resist enc i a de material es

8/13/2019 Resist Enc i a de Material Es

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Autor: Ral Rosas Lozano

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANAUNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANAUNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANAUNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA

FACULTAD DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIAFACULTAD DE INGENIERIA

APUNTES ASIGNATURAAPUNTES ASIGNATURAAPUNTES ASIGNATURAAPUNTES ASIGNATURA

RESISTENCIA DE MATERIALESRESISTENCIA DE MATERIALESRESISTENCIA DE MATERIALESRESISTENCIA DE MATERIALES

PROFESOR: RAUL ROSAS LOZANOPROFESOR: RAUL ROSAS LOZANOPROFESOR: RAUL ROSAS LOZANOPROFESOR: RAUL ROSAS LOZANO

2006200620062006


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- 1 -

INDICE

I CONCEPTO DE ESFUERZO 1

1.1 Introduccin 1

1.1.1 Fuerzas y esfuerzos 1

1.2 Carga axial y esfuerzo normal 5

1.3 Esfuerzo cortante 7

1.4 Esfuerzos sobre planos oblicuos 131.5 Esfuerzo bajo cargas biaxiales 18

1.6 Esfuerzos principales 21

1.7 Deformacin de elementos sometidos a carga axial 28

II TORSIN 41

2.1 Introduccin 41

2.2 Esfuerzo cortante 44

2.3 Deformacin por cortante 48

2.4 Flechas giratorias 59

III FLEXIN 64

3.1 Introduccin 64

3.2 Esfuerzo de flexin 65

IV ESFUERZOS COMBINADOS 754.1 Introduccin 75

4.2 Cargas combinadas axiales y de flexin 76

4.2.1 Flexin asimtrica 78

4.2.2 Cargas excntricas 81


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IIII

1.1 INTRODUCCIN

El principal objetivo del

los medios necesarios p

estructuras. Tanto el

determinacin de esfue

1.1.1 Fuerzas y esfuer

En la figura 1, se mues

BC que en conjunto sop

Por consideraciones de

dos fuerzas por lo que

valor en sus extremos, c

- 2 -

ONCEPTO DE ESFUERZO

estudio de la resistencia de materiales

ara analizar y disear diferentes elemen

anlisis como el diseo de una estr

zos y deformaciones.

zos

ra una estructura, la cual consta de do

rtan una carga de 30 kN.

Figura 1

la esttica se reconoce que AB y BC

starn sometidos a cargas axiales opu

omo se indica en la figura 2.

s dar al ingeniero

os de mquinas y

ctura implican la

s elementos AB y

on elementos de

stas y del mismo


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Al construir un diagra

correspondientes ecuac

encuentra sometido a la

Cortando la barra BC e

(figura 3). Como deben

barra para mantenerlas

de 50 kN en la barra B

adems, que la barra B

que la fuerza en la barra

- 3 -

Figura 2

ma de slido libre de la estructura

iones de equilibrio, se determina que e

fuerza FAB= 40 kN y el elemento BC a

un punto arbitrario D, se obtienen do

aplicarse fuerzas de 50 kN en D a amb

n equilibrio, se deduce que se produce

cuando se aplica en B una fuerza de

C est sometida a tensin. Un anlisis

AB es de 40 kN y que est sometida a c

Figura3

y aplicando las

l elemento AB se

BC= 50 kN.

partes BD y CD

s porciones de la

una fuerza interna

30 kN y, se nota

similar demuestra

ompresin.


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Aunque los resultados

anlisis de la estructura,

El que la barra BC, seFBCsino tambin del va

que est hecha.

La fuerza por unidad d

seccin dada, se conoc

letra griega . El esfue

sometido a una fuerza ala magnitud P de la carg

Un signo positivo indicar

negativo sealar un esf

(a)

- 4 -

obtenidos representan un paso inicial,

no dice si la carga dada puede soporta

ompa o no bajo esta carga depende nolor de la seccin transversal de la barra

rea, o intensidad de las fuerzas distri

e como el esfuerzo en dicha seccin y

zo en un elemento de la seccin tran

xial P(como se indica en la figura 4) sea por el rea A.

= P / A

Figura 4

un esfuerzo de tensin (elemento en t

uerzo de compresin (elemento compri

(b)

, necesario en el

se con seguridad.

solo del valor dey del material de

buidas sobre una

se designa por la

versal de rea A

obtiene dividiendo

(1)

nsin) y un signo

ido).


6/86


- 5 -

En el S.I. la unidad de esfuerzo se expresa en N/m2. Esta unidad es un pascal

(Pa). Sin embargo, el pascal es una cantidad muy pequea y en la prctica se

usan sus mltiplos como el kilopascal (kPa), el mega pascal (Mpa) y el gigapascal(Gpa). Se tiene que:

1 kPa = 103Pa = 103N/m2

1 MPa = 106Pa = 106N/m2

1 GPa = 109

Pa = 109

N/m2

Cuando se usan las unidades americanas, el esfuerzo se expresa en lb/pulg2(psi)

klb/pulg2(kpsi).


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1.2 CARGA AXIAL Y E

Como ya se ha visto; lafuerza FBCest dirigida

est sometida a carga a

fuerza interna y el esfue

fuerza interna era por

correspondiente es con

esfuerzo normal en un e

Debe notarse que en es

resultante de las fuerzas

A de dicha seccin; re

seccin, ms que el v

transversal.

Para definir el esfuerz

considerar una pequea

- 6 -

FUERZO NORMAL

barra BC es un elemento de dos fuerzlo largo del eje de la barra. Se dice ent

xial. La seccin que se hizo en la barra

zo correspondiente era perpendicular al

tanto normal al plano de la secci

ocido como un esfuerzo normal. As,

lemento sometido a carga axial, es:

= P / A

ta expresin, se obtiene dividiendo la

internas distribuidas en la seccin trans

resenta entonces el valor medio del

lor del esfuerzo en un punto especfi

o en un punto Q de la seccin tran

rea A (figura 5)

Figura 5

s y por lo tanto lances que la barra

ara determinar la

eje de la barra, la

n y el esfuerzo

la expresin del

(2)

magnitud P, de la

versal, por el rea

sfuerzo sobre la

co de la seccin

sversal, se debe


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- 7 -

Dividiendo el valor F por A se obtiene el valor medio del esfuerzo sobre A.

Haciendo que A tienda a cero, se halla el esfuerzo en el punto Q:

( )AFA

Q

= lim0

En generalQmed , aunque el esfuerzo vara poco en una seccin alejada

del punto de aplicacin de la carga. En la prctica, se supondr que la distribucinde esfuerzos normales en un elemento cargado axialmente es uniforme, excepto

en la inmediata vecindad de los puntos de aplicacin de las fuerzas.


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1.3 ESFUERZO CORT

Las fuerzas internas eseran normales a la sec

obtiene al aplicar las fu

figura 6(a).

( a )

Las fuerzas internas qu

se indica en la figura 6(b

fuerzas cortantes. Lueg

por la letra griega (tau

- 8 -

NTE

tudiadas anteriormente y los corresponcin considerada. Un tipo muy diferent

rzas transversales P y P al elemento

( b )

Figura 6

aparecen al cortar el elemento AB en l

), y cuya resultante debe ser igual a P (f

en funcin de esto, el esfuerzo cortant

), se define como

A

Pmed =

dientes esfuerzose de esfuerzo se

B mostrado en la

( c )

seccin C, como

igura 6(c)) son las

e, que se designa

(3)


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La distribucin del esfu

que ste vara desde c

que el valor medio.

Los esfuerzos cortante

remaches usados para

mquinas.

Ejercicio N 1

Una gra est compue

barrenado de acero AB

gra levanta una carga

miembros AB yBC y

dimetro, en A, que est

- 9 -

rzo cortante nunca puede suponerse

ro hasta un valor mximo que puede

se presentan principalmente en per

unir diversos elementos estructurales y

ta de un poste de madera BC de 4*4

e 1 pulg. de dimetro, como se muestr

W de 7000 lb. Determinar el esfuer

l esfuerzo cortante transversal en el pe

trabajando a doble corte.

Figura 7

niforme debido a

ser mucho mayor

os, pasadores y

componentes de

pulg y un tirante

en la figura 7. La

zo normal en los

rno de 1 pulg. de


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Solucin Lo primero

cada miembro; para ello

y de la conexin en A, ta

Los miembros AB y BC

de equilibrio al diagram

resultados:

=MC

luegoA

F

A

AB =

= FF CY :0

(a)

- 10 -

ue se debe hacer es determinar las c

se debe considerar el diagrama de sli

l como se muestra en la figura 8.

(b

Figura 8

stn sometidos a carga axial. Si se apli

de slido libre de la figura 8(a), se obti

( ) ( ) ==

FF AA 13000570007

13

5:

( ) psiAB

B

1,16552

4

1

130002

==

) ( ) == FC 1013/51300070002/1

rgas que soporta

o libre de la gra

)

ca las ecuaciones

ene los siguientes

( )Tlb0

( )T

( )Clb56,970


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- 11 -

luego ( )CpsiA

FBC

BC

C

BC66,1060

4*4

56,16970===

Y del diagrama de slido libre de la figura 1.8(b) que es el de la conexin en A,

se tiene:

=== lbVVFF AX 650002:0

luego

( ) psi

A

VP

P

P 05,8276

4

1

65002

===


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Ejercicio N 2

En la figura 9(a) el esfu1150 psi y el esfuerzo

Determinar el valor de la

CX

CY

- 12 -

erzo axial de compresin en el poste dde tensin en la barra de acero A

carga P.

