plan/แผนการสอนวิชา... · 2 แผนการสอน...

2

แผนการสอน หนวยท 1 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 1 ชอหนวย ระบบหนวยและสมการพนฐาน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. ระบบหนวย 2. สมการพนฐาน สาระส าคญ 1. ระบบหนวยหนวยสากลทใช คอ หนวยเอสไอ ประกอบดวย หนวยมลฐาน หนวยอนพนธ หนวยเสรม และค าอปสรรค 2. สมการพนฐานทใชในการค านวณเรองความแขงแรงของวสดไดแก สมการการหาพนท การเขยนหนวย และการยายขางสมการ วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถใชหนวยเอสไอในการค านวณไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถเขยนสมการและแกสมการไดอยางถกตอง

3


เนอหาสาระ 1. ระบบหนวย หนวยวดในระบบ SI unit เปนหนวยวดทใชกนอยางแพรหลายทวโลก โดยมการประชมใหญของนกวทยาศาสตรนานาชาตในหนวยมาตรฐานสากลระหวางชาตครงท 11 ป พ.ศ. 2503 ทประเทศฝรงเศสไดก าหนดระบบหนวยวดใหม เรยกวาระบบ SI – unit (System Internationals d’unite’s ) หนวย SI ประกอบดวย หนวยมลฐาน หนวยอนพนธ หนวยเสรม และค าอปสรรค 1.1 หนวยมลฐาน หนวยมลฐานเปนหนวยหลกเบองตนม 7 หนวย คอ

ปรมาณ ชอหนวย สญลกษณ

1. ความยาว (Length) เมตร (Meter) M 2. มวล (Mass) กโลกรม (Kilogram) kg 3. เวลา (Time) วนาท (Second) s 4. กระแสไฟฟา (Electric Current) แอมแปร (Ampere) A 5. อณหภมทางเทอรโมไดนามกส (Thermodynamic Temperature )

เคลวน (Kelvin) K

6. ความเขมแสง (Luminous Intensity) แคนเดลา (Candela) cd 7. ปรมาณสาร (Amount of Substance) โมล (Mole) mol

1.2 หนวยอนพนธ หนวยอนพนธ เปนหนวยผสมโดยเอาหนวยมลฐานหลาย ๆ หนวยมาใชรวมกน ตอไปนเปนชอและสญลกษณของหนวยอนพนธ


1. พนท ตารางเมตร m2

2. ปรมาตร ลกบาศกเมตร m3

3. ความหนาแนน กโลกรมตอลกบาศกเมตร kg/m3

4. อตราเรว, ความเรว เมตรตอวนาท m/s

4


หนวยอนพนธ


5. แรง นวตน N = kg.m/s2

6. ความดน, ความเคน ปาสคาล Pa = N/m2

7. งาน, พลงงาน, ปรมาณความรอน จล J = N.m 8. ก าลง วตต W = J/s 9. เอนโทรป จลตอกโลกรม-เคลวน J/kg.K 10. ความจความรอนจ าเพาะ จลตอกโลกรม-เคลวน J/kg.K

1.3 หนวยเสรม

เคลวน คอ หนวยของอณหภมเทอรโมไดนามกสมคาเทากบ 16.273

1 ของอณหภม

เทอรโมไดนามกสของจดไตรภาคของน า นวตน คอ หนวยของแรง แรง 1นวตน คอ แรงทกระท าตอมวล 1 กโลกรมแลวเกดความเรง 1 เมตรตอวนาทก าลงสอง จล คอ หนวยของงาน พลงงาน และปรมาณความรอน งาน 1 จล คองานทท าเมอจดกระท าของแรง 1 นวตนเคลอนทไป 1 เมตร ในทศของแรง วตต คอ หนวยของก าลง 1 วตต คอ งานทท าไดในอตรา 1 จลตอวนาท 1.4 ค าอปสรรคของหนวย ค าอปสรรคเปนค าทใชแทนตวคณเพมและตวคณลด เพอใหหนวยมขนาดใหญขนหรอเลกลงใหพอเหมาะกบการน าไปใช โดยน าเอาค าอปสรรคประไวขางหนาหนวยนน ๆ ค าอปสรรคเปนทใชเปนค าฝรงเศสทงสน ซงไดแกค าอปสรรคดงน

ตวคณ ค าอปสรรค สญลกษณ 1018 เอกซะ E 1015 เพตะ P 1012 เทอรา T 109 จกะ G

5


ค าอปสรรคของหนวย ตวคณ ค าอปสรรค สญลกษณ 106 เมกะ M 103 กโล K 102 เฮกโต H 10 เดคะ da 10-1 เดซ d 10-2 เซนต c 10-3 มลล m 10-6 ไมโคร 10-9 นาโน n 10-12 พโค p 10-15 เฟมโต f

1.5 หนวยอนทยอมใหใชรวมกบหนวย SI มหนวยอนทไมใชหนวย SI แตยอมใหใชกบหนวย SI ดงตารางขางลางน

หนวย สญลกษณ คาในหนวย SI 1. ตน T 1t = 103 kg 2. ลตร L 1L = 10-3 m3

3. บาร bar 1 bar = 105 N/m2

4. บรรยากาศ atm 1 atm = 1.01325×105 Pa 5. องศาเซลเซยส C 0 C =273.15 K 6. กโลวตตชวโมง KWh 1 KWh = 3.6×106 J

6


1.6 อกษรกรก อกษรทใชเปนสญลกษณแทนค าจ ากดความตาง ๆ ในงานทางเทคนค จ าเปนอยางยง ทตองท าความเขาใจเกยวกบตวอกษรกรก ดงตวอยางตอไปน

ALPHA BETA GAMMA DELTA EPSILON ZETA ETA THETA KAPPA LAMBDA

PHO SIGMA TAU UPPSILON PHI CHI MU NU PI OMEGA

2. การหาพนทของชนงาน พนททใชในงานชางมหลายลกษณะไดแก พนทรปเหลยม พนทวงกลม และพนทตดเจาะ 2.1 พนทรปเหลยม

ก าหนดให A = พนท

a, b = ความยาวดาน

h = ความสง

a

a a

b A = a2

A = ab

รปท 1 สเหลยมจตรส รปท 2 สเหลยมผนผา

7


2.2 พนทวงกลม


d = เสนผาศนยกลางภายใน

D = เสนผาศนยกลางภายนอก

a

b

ab2

1A

a

h

ah2

1A

รปท 3 สามเหลยมมมฉาก รปท 4 สามเหลยมหนาจว

d d D

4

dA

2

4

dDA

22

รปท 5 พนทวงกลม รปท 6 พนทวงแหวน

8


2.3 พนทตดเจาะ


d = เสนผาศนยกลาง

t = ความหนาของแผนเหลก

3. การเขยนหนวย ในการเขยนหนวยในการค านวณนนจะตองเขยนหนวยใหถกเพราะหากเขยนผดกจะท าใหค าตอบผดไปดวย

หลกการเขยนหนวย 1. หากหนวยทโจทยก าหนดมาเปนหนวยเดยวกนแลวกสามารถค านวณไดเลย 2. หากหนวยทโจทยก าหนดมาไมเปนหนวยเดยวกนใหเปลยนหนวยกอน การ

เปลยนหนวยกคอการน าสงทเทากนมาเขยนแทนกน เชน 1 mm = 310

1 m, 1 mm2 = 610

1 m2

3. หากหนวยทโจทยก าหนดมค าอปสรรคอยขางหนา ใหเปลยนค าอปสรรคเปนตวเลขกอนจงท าการค านวณ เชน แรง 12 kN เปลยนเปน 12 ×103 N เปนตน

t

rt2A

รปท 6 พนทตดเจาะ

9


4. การยายขางสมการ ในการค านวณหาคาใดคาหนงบางครงกตองมการยายขางสมการเพอทจะจดใหตวแปลทเราจะหานนอยตวเดยว หลกการยายขางสมการ

1. จากสวนยายไปเปนเศษ เชน สมการ C

BAD หากตองการหาC จะได BADC

2. ท าการยายตวแปลอนทอยกบ C ไปอกฝงหนงโดยพจารณาวาตวแปลทเราจะยายนนก าลงท าอะไรอยกบ C คอ คณใหยายไปเปนหาร หารยายเปนคณ บวกใหยายไปเปนลบ ลบใหยายไปเปนบวก เชน จากสมการ BADC จะเหนวา ตวแปลทอยกบ C จะม AD ซงก าลงคณอย

กบ C ดงนนจงตองยายไปเปนหาร AC

BC

3. หากเปนตวแปลทเราจะหาเปนเศษอยแลวกใหยายตวแปลอนหนไดเลย เชน

สมการ EBA

D ตองการหาคา D ซงเปนเศษอยแลวกใหยาย BA ไดเลย เนองจาก BA นนหารอย

กบ D จงยายไปเปนคณ จะได EBAD สรปเนอหา 1. หนวยทใชในการค านวณคอหนวย SI ซงประกอบดวย หนวยมลฐาน หนวยอนพนธ หนวยเสรม และค าอปสรรค

2. การหาพนทของชนงานหาไดจากสตร A = ab =4

d 2 = 4

dD 22 = rt2

3. การเขยนหนวยใหเขยนเปนหนวยเดยวกนกอนการค านวณ 4. การยายขางสมการคอ จากสวนยายไปเปนเศษ ยายตวแปลอนหน และหากตวแปลทเราจะหาเปนเศษอยแลวกยายตวแปลอนหน

10


ตวอยางท 1 จงหาพนทหนาตดของเสาสเหลยมกวาง 350 มลลเมตร ยาว 450 มลลเมตร วธท า a = 350 mm จากสตร A = ab b = 450 mm แทนคาในสตร A = 350×450 mm2 A = ? = 157500 mm2 ตอบ พนทหนาตดของเสาสเหลยมเทากบ 157500 ตารางมลลเมตร ตวอยางท 2 จงหาเสนผาศนยกลางของเสากลม ถาเสานมพนทเทากบ 2400 ตารางมลลเมตร วธท า A = 2400 mm2

จากสตร 4

dA

2 d = ?

แทนคาในสตร 2400 = 4

d 2

ยายสมการ

42400d 2

77.3055d2 77.3055d = 55.28 mm ตอบ เสนผาศนยกลางของเสากลมเทากบ 55.28 มลลเมตร

11


ตวอยางท 3 จงหาพนทของเสากลมใหมหนวยเปน มลลเมตร ถาเสานมเสนผาศนยกลางเทากบ 1.4 เมตร วธท า d = 1.4 ×103 mm


dA

2 A = ?

แทนคาในสตร 4

1400A

2

4.1539380 mm ตอบ พนทของเสากลมเทากบ 1539380.4 มลลเมตร ตวอยางท 4 สามเหลยมหนาจวอนหนง มพนท 28000 มลลเมตร ฐานกวาง 1054 มลลเมตร จงหาความสงของสามเหลยมหนาจวน วธท า

จากสตร ah2

1A

แทนคาในสตร h5402

128000

ยายสมการ 540

228000h

= 103.70 mm ตอบ ความสงของสามเหลยมหนาจวเทากบ 103.70 มลลเมตร

12


กจกรรมการเรยนการสอน

ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของรปรางตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถามวาแตละรปเปนรปอะไร ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 1 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1, 2, 3 และ 4 4. ใหท าแบบฝกหดและเปดโอกาสใหนกศกษาถาม ขนสรป 1.ผสอนสรปเนอหาใหนกศกษาฟง และถามนกศกษาในเรองทเรยน งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหนกศกษาไปศกษาลวงหนาในเนอหาของหนวยท 2

2. ใหนกศกษาไปศกษาเนอหาของหนวยท 1 เพอท าการทดสอบ

สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 1 2. แผนใสหนวยท 1 ตวอยางท 1, 2, 3 และ 4

13


การวดผลและประเมนผล 1. สงเกตความสนใจผเรยน 2. ความรบผดชอบตองานทมอบหมาย 3. การใหความรวมมอในการท ากจกรรมระหวางเรยน 4. ใหท าแบบทดสอบ

14


แบบฝกหด

1. เสาสเหลยมจตรสตนหนงมความกวางทงสดานเทากบ 0.50 เมตร จงหาพนทหนาตดของเสาตนน 2. ทอเหลกเสนหนงมพนทหนาตดเทากบ 420 มลลเมตร หากมเสนผาศนยกลางภายนอกเทากบ 42 มลลเมตร จงหาขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอเหลกเสนน 3. เหลกรปสามเหลยมมมฉากฐานกวาง 540 มลลเมตร สง 0.64 เมตร จงหาพนทของรปสามเหลยมน

15


เฉลยแบบฝกหด

1. เสาสเหลยมจตรสตนหนงมความกวางทงสดานเทากบ 0.50 เมตร จงหาพนทหนาตดของเสาตนน วธท า a = 0.50×103 mm

จากสตร 2aA A = ? แทนคาในสตร 2500A = 250000 มลลเมตร ตอบ พนทหนาตดของเสาเทา 250000 มลลเมตร 2. ทอเหลกเสนหนงมพนทหนาตดเทากบ 420 มลลเมตร หากมเสนผาศนยกลางภายนอกเทากบ 42 มลลเมตร จงหาขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอเหลกเสนน วธท า A = 420 mm


dDA

22 D = 42 mm


d42420

22 d = ?


442042d 2

d = 35.06 mm ตอบ ขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอเหลกเสนนเทากบ 35.06 มลลเมตร

16


3. เหลกรปสามเหลยมมมฉากฐานกวาง 540 มลลเมตร สง 0.64 เมตร จงหาพนทของรปสามเหลยมน วธท า a = 0.64×103 mm

จากสตร ab2

1A b = 540 mm


5401064.0A

3 A = ?

= 172800 mm ตอบ พนทของรปสามเหลยมเทากบ 172800 มลลเมตร

17


แบบทดสอบ

1. เสากลมตนหนงมขนาดเสนผาศนยกลางเทากบ 0.57 เมตร จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเสาตนน 2. จงหาพนทหนาตดของเสาสเหลยมผนผา ถาเสาตนนมขนาดของดานหนงยาวทากบ 580 มลลเมตร และอกดานหนงยาวเทากบ 0.62 เมตร 3. ทอเหลกเสนหนงมพนทหนาตดเทากบ 370 มลลเมตร หากมเสนผาศนยกลางภายนอกเทากบ 35 มลลเมตร จงหาขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอเหลกเสนน

18


เฉลยแบบทดสอบ

1. เสากลมตนหนงมขนาดเสนผาศนยกลางเทากบ 0.57 เมตร จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเสาตนน วธท า d = 0.57×103 mm


dA

2 A = ?


1057.0A

23

= 255175.86 mm2 ตอบ ขนาดเสนผาศนยกลางของเสาเทากบ 255175.86 ตารางมลลเมตร 2. จงหาพนทหนาตดของเสาสเหลยมผนผา ถาเสาตนนมขนาดของดานหนงยาวทากบ 580 มลลเมตร และอกดานหนงยาวเทากบ 0.62 เมตร วธท า a = 580 mm จากสตร A = ab b = 0.62×103 mm

แทนคาในสตร A = 580×(0.62×103) A = ? = 359600 mm2 ตอบ พนทหนาตดของเสาสเหลยมผนผาเทากบ 359600 ตารางมลลเมตร

19


3. ทอเหลกเสนหนงมพนทหนาตดเทากบ 370 มลลเมตร หากมเสนผาศนยกลางภายนอกเทากบ 35 มลลเมตร จงหาขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอเหลกเสนน วธท า A = 370 mm


dDA

22 D = 35 mm


d35370

22 d = ?


437035d 2

d = 27.46 mm ตอบ ขนาดเสนผาศนยกลางภายในของทอเหลกเสนนเทากบ 27.46 มลลเมตร

20


บนทกหลงการสอน ผลการใชแผนการสอน..................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการเรยนของนกเรยน................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการสอนของคร............................................................................................................................ .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

22

แผนการสอน หนวยท 2 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 2 ชอหนวย ความเคนและความเครยด จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. ความเคนปกต 2. ความเคนเฉอน สาระส าคญ 1. ความเคนปกต คอ อตราสวนระหวางแรงภายนอกทมากระท ากบวตถใด ๆ ตอหนงหนวยพนท ซงจะเกดแรงตานภายในเนอวตถนน โดยแรงทมากระท านนจะอยในแนวตงฉาก กบพนทรบแรง ความเคนปกตแบงออกได 2 ประเภท คอ ความเคนดง และความเคนอด

หาไดจากสตร A

F

2. ความเคนเฉอน คอ อตราสวนระหวางแรงภายนอกทมากระท ากบวตถใด ๆ ตอหนงหนวยพนท ซงจะเกดแรงตานภายในเนอวตถนน โดยแรงทมากระท านนจะอยในแนวขนาน

กบพนทรบแรง หาไดจากสตร A

F

วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนปกตไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนเฉอนไดอยางถกตอง 3. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนใชงานไดอยางถกตอง

23


เนอหาสาระ 1. ความเคน (Stress) ความเคน คอ อตราสวนระหวางแรงภายในตอหนงหนวยพนท ทวตถตอตาน (internal resisting force) แรงภายนอกทมากระท าตอวตถนน โดยมแรงรวมเทาแรงภายนอกแตมทศทางตรงกนขาม คาแรงเคนทค านวณไดนเปนเพยงคาเฉลยเทานน ( โดยสมมตวาความเคนกระจายอยางสม าเสมอทวหนาตดทรบแรง) แตในความเปนจรงการกระจายของความเคนอาจยงยากมากกวานแลวแตกรณ

AP F รปท 2.1 แรงภายนอกทมากระท ากบวตถ เมอวตถอยในสภาวะสมดลแลว แรงภายนอกทมากระท ากบวตถใด ๆ จะตองมแรงภายในตานโดยมขนาดรวมแลวเทากบ แรงภายนอกของทอนวตถนนทถกกระท าดวยแรงในแนวแกนทพยายามท าใหเกดการยดตวหรอหดตวตามแนวแกน แรงภายนอก = แรงภายใน F = AP

= A

F

โดยท A คอพนทหนาตดของวตถทรบแรง ซงจะตองตงฉากกบแนวแรง

A

F เปนแรงภายนอกตอหนงหนวยพนท เรยกวา “ความเคน”

24


ความเคนสามารถแบงออกไดเปน 2 ชนด คอ ความเคนปกต และความเคนเฉอน

1.1 ความเคนปกต (Normal stress ) ความเคนปกต (Normal stress ) หรอความเคนตงฉาก แบงออกเปน 2 ชนด คอ ความเคนดงและความเคนอด

1) ความเคนดง ( tensile stress ) หรอ t จะเกดขนเมอวตถอยภายใตแรงดง โดยแรงดงจะตองตงฉากกบพนทหนาตดทกระท านน

รปท 2.2 ความเคนดง

ถาให t คอความเคนดงทเกดขน

A คอพนทหนาตดของวตถ F คอแรงดงทกรท ากบทอนวตถ จะไดความสมพนธ

tA

F

2) ความเคนอด (compressive stress) หรอ c จะเกดขนเมอวตถอยภายใตแรงอดโดยแรงอดจะตองกระท าตงฉากกบพนทหนาตดของทอนวตถทกระท านน รปท 2.3 ความเคนอด

F F วตถ

F F วตถ

25


ถาให c คอความเคนอดทเกดขน

A คอพนทหนาตดของทอนวตถ F คอแรงอดทกระท ากบทอนวตถ จะไดความสมพนธ

cA

F

สรป สมการทใชหาคาความเคนปกต คอ

1. สมการของความเคนดง คอ tA

F

2. สมการของความเคนอด คอ cA

F

ตวอยางท 1 เหลกเสนกลมขนาดเสนผาศนยกลาง 5 มลลเมตร ถกดงดวยแรง 240 นวตน จงค านวณหาความเคนดงของเหลกเสนน วธท า

จากสตร A

Ft d = 5 mm

แทนคาในสตร F = 240 N

t = 63.19

240 2mm

N A = 4

d 2

= 12.23 N/mm2 = 4

52

= 19.63 mm2

ตอบ ความเคนดงเทากบ 12.23 นวตน/ตารางมลลเมตร t = ?

26


ตวอยางท 2 เสาคอนกรตกลวงมขนาดเสนผาศนยกลางภายนอก 350 มลลเมตร และเสนผาศนยกลางภายใน 100 มลลเมตร อยภายใตแรงอด 562 กโลนวตน วธท า


Fc D = 350 mm

แทนคาในสตร d = 100 mm

29.88357

10562 3

c

2mm

N F = 560 103 N

= 6.36 N/mm2 A = 22 dD4

= 22 1003504

= 88357.29 mm2

ตอบ ความเคนอดเทากบ 6.36 นวตน/ตารางมลลเมตร c = ? 1.2 ความเคนเฉอน (shear stress) หรอ เปนแรงภายนอกทมากระท าตอวตถนนโดยพยายามท าใหวตถเกดการขาดจากกนตามแนวระนาบทขนานกบทศทางของแรงนน แรงทกระท านเรยกวาแรงเฉอน

รปท 2.4 ความเคนเฉอน ถาให คอความเคนเฉอนทเกดขน A คอพนทหนาตดทขนานกบแรง F คอแรงเฉอนทกระท ากบทอนวตถ

F F

27


จะไดความสมพนธ

A

F

ความเคนเฉอนแบงออกไดเปน 2 ชนด คอ 1. ความเคนเฉอนระนาบเดยว (Single shear stress) 2. ความเคนเฉอนสองระนาบ (Double shear stress)

1) ความเคนเฉอนระนาบเดยว (Single shear stress) เปนการเฉอนทท าใหวตถขาดออกเปนสองทอน จะมพนทโดยเฉอนเพยงพนทเดยว พจารณาจากรปท แผนเหลก 2 แผนถกยดดวยหมดย าและถกดงดวยแรง F ท าใหหมดย าโดนเฉอนขาดออกเปน 2 ทอน ซงมพนททหมดย า

โดนเฉอนขาดเทากบ A 4

d 2 ความเคนเฉอนแบบระนาบเดยวหาไดจากสตร

A

F

รปท 2.5 ความเคนเฉอนระนาบเดยว

2) ความเคนเฉอนสองระนาบ (Double shear stress) เปนความเคนทเกดจากการทวตถโดนแรงเฉอนขาดออกเปน 3 ทอน จะมพนททโดนเฉอน 2 พนท พจารณาจากรปท แผนเหลก 3 แผน ถกยดดวยหมดย าและถกดงดวยแรง F ท าใหหมดย าโดนเฉอนขาดเปน 3 ทอน พนท

ทหมดย าโดนเฉอนขาดเทากบ 4

d2A2

2 ความเคนเฉอนแบบสองระนาบหาไดจาก

สตรA2

F

รปท 2.6 ความเคนเฉอนสองระนาบ

28


สรปเนอหา สมการการหาคาความเคนเฉอน คอ

1. ความเคนเฉอนระนาบเดยว A

F

2. ความเคนเฉอนสองระนาบ A2

F

ตวอยางท 3 ใชเครองตดเจาะแผนโลหะแผนกลมขนาดเสนผาศนยกลาง 35 มลลเมตร ใชตดแผนทองแดงหนา 13 มลลเมตร ซงแผนทองแดงมคาความเคนเฉอนเทากบ 86 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหา แรงทใชในการเจาะ วธท า d = 35 mm


F t = 13 mm

แทนคาในสตร A = dt

42.1429

F86 = 1335

42.142986F 2

2

mm

mm.N = 1429.42 mm2

= 122930.12 N = 86 N/mm2

F = ? ตอบ แรงทใชในการเจาะเทากบ 122930.12 นวตน

29


ตวอยางท 4 เหลกแผน 3 แผนถกยดดวยหมดย ามเสนผาศนยกลางขนาด 2.4 เซนตเมตร ถกดงดวยแรง ขนาด 46 กโลนวตน จงหาความเคนเฉอนของหมดย า วธท า d = 2.4 10 mm

จากสตร A2

F F = 46 103 N

แทนคาในสตร 85.182

1046 3

2mm

N A = 4

d 2

= 1220.16 N/mm2 = 4

104.22

หรอ = 1.22 kN/mm2 = 18.85 mm2 = ? ตอบ ความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 1220.16 นวตน หรอ 1.22 กโลนวตน

30



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของแรงทกระท ากบวตถแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถามความเขาใจ ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 2 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1, 2, 3 และ 4 4. ใหท าแบบฝกหดและเปดโอกาสใหนกศกษาถาม ขนสรป 1.ใหนกศกษาสรปเนอหาใหฟง งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนเรอง ความเครยด

2. ใหไปศกษาทบทวนเรองความเคน เพอท าการทดสอบ

สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 2 2. รปภาพ 2.1, 2.2, 2.3,2.4, 2.5 และ 2.6

31



32



1. ลวดเสนหนงมขนาดเสนผาศนยกลาง 3 มลลเมตร ถกดงดวยแรง 234 นวตน จงหาความเคนดงในเสนลวดน 2. ตองการเจาะแผนโลหะใหเปนรขนาดเสนผาศนยกลาง 420 มลลเมตร ถาแผนโลหะหนา 35 มลลเมตร ความเคนเฉอนของแผนโลหะเทากบ 360 จกะนวตน/ตารางเมตร จงหาแรงตดเจาะ 3. จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสนเพอรบแรงดง 24 กโลนวตน ถาความเคนดงเทากบ 31 เมกะนวตน/ตารางมลลเมตร 4. เครองมอชนดหนง ใชส าหรบหาความแขงแรงในการรบแรงเฉอนของโลหะ โดยออกแรง F จนกระทงเหลกตวอยางขาด ถาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกตวอยางเทากบ 25 มลลเมตร และใชแรง F เทากบ 204 กโลนวตน จงท าใหเหลกตวอยางขาดออกได จงหาความเคนเฉอนของเหลกตวอยาง

33


เฉลยแบบฝกหด 1. ลวดเสนหนงมขนาดเสนผาศนยกลาง 3 มลลเมตร ถกดงดวยแรง 234 นวตน จงหาความเคนดงในเสนลวดน

วธท า d = 3 mm

จากสตร tA

F F = 234 N

เนองจาก A เทากบ 4

d 2 t = ?

