as - libro - logica y conjuntos

8/7/2019 as - Libro - Logica y Conjuntos

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIN

ESCUELA DE GRADUADOS

CONCEPCIN-CHILE

ALGEBRAY

TRIGONOMETRIA

Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros.

FACULTAD DE CIENCIAS FSICAS Y MATEMTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA 2003


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Captulo 1

LOGICA Y TEORIA DE

CONJUNTOS

1.1. ELEMENTOS DE LOGICA

Toda estructura matemtica supone la necesidad de razonar en formavlida y el uso de un lenguaje apropiado. Por esto es necesario una gran sim-plicacin y el uso de un simbolismo adecuado e inequvoco que nos permitarazonar vlidamente mediante reglas jadas con claridad.

La LOGICA SIMBOLICA y la TEORIA DE CONJUNTOS nos

permiten adquirir este simbolismo y el esquema de un razonamiento deduc-tivo.

Denicin 1.1.1 Una PROPOSICION es una expresin con sentido enun lenguaje, que arma o niega algo y proporciona una informacin. Usa-

remos el trmino proposicin para designar una expresin de la cual tenga

sentido inequvoco decir si es verdadera o falsa en un cierto contexto. Sim-

bolizaremos las proposiciones con letras minsculas p;q;r;s;etc:

Los VALORES DE VERDAD, verdadero (V) y falso (F) ; los consi-

deraremos conceptos primitivos.

Denicin 1.1.2 El CONECTIVO LOGICO es un smbolo que permiteobtener nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas. Los conectivos

son: no; y; o; si...entonces...; si y slo si.

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CAPTULO 1: Lgica y Teora de Conjuntos 2

Las proposiciones pueden ser de dos tipos:

1) ATOMICAS O SIMPLES: las que no incluyen conectivos.

Por ejemplo:

p : Pedrito es un nio muy estudioso

q : El padre de Pedrito es un hombre feliz

2) MOLECULARES O COMPUESTAS: Las que se obtienen com-binando proposiciones tomicas mediante conectivos.

Por ejemplo:

r : Si Pedrito es un nio muy estudioso, entonces el padre de Pedrito

es un hombre feliz

Denicin 1.1.3 Se llamaNEGACIONde una proposicin p; a la proposi-cin no p.

Notacin 1.1.1 v p; p; p;

Este es el nico conectivo que acta sobre una sola proposicin.La proposicin v p es verdadera si la proposicin p es falsa y, es falsa si

p es verdadera. Esto se esquematiza con la siguiente:

TABLA DE VERDAD p v pV FF V

Ejemplo 1.1.1 :

p : todos los nmeros impares son primos

v p : no todos los nmeros impares son primos algunos nmeros im-

pares son no primos al menos un nmero impar no es primo

Notemos que las armaciones:

Todos los nmeros impares no son primos

Ningn nmero impar es primo

No corresponden a la proposicin v p:


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Denicin 1.1.4 Sean p y q dos proposiciones, se llama CONJUNCION

de las proposiciones p y q a la proposicin p y q.

Notacin 1.1.2 p ^ q

La proposicin p ^ q es verdadera slo si p y q son ambas verdaderas y,es falsa si al menos una de ellas es falsa. Esto se esquematiza por medio dela siguiente:

TABLA DE VERDAD:

p q p ^ qV V VV F F

F V FF F F

Ejemplo 1.1.2 :

p : el tringulo equiltero tiene los tres lados iguales

q : el tringulo equiltero tiene los tres ngulos iguales

p ^ q : el tringulo equiltero tiene los tres lados iguales y el tringulo equi-

ltero tiene los tres ngulos iguales

En forma ms sencilla la proposicin p ^ q se enuncia:el tringulo equilatero tiene sus tres lados y sus tres ngulos iguales

Denicin 1.1.5 Sean p y q dos proposiciones, se llama DISYUNCIONde las proposiciones p y q a la proposicin p q.