Figura 9

T

N

(a)

(b)

madera B es des de 19000 psi.


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- 13 -

Solucin En la figura 9(b) se muestra el diagrama de slido libre de la barra

horizontal, planteando la ecuacin de equilibrio de momento con respecto al

extremo C y considerando el sentido antihorario como positivo, se tiene:

0)16()16()6(:0 =+= PNTMC

pero de las condiciones del problema se puede establecer que:

805071150

95005,019000

===

===

NxAxN

TxAxT

A

AA

Reemplazando estos dos valores en la ecuacin de momento, se obtiene el valor

lbP 5,11612=


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1.4 ESFUERZOS SOB

Hasta aqu se ha vistofuerzas generaban esf

fuerzas transversales

observara tal relacin e

fuerzas transversales

estaban determinndos

Al considerar un elemenmuestra en la figura 10(

normal (figura 10(b)) y

elemento a la izquierda

ecuaciones del equilibri

equivalentes a la fuerza

( a)

( c )

- 14 -

E PLANOS OBLICUOS

ue las fuerzas axiales ejercidas sobreerzos normales en dichos elementos,

ausaban esfuerzos cortantes. La ra

tre fuerzas axiales y esfuerzos normale

esfuerzos cortantes por otra, era q

slo en planos perpendiculares al eje d

to de dos fuerzas sometido a las fuerza). Si se hace un corte que forme un ng

se dibuja el diagrama de cuerpo libr

de la seccin (figura 10(c)) se determin

o, que las fuerzas distribuidas en la s

P.

( d )

Figura 10

elementos de dosmientras que las

n para que se

, por una parte, y

ue los esfuerzos

l elemento.

s P y P, como seulo con el plano

de la parte del

, partiendo de las

eccin deben ser

(b)

( e )


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- 15 -

Descomponiendo P en sus componentes F y V, normal y tangencial a la seccin

respectivamente (figura 10(d)), se tiene que

senPVyPF == cos

La fuerza F representa la resultante de las fuerzas normales en la seccin y V

representa la resultante de las fuerzas cortantes. El valor medio de los esfuerzos

en dicha seccin son

cosAAdondeAVyAF ===

Reemplazando las expresiones de F y V en las de y respectivamente, se tiene

coscos0

2

0

senA

Py

A

P== (4)

De estas expresiones se puede deducir que es mximo cuando vale 0 o 180;

que es mximo cuando vale 45 o 135 y tambin que,2

mxmx

=

Por lo tanto, los esfuerzos mximos estn dados por

A

Pmx = y

A

Pmx

2=


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Se debe considerar dos

son aplicables a partes

segunda y ms importatravs del centroide de l

Siempre el esfuerzo nor

el esfuerzo cortante es c

Ejercicio N3

Dos elementos de mad

unidos con pegamento.

en la unin mostrada en

Solucin

Aplicando las ecuacione

( )25cos15

800 2 =

- 16 -

cosas respecto de estas ecuaciones.

que estn cargadas ya sea a tensin o

nte es que la lnea de accin de la caseccin transversal y debe coincidir co

mal ser mximo o mnimo en los plan

ero.

ra, con seccin transversal uniforme de

Si P = 800 lb, determine los esfuerzos

la figura 11.

Figura 11

s (4), se tiene que:

( ) ( ) ( )senTpsi 25cos2515

8008,43 =

a primera es que

a compresin. La

rga debe pasar ael eje.

s para los cuales

3 x 5 pulg, estn

normal y cortante

psi4,20=


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Se puede demostrar qu

plano, debe tambin e

magnitud pero con signconsiderar el diagram

espesor dz, segn se m

Si una fuerza cortante

cuacin = 0xF obliga

en la parte inferior del

sentido horario, este

antihorario compuesto

verticales del bloque. = 0zM da la siguient

- 17 -

si existe un esfuerzo cortante en un

istir en dicho punto un esfuerzo cort

o contrario en un plano ortogonal. Pade slido libre de un pequeo bloq

estra en la figura 12.

Figura 12

dzdxyxx = se aplica a la cara superio

a establecer una fuerza dirigida en se

bloque, quedando as el bloque som

ar deber ser compensado por otr

por las fuerzas dzdyV xyy = aplica

Por ltimo la aplicacin de la ecuaexpresin:

( ) ( ) == 0:0 dydzdxdxdzdy yxxyz

unto de cualquier

nte de la misma

a este efecto, see rectangular de

del bloque, la e-

tido opuesto a Vx

tido a un par de

par en sentido

as a las caras

in de equilibrio


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- 18 -

de la que se obtiene que:

yxxy =

Con lo cual queda demostrado lo que se pretenda. Este principio es tambin

vlido cuando estn actuando esfuerzos normales sobre los planos, puesto que

estos esfuerzos se presentan en forma de pares colineales, pero de direccin

opuesta y as el momento es cero con respecto a cualquier eje.


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- 19 -

1.5 ESFUERZO BAJO CARGAS BIAXIALES

Aunque se dej establecido que las expresiones desarrolladas en la seccinanterior son de validez restringida, limitada a los casos de cargas centradas, el

mtodo del diagrama de slido libre que se empleo para determinarlas puede

tambin ser usado para resolver los problemas en los que intervengan cargas en

dos direcciones (biaxiales). La manera de como proceder quedar establecida en

el siguiente ejemplo.

Ejercicio N 4

En un punto dado de un elemento de una mquina, se evaluaron los siguientes

esfuerzos: 8000 psi (T) y corte cero, en un plano horizontal y 4000 psi (C) en un

plano vertical. Determine los esfuerzos en este punto, en un plano inclinado con

pendiente de 3 unidades verticales por 4 horizontales.

Solucin. Como una forma de visualizar de mejor manera los datos entregados,

se debe dibujar el bloque diferencial que se muestra en la figura 13(a) (que es un

dibujo de los esfuerzos y no un diagrama de slido libre). En seguida se traza el

diagrama de slido libre, donde deben aparecer los vectores de fuerza ordinarios.

Para este efecto se puede utilizar varios diagramas de slido libre acordes con la

situacin, tal como el del elemento en forma de cua definido por los tres planos

dados en la figura 13(b) en la que el rea sombreada indica el plano en que elesfuerzo que debe ser evaluado acta. A esta rea se le asignar en forma

arbitraria la magnitud diferencial dA , luego las reas correspondientes a las caras

vertical y horizontal del elemento sern dAydA 8,06,0 , respectivamente.

Las fuerzas que actan sobre estas reas son las que estn indicadas en el

diagrama. No se debe olvidar que son los vectores de fuerza los que actan sobre


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dichas reas. Para los f

figura 13(c) bastar. Ah

sumarn las fuerzas en lpedidos.

(b)

- 20 -

ines prcticos, el diagrama de slido libr

ora se aplican las ecuaciones de equil

a direccin normal y tangencial para obt

Figura 13

(a)

en el plano de la

ibrio, es decir, se

ner los esfuerzos

(c)


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- 21 -

( )( ) ( )( ) ( )TpsidAdAdAFn 368008,08,080006,06,04000:0 ==+=

( )( ) ( )( ) psidAdAdAFt 576006,08,080008,06,04000:0 ==++=

Hay que recordar que el esfuerzo normal siempre deber ser designado como detensin (T) o de compresin (C).


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1.6 ESFUERZOS PRIN

En la figura 14 se i

tridimensional donde s

positivos; y seis esfuerz

positivos. Este element

x

Los esfuerzos normal

positivos y son de tensi

positiva de un eje de

esfuerzo cortante indic

elemento; el segundo in

- 22 -

IPALES

lustra un elemento del estado gen

muestran tres esfuerzos normales x

os cortantes xy, yx , yz , zy , zx

est en equilibrio esttico y, por lo tant

y = yx yz = zy zx= xz

s dirigidos hacia afuera del elemen

n. Los cortantes son positivos siact

eferencia. El primer subndice de un

el eje coordenado, que es perpendic

ica el eje de coordenadas paralelo a dic

Figura 14

ral de esfuerzo

, y , z , todos

y xz, tambin

o se consideran

n en la direccin

componente de

lar a la cara del

ha componente.


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- 23 -

Un esfuerzo cortante positivo apunta en la direccinpositiva del eje coordenado

del segundo subndice si acta sobre una superficie que tenga su normal hacia

afuera en la direccin positiva. Contrariamente, si la normal hacia afuera de lasuperficie esta en la direccin negativa entonces el esfuerzo cortante positivo

apunta en la direccin negativa del eje coordenado correspondiente al segundo

subndice. Luego, como ya se haba mencionado anteriormente, los esfuerzos

que se muestran en la figura 14 son todos positivos

La figura 15(a) ilustra un estado de esfuerzo plano o biaxial, que es lo ms usual.

Una vez que los esfuerzos normal y cortante sobre estos planos ortogonales seanconocidos, los esfuerzos normal y cortante en cualquier plano oblicuo especfico

que pase por el mismo punto, pueden fcilmente ser determinados mediante el

mtodo del diagrama de slido libre estudiado en la seccin anterior. Desde el

punto de vista del diseo, generalmente, los esfuerzos crticos son los valores

mximos de tensin, de compresin y de mximo esfuerzo cortante. Por lo tanto,

el mtodo de la seccin 1.5 no resulta adecuado a menos quese conozcan las

localizaciones de tales planos.

