mediciones fundamentales

Física General

Unidad II: Mediciones y Unidades

La medición es de vital importancia para todos nosotros. Es una de las formas concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo

2010

Miguel Olalla P. ESPOCH

22/09/2010

Unidad II: Mediciones Fundamentales Juan Miguel Olalla P

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Contenido 2.1. INTRODUCCIÓN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2.2. SISTEMAS DE UNIDADES ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2.3. SISTEMA INTERNACIONAL (SI) --------------------------------------------------------------------------------------------- 4

2.3.1. MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS EN EL SI ----------------------------------------------------------------------------------- 6

2.4. ANÁLISIS DIMENSIONAL ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 6

2.5. CONVERSIÓN DE UNIDADES ---------------------------------------------------------------------------------------------- 10

2.6. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO --------------------------------------------------------------------------------- 12

2.7. EJERCICIOS RESUELTOS----------------------------------------------------------------------------------------------------- 14

2.8. PREGUNTAS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

2.9. EJERCICIOS PROPUESTOS -------------------------------------------------------------------------------------------------- 19

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ------------------------------------------------------------------------------------------------ 21

INDICE -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22


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2.1. Introducción

La medición es de vital importancia para todos nosotros. Es una de las formas

concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo. Esto es muy particularmente

cierto en la física. La física se refiere a la descripción y la comprensión de la

naturaleza, y la medición es una de las herramientas más importantes.

La medición es por tanto una operación clave. Por lo cual la definimos como:

“Una técnica por medio de la cual asignamos un número a una magnitud física;

como resultado de comparar dicha magnitud con otra similar tomada como

patrón, la cual se ha adoptado como unidad”

2.2. Sistemas de Unidades

A través de la historia, se han utilizado varios sistemas de unidades, como son el

sistema inglés, técnico o terrestre, c.g.s, MKS y Sistema Internacional (SI). En la tabla

2.1., se describen algunas unidades importantes de los sistemas inglés, técnico y cgs.

ALGUNAS UNIDADES IMPORTANTES

MAGNITUD SISTEMA INGLÉS SISTEMA TÉCNICO SISTEMA c.g.s

Longitud pie (푝푖푒) metro (푚) centímetro (푐푚)

Masa libra (푙푏) unidad técnica de masa (푢푡푚) gramo (푔)

Tiempo segundo (푠) segundo (푠) segundo (푠)

Fuerza poundal (푝표푢푛푑) kilopondio (푘푝) dina (푑푖푛푎)

Presión psi (푙푏/푝푖푒 ) 퐾푝 / 푚 baria (푏)

Trabajo o Energía 푝표푢푛푑 ∗ 푝푖푒 kilográmetro (푘푔푚) ergio (푒푟푔)

Potencia caballo de fuerza (ℎ푝) 퐾푔푚 / 푠 푒푟푔 / 푠

Tabla 2.1. Unidades importantes de los sistemas: inglés, técnico y c.g.s.


4

En 1901 el físico italiano Giovanni Giorgi propuso el llamado sistema MKS o sistema

Giorgi. A partir del MKS se originó el Systéme International d'Unités (SI). El SI fue

adoptado y recomendado por el 11º Congreso General de Pesos y Medidas en 1960.

2.3. Sistema Internacional (SI)

El SI se fundamenta en siete unidades fundamentales y dos unidades

complementarias, reflejadas en la Tabla 2.2., que se consideran dimensionalmente

independientes. Todas las otras unidades son derivadas, coherentemente formadas

multiplicando y dividiendo unidades fundamentales, algunas de las cuales se

muestran en las tablas 2.3 y 2.4.

UNIDADES FUNDAMENTALES DEL SI

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DIMENSION

Longitud metro 푚 퐿

Masa kilogramo 푘푔 푀

Tiempo segundo 푠 푇

Intensidad de Corriente eléctrica amperio 퐴 퐼

Temperatura termodinámica kelvin 퐾 휃

Intensidad luminosa candela 푐푑 Ψ

Cantidad de sustancia mol 푚표푙 Ν

UNIDADES COMPLEMENTARIAS

Angulo Plano radián 푟푎푑 훼

Angulo Sólido estéreo radián 푠푟 휔

Tabla 2.2. Unidades Fundamentales del Sistema Internacional (SI) con sus respectivos nombres, símbolos y dimensión.


