a - √x!2+1 = -2 √a - √x!3 + c2+1 3

1

( )∫ − dx.xax.22


9/177


∫√x√a!2 - 2√a.√x + √x!2 dx = ∫√xa - 2√a.√x + x! dx

∫a√x - 2√a.√x.√x + x.√x!dx = ∫ax1/2 - 21/2.√x!2 + x2/2.x1/2dx

∫

ax

1/2

- 2a

1/2

x + x

3/2

dx = a∫

x

1/2

dx - 2a

1/2

∫

x dx +∫

x

3/2

dx =

a x1/2+1 - 2a1/2 x1+1 + x3/2+1 = a.x3/2 - 2a1/2 .x2 + x5/2 =

1/2+1 1+1 3/2+1 3/2 2 5/2

2a .x3/2 - a1/2.x2 + 2x 5/2 = 2ax3/2 - x2√a + 2x5/2 + c

3 5 3 5

#1" ∫ t$ dt

√a* t*

∫

a4 + t4!-1/2.t3 dt . v = a4 + t4! "alta 4! para completar el

dv = 4t3 dt diferencial, se aplica$

n = -1/2 ∫vn dv = v

n+1/n+1 + c

1 ∫a4 + t4!-1/2.4!t3 dt = 1 a4 + t4 !-1/2+1 = a

4 + t4 !1/2 =

4 4 -1/2+1 41/2!

a4 + t4 !1/2 = 2a4 + t4 !1/2 = a

4 + t4 !1/2 = √a4 + t4! + c4/2 4 2

#2" ∫ d/ "

3a b/4$

∫a + 'y!-3 dy

v = a + 'y! "alta '! para completar el diferencial.

dv = ' dy #e aplica$ #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c

n = - 3 n+1

1 ∫a + 'y!-3.'!dy

'

1 a + 'y!-3+1 = a + 'y!-2 = a + 'y!

-2 = - 1 + c

' -3+1 '-2! -2' 2'a + 'y!2

2


10/177


$5" ∫ ) d) "

3a b)#4$

∫

a + 'x

2

!

-3

.x dx

v = a + 'x2! "alta 2'! para completar el diferencial.

dv = 2'x.dx #e aplica$ #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c

n+1

1 ∫a + 'x2!-3.2'!x dx

2'

1 a + 'x2

!-3+1

= a + 'x2

!-2

= 1 + c2' - 3 + 1 2'! - 2! 4'a + 'x2!2

$(" ∫ t# dt

3a bt$4#

∫a + 't3!2.t2 dt

v = a+'t3! "alta 3'! para completar el diferencial.

dv = 3't2

dt #e aplica$∫

vn

dv = vn+1

+ cn = 2 n+1

1 ∫a+'t3!-2.3'!t2 dt = a+'t3 !-2+1 = a+'t

3 !-1 =3' 3'-2+1! 3'-1!

a+'t3 !-1 = - 1 + c

-3' 3'a + 't3!

$#" ∫63a b6$4# d6

esarrollando el prod)cto nota'le$ a + '3!2 , o'tenemos ,

∫ a2 + 2a'3 + '2%! d

∫ a2 + 2a'4 + '2! d

(5


11/177


a2 ∫ d + 2a' ∫4 d + '2 ∫ d

a2 1+1 + 2a' 4+1 + '2 +1 = a2 2 + 2a'5 + '2 * + c

1+1 4+1 +1 2 5 *

$$" ∫)n-(√ab)n d)

∫ a + 'xn!1/2. xn-1 dx

v = a + 'xn! "alta n'! para completar el diferencial.

dv = n'xn-1 dx #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c

n = 1/2 n+1

1 ∫ a + 'xn!1/2. n'! xn-1 dx

n'

a + 'xn !1/2+1 = a + 'xn !3/2 = 2a + 'x

n !3/2 + c

1/2+1 3/2 3

$*" ∫3#) $4 d)

√)# $)

∫

x2 + 3x!-1/2. 2x + 3! dx

v = x2 + 3x! El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = 2x + 3 #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c

n = -1/2 n+1

∫x2 + 3x!-1/2. 2x + 3! dx

x2 + 3x!-1/2+1 = x2 + 3x!1/2 = 2x

2 + 3x!1/2 = 2 √x2 + 3x + c- 1/2 + 1 1/2

$," ∫3)# (4 d)

√)$ $)

∫x3 + 3x!-1/2. x2 + 1! dx

((


12/177


v = x3 + 3x! "alta 3! para completar el

dv = 3x2 + 3 dx = 3x

2 + 1! dx diferencial.

n = -1/2

1 ∫x3 + 3x!-1/2.3!x2 + 1! dx = x3 + 3x!-1/2+1 = x

3 + 3x!1/2 =3 3-1/2+1! 31/2!

x3 + 3x!1/2 = 2x3 + 3x!1/2 = 2√ x3 + 3x! + c

3/2 3 3

$%" ∫3# ln )4 d)

)

∫2 + ln x!. 1 dx

x

v = 2 + ln x! "alta 1/x para completar el diferencial.

dv = 1 dx #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c

x n+1

n = 1

∫2 + ln x!. 1 dx = 2 + ln x!1+1

= 2 + ln x!2 + c

x 1+1 2

$0" ∫!en#) co! ) d)

∫senx!2 . cos x dx . v = senx! El diferencial esta

dv = cos x dx completo,se procede

n = 2 a integrar.

∫

senx!2 cos x dx = senx!2+1 = senx!3 + c

2+1 3

$1" ∫!en a) co! a) d)

v = sen ax "alta a! para completar el

dv = cos ax!a! dx = a cos ax dx diferencial.#e aplica$

n = 1 ∫vn dv = vn

+1 + c

(#


13/177


n+1

1 ∫sen ax! . a!cos ax dx = sen ax!1+1

= sen ax!2

= sen2 ax + c

a a1+1! 2a 2a

$2" ∫!en #) co!##) d)

∫cos 2x!2. sen 2x dx

v = cos2x! "alta -2! para completar el diferencialdv = - sen 2x!2! dx = - 2sen 2x #e aplica$ ∫ v

n dv = v n+1 + c

n = 2 n+1

- 1 ∫cos2x!2.-2!sen 2x dx = - cos2x!2+1 = - cos2x!

3 =2 22+1! 23!

- cos3 2x + c

%

*5" ∫tg ) !ec# ) d)

# #

v = tg x/2 falta 1/2! para completar el diferencial.

dv = 1 sec 2 x .2 2

n = 1

2 tg x 61+1 2 tg x 62

2∫tg x 1 . sec2 x dx = 2 = 2 =2 2 2 1+1 2

tg 2 x = tg 2 x 6 + c2 2

*(" ∫ co! a) d)

√b !en a)

∫' + sen ax!-1/2 . cos ax dx

($


14/177


v = ' + sen ax! "alta a! para completar el

dv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial$ #e aplica$

n = - 1/2 ∫vn dv = v

n+1 + c

n+1

1∫

' + sen ax!

-1/2

.a! cos ax dx = ' + sen ax!

-1/2+1

= a a-1/2+1!

' + sen ax!1/2 = ' + sen ax!1/2

= 2' + sen ax!1/2

=

a1/2! a/2 a

2√ ' + sen ax + ca

*#" ∫ !ec ) # d)

( tg )

∫ sec 2 x dx

1 + tg2x!

∫1 + tg x!-2. #ec2x dx

v = 1 + tg x! El diferencial esta completo, se procede a

dv = sec2x dx integrar.

n = -2

1 + tg x!-2+1 = 1 + tg x!-1 = 1 + c

-2+1 - 1 1 + tg x!

*$" ∫ d) "

# $)

v = 2 + 3x "alta 3! para completar el diferencial.

dv = 3 dx #e aplica$ ∫ dv = ln v + c

v

1 ∫ 3! dx = 1 ln 2 + 3x! + c

3 2 + 3x 3

(*


15/177


**" ∫ )# d) "

# )$

v = 2 + x3 "alta 3! para completar el diferencial.

dv = 3x2 dx #e aplica$ ∫ dv = ln v + c

v

1 ∫ 3! x2 dx = 1 ln 2 + x3! = ln 2 + x

3 ! + c

3 2 + x3 3 3

*," ∫ t dt "

a bt#

v = a + 't2

"alta 2'! para completar el diferencial.dv = 2't #e aplica $ ∫ dv = ln v + c .

v

1 ∫ 2'! t dt = 1 . lna + 't2! = lna + 't

2 ! + c

2' a + 't2! 2' 2'

*%" ∫ 3#) $4 d)

)

#

$)

v = x2 + x El diferencial esta completo, se procede a integrar "

dv = 2x + 3!

∫ 2x + 3! dx = ln x2 + 3x! + c

x2 + 3x

*0" ∫ 3/ #4 d/

/# */

v = y2 + 4y "alta 2! para completar el

dv = 2y + 4 dy = 2y + 2! dy diferencial .#e aplica$

∫ dv = ln v + c

v

1 ∫2!y + 2! dy = 1 .ln y2 + 4y! = ln y

2 + 4y! + c

2 y2

+ 4y! 2 2

(,


16/177


*1" ∫ eθ dθ "

a beθ

v = a + 'eθ "alta '! para completar el diferencial.

dv = 'e

θ

dθ #e aplica$

∫

dv/v = ln v + c

1 ∫ eθ '! dθ . ' a + 'eθ

ln a + 'eθ ! + c '

*2" ∫ !en ) d)

( - co! )

v = 1 - cos x El diferencial esta completo.

dv = - -sen x ! dx = sen x dx . #e procede a integrar.

⇒ ln 1 - cos x! + c

,5" ∫!ec # / d/ "

a btg /

v = a + 'tg y . "alta '!, para completar el diferencial

dv = ' sec2y dy

1 ∫ '! sec2 y dy = 1 . lna + 'tg y! = lna + 'tg y! + c

' a + 'tg y ' '

,(" ∫3 #) $4 d)

) #

Efect)amos la divisi7n$ 2x + 3 x + 2

-2x - 4 2

- 1

El res)ltado es$

2 + - 1 = 2 - 1 . #)stit)yendo en la integral .

(%


17/177


x + 2 x + 2

∫7 2 - 1 6 dx = 2 ∫ dx - ∫ dx = 2x - lnx + 2! + cx + 2 x + 2

,#" ∫ )# # d)

) (

Efect)amos la divisi7n$ x2 + 2 x + 1

- x2 - x x - 1

- x

+ x + 2

+ 2

El res)ltado es$

x - 1! + 3 . #)stit)yendo en la 8ntegral.

x + 1

∫7 x - 1 + 3 6 dx x + 1

∫x dx - ∫dx + 3 ∫ dx .

x + 1

x1+1 - x + 3 ln x + 1! = x2 - x + 3 ln x + 1! + c

1+1 2

,$" ∫ 3) *4 d)

#) $

Efect)amos la divisi7n$ x + 4 2x + 3

- x - 3/2 1/2 . - x + 5/2 .

