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7/26/2019 LIBRO DE TEXTO ANALISIS ESTRUCTURAL.pdf

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SECRETARIA DE EDUCACION PBLICA

TECNOLGICO NACIONAL DE MXICO

INSTITUTO TECNOLGICO DE MRIDA

INFORME FINAL DE AO SABTICO

Elaboracin del libro de texto:

ANLISIS ESTRUCTURAL

Elaborado por: Ral Mauricio Estrada Sosa

Mrida, Yucatn, Mxico Julio de 2015


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NDICE

1. Deflexiones por flexin 1

1.1 Ecuacin diferencial de la curva elstica 3

1.2 Mtodo de doble integracin 6

1.3 Mtodo de rea Momento 15

1.4 Mtodo de la viga conjugada 27

2.Anlisis de cables y arcos 382.1 Ecuacin general de cables 40

2.2 Anlisis de arcos de tres articulaciones, clculo de reacciones, diagramas de

elementos mecnicos 59

3. Mtodos energticos 68

3.1Introduccin 69

3.2Trabajo real 85

3.3Trabajo virtual 923.4Primer teorema de Castigliano 134

3.5Segundo teorema de Castigliano 136

3.6Teoremas de Maxwell y Betti 146

4. Lneas de influencia 151

4.1Introduccin 152

4.2Definicin y propiedades de la lnea de influencia 153

4.3Mtodo de Muller-Breslau aplicado a vigas simples 154

4.4Serie de sobrecargas aisladas 162

Bibliografa 171


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1

1. DEFLEXIONES POR FLEXION

COMPETENCIA

Comprender como se generan las deflexiones por flexin.

Comprender la ecuacin diferencial de la curva elstica.

Determinar deflexiones elsticas por el mtodo de doble integracin y dos

importantes mtodos geomtricos: Los teoremas del momento de rea y la

viga conjugada.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Construir un mapa de conceptos de la ecuacin diferencial de una barra

sujeta a flexin y los mtodos de solucin, indicando las diferencias entre

stos.

Construir un mapa mental de los diferentes tipos de apoyos en arcos, vigas,

marcos y armaduras.

A travs de un esquema grfico indicar las hiptesis fundamentales de los

mtodos geomtricos as como su interpretacin para aplicarlos en la

solucin de problemas.

Resolver problemas propuestos en el aula en grupos pequeos.

HABILIDADES Y ACTITUDES

El alumno ser capaz de entender cmo se comportan las diferentes

estructuras y las deflexiones que se generan en ella. El alumno ser capaz de entender cmo se relaciona la curva elstica con

las deformaciones de una viga y tendr la habilidad de identificar las

relaciones entre la ecuacin diferencial de la elstica y la primera y

segunda derivada de una funcin.


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2

El alumno desarrollara la habilidad para resolver problema de clculo de

deflexiones por los mtodos de Doble Integracin, rea Momento y Viga

Conjugada.

A travs de la asimilacin de todos los conocimientos de este captulo el

alumno desarrollar en su persona la capacidad de solucionar problemas

de clculo de deflexiones en estructuras que se emplean en obras de

Ingeniera Civil.


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3

1. Deflexiones por Flexin.

Las deflexiones en estructuras pueden ser provocadas por varios factores, como las

cargas, la temperatura, los errores de fabricacin o los asentamientos de los

apoyos. Durante el diseo deben limitarse la magnitud de las deflexiones para

garantizar la estabilidad e integridad de las cubiertas o techos, evitar el

agrietamiento o dao a elementos del tipo no estructural adjuntos a la estructura,

como falsos plafones, cancelera de aluminio y vidrio entre otros. Adems una

estructura no debe presentar vibraciones excesivas.

Las deformaciones que se considerarn en este texto solo se aplican a estructuras

que se comportan en el rango elstico del material, es decir tienen una respuesta

linealmente elstica. En estas condiciones una estructura que se deforma volver a

su posicin original no deformada al retirar las cargas aplicadas a la misma. La

deflexin en una estructura la causan sus cargas internas, como la fuerza axial, la

fuerza cortante, el momento flexionante y el momento torsionante.

Las deflexiones pueden ser lineales o angulares, a las primeras se les conocen

como las deformaciones verticales y horizontales en una estructura y a las segundas

como giros o pendientes en puntos especficos de la estructura.

1.1 Ecuacin Diferencial de la Curva Elstica.

Para comenzar este tema se debe recordar la ecuacin deducida en Mecnica de

Materiales, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el

momento flector en una viga sometida a flexin pura:

(1-1)


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4

Donde:

= es el radio de curvatura en un punto especfico de la curva elstica. (1/se

conoce como la curvatura).

E = el mdulo de elasticidad del material del que se compone la viga.

I = el momento de inercia de la seccin transversal de la viga.

M(x) = el momento flector al que est sometida la misma en el punto donde debe

determinarse

Observemos que este ltimo trmino se ha designado como dependiente de la

longitud medida desde un extremo de la viga (x).

Para deducir la ecuacin de la elstica es necesario recordar del clculo elemental,

que el radio de curvatura de una curva plana en un punto P(x, y) puede

determinarse mediante la expresin:

/+/

Donde, dada la relacin y = f(x):

(1-2)

Corresponde a la primeraderivada de la funcin


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5

Como las deflexiones son muy pequeas, podemos despreciar el trmino relativo

a la primera derivada; obtenemos entonces que:

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el

comportamiento de la curva elstica, la cual describe las deflexiones que

experimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

(1-3)

Corresponde a la segundaderivada de la funcin


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6

1.2 Mtodo de Doble integracin.

Es el ms general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi

cualquier combinacin de cargas y condiciones de apoyo en vigas estticamente

determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza

cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente

y deflexin de una viga por medio del clculo integral.

El mtodo de doble integracin produce ecuaciones para la pendiente y la deflexin

en toda la viga y permite la determinacin directa del punto de mxima deflexin.

Recordando la ecuacin diferencial de la elstica:

El producto EIse conoce como la rigidez a flexin y en caso de que vare a lo largo

de la viga, como es el caso de una viga de seccin transversal variable, debe

expresarse en funcin de xantes de integrar la ecuacin diferencial. Sin embargo,

para una viga prismtica, que es el caso considerado, la rigidez a la flexin es

constante.

Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuacin por el mdulo de

rigidez e integrar respecto a x. Planteamos:

(1-4)

(1-5)


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7

Donde C1 es una constante de integracin que depende de las condiciones de

frontera, como se explicar ms adelante.

Como la variacin de las deflexiones es muy pequea, es satisfactoria la

aproximacin:

De modo que con la expresin anterior se puede determinar la inclinacin de la recta

tangente a la curva de la elstica para cualquier longitud xde la viga.

Integrando nuevamente en ambos lados de la expresin anterior, tenemos:

Mediante esta expresin podemos conseguir la deflexin para cualquier distancia

xmedida desde un extremo de la viga.

(1-6)

(1-7)


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8

El trmino C2es una constante de integracin que, al igual que C1, depende de

las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse

la deflexin y/o el ngulo de deflexin en algn(os) punto(s) de la viga.

Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta informacin.

En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por

ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en Apuede establecerse:x = LA y = 0

Y, debido al apoyo en B :x = LB y = 0

Debido al empotramiento A:x = LA y = 0

x = LA = 0


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9

Ejemplo. 1.1

Calcular las expresiones para la pendiente y la deflexin a lo largo de la viga y el

valor de la deflexin mxima de la viga mostrada en la figura 1._

Curva elstica

1 2 0 2 Integrando obtenemos la ecuacin la ecuacin de la pendiente a lo largo de la

viga.

2 0 2

10 23 1Integrando nuevamente obtenemos la ecuacin de la deflexin a lo largo de la

viga.

103 16 1 2

4T/m

10m

+


12/173

10

Condiciones de frontera

y=0 Cuando: x=0

0 100

3 2

120

102

Entonces: C2=0

Por simetra en la carga la deflexin mxima se encuentra en el centro del claro de

la viga, por lo tanto:

Cuando: x=5m ; 0

Sustituyendo en la ecuacin de la pendiente:

0 105 235 11166.67

La ecuacin de la pendiente queda.

103

23 166.67

Y la Ecuacin de la deflexin:

103 16 166.67

La deflexin mxima cuando x=5.

521


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11

Para Facilitar la solucin de problemas de clculo de deflexiones en vigas, cuando

se aplican varias cargas a la misma, es conveniente trabajar con las funciones de

singularidad estudiadas en mecnica de materiales.

En los siguientes ejemplos se ilustra el manejo de mtodo de doble integracintrabajando con las funciones de singularidad.

Ejemplo 1.2

Usando el mtodo de doble integracin determinar la pendiente en A y el

desplazamiento en C. es constante.

Curva elstica

1

4 4 2 4 6

2 2 2 2

A BC

4T 4T

+


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12

Integrando, obtenemos la ecuacin de la pendiente

4 4 2 4 6

2 4 22 4 62 1Integrando nuevamente obtenemos la ecuacin de la deflexin a lo largo de la

viga.

23 2 2

3 2 6

3 1 2Condiciones de frontera

y=0 Cuando x=0

0 203 20 2

3 20 6

3 102Entonces: C2=0

La deflexin mxima se encuentra en el centro del claro de la viga:

Cuando x=4 ; 0Sustituyendo en la ecuacin de la pendiente.

