clase1 teoria conjuntos

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Introduccion a la Matematica Discreta: Teorıade Conjuntos

Erik Papa [email protected]

Universidad Tecnol ogica del Peru (UTP)Facultad de Ingenierıa Industrial y de Sistemas

Abril del 2012

Erik Papa Quiroz [email protected] Introducci on a la Matem atica Discreta: Teorıa de Conjuntos

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Contenido

1 Introduccion

2 Objetivo General

3 Motivacion

4 Teorıa de Conjuntos

5 Operaciones con Conjuntos

6 Aplicaciones


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Introducci onObjetivo General

Motivaci onTeorıa de Conjuntos

Operaciones con ConjuntosAplicaciones

Introduccion

La teorıa de conjuntos es la base de toda estructuramatematica.

Es importante en computacion para poder implementaralgoritmos y operaciones con algoritmos: union dealgoritmos, exclusion, etc.


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Objetivo General

Al final de esta unidad el alumno sera capaz de resolverproblemas de sondeos, muestras en hospitales, audiencia,estadısticas, etc usando la teorıa de conjuntos.


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Problema 1

Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de laUTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendocomo resultados lo siguiente: 300 estudiantes tomanexlusivamente la gaseosa P y 50 toman solo la gaseosa Q.¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?


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Problema 2

Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de100 estudiantes de la UTP:

a) 12 estudiantes cursan Analisis Matematico II, Fısica II ySistemas Operativos

b) 22 cursan solo Analisis Matematico II y Fısica II

c) 3 cursan unicamente Analisis Matematico II y SistemasOperativos

d) 7 solo Fısica II y Sistemas Operativos

e) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.

Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.


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Problema 3

En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 deellos presentan sıntomas de artritis, 17 de fibromialgia y 25 deosteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tressıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el numerode pacientes que presentan sıntomas de solo dos de lasenfermedades.


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Definiciones y Notaciones

Un conjunto es una coleccion de objetos con agunapropiedad en comun. Usualmente lo denotaremos conletras mayusculas. Por ejemplo A, B, etc

Dado un conjunto A, escribimos x ∈ A si x es un elementode A. Caso contrario escribimos x /∈ A.Por ejemplo, sea

A = {1, 3, 5, 8}

entonces 3 ∈ A pero 9 /∈ A.

∀ significa para todo

∃ significa existe


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Dados dos conjuntos A y B se dice que A esta incluido enB o que A es una parte de B o que B contiene a A,denotado por A ⊂ B, si todo elemento de A esta en B.Por ejemplo, sean

A = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

entonces podemos afrimar que A ⊂ B.


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Dados los conjuntos A y B, escribimos A 6⊂ B si existe porlo menos un elemento de A que no esta en B.Por ejemplo, sea

A = {1, 3, 5, 10} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},

entonces afirmamos que A 6⊂ B.

Dado el conjunto A, denotamos por |A| al numero deelementos distintos del conjunto A.Por ejemplo, sean

A = {1, 3, 5, 8} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1},

entonces |A| = ... y |B| = ...


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Dado un conjunto A, denotamos por P(A) el conjunto departes de A, esto es, el conjunto formado por todos sussubconjuntos.Por ejemplo, si A = {1, 2, 3} entonces

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

y |P(A)| = 8

Teorema: Si A 6= ∅ entonces |P(A)| = 2|A|.


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Definiciones

Sea U el conjunto universal y A, B ⊂ U, definimos:

A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}

A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ac = {x ∈ U : x /∈ A}

A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}

A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A)


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Ejemplo

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Hallar:

a) A ∪ B

b) A ∩ B

c) Ac y Bc

d) A − B

e) A ⊕ B


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Ejemplo

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}. Probar quese cumplen las leyes de Morgan:

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc


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Resultado Teorico

Teorema

Sean A1, ..., An conjuntos finitos disjuntos dos a dos, esto es,Ai ∩ Aj = ∅,∀i 6= j , entonces:

|A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An|


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Ejemplo

Sean los conjuntos

A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5}, C = {9, 11, 13}.

