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(REGRESION

datos conocldos

IcanndaCJ~::s x e y, con f

Capitulo 4. INTERPOLACION POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 217

4.3.1 Regresion polinomial: Supongamos que se conocen los datos

(xo,Yo),(X1'Y1),·,(Xn,Yn), con XO,x1, ,xn numeros distintos Y se de sea encontrar un

polinomio

con m < n

tal que n n

S(aO ,a1,·· ,am)= I (Pm(Xk)-Ykt =I(ao +a1xk +a2x~+ +amxk m

-Ykr k=O k~O

sea minima.

EI grado m del polinomio Pm( x) se puede escoger previamente con base en algun resultado

te6rico, alguna expectativa 0 por la aplicaci6n que se Ie pretenda dar al polinomio. En cualquier caso estamos "Iibres" de elegir el grado que parezca mejor. En muchos casos el grado sera uno Y el polinomio obtenido se IIamara la recta que mejor se ajusta 0 la recta de minimos cuadrados para la tabla de datos.

Volviendo a la funci6n S(a O,a1,. ,am), una condici6n necesaria para la existencia de un

minima relativo de esta funci6n es que las derivadas parciales de S(aO,a1, . ,am) con

respecto a aJ, j = O,l,. ,m sean cero.

Resultan entonces las siguientes m + 1 ecuaciones lineales en las inc6gnitas aO,a1"am

el sentido de que

Si en las ecuaciones anteriores cancelamos el 2, desarrollamos los parentesis Y usamos que n

I ao = (n + 1)ao , obtenemos k~O

218 METOOOS NUMERICOS

+ ( ~ x~Jam = ~Yk

+ [ ~ x~+ ' ) am = ~ XkYk

Este es un sistema de m + 1 ecuaciones lineales en las m + 1 inc6gnitas aO.a1•.• am • que

se llama sistema de ECUACIONES NORMALES Este sistema de ecuaciones normales se puede escribir en forma simpl ificada como sigue

m n tl

2> , Ix~· j = L>~Yk . J =0.1.. .m I 0 k ~O k , O

Estas ecuaciones se pueden reproducir a partir de

multiplicando a ambos lados por x~ , J = 0. 1. .. ,m ,

Y luego sumando sobre k

n tl m

aoIxL -r a I I x~ ' 1 ~.. + am Ix~+ 1 = I X~ Y k j = 0.1 .... m k~ O h 0 k =O k: O

La matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones normales es simetrica Y no singular. siempre que las xk , k =0 O,1.,n . sean distintas, por 10 tanto el sistema tiene soluci6n Unica.

Aunque la matri z puede estar mal cond iclonada cuando m es grande .

En efecto


Para ver que la matriz A de coeficientes del sistema de ecuaciones normales es no-singular, mostraremos que la matriz

Xo

x,

B=

x n

X2 0

X2,

X2 n

X~

x~

es tal que B T B = A Y B tiene todas sus co lu mnas li nea lmente independ ientes .

En efecto :

[Xo X2

xmJXo x, xn 0 0

X2 xm BTB = x 2 x ~ x 2 Xl , ,

0 n

X~ Xm Xm Xn X2 Xm n n (n.1Hm. l) 1 n (m+ 1)_(n. 1)

n n n

n + 1 I>k Ix~ 2>~ k- O k ~ O k =O

n n n n

I Xk I>~ Ix~ I x~ " k=O k= O k=O k= O

BTB = n n n n = A Ix~ Ix; Ix: I X~+2 k=O k- O k=O k=O

n n n n

I x~ I X~· l IX~· 2 Ix;m

k=O k=O k=O k=O (m+l )' (m>l)

Ahora, las columnas de B son

tales que y veamos

Como

que

220 METODOS NUMERICOS

r1] [ XO ] [ X~ l [ X~lcoXo + c, X , ,c, X, + +cmXm "COl: + c , J: +c, J: ++Cm :~

entonces

[

Co + c,Xo + C2 Xg+ .. +cmx~llo] :0 Co + c, x, + c7 x, + . +CmX, _ 0

Co + C1Xn+C2X~+"+CmX~ 0

Co ~ C,Xo + C2X~ + ' +CmX~ = 0

Co + C,X, + C2X~ + . +cmx;r' = 0 (4.12)

Y si qm(X) = Co ' c,x ;- C2X2 -j .. 1cmxm con m < n y no todos los coeficientes nulos,

entonces el sistema (4. 12) dice que la ecuacion polinomica qm (x) = 0 tiene por 10 menos n

raices distintas xo, x"" xn (m < n) , 10 cual es imposible.