(a) (b)

Figura 15

x

xy

yxy

ntdA

ndA

xydAcos

yxdAsen

xdAcos

ydAsen

nt


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- 24 -

Los esfuerzos normales mximo y mnimo en un punto del cuerpo cargado son

definidos como los esfuerzos principales y los planos en que ellos actan se

denominan planos principales. El tercer esfuerzo principal en el caso de

esfuerzo en el plano xy es zque es igual a cero.

Para determinar las frmulas que permitan evaluar y localizar estos esfuerzos

principales se supuso que el elemento de la figura 15(a) fue cortado por un plano

inclinado en un ngulo , como se ve en la figura 15(b); el ngulo es considerado

positivo cuando se cuenta en sentido antihorario. La figura 15(b) es el diagrama

de slido libre del elemento en forma de cua del cual fueron deducidas lasfrmulas antes mencionadas y que son las siguientes:

( ) ( )2

2yx

xytg

= (5)

( )( )2

2

2,122

xy

yxyx

+

+= (6)

( )22

.2

xy

yx

mx

+

= (7)

( )

2

21.

=mx (8)


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- 25 -

Los valores de de la frmula (5) dan la orientacin de los planos principales.

Para un juego dado de valores de xy, xy y hay dos valores de separados

90. Esto prueba que los planos principales son normales entre s. Cuando la

tg(2) es positiva, es positivo y la rotacin es en sentido antihorario desde los

ejes x e y a los planos en que los esfuerzos principales actan. Cuando la tg(2)

es negativa, la rotacin es en sentido horario. Se debe dejar indicado que un valor

de se encontrar siempre entre los 45 positivos y negativos (inclusive) con el

otro valor 90 ms grande. El esfuerzo principal de valor numrico mayor actuar

en el plano que forme un ngulo de 45 o menor con el plano del mayor

numricamente de los dos esfuerzos normales dados. Tambin se debe notar quesi uno o ambos esfuerzos principales son negativos, el mximo esfuerzo

algebraico puede tener un valor absoluto menor que el mnimo esfuerzo.

La frmula (6)da los dos esfuerzos principales en el plano xy y el tercero es 3 =

z = 0.

La frmula (7) da los valores de los mximos esfuerzos cortantes, estos ocurrenen planos que se encuentran a 45 de los planos principales.

La frmula (8)establece una relacin muy til entre los esfuerzos principales y el

esfuerzo cortante mximo.

Si los valores de 1 y 2 de la frmula (6) tienen el mismo signo, entonces el

tercer esfuerzo principal 3 igual a cero, ser el mximo o el mnimo esfuerzo

normal. Luego el mximo esfuerzo cortante puede ser (1- 2)/2, (2 0 )/2 o

(1 0 )/2, segn las magnitudes relativas y los signos de los esfuerzos

principales.

La direccin del esfuerzo cortante mximo se puede determinar dibujando un

bloque de forma de cua con dos caras paralelas a los planos en los que se

presentan el mximo y mnimo esfuerzo principal y con la tercera cara a 45 con


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- 26 -

las otras dos. La direccin del esfuerzo cortante mximo deber ser opuesta al

mayor de los esfuerzos principales.

Otra relacin muy til entre los esfuerzos principales y los esfuerzos normales enplanos ortogonales, se obtiene sumando los valores de los dos esfuerzos

principales dados por la frmula (6). El resultado es

yx +=+ 21 (9)

que se expresa diciendo que, para esfuerzos planos, la suma de los esfuerzos

normales en dos planos ortogonales cualesquiera en un punto de un cuerpo es

una constante.

En todo lo que se ha visto anteriormente, los esfuerzos mximo y mnimo se

han considerado como cantidades algebraicas. Sin embargo, en las aplicaciones a

problemas de ingeniera (que son los de este curso), el trmino mximo siempre

indicar al mayor valor absoluto, es decir, la mayor magnitud.

En los siguientes ejemplos se ver la aplicacin de las frmulas vistas en esta

seccin.

Ejercicio N 5

En un punto de un miembro estructural sometido a esfuerzo plano, existen los

esfuerzos que se muestran en la figura 16(a), en los planos horizontal y vertical

que pasan por el punto mencionado.


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- 27 -

a) Determinar los esfuerzos principales y el mximo esfuerzo cortante en el

punto.

b) Localizar los planos en los que (dichos esfuerzos actan y mostrarlos en un

croquis.

Solucin. a) De acuerdo con la convencin de signos que se ha establecido, x

es positivo, mientras que y y xy son negativos. Para ser sustituidos en las

frmulas (6), (7)y (5)los valores dados son:

x = 10000 psi, y = -8000 psi y xy = - 4000 psi

Al reemplazar estos valores en la frmula (6),se obtiene,

( )22

2,1 40002

800010000

2

800010000+

+

=

luego

1 = 10849 psi (T) y 2 = 8849 psi (C)

puesto que 1 y 2 son de signos contrarios, el mximo esfuerzo cortante es:

mx. = [10849 - (-8849) ]/ 2 mx. = 9849 psi


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b) Cuando los valores d

tg (2) = -4000 / 9000 =

El croquis requerido es

(a)

- 28 -

dos se sustituyen en la frmula (5)se o

-0,4444 = -11,98 11,98

l que se muestra en la figura 16 (c) (b

Figura 16

(c)

tiene:

).

(b)


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1.7 DEFORMACI N DE

Considere una barra hoA, sometida a una carga

Se define la deformaci

alargamiento por unida

tiene

donde es la variacin

- 29 -

ELEMENTOS SOMETIDOS A CARGA

mognea BC de longitud L y seccin traaxial P (figura 17).

Figura 17

n unitaria normal en una barra bajo ca

de longitud de dicha barra. Represen

Le

=

de longitud y L la longitud inicial.

(a) (b)

XIAL

nsversal uniforme

rga axial como el

tndola por e, se

(10)


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- 30 -

Si el esfuerzo axial no excede el lmite de proporcionalidad del material, puede

aplicarse la ley de Hooke y escribir

doreemplazanentoncesL

ecomoA

PeEluegoA

PyeE ====

EA

LP= (11)

Esta ltima expresin puede usarse slo si la barra es homognea (Econstante),

tiene seccin transversal A constante y esta cargada en sus extremos. Si la barra

est cargada en otras partes o si consta de varias secciones transversales, y

posiblemente, de diversos materiales, se debe dividir en tantas partes

componentes como sea necesario, de tal forma que cada una de ellas satisfaga

las condiciones para usar sta ecuacin. Llamando respectivamente iiii EALP ,,, ,la fuerza interna, longitud, rea de la seccin transversal y mdulo de elasticidad

que corresponde a la parte i , el alargamiento de la barra completa ser

=

=n

i ii

ii

EA

LP

1

(12)


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Ejercicio N6

Determine la deformacifigura 18(a) bajo las car

Solucin Se divide la

se tiene:

L1= L2= 12 pulg

Para encontrar las fuerz

parte componente dibuj

(

(

(

- 31 -

n de la barra de acero ( E = 29 x 106pas dadas.

Figura 18

arra en tres partes (como se muestra e

L3= 16 pulg A1= A2= 0,9 pulg2

s internas P1, P2, y P3, se debe pasar s

ando en cada caso el diagrama de c

)

)

)

si ) indicada en la

la figura 18(b)), y

A3= 0,3 pulg2

cciones por cada

uerpo libre de la


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porcin de barra localiza

cada uno de los cuerpos

P1

Reemplazando todos lo

( )( )

9,0

1210*60

10*29

1 3

6

=

La barra de la figura 17,

problema anterior, tena

entonces, el alargamient

libre. Sin embargo, c

alargamiento de la barr

la barra con respecto al

barras elsticas de longi

una carga P en B (figura

- 32 -

da a la derecha de la seccin (figura 18(

libres est en equilibrio, se obtiene:

60 klb P2= - 15 klb P3= 30 klb

valores obtenidos en la ecuacin (12),

( )( ) ( )( )7

3,0

1610*30

9,0

1210*15 33=

+

+

que se utiliz para deducir la ecuacin

ambas un extremo unido a un soporte

o de la barra era igual al desplazamie

ando ambos extremos de la barra

se mide por el desplazamiento relativo

otro. Si al conjunto de la figura 19(a) q

ud L , conectadas por un pasador rgido

19(b)), cada barra se deformar.

Figura 19

(a)

(b)

c)). Sabiendo que

e tiene:

lg10*9,5 3 pu

(11)y la barra del

ijo. En cada caso,

nto de su extremo

se mueven, el

de un extremo de

ue consta de tres

en A, se le aplica


34/86


Como las barras AC y A

comn es A del punto

mueven, el alargamie

desplazamientos A y

relativo de B con respe

escribe

dnde A es el rea de l

Ejercicio N 7

La barra compuesta de

de dos segmentos, AB

respectivamente. Deter

desplazamiento de B re

(a)

- 33 -

C estn unidas a soportes fijos en C y C

. Por otra parte, como ambos extremos

to de AB est medido por la dif

B de los puntos A y B, es decir, por

to a A. Representando este desplazam

EA

LPABAB ==

seccin transversal AB y Eel mdulo

cero (E = 29*103kpsi) mostrada en la fi

y BD, cuyas reas transversales son

mine el desplazamiento vertical del

pecto a C.

