GUIADEEJERCICIOSPARACALCULODIFERENCIALEINTEGRALIITAM,Agosto1998. G.Grabisnky1INTRODUCCIONLasiguientelistadeejerciciosconstituyeunaguaparaelestudiantedelcursoCALCULODIFERENCIALEINTEGRALIyestalsoloeso,unagua,enconsecuenciaesincompletapordenicion. Laselecciondelosejerciciospretendereejarlavariedadylaprofundidadquesepidedelestudiante.Considero utilquesehagausodeestaguaenelentendidodequesusoloestudionoes suciente por lo que hago un llamado al estudiante a profundizar mas en cada tema y ahacermas ejerciciosde cadatipo,especialmenteaquellosenelque sesientamenos seguroyparatodoestoeltrabajodeclase,losapuntesynuestrotextosonfundamentales.Las preguntas de los examenes departamentales noserannecesariamente iguales aalgunosdeestosejercicios, sinembargospodransersimilarestantoensucontenidoascomoensucomplejidad.Hagovotosparaqueellectorencuentreenestaspaginasunapoyomasparaelcurso.G.Grabinsky.2EJERCICIOS1. Encuentra un conjunto solucionde cada una de las siguientesigualdadesy desigual-dades:(a)|2x + 4| + 5 = 11(b)|x2+ 2| 3(c)1 xx 4> 0(d)x243x 1(e)4x2+ 52 + x 1(f)x2 + x 2x(g)|x + 5| < 2 |x 1|(h)13x 127< 0.1(i)3x + 2x113< 0.2(j)(2x 3)(x + 5)x2+ 6x 6 0(k)(x 1)(x + 1)xx2x 12< 032. Escribelossiguientesintervaloscomoelconjuntosoluciondeunadesigualdaddelaforma |x x0| < paraalgunasx0 Ry> 0(a)I= (0, 3)(b)I= (3, 2)(c)I= (3, 3 + a)3. Prueba:|a + b| = |a| +|b| ab 04. Pruebaporinduccion:Sia1, a2, . . . , an Rentonces |a1 + a2 + + an| |a1| +|a2| + +|an|5. Muestraconejemplosquelasuma,resta,productoycocientededosn umerosirra-cionalespodranodarcomoresultadounn umeroirracional.6. Enunciacontododetallelapropiedadarquemidianayelaxiomadelsupremo.7. Usalapropiedadarquimedianaparaprobarquesi0 < x < yentoncesexisten Ntalque1 < n_xy_8. Sinprobarloperojusticandobrevementeobtenelsupremode Ssi:(a)S=_12, 23, 34, 45, . . ._(b)S= {.7, .78, .787, .7878, . . .}(c)S= {x Q: x2< 2}9. Proporciona un ejemplo de un conjunto acotado Sconsistente solamente de n umerosirracionalestalquesusupremoseaunn umeroracional.10. Escribelossiguientesdecimalesperiodicoscomococientededosn umerosenteros:(a)4.017(b)6.15324(c)15.7915(d)0.01234511. Encuentraunn umeroracionalyunoirracionalentre:a =27y b =51112. QuesignicalaarmacionQesdensoenR?13. Determinaeldominiodelassiguientesfunciones:(a)f(x) =_4 x2x25x + 6+_4xx2+ 1(b)f(x) =_x(x 1)(x 5)x2+ 2x+1(x29)2(c)f(x) =_x29 +_4 x214. Trazalagracadey= f(x)si:(a)f(x) =___2 si x 3x + 1 si 3 < x < 1|x| + 1 si 1 x < 20 si x = 21 x si 2 < x 31 si 3 < x(b)f(x) =___|x| 2 si |x| 1x2si 1 < |x| 24 si |x| > 215. Trazalagracadey= f(x)si:(a)f(x) = |x 3| + 35(b)f(x) = 3 |x|(c)f(x) = ||x| 3|(d)f(x) = |x29| + 3(e)f(x) = |x25x + 6|16. Completalasiguientetabla:f g g fa. 3x + 7 2x 1b.1xxc. x2|x|d.xx1xx1e. 1 +1xxf.x 5x3517. Suponquef(x) = 2x 