5 .

El res)ltado es$ 1 + 2 . #)stit)yendo en la 8ntegral.

2 2x + 3

(0


18/177


∫ 1 + 5/2 dx

2 2x + 3

∫

1 dx + 5 . 1∫

2!dx . v = 2x + 3 2 2 2 2x + 3 dv = 2 dx

1 ∫ dx + 5 ∫ 2! dx = 1 x + 5 ln 2x + 3! =2 4 2x + 3 2 4

x + 5 ln 2x + 3! + c

2 4

,*" ∫

e2s d! " e2s (

v = e2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta 2!dv = 2e2s . y se le opone 1/2.

1 ∫ 2! e2s ds = 1 . lne2s + 1! = ln e2s + 1! + c2 e2s + 1 2 2

,," ∫ a e θ b dθ aeθ - b

Efect)amos la divisi7n$

' + aeθ - ' + a e θ El res)ltado es $- ' + a e θ - 1 - 1 + 2a e θ .

+ 2aeθ

- ' + aeθ

(ara la 2da integral$

v = - ' + aeθ

dv = aeθdθ

∫ -1 + 2 a e θ dθ = - ∫ dθ + 2 ∫ a e θ dθ =

- ' + aeθ - ' + aeθ

(1


19/177


- θ + 2 ln - ' + aeθ! = 2 ln aeθ - ' ! - θ + c

,%" ∫ #) d) "

∫% - 5x2!-1/3.2x dx

v = % - 5x2!

dv = - 1&x dx El diferencial esta incompleto, falta - 5 !

n = -1/3 .

- 1 ∫% - 5x2 !-1/3 -5!2x dx = - 1 . % - 5x2 !-1/3+1 = -% - 5x

2 !2/3 =

5 5 -1/3+1 52/3!

- 3% - 5x2 !2/3 + c

1&

,0" ∫3)$ $)#4 d)

∫x3 dx + 3∫x2 dx

x3+1 + 3.x2+1 = x4 + 3x 3 = x

4 + x3 = c

3+1 2+1 4 3 4

,1" ∫ )# - * " d)

)*

esarrollando$ x2 - 4 = x2 - 4 = 1 - 4

x4 x4 x4 x2 x4

#)stit)yendo en la integral .∫7 1 - 4 8 dx = ∫ 1 dx - 4 ∫ dx = ∫x -2 dx - 4∫x -4 dx

x2 x4 x2 x4

x-2+1 - 4.x -4+1 = x-1 - 4x -3 = - 1 + 4 + c

-2+1 -4+1 -1 -3 x 3x3

(2

$#

,)-3% !

dx.x5

x5 5

5.59 ∫ +


20/177


1 ∫ √5x dx + 5 ∫ dx = 1 ∫5x!1/2 dx + 5 ∫5x!-1/2 dx. 5 √5x 5

v = 5x v = 5x :ompletando el diferencial a

dv = 5 dx dv = 5 dx am'as integrales.

n = 1/2 n = - 1/2

1 . 1 ∫5x!1/2.5!dx + 5. 1 ∫ 5x!-1/2 5!dx =5 5! 5

1 . 5x!1/2+1 + 5x!-1/2+1 =25 1/2 + 1 - 1/2+1

5x!3/2 + 5x!-1/2+1 = 25x!3/2 + 25x!1/2 =

253/2! 1/2 55!3! 1

2 5 x! 5x!1/2 + 25x!1/2 =2x5x!1/2 + 25x!1/2 =

5 5!3! 15

25x!1/2 x + 1 = 2√5.x x + 15 + c15 15

∫ dt = 1 ∫ dt = 1 . ∫ dt = 1 . ∫t-3/2 dt = t

-3/2+1 . t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/2 √2 t3/2 √2 √2- 3/2 + 1!

t -1/2 = t-1/2

= - 2 = - 2 = - 2 + c

√2-1/2! - √2 √2.t1/2 √2. √t √2t

#5

.c5

'y3 5

y '3 35

y ' 132

y '

13/2

y

'.dyy 'dy.y 'dy.y. '

'y .%&

3 5353135311323

132

332332

332

3

3 2

+==

=

+

=

+===+

+

∫ ∫ ∫

∫

∫ t2t

dt .%1

dx..%2 ∫ $ $)-#


21/177


∫2 - 3x!1/3. dx

v = 2 - 3x! El diferencial esta incompleto, falta - 3 !

dv = - 3 dx #e aplica$ ∫vn = v

n+1 + c

n = 1/3 n+1

- 1 ! ∫2 - 3x!1/3 - 3!. dx = - 2 - 3x!1/3+1

= - 2 - 3x!4/3

=

3 31/3+1! 34/3!

-2 - 3x!4/3 = - 3 2 - 3x!4/3

= - 2 - 3x!4/3 + c

12/3 12 4

%$" ∫ !en #θ dθ

√co! #θ

∫cos 2θ!-1/2.sen 2θ dθ

v = cos 2θ! "alta -2! para completar el diferencial.dv = - 2 sen 2θ dθ #e aplica$ ∫vn = vn+1 + cn = - 1/2 n+1

- 1 ! ∫cos 2θ!-1/2.-2!sen 2θ dθ 2

- 1 !.cos 2θ!-1/2+1 = - cos 2θ!1/2 = - cos 2θ!1/2 = - √cos 2θ + c 2 -1/2+1 21/2! 1

%*" ∫

e)

d) " √ex - , v = ex - 5! El diferencial esta completo,∫ex - 5!-1/2 . ex dx . dv = ex dx se procede a integrar.

n = - 1/2

∫ex - 5!-1/2.ex dx = ex - 5! -1/2+1 = ex - 5! 1/2 = 2ex - 5!1/2 + c-(.#( (.#

%," ∫

# d)

#(


22/177


√$ #)

∫3 + 2x!-1/2. 2 dx

v = 3 + 2x! El diferencial esta completo,dv = 2 dx se procede a integrar.

n = - 1/2

∫3 + 2x!-1/2. 2dx = 3 + 2x!-1/2+1

= 3 + 2x!1/2 = 23 + 2x!

1/2 =

-1/2+1 1/2

2 √3 + 2x! + c

%%" ∫ $ d) +

# $)

v = 2 + 3x El diferencial esta completo, se )sa la f7rm)la$

dv = 3 dx ∫ dv = ln v + c

v

∫ 3 dx = ln 2 + 3x! + c

2 + 3x%0" ∫ ) d) "

√( - #)#

∫1 - 2x2!-1/2. x dx

v = 1 - 2x2! El diferencial esta incompleto,

dv = - 4x dx falta - 4! y se le opone -1/4! .

n = - 1/2

- 1 !∫

1 - 2x2!-1/2. - 4! x dx = - 1 . 1 - 2x2 !-1/2+1

4 4 -1/2+1

- 1 - 2x2 !1/2 = - 1 - 2x2 !1/2 + c

41/2! 2

%1" ∫ t dt "

$t# *

v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta %!

##


23/177


dv = %t dt y se le opone 1/%!

1 ! ∫ %!t dt = 1 .ln3t2 + 4! = ln3t

2 + 4! + c

% 3t2 + 4 % %

∫ y2!3 - 3 y2!2. 1 + 3 y2!. 1 2 - 1 3 . dy

y2 y2 y2

∫ y% - 3. y2 . y2 + 3. y2 - 1 dy = ∫ y

% - 3 y2 + 3 - 1 dy

y2 y2 . y2 y% y2 y%

y%+1 - 3 . y2+1 + 3∫

y-2 dy -∫

y - % dy =%+1 2+1

y - 3y3 + 3.y-2+1 - y-%+1 = 3 - 1 - 5

y - y3 - 3.y -1 + y -5 = y - y 3 - 3 + 1 + c

5 y 5y5

0(" ∫ !en aθ dθ

co! aθ

#eg;n tiliamos la integral$

#$

( )( )

∫

∫ ∫

∫

−

+−=

+−

−

dy.y1y &.

dx.x

12xdx.x1

x1.x2x

x1x .%9

3

2

2

2

22

2

2


24/177


dv = a dθ ∫ tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c

1 ! ∫ tg aθ. a!dθ = - ln cos aθ! = ln sec aθ! + c a a a

0#" ∫ c!c # φ dφ "

√3#cot φ $4

∫2cot φ + 3!-1/2 . csc2φ dφ .

v = 2cot φ + 3! "alta -2! para completar el diferencial.dv = - 2 csc

2φ dφ #e aplica$ ∫9 n d9 + 9 n( c

n+1-1 ∫2cot φ + 3!-1/2.-2!csc2φ.dφ = 1 . 2cot φ + 3! -1/2+1 =2 2 -1/2+1

- 1 .2cot φ + 3! 1/2 = - 2cot φ + 3! 1/2 = - 2cot φ + 3! 1/2 = 2 1/2 21/2! 1

- 2cot φ + 3!1/2 = - √2cot φ + 3! + c

0$" ∫ 3#) ,4 d)

)# ,) %

v = x2 + 5x +% El diferencial esta completo,

dv = 2x + 5! . dx aplicamos la f7rm)la$ ∫ dv/v = ln v + c

∫ 2x + 5! dx = ln 2x + 5! + c

x2 + 5x + %

0*" ∫ 3#) 04 d)

) $ ividimos$

2x + x + 3 El res)ltado es$ 2 + 1 .

- 2x - % 2 x + 3

+ 1

#*


25/177


∫ 2 + 1 dx

x + 3

2 ∫ dx + ∫ dx = 2 x + ln x + 3! + c

x + 3

0," ∫ 3)# #4 d)

) # ividimos$

x2 + 2 x + 2

- x2 - 2x x - 2 El res)ltado es$

- 2x + 2 x - 2 + % . + 2x + 4 x + 2

+ %

∫7x - 2 + % 6 dx = ∫x dx - 2 ∫dx + % ∫ dx = x + 2 x + 2

x2 - 2x + % ln x + 2! + c

2

0%" ∫

3)$

$)4 d))# (

ividimos$ El res)ltado de la divisi7n es$

x3 + 3x x2 + 1 x + 2x .

- x3 - x x x2 + 1

+ 2x

v = x2 + 1 El diferencial esta completo

dv = 2x dx se procede a integrar.

∫ x dx + ∫ 2x dx = x1+1 + ln x2 + 1! = x

2 + ln x2 + 1! + c

x2 + 1 1+1 2

00" ∫ 3*) $4 d) "

∛( $) #)#

#,


26/177


∫1 + 3x + 2x2!-1/3.4x + 3! dx

v = 1 + 3x + 2x2! El diferencial esta completo, se

dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dx procede a integrar.

n = - 1/3

∫1 + 3x + 2x2!-1/3 . 4x + 3! dx = 1 + 3x + 2x2 !-1/3+1 .