0 24 24 2 24 6 1 1 3 2 8 2 4


15/173

13

La ecuacin de la pendiente queda:

2 2 2 2 6 24

La pendiente en A es: Cuando x=0

24

EI desplazamiento en C es:

243 24 2

3 24 6

3 244

42.665.3396

58.67

Ejemplo 1.3

Usando el mtodo de doble integracin determina la deflexin en el extremo delvolado y en el centro del claro de la viga que se muestra en la figura. EI es

constante a todo lo largo de la misma.

3T/m

2m2m 6m

d

b c

a+


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14

Curva Elstica

1

Ecuacin de momento

32 15 2 15 8 0 1 0Integrando dos veces obtenemos la ecuacin de la deflexin.

3

6 15 2

2 15 8

2 1

3

24 15 2

6 15 8

6 1 2Condiciones de frontera

y=0 Cuando: x=2m

0 3224 0 0 12 2 2 2 1 2 1 1

Por simetra en la carga, tenemos:

0 Cuando x=5mSustituyendo en la primera integracin

0 356 155 2

2 0 1

15 2Sustituir en (1)

2 2 25 12


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15

La ecuacin de la deflexin queda:

8 5 2

2 5 8

6 5 1 2

La deflexin en los volados es cuando x=0

0 0 0 0 1 2 12

La deflexin al centro del claro de la viga es cuando x=5m.

5

8 55 2

2 0 5 5 1 2

23.6

1.3 Mtodo del rea Momento

El mtodo de rea-momento proporciona un procedimiento semigrfico para

encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos especficos sobre la curva

elstica de la viga.

La aplicacin de este mtodo requiere el clculo de reas asociadas con el

diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas

geomtricas sencillas, el mtodo resulta muy fcil de usar. Normalmente este es el

caso cuando la viga est cargada con fuerzas y momentos concentrados.

El mtodo es bastante rpido y simple, pero en general se usa para calcular ladeflexin de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado

nivel de comprensin del principio de momentos y de las tcnicas para preparar

diagramas de momento flector.


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16

La figura muestra una curva elstica en la que se han seleccionado dos puntos

cualquiera (Ay B) y se han trazado rectas tangentes a los mismos.

Recordando que las deflexiones son muy pequeas, podemos plantear la ecuacin

de la elstica de la forma:

Si integramos la expresin anterior, obtenemos:

Planteando que:

/

Puede observarse que B/A

es

el ngulo que forma la tangenteque pasa por e l punto Brespecto a la que pasa por A.De forma anloga se define elngulo

A/B.

Es importante notar que ambostienen la misma magnitud, y semiden en sentido contrario.

(1-8)

(1-9)

(1-10)


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17

Podemos finalmente rescribir la expresin anterior de la forma:

/

/ Esta ecuacin es la base del primer teorema del mtodo de rea de momento:

Luego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la

aproximacin:

(1-11)

(1-12)

El ngulo entre dosrectas tangentes a dos

puntos cualquiersobre la curva elsticaes igual al rea bajo eldiagrama M/(EI)

entre esos dos puntos

(1-13)


20/173

18

Donde des el ngulo que existe entre dos tangentes de dos puntos separados

una distancia dx y xes la distancia medida desde el punto Ahasta el elemento

diferencial en cuestin. Al sustituir dqueda:

Finalmente, al integrar la expresin anterior queda:

/ Lo cual puede rescribirse de la forma:

/

(1-14)

(1-15)

(1-16)


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19

Donde xAes la distancia (medida sobre la direccin x) que existe entre el punto

A y el centroide del rea bajo la curva ME/I.

La ecuacin 1.3.9 supone la base del segundo teorema de rea momento:

La desviacin vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elstica

con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento de

rea bajo el diagrama ME/I entre los puntos A y B. Este momento se calcula

respecto al punto A donde va a determinarse la desviacin vertical tA/B .


22/173

20

De forma anloga, podra hallarse la desviacin del punto Brespecto a la tangente

que pasa por A. Para ello, se calculara el momento de rea bajo el diagrama

ME/Irespecto al punto B, es decir:

/ Donde xB es la distancia que existe desde el punto Bhasta el centroide de la

figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuacin es positivo, el

punto B (en el que se calcula la deflexin) se encuentra por encima de la recta

tangente que pasa por el A(y viceversa).

Para comprender la aplicacin de los dos teoremas de rea de momento,

iniciaremos con ejemplos con bajo grado de dificultad y posteriormente

aumentaremos este.

(1-17)


23/173

21

Ejemplo: 1.4

Aplicando los teoremas de rea de momento, calcular la pendiente de la elstica en

los apoyos y en el centro del claro de la siguiente viga.

EI=Constante

Ecuacin de Momento Flexionante

2 0 2Diagrama de Momento Flexionante

Aplicando el primer teorema entre A y B y considerando C=0 en B

Calculando el rea bajo la curva

4 2

12

16

ba

P

L 2 L 2

+

4

+


24/173

22

Comprobando por medio de rea de integracin.

2 0

1 2

2 2 .

16

Aplicando el segundo teorema obtenemos la deflexin.

Tomando momentos del rea bajo la curva entre 0 y L/2 con respecto al punto a.

/ Comprobando por medio de rea de integracin x.

1 2

1

2

/

3 . 48


25/173

23

Ejemplo: 1.5

Tomando la viga del ejemplo 1.1, aplicando los teoremas del rea de momento,

determina la pendiente en a y la deflexin mxima.

Ecuacin de Momento Flexionante.

2 0 2 0 1 0 El momento al centro del claro lo obtenemos susustituyendo x=L/2

8 410

8 5 0 Aplicando el primer teorema, 0El rea bajo la curva en el tramo de 0 a 5m esigual a la pendiente en (a).

23 5 50 166.67 Este valor corresponde al obtenido por el mtodo de doble integracin.

Aplicando integrales:

1 202 20

2 .

2

3 .

ba

10m

4T/m

EI=Constante


26/173

24

25083.33 166.67

Aplicando el segundo teorema, encontramos la deflexin mxima que por simetrase encuentra en el centro del claro.

Tomando momentos del rea bajo la curva entre 0 y 5m, con respecto al punto (a).

166.67 58 5

521

Aplicando integrales

1 202 1 20 2

20 3

2

4

521

Como se mencion al inicio de este tema el mtodo de rea-momento es un

procedimiento Semigrfico y se utiliza para resolver problemas en los cuales la

carga esta aplicada en forma asimtrica.

En el siguiente ejemplo se ilustra el procedimiento.

Ejemplo: 1.6

Utilizando el mtodo de reamomento, Calcula la pendiente de la elstica en los

puntos a y m, as como la deflexin en m. El punto m se ubica a 3m del punto (a).

4m2m

30T

EI=Constante

a

b

c

+


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25

Considerando que las pendientes son pequeas:

As: Aplicando el segundo teorema de rea de momentos.

[40 42 2

43] [

40

22

23 2]

30T

20T10T

30 EI

40 EI

M EI

3m

ac


28/173

26

320

Por lo tanto:

6 3206

Del dibujo de la elstica, tenemos:

Aplicando el primer teorema del rea de momento

30 32 45 As:

3206 45

8.33

Del dibujo de la elstica deducimos que.

3

Aplicando el segundo teorema del rea de momentos.

30 32 1

45

Finalmente tenemos

3 3206 45

115


29/173

27

1.4 Mtodo de la Viga Conjugada.

Fundamento terico:

Derivando cuatro veces la ecuacin de la elstica:

EI y=Deformacin (ordenada de la elstica)

EI= pendiente

EI

= Momento = MEI

= Fuerza Cortante = V

EI= Carga = q

La relacin entre ordenadas, pendientes y momentos son las mismas que las que

existen entre momento, fuerza cortante y carga. Esto sugiere que puede aplicarseel mtodo de rea de momentos para determinar el momento flector, partiendo del

diagrama de cargas, de la misma manera que se ha empleado para determinar las

ordenadas a partir del diagrama de momentos.

La analoga entre las relaciones entre carga-fuerza, cortante-momento flector y

entre momento-pendiente-ordenadas, sugiere que stas ltimas se puedan

establecer con los mtodos de diagramas de fuerza cortante y momento flector para

calcular la fuerza cortante y momento flector a partir de las cargas. Para ello hayque suponer que la viga est cargada, no con las cargas reales sino con el diagrama

de M/EI correspondiente a dichas cargas

.


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28

Considerando entonces este diagrama de M/EI como una carga ficticia, se calcula

la fuerza cortante y momento flector ficticios, en un punto cualquiera, que se

corresponden con la pendiente y la ordenada de la elstica en los mismos puntos

de la viga inicial. A este mtodo se le denomina Mtodo de la Viga Conjugada.

Aplicando a una viga cargada con el diagrama de M/EI los principios estudiados

para hallar la fuerza cortante y momento flector se tiene:

Pendiente real = Fuerza Cortante Ficticia.

Ordenada real = Momento Flector Ficticio.

Por lo anterior podemos concluir:

1. El cortante en cualquier seccin de la viga conjugada es el giro en la viga

real en dicha seccin.

2. El momento flector en una seccin de la viga conjugada es la flecha en la

viga real en dicha seccin.

3.

Planteamiento del mtodo de la viga conjugada.