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UNIDADES DERIVADAS

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

Superficie metro cuadrado 푚

Volumen metro cúbico 푚

Velocidad metro por segundo 푚 ∙ 푠

Aceleración metro por segundo cuadrado 푚 ∙ 푠

Número de onda Metro a la potencia menos uno 푚

Densidad kilogramo por metro cúbico 푘푔 · 푚

Velocidad angular radián por segundo 푟푎푑 · 푠

Aceleración angular radián por segundo cuadrado 푟푎푑 · 푠

Tabla 2.3. Unidades SI derivadas a partir de las fundamentales y complementarias.

UNIDADES SI DERIVADAS ESPECIALES

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO EXPRESIÓN EN OTRAS

UNIDADES SI

EXPRESIÓN EN UNIDADES SI

FUNDAMENTALES

Frecuencia hertz 퐻푧 ------------ 푠

Fuerza newton 푁 ------------ 푚 · 푘푔 · 푠

Energía, trabajo, cantidad de calor

joule 퐽 푁 · 푚 푚 · 푘푔 · 푠

Potencia watt 푊 퐽 · 푠 푚 · 푘푔 · 푠

carga eléctrica coulomb 퐶 -------------- 푠 · 퐴

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

voltio 푉 푊 · 퐴 푚 · 푘푔 · 푠 · 퐴

Resistencia eléctrica ohm Ω 푉 · 퐴 푚 · 푘푔 · 푠 · 퐴

Capacidad eléctrica faradio 퐹 퐶 · 푉 푚 · 푘푔 · 푠 · 퐴

Tabla 2.4. Unidades SI derivadas que tienen nombres propios.


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2.3.1. Múltiplos y Submúltiplos en el SI

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS

FACTOR PREFIJO SÍMBOLO FACTOR PREFIJO SÍMBOLO

10 yotta 푌 10 deci 푑

10 zetta 푍 10 centi 푐

10 exa 퐸 10 milli, mili 푚

10 peta 푃 10 micro 휇

10 tera 푇 10 nano 푛

10 giga 퐺 10 pico 푝

10 mega 푀 10 femto 푓

10 kilo 푘 10 atto 푎

10 hecto ℎ 10 zepto 푧

10 deka, deca 푑푎 10 yocto 푦

Tabla 2.5. Múltiplos y submúltiplos decimales del sistema Internacional de Unidades (SI).

2.4. Análisis Dimensional

El análisis dimensional es un procedimiento mediante el cual se puede comprobar la

consistencia dimensional de cualquier ecuación. Usted ha utilizado ecuaciones y sabe

que una ecuación es una igualdad matemática. Dado que las magnitudes físicas

utilizadas en las ecuaciones tienen dimensiones, los dos lados de una ecuación deben

ser iguales, no sólo en magnitud numérica, sino también en sus dimensiones. Y las

dimensiones se deben tratar como magnitudes algebraicas; es decir, pueden ser

multiplicadas o divididas.


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Las siguientes son recomendaciones básicas en el análisis dimensional:

a) Las dimensiones se escriben entre corchetes

b) La suma o resta de las mismas dimensiones origina la misma dimensión, es decir:

[푇] + [푇] – [푇] + [푇] = [푇]

c) Cualquiera que sea el coeficiente numérico, y cualquiera que sean las constantes,

siempre se reemplazan por la unidad, es decir:

2 [푀] + 8 [푀] + 휋[푀] = [푀]

d) Las dimensiones deben seguir el orden establecido en la ecuación 3.1.

푀푎푔푛푖푡푢푑 푑푒푟푖푣푎푑푎 (푀퐷) = 퐿 푀 푇 퐼 휃 휑 푁 훼 휔 (Ec. 3.1)

e) Se escriben siempre en forma de entero, y si es quebrado se hace entero, es decir:

[퐿푇][푀] = [퐿푀 푇]

Ejemplo 2.1. ¿Cuáles son las dimensiones de 푘 ,푘 ,푘 ,푘 en la relación dada por

푠 = 푘 푡 + 푘 푡 + 푘 푠 + 푘 ? Donde 푠 representa a la longitud y 푡 representa al tiempo

Solución: Cada término de la suma debe tener la dimensión de una longitud,

porque la ecuación debe ser homogénea.