- 1/3 + 1

1 + 3x + 2x2 !2/3 = 3 1 + 3x + 2x2 !2/3 + c

2/3 2

01" ∫ 3et #4 dt et #t

v = et + 2t El diferencial esta completo.dv = et + 2! dt #e aplica$ ∫ dv/v = ln v + c

∫ et + 2! dt = ln et + 2t! + cet + 2t

02" ∫ 3e) !en )4 d)√e) - co! )

∫ ex - cos x!-1/2.ex + sen x! dx

v = ex - cos x! El diferencial esta

dv = ex

- -sen x! dx = ex

+ sen x! dx completo, se procede an = - 1/2 integrar.

ex - cos x!-1/2+1 = ex - cos x!1/2 = 2ex - cos x!1/2 + c-1/2+1 1/2

15" ∫ !ec #θ tg # θ dθ

$ !ec #θ - #

#%


27/177


v = 3 sec 2θ - 2 "alta %! para completar eldv = 3sec 2θ . tg 2θ.2 dθ = diferencial y se le opone 1/%!.dv =% sec 2θ . tg 2θ dθ #e aplica$ ∫ dv/v = ln v + c

1 !∫

% !sec 2θ tg 2 θ dθ = 1 . ln 3 sec 2θ - 2! =% 3 sec 2θ - 2 %

ln 3 sec 2θ - 2! + c%

1(" ∫ !ec # #t dt "

√, $tg #t

∫

5 + 3tg 2t!-1/2.sec22t dt

v = 5 + 3tg 2t! "alta %!para completar el diferencial .

dv = 3sec22t!2! dt #e aplica$ ∫9 n d9 + 9

n( c

dv = % sec22t dt n+1

n = - 1/2

1 ! ∫5 + 3tg 2t!-1/2.%!sec22t dt

%

1 ! . 5 + 3tg 2t!-1/2+1 = 5 + 3tg 2t!1/2 = 5 + 3tg 2t!

1/2 + c

% -1/2+1 %1/2! 3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

#0


28/177


Problea!" Pagina #*(

Veri&icar la! Siguiente! Integracione!'

(" ∫ % e$) d) + # e$) c "

% ∫e3x dx .

v = 3x "alta el 3! para completar el diferencial,

dv = 3 dx l)ego se procede a integrar. #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

% 1 ! ∫e3x.3! dx = 2 e3x + c .3 .

#" ∫e).n d) + ne).n c "

v = x/n "alta 1/n completar en el diferencial,

dv = 1/n l)ego se procede a integrar. #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

n! ∫ex/n .1/n! dx = n.ex/n + c .

$" ∫ d) + - ( c "

e) e)

#1


29/177


∫e-x. dx ? v = - x ? dv = - dx

(ara completar el diferencial, le falta el signo -!.

-!∫e

-x

.-! dx = - e

-x

= - 1 + c .ex

*" ∫(5 ) d) + (5) c "

ln (5

v = x El diferencial esta completo, se )sa la f7rm)la$

dv = dx ∫ av dv = a

v + c .

ln a

∫1& x dx = 1&x + c .

ln 1&

," ∫an/ d/ + an/ c "

n ln a

v = ny "alta n! para completar el diferencial.dv = n.dy #e aplica$ ∫ a

v dv = av + c .

ln a

1/n! ∫any.n! dy = . 1 . any

= any + c .

n ln a n ln a

%" ∫e√ ) d) + #e√) c "

√)

∫ e√x . 1 . 1 . dx =√x 2

v = √x "alta 1/2! para completar el diferencial,dv = 1 . dx l)ego se procede a integrar.

2√x #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

#2


30/177


∫ e√x . 1 . 1 . dx = 2! ∫ e√x. 1 .dx = 2e√x + c . √x 2 2√x

0" ∫3e).a e-).a4 d) + a 3e).a - e-).a4 c " v = x/a v = - x/a

∫ex/a dx + ∫e-x/a dx . dv = 1/a dx dv = - 1/a dx

>na ve completado los diferenciales, se integra.

a! ∫ex/a.1/a! dx + - a! ∫e-x/a.- 1/a! dx

a.ex/a - a.e-x/a = a ex/a - e-x/a! + c .

1" ∫3e).a - e-).a4# d)

esarrollando el prod)cto nota'le$ ex/a - e-x/a!2 $

ex/a - e-x/a!2 = ex/a!2 - 2ex/a!e-x/a! + e-x/a!2 .

e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a - 2e0 + e-2x/a .

e2x/a - 21! + e-2x/a = e2x/a - 2 + e-2x/a .

#)stit)yendo $ e2x/a - 2 + e-2x/a en la integral .

∫e2x/a - 2 + e-2x/a dx = ∫e2x/a dx - 2 ∫ dx + ∫e-2x/a dx .

:ompletando el diferencial, antes de integrar $

v = 2x/a v = -2x/a

dv = 2/a dx dv = - 2/a dx

#e aplica en am'as integrales$ ∫ev dv = ev + c .

a/2! ∫e2x/a.2/a! dx - 2 ∫ dx + - a/2! ∫e-2x/a.- 2/a! dx .

$5


31/177


a .e2x/a - 2x - a .e-2x/a = a .e2x/a - e-2x/a - 2x + c .2 2 2

2" ∫) e )# d) + ( "e)# c " #

v = x2 :omo el diferencial esta completo,

dv = 2x dx se procede a integrar.

∫ x ex2 dx = 1 .ex2 + c . 2

(5" ∫e !en ) co! ) d) + e !en ) c "

v = sen x El diferencial esta completo,

dv = cos x dx se procede a integrar.

∫esen x. cos x dx = esen x + c .

((" ∫etg θ !ec #θ dθ "

v = tg θ El diferencial esta completo,dv = sec

2θ dθ se procede a integrar.

∫e tg θ. sec2θ dθ = e tg θ + c .

(#" ∫√et dt + #√et c"

∫

3et

4(.#

dt +∫e

t.#

" dt v = t/2 "alta 1/2! en el diferencial, dv = 1/2 l)ego se procede a integrar.

#e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

3#4 ∫et.#"3(.#4 dt + #et.# c "

($" ∫a) e) d)

$(


32/177


:-5

v = ax ex "alta 1 + ln a! para completar

dv = ax.ex + ex. ax.ln a dx el diferencial, l)ego se procede

dv = ax.ex1 + ln a dx a integrar.

1 . ∫ax ex. 1 + ln a! dx = ax ex + c . 1 + ln a 1 + ln a

$#


33/177


(*" ∫ a#) d) + a#) c "

# ln a

v = 2x "alta 2! para completar el diferencial.

dv = 2 dx #e aplica$ ∫ a9 d9 + a

9 c "

ln a

1 ! ∫ a2x.2! dx = . 1 . a2x = a

2x + c .

2 2 ln a 2 ln a

(," ∫3e,) a,)4 d) + " ( e,) a,) c " , ln a

∫e5x. dx + ∫a5x. dx

:ompletando los diferenciales de am'as integrales.

v = 5x v = 5x

dv = 5 dx dv = 5 dx


1/5! ∫e5x.5! dx + 1/5! ∫a5x.5! dx

. 1 .e5x + . 1 . a5x = 1 e5x + a5x + c .5 5 ln a 5 ln a

$$


34/177


(%" ∫ ,ea) d)

v = ax "alta a! para completar el diferencial,

dv = a dx l)ego se procede a integrar.


5 1 ∫eax.a! dx = 5eax + c . a a

(0" ∫ $ d)

e)

3 ∫e -x. dx

v = - x "alta el signo - ! , para completar el diferencial,

dv = - dx l)ego se procede a integrar.


3 - !∫e

-x

. - ! dx = -3.e

-x

= - 3 + c . e x

(1" ∫ * dt +

√et

∫et!-1/2 dt = 4 - 2! ∫e- t /2. - 1/2! dt =

- * e- t/2 = - * + c .

et /2

(2" ∫ ca) d)

#)ponemos )e $ @c@ de la integral dada es la constante @a@ de

la form)la.

v = ax "alta a! para completar el diferencial,

dv = a dx l)ego se procede a integrar.

$*


35/177


Empleando la f7rm)la$ ∫ av. dv = av + c

ln a

1/a!∫

c

ax

.a! dx = . 1 . c

ax

+ c . a ln c

#5" ∫ d) "

*#)

∫ 4-2x. dx

v = - 2x "alta - 2! , para completar el diferencial,

dv = - 2 dx l)ego se procede a integrar.

>tiliamos la f7rm)la$ ∫av. dv = av + c

ln a

- 1/2! ∫ 4-2x. - 2! dx = .- 1 . 4-2x = - 1 + c .

2 ln 4 2 . ln 4 . 42x

#(" ∫

)# e)$ d)

Ardenando$ ∫ex3. x2 dx

v = x3 "alta 3! para completar el diferencial,

dv = 3x2 dx l)ego se procede a integrar.

#e aplica$ ∫ev. dv = ev + c .

1/3! ∫ ex3 .3! x2 dx = . 1 .ex3 = ex

3 + c

3 3

##" ∫3e) *4 d) e)

∫

ex

dx + 4∫

dx = ∫

dx + 4-!∫e

-x

.-! dx = x - 4e -x

= x - 4 + c .

$,


36/177


ex ex ex

#$" ∫ e) d) e) - #

v = ex - 2 El diferencial esta completo,dv = ex dx aplicamos $ ∫ dv = ln v + c .

v

⇒ ln ex - 2! + c .

#*" ∫) 3e)# #4 d)

∫ex2 + 2! . x dx

∫ex2 . x dx + 2 ∫x dx

v = x2 "alta 2! en la 1ra integral, para completar

dv = 2x dx el diferencial , el 2do integral esta completo.

#e aplica$ ∫ev dv = ev + c , en la 1ra integral .

1/2! ∫e)# .2! x dx + 2 ∫x dx = . 1 . e )# + 2 . x1+1 =

2 1+1

e) # + 2 . x2 = e)# + x2 + c.

2 2 2

#," ∫

3e√ ) - $ 4 d)√)

∫e√x. 1 . dx - 3 ∫ dx .√x √x

v = √x "alta 1/2! para completar el diferencial,dv = . 1 . 1 . dx de la 1

ra integral.

$%


37/177


2 √x #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

2! ∫e√x . 1 . 1 . dx - 3 ∫ x -1/2 dx = 2e√x - 3.x -1/2+1 = 2 √x -1/2+1

2e√x - 3.x1/2 = 2e√x - %x1/2 = 2e√x - % √x + c . 1/2

#%" ∫ t #t#

dt

∫ 2 t#

. t dt

v = t2 "alta 2! para completar el diferencial,

dv = 2t dt l)ego se procede a integrar. #e aplica$ ∫ av. dv = a

v + c

ln a

1/2! ∫ 2 t#

.2! t dt = . 1 . 2t # = 2

t # + c .