Se denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los diagramas de

momentos de las cargas reales dadas. La figura muestra un ejemplo de este tipo de

viga


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29

P M/EI

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

Relaciones entre la viga real y la viga conjugada:

a. La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.

b. La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real

entre EI.

c. La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el

mismo punto de la viga real.

d. El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el

mismo punto de la viga real.e. Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.

f. Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga

conjugada.

g. Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.

h. Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulacin

en la viga conjugada.

Relaciones entre los apoyos de la viga real y de la viga conjugada

a b a b


32/173

30

VIGA REAL VIGA CONJUGADA NOTAS

1.- Apoyo Simple

1.- Apoyo Simple

Un apoyo simple real no

tiene flecha pero si tiene

pendiente y por tanto elconjugado no tiene

momento pero si tiene

cortante; equivale a un

apoyo simple.

2.- Apoyo Empotrado

2.- Sin Apoyo Libre

Un apoyo empotrado no

tiene flecha ni pendiente

y por tanto, el conjugadono tiene momento ni

cortante; equivale a un

voladizo.

3.-Voladizo

3.- Apoyo Empotrado

El extremo libre tiene

pendiente y flecha y por

tanto el conjugado tiene

cortante y momentoequivalente a un

empotramiento.

4.- Apoyo Interior 4.-Apoyo Articulado o

Pasador

Un apoyo interior tiene

pendiente pero no tiene

flecha y por tanto tiene

cortante pero no tiene

momento; equivale auna articulacin.


33/173

31

Concluyendo a continuacin se muestra un cuadro en el que se muestra la

equivalencia entre la viga real y la viga conjugada:

VIGA REAL VIGA CONJUGADA

Momento M Carga M/EI

ngulo Cortante Q

Flecha y Momento M

El diagrama de momentos flexionante equivale a la carga aplicada en la viga

conjugada. Si queremos obtener la pendiente o giro en cualquier punto de la viga

real solo tenemos que calcular el cortante de la viga conjugada en dicho punto, en

forma similar para obtener la flecha en cualquier punto de la viga real, basta con

calcular el valor del momento flexionante en la viga conjugada.

Ejemplo 1.7

Utilizando el mtodo de la viga conjugada, calcula la pendiente en a y la deflexin

mxima.

4m 4m

a b

c

6t

+


34/173

32

Solucin:

3Diagrama de momento flexionante

1 2

Viga conjugada

Por simetra:

1 2 8

2

1

2

24

La pendiente en a en la viga real es igual a la constante en a de la viga conjugada,

por lo tanto:

24 La flecha mxima en la viga real es igual al valor del momento flexionante en el

centro del claro de la viga conjugada:

24 4 12 42 43 64


35/173

33

Entonces la deflexin mxima en la viga es:

64

Ejemplo 1.8

Mediante el mtodo de la viga conjugada calcular la deflexin mxima y el sentido

de la misma

0

2 0 2 0 0 0

Diagrama de Momento Flexionante

2m 4m 3m

20T-m20T-m

bac d

+


36/173

34

Viga conjugada

0

20 4 4 9 0

35.56

0

20 4 35.56

44.44

Sabemos que cuando 0 el momento es mximo, por lo tanto 0

44.44 20 2

2 0 2 6 4.21

Ecuacin de momento

44.44 20 2

2


37/173

35

Sustituyendo x=4.21

138.25

Debido a que el momento es positivo la carga en la viga conjugada es hacia arriba,

por lo que el sentido de la deflexin es hacia abajo.

Ejemplo 1.9

Determinar la deflexin en el centro del claro de la viga que se muestra en la figura,

empleada el mtodo de la viga conjugada.

2900

5800 2 1 0/Solucin:

6 8 62 10

+


38/173

36

Diagrama de Momentos Flexionantes

Viga conjugada

Cargas equivalente sobre la viga conjugada tenemos que 2 22

364.8 6.482 100.44

+

3.6

3.6

1.8 1.8

361

432 36

2


39/173

37

La deflexin al centro del claro en la viga real es igual al momento en dicho punto

en la viga conjugada.

100.44 5 . 4 [64.8 3.63 1.8][64.8 1.80.90] 6.48 1.82 1.83

239.5 Sustituyendo los valores de (I) y (E).

239.510

2102900 4.13

Actividades complementarias para el alumno

Hacer una investigacin de los diferente tipos de estructuras que se utilizan

en edificacin de obra civil, identificando las partes que las componen y

materiales que se emplean para construirlas

Realizar un resumen de los mtodos vistos en este captulo.

Resolver ejercicios extraclase.


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38

2. ANLISIS DE CABLES Y ARCOS

COMPETENCIA

Comprender el comportamiento y como se determinan las fuerzas que actan

en los cables.

Resolver problemas de estructuras que utilicen cables, determinando las

fuerzas en los mismos.

Comprender el comportamiento de los arcos.

Resolver problemas construyendo diagramas de elementos mecnicos en

arcos de tres articulaciones.


Resolver ejercicios de estructuras en las cuales se empleen cables para la

estabilidad de la misma.

Discutir en clase la diferencia entre el comportamiento de un cable y un arco.

Resolver problemas de arcos de tres articulaciones, formando grupos

pequeos para obtener los elementos mecnicos que actan en ellos, as

como la construccin de los diagramas.


El alumno ser capaz de entender cmo se comportan las diferentes

estructuras en las que se empleen cables y arcos.


41/173

39

El alumno ser capaz de entender la ventaja de utilizar arcos con tres

articulaciones.

El alumno desarrollar la habilidad para resolver problemas de anlisis de

cables y arcos de tres articulaciones.


42/173

40

2.1 Ecuacin general de cables

Introduccin.- Los cables son elementos estructurales lineales, es decir las

dimensiones de su seccin son muy pequeas comparadascon su longitud.Tienenla caracterstica de ser sumamente flexibles. Razn por la cual para su estudio no

se considera suresistencia a flexin y se los disea para soportar cargas axiales,

con esfuerzos nicamente de tensin.

Al estar sometidos a un sistema de fuerzas los cables alcanzan el equilibrio

adaptando su forma a la del funicular de cargas. El estudio esttico de estos

sistemas se reduce al estudio de la curva funicular.

Formas de los cables.- Debido que la forma del cable depende de las cargas que

acten en l, para estudiar la forma de un cable debemos distinguir diferentes

acciones que lo solicitan.

En general los cables se encuentran sometidos principalmente a:

- cargas concentradas en diferentes puntos de su extensin

- cargas verticales distribuidas por unidad horizontal de longitud (Ej. peso del tablero

de un puente colgante)

- cargas verticales distribuidas por unidad de longitud del cable (Ej. peso propio delcable)

Cuando un cable sujeto en sus extremos es sometido a cargas concentradas

adopta una forma poligonal:


43/173

41

Si el cable soporta una carga distribuida por unidad horizontal de longitud, su

forma es parablica:

Mientras que si est sometido a una fuerza uniformemente distribuida por unidad de

longitud del mismo, toma la forma de catenaria:

Determinacin de las reacciones de vnculo:

Entenderemos como vnculo la condicin impuesta a un punto de permanecer

inmvil o describir una determinada trayectoria, la forma de realizar los vnculos en

la prctica es mediante los apoyos (materializacin fsica de los vnculos).

A continuacin se desarrollar la resolucin de sistemas planos de cables bajo los

tipos de cargas ms frecuentes.


44/173

42

Para su estudio se adoptaran las siguientes hiptesis:

1. Seccin despreciable. Se considera que el cable posee una dimensin

predominante mucho mayor que los otras dos, por lo que puede ser

idealizado segn una lnea, sin seccin transversal. Tan slo ser necesario

considerar su seccin a efecto de calcular su peso propio en funcin de la

densidad del material que lo compone.

2. Flexibilidad perfecta. El cable no resiste esfuerzos de flexin, y por lo tanto

tampoco de corte. Tan slo resiste esfuerzos axiales

3. Inextensibilidad. Cuando est sometido a traccin, el cable es lo

suficientemente rgido (en direccin longitudinal) como para que se pueda

despreciar su extensibilidad. Por el contrario, sometido a compresin, elcable no ofrece resistencia alguna y se deforma completamente.

Cables sometidos a fuerzas concentradas en diferentes puntos de su

extensin:

Caso general: Fuerzas aplicadas con componentes horizontales y verticales.

En el caso general de un cable sometido a cargas de direcciones arbitrarias, los

puntos de aplicacin de las mismas o vrtices de la poligonal se desplazarn vertical

y horizontalmente hasta alcanzan el equilibrio del sistema. Por la hiptesis de

inextensibilidad que hemos adoptado, el corrimiento de cada uno de los vrtices

estar condicionado por el desplazamiento que experimentan el resto de los

vrtices, puesto que la distancia entre los mismos debe mantenerse invariante.


45/173

43

Esquema de estudio:

Incgnitas: De cada uno de los tramos rectos del cable se desconoce la tensin

actuante en l y su orientacin.

Si consideramos que actan un nmero n de cargas, tendremos n+1 tramos

rectos y por consiguiente 2n+2 incgnitas.

Ecuaciones: En cada uno de los puntos de aplicacin de cargas se pueden plantear

dos ecuaciones para garantizar el equilibrio nodal de fuerzas (2n ecuaciones). Se

completa el sistema con dos ecuaciones que aseguren que la deformacin del cable

se compatible con las condiciones de vnculo impuestas.


