08 interpolacion de newton

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y

APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE

NEWTON.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Polinomios de interpolación de Newton.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 70

3.7.- POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.

Diferencias divididas.

Los métodos para determinar la representación explícita de un polinomio

interpolante a partir de datos tabulados se conocen como métodos de diferencia dividida.

Los métodos pueden usarse también para derivar técnicas para aproximar las derivadas y

las integrales de funciones, así como para aproximar las soluciones de ecuaciones

diferenciales.

Supongamos que nP es el polinomio de Lagrange de grado a lo más n que coincide

con la función f en los números distintos 0x , 1x ,…, nx . Las diferencias divididas de f con

respecto a 0x , 1x ,…, nx se pueden derivar demostrando que nP tiene la representación

))...(()()()()()( 110102010 nnn xxxxxxaxxxxaxxaaxP (3.20)

con constantes apropiadas 0a , 1a ,…, na .

Para determinar la primera de estas constantes, 0a , note que si )(xPn puede

escribirse en la forma de la ecuación (3.20), entonces evaluando nP en 0x deja solamente el

término constante 0a ; esto es, )()( 000 xfxPa n .

Similarmente, cuando nP se evalúa en 1x , los únicos términos distintos de cero en la

evaluación de )( 1xPn son la constante y el término lineal,

)()( 01101 xxaaxPn

)()()( 01101 xxaxfxf

así que

01

01

1

)()(

xx

xfxfa

(3.21)

Aquí introducimos lo que se conoce como notación de diferencia dividida. La

diferencia dividida cero de la función f, con respecto a ix , se denota por ][ ixf y es

simplemente la evaluación de f en ix .

)(][ ii xfxf



Las diferencias divididas restantes se definen inductivamente; la primera diferencia

dividida de f con respecto a ix y 1ix , se denota por ],[ 1ii xxf y está definida como

ii

ii

iixx

xfxfxxf

1

1

1

][][],[ (3.22)

Cuando las )1( k diferencias divididas

],...,,,[ 121 kiiii xxxxf y ],,...,,[ 121 kikiii xxxxf

han sido determinadas, la k-ésima diferencia dividida de f relativa a ix , 1ix , 2ix ,…, kix

está dada por

iki

kiiiikikiii

kikiiixx

xxxxfxxxxfxxxxf

],...,,,[],,...,,[],,...,,[ 121121

11 (3.23)

Con esta notación, la ecuación (3.21) puede ser rexpresada como ],[ 101 xxfa y el

polinomio interpolante en la ecuación (3.20) es

))...(()()()()](,[][)( 1101020100 nnn xxxxxxaxxxxaxxxxfxfxP

Las otras constantes 2a , 3a , …, na , en nP se pueden obtener consecutivamente de

una manera similar a la evaluación de 0a y 1a , pero las manipulaciones algebraicas se

vuelven tediosas.

Como puede esperarse de la evaluación de 0a y 1a , las constantes requeridas son:

],...,,,[ 210 kk xxxxfa para cada k = 0, 1, …, n; así, nP puede reescribirse como:

))...(()(],...,,[

)()(],,[)(],[][)(

11010

102100100

nn

n

xxxxxxxxxf

xxxxxxxfxxxxfxfxP (3.24)

o como

n

k

kkn xxxxxxxfxfxP1

10100 )...()(],...,,[][)( (3.25)

La ecuación (3.24) se conoce como la fórmula de diferencia dividida interpolante de

Newton.

Debe observarse que no se requiere que los datos utilizados en la ecuación (3.25)

estén igualmente espaciados o que los valores de la abcisa estén en orden ascendente.



También advierta como las ecuaciones (3.22) y (3.23) son recursivas (es decir, las

diferencias de orden superior se calculan tomando diferencias de orden inferior).

La determinación de las diferencias divididas para puntos de datos tabulados se

bosqueja en la tabla siguiente. Se podrían encontrar dos cuartas diferencias y una quinta a

partir de estos datos.

x )(xf Primeras diferencias

divididas

Segundas diferencias

divididas Terceras diferencias divididas

0x ][ 0xf

01

01

10

][][],[

xx

xfxfxxf

1x ][ 1xf 02

1021

210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

12

1221

][][],[

xx

xfxfxxf

03

210321

3210

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

2x ][ 2xf 13

2132

321

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

23

23

32

][][],[

xx

xfxfxxf

14

3214324321

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

3x ][ 3xf 24

3243

432

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

34

34

43

][][],[

xx

xfxfxxf

15

4325435432

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

4x ][ 4xf 35

4354

543

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

45

45

54

][][],[

xx

xfxfxxf

5x ][ 5xf

Errores de la interpolación polinomial de Newton.

Puede demostrarse que

!)1(

))((],,...,,[

)1(

10

n

xfxxxxf

n

n

de tal manera que, de acuerdo con el Teorema 3.2, tendremos

)()()(],,...,,[)()( 1010 nn xxxxxxxxxxfxPxf (3.26)

donde P es el polinomio interpolante dado en la ecuación (3.9).