퐿 = 푘 푇 + 푘 푇 + 푘 퐿 + 푘

퐿 = 푇 + 푇 + (1)퐿 + (퐿)

Por tanto:

푘 = = 퐿푇 Dimensión de una velocidad

푘 = = 퐿푇 Dimensión de una aceleración

푘 = 1 No tiene dimensión

푘 = 퐿 Dimensión de una longitud


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Ejemplo 2.2. Hallar las ecuaciones dimensionales de: a) rapidez 푣, b) aceleración 푎, c)

fuerza 퐹 y d) densidad 휌, sabiendo que la rapidez es 푣 = 푑/푡, la aceleración es

푎 = 푑/푡 , la fuerza es 퐹 = 푚푎 y la densidad es = 푚/푉. Donde: 푑 es distancia, 푡 es

tiempo, 푚 es masa y 푉 es volumen.

Solución: a) 푣 = 푑/푡 [푣] = [퐿푇 ]

b) 푎 = 푑/푡 [푎] = [퐿푇 ]

c) 퐹 = 푚푎 [퐹] = [퐿푀푇 ]

d) = 푚/푉 [] = [퐿 푀]

Ejemplo 2.3. La potencia de una hélice impulsora de un barco es: 푃 = 퐾푤 푟 휌 ;

siendo: 휔 la velocidad angular, 푟 el radio de la hélice y 휌 la densidad del agua de mar.

Hallar los valores de 푥, 푦, 푧.

Solución: Calculamos en primer lugar las ecuaciones dimensionales de cada uno

de los elementos de la ecuación:

Potencia: [푃] = [퐿 푀푇 ] (trabajo / tiempo)

Constante 퐾: [퐾] = [1]

Velocidad angular: [푤] = [푇 ] (ángulo / tiempo)

Radio: [푟] = [퐿]

Densidad: [] = [퐿 푀] (masa / volumen)

Sustituyendo estos valores en la ecuación propuesta:

[퐿 푀푇 ] = [1][푇 ] [퐿] [퐿 푀]

Osea, [퐿 푀푇 ] = [퐿 푀 푇 ]

De donde se tiene que: 푥 = 3,푦 = 5 y 푧 = 1

Hasta ahora hemos estado trabajando en los sistemas absolutos; sin embargo,


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podemos también expresar las dimensiones en otro sistema llamado Técnico o

gravitacional, en el cual simplemente debe aparecer la dimensión [퐹] de la fuerza en

lugar de la dimensión [푀] de la masa; por ejemplo, la dimensión de la masa es

퐿 퐹푇 ], del trabajo es [퐹퐿], de la potencia es [퐹퐿푇 ], etc.

Ejemplo 2.4. En la siguiente expresión hallar las dimensiones de 푥 en el sistema

gravitacional, donde 푀 es la masa:

푀 =

√

Solución: Elevando al cuadrado y considerando la expresión dato:

푀 =

√

→ 푀 = → 푥 = 푀

Ahora, la fuerza se define por 퐹 = 푀푎, entonces 푥 = (퐹/푎) , utilizando

el análisis dimensional se observa que: [푥] = [퐹퐿 푇 ] = [퐹 퐿 푇 ].


10

2.5. Conversión de unidades

Debido a que unidades diferentes en el mismo sistema o en sistemas diferentes

pueden expresar la misma magnitud, algunas veces es necesario convertir las

unidades de una magnitud a otra unidad mediante la utilización de los factores de

conversión, por ejemplo, de pies a yardas o de pulgadas a centímetros. En la tabla 2.6

podemos observar algunas equivalencias.

LONGITUD MASA 1Å =10-10 m

1m = 102cm = 39.37 pulg = 6.214 x 10-4 millas

1m = 3,281 pie

1pulgada = 2,540 cm

1 año luz = 9,46 x 1015m

1 parsec = 3,084 x 1016 m 1 m = 5,3967 x 10-4 millas náuticas

1 milla = 1609 m

1 kg = 103 g = 2,205 lb

1 lb = 453,5924g

1 uma = 1,6604 x 10-27 kg 1 utm = 9,8 kg 1 slung = 32,2 lb 1 tonelada = 1000 kg 1 g = 2,205 x 10-3 lb