Notacin 1.1.3 p _ q

La proposicin p _ q es verdadera si al menos una de las proposicionesp q es verdadera y, es falsa si ambas son falsas. Esto se esquematiza con lasiguiente:

TABLA DE VERDAD:

p q p _ qV V VV F VF V VF F F


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Ejemplo 1.1.3 : Si consideramos las proposiciones:

p :esta tarde ir al cineq :esta tarde me quedar en casa estudiando

r :"en Concepcin siempre llueve"

s :en Concepcin hace fro, entonces:

p _ q : esta tarde ir al cine o me quedar en casa estudiando

r _ s : en Concepcin siempre llueve o hace fro

Observacin 1.1.1 La primera disyuncin es excluyente y la segunda esincluyente.

Denicin 1.1.6 Se llama CONDICIONAL de las proposiciones p y qa la proposicin Si p, entonces q. La primera proposicin se llama an-

tecedente y la segunda consecuente.

Notacin 1.1.4 p ! q

Se lee: Si p, entonces q p es condicin suciente para q q escondicin necesaria para p.

La proposicin p ! q es falsa slo si p es verdadera y q es falsa, en los

dems casos p ! q es verdadera. Esto se resume en la siguiente:TABLA DE VERDAD:

p q p ! qV V VV F FF V VF F V

Ejemplo 1.1.4 :

p : el sistema solar est formado slo por astros

q : el sol es un astro

r : la tierra es un astro

p ! q : si el sistema solar est formado slo por astros, entonces el sol es un

astro


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p ! r : si el sistema solar est formado slo por astros, entonces la tierra es

un astro

q ! p : el sol es un astro es una condicin suciente para que el sistema solar

est formado slo por astros

r ! q : que el sol sea un astro es una condicin necesaria para que la tierra

sea un astro

Denicin 1.1.7 Se llama BICONDICIONAL de las proposiciones p yq a la proposicin p si y slo si q.

Notacin 1.1.5 p $ q

Se lee: p si y slo si q p es condicin necesaria y suciente para q.La proposicin p $ qes verdadera si ambas p y qson verdaderas o ambas

son falsas y, es falsa si p y q tienen distinto valor de verdad. Un resumen desto se ve en la siguiente:

TABLA DE VERDAD:

p q p $ qV V VV F F

F V FF F V

Ejercicio 1.1.5 Con las proposiciones p;q;r del ejemplo anterior, enunciarp $ q; p $ r; r $ q:

Denicin 1.1.8 Una proposicin molecular se dice:TAUTOLOGIA si es siempre verdadera cualesquiera sean los valores

de verdad de las proposiciones que la componen.

CONTRADICCION si es siempre falsa, independientemente de los

valores de verdad de las proposiciones componentes.CONTINGENCIA si no es tautologa ni contradiccin.


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Ejemplo 1.1.6 Construir las tablas de verdad para las siguientes proposi-

ciones:

1) p_ v p (tautologa)

2) p ! p (tautologa)

3) p^ v p (contradiccin)

4) v p _ q (contingencia)

5) (p ! q) $ (v q!v p) (tautologa)

6) (p ! q) $ (v p _ q) (tautologa)

7) (p $ q) $ (v p _ q) ^ (v q_ p)

Denicin 1.1.9 Dos proposiciones p y q se dicen LOGICAMENTE EQUI-VALENTES si sus tablas de verdad son idnticas o bien, si su bicondicional

es una tautologa.

Notacin 1.1.6 p , q

Ejemplo 1.1.7 De la parte 5) del ejemplo anterior observamos que:

(p ! q) () (v q !v p)

PROPIEDADES:

1) v (v p) , p (Doble negacin)

2)1: p ^ q , q^ p2: p _ q , q_ p

3: (p $ q) , (q$ p)

9

=;(Conmutatividad)

3)1: [(p ^ q) ^ r] , [p ^ (q^ r)]2: [(p _ q) _ r] , [p _ (q_ r)]3: [(p $ q) $ r] , [p $ (q $ r)]

9=; (Asociatividad)

4)1: [p ^ (q_ r)] , [(p ^ q) _ (p ^ r)]2: [p _ (q^ r)] , [(p _ q) ^ (p _ r)]

(Distributividad)


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5)1: v (p ^ q) , (v p_ v q)2: v (p _ q) , (v p^ v q)

(Leyes de Morgan)