2 ln 2 2 ln 2

#0" ∫

a dθ

b$θ

a ∫ '-3θ. dθ

v = - 3θ "alta - 3! para completar el diferencial.dv = - 3dθ #e aplica$ ∫av dv = av/ ln a + c .

a- 1/3!∫

'-3θ. - 3! dθ = - a . '-3 θ = - a + c. 3 ln ' 3 ln '! '3θ

#1" ∫ % ) e - )# d)

escomponiendo el % en 2 factores y ordenando$

3∫e- x2.2x dx

$0


38/177


v = - x2 "alta el signo - ! para completar el diferencial.

dv = - 2x dx #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

3-! ∫e- x2.-!2x dx = - 3e- x2 = - 3 + c .

e x2 #2" ∫ 3e#)4# d)

∫ e4 x dx

v = 4x "alta el 4 para completar el diferencial.

dv = 4 dx . #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

1/4! ∫ e4 x.4! dx = . 1 .e4 x = e 4 x + c . 4 4

$5" ∫ )# d)

e)$

∫ e - )$

. x2 dx

v = = - x3 "alta - 3! para completar el diferencial.

dv = - 3x2 dx #e aplica$ ∫ev dv = ev + c .

- 1 ∫ e - x3 . - 3! x2 dx = - 1 . e

- x3 = - 1 + c .

3 3 3 e x3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

$1


39/177


Problea!" Pagina! #** / #*,


(" ∫ co! ) d) + ( !en ) c "

9 + ) "alta m! para completar el diferencial.

dv = m dx #e aplica$ ∫cos v dv = sen v + c .

1 ! ∫ cos mx .m! dx = 1 sen mx + c .

m m

#" ∫tg b) d) + ( ln !ec b) c "

b

v = 'x "alta '! para completar el diferencial.

dv = ' dx #e aplica$

∫tg x dx = - ln cos v! + c = ln sec v! + c .

1 ! ∫ tg 'x .'! dx = 1 ln sec 'x + c . ' '

$" ∫!ec a) d) + ( ln 3!ec a) tg a)4 c "

a

v = ax "alta a! para completar el diferencial.

dv = a dx >samos la f7rm)la$

∫sec v dv = lnsec v + tg v! + c.

1 !∫

sec ax .a! dx = 1 ln sec ax + tg ax! + c .

$2


40/177


a a

*" ∫c!c 9 d9 + ln tg ( 9 c "

#

ln csc v - cot v! = ln 1 - cos v = ln 1 - cos v =

sen v sen v sen v

ln tg 1 v + c .

2

(or trigonometra $

csc v = 1 ? cot v = cos v ? tg v = 1 - cos v .

sen v sen v 2 sen v

⇒ Esta demostrado $ ∫csc v dv = ln tg 1 v + c .2

," ∫!ec $t tg $t dt + ( !ec $t c "

$

v = 3t "alta 3! para completar el diferencial. #e aplica$

dv = 3 dt∫

sec v tg v dv = sec v + c .

1/3! ∫ sec 3t . tg 3t 3! dt = 1 sec 3t + c .

3

. 1 . sec 3t + c .

3

%" ∫

c!c a/ cot a/ d/ + - ( c!c a/ c

a

v = ay "alta a! para completar el diferencial. #e aplica$

dv = a dy ∫csc v cot v dv = - csc v + c

1/a! ∫csc ay . cot ay. a! dy .

*5


41/177


. 1 . - csc ay = - 1 csc ay + c .

a a

0" ∫c!c# $) d) + - ( cot $) c "

$v = 3x :ompletando el diferencial con 3! .

dv = 3 dx #e aplica$ ∫csc2 v dv = - cot v + c .

1/3! ∫csc2 3x . 3! dx = 1 - cot 3x = - 1 cot 3x + c . + c .

3 3

1" ∫cot ) d)

#

v = 1 x "alta 1/2! para completar el diferencial.

2 #e aplica$

∫cot v dv = ln sen v! + c .

dv = 1 dx

2

2!∫

cot x 1 ! dx = 2 ln sen x ! + c . 2 2 2

2" ∫) !ec# )$ + ( " tg )$ c "

$

Ardenando$ ∫sec x3!2 . x dx = ∫sec2 x3 . x dx

v = x3

"alta 3! para completar el diferencial.dv = 3x

2 dx #e aplica$ ∫sec2 v . dv = tg v + c .

1 . ∫sec x3!2 .3! x dx = 3

1 . tg x3 + c .

3

(5" ∫

d) "

*(


42/177


!en#)

(or


43/177


(ero$ tg2φ = sec2φ - 1 , s)stit)yendo en la integral.∫sec2φ - 2 sec φ tg φ + sec2φ - 1 ! dφ =

∫2sec 2φ - 2 sec φ tg φ - 1 ! dφ =

∫2sec2φ dφ - 2 ∫sec φ tg φ dφ - ∫dφ =

# ∫sec2φ dφ - 2 ∫sec φ tg φ dφ - ∫dφ =

En la 1ra integral aplicamos$ ∫sec2 v dv = tg v + c .

En la 2da integral aplicamos$ ∫sec v tg v dv = sec v + c .

2 tg φ - 2sec φ - φ = 2tg φ - sec φ! - φ + c .

(*" ∫ d) + - cot ) c!c ) c "

( co! )

Cacionaliando$ 1 . 1 + cos x

1 . 1 - cos x = 1 - cos x .

1 + cos x 1 - cos x 1 - cos2x

(ero$ 1 - cos2 x = sen2 x .

∫ 1 - cos x . dx . 0plicando artificios aritmDticos, Em$

sen2x

0plicando artificios aritmDticos, Em$

* - % = * - % ⇒ 1 - cos x = 1 - cos x .2 2 2 sen2 x sen2 x sen2 x

∫ 1 - cos x dx = ∫ dx - ∫ cos x dx =sen2x sen

2x sen2x sen2x

*$


44/177


∫csc2 x dx - ∫sen x!-2. cos x dx =

v = sen x En la 1ra aplicamos$ ∫csc2 v dv = - cot v + c .

dv = cos x dx El diferencial de la 2da integral, esta completo.

∫csc2x dx - ∫sen x!-2. cos x dx = - cot x - sen x!-2+1

=

- 2 + 1

(or


45/177


(%" ∫ !en ! d! + - ln 3( co! !4 c "

( co! !

v = 1 + cos s "alta el signo -! , para completar el diferencial

dv = - sen s ds 0plicamos la f7rm)la $ ∫ dv = ln v + c .

v

-! ∫ sen s -!ds = - ln 1 + cos s! + c .

1 + cos s

(0" ∫ !ec # ) d) +

( tg )

v = 1 + tg x El diferencial esta completo,

dv = sec2 x dx se procede a integrar.

∫sec 2 x dx = ln1 + tg x ! + c . 1 + tg x

(1" ∫) co! )# d) + ( !en )# c "

#

∫cos x2 . x dx =

v = x2 "alta 2! para completar el diferencial.

dv = 2x dx #e aplica$ ∫cos v dv = sen v + c .

2! ∫cos x2 .2!x dx = 1 sen x2 + c .

2

(2" ∫3) !en #)4 d) + (.# 3)# - co! #)4 c "

∫x dx + ∫sen 2x dx =

v = 2x ? dv = = 2 dx

∫x dx + 1 ∫sen 2x .2! dx = x1+1 + 1 - cos 2x =

2 1+1 2

*,


46/177


x2 - cos 2x = 1 x

2 - cos 2x + c .

2 2 2

#5" ∫ !en ) d) + # √* - co! ) c " √* - co! )

∫ sen x dx = 2 √4 - cos x + c . 4 - cos x!1/2

∫4 - cos x !-1/2. sen x dx =

v = 4 - cos x ! El diferencial esta completo,

dv = -- sen x! dx = sen x dx se procede a integrar.

∫4 - cos x !-1/2. sen x dx = 4 - cos x !- 1/2 + 1

=

- 1/2 + 1

4 - cos x !1/2 = 24 - cos x !1/2 = 2 √4 - cos x + c .

1/2

#(" ∫

3( co! )4 d) + ln 3) !en )4 c "

) !en )

v = x + sen x El diferencial esta completo, 0plicamos$

dv = 1 + cos x! dx ∫ dv = ln v + c . v

∫1 + cos x! dx = ln x + sen x! + c .

x + sen x

##" ∫ !ec #θ dθ "

√( #tg θ

∫ sec 2θ dθ . 1 + 2tg θ!1/2

*%


47/177


∫1 + 2tg θ!-1/2. sec2θ dθ .

v = 1 + 2tg θ! "alta 2! para completar el diferencial.dv = 2 sec

2θ dθ

1/2! ∫1 + 2tg θ!-1/2.2! sec2θ dθ .

. 1 1 + 2tg θ!-1/2+1 = 1 + 2tg θ!1/2 = 1 + 2tg θ!1/2 = 2 -1/2+ 1 21/2! 1

√1 + 2tg θ! + c .

#$" ∫

!en #) d) $

v = 2x . "alta 2/3! para completar el diferencial.

3 #e aplica $ ∫sen v dv = - cos v + c .

dv = 2/3 dx

3 ! ∫ sen 2x 2 ! dx = 3 - cos 2x = - 3 cos 2x + c

2 3 3 2 3 2 3

#*" ∫ co! 3b a)4 d)

v = ' + ax! "alta a! para completar el diferencial.

dv = a dx #e aplica $ ∫cos v dv = sen v + c .

. 1 . ∫ cos ' + ax!. a! dx = 1 . sen' + ax! = sen' + ax! + c .

a a a

#," ∫ c!c# 3a - b)4 d) + ∫;c!c 3a - b)4


48/177


' '

cot a - 'x! + c .

'

#%" ∫

!ecθ

tgθ

dθ

# #

v = θ/2 . "alta 1/2! para completar el diferencial, dv = 1/2 . d θ ∫ sec v tg v dv = sec v + c .

2 ! ∫sec θ tg θ 1/2!dθ = 2 sec θ + c .2 2 2

#0" ∫c!c a φ cot a φ d φ

b b

v = a φ "alta a/'! para completar el diferencial, ' #e aplica$ ∫csc v cot v dv = - csc v + c .

dv = a . d φ '

' ∫csc a φ cot a φ . a ! d φ = . ' .- csc a φ = a ' ' ' a '

- ' csc a φ + c. a '

#1" ∫ e) cot e) d)

v = ex El diferencial esta completo,dv = ex dx se procede a integrar.

∫ cot ex . ex dx = ln sen ex! + c .

#2" ∫!ec# # a) d) +

v = 2ax "alta 2a! para completar el diferencial.