As i que C = c, == .=cm == 0 y entonces las columnas de la matriz B son linealmente

independientes, y usando el hecho de que rango de BlB = rango de B, entonces la matriz

A - B TB es invertible, 10 que implica que el sistema de ecuaciones normales tiene solucion (m ica De este modo se garantiza la existencia de un unico polinomio de ajuste segun minimos cuadrados, si Xo, X" , xn son todos distintos. V

En el caso particu lar en que m = 1 , p, (x) == ao + a,x es la recta de minimos cuadrados

donde ao y a, se obtienen reso lviendo el sistema lineal de dos ecuaciones con dos

incogn itas

'---.,.......--'

n+1

(No se recomlenda usar la regia de Cramer para resolver el sistema anterior, porque la regia de Cramer es fu ertemente inestable)

I k [ xk I Yk 0 0 - 1 1 2 0 2 3 2 3 5 1

(4.12)

coefic ientes nulos.

B son linealmente

Ejemplo 4.7 Dada la tabla siguiente

I

TABLA 4 .5 1) Encuentre

a) La recta de m inimos cuadrados para la tabla Y su error E Y ERMS

b) La parabola de minimos cuadrados para la misma tabla Y su error E Y ERMS

2) Cual sera el pol inomio cubico de minimos cuadrados para dicha tabla? Cual es su error E

?Y ERMS

Soluc i6n: Para dar respuesta a la pregunta 1) debemos resolver dos sistemas de ecuac iones lineales:

Para la parte a) la recta es p,(x) = ao + a,x donde ao Y a, se obtienen resolviendo el

sistema

(4.13)

Para la parte b) la parabola es P2(X) =bo + b,x + b2 x2 donde bo, b, Y b2 se determinan

resolviendo el sistema

Capitulo 4. INTERPOLACI6N POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 221

Una manera de medir e l error para estimar la bond ad del ajuste segun minimos cuadrados , es a traves de

n

i) EI error E = I(Pm(xk) - Ykt ' 0 k- O

, porque la regia


(4.1 4)

Una manera conven iente de disponer todas las sumatorias necesarias para los dos sistemas es como se muestra en la siguiente tabla

xk xk x~ k Yk Xk Yk XkYkI k I I

2

I I X4

I I I 2

-1 00 00 0 00 016 0 01 4 82 182 627 812 3 9

1 25125 625 53 5 25 3

I 431110 160 238 722 k 0

TABLA 4.6

De modo que los sistemas (413) Y (4. 14) son

4ao + 10a, .: 2 (4.13'){l 1 Oa o + 38a, = 11

4bo + 1Db, + 38b2 = 2

J10bo + 38b, + 160b2 = 11 (4.14')

l 38bo + 160b, + 722b2 = 43

17 6La solucI6n del sistema (4 13') es ao =- -. a, = - . Y la soluci6n del sistema (4 14') es

26 13

b '" ~ b - ~~ Y b = - ~. Luego la recta de minimos cuadrados para los datos dados o 213' 1 - 78 6

es p, (x) =_ 1L + _6_ x Yel polinomio cuadratico de minimos cuadrados para los datos dados 26 13 '

es P 2 ( X ) = _ ~+2.Q1 x _ ~X2. 13 78 6

I

(4.14)

(4.13')

(4.14')


La TABLA 4.7 siguiente muestra los valores de P1 (xk) Y P2( xk) , k = 0,1,2,3 , Ilamados datos

suavizados , Y las diferencias Yk - p,(xk) , Yk - P2(Xk) .

