8/12/2019 Vladimir Arnold

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p u p i l s o f a l l l i n e s r s t i n F r a n c e , t h e n i n o t h e r c o u n t r i e s , i n c l u d i n g R u s s i a .

T o t h e q u e s t i o n w h a t i s 2 + 3 " a F r e n c h p r i m a r y s c h o o l p u p i l r e p l i e d :

3 + 2 , s i n c e a d d i t i o n i s c o m m u t a t i v e " . H e d i d n o t k n o w w h a t t h e s u m w a s

e q u a l t o a n d c o u l d n o t e v e n u n d e r s t a n d w h a t h e w a s a s k e d a b o u t !

A n o t h e r F r e n c h p u p i l q u i t e r a t i o n a l , i n m y o p i n i o n d e n e d m a t h e m a t i c s

a s f o l l o w s : t h e r e i s a s q u a r e , b u t t h a t s t i l l h a s t o b e p r o v e d " .

J u d g i n g b y m y t e a c h i n g e x p e r i e n c e i n F r a n c e , t h e u n i v e r s i t y s t u d e n t s '

i d e a o f m a t h e m a t i c s e v e n o f t h o s e t a u g h t m a t h e m a t i c s a t t h e

E c o l e N o r -

m a l e S u p e r i e u r e I f e e l s o r r y m o s t o f a l l f o r t h e s e o b v i o u s l y i n t e l l i g e n t b u t

d e f o r m e d k i d s i s a s p o o r a s t h a t o f t h i s p u p i l .

F o r e x a m p l e , t h e s e s t u d e n t s h a v e n e v e r s e e n a p a r a b o l o i d a n d a q u e s t i o n

o n t h e f o r m o f t h e s u r f a c e g i v e n b y t h e e q u a t i o n x y = z

2

p u t s t h e m a t h e m a t i -

c i a n s s t u d y i n g a t E N S i n t o a s t u p o r . D r a w i n g a c u r v e g i v e n b y p a r a m e t r i c

e q u a t i o n s l i k e x = t

3

, 3 t , y = t

4

, 2 t

2

o n a p l a n e i s a t o t a l l y i m p o s s i -

b l e p r o b l e m f o r s t u d e n t s a n d , p r o b a b l y , e v e n f o r m o s t F r e n c h p r o f e s s o r s o f

m a t h e m a t i c s .

B e g i n n i n g w i t h l ' H o s p i t a l ' s r s t t e x t b o o k o n c a l c u l u s c a l c u l u s f o r u n d e r -

s t a n d i n g o f c u r v e d l i n e s " a n d r o u g h l y u n t i l G o u r s a t ' s t e x t b o o k , t h e a b i l i t y

t o s o l v e s u c h p r o b l e m s w a s c o n s i d e r e d t o b e a l o n g w i t h t h e k n o w l e d g e o f

t h e t i m e s t a b l e a n e c e s s a r y p a r t o f t h e c r a f t o f e v e r y m a t h e m a t i c i a n .

M e n t a l l y c h a l l e n g e d z e a l o t s o f a b s t r a c t m a t h e m a t i c s " t h r e w a l l t h e g e -

o m e t r y t h r o u g h w h i c h c o n n e c t i o n w i t h p h y s i c s a n d r e a l i t y m o s t o f t e n t a k e s

p l a c e i n m a t h e m a t i c s o u t o f t e a c h i n g . C a l c u l u s t e x t b o o k s b y G o u r s a t , H e r -

m i t e , P i c a r d w e r e r e c e n t l y d u m p e d b y t h e s t u d e n t l i b r a r y o f t h e U n i v e r s i t i e s

P a r i s 6 a n d 7 J u s s i e u a s o b s o l e t e a n d , t h e r e f o r e , h a r m f u l t h e y w e r e o n l y

r e s c u e d b y m y i n t e r v e n t i o n .

E N S s t u d e n t s w h o h a v e s a t t h r o u g h c o u r s e s o n d i e r e n t i a l a n d a l g e b r a i c

g e o m e t r y r e a d b y r e s p e c t e d m a t h e m a t i c i a n s t u r n e d o u t b e a c q u a i n t e d n e i -

t h e r w i t h t h e R i e m a n n s u r f a c e o f a n e l l i p t i c c u r v e y

2

= x

3

+ a x + b n o r , i n

f a c t , w i t h t h e t o p o l o g i c a l c l a s s i c a t i o n o f s u r f a c e s n o t e v e n m e n t i o n i n g e l l i p -

t i c i n t e g r a l s o f r s t k i n d a n d t h e g r o u p p r o p e r t y o f a n e l l i p t i c c u r v e , t h a t i s ,

t h e E u l e r - A b e l a d d i t i o n t h e o r e m . T h e y w e r e o n l y t a u g h t H o d g e s t r u c t u r e s

a n d J a c o b i v a r i e t i e s !