Figura 20

(b)

, su acortamiento

de la barra AB se

rencia entre los

l desplazamiento

iento por AB , se

e elasticidad.

gura 20(a) consta

1 pulg2 y 2 pulg2

extremo A y el


35/86


- 34 -

Solucin Debido a la aplicacin de las cargas externas, las fuerzas axiales

internas en las secciones AB, BC y CD sern todas diferentes. Esas fuerzas se

obtienen aplicando el mtodo de las secciones y la ecuacin de equilibrio porfuerza vertical, como se indica en la figura 20(b). Usando la convencin de signos

que establece que fuerzas internas de tensin son positivas y fuerzas internas de

compresin son negativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo

D es:

( )( ) ( )( ) ( )( ) lg0127,02

12*192

12*5,171

12*21510*29

13

puAA =

+=

Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de A es

hacia arriba.

Aplicando la ecuacin (11)entre los puntos B y C, se obtiene:

( )( )

( )( )lg00217,0

10*292

12*5,17/3/

puEA

LPCB

BC

BCBC

CB ===

Aqu B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.


36/86


Ejercicio resuelto N 8

El conjunto mostrado erea transversal de 400

unida a un collarn rgi

tensin de 80 kN a la

barra. Considere Eac= 2

Solucin El diagrama

muestra que la barra

compresin de 80 kN.

Al determinar el despla

tiene:

EA

LPBC/ =

(a)

- 35 -

la figura 21(a) consiste en un tubo Amm2. Una barra de acero con dimetr

o y pasa a travs del tubo. Si se apl

arra, determine el desplazamiento del

00 GPa y Eal= 70 GPa.

Figura 21

de cuerpo libre del tubo y de la ba

st sometida a una tensin de 80 kN

zamiento del extremo C con respecto

( )( )( ) ( ) BC

0030,010*200005,0

6,010*80/92

3

==

(

de aluminio cono de 10 mm est

ica una carga de

extremo C de la

rra (figura 21(b)),

y el tubo a una

al extremo B, se

m6

)


37/86


- 36 -

El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha con respecto

al extremo B, ya que la barra se alarga. El desplazamiento del extremo B con

respecto al extremo fijo A es:

( )( )( )

mEA

LPBB

001143,010*7010*400

4,010*8096

3

=

==

El signo menos indica aqu que el tubo se acorta, por lo que B se mueve hacia laderecha respecto a A.

Como ambos desplazamientos son hacia la derecha, el desplazamiento resultante

de C respecto a A es:

mmmCBCBC 199,4004199,0003056,0001143,0 ==+=+=


38/86



Una viga rgida AB des22(a). AC es de acero

aluminio (E = 70 G

desplazamiento del pun

este punto.

Solucin Las fuerzas d

a partir del equilibrio del

fuerzas internas en cada

(a)

(c)

- 37 -

ansa sobre los dos postes cortos mostE = 200 GPa) y tiene un dimetro de

a) y tiene un dimetro de 40 m

o F cuando se aplica una carga vertic

Figura 22

e compresin que actan sobre cada po

elemento AB, figura 22(b). Esas fuerza

poste, figura 22(c).

(b)

(d)

rados en la figura0 mm; BD es de

. Determine el

l de 90 kN sobre

ste se determinan

son iguales a las


39/86


- 38 -

El desplazamiento de la parte superior del poste AC es:

( )( )( ) ( )

=

== mEA

LPA

acAC

ACAC

A

4

92

3

10*86,210*20001,0

3,010*60

El desplazamiento de la parte superior del poste BD es:

( )( )( ) ( )

=== mEALP

B

alBD

BDBD

B

4

92

3

10*02,110*7002,03,010*30

En la figura 22(d) se muestra un diagrama de los desplazamientos de los puntos

A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el tringulo sombreado,

el desplazamiento del punto F es:

=

+= mmFF 225,0

600

400184,0102,0


40/86



La barra CE de pulgunidas a la barra rgida

las barras son de alumi

cada barra y (b) el despl

Solucin Considerand

23(b)), se observa que l

barras son indeterminad

M

(a)

(c)

- 39 -

de dimetro y la barra DF de pulgABCD como se muestra en la figura 23

nio y que E = 10,1 * 106 psi, determin

azamiento del punto A.

Figura 23

o el diagrama de cuerpo libre de la ba

as reacciones en B as como las fuerz

as. Sin embargo recurriendo a la esttic

( ) ( ) ( ) 020121810 == DFCE FF (*)

(d)

(b)

e dimetro estn(a). Sabiendo que

: (a) la fuerza en

rra ABCD, (figura

s que ejercen las

se escribe:


41/86


- 40 -

Despus de aplicar la fuerza de 10 klb, la posicin de la barra es ABCD (figura

23(c)). De los tringulos semejantes BAA, BCC y BDD se tiene:

DC

DC

6,02012

=

=

(**)

DA

DA

9,0

2018

=

=

(***)

Considerando los desplazamientos de los extremos C y D de las barras EC y FD

producidos por las fuerzas FCEy FDF respectivamente, se tiene

EA

LF

EA

LF

DF

DFDFD

CE

CECEC ==

SustituyendoC

y D en (**),

( )

( ) DFCEDFCE

DF

DFDF

CE

CECE FFFFEA

LF

EA

LF333,0

24306,06,0 2

43

41

2

2

1

4

1

=

==

SustituyendoCEF en (*), se tiene:


42/86


- 41 -

( ) ( ) ( ) klbFyklbFFF CEDFDFDF 5,25,702012)333,0(1810 ===

El desplazamiento del punto D es

( )( )( )( )

.lg0504,010*1,10

3010*5,762

43

41

3

puEA

LFD

DF

DFDFD ===

Reemplazando D en (***), se tiene:

( ) .lg04536,00504,09,0 puAA ==


43/86


- 42 -

IIIIIIII TORSION

2.1 INTRODUCCIN

En el material descrito en la seccin anterior, las cargas exteriores se aplicaron

en tal forma que se producan ya esfuerzos normales, ya esfuerzos cortantes

en los miembros. En sta unidad se estudiar el efecto de cargas de torsin

sobre los miembros. Estas cargas generalmente se presentan en forma de

pares que hacen girar los miembros, y, como se ver ms adelante, producen

esfuerzos cortantes.

Las flechas o ejes circulares son los miembros ms comnmente asociados con

cargas de torsin y se presentan muchas aplicaciones prcticas para ellos,

especialmente en el campo del diseo de mquinas. Las cargas de torsin

generalmente se aplican por medio de poleas o engranes que mueven o son

movidos por las flechas.

Como ejemplos de miembros sujetos a cargas de torsin, consideremos las

figuras 24 y 25. La figura 24(a) ilustra una flecha cilndrica fija en un

extremo, con un disco en el otro extremo. Se aplican dos fuerzas iguales y

opuestas P en el plano del disco, como se muestra. Estas dos fuerzas,

separadas una distancia d forman una par. El efecto de este par o par de

torsin, como generalmente se le llama, es torcer el eje alrededor de su eje

longitudinal. En lugar de representar el par como dos fuerzas, se usar la


44/86


designacin alternativa

par, como se muestra

El par resistente (int

equilibrio Meje= 0 a u

determinar el par inte

mediante un plano im

deseado y hallamos laresultante, con respect

figura 24(d) indica que

una flecha que est s

necesario hacer el di

resistente interno es l

cuestin.

(a)

(c)

- 43 -

de una lnea curva cuya punta indic

n la figura 24(b).

Figura 24

rno) puede determinarse aplicando

n diagrama de cuerpo libre de la flech

no en cualquier posicin de la flech

ginario perpendicular al eje de la m

suma de los momentos del diagramal eje longitudinal. Para el caso con

el par resistente interno es igual al pa

jeta a varios pares aplicados en difer

grama de cuerpo libre de varias s

suma de todos los pares externos

(d)

la direccin del

la ecuacin de

a. Es decir, para

, cortamos sta

isma en el lugar

de cuerpo libresiderado aqu, la

r externo T. Para

entes lugares, es

cciones. El par

asta el plano en

(b)


45/86


Otro mtodo comn p

25(a). En este caso,

longitudinal. Por esttiy un par en el centro d

En este caso, la flech

su eje, y tambin a un

apl icacin de la fuerz

adems la flecha puefuerza, el problema se

Los problemas que co

flexin y/o esfuerzos

se tratar solamente l

Por consiguiente, en

se supone que las fl

esfuerzos que no sean

Esta seccin cubre e

esfuerzos por debaj

discutir brevemente

circulares sujetas a e

este apunte.

(a)

- 44 -

ara apl icar cargas torsionales se i lu

e aplica una sola carga P a una di

ca, esta fuerza puede descomponerse la flecha, como se indica en la figur

Figura 25

esta sujeta a un par T, que la hace

a fuerza P. Si la flecha est apoyad

, el problema es de torsin simple.

e flexionarse libremente bajo la ap convierte en uno en que se combina

tienen una combinacin de esfuerzo

xiales se estudiarn ms adelante.

a teora de la torsin en flechas de

ualquier problema que se presente

chas estn apoyadas de tal maner

de torsin, se desprecian.

l anlisis y diseo de flechas circ

del lmite de proporcionalidad d

la torsin de f lechas no circular

fuerzos en el intervalo inelstico n

(b)

tra en la figura

tancia r del eje

e en una fuerzaa 25(b) y (c).

girar respecto a

en el punto de

Sin embargo, si

licacin de estalexin y torsin.

de torsin y de

n esta seccin,

seccin circular.

n este captulo,

a que todos los

lares sujetas a

el material. Se

s. Las flechas

se discuten en

(c)


46/86


2.2 ESFUERZO COR

Cuando un miembro d

producen en el, fuerz

cortantes por sus res

momentos, cuya suma

seccin anterior.