1 slung = 14,59 kg

FUERZA ENERGIA 1 N = 105 dina = 0,2248 lbf = 0,102 kgf

1 dina = 10-5 N = 2,248 x 10 –6 lbf

1 lbf = 4,448 N = 4,448 x 105 dina

1kgf = 9,81 N 1kgf =22 lbf 1 lbf = 32,2 poundal 1 poundal = 0,1383 N

1 J = 107 erg = 0.239 cal

1 J = 6.242 x 1018 eV

1 eV = 1.60 x 10-12 erg

1 cal = 4.186 J

1BTU = 252 calorias 1 BTU = 1,0550 x 1010 erg 1 J = 9,480 x 10-4 BTU 1 erg = 9,480 x 10-11 BTU

POTENCIA PRESION 1 W = 1,341 x 10-3 hp

1hp = 0,9863 kW

1 Pa = 9,265 x 10–6 atm

1 atm = 14,7 lbf pulg-2 = 1,013 x 105 Pa

1 bar = 106 dina cm-2 1 atm 760 mm de Hg

Tabla 2.6. Algunas equivalencias de unidades entre los diferentes sistemas.


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Ejemplo 2.6. Reducir a) 42 푚푖푙푙푎 · ℎ a 푐푚 · 푠 y b) 22 푙푏 · 푝푖푒 · 푚푖푛 a 푁

Solución: a) 42 = 42 ×

×

×

= ퟏퟖퟕퟕ.ퟏퟕ 풄풎 · 풔 ퟏ

b) 22 · = 22 · × .

× .

×

= ퟎ.ퟖퟒ × ퟏퟎ ퟑ푵

Ejemplo 2.7. Cuál es la densidad 휌 en el SI de un cilindro hueco cuyo diámetro

exterior 퐷 es de 4.0 × 10 푚푖푙푙푎, diámetro interior 푑 de 2. 0 × 10 푚푖푙푙푎 y tiene una

altura de 3.5 푝푢푙푔푎푑푎푠, si la masa 푚 es de 9 푙푏.

Solución: Sabemos que la densidad se define por 휌 = , donde: 푉 = (퐷 − 푑 )ℎ

Entonces: 휌 =( )

Transformamos todos los datos a unidades SI:

푚 = 8 푙푏 × .

×

= 3.63 푘푔

퐷 = 4.0 × 10 푚푖푙푙푎 ×

= 0.64 푚

푑 = 2.0 × 10 푚푖푙푙푎 ×

= 0.32 푚

ℎ = 3.5 푝푢푙푔푎푑푎푠 × . ×

= 0.089 푚

Reemplazando todos estos valores en la ecuación anterior se obtiene:

휌 =( )

= ( . )[( . ) ( . ) ]( . )

= ퟏퟔퟗ.ퟎퟓ 풌품풎ퟑ


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2.6. Cifras Significativas y Redondeo

Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen

significado real o aportan alguna información. Las cifras significativas de un número

vienen determinadas por su error; y son aquellas que ocupan una posición igual o

superior al orden o posición del error.

Por ejemplo, consideremos una medida de longitud cuyo valor es de 5432,4764 푚 con

un error de 0,8 푚. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente

que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no

aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con

precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 푚? Las cifras

significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas,

unidades, decenas, pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Las siguientes recomendaciones son importantes en el uso de cifras significativas:

1. Los ceros al principio de un número no son significativos. Tan sólo indican la

colocación del punto decimal; Por ejemplo, el número 0.0254 푚 tiene 3 cifras

significativas.

2. Los ceros dentro de un número sí son significativos; Por ejemplo, el número

105.7 푚 tiene 4 cifras significativas.

3. Los ceros al final de un número, después del punto decimal son significativos;

Por ejemplo, el número 2705.0 푚 tiene 5 cifras significativas.

4. En números enteros sin punto decimal que tienen al final uno o más ceros (por

ejemplo 500 kg), los ceros pueden o no ser significativos. En estos casos, no

queda claro cuáles ceros sirven sólo para localizar el punto decimal y cuáles

son parte de la medición. Es decir, si el primer cero a la izquierda (500 kg)

fuera el dígito estimado en la medición, entonces, sólo se conocen

confiablemente dos dígitos y sólo hay dos cifras significativas. De manera

similar, si el último cero fue el dígito estimado (500 kg), entonces hay tres


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cifras significativas. Esta ambigüedad se puede eliminar utilizando la notación

científica.