*1


49/177


dv = 2a dx

1/2a! ∫sec2 2ax.2a! dx = . 1 .tg 2ax = tg 2a + c . 2a 2a

$5" ∫ tg ) d)

$

v = x/3 . "alta 1/3! para completar el diferencial.

dv = 1/3 dx #e aplica$ ∫tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .

dv = 1 dx l)ego se procede a integrar.

3

3! ∫ tg x 1/3! dx = 3 - ln cos x = 3 ln sec x + c . 3 3 3

$(" ∫ dt "

tg ,t

∫cot 5t dt .

v = 5t "alta 5! para completar el diferencial

dv = 5 dt l)ego se procede a integrar.

1/5! ∫cot 5t dt = 1 ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5

$#" ∫ dθ "

!en#

*θ

(or trigonometria$ 1/sen24θ = csc24θ .∫ dθ = ∫ csc24θ dθ.

sen24θ

v = 4θ "alta 4! para completar el diferencial,dv = 4 dθ l)ego se procede a integrar.

*2


50/177


∫ csc24θ dθ = 1 - cot 4θ = - cot 4θ + c . 4 4

$$" ∫

d/ " cot 0/

∫tg y dy =

v = y "alta 4! para completar el diferencial,

dv = dy l)ego se procede a integrar.

#e aplica$ ∫tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c .

1/! ∫tg y .! dy = 1 - ln cos y = - ln cos y =

1 ln cos y + c .

$*" ∫ !en √) d)

√)

v = √x "alta 1 para completar el diferencial,dv = 1 . dx 2

2√x l)ego se procede a integrar.

2 2! ∫ sen √x dx . 1 . 1 . dx = 2 - cos √x ! = - 2 cos √x + c . 2 √x

$," ∫ dt "

!en# $t

∫csc2 3t dt


dv = 3 dt #e aplica$ ∫csc2 v dv = - cot v + c .

,5


51/177


1/3! ∫csc23t .3! dt = 1 - cot 3t ! = - cot 3t + c . 3 3

$%" ∫ dφ "

co! *φ

(or


52/177


1/2! ∫sec 2θ .2!dθ - 2! ∫csc θ . 1 .!dθ . 2 2

1 ln sec 2θ + tg 2θ ! - 2 ln csc θ - cot θ + c .

2 2 2

$2" ∫ 3tg φ !ec φ4# dφ

∫tg2φ + 2 tg φ sec φ + sec2φ dφ

(or


53/177


*#" ∫3 !ec t - (4# dt "

∫ sec2 t - 2 sec t + 1! dt .

∫sec2 t dt - 2 ∫sec t dt + ∫ dt .

tg t - 2 ln sec t + tg t! + t + c .

*$" ∫ 3( - c!c /4# d/ "

∫1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y! dy = ∫1 - 2 csc y + csc2 y! dy .

∫ dy - 2∫csc y dy + ∫csc2 y dy .

y - 2ln csc y - cot y! - cot y + c .

**" ∫ d) "

( - co! )

Cacionaliando$ 1.

1 - cos x!

1 1 + cos x = 1 + cos x = 1 + cos x = 1 - cos x 1 + cos x 12 - cos2 x sen2 x

1 + cos x = csc2 x + cos x .

sen2 x sen2 x sen2 x

∫ csc2 x + ∫ cosx dx = ∫ csc2 x + ∫sen x! -2 . cosx dx =

sen2 x

- cot x + sen x!-2+1 = - cot x + sen x!-1 = - cot x - sen x!

-1 =-2+1 -1

- cot x - 1 = - cot x - csc x = - cot x + csc x! + c .

sen x

,$


54/177


*," ∫ d) "

( - !en )

Cacionaliando$

1 1 + sen x = 1 + sen x = 1 + sen x . 1 - sen x 1 + sen x 1 - sen2 x cos2 x

∫ 1 + sen x dx = ∫ 1 dx + ∫ sen x dx . cos2 x cos2 x cos2 x

∫sec2 x dx + ∫ cos x!-2 . sen x dx = tg x - cos x!-2+1 =

- 2 + 1

tg x - cos x!-1 = tg x + 1 = tg x + sec x + c . -1 cos x

*%" ∫ !en #) d) "

$ co! #)

v = 3 + cos 2x "alta -2! para completar el diferencial,

dv = - 2 sen 2x dx se aplica$ ∫ dv = ln v + c .

v

-1 ! ∫ -2! sen 2x dx = - 1 ln 3 + cos 2x! + c .

2 3 + cos 2x 2

*0" ∫

co! t dt " √a b !en t

∫ cos t dt = ∫a + ' sen t!-1/2 .cos t dt =

a + ' sen t!1/2

v = a + ' sen t! "alta '! para completar el diferencial,

dv = ' cos t dt #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c .

n + 1

,*


55/177


1 .∫a + ' sen t!-1/2.'!cos t dt = a + ' sen t!-1/2+1 = a + ' sen t!

1/2 =

' '!-1/2 + 1! 1/2 '!

a + ' sen t!1/2

1 = 2 a + ' sen t!1/2 = 2 √a + ' sen t! + c . ' ' '

2

*1" ∫ c!c θ cot θ dθ

, - * c!c θ

v = 5 - 4 csc θ "alta - 4! para completar el diferencial, dv = - 4 csc θ cot θ dθ #e aplica$ ∫ dv = ln v + c .

v

- 1 ! ∫ - 4! .csc θ cot θ dθ 4 5 - 4 csc θ

- 1 ln 5 - 4 csc θ! + c .

4

*2" ∫ c!c # ) d) "

√$ - cot )

∫ csc 2 x dx = ∫3 - cot x!-1/2. csc2 x dx

3 - cot x!1/2

v = 3 - cot x El diferencial esta completo.dv = csc

2x dx #e aplica$ ∫vn dv = vn+1 + c .

n+1

3 - cot x!-1/2+1 = 3 - cot x!1/2 = 23 - cot x!

1/2 =-1/2 + 1 1/2

2 √3 - cot x! + c .

,,


56/177


,5" ∫ √, #tg ) d) co!# )

∫ √5 + 2tg x . 1 . dx = ∫ √5 + 2tg x . sec2 x dx

cos2

x

∫ 5 + 2tg x!1/2 . sec2 x dx .

v = 5 + 2tg x! "alta 2! para completar el diferencial,

dv = 2 sec2x dx #e aplica$ ∫vn dv = v

n+1 + c .

n+1

1 !∫

5 + 2tg x!1/2

.2! sec2

x dx = . 1 . 5 + 2tg x!1/2+1

= 2 2 1/2 + 1

5 + 2tg x!3/2 = 5 + 2tg x!3/2 = √5 + 2tg x!3 =

23/2! 3 3

√5 + 2tg x!2 .5 + 2tg x! = 5 + 2tg x! √5 + 2tg x! + c .3 3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Problea!" Pagina #*1 / #*2


(" ∫ d) "

)# 2

∫ dx .

x2 + 32

v = x El diferencial esta completo, se aplica$

,%


57/177


dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .

a = 3 v2 + a2 a a

∫ dx = 1 .arc tg x + c .

x2 + 32 3 3

#" ∫ d) "

)# - *

∫ dx .

x2 - 22

v = x El diferencial esta completo, se aplica$dv = dx ∫ dv = 1 . ln v - a + c .

a = 2 v2 - a2 2a v + a

∫ dx = 1 . ln x - 2 = 1 ln x - 2 + c .

x2 - 22 22! x + 2 4 x + 2

$" ∫ d/ "

√#, - /#

v = y El diferencial esta completo. #e aplica$

dv = dy ∫ dv = arc sen v + c .

a = 5 √a2 - v2 a∫ dy = arc sen y + c .

√52 - y2 5

*" ∫

d! " √!# - (%

∫ ds .

√s2 - 42

v = s El diferencial esta completo.

dv = ds #e aplica$ ∫ dv = ln v + √v2 - a2 + c .

a = 4 √v2 - a2

,0


58/177


∫ ds = ln s + √s2 - 1% + c . √s2 - 42

," ∫

d) " 2)# - *

v = 3x "alta 3! para completar el diferencial

∫ dv . dv = 3 dx #e aplica$ ∫ dv = 1 . ln v - a + c .

3x!2 - 22 a = 2 v2 - a2 2a v + a

1 ! ∫ 3! dx = 1 1 ln 3x - 2 = 1 .ln 3x - 2 + c .

3 3x!2

- 22

3 22! 3x + 2 12 3x + 2

%" ∫ d) "

√(% - 2)#

∫ dx .

√42 - 3x!2

v = 3x "alta 3! para completar el diferencial.dv = 3 dx #e aplica$ ∫ dv = arc sen v + c . a = 4 √a2 - v2 a

1 ! ∫ 3! dx = 1 .arc sen 3x + c .

3 √42 - 3x!2 3 4

0" ∫ d) "

2)# - (

∫ dx .

3x!2 - 12

v = 3x "alta 3! para completar el diferencial. #e aplica$

dv = 3 dx ∫ dv = 1 . ln v - a . a = 1 v

2 - a2 2a v + a

,1


59/177


∫ dx = 1 . 1 . ln 3x - 1 = 1 ln 3x - 1 + c .

3x!2 - 12 3 12! 3x + 1 % 3x + 1

1" ∫

dt " * - 2t#

∫ dt .

22 - 3t!2


dv = 3 dt ∫ dv = 1 .ln v - a + c .

a = 2 v2

- a2

2a v + a

1 ! ∫ 3! dt = 1 . 1 . ln 2 + 3t = 1 .ln 2 + 3t + c .

3 22 - 3t!2 3 22! 2 - 3t 12 2 - 3t

2" ∫ e) d) ( e #)

∫

ex dx . 12 + e x!2 v = e x El diferencial esta completo.

dv = e x dx #e aplica$ ∫ dv = 1 arc tg v + c .a = 1 a

2 + v2 a a

∫ ex dx = 1 .arc tg e x = arc tg e x + c . 12 + e x!2 1 1

(5" ∫ co! θ dθ

* - !en#

θ

∫ cos θ dθ .22 - sen θ!2

v = sen θ El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = cos θ dθ ∫ dv = 1 . ln a + v + c .a = 2 a

2 - v2 2a a - v

,2


60/177


∫ cos θ dθ = 1 ln 2 + sen θ = 1 ln 2 + sen θ + c .22 - sen θ!2 22! 2 - sen θ 4 2 - sen θ

((" ∫

b d) "a#)# - c#

∫ ' dx .

ax!2 - c2

v = ax "alta a! para completar el diferencial.

dv = a dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .

a = c v2

- a2

2a v + a

1 !'!∫ a! dx = ' . 1 . ln ax - c = ' . ln ax - c + c .

a ax!2 - c2 a 2c! ax + c 2ac ax + c

(#" ∫ ,) d) "

√( - )*

∫ 5x dx .

