teorema stokes divergencia

8/17/2019 Teorema Stokes Divergencia

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Superficies orientadasLa figura muestra una superficie orientada con vector normal unitario

n. La orientación de S induce la orientación positiva de C que se ve en

la figura. Esto significa que si caminamos en una dirección positiva

alrededor de C con la cabeza apuntando en la dirección de n,entonces la superficie estará siempre a nuestra izquierda.


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TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada, suave por partes, que está acotada

por una curva C de frontera, simple, cerrada suave por partes, que

tenga orientación positiva. Sea F un campo vectorial cuyas

componentes tienen derivadas parciales continuas en una región

abierta de R3 que contiene a S.

S C

d d SFrF )(rot


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TEOREMA DE STOKES- CONSECUENCIAS

1. Cálculo de integrales curvilíneas mediante integrales desuperficie.

En lugar de calcular se puede hallar si

es sencillo y S es una superficie simple cuyo borde es C .

C

d rF S

d SF)(rot

Frot

Evalúe si y C es la frontera de

la parte del plano en el primer octante

orientada en sentido anti horario vista desde arriba.

C

d rF k jiF z x x eee

222 z y x

3

Ejemplo 1


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En lugar de calcular , se puede calcular

si en el borde C de S el producto es sencillo.

S d SF)(rot

C

d rF rF d

Evalúe si y S es

la semiesfera ; orientada hacia fuera.

S

d SF)(rot k jiF y x xe z e z y sencos2

0,9222

z z y x


2. Cálculo de una integral de superficie de un rotacional mediante

una integral curvilínea.

4

Ejemplo 2


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En lugar de calcular , se puede calcular

si ambas superficies tienen el mismo borde y S2 es más sencilla.

1

)(rot

S

d SF 2

)(rot

S

d SF

Evalúe si y S es la tapa y los

cuatro lados (no el fondo) del cubo con vértices orientada hacia afuera

S

d SF)(rot k jiF yz x xy xyz 2

1;1;1


3. Cálculo de una integral de superficie de un rotacional cambiando por otra

superficie.

5

Ejemplo 3


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TEOREMA DE STOKES- CONSECUENCIAS4. INTEGRAL CERRADA DE UN CAMPO CONSERVATIVO EN EL ESPACIO R3

Si la curva C es simple, cerrada y suave por secciones, el campo F tiene

componentes con derivadas parciales continuas y se cumple que

, entonces .0C

d rF0rot F

Evalúe si

siendo C la curva de intersección de la esfera con elplano

k jiF )3(2)2( 222 z x xy y xz

4

222 z y x

2 z y x

6

Ejemplo 4

C

d rF


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5. Independencia de la trayectoria en campos conservativos en R3

Si F posee componentes con derivadas parciales continuas en unaregión simplemente conexa D en la cual se cumple que ,

entonces la integral curvilínea de F entre dos puntos A y B

cualesquiera de la región, es independiente de la trayectoria

seguida, siempre que se encuentre dentro de D

. El resultado puedeobtenerse evaluado la función potencial correspondiente en B y A.

Es decir, el campo F es conservativo en D.

0rot F

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Evalúe si

Siendo C : 0 t 1

k jiF )3(2)2( 222 z x xy y xz

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1

2

t z

t y

t x

C

d rF

8

Ejemplo 5


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TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Sea E una región simple de R3 y S su superficie frontera, orientada

hacia fuera. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienenderivadas parciales continuas en una región abierta que incluye a

E . Entonces:

E S

dV d )(divFSF

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Teorema de la Divergencia - Consecuencias

1. Cálculo del flujo que sale de una superficie cerrada

El flujo de un campo vectorial que sale de una superficie cerrada

se puede calcular como una integral triple de la divergencia del

campo.

Evalúe la integral si

y S es la superficie de la caja delimitada por los planos

S

d SF k jiF 2cossen yz ye ye x x

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2;0;1;0;1;0 z z y y x x

Ejemplo 1


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2. Si la divergencia es cero el flujo en una superficie cerrada es cero.Cuando la divergencia de un campo vectorial es nula, el flujo del campo

que sale de una superficie cerrada, es cero.

Teorema de la Divergencia - Consecuencias

Evalúe la integral si

y S es la superficie del sólido delimitado por el hiperboloide

y los planos z = -2 y z = 2

S d SF k jiF yz x y x y x 2223

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Ejemplo 2

1222 z y x

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