5.0 × 10 푘푔 dos cifras significativas

5.00 × 10 푘푔 tres cifras significativas

Esto ayuda a expresar los resultados de los cálculos con el número apropiado de

cifras significativas.

Es importante dar a conocer los resultados de las operaciones matemáticas con el

número adecuado de cifras significativas. La siguiente regla general nos dice cómo

determinar el número de cifras significativas en el resultado de una multiplicación o

de una división:

“El resultado final de una operación de multiplicación o de división debe tener el

mismo número de cifras significativas que la cantidad con el menor número de

cifras significativas utilizadas en el cálculo”

Lo que esto significa es que el resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la

cantidad menos exacta que se utilizó; esto es, no se puede ganar en exactitud al

realizar operaciones matemáticas. Por ejemplo:

. . /

= ퟐ.ퟖ 풔

El resultado de la división 2.79245283 se ha redondeado para dejar dos cifras

significativas.

Las reglas para redondear un número son las siguientes:

1. Si el dígito siguiente a la última cifra significativa es 5 o mayor, la última cifra

significativa se aumenta en 1.

2. Si el digito siguiente a la última cifra significativa es menor que 5, la última

cifra significativa se queda igual.


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2.7. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 2.1. Convertir: a) 7.3 × 10 푎ñ표 푙푢푧 a 푝푖푒푠

b) 6.4 × 10 푔 a 푡표푛푒푙푎푑푎푠

Solución:

a) 7.3 × 10 푎ñ표 푙푢푧 × . × ñ

× .

= ퟐퟐퟔ.ퟕퟗ× ퟏퟎퟑ 풑풊풆풔

b) 6.4 × 10 푔 ×

×

= ퟔퟒ.ퟎ × ퟏퟎퟑ 풕풐풏풆풍풂풅풂풔

Ejercicio 2.2. Transformar: a) 1 푛푒푤푡표푛 a 푑푖푛푎푠 y b) 1 푗표푢푙푒 a 푒푟푔푖표푠

Solución:

a) 1 푁 = 1 푁 ×

×

×

= 100000 푔 = ퟏퟎퟓ 풅풊풏풂풔

b) 1 퐽 = 1 퐽 ×

×

× ( )

= 10000000 푔 = ퟏퟎퟕ 풆풓품풊풐풔

Ejercicio 2.3. Una roca cae con una velocidad inicial 푣 de 28 푝푖푒 · 푚푖푛 . Cuál será la

velocidad 푣 que alcanzará la roca en el SI después de haber transcurrido 7.3 × 10 ℎ,

si la aceleración de la gravedad 푔 es igual a 980 푐푚 · 푠 . La expresión para la

velocidad 푣 cuando un cuerpo cae viene dada por 푣 = 푣 + 푔푡

Solución: En primer lugar transformamos las unidades al SI:

푣 = 28 ×

× .

= ퟎ.ퟏퟒ 풎풔

푔 = 980 ×

= ퟗ.ퟖퟎ 풎풔ퟐ

푡 = 7.3 × 10 ℎ ×

= ퟐퟔ.ퟐퟖ 풔

Reemplazando estos valores en la expresión 푣 = 푣 + 푔푡 se encuentra

que la velocidad es: 풗 = ퟐퟓퟕ.ퟔퟖ 풎 · 풔 ퟏ


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Ejercicio 2.4. Una milla náutica es equivalente a 6080.27 푝푖푒푠, y un nudo náutico es

una unidad de velocidad equivalente a una milla náutica sobre hora. Un barco lleva

una velocidad de 12 푛푢푑표푠. ¿Cuál es su velocidad en 푝푖푒푠/푠?

Solución:

12 푛푢푑표푠 = 12 푛푢푑표푠 × á

× .

á×

= ퟐퟎ.ퟐퟔ 풑풊풆풔

풔

Ejercicio 2.5. Una partícula que se mueve por una trayectoria circular de radio

0.58 × 10 푚푚, gira un ángulo 휃 de 135º cada 2. 4 × 10 ℎ. Determine en el SI, la

rapidez 푣 de la partícula y la aceleración centrípeta 푎 , sabiendo que la expresión de la

velocidad es: 푣 = 휔푅; donde 휔 = 휃/푡, y de la aceleración centrípeta es 푎 = 푣 /푅.