√12 - x2!2

v = x2 "alta 2! para completar el diferencial. #e aplica$

dv = 2x dx ∫ dv = arc sen v + c .

a = 1 √a2 - v2 a

5!∫

2!x dx = 5 .arc sen x = 5 arc sen x + c 2 √12 - x2!2 2 1 2

($" ∫ a) d) "

)* b*

∫ ax dx .

x2!2 + '2!2

%5


61/177


v = x2 "alta 2! para completar el diferencial. #e aplica$

dv = 2x dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .

a = '2 v2 + a2 a a

a ! ∫ 2! ax dx = a . 1 . arc tg x2 = a arc tg x

2 + c

2 x2!2 + '2!2 2 '2 '2 2'2 '2

(*" ∫ dt "

3t - #4# 2

∫ dt =

t - 2!2

+ 32

v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dt ∫ dv = 1 . arc tg v + c .

a = 3 v2 + a2 a a

1 . arc tg t - 2 + c .

3 3

(," ∫ d/ "

√( a#/#

v = ay "alta a! para completar el diferencial, se aplica$

dv = a dy ∫ dv = ln v + √a2 + v2 + c . a = 1 √a2 + v2

1∫

a! dy = 1 .∫

a! dy = 1 ln ay + √1 + a2

y2

+ c . a √1 + ay!2 a √ay!2 + 12 a

(%" ∫ du "

√* - 3u $4#

∫ d) .

√22 - ) + 3!2

%(


62/177


v = ) + 3 El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = d) #e aplica$ ∫ dv = arc sen v + c .

a = 2 √a2 - v2 a

∫

d) = arc sen ) + 3 + c . √22 - ) + 3!2 2

(0" ∫ d) "

√2 - (%)#

∫ dx .

√32 - 4x!2

v = 9 - 1%x2 "alta 4! para completar el diferencial, se aplica$

dv = 4 dx ∫ dx = arc sen v + c .

a = 3 √a2 - v2 a

1 ! ∫ 4!dx = 1 . arc sen 4x + c .

4 √32 - 4x!2 4 3

(1" ∫

d/ " √2/# *

∫ dy .

√3y!2 + 22

v = 3y "alta 3!para completar el diferencial.

dv = 3 dy #e aplica$∫

dv = ln v + √v2 + a2 + c. a = 2 √v2 + a2

1 ! ∫ 3! dy = 1 . ln 3y + √3y!2 + 22 =3 √3y!2 + 22 3

ln 3y + √9y2 + 4 + c3

%#


63/177


(2" ∫ dt "

*t# #,

∫ dt .

2t!2

+ 52

v = 2t "alta 2! para completar el diferencial, se aplica$

dv = 2 dt ∫ dv = ln v + √v2 + a2 + c.a = 5 √v2 + a2

1 ! ∫ 2!dt = 1 . arc tg 2t + c .

2 2t!2 + 52 5 5

#5" ∫ d) "

#,)# - *

∫ dx .

5x!2 - 22

v = 5x "alta 5! para completar el diferencial, se aplica$

dv = 5 dx∫

dv = 1 ln v - a . + c . a = 2 v

2 - a2 2a v + a

1 ! ∫ 5! dx = 1 1 ln 5x - 2 = 1 ln 5x - 2 + c

5 5x!2 - 22 5 22! 5x + 2 2& 5x + 2

#(" ∫ 0 d) .

$ 0)#

∫

dx . √3!2 + √.x!2

v = √. x "alta ! para completar el diferencial, se aplica$dv = √ dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .a = √3 a2 + v2 a a

1 ! ∫ √ dx = 1 1 arc tg √.x =

%$


64/177


√ √3!2 + √.x!2 √ √3 √3

1 arc tg √.x + c .√21 √3

√21 . arc tg √. √3.x = √21 arc tg √21. x + c .√21.√21 √3. √3 21 3

##" ∫ $ d/ "

2/# - (%

∫ 3 dy .

3y!

2

- 4

2

v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = 3 dy #e aplica$ ∫ dv = 1 . ln v - a

a = 4 v2 - a2 2a v + a

∫ 3 dy = 1 . ln 3y - 4 = 1 ln 3y - 4 = ln 3y - 41/* + c .

3y!

2

- 4

2

24! 3y + 4 * 3y + 4 3y + 4

#$" ∫ d! .

√*!# ,

∫ ds .

√2s!2 + √5!2

v = 2s "alta 2! para conmpletar el diferencial, se aplica$

dv = 2 ds ∫ dv = ln v + √v2 + a2 + c .a = √5 √v2 + a2

1 ! ∫ 2!ds = 1 ln 2s + √4s2 + 5!6 + c .2 √2s!2 + √5!2 2

%*


65/177


#*" ∫ t dt "

√t* - *

∫ t dt .

√t2

!2

- 2!2

v = t2 "alta 2! para completar el diferencial, se aplica$

dv = 2t dt ∫ dv = ln v + √v2 - a2 + c .a = 2 √v2 - a2

1 !∫

2!t dt = 1 ln t2

+ √t4

- 4!6 + c . 2 √t2!2 - 2!2 2

#," ∫ ) d) "

√,)# $

∫5x2 + 3!-1/2. x dx .

v = 5x2

+ 3 "alta 1&! para completar el diferencial, se aplica$dv = 1&x dx ∫ v

n dv = vn+1 + c .

n = -1/2

1 . ∫ 5x2 + 3!-1/2.1&! x dx = 1 . 5x2 + 3!-1/2+1 =

1& 1& -1/2+1

5x 2 + 3!1/2 = √5x2 + 3 + c .

1&1/2! 5

#%" ∫ #е) d) " √( - е#)

∫ 2еx dx . √12 - еx!2

%,


66/177


v = еx El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = еx dx #e aplica$ ∫ dv = arc sen v + c .a = 1 √a2 - v2 a

2∫

еx

dx = 2 arc sen еx

= 2 arc sen еx

+ c .√12 - еx!2 1

#0" ∫ %t dt "

1 - $t#

v = * - 3t2 "alta el signo -! para completar el diferencial,

dv = - %t dt se )sa la f7rm)la$∫

dv = ln v + c . v

-!∫ -! %t dt = - ln * - 3t2! + c .

* - 3t2

#1" ∫ !en θ "

√* co!#θ

∫ sen θ dθ . √22 + cos θ!2

v = cos θ "alta el signo -! para

dv = - sen θ dθ completar el diferencial.a = 2

#e aplica$∫

dv = ln v + √a2 + v2 + c .√a2 + v2

3-4 ∫ -!sen θ dθ = - ln cos θ + √4 + cos2θ + c . √22 + cos θ!2

#2" ∫ d) "

#

3) n4

#

%%


67/177


v = x + n El diferencial esta completo, se procede a integrar.

dv = dx #e aplica$ ∫ dv = 1 . arc tg v + c .

a2 + v2 a a

∫ dx = 1 . arc tg x + n + c

m2 + x + n!2 m m

$5" ∫ du "

* - 3#u - (4#

∫ d) .

22

- 2) - 1!2

v = 2) - 1 "alta el 2! para completar el diferencial, se aplica$

dv = 2 d) ∫ dv = 1 . ln a + v + c .

a = 2 a2 - v2 2a a - v

1 ! ∫ 2! d) = 1 . 1 . ln 2 + 2) - 1! =

2 22 - 2) - 1!2 2 2.2 2 - 2) - 1!

1 . ln 2 + 2) - 1 = 1 . ln 1 + 2) + c .

* 2 - 2) + 1 * 3 - 2)

$(" ∫ 0)# d) .

, - )%

Faciendo c)adrado perfecto al 5 ,y l)ego le extraemos la rai

c)adrada y lo elevamos al c)adrado$

∫ x2 dx .

√5!2 - x3!%

v = x3 "alta 3! para completar el diferencial, el ! se

dv = 3x2 dx coloca f)era de la integral. #e aplica$

a = √5 ∫ dv = 1 . ln a + v + c .

a

2

- v

2

2a a - v

%0


68/177


. 1 ! ∫ 3!x2 dx = . 1 . ln √5 + x 3 = . ln √5 + x 3 + c3 √5!2 - x3!% 3 2.√5 √5 - x3 %√5 √5 - x3

. √5 . ln √5 + x 3 = . √5 . ln √5 + x 3 =% √5. √5 √5 - x3 % . 5 √5 - x3

. √5 . ln √5 + x 3 + c . 3& √5 - x3

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫Problea!" Pagina #,5 = #,( / #,#"


(" ∫ d) "

)# *) $

Factori6ar el denoinador / >acerlo trinoio cuadrado ?er&ecto'

(rimero dividimos para 2! al coeficiente del 2do tDrmino , y

l)ego al res)ltado lo elevamos al c)adrado. 4/2 = 2 ? 22 = 4 .

G)ego$ s)mamos y restamos @4@ a $ x2 + 4x + 3.

x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 .

x2 + 4x + 4, es )n trinomio c)adrado perfecto$ x + 2!2.


69/177


∫ dx = ∫ dx .

x2 + 4x + 3 x + 2 !2 - 12

v = x + 2 !

dv = dx El diferencial esta completo.

a = 1

∫ dx = 1 . ln x + 2 - 1 = ( ln ) ( c .

x + 2 !2 - 12 2.1 x + 2 + 1 # ) $

Nota.-


70/177


x2 - *x + 1% - 1% + 25 = x2 - *x + 1% + 9 = x - 4!

2 + 326

∫ 3 dx .

x - 4!2 + 326

v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica$ dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c .

a = 3 v2 + a2 a a

3!∫ 3 dx = 3 . 1 . arc tg x - 4 = arc tg ) - * c .

x - 4!2 + 326 3 3 $

*" ∫ d) "

√$) - )#

- #

3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - x

2 - 3x + 2! ? 3 ? 3 2 = 9 . 2 2 4

- x2 - 3x + 2! = - x2 - 3x + 9 - 9 + 2! = - x - 3 !

2 - 9 + * 6 = 4 4 2 4 4

= - x - 3 !2 - 1 = - x - 3 !

2 - 1 2 = 12 - x - 3 !2

2 4 2 2 2 2

∫ dx .

√ I 2 - x - 3/2 2

v = x - 3/2 Esta completo el diferencial. #e aplica$

dv = dx ∫ dv = arc sen v + c .

a = 1/2 √a2 - v2 a

2x - 3

= arc sen x - 3/2 = arc sen 2 = arc !en 3#) - $4 c "

I I

," ∫ d9 "

9# - %9 ,

v2 - %v + 5 ? % = 3 ? 32 = 9

05


71/177


2

v2 - %v + 5 = v2 - %v + 9 - 9 + 5 = v - 3!