46/173

44

Planteo del sistema de ecuaciones

Ecuaciones de equilibrio en cada nodo:

0 c o s cos+ +

0 s i n sin+ +

Ecuaciones de compatibilizacin de deformaciones


47/173

45

+

= +

=cos

+

= +

= sinLa resolucin de este sistema de ecuaciones nos permitir conocer las tensiones

que actan en cada uno de los tramos del cable y la forma del mismo en el estado

de equilibrio.

El sistema sin embargo presenta una gran complejidad y requiere del uso de

mtodos computacionales para su resolucin, dado que no es lineal y al mismo

tiempo parte de las incgnitas estn afectadas por funciones trigonomtricas.

Si bien las estructuras formadas con cables sometidos a cargas concentradas

presentan en general componentes de fuerzas horizontales, un nmero muy

importante de sistemas se encuentran bajo la accin de cargas concentradas

predominantemente verticales. El estudio de estos casos presenta ciertas

particularidades respecto al planteo que hemos realizado. En principio en muchos

de estos modelos se consideran invariantes las distancias horizontales entre cargas

en vez de las distancias entre puntos de aplicacin de fuerzas. De esta manera para

conocer la forma final del cable basta con conocer solamente las deflexiones oflechas de los puntos de aplicacin de las cargas. Al mismo tiempo, queda libre la

posibilidad de plantear la ecuacin geomtrica en trminos de la flecha que

experimenta algn punto del cable, en vez de hacerlo en funcin de su longitud.

Esta posibilidad permite construir sistemas de ecuaciones de mayor simplicidad de

resolucin.


48/173

46

A continuacin se procede a analizar estos casos:

1.a Caso particular. Cables sometidos a fuerzas concentradas verticales.

Consideremos el caso de un cable sujetado en los puntos A y B, no necesariamente

ubicados a la misma altura, sobre el que acta un sistema de cargas verticales P1,

P2,..Pn.

Para que el sistema se encuentre en equilibrio, la sumatoria de fuerzas horizontales

debe ser nula. Como todas las cargas son verticales, entonces las componentes

horizontales de las reacciones de vnculo externo debern ser iguales y de sentidos

opuestos.


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47

0

0

Si ahora cortamos el cable en un punto cualquiera C y ponemos en evidencia las

componentes de la tensin que acta en el mismo, del planteo de la misma ecuacin

de equilibrio surge:

0

0

Entonces resulta, Ra=Rb=Tx=H, donde H es una constante cuya magnitud

representa la componente horizontal

de la tensin actuante en cualquier punto del cable.

Sea la siguiente nomenclatura,

MB = suma de los momentos respecto al punto B de todas las cargas Pi

n

MC = suma de momentos respecto al punto C del cable de todas las cargas Pi

que n actan a su izquierda


50/173

48

Tomando momentos respecto al punto extremo B de todas las fuerzas que actan

sobre el cable obtenemos:

H L tan Ray LM B = 0n

De donde podemos despejar el valor de la reaccin de vnculo vertical en A.

Ahora tomando momentos respecto al punto arbitrario C, de todas las fuerzas que

actan en la parte del cable a la izquierda de C obtenemos:

H(x tan - y c) + Ray x - MC = 0n

Reemplazando el valor de Ray, y simplificando se obtiene:

H yC L = x/L MB MC

n n

En el primer miembro tenemos a la constante H por la distancia vertical desde el

punto C del cable a la cuerda AB. El segundo miembro de la ecuacin es igual al

momento flector que se producira en C si se aplicaran las cargas Pi en una viga

apoyada en sus extremos de luz L, y C fuese un punto de esta viga imaginaria,

situado a una distancia x del apoyo izquierdo. De esta expresin se deduce el

siguiente teorema general del cable:

En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto

de la componente horizontal de la tensin que soporta el cable por la distancia

vertical desde ese punto a la cuerda, es igual al momento flector que se producira

en esa seccin si las cargas que soporta el cable actuasen sobre una viga apoyada

en sus extremos, de la misma luz que l.


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49


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50

1.b Cables uniformemente cargados por unidad horizontal de longitud.

Los cables son muy utilizados para soportar el peso de las losas o trabes de puentescon claros muy amplios. Un puente colgante es un ejemplo tpico en el que lacubierta del puente est suspendida del cable por medio de sujetadores espaciadosde manera uniforme.

Planteo de las ecuaciones de equilibrio

Ecuacin de proyeccin horizontal de fuerzas:

Fx = 0 = -T cos (T + T) cos

n

Ecuacin de proyeccin vertical de fuerzas

Fy = 0 = -T sin (T + T)sin - w dx

n


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51

Ecuacin de momentos

M = 0 = w dx (dx/2)T cosdy T sindx

n

Si se divide cada una de estas ecuaciones entre dx y se toma el lmite cuando dx,

dy, d y dT tienden a cero, resulta:

0 (2-1)

(2-2) (2-3)

Al Integrar la ecuacin 2-1, donde en x=0, se tiene:

cos (2-4)Lo anterior indica que la componente horizontal de la fuerza en cualquier punto a

lo largo del cable se mantiene constante.

Si se integra la ecuacin la ecuacin 2-2, tomando en cuenta que sin 0enx=0, resulta:

sin (2-5)


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52

Al dividir la ecuacin 2-5 entre la ecuacin 2-4 se elimina T. Ahora usando la

ecuacin 2-3, es posible obtener la pendiente en cualquier punto.

(2-6)Si se integra por segunda vez con y=0 en x=0, tenemos:

(2-7)La ecuacin anterior es una parbola. La constante

se obtiene estableciendo

condiciones de frontera y=h en x=L.

(2-8)Sustituyendo en la ecuacin 2.2.7

(2-9)Finalmente de la ecuacin (2-4) obtenemos la tensin mxima en el cable queocurre cuando es mxima; es decir cuando x=L.

Por lo tanto a partir de las ecuaciones 2-4 y 2-5.

(2-10)Tambin es posible de la ecuacin 2.2.8 expresar en trminos de :

1 (2-11)


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53

Hay que destacar que se ha ignorado el peso del cable, el cual es uniforme en toda

la longitud del cable y no a lo largo de su proyeccin horizontal. En realidad, un

cable sometido a su propio peso y libre de cualquier otra carga, tomara la forma de

una curva catenaria. Sin embargo, si la relacin de flecha sobre claro es pequea,

como en el caso de la mayora de las aplicaciones estructurales, esta curva se

aproxima a una forma parablica, como se trat anteriormente.

Ejemplo 2.1

Calcular la tensin en cada segmento de cable que se muestra en la figura, as

como las reacciones en cada apoyo.

Tenemos cuatro reacciones incgnita: Rax, Ray,Rdx, Rdy y tres tensiones

desconocidas, una por cada tramo del cable.

+


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54

Solucin:

Tomando momentos con respecto al apoyo (a) sin involucrar el apoyo (d).

Ma= 0,

1.52.52 2

2.5 5.5 62 164 0

1 2 6 45.6 13.57

Equilibrando el nodo c:

Fx=0

13.571.52.5

Donde . 32.21

8.14

cos32.4 9.62

Analizando en nodo b

Fx=0

9.62cos32.4 0Donde:

2.742 53.87 8.14cos53.87 13.80


57/173

55

Equilibrando cada apoyo:

Apoyo a

Fx=0

13.8053.87 08.14

Fy=0

13.8053.87 011.15

Apoyo b

13.5730.96 0

11.63Fy=0

13.530.96 0

6.98


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56

Respuestas:

13.579.62

13.808.14

11.15

11.636.98

Ejemplo 2.2

Se solicita determinar la tensin del cable que soporta una viga que tiene una

carga aplicada de 1.3 t/ml.

15m 15m

12m6m

a

bc

x

y


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57

En este problema el origen de los ejes coordenados se establece en b, que es el

punto ms bajo del cable, donde la pendiente vale cero.

De la ecuacin 2-7, la ecuacin del cable es:

2 1.32

0.65

Suponiendo que el punto (c) se encuentra a una distancia x, de (b), tenemos:

6 0.65 0.1083

Para el punto a:

12 0.65 30

12 0.65

0.1083 30

12 0.650.1083 301.30.65 30

2 90060

90060 0


60/173

58

Resolviendo la cuadrtica:

12.43El valor de es:

0.108312.93 16.72De la ecuacin (2-6)

1.3

16.62 0.078

En el punto a:

3012.43 17.57 0.07817.57 1.37

53.88Aplicando la ecuacin (2-4)

16.72

53.88 28.36En el punto b: x=0

0

16.720 16.72


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59

En el punto c:

12.43 0.07812.43 0.9695

44.11

16.7244.11 23.29

2.2 Anlisis de arcos de tres articulaciones, clculo de reacciones,

diagramas de elementos mecnicos.

Una definicin de arco es la siguiente:

El arco es en esencia una estructura comprimida utilizada para cubrir

grandes y pequeos claros, y puede considerarse como uno de los

elementos estructurales bsicos en todo tipo de arquitectura. La forma ideal

de un arco capaz de resistir cargas determinadas por un estado de

compresin simple, pueden hallarse siempre con la forma del polgono

funicular correspondiente invertido.