H o w c o u l d t h i s h a p p e n i n F r a n c e , w h i c h g a v e t h e w o r l d L a g r a n g e a n d

L a p l a c e , C a u c h y a n d P o i n c a r e , L e r a y a n d T h o m ? I t s e e m s t o m e t h a t a

r e a s o n a b l e e x p l a n a t i o n w a s g i v e n b y I . G . P e t r o v s k i i , w h o t a u g h t m e i n

1 9 6 6 : g e n u i n e m a t h e m a t i c i a n s d o n o t g a n g u p , b u t t h e w e a k n e e d g a n g s

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i n o r d e r t o s u r v i v e . T h e y c a n u n i t e o n v a r i o u s g r o u n d s i t c o u l d b e s u p e r -

a b s t r a c t n e s s , a n t i - S e m i t i s m o r a p p l i e d a n d i n d u s t r i a l " p r o b l e m s , b u t t h e

e s s e n c e i s a l w a y s a s o l u t i o n o f t h e s o c i a l p r o b l e m s u r v i v a l i n c o n d i t i o n s o f

m o r e l i t e r a t e s u r r o u n d i n g s .

B y t h e w a y , I s h a l l r e m i n d y o u o f a w a r n i n g o f L . P a s t e u r : t h e r e n e v e r h a v e

b e e n a n d n e v e r w i l l b e a n y a p p l i e d s c i e n c e s " , t h e r e a r e o n l y a p p l i c a t i o n s o f

s c i e n c e s q u i t e u s e f u l o n e s ! .

I n t h o s e t i m e s I w a s t r e a t i n g P e t r o v s k i i ' s w o r d s w i t h s o m e d o u b t , b u t n o w

I a m b e i n g m o r e a n d m o r e c o n v i n c e d o f h o w r i g h t h e w a s . A c o n s i d e r a b l e p a r t

o f t h e s u p e r - a b s t r a c t a c t i v i t y c o m e s d o w n s i m p l y t o i n d u s t r i a l i s i n g s h a m e l e s s

g r a b b i n g o f d i s c o v e r i e s f r o m d i s c o v e r e r s a n d t h e n s y s t e m a t i c a l l y a s s i g n i n g

t h e m t o e p i g o n s - g e n e r a l i z e r s . S i m i l a r l y t o t h e f a c t t h a t A m e r i c a d o e s n o t

c a r r y C o l u m b u s ' s n a m e , m a t h e m a t i c a l r e s u l t s a r e a l m o s t n e v e r c a l l e d b y t h e

n a m e s o f t h e i r d i s c o v e r e r s .

I n o r d e r t o a v o i d b e i n g m i s q u o t e d , I h a v e t o n o t e t h a t m y o w n a c h i e v e -

m e n t s w e r e f o r s o m e u n k n o w n r e a s o n n e v e r e x p r o p r i a t e d i n t h i s w a y , a l t h o u g h

i t a l w a y s h a p p e n e d t o b o t h m y t e a c h e r s K o l m o g o r o v , P e t r o v s k i i , P o n t r y a -

g i n , R o k h l i n a n d m y p u p i l s . P r o f . M . B e r r y o n c e f o r m u l a t e d t h e f o l l o w i n g

t w o p r i n c i p l e s :

T h e A r n o l d P r i n c i p l e . I f a n o t i o n b e a r s a p e r s o n a l n a m e , t h e n t h i s n a m e

i s n o t t h e n a m e o f t h e d i s c o v e r e r .

T h e B e r r y P r i n c i p l e . T h e A r n o l d P r i n c i p l e i s a p p l i c a b l e t o i t s e l f .

L e t ' s r e t u r n , h o w e v e r , t o t e a c h i n g o f m a t h e m a t i c s i n F r a n c e .

W h e n I w a s a r s t - y e a r s t u d e n t a t t h e F a c u l t y o f M e c h a n i c s a n d M a t h e -

m a t i c s o f t h e M o s c o w S t a t e U n i v e r s i t y , t h e l e c t u r e s o n c a l c u l u s w e r e r e a d b y

t h e s e t - t h e o r e t i c t o p o l o g i s t L . A . T u m a r k i n , w h o c o n s c i e n t i o u s l y r e t o l d t h e

o l d c l a s s i c a l c a l c u l u s c o u r s e o f F r e n c h t y p e i n t h e G o u r s a t v e r s i o n . H e t o l d

u s t h a t i n t e g r a l s o f r a t i o n a l f u n c t i o n s a l o n g a n a l g e b r a i c c u r v e c a n b e t a k e n

i f t h e c o r r e s p o n d i n g R i e m a n n s u r f a c e i s a s p h e r e a n d , g e n e r a l l y s p e a k i n g ,

c a n n o t b e t a k e n i f i t s g e n u s i s h i g h e r , a n d t h a t f o r t h e s p h e r i c i t y i t i s e n o u g h

t o h a v e a s u c i e n t l y l a r g e n u m b e r o f d o u b l e p o i n t s o n t h e c u r v e o f a g i v e n

d e g r e e w h i c h f o r c e s t h e c u r v e t o b e u n i c u r s a l : i t i s p o s s i b l e t o d r a w i t s r e a l

p o i n t s o n t h e p r o j e c t i v e p l a n e w i t h o n e s t r o k e o f a p e n .