Solución: Transformando las unidades al SI se tiene:

휃 = 135º × º

= ퟎ.ퟕퟓ 풓풂풅

푟 = 0.58 × 10 푚푚 ×

= ퟎ.ퟓퟖ 풎

푡 = 2.4 × 10 ℎ ×

= ퟖ.ퟔퟒ 풔

Si reemplazamos estos valores en las expresiones dadas se tiene:

휔 = = . .

= ퟔ.ퟒퟖ 풓풂풅풔

La rapidez es: 푣 = 6.48 (0.58 푚) = ퟑ.ퟕퟔ 풎풔

Mientras que, la aceleración centrípeta es: 푎 = =.

. = ퟐퟒ.ퟑퟖ 풎

풔ퟐ

Ejercicio 2.6. Sabiendo que 1 푝푢푙푔푎푑푎 es igual a 2,54 푐푚, calcúlese, con cinco cifras,

el número de pulgadas que hay en una milla y el número de millas que hay en 1 푘푚.

Solución: 1 푚푖푙푙푎 = 1 푚푖푙푙푎 ×

×

× .

= ퟔퟑ.ퟑퟒퟔ 풑풖풍품풂풅풂풔

1 푘푚 = 1 푘푚 ×

×

= ퟎ.ퟔퟐퟏퟓퟎ 풎풊풍풍풂풔


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Ejercicio 2.7. La masa de la tierra es de 5,98 × 10 푘푔, y su radio de 6,38 × 10 푚.

Calcúlese la densidad de la tierra utilizando la notación en potencias de diez, sabiendo

que la expresión de la densidad es: 휌 = ; donde, 푉 = .

Solución: 휌 = = × , ×( , × )

= ퟓ.ퟒퟗ × ퟏퟎퟑ 풌품풎ퟑ

Ejercicio 2.8. Diga si las siguientes ecuaciones son o no homogéneas:

a) 푣 = 푣 + 2푎푥

b) 푥 = 푥 + 푣 푡 + 푎푡

c) 푃 =

Donde: 푣 es la rapidez inicial; 푣 la rapidez final; 푥 el espacio recorrido; 푎 la

aceleración; 푃 la potencia; 퐹 la fuerza y 푡 el tiempo.

Solución:

a) [퐿푇 ] = [퐿푇 ] + [퐿푇 ][퐿] [푳푻 ퟏ]ퟐ = [푳푻 ퟏ]ퟐ; si es homogénea

b) [퐿] = [퐿] + [퐿푇 ][푇] + [퐿푇 ][푇 ] [푳] = [푳]; si es homogénea

c) [퐿 푀푇 ] = [퐿푀푇 ][퐿푇 ] [푳ퟐ푴푻 ퟑ] = [푳ퟐ푴푻 ퟑ]; si es homogénea

Ejercicio 2.9. Se sabe que la fórmula del período de un péndulo es: 푇 = 2휋퐿 푔 .

Donde: 푇 es el período, 퐿 la longitud y 푔 la aceleración de la gravedad. Encontrar los

valores numéricos de 푥 e 푦.

Solución: Por los datos del ejercicio: 푇 = [푇]; 2휋 = [1]; 퐿 = [퐿] y 푔 = [퐿푇 ].

Sustituyendo: 푇 = [퐿] [퐿푇 ] = [퐿 푇 ]

Luego: 퐿 푇 = [퐿 푇 ]

Comparando ambos miembros de la ecuación se tiene que: 푥 + 푦 = 0 y

−2푦 = 1, resolviendo el sistema se obtiene: 풙 = ퟏퟐ

,풚 = − ퟏퟐ


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Ejercicio 2.10. La Ley de la atracción universal de las masas establece que:

퐹 = 퐺 . Hallar la ecuación dimensional de la constante 퐺.

Solución: Se sabe que: [퐹] = [퐿푀푇 ]; 푑 = [퐿]; 푚 ,푚 = [푀]; entonces

despejando 퐾 y reemplazando las dimensiones se tiene que:

퐺 =

[퐺] = [퐿푀푇 ][퐿 ][푀 ] = [푳ퟑ푴 ퟏ푻 ퟐ]

Ejercicio 2.11. La frecuencia de oscilación de una cuerda depende de su longitud 퐿, la

fuerza 퐹 a la cual se encuentra sometida y a su densidad lineal de masa 휆. Usando el

análisis dimensional, encontrar esta dependencia.

