valor actual o capital inicial

1Universidad Católica “Loa Ángeles”

de ChimboteJulio Lezama Vásquez Matemáticas Financieras II………………………………………………………………………………………............................................................

…….……………………………………………………………………………………………Universidad Católica “Los Ángeles” de Chimbote/ Sistema blended learning

2. VALOR ACTUAL O CAPITAL INICIAL

Si una cantidad actual llamado capital lo llevamos al futuro mediante el FSC, unacantidad futura llamada monto lo podemos traer al momento actual mediante el factorsimple de actualización FSA.

Fig. 2.1

P = ? SI I I I I I . . . . . . . . . I I I0 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n

Para clarificar el significado de valor actual o presente, hagamos la siguiente reflexión:Una empresa con el que negocia usted, le adeuda S/.10,000 pagaderos dentro de 5 años,pero existe la posibilidad de ser liquidada ahora, la pregunta es cuál es el valor actual dedicha cantidad de acuerdo a la tasa de interés vigente.

El valor actual o presente a interés compuesto, de un dinero a recibirse en una fechafutura, es el valor equivalente al dinero que se recibirá en dicha fecha, pero en elperíodo actual.

2.1 Valor actual

Para el cálculo del valor actual o presente se hace uso del factor simple de actualizaciónFSA, factor que multiplicando por el monto, a una tasa de interés i, a un determinadoperíodo de tiempo n se obtiene el valor actual.

La fórmula del valor actual lo deducimos del monto.

S = ni1P

Lo que buscamos es el capital P y lo obtenemos despejando de la ecuación:

P = S

ni1

1

El factor entre corchetes es el factor simple de actualización, de manera que podemosdecir también:

P = FSAniS




El valor actual se obtiene multiplicando el valor del monto por el factor simple deactualización a una tasa de interés i en n períodos de tiempo.

2.2 Factor simple de actualización

La expresión

ni1

1que multiplica al monto se llama factor simple de

actualización FSA,.El factor simple de actualización, es el valor actual de una unidad monetaria a una tasa ipor período, durante n períodos y su función es traer al presente cualquier cantidadfutura o llevar al pasado cualquier cantidad actual.

Para solucionar cualquier problema ya sea de capitalización o de actualización, en el quese utilice una tasa nominal capitalizable m veces, es necesario convertir previamente latasa nominal a una tasa efectiva, dividiendo a la tasa nominal j por la frecuencia decapitalización m y en el caso que la tasa nominal este dado en un periodo menor a lafrecuencia de capitalización, se hace necesario multiplicar por el periodo proporcionalpara su conversión en una tasa efectiva de acuerdo a la frecuencia de capitalización.

Ejemplos 2.1 Qué cantidad de dinero deberá depositarse para que capitalizado al 20%de interés efectivo anual durante 3 años se obtenga un monto de S/. 124,416.

Remplazando datos en la fórmula:

P = S

ni1

1

P = 124,416

320.01

1

P = 124,416 (0.578703703)

P = 72,000

Ejemplo 2.2 Hallar el valor presente de S/. 8,000 pagaderos dentro de 5 años a la tasaanual del 16% capitalizable trimestralmente..

P = 8,000

2004.01

1

P = 8,000 x 0.456386946

P = 3,651.10




2.3 Tasas utilizadas en el sistema financieroPara analizar el indicador denominado tasa, implica hacer una clasificación de las tasas,que para el efecto existen varios criterios, de acuerdo al tipo de operación financiera enlos que estén involucrados o al tipo de operación financiera.

Las tasas de interés lo podemos clasificar de acuerdo a varios criterios, entre estostenemos:

De acuerdo a la nomenclatura bancaria

Tasa Activa, Es el tipo que la entidad financiera aplica a las operaciones de colocaciónde fondos como prestamos, descuento de documentos de crédito, créditos ordinarios,créditos hipotecarios etc.

Tasa pasiva; Es aquella que el banco paga a los depositantes o ahorristas por lacaptación de fondos, que pueden ser en ahorros, depósitos a plazo fijo o cualquier otramodalidad, lo que significa un pasivo para la entidad financiera.