La figura 26(b) ilustra

resistente. Ya que est

producen esfuerzos c

sus esfuerzos cortan

esfuerzo cortante so

actuando sobre esa

actan en direccin

cuestin con el eje del

(a)

- 45 -

ANTE

seccin circular es sometido a carg

as cortantes internas. El producto d

ectivas distancias desde el eje de l

o resultante es el par resistente inter

la accin de las fuerzas internas q

s fuerzas son tangentes a la superf i

rtantes. La relacin entre las fuerza

es asociados es AP= . En este

re el rea sombreada, y P es la

rea. Las fuerzas cortantes y los esf

erpendicular al radio vector que u

miembro.

Figura 26

(b)

(c) (d)

s de torsin, se

e estas fuerzas

flecha produce

no descrito en la

e forman el par

cie del material,

s tangenciales y

caso, es el

fuerza cortante

erzos cortantes

ne al punto en


47/86


- 46 -

Para investigar la torsin en los ejes, se debe conocer la relacin entre elpar aplicado y los esfuerzos internos producidos por ese par. Para

establecer esa relacin, se hacen las siguientes suposiciones:

a) Una seccin de la flecha que es plana antes de la torsin,

permanece plana despus de la torsin. Esto significa que una

seccin transversal de la flecha no se alabea despus de la carga.

b) El dimetro de la flecha no cambia durante la carga.

c) Los esfuerzos estn en el rango elstico. Es decir, los esfuerzos

estn debajo del lmite de proporcionalidad cortante, y se aplica la

Ley de Hooke.

d) Las deformaciones por cortante varan linealmente desde cero en

el eje del elemento, hasta un mximo en las fibras extremas.

La observacin y la verificacin experimental comprueban que estas

suposiciones estn justificadas.

Ya que las deformaciones por cortante varan proporcionalmente a la

distancia al eje, los esfuerzos cortantes deben tener la misma relacin (Ley

de Hooke). Esto se muestra en la figura 26(d), donde los esfuerzos sobrecualquier anillo delgado, tal como el rea n localizada a una distancia

radical p a partir del eje, son directamente proporcionales a los esfuerzos

mximos, que ocurren en las fibras exteriores extremas.

Al determinar la relacin entre estos esfuerzos mximos y el par que los

produce, se llega a la siguiente relacin:


48/86


- 47 -

J

cT= (13)

donde:

es el mximo esfuerzo cortante en el eje

T es el par interno

c es el radio de la seccin transversal de la flecha

J es el momento polar de inercia de la seccin circular

Para secciones circulares macizas,

232

44RD

J

==

Para secciones circulares huecas (tubos),

2

)(

32

)( 4444 ieie RRDDJ

=

=

El esfuerzo sobre cualquier fibra interna situada a una distancia a partir

del eje del miembro es:

JT= (14)


49/86


- 48 -

Ejercicio N 11

Determinar el mximo esfuerzo cortante en un eje de 3 pulg de dimetro. El

par aplicado es de 3000 lb-pies.

Solucin Aplicando la ecuacin (13) para calcular el esfuerzo cortante en

las fibras mas alejadas, se tiene:

( )( )

( ).6,6790

32

3

5,112*30004

psiJ

cT===

Ejercicio N 12

Calcular el par mximo que puede transmitir un eje macizo de acero, de 40

mm de dimetro, sin exceder un esfuerzo cortante de 60 MPa.

Solucin Despejando el par T de la ecuacin (13), se tiene:

( )

mmNTc

JT

J

cT=

=== 23,75398220

3240

60

;

4


50/86


2.3 DEFORMACION

Los esfuerzos cortante

a la superficie de las

esfuerzos cortantes y

ms conveniente cons

superficie plana. En la

un eje. El tamao dellos esfuerzos que

considerarse como uni

(c)

(a)

- 49 -

OR CORTANTE

s descritos en las secciones anterior

secciones transversales del eje. En

las deformaciones por cortante corr

iderar un cubo elemental de material

figura 27(b) se muestra un cubo ele

cubo es extremadamente pequeo, tactan sobre las superficies del

formemente distribuidos.

(d) (e)

(b)

s son tangentes

la discusin de

spondientes, es

, en vez de una

mental tpico de

n pequeo, quecubo pueden

(f)


51/86


- 50 -

Figura 27

En cualquier momento en que se presenten esfuerzos cortantes sobre unasuperficie de un cubo elemental, deben presentarse en las cuatro

superficies, como se muestra en la figura 27(b). Si se considera, por ejem-

plo, el cubo elemental de material mostrado en la figura 27(c). Sobre la cara

ab acta hacia arriba una fuerza cortante vertical. Ya que el cubo debe

estar en equilibrio, Fy= 0 y debe haber una fuerza vertical a Psque acte

hacia abajo. Esta fuerza acta sobre la cara cd (figura 27(d)).

Sin embargo, estas dos fuerzas, forman un par. Ya que M = 0 para el

cubo, debe haber un par igual y de sentido opuesto para impedir la rotacin.

Este acta en las caras ac y bd (figura 27(e)).

Los esfuerzos cortantes que actan sobre un cubo elemental de material

hacen que el cubo se deforme. Esta deformacin, generalmente se

considera como un ngulo (figura 27(f)). La relacin entre el esfuerzo

cortante y la deformacin se expresa como el ngulo de la figura 27(f) y

est dada por la Ley de Hooke. La constante de proporcionalidad se llama

mdulo de elasticidad al cortante, G mdulo de rigidez a la torsin.

Expresada algebraicamente,

G= (15)

donde:

es el esfuerzo cortante

G es el mdulo de elasticidad al esfuerzo cortante

es la deformacin por cortante


52/86


2.3.1 ngulo de torsi

El mximo esfuerzo

determinarse a partir

se tuerza. El ngulo d

de ingeniera. Mucha

manera que no se def

sivamente. Las herrarequieren que el ng

pecificados.

Si se considera una p

como se muestra en l

una fibra longitudinal

posicin despus de

cortante se muestra

producen ngulos rela

cortantes menores qu

del ngulo puede da

matemticamente:

- 51 -

n

cortante en una flecha sujeta a

e JcT= . El par aplicado tambin

e torsin es de importancia en muc

flechas para maquinaria deben

ormen demasiado; es decir, que no

mientas y maquinaria de precisinulo de torsin quede dentro de ci

rte de una flecha sometida a torsin

figura 28; la lnea interrumpida indi

ntes de la torsin, y la lnea contin

ue se han aplicado los pares. La

en la figura 28 como el ngulo n'mn.

ivamente pequeos como consecuen

el lmite de proporcionalidad a cort

rse mediante el ngulo en radia

L

nntg

'==

torsin puede

hace que el eje

as aplicaciones

isearse de tal

e tuerzan exce-

frecuentementertos lmites es-

mediante pares,

a la posicin de

a representa su

eformacin por

Debido a que se

cia de esfuerzos

nte, la tangente

nes. Expresado


53/86


El ngulo de torsintransversal y es el ng

La expresin que perm

donde:

es el ngulo

T es el par inte

L es la longitud

G es el mdulo

J es el moment

La ecuacin (16) e

constante), de secci

extremos.

Si el eje est cargado

diferentes secciones

dividir en sus partescondiciones requerida

- 52 -

Figura 28

e la flecha es el ngulo de rotaciulo mostrado en el extremo B de la

ite determinar el valor de ste ngulo

JG

LT=

e torsin, en radianes

no

de la seccin de la flecha

de rigidez a la torsin

o de inercia polar de la seccin trans

usarse nicamente si el eje es h

n transversal constante y cargad

de otra manera o si consta de varia

y posiblemente de diferentes mate

componentes que satisfacen indipara la aplicacin de la ecuacin (1

n de la seccinfigura 28.

es:

(16)

ersal

mogneo (G =

o slo en sus

s porciones con

riales, se debe

vidualmente las).


54/86


- 53 -

Figura 29

En el caso del eje AB de la figura 29 deben considerarse cuatro partes

diferentes: AC, CD, DE y EB. El ngulo total de torsin entre A y B seobtiene sumando algebraicamente los ngulos de torsin de cada parte

componente. Llamando iT , iL , iJ y iG , el torque interno, longitud, momento

polar de inercia de la seccin y mdulo de rigidez correspondiente a la parte

i , el ngulo de torsin total del eje se expresa como:

=i ii

ii

GJ

LT (17)

El torque internoiT en cada parte del eje se obtiene haciendo un corte a

travs de esa parte y dibujando el diagrama de cuerpo libre de la porcin de

eje localizada a un lado de la seccin.

Ejercicio N 13

Determinar el ngulo de torsin en una flecha de acero (G = 12000 kpsi) de

2 pulg de dimetro y 6 pies de longitud. El par es de 1000 lb-pie.

Solucin El ngulo de torsin puede calcularse segn la ecuacin (16),

( )( )

( ) ( )rad

JG

LT0458,0

32210*12

12*612*10004

6

=

==


55/86


- 54 -

Ejercicio N 14

Un eje macizo de 3 m de longitud debe transmitir un par de 3000 N-m sin

exceder un esfuerzo cortante de 75 MPa, y tambin sin exceder un ngulo

total de torsin de 3. Considerando que G = 77 GPa, determine el dimetro

mnimo que debe tener este eje.

