DIAPOSITIVAS SEMANA N° 01 MATEMATICA BASICA

MATEMATICA BASICA

1

CONJUNTOS

PROGRAMA DE ESTUDIOSBASICOS

2011-II

CESAR AUGUSTO AVILA CELIS

SISTEMA NUMERICOS

120/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis

Números Naturales ( N ) N={0,1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q)

Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2 ; 3

1-

2

1

5

1

2

4

3

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;1+3i;3;....}2 ; 31

-2

20/08/2012 1Prof. Cesar A. Avila Celis

Números Naturales ( N ) N={0,1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q)

Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2 ; 3

1-

2

1

5

1

2

4

3

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;1+3i;3;....}2 ; 31

-2

20/08/2012 1Prof. Cesar A. Avila Celis

N

Z

QI

R

C

20/08/2012 4Prof. Cesar A. Avila Celis

A está contenido en B, si y sólo sí todoelemento de A está en B

NOTACIÓN : A B

Se lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B,A esta contenido en B , A es parte de B.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

B

A

INCLUSIÓN

Simbólicamente:

A B x: x A x B

20/08/2012 5Prof. Cesar A. Avila Celis

13

9

77

9

A B

El conjunto “A unión B” que se representa es elconjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A oa B o a ambos conjuntos.

A B

A B x / x A x B

Ejemplo:

15

1113

3

5

4

2

2;3;4;5;8;9;10A B ;11;15

20/08/2012 6Prof. Cesar A. Avila Celis

7

6

55

6

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa por A Bes el conjunto formado por todos los elementos que pertenecena A y pertenecen a B.

A B x / x A x B

Ejemplo:

1; 2;3; 4; 5;6;7 y B 5;6;A 7;8;10

10

87

3

1

4

2

B 5A ;6;7

20/08/2012 7Prof. Cesar A. Avila Celis

76

55

6

A B

El conjunto “A menos B” que se representa por es elconjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A yno pertenecen a B.

A B

A B x / x A x B

Ejemplo:

1;2;3; 4;5;6;7 y B 5;6;A 7;8;10

10

87

3

1

4

2

B 1;A 2;3; 4

20/08/2012 8Prof. Cesar A. Avila Celis

7

6

55

6

A B

El conjunto “A diferencia simétrica B ” que se representapor es el conjunto formado por todos loselementos que pertenecen a (A - B) o (B - A).

A B

A B x / x (A B) x (B A)

Ejemplo:

1; 2; 3; 4; 5;6;7 yB 5;6;A 7;8;10

10

87

3

1

4

2

B 1;2;3; 4A 8;10

20/08/2012 9Prof. Cesar A. Avila Celis

También es correcto afirmar que:

A B (A B) (B A)

A B (A B) (A B)

A B

A- B B - A

A B

20/08/2012 10Prof. Cesar A. Avila Celis

Dado un conjunto universal U y un conjunto A, se llamacomplemento de A al conjunto formado por todos loselementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

Notación: A’ o AC

Simbólicamente:

,

A x / x U x A

A’ = U - A

UA

A’

El conjunto diferencia A – B se denomina también complementode B respecto de A. CA B= {x/ x A x B}

Ejemplo: U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9}

y A ={1;3; 5; 7; 9}

A’={2;4;6,8}

12 3

45

6

78

9

UAA

20/08/2012 11Prof. Cesar A. Avila Celis 20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 12

4. Dados los conjuntos

; señale los elementos de cada uno de los

siguientes conjuntos:

U x / 0 x 9 , A x / 3 x 9 ,N Z

B x / 0 x 5N

Ca) (A B) b) (A B) (A B)

6. Si se cumple que: y ,

¿cuántos subconjuntos

propios tiene ?

x 1A 1 x 18

2

Z

x 1B 1 x 8; x

2Z

A B

c) n(A B)

13

Es un conjunto de números denotado por R condos operaciones: Adición (+) y Multiplicación (.) yuna relación de orden “menor que” (<)verificando los siguientes axiomas:

1) a, b R: a + b R y a.b R

2) a y b R :

a + b = b + a y a.b = b.a

Cerradura

Conmutativa

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 14

3) a, b y c R:

a+(b+c) = (a+b)+cy a(b.c) = (a.b)c

4) Elementos neutros.- ! 0 y 1 talesque, a en R: a+0 = a y a.1 = a

5)

6) Distributividad: a, b y c en R

a(b+c) = ab+ac(b+c) a = ba+ca

RR1 1 1.

a ! a / a ( a) a a 0a 0 ! a / a.a a a 1

RR

Asociativa

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 15

O1) Tricotomía: a < b a = b a > b

O2) Transitividad:

Si a < b y b < c entonces a < cO3) Si a < b entonces a+c < b+c, c R

O4)Si a<b y 0 < c entonces ac < bc

Axioma del Supremo: “Todo subconjunto denúmeros reales superiormente acotada poseesupremo”.

inicio20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis

16

Propiedades1)aR , a.0= 0 = 0.a

2) aR , -a = (-1).a

3) a+b =a +c b=c3) a,bR , a(-b)=(-a)b= -(ab)

4) aR , -(-a) = a

5) a,bR , (-a)(-b)= ab

DEFINICIÓN 1.-Sustracción: Sean a y b R a-b=a+(-b)

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 17

Definición 2.1a

Sean a,b , b 0 abb

R

Propiedades1 1 1a,b ; ab 0 (ab) a1 b. R

a,b,c,d ; b 0 d 0

a c ad bc

b

.

bd

2

d

R

1

Si a,b,x ;a 0

ax b 0 x a b

3.

R

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 18

a,b4 ab 0 a 0. b 0 R2 2a,b a b a b a b5. R

DESIGUALDADES

a,b a b b a R

a,b a b b a a b R

a,b a b b a a b R

Definición 1.- Sean

Definición 2.- Sean

Definición 3.- Sean

Definición 4.- Sea

a a positivo a 0 R20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis

I. Abierto a, b = {x/ a < x < b}

[a, b = {x/ a x < b}

a, b] = {x/ a < x b}

I. Cerrado [a, b] = {x/ a x b}

ba

ba

ba

a b

INTERVALOSSon subconjuntos de números reales que nos permiterepresentar la solución de ecuaciones e inecuaciones

20/08/2012 20Prof. Cesar A. Avila Celis 19

Definición 5.- Sea a a negativo a 0 R

Definición 7.- Sean a, b R entonces a y b

tienen signos distintos si y sólo si uno espositivo y el otro negativo.

Definición 6.- Sean a, b R entonces a y b

tienen el mismo signo si y sólo si ambos sonpositivos o negativos.

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis

Intervalos al infinito:

a, + = {x/ a < x < +} +a

-, b = {x/ - < x < b} -b

[a, + = {x/ a x < +} +

-, b] = {x/ - < x b } -

a

b

-, + = {x / x } =R R + +0

20/08/2012 21Prof. Cesar A. Avila Celis

22

1. En el conjunto de los números reales, exprese los conjuntosdados como intervalos y grafique sobre la recta real.

a) A x / x 2R b) B x / 4 x 6R

c) x / x 3 x 9R d) x x 8 x 9R /

e) x / x 15 x / x 14R R

f ) x / x 7 x / x 13R R

4. Si ,

determine y grafique .

xA x / 3,2 , B x / 3x 1,3

3R R

A B

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 23

21 6 M x x x R

2 21 6 ( 3 ) 1 0 x x x

2 2

2

( 3) 0 ( 3) 0

( 3) 10 10

R Rx x x x

x

M 10mínimo

Solución.- Completando cuadrados se tiene,

.

Por propiedad,

Por tanto,

.