El teorema anterior permite determinar el error absoluto de aproximación como



)()( xPxfa

)()()(],,...,,[ 1010 nna xxxxxxxxxxf (3.27)

Ejemplo 3.13.

Con los datos del ejemplo ilustrativo 3.4, calcule )5.0(f usando polinomios de

interpolación de Newton de grados 1 a 3. Elija la secuencia de puntos para su estimación

con la finalidad de obtener la mejor exactitud posible.

Solución.

ix –0.5 –0.1 0.6 1.0

)( ixf 4.250 2.314 –0.304 –4.000

Se determina la tabla de diferencias divididas.

Las primeras diferencias divididas se determinan como sigue:

01

01

10

][][],[

xx

xfxfxxf

12

1221

][][],[

xx

xfxfxxf

23

23

32

][][],[

xx

xfxfxxf

)5.0(1.0

250.4314.2],[ 10

xxf

)1.0(6.0

314.2304.0],[ 21

xxf

6.00.1

)304.0(000.4],[ 32

xxf

8400000.4],[ 10 xxf 740000.3],[ 21 xxf 2400000.9],[ 32 xxf

ix )( ixf Primeras

–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314

–3.7400000

0.6 –0.304

–9.2400000

1.0 –4.000

Las segundas diferencias divididas se determinan como sigue:

02

1021

210

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

13

2132

321

],[],[],,[

xx

xxfxxfxxxf

)5.0(6.0

)84.4(74.3],,[ 210

xxxf

)1.0(0.1

)74.3(24.9],,[ 321

xxxf

0000000.1],,[ 210 xxxf 0000000.5],,[ 321 xxxf



ix )( ixf Primeras Segundas

–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

Finalmente, las terceras diferencias divididas se determinan mediante:

03

210321

3210

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxf

)5.0(0.1

15],,,[ 3210

xxxxf

0000000.4],,,[ 3210 xxxxf

ix )( ixf Primeras Segundas Terceras

–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

Una forma sencilla y directa de construir la tabla de diferencias divididas sin recurrir a

ecuaciones es la siguiente:

Primeras diferencias divididas:

ix )( ixf Primeras

–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314

0.6 –0.304

1.0 –4.000

El valor 8400000.4 resulta de la operación:



8400000.4)5.0(1.0

250.4314.2

Obsérvese que en el numerador se encuentra la diferencia entre los dos valores adyacentes

inmediatos, mientras que en el denominador se encuentra la diferencia de los valores de x

en el extremo (columna de las ix ) diagonal inferior y superior hacia la izquierda de la

posición de la diferencia dividida a calcular.

De esta manera:

ix )( ixf Primeras

–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314

–3.7400000

0.6 –0.304

1.0 –4.000

7400000.3)1.0(6.0

314.2304.0

y

ix )( ixf Primeras

–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314

–3.7400000

0.6 –0.304

–9.2400000

1.0 –4.000

2400000.96.00.1

)304.0(000.4

Queda completada la tercera columna de la tabla de diferencias divididas. Para calcular las

segundas diferencias divididas, de acuerdo con la regla que hemos planteado, se procede de

la siguiente manera:


–0.5 4.250



–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

0000000.1)5.0(6.0

)84.4(74.3


–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

0000000.5)1.0(0.1

)74.3(24.9

Finalmente, las terceras diferencias divididas se determinan de la siguiente manera:


–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

0000000.4)5.0(0.1

15

Polinomio de primer grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los dos puntos a seleccionar y sus

diferencias divididas correspondientes son los siguientes:


–0.5 4.250

–4.8400000



–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de primer grado:

)1.0(7400000.3314.2)(1 xxP

Utilizando el polinomio interpolante de grado 1 )1.0(7400000.3314.2)(1 xxP , se

sustituye 5.0x , para obtener:

)1.05.0(7400000.3314.2)5.0(1 P

244.2314.2)5.0(1 P

0700000.0)5.0(1 P

Este valor coincide con el determinado en el ejemplo 3.10 utilizando un polinomio de

interpolación de Lagrange de primer grado.

En el cálculo anterior se ha utilizado la fórmula de diferencia dividida progresiva de

Newton. Otra forma, llamada fórmula de diferencia dividida regresiva de Newton se

muestra a continuación.