De acuerdo a la liquidación de los intereses:

Tasa vencida: Es la tasa que se aplica al vencimiento del plazo de la operaciónfinanciera, en este caso es requisito fundamental el cumplimiento del periodo pactadopara la liquidación de los intereses.

Tasa adelantada es la que se descuenta del capital antes del vencimiento de laoperación, disminuyendo de esta manera, el valor nominal de una letra de cambio,pagaré, un titulo valor o cualquier otro documento sometido a descuento.

Según el cumplimiento de la obligación:

Tasa compensatoria: Es el pago que el deudor efectúa en compensación por el uso deldinero, es la tasa utilizada tanto en las operaciones activas como pasivas.

Tasa moratoria: Es la tasa que se aplica al incurrir el prestatario en atraso en el pagode sus obligaciones.

De acuerdo al valor del dinero en el tiempo

Tasa efectiva: es aquella que efectivamente se paga o cobra en una transacciónfinanciera. No considera el efecto de la inflación

Tasa real: Es la tasa efectiva que considera el efecto del la inflación, mide la capacidadadquisitiva del dinero.




Las tasas cuyo manejo le dan significado a los demás elemento que son de uso frecuenteen las operaciones financieras son la tasa nominal y la tasa efectiva, que miden el efectode la capitalización

2.4 Tasa nominal

La tasa nominal que lo representaremos por (j), es solamente una definición o una formade expresar una tasa efectiva. La tasa nominal no se utiliza directamente en lasfórmulas de cálculo de los indicadores financieros. En tal sentido, conjuntamentecon la tasa nominal debe es tar indicada la frecuencia de cap i tal ización(m). Por ejemplo, una tasa nominal anual que se capitaliza mensualmente, nos indicaque la tasa efectiva a ser usada es mensual y si la capitalización es bimestral, trimestral,semestral o cualquier otra frecuencia, la tasa efectiva también estará definida comobimestral, trimestral, semestral respectivamente.

La tasa nominal es susceptible de dividirse o multiplicarse con la finalidad deconvertirse en una tasa efectiva o en una tasa proporcional, en una unidad de tiempodiferente a la original.

En el primer caso, dada la tasa nominal con su correspondiente frecuencia decapitalización, esta se divide o se multiplica según el caso. En el segundo caso, cuandola tasa nominal se divide o multiplica, encontramos la respectiva tasa proporcional. Porejemplo, una tasa nominal anual puede ser convertida a una tasa nominal semestralsimplemente dividiéndolo entre dos o también en sentido contrario, una tasa nominalsemestral puede ser convertida en una tasa nominal anual multiplicándola por dos. Porejemplo, una tasa nominal anual del 24% lo podemos convertir en mensual dividiéndolapor 12, en bimestral dividiéndola por 6, en trimestral dividiéndola por 4, en semestraldividiéndola por 2 y así sucesivamente, independientemente de la frecuencia decapitalización.

Lo importante de la tasa nominal es que es una especie de representación de la tasaefectiva; la tasa nominal se aplica directamente en el cálculo de los indicadoresfinancieros a interés simple

De todo lo anterior nos queda claro, que la tasa nominal nos permite determinar la tasaefectiva por periodo de capitalización, cuando la tasa nominal es anual y el período decapitalización es menor a la de un año; la tasa efectiva lo obtenemos dividiéndola por lafrecuencia de capitalización. La tasa nominal también puede estar dado en un períodomenor al período de capitalización, esto nos autoriza a proponer por ejemplo, una tasanominal mensual con capitalización trimestral, en este caso determinaremos la tasaefectiva trimestral multiplicando la tasa nominal mensual por tres meses que incluye untrimestre.




Además la tasa nominal, lo podemos expresar en diferentes períodos de tiempo comopor ejemplo, tasa semestral con capitalización trimestral, tasa trimestral concapitalización mensual, o cualquier otra forma de presentarlo de acuerdo a lo analizado.

De lo manifestado anteriormente la tasa proporcional se puede expresar independientemente de la frecuencia de capitalización de los intereses y esto lo ilustramos mediante elsiguiente ejercicio.