แทนคาAในสมการ t 2d

F4

แทนคาในสมการ t = 23

2344

= 33.10 N/mm2

ตอบ ความเคนดงในเสนลวดนเทากบ 33.10 นวตน/ตารางมลลเมตร 2. ตองการเจาะแผนโลหะใหเปนรขนาดเสนผาศนยกลาง 120 มลลเมตร ถาแผนโลหะหนา 35 มลลเมตร ความเคนเฉอนของแผนโลหะเทากบ 360 เมกะนวตน/ตารางเมตร จงหาแรงตดเจาะ



F t = 35 mm

เนองจาก A เทากบ dt = 6

6

10

10360 N/mm2

แทนคาAในสมการ dt

F

= 360 N/mm2

ยายสมการ dtF F = ?

แทนคาในสมการ F = 360× ×120×35 2

2

mm

mmN

= 4750088.092 N = 4.75 MN ตอบ แรงทใชตดเจาะเทากบ 4.75 เมกะนวตน

34


3. จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสนเพอรบแรงอด 24 กโลนวตน ถาความเคนอดเทากบ 31 เมกะนวตน/ตารางมลลเมตร

วธท า F = 24×103 N

จากสตร cA

F c = 31×106 N/mm2


d 2 d = ?

ดงนน c 2d

F4


36

d

102441031

ยายสมการ d2 = 6

3

1031

10244

N

mmN 2

d = 000986.0 mm2 = 0.031 mm ตอบ ขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสนเทากบ 0.031 มลลเมตร

4. เครองมอชนดหนง ใชส าหรบหาความแขงแรงในการรบแรงเฉอนของโลหะ โดยออกแรง F จนกระทงเหลกตวอยางขาด ถาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกตวอยางเทากบ 25 มลลเมตร และใชแรง F เทากบ 204 กโลนวตน จงท าใหเหลกตวอยางขาดออกได จงหาความเคนเฉอนของเหลกตวอยาง



F F = 204×103 N


d 2 d = ?

ดงนน 2d

F4


3

25

102044

N/mm2

= 415.59 N/mm2

ตอบ ความเคนเฉอนของเหลกตวอยางเทากบ 415.59 นวตน/ตารางมลลเมตร

35



1. ลวดเสนหนง ถกดงดวยแรง 25 กโลนวตน ถามความเคนดงในเสนลวดนเทากบ74 เมกะนวตน/ตารางเมตร จงหาเสนผาศนยกลางของลวดเสนน 2. จงหาความเคนอดของเสาเหลกทรบแรงอด 24 กโลนวตน ถาเสาเหลกนมขนาดเสาผาศนยกลางเทากบ 42 มลลเมตร 3. ตองการเจาะแผนโลหะใหเปนรขนาดเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตร ถาแผนโลหะหนา 25 มลลเมตร ถาแรงตดเจาะทใชเทากบ 67 กโลนวตน จงหาความเคนเฉอนของแผนโลหะน

36



1. ลวดเสนหนง ถกดงดวยแรง 25 กโลนวตน ถามความเคนดงในเสนลวดนเทากบ74 เมกะนวตน/ตารางเมตร จงหาขนาดเสนขนาดผาศนยกลางของลวดเสนน วธท า F = 25×103 N

จากสตร tA

F t =

6

6

10

1074 N/mm2


d 2 d = ?

ดงนน t 2d

F4

แทนคาในสตร 74 = 2

3

d

10254

ยายสมการ d2= 74

10254 3

N

mmN 2

d = 15.430 mm2 = 20.74 mm ตอบ ขนาดเสนขนาดผาศนยกลางของลวดเสนนเทากบ 20.74 มลลเมตร

37


2. จงหาความเคนอดของเสาเหลกทรบแรงอด 24 กโลนวตน ถาเสาเหลกนมขนาดเสาผาศนยกลางเทากบ 42 มลลเมตร วธท า F = 24×103 N

จากสตร cA

F A =

4

422

แทนคาในสตร c44.1385

1024 3 N/mm2 = 1385.44 mm2

= 17.32 N/mm2 c = ? ตอบ ความเคนอดของเสาเหลกเทากบ 17.32 นวตน/ตารางมลลเมตร 3. ตองการเจาะแผนโลหะใหเปนรขนาดเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตร ถาแผนโลหะหนา 25 มลลเมตร ถาใชแรงตดเจาะเทากบ 67 กโลนวตน จงหาความเคนเฉอนของแผนโลหะน วธท า d = 120 mm


F t = 35 mm

เนองจาก A เทากบ dt = 6

6

10

10360 N/mm2

แทนคาAในสมการ dt

F

= 360 N/mm2

แทนคาในสมการ = 2550

1067 3

N/mm2 F = ?

= 17.06 N/mm2 ตอบ ความเคนเฉอนของแผนโลหะนเทากบ 17.06 นวตน/ตารางมลลเมตร

38



40


หวขอเรอง 1. ความเครยดดง ความเครยดอด ความเครยดเฉอน สาระส าคญ 1. ความเครยด คอ อตราสวนระหวางขนาดของวตถทเปลยนแปลงไปตอขนาดเดมของวตถซงเกดจากแรงทมากระท า ความเครยดสามารถแบงออกได 3 ประเภท ไดแก ความเครยดดง

ความเครยดอดหาไดจากสตร l

และความเครยดเฉอนหาไดจากสตร

l

วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเครยดไดอยางถกตอง

41


เนอหาสาระ 1. ความเคน เมอวตถอยภายใตแรงดง แรงอด หรอแรงเฉอน จะท าใหวตถเกดการเปลยนแปลงขนาด ขนาดทเปลยนไปตอขนาดเดม เรยกวา “ความเครยด”

ความเครยดจะไมมหนวยเพราะเปนความยาวหารดวยความยาว แบงออกเปน 3 ชนด คอ 1. ความเครยดดง 2. ความเครยดอด 3. ความเครยดเฉอน

1.1 ความเครยดดง

ความเครยดดง (tensile strain) แทนดวย t เมอทอนวตถถกกระท าดวยแรงดงตามแนวแกน และเพมแรงดงขนอยางชา ๆ ทอนวตถนกจะเกดการยดออกทละนอยตามขนาดของ F ทเพมขน ท าใหวตถยดออกเทากบ ขณะทวตถยดออกกจะเกดการหดตามแนวดงของทอนวตถนนดวย

รปท 2.7 ความเครยดดง

เมอ t คอ ความเครยดดงทเกดขน คอ สวนทยดออกของวตถ L คอ ความยาวเดมของวตถนน จะไดความสมพนธ

Lt

42


1.2 ความเครยดอด

ความเครยดอด (compressive strain) แทนดวย c เมอทอนวตถถกกกระท าดวยแรงกดตามแนวแกน และเพมแรงกดอยางชา ๆ จนท าใหทอนวตถหดตวลงเทากบ

รปท 2.8 ความเครยดอด

เมอ c คอ ความเครยดอดทเกดขน คอ สวนทหดตวลงของวตถ L คอ ความยาวเดมของวตถ จะไดความสมพนธ

L

c

หมายเหต ความเครยดดงและความเครยดอดจะไมมหนวย

1.3 ความเครยดเฉอน

ความเครยดเฉอน (shear strain) แทนดวย เมอมแรงเฉอนมากระท าจะเกดการเปลยนแปลงรปรางหรอเกดความเครยดขน ความเครยดทเกดขนนเรยกวาความเครยดเฉอน

43


รปท 2.9 ความเครยดเฉอน

จะไดความสมพนธ

L

= tan

มมทเฉไป เลกมาก คาความเครยด tan เรเดยน

ดงนน ความเครยดเฉอนจงเปนการวดมมทเฉไป มหนวยเปนเรเดยน (rad) สรปเนอหา ความเครยด คอ การเปลยนแปลงขนาดตอขนาดเดม หาไดจาก

1. ความเครยดดง ใชสตร L

t

2. ความเครยดอด ใชสตร L

c

3. ความเครยดเฉอน ใชสตร L

44


ตวอยางท 5 เหลกเสนกลมขนาดเสนผาศนยกลาง 20 มลลเมตร ยาว 120 มลลเมตร ยดออก 0.41 มลลเมตร จงหาคาความเคยดดงของเหลกเสนน วธท า L = 120 mm

จากสตร L

t

= 0.41 mm


41.0t

mm

mm t = ?

= 0.0034 mm ตอบ ความเคยดดงของเหลกเสนเทากบ 0.0034 มลลเมตร ตวอยางท 6 เหลกเสนหนงมคาความเครยดอดเทากบ 0.0057 หากเหลกเสนนมความยาว 436 มลลเมตร จงหาวาเหลกเสนนจะหดลงเทาใด วธท า t = 0.0057


c

L = 436 mm


0057.0

= ?

ยายสมการ 4360057.0 mm = 2.49 mm ตอบ เหลกเสนนจะหดลงเทากบ 2.49 มลลเมตร

45


ตวอยางท 7 ลมอนหนงถกกระท าดวยแรงเฉอนท าใหเกดความเครยดเฉอนเทากบ 0.0013 เรเดยน หากขนาดทเปลยนไปเทากบ 0.52 มลลเมตร จงหาขนาดเดมของลมอนน วธท า = 0.52 mm


= 0.0013 rad

แทนคาในสตร L

52.00013.0 L = ?

ยายสมการ 0013.0

52.0L mm

= 400 mm ตอบ ขนาดเดมของลมอนนเทากบ 400 มลลเมตร

46



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของความเครยดแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถามความเขาใจ ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 2 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 5, 6 และ 7 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 2 ขนสรป 1.ใหนกศกษาสรปเนอหาใหฟง งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป

2. ใหไปศกษาทบทวนเรองความเคน และท าแบบฝกหด

สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 2 2. รปภาพ 2.7, 2.8 และ 2.9

47



48



1. จงหาคาความเครยดดงของเหลกเสนหนง ซงยาวเทากบ 1.30 เมตร และยดออก 0.49 มลลเมตร 2. จงหาขนาดทเปลยนไปของทอนเหลก ถาทอนเหลกนมความเครยดเฉอนเทากบ 0.0024 เรเดยน และมขนาดเดมเทากบ 0.15 เมตร 3. เหลกเสนหนงมคาความเครยดอด เทากบ 0.0037 ถาเหลกเสนนเปลยนแปลงขนาดไป 1.49 มลลเมตร จงหาขนาดเดมของเหลกเสนน

49


เฉลยแบบฝกหด 1. จงหาคาความเครยดดงของเหลกเสนหนง ซงยาวเทากบ 1.30 เมตร และยดออก 0.49 มลลเมตร วธท า = 0.49 mm


t

L = 1.30×103 mm

แทนคาในสตร 3t

1030.1

49.0

t = ?

= 0.00038 ตอบ คาความเครยดดงของเหลกเสนเทากบ 0.00038 2. จงหาขนาดทเปลยนไปของทอนเหลก ถาทอนเหลกนมความเครยดเฉอนเทากบ 0.0024 เรเดยน และมขนาดเดมเทากบ 0.15 เมตร วธท า = 0.0024 rad


L = 0.15×103 mm


0024.0

= ?

ยายสมการ 31015.00024.0 mm = 0.36 mm ตอบ ขนาดทเปลยนไปของทอนเหลกเทากบ 0.36 มลลเมตร

50


3. เหลกเสนหนงมคาความเครยดอด เทากบ 0.0037 ถาเหลกเสนนเปลยนแปลงขนาดไป 1.49 มลลเมตร จงหาขนาดเดมของเหลกเสนน วธท า c = 0.0037


c

= 1.49 mm

แทนคาในสตร L

49.10037.0 L = ?


49.1L mm

= 402.70 mm ตอบ ขนาดเดมของเหลกเสนน เทากบ 402.70 มลลเมตร

51



1. คาความเครยดอดของเสาตนหนงเทากบ 0.0019 หากเหลกเสนนมความยาวเทากบ 4.50 เมตร จงหาสวนทหดลงของเหลกเสนน 2. จงหาคาความเครยดดงของเหลกเสนหนง ถามความยาว 3.45 เมตร และยดออก 0.048 มลลเมตร 3. เหลกทอนหนงมขนาดเดมเทากบ 1.08 เมตร และเมอถกแรงเฉอนมากระท าจงเกดการเปลยนรปไปเทากบ 1.54 มลลเมตร จงหาคาความเครยดเฉอน

52



1. คาความเครยดอดของเสาตนหนงเทากบ 0.0019 หากเหลกเสนนมความยาวเทากบ 4.50 เมตร จงหาสวนทหดลงของเหลกเสนน วธท า c = 0.0019


c

L = 4.50×103


0019.0

= ?

ยายสมการ 31050.40019.0 mm = 8.55 mm ตอบ สวนทหดลงของเหลกเสนนเทากบ 8.55 มลลเมตร 2. จงหาคาความเครยดดงของเหลกเสนหนง ถามความยาว 3.45 เมตร และยดออก 0.048 มลลเมตร วธท า L = 3.45×103 mm


t

= 0.048 mm

แทนคาในสตร 3t

1045.3

048.0

mm

mm t = ?

= 0.000014 ตอบ คาความเครยดดงของเหลกเสนเทากบ 0.000014

53


3. เหลกทอนหนงมขนาดเดมเทากบ 1.08 เมตร และเมอถกแรงเฉอนมากระท าจงเกดการเปลยนรปไปเทากบ 1.54 มลลเมตร จงหาคาความเครยดเฉอน วธท า L = 1.08×103 mm


= 1.54 mm


54.1

mm

mm = ?

= 0.0014 rad ตอบ คาความเครยดเฉอนเทากบ 0.0014 เรเดยน

54



56

แผนการสอน หนวยท 3 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 4 ชอหนวย ความสมพนธระหวางความเคน และ ความเครยดของวตถ

จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดของวสด 2. ความเคนและความเครยดทเกดขนจากการเปลยนแปลงอณหภม สาระส าคญ 1. จาการทดสอบแรงดงจะไดคาของแรงและขนาดทยดออก สามารถเขยนกราฟ

ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด ค านวณไดจากสตร

A

FLE

2. ความเคนและความเครยดทเกดขนจากการเปลยนแปลงอณหภม คอ ความเคนการขยายตวและหดตวของวตถทเกดจากการเปลยนแปลงของอณหภม หาไดจากสตร tE,t,tL วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดของวสดไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนและความเครยดทเกดขนจากการเปลยนแปลงอณหภมไดอยางถกตอง

57



เนอหาสาระ 1.ความสมพนธระหวางความเคนและความเครยดของวสด 1.1 คณลกษณะทางกลของวสด ( Mechanical Properties of Material ) ความแขงแรงของวสดขนอยกบความสามารถในการรบภาระ โดยปราศจากการเปลยน แปลงรปราง หรอปราศจากความเสยหาย สมบตนมอย ในเนอวสดเอง และสามารถหาไดโดยการทดสอบ มวธการทดสอบอยหลายวธท จะประเมนคาความแขงแรงของวสดภาย ใตภาระซงสมาคมของอเมรกาชอเรยกวา สมาคมวสดและทดสอบแหงอเมรกา ( American Society for Testing Material ) มชอเรยกยอวา ASTM ไดมการทดสอบวสด ไดมการยอมรบกนทวไป การทดสอบคณลกษณะทางกลของวสดลกษณะหนงกคอ การทดสอบแรงดง ( Tension ) หรอแรงอด ( Compression ) คณสมบตทางกลของวสด สามารถถกทดสอบแรงดงหรอแรงอด ซงเปนการหาความสมพนธ ระหวางความเคนปกต เฉลย ( Average Normal Stress ) และความ เครยดปกตเฉลย ( Average Normal Strain ) ของวสดเชนโลหะ จะท าการทดสอบชนงานทดสอบ (Specimen) เพราะวาการกระจายความเคนทดานปลาย บางทจะซบซอนเนองจากถกจบตดแนน เมอมการใสภาระเขาไปการวดจะถกกระท าตงแตพนท หนาตดของชนงานทดสอบ ( Cross Section Area ,Ao ) และความยาวเกจของชนงานทดสอบ ( Gauge length distance ,Lo ) ระหวางเครองหมายทก าหนด (mark) ดงตวอยางชนงานทดสอบใชขนาดเสนผาศนยกลาง d0 = 0.5 in และมความยาวเกจ (L0) =2 in การใสภาระตองตามแนวแกนและตองไมท าใหชนทดสอบโกงงอ ปกตปลายของชนทดสอบจะถกยดแบบ Ball and Socket Joint ดงชนทดสอบขางลางน

58



รปท 1 แสดงชนสวนทเสยหาย

รปท 2 แสดงชนทดสอบ 1.2 ไดอะแกรมความเคน - ความเครยด ( Stress – Strain Diagram ) จากขอมลของการทดสอบแรงดง และแรงอด สามารถค านวณคาตางๆทเกดจาดความเคนและความเครยด ในชนงานทใชทดสอบ และสามารถพลอตคาผลลพธออกมาเปนกราฟทเราเรยกวาไดอะแกรม ความเคน – ความเครยด ( Stress- Strain Diagram )

จาก A

F และ

L

เมอน าคาความเคน และความเครยดทไดจากการดงวสดเหนยวไปพลอตกราฟ แสดงความสมพนธซงกนและกน จะไดไดอะแกรมความเคนและความเครยดดงน

59



รปท 3 กราฟแสดงความสมพนธระหวางความเคนและความเครยด

1.3 กฎของฮค ( Hooke ‘s law )

กลาวไววา “ในชวงของอลาสตก(Elastic) ความเคนจะเปนปฏภาค โดยตรงกบความเครยดนน” ดงน

คาคงท = ความเคน / ความเครยด

คาคงทมสญลกษณวา E ซงเรยกวาโมดลสความยดหยน (modulus of elasticity)

หรอ โมดลสของยง (Young’s modulus)

E

เมอ A

F และ

L

แทนในสมการจะได

A

FLE

ในท านองเดยวกนความสมพนธระหวางความเคนเฉอนกบความเครยดเฉอนในชวงของขดจ ากดยดหยนเขยนไดดงน

60



G

เมอ G คอโมดลสของความเฉอน (modulus of rigidity) คอความเคนเฉอน คอความเครยดเฉอน

เปอรเซนตการยด (percentage of elongation) เราสามารถจะหาไดจากสมการดงนคอ

เปอรเซนตการยด = (ความยาวหลงสด – ความยาวเดม) ×100 ความยาวเดม เปอรเซนตของการลดพนทหนาตด (Percentage of area reduction) จะหาไดจากสมการดงนคอ

คาเปอรเซนตการลดพนทหนาตด = (พนทหนาตดเดม – พนทหนาตดสวนคอด)× 100 พนทหนาตดเดม 1.4 คาความปลอดภย คาความเคนสงสดทเราหาไดจากชนงานทดสอบของวตถนน เราไมสามารถทจะน าคาเหลานนมาใชในการออกแบบหรอค านวณไดเลย เพราะแรงหรอน าหนกทเกดขนจรงในโครงสรางนนอาจจะสงกวาคาทไดจากชนทดสอบ ดงนนเพอปองกนไมใหคาความเคนทเกดขนจรงเกดคาสงสดในโครงสรางนนจะรบได เราจงจ าเปนก าหนดคาความปลอดภยหรอคาเผอในการออกแบบชนงานเอาไวดงน

61



ถาใชความเคนสงสดของวตถเปนเกณฑจะได คาความปลอดภย = คาความเคนสงสด / คาความเคนใชงาน

w

uN

2. ความเคนทเกดขนจากการเปลยนแปลงอณหภม วตถทกชนดจะขยายตวหรอหดตวเมอมการเปลยนแปลงของอณหภม โดยจะขยายตวเมออณหภมเพมขนและหดตวลงเมออณหภมลดลง ถาวตถขยายตวหรอหดตวไดอยางอสระกจะไมเกดความเคนขนแตถาวตถไมอาจขยายตวหรอหดตวไดอยางอสระกจะเกดความเคนขนภายในวตถนน ซงเรยกวาความเคนทเกดจากการเปลยนแปลงของอณหภม สมมตวาวตถอนหนงมความยาว L ปลายทงสองถกยดแนนเคลอนทไมได ถาอณหภมเปลยนแปลงไป t สวนทเปลยนไปนจะเปน ซงจะไดวา

tL เมอ คอสมประสทธของการขยายตวตามเสน ซงเปนคาคงทส าหรบวตถแตละชนด มหนวยเปน C/

แต L

L

tL

t ความเครยดเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม

t และ

E

E

62



tE ความเคนเนองจากการเปลยนแปลงอณหภม

tE สรปเนอหา

1. กฎของฮค ค านวณไดจากสตร

A

FLE

2. คาความปลอดภย หาไดจาก w

uN

3. ความเคนและความเครยดทเกดจากการเปลยนแปลงอณหภม หาไดจาก

tE,t,tL ตวอยางท 1 เสาเหลกมความยาว 3 เมตร มพนทหนาตด 284 ตารางมลลเมตร รบแรงได 64 กโลนวตน ถาคา E ของเหลกเทากบ 320 จกะนวตน/ ตารางเมตร จงหาวาเหลกจะหดลงเทาใด วธท า L = 3×103 mm

จากสตร

A

FLE A = 284 mm2

แทนคาในสตร 320×103 =

284

1031064 33

F = 64 × 103 N

ยายสมากร = 3

33

10320284

1031064

2

3

mm.N

mm.N E = 6

9

10

103202mm

N

= 2.11 mm = 320× 103 2mm

N

= ? ตอบ เหลกจะหดลงเทากบ 2.11 มลลเมตร

63



ตวอยางท 2 จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสน ทใชรบแรงดงสงสด 47 กโลนวตน คาความเคนดงสงสดของวตถเทากบ 361 เมกะนวตน/ตารางเมตร และคาความปลอดภยเทากบ 9 วธท า F = 47×103 N

จากสตร w

uN

u =

6

6

10

10361 2mm

N

แทนคาในสตร 9 = w

361

N = 9

ยายสมการ w = 9

361 2mm

N d =?

= 40.11 2mm

N


Ft

เนองจาก A = 4

d 2

จะได 2t

d

F4

แทนคาในสตร 40.11 = 2

3

d

10474

ยายสมการ d2 = 11.40

10474 3

N

mmN 2

= 1491.95 mm2

d = 95.1491 mm2

= 38.63 mm ตอบ ขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสนเทากบ 38.63 มลลเมตร

64



ตวอยางท 3 แทงเหลกขนาดเสนผาศนยกลาง 20 มลลเมตร ยาว 2 เมตร ยดปลายทงสองขางไวแนนถาอณหภมเพมขนเปน 62 องศาเซลเซยส จงหาความเครยดและความเคน โดยให เทากบ 12×10- 6 / องศาเซลเซยส และ E เทากบ 154 จกะนวตน/ ตารางเมตร วธท า = 12×10- 6 C/

1. หาความเครยด E = 6

9

10

10 1542mm

N

จากสตร t t = 62 C

เมอ = 12×10- 6 C/ และ t = 62 C =?

แทนคาในสตร = 12 10- 6×62 =? = 0.000744 ตอบ ความเครยดเทากบ 0.000744 2. หาความเคน จากสตร E เมอ E = 154×103 N/mm2 และ = 0.000744 แทนคาในสตร = 154×103×0.000744 N/mm2 = 114.58 N/mm2 ตอบ ความเคนเทากบ 114.58 นวตน/ตารางมลลเมตร

65




ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวถามความเขาใจของนกศกษาเกยวกบความเคนและความเครยด ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 3 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1, 2 และ 3 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 3 ขนสรป 1. สมถามนกศกษาเกยวกบเรองทเรยน งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป


สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 3 2. รปภาพ 1, 2 และ 3

66




67




1. ทอนเหลกยาว 420 มลลเมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 200 มลลเมตร ถกกดดวยแรง 21 กโลนวตน หากคา E เทากบ 17 กโลนวตน/ตารางมลลเมตร จงหาสวนทหดลง 2. จงหาความเคนใชงานของเหลกเสน ถาเหลกเสนนมคาความเคนสงสดเทากบ 620 นวตน/ตารางมลลเมตร และมคาความปลอดภยเทากบ 8.2 3. ทอทองแดงยาว 2.4 เมตร ยดปลายทอทงสองดานใหตดกบผนง ถาอณหภมเพมขนเปน 62 องศาเซลเซยส จงหาความเคน โดยให เทากบ 21×10- 6 / องศาเซลเซยส และ E เทากบ 240 จกะนวตน/ ตารางเมตร

68




1. ทอนเหลกยาว 420 มลลเมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 200 มลลเมตร ถกกดดวยแรง 21 กโลนวตน หากคา E เทากบ 17 กโลนวตนตอตารางมลลเมตร จงหาสวนทหดลง วธท า L = 420 mm

จากสตร

A

FLE d = 200 mm

แทนคาในสตร

2

33

200

442010211017 F = 21×103 N


3

1017200

44201021

2

3

mmN

mmN

E = 17×103 N/mm2

017.0 mm = ? ตอบ สวนทหดลงเทากบ 0.017 มลลเมตร

2. จงหาความเคนใชงานของเหลกเสน ถาเหลกเสนนมคาความเคนสงสดเทากบ 620 นวตน/ตารางมลลเมตร และมคาความปลอดภยเทากบ 8.2 วธท า N = 8.2


uN

u = 620 N/mm2

แทนคาในสตร w

6202.8

w = ?