T h e s e f a c t s c a p t u r e t h e i m a g i n a t i o n s o m u c h t h a t e v e n g i v e n w i t h o u t

a n y p r o o f s t h e y g i v e a b e t t e r a n d m o r e c o r r e c t i d e a o f m o d e r n m a t h e m a t i c s

t h a n w h o l e v o l u m e s o f t h e B o u r b a k i t r e a t i s e . I n d e e d , h e r e w e n d o u t a b o u t

t h e e x i s t e n c e o f a w o n d e r f u l c o n n e c t i o n b e t w e e n t h i n g s w h i c h s e e m t o b e

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5 , 7 , 9 i n t o a n o d d n u m b e r o f n a t u r a l s u m m a n d s g i v e s t h e s e q u e n c e 1 , 2 , 4 ,

8 , 1 6 , b u t t h e n c o m e s 2 9 .

A s a r e s u l t w e f o r m u l a t e t h e e m p i r i c a l d i s c o v e r y t h a t w e m a d e f o r e x -

a m p l e , t h e F e r m a t c o n j e c t u r e o r P o i n c a r e c o n j e c t u r e a s c l e a r l y a s p o s s i b l e .

A f t e r t h i s t h e r e c o m e s t h e d i c u l t p e r i o d o f c h e c k i n g a s t o h o w r e l i a b l e a r e

t h e c o n c l u s i o n s .

A t t h i s p o i n t a s p e c i a l t e c h n i q u e h a s b e e n d e v e l o p e d i n m a t h e m a t i c s .

T h i s t e c h n i q u e , w h e n a p p l i e d t o t h e r e a l w o r l d , i s s o m e t i m e s u s e f u l , b u t c a n

s o m e t i m e s a l s o l e a d t o s e l f - d e c e p t i o n . T h i s t e c h n i q u e i s c a l l e d m o d e l l i n g .

W h e n c o n s t r u c t i n g a m o d e l , t h e f o l l o w i n g i d e a l i s a t i o n i s m a d e : c e r t a i n f a c t s

w h i c h a r e o n l y k n o w n w i t h a c e r t a i n d e g r e e o f p r o b a b i l i t y o r w i t h a c e r t a i n

d e g r e e o f a c c u r a c y , a r e c o n s i d e r e d t o b e a b s o l u t e l y " c o r r e c t a n d a r e a c c e p t e d

a s a x i o m s " . T h e s e n s e o f t h i s a b s o l u t e n e s s " l i e s p r e c i s e l y i n t h e f a c t t h a t

w e a l l o w o u r s e l v e s t o u s e t h e s e f a c t s " a c c o r d i n g t o t h e r u l e s o f f o r m a l l o g i c ,

i n t h e p r o c e s s d e c l a r i n g a s t h e o r e m s " a l l t h a t w e c a n d e r i v e f r o m t h e m .

I t i s o b v i o u s t h a t i n a n y r e a l - l i f e a c t i v i t y i t i s i m p o s s i b l e t o w h o l l y r e l y

o n s u c h d e d u c t i o n s . T h e r e a s o n i s a t l e a s t t h a t t h e p a r a m e t e r s o f t h e s t u d i e d

p h e n o m e n a a r e n e v e r k n o w n a b s o l u t e l y e x a c t l y a n d a s m a l l c h a n g e i n p a r a m -

e t e r s f o r e x a m p l e , t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s o f a p r o c e s s c a n t o t a l l y c h a n g e t h e

r e s u l t . S a y , f o r t h i s r e a s o n a r e l i a b l e l o n g - t e r m w e a t h e r f o r e c a s t i s i m p o s s i b l e

a n d w i l l r e m a i n i m p o s s i b l e , n o m a t t e r h o w m u c h w e d e v e l o p c o m p u t e r s a n d

d e v i c e s w h i c h r e c o r d i n i t i a l c o n d i t i o n s .

I n e x a c t l y t h e s a m e w a y a s m a l l c h a n g e i n a x i o m s o f w h i c h w e c a n n o t

b e c o m p l e t e l y s u r e i s c a p a b l e , g e n e r a l l y s p e a k i n g , o f l e a d i n g t o c o m p l e t e l y

d i e r e n t c o n c l u s i o n s t h a n t h o s e t h a t a r e o b t a i n e d f r o m t h e o r e m s w h i c h h a v e

b e e n d e d u c e d f r o m t h e a c c e p t e d a x i o m s . T h e l o n g e r a n d f a n c i e r i s t h e c h a i n

o f d e d u c t i o n s p r o o f s " , t h e l e s s r e l i a b l e i s t h e n a l r e s u l t .

C o m p l e x m o d e l s a r e r a r e l y u s e f u l u n l e s s f o r t h o s e w r i t i n g t h e i r d i s s e r t a -

t i o n s .

T h e m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e o f m o d e l l i n g c o n s i s t s o f i g n o r i n g t h i s t r o u b l e

a n d s p e a k i n g a b o u t y o u r d e d u c t i v e m o d e l i n s u c h a w a y a s i f i t c o i n c i d e d

w i t h r e a l i t y . T h e f a c t t h a t t h i s p a t h , w h i c h i s o b v i o u s l y i n c o r r e c t f r o m t h e

p o i n t o f v i e w o f n a t u r a l s c i e n c e , o f t e n l e a d s t o u s e f u l r e s u l t s i n p h y s i c s i s

c a l l e d t h e i n c o n c e i v a b l e e e c t i v e n e s s o f m a t h e m a t i c s i n n a t u r a l s c i e n c e s "

o r t h e W i g n e r p r i n c i p l e " .