La palabra funicular refiere a funiculares-cables-traccin. Usamos ahora el trmino,

asociado a arcos, exclusivamente para asociar estos arcos a sus cables simtricos

que podran equilibrar las mismas cargas.


62/173

60

El arco triarticulado es una estructura isosttica, por lo que es posible resolverla

mediante las ecuaciones de equilibrio de la esttica, consta de una viga curva con

dos apoyos fijos articulados y una tercera articulacin en un punto llamado clave.En la figura 2.2.2 puede verse un arco triarticulado donde los apoyos son los puntos

a, b y la clave el punto c.

Las reacciones en las articulaciones se pueden encontrar aislando los dos

elementos ac y cb, como se indica en la figura 2.2.2, tomando momentos

respecto de a en el elemento ac, y respecto a b en el elemento cb, se obtiene:

0

0

A

C

B

h

Figura 2.2.1


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61

Donde:

Es el momento respecto de A de las fuerzas exteriores comprendidas entreA y C, y

Es el momento respecto de B de las fuerzas exteriores entre C y B.Ambos momentos se consideran positivos en sentido antihorario. De las dos

ecuaciones anteriores se obtienen las reacciones en la clave c.

Las reacciones en los apoyos se obtienen del equilibrio de fuerzas horizontal y

vertical de cada tramo:

Figura 2.2.2


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62

Esfuerzos internos:

Los esfuerzos en el interior del arco se obtienen aislando un tramo ap, donde p es

un punto cualquiera situado entre a y b. El origen del sistema de coordenadas se

sita en a, con lo que las coordenadas de p son x, y, obsrvese la figura 2.2.3.

El momento flector M se obtiene tomando momentos respecto de P.

Donde es el momento respecto de P de las fuerzas exteriores aplicadas entre

A y P. Se considera positivo en sentido antihorario.

Los esfuerzos axial N y cortante Q se obtienen aplicando el equilibrio de fuerzas en

las direcciones X e Y:

0

0

Figura 2.2.3


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63

Donde , son las resultantes, segn X e Y, de las fuerzas exterioresaplicadas entre A y P. El valor que se obtiene para el esfuerzo axial es:

( )

EJEMPLO 2.3

En la figura 2.2.4 se muestra un arco triarticulado de forma parablica sujeto a una

carga de 750 kg/ml. Calclese las reacciones en los apoyos y los diagramas de

elementos mecnicos.

2.2.4

La ecuacin de la parbola es:

7.515 7.5225


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64

Solucin:

El diagrama de cuerpo libre de todo el arco se muestra en la siguiente figura.

030 22.515 0

11.25Trabajando primero con la parte bc.

+

+


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65

011.257.5 11.2515 7.5 0

11.25 011.25

Definiendo el punto d a x=7.5m del punto b

De la ecuacin de la parabla.

7.5225 7.5225 7.51.875

15

225 Sustituyendo para x=1.875m

0 . 5radianes


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66

Por lo tanto:

26.57Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el punto d, tenemos:

011.2526.57 26.6 0 1 0

5.6326.57 26.57 02De 1 0.4511.2526.57 0.512.58Sustituyendo Nd en 2

563 0.512.58 26.5726.57 05.630.225.630.890 0

05.633.75 11.251.875 0

0


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67

De los resultados obtenidos nos damos cuenta que el arco est sometido solo a

compresin axial, cuyo valor es.

12.58 (Compresin)El diagrama de fuerzas axiales queda:

Actividades complementarias para el alumno

Hacer una investigacin de los diferentes tipos de estructuras en las que se

utilizan arcos.

Realizar un resumen de los mtodos vistos en este captulo.

Resolver ejercicios extraclase.


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68

3. METODOS ENERGETICOS

COMPETENCIA

Resolver problemas de deflexiones en vigas, marcos y armaduras aplicando

mtodos energticos.


Formar grupos de trabajo para que los estudiantes a partir de pre-

concepciones y apoyo del docente se establezca la descripcin de losconceptos de fuerza, trabajo y energa.

Construir un mapa de conceptos de trabajo, energa interna de deformacin

y la relacin entre stos, para elementos sujetos a fuerza axial, cortante y

momento flexionante.

A travs de un esquema grfico el alumno deber indicar los fundamentos

de los mtodos energticos para aplicarlos en la solucin de problemas.

Resolver ejercicios en el aula formando equipos de pocos integrantes, paraobtener desplazamientos lineales y angulares en: vigas estticamente

determinadas, armaduras en un plano y marcos.


El alumno ser capaz de entender y comprender los mtodos energticos

para calcular deflexiones.

El alumno deber adquirir la habilidad para resolver problemas de clculode deflexiones en armaduras, vigas y marcos aplicando mtodos

energticos.


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69

3.1 Introduccin. En el captulo 1 se utilizaron mtodos semigrficos para calcular

desplazamientos y pendientes. Para estructuras ms complicadas como armaduras

y marcos es conveniente aplicar los mtodos de energa. La mayora de los mtodos

de energa se basan en el principio de la conservacin de la energa, pero antes de

explicar este concepto es conveniente definir los parmetros que debemos tomar

en consideracin en este captulo:

Modelo del material.

Mientras no digamos lo contrario, supondremos que el material del que est

realizada la estructura muestra un comportamiento elstico-lineal hasta la rotura.

Modelos de deformacin.

Mientras no digamos lo contrario, supondremos que consideramos la hiptesis de

pequeas deformaciones.


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70

Principio de superposicion.


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71

Energa interna, elstica o de deformacin.

Supongamos que las cargas aplicadas al solido aumentan, progresivamente, desde

cero hasta su valor final de una manera positiva. En ese caso el trabajo W realizado

por todas las cargas que actan sobre el slido quedara almacenado como energa

elstica de deformacin U en el slido y, por lo tanto:

(3.1.1)Trabajo externo y energa de deformacin

La mayora de los mtodos energticos en el clculo de estructuras se basan en el

principio de la conservacin de la energa, que establece que el trabajo realizadopor las fuerzas exteriores que actan sobre un sistema estructural, W e.

Coincide con la energa de deformacin que almacena dicho sistema U i.

Trabajo de una fuerza exterior

(3.1.2)

Cuando la fuerza F seincrementa desde cero hastaun valor final F=P, laelongacin de la Barra resulta

ser :

2 . 12


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72

El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un slido es la mitad

de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus

puntos de aplicacin (en las direcciones de la las mismas, por supuesto).

Si entre las cargas aplicadas existiera algn momento, bastara con tener

en cuenta que:

Donde se digiera fuerza se debera decir momento

Donde se digiera desplazamiento se debera decir giro.

Donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se

debera escribir W=M.


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73

Ejemplos:

12 .

12 .


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74

12 || 12 ||

Las reacciones en el empotramiento (fuerzas y momento) no producen trabajo, pues

la seccin sobre la que actan no sufre movimientos.


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75

La energa de deformacin causada por los diferentes tipos de elementos

mecnicos que se pueden presentar en la estructura se deduce a continuacin:

Deformacin de una rebanada por esfuerzo axial


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76

Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a esfuerzo axial?

12 . 12


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77

La hiptesis de Navier (flexin)

Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes de deformarse la pieza, sigue

permaneciendo plana una vez que la pieza se ha deformado.

Deformacion de una rebanada por momento flexionante

(Compresin) (Traccin)2

2

2

2


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78

Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a momento flexionante?

12 . 12


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79

Deformacin de una rebanada por esfuerzo cortante

|

El rea a cortante depende de la geometra de la seccin y, en general, se puedeescribir como: =/k. Para el caso de una seccin rectangular K=6/5 (para el casode una seccin circular, por ejemplo, K=10/9)

21


82/173

80

Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a esfuerzo cortante?

12 . 12


83/173

81

| |

Deformacin de una rebanada por momento de torsin


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82

Qu energa elstica almacena una rebanada sometida a momento de torsin?

1

2

.

1

2


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83

En resumen:

Axial: .

Flexion: .

Cortante: .

Torsin .


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84

Qu energa interna se almacena en una pieza cargada en la que aparecen todos

los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?

12

3.3.3

La variable s del integrado indica que los esfuerzos pueden variar a lo la rgo de la

pieza en funcin del valor de dicha variables.


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85

3.2 Trabajo real

Definicin de trabajo

Es la cantidad escalar de fuerza que se emplea para desplazar una partcula o

un cuerpo. Es el producto de la fuerza por la distancia que recorre en la misma

direccin del movimiento.

Trabajo=Fuerza X Distancia W=Fd cos

Energa

La energa es la capacidad de un cuerpo para realizar un trabajo. Todos los cuerpos

por el hecho de estar formados de materia contienen energa almacenada en sus

molculas.

Al moverse un cuerpo, se emplea una parte de la energa contenida por el cuerpo

cuando interviene la accin de una fuerza.

El trabajo es la transferencia de energa de una entidad hacia otra a travs

de la fuerza aplicada en una trayectoria.

Cuando un cuerpo realiza un trabajo, la prdida de energa del cuerpo es

igual al trabajo efectuado.

Toda materia sufre cambios constantes continuamente, y para que la materia pueda

transformarse, requiere de energa en alguna de sus manifestaciones.