620w N/mm2

6.75 N/mm2 ตอบ ความเคนใชงานของเหลกเสนนเทากบ 75 นวตน/ตารางมลลเมตร

69



3. ทอทองแดงยาว 2.4 เมตร ยดปลายทอทงสองดานใหตดกบผนง ถาอณหภมเพมขนเปน 54 องศาเซลเซยส จงหาความเคน โดยให เทากบ 21×10- 6 / องศาเซลเซยส และ E เทากบ 240 จกะนวตน/ ตารางเมตร วธท า t = 54 C จากสตร E = 21×10-6 / C

เนองจาก t 6

9

10

10240E

N/mm2

จะได tE = ? แทนคาในสตร 54102110240 63 N/mm2 = 272.16 N/mm2 ตอบ ความเคนของทอทองแดงเทากบ 272.16 นวตน/ตารางมลลเมตร

70




1. แทงเหลกขนาดเสนผาศนยกลาง 36 มลลเมตร ยาว 4 เมตร ยดปลายทงสองขางไวแนนถาอณหภมเพมขนเปน 81 องศาเซลเซยส จงหาความเครยดและความเคน โดยให เทากบ 43×10- 6 / องศาเซลเซยส และ E เทากบ 284 จกะนวตน/ ตารางเมตร 2. จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสน ทใชรบแรงดงสงสด 85 กโลนวตน คาความเคนดงสงสดของวตถเทากบ 421 จกะนวตน/ตารางเมตร และคาความปลอดภยเทากบ 7.3 3. ทอนเหลกยาว 4.50 เมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 200 มลลเมตร ถกดงดวยแรง 37 กโลนวตน หากคา E เทากบ 25 จกะนวตน/ตารางเมตร จงหาสวนทยดออก

71




1. แทงเหลกขนาดเสนผาศนยกลาง 36 มลลเมตร ยาว 4 เมตร ยดปลายทงสองขางไวแนนถาอณหภมเพมขนเปน 81 องศาเซลเซยส จงหาความเครยดและความเคน โดยให เทากบ 43×10- 6 / องศาเซลเซยส และ E เทากบ 284 จกะนวตน/ ตารางเมตร วธท า = 43×10- 6 C/

1. หาความเครยด E = 6

9

10

10 2842mm

N

จากสตร t t = 81 C

เมอ = 43×10- 6 C/ และ t = 81 C =?

แทนคาในสตร = 43 10- 6×81 =? = 0.0035 ตอบ ความเครยดเทากบ 0.0035 2. หาความเคน จากสตร E เมอ E = 284×103 N/mm2 และ = 0.0035 แทนคาในสตร = 284×103×0.0035 N/mm2 = 994 N/mm2 ตอบ ความเคนเทากบ 994 นวตน/ตารางมลลเมตร

72



2. จงหาขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสน ทใชรบแรงดงสงสด 85 กโลนวตน คาความเคนดงสงสดของวตถเทากบ 421 จกะนวตน/ตารางเมตร และคาความปลอดภยเทากบ 7.3 วธท า F = 85×103 N


uN

u =

6

9

10

10421 2mm

N

แทนคาในสตร 7.3 = w

310421

N = 7.3

ยายสมการ w = 3.7

10421 3 2mm

N d =?

= 57671.23 2mm

N


Ft

เนองจาก A = 4

d 2

จะได 2t

d

F4

แทนคาในสตร 57671.23 = 2

3

d

10854

ยายสมการ d2 = 23.57671

10854 3

N

mmN 2

= 1.88 mm2

d = 88.1 mm2

= 1.37 mm ตอบ ขนาดเสนผาศนยกลางของเหลกเสนเทากบ 1.37 มลลเมตร

73



3. ทอนเหลกยาว 4.50 เมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 200 มลลเมตร ถกดงดวยแรง 37 กโลนวตน หากคา E เทากบ 25 จกะนวตน/ตารางเมตร จงหาสวนทยดออก วธท า L = 4.50×103 mm

จากสตร

A

FLE d = 200 mm

แทนคาในสตร

2

333

200

41050.410371025 F = 37×103 N


33

1025200

41050.41037

2

3

mmN

mmN

E = 6

9

10

1025 N/mm2

21.0 mm = ? ตอบ สวนทหดลงเทากบ 0.21 มลลเมตร

74




76

แผนการสอน หนวยท 4 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 5 ชอหนวย ภาชนะอดความดนและการเชอมตอ จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. ความเคนในรปทรงกระบอกกลวงผนงบาง 2. ความเคนในถงทรงกลมผนงบาง สาระส าคญ 1. ความเคนในรปทรงกระบอกกลวงผนงบาง เปนความเคนทเกดจากการอดความดนในภาชนะรปทรงกระบอกกลวง ซงความเคนจะเกดขนใน 2 แนวไดแก ความเคนตามแนว เสนรอบ

วงหาไดจากสตร t

PrH และความเคนตามแนวยาวหาไดจากสตร

t2

PrL

2. ความเคนในถงทรงกลมผนงบาง เปนความเคนทเกดจากความดนในภาชนะทรงกลมซง

ภาชนะทรงกลมจะมรศมเทากนทกดานจงเกดความเคนขนเพยงดานเดยว หาไดจากสตร t2

Pr

วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนในรปทรงกระบอกกลวงผนงบางไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนในถงทรงกลมผนงบางไดอยางถกตอง

77


เนอหาสาระ 1. ความเคนในถงรปทรงกระบอกกลวงผนงบาง ( Thin wall cylinder ) รปทรงกระบอกกลวงผนงบาง หมายถง รปทรงกระบอกกลวงทมความหนาของผนงนอยมาก โดยทวไปความหนาของผนงทรงกระบอกกลวงจะไมเกน 1 /20 เทาของขนาดเสนผาศนยกลาง ในการพจารณานน จะมความเคนเกดขน 2 แนวดวยกน คอ 1. ความเคนตามเสนรอบวง ( Hoop or circumferential stress ) 2. ความเคนตามแนวยาว (Longitudinal stress )

รปท 1 ความเคนตามแนวเสนรอบวง 1.1 ความเคนตามแนวเสนรอบวง ( Hoop or circumferential stress ) ในการหาความเคนสามารถหาไดโดยการพจารณาการสมดลของครงทรงกระบอกดงรปท 1

ถาให t คอ ความหนาของผนง

r คอ รศมเฉลยของทรงกระบอกกลวง H คอ ความเคนตามแนวเสนรอบวง

P คอ ความดนทเกดขนในภาชนะอดความดน

L คอ ความยาวของทรงกระบอกกลวง

แรงทเกดขนเนองจากความดนภายใน = ความดน × พนทรบความดน rL2PF ….......... 1

78


แรงตานทเกดเนองจากความเคนตามแนวเสนรอบวง )( H

Lt2F H ………..2 ถาภาชนะยงคงรปเดมอยได แรงทเกดขนจะตองเทากน คอ สมการท 1 = สมการท 2 Lt2rL2P H

Lt2

LPr2H

t

Pr

t

PrH หรอ

t2

PDH

1.2 ความเคนตามแนวยาว ( Longitudinal stress ) ในการหาความเคนตามแนวยาว เราจะพจารณาภาชนะทรงกระบอกกลวงผนงบางดงรปท 2

รปท 2 ความเคนตามแนวยาว

79


ถาให L คอ ความเคนตามแนวยาว P คอ ความดนภายในทรงกระบอกกลวง r คอ รศมเฉลยของทรงกระบอกกลวง t คอ ความหนาของผนง แรงทเกดเนองจาดความดนภายใน = ความดน × พนทรบความดน

2r.PF ………….. 3 แรงตานทเกดขนเนองจากความเคนตามแนวยาว )( L

rt2.F L …………. 4 ถาภาชนะยงคงรปเดมอยได แรงทเกดขนจะตองเทากน คอ สมการท 3 = สมการท 4 rt2rP L

2

t2

Pr

rt2

rP 2

L

t2

PrL หรอ

t4

PDL

หมายเหต 1. แรงทกระท าตามแนวความยาว จะท าใหความเคนตามแนวยาว เปนแรงทท าใหกระบอกนนขาด ตามเสนรอบวงนน 2. แรงทกระท าตามแนวเสนรอบวงนนจะท าใหเกดความเคนตามแนวเสนรบวงเปนแรงทท าใหกระบอกนนขาดตามแนวยาว 3. ความเคนตามแนวยาวและความเคนตามแนวเสนรอบวงจะกระท าตงฉากซงกนและกน

5-4

80


4. ความเคนตามแนวเสนรอบวงจะมคาเปน2 เทา ของความเคนตามแนวยาว 5. ในการออกแบบนนจะตองพจารณา ขนาดตางๆ จากความเคนตามแนวเสนรอบวง 6. ถามตะเขบตองใชตะเขบตามแนวยาวเพราะแขงแรงมากกวาแนวอน

สรป สมการการหาความเคนในถงรปทรงกระบอกกลวงผนงบาง คอ

1. สมการความเคนตามแนวเสนรอบวง คอ t

PrH หรอ

t2

PDH

2. สมการความเคนตามแนวยาว คอ t2

PrL หรอ

t4

PDL

ตวอยางท 1 จงหาความหนาของทอเหลก ขนาดเสนผา ศนยกลาง 2.6 เมตร อยภายใตความดนภายใน 4 นวตน/ ตารางมลลเมตร ถาความเคนภายในไมเกน 203 นวตน/ตารางมลลเมตร

วธท า F = 2.6×103 mm

จากสตร t2

PrH P = 4 N/mm2

แทนคาในสตร t2

106.24203

3 H = 203 N/mm2


106.24t

3

2

3

mmN

mmN

t = ?

62.25 mm ตอบ ความหนาของทอเหลกเทากบ 25.62 มลลเมตร

81


ตวอยางท 2 ทรงกระบอกมความเคนในแนวยาวเทากบ 34 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนในแนวโคงเทากบ 32 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาคาสงสดของความหนาของทรงกระบอกน ถาความดนภายในเทากบ 12 นวตน/ตารางมลลเมตร และมรศมเทากบ 241 มลลเมตร

วธท า L = 34 N/mm2

สมการความเคนในแนวยาว t2

PrL H = 32 N/mm2

แทนคาในสมการ t2

2411234

P = 12 N/mm2


24112t

2

3

mmN

mmN

r = 241 mm

= 42.53 mm t = ?

สมการความเคนในแนวโคง t

PrH

แทนคาในสมการ t

2411232


24112t

2

3

mmN

mmN

= 90.38 mm ตอบ ความหนาสงสดของทรงกระบอกนเทากบ 90.38 มลลเมตร 2. ความเคนในถงทรงกลมผนงบาง ( Thin Spherical shell ) ถารปทรงกลมทอยภายใตความดนภายในจะท าใหเกดความเคนขนตามแนวเสนรอบวง ถาความบางของทรงกลมตอขนาดเสนผา ศนยกลาง มนอยกวา 1 ตอ 20 ความเคนทเกดขนตามแนวรศมจะมคานอยมากเมอเปรยบเทยบกบความเคนทเกดขนในแนวเสนรอบวง และสามารถตดทงได พจารณาทรงกลมทอยภายใตความดน ดรปท 3

82


รปท 3 วตถทรงกลมภายใตความดน

ถาให p คอความดนภายในภาชนะทรงกลม คอความเคนทเกดขน

t คอความหนาของผนงบาง

r คอรศมเฉลยของทรงกลมน แรงทเกดขนเนองจากความดน = ความดน × พนทรบความดน

2r.PF ..….……….5 แรงตานทเกดขนเนองจากความเคน

)rt2(F ....…… …..6 ถาภาชนะยงคงรปเดมอยได แรงทเกดขนนนจะตองเทากน คอ สมการท5 = สมการท6

5-7

83


rt2rP 2

t2

r.P

rt.2

r.P 2

ความเคนในถงทรงกลมผนงบาง t2

Pr หรอ

t4

PD

สรปเนอหา

สมการหาความเคนในถงทรงกลมผนงบาง คอ t2

Pr หรอ

t4

PD

ตวอยางท 3 ถงทรงกลมท าจากเหลกมความเคนภายในเทากบ 42 นวตน/ตารางมลลเมตร มเสนผาศนยกลางเทากบ 24 เซนตเมตร บรรจแกสทมความดน 4 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความหนาของถงน

วธท า = 42 N/mm2


PD D = 24×10 mm


1024442

P = 4 N/mm2


10244t

2

3

mmN

mmN

t = ?

= 5.71 mm

ตอบ ความหนาของถงนเทากบ 5.71 มลลเมตร

84



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพภาชนะรปทรงกระบอกและทรงกลมมาใหนกเรยนด ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 4 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1, 2 และ 3 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 4 ขนสรป 1.ถามความเขาใจของนกศกษาในเรองทเรยน งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป



85



86



1. ทอน าอนหนงมขนาดเสนผาศนยกลาง 480 มลลเมตร หนา 12 มลลเมตร อยภายใตแรงดนภายใน 2.5 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความเคนตามแนวเสนรอบวงในทอน 2. ภาชนะทรงกระบอกผนงบางมขนาดเสนผาศนยกลางภายใน 210 มลลเมตร หนา 4 มลลเมตร อยภายใตความดนภายใน 7 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความเคนตาวแนวยาว 3. ถงทรงกลมมขนาดเสนผาศนยกลาง 4800 มลลเมตร หนา 25 มลลเมตร และมคาความเคนเทากบ 125 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาคาความดนสงสดของแกสทบรรจไดในถงน

87



1. ทอน าอนหนงมขนาดเสนผาศนยกลาง 480 มลลเมตร หนา 12 มลลเมตร อยภายใตแรงดนภายใน 2.5 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความเคนตามแนวเสนรอบวงในทอน วธท า D = 480 mm


PDH t = 12 mm


4805.2H

3mm

mmN P = 2.5 N/mm2

= 50 N/mm2 H = ? ตอบ ความเคนตามแนวเสนรอบวงในทอนเทากบ 50 นวตน/ตารางมลลเมตร 2. ภาชนะทรงกระบอกผนงบางมขนาดเสนผาศนยกลาง 210 มลลเมตร หนา 4 มลลเมตร อยภายใตความดนภายใน 7 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความเคนตาวแนวยาว วธท า D = 210 mm


PDL t = 4 mm


2107L

3mm

mmN P = 7 N/mm2

= 91.88 N/mm2 L = ? ตอบ ความเคนตาวแนวยาวเทากบ 91.88 นวตน/ตารางมลลเมตร

88


3. ถงทรงกลมมขนาดเสนผาศนยกลาง 4800 มลลเมตร หนา 25 มลลเมตร และมคาความเคนเทากบ 125 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาคาความดนสงสดของแกสทบรรจไดในถงน วธท า D = 4800 mm


PD t = 25 mm


4800P125

= 125 N/mm2


254125P

3mm

mmN P = ?

= 2.60 N/mm2 ตอบ คาความดนสงสดของแกสทบรรจไดในถงนเทากบ 2.60 นวตน/ตารางมลลเมตร

89



1. ภาชนะทรงกระบอกรบแรงดนภายใน 3.2 นวตน/ตารางมลลเมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 0.54 เมตร หนา 40 มลลเมตร ใหหาความเคนตามแนวเสนรอบวงและตามแนวยาวของทรงกระบอก 2. ถงทรงกลมมคาความเคน 184 นวตน/ตารางมลลเมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 3700 มลลเมตร บรรจแกสทมความดน 4.3 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความหนาของถงทรงกลม

90



1. ภาชนะทรงกระบอกรบแรงดนภายใน 3.2 นวตน/ตารางมลลเมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 0.54 เมตร หนา 40 มลลเมตร ใหหาความเคนตามแนวเสนรอบวงและตามแนวยาวของทรงกระบอก

วธท า P = 3.2 N/mm2


PDH D = 0.54×103 mm


1054.02.3 3

H

3mm

mmN t = 40 mm

= 21.6 N/mm2 H = ? L = ? ตอบ ความเคนตามแนวเสนรอบวงเทากบ 21.6 นวตน/ตารางมลลเมตร


PDL


1054.02.3 3

L

3mm

mmN

= 10.8 N/mm2 ตอบ ความเคนตามแนวยาวเทากบ 10.8 นวตน/ตารางมลลเมตร

91


2. ถงทรงกลมมคาความเคน 184 นวตน/ตารางมลลเมตร มขนาดเสนผาศนยกลาง 3700 มลลเมตร บรรจแกสทมความดน 4.3 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาความหนาของถงทรงกลม วธท า = 184 N/mm2


PD P = 4.3 N/mm2


37003.4184

D = 3700 mm


37003.4t

2

3

mmN

mmN

t = ?

= 21.62 mm ตอบ ความหนาของถงทรงกลมเทากบ 21.62 มลลเมตร

92



94


หวขอเรอง 1. การตอโดยใชหมดย า สาระส าคญ 1. การตอโดยใชหมดย าในภาชนะอดความดนมอย 2 แบบ คอ กาตอเกยและการตอชน เมอไดรบความดนจะท าใหเกดการแตกหกหรอการขาดของหมดย าและแผนตอ ในการค านวณถามจ านวนหมดย าไมมากกใหค านวณทงหมด แตถามจ านวนหมดย ามากใหค านวณในระยะพตชเดยว 2. ประสทธภาพของรอยตอเปนคาทจะใชในการก าหนดการตอ โดยใหเอาคาประสทธภาพกรณใดกรณหนงทมคาต าทสดในการออกแบบ การค านวณหาคาประสทธภาพในแตละกรณของความเสยหาย หาไดจากการน าเอาแรงตานความเสยหายของแตละกรณ หารดวยแรงตานแผนเตม และคณดวยรอย วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความแขงแรงของการตอโดยใชหมดย าไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาประสทธภาพของรอยตอโดยใชหมดย าไดอยางถกตอง

95


เนอหาสาระ 1. การตอโดยการใชหมดย า ภาชนะทตอเขาดวยกนมอยหลายวธ การใชหมดย าเปนทนยมวธหนง สญลกษณตางๆ ทใชส าหรบการตอหมดย าทควรรจก คอ

d คอขนาดเสนผาศนยของหมดย า

t คอความหนาของแผนโลหะทจะตอ

p คอระยะพตช หมายถงระยะหางระหวางจดศนยของหมดย าทยาวทสด วดขนานกบรอยตะเขบ 1.1 ชนดของการตอโดยใชหมดย า 1) การตอเกย ( lap joint ) คอเอาแผนโลหะ 2 แผนมาตอเกยกนอย แลวใช หมดย าเปนตวท าใหแนน ดงรป

รปท 4 การตอเกย 2) การตอชน ( butt joint ) เอาแผนโลหะสองแผนมาตอชนกนแลวมแผนประกบหนงแผนหรอ 2 แผนกได จากนนใชหมดย ายดแนน ดงรป

รปท 5 การตอชน

96


1.2 ชนดของการแตกหกหรอขาดของหมดย าและแผนตอ

1. หมดย าถกเฉอนขาด แรงตานการเฉอน = พนททถกเฉอน × ความเคนเฉอนของหมดย า

4

dnF

2

1

เมอ n คอ จ านวนหมดย าทใช d คอ ขนาดเสนผาศนยกลางของหมดย า

ถาเปน Double shear จะได

4

dn2F

2

1

2. แผนตอถกหมดย าอดแตก

แรงตานการอด = พนททถกอด × ความเคนอด

c2 ndtF เมอ t คอ ความหนาของแผนตอ

3. แผนตอขาดตามแนวขนานกบตะเขบ แรงตานการการขาด = พนททขาด × ความเคนดง

t3 tdpF

97


4. แผนตอถกเฉอนหนาหมดย า

รปท 6 แผนตอถกเฉอนหนาหมดย า

แรงตานการเฉอนของแผนตอ(F4) = พนททถกเฉอน × ความเคนเฉอน

F4 = at2

เมอ a คอ ระยะทหางจากขอบถงจดกงกลางของหมดย าในทศทางตามแรงทกระท า t คอ ความหนา คอ ความเคนเฉอนของแผนตอ

5. แผนตอฉกบรเวณหนาหมดย า ในกรณทแผนตอฉกบรเวณหนาหมดย าในการค านวณจะหาสตรยากมากจงไมนยมค านวณ 6. แผนตอแถวนอกขาดพรอมกบหมดแถวในถกเฉอนขาด พนทของแผนทตอขาด(A1) t)dp(

พนทของหมดทถกเฉอน(A2) = 2d4

2

(กรณหมด 1 ตว )

ดงนน แรงตานทงหมด(F5)

2

d.t)dp(

2

t

98


7. แผนตอแถวนอกขาดพรอมกบหมดแถวในถกอดแตก แรงตานทงหมด(F6) = ct dtt)dp(

หมายเหต

1. จากการทดลองในกรณท 4 และ 5 จะไมเกดขนถาใหระยะ da 5.1 ส าหรบเหลกเหนยว da 0.2 ส าหรบโลหะอนๆ 2. ในการออกแบบทดทสดนนคอชนงานทกชนจะตองพงพรอมกนหมด คอแรงตานทกกรณเทากนหมด ดงนนเราอาจค านวณคาตางๆไดโดยคดจากสมการดงน

tscs FF,FF หรอ ct FF 2. ประสทธภาพของรอยตอ แรงตานของแผนเตม tPtF

ประสทธภาพตางๆค านวณไดดงน

1. ประสทธภาพการเฉอน 100F

F1s %

2. ประสทธภาพการอด 100F

F2c %

3. ประสทธภาพการดง 100F

F3t %

ประสทธภาพของรอยตอนนเราตองเลอกเอาคาทต าทสด จากการค านวณทไดจากคาทง 3 แบบ การตอชนจะดกวาการตอชนเสมอ สรปเนอหา

1. การหาแรงตานการเฉอนของหมดย าใชสตร

4

dnF

2

1 และ

4

dn2F

2

1

2. ในกรณแผนตอถกหมดย าอดแตกจะใชสตร c2 ndtF 3. ในกรณแผนตอขาดตามแนวขนานกบตะเขบจะใชสตร t3 tdpF

99


4. ในกรณแผนตอถกเฉอนหนาหมดย าจะใชสตร F4 = at2

5. แผนตอฉกบรเวณหนาหมดย า 6. ในกรณแผนตอแถวนอกขาดพรอมกบหมดแถวในถกเฉอนขาดจะใชสตร

F5

2

d.t)dp(

2

t

7. ในกรณแผนตอแถวนอกขาดพรอมกบหมดแถวในถกอดแตกจะใชสตร F6 = ct dtt)dp( 8. การหาประสทธภาพของรอยตอ

1) ประสทธภาพการเฉอน 100F

F1s %

2) ประสทธภาพการอด 100F

F2c %

3) ประสทธภาพการดง 100F

F3t %

ตวอยางท 4

รอยตอดงรปมเสนผาศนย 24 มลลเมตร ความเคนเฉอนสงสดเทากบ 60 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงสงสดเทากบ 125 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาแรง F และประสทธภาพ


จากสตร

21 d

42nF = 60 N/mm2

แทนคาในสตร = 60

4

2423

2

t = 125 N/mm2

= 162860.16 N n = 3

100


= 310

162860.16 kN t = 25 mm

= 162.86 kN b = 100 mm

F = ? แรงตานการเฉอนของหมดย าเทากบ 162.86 kN แรงตานการฉกขาดของแผนตอ

12525)242100(

t)d2b(F t2

= 162500 N

หรอ = 310

162500 kN

= 162.50 kN ตอบ เลอกคาทนอยทสดเพราะปลอดภยทสด คอ 162.50 kN ถาไมมหมดย าแผนโลหะจะทนได tbF t

N312500

25100125

ประสทธภาพของรอยตอ 100312500

162500

= 52 % ตอบ ประสทธภาพของรอยตอเทากบ 52 %

101



ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนโลหะแบบชนโดยใชแผนประ กบ 2 แผน มความหนา 30 มลลเมตร ขนาดเสนผาศนยกลางของหมดย า 30 มลลเมตร เปนแรงเฉอนค ความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 318 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนโลหะเทากบ 412 นวตน/ตาราง จงหาระยะพตชเพอใหรอยตอมประสทธภาพสงสด

วธท า n = 2

แรงเฉอนการตาน

.d4

.2.nF 2s t = 30 mm

N817.899123

318304

222

d = 30 mm

= 318 N/ mm2 แรงตานการฉด tt tdpF t = 412 N/mm2

N370800p12360

4123030p

p = ?

