a new time-frequency approach for weak chirp signal detection.pdf

7/27/2019 A New Time-Frequency Approach for Weak Chirp Signal Detection.pdf

1/11

A N e w T i m e - F r e q u e n c y A p p r o a c h f o r W e a k C h i r p S i g n a l D e t e c t i o n

H o u n g - J y h W a n g , T e - C h u n g Y a n g a n d C . - C . J a y K u o

S i g n a l a n d I m a g e P r o c e s s i n g I n s t i t u t e a n d D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g { S y s t e m s

U n i v e r s i t y o f S o u t h e r n C a l i f o r n i a , L o s A n g e l e s , C a l i f o r n i a 9 0 0 8 9 - 2 5 6 4

A B S T R A C T

S e v e r a l m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d t o d e t e c t c h i r p s i g n a l s b u r i e d i n w h i t e n o i s e , i n c l u d i n g w a v e l e t

s h r i n k a g e a n d m a t c h i n g p u r s u i t s . H o w e v e r , m o s t o f t h e s e m e t h o d s p e r f o r m p o o r l y w h e n t h e s i g n a l - t o -

n o i s e r a t i o ( S N R ) b e c o m e s v e r y l o w ( e . g . l o w e r t h a n 0 d B ) . I n t h i s w o r k , w e p r e s e n t a n e w t i m e - f r e q u e n c y

t e c h n i q u e u s i n g t h e m u l t i - w i n d o w F o u r i e r t r a n s f o r m ( M W F T ) a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x i n g . T h e n e w

m e t h o d d e t e c t s t h e l o c a t i o n a n d f r e q u e n c y r a n g e o f a c h i r p s i g n a l w i t h S N R u p t o - 6 d B .

K e y w o r d s : s i g n a l d e t e c t i o n , t i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s , w a v e l e t s h r i n k a g e , m a t c h i n g p u r s u i t , l o c a l m a x -

i m u m i n d e x .

1 I N T R O D U C T I O N

C h i r p s i g n a l d e t e c t i o n i n a v e r y n o i s y e n v i r o n m e n t i s i m p o r t a n t f o r m a n y m i l i t a r y a n d c o m m e r c i a l

a p p l i c a t i o n s . S e v e r a l s t a n d a r d m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r t h i s t a s k . O n e a p p r o a c h i s b a s e d o n

t h e w a v e l e t s h r i n k a g e t e c h n i q u e 1 ] , w h i c h d e n o i s e s t h e g i v e n d a t a i n t h e w a v e l e t d o m a i n . A n o t h e r

p o s s i b i l i t y i s t o r e p r e s e n t t h e d a t a b y u s i n g a j o i n t t i m e - f r e q u e n c y r e p r e s e n t a t i o n s u c h a s t h e G a b o r

t r a n s f o r m a n d m a t c h i n g p u r s u i t . H o w e v e r , m o s t o f t h e s e m e t h o d s p e r f o r m p o o r l y w h e n t h e s i g n a l - t o -

n o i s e r a t i o ( S N R ) b e c o m e s v e r y l o w ( e . g . l o w e r t h a n 0 d B ) . I n t h i s w o r k , w e e x a m i n e t h e f r e q u e n c y

e n e r g y d i s t r i b u t i o n o f t h e s i g n a l i n t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e , a n d i n t r o d u c e t h e m u l t i - w i n d o w F o u r i e r

t r a n s f o r m ( M W F T ) a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x s c h e m e t o d e t e c t t h e w e a k c h i r p u n d e r a n o i s y

e n v i r o n m e n t . T h e m u l t i - w i n d o w F o u r i e r t r a n s f o r m i s u s e d t o r e d u c e t h e c o m p u t a t i o n c o m p l e x i t y , w h i l e

a p o s t - p r o c e s s i n g t e c h n i q u e k n o w n a s t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x d e t e c t i o n i s a d o p t e d t o e n h a n c e t h e

o u t p u t o f t h e t i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s s o t h a t t h e s i g n a l c a n b e d e t e c t e d m o r e e a s i l y .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . W e b r i e y d e s c r i b e t h e w a v e l e t s h r i n k a g e a n d t h e m a t c h i n g

p u r s u i t s a l g o r i t h m s , a n d p o i n t o u t t h e i r l i m i t a t i o n s i n l o w S N R e n v i r o n m e n t i n S e c t i o n 2 . T h e n , w e

p r o p o s e a n e w t i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s m e t h o d t o d e t e c t t h e s i g n a l i n S e c t i o n 3 . T h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s

o f d e t e c t i n g t h e w e a k c h i r p s i g n a l w i t h S N R = - 3 , - 6 , - 9 d B a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n 4 . C o n c l u d i n g

r e m a r k s a r e g i v e n i n S e c t i o n 5

2 R E V I E W O F D E N O I S I N G T E C H N I Q U E S

2 . 1 W a v e l e t S h r i n k a g e

W a v e l e t s h r i n k a g e i s a w e l l k n o w n d e - n o i s i n g t e c h n i q u e w h i c h t r a n s f o r m s n o i s y d a t a f r o m t h e t e m -

p o r a l d o m a i n t o t h e w a v e l e t d o m a i n , a n d t h e n a p p l i e s a t h r e s h o l d i n g t o t h e r e s u l t i n g c o e c i e n t s , i . e .

s u p p r e s s i n g t h e c o e c i e n t s s m a l l e r t h a n a c e r t a i n a m p l i t u d e . F o r d e t a i l s , w e r e f e r t o 1 , 2 ] .

