pengertian logika informatika

Jurusan Teknik InformatikaFakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Sunan Gunung DjatiBandung

Jumadi 0856 22 0660 3Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Informatika



Jumadi 0856 22 0660 3

Materi.1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.



Jumadi 0856 22 0660 3

Buku Teks.

Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” , Prentice Hall .

Buku Referensi .

1). Arindama Singh , 2004 ; “Logics For Computer Science ”, Prentice Hall of India.2). Manna, Z and Waldinger, R., 1985 , “ The Logical Basis for Computer Programming” , Addison-Wesley Publishing Company. Inc.3). Suprapto, Logika Informatika, 2003, “Logika Informatika (Dasar-dasar Logika untuk Pemrograman Komputer & Perancangan Komputer) ”, Penerbit Gava Media Yogyakarta.4). Setiadi Rachmat, 2004 , “ Pengantar Logika Matematika”, Penerbit Informatika Bandung.



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional Pengenalan Informal

Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Merekamenyajikan pernyataan seperti misalnya :

1. Saya mempunyai uang 2. Benda ini tenggelam dalam air 3. Kotak ini berisi cabe 4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam 5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf.7. Saya lapar8. Benda ini padat9. India merupakan suatu negara10. 1 + 101 = 110 Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap yaitu T(rue) atau F(alse)



Jumadi 0856 22 0660 3


Logika adalah suatu system berbasis proposisi.

Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) dan tidak keduanya.

Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan dengan F).

Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1



Jumadi 0856 22 0660 3


Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan menggunakan penghubung logis yang disebut operator atau functor.

Sebagai contoh :

1) Saya mempunyai uang dan saya lapar 2) Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (ba lok) akan tenggelam diair. 3) Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI 4) Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot. 5) Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya pu tus.



Jumadi 0856 22 0660 3


Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut :

1) Tutuplah pintu itu 2) Dilarang merokok 3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu

Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraankita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah sedang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam logika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentukan.



Jumadi 0856 22 0660 3

The Statement/Proposition Game

“Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini suatu pernyataan?

yes

Apakah ini suatu proposisi? yes

Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? true

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


“520 < 111”

Apakah ini suatu pernyataan ? yes


Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? fals

e

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


“y > 5”

Apakah ini suatu statement? yes

Apakah ini suatu proposisi? no

Nilai kebenarannya tergantung pada nilai daripada y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not specified).

Kita sebut tipe pernyataan ini suatu fungsi proposisional atau kalimat terbuka.

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


“Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.”

Apakah suatu statement? yes

Apakah ini suatu proposition? yes

What is the truth value of the proposition? false

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


“Please do not fall asleep.”

Apakah ini suatu pernyataan? no

Apakah ini merupakan proposisi? no

Only statements can be propositions.

Ia adalah suatu permintaan.

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


“Jika gajah berwarna merah, Mereka dapat sembunyi dibawah pohon

perdu.”

Apakah ini suatu pernyataan? yes


Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut?

Probably

false

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


“x < y if and only if y > x.”

Apakah ini suatu pernyataan? yes

Apakah ini suatu proposisi?yes

Apa nilai kebenaran dp proposisi tsb?

true

…karena nilai kebenarannya tidak tergantung pada nilai yang diberikan untuk x dan y

Permainan.



Jumadi 0856 22 0660 3


Definisi .

Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah saja, akan tetapi tidak keduanya.

Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi disebut atom.



Jumadi 0856 22 0660 3


Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang dilambangkan dng simbol :

1). : “not”, atau “negasi” ( simbol lain adl ~ )2). : “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &)3). : “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or” 4). : “xor”, atau “exclusive or”5). : “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional”6). : “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives)

1) Negasi (not)

Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p” akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan

p ( “” disebut operator unary/monadika) dan akan digambarkan dng tabel kebenaran sebagai berikut : p p

T F F T



Jumadi 0856 22 0660 3


2) Konjungsi/conjunction (and)

Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jikap dan q suatu proposisi, pernyataan p and q akan bernilai kebenaranT jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T, dan ditulis dengan p q dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb dan mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat pada slide berikut :



Jumadi 0856 22 0660 3


Tabel kebenaran juga dapat disajikan dng suatu bentuk dua dimensi sebagai berikut :

p q p q

T T T T F F F T F F F F

p q T F q T T F F F F p



Jumadi 0856 22 0660 3


Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi dua variabel

Perhatikan bahwa untuk kalimat “Benda ini berwarna merah” dan “Benda ini berwarna putih” jika digandeng dengan “and” maka berbunyi “Benda ini berwarna merah “and” putih” yang artinya lain dengan “Benda ini berwarna merah and Benda ini berwarna putih”, jelaskan !!