Solucin Tomando como condicin crtica el esfuerzo cortante, se tiene:

( )( )mmmD

D

D

J

cT8,580588,0

32/

2/300010*75

4

6 ====

Tomando ahora como condicin crtica el ngulo de torsin, se tiene:

( ) ( )( )

( )( ) mmmD

DJG

LT69069,0

32/10*77

33000180/*3

49 ====

Aqu, como en la mayora de los problemas de diseo, los requisitos del

material (representado por el esfuerzo) y su comportamiento (representado

por la deformacin) no estn relacionados, resultando dos dimensionesdiferentes para el diseo. Como debemos escoger un dimetro que

satisfaga tanto los requisitos del material como su comportamiento; este

debe ser el mayor de los dos, es decir, el dimetro mnimo del eje debe ser

69 mm.


56/86


Ejercicio N 15

El eje vertical AD est

mostrados en la figur

perforado en la porci

acero con G = 80 GPa,

(a)

(d)

Solucin Como el ej

seccin uniforme y co

(17).

- 55 -

unido a una base fija en D y someti

a 30(a). Un hueco de 44 mm de d

CD del eje. Sabiendo que todo el ej

, determine el ngulo de torsin en el

(e

Figura 30

consta de tres porciones AB, BC y

torque interno constante, puede us

(b)

o a los torsores

imetro ha sido

e est hecho de

extremo A.

)

D, cada una de

rse la ecuacin

(c)


57/86


- 56 -

Haciendo un corte en el eje entre A y B, y usando el diagrama de cuerpo

libre mostrado en la figura 30(b), se determina que

mNTTM ABABy === 2500250:0

Ahora haciendo un corte entre B y C, y usando el diagrama de cuerpo libre

de la figura 30(c), se tiene

mNTTM BCBCy ==+= 225002000250:0

Como no hay torque aplicado en D entonces T CD= TBC= 2250 N-m.

Calculando los momentos de inercia polar de las secciones indicadas en lafigura 30(d), se tiene

( )

( )

( ) ( )[ ] 4744

46

4

48

4

10*043,9044,0060,032

10*272,132

060,0

10*952,732

030,0

mJJ

mJJ

mJJ

CDCD

BCBC

ABAB

==

==

==

Utilizando la ecuacin (17) y recordando que G es constante para todo el

eje, se tiene


58/86


( )(A

*952,7

250

10*80

19

=

Ejercicio N 16

Un eje circular AB co

7/8 pulg de dimetro,

y 5/8 pulg de dimetro

en ambos extremos ycentral, como se mue

sobre el eje por cada

(a)

(c

- 57 -

) ( )( ) ( )( )

10*043,9

6,02250

10*272,1

2,02250

10

4,768

++

sta de un cil indro de acero de 10 p

l cual se le ha abierto una cavidad d

desde el extremo B. El eje est unid

se le aplica un torque de 90 lb-pistra en la figura 31(a). Determine el

no de los soportes.

(b)

) (d)

Figura 31

radA 0388,0=

lg de longitud y

5 pulg de largo

a soportes fijos

en su seccintorque ejercido


59/86


- 58 -

Solucin Construyendo el diagrama de cuerpo libre del eje y llamando TAy

TBlos torques ejercidos por los soportes (figura 31(b)), se tiene

TA+ TB= 90 lb-pie

Como esta ecuacin no es suficiente para determinar los torques

desconocidos TAy TB, el eje es estticamente indeterminado.

Sin embargo, estos torques pueden ser calculados si se considera que el

ngulo total de torsin del eje AB debe ser cero, ya que ambos extremos

estn restringidos. Si 1y 2son los ngulos de torsin de las partes AC y

CB, se tiene que

= 1+ 2= 0

En los diagramas de cuerpo libre de una pequea porcin del eje

incluyendo el extremo A (figura 31(c)) y el extremo B (figura 31(d)), se

observa que T1= TAy que T2= TB. Recordando la ecuacin (17)y notando

que las porciones AC y CB del eje estn sometidas a torques opuestos, se

tiene

( )( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( )[ ] ABB

AB

BA

TTT

TJL

JLTdondede

GJ

LT

GJ

LT

739,08/732/5

8/58/732/5

0

4

44

12

21

2

2

1

121

=

=

===+=


60/86


- 59 -

Sustituyendo esta ltima expresin en la ecuacin de equilibrio original,

resulta

1,739 TA= 90 luego entonces: TA= 51,75 lb-pie y TB= 38,25 lb-pie.


61/86


2.4 FLECHAS GIRAT

Muchos problemas enpotencia desde una fu

ejemplo, una flecha tr

hlice de un barco.

Debido a su gran util

potencia desarrollada

Si se considera una

superf ic ie exterior, co

El trabajo hecho por la

distancia recorrida e

completa, la fuerza h

de la flecha, o 2R. E

- 60 -

RIAS

diseo de mquinas contienen flechaente hasta el lugar donde se ejecuta

nsmite potencia desde un motor pa

idad en esta seccin veremos la r

el par en una flecha.

flecha de radio R con una fuerza

o se muestra en la figura 32.

Figura 32

fuerza P se define como la fuerza m

la direccin de la fuerza. En

br recorrido una distancia igual a l

tonces, el trabajo desarrollado por la

Trabajo = P(2R)

s que transmitenel trabajo. Por

ra hacer girar la

elacin entre la

aplicada a su

ultiplicada por la

una revolucin

a circunferencia

fuerza es:

(a)


62/86


- 61 -

Si la flecha est girando a una velocidad de N revoluciones por minuto

(rpm), la distancia total recorrida por minuto es (2R)(N). Como la Potencia

se define como la cantidad de trabajo realizada en la unidad de tiempo, la

potencia desarrollada por la fuerza P sera:

Potencia = P (2R) (N) (b)

La unidad usual de potencia es el caballo de fuerza (hp), que es igual a33000 pie-lb/min. Si en la ecuacin (b) P esta en lb. y R en pulg., podemos

entonces dividirla entre 12 pulg/pie para convertir la potencia a las unidades

pie-lb/min. y dividirla nuevamente por 33000 pie-lb/min., la expresin

entonces se convierte en:

Potencia = (P) (2R) (N) / (12*33000) = PRN / 63000 (c)

Refirindose otra vez a la figura 32, se encuentra que el par en la flecha es

T= PR. Sustituyendo esta expresin en la ecuacin (c), se obtiene:

HPNT

Potencia63000

= (18)

donde

Potencia = potencia en caballos de fuerza.

T = par en la flecha en lb - pulg

N = velocidad de la flecha en rpm.


63/86


Ejercicio N 17

Determinar la potencialb y la velocidad es de

Solucin. Usando la

fuerza, como sigue:

Potencia6

=

Ejercicio N 18

Un motor mediante u

como se muestra en la

El esfuerzo cortante

permisible es de 1/12

dimetro, determine el

- 62 -

transmitida por una flecha si el par630 rpm.

ecuacin (18), se calcula la potenci

( )( ) PotenciaNT63000

63010003000

=

conjunto de engranajes, mueve un

figura 33. El motor entrega 60 hp en

permisible es de 6000 psi, y el

rad. Si este eje debe ser macizo

valor mnimo de este dimetro.

Figura 33

s de 1000 pulg-

en caballos de

HP10=

eje a 630 rpm.,

A y 40 hp en C.

gulo de torsin

y con un nico


64/86


- 63 -

Solucin. La solucin de este problema involucra cuatro consideraciones.

Los esfuerzos cortantes en la flecha AB y la flecha BC no deben exceder de

6000 psi, y el ngulo de torsin en estos dos ejes no debe exceder de 1/12rad.

El primer paso consiste en determinar el par en los ejes AB y BC.

Flecha AB:

( )( ) lg60006306300060

63000pulbTTNTPotencia === a

Flecha BC:

( )( )lg4000

630

6300040

63000pulbTT

NTPotencia === a

El siguiente paso es disear el dimetro sobre la base de la limitacin del

esfuerzo cortante. ComoJcT= , solamente debe disearse el eje AB

para esta condicin. El par en la flecha BC es menor que en la flecha AB,

de modo que el esfuerzo cortante no regir la flecha BC. Luego:

lg72,16000

6000

2

32

4

puDD

D

T

c

J

J

cT==

==

aa


65/86


- 64 -

Finalmente las flechas se disearn sobre la base de la limitacin del

ngulo de torsin. En este caso no es enteramente evidente cual flecha

rige el diseo, ya que aunque AB es ms corta que BC, el par en AB esmayor que en BC. Para estar seguros, se disearn ambas flechas.

Flecha AB:

( )( )( )( )

lg65,1121101212106000

32 6

4

puDDGLTJ

JGLT =

===

aa

Flecha BC:

( )( )

( )( ) lg87,1121101212254000

32 6

4

puDD

G

LTJJG

LT

=

===

aa

La comparacin de los tres dimetros calculados indica que el dimetro

necesario para la flecha debe ser D = 1,87 pulg. (gobierna el ngulo de

torsin en BC).


66/86


- 65 -

IIIIIIIIIIIIFLEXION

3.1 INTRODUCCIN

En la asignatura de mecnica, se discuti el hecho de que las cargas

aplicadas exteriormente producen en las vigas momentos internos

resistentes y fuerzas cortantes internas. Pero nada se mencion acerca de

las dimensiones, forma o material de la viga que soporta las cargas

aplicadas. Estos factores estn muy relacionados con la capacidad de

soportar carga de la viga y con la naturaleza y distribucin de los esfuerzos

internos.