H e r e w e c a n a d d a r e m a r k b y I . M . G e l ' f a n d : t h e r e e x i s t s y e t a n o t h e r

p h e n o m e n o n w h i c h i s c o m p a r a b l e i n i t s i n c o n c e i v a b i l i t y w i t h t h e i n c o n c e i v -

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a b l e e e c t i v e n e s s o f m a t h e m a t i c s i n p h y s i c s n o t e d b y W i g n e r t h i s i s t h e

e q u a l l y i n c o n c e i v a b l e i n e e c t i v e n e s s o f m a t h e m a t i c s i n b i o l o g y .

T h e s u b t l e p o i s o n o f m a t h e m a t i c a l e d u c a t i o n " i n F . K l e i n ' s w o r d s f o r

a p h y s i c i s t c o n s i s t s p r e c i s e l y i n t h a t t h e a b s o l u t i s e d m o d e l s e p a r a t e s f r o m t h e

r e a l i t y a n d i s n o l o n g e r c o m p a r e d w i t h i t . H e r e i s a s i m p l e e x a m p l e : m a t h -

e m a t i c s t e a c h e s u s t h a t t h e s o l u t i o n o f t h e M a l t h u s e q u a t i o n d x = d t = x i s

u n i q u e l y d e n e d b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s t h a t i s t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g i n -

t e g r a l c u r v e s i n t h e t ; x - p l a n e d o n o t i n t e r s e c t e a c h o t h e r . T h i s c o n c l u s i o n

o f t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l b e a r s l i t t l e r e l e v a n c e t o t h e r e a l i t y . A c o m p u t e r

e x p e r i m e n t s h o w s t h a t a l l t h e s e i n t e g r a l c u r v e s h a v e c o m m o n p o i n t s o n t h e

n e g a t i v e t - s e m i - a x i s . I n d e e d , s a y , c u r v e s w i t h t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s x 0 = 0

a n d x 0 = 1 p r a c t i c a l l y i n t e r s e c t a t t = , 1 0 a n d a t t = , 1 0 0 y o u c a n n o t

t i n a n a t o m b e t w e e n t h e m . P r o p e r t i e s o f t h e s p a c e a t s u c h s m a l l d i s t a n c e s

a r e n o t d e s c r i b e d a t a l l b y E u c l i d e a n g e o m e t r y . A p p l i c a t i o n o f t h e u n i q u e -

n e s s t h e o r e m i n t h i s s i t u a t i o n o b v i o u s l y e x c e e d s t h e a c c u r a c y o f t h e m o d e l .

T h i s h a s t o b e r e s p e c t e d i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n o f t h e m o d e l , o t h e r w i s e o n e

m i g h t n d o n e s e l f f a c e d w i t h s e r i o u s t r o u b l e s .

I w o u l d l i k e t o n o t e , h o w e v e r , t h a t t h e s a m e u n i q u e n e s s t h e o r e m e x p l a i n s

w h y t h e c l o s i n g s t a g e o f m o o r i n g o f a s h i p t o t h e q u a y i s c a r r i e d o u t m a n -

u a l l y : o n s t e e r i n g , i f t h e v e l o c i t y o f a p p r o a c h w o u l d h a v e b e e n d e n e d a s a

s m o o t h l i n e a r f u n c t i o n o f t h e d i s t a n c e , t h e p r o c e s s o f m o o r i n g w o u l d h a v e

r e q u i r e d a n i n n i t e l y l o n g p e r i o d o f t i m e . A n a l t e r n a t i v e i s a n i m p a c t w i t h

t h e q u a y w h i c h i s d a m p e d b y s u i t a b l e n o n - i d e a l l y e l a s t i c b o d i e s . B y t h e

w a y , t h i s p r o b l e m h a d t o b e s e r i o u s l y c o n f r o n t e d o n l a n d i n g t h e r s t d e s c e n d -

i n g a p p a r a t a o n t h e M o o n a n d M a r s a n d a l s o o n d o c k i n g w i t h s p a c e s t a t i o n s

h e r e t h e u n i q u e n e s s t h e o r e m i s w o r k i n g a g a i n s t u s .

U n f o r t u n a t e l y , n e i t h e r s u c h e x a m p l e s , n o r d i s c u s s i n g t h e d a n g e r o f f e t i s h i s -

i n g t h e o r e m s a r e t o b e m e t i n m o d e r n m a t h e m a t i c a l t e x t b o o k s , e v e n i n t h e

b e t t e r o n e s . I e v e n g o t t h e i m p r e s s i o n t h a t s c h o l a s t i c m a t h e m a t i c i a n s w h o

h a v e l i t t l e k n o w l e d g e o f p h y s i c s b e l i e v e i n t h e p r i n c i p a l d i e r e n c e o f t h e a x -

i o m a t i c m a t h e m a t i c s f r o m m o d e l l i n g w h i c h i s c o m m o n i n n a t u r a l s c i e n c e a n d

w h i c h a l w a y s r e q u i r e s t h e s u b s e q u e n t c o n t r o l o f d e d u c t i o n s b y a n e x p e r i m e n t .

