PASOS PARA ENCONTRAR LA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (MATRIZ [L])Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, as como tambin convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal segn corresponda en cada uno. Esquemticamente se busca lo siguiente:

Originalmente se tena:

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuacin y se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b. PASOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES POR EL MTODO DE DESCOMPOSICIN LU 1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U. 2. Resolver Ly = b (para encontrar y). 3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y". 4. Realizar Ux = y (para encontrar x). 5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incgnitas de la ecuacin. EJEMPLO 1 DE DESCOMPOSICIN LU PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3para el siguiente sistema de ecuaciones:

NOTA: Recurdese que si la matriz es 2x2 se har 1 iteracin; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y as sucesivamente. SOLUCIN: 4 [A] = 5 1 -2 -1 1 2 -1 -4 [B] = 9 7 12

ITERACIN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25 factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25 Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2) fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0 a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5 a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25 a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0 a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5 a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75 4 [U] = 0 0 Encontrando [L] -2 3.5 -1 0.25

2.5 - 0.75

1 [L] = 1.25 0.25

0 0 0

0 0 0

ITERACIN 2 factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143 Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0 a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0 a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286 4 [U] = 0 0 Encontrando [L] 1 [L] = 1.25 0 1 0 0 1 -2 3.5 0 -1 0.25 - 0.9285714286

0.25 0.7142857143

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El ltimo paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solucin del sistema es:

Este es finalmente el valorde x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposicin LU. EJEMPLO 2 DE DESCOMPOSICIN LU PROBLEMA: Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:

SOLUCIN: 11 [A] = 5 4 -3 -2 -7 -2 -8 2 18 [B] = 13 2

ITERACIN 1 factor 1 = (a21 / a11) = 5/11 = 0.4545454545 factor 2 = (a31 / a11) = 4/11 = 0.3636363636

Encontrando [U] fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)

fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3) a11 = a11 a12 = a12 a13 = a13 a21 = - (0.4545454545) * (11) + (5) = 0 a22 = - (0.4545454545) * (- 3) + (- 2) = - 0.6363636365 a23 = - (0.4545454545) + (- 2) + (- 8) = - 7.0909090919 a31 = - (0.3636363636) * (11) + (4) = 0 a32 = - (0.3636363636) * (- 3) + (- 7) = - 5.909090909 a33 = - (0.3636363636) * (- 2) + (2) = 2.7272727272 11 [U] = 0 0 Encontrando [L] 1 [L] = 0.45454545 0.36363636 0 0 0 0 0 0 -3 -2

- 0.6363636365 - 7.0909090919 - 5.909090909 2.7272727272

ITERACIN 2 factor 3 = (u32/u22) = - 5.909090909 / - 0.6363636365 = 9.285714284

Encontrando [U] fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3) a31 = - (9.285714284) * (0) + (0) = 0 a32 = - (9.285714284) * (- 0.6363636365) + (- 5.909090909) = 0 a33 = - (9.285714284) * (- 7.0909090919) + (2.7272727272) = 68.57142857 11 [U] = 0 -3 -2

- 0.6363636365 - 7.0909090919

0 Encontrando [L] 1

0

68.57142857

0 1

0 0 1

[L] = 0.4545454545

0.3636363636 9.285714284

Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:

Al resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:

El ltimo paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:

La solucin del sistema es:

Este es finalmente el valor de x1, x2 y x3; es decir, la respuesta del ejercicio utilizando la descomposicin LU.

MTODO DE GAUSS-SEIDELEl mtodo de Gauss-Seidel es un mtodo iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuacin 1 despejar x1, de la ecuacin 2 despejar x2, , de la ecuacin n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este ltimo conjunto de ecuaciones son las que forman las frmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,, xn; esto dar un primer valor para x1. Ms precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuacin 2, y las variables x3,, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos ltimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuacin 3, mientras que x4, , xn siguen teniendo el valor de cero; y as sucesivamente hasta llegar a la ltima ecuacin. Todo este paso arrojar una lista de primeros valores para las incgnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensin esto se simbolizar de esta forma:

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos ltimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendr una segunda lista de valores para cada una de las incgnitas, lo cual se simbolizar as:

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incgnitas. La lista de errores se presenta a continuacin:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde

se debe prefijar convenientemente.

EJEMPLO 1 DEL MTODO DE GAUSS-SEIDELPROBLEMA: Usar el mtodo de Gauss-Seidel para aproximar la solucin del sistema:

hasta que SOLUCIN: Primero se despejan las incgnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas ltimas son el juego de frmulas iterativas que se estar utilizando. Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = x3 = 0 en la primera ecuacin, para calcular el valor de x1:

Ahora se sustituye

y x3 = 0 en la segunda ecuacin para obtener x2:

Ahora se sustituye obtener x3:

y

en la tercera ecuacin para

As se tiene la primera aproximacin a la solucin del sistema:

Puesto que todava no se puede calcular ningn error aproximado, se repite el proceso pero ahora con los ltimos datos obtenidos para las incgnitas: Sustituyendo Sustituyendo y y en la ecuacin 1 se obtiene en la ecuacin 2 se obtiene

finalmente, sustituyendo y en la ecuacin 3 se obtiene . Es as como se tiene la segunda lista de valores de aproximacin a la solucin del sistema:

Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incgnitas:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, se debe repetir el mismo proceso con los ltimos valores obtenidos de cada una de las incgnitas. Ntese que aunque el error aproximado ya cumple con ser menor al 1%, esto se debe cumplir para los tres errores aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solucin aproximada es:

Importante observacin respecto al mtodo de Gauss-Seidel: Es lgico preguntarse si siempre el mtodo de Gauss-Seidel converge a la solucin del sistema de ecuaciones y tambin es lgico esperar que la respuesta es NO. Un resultado de Anlisis numrico da una condicin suficiente para la convergencia del mtodo. Teorema: El mtodo de Gauss-Seidel converge a la solucin del sistema si se cumple la condicin de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condicin:

La condicin de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los dems elementos del mismo rengln. Ntese que en el ejemplo anterior, la matriz s es diagonalmente dominante y por lo tanto, el mtodo de Gauss-Seidel s converge a la solucin del sistema. Sin embargo, la condicin de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condicin suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condicin y que s convergen a la solucin y tambin existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condicin y que no convergen a la solucin. Finalmente, obsrvese que aunque un sistema no cumpla con la condicin de ser diagonalmente dominante, es posible a veces, lograr que s se cumpla con esta condicin mediante un intercambio de renglones, como se ver en el siguiente ejemplo: EJEMPLO 2 DEL MTODO DE GAUSS-SEIDEL PROBLEMA: Usar el mtodo de Gauss-Seidel para aproximar la solucin del sistema:

hasta que SOLUCIN: En este caso se puede observar que el sistema no es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes clculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto. La condicin se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 2.5 > (0.7 + 15) 2.5 > 15.7; no es cierto. La condicin no se cumple para la segunda fila. |a33| > (|a31| + |a32|) 4.4 > (3.3 + 11) 4.4 > 14.3; no es cierto. La condicin no se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condicin debe cumplirse para todas las filas. Por lo tanto, el sistema anterior no es diagonalmente dominante. NOTA: Recurdese que la diagonal principal est compuesta por a11, a22 y a33. Sin embargo, al hacer el intercambio del rengln 2 por el rengln 3, se tiene el siguiente sistema:

En este caso se puede observar que el sistema s es diagonalmente dominante, lo cual se comprueba con los siguientes clculos: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 5 > (1.4 + 2.7) 5 > 4.1; es cierto.

La condicin se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 11 > (3.3 + 4.4) 11 > 7.7; es cierto. La condicin se cumple para la segunda fila. |a33| > (|a31| + |a32|) 15 > (0.7 + 2.5) 15 > 3.2; es cierto. La condicin se cumple para la tercera fila. Para que el sistema sea diagonalmente dominante, la condicin debe cumplirse para todas las filas. En este caso efectivamente la condicin se cumple para todas las filas, por lo cual el sistema anterior es diagonalmente dominante. Por lo tanto se procede a despejar x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente:

Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x2 = 0 x3 = 0 en la ecuacin 1 para obtener x1:

Ahora se sustituye x1 = -18.84 y x3 = 0 en la ecuacin 2 para obtener x2:

Por lo tanto los valores obtenidos en la primera iteracin son:

Puesto que slo se tiene la primera aproximacin de la solucin del sistema, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Sustituyendo x2 = -3.152 y x3 = -0.04613 en la ecuacin 1, se obtiene x1 = -19.69765; sustituyendo x1 = -19.69765 y x3 = -0.04613 en la ecuacin 2, se obtiene x2 = -3.42775; sustituyendo x1 = -19.69765 y x2 = -3.42775 en la ecuacin 3, se obtiene x3 = -0.05207. Por lo tanto, la segunda aproximacin es:

Ahora se pueden calcular los errores aproximados para cada una de las incgnitas:

Puesto que no se ha cumplido el objetivo, se debe seguir avanzando en el proceso iterativo. Se resumen los resultados de esta manera: Tercera iteracin:

Cuarta iteracin:

As, el objetivo se ha logrado hasta la cuarta iteracin y se tiene que los valores aproximados de la solucin del sistema son:

CONCLUSINLuego de haber estudiado a profundidad estos temas o herramientas para resolver sistemas de ecuaciones, se concluye que para resolver estos sistemas de ecuaciones lineales existen diferentes mtodos, pero depender del gusto de cada persona elegir uno en especfico. Sin embargo, muchas veces la eleccin no ser arbitraria, pues cada mtodo tiene sus ventajas y sus desventajas. Algunos mtodos son ms exactos, otros ms fciles de programar, otros ms cortos, etc. Para ser capaces de elegir un mtodo apropiado, lo primero que se necesita es comprender cmo se desarrolla cada uno de estos procesos. Luego de la elaboracin de este reporte, ya se tiene una buena base y el conocimiento de los temas para poder comenzar a programar en la computadora estos procesos. Como se mencion en la introduccin, los dos

mtodos estudiados en este trabajo son ideales para programarlos por computadora, pues son iterativos y muy largos. Trabajar esto en papel podra resultar extremadamente largo y tedioso. Por ello son mtodos ideales para trabajarlos en computadora. El aprendizaje adquirido en esta investigacin ha sido de gran valor y seguramente servir de la misma manera a aquellos quienes posteriormente lean estas explicaciones y lo expuesto en este reporte.