Xk 0 2 3 5

f--Yk

p, (Xk )

-1

- .654

0

.269

2

.731

1

1.65

Yk - p,(xk) - .346 - .269 1.27 - .65

P2 (Xk ) - 1.15 .769 1.23 1.15

Yk - P2(Xk) .15 - .769 .77 - .15

TABLA 4.7

EI error para la recta de mini mos cuadrados es

3

E = L (p,(Xk) - Yk)2 =(-.346)2 +(_.269)2 +(1.27)2 +( - .65/ ", 2.23 k~O

Y el error cuadratico medio es

Analogamente, para la parabola de minimos cuadrados se obtiene que

.555

Para la respuesta a la pregunta 2), recordemos que hay un unlco polinomio de grado menor 0

igual que tres que pas a por los cuatro puntos dados Y es el polinomio de in terpolaci6n , as i que el polinomio cubico de minimos cuadrados debe ser este polinomio EI polinomio de interpolacion para los datos dados es

11 2 4 3P3 X =-1.0-2.1x+-x ---x()

6 15

que se puede obtener usando, par ejemplo , diferencias div ididas. Es claro que el error

E = 0 Y el error ERMS = 0 .


Un dibujo de los puntos dados, la recta , la parabola y el polinomio cubico segun min imos cuadrados , se muestra en la FIGURA 43 siguiente •

y

y = p (x)

~ y = p (x) 12

FIGURA 4 3

4.3.2 Regresi6n exponencial, logaritmica y de potencia: Aunque la regresi6n polinomial es la mas usada , lambien hay casos de interes en los cuales la relaci6n funcional entre las variables x y y es de alguno de los tipos siguientes

y ~ a1 b In x ( Regresion logaritm ica ) (4.15)

( Regresi6n exponencial ) (4.16)

(Regresi6n de potencia) (4.17)

Estos problemas se tratan como un problema de aJuste lineal , as ) En el caso (415), lineal

entre las variables In x e y; en el caso (4.16), como y =- aebx <::::> In y = In a + bx , se trata como

un caso lineal entre las variables x y In y ; en el caso (4 .17), como y =axb <::::> In y =In a + bin x ,

se trata como un caso lineal entre las variables In x y In y ,

Las soluciones para a y b en el caso (4 15), para Ina y b en los casas (416) y (4 .17), pueden encontrarse modificando apropiadamente las ecuaciones obtenidas en el caso de regresi6n lineal Debe tenerse en cuenta que la aproximaci6n obtenida de esta manera no es la aproximaci6n de minimos cuad radas del problema in icial y que, incluso, esta aproximacion puede, en algu nos casas , difenr significativamente de la aproximacion de minrmos cuadrados del problema original.

Ejemplo 4.8 Encuentre la recta logaritmica y = a + bin x para la sigu iente tabla

x

(4.15)

(4.16)

(4 .17)

fnat bx , se trata como

olny=lna +b ln x,

de esta manera no y que, incluso , esta

de fa aproximaci6n de

Capitulo 4. INTERPOLACICN POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 225

k xk Yk

0 29 1.6 1 50 23.5 2 74 38.0 3 103 46.4 4 118 48.9

TABLA 4.8

Y use la para estimar el va lor de Y cuando x =80 .

Soluci6n: Para encontra r los valores de a y b . hacemos Zk == In xk, k = 0,1,2.3,4. Y

resolvemos el siguiente sistema

Para calcular los coeficientes a y b , modificamos los datos dados como se indica en la

TABLA 4 .9. Los datos suavizados, que aparecen en la ultima columna de la TABLA 49, se obtienen una vez que se canace la recta logaritmica. que en este caso es

Y= - 111.123688 + 34.0 190251nx

k xk Zk = In xk Z2 k Yk ZkYk Datos suavizados

° 29 3.367296 11.338682 1.6 5.387674 3.428433 1 50 3.912023 15.303924 23.5 91.932541 21.959520 2 74 4.304065 18.524976 38.0 163.55447 35.29641 3 103 4.634729 21.4807 13 46.4 215 .051426 46.545273 4 118 4.770685 22.759435 48. 9 233.286497 51 .170352