Solución: Asumimos que la dependencia es de la forma: 푓 ∝ 퐿 퐹 휌

Para encontrar 푥,푦, 푧, se debe asumir que las dimensiones en ambos

miembros de la ecuación propuesta son iguales:

[푇 ] ∝ [퐿] [퐹] [휌]

[푇 ] ∝ [퐿] [퐿푀푇 ] [퐿 푀]

[푇 ] ∝ [퐿 푀 푇 ]

Esta proporción formada es cierta siempre y cuando: −2푦 = −1;

푦 + 푧 = 0 y 푥 + 푦– 푧 = 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta

que 푥 = −1,푦 = , 푧 = − . Finalmente:

풇 ∝ 푳 ퟏ푭ퟏ/ퟐ흆 ퟏ/ퟐ = ퟏ푳

푭흆


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2.8. Preguntas

1. En un taller de maquinas se producen dos levas, una de aluminio y una de hierro.

Ambas tienen la misma masa. ¿Cuál es la leva más grande? (a) la de aluminio (b)

la de hierro (c) ambas levas tienen la misma dimensión.

2. Verdadero o falso: El análisis dimensional puede dar el valor numérico de

constantes de proporcionalidad que aparecen en una expresión algebraica

3. La distancia entre dos ciudades es 100 millas. El número de kilómetros entre las

dos ciudades es (a) menor a 100 (b) mayor a 100 (c) igual a 100

4. Supongamos que el lector mide la posición de una silla con una cinta métrica y

anota que el centro del asiento mide 1.043 860 564 2 m desde una pared. ¿Qué

concluiría a partir de esta medición registrada?

5. Suponga que dos cantidades A y B tienen diferentes dimensiones. Determine

cuál de las siguientes operaciones aritméticas podría tener sentido físicamente:

(a) 퐴 + 퐵, (b) 퐴/퐵 (c) 퐵–퐴 (d) 퐴퐵

6. Encuentre el orden de magnitud de su edad en segundos

7. Estime la masa de este texto en kilogramos. Si cuenta con una balanza,

compruebe su predicción.

8. Si usted aplica el análisis de unidades a una ecuación para conocer las unidades

de una magnitud en particular y el resultado obtenido es 푚 /푚 , la magnitud

tendría: (a) unidades de 푚 , (b) unidades de longitud, (c) unidades de 푚 , ó (d)

no tendría unidades

9. ¿Debe una ecuación ser correcta en análisis dimensional y en análisis de

unidades? Explíquelo.

10. ¿Es correcta dimensionalmente la ecuación 푉 = 휋푑 /4, donde V es el volumen y

d es el diámetro de una esfera? Utilice análisis de unidades SI para averiguarlo.

Si no lo es, ¿Cómo podría hacerse correcta, siendo el lado izquierdo correcto?

11. ¿Cuál de los siguientes tiene el mayor número de cifras significativas: (a)

0.254 푐푚, (b) 0.00254 × 10 푐푚, (c) 254 × 10 푐푚, (d) todos tienen el mismo

número?


19

2.9. Ejercicios Propuestos

Sección 2.4. Análisis dimensional

1. La segunda ley de movimiento de newton se expresa por la ecuación 퐹 = 푚푎, en

donde 퐹 representa la fuerza, 푚 la masa, y 푎 la aceleración. (a) La unidad SI de

fuerza es, apropiadamente, el newton [푁] ¿Cuáles son las unidades SI del

Newton en términos de las magnitudes fundamentales? (b) Utilizando el

resultado de la parte (a), demuestre utilizando el análisis de unidades, que la

ecuación 퐹푡 = 푚푣, donde 푣 es la rapidez y 푡 es el tiempo, es correcta

dimensionalmente.

2. Cuando un cuerpo se mueve con rozamiento, la fuerza debida a la fricción entre

el cuerpo y el plano 퐹 se relaciona con la fuerza normal 푁 por medio de la

relación 퐹 = 휇푁, donde 휇 se conoce como el coeficiente de rozamiento.

Mediante el análisis dimensional encontrar las dimensiones para 휇.

3. Suponiendo que la aceleración 푎 de una partícula que se mueve con rapidez

uniforme 푣 en un círculo de radio 푟 es proporcional a alguna potencia de 푟, por

ejemplo 푟 , y alguna potencia de 푣 como 푣 . Determinar los valores de 푛 y 푚 y

escriba la forma más sencilla de una ecuación para la aceleración.