ให ;ts FF 12360p-370800 = 899123.8174

mm744.102

12360

3708008174.899123p

ตอบ ระยะพตชเทากบ 102.744 มลลเมตร

102



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของเชอมตอแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถามความเขาใจ ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 4 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 4 และ 5 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 4 ขนสรป 1.ใหนกศกษาอธบายสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป

2. ใหไปศกษาทบทวนเนอหา และท าแบบฝกหด


103



104



1. ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนเหลกแบบตอเกย ซงแผนเหลกหนา 24 มลลเมตร เสนผาศนยกลางของหมดย าเทากบ 20 มลลเมตร มระยะพตชเทากบ 80 มลลเมตร ถาความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 450 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนเหลกเทากบ 520 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดมคา 540 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาประสทธภาพของรอยตอ 2. ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนโลหะแบบชนโดยใชแผนประกบ 2 แผน มความหนา 32 มลลเมตร ขนาดหมดย า 25 มลลเมตร เปนแรงเฉอนค ความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 420 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนโลหะเทากบ 480 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดของแผนโลหะ 521 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาระยะพตช

105



1. ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนเหลกแบบตอเกย ซงแผนเหลกหนา 24 มลลเมตร เสนผาศนยกลางของหมดย าเทากบ 20 มลลเมตร มระยะพตชเทากบ 80 มลลเมตร ถาความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 450 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนเหลกเทากบ 520 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดมคา 540 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาประสทธภาพของรอยตอ วธท า

แรงเฉอน

4

dnF

2

1


4

202F

2

1

= 282743.34 N แรงตานการขาดของแผนตอ t3 tdpF แทนคาในสตร 520242080F3 = 748800.00 N แรงตานการอด c2 ndtF แทนคาในสตร 54024202F2 = 518400.00 N แรงตานแผนเตม tPtF แทนคาในสตร 5202480F = 998400.00 N

ประสทธภาพการเฉอน 100F

F1s %

10000.998400

34.282743

= 28.32 %

106


ประสทธภาพการอด 100F

F2c %

10000.998400

00.748800

= 75 %

ประสทธภาพการดง 100F

F3t %

10000.998400

00.518400

= 51.92 % ตอบ ประสทธภาพรอยตอเทากบ 28.32 % 2. ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนโลหะแบบชนโดยใชแผนประกบ 2 แผน มความหนา 32 มลลเมตร ขนาดหมดย า 25 มลลเมตร เปนแรงเฉอนค ความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 420 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนโลหะเทากบ 480 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดของแผนโลหะ 521 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาระยะพตช วธท า


4

dn2F

2

1


4

2522F

2

1

= 824668.07 N แรงตานการขาดของแผนตอ t3 tdpF แทนคาในสตร 4803225pF3 = 15360P-384000 ให F1=F3 15360P-384000 = 824668.07

107


P = 15360

38400007.824668

= 78.69 mm ตอบ ระยะพตชเทากบ 78.69 มลลเมตร

108



1. ใชหมดย า 3 ตว ตอแผนโลหะแบบชนโดยใชแผนประกบ 2 แผน มความหนา 28 มลลเมตร ขนาดหมดย า 35 มลลเมตร เปนแรงเฉอนค ความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 381 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนโลหะเทากบ 423 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดของแผนโลหะ 418 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาระยะพตช 2. ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนเหลกแบบตอเกย ซงแผนเหลกหนา 24 มลลเมตร เสนผาศนยกลางของหมดย าเทากบ 28 มลลเมตร มระยะพตชเทากบ 58 มลลเมตร ถาความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 357 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนเหลกเทากบ 426 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดมคา 423 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาประสทธภาพของรอยตอ

109



1. ใชหมดย า 3 ตว ตอแผนโลหะแบบชนโดยใชแผนประกบ 2 แผน มความหนา 28 มลลเมตร ขนาดหมดย า 35 มลลเมตร เปนแรงเฉอนค ความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 381 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนโลหะเทากบ 423 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดของแผนโลหะ 418 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาระยะพตช วธท า


4

dn2F

2

1


4

3532F

2

1

= 2199389.75 N แรงตานการขาดของแผนตอ t3 tdpF แทนคาในสตร 4232835pF3 = 11844P-414540 ให F1=F3 11844P-414540= 2199389.75 P =

11844

414540 2199389.75

= 53.57 mm ตอบ ระยะพตชเทากบ 53.57 มลลเมตร

110


2. ใชหมดย า 2 ตว ตอแผนเหลกแบบตอเกย ซงแผนเหลกหนา 24 มลลเมตร เสนผาศนยกลางของหมดย าเทากบ 28 มลลเมตร มระยะพตชเทากบ 58 มลลเมตร ถาความเคนเฉอนของหมดย าเทากบ 357 นวตน/ตารางมลลเมตร ความเคนดงของแผนเหลกเทากบ 426 นวตน/ตารางมลลเมตร และความเคนอดมคา 423 นวตน/ตารางมลลเมตร จงหาประสทธภาพของรอยตอ วธท า


4

dnF

2

1


4

282F

2

1

= 439647.04N แรงตานการอด c2 ndtF แทนคาในสตร 42324282F2 = 568512 N แรงตานการขาดของแผนตอ t3 tdpF แทนคาในสตร 426242858F3 = 306720 N แรงตานแผนเตม tPtF แทนคาในสตร 4262458F = 592992 N

ประสทธภาพการเฉอน 100F

F1s %

100592992

04.439647

= 74.14 %

111


ประสทธภาพการอด 100F

F2c %

100592992

306720

= 51.72 %

ประสทธภาพการดง 100F

F3t %

100592992

568512

= 95.87 % ตอบ ประสทธภาพของรอยตอเทากบ 51.72 %

112



114


หวขอเรอง 1. การตอโดยการเชอม สาระส าคญ 1. การตอโดยการเชอม เปนการตอทใชการใหความรอนทรอยตอ และใชลวดเชอมเปนตวกลางในการหลอมแผนโลหะใหตดกน การตอโดยการเชอมมอย 2 แบบ คอ การเชอมแบบตอชนหาไดจากสตร wLtF และการเชอมแบบตอทาบหาไดจากสตร wL2tF วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความแขงแรงของการตอโดยการเชอมไดอยางถกตอง

115


เนอหาสาระ 1. การเชอมตอ (Welded joint ) การเชอมเปนอกวธหนงทตอโลหะใหตดกนโดยเผาโลหะละลายแลวใชลวดเชอม ท าใหโลหะตดกนได ทงการเชอมแกส และการเชอมไฟฟาลกษณะการตอชนงานมอยดวยกน 2 แบบคอ 1. การตอแบบชน เปนลกษณะดงรป

รปท 7 การตอแบบชน

เมอ t คอความหนาของแผนโลหะ L คอความยาวของรอยเชอม w คอความเคนใชงานของรอยเชอมส าหรบแรงดง F คอ แรงทรอยเชอมรบได ดงนนความแขงแรงของรอยเชอม

tLF w

2. การตอแบบทาบ ( fillet weld ) เปนการเชอมแผนโลหะทตงฉากกนหรอซอนกน เหลกทเปนตวเชอมจะรบ แรงดง แรงเฉอน แรงอด ไดดวย

รปท 8 การตอแบบทาบ

116


เมอให t คอความหนาของแผนตอ b คอความกวางของรอยเชอม L คอ ความยาวของแนวเชอม

t’ คอ ความหนาของ 2

t45sintthroat

w คอ ความเคนเฉอนใชงาน F คอแรงเฉอนทกระท า

ดงนนความแขงแรงของการเชอม

ส าหรบการเชอมดานขาง 2L'tF w ส าหรบการเชอมปลาย wL2'tF สรปเนอหา การหาความแขงแรงของการเชอม คอ 1. แบบตอชน ใชสตร tLF w 2. แบบตอทาบ ใชสตร 2L'tF w หรอ wL2'tF

ตวอยางท 6 ใชการเชอมแบบตอทาบโดยเชอมดานขาง ตอแผนโลหะสองแผนหนา 26 มลลเมตร อยภายใตแรงดง 62 กโลนวตน จงหาความยาวของรอยเชอม ถาความเคนเฉอนใชงานเทากบ 74 เมกะนวตน/ตารางเมตร

วธท า t = 26 mm จากสตร 2L'tF w F = 62 ×103 N

แทนคาในสตร 62 ×103 = 18.38 ×L×74 × 2 w = 6

6

10

1074 N/mm2

ยายสมการ L = 27438.18

1062 3

mmN

mmN 2

L = ?

= 22.79 mm ตอบ ความยาวของรอยเชอมเทากบ 22.79 มลลเมตร

117


ตวอยางท 7 ใชการเชอมแบบตอชนตอแผนโลหะสองแผน มความหนา 34 มลลเมตร กวาง 240 มลลเมตร จงหาวาแรงดงทการเชอมจะรบไดมคาเทาไร ถาความเคนแรงดงหามเกน 180 นวตน/ตารางมลลเมตร วธท า t = 34 mm จากสตร tLF w L = 240 mm

แทนคาในสตร F = 180 × 240 × 34 2

2

mm

mmN w = 180 N/mm2

= 1468800 N F = ? = 1.4688 MN ตอบ แรงดงทการเชอมจะรบไดมคาเทากบ 1.4688 เมกะนวตน

118



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของการเชอมตอแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถามความเขาใจ ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 4 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 6 และ 7 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 4 ขนสรป 1.ใหนกศกษาสรปเนอหาใหฟง งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป

2. ใหไปศกษาทบทวนเรองทเรยน และท าแบบฝกหด

สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 4 2. รปภาพ 7 และ 8

119



120



1. ใชการเชอมแบบตอชนตอแผนโลหะสองแผน มความหนา 45 มลลเมตร กวาง 430 มลลเมตร จงหาวาแรงดงทการเชอมจะรบไดมคาเทาไร ถาความเคนแรงดงหามเกน 231 นวตน/ตารางมลลเมตร 2. ใชการเชอมแบบตอทาบโดยเชอมดานขาง ตอแผนโลหะสองแผนหนา 31 มลลเมตร อยภายใตแรงดง 49 กโลนวตน จงหาความยาวของรอยเชอม ถาความเคนเฉอนใชงานเทากบ 67 จกะนวตน/ตารางเมตร

121



1. ใชการเชอมแบบตอชนตอแผนโลหะสองแผน มความหนา 45 มลลเมตร กวาง 430 มลลเมตร จงหาวาแรงดงทการเชอมจะรบไดมคาเทาไร ถาความเคนแรงดงหามเกน 231 นวตน/ตารางมลลเมตร วธท า t = 45 mm จากสตร tLF w L = 430 mm

แทนคาในสตร F = 231 × 430 × 45 2

2

mm

mmN w = 231 N/mm2

= 4469850 N F = ? = 4.46985 MN ตอบ แรงดงทการเชอมจะรบไดมคาเทากบ 4.46985 เมกะนวตน 2. ใชการเชอมแบบตอทาบโดยเชอมดานขาง ตอแผนโลหะสองแผนหนา 31 มลลเมตร อยภายใตแรงดง 49 กโลนวตน จงหาความยาวของรอยเชอม ถาความเคนเฉอนใชงานเทากบ 67 เมกะนวตน/ตารางเมตร วธท า t = 31 mm จากสตร 2L'tF w F = 49×103 N

แทนคาในสตร 49 ×103 = 21.92 ×L×67 × 2 w = 6

6

10

1067 N/mm2

ยายสมการ L = 26792.21

1049 3

mmN

mmN 2

L = ?


122



1. ใชการเชอมแบบตอทาบโดยเชอมดานขาง ตอแผนโลหะสองแผนหนา 20 มลลเมตร รอยเชอมยาว 40 มลลเมตร จงหาแรงทรอยเชอมสามารถรบได ถาความเคนเฉอนใชงานเทากบ 81 เมกะนวตน/ตารางเมตร 2. ใชการเชอมแบบตอชนตอแผนโลหะสองแผน มความหนา 45 มลลเมตร จงหาความยาวของรอยเชอม ถาความเคนแรงดงหามเกน 231 นวตน/ตารางมลลเมตร และแรงดงเทากบ 61 กโลนวตน

123



1. ใชการเชอมแบบตอทาบโดยเชอมดานขาง ตอแผนโลหะสองแผนหนา 20 มลลเมตร รอยเชอมยาว 40 มลลเมตร จงหาแรงทรอยเชอมสามารถรบได ถาความเคนเฉอนใชงานเทากบ 81 เมกะนวตน/ตารางเมตร วธท า t = 20 mm จากสตร 2L'tF w L = 40 mm

แทนคาในสตร F = 14.14 ×40×67 × 2 w = 6

6

10

1081 N/mm2

ยายสมการ F = 75790.4 N F = ? = 75.79 kN ตอบ แรงทรอยเชอมสามารถรบไดเทากบ 75.79 กโลนวตน 2. ใชการเชอมแบบตอชนตอแผนโลหะสองแผน มความหนา 21 มลลเมตร จงหาความยาวของรอยเชอม ถาความเคนแรงดงหามเกน 312 นวตน/ตารางมลลเมตร และแรงดงเทากบ 61 กโลนวตน วธท า t = 21 mm จากสตร tLF w F = 61×103 N

แทนคาในสตร 61×103 = 312 × L × 21 2

2

mm

mmN w = 312 N/mm2


1061L

3

L = ?


124



126

แผนการสอน หนวยท 5 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 8 ชอหนวย การบดของเพลา จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. ความเคนเฉอนและความเครยดเฉอนเนองจากการบดของเพลา 2. แรงบดและการสงก าลง สาระส าคญ 1. เมอเพลาไดรบโมเมนตบดจะท าใหเกดความเคนเฉอน ความเครยดเฉอนและท าใหเกดการเปลยนแปลงเชงมมทพนทหนาตดของเพลา โดยหาความสมพนธระหวางความเคนเฉอนและ

ความเครยดเฉอนจากสตร L

G

rJ

T

2. ก าลงทถกสงผานเพลา คอ อตราสวนของแรงบดหรอโมเมนตบดซงเปนงานทท าใหเพลา

หมนขณะนนตอหนงหนวยเวลา โดยหาไดจากสตร 60

NT2P

วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนเฉอนและความเครยดเฉอนไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาแรงบดและก าลงทสงของเพลาไดอยางถกตอง

127


เนอหาสาระ 1. การบดของเพลา ( Torsion ) โมเมนตทกระท าตอชนสวนในลกษณะทท าใหเกดการบดเรยก วา โมเมนตบด ( torsional moment or torque ) โมเมนตนเปนสวนทส าคญทจะท าใหวสดเกดการเสยหายไดถาหากโมเมนตทกระท ากบวสดมากเกนไป ฉะนนในการออกแบบชนสวนใหรบโมเมนตบดจงตองพจารณาไมใหโมเมนตบดมากเกนไปในการกระ ท ากบชนวสดนน 1) แรงบด ( torsional loaded ) หมายถง สวนของโครงสรางทรบแรงหรอโมเมนตทพยายามบดสวนของโครงสรางนนไปจากต าแหนงเดม 2) โมเมนตบด ( torsional moment or torques ) คอโมเมนตท พยายามบดทอนวสดใหเปลยนไปจากต าแหนงเดม มคาเทากบผล รวมทางพชคณตของโมเมนตของแรงตาง ๆ รอบแกนของทอนวสดนน

ขอสมมตฐานเกยวกบการบดของเพลา

1.จะตองไมมการเปลยนแปลงระนาบของหนาตดวสดกอนการบดและหลงการบด นนของเพลา

2. ความเคนทเกดขนของการบดนนจะตองไมเกนคาขดจ ากดการยดหยน 3. วสดนนตองมคณสมบตเหมอนกนตลอดความยาวของชนวสดนนทน ามาพจารณา 4. รศมตองมคณสมบตยดหยนไดและจะเปนไปตามกฎของฮค

5. เสนรศมตรงจะยงคงเปนรศมทตรงระหวางการบดไปของเพลานน 1.1 สตรของแรงบด ( Torsion for malas )

รปท 1 ความสมพนธระหวางโมเมนตบด

128


พจารณาแทงวสดทมพนทหนาตดกลมและคงทตลอด รบโมเมนตบด T ตามรปท 1(ก) ความสมพนธระหวางโมเมนตบด T กบความเคนเฉอน ณ หนาตดทจด D จะหาไดจากการพจารณาวงแหวนเลก ๆ ของรปตดบนหนาตดทจด D ของแทงวสดทมระยะหางจากแกนกลางเปนระยะ p ตาม รปท 1 (ข) ใหวงแหวนมพนทเทากบ da และ เปนความเคนเฉอนในแนวสมพนธซงอยบนเสนรอบวงของวงแหวนน ให L เทากบความยาวเพลา ดงนนความเครยดเฉอน ( shear strain ) จะมคา

L

แต G

LG

ความเคนเฉอนจะเปนสดสวนกบระยะทางรศมจากแกนกลางของเพลานน จะได

max

= r

P

แตแรงบด AdT

dA

rmax

dAr

2max

แต p2da = J = polar moment of inertia

Jr

T max

J

Trmax

และ J

T

rmax

129


คา polar moment of inertia ส าหรบเพลาตนและเพลากลวงทควรรจกคอ

เพลาตน 4D32

J

เพลากลวง )dD(32

J 44

เมอ D คอ เสนผานศนยกลางภายนอกของเพลา d คอ เสนผานศนยกลางภายในของเพลา ความเคนเฉอนสงสดของเพลาตนและเพลากลวงมดงนคอ

จาก J

Trmax

เมอ r = D/2

เพลาตน 4

max

D32

2

DT

4max

D

T16

เพลากลวง 44

max

dD32

2

DT

44max

dD

TD16

มมบด ( angle of twist ) คอ การเปลยนแปลงรปรางเมอมการบดเกดขนในเพลานน ซงจะมผลท าใหเพลาเกดการเสยหายถาหากมมบดมากเกนไป

130


มมบดของเพลาทเกดขนในขณะใชงานจะตองมคาไมมาก กวาทก าหนดไว ถามมบดมากไปจะท าใหเสยความเทยงตรงทาง ดานต าแหนง และยงกอใหเกดความสนสะเทอนซงมผลท าใหเฟองและแบรงทรองรบเพลาอยเกดความเสยหายไดงายขนท าใหการท า งานไมถกตอง

จากความสมพนธ

L

G …………..……..1

และ J

T …………...……2

สมการท1= สมการท2 จะได

J

T

L

G

GJ

TL

เมอ คอ มมบดวดเปนเรเดยน ( radian ) ถาเปลยนมมบดจากเรเดยนเปนองศาจะตอง

คณดวย

180 หรอ 57.3 เขาไป

G คอ โมดลสของการเฉอน ( modulus of rigidity ) L คอ ความยาวของเพลาทถกบดไป T คอ แรงบดทใชในการบดของเพลา J คอ polar moment of inertia สรปเนอหา

1. การค านวณหาคาตาง ๆ จากการบดของเพลาใชสตร L

G

rJ

T

131


ตวอยางท 1 จงหาคาแรงบดทจะท าใหแพลากลมตนขนาดเสนผาศนยกลาง 60 มลลเมตร ยาว 1.52 เมตร บดไป 1.8 องศา ก าหนดใหคาโมดลสของการเฉอนของวตถเทากบ 108 เมกะนวตน/ตารางเมตร

วธท า = 1.8 ×180

จากสตร GJ

TL = 0.0314 rad

แทนคาในสตร 0.0314 = 025.1272345108

1052.1T 3

D = 60 mm

ยายสมการ T = 31052.1

025.12723451080314.0

L = 1.52×103 mm

= 2838.669 N.mm J = 46032

= 2.8387 kN.mm = 1272345.025 mm4

ตอบ แรงบดทจะท าใหแพลากลมตนบดไป 1.8 องศา G = 6

6

10

10108 N/mm2

เทากบ 2.8387 กโลนวตน มลลเมตร 2. แรงบดและก าลง ลกษณะการใชงานโดยทวไปของเพลากคอ การใชสงก าลงจากสวนหนงไปอกสวนหนง ก าลง ( power ) คอ อตราการท างาน ดงนนก าลงทเกดจากแรงบดหรอโมเมนตบด T กคอ P = T เมอ P คอ ก าลงทสง มหนวยเปนวตต (w) หรอกโลวตต (kw)

คอ ความเรวเชงมม มหนวยเปน rad/s

แต 60

N2

60

NT2P

132


และ N คอ ความเรวรอบของเพลา มหนวยเปนรอบตอนาท ( rpm ) T คอ โมเมนตบดหรอแรงบดทเกดขน มหนวยเปนนวตน – เมตร ( N-m ) สรป

1. การหาก าลงทสงของเพลาใชสตร 60

NT2P


เพลาของเรอขนาดเสนผาศนยกลางภายนอก 300 มลลเมตร เสนผาศนยกลางภายใน 200 มลลเมตร หมนดวยความ เรวรอบ 120รอบ/นาท โดยยอมใหเกดความเคนเฉอนสงสดไมเกน 80 N / mm2 จงหาก าลงทเพลาสงได และถาเพลานยาว 8 เมตร จงหามมบดทเกดขน เมอคา G = 83 GN / m2

วธท า จากสตร

)dD(

TD1644

เมอ mm30D,mm/N80 2 และ mm200d แทนคา

)200300(

T3001680

44

30016

80)200300(T

44

m.KN3392.340

mm.N1.340339204

ก าลงทสงได 60

NT2P

60

339.3401202

KW....828.4276

133


ก าลงทสงไดเทากบ MW276.4

หามมบดทเกดขน จากสตร GJ

TL

เมอ 4

44

mm8.638136007

)200300(32

J

23 mm/N1083G mm10008L และ

mm.N1.340339204T แทนคา

310838.638136007

80001.340339204

0514.0 เรเดยน

18005014.0

945.2 องศา ตอบ มมบดของเพลามคาเทากบ 2.945 องศา

134



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของเพลา มาใหนกศกษาดแลวถามความเขาใจ ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 5 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 5 ขนสรป 1.ใหนกศกษาออกมาพดสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป


สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 5 2. รปภาพท 1

135



136



1. จงหาคา G ของเพลา ถาเพลาขนาดเสนผาศนยกลาง 250 มลลเมตร ยาว 1.25 เมตร บดไป 0.48 องศา ก าหนดให คา T เทากบ 9.72 กโลนวตนเมตร 2. ถาเพลาตนกลมมขนาดเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตรยาว 2.5 เมตร ขณะทหมนดวยความเรวรอบ 145 รอบ/นาท มมบด 0.5 องศา จงหาก าลงทสงได ก าหนดให G ของเพลาเทากบ 95 จกะนวตน/ตารางเมตร

137



1. จงหาคา G ของเพลา ถาเพลาขนาดเสนผาศนยกลาง 250 มลลเมตร ยาว 1.25 เมตร บดไป 0.48 องศา ก าหนดให คา T เทากบ 9.72 กโลนวตนเมตร วธท า


G

J

T


J

T LG


321025.11072.9G

4

36

4

2

mm

mmN

= 4440.71 N/mm2 ตอบ คา G ของเพลาเทากบ 4440.71 นวตน/ตารางมลลเมตร 2. ถาเพลาตนกลมมขนาดเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตรยาว 2.5 เมตร ขณะทหมนดวยความเรวรอบ 145 รอบ/นาท มมบด 0.5 องศา จงหาก าลงทสงได ก าหนดให G ของเพลาเทากบ 95 จกะนวตน/ตารางเมตร วธท า


G

J

T

ยายสมการ L

GJT


3

105.2

0087.032.6135921095T

= 203.47 N.m


NT2P

J = 32

2504 mm4

T = 9.72×106 N.mm L = 1.25×103 mm

= 180

48.0 rad

= 0.0084 rad G=?

d = 50 mm L = 2.5×103 mm N = 145 /S

= 180

5.0 rad

J =32

504 mm4

G = 95×103 N/mm2 P = ?

138


60

47.2031452P

N.m/S

= 3089.62 W ตอบ ก าลงทเพลาสงไดเทากบ 3089.62 วตต

139



1. เพลาขนาดเสนผาศนยกลาง 20 มลลเมตร หมนดวยความเรวรอบ 1000 รอบ/นาท จงหาก าลงสงสดทเพลาสงได ถาความเคนใชงานเทากบ 50 นวตน/ตารางมลลเมตร 2. จงหาก าลงทเพลาขนาดเสนผาศนยกลาง 320 มลลเมตร ขณะหมนดวยความเรวรอบ 125 รอบ/นาท ถาความเคนเฉอนหามเกน 45 นวตน/ตารางมลลเมตร และอตราสวนของแรงบดสงสดตอแรงบดเฉลย 1.5 : 1

140



1. เพลาขนาดเสนผาศนยกลาง 20 มลลเมตร หมนดวยความเรวรอบ 1000 รอบ/นาท จงหาก าลงสงสดทเพลาสงได ถาความเคนใชงานเทากบ 50 นวตน/ตารางมลลเมตร วธท า

จากสตร 3D

T16


DT

3


2050T

3

= 78.54 N.m


NT2P


54.7810002P

= 8224.67 N.m/S ตอบ ก าลงสงสดทเพลาสงไดเทากบ 8224.67 วตต 2. จงหาก าลงทเพลาขนาดเสนผาศนยกลาง 320 มลลเมตร ขณะหมนดวยความเรวรอบ 125 รอบ/นาท ถาความเคนเฉอนหามเกน 45 นวตน/ตารางมลลเมตร และอตราสวนของแรงบดสงสดตอแรงบดเฉลย 1.5 : 1 วธท า


max

D

T16


DT

3

max


32045T

3

max

D = 20 mm N = 1000 /S = 50 N/mm2 P = ?

D = 320 mm N = 125 /S = 45 N/mm2 P = ?

141


= 289529178.9 N.mm

mean

max

T

T = 1.5

5.1

TT max

mean

5.1

9.289529178

= 193019452.6 N.mm = 193.01945 kN.m


NT2P


01945.1931252P

= 2526.6187 kN.m/S ตอบ ก าลงทเพลาสงไดเทากบ 2526.6187 กโลวตต

142


บนทกหลงการสอน ผลการใชแผนการสอน..................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการเรยนของนกเรยน................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการสอนของคร............................................................................................................................ .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................

