resposta no tempo fundamentos de controlo deec/istisabel lourtie resposta no tempo de slits causais...

Resposta no TempoFundamentos de Controlo

DEEC/ISTIsabel Lourtie

Resposta no Tempo de SLITs Causais

Teoremas do valor inicial e do valor finalSistema de 1ª ordem sem zerosSistema de 2ª ordem sem zeros

Sistema sub-amortecidoSistema criticamente amortecidoSistema sobre-amortecido

Influência de um zero na resposta do sistema de 2ª ordem criticamente amortecido

Sistemas de ordem superior



resposta em frequência

Teoremas do Valor Inicial e do Valor FinalResposta no Tempo de SLITs Causais

Entradas típicas

Sinusoide:

ts

tuttut

sttuttu

stutu

tt

sin

1

2

1TL

2

1

1TL

1TL

1TL

312

12

211

11

Parábola unitária:

Rampa unitária:

Escalão unitário:

Impulso de Dirac:

tx ty sH

Dados , e as condições iniciais, calcular .

tx sH ty



c.i.=0


tx ty sH

0,0:iniciaiscondições

;;23s

112

yy

tutxs

sH

Dados:

Sistema inicialmente em repouso 00,0,0,0 1 nyyyy

sYtysXsHsY 1TL




c.i.=0

tx ty sH


;;23s

112

yy

tutxs

sH

Dados:

Condições iniciais não nulas 00,0,0,0 1 nyyyy

sYtysY

sXsHsY

10c.i.

0c.i.

TL

ldiferencia equação




tx ty sH


;;23s

112

yy

tutxs

sH

Dados:

ldiferencia equação0c.i. sXsHsY

sXs

sY23s

12

sXsYssYsYs 232

txtydt

tdy

dt

tyd 23

2

2



Resposta devido às condições iniciais não nulas

resposta ao sinal de entrada com condições iniciais nulas

23

003

23

122

ss

yyssX

sssY

sY 0c.i.ldiferencia equação

txtydt

tdy

dt

tyd 23

2

2


tx ty sH


;;23s

112

yy

tutxs

sH

Dados:

sXsYyssYysysYs 203002



regime estacionário

regime transitório 2

2/1

1

12/1

23

132

2

ssssss

sssY

23

003

23

122

ss

yyssX

sssY

sYtysY -1TL


tx ty sH


;;23s

112

yy

tutxs

sH

Dados:

23

31

23

122

ss

s

sss

tueetuty tt1

21 2

1

2

1




s

sX1

s

sHsY1

sH

Qual o valor final da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?

Teorema do Valor Final

ssYtyst 0limlim

s

ssHtyst

1limlim

0 sH

s 0lim

N

M

sss

sTsTsTKsH

111

111

21

210

Forma das constantes de tempo

0K

A resposta estacionária do SLIT à entrada escalão unitário é um escalão de amplitude igual ao ganho estático .0K




s

sX1

s

sHsY1

sH

s

ssHtyst

1limlim

0

sH

s lim

MN

MNK

;0

;

Quando o número de polos é igual ao número de zeros, a resposta ao escalão é descontínua na origem.

Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?

Teorema do Valor Inicial

ssYtyst

limlim0

Forma factorizada

N

M

pspsps

zszszsKsH

21

21




s

sX1

s

sHsY1

sH

0limlim

0yssYsty

st

Com condições iniciais nulas, qual o valor inicial da derivada da resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário?

Teorema do Valor Inicial

tystyst

TLlimlim0

0

1lim y

sssHs

s

0lim ysHs

s




b

sHys

1lim

0

1lim0

sHys

a

bysHsy

s

10lim0

Exemplo

s

sX

asb

assH

1

1

ty

t 1ba

1

b1

0

1b




Exemplo

s

sX

s

ssH

1

1 2

0lim0

sHys

0lim0

sHys

10lim0

ysHsys



TsssTs

TsY

/1

111

/1

/1

Sistemas de 1ª Ordem sem Zeros

s

sX1

s

sHsY1

sH Ts

T

sTsH

/1

/1

1

1

sRe

sIm

T/1

ganho estático unitário

ty

t

1

0 T T2 T3

63.2

%

86.5

%

95.0

%

declive

T/1

tuetuty Tt1

/1

Regime estacionário

Regime transitório




sRe

sIm

T/1

ty

t

1

0

T/1 aumenta

tempo de estabelecimento, , é o intervalo de tempo necessário para que a resposta do SLIT atinja e se mantenha numa vizinhança previamente especificada do valor final da resposta.