T o t e s t t h e p e r f o r m a n c e o f w a v e l e t s h r i n k a g e , w e g e n e r a t e t w o g r o u p s o f s a m p l e d a t a c o n s i s t i n g o f

c o s i n e a n d c h i r p w a v e s a s s h o w n i n F i g . 1 a n d 2 , r e s p e c t i v e l y . T h e a m p l i t u d e o f a d i s c r e t e - t i m e c h i r p


2/11

w a v e f o r m i s d e n e d a s

s ( n ) = A c o s ( n ) ; 8 n 2 0 ; 1 ; 2 ; ; N

T h e p h a s e ( n ) c a n b e e x p r e s s e d a s

( n ) = 2 f f

l

n +

( f

u

? f

l

) n

2

2 N

g + ' ; 0 f

l

< f

u

0 5 ;

w h e r e f

l

a n d f

u

d e n o t e t h e n o r m a l i z e d l o w e r a n d u p p e r d i s c r e t e f r e q u e n c y b a n d s , r e s p e c t i v e l y , a n d '

i s a c o n s t a n t p h a s e s h i f t f a c t o r . T h e n , t h e n o r m a l i z e d i n s t a n t a n e o u s f r e q u e n c y i s

f

N

( n ) = f

l

+

( f

u

? f

l

) n

N

W e c h o o s e f

u

= 0 1 , f

l

= 0 0 , ' = 0 , A = 1 a n d N = 1 2 8 f o r t h e s i g n a l s h o w n i n F i g u r e 2 . T h e t e s t

s i g n a l s a r e t h e n c o r r u p t e d b y a d d i t i v e w h i t e n o i s e w i t h d i e r e n t n o i s e p o w e r .

0 50 100 150 200 250 3001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Cosine Signal:256 points

F i g u r e 1 : T e s t c o s i n e s i g n a l c o n s i s t i n g o f 2 5 6 p o i n t s .

0 20 40 60 80 100 120 1401

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Chirp Signal:128 points

F i g u r e 2 : T e s t c h i r p s i g n a l c o n s i s t i n g o f 1 2 8 p o i n t s .

T h e r e s u l t s o f a p p l y i n g w a v e l e t s h r i n k a g e t o t h e t e s t s i g n a l s a r e s h o w n i n F i g u r e 3 ( a ) - ( d ) . T h e y

w e r e o b t a i n e d b y u s i n g t h e W a v e L a b P a c k a g e d e v e l o p e d a t t h e S t a n f o r d U n i v e r s i t y 3 ] w i t h t h e n e a r l y

s y m m e t r i c w a v e l e t w i t h 8 v a n i s h i n g m o m e n t s a n d t h e v i s u a l t h r e s h o l d m e t h o d . W e s e e t h a t t h e w a v e l e t

s h r i n k a g e a l g o r i t h m p e r f o r m s w e l l f o r S N R = 1 0 d B c a s e , b u t p o o r l y f o r S N R = 0 d B .


3/11

0 50 100 150 200 250 30010

5

0

5

10

15

Result after Wavelet Shrinkage: Visu, Symmlet8

Sine Signal + Gaussian Noise : 10 dB

( a )

0 20 40 60 80 100 120 14015

10

5

0

5

10

15

Result after Wavelet Shrinkage:Visu,Symmlet8

Chirp Signal+Gaussian Noise:10 dB

( b )

0 50 100 150 200 250 3001

0.5

0

0.5

1

1.5

2


Sine Signal + Gaussian Noise : 0 dB

( c )

0 20 40 60 80 100 120 1401.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2


Chirp Signal + Gaussian Noise : 0 dB

( d )

F i g u r e 3 : T h e r e s u l t s o f a p p l y i n g w a v e l e t s h r i n k a g e t o t w o t e s t s i g n a l s : ( a ) c o s i n e s i g n a l w i t h S N R =

1 0 d B , ( b ) c h i r p s i g n a l w i t h S N R = 1 0 d B , ( c ) c o s i n e s i g n a l w i t h S N R = 0 d B , ( d ) c h i r p s i g n a l w i t h

S N R = 0 d B .

2 . 2 M a t c h i n g P u r s u i t s

M a t c h i n g p u r s u i t s d e c o m p o s e a s i g n a l i n t o a l i n e a r e x p a n s i o n o f w a v e f o r m s s e l e c t e d f r o m a r e d u n d a n t

d i c t i o n a r y o f f u n c t i o n s 4 ] . T h e m a t c h i n g p u r s u i t s a l g o r i t h m p r o v i d e s a g e n e r a l p r o c e d u r e t o d e t e r m i n e

a n a d a p t i v e s i g n a l r e p r e s e n t a t i o n b y c o m p u t i n g t h e s i g n a l d i s t r i b u t i o n i n t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e . T o

g i v e a n e x a m p l e , w e u s e t h e m a t c h i n g p u r s u i t s r o u t i n e i n t h e W a v e L a b p a c k a g e 3 ] w i t h t h e H a a r b a s i s

t o t e s t a 1 0 2 4 - p o i n t c h i r p s i g n a l w i t h i n a 2 0 4 8 - p o i n t d a t a s e q u e n c e w i t h a d d i t i v e w h i t e n o i s e . T h e I m a g e

A t o m P h a s e P l a n e o f a p p l y i n g m a t c h i n g p u r s u i t s w i t h S N R = 4 0 , 3 a n d - 3 d B a r e s h o w n i n F i g s . 4 , 5 , 6 ,

r e s p e c t i v e l y . T h e r e s u l t d e g r a d e s f o r S N R = 3 d B , a n d b e c o m e s v e r y p o o r f o r S N R = - 3 d B .