Sifatnya : 1) Komutatif ( p q = q p) 2) Asosiatif ( (pq)r = p(qr) )

Operand daripada suatu kunjungsi juga disebut dng conjunct.



Jumadi 0856 22 0660 3


3) Disjungsi (or)

Disjungsi yang juga ada yang menyebut dengan alternatif yang bersesuaian dengan bentuk “ Salah satu dari … atau ….” (“Either.. Or..) . Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q(atau keduanya) bernilai T, dan ditulis :

p q

dan mempunyai tabel kebenaran seperti pada slide berikut.



Jumadi 0856 22 0660 3


Sifat : 1) Komutatif ( p q = q p ) 2) Asosiatif ( (p q) r = p (q r) )

p q p q T T T T F T F T T F F F



Jumadi 0856 22 0660 3

• Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif or” dan “exclusive or”.

Sebagai contoh :

• “Pintu rumah terbuka” or “jendela rumah terbuka”. Hal tersebut dapat keduanya

• “Suta pergi kekantor naik becak” or “Suta pergi kekantor naik angkot”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya.

• Contoh pertama “or inclusive” dan disimbolkan dengan

• Contoh kedua “or exclusive” atau “non-equivalen” dan disimbol kan dengan ( atau XOR atau )




Jumadi 0856 22 0660 3


4) Implikasi (Implication)

Arti dp pernyataan “If p then q” atau “p implies q” atau “q if p” atau “p hanya jika q” atau “q sarat perlu untuk p” atau “p saratcukup untuk q” adalah T jika salah satu dari p bernilai T dan q bernilai T atau jika p bernilai F. Jika tidak demikian, yaitu p bernilai Tdan q bernilai F, maka nilai F. Ditulis : p q dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut (ada yang menggunakan simbol )



Jumadi 0856 22 0660 3


p q p q

T T T T F F F T T F F T

Pernyataan berikut adalah sama :

1). “If p then q” 2). “p implies q”3). “q if p” 4). “p hanya jika q” 5). “q sarat perlu untuk p” 6). “p sarat cukup untuk q”



Jumadi 0856 22 0660 3


Penjelasannya adalah sebagai berikut :

1) Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T)

2) Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempu nyai passport (F), maka illegal (F)

3) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempu nyai passport (T), maka legal (T)

4) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport (F), maka legal (T)

Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat : “Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport”



Jumadi 0856 22 0660 3


kondisional konversi inversi kontrapositif p q p q q p p q q p

T T T T T T T F F T T F F T T F F T F F T T T T



Jumadi 0856 22 0660 3


Perhatikan bahwa : pernyataan p q selalu mempunyai tabel kebenaran dng (p) q dan juga dengan (pq), (buat tabel kebe narannya)

Contoh penggunaannya :

Buktikan bahwa jika x bilangan real maka jika x^2 bilangan gasal maka x bilangan gasal.

Bukti andaikan x genap maka x = 2n dimana n sebarang bilangan real. X^2 = (2n)^2= 4n^2 = 2(2n^2) yang juga bilangan genap. Sehingga didapat, dengan kontraposistif, terbukti.



Jumadi 0856 22 0660 3

Resume

p q r

s

. .

.

, , , →

p p

T F F T

p q p q

T T T T F F F T F F F F

p q p q T T T T F T F T T F F F

p q p q

T T T T F F F T T F F T

Negasi

Disjungsi

Konjungsi

Implikasi (berarti : If p then q atau p implai q atauq if p atau p hanya jika q, atau q sarat perlu p)



Jumadi 0856 22 0660 3

Resume

p q p q p q q p p q q p

T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T

Kondisional

Konversi

Inversi

KontraPosisi



Jumadi 0856 22 0660 3


5) Ekuivalensi

Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenaran T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran ygsama ditulis dengan simbol :

p q

dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut ( ada yangmenggunakan simbol )



Jumadi 0856 22 0660 3


p q p q

T T T T F F F T F F F T

Sifat :1) Komutatif ; ( p q = q p)2) Asosiatif ; ( (p q) r = p (q r) )3) Pernyataan (p q) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan pernyataan p q (Tunjukan)