6)1: (p ^ p) , p2: (p _ p) , p

(Idempotencia)

7) v (p ! q) , (p^ v q)

Demostracin. (Propiedad 3;3)[(p $ q) $ r]| { z }

1

, [p $ (q $ r)]| { z } 2

p q r p $ q q $ r 1 2 1 $ 2

V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F F F F V V F F F V V V V F V V F V F F V F V F F F V V V F F V V F V V V F F F V V F F V

Luego, 1 $ 2 es una tautologa y por tanto [(p $ q) $ r] , [p $ (q $ r)]

Demostracin. (Propiedad 5;1)v (p ^ q)| { z }

1

, (v p_ v q)| { z } 2

p q p ^ q v (p ^ q) v p v q v p_ v q 1 $ 2V V V F F F F V V F F V F V V V F V F V V F V V F F F V V V V V

Luego 1 $ 2 es una tautologa y por tanto v (p ^ q) , (v p_ v q) :

Las dems demostraciones se dejan a cargo del lector.

Denicin 1.1.10 Se dice que una proposicin p IMPLICA LOGICA-MENTE una proposicin q si p ! q es una tautologa.

Se denota p ) q: Se lee: p implica q.


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INFERIR es una operacin lgica que consiste en obtener, apartir deuna o varias proposiciones

(HIPOTESIS

) ;supuestamente verdaderas, otra

proposicin (TESIS) que en tales condiciones resulta necesariamente ver-dadera.

Si designamos por H la hiptesis y por T la tesis, entonces T inere deH si y slo si el condicional H ! T es una tautologa, y la implicacin lgicaH ) T se llama TEOREMA.

Si H ) T y T ) H; entonces se dice que T ) H es el TEOREMARECIPROCO de H ) T:

Si H ) T y v H !v T es una implicacin lgica, entonces v H )v Tse llama TEOREMA CONTRARIO de H ) T:

De la tautologa (p ! q) $ (v q !v p) se deduce que los teoremas

H ) T y v T )v H son equivalentes y cada uno se llama CONTRA-RECIPROCO del otro.

La equivalencia entre los teoremas H ) T y v T )v H proporcionaun mtodo de demostracin llamado Demostracin por Reduccin alAbsurdo que consiste en demostrar el teorema contrarrecproco.

Ejemplo 1.1.8 Sea a 2 N; si a2 es impar, entonces a es impar.

Demostracin. SeanH : a2 es imparT : a es impar

Debemos probar que H =) T: Usando el mtodo por reduccin al absur-do basta demostrar que v T )v H:

En efecto, si a es par entonces a = 2n; para algn n 2 N: Luego:

a2 = (2n)2 = 4n2 = 2

2n2

; es decir, a2 es par.

Por lo tanto, v T )v H::

1.2. CONJUNTOS

En el lenguaje corriente, CONJUNTO es cualquier coleccin deobjetos. Los objetos se denominan ELEMENTOS del conjunto.Se hace presente que esta denicin de conjunto es totalmente intuitiva

y no satisfactoria desde el punto de vista matemtico.Indicaremos los elementos con letras minsculas, a;b;c;:::; y los conjuntos

con letras maysculas, A;B;C;::: .AsA = fa;b;c;:::g :


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Un conjunto es una entidad de naturaleza diferente de los elementos quelo componen. As, un conjunto de puntos no es un punto, an cuando l nocontenga ms que un slo punto.

A = fag 6= a y fag no es elemento de A.El conjunto que no contiene elementos se llama CONJUNTO VACIO

y se denota por ;:Si x es un elemento del conjunto A se escribe x 2 A y se lee x pertenece

a A.La negacin de x 2 A se escribe x =2 A y se lee x no pertenece a A.Un conjunto est bien denido cuando dado un objeto cualquiera es posi-

ble decidir si pertenece o no al conjunto.Un conjunto puede ser denido de dos maneras:

a) nombrando sus elementos.

b) enunciando una propiedad que caracteriza sus elementos.

En el primer caso se llama denicin por EXTENSION y en el segundo,denicin por COMPRENSION.