Ejemplo 2.3. Si la tasa de interés nominal es del 24% anual, las tasas proporcionales enperíodos menores lo obtenemos de la siguiente manera:

Para un semestre j =

224.0 = 0.12

j = 12%

Para un trimestre j =

424.0 = 0.06

j = 6%

Para un mes j =

1224.0 = 0.02

j = 2%

Para 18 días j =

36024.0 x 18 = 0.012

j = 1.2 %

Consecuentemente, si la tasa nominal es 1.5% mensual la tasa proporcional en unperíodo mayor lo obtenemos multiplicando:

Para un trimestre j = 0.015 x 3 = 0.045j = 4.5 %

Para un semestre j = 0.015 x 6 = 0.09j = 9 %

Para un año j = 0.015 x 12 = 0.18j = 18 %




La tasa efectiva por periodo de capitalización, es igual a la tasa nominal dividida por lafrecuencia de capitalización, si esta expresión lo remplazamos en la fórmula del monto,nos permitirá deducir una fórmula para calcular la tasa nominal proporcional y anual.

S = P nm.j1

De la cual deducimos una fórmula que nos permite calcular la tasa nominal

nm.j1 =

PS

mJ1 = n

PS

mJ = n

PS - 1

j =

1m nPS

Ejemplos 2.3 Si la cantidad de 100,000 capitalizado trimestralmente durante 4 años,asciende a S/. 180,000 ¿cuál es la tasa de interés nominal anual?.

j = 4

116

000,100000,180

j = 0.1497

j = 14.97 %

Ejemplo 2.4 Al cabo de 3 años y 9 meses, se retira los intereses de un depósito, losmismos que ascienden a S/.33,718, si la capitalización es semestral, ¿A qué tasa deinterés nominal anual se depositó la cantidad de S/.45,000?,Reemplazando valores en la fórmula, encontramos que el monto es desconocido; peropor su definición sabemos que éste está constituido por el capital más los intereses,luego tenemos:

. j = m

1nPS

j = 2

16

45

000,45718,78




j = 2 15.7 74929.1

j = 2 x 0.07741

j = 0.1548

j = 15.48 %

2.5 Tasa Efectiva

La tasa efectiva indica con precisión cuál es la rentabilidad de una inversión o el costode un crédito por período, la tasa efectiva es la que se utiliza en las fórmulas de lamatemática financiera, en el proceso de capitalización o actualización del dinero, asícomo el cálculo de cualquier otro indicador financiero.

La mencionada tasa, expresa el verdadero rendimiento que produce una colocación enuna operación financiera; es la que efectivamente actúa sobre el capital y a diferencia dela tasa nominal, la tasa efectiva no se divide ni se multiplica, esta se potencia o se radicasegún el caso, para convertirse en una tasa equivalente de diferente periodo decapitalización. Refleja el periodo de conversión de los intereses en capital, El hecho decapitalizar el interés dos o más veces durante un año, da lugar a una tasa efectiva anualmayor a la tasa nominal anual.

Para obtener la tasa efectiva, podemos utilizar más de una fórmula según los datos de losque se disponga, si para deducir la fórmula de la tasa de interés efectiva, partimos de lafórmula del monto S = ni1P y despejamos i obtenemos la siguiente expresión:

i = nPS - 1

Expresión que nos permite calcular la tasa efectiva por periodo de capitalización.

Cuando se conoce la tasa nominal anual, la tasa efectiva por periodo de capitalización loobtenemos dividiendo a la tasa nominal por la frecuencia de capitalización de la manera

siguiente: i =mj , dicha expresión está formado por los elementos:

i = tasa efectivaj = tasa nominalm = frecuencia de capitalización en el periodo de un año




Ejemplo 2.5 Un capital de S/. 40,000 es colocado por un período de 5 años a una tasade interés anual convertible trimestralmente, generando un monto de S/.83,526.08.Calcular la tasa efectiva anual

En este caso se conoce el monto, el capital, el período de tiempo y la frecuencia decapitalización, la tasa efectiva anual lo calculamos de la siguiente manera:

Primero calculamos la tasa efectiva por periodo de capitalización, en este casotrimestral.

i = 1nPS

i = 12040,000

83,526.08

i = 0.0375

i = 3.75% tasa efectiva trimestral

Luego calculamos la tasa efectiva anual, potenciando la tasa efectiva trimestral, dado aque la tasa efectiva no se divide ni se multiplica, sino que se potencia o se radica segúnel caso, para convertir una tasa efectiva de un periodo menor en una tasa efectiva de unperiodo mayor se potencia y para convertir una tasa efectiva de un periodo mayor enuna tasa efectiva de un periodo menor se radica.

En este caso lo potenciamos con la formula:

i = 1ni1

i = 140375.01

i = 0.15865

i = 15.865% tasa efectiva anual

Cuando en vez del monto utilizamos como dato el interés, el capital y el número deperiodos de capitalización hacemos uso de la siguiente fórmula:

i = 1n1

PI1




Utilizando los datos del ejercicio que nos permitió hacer uso de la formula anteriorcalculamos la tasa efectiva de la siguiente manera:

i = 1201

000,4008.526,431

i = 0.0375 tasa efectiva trimestral

i = 140375.1

i = 15.865% tasa efectiva anual

Los resultados nos demuestran que se pueden utilizar las fórmulas indistintamente.

Ejemplo 2.6 Calcular la tasa efectiva anual, que se impuso a un deposito efectuado enuna cuenta de ahorros por S/.6,000 y generó un interés compuesto de 360 en un períodode tres meses, si la capitalización es mensual, (utilizar las dos fórmulas).

Utilizando la fórmula a partir del monto:

i = 1nPS

i = 136,0006,360

i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual

i = 112019612822.1

i = 0.2625

i = 26.25 % Tasa efectiva anual

Con la fórmula, tomando como dato el interés:

i = 131

000,63601




i = 0.019612822 Tasa efectiva mensual

i = 112019612822.1

i = 0.2625

i = 26.25 % Tasa efectiva anual

El resultado es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 2.7 Calcular la tasa efectiva trimestral de una colocación de S/.5,000 por unperíodo de 1 año, espacio de tiempo en el cual se obtuvo por concepto de intereses lacantidad de S/. 849.29

i = 141

000,529.8491

i = 14/1

169858.1

i = 0.04i = 4 % trimestral

o también:

i = 145,000

5,849.29

i = 0.04

i = 4% trimestral

La tasa efectiva anual también lo podemos obtener conociendo la tasa nominal anual y lafrecuencia de capitalización mediante el siguiente razonamiento:

La tasa efectiva anual es igual al interés dividido por el capitalPI y el interés es igual al

monto menos el capital (S – P), luego tenemos:

i =P

PS

Reemplazando S por su fórmula con el uso de la tasa nominal j y la frecuencia decapitalización m se tiene:




i =P

Pn

mj1P

Simplificando el segundo miembro obtenemos la formula requerida en base a la tasanominal:

i =n

mj1

- 1

Ejemplo 2.8 Un ahorrista desea saber, cuál es la tasa efectiva de interés anual de undepósito efectuado en un banco que paga el 18% de interés anual con capitalizaciónmensual.

i = 112

1218.01

i = 112015.1

i = 0.1956

i = 19.56%

2.6 Tasas equivalentes.

Una tasa de interés efectiva dada en un periodo puede convertirse en otra tasa efectivade un periodo diferente, es decir, en una tasa efectiva equivalente; debido a que, todatasa de interés efectiva de un periodo determinado de capitalización tiene su tasa deinterés efectiva equivalente en otro periodo de capitalización.

En las operaciones financieras se presentan diversos casos, como el de convertir una tasaefectiva de un periodo menor en una tasa efectiva de un periodo mayor y en el sentidoopuesto, convertir una tasa efectiva de un periodo mayor en una tasa efectiva de unperiodo menor.2.6.1 Cálculo de la tasa equivalente.