144


หวขอเรอง 1. การตอเพลาดวยหนาแปลน 2. เพลาขนาดไมเทากน สาระส าคญ 1. การตอเพลา 2 อนเขาดวยกนโดยการใชหนาแปลนจะตองยดดวยสลกเกลยว ในการหา

คาโมเมนตบดทใชกบการตอเพลาดวยหนาแปลนหาไดจากสตร rd4

nT 2

2. ในการออกแบบเพลาทมขนาดตางกน ซงท าจากวสดเดยวกนหรอตางกนในการใชงาน พจารณาได 2 ลกษณะ คอ ปลายเพลาทงสองเปนอสระ และปลายเพลาทงสองขางยดแนน วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาโมเมนตบดทใชกบการตอเพลาดวยหนาแปลนไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาการตอเพลาทขนาดไมเทากน ไดอยางถกตอง

145


เนอหาสาระ 1. การตอเพลาดวยหนาแปลน (Coupling) การตอสวนของโครงสราง เชน เพลาวสดกลม เพอใชรบแรงบดนนท าไดโดยการเชอมปลายทงสองขางของเพลาดวยหนาแปลน ( คบปลง ) แลวยดหนาแปลนทงสองดวยสลกเกลยว

รปท 2 แสดงการตอเพลาดวยหนาแปลน

ก าหนดให n คอ จ านวนสลกเกลยวบนหนาแปลน r คอ รศมทหางจากจดกงกลางของคบปลง ( หนาแปลน ) ไปยงจดกงกลางสลกเกลยว

d คอ เสนผานศนยกลางของสลกเกลยว คอ ความเคนเฉอนเนองจากการบด

F คอแรงตานทานตอการบดของสลกเกลยวแตละตว

จาก rnFT

rnAT

rd4

n 2

จะไดสมการ rd4

nT 2

146


2. เพลาขนาดไมเทากนตอเขาดวยกน ถาตองการเพลาสองเพลาหรอหลาย ๆ เพลาทท าจากวสดตางชนดกนหรอชนดเดยวกนแตมขนาดไมเทากนน ามาตอเขาดวย กน เพอการใชงานอนเดยวกนแบงการพจารณาออกเปน 2 แบบคอ 1. ปลายเพลาทงสองขางเปนอสระ

2. ปลายเพลาทงสองขางโดนยดแนน

1) ปลายเพลาทงสองขางเปนอสระ

รปท 3 ปลายเพลาทงสองขางเปนอสระ

ถาเพลาประกอบไปดวยเพลาสองอนขนาดเสนผานศนยกลางไมเทากนตอกนแบบอนกรม โดยมแรงบดทปลายทงสองขางเทากบ T เราจะไดความสมพนธดงน คอ

แรงบดรวม = แรงบดของทอน A = แรงบดของทอน B

Tรวม= TA = TB เมอแรงบดเทากน มมบดจะไมเทากนเพราะขนาดตางกน

มมบดรวม = มมบดของทอน A + มมบดของทอน B

147


2) ปลายเพลาทงสองขางโดนยดแนน

รปท 4 ปลายเพลาทงสองขางโดนยดแนน

เมอปลายทงสองขางถกยดแนน เพลาจะบดไปเทากนตลอดความยาวของเพลา แตแรงบดของแตละทอนจะไมเทากน คอ

แรงบดรวม = แรงบดของทอน A+ แรงบดของทอน B

Tรวม = TA+ TB

สวนมมบดรวม = มมบดของทอน A = มมบดของทอน B

รวม= A = B

3) เพลาหลายอนตอเขาดวยกนแบบขนาน

เพลาหลายอนตอเขาดวยกนแบบขนานหรอเพลาสองเพลามแกนรวมกน แตขนาดไมเทากนสวมเขาดวยกน

148


รปท 5 เพลาหลายอนตอเขาดวยกนแบบขนาน

เนองจากปลายทงสองขางของเพลาบดไปดวยกน ดงนนมมบดของเพลาทงสองจงตองเทากน เราจะไดมมบดรวมเทากบมมบดของทอน A เทากบมมบดของทอน B

รวม = BÄ

แตแรงบดทเกดขนในกรณนจะมคาไมเทากน ซงจะมคาดงน

แรงบดรวม = แรงบดทอน A+แรงบดทอน B

T รวม BA TT สรปเนอหา

1. กรค านวณหาทอรกทหนาแปลนใชสตร r4

dnT

2

2. การค านวณหาทอรกของเพลาทมขนาดไมเทากน 1)ปลายเพลาทงสองเปนอสระแรงบดทปลายทงสองจะเทากน

ใชสตร 2

222

1

121

L

JG

L

JGT

มมบดรวม 21T

2)ปลายเพลาทงสองยดแนน แรงบดทปลายทงสองจะไมเทากน

ใชสตร 2

222

1

111T

L

JG

L

JGT

มมบดรวม 21T หรอ

22

22

11

11

JG

LT

JG

LT

149


ตวอยางท 1 หนาแปลนยดเพลาดวยโบลทขนาด 20 มลลเมตร จ านวน 4 ตว แนวยดโบลทมขนาดเสนผาศนยกลาง 100 มลลเมตร จงค านวณหาทอรกทหนาแปลนรบได ถาความเคนเฉอนของโบลทหามเกน 48 เมกะนวตน/ตารางเมตร วธท า

จากสตร r4

dnT

2


4

02.04T 6

2

= 3015.93 N.m ตอบ ทอรกทหนาแปลนรบไดเทากบ 3015.93 นวตนเมตร ตวอยางท 2 เพลาตนสองอนท าจากวสดตางกน คอ เพลาอะลมเนยมมขนาดเสนผาศนยกลาง 65 มลลเมตร ยาว 4 เมตร มคา G เทากบ 27 จกะนวตน/ตารางเมตร และเพลาเหลกมเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตร ยาว 2.5 เมตร มคา G เทากบ 78 จกะนวตน/ตารางเมตร ปลายทงสองยดกบผนง ตรงชวงตอเพลามทอรกเทากบ 1.4 กโลนวตนเมตร จงค านวณหาความเคนเฉอนสงสดในเพลาอะลมเนยมและเพลาเหลก วธท า


22

11

11

JG

LT

JG

LT


s

49

a

05.01078

325.2T

065.01027

324T

ยายขางสมการ

32405.01078

065.01027325.2TT

49

49s

a

n = 4 d = 0.02 m = 48×106 N/m2

r = 2

1.0 = 0.05 m

T = ?

Da = 0.065 m Ds = 0.050 m La = 4 m Ls = 2.5 m Ga = 27×109 N/m2 Gs = 78×109 N/m2 T = 1.4×103 N.m

150


sa T6179.0T จาก 0Mx จะได 0TTT sa แทนคา 01400TT6179.0 ss

6179.1

1400Ts

= 865.32 N.m และ Ta = 0.6179×865.32 = 534.68 N.m

จากสตร3D

T16

จะได 3

a065.0

68.53416

= 9915713.72 N/m2 = 9.9157 MN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดในเพลาอะลมเนยมเทากบ 9.9157 เมกะนวตน/ตารางมลลเมตร

3

s05.0

32.86516

= 35256308.57 N/m2 = 35.256 MN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดในเพลาเหลกเทากบ35.256 เมกะนวตน/ตารางเมตร

151



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพการตอเพลาแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 5 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 3 และ 4 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 5 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป


สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 5 2. รปภาพ 2, 3, 4 และ 5

152



153



1. หนาแปลนยดเพลาดวยโบลทขนาด 35 มลลเมตร จ านวน 6 ตว แนวยดโบลทมขนาดเสนผาศนยกลาง 150 มลลเมตร จงค านวณหาทอรกทหนาแปลนรบได ถาความเคนเฉอนของโบลทหามเกน 37 เมกะนวตน/ตารางเมตร 2. เพลาตนสองอนท าจากวสดตางกน คอ เพลาอะลมเนยมมขนาดเสนผาศนยกลาง 80 มลลเมตร ยาว 6 เมตร มคา G เทากบ 34 จกะนวตน/ตารางเมตร และเพลาเหลกมเสนผาศนยกลาง 65 มลลเมตร ยาว 3 เมตร มคา G เทากบ 81 จกะนวตน/ตารางเมตร ปลายทงสองยดกบผนง ตรงชวงตอเพลามทอรกเทากบ 2.6 กโลนวตนเมตร จงค านวณหาความเคนเฉอนสงสดในเพลาอะลมเนยมและเพลาเหลก

154



1. หนาแปลนยดเพลาดวยโบลทขนาด 35 มลลเมตร จ านวน 6 ตว แนวยดโบลทมขนาดเสนผาศนยกลาง 150 มลลเมตร จงค านวณหาทอรกทหนาแปลนรบได ถาความเคนเฉอนของโบลทหามเกน 37 เมกะนวตน/ตารางเมตร วธท า


dnT

2


4

035.06T 6

2

= 16019.177 N.m ตอบ ทอรกทหนาแปลนรบไดเทากบ 16019.177 นวตนเมตร 2. เพลาตนสองอนท าจากวสดตางกน คอ เพลาอะลมเนยมมขนาดเสนผาศนยกลาง 80 มลลเมตร ยาว 6 เมตร มคา G เทากบ 34 จกะนวตน/ตารางเมตร และเพลาเหลกมเสนผาศนยกลาง 65 มลลเมตร ยาว 3 เมตร มคา G เทากบ 81 จกะนวตน/ตารางเมตร ปลายทงสองยดกบผนง ตรงชวงตอเพลามทอรกเทากบ 2.6 กโลนวตนเมตร จงค านวณหาความเคนเฉอนสงสดในเพลาอะลมเนยมและเพลาเหลก วธท า


22

11

11

JG

LT

JG

LT


s

49

a

065.01081

326.2T

080.01034

326T


326065.01081

080.01034326.2TT

49

49s

a

sa T417.0T

155


จาก 0Mx จะได 0TTT sa แทนคา 02600TT417.0 ss

417.1

2600Ts

= 1834.86N.m และ Ta = 0.417×1834.86 = 765.137 N.m


T16

จะได 3

a080.0

137.76516

= 7610958.48 N/m2 = 7.61 MN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดในเพลาอะลมเนยมเทากบ 7.61 เมกะนวตน/ตารางมลลเมตร

3

s065.0

86.183416

= 34027729.61 N/m2 = 34.03 MN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดในเพลาเหลกเทากบ34.03 เมกะนวตน/ตารางเมตร

156



1. เพลาตนสองอนท าจากวสดตางกน คอ เพลาทองแดงมขนาดเสนผาศนยกลาง 45มลลเมตร ยาว 1.5 เมตร มคา G เทากบ 42 จกะนวตน/ตารางเมตร และเพลาเหลกมเสนผาศนยกลาง 35 มลลเมตร ยาว 0.5 เมตร มคา G เทากบ 81 จกะนวตน/ตารางเมตร ปลายทงสองยดกบผนง ตรงชวงตอเพลามทอรกเทากบ 3.4 กโลนวตนเมตร จงค านวณหาความเคนเฉอนสงสดในเพลาทองแดงและเพลาเหลก 2. หนาแปลนยดเพลาดวยโบลทขนาด 18 มลลเมตร จ านวน 4 ตว แนวยดโบลทมขนาดเสนผาศนยกลาง 45 มลลเมตร จงค านวณหาทอรกทหนาแปลนรบได ถาความเคนเฉอนของโบลทหามเกน 52 เมกะนวตน/ตารางเมตร

157



1. เพลาตนสองอนท าจากวสดตางกน คอ เพลาทองแดงมขนาดเสนผาศนยกลาง 45มลลเมตร ยาว 1.5 เมตร มคา G เทากบ 42 จกะนวตน/ตารางเมตร และเพลาเหลกมเสนผาศนยกลาง 35 มลลเมตร ยาว 0.5 เมตร มคา G เทากบ 81 จกะนวตน/ตารางเมตร ปลายทงสองยดกบผนง ตรงชวงตอเพลามทอรกเทากบ 3.4 กโลนวตนเมตร จงค านวณหาความเคนเฉอนสงสดในเพลาทองแดงและเพลาเหลก วธท า


22

11

11

JG

LT

JG

LT


s

49

a

035.01081

325.0T

045.01042

325.1T


325.1035.01081

045.01042325.0TT

49

49s

a

sa T472.0T จาก 0Mx จะได 0TTT sa แทนคา 03400TT472.0 ss

472.1

3400Ts

= 2309.78 N.m และ Ta = 0.472×2309.78 = 1090.22 N.m


T16

จะได 3

a045.0

22.109016

= 60932179.6 N/m2 = 60.93 MN/m2

158


ตอบ ความเคนเฉอนสงสดในเพลาทองแดงเทากบ 60.93 เมกะนวตน/ตารางมลลเมตร

3

s035.0

78.230916

= 274369981.2 N/m2 = 274.37 MN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดในเพลาเหลกเทากบ274.37 เมกะนวตน/ตารางเมตร 2. หนาแปลนยดเพลาดวยโบลทขนาด 18 มลลเมตร จ านวน 4 ตว แนวยดโบลทมขนาดเสนผาศนยกลาง 45 มลลเมตร จงค านวณหาทอรกทหนาแปลนรบได ถาความเคนเฉอนของโบลทหามเกน 52 เมกะนวตน/ตารางเมตร วธท า


dnT

2


4

018.04T 6

2

= 1190.915 N.m ตอบ ทอรกทหนาแปลนรบไดเทากบ 11909.915 นวตนเมตร

159



161

แผนการสอน หนวยท 6 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 10 ชอหนวย แรงเฉอนและโมเมนตดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. ชนดของคาน 2. ชนดของแรงทกระท าบนคาน 3. แรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคาน สาระส าคญ 1. ชนดของคานสามารถแบงออกได 6 แบบ ไดแก คานชวงเดยวหรอคานแบบงาย คานชวงเดยวปลายยน คานยดแนน คานแบบปลายหนงยดแนนปลายหนงยดหมนและคานแบบตอเนอง 2. ชนดของแรงหรอน าหนกทกระท าบนคานสามารถแบงไดเปน 4 แบบ คอ แรงทกระท าเปนจด แรงทกระท าบนคานแบบกระจาย แรงคควบหรอโมเมนตและแรงรวม 3. เมอคานไดรบแรงหรอน าหนกและโมเมนตดดจะท าใหเกดความเคนขนภายในคาน หากเกดความเคนมากเกนไปกจะท าใหคานเกดความเสยหายได จงจ าเปนทจะตองหาแรงและโมเมนตดดทเกดขน โดยใชสมการสมดลทางสถตยศาสตร วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถบอกชนดของคานไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถบอกชนดของแรงทกระท าบนคานไดอยางถกตอง 3. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาแรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคานไดอยางถกตอง

162


เนอหาสาระ 1. ชนดของคาน คาน ( beam ) หมายถงสวนตาง ๆ ของโครงสรางทถกกระท าดวยแรงหรอน าหนกตามขวางทมทศทางตงฉากกบแนวแกนของทอนวสดหรอโมเมนตของแรงคควบทอยในระนาบเดยวกน

ชนดของคาน

ชนดของคานสามารถแบงออกไดหลายชนดดงตอไปน

1.คานชวงเดยวหรอคานแบบงาย ( simple beam or simply supported ) คอ คาน ทมจดรองรบทปลายทงสองเปนแบบยดหมน โดยดานหนงเปนแบบลกกลงและปลายอกดานหนงเปนแบบหมด (คมมด) ทจดรองรบแตละแหงของคานจะเกดแรงปฏกรยาเทานน แตจะไมมโมเมนตเกดขน ดงในรปท 1

รปท 1 คานชวงเดยวหรอคานแบบงาย 2. คานยน ( cantilever beam ) คอคานทมปลายดานหนงเปนอสระ สวนปลายอก ดานหนงมจดรองรบแบบฝงแนนหรอยดแนนจนกระทงไมสามารถจะหมนได ฉะนนปลายทถกยดแนนนนจะเกดทงแรงปฏกรยาและโมเมนตขน ดงรปท 2

163


รปท 2 คานยน

3. คานชวงเดยวปลายยน ( overhanging beam ) คอคานทวางอยบนจดรองรบทงสองคลายคานชวงเดยว แตจะมสวนทยนออกจากจดรองรบโดยจะยนออกขางเดยวหรอทงสองขางกได ดงรปท 3

รปท 3 คานชวงเดยวปลายยน

4. คานยดแนน ( fixed – ended beam ) คอคานทมปลายทงสองขางคานเปนแบบยดแนนหรอฝงแนน ท าใหแตละขางเคลอนทหรอหมนไปจากสภาพเดมไมได ดงรปท 4

164


รปท 4 คานยดแนน

5. คานแบบปลายหนงยดแนนอกปลายหนงยดหมน ( propped beam ) คอ คานยนทปลายอสระของคานจะมจดรองรบอย เพอเพมความแขงแรงมาขนดงรปท 5

รปท 5 คานแบบปลายหนงยดแนนอกปลายหนงยดหมน

6. คานตอเนอง ( continuous beam ) คอคานทมจดรองรบมากกวาสองแหงขนไป หรอมชวงของคานตงแตสองชวงขนไปดงรปท 6

165


รปท 6 คานตอเนอง

คานทง 6 ชนดทกลาวมาแลวยงสามารถแบงไดอก 2 ประเภท 1. คานแบบหาคาไดทางสถตยศาสตร (statically determinate beam ) คอคานทสามารถหาคาแรงปฏกรยาทไมรคาได โดยการใชสมการของการสมดลอยางเดยวกหาคาได คานแบบนไดแก คานชวงเดยว คานยน และคานชวงเดยวปลายยน

2. คานแบบหาคาไมไดทางสถตยศาสตร ( statically indeterminate beam ) คอคานทไมสามารถหาคาของแรงปฏกรยาทไมรคาไดโดยใชสมการของการสมดลเพยงอยางเดยว จ าเปนตองใชสม การอนเขามาชวยจงจะหาแรงปฏกรยาของคานนนไดตามตองการ คานแบบนไดแก คานแบบมปลายขางหนงยดแนนอกปลายหนงยดหมน คานแบบมปลายทงสองยดแนน และคานตอเนอง เปนตน

2. ชนดของแรงหรอน าหนกทกระท าบนคาน

เราสามารถแบงการพจารณาชนดของแรงหรอน าหนกทกระท าบนคานไดเปน 4 แบบคอ

1. แรงทกระท าเปนจด ( concentrated load or point load ) เปนแรงหรอน าหนกทกระท าบนพนททมขนาดเลกมาก ซงถอไดวาเปนจดไดดงรปท 7

166


รปท 7 แรงทกระท าเปนจด

2. แรงทกระท าบนคานแบบกระจาย ( distributed load ) เปนแรงหรอน าหนกทกระท าบนพนทหนงหรอทงหมดของคานนน แบงการพจารณาไดเปน 2 แบบคอ

ก. แรงทกระจายสม าเสมอ ( uniformly distributed load ) เขยนยอได วา UDL โดยแรงนจะกระท าอยางสม าเสมอหรอกระจายอยางสม าเสมอตลอดพนทนนดงรปท 8

รปท 8 แรงทกระจายสม าเสมอ

ข. แรงทกระจายไมสม าเสมอ ( non – uniformly distributed load )

รปท 9 แรงทกระจายไมสม าเสมอ

167


3. แรงคควบหรอโมเมนต ( couple or moment ) เปนแรงทพยายามจะท าใหเกดการหมนบนคานนนดงรปท 10

รปท 10 แรงคควบหรอโมเมนต

4. แรงรวม ( combined load ) เปนแรงทรวมกนระหวางแรงเปนจดกบแรงกระจายทกระท าบนคาน หรอแรงคควบ หรอโมเมนต หรอแรงทงสามประเภทรวมกนกไดดงรปท 11

รปท 11 แรงรวม

168


3. แรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคาน

เมอคานถกกระท าดวยแรงหรอน าหนกและโมเมนตดดภายนอก จะท าใหเกดความเคนขนภายในคาน ในการทจะหาขนาดของความเคนทหนาตดใด ๆ ของคาน จงจ าเปนทจะตองสามารถค านวณหาแรงและโมเมนตดดทเกดขนทหนาตดนนใหไดเสยกอนโดยการใชสมการของการสมดลทางสถตยศาสตร

แรงเฉอน ( shearing force ) คอแรงทจะท าใหคานทรบแรงนถกเฉอนขาดในแนวดงปกตแลวแรงเฉอนนจะมผลตอการเฉอนขาดของวสดทใชท าคานในงานโครงสรางตาง ๆ มาก

โมเมนตดด ( bending moment ) คอโมเมนตดดทเกดขนอนเนองจากแรงเฉอนทกระท าตอคาน โมเมนตดดนเองทจะพยายามใหคานทรบแรงเฉอนนนโคงงอจนไมสามารถทจะใชงานตอไปไดอก

ไดอะแกรมของแรงเฉอน ( shear force diagram ) เขยนยอวา SFD คอแผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางแรงเฉอนกบความยาวของคานโดยมจดทางดานซายมอของคานเปนจดเรมตนคาทางแกน x จะเปนระยะทางทวดไปตามความยาวของคานนน ตงแตทางดานซายมอจนถงทางดานขวามอ สดของคานนน และคาทางแกน y จะเปนคาของแรงเฉอนในแนวดงทหนาตดใด ๆ ของคานนน

ไดอะแกรมของโมเมนตดด ( bending moment diagram ) เขยนยอวา BMD คอแผนภาพทแสดงความสมพนธระหวางโมเมนตดดกบความยาวของคานนน โดยทมจดทางดานซายมอสดของคานเปนจดเรมตนคาทางแกน x จะเปนระยะทวดไปตามความยาวของคานนน ตงแตทางดานซายมอจนถงทางดานขวามอสดของคานนน และคาทางแกน y จะเปนคาของโมเมนตดดทหนาตดใด ๆ ของคานนน

169


4. เครองหมาย

กรณของแรงเฉอน ในการพจารณาใหพจารณาคานทางดานซายมอสดเปนจดเรมตน แลวคดไปทางดานขวามอของคาน แรงใดทมทศทางขน เชน แรงปฏกรยาของคานชวงเดยวนนใหมเครองหมายเปนบวก ( + ) และแรงใดทมทศทางลงลาง เชน น าหนกหรอแรงทกระท ากบคานใหมเครองหมายเปนลบ ( - ) เครองหมายเหลานจะกลบกนถาหากการพจารณาเรมจากทางดานขวามอไปทางดานซายมอ ดงรป

รปท 12 ทศทางแรงเฉอน

กรณของโมเมนตดด ในการพจารณาเครองหมายของโมเมนตดดนน เราจะพจารณาไดโดยใหโมเมนตดดใดกตามทท าใหคานเกดการแอนหรอโกงงอลงดานลาง คอเกดอาการถกดงไปทางดานลางของคาน หรอเกดอาการถกอดทางดานบนของคาน ใหเปนโมเมนตดดบวก ( +) ไดแก โมเมนตดดของคานชวงเดยว เปนตนดงแสดงในรปท 13

รปท 13 โมเมนตดดของคานชวงเดยว

และถาโมเมนตดดใด ๆ กตามทท าใหคานนนโกงงอขนดานบน คอเกดอาการถกดงทางดานบนของคาน หรอเกดอาการถกอดทางดานลางของคานใหเปนโมเมนตดดลบ ( - ) ไดแก โมเมนตของคานยน เปนตนดงรปท 14

170


รปท 14 โมเมนตของคานยน

สรปเนอหา คานคอชนสวนทรบแรงหรอน าหนกในลกษณะตงฉาก คานจะเกดการดด คานแบงออกเปน 2 ชนด คอแบบหาคาไดทางสถตยศาสตร และคานแบบหาคาไมไดทางสถตยศาสตร ในบทนจะหาแบบแรกกอน ในขนแรกเราจะก าหนดเครอง หมายของการดดกอน แรงทดดคานใหโคงลง เราจะใหคาลบ และแรงทดดคานแอนขนเราจะใหคาบวก

“แรงเฉอนของคาน Shearing force(SF) ทจด ๆ หนงบนคานภายใตแรงคอ ผลรวมทางพชคณตของแรงในแนวดงรวมจากดานซายมอ หรอขวามอกไดมายงจดนน (คาทออกมาจะเทากน) “โมเมนตดด (BM) ทจดหนงบนคานภายใตแรง คอ ผลรวมทางพชคณตของโมเมนตของแรงในแนวดงรอบจด ๆ นน คดจากดานซายมอหรอดานขวามอมายงจดนน”

171



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร

ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของคานแบบตาง ๆ และแรงทมากระท ากบคานแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 6 3. อธบายประกอบแผนใส 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 6 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป


สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 6 2. รปภาพ 1 ถง 14

172



173



1. จากภาพตอไปนเปนคานแบบใดจงอธบาย

2. คานแบบชวงเดยวปลายยนเปนอยางไรจงอธบาย 3. จากภาพเปนคานชนดใดจงอธบายมาใหระเอยด

4. ชนดของแรงหรอน าหนกทกระท าบนคานมกแบบอะไรบางจงอธบาย 5. แรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคานหมายถงอะไรจงอธบาย

174



1. จากภาพตอไปนเปนคานแบบใดจงอธบาย

ตอบ คานชวงเดยวหรอคานแบบงาย ( simple beam or simply supported ) คอ คาน ทมจดรองรบทปลายทงสองเปนแบบยดหมน โดยดานหนงเปนแบบลกกลงและปลายอกดานหนงเปนแบบหมด (คมมด) ทจดรองรบแตละแหงของคานจะเกดแรงปฏกรยาเทานน แตจะไมมโมเมนตเกดขน 2. คานแบบชวงเดยวปลายยนเปนอยางไรจงอธบาย ตอบ คานชวงเดยวปลายยน(overhanging beam)คอคานทวางอยบนจดรองรบทงสอง คลายคานชวงเดยว แตจะมสวนทยนออกจากจดรองรบโดยจะยนออกขางเดยวหรอทงสองขางกได