Jumadi 0856 22 0660 3


Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan “ p jika dan hanya jika q”

Pernyataan p q disebut juga dengan bikondisional daripada p dan q, sebab ia selalu mempunyai tabel kebenaran sama-dng

p q =T (p q ) (q p) atau (p q) (p q)

Ditulis dengan p q =T (p q) (p q)



Jumadi 0856 22 0660 3


Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat :

n n

pi ; v pi ;

i = 1 i = 1

n

pi

i = 1



Jumadi 0856 22 0660 3


Prioritas Operator

Terkuat monadika () Untuk diadika terkuat (), kemudian () dan berikutnya () dan

yang lainnya berikutnya lagi seperti misalnya ()

Contoh :

“Saya lapar saya sedih saya bahagia saya telah kenyang ”

berarti

“(Saya lapar saya sedih) (saya bahagia saya telah kenyang)”



Jumadi 0856 22 0660 3

Soal-Soal

Mana yang pernyataan dan mana yang bukan

1. Tasikmalaya adalah ibukota propinsi Jawa Barat.2. Dilarang merokok3. 119 adalah bilangan bulat4. Buka pintu5. Logika informatika adalah mudah6. Yogya kota pelajar7. Makanlah yang banyak8. Sesama cabup tak boleh saling mendahului9. Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah



Jumadi 0856 22 0660 3

Soal-soal1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logikaa. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujianb. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilangan primac. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah TTS

Jawabd. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian Kalimatnya menjadi : P Q b. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima Kalimatnya menjadi : P Qc. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan R = saya mendapat hadiah TTS Kalimatnya menjadi : (Q R) P



Jumadi 0856 22 0660 3

Soal-soal

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini : a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0 c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3

Jawab :

a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu kota RI) b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkan konsekuen nya (2 = 0 ) salah c. Benar, karena konsekuennya (2x2 <3x3) benar



Jumadi 0856 22 0660 3

Soal-soal

3. Tentukan nilai kebenaran daripada : a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalahKebumen berada di Jawa Timur. b. Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangangenap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2

4. Tuliskan dengan simbol logika kalimat-kalimat dibawah ini : a. Matahari sangat verah dan kelembabannya tidak tinggi b. Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan malam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil c. Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergike Bandung. d. Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan primaadalah a merupakan bilangan gasal atau sama dng 2



Jumadi 0856 22 0660 3

TERIMA KASIH



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Informasi

Materi.

1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional

(Notasi operator logis/functor)

Konjungsi p &q p . q p q p q K p q

Disjungsi p q p + q p q p q A p q Negasi ~p p p’ p p N p

Implikasi p q p q p q p q C p q

Bi-implikasi p q p q p q p q E p q

Operator Notasi lainnya Burke Kuliah Polan Daliyo dia



Jumadi 0856 22 0660 3


(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)

Notasi Polandia juga disebut Lukasiewics atau sebagai notasi bebas- kurung atau notasi prefix (+ab) , pada prinsipnya operator diadika me ngawali operand mereka. Selain itu ada notasi postfix (ab+) , yg juga disebut notasi kebalikan polandia, dimana operator muncul sesudah operand. Notasi yang kita gunakan sehari-hari disebut dengan notasi infix ( a+b) Dalam aritmatika didapat contoh sbb :

Notasi Infix Notasi Prefix Notasi Postfix

p + q +pq pq+

p + q x r +pxqr pqrx+

(p + q) x r x+pqr pq+rx

(p x r) + (q + r) +xprxqr prxqrx+

p x ( r + q) x q xpx+rqq prq+xqx

((p + q) + r) + s +++pqrs pq+r+s+

p + (q + (r + s)) +p+q+rs pqrs+++



Jumadi 0856 22 0660 3



Catatan. (Untuk Notasi Polandia)

1).Perhatikan bahwa pada masing-masing notasi kemunculan setiap variabel mempunyai urutan yang sama.

2). Terlihat bahwa kurung sama sekali tidak digunakan.

3). Tidak perlu adanya prioritas untuk masing-masing operator.

4). Variabel hanya menggunakan satu huruf tunggal.

5). Operator monadika pada notasi infix selalu mendahului operand.

6). Perhatikan formula –pq akan mempunyai dua interpretasi dalam notasi infix yaitu : -(p-q) dan ((-p)-q) sehingga diperlukan simbol khusus yang berbeda untuk monadika negasi, misalnya e.