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86

Formas de Energa

MecnicaEnerga Potencial

Energa Cintica

Qumica

Radiante, luminosa,

elctrica, hidrulica,

elica, calorfica

Energa Potencial

Es la energa que un cuerpo posee en funcin de su posicin estando en reposo,

pero en potencia para realizar un trabajo.

Es el producto del peso de un cuerpo por la altura a la que se encuentra suspendido

en un plano de referencia,

Energa Cintica

La energa cintica de un cuerpo es aquella energa que posee debido a su

movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una

masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida

esta energa durante la aceleracin,el cuerpo mantiene su energa cintica salvo

que cambie su velocidad.
https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa


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87

Teorema del TRABAJO-ENERGA

La energa total de un cuerpo, al estar en reposo, no puede ser otra ms que su

energa potencial, y al moverse, una parte de su energa interna es convertida en

energa cintica, al transferirla a todas sus partes. El trabajo efectuado no es

precisamente el cambio de energa potencial a cintica en un instante en que ocurre

el movimiento.

ENERGA TOTAL = EP+ EC

Energa Potencial E P m g h W h

Energa Cintica EC 2 ( )

Trabajo W


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88

Ley de la conservacin de la energa

La energa no se crea ni se destruye, solo se transforma.

Materia y energa son dos aspectos de una misma realidad.

Esta ley implica que la masa puede considerarse como forma de energa pero, por

lo general, puede ignorarse en que la materia, de alguna manera de hecho, se

transforma en energa y viceversa.

Materia

Materia es todo en cuanto existe en el Universo.

Toda la materia est constituida por partculas elementales agrupadas en tomos y

molculas. La suma total de materia y energa es una cantidad constante en el

Universo.

Introduccin a los mtodos de energa en estructuras

Muchas fuerzas que se estudian en la esttica no ejecutan trabajo alguno, por lo

general, son fuerzas aplicadas en puntos fijos y que actan en direccin

perpendicular al desplazamiento.

, 0 0


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89

Las fuerzas que producen un trabajo son las que precisamente actan en un cuerpo

en movimiento, y el peso propio del cuerpo. En un sistema de fuerzas, la suma total

de los trabajos ejercidos por cada una de las fuerzas debe ser igual a cero, allograrse el equilibrio del cuerpo o partcula en cuestin.

Sin embargo en el equilibrio de fuerzas en partes donde deben ocurrir movimientos,

libres de friccin, se da lugar a pequeos desplazamientos o deformaciones en los

nudos, cuyas longitudes para cada fuerza del sistema, deben de sumar cero.

Una deformacin es un cambio de longitud, y en estructuras con articulaciones viene

acompaada de un desplazamiento de los nudos interconectados cuando el

material sufre dicho cambio.

Para estructuras elsticas o de comportamiento elstico, la curva de esfuerzo-

deformacin unitaria es la misma para cargas que para descargas. De ah que se

puedan determinar los esfuerzos cuando el material est trabajando en el rango

elstico.


92/173

90

Para determinar el trabajo realizado por la deformacin en un miembro se define

primero:

Fi= Fuerza aplicada gradualmente a una estructura, tal que su energa es cero.

Di= Deformacin resultando en direccin de la fuerza.

Para incrementos pequeos se carga el trabajo externo total es igual al rea bajo la

curva Fuerza-Deformacin.

12 Para n cargas y n deformaciones correspondientes:


93/173

91

12

=

El trabajo hecho por un grupo de cargas externas es igual a la energa elstica

almacenada en la estructura.

La ley de la conservacin de la Energa dice que la energa se transforma de una

cantidad a otra, y esto se aplica tanto a las fuerzas externas (cargas) como a las

internas (en la estructura).Para aplicar esta ley en las siguientes deducciones, es pertinente hacer las

siguientes suposiciones o hiptesis:

Las fuerzas internas y externas del sistema de fuerzas estn en equilibrio.

El lmite de proporcionalidad elstica del material no se debe exceder (Ley

de Hooke).

Los apoyos no tienen movimiento.


94/173

92

3.3 Trabajo virtual

Principio de Bernoulli de desplazamientos virtuales

Si en un sistema de fuerzas q que actan sobre un cuerpo rgido est en equilibrio

y permanece en tal estado cuando el cuerpo sufre un desplazamiento virtual

pequeo cualquiera, el trabajo virtual realizado por el sistema de fuerzas es igual a

cero.

Supongamos que un pequeo cuerpo, como en la figura, sufre una ligera vibracin

por alguna causa ajena al sistema de fuerzas Q. Un pequeo cambio de la forma

en el elemento provocara el recorrido de todo el sistema de fuerzas Q, se le llamara

Deformacin Virtual.

De acuerdo a lo anterior se establece que

0

Trabajo Externo Trabajo Virtual Interno

El mtodo del trabajo virtual tambin es conocido como el mtodo de carga unitaria

ficticia.


95/173

93

Trabajo Virtual Externo

(Fuerza) (Deformacin)Para un sistema de fuerzas Q

=

Deflexiones en armaduras logradas en el trabajo Virtual para escribir una expresin

del trabajo interno efectuado en la barra de una armadura, consideramos la

siguiente figura:


96/173

94

Esfuerzo Axial en la barra Deformacin de la barra Trabajo virtual local de la barra

Ley del trabajo virtual

Si un cuerpo en equilibrio, bajo un sistema de fuerzas R, permanece en ese estado

cuando se somete a una pequea deformacin virtual el trabajo virtual exterior

realizado por cargas externas ( ) actuando sobre el cuerpo es igual al trabajoVirtual interior de deformacin realizado por las fuerzas internas ( ).


97/173

95

Trabajo Real externo Trabajo Virtual Interno

Aplicacin del trabajo virtual a armaduras

Supongamos que se quiere calcular el desplazamiento vertical en el nodo G.

Eligiendo como sistemas de cargas Q una carga unitaria tenemos, de acuerdo a la

Ley de Hooke del trabajo Virtual.

Sistema Real FP


98/173

96

Carga Unitaria Ficticia

Sistema Virtual FQ


99/173

97

Deformacin Horizontal Deformacin Vertical

1 [ ]

1 [

] 3.3.4

Donde:

Trabajo Virtual realizado por las reaccionesPero como 01 Fuerzas Virtuales

Fuerzas RealesPara simplificar las numerosas multiplicaciones, emplearemos la siguiente tabla:

Barra L

(m)

A

(cm2)

L / A

(m / cm2)

FQ

(T)

FP

(T)

FQFP (L / A)

(T2m / cm2)

A-B

B-C

C-D

D-E

A-F

B-F


100/173

98

Ejemplo 3.1

Calcular la deformacin en el punto C de la armadura que se ilustra en la figura.

Considrese 2 1 0/

Fuerzas internas en el sistema Fsica o Real

Nodo A

Seccin I


101/173

99

Seccin II

7.07 20

0

0

450 45

15 450 150.7071 21.23 21.230.7011 15

21.23 15

0

1 5 0

1515

0 1510 0 5 15 5

0 45 0 15 45

0 4515100 545 7.077.07

157.071 15520


102/173

100

Seccin III

0 1 5 1 0 1 0 45

1 5 2 0 5 2 0 2 0 0 0

Fuerzas internas en el sistema Virtual

Sesin I

0 0 45 0.5 0.5 450.5 0 0 . 5 0 .. 0.7071

0.5 0.5


103/173

101

Seccin II

0 0.5 450 0.50.7071 0.70717071

0 0 . 5 45 0 0.50.70710.7071 0 . 5 0 . 5 1

Seccin III

0 0.5 45 0

0.50.7071 1 1

Resumen de fuerzas internas del sistema real:


104/173

102

Resumen de fuerzas internas del sistema virtual:

Utilizando la tabla propuesta anteriormente:

Barra L A L / A FQ FR FQFR(L/A)

(m) (cm2) (m/cm2) (T) (T) (Tm/cm2)A-B 3 30 0.10 15.00 +0.50 0.75A-F 4.242 20 0.21 -.21.27 -0.707 3.19F-B 3 10 0.30 5.00 +0.50 0.75B-C 3 30 0.10 20.00 +1.00 2.00B-G 4.242 20 0.21 -7.07 -0.707 1.06

F-G 3 30 0.10 -15.00 -0.50 0.75C-G 3 5 0.60 0.00 +1.00 0G-H 3 30 0.10 -15.00 -0.5 0.75G-D 4.242 20 0.21 -7.07 -7.07 1.06C-D 3 30 0.10 20.00 +1.00 2.00H-D 3 10 0.30 5.00 +0.50 0.75H-E 4.242 20 0.21 -21.27 -0.707 3.19D-E 3 30 0.10 15.00 +0.50 0.75

17.00

Deformacin por trabajo virtual en el punto C

[ ] 1 [

] /171/1

2 1 0/


105/173

103

12 1 0 [17 ] 0 . 5 1 0

17

8 . 5 1 0 8 . 5 1 0 10 8 . 5 1 0

8.5Ejemplo 3.2

Calcular la deformacin en el punto D de la siguiente armadura en voladizo

Momento equivalente MA=-9T(3m)-9T(6m)-9T(9m)