3obteng, h : R Rtalesquef(g(x)) = x + 7 y h(f(x)) = x + 7, x R18. Pruebaquelassiguientesfuncionesy= f(x)sonbiyectivasyobtenx = f1(y)si:(a)f: R R, con f(x) = mx + b, (m = 0)(b)f: (1, 1) R, con f(x) =x1 |x|6(c)f: R R, con f(x) = (x 3)3119. Dene:f(x) =_1xsi x < 0x si x 0y g(x) =_1x2si x < 0x si x 0Determinaf g,g f,f f,g g,1gyfgas comosusdominios. Cualessonsusdominios?Trazalagracadecadauna.20. Calculalainversadecadaunadelasfuncionesinvertiblesdelejercicioanterior.21. Obtenlossiguienteslmites(a)limx3x26x + 9x29(b)limx04 + 3x 4 3xx(c)limxax a|x + a|, (a < 0)(d)limx9+|81 x2|x 3(e)limx1+x2+ x + 1|1 + x|(f)limx12 x 12 x + 3(g)limx0x_1x2 1(h)limx0+_1x121(x)13_7(i)limx_xx21 1 x4x(j)limx__x2+ x + 1 _x2x + 1_(k)limx0sin2x1 cos x(l)limx0xtan xcos x 1(m)limx0sin(ax)sin(bx),b = 0(n)limx2sin(x + 2)|4 x2|(o)limx0sinx tan xx2tan x(p)limx1x sin x(q)limxx + cos xx + sinx(r)limx0sin((sin x))sin x22. Suponquelimx0+f(x) = A y limx0f(x) = BCalculaenterminosdeayBlossiguienteslmitesunilaterales:8(a)limx0+f(x3x)(b)limx0+f(x2x4)(c)limx0f(x sin x)23. Usalosteoremassobrelmitesparaobtener:(a)limx1_2f(x) + g2(x)_22h(x) g(x)(b)limx1f2(x) g(x)(2h(x) + 1)3Si limx1f(x) = 3, limx1g(x) = 2, limx1h(x) = 124. Silimx4f(x)5(x2)2+1= 3,pruebaquelimx4f(x)existeyobtensuvalor.25. Suponquefestadenidaenunavecindad Vdex0= 7perononecesariamenteenx0yque:12 _x 74_2 f(x) 12+_2x 147_4 x V {x0}Obtenlimx7f(x).26. Seaf: (0, ) Runafunciontalque2x 3x< f(x) 2x2+ 8x + 7x2 x > 0Calculalimxf(x)27. Determina= () > 0talquesi2 < x < 2 + entonces |x2+ 3x 4 6| < 28. Pruebaformalmenteque:(a)limx3x2+ 2x + 1 = 169(b)limx01x2+ 1= 1(c)limx3f(x) = 1, sif(x) =___(x 2)2si x < 32 si x = 3|2 x| si x > 3(d)limx0f(x) = 1 sif(x) =_1 x si x < 01 + x2si x > 029. Prueba:Si limxx0f(x) = 0 y |g(x)| M x = x0(M> 0constante)entonceslimxx0f(x) g(x) = 0.Concluyeque:limx0xsin_1x_= 030. Suponquefsatisface:|f(x) l| M |x x0|2, (M> 0constante)Pruebaformalmentequelimxx0f(x) = l31. Sea (0, 1)ja. Determina=()>0quegaranticequesi 0< |x 1| 2seacontinuaenR.Trazalagracanal.36. Seaf(x) =___1 si x < 00 si x = 01 si x > 0yseag(x) = x(1 x2)Determinatodoslospuntosenlosquef gyg fsondiscontinuas.37. Proporcionaejemplosdefuncionesfygtalesque:(a) Nifnigsoncontinuasenx0= 2perof+ g,f g,fgsoncontinuasenx0(b) gesdiscontinuaenx0= 0,fesdiscontinuaeng(x0)perof gescontinuaenx0.1138. Obtenlaforma analticay trazalagracade una funcion fque posea las siguientespropiedades:(a)D(f) = [4, 4](b)f(4) = f(2) = 1 y f(2) = f(4) = 2(c) fescontinuaporladerechaen2,fescontinuasoloporlaizquierdaen-2,esdiscontinuaen0yescontinuaentodoslosdemaspuntos.