Jumadi 0856 22 0660 3



Lukasiewicz (Notasi Polandia) menggunakan operator dengan huruf besar seperti terlihat dibawah ini untuk membedakan dengan variabel.

Infix Polandia

p Np

p q Apq

p q Kpq

p q Cpq

p q Bpq

p q Epq

p q Rpq

p q Jpq

p q Spq

N – NegasiA – Alternasi (Alternation)K – KonjungsiC – ConditionalB – Non-implikasi??E – EkuivalenR – Non-Ekuivalen, Exclusif Or??J – Joint deniel, NorS – Nand, Incompatibility ??



Jumadi 0856 22 0660 3



Beberapa Contoh.

Infix Polandia

p (q r) KpAqr

(p q) r AKpqr

((p) (q) NANpNq

p q r p q r ANpANqAKrNpAqNr

((p q) r) s KKKpqrs

p (q (r s)) KpKqKrs

Sekali tak diperlukan kurung dan konektif utama dapat dilihat segera pada awal dp ekpresi



Jumadi 0856 22 0660 3



Beberapa Contoh.

1). p q r s dapat diekpresikan menjadi KKKpqrs atau KpKqKrs

2). p (p q (q r s)) diekpresikan KpCApqCCqrs

3). AEqNqq : disajikan dng notasi infix (p (q)) q

4). NCCpqNCqp : disajikan dng notasi infix ((p q) ((q p)))

5). NCRAqp : disajikan dng notasi infix (r (q p))

6). CKpKCpqCNrNqEpNRrq : disajikan dng notasi infix : (p (p q) r q) (p (r q))



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)

1. Notasi Polandia : Epq Disajikan dalam notasi yang lain. a. p q b. p q c. p q2. Notasi Polandia : CKpqr Disajikan dalam notasi yang lain. C(p q)r = (p q) r3. Notasi Polandia : CpCpr Disajikan dalam notasi yang lain. Cp (p r) = p (p r)

4. Notasi Polandia : ECKpqrCpCpr Disajikan dalam notasi yang lain

Contoh :



Jumadi 0856 22 0660 3


Contoh :

Notasi Polandia : E CKpqr CpCprDisajikan dalam notasi yang lain.Cari tanda dominan : E yang sama dengan Ruas kiri (dr ) : C Kpq r Tanda dominan : C yang sm dng Tanda berikutnya : K yg sm dng ( ada dengan &) didapat : p q C (pq) r didapat : (pq) rRuas kanan (dr ) : C p Cpr didapat : C p (p r) di dapat : p (p r)Akhirnya didapat : ((p q) r) (p (p r))



Jumadi 0856 22 0660 3


Contoh

( ( p q ) r ) ( ( p r ) q ( K p q ) r ) ( ( p r ) q C ( K p q ) r ( ( p r ) q C ( K p q ) r ( ( ( p ( N r ) ) q ) C ( K p q ) r ( K p ( N r ) q ) C ( K p q ) r ( K p ( N r ) ( N q ) ) C ( K p q ) r ( C ( K p ( N r ) ( N q ) )

E ( C ( K p q ) r ( C ( K p ( N r ) ( N q ) ) )

E C Kpq r C Kp N r N q



Jumadi 0856 22 0660 3



Prioritas dp Operator.Seperti pd ungkapan dlm ilmu hitung, maka didalam operator logika pun terdapat prioritas sebagai berikut :1). Operator mempunyai prioritastertinggi2). Operator berprioritas berikutnya3). Operator berprioritas berikutnya4). Operator berprioritas berikunya5). Dan seterusnya operator yang lain termasuk dan seterusnya.

Contoh 1). p q r s dapat diinterpretasikan sebagai (p q) (r s) 2). p q akan diinterpretasikan dengan (p) q 3). “Saya lapar” dan “saya malas” atau “Saya bahagia” dan “Saya telah makan enak” diartikan sebagai ????



Jumadi 0856 22 0660 3



Operator yang mempunyai prioritas sama dilakukan dengan urutan dari kiri ke kakan seperti terlihat dalam contoh dibawah ini >

Contoh1). p q r s t u v Diartikan sebagai : (((((p q) r) s) t) u) v

2). p q r s p r t Diartikan sebagai : ??????????.