Ejemplo 1.2.1 (CONJUNTOS NUMERICOS IMPORTANTES)N = f1; 2; 3;:::g Conjunto de los Nmeros Naturales.Z = f:::; 2; 1; 0; 1; 2; 3;:::g Conjunto de los Nmeros Enteros.

R = fx : x es un nmero decimalg Conjunto de los Nmeros Reales.Q =

ab

: a 2 Z; b 2 Z; b 6= 0

Conjunto de los Nmeros Racionales.

I = fx : x 2 R ^ x =2 Qg Conjunto de los Nmeros Irracionales.

Observacin 1.2.1 Los conjuntosN yZ estn denidos por extensin, Q;R; Ipor comprensin.

Denicin 1.2.1 Dos conjuntos A y B sonIGUALESy se escribe A = Bsi todo elemento de cada uno de ellos es tambin elemento del otro.

De esta denicin resulta que los conjuntos fa;b;c;dg ; fb;a;d;cg ; fa;a;b;c;c;dgson iguales, es decir, no interesa el orden ni la repeticin de los elementos.

Denicin 1.2.2 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. A es un SUB-CONJUNTO DE B o, A est incluido en B si todo elemento de A es un

elemento de B:


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Se escribe: A B:Formalmente:

A B , (x 2 A ) x 2 B)

Ejemplo 1.2.2 :

a) f1; 7; 8g N

b) N Z

c) N Z Q R

PROPIEDADES:

Cualesquiera sean los conjuntos A y B se tiene:

1) A A

2) ; A

3) [(A B) ^ (B C)] ) A C

4) [(A B) ^ (B A)] , A = B

Demostracin. :

1) Es trivial.

2) Si ; * A; entonces existe un elemento en ; que no es elemento de A. Deaqu se obtiene una contradiccin pues ; es por denicin el conjuntoque no posee elementos. Por lo tanto, ; A:

3)x 2 A ) x 2 B; pues por hiptesis A B

x 2 C; pues por hiptesis B C

Luego, x 2 A ) x 2 C y, por tanto, A C:4) A cargo del lector.

Si A es un subconjunto de B y A 6= B se escribe A B A $ B y sedice que A es un subconjunto propio de B:


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Denicin 1.2.3 ElCONJUNTO DE PARTES, P(A) ; de un conjunto

cualquiera A es el conjunto de todos los subconjuntos de A:Esto es: P(A) = fX : X Ag

Ejemplo 1.2.3 Si A = f0; 1; 2g ; entonces

P(A) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; Ag

Observacin 1.2.2 :

1. El conjunto P(A) nunca es vaco, pues ; y A son elementos de P(A)

ya que ; A y A A:

2. Si A tiene n elementos, entonces P(A) consta de 2n elementos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

Para ciertos estudios suele considerarse el conjunto U que contiene a latota-lidad de los objetos bsicos de inters para el estudio; este conjunto sellama CONJUNTO UNIVERSO.

Si por ejemplo, estamos trabajando con conjuntos de nmeros enteros,entonces U = Z; con conjuntos de letras, U ser el abecedario, etc.

Denicin 1.2.4 Sean A y B dos conjuntos, la DIFERENCIA de A y Bes el conjunto

A n B = fx 2 U : x 2 A ^ x =2 Bg

Denicin 1.2.5 Dado A, U n A se llama COMPLEMENTO de A conrespecto a U y se denota por Ac A0 A: Luego, Ac = fx 2 U : x =2 Ag :

As, para todo x 2 U se verica una y slo una de las siguientes proposiciones:

i) x 2 A ii) x 2 Ac


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Ejemplo 1.2.4 :

1) Sean U = N y A = fx 2 N : x < 5g ; se tiene que:

Ac = fx 2 N : x 5g :

2) Dados U = Z y A = fx 2 Z : x es positivo o cerog ; se tiene que:

Ac = fx 2 Z : x es negativog :

PROPIEDADES:

1) Uc = ;; ;c = U

2) (Ac)c = A

Demostracin. Probemos 2)

(Ac)c = fx 2 U : x =2 Acg = fx 2 U : x 2 Ag = A

Denicin 1.2.6 Sean A y B conjuntos, la INTERSECCIONde A y B

es el conjunto A \ B = fx 2 U : x 2 A ^ x 2 Bg

Denicin 1.2.7 Dos conjuntos A y B se dicen DISJUNTOSsi y slo sisu interseccin es el conjunto vaco.