3. จากภาพเปนคานชนดใดจงอธบายมาใหระเอยด

ตอบ คานยดแนน ( fixed – ended beam ) คอคานทมปลายทงสองขางคานเปนแบบยดแนนหรอฝงแนน ท าใหแตละขางเคลอนทหรอหมนไปจากสภาพเดมไมได

175


4. ชนดของแรงหรอน าหนกทกระท าบนคานมกแบบอะไรบางจงอธบาย ตอบ ชนดของแรงหรอน าหนกทกระท าบนคานไดเปน 4 แบบคอ

1. แรงทกระท าเปนจด ( concentrated load or point load ) เปนแรงหรอน าหนกทกระท าบนพนททมขนาดเลกมาก ซงถอไดวาเปนจดได

2. แรงทกระท าบนคานแบบกระจาย ( distributed load ) เปนแรงหรอน าหนกทกระท าบนพนทหนงหรอทงหมดของคานนน แบงการพจารณาไดเปน 2 แบบคอ

ก. แรงทกระจายสม าเสมอ ( uniformly distributed load ) เขยนยอได วา UDL โดยแรงนจะกระท าอยางสม าเสมอหรอกระจายอยางสม าเสมอตลอดพนทนน

ข. แรงทกระจายไมสม าเสมอ ( non – uniformly distributed load ) 3. แรงคควบหรอโมเมนต ( couple or moment ) เปนแรงทพยายามจะท าใหเกดการหมนบนคานนน 4. แรงรวม ( combined load ) เปนแรงทรวมกนระหวางแรงเปนจดกบแรงกระจายทกระท าบนคาน หรอแรงคควบ หรอโมเมนต หรอแรงทงสามประเภทรวมกนกได 5. แรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคานหมายถงอะไรจงอธบาย ตอบ แรงเฉอน(shearing force)คอแรงทจะท าใหคานทรบแรงนถกเฉอนขาดในแนวดงปกตแลวแรงเฉอนนจะมผลตอการเฉอนขาดของวสดทใชท าคานในงานโครงสรางตาง ๆ มาก

โมเมนตดด ( bending moment ) คอโมเมนตดดทเกดขนอนเนองจากแรงเฉอนทกระท าตอคาน โมเมนตดดนเองทจะพยายามใหคานทรบแรงเฉอนนนโคงงอจนไมสามารถทจะใชงานตอไปไดอก

176



178


หวขอเรอง 1. แผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคาน

2. ความสมพนธระหวางแรงเฉอนโมเมนตดดและน าหนก

สาระส าคญ 1. แผนภาพแรงเฉอน คอการเขยนกราฟของแรงเฉอนโดยใชแกน x แทนต าแหนงความยาวของคาน สวนขนาดของแรงเฉอนจะแสดงคาดวยแกน y การหาแรงปฏกรยาทจดรองรบจะใชสมการ 0M ส าหรบคานทกชนด ยกเวนแบบคานยน สวนสมการ 0Fy ใชกบคานอยางงายและคานแบบชวงเดยวปลายยน และการหาคาแรงเฉอนในแตละชวงหาไดโดยการใชสมการ

L

yFV 2. แผนภาพโมเมนตดด คอ การเขยนกราฟโมเมนตดดโดยใชแกน x แทนต าแหนงความยาวของคาน สวนขนาดของแรงเฉอนจะแสดงคาดวยแกน y การแบงสวนตดของคานท าแบบเดยวกนกบแรงเฉอน และการหาโมเมนตดดในแตละชวง หาโดยใชสมการ

LMM

3. ความสมพนธระหวางแรงเฉอนโมเมนตดดและน าหนกจะชวยลดความยงยากในการเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดดทมความยงยาก วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถเขยนแผนภาพแรงเฉอนและค านวณหาคาแรงเฉอนในแตละชวงไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถเขยนแผนภาพโมเมนตดดและค านวณหาคาโมเมนตดดในแตละชวงไดอยางถกตอง 3. เพอใหผเรยนสามารถเขยนแผนภาพแรงเฉอนและโมเมนตดด โดยใชหลกความสมพนธระหวางแรงเฉอนโมเมนตดดและน าหนกไดอยางถกตอง

179


เนอหาสาระ 1. แผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดภายในคาน

การทจะหาแรงเฉอนและโมเมนตดดในคานทรองรบแบบคานชวงเดยวหรอคานชวงเดยวปลายยนนน จ าเปนจะตองหาแรงปฏกรยาทรองรบของคานกอนเสมอ ดงนนคาแรงปฏกรยาทค านวณไดจะตองเปนคาทถกตอง มฉะนนจะท าใหการหาคาแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานนนผดพลาดตามไปดวย สวนคานแบบคานยนนนไมจ าเปนจะตองหาคาแรงปฏกรยาทเกดขน ในกรณของคานชวงเดยวหรอคานชวงเดยวปลายยน แรงปฏกรยาแตละตวจะหาไดโดยการหาโมเมนตรอบจดรองรบ [ M = 0 ] แลวใชผลรวมของแรงปฏกรยาเทากบแรงทกระท ากบคานหรอน าหนกทกระท ากบคาน [ 0Fy ] กจะหาคาแรงปฏกรยาทกระท ากบจดรองรบของคานไดตามตองการ ซงจะสามารถหาแรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทหนาตดนนไดโดยใชสมการสถตยศาสตร

พจารณาคานซงถกกระท าดวยแรง F1,F2 และ F3 โดยแรง RA และ RB เปนแรงปฏกรยา ณ ทจดรองรบ ซงเราสามารถทจะหาไดจากสมการ M = 0 และ 0Fy ให V คอแรงเฉอน และ M คอโมเมนตดดทหนาตดระยะทาง x จากทจดรองรบ A ซงเปนคาทตองการจะหา โดยใหคานถกตดออกทหนาตดนนซงจะท าใหเกดแรงเฉอนและโมเมนตดดขน ดงรป free body ในการทคานนจะอยในสภาพสมดลได แรงรวมตามแนวดงจะตองเปนศนย ซงจะได

V+ F1 +F2 – RA = 0

V - RA –F1 –F2

โมเมนตดดรวมทหนาตดตองเทากบศนย จะไดสมการ

M + F1 ( x – a ) + F 2 ( x – b ) – RA x = 0

M - RA x - F1 ( x – a ) - F 2 ( x – b )

180


คาของแรงเฉอน V และโมเมนตดด M จากสมการ 1 และ 2 นส าหรบอยในชวง b<x<c< เทานน ถาตองการทราบคาของแรงเฉอนและโมเมนตดดทหนาตดอนซงจ านวนแรงทมากระท าตอคานกจะเปลยนไป กใหตด free body ทหนาตดนน แลวจงใชสมการการสมดลทางสถตยศาสตรอก

เมอไดคาแรงเฉอนและโมเมนตดดของแตละชวงแลวกสามารถน าไปเขยนกราฟของแรงเฉอนและโมเมนตดดได โดยใหแกน x แทนต าแหนงของหนาตดของคาน สวนขนาดของแรงเฉอนและโมเมนตดดจะแทนไดดวยแกน y ฉะนนแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดจงเปนการแสดงถงการเปลยนแปลงขนาดของแรงเฉอนและโมเมนตดดทหนาตดใด ๆ ไปตามความยาวของคาน จากแผนภาพของแรงเฉอนและโมเมนตดดทไดกจะท าใหทราบคาสงสดของแรงเฉอนและโมเมนตดดทเกดขนในคานนน ตลอดจนต าแหนงทเกดคาสงสดเหลานดวย ซงจะเปนประโยชนในการทจะค านวณหาความเคนดดและความเคนเฉอนในความตอไป

ต าแหนงรบแรงเฉอนมากทสด ในการหาคาและต าแหนงของแรงเฉอนสงสดนนจะตองสรางแผนภาพของแรงเฉอน ทงนเพราะไมมวธการค านวณวธใดทจะบอกไดวาแรงเฉอนสงสดทเกดขนจะเกด ณ ทใดของคานนน แตโดยทว ๆ ไปแลวมกจะเกดขนทบรเวณจดรองรบของคานนนเปนสวนใหญ 2. ต าแหนงรบโมเมนตดดสงสด

ในการทจะหาความเคนดดในคานมความจ าเปนทจะตองใชคาโมเมนตดดทมขนาดสงสด ( คาเปนบวกหรอลบมากทสด ) ต าแหนงทขนาดของโมเมนตดดสงสด อาจจะหาไดโดยการใชขอสงเกตดงตอไปน

1. คาโมเมนตดดสงสดจะเกดขน ณ ต าแหนงทมคาของแรงเฉอนเปลยนจากบวกมาเปนลบ

2. คาโมเมนต ดดต าสดจะเกดขน ณ ต าแหนงทมคาของแรงเฉอนเปลยนจากลบมาเปนบวก

3. ในกรณทสมการของโมเมนตดดเปนฟงกชนตอเนองของ x ตลอด โมเมนตดด

สงสดและโมเมนตดดต าสดจะเกดเมอ 0dX

dM..0V

181


4. ในกรณทมแรงกระท าเปนจดอยดวย ขนาดสงสดของโมเมนตดดจะเกดขน ณ ทใดทหนงของแรงทกระท าเปนจด ทงนยกเวนคานแบบยน

5. ขนาดสงสดของโมเมนตดดในคานแบบยน จะเกดทปลายของคานซงถกยดแนน 3. จดดดกลบ ( Point of inflection )

จดดดกลบในคานคอจดบนเสนโคงอลาสตก ทโมเมนตดดเปลยนเครองหมายซงจะตรงกบจดทตดกบแกน x ของแผนภาพของโมเมนตดด จดดดกลบจะเกดขนเมอคานนนถกกระท าทงโมเมนตดดชนดบวกและลบ ซงไดแก คานชวงเดยวปลายยน ส าหรบคานชวงเดยวและคานยนจะไมมจดดดกลบเกดขน

ความสมพนธระหวางแรงเฉอน (V ) , โมเมนตดด ( M ) และน าหนก ( w )

ในคานทมแรงหรอน าหนกทยงยากมากขน การค านวณและการสรางแผนภาพของแรงเฉอนและของโมเมนตดดจะยงยากและเสยเวลามาก ดงนนถารถงความสมพนธระหวางแรงหรอน าหนกบนคานแรงเฉอนและโมเมนตดด กนบวาสะดวกและเปนประโยชนมากตอการสรางแผนภาพและการระบต าแหนงหนาตดของคานทมคาโมเมนตดดสงสดไดดวย


คานคอชนสวนทรบแรงหรอน าหนกในลกษณะตงฉาก คานจะเกดการดด คานแบงออกเปน 2ชนด คอแบบหาคาไดทางสถตยศาสตร และคานแบบหาคาไมไดทางสถตยศาสตร ในบทนจะหาแบบแรกกอน ในขนแรกเราจ าก าหนอเครองหมายของการดดกอน แรงทดดคานใหโคงลง เราจะใหคาลบ และแรงทดดคานแอนขนเราจะใหคาบวก ขนตอนการหาคาความเคนดดเรากระท าไดดงน

1. หาแรงปฏกรยา เขยนไดอะแกรมรปอสระ ( F.B.D.) ของคานและหาแรงปฏกรยามา ใหไดกอน ซงแรงจะตองตงฉากกบคาน

182


2. เขยนไดอะแกรมแรงเฉอน ก าหนดแกนของกราฟโดยแรง V อยในแกนตง x ในแนวนอนพลอตคาทรของแรงทกระท า ณ ปลายคานทงสอง โดยตดคานออกทกชวงทมแรงกระท าเปลยนไป แลวใชสมการสมดลหาแรงเฉอนแลว 3. น ามาพลอตกราฟ เขยนไดอะแกรมโมเมนตดด ก าหนดกราฟของโมเมนตดดอยในแนวตง M และแกน X อยในแนวนอนพลอตคาโมเมนต โดยตดคานออกเปนชวงเหมอนกบแรงเฉอน เขยนสมการโมเมนตดดทกหนาตดโดยใชสมการของแรงเฉอนมาพจารณา แลวใชสมการของโมเมนตดดมาหาคาโมเมนตดดสงสด


จงเขยน SFD และ BMD ของคานตอไปนพรอมทงหานขาดและต าแหนงของโมเมนตดดสงสดดวย

วธท า หาแรงปฏกรยา B,A RR

0MA 210R4 B kN5

4

20R B

kN5510RA

183


ทหนาตด 20 x

m.xkN5xRM

kN5RV

A

A

m.kN10)........2(5M,....2x

m.kN0M,....0x

ทหนาตด 4x2

m.kN)2x(10x5M

kN5105V

010M,....m2x m.kN10 )2(10)4(5M,....m4x

m.kN0 ตอบ โมเมนตดดสงสดเทากบ 10 กโลนวตน.เมตร กระท าทต าแหนงหางจากจด A เทากบ 2 เมตร ไปทางขวามอ ตวอยางท 2

จงเขยน SFD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและต าแหนงของโมเมนต ดดสงสดดวย

184


หาแรงปฏกรยา BA R,R 0Ma 8021287R10 A

kN810

80R A

kN118127RB ทหนาตด 20 x

kN8RV A xRM A mkN x = 0 m , M = 0 mkN x = 2 m , M = 8(2) = 16 mkN

ทหนาตด 8x2 V = 8-7 = 1 kN M = 8x-7(x-2) mkN X = 2 m , M = 8(2)-7(10) = 1 mkN

X = 8 m , M = 8(8) – 7 (6) = 22 mkN ทหนาตด 8 x 10 V = 8 – 7 – 12 = -11 kN M = 8x – 7 ( x- 2 ) –12 ( x – 8 ) mkN X =8 m , M =8 ( 8 )– 7( 6 ) – 12 ( 0 ) = 22 mkN X =10 m , M =8 ( 10 )– 7( 8 ) – 12 ( 2 ) = 0 mkN โมเมนตดดสงสดเทากบ 22 กโลนวตน . เมตร

ตอบ กระท าทต าแหนงหางจากจด A เทากบ 8 เมตร ไปทางขวามอ

185


กจกรรมการเรยนการสอน ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร

ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของคานแบบตาง ๆ และแรงทมากระท ากบคานแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 6 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 6 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป


สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 6

186



187



1. จงเขยน FBD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและต าแหนงของโมเมนตดดสงสดดวย

2. จงเขยน SFD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและโมเมนตสงสดดวย

188



1. จงเขยน FBD และ BMD ของคานตอไปน พรอมทงหาขนาดและต าแหนงของโมเมนตดดสงสดดวย

วธท า หาแรงปฏกรยา BA R,R

0MA )425()125(R5 B kN25

5

125R B

kN25252525RA ทหนาตด 1x0 ทหนาตด 4x1 kN25RV A

kN0252525RV A m.xkN25xRM A m.kN)1x(25x25M m0x m.kN0M m1x m.kN25)0(25)1(25M 1x m.kN25)1(25M m4x m.kN25)3(25)4(25M


kN25252525V m.kN)4x(25)1x(25x25M m4x m.kN250)3(25)4(25M m5x m.kN0)1(25)4(25)5(25M

ตอบโมเมนตดดสงสดคอ 25 กโลนวตนเมตร กระท าหางระยะ A เทากบ 1 เมตร

189



วธท า หาแรงปฏกรยา BA R,R )6416()248(R8.....0M BA kN56

8

448R B

kN4056)416()48(RA ทหนาตด 4x0 xkN8RV A ,m0x kN40RV A m4x kN8)4(840V

m.kN2

x8xRM

2

A


kN)4x(163240V ,m4x kN8)0(163240V ,m8x kN56)4(163240V

m.kN)4x(2

16)2x(32x40M 2

,m4x m.kN96)0(8)2(32)4(40M ,m8x m.kN0)4(8)6(32)8(40M 2

โมเมนตดดสงสดทเกดขนท SF=0 0)4x(163240

72x16 m5.4

16

72x

2max )5.0(8)5.2(32)5.4(40M

ตอบโมเมนตดดสงสด m.kN98 กระท าทจดหางจาก A ไปทางขวามอเทากบ 4.5 เมตร

190





191





)810()520(R10.....0M BA kN18

10

180R B

kN12181020RA ทหนาตด 5x0 kN12RV A

m.xkN12M ,m0x m.kN0M m5x m.kN60)5(12M

ทหนาตด 8x5 ทหนาตด 10x8

kN82012V kN18102012V m.kN)5x(20x12M m.kN8x10)5x(20x12M

,m5x m.kN60)0(20512M ,m8x m.kN36010)3(20812M ,m8x m.kN36)3(20812M ,m10x m.kN0210)5(201012M

ตอบโมเมนตดดสงสด m.kN60 กระท าทจดหางจาก A ไปทางขวามอเทากบ 5 เมตร

192




103

21510

2

1R10.....0M BA

kN5010

500R B

kN255015102

1R A

ทหนาตด 10x0 แรงทงหมดทกระท ากบคานในระยะ x

kNx4

3

10

x15x

2

1 2

kNx4

325x

4

3RV

22

A

,m0x kN25025V ,m10x kN5010

4

325V

2

3

xx

4

3x25M

2 โมเมนตดดมคาสงสดท SF = 0

4

xx25

3

จาก 0x4

325V

2

,m0x m.kN0M 25x4

3 2

,m10x m.kN4

101025M

3

m77.53

425x

m.kN22.964

77.577.525M

3

max

ตอบโมเมนตดดสงสด m.kN22.96 กระท าทจดหางจาก A ไปทางขวามอเทากบ 5.77 เมตร

193



195

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. การหาคาความเคนทเกดขนในคาน 2. ความสมพนธระหวางความเคนดดกบโมเมนตดด สาระส าคญ 1. การพจารณาหาคาความเคนทเกดขนในคาน ใหตดสวนหนงของคานออก ผวดานบนจะเกดความเคนอด สวนดานลางจะเกดความเคนดง ระหวางสวนบนกบสวนลางจะมชนทไมเกดแรงดงและแรงอดเรยกวา แนวแกนสะเทน การหาคาความเคนทเกดขนในคานหาไดจาก สตร

Ey

2. เมอคานเกดความเคนดดคานกจะเกดโมเมนตดดเกดขนดวย จงเกดความสมพนธระหวางความเคนดดกบโมเมนตดดขน ดงนนการหาคาความเคนดดและโมเมนตดด สามารถหาไดจาก

สตร Z

M

วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนทเกดขนในคานไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนดดและโมเมนตดดโดยใชความสมพนธระหวางความเคนดดกบโมเมนตดดไดอยางถกตอง

196


เนอหาสาระ 1. ความเคนดดในคาน ( Bending stress in beam ) เมอคานถกแรงภายนอกมากระท าหรอคานรบน าหนกไว จะท าใหเกดมแรงตานทานเกดขนในคานนน ผลของแรงภายนอกและแรงคควบทมากระท ากบคาน โดยทวไปจะท าใหเกดแรงปฏกรยาดงน

1) ความเคนดด (bending stress) เกดขนทหนาตดของคานทตงฉากกบแกนตาม ความยาวของคานนน 2) ความเคนเฉอน (shearing stress) กจะเกดขนทหนาตดของคานทตงฉากกบตามความยาวของคานนนดวย

3) การโกงของคาน (defection) ซงจะกระท าตงฉากตามความยาวของคานนน 1.1 ความเคนดดลวน (Pure bending) ความเคนดดลวน คอคานหรอสวนของคานทถกกระท าดวยแรงคควบหรอโมเมนตดดทปลายทงสองขางโดยไมมแรงอนเลย จะท าใหแรงเฉอนมคาเปนศนยตลอดทงคาน ซงจะท าใหเกดความเคนดดเพยงอยางเดยว ดงรปท 1

รปท 1 ความเคนดดลวน

197


1.2 ความเคนดดธรรมดา ( Ordinary bending ) ความเคนดดธรรมดา คอคานทรบแรงหรอน าหนกตามแนวตงฉากกบแนวของคานนน ซงจะมผลท าใหเกดทงความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน เนองจากวามทงแรงเฉอนและโมเมนตดดเกดขนทหนาตดของคานนน ดงรปท 2

รปท 2 ความเคนดดธรรมดา

ขอสมมตฐานทใชในการหาคาความเคนดดทเกดขนในคาน

1. กอนทจะมแรงมากระท ากบคานนน คานจะตองมลกษณะตรงอยเสมอตลอดคาน 2. คานทใชจะตองท ามาจากวสดทเปนเนอเดยวกนตลอดทงคาน 3. ความเคนทเกดขนในคาน จะตองมขนาดไมเกนคาขดจ ากดความยดหยนของคานทจะ

รบได 4. คาโมดลสของความยดหยน ทงทดานรบความเคนดงและรบความเคนอดในคาน

จะตองมคาเทากนเสมอระนาบหนาตดของคานทงกอนและหลงการพจารณา จะตองเปนระนาบหนาตดเดมเสมอ 5. ความโกงของคานทเกดขนจะตองมคานอยมากเมอเทยบกบความยาวของคานนน

198


ใหพจารณาคานตรงทมคาโมเมนตดดมากระท าทปลายคานทง 2 ขาง ซงจะท าใหคาน

เกดการโคงงอขน ถาตองการหาคาของความเคนดดทเกดขนในคานใหท าการดดสวนหนงของคานออกมายาวเทากบ dx ดงรป เนองจากผลของการดดจะท าใหผวดานบนของคานเกดความเคนอด สวนผวทางดานลางจะเกดความเคนดง ในระหวางดานบนและดานลางของคานจะมชนทไมยดตวและหดตว ซงความเคนทเกดขนในชนนจะมคาเปนศนย เราเรยกแนวทความเคนมคาเปนศนยนวา แนวแกนสะเทน (neutral axis) ในทนกคอคาแนว ab ซงมคาเทากบความยาวของ dx ก าหนดให p เปนรศมของความโคงของคานทถกดดจากแนวแกนสะเทน และใหพจารณาคานทชนใด ๆ ce ซงอยหางจากแนวแกนสะเทนเปนระยะทาง y ลากเสน bd ขนานกบ oc จะไดวา ab=cd=dx

สวนทยดออกของคานในชนนกคอ de

ความเครยด dx

de)(

แต ddx และ ddbe ydde

y

d

yd

แตความเครยด E

y

E หรอ

E

y

Ey

รปท 3 ความเคนทเกดขนในคาน

199


ตอไปพจารณาหนาตดของคานดงรปท 3 ความเคนบนหนาตดทระยะ y จาก แนวแกนสะเทน

yE

ถาให เปนพนทเลก ๆ ซงอยหางจากแนวแกนสะเทนเปนระยะทาง y เนองจาก รปท 6-4 แรง = ความเคน พนท

dAyE

dAdF

โมเมนตของแรงนรอบแกนสะเทน

dAy

EydAy

ErdFM 2

dAy

EM 2

IE

M

เมอ dAyI 2 เปนโมเมนตของความเฉอย (moment of inertia) ของรปหนาตด

ของคานรอบแกนสะเทนนน โมเมนตของแรงนรอบแกนสะเทน

dAy

EydAy

ErdFM 2

dAy

EM 2

dAy

EM 2

200


IE

M

เมอ dAyI 2 เปนโมเมนตของความเฉอย (moment of inertia) ของรปหนา

ตดของคานรอบแกนสะเทนนน แต y

E

ฉะนน yI

M ; y

I

M

ถาให c เปนระยะจากแนวแกนสะเทนของหนาตดนน ไปยงขอบบนสดและลางสด ของหนาตดของคานนน เรากจะไดความสมพนธวา

c

IM

หรอ c

I

M

คาของ c

I ในสตรขางตนเรยกวา โมดลสหนาตดและใชสญลกษณเปน Z

จะไดสมการ z

M

สรปเนอหา ความเคนดดลวน (Pure bending) ความเคนดดลวน คอคานหรอสวนของคานทถกกระท าดวยแรงคควบหรอโมเมนตดดทปลายทงสองขางโดยไมมแรงอนเลย จะท าใหแรงเฉอนมคาเปนศนยตลอดทงคาน ซงจะท าใหเกดความเคนดดเพยงอยางเดยว ความเคนดดธรรมดา (Oridinary bending) ความเคนดดธรรมดา คอคานทรบแรงหรอน าหนกตามแนวตงฉากกบแนวของคานนน ซงจะมผลท าใหเกดทงความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน เนองจากวามทงแรงเฉอนและโมเมนตดดเกดขนทหนาตดของคานนน

201


คานเมอถกโมเมนตดดกระท าจะเกดความเคนดดขนในคาน เรยกวา Bending Stress มทงความเคนดงและความเคนอด

สตรทใชพจารณาความเคนนคอ I

Mc เรามขนตอนการวเคราะหดงน

1. หาคาโมเมนตภายใน ท าการตดหนาตดสวนทตงฉากกบแกนความยาวของคาน ณ ต าแหนงซงเกดการดด เราตองรของต าแหนงแกน N.A. เราใชไดอะแกรมของโมเมนตดด หาคาโมเมนตดดสงสดทใชส าหรบหาความเคนดดสงสด

2. ค านวณหาคาโมเมนตความเฉอยของพนทหนาตดรอบแกนสะเทน

หาคาความเคนดดสงสดจากสตร I

Mc

ตวอยางท 1 คานแบบชวงเดยวมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง 100 มลลเมตร สง 150 มลเมตร มแรงกระท า 45 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบขางหนง 1 เมตร จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