Usando el Teorema, hallar |A ∪ B ∪ C|


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Ejemplo

Sean los conjuntos

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}.

Usando el Teorema, hallar |A ∪ B|.


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Corolario

Corolario1 Sean dos conjuntos A y B, entonces

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ C|

2 Sean los conjuntos A, B, C entonces

|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A∩B∩C|


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Solucion del Problema 1

Problema 1

Se ha realizado una encuesta entre 1200 estudiantes de laUTP que beben gaseosas de las marcas P y Q, obteniendocomo resultados lo siguiente: 300 estudiantes tomanexlusivamente la gaseosa P y 50 toman solo la gaseosa Q.¿Cuantos estudiantes beben de ambas marcas?


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Solucion del Problema 1

Soluci on

Sean los conjuntos:A1 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca P}A2 = { estudiantes que beben exclusivamente la marca Q}.A3 = { estudiantes que beben las dos marcas de gaseosa }Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, entonces porTeorema:

|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3|.

Como |A1 ∪ A2 ∪ A3| = 1200, |A1| = 300, |A2| = 50, entonces

|A3| = 1200 − 300 − 50


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Problema 2

Problema 2

Se han obtenido los siguientes resultados en una muestra de100 estudiantes de la UTP:

a) 12 estudiantes cursan Analisis Matematico II, Fısica II ySistemas Operativos

b) 22 cursan solo Analisis Matematico II y Fısica IIc) 3 cursan unicamente Analisis Matematico II y Sistemas

Operativosd) 7 solo Fısica II y Sistemas Operativose) Todos ellos cursan, al menos, una de las tres disciplinas.

Encontrar el total de estudiantes que cursan una sola materia.Erik Papa Quiroz [email protected] Introducci on a la Matem atica Discreta: Teorıa de Conjuntos

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Problema 2

Soluci on del Problema 2

Sean los conjuntos:

A1 = { alumnos que cursan las tres disciplinas } ⇒ |A1| = 12

A2 = { alumnos que cursan solo AM II y Fisica II } ⇒ |A2| = 22

A3 = { alumnos que cursan solo AM II y SO } ⇒ |A3| = 3

A4 = { alumnos que cursan solo Fısica II y SO } ⇒ |A4| = 7

A5 = { alumnos que cursan solo AM II }

A6 = { alumnos que cursan solo Fısica II }

A7 = { alumnos que cursan solo SO }


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Problema 2


Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:

|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.

Entonces:

|A5| + |A6| + |A7| = 100 − (12 + 22 + 3 + 7) = 56.


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Problema 3

Problema 3

En una muestra de 100 pacientes se ha encontrado que 74 deellos presentan sıntomas de artritis, 17 de asma y 25 deosteoporosis. De los 100, 4 en concreto presentan los tressıntomas. Por otra parte, cada paciente presenta, al menos,una de las tres enfermedades. Se trata de conocer el numerode pacientes que presentan sıntomas de solo dos de lasenfermedades.


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Problema 3


Sean los conjuntos:

A1 = { solo sıntoma de artritis }

A2 = { solo sıntoma de asma }

A3 = { solo sıntoma de osteoporosis }

A4 = { solo sıntoma de artritis y asma }

A5 = { solo sıntoma de artritis y osteoporosis }

A6 = { solo sıntoma de asma y osteoporosis }

A7 = { sıntomas de las tres enfermedades }


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Problema 3


Los conjuntos son disjuntos, entonces aplicando el Teorema:

|A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6∪A7| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|+|A6|+|A7|.

Pero|A1| = 74 − |A4| − |A5| − |A7|

|A2| = 17 − |A4| − |A6| − |A7|

|A3| = 25 − |A5| − |A6| − |A7|

Entonces:

100 = 116 − |A4| − |A5| − |A6| − 2|A7|

⇒ |A4| + |A5| + |A6| = 116 − 100 − 2(4) = 8.


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Referencias


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conjuntos es

y b se dice que

y sistemasoperativosd

bromialgia y

esta en b

b o que b contiene

por ejemplo