Ejemplo 1.2.5 Dado A = fa;b;c;d;eg ; B = fc;d;fg ; C = fa; 1; 4; 5g setiene:

A \ B = fc; dg ; A \ C = fag ; B \ C = ;; A n B = fa;b;eg


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Denicin 1.2.8 Sean A y B conjuntos, la UNION de A y B es el con-

junto A [ B = fx 2 U : x 2 A _ x 2 Bg

Ejemplo 1.2.6 Si A = f1; a ; bg ; B = f1; 2; cg ; C = f3; 5g ; entonces:

A [ B = f1;a;b; 2; cg ; B [ C = f1; 2; c; 3; 5g

Es posible visualizar los conjuntos antes denidos por medio de los lla-mados DIAGRAMAS DE VENN, donde el conjunto universo U se re-presenta por un rectngulo, como se observa en la gura 1 y 2.

Algunas propiedades de las operaciones complemento, interseccin y uninson las siguientes:

1) Idempotencia:A [ A = A

A \ A = A

2) Conmutatividad:

A [ B = B [ A

A \ B = B \ A

3) Asociatividad:

A [ (B [ C) = (A [ B) [ C

A \ (B \ C) = (A \ B) \ C

4) Distributividad:

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)


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5) Leyes de Morgan:

(A [ B)c

= Ac

\ Bc

(A \ B)c = Ac [ Bc

A continuacin, probaremos la propiedad 5)

(A \ B)c = Ac [ Bc

Demostracin.

x 2 (A \ B)c , x =2 A \ B,v ((x 2 A) ^ (x 2 B))

,v

(x 2 A) _v

(x 2 B), x 2 Ac _ x 2 Bc

, x 2 Ac [ Bc

Luego: (A \ B)c = Ac [ Bc

Denicin 1.2.9 Sean A y B conjuntos no vacos, elPRODUCTO CARTE-SIANO DEA y B es el conjunto, AB; de todos los pares ordenados (a; b)

tales que a pertenece al conjunto A y b pertenece al conjunto B: Es decir:

A B = f(a; b) : a 2 A ^ b 2 Bg :

Ejemplo 1.2.7 Si A = f1; 3g y B = fa;b;cg ; entonces:

A B = f(1; a) ; (1; b) ; (1; c) ; (3; a) ; (3; b) ; (3; c)g

B A = f(a; 1) ; (b; 1) ; (c; 1) ; (a; 3) ; (b; 3) ; (c; 3)g

Este ejemplo muestra que el producto cartesiano no es conmutativo.

Grcamente A B y B A se representan de la siguiente manera:


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Denicin 1.2.10 Sean A1;A2;:::;An; n conjuntos no vacos. El PRO-

DUCTO CARTESIANO de los conjuntos A1;A2;:::;An es el conjun-to de todas las n-uplas ordenadas (a1; a2;:::;an) tales que ai pertenece a Aicualquiera sea i = 1; 2;:::;n:

Se escribe:

A1 A2 ::: An = f(a1; a2;:::;an) : ai 2 Ai; i = 1; 2;:::;ng

Ejemplo 1.2.8 :

1) R2 = R R = f(x; y) : x 2 R ^ y 2 Rg es el conjunto de todos lospares ordenados de nmeros reales.

2) R3 = R R R = f(x;y;z) : x;y;z 2 Rg es el conjunto de todas lasternas ordenadas de nmeros reales.

Denicin 1.2.11 Una coleccin A1; A2;:::;An de subconjuntos (o partes)no vacos de un conjunto B es una PARTICION DE B si los conjuntos

son disjuntos dos a dos y la unin de todos ellos es el cojunto B, es decir,

fA1; A2;:::;Ang es una particin de B si y slo si

(i) Ai 6= ; 8 i = 1; 2;:::;n

(ii) Ai \ Aj = ; 8 i 6= j

(iii)n[i=1

Ai = B

Ejemplo 1.2.9 Los conjuntos A1 = f1; 3g ; A2 = f2; 4g y A3 = f5g consti-tuyen una particin del conjunto B = f1; 2; 3; 4; 5g :

1.3. CUANTIFICADORES LOGICOS

Denicin 1.3.1 Se llama FUNCION PROPOSICIONAL a una ex-

presin que contiene una o ms variables y resulta ser una proposicin si seasigna a la (o las) variable (s) valores especcos.