MA=-9T(3m+6m+9m))-162Tm 0 1 6 2 6 0 1626 27

0 0 27 0 2 7 0 27


106/173

104

Anlisis del sistema real

0 33.7 0 0.832 0 33.790 90.554 16.22 16.220.832 13.5 16.22 13.50 0 53.13 2 7 0

0 53.13 0

27 0.6 . 1 0.8 . 2

0 2 7 33.70 270.832 32.45

0 33.7270 2732.450.5547 2 7 1 8 9 . 2 1.25 1.259 11.25. 1 27 11.250.6 20.25 0 33.7 53.13 33.70 11.250.6 32.450.832

0.83232.458.1124.34

0 33.7 53.13 0 32.450.5548 11.250.80 18927


107/173

105

0 33.7 33.7 0 24.3433.7 Cos33.7 24.340.832

33.7 33.7180 24.340.5548 180.5548 13.518

0.5548 8.118.11 8.1124.340.832 13.513.5

0 1816.2233.7 0 1 8 9 9

Anlisis del sistema virtual:

0 0

0 1 0 1 0 9 1 6 0

96 1.50 1.00 33.69 519

1.50

33.69516


108/173

106

Nodo E 0 33.611.500 1.50651.80 1.802775

0 1 33.69 0

1 1 . 8 0 5 / 9 1 1 0 11.8027750.5547110

Seccin (I) 0 1.51.51.8033.69 1.805/6 5353.130 0 1 33.69 53.130

0 1.501.50

0 33.69 33.690 1.80

0 1.8033.69 1.8033.69 0 0

Seccin (II)

0 1.80 516 56 0 1.80 5/6

0 1.805/9 5 / 9 1 0

1 5/9 1 0 0 1.8005/6 1.501.50


109/173

107

Seccin (III)

0 5/6

0 5/61.50 1.80 0 1.805/9 1 0

1 1 0 0

0 1.805/60 1.50

Resumen de las fuerzas obtenidas de los dos sistemas:


110/173

108

Clculo de la deformacin:

Barra L A L/A FQ FP FQFP(L/A)(m) (cm2) (m/ cm2) (T) (1) (Tm/ cm2)

A-B 3.00 40 0.075 -20.25 -1.50 2.278B-C 3.00 40 0.075 -13.50 -1.50 1.518C-D 3.00 40 0.075 -13.50 -1.50 1.518E-F 3.605 40 0.090 32.45 1.80 5.256F-G 3.605 40 0.090 24.34 1.80 3.943G-D 3.605 40 0.090 16.22 1.80 2.627

A-E 6.00 15 0.40 9.00 0 0A-F 5.00 30 0.166 -11.25 0 0B-F 4.005 10 0.40 27.00 0 0B-G 3.605 20 0.18025 -8.11 0 0C-G 2.00 10 0.20 -9.00 0 0

17.14 0

1 12 1 0/17.1411 8.57110

8.571


111/173

109

Defelxin en vigas y marcos mediante el mtodo del trabajo virtual

Seccin longitudinal Seccin transversal

En una viga que trabaja a flexin se puede desarrollar un trabajo interno en cualquier

posicin dx a lo largo del claro. Pero, para determinarlo, se tienen que definir cuales

son los esfuerzos de flexin para el sistema de cargas reales y para el sistema de

carga unitaria virtual. En la figura de debajo de ilustran los diagramas de momentos

flexionantes para un sisatema real y un sistema virtual.

M(x) = Momento debidoa a las cargas externas

m(x) = Momento debido a la carga unitaria ficticia

El esfuerzo es un rea diferencial de la seccin transversal para las cargas externas

y para la carga ficticia unitaria son:


112/173

110

Momento M(X) del sistema real Momento m(X) del sistema virtual

Al rea dAcorreponde en la longitud diferencial dx una pequea deformacin dxcuando las cargas externas se reintroducen a la viga en el sistema virtual.

La deformacin unitaria en la longitud dx es

Debido a la carga unitaria ficticia, la fuerza total en

se desplza segn esa

deformacin, y el trabajo que realiza es:

1

1 [ ] 1

Momento de Inercia de la seccin


113/173

111

El trabajo virtual interno realizado a lo largo de la viga de claro L es:

1

1

Por tanto la deformacin por flexin causado por la carga ficticia es:

1

3.3.1

La pendiente a la tangente de la cuerva elstica, para cualquier rotacin en un punto

a lo largo de L, la carga que se aplica en un momento unitario ficticio, en unidades

de fuerza longitud.

1

3.3.2


114/173

112

Procedimiento para el clculo de desplazamientos en vigas y marcos

1. Se obtienen las ecuaciones, una vez estudiadas las solicitaciones para M(x)en sistema real, y m(x) en sistema virtual.

2. Se establecen los intervalos adecuados para cada funcin por separado alo largo del recorrido de x, pudindose presentarse traslapes entrefunciones.

3. Si se emplean ecuaciones de singularidad se despeja la funcin en losintervalos en que se archivan los trminos y se reescriben lasfunciones adecuadas solo para ese intervalo.

4. Para facilitar la solucin se puede emplear una tabla estableciendo lascolumnas los siguientes datos: intervalo, M(x), m(x) y el producto M(x)m(x).

Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)0, , ,

5. Se integran los elementos de la columna M(x)m(x) definidos en susrespectivo intervalos.


115/173

113

Ejemplo 3.3

Obtener la expresin para calcular la deflexin al centro del claro de la viga

simplemente apoyada con carga uniformemente repartida a lo largo de la

misma.

Sistema real:

Carga Total W=wL

0 0 2 0

Ecuacin de momento del sistema real

2 2

2 2

Para 0


116/173

114

Sistema Virtual

0 1

0 1 0 Momentos del sistema Virtual

12 1 2

Para el intervalo 0,/2 12 Para el intervalo /2, 12

2

2 12

Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)

0 22

2 2

4 4

4

4

2

2

2

2

2

4 2

2

12

4

4 2

0,


117/173

115

2 ,

Energa total del sistema de cargas p y q

1 1

4

4

4

3 4

/

4

2 4 2

/

4 2 23 4

4 3

8

14

16

4

24

64

5768

4 2

23

4

2

4

23

4

23

8

14

16

4 [12

23

14

18

112

164]

4

5192

5

168 1

1

2.5168

5384

Otra forma de resolver el problema es considerar la simetra de la viga y viendo el

recorrido desde los apoyos de la izquierda y de la derecha son idnticos, se

simplifica la operacin.


118/173

116

Energa de Deformacin

2 2

4

Para 0,/2

1 /

1

2

/

2 /

2

3

4

2

3

8

416

2 5

192

5

384

Ejemplo 3.4

Utilizando la viga del ejemplo anterior, calcule el giro en el punto A. Aplicando un

momento virtual unitario en el apoyo A.


119/173

117

Momento en el Sistema Virtual

1 1 1

Para todo intervalo

0,

Energa de deformacin

2 [

1 ]

2 2

2

23

4

1

2

2 2

3

4 2

12Finalmente, obtenemos:

24


120/173

118

Ejemplo 3.5 Calcular la deformacin vertical al centro del claro de la siguiente viga.

EI = Constante

0

2

2

Ecuacin de momentos de flexin del sistema realPara todo el tramo:

0 / 2 / 2


121/173

119

Sistema Virtual

Similar al Sistema Real

12 0 / 2

Deformacin 0 / 2 2

22 /

2

3

6 8

48 2

2 2 12

2


122/173

120

Ejemplo 3.6

Calcular la deformacin vertical en el extremo del volado de la viga que semuestra en la siguiente fifura.

2 , 1.67 10 0 3 6 0

18 0 183 0

5 4 Momento en el sistema Real

5 4 1 8 3 2 0 1.5 1854

1.5 1 2 3 6 1.56


123/173

121

Momento en el Sistema Virtual

6 1 6 Energa Total 0 6

1.5 6 6 1 . 5 6

Deformacin Total en B

1

1

2 1 0/1.6710 3.34/ 100 3 . 3 4 1 0 3.3410

1 3.3410 0.29910 0 . 3 1 0

0 . 3 1 0

1 0 0 0 . 3 1 0

3 1 0

1 . 5 6

32 6

4 38 6 6 0 6

38 36 38 1296486

1 1.5 6

486

4 8 6 3 1 0 1 4 5 8 1 0

1.458


124/173

122

Ejemplo 3.7

Calcular la deformacin vertical en el extremo B de la viga. 2 1 0/

, 0 . 5 1 0

0 9 4 . 5 0 13.5

0 93 456 0

2 7 2 7 5 4 Momento en el sistema real

5 4 1 3 . 5 9 3

Para 0 3 5413.513.554Para

3 6 5413.5.9224.527

Sistema Virtual:

0 1 0 1 0 16 0 6

6 1 6 0 6


125/173

123

Energa de Deformacin

0 3 3 6 1

1

Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)0 3 13.554 6 13.5 1353243 6 4.56 6 4.56

13.554 6 13.5 5482324 2 10 0.510 10

1

1 13.5 135324

1 4 . 5 6

1 4.5 67.5 324 1.51

6 1.5 1

33 453 2163 6 6 3 6

1.5 1 8 1 4 0 5 6 4 8 2 7 0 526.5 526.510 5.26


126/173

124

Ejemplo 3.8

Calcular la deformacin vertical en el extremo de la viga con apoyos simples

articulados que se ilustra a continuacin: 2 1 0/, 0.945

0 1 3 . 5 2 7 0

0 13.5 0 13.53 274.5 9 0

40.5121.59 18 40.51822.5

22.513.5 3 3 2

22.51.5 13.5 3Para 0 3 22.51.5Para 3 9 22.51.5 13.540.5

9 1 . 5 40.5


127/173

125

Sistema Virtual Energa de Deformacin

0 13 9 0 39

13

1 13 23 23 1 3Para 0 3 Para 3 9 3

1 1

Intervalo M(x) m(x) M(x)m(x)0 3 22.51.5 23

15

3 6

1.5

940.5

13 3 0.5

1.5

13.5121.5

15 940.5 13 3 12 3 13.54.5 27121.5

0.5 7.5 13.5121.5 15 5

4

0.5 7.5 13.5121.5 0.125 2.5 6.75 121.5 0.125 2.5 6.75 121.5

2 10 0.945 1.8910


128/173

126

1

1 5

4

1 0.125 2.5 6.75 121.5 1 53

34

1 0.1259 32.59 36.759 3121.593 1 13520.25 0.125 6480 2.5702 6.7572 121.56

1

114.758101755486729 384.75384.75

384.750.5310 10 2.00410cm.