(d)limx2f(x) = 0 y limx2f(x) = 139. Seanf, g: [a, b] Rcontinuastalesquef(a) < g(a)yf(b) > g(b). Demuestraqueexistec (a, b)talquef(c) = g(c).40. Demuestraquex319x + 1 y 21 2x2coincidenentresysolotresvaloresdex.41. Seaf: [0, 1] [0, 1]continua. UsaelTeoremadelValorMediodeBolzanoparaprobarqueexistec [0, 1] talque f(c) = 1 c42. Demuestraquetodopolinomioc ubicotienealmenosunaraizreal.43. Obtendydxyevaluaenx0si:(a)y=_1 + x131 + x12_4, x0= 1(b)y=_(3x2+ 1)(2x + 2x), x0= 144. Siu(1) = 2 , u(1) = 2v(1) = 5 , v(1) = 0Determina:12(a)_2u +vu2+ 4v_(1)(b)_u + 2uvu + 2v_(1)45. Suponquef(3) = 2, f(3) = 1, g(0) = 3, g(0) = 1, g(0) = 0calcula(f g)(0). Siademasf(3) = 2,obten_f3_(3).46. Lafuncion y= ax2+bx +c pasapor elpuntoP(1, 2)yestangentealarectay= xenelorigen. Determinaa,b,c.47. Seaf derivableenx0yf(x0) =0. Demuestraquesi ges continuaenx0(solocontinua!) entoncesfgesderivableenx0y(fg)(x0)=f(x0)g(x0). Sugerencia:usaladeniciondederivada. Concluyeque:x|x|, x1/3sin x, x2/3sin x, (1 cosx)_|x|sontodasderivablesenx0= 0ydeterminaelvalordesusderivadasenx0.48. Seaf(x) =_0 si x = 01cosxxsi x = 0Usaladeniciondederivadaparaprobarquef(0) = frac12.49. Paraquevaloresdea, m, bsetienequelafuncion:f(x) =___3 si x = 0x2+ 3x + a si 0 < x < 1mx + b si 1 x 2SatisfacelashipotesisdelTeoremadelValorMedio?.50. Seanf, g : [a, b] Rcontinuasyderivablesen(a, b). Suponquef(a) = g(a) yque f(b) = g(b)Demuestraqueexistec (a, b)talquef(c) = g(c).51. Seaf: [a, b] Rcontinuayderivableen(a, b). Si f(b) 0 si x (, 1) (0, )(c) fesdecrecienteen(-1,0)(d) El nicopuntocrticoesx = 0, f(0) = 2(e) limx1 f(x) = = limx1+ f(x)(f) ftieneasntotaoblicuay= x + 1(g) limxf(x) = 11776. Hallael areamaximaylalongitudcorrespondientedeloscatetosquepuedeteneruntriangulorectangulocuyahipotenusamide5unidades.77. Determinalascoordenadasdelpunto(x0, y0)perteneciantealagracadelsemicr-culoy=16 x2masproximoa(1,3)78. Seana, b 0talesquea + b = 20. Maximizayminimiza:(a) ab(b) a2+ b2(c) a +b(d) a +b79. Determina las dimensiones que debe tener una caja rectangular con tapas cuadradasque minimicen el costo de fabricacion si el material de los costados cuesta el cuadrupledeldelastapasysielvolumendebeserde1m3.80. Sevaaconstruiruncampodeportivodeformarectangulardelargoxyrematadoen cada extremo por un semicrculo de radio r. Si el permetro totaldebe ser de 400m,determinarlasdimensionesquemaximicenelarea.81. Seam (1, )constante. Pruebaque(desigualdaddeBernoulli)(1 + x)m 1 + mx x 1yobtenelmnimodef(x) = (1 + x)mmx en [1, )82. Pruebaquelasumadeunn umeropositivoysurecprocoesmayoroigualque2yqueesiguala2siysolosieln umeroesiguala1.83. Hallarelmenorvalordeaquellaconstantepositivamtalquehaga:mx +1x 2 0 x > 084. Obtenelvalormaximodef(x) = cot x 2 csc xen(0, )85. Una agencia de viajes ofrece el siguiente plan para un tour sobre las siguientes bases:Paraungrupode50personas (grupomnimo)elcostoesde$200por persona. Porcadapersonaadicional yhastallegar a80(grupomaximo) latarifadetodaslaspersonas