3 A N E W T I M E - F R E Q U E N C Y D E T E C T I O N A P P R O A C H

I n t h i s s e c t i o n , w e p r o p o s e a n e w m e t h o d t o d e t e c t t h e c h i r p s i g n a l l o c a t i o n a n d i t s f r e q u e n c y r a n g e

b y p e r f o r m i n g t h e m u l t i - w i n d o w F o u r i e r t r a n s f o r m o n t h e s i g n a l a n d t h e n u s i n g a l o c a l m a x i m u m i n d e x

s c h e m e t o d i s p l a y t h e s i g n a l l o c a t i o n a n d f r e q u e n c y r a n g e i n t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e . F o r h i g h e r S N R

v a l u e s , o n l y t h e a p p l i c a t i o n o f t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x s c h e m e t o t h e r e s u l t o f s h o r t - t i m e F o u r i e r

t r a n s f o r m ( S T F T ) w o r k s p r o p e r l y .

B y c o m p a r i n g F o u r i e r a n d w a v e l e t b a s e s , w e c h o o s e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a s o u r b a s i c t r a n s f o r m ,


4/11

Phase plane: SNR=40db,Chirp Length:1024

Time

Frequ

ency

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g u r e 4 : D e n o i s i n g w i t h m a t c h i n g p u r s u i t s w i t h S N R = 4 0 d B c a s e , w h e r e t h e b l a c k r e g i o n d e n o t e s t h e

c h i r p s i g n a l l o c a t i o n a n d i t s s i g n a l f r e q u e n c y r a n g e ( t h e u p p e r s i d e c o r r e s p o n d i n g t o a h i g h e r f r e q u e n c y

v a l u e ) .


Time

Frequency

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g u r e 5 : D e n o i s i n g w i t h m a t c h i n g p u r s u i t s w i t h S N R = 3 d B .

s i n c e t h e w a v e l e t b a s e s a r e n o t w e l l s u i t a b l e f o r a n a r r o w - b a n d e d s i g n a l . T o m a k e a b a l a n c e b e t w e e n t h e

p e r f o r m a n c e a n d s p e e d , w e p r o p o s e a t e c h n i q u e c a l l e d t h e m u l t i - w i n d o w F o u r i e r t r a n s f o r m ( M W F T )

w h i c h c a n e n h a n c e t h e a d a p t i v i t y o f t h e s h o r t - t i m e ( o r w i n d o w e d ) F o u r i e r t r a n s f o r m w h i l e m a i n t a i n i n g

l o w c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h i s t r a n s f o r m i s s i m i l a r t o t h e G a b o r t r a n s f o r m i n s p i r i t , b u t e a s i e r t o

a p p l y i n i m p l e m e n t a t i o n .

F o r a g i v e n d a t a s e q u e n c e m ( n ) w i t h a t o t a l l e n g t h o f N

T

, t h e N - p o i n t S T F T :

M

N

( n

s

; k ) = F F T

N

n

s

; m ( n ) =

n

s

+ N ? 1

X

i = n

s

m ( i ) e

? j i

2 k

N

w h e r e n

s

i s t h e s t a r t i n g p o i n t o f t h e S T F T w i n d o w . B y m o v i n g t h e s t a r t i n g p o i n t n

s

o f S T F T , w e

c a n f o c u s o n d i e r e n t p o r t i o n o f t h e d a t a s e q u e n c e . U s u a l l y w e s e l e c t n

s

= n

N

2

, n = 0 ; 1 ; 2 ; s o

t h a t e a c h a d j a c e n t w i n d o w o f S T F T o v e r l a p s . T h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e o f S T F T c a n b e o b t a i n e d

b y a l i g n i n g e v e r y M

N

( k ) , w h e r e t h e y - a x i s i s t h e f r e q u e n c y - a x i s w i t h i n d e x 0 k N ? 1 a n d t h e

x - a x i s i s t h e t i m e - a x i s 0


5/11


Time

Frequ

ency

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F i g u r e 6 : D e n o i s i n g w i t h m a t c h i n g p u r s u i t s w i t h S N R = - 3 d B .

t r a n s f o r m r e p r e s e n t a t i o n , ( ; ! )

1

T h e b a s i c i d e a o f l o c a l m a x i m u m i n d e x s c h e m e i s t o d e t e r m i n e t h e m a x i m u m f r e q u e n c y e n e r g y

d i s t r i b u t i o n l o c a t i o n i n e a c h w i n d o w . F o r a g i v e n t i m e i n d e x = 1 ; 2 ; : : : ; t