2 - 4 = v - 3!2 - 22 =

#)stit)yendo este valor en la integral$

∫

dv "

v - 3!2 - 22

v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la f7rm)la$

dv = dv ∫ dv = 1 . ln v - a + c .

a = 2 v2 - a2 2a v + a

∫ dv = 1 . ln v - 3 - 2 = ( " ln 9 - , c .

v - 3!2 - 22 2.2 v - 3 + 2 * 9 - (

%" ∫ d) "

#)# - #) (

2x2 - 2x + 1 = 2x2 - x + 1 ! ? 1 ? 1 2 = 1 .

2 2 2 4

2x2 - x + 1 - 1 + 1 ! = 2 x - 1 !2 - 1 + 1 = 2x - 1 !

2 - 1 + 2

4 4 2 2 4 2 2 4 4

2x - 1 !2 + 1 = 2x - 1 !2 + 12

2 4 2 22

El factor 2! por estar en el denominador, sale f)era de laintegral como 1/2 .

∫

dx = 1 .∫

dx = 2x - 1 !2 + 12 2 x - 1 !2 + 12

2 22 2 22

v = x - 1/2 El diferencial esta completo. #e aplica$


a = 1/2 v2 + a2 a a

x - 1 .

1 . 1 ∫ dx = 1 . 2 .arc tg 2 =

0(


72/177


2 1 x - 1 !2 + 12 2 1 .

2 2 22 2

2x - 1

2 arc tg 2 = arc tg 3#) - (4 c "

2 1 . 2

0" ∫ d) "

√(, #) - )#

15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - x

2 - 2x - 15 ! ? 2 = 1 ? 12

= 1 2

x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ! = - x - 1!2 - 1% = - x - 1!2 - 42 6 =

42 - x - 1!26. #e reemplaa este valor en la integral.

∫ dx = ∫ dx =

√15 + 2x - x2 √42 - x - 1!2

v = x - 1 El diferencial esta completo,se )sa la f7rm)la$

dv = dx∫

dv = arc sen v + c .a = 4 √a2 - v2 a

arc !en ) - ( c "

*

1" ∫ d) "

)# #)

x2 + 2x ? 2/2 = 1 ? 12 = 1 . #e s)ma y resta 1 a$ x

2 + 2x .

x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = x + 1!

2 - 16 = x + 1!2 - 126 .

∫ dx .

x + 1!2 - 12

v = x + 1 El diferencial esta completo. #e )sa la f7rm)la$

0#


73/177


dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .

a = 1 v2 - a2 2a v + a

∫ dx = 1 ln x + 1 - 1 = ( ln ) c "

x + 1!

2

- 1

2

2.1 x + 1 + 1 # ) #

2" ∫ d) "

*) - )#

4x - x2 = - x2 + 4x = - x

2 - 4x!

4 = 2 ? 22 = 4

2

= - x2 - 4x + 4 - 4! = = - x - 2!2 - 4 = - x - 2!2 - 22 =

22 - x - 2!2

∫ dx .

22 - x - 2!2

v = x - 2 El diferencial esta completo,se )sa la f7rm)la$

dv = dx∫

dv = 1 . ln a + v + c .

a = 2 a2 - v2 2a a - v

1 ln 2 + x - 2 = 1 ln x = ( ln ) c .

2.2 2 - x - 2! 4 2 - x + 2 * * - )

(5" ∫ d) "

√#) - )#

2x - x2 = - x2 + 2x = - x

2 - 2x ! ? 2 = 1 ? 12 = 1

2

-x2 - 2x + 1 - 1! = -x - 1!2 - 1 = -x - 1!

2 - 12 = 12 - x -1!2

∫ dx .

√12 - x -1!2

0$


74/177


v = x - 1 Esta completo el diferencial, se )sa la f7rm)la$

dv = dx ∫ dv = arc sen v + c .

a = 1 √a2 - v2 a

arc sen x - 1 = arc !en 3) - (4 c " 1

((" ∫ d! .

√#a! !#

2as + s2 = s2 + 2as . 2a = a ? a

2 = a2

2

s2 + 2as + a2 - a2 = s + a!2 - a2 = s + a!

2 - a2

∫ ds .

√s + a!2 - a2

v = s + a El diferencial esta completo, se aplica$

dv = ds ∫ dv = ln v + √v2 - a2!6 + c .

a = a √v2

- a

2

ln ;3! a4 √73! a4# - a#8 < c "

(#" ∫ d/ "

/# $/ (

y2 + 3y + 1 . 3 ? 32 = 9 .

2 2 4

y2 + 3y + 9 - 9 + 1 = y + 3 !2 - 9 + 4 = y + 3 !

2 - 5

4 4 2 4 4 2 4

y + 3 !2 - √5 2 = y + 3 !2 - √5 22 √4 2 2

∫ dy . v = y + 3/2 El diferencial esta

0*


75/177


y + 3/2 !2 - √5/2!2 dv = dy completo, se aplica ' a = √5/2 ∫ dv = 1 ln v - a + c

v2 - a2 2a v + a

y + 3 - √5 2y + 3 - √5.

. 1 . ln 2 2 = 1 ln 2 =2.√5 y + 3 + √5 √5 2y + 3 + √5 .

2 2 2 2 .

( ln #/ $ - √, c " √, #/ $ √,

($" ∫ d/ "

( ) )#

1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ? 1 2 = 1 .

2 2 4

= x2 + x + 1 - 1 + 1 = x + ½!2 - 1 + 4 =

4 4 4 4

x + ½!2 + ¾ = x + ½!2 + √¾ !2 = x + ½!2 + √3/2!2.

∫ dy =x + ½!2 + √3/2!2 .

v = x + 1/2 El diferencial esta completo.


a = √3/2 v2 + a2 a a

x + 1 .

∫ dy = 1 arc tg 2 = x + ½!2 + √3/2!2 √3 . √3 .

2 2

2x + 1 . 2 arc tg 2 = # arc tg #) ( c

0,


76/177


√3 √3 √$ √$ . 2

(*" ∫ d) "

√( ) )#

1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1 ? 1

2 = 1 .

2 2 4

x2 + x + 1 - 1 + 1 = x + I!2 - 1 + 4 = x + I!

2 + J .

4 4 4 4

x + I!2 + √3 2 = x +I!2 + √3 2 = x + I!2 + √3/2!2 √4 2

∫ dx .

√x + I!2 + √3/2!2

v = x + 1/2 Esta completo el diferencial.

dv = dx #e aplica $ ∫ dv = ln v + √v2+a2 + c.a = √3/2 √v2+a2

ln x + ½ + √x + I!2 + √3/2!2 =

ln ;) ½ √3( ) )#4< c "

(," ∫ d) .

*)# *) ,

4x2 + 4x + 5 = 4x2 + x + 5 ! . 1 ? 12 = 1 .

4 2 22 4

4x2 + x + 1 - 1 + 5 ! = 4x2 + x + 1 + 4 ! =

4 4 4 4 4

4x + I!2 + 1 = 4 x + I!2 + 12 .

0%


77/177


El factor 4! sale como ¼ f)era de la integral

1 ∫ dx .

4 x + 1 !2 + 12.

2

v = x + 1/2 El diferencial esta completo$

dv = dx #e aplica$ ∫ dv = 1 arc tg v + c a = 1 v

2 + a2 a a

1 . 1 arc tg x + ½ = ( arc tg 3#) (4 c " 4 1 1 * #

(%" ∫

d) "

$)# - #) *

2 .3x2 - 2x + 4 = 3x

2 - 2/3x + 4/3!. 3 = 2 = 1 ? 12 = 1 .

2 % 3 3 9

1

3x2 - 2/3x + 1/9 - 1/9 + 4/36 = 3x - 1/3!2 - 1/9 + 12/96 =

3x - 1/3!2 + 11/96 = 3x - 1/3!2 + √11/√9!2 =

3x - 1/3!2 + √11/3!2El factor 3! del denominador, sale como 1/3 f)era de la integral .

∫ dx = 1 ∫ dx .

3x - 1/3!2 + √11/3!2 3 x - 1/3!2 + √11/3!2

v = x - 1/3 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = 1 arc tg v + c . a = √11/3 v2 + a2 a a

x - 1 3x - 1 . 1 . 1 . arc tg 3 = 1 arc tg 3 =

3 √11 √11 √11 √11 . .

00


78/177


3 3 3 .

( " arc tg $) - ( c "

√(( √(( .

(0" ∫

d) "

√# - $) - *)#

2 - 3x - 4x2 = - 4x2 - 3x + 2 = - 4x

2 + J x - 2/4! ,

J = ⅜ ? ⅜!2 = 9/%4 2

- 4x2 + J x + 9/%4 - 9/%4 - 2/4! = - 4x + ⅜!2 - 9/%4 - 32/%46

- 4x + ⅜!2 - 41/%46 = - 4x + ⅜!2 - √41/√%4!26

- 4x + ⅜!2 - √41/*!26 = 4√41/*!2 - x + ⅜!26 =

0l factor 4! se le extrae la rai c)adrada y sale f)era de la integral como I

∫

dx =∫

dx = √4√41/*!2 - x + ⅜!26 √4 . √√41/*!2 - x + ⅜!26∫ dx = 1 ∫ dx =

2a√√41/*!2 - x + ⅜!26 2 √√41/*!2 - x + ⅜!26

v = x + ⅜ El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx #e aplica $ ∫ dv = arc sen v + c .

a = √41/* √a2 - v2 a

*x + 3 .

. 1 arc sen x + ⅜ = 1 arc sen * + c . 2 √41/* 2 √41 .

*

( arc !en 1) $ c .

# √*(

01


79/177


(1" ∫ d) "

)# #) (5

x2 + 2x + 1& , 2/2 = 1 ? 12 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 + 1& = x + 1!2 - 1 + 1& = x + 1!

2 + 9 =

x + 1!2 + 32 . #)stit)yendo este valor en la integral.

∫ dx .

x + 1!2 + 32

v = x + 1 El diferencial esta completo. #e aplica$


a = 3 v2 + a2 a a

∫ dx = ( arc tg ) ( c .

x + 1!2 + 32 $ $

(2" ∫ d) "

)

#

#) - $

x2 + 2x - 3 . 2/2 = 1? 12 = 1

x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = x + 1!

2 - 4 = x + 1!2 - 22

∫ dx .

x + 1!2 - 22

v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = 1 ln v - a + c .

a = 2 v2 - a2 2a v + a

1 ln x + 1 - 2 = ( ln ) - ( c .

2 . 2 x + 1 + 2 * ) $

#5" ∫ d/ "

$ - #/ - /#

02


80/177


3 - 2y - y2 = - y2 - 2y + 3 = - y

2 + 2y - 3 ! .

2/2 = 1 ? 12 = 1

- y2 + 2y + 1 - 1 - 3! = - y + 1!2 - 1 - 36 =-y

+ 1!2 - 46

- y + 1!2 - 22 6 = 22 - y + 1 !2. #)stit)yendo en la integral.

∫ dy .