4

L 374 20.988798 89.40773 158.4 709.21 2608 ERMS '" 1.907944 k- D

TABLA 4.9

De acuerdo con la TABLA 4 .9 el sistema a reso lver es

5a + 20.988798b =. 158.4 { 20.988798a + 89.40773b = 709.212608

La soluci6n del sistema es a == -111.123688

b -' 34.019025


as; que la recta logari tmica es Y= - 111.123688 + 34.019025Inx. Si x = 80 , entonces

Y = - 111.123688 + 34.0190251n80 = 37.835394. •

Ejercicio 4.4 Encuenlre la curva Y ~ aebX usando minimos cuadrados para la TABLA 4 10 sigulente Usela para ca lcular el valor de y cuando x = 16 . eual es el error E?

xk 6.9 12.9 19.8 26.7 35.1

Yk 21.4 15.7 12.1 8.5 5.2

TABLA 4. 10

Ejercicio 4.5 Encuentre la curva y = axb usando minimos cuadrados para la TABLA 4. 11

siguiente Y usela para calcular el valor de y cuando x =36 . eual es el error?

Xk 28 30 33 35 38

Yk -2410 -3033 - 3895 -4491 - 5717

TABLA 4.11

TALLER 4.

1. Use la forma de Lagrange del poilnomio interpolante para encontrar los polinomios

interpolantes mas aprop iados de grados uno, dos y tres para aproximar f(.2) , a partir de

los sigUientes datos

" " 1

00 .2 .1 .3 .7 - .1 63746 .11 051 7 .404958 1.40963

2. Use la forma de Lagrange del pOiinomio interpolante y lodos los datos de la tabla siguiente, x2

para aproximar t(1.25). La funcion que se esta aprox imando es f(x) =e -1

. Use esta

informacion para encontrar una cota teorica para el error en esta aproximaci6n.

00 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.00000 1.23368 1.55271 1.99372 2.61170

3. Suponga que se desea construir una tabla de valores para la funci6n f( x) =senx , en el

dominio 1-0, %] ,con tamano de paso h . Si se usa interpolaci6n lineal con cada dos datos

consecutivos de la tabla , y suponemos que el error total , incluyendo el efecto de los

errores de redondeo en las entradas de la tabla , es a 10 mas de 10-6 . e ual es el valor

Use esta

el efecto de los

Cual es el valor


mas grande posible para h , y cuantas cifras decimales se deben usar para los datos de la tabla?

4. Demuestre que n

I L)(x) = 1 para toda x )=0

donde cada Lj( x) es el polinomio fu ndamental de Lagrange de grado n, correspondiente

a n + 1 nu meros xo, x" ... , xn

Sugerencia: Considere la forma de Lagrange del polinomio in terpolante de grado menor 0

igual que n para la funci6n f( x) == 1 .

5. Sea w( x) = nn

(x - xk ) Demuestre que el polinomio interpo lante de grado menor 0 igual k=O

que n para una funci6n f en los nodos xo, x" ., xn ' puede escribirse como

". Para la funci6n f(x) = _1-2 ' - 5 $ x _ 5, genere el polinomio interpolante Pn(x) usando 1+ x

n + 1 nod~s igualmente espaciados en el intervalo [-5,5] . Calcule Pn (x) para distintos

valores de n y graf iquelos junto con la funci6n f Es cierto que

Max I f(x) - Pn(x) I 0 cuando n -') oo? xe[- 5.5 J

7. Encuentre un polinomio que tome los siguientes va lores

ii±1--1-;--+-~=---~- ~-I_~~-i-----=

8. Encuentre las formas de Lagrange y de Newton del po li nomio interpo lante para los siguientes datos

o - 1 16£11 -2 o

2Escriba ambos polinomios en la forma a + bx ~ cx para verificar que ellos son identicos.