T

, w e c a n c o m p u t e t h e

l a r g e s t e n e r g y v a l u e w i t h i n a w i n d o w

`

L

( )

f

m a x

! = 1

L

( ; ! ) ;

w h i c h c a n b e n o r m a l i z e d v i a

`

i m g

( ) =

`

L

( )

m a x ( `

L

( ) )

1 0 0 ;

a n d d e t e r m i n e t h e f r e q u e n c y i n d e x w h i c h g i v e s t h e l a r g e s t e n e r g y v a l u e

`

i d x

( ) = I N D E X

f

! = 1

L

( ; ! )

T h e p l o t o f `

i d x

( ) a s a f u n c t i o n o f i s c a l l e d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e . W e s h o w t h e t i m e -

f r e q u e n c y a n a l y s i s p l a n e a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e o f a p p l y i n g t h e 2 - l e v e l M W F T

2

a n d l o c a l

m a x i m u m i n d e x s c h e m e t o a 1 0 2 4 - p o i n t c h i r p s i g n a l b u r i e d i n w h i t e n o i s e w i t h S N R = 3 d B i n F i g s . 8

a n d 9 , r e s p e c t i v e l y . T h e o n e - l e v e l M W F T r e s u l t s w i t h w i n d o w s i z e s e q u a l t o 6 4 a n d 1 2 8 p o i n t s f o r S N R

= 3 d B a r e s h o w n i n F i g u r e 7 f o r c o m p a r i s o n . I n t h e u p p e r g u r e w i t h w i n d o w s i z e e q u a l t o 6 4 , t h e

v e r t i c a l a x i s d e n o t e s t h e f r e q u e n c y a n d t h e v a l u e 0 i s 0 . 0 ( r a d i u s ) , 3 2 i s a n d 6 4 i s 2 . I n t h e l o w e r

u g r e w i t h w i n d o w s i z e e q u a l t o 1 2 8 , t h e v a l u e 0 i s 0 . 0 , 6 4 i s a n d 1 2 8 i s 2 . F o r b o t h w i n d o w s i z e s ,

t h e r e s u l t s b o t h l o o k v e r y g o o d .

B a s e d o n F i g s . 8 a n d 9 , w e c a n s e e t h a t t h e s i g n a l h a s b e e n d e t e c t e d a n d i t s l o c a t i o n ( x - a x i s ) a n d

f r e q u e n c y r a n g e ( y - a x i s ) i s c l e a r l y d i s p l a y e d . F o r t h i s c a s e , t h i s c h i r p s i g n a l s t a r t s f r o m t h e 5 1 2

t h

p o i n t

w i t h s i g n a l l e n g t h e q u a l t o 1 0 2 4 p o i n t s . B y a s s u m i n g t h a t t h e f r e q u e n c y o f a n a r r o w - b a n d c h i r p s i g n a l t o

b e d e t e c t e d i s a s m o o t h f u n c t i o n o f t i m e w h i l e n o i s e h a s a a t w i d e - b a n d s p e c t r u m , t h e s i g n a l p a r t c a n

b e h i g h l i g h t e d i n t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e a s s h o w n i n F i g u r e 8 . O t h e r w i s e , d u e t o t h e c h a r a c t e r i s t i c s

o f r a n d o m n o i s e , n o s p e c i a l f r e q u e n c y w i l l b e e n h a n c e d s o t h a t w e a r e n o t a b l e t o s e e a s m o o t h c u r v e

i n t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e .

1

W h e r e i s t h e t i m e i n d e x a n d ! i s t h e f r e q u e n c y i n d e x . = 1 , 2 , 3 , t

T

a n d ! = 1 , 2 , 3 , f

2

F o r t h i s e x a m p l e , t h e l e v e l n u m b e r , L , i s 2 , s o t h e r s t w i n d o w s i z e , N

s

, i s 6 4 a n d t h e s e c o n d o n e i s 1 2 8 .


6/11

Image Result After Applying FFT:Window Size 1285 10 15 20 25 30

20

40

60

80

100

120

Image Result After Applying FFT:Window Size 64

Total length:2048,Chirp start at:512,Chirp length:1024

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

F i g u r e 7 : T h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e o f a p p l y i n g o n e - l e v e l M W F T t r a n s f o r m a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x

s c h e m e t o a 1 0 2 4 - p o i n t c h i r p s i g n a l w i t h S N R = 3 d B w i t h w i n d o w s i z e s 6 4 a n d 1 2 8 .

Image Result after applying MULW & Local Index Max

Total length:2048,Chirp start at:512,Chirp length:1024,SNR=3dB

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

F i g u r e 8 : T h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e o f a p p l y i n g t w o - l e v e l M W F T ( N

s

= 6 4 , L = 2 , w i n d o w s i z e s : 6 4

a n d 1 2 8 ) a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x t o a 1 0 2 4 - p o i n t c h i r p s i g n a l c o r r u p t e d b y w h i t e G a u s s i a n n o i s e w i t h

S N R = 3 d B .