En esta unidad se explican las relaciones ms importantes entre estos

factores. Aqu se pueden considerar dos tipos generales de problemas,

anlisis y diseo. En el anlisis, se conocen las dimensiones de la viga, y

el problema consiste en determinar ya el esfuerzo mximo para una carga

dada, ya la carga permisible para un esfuerzo permisible dado. Enproblemas de diseo, se conocen la luz de la viga, las condiciones de carga

y los esfuerzos permisibles; y el problema consiste en determinar las

dimensiones necesarias de la seccin transversal de la viga. Al disear

surgen muchas cuestiones prcticas, tales como la seguridad, economa y

detalles generales. Aunque estas preguntas se responden ms

completamente en un curso de diseo, algunos de estos aspectos se

considerarn en esta unidad.


67/86


3.2 ESFUERZO DE F

Para describir la accisujeta a flexin pura, c

Suponga que la vig

longitudinales.

Cuando la viga se flex

mientras que las de laver que en alguna

compresin y tensin.

Esta superficie (en la

neutra o eje neutro, y

transversal.

La figura 34(b) es un

viga y muestra la distri

(a)

- 66 -

EXI N

de los esfuerzos de flexin, se cons omo la indicada en la figura 34(a).

a est formada de un gran n

iona, las fibras de la porcin superio

porcin inferior se alargan. Intuitiv superficie se debe producir la

ual el esfuerzo es cero) se conoce c

st localizada en el centro de graved

iagrama de slido libre de la porci

bucin de las fuerzas en las fibras de

Figura 34

(b)

iderar una viga

ero de fibras

r se comprimen,

mente podemosransicin entre

mo la superficie

ad de la seccin

izquierda de la

la viga.


68/86


- 67 -

Las fuerzas resultantes de tensin y compresin (C y T) son iguales en

magnitud y forman el momento interno resistente de la viga. La magnitud

de los esfuerzos mximos de tensin y de compresin en la viga, asociadosa este momento puede determinarse a partir de la frmula de la flexin, que

se presenta en la seccin siguiente.

En la deduccin y uso de la frmula de la flexin, se hacen ciertas su-

posiciones con respecto a la accin de la viga. En un trabajo de diseo

normal, estas suposiciones se aproximan a la accin real de la viga. Si en

casos relativamente raros de diseo elemental surgen situaciones dondeestas suposiciones no son vlidas, deben emplearse otros mtodos de

anlisis; los cuales estn fuera del alcance de este curso.

Las suposiciones que se hacen al usar la frmula de la flexin son:

1) La viga inicialmente es recta, tiene seccin transversal constante y se

conserva esencialmente recta cuando est cargada.

2) Las cargas se aplican de tal forma que no se produce torsin.

3) Todos los esfuerzos en la viga estn por debajo del lmite de

proporcionalidad; es decir, la ley de Hooke es vlida.

4) El mdulo de elasticidad de las fibras a compresin es igual al de las

fibras a tensin.

5) La parte de la viga que est comprimida, est restringida para moverse

lateralmente.

6) Las secciones planas antes de la flexin se conservan planas despus

de la flexin. Es decir, un plano que pase a travs de una seccin


69/86


transversal antes d

la viga. Esta sup

lineal (OA, y OB) m

Estas suposiciones y

pueden verse en la fi

secciones planas (a-b

Como las secciones

pus de la flexin (su

longitud.

La posicin original d

lneas interrumpidas

mostrada por la lnea

fibras inferiores se ha

han cambiado de longi

- 68 -

la flexin no se alabear despus d

sicin explica la distribucin de esf

ostrada en la figura 34(b).

las caractersticas fsicas asociada

ura 35. La figura 35(a) y (b) mues

y c-d) antes y despus de la flexin.

Figura 35

lanas antes de la flexin se conser

posicin 6), las fibras de la viga de

e las fibras que se muestran en la

e ha movido despus de la flexi

continua. Las fibras superiores se h

alargado y las fibras localizadas en

tud.

que se cargue

erzos en forma

s con la flexin

ra la viga y dos

an planas des-

ben cambiar de

figura 35(c) con

n a la posicin

an acortado, las

el eje neutro no


70/86


- 69 -

La figura 35(d) es un diagrama de la distribucin de la deformacin en la

seccin transversal. Observe que la deformacin vara linealmente desde

cero en el eje neutro hasta un valor mximo de compresin en las fibrassuperiores y hasta un valor mximo de tensin en las fibras inferiores.

Como, por la ley de Hooke, el esfuerzo es proporcional a la deformacin, la

distribucin de esfuerzos de la figura 35(e) tiene la misma forma que la

distribucin de deformaciones, pero a una escala diferente. Por consi-

guiente, los esfuerzos en una viga varan tambin desde cero en el eje

neutro hasta un mximoen las fibras extremas.

3.2.1 Frmula de la flexin

En la frmula de la flexin se establece la relacin entre los esfuerzos en

las fibras y el momento resistente interno, lo cual se logra hacer de la

siguiente manera:

a) Se analiza una fibra localizada a una distancia cualquiera a partir del eje

neutro, y se determina la fuerza ejercida en esta fibra debida a su

esfuerzo, y el momento de esta fuerza con respecto al eje neutro.

b) Se obtiene la suma de todos los momentos de todas las fibras, con

respecto al eje neutro. El resultado ser el momento interno resistente

de la viga. Despus de realizar todo este desarrollo en formamatemtica, se obtiene que la frmula de la flexin es:

I

cM= (19)


71/86


donde

= esfuerzo e

M = momento f

I = momento

c = distancia de

Se debe notar que el

seccin transversal si

punto de fluencia yno

Se sugiere que antes

de la asignatura de

flector, centroides y m

La frmula de la flexi

mximos en las fibras

pueden determinar a p

Frecuentemente, las

semejantes a las indic

(a)

- 70 -

las fibras extremas de la viga.

lector interno en la viga.

e inercia de la seccin transversal d

sde el eje neutro de la viga hasta las

eje neutro siempre coincide con el

la viga est sujeta a esfuerzos m

se presentan fuerzas axiales.

e aplicar la frmula de la flexin, re

ecnica en lo que respecta al clc

mentos de inercia.

n puede ser usada para determin

de vigas en las cuales se conocen

artir de las cargas dadas y de las dim

vigas tienen secciones transvers

das en la figura 36.

Figura 36

(b)(c)

la viga.

fibras extremas.

centroide de la

nores a los del

ise sus apuntes

lo de momento

r los esfuerzos

M, c, e I, o se

ensiones.

les asimtricas

(d)


72/86


El procedimiento par

analizar vigas con sec

existen dos valores ddebe usar la mayor d

esfuerzos tanto en las

parte inferior, se apli

respectivas distancias

Ejercicio N 19

Determinar el esfuerz

figura 37.

a) Desprecie el peso d

b) Incluya el peso de l

Solucin. a) Tanto e

como el momento

procedimientos descri

valores son 2400 pie-l

- 71 -

analizar estas vigas es semejant

in transversal simtrica. La nica

c. Si se quiere determinar el esfuistancia c. Sin embargo, si se van

fibras de la parte superior como en

ca la frmula de la flexin dos ve

c.

en las fibras extremas de la viga

e la viga,

viga (densidad = 36 lb/pie3.)

Figura 37

l momento mximo debido a la ca

de inercia puede determinarse

os en la asignatura de Mecnica.

y 72 pulg4.

(a) (b)

al usado para

iferencia es que

erzo mximo sedeterminar los

las fibras de la

es, usando las

mostrada en la

ga concentrada

utilizando los

Los respectivos


73/86


- 72 -

El esfuerzo en las fibras extremas superiores o inferiores es:

( )( ) psiI

cM1200

72

3122400===

b) Si se incluye el peso de la viga como una carga uniformemente

distribuida de:

w = (4) (6) (36) / (144) = 6 lb/pie

el momento adicional debido a esta carga es 108 pie-lb. El esfuerzo

adicional debido a este momento es

( )( )psi

I

cM54

72

312108=

==

El esfuerzo mximo en la viga, incluyendo su propio peso, es entonces

psi1254541200 =+=

Debe indicarse en ambos casos, que si bien el esfuerzo en las fibras

extremas tiene el mismo valor, la solicitacin en las fibras superiores es decompresin y en las fibras inferiores de tensin.

Ejercicio N 20


74/86


Determinar el esfuerz

figura 38.

Solucin. El esfuerzo

la flexin. Sin embamomento de inercia

aplicando los procedi

valor de este momento

El momento flector m

ejercicio anterior y su

Ahora se calcula el esf

M=

Ejercicio N 21

(a)

- 73 -

en las fibras extremas de la viga

Figura 38

mximo puede determinarse a partir

go, en este caso se debe calcularon respecto al eje neutro lo debe

ientos presentados en la asignatura

es 693 pulg4.

ximo se determina de la misma m

alor es de 100 klb-pies.

uerzo y se obtiene

( )( )k

c39,10

693

612100=

=

(

mostrada en la

de la frmula de

primero I. Estecalcular usted,

e Mecnica. El

nera que en el

si

)


75/86


Determinar los esfuerz

viga de seccin T mos

Solucin. Para aplic

Todos estos valores p

asignatura de Mecnic

usted deber verificar

neutro y los valores d

momento de inercia co

Luego el esfuerzo en l

I

cM==

El esfuerzo en las f ibr

(a)

- 74 -

os en las fibras extremas superiores

rada enla figura 39.