วธท า 0MA ; 1*45R3 B

153

45R B kN

301545RA kN

301*301*RM Amax mkN

จากสตร I

Mcmax

9-6

202


เมอ 752

150

2

hc mm 28125000150100

12

1bh

12

1I 33 4mm

แทนคา28125000

751030 6

max

80 2mmN

ตอบ ความเคนดดสงสดในคานเทากบ 80 นวตน / ตารางมลลเมตร

ตวอยางท 2 คานยนอนหนงมความยาว 2 เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ Wกโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 35 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคน ทยอมใหไมเกน 80 2mm

N จงหาขนาดของแรงกระจาย (W) นทคานจะรบได

วธท า

2

wLM

2

max

m.wkN22

2w 2

เมอ mm5.172

35c,mm7574.73661)3(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N80

7574.73661

5.1710w280

6

5.17102

7574.7366180w

6

203


mkN16836.0

mN36.168

ตอบ ขนาดของแรงกระจาย

mN36.168

204



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร

ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของคานแบบตาง ๆ และแรงทมากระท ากบคานแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 7 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 7 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป



205



206



1. คานยน A-B มความยาว 3 เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 48 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 75 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

2. คานดงรปมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง85 มลลเมตร สง100 มลลเมตร มแรงกระท า 50 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

F kN/m

A B

3 m

48 mm

50 kN

1 m 2 m

85 mm

100 mm

207



1. คานยน A-B มความยาว 3 เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 48 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 75 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

วธท า

2

FLM

2

max

m.FkN22

2F 2

เมอ mm962

48c,mm26.260576)48(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N75

26.260576

9610w275

6

96102

26.26057675w

6

mkN10178.0

mN79.101

ตอบ ขนาดของแรงกระจายเทากบ

mN79.101

F kN/m

A B

3 m

48 mm

208


2. คานดงรปมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง85 มลลเมตร สง100 มลลเมตร มแรงกระท า 50 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน วธท า 0MA ; 150R3 B

67.163

50R B kN

33.3367.1650RA kN

33.33133.331RM Amax mkN


Mcmax

เมอ 502

100

2

hc mm 33.708333310085

12

1bh

12

1I 33 4mm

แทนคา33.7083333

501033.33 6

max

27.235 2mmN

ตอบ ความเคนดดสงสดในคานเทากบ 235.27 นวตน / ตารางมลลเมตร

50 kN

1 m 2 m

85 mm

100 mm

209



1. คานดงรปมความยาว 5 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง120 มลลเมตร

สง170 มลลเมตร มแรงกระท า 68 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

2. คานยน A-B มความยาว 4เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 35 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 68 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

68 kN

2 m 3 m

120 mm

170 mm

F kN/m

A B

4 m

35 mm

210



1. คานดงรปมความยาว 5 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง120 มลลเมตร

สง170 มลลเมตร มแรงกระท า 68 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

วธท า 0MA ; 268R5 B

2.275

136R B kN

8.402.2768RA kN

6.8128.402RM Amax mkN


Mcmax

เมอ 852

170

2

hc mm 49130000170120

12

1bh

12

1I 33 4mm

แทนคา49130000

85106.81 6

max

18.141 2mmN

ตอบ ความเคนดดสงสดในคานเทากบ 141.18 นวตน / ตารางมลลเมตร

68 kN

2 m 3 m

120 mm

170 mm

211


2. คานยน A-B มความยาว 4เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 35 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 68 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

วธท า

2

FLM

2

max

m.FkN82

4F 2

เมอ mm5.172

35c,mm76.73661)35(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N68

76.73661

5.1710F868

6

5.17108

76.7366168w

6

mkN03578.0

mN78.35

ตอบ ขนาดของแรงกระจายเทากบ

mN78.35

F kN/m

A B

4 m

35 mm

212



214


หวขอเรอง 1. การหาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตวT 2. การหาคาความเคนดดในดาน สาระส าคญ 1. ในการหาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตวT ตองหาตองหาจดศนยถวงของรปตว T จากนนจงหาโมเมนตความเฉอย โดยใชสตร 2

NA AdII 2. การหาคาความเคนดดในคานม 2 ขนตอน คอ ถาพนทหนาตดสวนบนและสวนลางของแกนสะเทนเทากนความเคนอดและความเคนดงกจะเทากน การหาโมเมนตดดในคานหาไดจากการหาคาโมเมนตของแรงกระท าแลวแทนคาลงในสตรหาความเคนดด วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตวTไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนดดในคานไดอยางถกตอง

215


เนอหาสาระ 1. การหาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตวT

ในกรณทหนาตดของคานไมเปนตามทกลาวมาแลว เชน เปนรปตว T การหาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของหนาตดเหลานน ตองอาศยหลกการยายแกนของโมเมนตของความเฉอย กลาวคอ โมเมนตของความเฉอยของรปตดรอบแกนใดแกนหนงทขนานกบแกนสะเทนจะมคาเทากบโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตดนน บวกดวยผลคณของพนทหนาตดกบก าลงสองของระยะทางทแกนนนหางจากแกนสะเทนดงสมการตอไปน

2.G.C.A.N AdII

เมอ .A.NI . เปนโมเมนตของความเฉอยรอบแกนทตองการหา .G.CI . เปนโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของหนาตดนน A เปนพนทหนาตดของคาน d เปนระยะทางทอยหางจากแกนศนยถวงไปยงแกนทตองการหา วธหาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตว T

รปท 4 โมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของรปตว T

1.หาจดศนยถวงของรปตว T กอน ซงหาไดจากผลรวมของโมเมนตของพนทตาง ๆ หารดวยพนททงหมด

216


จากรปหนาตดตว T แบงออกเปนรปสเหลยมผนผาสองรปคอ รปตงและรปนอน ใหจดศนยถวงของหนาตดหางจากสวนลางสดของคานเปนระยะ y

21

2211

AA

yAyAy

2. หาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนศนยถวงของแตละรปทแบงกอน แลวจงค านวณหา

โมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทน โดยอาศยหลกการยายแกนของโมเมนตของความเฉอย

.A.NI . ของรปนอน = .G.CI ของรปนอน 2Ad .A.NI . ของรปตง = .G.CI ของรปตง 2Ad .A.NI . ของรปทงหมด = .A.NI ของรปนอน+ .A.NI ของรปตง 1.1 การหาต าแหนงของแนวแกนสะเทน

โดยท I ซงเปนคาของโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทน ดงนนจงจ าเปนตองหาต าแหนงของแนวแกนสะเทนของรปหนาตดของคานใหไดเสยกอน

จากการสมดลของแรงในแนวราบ 0Fx 0dAy

0ydAy

y

0ydAy

y

แต y

y ไมเปนศนย แสดงวา ydA จะตองเปนศนย ซงคา ydA คอคาของโมเมนต

ของพนทหนาตดของคานรอบแกนสะเทนเขยนแทนไดดวย yA โดยท y เปนระยะหางจากแกนศนยถวงของรปหนาตดกบแกนสะเทน

217


รปท 5 การหาต าแหนงของแนวแกนสะเทน

ดงนน 0yAydA

แต A ไมเทากบศนย ดง นน y จะตองเปนศนย ซงแสดงวาต าแหนงของแกนสะเทนอยทเดยวกบต าแหนงของแกนศนยถวงของรปหนาตดนน ถาเราทราบคาจดศนยถวงของวตถนนเรากสามารถทจะหาแนวแกนสะเทนได การหาจดศนยถวงของวตถนนกสามารถหาไดจากทศกษามา แลวในกลศาสตรวศวกรรม

1.2 คาโมเมนตของความเฉอยของหนาตดทส าคญ

1. สเหลยมผนผา

bhA 2

hc

12

bhI

3

.A.N

2 . วงกลม

2d4

A

2

dc

218


3. สามเหลยม

2

bhA

3

hc

36

bhI

3

.A.N

4. ครงวงกลม

2

rA

2

3

r4c

4.A.N r110.0I

2. การค านวณหาความเคนในคาน การค านวณหาความเคนในคาน มวธการดงน 1. ถาพนทหนาตดดานบนและสวนลางของแนวแกนสะเทน (NA) มพนทเทากนดงนน ความเคนดงและความเคนอดจะมคาเทากน ใชสตร

Z

M

I

Mcct

2. การหาโมเมนดดในคาน (M) สามารถหาไดจากการค านวณหาพนทรปสวนบนและสวนลางของ Shear Force Diagram (SFD) หรอหาไดจากการค านวณโมเมนตของแรงกระท าแลวแทนคาลงในสตรหาความเคนดด

219



ความเคนดดลวน (Pure bending) ความเคนดดลวน คอคานหรอสวนของคานทถกกระท าดวยแรงคควบหรอโมเมนตดดทปลายทงสองขางโดยไมมแรงอนเลย จะท าใหแรงเฉอนมคาเปนศนยตลอดทงคาน ซงจะท าใหเกดความเคนดดเพยงอยางเดยว ความเคนดดธรรมดา (Ordinary bending) ความเคนดดธรรมดา คอคานทรบแรงหรอน าหนกตามแนวตงฉากกบแนวของคานนน ซงจะมผลท าใหเกดทงความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน เนองจากวามทงแรงเฉอนและโมเมนตดดเกดขนทหนาตดของคานนน คานเมอถกโมเมนตดดกระท าจะเกดความเคนดดขนในคาน เรยกวา Bending Stress มทงความเคนดงและความเคนอด






Mc

220


ตวอยางท 1 คานดงรปมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง100มลลเมตร สง 150 มลลเมตร มแรงกระท า 45 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกด ขนในคาน

วธท า

145R3...............0F B

kN301545R

kN153

45R

A

B

m.kN301301RM Amax จากสตร

I

Mcmax

เมอ 12

150100

12

bhI,mm75

2

150

2

hc

33

4mm28125000I แทนคา

28125000

751030 6

max

2mmN80

ตอบ ความเคนดดสงสดในคาน 2mm

N80

221




วธท า

2

wLM

2

max

m.wkN22

2w 2

เมอ mm5.172

35c,mm7574.73661)3(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N80

7574.73661

5.1710w280

6

5.17102

7574.7366180w

6

mkN16836.0

mN36.168


mN36.168

222



ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของความเคนดดในคานแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 7 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 7 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป



223



224



1. จงหาคาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของคานรปตว T

2. คานมความยาว 3 เมตร หนาตดกวาง 80 มลลเมตร สง 140 มลลเมตร มแรงกระท า 42 กโลนวตน จงค านวณหาความเคนสงสดทเกดในคาน

225




วธท า ก าหนดให

21 mm300020150A

22 mm260020130A

mm14010150y1 mm65

2

130y2

21

2211

AA

yAyAy

แทนคา mm1785.105

26003000

6526001403000y

จาก 2NA AdII

จาก mm8215.341785.105140yyd 11 mm1785.40651785.105yyd 22

2322

NA 1785.4026001302012

18215.34300020150

2

1I

4mm09.11596488 ตอบ คาโมเมนตของความเฉอยรอบแกนสะเทนของคานรปตว T เทากบ 4mm09.11596488

226



วธท า 0MA 142R3 B

kN143

42R B

kN281442RA m.kN281281RM amax จากสตร

I

Mcmax

เมอ 433 mm182933331408012

1bh

12

1I,mm70

2

140

2

hc

แทนคา 26

max mm/N10718293333

701028

ตอบ ความเคนสงสดทเกดในคานเทากบ 107 นวตน/ตารางมลลเมตร

227



1. คานแบบยนรปตว T มขนาดดงรป โดยคานนยาว 2 เมตร อยภายใตแรงแบบกระจายสม าเสมอ ตลอดความยาวมคา w กโลนวตน/เมตร จงหาคาของแรงน เพอจะท าใหความเคนดงสงสดและความเคนอดสงสดมคาไมเกน 45 นวตน/ตารางมลลเมตร และ 120 นวตน/ตารางมลลเมตร

2. คานแบบยนมความยาว 4 เมตร มหนาตดเปนสเหลยมผนผากวาง 120 มลลเมตร สง 360 มลลเมตร รบน าหนกกระท าแบบกระจายสม าเสมอ w เทากบ 4 กโลนวตน/เมตร รวมน าหนกของคานดวย จงหาความเคนดงและความเคนอดทมากทสดของคานน

228




วธท า w2

2

2w

2

wLM

22

max

kN.m

21

2211

AA

yAyAy

2013020150

652013014020150y

1785.105y mm

23

NA 8215.34201502015012

1I

23 1785.401302013020

12

1

4NA mm09.11596488I

จากสตรI

Mc1t

เมอ 2t mm/N45 , mm8215.44c1

แทนคา 09.11596488

8215.4410w245

6

8215.44102

4509.11596488w

6

229


821.5 kN/m


Mc2c

เมอ ,mm/N120 2c mm1785.105c2

แทนคา 09.11596488

1785.10510w2120

6

1785.105102

12009.11596488w

6

615.6 kN/m ตอบ แรง w มคาเทากบ 5.821 กโลนวตน/เมตร 2. คานแบบยนมความยาว 4 เมตร มหนาตดเปนสเหลยมผนผากวาง 120 มลลเมตร สง 360 มลลเมตร รบน าหนกกระท าแบบกระจายสม าเสมอ w เทากบ 4 กโลนวตน/เมตร รวมน าหนกของคานดวย จงหาความเคนดงและความเคนอดทมากทสดของคานน

วธท า 2

wLM

2

max

m.kN322

44 2

เมอ mm1802

360c,mm466560000360120

12

1I 43

I

Mctc

26

mm/N3456.12466560000

1801032

tc เพราะคานมคา 21 cc ตอบ ความเคนดงสงสดเทากบความเคนอดสงสดเทากบ 12.3456 นวตน/ตารางมลลเมตร

230



214




215




2.G.C.A.N AdII




216



21

2211

AA

yAyAy






0ydAy

y

0ydAy

y

แต y



217



ดงนน 0yAydA




bhA 2

hc

12

bhI

3

.A.N

2 . วงกลม

2d4

A

2

dc

218



2

bhA

3

hc

36

bhI

3

.A.N


2

rA

2

3

r4c

4.A.N r110.0I


Z

M

I

Mcct


219









Mc

220



วธท า

145R3...............0F B

kN301545R

kN153

45R

A

B


I

Mcmax

เมอ 12

150100

12

bhI,mm75

2

150

2

hc

33


28125000

751030 6

max

2mmN80


N80

221




วธท า

2

wLM

2

max

m.wkN22

2w 2

เมอ mm5.172

35c,mm7574.73661)3(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N80

7574.73661

5.1710w280

6

5.17102

7574.7366180w

6

mkN16836.0

mN36.168


mN36.168

222






223



224





225





21 mm300020150A

22 mm260020130A

mm14010150y1 mm65

2

130y2

21

2211

AA

yAyAy


26003000

6526001403000y

จาก 2NA AdII

จาก mm8215.341785.105140yyd 11 mm1785.40651785.105yyd 22

2322

NA 1785.4026001302012

18215.34300020150

2

1I


226




kN143

42R B


I

Mcmax

เมอ 433 mm182933331408012

1bh

12

1I,mm70

2

140

2

hc

แทนคา 26

max mm/N10718293333

701028


227





228




วธท า w2

2

2w

2

wLM

22

max

kN.m

21

2211

AA

yAyAy

2013020150

652013014020150y

1785.105y mm

23

NA 8215.34201502015012

1I

23 1785.401302013020

12

1

4NA mm09.11596488I

จากสตรI

Mc1t

เมอ 2t mm/N45 , mm8215.44c1

แทนคา 09.11596488

8215.4410w245

6

8215.44102

4509.11596488w

6

229


821.5 kN/m


Mc2c

เมอ ,mm/N120 2c mm1785.105c2

แทนคา 09.11596488

1785.10510w2120

6

1785.105102

12009.11596488w

6


วธท า 2

wLM

2

max

m.kN322

44 2

เมอ mm1802

360c,mm466560000360120

12

1I 43

I

Mctc

26

mm/N3456.12466560000

1801032


230



214




215




2.G.C.A.N AdII




216



21

2211

AA

yAyAy






0ydAy

y

0ydAy

y

แต y



217



ดงนน 0yAydA




bhA 2

hc

12

bhI

3

.A.N

2 . วงกลม

2d4

A

2

dc

218



2

bhA

3

hc

36

bhI

3

.A.N


2

rA

2

3

r4c

4.A.N r110.0I


Z

M

I

Mcct


219









Mc

220



วธท า

145R3...............0F B

kN301545R

kN153

45R

A

B


I

Mcmax

เมอ 12

150100

12

bhI,mm75

2

150

2

hc

33


28125000

751030 6

max

2mmN80


N80

221




วธท า

2

wLM

2

max

m.wkN22

2w 2

เมอ mm5.172

35c,mm7574.73661)3(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N80

7574.73661

5.1710w280

6

5.17102

7574.7366180w

6

mkN16836.0

mN36.168


mN36.168

222






223



224





225





21 mm300020150A

22 mm260020130A

mm14010150y1 mm65

2

130y2

21

2211

AA

yAyAy


26003000

6526001403000y

จาก 2NA AdII

จาก mm8215.341785.105140yyd 11 mm1785.40651785.105yyd 22

2322

NA 1785.4026001302012

18215.34300020150

2

1I


226




kN143

42R B


I

Mcmax

เมอ 433 mm182933331408012

1bh

12

1I,mm70

2

140

2

hc

แทนคา 26

max mm/N10718293333

701028


227





228




วธท า w2

2

2w

2

wLM

22

max

kN.m

21

2211

AA

yAyAy

2013020150

652013014020150y

1785.105y mm

23

NA 8215.34201502015012

1I

23 1785.401302013020

12

1

4NA mm09.11596488I

จากสตรI

Mc1t

เมอ 2t mm/N45 , mm8215.44c1

แทนคา 09.11596488

8215.4410w245

6

8215.44102

4509.11596488w

6

229


821.5 kN/m


Mc2c

เมอ ,mm/N120 2c mm1785.105c2

แทนคา 09.11596488

1785.10510w2120

6

1785.105102

12009.11596488w

6


วธท า 2

wLM

2

max

m.kN322

44 2

เมอ mm1802

360c,mm466560000360120

12

1I 43

I

Mctc

26

mm/N3456.12466560000

1801032


230



274

แผนการสอน หนวยท 9 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 16 ชอหนวย การรวมความเคน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง

1. การรวมความเคนดดและความเคนเฉอน 2. การรวมความเคนในแนวแกน ความเคนดด และความเคนเฉอน สาระส าคญ 1. เมอเพลาไดรบโมเมนตดดและแรงบด กจะท าใหเกดความเคนดด และความเคนเฉอนขน โดย ความเคนดดจะเกดจากโมเมนตดด และความเคนเฉอนเกดจากแรงบด 2. เมอเพลาไดรบแรงในแนวแกนเพมขน จากความเคนอดและความเคนเฉอนทมอยเดม ในการรวมความเคนจะตองพจารณาแรงในแนวแกนดวย วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนรวมของความเคนดด และความเคนเฉอนไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนรวมของความเคนในแนวแกน ความเคนดด และความเคนเฉอนไดอยางถกตอง

275


เนอหาสาระ 1. การรวมความเคนดดและความเคนเฉอน

1.1 ระนาบความเคนหลกและระนาบความเคนเฉอนสงสด

รปท 1 ความสมพนธของความเคนบนวงกลมโมห

ในรป 8-5 ก. แกนแนวตงเปน 'xy และแกนแนวนอนเปน 'x จด M มพกดอยท

)( 'xy,'x ทกๆจด จะอยบนเสนรอบวงตามคาก าหนดของมม จากสมการ ท 1 และ 2 จะจดสมการใหไมมเทอมของ ไดดงน

2

xy2yx

'2

'xy

2

yA

'x ]2

[)2

( (รศมของกราฟวงกลม)2

ก าหนดให

2

yA

avg

, 2

xy

2

yx

2R

22'xy

2avg'x R)(

รปท 1ข. แสดงรปกราฟวงกลมของสมการ โดยมจด C เปนจดศนยกลางซงอยทพกด )0,( avg และทจด N บนเสนรอบวงอยทพกด )( 'xy'x

276


1.2 ระนาบความเคนหลก

ในรป 1 ก. จด A คอความเคนตงฉากสงสด )( max และจด B คอความเคนตงฉากต าสด ( min ) ซงทจดทงสองน ความเคนเฉอน )( 'xy เปนศนย สภาวะความเคนนเรยกวา ความเคนหลก จากสมการ (3) จะได

2cos2sin2

0 xy

yx

ต าแหนงของความเคนหลก yx

xy

p

22tan

ขอควรจ า

1. ระนาบทใหคาความเคนตงฉากสงสดหรอต าสดนเรยกวาระนาบความเคนหลก 2. ระนาบความเคนหลกท ามมกบระนาบเดม (แกน x’ หรอ y’ ท ามมกบแกน x )

เทากบมม p หรอ p โดยท pp 90 ดงรปท 10.4 3. บนระนาบความเคนหลกนนความเคนเฉอนเปนศนยเสมอ

มมในกราฟวงกลมปรากฏเปน 2 แตมมระหวางระนาบเปน

รปท 2 ระนาบความเคนหลก

ในรป 2 แสดงระนาบความเคนหลก ทจด Q ซงม max และ min เปนความเคนตงฉากกระ ท าตอระนาบนนจะเหนไดชดเจนวาไมมความเคนเฉอนบนระนาบเคนหลกน จากรปท 1 ก. พบวา Ravgmax และ Ravgmin

277


แทนคาลงในสมการ ความเคนสงสดและต าสดหาจาก

minmax,

2

yx 2xy

2

yx

2

1.3 ระนาบความเคนเฉอนสงสด

ในรปท 1 ก. ทจด D และ E บนเสนผานศนยกลางในแนวดง ของวงกลมนน ใหคา

ตวเลขสงสดของความเคนเฉอน และอยทพกด 2

'yx

avgx

โดยทระนาบความเคน

เฉอน สงสดท ามมกบระนาบเดม (ซงมสภาวะความเคนเปน ,x y และ xy ) เทากบ s ซงหาไดจากสมการท (1) ดงน

02sin2cos2

xy

yx

xy

yx

s2

)(2tan

รปท 3 ระนาบความเคนเฉอนสงสด

278


ความเคนเฉอนสงสดเกดทสองคาของ s ซงคาทงสองนนตางกนอย

90 ดงแสดงในรปท 8-5 ความเคนสงสดนมคาเทากบ รศมของวงกลมคอ

2xy

2

yx

max2

และ 2

'yx

สภาวะ ของความเคนบนระนาบความเคนเฉอนสงสดนจะมความเคนตง

จาก 2

'yx

avg

ขอควรจ า

1. เมอพจารณาแลวพบวา p

s2tan

12tan

แสดงวาในกราฟวงกลมมม s2 และ

p2 นนตางกนอย

90 นนคอ ระนาบความเคนเฉอนสงสด ท ามม 45 กบระนาบความเคนหลกเสมอ

2. บนระนาบความเคนเฉอนสงสดจะมสภาวะของความเคนเปน

avgyx และ maxxy

การรวมความเคนในแนวแกน ความเคนดดและความเคนเฉอน เมอเพลารบแรงในแนวแกนเพมขน การรวมความเคนจะตองพจารณาแรงนดวย ดงนน

I

Mc

A

F1x

32

1x

d

M32

d

F4

เมอ A = 4

d 2 , LFM 2z และ 64

dI

4

3xyd

T16

J

Tr

279


เมอ SFT 2 , 32

dJ

4

ความเคนรวม คอ

2xy

2

xx1

22

2xy

2

xx2

22

ความเคนเฉอนสงสด

2xy

2

xmax

2


ในการออกแบบคาน ตองหาคาความเคนตรงสงสด จากกรณทผวบนและลาง 0xy principal stress มคาเทากบความเคนในแนวแกน x แตส าหรบทระดบใกล ๆ ผว x มคานอยกวาทผวบนหรอลางแตในกรณทมคาความเคนเฉอน xy ดวย เมอรวมกนจะได principal stress จะได principal stress 21, ซงอาจจะมคามากกวาคาทผวบนและลางได

การหาคาความเคนหลกใชสตร minmax,

2

yx

2xy

2

yx

2

ส าหรบคาความเคนเฉอนสงสดใชสตร 2xy

2

yx

max2

เมอพจารณาแลวพบวา p

s2tan

12tan

แสดงวาในกราฟวงกลมมม s2 และ

p2 นนตางกนอย

90 นนคอ ระนาบความเคนเฉอนสงสด ท ามม 45 กบระนาบความเคนหลกเสมอ บนระนาบความเคนเฉอนสงสดจะมสภาวะของความเคนเปน avgyx และ maxxy

280


ตวอยาง

ระนาบความเคนทแสดงดงรปจงหา ก) ต าแหนงของระนาบความเคนหลก ข) ความเคนหลก ค) ความเคนเฉอนสงสดและความเคนตงฉาก

หลกการวเคราะห

ต าแหนงระนาบความเคนหลกก าหนดดวยมม p ใชสมการ ท ( 8) ค านวณ max' min สมการ (10) และ(11)ค านวณ max และ ตามล าดบ