N o t e v e n m e n t i o n i n g t h e r e l a t i v e c h a r a c t e r o f i n i t i a l a x i o m s , o n e c a n n o t

f o r g e t a b o u t t h e i n e v i t a b i l i t y o f l o g i c a l m i s t a k e s i n l o n g a r g u m e n t s s a y , i n

t h e f o r m o f a c o m p u t e r b r e a k d o w n c a u s e d b y c o s m i c r a y s o r q u a n t u m o s c i l -

l a t i o n s . E v e r y w o r k i n g m a t h e m a t i c i a n k n o w s t h a t i f o n e d o e s n o t c o n t r o l

o n e s e l f b e s t o f a l l b y e x a m p l e s , t h e n a f t e r s o m e t e n p a g e s h a l f o f a l l t h e s i g n s

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i n f o r m u l a e w i l l b e w r o n g a n d t w o s w i l l n d t h e i r w a y f r o m d e n o m i n a t o r s

i n t o n u m e r a t o r s .

T h e t e c h n o l o g y o f c o m b a t t i n g s u c h e r r o r s i s t h e s a m e e x t e r n a l c o n t r o l b y

e x p e r i m e n t s o r o b s e r v a t i o n s a s i n a n y e x p e r i m e n t a l s c i e n c e a n d i t s h o u l d b e

t a u g h t f r o m t h e v e r y b e g i n n i n g t o a l l j u n i o r s i n s c h o o l s .

A t t e m p t s t o c r e a t e p u r e " d e d u c t i v e - a x i o m a t i c m a t h e m a t i c s h a v e l e d t o

t h e r e j e c t i o n o f t h e s c h e m e u s e d i n p h y s i c s o b s e r v a t i o n m o d e l i n v e s -

t i g a t i o n o f t h e m o d e l c o n c l u s i o n s t e s t i n g b y o b s e r v a t i o n s a n d i t s s u b -

s t i t u t i o n b y t h e s c h e m e : d e n i t i o n t h e o r e m p r o o f . I t i s i m p o s s i b l e t o

u n d e r s t a n d a n u n m o t i v a t e d d e n i t i o n b u t t h i s d o e s n o t s t o p t h e c r i m i n a l

a l g e b r a i s t s - a x i o m a t i s a t o r s . F o r e x a m p l e , t h e y w o u l d r e a d i l y d e n e t h e p r o d -

u c t o f n a t u r a l n u m b e r s b y m e a n s o f t h e l o n g m u l t i p l i c a t i o n r u l e . W i t h t h i s

t h e c o m m u t a t i v i t y o f m u l t i p l i c a t i o n b e c o m e s d i c u l t t o p r o v e b u t i t i s s t i l l

p o s s i b l e t o d e d u c e i t a s a t h e o r e m f r o m t h e a x i o m s . I t i s t h e n p o s s i b l e t o f o r c e

p o o r s t u d e n t s t o l e a r n t h i s t h e o r e m a n d i t s p r o o f w i t h t h e a i m o f r a i s i n g t h e

s t a n d i n g o f b o t h t h e s c i e n c e a n d t h e p e r s o n s t e a c h i n g i t . I t i s o b v i o u s t h a t

s u c h d e n i t i o n s a n d s u c h p r o o f s c a n o n l y h a r m t h e t e a c h i n g a n d p r a c t i c a l

w o r k .

I t i s o n l y p o s s i b l e t o u n d e r s t a n d t h e c o m m u t a t i v i t y o f m u l t i p l i c a t i o n b y

c o u n t i n g a n d r e - c o u n t i n g s o l d i e r s b y r a n k s a n d l e s o r b y c a l c u l a t i n g t h e a r e a

o f a r e c t a n g l e i n t h e t w o w a y s . A n y a t t e m p t t o d o w i t h o u t t h i s i n t e r f e r e n c e b y

p h y s i c s a n d r e a l i t y i n t o m a t h e m a t i c s i s s e c t a r i a n i s m a n d i s o l a t i o n i s m w h i c h

d e s t r o y t h e i m a g e o f m a t h e m a t i c s a s a u s e f u l h u m a n a c t i v i t y i n t h e e y e s o f

a l l s e n s i b l e p e o p l e .

I s h a l l o p e n a f e w m o r e s u c h s e c r e t s i n t h e i n t e r e s t o f p o o r s t u d e n t s .

T h e d e t e r m i n a n t o f a m a t r i x i s a n o r i e n t e d v o l u m e o f t h e p a r a l l e l e p i p e d

w h o s e e d g e s a r e i t s c o l u m n s . I f t h e s t u d e n t s a r e t o l d t h i s s e c r e t w h i c h i s

c a r e f u l l y h i d d e n i n t h e p u r i e d a l g e b r a i c e d u c a t i o n , t h e n t h e w h o l e t h e o r y

o f d e t e r m i n a n t s b e c o m e s a c l e a r c h a p t e r o f t h e t h e o r y o f p o l y - l i n e a r f o r m s .