Ejemplo 3.9

Del marco rgido que se muestra en la figura calcule la deflexin bajo la cargaconcentrada de 13.5T

Considere: 2 1 0/

0 9 0 9 0 93 13.53 6 0


129/173

127

67.56 11.25 0 11.2513.50

13.511.252.25 Sistema real

9 9 3 9 9 3Para 0 3 9Para 3 6 9 9 2 7

27

Recorrido desde A hacia arriba

96 3 2.2513.5 3 272.25 13.5 3

Para 0 3 2.25 27Para

3

6

67.511.25

Recorrido visto desde B hacia la derecha


130/173

128

Sistema Virtual para el punto D

0 0

0 1 0

0 13 6 0 3 6 0.5

1 0 . 5 0 . 5

Momento en la columna AB Momento en la viga BC

0.5 1 30 3 0.5

3 6 0.5 3

3 0 . 5


131/173

129

Momentos desde el punto C

Intervalo 0 3Recorrido desde Chacia la izquierda.

Energa de Deformacin en D

Intervalo M(x) m(x) U = M(x) m(x)3 [0,3] 2.25 27 0.5 1.125 13.54 [0,3] 11.25 0.5 5.625

11 1.125 13.5

0.375 6.75

1 0.37527 6.759 70.875

12 5.625

1.875 1.87527 50.625

Deformacin en D vertical

1 1

1

70.875 1

50.625

121.50 121.50.3961048.11410

0.48


132/173

130

Ejemplo 3.10

Calcular los desplazamientos horizontal en A y vertical en B en el marco que se

ilustra en la siguiente figura.

Considerar:

/ .

.

.

. .


133/173

131

Corte 1 20.256.75 0 20.256.75

Corte 1 20.256.756 0

20.25 Corte 3 21 6.751


134/173

132

Energa de Deformacin Virtual

D.M.F. sistema real

.

.

.


135/173

133

Virtual 6 t-m

Para Intervalo M(x) m(x) M(x) m(x)

1 0,6 20.256.75 3 6.753 2 0,6

20.25

3

60.75

3 0,6 6.75 6.75Intervalo U=M(x) m(x) b -a

1 0 6 6.75 3 6.75 3 60.75 60.752 0 6 60.75 60.75 364.5 03 0 3 6.75 3.375 30.375 0455.625 60.75

516.375

1

1 516.375 0.99210516.375 5.12


136/173

134

Para 1 0,6 20.256.75 6 40.53 2 0,6 20.25 6 20.25 6

Intervalo U=M(x) m(x) b -a1 0 6 40.5 3 20.25 3 182.25 182.252 0 6 20.25 6 10.125 6 0 364.5182.25 182.25

364.5 1

364.5 364.50.992103.615

3.4 Primer teorema de Castigliano

El ingeniero italiano Carlos Alberto Castigliano (1847-1889), elaboro nuevos

mtodos de anlisis para sistemas elsticos. Los dos teoremas que llevan su

nombre, enunciados en 1873 y 1875 respectivamente son sus contribuciones ms

importantes para el anlisis estructural.

El primer teorema consiste en un mtodo para expresar las condiciones de equilibrio

y para estudiar estructuras estticamente indeterminadas y no para calcular

desplazamientos.

Se enuncia como sigue:

En una estructura cualquiera, cuyo material es elstico lineal o no lineal y en la

que la temperatura es constante y los apoyos no pueden ceder, la primera derivada

parcial de la energa de deformacin con respecto a cualquier componente del


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desplazamiento es igual a la fuerza aplicada en el punto en la direccin

correspondiente a esa componente del desplazamiento.

Supongamos que una estructura esta en equilibrio bajo la accin de las fuerzas, , , Estas fuerzas han realizado una cierta cantidad de trabajo externo y una cantidad igual de Energa de deformacin en la estructura. Tambin hanproducido desplazamientos en los puntos de aplicacin de las fuerzas,

, , , .Si al variar cantidades infinitesimales las fuerzas , el desplazamiento varia una pequea cantidad mientras los otros desplazamientos , , ,semantienen constantes la energa de deformacin almacenada en el sistema variar

hasta alcanzar un valor

,donde:

(3.4.1)Si se desprecia la contribucin de segundo orden al trabajo externo debido a la

fuerza diferencial , el trabajo externo realizado en la estructura habraumentado, hasta como consecuencia de la introduccin de desplazamientoadicional , siendo,

(3.4.2)

Como debe ser igual a , igualando los segundos miembros de la ecuacin(3.4.1) y (3.4.2), se tiene:

Que es la expresin matemtica del primer teorema de Castigliano.


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3.5 Segundo teorema de Castigliano

El segundo teorema de Castigliano se puede enunciar segn Norris (1982) de

acuerdo a como sigue:

En una estructura cualquiera cuyo material es elstico y sigue la ley de Hooke, y

cuya temperatura es constante y los apoyos no pueden ceder, la primera derivada

parcial de la energa de deformacin con respecto a una fuerza cualquiera es igual

al desplazamiento del punto de aplicacin de esa fuerza en la direccin de su lnea

de accin

En este enunciado, las palabras fuerza y desplazamiento pueden interpretarse

tambin como par y rotacin angular, respectivamente. Adems, est implcito quedurante la deformacin de la estructura no hay cambio apreciable de sus

caractersticas geomtricas. Por tanto, la aplicacin de este teorema se limita a los

casos en que es posible superponer corrimientos.

Para deducir el teorema, consideramos una estructura cualquiera que satisfaga las

condiciones dichas, tal como la viga de la Fig. 3.5.1.

FIG.3.5.1. Deduccin del segundo teorema de Castigliano

Supongamos que se le carga gradualmente con las fuerzas , , , .El trabajoexterno realizado por estas fuerzas (que llamaremos ) es una funcin de lasmismas. Por el principio de conservacin de la energa, sabemos que en cualquier

estructura elstica en reposo y en equilibrio bajo un sistema de cargas, el trabajo

interno, o energa de deformacin almacenado en la misma, es igual al trabajo


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externo realizado por esas cargas durante su aplicacin gradual. Designando el

trabajo interno o energa de deformacin por , podemos escribir , , , (3.4.3)

Supongamos ahora que la fuerza aumenta un pequea cantidad ;el trabajointerno aumentar, y se convertir en (3.4.4)

Sin embargo, la magnitud del trabajo interno total no depende del orden en que se

apliquen las fuerzassolo depende del valor final de dichas fuerzas -. Adems, si

el material sigue la ley de Hooke, la deformacin y los corrimientos producidos por

las cargas.

, , , y, por tanto, el trabajo realizado por ellas son iguales si se aplican estasfuerzas a una estructura ya sometida a otras fuerzas o no, mientras los esfuerzos

totales debidos a todas las causas permanezcan dentro del lmite elstico. Por tanto,

si se aplica la fuerza infinitesimal primero y las , , , despus, lamagnitud del trabajo interno seguir siendo la misma, dada por la Ecuacin (3.4.4).

La fuerzaaplicada primero, produce un desplazamiento infinitesimal, demodo que el correspondiente trabajo externo realizado durante la aplicacin dees una cantidad de segundo orden y se puede despreciar. Si se aplican ahora las

cargas, , , , el trabajo externo realizado por ellas no resultar modificadopor la presencia de, por lo que ser igual al valordado por la Ec. (3.4.3).Sin embargo, durante la aplicacin de estas fuerzas, el punto de aplicacin desedesplaza una cantidad en la direccin d una lnea de aplicacin, por lo quedurante este desplazamientorealiza un trabajo externo igual a. Seael trabajo externo total realizado por todo el sistema durante esta sucesin decargas. Ser:

(3.4.5)


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Pero, como es igual a , la Ec. (d) se reduce a (3.4.6)

Esta ltima ecuacin es la expresin matemtica del segundo teorema de

Castigliano.

Para utilizar el segundo teorema Castigliano, es necesario desarrollar previamente

expresiones apropiadas de la energa de deformacin almacenada, o del trabajo

interno realizado por las tensiones de una barra. Consideremos, primero, el caso de

la energa de deformacin almacenada en una barra por una fuerza axial cuandodicha fuerza aumenta gradualmente de cero a su valor final. Imaginemos un

elemento diferencial de esa barra, limitado por dos secciones sucesivas, como el

re

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