st

yyty s 05.0

st (5%):

05.011 / Ttse 05.0/ Ttse Tts 3%5

T

y1

0

Tts 4%2

Tts 6.4%1



sRe

sIm

n21 nj

21 nj

n

nj

nj

n

arcsin


sX sY sH 22

2

2 nn

n

sssH

ganho estático unitário

n - frequência natural

- coeficiente de amortecimento

Polos:

102 222 nnnn sss

10 Sistema sub-amortecido

Polos complexos conjugados

21 nn js

0

0

1 Sistema criticamente amortecidoPolo real duplo ns

1

1 Sistema sobre-amortecido

Polos reais distintos




s

sX1

s

sHsY1

sH 22

2

2 nn

n

sssH

sss

sYnn

n 1

2 22

2

sRe

sIm

n

21 nj

21 nj

n

nj

nj

n

Sistema subamortecido 10

22

12

1arctan1

sin1

11

na

at tutety n



parte imaginária dos polosganho estático unitário

parte real dos polos


sRe

sIm

naj

aj

n

nj

nj

n

10

2

2

1arctan

1

na

t

ty

0

1

tutety atn

12sin

1

11

aT

ptrt

%5

st

S



t

ty

0

1

Sistemas de 2ª Ordem sem Zeros 10

tutety atn

12sin

1

11

2

2 1arctan;1

na

Máximos e mínimos:

,2,1,0;

10

2

n

nnt

dt

tdy

na

Período das oscilações:a

aT 2

Tempo de pico:2a

ap

Tt

Tempo de crescimento (0% a 100%):

a

rr tty

1

rt



t

ty

0

1


tutety atn

12sin

1

11

2

2 1arctan;1

na

05.0sin1

12

te atn

nst

3%5

Tempo de estabelecimento a 5%:

%5

st

05.0

y

yty

n

st 4

%2

n

st 6.4

%1

Sobre-elevação:

S

21100100%

e

y

ytyS p




constanten




constante




constanten




s

sX1

s

sHsY1

sH

tuetty tn

n111

sssss

sYn

n

nn

n 11

2 2

2

22

2

Sistema criticamente amortecido 1

sRe

sIm

n

22

2

2 nn

n

sssH




s

sX1

s

sHsY1

sH 22

2

2 nn

n

sssH

Sistema sobre-amortecido 1

sRe

sIm

n

1p2p

Polos:

1

1

22

21

nn

nn

p

p

spsps

ppsY

1

21

21

tuepp

pe

pp

pty tptp

112

1

12

2 211

ty

t

1

0

2p aumenta

1p fixo



Influência de um Zero no Sistema de 2ª Ordem Criticamente Amortecido

2

2

n

n

sa

assH

n

a

sIm

sRe

an 0

n

a

sIm

sRe

na 0



Influência de um Zero no Sistema de 2ª Ordem Criticamente Amortecido

22

n

n

sa

assH

n

a

sIm

sRe

0)0(2

a

y n

Sistema de fase não mínima é aquele que tem pelo menos um polo ou um zero no semi-plano complexo direito.



ganho estáticoresíduo associado ao polo ips

Sistemas de Ordem Superior

n

m

pspsps

zszszsKsH

21

21

s

sHsY1

polos distintos

nppp 21

n

i i

i

ps

a

s

K

1

0

n

i

tpi tueatuKty i

1110

Se , a contribuição do polo para o regime transitório é muito pequena.

0:, iki azpki

Polos não dominantes

Se , a contribuição do polo para o regime transitório decai muito rapidamente

ikppi ki :



ty

t

6

6.04.02.00

3original

aproximado

?

10aprox s

KsH

polos/zeros muito próximos

polo muito mais distante do eixo

sRe

sIm

10j

10j

100 10 1

Sistemas de Ordem Superior Exemplo

1001.210010

100250002

2

ssss

sssH

mesmo ganho estático

sHsHss

aprox00

limlim

10

50aprox

s

sH50K

resposta no tempo fundamentos de controlo deec/istisabel lourtie resposta no tempo de slits causais...

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ordem sem zeros tempo

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