22 - y + 1 !2

El diferencial esta completo, se aplica$

v = y + 1 ∫ dv = 1 ln a + v + c .

dv = dy a2 - v2 2a a - v

a = 2

1 ln 2 + y + 1 = 1 ln 3 + y = ( ln $ / c "

22! 2 - y + 1! 4 2 - y - 1 * ( - /

#(" ∫ $ du "

√, - *u - u#

5 - 4) - )2 = - )2 - 4) + 5 = - )

2 + 4) - 5! .

4/2 = 2 ? 22 = 4

- )2 + 4) + 4 - 4 - 5! = - ) + 2 !2 - 4 - 5 = - )

+ 2 !2 - 9

- ) + 2 !2 - 32 = 32 - ) + 2 !2 .#e reemplaa en la integral.

∫ 3 d) .

√32 - ) + 2 !2

v = ) + 2 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = d) ∫ dv = arc sen v + c .

a = 3 √a2 - v2 a

15


81/177


∫ 3 d) = 3 ∫ d) = $ arc !en u # c "

√32 - ) + 2 !2 √32 - ) + 2 !2 $

##" ∫

, d) " √)# #) ,

x2 + 2x + 5 . 2/2 = 1? 12 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = x + 1!2 - 1 + 5 = x + 1!

2 + 4 .

x + 1!2 + 22 . #)stit)yendo este res)ltado en la integral.

∫ 5 dx .

√x + 1!2 + 22 v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 + a2! + c .a = 2 √v2 + a2

ln x + 1 + √x + 1!2 + 22 = ln ;) ( √3)# #) ,4< c "

#$" ∫ d) "

√)# *) $

x2 + 4x + 3 . 4/2 = 2 ? 22 = 4

x2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x + 2!2 - 4 + 3 = x + 2!

2 - 1 .

x + 2!

2

- 1

2

. Este res)ltado se reemplaa en la integral. ∫ dx . v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica$

√x + 2!2 - 12 dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 - a2 6 + c . a = 1 √v2 - a2

ln ; ) # √73) #4# - (#8 < c "

#*" ∫ d) "

1(


82/177


√)# #)

x2 + 2x . 2/2 = 1 ? 12 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 = x + 1!2 - 1 = x + 1!

2 - 12.#)stit)yendo este valor en la integral

∫ dx . √x + 1!2 - 12

v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 - a2! 6 + c .a = 1 √v2 - a2

ln ;) ( √73) (4# - (#8 < c "

#," ∫ dt "

√$t - #t#

3t - 2t2 = - 2t2 + 3t = -2t

2 - 3/2.t! .

3/2 = ¾ ? ¾!2 = 9/1% 2

-2t2 - 3/2.t + 9/1% - 9/1%! = -2t - ¾!2 - 9/1%!6 =

29/1% - t - ¾!26 = 23/4!2 - t - ¾!26 .

∫ dt = ∫ dt = √2¾!2 - t - ¾!26 √2!.√ ¾!2 - t - ¾!26

1 ∫ dt "

√2 √¾!2 - t - ¾!26

v = t - ¾ El diferencial esta completo, se aplica$ dv = dt ∫ dv = arc sen v + c .

a = ¾ √a2 - v2 a

1#


83/177


4t - 3!

1 arc sen t - ¾ = 1 arc sen 4 = 1 arc sen 4t - 3 + c . √2 ¾ √2 3 √2 3 4

#%" ∫ d) "

)# - *) ,

x2 - 4x + 5 . 4/2 = 2 ? 22 = 4

x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 - 4 + 5 = x - 2!

2 - 4 + 5 =

x - 2!2 + 12 .#)stit)yendo este valor en la integral. ∫ dx . x - 2!2 + 1

v = x - 2 El diferencial esta completo, se aplica$


a = 1 v2 + a2 a a

1 arc tg x - 2 = arc tg 3) - #4 c "

1 1

#0" ∫ d) "

# #) - )#

2 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 2 = - x

2 - 2x - 2! .

2/2 = 1 ? 12 = 1

-x2 - 2x - 2! = -x2 - 2x + 1 - 1 - 2! = -x - 1!

2 - 1 - 26 =

-x - 1!2 - 36 = -x - 1!2 - √3!26 = √3!2 - x - 1!2 .

∫ dx .

√3!2 - x - 1!2

v = x - 1 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = 1 ln a + v + c .

a = √3 a2 - v2 2a a - v

1$


84/177


1 ln √3 + x - 1 = ( ln √$ ) - ( c " 2√3 √3 - x - 1! #√$ √$ - ) (

#1" ∫ dr "

r# - #r - $

r 2 - 2r - 3 . 2 = 1 ? 12 = 1

2r 2 - 2r - 3 = r

2 - 2r + 1 - 1 - 3 = r - 1!2 - 1 - 3 = r - 1!

2 - 4 = r - 1!2 - 22

#)stit)yendo este valor en la integral. ∫ dr .

r - 1!2 - 22

v = r - 1 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dr∫

dv = 1 ln v - a + c .

a = 2 v2 - a2 2a v + a

1 . ln r - 1 - 2 = ( ln r - $ c "

2 . 2 r - 1 + 2 * r (

#2" ∫ * d) "

√)# - *) ($

x2 - 4x + 13 . 4/2 = 2 ? 22 = 4

x2 - 4x + 13 = x2 - 4x + 4 - 4 + 13 = x + 2 !

2 - 4 + 13 =

x + 2 !2 + 9 = x + 2 !2 + 32. Ceemplaando en la integral.

∫ 4 dx .

√x + 2 !2 + 3# v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = ln v + √v2 + a2 6 + c .a = 3 √v2 + a2

ln ;) # √73) # 4# $#8< c "

$5" ∫ d6 "

1*


85/177


√$ #6 - 6#

3 + 2 - 2 = - 2 + 2 + 3 = -

2 - 2 - 3! . 2/2 = 1 ? 12 = 1

-2 - 2 - 3! = -2 - 2 + 1 - 1 - 3! = - - 1!

2 - 1 - 36 =

- - 1!2 - 46 = - - 1!2 - 226 = 2

2 - - 1!2

∫ d .

√22 - - 1!2

v = - 1 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = d ∫ dv = arc sen v + c .

a = 2 √a2 - v2 a

arc !en 6 - ( c "

#

$(" ∫ d9 "

√9# - 19 (,

v2 - *v + 15 . */2 = 4 ? 42 = 1%

v2 - *v + 1% - 1% + 15 = v - 4!2 - 1% + 15 = v - 4!

2 - 1 =

v - 4!2 - 12 . Ceemplaando este valor en la integral.

∫ dv .

√v - 4!2 - 12

v = v - 4 Esta completo el diferencial, se aplica$ dv = dv ∫ dv = ln v + √v2 - a2 ! + c . a = 1 √v2 - a2

ln ;9 - * √739 - *4# - (#8< c "

$#" ∫ ) d) "

)* - )# - (

1,


86/177


x4 - x2 - 1 = x2!2 - x2 - 1 . 1/2 ? 1/2!2 = 1 .

4

x2!2 - x2 - 1 = x2!2 - x2 + K - K - 1 = x

2 - I!2 - K - 1 =x2 - I!2 - 5/4 = x

2 - I!2 - √5/√4!2 = x2 - I!2 - √5/2!2 =

x2 - I!2 - √5/2!2 .reemplaando este valor en la integral.

∫ x dx .

x2 - I!2 - √5/2!2

v = x2 - I "alta 2! para completar

dv = 2x dx #e aplica$

a = √5 ∫ dv = 1 ln v - a + c . 2 v2 - a2 2a v + a

1 ∫ 2! x dx .

2 x2 - I!2 - √5/2!2

x2 - 1 - √5 2x 2 - 1 - √5 . 1 . 1 . ln 2 2 = 1 . ln 2 =2 2 . √5 x2 - 1 + √5 2√5 2x 2 - 1 + √5 .

2 2 2 2 .

1 . √5 . ln 2x2 - 1 - √5 = √, " ln #)# - ( - √, + c . 2√5.√5 2x2 - 1 + √5 (5 #)# - ( √,

$$" ∫ dt "

√( - t - #t#

1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2t

2 + ½ t - ½! .

½ = ¼ ; ¼ !2= 1/1%2

-2t2 + ½ t - ½! =-2t2 + ½ t + 1/1% - 1/1% - ½! =

1%


87/177


-2t + ¼!2 - 1/1% - ½6=-2t + ¼!2 -1/1% - */1%6=

-2t + ¼!2 - 9/1%6 = -2t + ¼!2 - √9/√1%!26

2-1!t + ¼!2 - ¾!26 = 2 ¾!2 - t + ¼!26 .

∫ dt = ∫ dt = 1 ∫ dt .

√2 ¾!2 - t + ¼!26 √2 √ ¾!2 - t + ¼!26 √2 √ ¾!2 - t +¼!26

v = t + ¼ El diferencial esta completo, se aplica$dv = dt ∫ dv = arc sen v + c .

a = ¾ √a2 - v2 a

4t + 1 . 1 arc sen t + ¼ = 1. √2 arc sen 4 = √ # arc !en *t ( c "

√2 ¾ √2.√2 3 # $ 4 .

$*" ∫ d) "

$)# *) (

3x2 + 4x + 1 = 3x2 + 4/3x + 1/3!. 4/3 = 4/% = 2/3 ? 2/3!

2 = 4/92

3x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3! = 3x + 2/3!2 - 4/9 + 1/3! =

3x + 2/3!2 - 4/9 + 3/9! = = 3x + 2/3!2 - 1/9 =

3x + 2/3!

2

- √1/√9!2

= 3x + 2/3!

2

- 1/3!

2

.

∫ dx = ∫ dx = 1 ∫ dx =

3x2 + 4x + 1 3x + 2/3!2 - 1/3!2 3 x + 2/3!2 - 1/3!2

v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica$

dv = dx ∫ dv = 1 . ln v - a + c .

a = 1/3 v2

- a2

2a v + a

10


88/177


3x + 1 . 1 . 1 . ln x + 2/3 - 1/3 = 1 ln x + 1/3 = 1 ln 3 =

3 2. 1 x + 2/3 + 1/3 % x + 3/3 2 3x + 3 . 3 3 3 .

1 ln 3x + 1 = ln $) ((.# c "

2 3x + 3 $) $

$," ∫ d@ "

#@# #@ (

2L2 + 2L + 1 = 2L2 + L + ½! . 1/2 ? 1/2!2 = 1 .

4

2L2 + L + ¼ - ¼ + ½! = 2L + ½!2 - ¼ + ½ =

2L + ½!2 - ¼ + 2/4 = = 2L + ½!2 + ¼6 =2L + ½!2 + √¼!2 6 =

2L + ½!2 + ½ !26 .Ceemplaando en la integral.

solucionario de calculo diferencial e integral - granville

Documents