ME 407 Advanced Dynamics 

We will learn to model systems that can be viewed as collec;ons of rigid bodies 

Common mechanical systems 

Robots 

Various wheeled vehicles 

The focus will be on engineering applica;ons 

Divers and gymnasts 

1 

I’m open to applica.ons you all care about 

2 

I expect you to be comfortable with mathema;cs  and abstract thinking in general  

   even though our applica;ons will be concrete 

I expect you to be familiar with 

geometry 

trigonometry 

linear algebra 

systems of ordinary differen;al equa;ons 

vectors 

Prerequisites 

and some basic physics 

3 

YOU NEEDTO INTERRUPT ME IF YOU DON’T KNOW WHAT IS GOING ON 

THIS IS IMPORTANT 

Boilerplate 

There’s a web site: www.me.rochester.edu/courses/ME407  (NOT UP TO DATE — STAY TUNED) 

My email, which I read regularly: gans@me.rochester.edu 

Text: Engineering Dynamics: From the Lagrangian to Simula7on  available in preprint form from Jill in the department office. 

Weekly problems sets 

Probably two midterms 

Meirovitch and/or Goldstein will be useful at the beginning  both on two hour reserve in Carlson 

Office hours Tuesday‐Thursday 2 – 4 or by appointment. 

4 

5 

We will go from very  fundamental to very applied 

conserva;on of momentum and angular momentum 

What is a rigid body? 

Moments of iner;a 

internal and external forces and torques 

work and energy 

geometry of three dimensional mo;on 

angular velocity and angular momentum 

coordinate systems 

6 

We will go from very  fundamental to very applied 

Hamilton’s principle 

The Euler‐Lagrange equa;ons 

Hamilton’s equa;ons 

Kane’s method 

The null‐space method 

Computa;onal tricks: the method of Zs 

7 

We will go from very  fundamental to very applied 

engineering mechanisms: linkages, gears, etc. 

robots and their rela;ves 

wheeled vehicles of different sorts 

I’m open to applica.ons you all care about 

8 

Let me show you a couple of hard problems so you can see where we are going 

9 

10 

11 

We will also need mathema;cal and computa;onal tools 

We need nota;on to understand ourselves beker 

Most of the interes;ng problems are wildly nonlinear  and we’ll need to integrate differen;al equa;ons numerically 

I’m perfectly happy to use commercial code to do this  but you do need to have an idea of what to expect    so you can figure out if it’s right. 

You will find Mathema7ca very useful.  It’s available on many UR computers. 

We can take part of a class to deal with this if necessary. The following link will get you to more informa;on than you need. 

hkp://www.me.rochester.edu/courses/ME201/websom/somw.html 

Mathema7ca 

12 

13 

A liDle bit about nota.on 

vectors will be lower case bold face 

matrices will be upper case bold face 

“Vector nota;on” 

Matrix/linear algebra nota;on 

vectors will be column vectors, their transposes row vectors 

Indicial nota;on 

vectors have one superscript, their transposes have one subscript 

“real matrices” have one superscript and one subscript  deno;ng row and column respec;vely 

14 

€

a = ai =

a1

a2

M

aN

, aT = ai = a1 a2 L aN{ }

€

A = A. ji =

A11 A2

1 L AN1

A21 A2

2 M M

M M O M

AN1 L L AN

N

Matrices do not have to be square. 

Examples of the nota.ons 

15 

Vector‐matrix mul.plica.on 

€

Ax = A. ji x j =

A11 A2

1 L AN1

A21 A2

2 M M

M M O M

AN1 L L AN

N

x1

x 2

M

xN

€

a ⋅b = aibii=1

N

∑ = aibi

i=1

N

∑

€

ab = abT = aib j =

a1b1 a1b2 L a1bNa1b2 a2b2 M M

M M O M

a1bN L L aNbN

16 

Summa;on conven;on 

€

a ⋅b = aibii=1

N

∑ = aibi

i=1

N

∑ ⇒ aibi

“Metric tensor” 

€

gij =1,i = j0,i ≠ j

, gij =1,i = j0,i ≠ j

⇒ a ⋅b = gijaib j , a ⋅b = gijaib j

17 

?? 