4 E X P E R I M E N T A L R E S U L T

I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l s h o w t h e r e s u l t s o f a p p l y i n g M W F T a n d t h e l o c a l m a x i m u m I n d e x s c h e m e t o

d e t e c t t h e c h i r p s i g n a l w i t h w h i t e G a u s s i a n n o i s e o f S N R v a l u e = ? 3 , ? 6 a n d ? 9 d B . W e r s t e x a m n i n e

t h e g e n e r a t i o n o f t h e c h i r p s i g n a l i n S e c t i o n 4 . 1 , a n d t h e n d i s c u s s t h e c h i r p s i g n a l a n d g e n e r a l n a r r o w

b a n d s i g n a l d e t e c t i o n i n S e c t i o n s 4 . 2 a n d 4 . 3 , r e s p e c t i v e l y .

4 . 1 W E A K C H I R P S I G N A L G E N E R A T I O N

B y u s i n g t h e s i m i l a r f o r m u l a m e n t i o n e d i n S e c t i o n 2 . 1 , w e g e n e r a t e t h e c h i r p s i g n a l b y c h o o s i n g

f

u

= 0 2 , f

l

= 0 0 , ' = 0 , A = 1 a n d N = 1 0 2 4 . T h e n , w e g e n e r a t e t h e 2 0 4 8 p o i n t s o f w h i t e n o i s e b y

a G a u s s i a n r a n d o m v a l u e g e n e r a t o r a n d m i x t h e m w i t h t h e c h i r p s i g n a l s t a r t i n g f r o m 5 1 2

t h

p o i n t t o

1 5 3 5

t h

p o i n t ( 1 0 2 4 p o i n t s c h i r p s i g n a l i n t o t a l ) . T h e S N R i s d e n e d a s b e l o w :

S N R = 1 0 l o g

1 0

P

s

P

n

;

w h e r e P

s

m e a n s t h e s i g n a l p o w e r , a n d P

n

i s n o i s e p o w e r . I n t h e i m p l e m e n t a t i o n , w e k e e p t h e p o w e r o f

c h i r p s i g n a l t o 1 0 a n d c h a n g e t h e n o i s e p o w e r t o m e e t t h e r e q u i r e d S N R v a l u e .


7/11

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

Result After Applying Local Maximum Index Method

Total length:2048,Chirp start at:512,Chirp length:1024

F i g u r e 9 : T h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e o f a p p l y i n g M W F T ( N

s

= 6 4 ; L = 2 ) a n d l o c a l m a x i m u m

i n d e x t o a 1 0 2 4 - p o i n t c h i r p s i g n a l c o r r u p t e d b y w h i t e G a u s s i a n n o i s e w i t h S N R = 3 d B .

4 . 2 C H I R P S I G N A L D E T E C T I O N

W e s h o w t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e r e s u l t i n F i g u r e 1 0 ( a ) a n d t h e c o r r e s p o n d i n g l o c a l m a x i m u m

i n d e x i n F i g u r e 1 0 ( b ) a f t e r t h e a p p l i c a t i o n o f t h e 2 - l e v e l M W F T w i t h N

s

= 6 4 a n d t h e l o c a l m a x i m u m

i n d e x s c h e m e t o t h e c h i r p s i g n a l o f S N R = - 3 d B c a s e . B a s e d o n t h e s e t h e s e t w o g u r e s , o n e c a n l o c a t e

t h e s i g n a l p o s i t i o n w h i c h m a t c h e s o u r s i m u l a t i o n d a t a : a r o u n d f r o m 5 1 2

t h

t o 1 5 3 5

t h

p o i n t s w i t h 1 0 2 4

p o i n t s i n t o t a l . B e c a u s e N

s

= 6 4 a n d L = 2 , t h e t i m e d o m a i n ( x - a x i s ) s c a l i n g a t

N

s

2

= 3 2 . T h a t i s ,

e a c h p o i n t i n t h e x - a x i s d e n o t e s 3 2 p o i n t s i n t h e t i m e d o m a i n . T h e s m a l l e r N

s

i s , t h e m o r e p r e c i s i o n w e

h a v e i n t h e t i m e d o m a i n . H o w e v e r , s m a l l e r N

s

a l s o m e a n s t h e l e s s p r e c i s i o n i n t h e f r e q u e n c y d o m a i n .

I n t h i s w o r k , w e c h o o s e N

s

= 6 4 t o m a k e a b a l a n c e b e t w e e n t h e t i m e a n d f r e q u e n c y d o m a i n p r e c i s i o n .

T h e t i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x r e s u l t s f o r S N R = - 6 d B a r e s h o w n

i n F i g s . 1 0 ( c ) a n d 1 0 ( d ) , r e s p e c t i v e l y . O u r a l g o r i t h m s t i l l p e r f o r m s r e a s o n a b l y w e l l , e x c e p t f o r a f e w

p o i n t s m i s s i n g i n t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e . H o w e v e r , b y a d d i n g m o r e l e v e l s o f M W F T , t h e

p e r f o r m a n c e i m p r o v e s . W e s h o w t h e r e s u l t s o f t h e t i m e - f r e q u e n c y a n a l y s i s a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x

g u r e o f a p p l y i n g t h e 3 - l e v e l M W F T t o t h e d a t a s e q u e n c e t o b e t e s t e d w i t h S N R = - 6 d B i n F i g u r e 1 1 ( a )

a n d F i g u r e 1 1 ( b ) , r e s p e c t i v e l y . T h e r e s u l t s a r e b e t t e r t h a n t h o s e o b t a i n e d b y u s i n g 2 - l e v e l M W F T . E v e n