I f d e t e r m i n a n t s a r e d e n e d o t h e r w i s e , t h e n a n y s e n s i b l e p e r s o n w i l l f o r e v e r

h a t e a l l t h e d e t e r m i n a n t s , J a c o b i a n s a n d t h e i m p l i c i t f u n c t i o n t h e o r e m .

W h a t i s a g r o u p ? A l g e b r a i s t s t e a c h t h a t t h i s i s s u p p o s e d l y a s e t w i t h t w o

o p e r a t i o n s t h a t s a t i s f y a l o a d o f e a s i l y - f o r g e t t a b l e a x i o m s . T h i s d e n i t i o n

p r o v o k e s a n a t u r a l p r o t e s t : w h y w o u l d a n y s e n s i b l e p e r s o n n e e d s u c h p a i r s

o f o p e r a t i o n s ? O h , c u r s e t h i s m a t h s " c o n c l u d e s t h e s t u d e n t w h o , p o s s i b l y ,

b e c o m e s t h e M i n i s t e r f o r S c i e n c e i n t h e f u t u r e .

W e g e t a t o t a l l y d i e r e n t s i t u a t i o n i f w e s t a r t o n o t w i t h t h e g r o u p

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b u t w i t h t h e c o n c e p t o f a t r a n s f o r m a t i o n a o n e - t o - o n e m a p p i n g o f a s e t

o n t o i t s e l f a s i t w a s h i s t o r i c a l l y . A c o l l e c t i o n o f t r a n s f o r m a t i o n s o f a s e t i s

c a l l e d a g r o u p i f a l o n g w i t h a n y t w o t r a n s f o r m a t i o n s i t c o n t a i n s t h e r e s u l t o f

t h e i r c o n s e c u t i v e a p p l i c a t i o n a n d a n i n v e r s e t r a n s f o r m a t i o n a l o n g w i t h e v e r y

t r a n s f o r m a t i o n .

T h i s i s a l l t h e d e n i t i o n t h e r e i s . T h e s o - c a l l e d a x i o m s " a r e i n f a c t

j u s t o b v i o u s p r o p e r t i e s o f g r o u p s o f t r a n s f o r m a t i o n s . W h a t a x i o m a t i s a t o r s

c a l l a b s t r a c t g r o u p s " a r e j u s t g r o u p s o f t r a n s f o r m a t i o n s o f v a r i o u s s e t s c o n -

s i d e r e d u p t o i s o m o r p h i s m s w h i c h a r e o n e - t o - o n e m a p p i n g s p r e s e r v i n g t h e

o p e r a t i o n s . A s C a y l e y p r o v e d , t h e r e a r e n o m o r e a b s t r a c t " g r o u p s i n t h e

w o r l d . S o w h y d o t h e a l g e b r a i s t s k e e p o n t o r m e n t i n g s t u d e n t s w i t h t h e a b -

s t r a c t d e n i t i o n ?

B y t h e w a y , i n t h e 1 9 6 0 s I t a u g h t g r o u p t h e o r y t o M o s c o w s c h o o l c h i l d r e n .

A v o i d i n g a l l t h e a x i o m a t i c s a n d s t a y i n g a s c l o s e a s p o s s i b l e t o p h y s i c s , i n

h a l f a y e a r I g o t t o t h e A b e l t h e o r e m o n t h e u n s o l v a b i l i t y o f a g e n e r a l e q u a -

t i o n o f d e g r e e v e i n r a d i c a l s h a v i n g o n t h e w a y t a u g h t t h e p u p i l s c o m p l e x

n u m b e r s , R i e m a n n s u r f a c e s , f u n d a m e n t a l g r o u p s a n d m o n o d r o m y g r o u p s o f

a l g e b r a i c f u n c t i o n s . T h i s c o u r s e w a s l a t e r p u b l i s h e d b y o n e o f t h e a u d i e n c e ,

V . A l e k s e e v , a s t h e b o o k T h e A b e l t h e o r e m i n p r o b l e m s .

W h a t i s a s m o o t h m a n i f o l d ? I n a r e c e n t A m e r i c a n b o o k I r e a d t h a t

P o i n c a r e w a s n o t a c q u a i n t e d w i t h t h i s i n t r o d u c e d b y h i m s e l f n o t i o n a n d

t h a t t h e m o d e r n " d e n i t i o n w a s o n l y g i v e n b y V e b l e n i n t h e l a t e 1 9 2 0 s : a

m a n i f o l d i s a t o p o l o g i c a l s p a c e w h i c h s a t i s e s a l o n g s e r i e s o f a x i o m s .

F o r w h a t s i n s m u s t s t u d e n t s t r y a n d n d t h e i r w a y t h r o u g h a l l t h e s e t w i s t s

a n d t u r n s ? A c t u a l l y , i n P o i n c a r e ' s A n a l y s i s S i t u s t h e r e i s a n a b s o l u t e l y

c l e a r d e n i t i o n o f a s m o o t h m a n i f o l d w h i c h i s m u c h m o r e u s e f u l t h a n t h e

a b s t r a c t " o n e .