4. Se sabe que la fuerza centrípeta depende de la masa 푚, la rapidez 푣 y del radio

de giro del cuerpo en rotación 푟. Utilizando el análisis dimensional, encuentre

esta dependencia.

5. La posición de una partícula que se mueve bajo aceleración uniforme es alguna

función del tiempo y la aceleración. Suponiendo que la posición es 푠 = 푘푎 푡 ,

donde 푘 es una constante adimensional. Demostrar por medio del análisis

dimensional que esta expresión se satisface si 푚 = 1 y 푛 = 2. ¿Puede este

análisis dar el valor de 푘?

6. La figura P.16 muestra un cono truncado. De las siguientes expresiones de

medición geométricas, ¿cuál describe (a) la circunferencia total de las caras

circulares planas (b) el volumen (c) el área de la superficie curva? (i)

휋(푟 + 푟 )[ℎ + (푟 − 푟 ) ] / , (ii) 2휋(푟 + 푟 ), (iii) 휋ℎ(푟 + 푟 푟 + 푟 )


20

Sección 2.5. Conversión de Unidades

7. La expresión matemática para la distancia recorrida por un objeto está dada por

푥 = 푣 푡 + 푚푡 , en donde 푣 es la velocidad, 푡 el tiempo y 푚 es una constante.

¿Cuáles son las unidades SI de 푚?

8. La ecuación general de una parábola es 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐, en donde 푎, 푏 y 푐 son

constantes. ¿Cuáles son las unidades de cada constante si 푦 y 푥 están en metros?

9. Una esfera sólida tiene un radio de 12 푐푚. ¿Cuál es el área de su superficie en (a)

centímetros cuadrados y (b) metros cuadrados? (c) Si tiene una masa de 4.0 푘푔,

¿Cuál es su densidad en 푘푔/푚 ?

10. Cuando se calcula la rapidez promedio de un corredor a campo traviesa, un

estudiante alcanza 25 푚/푠. ¿Es éste un resultado razonable? Justifique su

respuesta.

11. La densidad promedio de la luna es 3.3 푔/푐푚 , y tiene un diámetro de 2160 푚푖.

¿Cuál es la masa total de la luna?

12. Un armazón metálico de paredes gruesas tiene un diámetro interno de 18.5 푐푚 y

un diámetro externo de 24.6 푐푚. ¿Cuál es el volumen ocupado por el armazón

mismo?

13. La velocidad de la luz en el vacío es 2,9979 × 10 푚 · 푠 . Expresarla en millas

por hora. ¿Cuántas vueltas alrededor de la tierra podría dar un rayo de luz en un

segundo? ¿Qué distancia viajaría en un año? Esta distancia se denomina año luz.

14. Estimar el número de respiraciones que el hombre realiza en una vida promedio

de setenta años.

15. Estimar el número de pasos que da una persona cuando camina de la ciudad de

Riobamba a Ambato.

푟

푟

ℎ

Figura P.16


21

16. El radio medio de la tierra es 6.37 × 10 푚, y el de la luna es 1.74 × 10 푐푚. Con

estos datos calcule (a) la razón entre el área superficial de la tierra y la de la luna

y (b) la razón entre el volumen de la tierra y el de la luna. Recuerde que el área

superficial de una esfera es 4휋푟 y el volumen de una esfera es 휋푟 .

Referencias Bibliográficas

Física.- Segunda edición Jerry D. Wilson

Física para Ciencias e Ingeniería.- Volumen I.- Raymond A. Serway.- Sexta edición.- Ed.

Thompson

Física Universitaria.- Undécima edición.- Volumen I.- Sears – Zemansky- Young – Freedman.


22

Indice

a

análisis dimensional, 6, 7, 9, 17, 18, 19

c

cifras significativas, 12, 13, 18 conversión, 2, 10, 20

e

energía, 3, 5

f

frecuencia, 5 fuerza, 3, 5

l

longitud, 3, 4, 10

m

magnitud, 3 masa, 3, 4, 10

medición, 3, 12, 18, 19

p

potencia, 3, 5, 8

r

redondear, 13

s

sistema inglés, 3 sistema internacional, 2, 3, 4

t

tiempo, 3, 4

u

unidades, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20

mediciones fundamentales

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