Notacin 1.3.1 p (x) ; q(x; y) ; r (x;y;z;u)

p (x) : \ x|{z}sujeto

tiene la propiedad p| {z }predicado

"


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Denicin 1.3.2 Se llama CONJUNTO DE VALIDEZ dep (x) al con-

junto de todos los valores de x para los cuales p (x) es verdadera.

Notacin 1.3.2 Vp = fx 2 U : p (x)g

Es frecuente en Matemtica la presencia de proposiciones que aluden aobjetos de un cierto universo y que su valor de verdad depende de dichosobjetos. Para indicar que p (x) es una proposicin verdadera para todo xdel universo U y que q(x) es una proposicin verdadera slo para algunoselementos de U, se introducen dos smbolos especiales:

8 llamado cuanticador universal que se lee cualquiera sea o

para todo.

9 llamado cuanticador existencial que se lee existe.

Ejemplo 1.3.1 Si el conjunto universo esN, p (x) : x + 4 > 3 yq(x) : x + 2 < 8; entonces:

Vp = N; es decir, para todo x, x en N; p (x) es verdadera lo que seescribe: 8x; x 2 N; p (x) :

V q = f1; 2; 3; 4; 5g ; es decir, Existe (o existe algn) x; x enN; tal queq(x) es verdadera lo que se escribe: 9x; x 2 N; q(x) :

Observacin 1.3.1 :

1) Si el conjunto de validez es unitario, entonces se escribe:

9! x; x 2 U; p (x) y se lee: existe un nico x 2 U tal que p (x) es

verdadera.

2) La negacin de la proposicin Para todo x en U, p (x) es verdadera,

es:

no es verdad que para todo x en U, p (x) es verdadera

o equivalentemente:

existe un x en U tal que la proposicinv p (x) es verdadera.

Simblicamente se escribe:

v (8x; x 2 U; p (x)) , (9x; x 2 U;v p (x))


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3) La negacin de la proposicin existe un x en U tal que p (x) es ver-

dadera es:no es verdad que existe un x en U tal que la proposicin p (x) es

verdadera lo que es equivalente a decir:

para todo x en U, la proposicin p (x) es falsa. Simblicamente se

escribe:

v (9x; x 2 U; p (x)) , (8x; x 2 U;v p (x))

4) La negacin de la proposicin existe un nico x en U tal que p (x) es

verdadera es:

no existe ningn x en U tal que p (x) es verdadera o existen al menosdos elementos en U, x e y, tales que p (x) y p (y) son verdaderas.

Simblicamente se escribe:

v (9!x; x 2 U; p (x)) , f(8x; x 2 U;v p (x)) _ (9x; x 2 U; 9y; y 2 U; p (x) ; p (y))g

Ejemplo 1.3.2 :

1) Si U = N, entonces p (x) : x + 2 = 9 es verdadera slo para x = 7; estoes: Vp = f7g y podemos escribir:

9!x; x 2 N tal que x + 2 = 9

2) Dada la proposicin Todos los alumnos son responsables, su negacin

es:

existe un alumno que no es responsable.

3) La negacin de (8x; x 2 Z; x + 5 10) es (9x; x 2 Z; x + 5 > 10) :

4) La negacin de la proposicin existe un nmero real a, tal quea1 6= a

es:

para todo nmero real a, a 1 = a.