228 ME TODOS NUMfRICOS

9. Use la forma deLagrange y la fo rma de Newton del polinomio interpolante para encontrar los polinomios interpolantes mas apropiados de grado dos, para aproximar f(.4 ) y f(.6) a

partir de los siguientes datos, y calcule la aproximaci6n en cad a caso

rn .1 .3 .5 .7 1.0 3.2974 2.8768 2.71 83 11.052 4.4995

10. Demuestre que si (zo .z , ., zn) es una permutaci6n de ( XO,x1, .. ,xn ), entonces

f[ZO,Z1., Zn]=f[xo ,x, . ,xn ]

Sugerencia: Use la unicidad del pohnomio interpolante

11 . Los sig uientes datos son tomados de un polinomio de grado menor 0 igual que cinco . Cual es dicho polinomio y cual es su grado?

x 2 - 1 o 2 3 y - 5 7 25

12. Verifiq ue que el polinomio p( x) = 2 - (x I- 1) x(x + 1) - 2x( x + 1Xx -1) interpola los primeros

cuatro puntas de la tabla siguiente:

Adicionando unicamente un termino al pol inomio p(x) , encuentre un polinomio que

interpole I ~ tabla completa ,

13. Encuentre el polinomio de menor grado que pasa por los puntos (1,2) , (2,1) , (3,12) Y

(7,1 46) .

14. Un vehiculo que vlaJa en una carretera recta es cronometrado en algunos puntos. Los datos de las observaciones se dan en la siguiente tabla donde el tiempo esta dado en segundos y la distancla en metros

Encuentre el polinomio que interpola estos datos y uselo para aproximar la distancia, la ve locidad y la aceleraci6n del veh iculo a los seis segundos.

Capitulo 4. INTERPOLACI6N POLINOMIAL Y AJUSTE POLINOMIAL 229

para encontra r 15. Determine todos los valores de a, bye tales que

f(.4) Y r(.6) a 3 + x - 9x 3

,

T(x) = a + b(x - 1) +c(X- 1)2 + d(x - 1( 1

es un Trazador cubico con nodos 0, 1, 2.

Ahora , determine el va lor de d tal que ,x" ... ,Xn), entonces

2

f[T "( XW dx o

sea min ima . Finalmente, encuentre el valor de d que haga de T un Trazador cubico

natural en [0,2] , Y explique por que este valor es distinto del obtenido previa mente. o igual que cinco.

16. Determine si el Trazador cubico natural que interpola la siguiente tabla

es 0 no la funci6n

1+ x- X3, X E[O ,1]

T(x)= 1- 2(x-1)- 3(x- 1)2 +4(x - 1( x E[1 ,2]

14(x - 2)+ 9(X- 2)2 - 3(x - 2f x E[2 ,3]

17. Determine si la siguiente funci6n es un Trazador cubico natural

2(X + 1) +(X+1)3, x E[- 1,O]

T(x) = 3 +5x +3x2, x E[0,1]j11 + 11( x - 1) + 3( x - 1)2 - (x - 1f x E [1,2]

18. Cuales propiedades de un Trazador cubico natural posee la sigu iente funci6n y cua les no?


19. Determine los coeficien tes a, b , C Y d tales que la funci6n

f 1 - 2 X. X E ( ......xi, - 3 ]

S(x) = a + bx+cx2 + dx3, x [-3.4]

157-32x, x [4,+(0)

es un Trazador cubico natural para el intervalo [-3,4] .

20. Se pueden definir a Y b de modo que la funci6n

(x 2)3 +a(x - 1( XE(-oo,2]

T(x) (X_ 2)3- (x 3t XE[2,3]

I (X - 3)3 + b(X-2)2, XE[3,+oo)

sea un Trazador cubico natural en (- Xl,+?:J)? Par que sl a par que no?

21. Que va lo res de a, b , C Y d hacen de la siguiente funci6n un Trazador cubico?

X3 x [-1,0]T(x) = .

a + bx + cx 2 + dx3 , x E[0,1]1

22. Canstruya la aproximaci6n de minimos cuadrados de la forma Y = axb

para la siguiente

tabla, y calcule su error E.