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula)

Bagaimana membangun tabel kebenaran :

Satu tabel kebenaran dapat ditentukan dengan mengambil setiap kombinasi yang mungkin daripada nilai kebenaran daripada semua variabel yang terlibat dan kemudian mengevaluasi efek daripada setiap operator Sebagai contoh :

((p) q)

p q p ((p) q) T T F T T F F F F T T T F F T T



Jumadi 0856 22 0660 3


Untuk bentuk yang lebih komplek adalah :

((p q) ((p) (q)))

Urutan evaluasinya menjadi :

( (p q) (( p) ( q))) 3 1 2 1 4 2 1 3 2 1

F T T T T F T F F T F T F F T F T T T F T F F T T T F T F T T F F F T T F T T F



Jumadi 0856 22 0660 3


Untuk formula dengan 3 variabel maka akan didapat 2^3 = 8 baris , untuk 4 variabel didapat 2^4 = 16 baris. Sebagai contoh : ((p q) ((p) (r)))

( (p q) (( p) ( r))) 3 1 2 1 4 2 1 3 2 1

F T T T T F T F F T F T T T F F T T T F T T F F F F T F F T T T F F T F T T T F T F F T T T F T F T T F F T T T F T T F T F F F T T F T F T T F F F T T F T T F



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [Tabel Kebenaran (TK) Identis]

Simbol =T berarti bahwa pada tabel kebenaran, dua formula mempunyai nilai kebenaran yang sama (identik).

Contoh : 1) (pq) =T (p)(q) ; buatlah TK nya. 2) (pq) =T (p)(q) ; buatlah TK nya. 3) p q =T p q ; buatlah TK nya. 4) p q =T (p q) (p q) ; buatlah TK nya 5) p (p q) =T p q ; buatlah TK nya



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [Interpretasi dan Model]

Andaikan P adalah formula proposisi ( perhatikan disini digunakan huruf murda/capital untuk menyajikan suatu formula sedang huruf kecil untuk variabel proposisi). Suatu interpretasi daripada P adalahsuatu penugasan (assignment) daripada nilai kebenaran pada semuavariabel proposisi ( pemberian nilai kebenaran) yg muncul pada P.

Perhatikan bahwa setiap baris pada tabel kebenaran adalah suatu interpretasi. Untuk setiap interpretasi maka P mempunyai nilai kebenaran (lihat bahwa setiap baris P mempunyai nilai T atau F)



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [ Interpretasi dan Model ]

Andaikan S suatu himpunan daripada formula proposisi, suatu interpretasi disebut model daripada S jika setiap anggauta daripada S bernilai kebenaran T untuk interpretasi tersebut.

Contoh : Andaikan S adalah himpunan dp formula proposisi :

{ p q , q r , r s }

dan interpretasi : I1 : {p=T,q=F,r=T,s=T} ; I2 : { p=T, q=T,s =T , r=T} ; I3 : {p=T,q=T,r=F,s=F} ; I4 : { p=T, q=T,r =T, s=F} ; Interpretasi yang mana yang merupakan model dp S ? Gambarkan tabel kebenarannya.



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [interpretasi dan Model]

p q r s p q q r r s

I1 T F T T F - -I2 T T T T T T TI3 T T F F T T TI4 T T T F T T F

Dari tabel diatas maka interpretasi yang merupakan model daripada Sadalah I2 dan I3. Perhatikan karena I1 sudah memberikan nilai kebenaran F untuk p q maka dua yang lain tak perlu dievaluasi, karena jelas bahwa I1 bukan model.



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]

Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran T, tak tergantungpada nilai kebenaran daripada variabel-variabel proposisinya, disebut tautologi, dan dikatakan sebagai tautologis atau valid. Suatu tautologi adalah suatu formula proposisional yang mengambil nilai T untuk setiap interpretasi yang mungkin. Semua entri dalam kolom pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai formula tersebut bernilai kebenaran T.

Tautologi



Jumadi 0856 22 0660 3


Contoh : p p adalah Tautologi

karena untuk I1 : p = T, maka p p = T I2 : p = F, maka p p = T dan tak ada lagi interpretasi lain.