18 

The iner;al coordinate system:   coordinates x, y, z; unit vectors i, j, k 

i 

j 

k 

€

r = xi + yj+ zk

We will also have body coordinates, but not today 

We have to do physics in the iner.al coordinate system 

Start from the very basic: “f = ma” and consider a single par;cle/  point mass — moments of iner;a all zero 

€

v = ˙ r ⇔ v i = ˙ r i, a = ˙ v = ˙ ̇ r ⇔ ai = ˙ v i = ˙ ̇ r i

€

f = m˙ ̇ r ⇔ f i = m˙ ̇ r i

Conserva;on of momentum 

19 

€

˙ x = dxdt

, ˙ r = drdt

, ˙ A = dAdt

L

20 

Angular momentum 

This doesn’t mean much for a par;cle, but we might as well start here 

€

l = r ×p = mr × v

This angular momentum is defined wrt the iner;al origin,   but any reference will do —     different reference, different angular momentum 

€

l* = r − r0( ) ×p = mr *×v

21 

Its rate of change 

€

˙ l * = m ˙ r − ˙ r 0( ) × v + m r − r0( ) × ˙ v

€

˙ r 0 = 0 = ˙ r × v⇒ ˙ l * = m r − r0( ) × ˙ v

which we call the torque. 

The torque depends on the point of reference — remember this 

22 

Example: a par;cle falling under gravity 

€

x = x0, y = v0t, z = w0t −12gt 2

i 

j 

k 

€

p = mv0j+ m w0 − gt( )k

€

l = x0i + v0tj+ w0t −12gt 2

k

× mv0j+ m w0 − gt( )k( )

€

l = − 12gt 2mv0i −m w0 − gt( )x0j+ mx0v0k

€

τ = ˙ l = −gtmv0i + mgx0j

23 

?? 

24 

WORK AND ENERGY 

work = force ;mes distance, so 

€

dW = f ⋅ ds = f ⋅ dr

€

dWdt

= f ⋅ drdt

= f ⋅ v

€

f = m˙ v ⇒ dWdt

= m˙ v ⋅ v =ddt

12mv ⋅ v

=

dTdt

€

T =12mv ⋅ v

The kine.c energy of a par;cle 

25 

€

dWdt

dt =W2 −W1 =t1

t2∫ dTdtdt =

t1

t2∫ T2 −T1⇔ΔW = ΔT

and we can go back to the beginning and note that 

€

ΔT = f ⋅ dss1

s2∫

26 

i 

j 

k 

1 

2 

€

ΔT = f ⋅ dss1

s2∫

In general the integral 

will be different for the red path and the blue path 

€

ΔT = f ⋅ ds = 0∫

If the integral is the same for all paths, we’ll have 

and the force is conserva.ve 

27 

Conserva;ve forces come from poten;als 

A force is conserva;ve iff  

€

f = −∇V r( )

Poten;als can be ;me‐dependent; we will not deal with ;me‐dependent poten;als 

There’s a discussion of poten;als in the text, and I’ll do a likle on the board 

Bokom line 

The total energy, T + V, is conserved for a single par.cle under conserva.ve forces 

28 

An aside regarding poten.als 

M 

m 

€

f = −G mMr2er

€

V = −G mMr

⇒ f = −∇V = −G mMr2er

29 

For celes;al mechanics we do not include the m in the poten;al  We associate the poten;al with the gravita;ng body 

€

V = −G Mr⇒ f = −m∇V = −G mM

r2er

There are several simple orbital examples in the text. 

30 

SYSTEMS OF PARTICLES 

€

f1 = m˙ ̇ r 1

€

f4 = m˙ ̇ r 4

€

f5 = m˙ ̇ r 5

€

f2 = m˙ ̇ r 2

€

f3 = m˙ ̇ r 3

31 

The par;cles can interact — including ac;on at a distance 

€

f1 = f1(e ) + f21 + f31 + f41 + f51

f2 = f2(e ) + f12 + f32 + f43 + f53

M

Split each force into an external part and an interac;on part, within the system 

momentum of the system 

€

p = p1 + p2 + p3 + p4 + p5

the rate of change is equal to the force, so we have 

€

˙ p = ˙ p 1 + ˙ p 2 + ˙ p 3 + ˙ p 4 + ˙ p 5= f1

(e ) + f21 + f31 + f41 + f51 + f2(e ) + f12 + f32 + f43 + f53 +L

32 

€

˙ p = ˙ p 1 + ˙ p 2 + ˙ p 3 + ˙ p 4 + ˙ p 5= f1

(e ) + f21 + f31 + f41 + f51 + f2(e ) + f12 + f32 + f43 + f53 +L

cancel 

All such pairs cancel by Newton’s third law of ac;on and reac;on 

This is called 

The weak law of ac.on and reac.on 

33 

from which we deduce 

€

˙ p = f1(e ) + f2

(e ) + f3(e ) + f4

(e ) + f5(e )

or, more generally 

€

˙ p = fi(e )

i−1

N

∑

Only the external forces change the momentum of a system under the weak law of ac.on and reac.on 

34 

What is the momentum of a system? 