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1.4. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dadas las proposiciones:

p : el banco fue asaltado

q : el asaltante huy

escribir en lenguaje corriente:

a) v p e) v (p ^ q) ! pb) p _ q f) (p^ v q) ! pc) p $ q g) v (v p_ v q)d) p^ v q

2. Dadas las proposiciones:p : 2 + 4 = 6 q : 2 + 8 = 10r : 3 4 = 12 s : 2 1 = 1

Hallar los valores de verdad de las proposicines siguientes:

a) [(p ^ q) ^ (r ^ s)] ! p _ s

b) (p ! q) ! (s _ r)

c) (p ! q) ! (s ! r)

d) (p !v q) $ [(p _ r) ^ s]

3. Comprobar que:a) (p ^ q) _ p , p

b) (p _ q) ^ p , p

c) v (p $ q) , (p^ v q) _ (q v p)

4. Escriba simblicamente:

a) El cuadrado de todo nmero real es positivo o cero.

b) Existe un nico nmero real cuya raz es cero.

c) Cualesquiera sean los nmeros reales a y b se verica

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2:

d) Existe por lo menos un nmero real tal que su raz cuadrada no esreal.

e) La ecuacin 2x + 6 = 0 tiene una nica solucin real.

f) Para todo par de nmeros naturales su suma es natural.


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g) Existen por lo menos dos nmeros naturales tales que su cuocientees un nmero racional.

5. Dadas las siguientes proposiciones, averiguar su valor de verdad y negarcada una de ellas.

a) (8x 2 R) (x + 3 < 7)b) (8x 2 R) (8n 2 N) (x + 3 > n)c) (8x 2 R) (9n 2 N) (n < x)d) (9x 2 R) (x2 x + 6 = 0)e) (8x 2 R) (x2 > 0)

6. Sea E = f1; 0; 1g : Averiguar el valor de verdad de las proposicionessiguientes:

a) 8x 2 E; x2 1b) 8x 2 E; x3 = xc) 9x 2 E; x 0d) 9x 2 E; x2 1e) 8x 2 E; 9y 2 E; x + y 1f) 9x 2 E; 9y 2 E; x + y > 1g) 9x 2 E; 8y 2 E; y xh) 8x 2 E; 9y 2 E; x + y = 0

7. Sean U = fx 2 N : x 10g

A = fx 2 U : 4 < x < 8g

B = f2; 3; 5; 6g

C = fn 2 N : 2n 2 Ug

a) Haga un Diagrama de Venn.

b) Calcule por extensin:

A [ B; B \ C;

A n B; B (A n C)c

8. Sean A y B subconjuntos de un conjunto universal U. Demuestre que:

a) (A n B)c = Ac [ B

b) A Bc ) A \ B = ;


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9. Indicar si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas. Justiquesu armacin.

a) ; f1; 2g e) fag f;; faggb) a 2 f;; fagg f) fag 2 f;; faggc) fa; bg fa; fa; bg ; bg g) ; 2 fagd) fa; bg = f;; a ; bg h) fa; bg = fb; ag

10. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Indicar si las siguientes ar-maciones son verdaderas o falsas. Justique su armacin.

a) A [ B A \ B e) A \ B A [ Bb) A A [ B f) Ac A

11. Sea A = fa;b;c;dga) Encontrar P(A)

b) Cuntos elementos tiene P(A)?

c) Es P(fa; bg) un subconjunto de P(A)?

d) Estudie las siguientes armaciones

; P(A) ; a 2 P(A) ; fag P (A) ; fag 2 P(A)

; 2 P(A) ; P(A) = P(fa;b;cg) ; P(;) P(A) :

12. Una industria fabrica 1000 neumticos. Se sabe que 90 tienen falla tipo

; 150 tienen falla tipo y 200 falla tipo : Adems 15 neumticostienen los tres tipos de falla, 21 slo falla tipo ; 80 slo falla tipo y50 tienen falla tipo y :

a) Designe por A; B y C los conjuntos de neumticos que tienen fallatipo ; y respectivamente y haga un Diagrama de Venn que ilustrela situacin.

b) Describa en trminos de A; B y C el conjunto de neumticos queno tienen fallas.

c) Dena por comprensin los conjuntos

A[B; A\Bc

; A\B \C; ; (B [ C)

c

; An(B [ C) :d) Determine cuntos neumticos tienen slo un tipo de falla, cuntostienen exactamente dos tipos de falla y cuntos tienen al menos unafalla.

as - libro - logica y conjuntos

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