A partir de una tasa efectiva se puede obtener otra tasa efectiva de diferente período,presentándose dos casos bien definidos, el primero consistente en dada una tasa efectivade un periodo menor encontrar su equivalente en un periodo mayor y para esto sepotencia y un segundo caso que consiste en convertir una tasa efectiva de un periodomayor en su equivalente de un periodo menor y en este caso se radica.




Primer caso: Una tasa efectiva de un periodo menor es susceptible de convertirse enotra tasa de un periodo mayor mediante la potenciación.

Ejemplo 2.9 Convertir la tasa efectiva mensual del 1.5% en una tasa efectivatrimestral, semestral y anual.

iT = 1ni1 M

iT = 13015.1

iT = 0.045678

iT = 4.57% trimestral

iS = 1ni1 M

iS = 16015.1

iS = 0.0934433

iS = 9.34 % semestral

iA = 1ni1 M

iA = 112015.1

iA = 0.1956

iA = 19.56 % anual

Segundo caso: Una tasa efectiva de un periodo mayor, es susceptible de convertirse enuna tasa efectiva de un periodo menor mediante la radicación

Ejemplo 2.10 Convertir la tasa efectiva anual del 16.986% en tasa efectiva semestral,trimestral y bimestral.

iS = 1n i1 A

iS = 116986.01

iS = 0.0816

iS = 8.16 % semestral




iT = 14 16986.01

iT = 0.04

iT = 4 % trimestral

iB = 16 16986.01

iB = 0.0265

iB = 2.65 % bimestral

2.6.2 Conversión de tasas.

La tasa de interés nominal y la tasa efectiva normalmente se utilizan en el mercadofinanciero, la tasa nominal es solamente una forma de expresar una tasa efectiva, encambio la tasa efectiva, es la que se aplica directamente en las formulas de lamatemática financiera y estas son susceptibles de convertirse una en otra mutuamentecuyo tema analizamos a continuación.

a. La tasa nominal a partir de la tasa efectiva.

Cuando la frecuencia de capitalización de los intereses es anual la tasa nominal anual esigual a la tasa efectiva anual j = i

Si la frecuencia de capitalización de los intereses esta dado en periodos menores a unaño, la tasa nominal anual, lo obtenemos a partir de la fórmula de la tasa efectiva anual.

Partimos de la fórmula de la tasa efectiva.

i = 11

n

mj

n

mj

1 = 1 + i

mj

1 = n i1

mj = n i1 - 1




j = m 11 n i

En este caso la incógnita es la tasa nominal y el dato es la tasa efectiva, obtener la tasanominal significa encontrar una tasa, ajuntando información de la frecuencia decapitalización representado por el valor de m.

Ejemplo 2.11 Si un banco paga por depósitos en cuentas de ahorro una tasa efectivaanual del 12.75% ¿Cuál será la tasa nominal anual, si los intereses se capitalizandiariamente?.

jA = m 1n 1A

i

jA = 360 1360 1275.01

jA = 0.12

jA = 12 % anual

Ejemplo 2.12 ¿Cuál será la tasa nominal anual a partir de la tasa efectiva anual del20.17%, si los intereses se capitalizan trimestralmente?.

jS = m 11 nAi

jS = 4 14 2017.01

jS = 0.1880

jS = 18.80 % anual

Para deducir la fórmula que nos permita obtener la tasa nominal a partir de una tasaefectiva, también podemos utilizar el siguiente razonamiento: El monto de una unidadmonetaria la tasa efectiva i, transcurrido un determinado período de tiempo es igual a1+i, y el monto de una unidad monetaria colocado a la tasa nominal j en el mismo

período de tiempo a una frecuencia de capitalización m esn

mj

1 ; la ecuación de

equivalencia entre estos dos montos es:

1 + i =n

mj

1




Despejando j de la ecuación:

mj

1 = n i1

mj = 11 n i

j = 11 n im

b. La tasa efectiva a partir de la tasa nominal.

Con operaciones inversas y partiendo de la formula de la tasa nominal anual podemosobtener la formula de la tasa efectiva anual.