Figura 39

r la frmula de la flexin, se debe c

eden ser determinados a partir de lo

a, por lo tanto aqu se darn solame

los. En la figura 39(c) se indica la

e c. El momento flector mximo val

n respecto al eje neutro 21,76 * 10-6

s fibras extremas inferiores es

( )( )6

3

15,206801076,21

101005,4=

s extremas superiores es

(b)

inferiores de la

onocer M, I y c.

estudiado en la

te los valores y

posicin del eje

e 4,5 kN-m y el4.

( )Tm

N2

(c)


76/86


- 75 -

( )( ) ( )Cm

kNI

cM26

3

124081076,21

10605,4=

==

IVIVIVIVESFUERZOS COMBINADOS


77/86


4.1 INTRODUCCIN

Hasta el momento, sol

solo tipo de esfuerzo.

que no concuerdan co

son vlidas. La figur

tipo. Estos problem

adecuada de los mto

En esta unidad an

superposicin de esfu

4.2 CARGAS COMBI

(a) (b)

- 76 -

amente se ha trabajado con cargas

En la realidad frecuentemente se en

n las condiciones bajo las cuales las

40 muestra varios ejemplos de pr

as pueden resolverse mediante u

os ya estudiados.

Figura 40

lizaremos algunos problemas qu

rzos P/A y Mc/I.

ADAS AXIALES Y DE FLEXI N

(c) (d)

ue producen un

cuentran cargas

teoras bsicas

blemas de este

na combinacin

involucran la

(e)


78/86


Considere la viga em

P, como se muestraflexin pura ni axial

descompone esta fuer

indica en la f igura 41(

que permiten aplicar la

La fuerza axial Pxprod

La fuerza Py produc

esfuerzos actan par

algebraicamente. Los

(a)

- 77 -

otrada en un extremo y sujeta a una

en la figura 41(a). Esta carga no eura, sino que una combinacin de

a en sus componentes horizontal y

) y (c), estas componentes actan e

s tcnicas bsicas vistas con anterio

Figura 41

uce esfuerzos de tensin = Px/A en

esfuerzos de flexin = Mc/I.

alargar o acortar las fibras, pue

esfuerzos en cualquier fibra pueden

I

cM

A

P=

(b)

carga inclinada

s una carga deambas. Si se

ertical, como se

las direcciones

idad.

todas las fibras.

omo estos dos

en combinarse

alcularse como:

(20)

(c)


79/86


Todos los esfuerzos d

compresin negativos.

naturaleza de los esfu

la distancia general y

un punto diferente al d

Ejercicio N 22

Calcular los esfuerzos

mostrada en la figura

Solucin. El esfuerz

ese punto el momento

42(c) produce esfuerz

en las inferiores. La

tensin en todas las fi

(a)

- 78 -

tensin se consideran positivos, mi

Esta convencin de signos ayuda

erzos finales. El trmino c puede r

a partir del eje neutro, si se requier

e las fibras extremas.

mximos en la viga en voladizo de 4

2.

Figura 42

mximo ocurrir en el extremo em

flector es mximo. La carga t ransve

s de tensin en las fibras superiores

arga axial de la f igura 42(b) produ

ras. Entonces:

(b)

ntras que los de

a determinar la

emplazarse por

e el esfuerzo en

0 mm x 100 mm

otrado, pues en

rsal de la figura

y de compresin

e esfuerzos de

(c)


80/86


- 79 -

I

cM

A

P=

( )( )( )( )( )

( )( ))(024,21

10*10010*4012

1

10*5010*3603360

10*10010*40

11520sup333

33

33sup TMPa=+=

( )( ) ( )( )( )( )( ))(264,15

10*10010*4012

110*5010*3603360

10*10010*4011520 inf333

33

33inf CMPa==

4.2.1 Flexin asimtrica

Este es otro de los casos en que el procedimiento de la superposici6n

ofrece una solucin simple a un problema ms complejo que es el de la

flexin asimtrica. Una de las condiciones que debe cumplirse para que la

frmula =Mc/I sea vlida, es que la carga debe estar aplicada a lo largo

de uno de los ejes principales de la seccin. Los ejes principales, mayor y

menor, son aquellos ejes con respecto a los cuales ocurren los momentos

de inercia mximo y mnimo respectivamente. Los ejes de simetra sonsiempre ejes principales.

La figura 43 muestra una viga en voladizo que soporta una carga en el

extremo libre. La carga no se aplica a lo largo de un eje principal X-X o Y-Y

mostrados en la figura 43(b).


81/86


Sin embargo, si la car

tos ejes, como se indi

vlida para los momecualquier punto es la

dos componentes. Es

Nuevamente se usa el

neral la ecuacin. Si

plemente reemplazar y

(a)

- 80 -

Figura 43

a se descompone en componentes

a en la figura 43(c), entonces la fr

ntos producidos por Px y Py. El euma algebraica de los esfuerzos pr

e enunciado se expresa algebraicam

Y

Y

X

X

I

xM

I

yM=

trmino y en lugar del termino cpar

se desea conocer el esfuerzo mxi

por c.

(b)

lo largo de es-

ula = Mc/I es

sfuerzo total enducidos por las

nte por:

(21)

a hacer mas ge-

o, se debe sim-

(c)


82/86


Ejercicio N 23

Para la viga en voladifigura 44, determinar e

Solucin. La fuerza o

momento flector Mxpr

esfuerzos de compresi

My produce esfuerzos

compresin a lo largo

esos momentos se su

Mx= (240)(6) = 1440 p

Ix = (1/12)(4)(6)3 = 7

Sustituyendo estos val

A,B

C,D

(a)

- 81 -

o de 4 pulg x 6 pulg tamao nominal esfuerzo en las cuatro esquinas del

Figura 44

blicua se descompone a lo largo de l

duce esfuerzos de tensin a lo largo

n a lo largo de la cara CD, mientras

de tensin a lo largo de la cara B

de la cara AD. Los esfuerzos obte

erponen mediante la aplicacin de la

ie-lb. My= (100)(6) = 600 pie-l

pulg4. Iy = (1/12)(6)(4)3 = 32

ores en la frmula (21), se tiene:

(b)

l mostrada en laapoyo.

s ejes X e Y. El

de la cara AB y

que el momento

y esfuerzos de

idos a partir de

frmula (21).

.

pulg4.

(c)


83/86


(A

72

12*1440=

(B

72

12*1440=

(C

72

12*1440=

(D

72

12*1440=

4.2.2 Cargas excntr

Cuando a un miembro

los ejes centroidales dalgunos casos la ca

miembro, pero a una

45(a). Este tipo de c

ex y ey entre la lnea

respectivamente es la

(a)

- 82 -

)( ) ( )( )A 27

32

212*6003=

( ) ( )( )B 117

32

212*6003=+

)( ) ( )( )A 2

32

212*6003=+

( ) ( )( )A 11

32

212*6003=

icas

se le apl ica una carga axial, esta d

e ste para que sea vlida la expresga se aplica paralela a los ejes

ierta distancia de ellos, como se in

rga se describe como excntrica, d

de accin de la carga y los ejes ce

excentricidad con respecto a cada un

Figura 45

(b)

( )Tpsi

( )Tpsi

( )Cpsi0

( )Cpsi70

be coincidir con

in = P/A. Encentroidales del

ica en la figura

nde la distancia

troidales Y y X

o de ellos.

(c)


84/86


- 83 -

Para resolver este tipo de problemas, la carga excntrica se descompone

en una fuerza que pasa por el centroide de la seccin y un par, como se

muestra en la figura 45(b). Sin embargo, el par no acta a lo largo de un ejeprincipal, por lo que debe descomponerse en los pares M x = Pey y My =

Pex.

El procedimiento para hacer esta descomposicin, se analiz en la

asignatura de mecnica Luego el esfuerzo en cualquier punto puede

calcularse usando la ecuacin (20) con el momento M = Pe, y su valor

corresponder a la suma algebraica de los esfuerzos debidos a P, M xy My,y se expresa como:

Y

Y

X

X

I

xM

I

yM

A

P= (22)

Ejercicio N 24

Determinar los esfuerzos en las cuatro esquinas de un bloque de 8 pulg x

12 pulg, cuando se aplica una carga de 48 klb en una esquina, como se

indica en la figura 46(a).


85/86


Solucin. La carga

pares, Mx, y My. El

cantidades se indica

figuras 46(c), (d) y (e).

respecto a los ejes X e

Ix= (1/12

Iy= (1/12

A partir de la frmula (

(c)

- 84 -

Figura 46

xcntrica se descompone en una fu

carcter de los esfuerzos originado

mediante los signos + o - en las

Primero se determinan los moment

Y de la siguiente manera:

) (12) (8)3= 512 puIg4. cx= 6 p

) (8) (12)3

= 1152 puIg4

. cy= 4 p

22), se tiene:

(a) (b)

(d) (e)

erza axial y dos

por estas tres

squinas de las

s de inercia con

lg.

lg.


86/86

- 85 -

( )( ) ( )( )( )TpsiAA 2500

512

44*48000

1152

66*48000

96

48000=++=

( )( ) ( )( )( )CpsiBB 500

512

44*48000

1152

66*48000

96

48000=+=

( )( ) ( )( )( )CpsiCC 3500

512

44*48000

1152

66*48000

96

48000==

( )( ) ( )( )( )CpsiAA 500

512

44*48000

1152

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