se reduce en $2. Si el costojo de la agenciaes de $6000y de $32por cadaviajero,determinaeltama nodelgrupoquemaximizalautilidadycuales esta.86. Una librera puede obtener un cierto libro a un costo de $3 por cada uno. La libreraha estado vendiendo el libro a $15 por ejemplar y a esate precio vende 200 ejemplarespormes. Conobjetodeestimularlasventas, lalibreraestaplaneandobajareseprecioyestimaqueporcadadolardereduccionenel preciodel librosevenderan20librosmasalmes.(a) Aquepreciodebevenderseel libroparagenerarelmayorbenecioposible, ycuales este.18(b) Quecantidadadicionaldelibrosesvendidaalnuevoprecio?87. Unestudiodeproductividadefectuadoenunafabrica, indicaqueuntrabajadormedioqueiniciasulaboralas8:00AMhabraproducidoQ(t)= t3+ 9t2+ 12tunidadesdeproducto thorasdespuesdelinicio.(a) Enquemomentodelama nanaeseltrabajadormaseciente?.Sedeneel momentodeecienciam aximaaquel enel queel ritmodepro-duccionesmaximo,tambienconocidocomoelpuntodebeneciosdecrecientes(b) Proporcionaunargumentoquejustiquelosdosnombresdadosaesepunto.88. Cadamaquinadeunamaquiladorapuedeproducir50unidadesporhora. Elcostodepuestaapuntoesde80dolarespor maquina,mientrasque elcostodeoperacionesde5dolaresporhoraparatodaslasmaquinas. Cuantasmaquinasdebenusarseparaproducir 8000unidadesalmenorcostoposibleycualesestecostomnimo?.89. Elciertafabricaelcostodepuestaapuntoesproporcionalaln umerodemaquinasempleadasyel costodeoperacionesinversamenteproporcional al n umerodema-quinasempleadas. Demuestraqueelcostototal deoperacionesmnimocuandoelcostodepuestaapuntoesigualalcostodeoperacion.90. Hallalaecuaciondelacurvaenel planoxyquepasaatraves deP(1, 0) ycuyapendienteencadapuntoes3x. Trazasugraca.91. Hallaf(x)talque:(a)dydx=1x2+ x, (x > 0); y= 1six = 2(b)d2ydx2= 0,dydx= 2; y= 2six = 0(c)d2ydx2=2x3,dydx= 1six = 1; y= 1six = 192. Calculalossiguienteslmitescomointegralesdenidasycalculasuvalor:(a)limn_1n3+4n3+ +n2n3_(b)limnn

k=1_3_kn_27_kn_+ 2__1n_(c)limnsen_n_+ + sen_(n1)n_n93. Escribelassiguientesintegralesdenidascomoel lmitedesumasdeRiemannascomoenelejercicioanterior:19(a)_10_1 s2ds(b)_10cos( + 2) d(c)_32(3t2+ 2t 11)3294. Sesabeque_41f(x) dx = 5,_21f(x) dx = 3 y_42g(x) dx = 1calcular:(a)_42(7f(x) +2g(x))dx(b)_24(5f(x) + 2x)dx95. Pruebaqueelvalorde_ 201 + cos xdxnopuedeexceder2nisermenorque2.96. Sincalcularlaintegralyusandosolamentemetodosgeometricosdemuestraque12 0). Expresa_31sen (2t)tdtenterminosdeF.110. Obtenelareadelaregionlimitadapor:(a) Lacurvay2= 4xylarecta4x 3y= 4(b) Larectay x 4 = 0ylacurvay= x22(c) Lascurvasy= sen x,y= cos xentre/4y5/4(d) Lacurvay= xylarectax + y= 6(e) Lascurvasy= cos(x/2)yy= 1 x2enelprimercuadrante.(f) Lascurvasx = y21yx = |y|_1 y2(g) Lascurvasx = 3y y2ylarectax + t = 3(h) Lascurvasx = tan2yyx = tan2yen /4 y /424