t h o u g h i n t h e o r y , t h e f r e q u e n c y e n e r g y w i l l b e e n h a n c e d a t t h e l o c a t i o n o f s i g n a l i n t i m e - f r e q u e n c y p l a n e ,

t h e m a x i m u m f r e q u e n c y e n e r g y m a y s o m e t i m e s b e d e t e r m i n e d b y n o i s e i n s o m e p a r t i c u l a r r e g i o n s . T h i s

e e c t w i l l b e m o r e f r e q u e n t f o r w e a k e r S N R c a s e s , b e c a u s e n o i s e m a y b e c o h e r e n t t o f o r m o n e p a r t i c u l a r

f r e q u e n c y b a n d a n d m a t c h t h e S T F T w i n d o w s i z e i n a c e r t a i n r e g i o n s o t h a t i t i s j u d g e d a s o n e n a r r o w

b a n d s i g n a l i n t h e t i m e - f r e q u e n c y d o m a i n . A n o t h e r p r o b l e m a s s o c i a t e d w i t h t h e w e a k S N R c a s e s i s

t h a t t h e n o i s e p o w e r i s o f t e n l a r g e r t h a n t h e s i g n a l p o w e r a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x m a y r e p o r t a n

i n c o r r e c t p o s i t i o n a s a s i g n a l w h i c h i s a c t u a l l y a n o i s e i n s i n g l e w i n d o w S T F T . H o w e v e r , b y p e r f o r m i n g

M W F T , w e c a n r e d u c e t h e p r o b a b i l i t y o f m i s d e t e c t i o n a n d i m p r o v e t h e d e t e c t i o n r e s u l t s b y i n c r e a s i n g

t h e l e v e l n u m b e r . I n p r a c t i c e , a l a r g e r l e v e l n u m b e r m e a n s m o r e c o m p u t a t i o n a n d w e h a v e t o m a k e

a b a l a n c e b e t w e e n c o m p u t a t i o n c o m p l e x i t y a n d p r e c i s i o n . G e n e r a l l y s p e a k i n g , L = 3 o r 4 i s a g o o d

c h o i c e . F o r t h e e x p e r i m e n t s i n t h i s s e c t i o n , L = 2 i s s u c i e n t f o r S N R u p t o - 6 d B .

F i n a l l y , w e e x a m i n e t h e c a s e w i t h S N R = - 9 d B . T h e r e s u l t s w i t h N

s

= 6 4 a n d L = 2 a r e s h o w n

i n F i g u r e 1 1 ( c ) . I t i s n o t e a s y t o n d o u t t h e s i g n a l l o c a t i o n a n d i t s f r e q u e n c y r a n g e f r o m t h i s g u r e .

H o w e v e r , i f w e e x t e n d o u r s i m u l a t e d d a t a s e q u e n c e t o a d a t a s e q u e n c e o f l e n g t h = 8 1 9 2 p o i n t s w i t h t h e

c h i r p s i g n a l s t a r t i n g a t t h e 2 0 4 8

t h

p o i n t w i t h l e n g t h 4 0 9 6 p o i n t s , a b e t t e r t i m e - f r e q u e n c y p l a n e r e s u l t i s


8/11



10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

( a )

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

Result After Applying Local Maximum Index Method

Total length:2048,Chirp start at:512,Chirp length:1024,SNR=3db

( b )



10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

( c )

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

Result after applying MULW & Local Index Max


( d )

F i g u r e 1 0 : T h e i m a g e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e a f t e r a p p l y i n g L = 2 l e v e l

M W F T a n d l o c a l m a x i m u m s c h e m e , w h e r e ( a ) a n d ( b ) a r e f o r w i t h S N R = ? 3 d B , a n d ( c ) a n d ( d ) a r e

w i t h S N R = ? 6 d B .

o b t a i n e d a s s h o w n i n F i g u r e 1 1 ( d ) . W e c a n n d t h e l o c a t i o n a n d t h e f r e q u e n c y r a n g e o f t h e c h i r p s i g n a l

c l e a r l y . E v e n t h o u g h w e m a y m i s d e t e c t s o m e p i x e l s i n t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e , b u t m o s t p i x e l s a r e

c o r r e c t l y d e t e c t e d . T h a t m e a n s i t r e d u c e s t h e r a t e o f m i s d e t e c t i n g w h e n i n c r e a s i n g t h e t o t a l n u m b e r o f

p o i n t s o f s i g n a l .

4 . 3 G E N E R A L N A R R O W - B A N D S I G N A L D E T E C T I O N

T h e p r o p o s e a l g o r i t h m o f u s i n g m u l t i - w i n d o w F o u r i e r t r a n s f o r m a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x i n g

p r o v i d e s a g e n e r a l p r o c e d u r e t o d e t e c t t h e s i g n a l . T h e y a r e n o t o n l y a p p l i c a b l e t o t h e c h i r p s i g n a l b u t

a l s o a n y n a r r o w - b a n d e d s i g n a l w h o s e e n e r g y i s c o n c e n t r a t e d i n a c e r t a i n n a r r o w f r e q u e n c y c o m p o n e n t

v a r y i n g w i t h t h e t i m e i n d e x . W e s h o w i n F i g u r e 1 2 a s i g n a l w h i c h c o n t a i n s o n e c o s i n e w a v e , o n e s i n e

w a v e w i t h d i e r e n t f r e q u e n c y c o m p o n e n t s a n d a c h i r p s i g n a l . F i g u r e 1 3 s h o w s t h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e

r e s u l t o f a p p l y i n g M W F T a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x t o t h i s s i g n a l b u r i e d i n w h i t e n o i s e w i t h S N R

= 3 d B a n d F i g u r e 1 4 s h o w s t h e c o r r e s p o n d i n g l o c a m a x i m u m i n d e x g u r e .