Untuk menyatakan bahwa suatu formula adalah suatu tautologi/validmaka dituliskan dengan menggunakan metasimbol , maka contoh ╞diatas menjadi : ╞ (p p)



Jumadi 0856 22 0660 3


Tabel dari kebenaran p p adalah :

p p p pT F T

F T T

Tabel dari kebenaran p (p (q p)) adalah :

p ( p (q p))

1 5 2 1 4 1 3 2 1

T F F T F T F F T

T F F T F F F F T

F F T F T T T T F

F F T F T F F T F



Jumadi 0856 22 0660 3


Perhatikan hubungan antara metasimbol =T dng yang dapat dili╞ hat pada contoh dibawah ini :

Menggunakan menggunakan =╞ T

╞ p (p) p =T (p) ╞ (p q) (q p) p q =T q p ╞ (p q) (p)(q) (p q) =T (p) (q) ╞ ((p )) ((p) (q)) ((p q)) =T (( p) (q))

Baris pertama kiri dibaca : p (p) adl suatu tautologi, kanan :Formula p mempunyai tabel kebenaran sm-dng formula (p)



Jumadi 0856 22 0660 3


Tautologi Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adl Ekuivalen Logis jikaekuivalen logisnya ‘ P Q’ adl suatu tautologi ( yang dapat dikatakan juga dengan bahwa mereka mempunyai tabel kebenaran yang sama)

Dikatakan bhw suatu formula P implai logis suatu formula Q jika implikasi logis mereka ‘ P Q’ adalah tautologi.



Jumadi 0856 22 0660 3


Absurditi/Kontradiksi

Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran F, tak tergantungpada nilai kebenaran dp variabel-variabel proposisinya, disebut Absurditi atau Kontradiksi atau Unsatisfiable dan dikatakan sbg Absurditi atau Invalid. Suatu Absurditi adalah suatu formula proposisional yang ber nilaiF untuk setiap interpretasi yg mungkin. Semua entri dalam kolom Pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai formula tersebutbernilai kebenaran F.



Jumadi 0856 22 0660 3


Absurditi/Kontradiksi

Contoh : (p p) dan (p p)

adalah absurditi/kontradiksi karena untuk :

I1 : p = T, maka (p p) = F I2 : p = F, maka (p p) = F

dan tak ada lagi interpretasi lain.

Perhatikan bahwa suatu formula proposisional P yg adalah suatu absurditi, maka formula P adalah suatu Tautologi, begitu pula sebaliknya. Jika sebarang formula P adalah suatu absurditi, maka ditulis :

╞ P



Jumadi 0856 22 0660 3


Sebarang formula yang, tergantung pada nilai kebenaran dp vari abel-variabelnya, dapat bernilai baik nilai T maupun nilai F dise but suatu formula campur, atau ada yang menyebut contingent.

Contoh :

Tentukan yang mana yang tautologi, absurditi atau formula cam pur : a) p (q p) ; b) p (p (q p) ; c) p (p (q p)).

Formula Campur



Jumadi 0856 22 0660 3


Formula Campur

p ( q p) 1 4 2 1 3 1 T T F T T T T T T F T T F F F T T F F T T F F F

p1TTFF

5FFFF

(2FFTT

p1TTFF

4FFTT

(q1TFTF

3FFTF

2FFTT

p1TTFF

p1TTFF

5TTTT

(2FFTT

p1TTFF

4FFTT

(q1TFTF

3FTTT

2FFTT

p1TTFF

2FFTT



Jumadi 0856 22 0660 3


Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent ( Zohar Manna and Richard Waldinger)

Valid , Tautology, Satisfiable, dan Contradictory

· Suatu formula P dikatakan valid/benar jika ia true/benar untuk setiap interpretasi (I) daripada P. Formula- formula valid daripada logika proposional disebut Tautologi.

· Suatu formula P dikatakan satisfiable/dapat-puas jika ia true dibawah suatu interpretasi (I) daripada P.

· Suatu formula P dikatakan kontradiksi/ contradictory ( unsatis fiable/ tak terpenuhi) jika ia false dibawah setiap/ semua inter pretasi (I) daripada P.

Catatan : pada bukunya Zohar Manna and Richard Waldinger formula ditulis dengan sentence/closed formula.



Jumadi 0856 22 0660 3


Implies, Equivalent, dan Consistent

·Suatu kalimat P implies suatu kalimat Q jika, untuk sebarang Interpretasi (I) daripada P dan Q, jika P true untuk I maka Q true untuk I.

·Dua kalimat P dan G ekuivalen/ equivalent jika setiap interpre tasi (I) untuk P dan G , P mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenarannya G.

