266_talesova teorema
TRANSCRIPT
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 1/15
Zavod za unapreivanjeZavod za unapreivanjeobrazovanja i vaspitanjaobrazovanja i vaspitanja
AAutor rada:AAutor rada:
NNastavni predmetNNastavni predmet::
TT::
UUzrastUUzrast::
PPotrebna tehnologija:PPotrebna tehnologija:
Tanja Radakovi, ´ Mihajlo Pupin´, Novi Sad.
Matematika
Proporcinalnost dui, Talesova teorema
Prvi razred
Raunar i projektor
Kliknite ovde zaunos prikazaasa u Word
dokumentu!
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 2/15
ProporcionalnostProporcionalnost dudui ii i
Talesova teoremaTalesova teorema
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 3/15
DefinicijaDefinicija: Ako su date dui a,b,k gde je k jedinina du,i ako je a=mk, b=nk, tada kolinik m:n nazivamo
razmerom dui a i b, to oznaavamo a:b=m:n.
Ako dva para dui imaju jednake razmere, onda se kaeda su one proporcionalne, t j . ako je a:b=c:d.
Ako se radi o paralelnim orijentisanim duima, npr. a i b,pod njihovom razmerom podrazumevae se broj k , takavda je a=kb.
Iz osobina vektora odavde sledi a:b=k,gde je a=ab=b.Na taj nain, ako je k <0, dobija se negativna razmerasuprotno usmerenih orijentisanih dui.
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 4/15
Tales iz Mileta (oko 625-547. pre n.e.), jedan od sedmorice
helenskih mudraca,filozof, fiziar, astronom i matematiar.
Pripisuju mu se dalekovidost u politikim stvarima isvakodnevnim poslovima, izvanredna dovitljivost u
reavanjug
eometrijsk
ih problema i filozofsk
ag
eneralizacijaiskustava.
Takva orijentacija je omoguavala napredak od razlomljenihpojedinanih znanja prema celovitoj koncepciji nauke.
Tako Talesova otkria u izraunavanju visine piramidepomou njene senke vie nemaju karakter pukih radnihpravila.
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 5/15
Osnova Keopsove piramide je kvadrat ivice 233 m, a bone ivice su jednake meu sobom. Kolika je visina piramide, ako tap visine 2 mbaca senku duine 2 m? Udaljenost tapa do piramide je 28,5m.
h : 2 = 147 : 22 h = 294
h = 147m
h
2m
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 6/15
Talesova teoremaTalesova teorema : Ako paralelne prave a i b presecaju pravu p utakama A i B, a pravu q u takama A1 i B1,i ako je S zajednika taka pravih p i q,tada vai:
AA1 SA SA1
BB1 SB SB1= =
S
A
B
A1B1
p
qa b
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 7/15
Dokaz:
S
A
B
A1B1
p
qa b
AA1
BB1=k.
U ¨SAA1 vai: AA1=SA1-SA
U ¨SBB1
vai: BB1
=SB1
-SB
Vektori AA1 i BB1 su kolinearni,pa je AA1=k BB1 , odakle je
=>
SA1-SA=k( SB1-SB), odnosnoSA1-k SB1=SA-k SB.
Prave p i q nisu paralelne pa je ova jednakost mogua samo
ak
o su leva i desna strana jednak
osti nula vek
tori:SA1-k SB1=0 i SA-k SB=0.
SA1=k SB1 i SA=k SB => SA1
SB1=k=SASB= AA1
BB1
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 8/15
-vai i obrnut stav:
TeoremaTeorema: Ako su poluprave S p i S q preseene dvema pravim a i b
tako da su odseci S p i S q proporcionalni, onda su
prave a i b paralelne.
pDokaz:
S
A
A1
B
B1
Po pretpostavci je .SA SA1
SB SB1=
q
ba`
A`
Ako nije ab, tada postoji prava a`.Tada je, prema Talesovoj teoremi
SA SA`SB SB1
=
Uzimajui u obzir pretpostavku proizlazi SA1=SA`.Tada prema prema aksiomi A14 (egzistencija para taaka podudarnog sa zadatim) sledi A1= A`.
a
Odatle sledi a`= a, odnosno ab
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 9/15
Z AD ACI Z A VEBANJEZ AD ACI Z A VEBANJE::
1. U trouglu ABC du DE je paralelna sa AB.
Nai duinu dui BE , ako je AC = 15, AD = 3, BC = 25.
CB
A
D
E25
Iz AC : C D
= BC : C E
sledi AC : ( AC-C D) = BC : (BC-C E ),
odnosno AC : AD = BC : BE .
Odavde je BE = AD · BC AC = 3 · 2515 = 5 .
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 10/15
2. Simetrala unutranjeg ugla trougla ABC kod temena A deli naspramnu
stranicu BC na odseke proporcionalne ostalim dvema stranicama, tj.
AB : AC . Dokazati.
A B
C
D
E
Neka je AD simetrala ugla CAB, a
CE AD.Tada su jednaki uglovi: BAD i AE C ,
D AC i AC E , pa je trougao AC E
jednakokrak. Zato je AC = AE .
Na osnovu Talesove teoreme vai: BD AB DC AE
== = AB AC
, odnosno
BD
:D
C = AB : AC .
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 11/15
3. Dat je trapez ABC D sa osnovicama AB = a i C D = b. Odrediti duinu
odseka koji dijagonale trapeza odsecaju na srednjoj liniji trapeza.
A B
CD
E FX Y DE EY
D A AB=
Na osnovu Talesove teoreme vai:
=>12
12
EY = AB = a 12
12
EX = C D = bi
pa je XY = EY ± EX = .( a ± b )
2
AE EX
AD DC =
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 12/15
A
C
B
4. Dat je trougao ABC . Prava p koja je paralelena stranici BC dui AB i
AC redom u takama D i E . Prava q koja sadri taku C i paralelna je
pravoj BE see pravu AB u taki F . Dokazati da je AB² = AD· AF .
FD
p
E
AB AF AD AB
=
BCED
AB AC AD AE =
=>
AB² = AD· AF .
F CBE
AF AC AB AE =
q
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 13/15
TESTTEST ZZ AD AT AK AD AT AK
U trouglu ABC du DE je paralelna sa AB.
Nai duinu dui AC , ako je AD = C E , C D = 4, BE = 9.
CB
A
D
E
Iz AC : C D = BC : C E sledi
( AD + 4 ) : 4 = ( AD + 9 ) : AD
AD ( AD + 4 ) = 4 ( AD + 9 )
AD² + 4 AD = 4 AD + 36
AD² = 36
AD = 6
odakle je AC = AD + DC = 6 + 4 = 10.
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 14/15
DOMAI ZADATAK:DOMAI ZADATAK:
Zbir ka zadataka:
strana 123, zadaci: 884 a), v), 889, 891.
5/12/2018 266_Talesova teorema - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/266talesova-teorema 15/15
DOMAI ZADATAK (TEKST)
1. U trouglu ABC du DE je paralelna sa AB.a) Nai duinu dui C E , ako je AC = 12, C D = 4, BC = 24.
b) Nai duinu dui BC , ako je AD = 6, C D =14, C E = 7.
2. Dokazati da simetrala spoljanjeg ugla kod temena A trougla ABC delistranicu BC u odnosu AB : AC ( AB BC ).
3. Prava koja sadri presek dijagonala trapeza ABC D i paralelna je sa
osnovicama a i b, see krake AD i BC redom u takama M i N . Odrediti
duinu MN .