ก) ต าแหนงของระนาบความเคนหลก MPa40,MPa10,MPa50 xyyx

(เมอใชสตรค านวณ มเครองหมายบวกเมอโมเมนตของแรงแรงเฉอนมทศทวนเขมนาฬกา)

yx

xy

p

22tan

)10(50

)40(2

60

80

p2 1.53 และ 1.2331.53180 ตอบ 6.26p และ 6.166 ข.) ความเคนหลก

minmax,

2

yx

281


2xy

2

yx

2

22 403020 ตอบ max MPa70 (ความเคนดง) min MPa30 (ความเคนอด)

ค.) ความเคนเฉอนสงสด

2xy

2

yx

max2

22 4030 ตอบ MPa50 ต าแหนงความเคนเฉอนสงสดนนจะท ามม 45 กบระนาบความเคนหลก

และ 2

1050

2'

yx

avg

ตอบ MPa20

282



ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพการตอเพลาแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 9 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 9 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป



283



284



1. เพลาตนอยภายใตแรงบด 1.5 กโลนวตนเมตร และโมเมนตดดสงสด 1 กโลนวตนเมตร ถาเพลามขนาด 60 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด 2. เพลาตนขนาดเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตร ยาว 300 มลลเมตร รบแรง F1 เทากบ 1 กโลนวตน กระท าในแนวแกน และ F2 เทากบ 2 กโลนวตน กระตงฉากกบศนยกลางของเพลา ระยะ S เทากบ 50 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด

285



1. เพลาตนอยภายใตแรงบด 1.5 กโลนวตนเมตร และโมเมนตดดสงสด 1 กโลนวตนเมตร ถาเพลามขนาด 60 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด

วธท า จาก

22

31 TMMd

16

22

35.111

06.0

16

= 66085 kN/m2 ตอบ ความเคนดงสงสดเทากบ 66085 กโลนวตน

จาก 22

3max TMd

16

22

35.11

06.0

16

= 42506.76 kN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดเทากบ 42506.76 กโลนวตน 2. เพลาตนขนาดเสนผาศนยกลาง 50 มลลเมตร ยาว 300 มลลเมตร รบแรง F1 เทากบ 1 กโลนวตน กระท าในแนวแกน และ F2 เทากบ 2 กโลนวตน กระตงฉากกบศนยกลางของเพลา ระยะ S เทากบ 50 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด วธท า แรง F1 เทาใหเกด Mz Mz = F1 × L = 2×0.3 = 0.6 kN.M

จาก 32x

d

M32

d

F4

3205.0

6.032

05.0

14

286


= -49401.6 kN/m2 = -49.4 MN/m2 แรง F2 ท าใหเกดแรงบด T T = F2S = 2 ×0.05 = 0.1 kN.m

จาก

33xy05.0

1.016

d

T16

= 4074.36 kN/m2 = 4.07 MN/m2

จาก 2xy

2

xx1

22

22

07.42

4.49

2

4.49

= 0.33 MN/m2

จาก 2xy

2

xx2

22

22

07.42

4.49

2

4.49

= - 49.73 MN/m2

จาก 2xy

2

xmax

2

22

07.42

4.49

= 25.03 MN/m2 ตอบ ความเคนดงสงสดเทากบ 0.33 เมกะนวตน/ตารางเมตร ความเคนเฉอนสงสดเทากบ 25.03 เมกะนวตน/ตารางเมตร

287



1. เพลาตนอยภายใตแรงบด 2.4 กโลนวตนเมตร และโมเมนตดดสงสด 1.5 กโลนวตนเมตร ถาเพลามขนาด 55 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด 2. เพลาตนขนาดเสนผาศนยกลาง 45 มลลเมตร ยาว 350 มลลเมตร รบแรง F1 เทากบ 2 กโลนวตน กระท าในแนวแกน และ F2 เทากบ 3 กโลนวตน กระตงฉากกบศนยกลางของเพลา ระยะ S เทากบ 45 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด

288



1. เพลาตนอยภายใตแรงบด 2.4 กโลนวตนเมตร และโมเมนตดดสงสด 1.5 กโลนวตนเมตร ถาเพลามขนาด 55 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด

วธท า จาก

22

31 TMMd

16

22

34.25.15.1

055.0

16

= 132552.96 kN/m2 ตอบ ความเคนดงสงสดเทากบ 132552.96 กโลนวตน/ตารางเมตร

จาก 22

3max TMd

16

22

34.25.1

055.0

16

= 86635.98 kN/m2 ตอบ ความเคนเฉอนสงสดเทากบ 86635.98 กโลนวตน 2. เพลาตนขนาดเสนผาศนยกลาง 45 มลลเมตร ยาว 350 มลลเมตร รบแรง F1 เทากบ 2 กโลนวตน กระท าในแนวแกน และ F2 เทากบ 3 กโลนวตน กระตงฉากกบศนยกลางของเพลา ระยะ S เทากบ 45 มลลเมตร จงหาความเคนดง และความเคนเฉอนสงสด วธท า แรง F1 เทาใหเกด Mz Mz = F1 × L = 2×0.35 = 0.7 kN.M

จาก 32x

d

M32

d

F4

32045.0

7.032

045.0

24

289


= -79503.24 kN/m2 = -79.5 MN/m2 แรง F2 ท าใหเกดแรงบด T T = F2S = 3 ×0.045 = 0.135 kN.m

จาก

33xy045.0

135.016

d

T16

= 7545.12 kN/m2 = 7.545 MN/m2

จาก 2xy

2

xx1

22

22

545.72

5.79

2

5.79

= 0.71 MN/m2

จาก 2xy

2

xx2

22

22

545.72

5.79

2

5.79

= - 80.21 MN/m2

จาก 2xy

2

xmax

2

22

545.72

5.79

= 40.46 MN/m2 ตอบ ความเคนดงสงสดเทากบ 0.71 เมกะนวตน/ตารางเมตร ความเคนเฉอนสงสดเทากบ 40.46 เมกะนวตน/ตารางเมตร

290



292

แผนการสอน หนวยท 10 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 17 ชอหนวย การโกงของคาน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. วธค านวณหาการโกงของคาน สาระส าคญ

1. ในการค านวณหาการโกงของคานนนมอยหลายวธ แตวธทใชค านวณทใชกนมาก มอย 3 วธ คอวธ Double-integration ,วธ Moment-area ,วธ Superposition วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาการโกงของคานโดยวธ Double-integration ไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาการโกงของคานโดยวธ Moment-area ไดอยางถกตอง 3. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาการโกงของคานโดยวธ Superposition ไดอยางถกตอง

293


เนอหาสาระ 1. วธค านวณหาการโกงของคาน วธค านวณหาการโกงของคานนนมอยหลายแบบ ในทนจะกลาวเพยง วธเดยวคอ วธ Moment-area, วธ Double-integration ,วธ Superposition 1.1 วธ Moment-area วธของ moment-area เปน Simi graphical method ซงจะท าใหสามารถหาความลาดเอยงและระยะโกง ณ ต าแหนงใด ๆ บนเสนโคงอลาสตกของคานได และถาหากวาเราตองการทจะทราบแตเพยงความลาดเอยง หรอระยะโกงของเสนโคงอลาสตกเพยงสองสามต าแหนงเทานน วธนจะมความสะดวกและรวดเรวกวาวธ double-integration แตถาตองการทจะไดลกษณะของเสนโคงอลาสตกตลอดความยาวของคานแลว กควรทจะใชวธ double-integration ทฤษฎทใชหาความลาดเอยงและระยะโกงทใชในวธ Moment-area จะมอยดวยกน 2 ทฤษฎ คอทฤษฎหนงจะใชส าหรบหาความลาดเอยง อกทฤษฎหนงใชส าหรบหาระยะโกงของคานนน

รปท 1 การหาความลาดเอยงและระยะโกง

294


ในการพสจนหาทฤษฎทงสองนนใหพจารณาคานซงถกกระท าดวยแรงใด ๆ ในรป ถา

คานมหนาตดสม าเสมอ (EI = คาคงท) diagram...EI

M จะมรปรางเชนเดยวกบ BMD ดงในรป

สวนโคงอลาสตกจะแสดงในรปท

จากความสมพนธทไดวา EI

M

ds

d

เมอกรณทระยะโกงของคานมคานอยมากคา ds dx

EI

M

dx

d

EI

Mdxd

A

B

A

BEI

Mdxd

A

B

ABEI

Mdx

เมอ

AB คอมมระหวางเสนสมผสทลากจากจด A และ B บนเสนโคงอลาสตกมคา

เทากบพนททงหมดของ EI

M diagram ระหวางจด A และจด B ในกรณทพนทมทงบวกและลบ ก

ใหคดเครองหมายของพนทเหลานนดวย ฉะนนเราจะไดทฤษฎทหนงวา “เมอคานตรงถกกระท าดวยโมเมนตดด มมระหวางเสน

สมผสทลากจากจดใด ๆ สองจดบนเสนโคงอลาสตก จะมคาเทากบพนททงหมดของEI

M diagram

ระหวางสองจดนน” ตอไปให AB เปนระยะทางในแนวดงของจด B เมอเทยบกบเสนสมผสทลากจากจด A ไป ซงจะไดความสมพนธวา xd)(d AB

A

B

AB xd)(d

295


A

B

BAEI

Mxdx

จะเหนไดวา A

BEI

Mxdx เปนคาของโมเมนตของ EI

M diagram ระหวางจด A และจด B

เทยบกบแกนผานจด B ฉะนนจงไดทฤษฎส าหรบการหาระยะโกงซงเปนทฤษฎทสองวา “เมอคานตรงถกกระท าดวยโมเมนตดด ระยะในแนวดงของจด B เมอเทยบกบเสนสมผสทลากจากจด

A จะมคาเทากบโมเมนตรอบแกนซงผานจด B ของEI

M diagram ระหวางจดทงสองนน”

ในการหาโมเมนตของ EI

M diagram ซงมพนททมทงคาบวกและลบกใหคดเครองหมาย

ของพนทเหลานนดวย เนองจากการค านวณหาระยะโกง โดยวธนมความจ าเปนทจะตองรวมโมเมนตของพนทรอบแกนๆ หนงเสมอ ฉะนนจงแสดงถงจดศนยถวงของพนทชนดตาง ๆ ซงตองใชอยบอยครงดงตอไปน

รปท 2 จดศนยถวงของพนทชนดตาง ๆ

296


รปท 3 จดศนยถวงของพนทชนดตาง ๆ 1.1.1ขนตอนการหาคาความลาดเอยงและระยะโกงโดยวธ Moment-area

1. จากโจทยทก าหนดใหถาเปนคานแบบชวงเดยวหรอคานชวงเดยวปลายยน จะตองค านวณหาแรงปฏกรยาทจดรองรบกอน สวนคานแบบยนไมจ าเปนจะตองหา

2. เขยนแผนผงของโมเมนตดด (BMD) จากการค านวณหาไดจากโจทยทก าหนดให

3. เขยนเสนโคงอลาสตก แสดงถงลกษณะการโกงของคานใหใกลเคยงกบความเปนจรงมากทสด

4. เขยนแผนผงของ EI

M diagram

5. เลอกจดบนเสนโคงอลาสตกททราบคาความลาดเอยงหรอระยะโกง เชน จดรองรบหรอจดทอยในแกนสมมาตร หรอจดทโจทยก าหนดคาแนนอนมาให เปนตน แลวลากเสนสมผสกบจดทเลอกนน

6. ค านวณการเคลอนทของจดเทยบจากเสนสมผสในขอ 5

7. ค านวณหาระยะโกงและความลาดเอยง โดยการพจารณาลกษณะของเสนโคงอลาสตก และอาศยทฤษฎทงสองทฤษฎนนเขาชวย

297


ตวอยางท 1 จงค านวณหาระยะโกงและมมลาดเอยงทปลายคาน ก าหนดให EI มคาคงทตลอดความยาวคานโดยวธ moment-area วธท า จากรปจะเหนวา ABmaxy = โมเมนตของพนท 111 DBA รอบแกนผานจด 1A

L

3

2)L(

EI

PL

2

1ymax

EI3

pL1 3

ระยะโกงปลายคาน EI3

PL3

298


AAB

พนทของ 111 DBA

)L(EI

PL

2

1A

EI2

PL2

ตอบ มมลาดเอยงทปลายคาน EI2

PL2

ตวอยางท 2 คานแบบ simply supported ถกแรงกระท าทจดกงกลางของคาน จงหามมลาดเอยง A และระยะโกงสงสด โดยวธ moment-area วธท า เขยนรปไดดงน

จากรปจะเหนวา A มมลาดเอยง พนทของ 111 DCA

2

L

EI4

PL

2

1A

299


EI16

PL2

ตอบ มมลาดเอยง EI16

PL2

ACmaxy โมเมนตของพนท 111 DCA รอบแกนผานจด 1A

2

L

3

2

2

L

EI4

PL

2

1ymax

EI48

PL3

ตอบ ระยะโกงสงสด EI48

PL3

1.2 วธ Double-integration

วธ Double-integration เปนวธการหาระยะการโกงและคาความลาดเอยง ตลอดจนหาเสนโคงอลาสตกตลอดความยาวของคานนน เปนวธการทใชการอนทเกรตสองครง พจารณาเสนโคงอลาสตกของคานซงถกแรงภายนอกกระท าใหเกดการโคงงอ โดยให เปนความยาวสวนหนงของเสนโคงอลาสตกน คอจดศนยกลางของความโคงและ เปนรศมของความโคงของเสนโคงออลาสตก ณ หนาตด ใด ๆ ในการทจะหาความสมพนธเพอหาสตรส าหรบวธ double-integration นนจะตองใชขอสมมตฐานทกลาวมาขางตนแลวยงสมมตใหระยะโกงมคานอยมากจนกระทงความยาว ds ซงเปนเสนโคงมคาประมาณเทากบ dx ซงเปนเสนตรงอกดวยและเปนรศมของความโคงของเสนโคงอลาสตก ณ หนาตด ใด ๆ ในการทจะหาความสมพนธเพอหาสตรส าหรบวธ double-integration นนจะตองใชขอสมมตฐานทกลาวมาขางตนแลวยงสมมตใหระยะโกงมคานอยมากจนกระทงความยาว ds ซงเปนเสนโคงมคาประ มาณเทากบ dx ซงเปนเสนตรงอกดวย

จากรปจะไดความสมพนธ ds = d

หรอ ds

d1

300


แต EI

M1

EI

M

ds

d

เนองจาก ds dx และ dx

dy ดงนน

EI

M

dx

yd2

2

1.2.1 ขอตกลงเรองเครองหมาย จากสมการขางตนจะมเครองหมายบวก + และลบ – อย ซงขนอยกบการก าหนดเครองหมายของโมเมนตดด M และจดโคออรดเนต x ,y ตามเครองหมาย M ,x และ y ทเราก าหนดมาตงแต

ตน จะเหนวาเมอเสนโคงอลาสตกหงายขน ซงตรงกบคา M เปนบวก (+) คาความลาด dx

dy จะ

ลดลง เมอ x เพมขน ดงนน 2

2

dx

yd เปนลบ (-) เมอเสนโคงอลาสตกคว าลงซง

ตรงกบคา M เปนลบ (-) คาความลาด dx

dy จะเพมขน เมอ x เพมขน ดงนน 2

2

dx

yd เปน

บวก (+)

จากขอความขางตน เราพอสรปไดวา 2

2

dx

yd และ M จะมเครองหมายตรงกนขาง

เสมอไปเขยนสมการใหม เพอใหสอดคลองตามเครองหมายจะได

EI2

2

dx

yd = -M

EI3

3

dx

yd = - V

EI4

4

dx

yd = dx

dV = w

301


เมอ M คอโมเมนตดดทเกดขนในคานนน I คอโมเมนตของความเฉอยของหนาตดคาน E คอโมดลสของการยดหยนของวสดทกระท ากบคาน V คอแรงเฉอนทเกดขนในคานนน W คอน าหนกบรรทกทกระท ากบคาน x,y คอโคออรดเนตของจดบนเสนโคงอลาสตก

1.2.2 ขนตอนการหาคาความลาดเอยงและระยะโกงโดยวธ Double-intergration

1. เขยนรปแสดงการสมดลยเคชนขอสวนของคานทรบน าหนก แลวดลกษณะการโกง ของคานกอน

2.เลอกจดเรมตน และตงแกน x,y แลวก าหนดเครองหมายใหถกตอง 3. เขยนสมการของโมเมนตดด M อยในเทอมของระยะ x และแรงหรอน าหนกทกระท า 4.แทนคาของโมเมนตดด M ลงในสมการเสนโคงอลาสตกแกสมการดฟเฟอเรนเชยล

ของสมการเสนโคงอลาสตก 5.การอนทเกรต ในการอนทเกรตครงแรกจะไดสมการของความลาดเอยงและตวคงท

หนงตว เมออนทเกรตครงทสองจะไดสมการของการโกงและมตวคงทเพมขนอกหนงตว 6.แทนคาตวคงททหาไดลงในสมการของความลาดเอยง และการโกงในขนตอนท 5 ก

จะไดสมการทตองการ คาความลาดเอยงและการโกงทจดใด ๆ จะหาไดโดยแทนคาของระยะ x ลงไปในสมการของความลาดเอยงและการโกงงอ 1.2.3 เงอนไขส าหรบการหาคาคงททไดจากการอนทเกรต

1. คานแบบยน (Cantilever beam) ก. เมอแรงกระท าเปนแบบจด

เงอนไข 1. เมอ X=L จะไดคาความลาดเอยงเทากบศนย

0

dx

dy

2 . เมอ X=L จะไดระยะโกงเทากบศนย (y=0)

302


ข. เมอแรงกระท าเปนแบบกระจาย

รปท 4 แรงกระท าเปนแบบกระจาย

เงอนไข 1. เมอ x=L จะไดคาความลาดเอยงเทากบศนย

0

dx

dy

2. เมอ x=L จะไดคาระยะโกงเทาศนย (y=0) 3. เมอ x=0 จะไดแรงเฉอนเทากบศนย (V=0) 4. เมอ x=0 จะไดโมเมนตตดเทากบศนย (M=0) ค. เมอแรงกระท าเปนแรงคควบหรอโมเมนต

รปท 5 แรงกระท าเปนแรงคควบหรอโมเมนต

เงอนไข 1. เมอ x=L จะไดคาความลาดเอยงเทากบศนย

0

dx

dy

2. เมอ x=L จะไดคาระยะโกงเทากบศนย (y=o)

303


2. คานชวงเดยว (Simply supported beam)

ก. เมอแรงกระท าเปนแบบเปนจด

รปท 6 แรงกระท าเปนแบบเปนจด

เงอนไข 1. เมอ x=0 จะไดคาระยะโกงเทากบศนย (y=0)

2. เมอ x=2

L จะไดคาความลาดเอยงเทากบศนย

0

dx

dy

รปท 7 แรงกระท าเปนแบบเปนจด

เงอนไข 1. เมอ x=0 จะไดคาระยะโกงเทากบศนย (y=0) 2. เมอ x=L จะไดคาระยะโกงเทากบศนย (y=0)

ท x=a,dx

dy

dx

dy 21 ท x=a

ท x=a, 21 yy ท x=a

304


ข.เมอแรงกระท าเปนแบบกระจาย

รปท 8 แรงกระท าเปนแบบกระจาย

เงอนไข 1. เมอ x=0 จะไดแรงเฉอนเทากบแรงปฏกรยาทจด A ARV 2. เมอ x=0 จะไดโมเมนตดดเทากบศนย (M=0) 3. เมอ x=0 จะไดระยะโกงเทากบศนย (y=0) 4. เมอ x=L จะไดระยะโกงเทากบศนย (y=0)

ค. เมอแรงกระท าเปนแรงคควบหรอโมเมนต



305


เงอนไข 1. เมอ x=0 จะไดระยะโกงเทากบศนย (y=0) 2. เมอ x=L จะไดระยะโกงเทากบศนย (y=0)) 1.3 วธ Superposition ถาหากคานรบแรงหลายชนด การค านวณหาคาความลาดชน และระยะโกงตวดวยวธ Moment- area จะยงยากและเสยเวลา ดงนนจงใชวธ Superposition โดยแยกแรงกระท าแตละชนดแลวใชสตรส าเรจในตารางหาคาความลาดชน และระยะโกงตวไดทนท ผลของแรงกระท าหลายชนดกระท ากบคาน จงเปนผลรวมของคาความลาดชน และระยะโกงตวทค านวณไดแตละชนด

306


ตารางท 1 หาคาความลาดชนและระยะโกงตวของคาน

307



308



309



ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพการตอเพลาแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 10 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 10 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป


สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 10 2. รปภาพ 1 ถง 10

310



311



1. คานแบบ simply supported ถกแรงกระท าทจดกงกลางของคาน จงหามมลาดเอยง A และระยะโกงสงสด โดยวธ moment – area

2. จงหาความโกงตวทกงกลางของคาน ก าหนดให E เทากบ 12 จกะนวตน/ตารางเมตร และ I เทากบ 200×106 mm4

312




วธท า จากรปจะเหนวา A มมลาดเอยง พนทของ 111 DCA

2

L

EI4

PL

2

1A

EI16

PL2


PL2


2

L

3

2

2

L

EI4

PL

2

1ymax

EI48

PL3

ตอบ ระยะโกงสงสดเทากบ EI48

PL3

313



วธท า

8

WLM

2

m.kN608

430 2

m/251.0102001012

1060

EI

M69

3

AC (พนท A1, C1, D1)( x )(รอบแกน A)

2

L

8

5

2

L

EI

M

3

2

2

4

8

5

2

4025.0

3

2

= 0.04167 m ตอบ ระยะโกงตวทกงกลางคานเทากบ 41.67 มลลเมตร

314



1. จงหาระยะโกงตวสงสดของคาน ก าหนดให EI เทากบ 2000 กโลนวตนตารางเมตร

2. จงหาความลาดชนทจด A และระยะโกงตวทกงกลางของคาน ก าหนดให EI เทากบ 4 เมกะนวตนตารางเมตร

315



1. จงหาระยะโกงตวสงสดของคาน ก าหนดให EI เทากบ 2000 กโลนวตนตารางเมตร

วธท า หาแรงปฏกรยา RA, RB 0MB 7.5 RA =10

RA = 5.7

10

= 1.333 kN 0MA 7.5 RB = 10

RB = 5.7

10

RB = 1.333 kN ทหนาตด 5.2x0 M = -1.333(x) m.kN0M,m0x 5.2333.1M,m5.2x m.kN33.3

316


ทหนาตด 5.7x5.2 m.kN10xRM A m.kN67.6105.2333.3M,m5.2x m.kN0105.7333.3M,m5.7x m/10033.0

2000

67.6

EI

M1

และ m/10017.02000

33.3

EI

M2

2211AB xAxA (รอบแกน A)

5.2

3

25.2

EI

M

2

15

3

15.25

EI

M

2

1 21

667.15.20017.0

2

1167.450033.0

2

1

= 0.0344 – 0.0035 = 0.0309 m ตอบ ระยะโกงสงสดของคานเทากบ 30.9 มลลเมตร

317



วธท า แยกคานออกเปนรป (ก) และ (ข) หาความลาดชนท A โดยใชตารางท 2 กรณท 7 จะได

EIL6

bLFb 22

LA

จากรป (ก) b1 = 2.5 m จากรป (ข) b2 = 1 m ดงนน

EIL6

bLFb

EIL6

bLFb 22

22

21

21

A

5.31046

15.31105

5.31046

5.25.35.21056

223

6

223

= 0.00089 + 0.00067 = 0.00156 rad ตอบ ความลาดชนท A เทากบ 0.00156 rad หาระยะโกงตวทกงลางของคาน

จากสตร 22 b4L3EI48

Fb2

22

6

3

145.3310448

11052

= 0.00171 m = 1.71 mm ตอบ ระยะโกงตวทกงกลางคานเทากบ 1.71 มลลเมตร

318



320


ทอดสอบแกตว เรอง การโกงของคาน



321



322


เฉลยแบบทดสอบ 1. จงหาความโกงตวทกงกลางของคาน ก าหนดให E เทากบ 12 จกะนวตน/ตารางเมตร และ I เทากบ 200×106 mm4

วธท า

8

WLM

2

m.kN608

430 2

m/251.0102001012

1060

EI

M69

3

AC (พนท A1, C1, D1)( x )(รอบแกน A)

2

L

8

5

2

L

EI

M

3

2

2

4

8

5

2

4025.0

3

2

= 0.04167 m ตอบ ระยะโกงตวทกงกลางคานเทากบ 41.67 มลลเมตร

323



วธท า จากรปจะเหนวา A มมลาดเอยง พนทของ 111 DCA

2

L

EI4

PL

2

1A

EI16

PL2


PL2


2

L

3

2

2

L

EI4

PL

2

1ymax

EI48

PL3

ตอบ ระยะโกงสงสดเทากบ EI48

PL3

324



วธท า แยกคานออกเปนรป (ก) และ (ข) หาความลาดชนท A โดยใชตารางท 2 กรณท 7 จะได

EIL6

bLFb 22

LA

จากรป (ก) b1 = 2.5 m จากรป (ข) b2 = 1 m ดงนน

EIL6

bLFb

EIL6

bLFb 22

22

21

21

A

5.31046

15.31105

5.31046

5.25.35.21056

223

6

223

= 0.00089 + 0.00067 = 0.00156 rad ตอบ ความลาดชนท A เทากบ 0.00156 rad หาระยะโกงตวทกงลางของคาน

จากสตร 22 b4L3EI48

Fb2

22

6

3

145.3310448

11052

= 0.00171 m = 1.71 mm ตอบ ระยะโกงตวทกงกลางคานเทากบ 1.71 มลลเมตหร

325



plan/แผนการสอนวิชา... · 2 แผนการสอน...

Documents