EBYk

4.0 4. 2 4. 5 4.7

102.56 113. 18 130.11 142.05

23. Encuen tre la curva Y = ae bx que mejor se ajusta segun minimos cuadrados a la siguiente

tabla de datos y calcu le su error ERMS

CAPiTULO 5.

INTRODUCCION

EB 1.0 2.0 2.5 3.0

Yk - 11.08 - 81.90 - 222.6 -605.1

para la sigu iente

a la siguiente

CAPiTULO 5. INTEGRACION NUMERICA

INTRODUCCION

En este capitulo estudiaremos algunos metod os numericos para estimar el valor de una integral definido

b

1= Jf(X)dX a

Integral en la cua l el intervalo de integraci6n [a,b] es finito , y f es una funci6n de una

variable real y valor real continua en [a, b] .

Para una funci6n f con las caracteristicas indicadas antes, existe una antiderivada Fen [a,b],

y b

Jf( x)dx = F(b) - F(a) a

EI problema para usar los metod os analiticos de integraci6n es que, es po sible que F no se pueda expresar en terminos de funciones elementales , 0 aunque F se conozca explicitamente, esta no se pueda evaluar faci lmente.

Ejemplos de tales integrales son :

1

JJ1=-0dX 0

1

f 1-dx 1 + x5

0

fe x

-=--dx X

1

5

fe -x2

dx 1

, n 2

f~dXx+1

1

_..

4

fxtanxdx 0

3 1 f dX

In x2

-2 fsen( x2)dX 0

n - n

2 1 1

Jcos( X 2)dX J3 1 + x3 dx f sen xdx fVx + ~dx

0 0 0 0

1 1

f(9 - x2)3 dx 0

1

fJtanxdx 0

1 re :

0

x x

n

f 1 1+sen2

0

dx x

Lo anterior motiva el uso de los metodos de integracion numerica que estudiaremos en 10 que sigue; los primeros que cons ideraremos se basan en la aproximacion de la funci6n f mediante polinomlos interpolantes.

5.1 ALGUNAS FORMULAS CERRADAS DE NEWTON-COTES

Supongamos que queremos estimar el valor de


b

1= ff(X )dX a

donde la funcion f es continua en el intervalo finito [a,b] .

Una manera de hacer e5to 5e ind ica a con!tnuacion

Empezamos dividiendo el intervalo [a,b J en N subintervalos de igual longitud,

[xo , x,].[x"xd , [X~ , Xk ~, l·,(XN "xN ] , donde los N+ 1 puntos xo, x" ... , xN de la particion se

obtienen a partir de la fo rmu la

xk - a+ kh, k=O,1, .. .,N

. b - aslendo h == -- . Nos referiremos a h como el tamano de paso

N

Notese que Xo - a, = b , Y que h = Xk , 1 - ' cualqu iera sea k = O,1, ... ,N - 1. xN Xk

N

Ahara bien, si PN (X) = I f(xl)L J(x) es el polinomio de interpolacion de Lagrange para la I 0

funci6n f en los nodes xo,x" ., xN , entonces

o 0 ON N b

ff(X)d X~ JPN(X)dX= fIf(xJ) Lj (X~X = I fh )JLj(X}d a a a J ~ O j=O a

De esta forma se obtiene una formula del tipo

b N

ff(X)dX'" I A /(Xj) a J ~O

donde

b

A J = JL J(X}d X, J = O,1, ... ,N a

Una fo rmula del tipo anterior, para aproximar el va lor de

b

ff( x}dx, es Ilamada una formula de a

cuadratura (cerrada) de Newton-Cotes

En muchos casas, en lugar de aproximar la fun ci6n f en el intervalo completo [a, b) por un

s610 pollnomio Interpolante, usando todos los nodos xo, x"., xN, mas bien la aproximamos

par tramos mediante polinomios interpolantes usando dos, tres 0 mas nodos consecutivos.

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