€

p =ddt

mirii=1

N

∑

write 

€

M = mii=1

N

∑ then 

€

p = M ddt

miriMi=1

N

∑ = M drCMdt

⇒ rCM =miriMi=1

N

∑

€

M˙ ̇ r CM = fi(e )

i=1

N

∑ = F

35 

If the sum of the external forces ac;ng on a system is zero,   the momentum of the system is conserved 

For example: the contents of a shotgun shell fired in a vacuum 

36 

We can do the same thing for torque and angular momentum,  and we’ll find we need a new law 

€

l = r1 ×p1 + r2 ×p2 + r3 ×p3 + r4 ×p4 + r5 ×p5

€

˙ l = τ = m2r1 × ˙ v 1 + m2r2 × ˙ v 2 + m3r3 × ˙ v 3 + m4r4 × ˙ v 4 + m5r5 × ˙ v 5 = r1 × f1 + r2 × f2 + r3 × f3 + r4 × f4 + r5 × f5

Look at a pair for simplicity’s sake 

€

r1 × f1(e ) + f12( ) + r2 × f2

(e ) + f21( )

37 

€

r1 × f1(e ) + f12( ) + r2 × f2

(e ) + f21( )

€

r1 × f1(e ) + r2 × f2

(e ) + r1 × f12 + r2 × f21

The internal torques will cancel if the forces are   parallel to a line connec;ng the two par;cles €

f21 = −f12

€

r1 − r2( ) × f12

38 

reference point 

r2 r1 

r1 – r2 

€

r1 − r2( ) × f12 = 0

if f12 is parallel to r1 – r2 

Gravity works this way, as does electrosta;cs 

Not all internal forces work this way, but all the ones we care about do 

39 

That is the strong law of ac.on and reac.on 

I will assume that throughout. 

We have the following for systems 

€

˙ p = fi(e )

i−1

N

∑

€

˙ l = ri × fi(e )

i−1

N

∑

40 

The angular momentum of a system can be wriken 

€

l = MrCM × vCM + mi ′ r i × ′ v ii−1

N

∑

where 

€

′ r i = ri − rCM , ′ v i = ˙ r i − ˙ r CM = vi − vCM

You can establish this for homework.  It’s not hard and it’s a good exercise. 

41 

€

l = MrCM × vCM + mi ′ r i × ′ v ii−1

N

∑

angular momentum of the system wrt the reference 

angular momentum of the system wrt the CM 

42 

?? 

43 

Kine.c Energy 

€

T =12

mivi ⋅ vii−1

N

∑

€

vi = vCM + ′ v i

€

T =12

mi vCM + ′ v i( ) ⋅ vCM + ′ v i( )i−1

N

∑ =12M mi

MvCM + ′ v i( ) ⋅ vCM + ′ v i( )

i−1

N

∑

€

T =12M mi

MvCM ⋅ vCM

i−1

N

∑ + M mi

MvCM ⋅ ′ v i

i−1

N

∑ +12M mi

M′ v i ⋅ ′ v i

i−1

N

∑

€

T =12MvCM ⋅ vCM +

12

mi ′ v i ⋅ ′ v ii−1

N

∑

44 

€

M mi

MvCM ⋅ ′ v i

i−1

N

∑ = MvCM ⋅mi

M′ v i

i−1

N

∑ = MvCM ⋅ddt

mi

M′ r i

i−1

N

∑

€

rCM =mi

Mri

i−1

N

∑ =mi

MrCM + ′ r i( )

i−1

N

∑ =rCMM

mii−1

N

∑ +1M

mi ′ r ii−1

N

∑

these are equal  this is 

zero 

so the kine;c energy is as on the previous slide 

45 

€

T =12MvCM ⋅ vCM +

12

mi ′ v i ⋅ ′ v ii−1

N

∑

kine;c energy of the center of mass 

internal kine;c energy 

46 

Let’s try to summarize today’s beginning 

€

rCM =miriMi−1

N

∑

€

p = M˙ r CM

€

˙ p = M˙ ̇ r CM = fi(e )

i=1

N

∑ = f

€

l = ri ×pii−1

N

∑

€

˙ l = ri × ˙ p ii−1

N

∑ = ri × fi(e )

i−1

N

∑ = τ

47 

??