A s m o o t h k - d i m e n s i o n a l s u b m a n i f o l d o f t h e E u c l i d e a n s p a c e R

N

i s i t s

s u b s e t w h i c h i n a n e i g h b o u r h o o d o f i t s e v e r y p o i n t i s a g r a p h o f a s m o o t h

m a p p i n g o f R

k

i n t o R

N , k

w h e r e R

k

a n d R

N , k

a r e c o o r d i n a t e s u b s p a c e s .

T h i s i s a s t r a i g h t f o r w a r d g e n e r a l i z a t i o n o f m o s t c o m m o n s m o o t h c u r v e s o n

t h e p l a n e s a y , o f t h e c i r c l e x

2

+ y

2

= 1 o r c u r v e s a n d s u r f a c e s i n t h e t h r e e -

d i m e n s i o n a l s p a c e .

B e t w e e n s m o o t h m a n i f o l d s s m o o t h m a p p i n g s a r e n a t u r a l l y d e n e d . D i f -

f e o m o r p h i s m s a r e m a p p i n g s w h i c h a r e s m o o t h , t o g e t h e r w i t h t h e i r i n v e r s e s .

A n a b s t r a c t " s m o o t h m a n i f o l d i s a s m o o t h s u b m a n i f o l d o f a E u c l i d e a n

s p a c e c o n s i d e r e d u p t o a d i e o m o r p h i s m . T h e r e a r e n o m o r e a b s t r a c t "

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8/12/2019 Vladimir Arnold

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n i t e - d i m e n s i o n a l s m o o t h m a n i f o l d s i n t h e w o r l d W h i t n e y ' s t h e o r e m . W h y

d o w e k e e p o n t o r m e n t i n g s t u d e n t s w i t h t h e a b s t r a c t d e n i t i o n ? W o u l d i t

n o t b e b e t t e r t o p r o v e t h e m t h e t h e o r e m a b o u t t h e e x p l i c i t c l a s s i c a t i o n o f

c l o s e d t w o - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d s s u r f a c e s ?

I t i s t h i s w o n d e r f u l t h e o r e m w h i c h s t a t e s , f o r e x a m p l e , t h a t a n y c o m p a c t

c o n n e c t e d o r i e n t e d s u r f a c e i s a s p h e r e w i t h a n u m b e r o f h a n d l e s t h a t g i v e s

a c o r r e c t i m p r e s s i o n o f w h a t m o d e r n m a t h e m a t i c s i s a n d n o t t h e s u p e r -

a b s t r a c t g e n e r a l i z a t i o n s o f n a i v e s u b m a n i f o l d s o f a E u c l i d e a n s p a c e w h i c h

i n f a c t d o n o t g i v e a n y t h i n g n e w a n d a r e p r e s e n t e d a s a c h i e v e m e n t s b y t h e

a x i o m a t i s a t o r s .

T h e t h e o r e m o f c l a s s i c a t i o n o f s u r f a c e s i s a t o p - c l a s s m a t h e m a t i c a l a c h i e -

v e m e n t , c o m p a r a b l e w i t h t h e d i s c o v e r y o f A m e r i c a o r X - r a y s . T h i s i s a

g e n u i n e d i s c o v e r y o f m a t h e m a t i c a l n a t u r a l s c i e n c e a n d i t i s e v e n d i c u l t t o

s a y w h e t h e r t h e f a c t i t s e l f i s m o r e a t t r i b u t a b l e t o p h y s i c s o r t o m a t h e m a t i c s .

I n i t s s i g n i c a n c e f o r b o t h t h e a p p l i c a t i o n s a n d t h e d e v e l o p m e n t o f c o r r e c t

W e l t a n s c h a u u n g i t b y f a r s u r p a s s e s s u c h a c h i e v e m e n t s " o f m a t h e m a t i c s a s

t h e p r o o f o f F e r m a t ' s l a s t t h e o r e m o r t h e p r o o f o f t h e f a c t t h a t a n y s u c i e n t l y

l a r g e w h o l e n u m b e r c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s u m o f t h r e e p r i m e n u m b e r s .

F o r t h e s a k e o f p u b l i c i t y m o d e r n m a t h e m a t i c i a n s s o m e t i m e s p r e s e n t s u c h

s p o r t i n g a c h i e v e m e n t s a s t h e l a s t w o r d i n t h e i r s c i e n c e . U n d e r s t a n d a b l y t h i s

n o t o n l y d o e s n o t c o n t r i b u t e t o t h e s o c i e t y ' s a p p r e c i a t i o n o f m a t h e m a t i c s

b u t , o n t h e c o n t r a r y , c a u s e s a h e a l t h y d i s t r u s t o f t h e n e c e s s i t y o f w a s t i n g

e n e r g y o n r o c k - c l i m b i n g - t y p e e x e r c i s e s w i t h t h e s e e x o t i c q u e s t i o n s n e e d e d

a n d w a n t e d b y n o o n e .