·Seperangkat kalimat P1,P2,P3,…. Dikatakan konsisten jika terdapat suatu interpretasi untuk P1,P2,P3,…. Dibawah mana setiap Pi bernilai true.

Catatan : Kalimat/sentence adl formula tertutup/closed formula (buku Logic for Computer Science, Arindama Singh, hal 59)

Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent ( Zohar Manna and Richard Waldinger)



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]

Fungsi Kebenaran/Truth Functions

Fungsi Kebenaran (kadang disebut suatu operator logis) adalah suatu fungsi yang mengambil nilai-kebenaran se bagai argumen dan selalu menghasilkan salah satu dari nilai T atau nilai F. Suatu fungsi kebenaran dapat mempu nyai sejumlah operand (kadang-kadang disebut argumen atau tempat).

Suatu fungsi dengan satu operand disebut suatu fungsi kebenaran monadika ( ).Jika mempunyai dua operand disebut dengan fungsi kebenaran diadika (, , , ), jika tiga triadika ( If… then … else … ) .



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Monadika

Terdapat 4 (=2^2) kemungkinan tabel-kebenaran untuk operator-monadika (terdapat dua entri dalam tabel-kebe naran masing-masing T dan F) yg dapat dilihat dibawah ini :

Empat kolom tersebut adalah : 1) f0 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu F (falsum) 2) f1 : Operator negasi (lihat dibagian terdahulu) 3) f2 : Suatu fungsi yang bernilai seperti p (assertium) 4) f3 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu T (Verum)

p

TF

f0

FF

f1

FT

f2

TF

f3

TT

f0(p) : f0(T) = F f0(F) = F

f1(p) : f1(T) = F f1(F) = T

f2(p) : f2(T) = T f2(F) = F

f3(p) : f3(T) = T f3(F) = T



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Diadika

p

TTFF

q

TFTF

g0

FFFF

g1

FFFT

g2

FFTF

g3

FFTT

g4

FTFF

g5

FTFT

g6

FTTF

g7

FTTT

g8

TFFF

g9

TFFT

h0

TFTF

h1

TFTT

h2

TTFF

h3

TTFT

h4

TTTF

h5

TTTT

h5 : verum ( suatu tautologi diadika ) ; (h5(p,q) = T) g0 : falsum (fungsi diadika yang selalu bernilai F) h2 : bernilai sama dengan p ; (h2(p,q) = p) h0 : bernilai sama dengan q g3 : negasi daripada p, selalu bernilai sm-dng p) g5 : negasi daripada q, selalu bernilai sm-dng q) 10 (sepuluh) sisanya dibicarakan berikut ini

; (h0(p,q) = q)



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Diadika

p

TTFF

q

TFTF

g0

FFFF

g1

FFFT

g2

FFTF

g3

FFTT

g4

FTFF

g5

FTFT

g6

FTTF

g7

FTTT

g8

TFFF

g9

TFFT

h0

TFTF

h1

TFTT

h2

TTFF

h3

TTFT

h4

TTTF

h5

TTTT

g6 : Operator “non-equivalent”, “Exclusive Or” (disajikan dengan , , atau , atau XOR); p q =T (p q) (p q) =T (p q) (q p) g1 : NOR, Joint denial, Pierce’s arrow (), negasi dp disjoint p q =T (p q) = p q g7 : Operator “NAND”, “Incompatibility”, “Stroke”, “fungsi stroke Sheffer”, (simbol / atau ), negasi dp konjungsi p/q =T (p q) = p q ; (p/q) = (pq) g4,g2 : fungsi “non implikasi” ( disajikan dengan )

p q =T (p q) p q =T p (q)



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Triadika

Operator triadika mempunyai 3 (tiga) operand. Dari 256 (= 28), pada saat ini hanya beberapa yang dapat langsung dimanfaatkan. Operator triadika ini sulit untuk disimbolkan, seperti misalnya operator “If…then…else…” disini variabel nya berupa titik-titik.