4 . 4 D I S C U S S I O N

B a s e d o n t h e a b o v e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , w e c a n s u m m a r i z e o u r o b s e r v a t i o n s a s f o l l o w s .


9/11

Image Result after applying 3 level MULW & Local Index Max


10 20 30 40 50 60

20

40

60

80

100

120

( a )

0 10 20 30 40 50 60 700

20

40

60

80

100

120

140

Result after applying 3 level MULW & Local Index Max


( b )



10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

( c )



50 100 150 200 250

10

20

30

40

50

60

( d )

F i g u r e 1 1 : F i g u r e ( a ) a n d ( b ) s h o w t h e r e s u l t s o f a p p l y i n g 3 l e v e l M W F T a n d l o c a l m a x i m u m s c h e m e .

I t p e r f o r m s b e t t e r t h a n t h e r e s u l t s o f F i g . 1 0 ( c ) a n d ( d ) , f o r w h i c h o n l y t h e 2 - l e v e l M W F T i s a p p l i e d

o n l y . F i g u r e ( c ) s h o w s t h e r e s u l t o f a p p l y i n g 2 l e v e l M W F T a n d l o c a l m a x i m u m i n d e x t o a c h i r p s i g n a l

w i t h l e n g t h = 1 0 2 4 p o i n t s a n d S N R = - 9 d B . F i g u r e ( d ) s h o w s t h e r e s u l t o f a p p l y i n g 2 l e v e l M W F T a n d

l o c a l m a x i m u m i n d e x t o a c h i r p s i g n a l w i t h l e n g t h = 4 0 9 6 p o i n t s a n d S N R = - 9 d B . B y c o m p a r i n g ( c )

a n d ( d ) , w e c a n s e e t h a t t h e l o n g e r t h e s i g n a l l e n g t h i s , t h e b e t t e r t h e p e r f o r m a n c e i s .

1 . O u r p r o p o s e d s i g n a l d e t e c t i o n a l g o r i t h m i s s i m p l e t o a p p l y . U n l i k e t h e G a b o r t r a n s f o r m , i t d o e s

n o t c r e a t e t h e c o e c i e n t d i c t i o n a r y w h i c h r e q u i r e s a l o t o f c o m p u t a t i o n s .

2 . I t h a s b e t t e r r e s u l t s i n d e t e c t i n g t h e s i g n a l l o c a t i o n a n d f r e q u e n c y r a n g e w h e n c o m p a r e d w i t h

w a v e l e t s h r i n k a g e a n d m a t c h i n g p u r s u i t .

3 . F o r x e d v a l u e s o f N

s

a n d L , t h e l a r g e r t h e s i g n a l l e n g t h i s , t h e b e t t e r t h e p e r f o r m a n c e i s .

4 . F o r x e d v a l u e s o f N

s

a n d s i g n a l l e n g t h , t h e l a r g e r t h e l e v e l n u m b e r o f M u l t i - W i n d o w F o u r i e r

T r a n s f o r m i s , t h e b e t t e r t h e r e s u l t i s . H o w e v e r , a l a r g e r l e v e l n u m b e r r e q u i r e s m o r e c o m p u t a t i o n .

5 . T h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e c a n b e a p p l i e d t o s i g n a l m a t c h i n g . W e c a n d e c i d e w h e t h e r a n y

t w o s i g n a l s c o r r u p t e d b y a n o i s y e n v i r o n m e n t a r e i d e n t i c a l b y c o m p a r i n g t h e i r l o c a l m a x i m u m

i n d e x g u r e s . T o r e d u c e t h e e e c t s o f s o m e m i s d e t e c t i n g p o i n t s i n t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e ,

w e s u g g e s t t o p e r f o r m t h e f o l l o w i n g p r e p r o c e s s i n g p r o c e d u r e :


10/11

0 500 1000 1500 2000 25001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

F i g u r e 1 2 : T h e o r i g i n a l m u l t i - f r e q u e n c y s i g n a l .

10 20 30 40 50 60

10

20

30

40

50

60

F i g u r e 1 3 : T h e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e a f t e r a p p l y i n g 2 l e v e l M W F T a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x s c h e m e

w i t h S N R = 3 d B .

F o r k

t h

s t e p , k = 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; t

T

, c o m p u t e t h e a v e r a g e f r e q u e n c y v a l u e o f k

t h

a n d i t s f o l l o w i n g

p o i n t s . T h a t i s M E A N

k

=

1

P

k + ? 1

= k

` ( ) w h e r e ` ( ) m e a n s t h e r e s u l t o f t h e t i m e - f r e q u e n c y

p l a n e a f t e r a p p l y i n g M W F T a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x m e t h o d .