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 24

4. Halle el mayor valor de m que verifique

2m x 4x 17 x R

6. Si , determine el menor

intervalo donde se halle 5 – 2x

x 22 3, x

x 5R

2. Si halle el mayor valor de m y el

menor M /

1 3x , ,

2 2

2m x x 3 M

2 n0 1 2 np(x) a a x a x ... a x

1 2 nCoeficientes : a ,a ,...,a n ; var iable : xa 0

p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0

Conjunto solución de una inecuación. Son todos los númerosreales que verifican la desigualdad.

20/08/2012 25Prof. Cesar A. Avila Celis

INECUACION DE SEGUNDO Y TERCER GRADO

Cuando el grado del polinomio es igual a 2 ó 3,

las desigualdades

se llaman desigualdades de segundo ó tercer gradorespectivamente.

p(x)

p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0, , ,

2ax bx c

Observación Toda expresión polinomial cuadrática de la forma:

es irreducible si no se puede factorizar en factores lineales en R .

20/08/2012 26Prof. Cesar A. Avila Celis

Observación .- Llamaremos puntos críticos de lospolinomios 2p(x) ax bx c

3 2p(x) ax bx cx d

a 0 p(x) 0

,

con a las raíces de la ecuación

Método abreviado para resolver inecuaciones.-Para resolver las inecuaciones polinomiales y racionales por éstemétodo se procede en la forma siguiente:1º) Se factoriza el polinomio ( ó polinomios) como producto defactores lineales y/o cuadráticos de la forma x – a . Los factorescuadráticos irreducibles se eliminan.

2º) Cada factor lineal se iguala a cero para hallar los puntoscríticos

20/08/2012 27Prof. Cesar A. Avila Celis

3º) Se ubican los puntos críticos sobre la recta real de menor amayor o viceversa4º) Se determinan tantos intervalos como puntos críticos seobtengan y se etiquetan los intervalos de derecha haciaizquierda con signos en forma alternada hastaterminar.

ó

5º) Se escribe el conjunto solución de la inecuación segúnla regla siguiente :

p(x) 0 x a) Si pertenece a la unión de intervalosabiertos con signos positivos

b) Si pertenece a la unión de intervaloscerrados con signos positivos

p(x) 0 x

c) Si pertenece a la unión de intervalosabiertos con signos negativos

p(x) 0 x

d) Si pertenece a la unión de intervaloscerrados con signos negativos

p(x) 0 x

20/08/2012 28Prof. Cesar A. Avila Celis 29

2 5 6 0x x

Ejercicio 1.- Resolver la inecuación,

( 3)( 2) 0x x

Solución.-

4)

.

2,3x

2

+

2) Los puntos críticos (p.c) son 2 y 3 .3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3

+

5) Elegimos el intervalo que tiene el signo” – “

1) Factorizando:

2,3CS

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis30

2 2 15 0x x

Ejercicio 2.- Resolver la inecuación,

( 5)( 3) 0x x

Solución.-

4)

.

, 5 3,x

-5

+

2) Los puntos críticos (p.c.) son -5 y 3 .3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3

+

5) Elegimos los intervalos con signo” + “

1) Factorizando:

, 5 3,CS 20/08/2012 30Prof. Cesar A. Avila Celis

31

Ejercicios:

8. Dados los conjuntos

Determine

9. Resuelva en R

10. Resuelva las inecuaciones en R

2 2A x / 3x 5 x y B x / 2x 3 xR R

Ca) (A B) b) (A B) (A B)

2 2 2c) x 3x 6 10 3x 5x 10 4x 3x

3 2d) x 3x 13x 15 0

3 2c) x 5x 13x 7 0

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis 32

2( ) 0.04 240 10000P x x x

APLICACION1. La Ganancia mensual estimada, obtenida por la empresaKodac al producir y vender x cámaras de modelo K1 es:

dólares. Encuentre la cantidad de cámaras que debeproducir para maximizar sus ganancias. R: 3000 cámaras.

20/08/2012 Prof. Cesar A. Avila Celis