T h e t h e o r e m o f c l a s s i c a t i o n o f s u r f a c e s s h o u l d h a v e b e e n i n c l u d e d i n

h i g h s c h o o l m a t h e m a t i c s c o u r s e s p r o b a b l y , w i t h o u t t h e p r o o f b u t f o r s o m e

r e a s o n i s n o t i n c l u d e d e v e n i n u n i v e r s i t y m a t h e m a t i c s c o u r s e s f r o m w h i c h

i n F r a n c e , b y t h e w a y , a l l t h e g e o m e t r y h a s b e e n b a n i s h e d o v e r t h e l a s t f e w

d e c a d e s .

T h e r e t u r n o f m a t h e m a t i c a l t e a c h i n g a t a l l l e v e l s f r o m t h e s c h o l a s t i c c h a t -

t e r t o p r e s e n t i n g t h e i m p o r t a n t d o m a i n o f n a t u r a l s c i e n c e i s a n e s p e s s i a l l y

h o t p r o b l e m f o r F r a n c e . I w a s a s t o n i s h e d t h a t a l l t h e b e s t a n d m o s t i m -

p o r t a n t i n m e t h o d i c a l a p p r o a c h m a t h e m a t i c a l b o o k s a r e a l m o s t u n k n o w n

t o s t u d e n t s h e r e a n d , s e e m s t o m e , h a v e n o t b e e n t r a n s l a t e d i n t o F r e n c h .

A m o n g t h e s e a r e N u m b e r s a n d g u r e s b y R a d e m a c h e r a n d T o p l i t z , G e o m e -

t r y a n d t h e i m a g i n a t i o n b y H i l b e r t a n d C o h n - V o s s e n , W h a t i s m a t h e m a t i c s ?

b y C o u r a n t a n d R o b b i n s , H o w t o s o l v e i t a n d M a t h e m a t i c s a n d p l a u s i b l e

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8/12/2019 Vladimir Arnold

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r e a s o n i n g b y P o l y a , D e v e l o p m e n t o f m a t h e m a t i c s i n t h e 1 9 t h c e n t u r y b y

F . K l e i n .

I r e m e m b e r w e l l w h a t a s t r o n g i m p r e s s i o n t h e c a l c u l u s c o u r s e b y H e r m i t e

w h i c h d o e s e x i s t i n a R u s s i a n t r a n s l a t i o n ! m a d e o n m e i n m y s c h o o l y e a r s .

R i e m a n n s u r f a c e s a p p e a r e d i n i t , I t h i n k , i n o n e o f t h e r s t l e c t u r e s

a l l t h e a n a l y s i s w a s , o f c o u r s e , c o m p l e x , a s i t s h o u l d b e . A s y m p t o t i c s

o f i n t e g r a l s w e r e i n v e s t i g a t e d b y m e a n s o f p a t h d e f o r m a t i o n s o n R i e m a n n

s u r f a c e s u n d e r t h e m o t i o n o f b r a n c h i n g p o i n t s n o w a d a y s , w e w o u l d h a v e

c a l l e d t h i s t h e P i c a r d - L e f s c h e t z t h e o r y ; P i c a r d , b y t h e w a y , w a s H e r m i t e ' s

s o n - i n - l a w m a t h e m a t i c a l a b i l i t i e s a r e o f t e n t r a n s f e r r e d b y s o n s - i n - l a w : t h e

d y n a s t y H a d a m a r d P . L e v y L . S c h w a r z U . F r i s c h i s y e t a n o t h e r f a m o u s

e x a m p l e i n t h e P a r i s A c a d e m y o f S c i e n c e s .

T h e o b s o l e t e " c o u r s e b y H e r m i t e o f o n e h u n d r e d y e a r s a g o p r o b a b l y ,

n o w t h r o w n a w a y f r o m s t u d e n t l i b r a r i e s o f F r e n c h u n i v e r s i t i e s w a s m u c h

m o r e m o d e r n t h a n t h o s e m o s t b o r i n g c a l c u l u s t e x t b o o k s w i t h w h i c h s t u d e n t s

a r e n o w a d a y s t o r m e n t e d .

I f m a t h e m a t i c i a n s d o n o t c o m e t o t h e i r s e n s e s , t h e n t h e c o n s u m e r s w h o

p r e s e r v e d a n e e d i n a m o d e r n , i n t h e b e s t m e a n i n g o f t h e w o r d , m a t h e m a t i c a l

t h e o r y a s w e l l a s t h e i m m u n i t y c h a r a c t e r i s t i c o f a n y s e n s i b l e p e r s o n t o

t h e u s e l e s s a x i o m a t i c c h a t t e r w i l l i n t h e e n d t u r n d o w n t h e s e r v i c e s o f t h e

u n d e r e d u c a t e d s c h o l a s t i c s i n b o t h t h e s c h o o l s a n d t h e u n i v e r s i t i e s .

A t e a c h e r o f m a t h e m a t i c s , w h o h a s n o t g o t t o g r i p s w i t h a t l e a s t s o m e o f

t h e v o l u m e s o f t h e c o u r s e b y L a n d a u a n d L i f s h i t z , w i l l t h e n b e c o m e a r e l i c t

l i k e t h e o n e n o w a d a y s w h o d o e s n o t k n o w t h e d i e r e n c e b e t w e e n a n o p e n

a n d a c l o s e d s e t .

V . I . A r n o l d

T r a n s l a t e d b y A . V . G O R Y U N O V

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