De j = 11 n im despejamos i

11 n im = j

11 n i =mj

n i1 = 1 +mj

i =n

mj

1 - 1 Tasa efectiva

Ejemplo 2.13 ¿Cuál será la tasa efectiva anual dada una tasa nominal anual del 24%,con una frecuencia de capitalización trimestral?.

i =n

mj

1 - 1

i =4

424.01

- 1

i = 0.2625




i = 26.25% anual

Ejemplo 2.14 Una operación financiera está afectada por una tasa de interés anual del18% con capitalización mensual y se requiere conocer el valor de la tasa efectiva anualrespectiva.

i =12

1218.01

- 1

i = 0.2625

i = 26.25% anual

2.8 Tasa real

Es la tasa de interés efectiva anual deflactada. Es decir la tasa efectiva anual deducida elefecto de la inflación o de la elevación de los precios.

En el estudio de las tasas hasta el momento, hemos obviado el efecto de la inflación, tales así que en el valor nominal de la unidad monetaria no se tomó en cuenta la variaciónde su poder adquisitivo a través del tiempo por el incremento general de los precios delos bienes y servicios La tasa real permite medir el grado en el que los valoresnominales que se ubican en el futuro serán erosionados por la inflación.

Cuando la inflación en un país es alta, la variación de los precios de los bienes yservicios genera disminución en la capacidad adquisitiva del dinero. Para ajustar el valornominal del dinero a fin de que refleje su valor real, hacemos uso de la tasa deflactada,deduciendo el efecto de la tasa inflacionaria del mismo período; llamada tasa real:

r = 111

fi

o también

r =ffi

1

i = Tasa efectiva anualf = Tasa de inflaciónr = Tasa real

Ejemplo 2.14 Las empresas más importantes del Departamento de Ancash hanefectuado aumentos de sueldos y salarios a sus trabajadores en el orden del 22 %, 18 %,14 % y 10 %, en una economía con una tasa anual promedio de inflación del 14 %.Determinar la tasa real de incremento de sueldos y salarios.




Con el uso de la primera fórmula:

r = 114.0122.01

r = 0.0702

r = 7.02 % de aumento real

r = 114.0118.01

r = 0.0351

r = 3.51 % de aumento real

r = 114.0114.01

r = 0r = 0% de aumento real

Cuando por disposiciones legales se establece que los sueldos y salarios estánindexados a la tasa inflacionaria, los aumentos deben ser equivalentes al aumento de latasa de inflación, neutralizando los efectos de la inflación manteniendo estable el nivelde vida de los trabajadores, sin mejorarlo ni empeorarlo realmente.

Pero cuando porcentualmente los aumentos monetarios de sueldos y salarios soninferiores a .la tasa inflacionaria, la tasa real es negativa, indicador que refleja unapérdida del poder adquisitivo del dinero recibido por concepto de remuneraciones

r = 114.0110.01

r = - 0.0351

r = 3.51 % de disminución real

Por consiguiente un aumento del 10 % no compensa la pérdida del valor real de lossueldos y salarios por estar por debajo de la tasa inflacionaria.




Ejemplo 2.15 Calcular la tasa real de un préstamo que debe ser revertido en seis mesesa una tasa efectiva anual del 20% y la tasa inflacionaria acumulada durante el período seestima en el 4%.

Previamente determinamos la tasa efectiva semestral

iS = 120.01

iS = 0.095445115

iS = 9.54 %

Remplazamos datos en la formula y obtenemos la tasa real

r = 104.01

0954.01

r = 0.0533

r = 5.33 % en seis meses

2.9 Tasas reajustadas por efectos de inflación

De acuerdo a los resultados: la tasa efectiva semestral es del 9.54% y una tasa real del5.33% y la tasa de inflación de acuerdo a los datos del 4%.

Observamos que la tasa real es menor a la tasa efectiva. Pero si se requiere mantener elvalor de la tasa real equivalente a la tasa efectiva lo reajustamos de la siguiente manera:

Calculamos la nueva tasa efectivai = i1 f1 - 1

i = 0.09541 0.041 - 1

i = 0.1392

La nueva tasa real ajustada por efectos de inflación

r = 104.01

1392.01

r = 0.0954

r = 9.54 %

valor actual o capital inicial

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