Beberapa operator triadik adalah : 1) Kondisi terkondisi (conditioned disjunction). If…then…else… disimbolkan [p,q,r] 2) Inkompatibel terkondisi dengan simbol [[p,q,r]] 3) L2 (mayoritas) ; L2(p,q,r) =T (pq) (qr) (rp); bernilai T jika paling sedikit dua atu lebih argumen bernilai T 4) L1 (Paling sedikit satu); dst



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Triadika

1) Disjungsi terkondisi; Ditulis [p,q,r] , diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika ditulis dengan “If-then-else” maka menjadi “If q then p else r”. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah :

[p,q,r] =T (q p) (q r)

(q1TTFFTTFF

2TTFFFFFF

p) 1TTTTFFFF

4TTTFFFTF

( 2FFTTFFTT

q 1TTFFTTFF

3FFTFFFTF

r) 1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTFFFTF



Jumadi 0856 22 0660 3

Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]Operator Triadika

2) Inkompatibelitas terkondisi; Ditulis [[p,q,r]] , ada kaitannya dengan disjungsi terkon disi diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah :

[[p,q,r]] =T (q p) (q r)

(q1TTFFTTFF

3FFFFTTFF

p)) 1TTTTFFFF

4FFFTTTFT

(( 2FFTTFFTT

q) 1TTFFTTFF

3FFFTFFFT

r)) 1TFTFTFTF

p1FFFFTTTT

q1TTFFTTFF

r1FTFTFTFT

4FFFTTTFT

( 2FTFTFTFT

( 2FFFFTTTT



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Triadika

(q1TTFFTTFF

2TTFFFFFF

p) 1TTTTFFFF

4TTTFFFTF

( 2FFTTFFTT

q 1TTFFTTFF

3FFTFFFTF

r) 1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTFFFTF

(q1TTFFTTFF

3FFFFTTFF

p)) 1TTTTFFFF

4FFFTTTFT

(( 2FFTTFFTT

q) 1TTFFTTFF

3FFFTFFFT

r)) 1TFTFTFTF

p1FFFFTTTT

q1TTFFTTFF

r1FTFTFTFT

4FFFTTTFT

( 2FTFTFTFT

( 2FFFFTTTT

Ternyata bahwa : [p,q,r] =T [[p,q,r]] , Disj-tkond = negasi Inkomptbl-Tkond



Jumadi 0856 22 0660 3


3) L2 Mayoritas; Ditulis L2(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 2 (dua) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L2 di artikan dengan “Paling sedikit dua”. Tabel kebenaran nya adalah : L2(p,q,r) =T (p q) (q r) (r p)

(p1TTTTFFFF

2TTFFFFFF

q) 1TTFFTTFF

3TTFFTFFF

(q 1TTFFTTFF

2TFFFTFFF

r) 1TFTFTFTF

(r 1TFTFTFTF

2TFTFFFFF

p) 1TTTTFFFF

4TTTFTFFF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTFTFFF

3T2T2T1T2T1T1T0T



Jumadi 0856 22 0660 3


4) L1 Paling sedikit satu ; Ditulis L1(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 1 (satu) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L1 di artikan dengan “Paling sedikit satu”. Tabel kebenaran nya adalah : L1(p,q,r) =T (p q r)

p1TTTTFFFF

q 1TTFFTTFF

3TTTTTTTF

2TTTTTTFF

r1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TTTT TT TF

3T2T2T1T2T1T1T0T



Jumadi 0856 22 0660 3


Operator Triadika

4) L3 Paling sedikit tiga ; Ditulis L3(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 3 (tiga) argumennya bernilai T. L3 diartikan dengan “Paling sedikit tiga”. Tabel kebenarannya adalah : L3(p,q,r) =T (p q r)

p1TTTTFFFF

q 1TTFFTTFF

3TFFFFFFF

2TTFFFFFF

r1TFTFTFTF

p1TTTTFFFF

q1TTFFTTFF

r1TFTFTFTF

4TFFF FF FF

3T2T2T1T2T1T1T0T



Jumadi 0856 22 0660 3


Fungsi Kebenaran

Teorema :

Sebarang fungsi kebenaran f(p1 ,p2 , . . . pn) dari n variabel proposisional p1 , p2 . . . pn selalu dapat diekspresikan dalam bentuk fungsi kebenaran diadika dan monadika.

Pembuktiannya dengan menggunakan induksi.

Contoh dalam disjungsi terkondisi adalah :

f(p1,p2,...,pn) =T [f1(p2 ,...,pn) ,p1 , f2(p2,...,pn)]

pengertian logika informatika

Technology

yesapakah ini suatu

apakah ini suatu pernyataan

apakah ini suatu statement

apakah ini merupakan

apakah suatu statement

atau disjungsi atau

atau exclusive

atau bikondisional