C o m p u t e c u r r e n t M E A N

k + 1

I f t h e d i e r e n c e ( k ) b e t w e e n M E A N

k

a n d M E A N

k + 1

i s l a r g e r t h a n t h a n D ( k ) w h i c h i s

d e n e d a s D ( k ) =

1 0 0

M E A N

k

, a n d a l l o f ( k ? 1 ) , ( k ? 2 ) , , ( k ? ) a r e s m a l l e r

t h a n t h e i r c o r r e s p o n d i n g D ( i ) , i = k ? 1 ; : : : ; k ? , c h a n g e t h e v a l u e o f ` ( k + ) t o M E A N

k

,

o t h e r w i s e , n o c h a n g e .

N o t e :

t

T

= 2

N

T

N

s

i s t h e t o t a l p i x e l n u m b e r i n t h e t i m e d o m a i n , w h e r e N

T

i s t h e t o t a l

n u m b e r o f t h e d a t a s e q u e n c e .

i n t h e a v e r a g e p o s t - p r o c e s s i n g w i n d o w s i z e w h i c h i s l e s s t h a n N

s

( k ) = k M E A N

k

? M E A N

k + 1

k

i s a c o n s t a n t l e s s t h a n N

s

i s a c o n s t a n t l e s s t h a n 1 0 0 .


11/11

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

F i g u r e 1 4 : T h e l o c a l m a x i m u m i n d e x g u r e a f t e r a p p l y i n g 2 - l e v e l M W F T a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x

s c h e m e w i t h S N R = 3 d B .

5 C O N C L U S I O N

B y u s i n g b o t h M W F T a n d t h e l o c a l m a x i m u m i n d e x s c h e m e , t h e c h i r p s i g n a l b u r i e d i n a n o i s y

e n v i r o n m e n t c a n b e d e t e c t e d a n d l o c a t e d c o r r e c t l y i n t h e i m a g e t i m e - f r e q u e n c y p l a n e . T h i s a p p r o a c h

r e q u i r e s l e s s c o m p u t a t i o n a n d p e r f o r m s b e t t e r t h a n t h e w a v e l e t s h r i n k a g e a n d m a t c h i n g p u r s u i t w h e n

S N R i s b e l o w 0 d B . M o r e o v e r , t h e i d e a o f n o i s e r e m o v a l i n m u l t i - w i n d o w F o u r i e r t r a n s f o r m p r o v i d e s a n

e x c e l l e n t s i g n a l e n h a n c e m e n t t e c h n i q u e w h i c h i s s u p e r i o r t o o t h e r s t a n d a r d m e t h o d s .

6 A C K N O W L E D G M E N T

T h i s w o r k w a s s u p p o r t e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n P r e s i d e n t i a l F a c u l t y F e l l o w ( P F F )

A w a r d A S C - 9 3 5 0 3 0 9 .

7 R E F E R E N C E S

1 ] R . R . C o m a n a n d D . L . D o n o h o , \ T r a n s l a t i o n - I n v a r i a n t D e - N o i s i n g , " Y a l e U n i v e r s i t y a n d S t a n f o r d

U n i v e r s i t y .

2 ] D . L . D o n o h o , G . K . J o h n s t o n e a n d D . P i c a r d , " W a v e l e t S h r i n k a g e : A s y m p t o p i a , " J . R o y . S t a t i s t .

S o c . , B 5 7 2 , p p . 3 0 1 { 3 6 9 .

3 ] J . B . B u c k h e i t a n d D . L . D o n o h o , " W a v e L a b a n d R e p r o d u c i b l e R e s e a r c h , " S t a n f o r d U n i v e r s i t y .

4 ] S . G . M a l l a t a n d Z . Z h a n g , \ M a t c h i n g P u r s u i t s w i t h T i m e - F r e q u e n c y D i c t i o n a r i e s , " I E E E T r a n s .

S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 4 1 , N o . 1 2 , D e c . 1 9 9 3 , p p . 3 3 9 7 { 3 4 1 5 .

5 ] S . Q i a n a n d D . C h e n , \ D i s c r e t e G a b o r T r a n s f o r m , " I E E E T r a n s . S i g n a l P r o c e s s i n g , V o l . 4 1 , N o . 7 ,

J u l y . 1 9 9 3 . p p . 2 4 2 9 { 2 4 3 8 .

6 ] V . C . C h e n , \ R e c o n s t r u c t i o n o f I n v e r s e S y n t h e t i c A p e r t u r e R a d a r I m a g e A d a p t i v e T i m e - F r e q u e n c y

W a v e l e t T r a n s f o r m , " S P I E , V o l . 2 4 9 1 , p p . 3 7 3 { 3 8 6 .

7 ] L e o n C o h e n , \ T i m e - F r e q u e n c y D i s t r i b u t i o n s - A R e v i e w , " P r o c e e d i n g s o f I E E E , V o l . 7 7 , N o . 7 , J u l y .

1 9 8 9 . p p . 9 4 1 { 9 4 9 .

8 ] L . C . L i n , T . J . L e e a n d C . - C . J a y K u o , \ A W a v e l e t B a s e d E x t r a p o l a t i o n T e c h n i q u e f o r H i g h R e s o -

l u t i o n B e a m f o r m i n g , " S I P I , U n i v e r s i t y o f S o u t h e r n C a l i f o r n i a

a new time-frequency approach for weak chirp signal detection.pdf

Documents