)6.0(7400000.3304.0)(1 xxP

Polinomio de primer grado, en el cual al evaluar )5.0(1P obtenemos:

)6.05.0(7400000.3304.0)5.0(1 P

374.0304.0)5.0(1 P

0700000.0)5.0(1 P

Con lo cual podemos afirmar que al aplicar la fórmula de diferencia dividida progresiva de

Newton o la fórmula de diferencia dividida regresiva de Newton obtenemos el mismo

resultado para la interpolación. De hecho, puede demostrarse que el polinomio de

interpolación de Newton en ambos casos es el mismo. Y finalmente, puede demostrarse que

cualquiera de los polinomios interpolantes de primer grado obtenidos por las fórmulas de

diferencia dividida de Newton es igual al polinomio interpolante de primer orden obtenido

por la fórmula de Lagrange. La única diferencia es la forma como están escritos. En este



sentido, si comparamos los resultados del ejemplo 3.10 y del ejemplo 3.13 para el

polinomio interpolante de primer grado, tendremos

Lagrange: )1.0(4342857.0)6.0(3057143.3)(1 xxxf

Newton (Diferencia dividida progresiva): )1.0(7400000.3314.2)(1 xxP

Newton (Diferencia dividida regresiva): )6.0(7400000.3304.0)(1 xxP

Los tres polinomios pueden reducirse a la forma: xxP 74.394.1)(1

Polinomio de segundo grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los tres puntos a seleccionar y sus



–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

ó


–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

puesto que ambas selecciones comprenden el valor 5.0x . No obstante, elegiremos la

segunda porque el valor 5.0x queda ubicado en torno al centro de los datos, en lugar del

extremo derecho de la primera opción.

De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de segundo grado:

)6.0()1.0(0000000.5)1.0(7400000.3314.2)(2 xxxxP



Utilizando el polinomio interpolante de grado 2

)6.0()1.0(0000000.5)1.0(7400000.3314.2)(2 xxxxP , se sustituye 5.0x ,

para obtener:

)6.05.0()1.05.0(0000000.5)1.05.0(7400000.3314.2)5.0(2 P

3000000.02440000.2314.2)5.0(2 P

3700000.0)5.0(2 P

Utilizando la fórmula de diferencia dividida regresiva de Newton:

)6.0()1(0000000.5)0.1(2400000.9000.4)(2 xxxxP

Polinomio de segundo grado, en el cual al evaluar )5.0(2P obtenemos:

)6.05.0()15.0(0000000.5)0.15.0(2400000.9000.4)5.0(2 P

2500000.06200000.4000.4)5.0(2 P

3700000.0)5.0(2 P

Puede demostrarse que los polinomios

)6.0()1.0(0000000.5)1.0(7400000.3314.2)(2 xxxxP y

)6.0()1(0000000.5)0.1(2400000.9000.4)(2 xxxxP son iguales e iguales al

polinomio de interpolación de Lagrange

)6.0()1.0(0909091.9)0.1()1.0(0857143.1)0.1()6.0(0051948.3)(2 xxxxxxxf

Polinomio de tercer grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cuatro puntos a seleccionar y

sus diferencias divididas correspondientes son los siguientes:


–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000



Diferencia dividida progresiva de Newton:

)6.0()1.0()5.0(0000000.4)1.0()5.0(0000000.1)5.0(8400000.4250.4)(3 xxxxxxxP

Diferencia dividida regresiva de Newton:

)1.0()6.0()0.1(0000000.4)6.0()0.1(0000000.5)0.1(2400000.9000.4)(3 xxxxxxxP

Sustituimos 5.0x en el polinomio interpolante de grado 3, para obtener:

)6.05.0()1.05.0()5.05.0(0000000.4

)1.05.0()5.05.0(0000000.1)5.05.0(8400000.4250.4)5.0(3

P

2400000.06000000.08400000.4250.4)5.0(3 P

2500000.0)5.0(3 P

Dos formas adicionales de diferencia dividida de Newton es la fórmula de diferencia

dividida zigzag hacia adelante (progresiva) y zigzag hacia atrás (regresiva). Los polinomios

de interpolación que se obtienen mediante la aplicación de estas fórmulas son iguales a los

obtenidos mediante diferencia dividida progresiva de Newton y diferencia dividida

regresiva de Newton siempre y cuando se trabaje en torno al punto central (número impar

de datos) o en torno a los dos puntos centrales (número par de datos). Estas fórmulas

pueden ilustrarse de la siguiente manera:

Zigzag hacia adelante:

Utiliza los siguientes puntos y sus diferencias divididas correspondientes:


–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

)5.0()6.0()1.0(0000000.4

)6.0()1.0(0000000.1)1.0(7400000.3314.2)(3

xxx

xxxxP

Al evaluar en 5.0x :



)5.05.0()6.05.0()1.05.0(0000000.4

)6.05.0()1.05.0(0000000.1)1.05.0(7400000.3314.2)5.0(3

P

2400000.00600000.0244000.2314.2)5.0(3 P

25.0)5.0(3 P

Zigzag hacia atrás:

Utiliza los siguientes puntos y sus diferencias divididas correspondientes:


–0.5 4.250

–4.8400000

–0.1 2.314 1.0000000

–3.7400000 –4.0000000

0.6 –0.304 –5.0000000

–9.2400000

1.0 –4.000

)0.1()1.0()6.0(0000000.4

)1.0()6.0(0000000.5)6.0(7400000.3304.0)(3

xxx

xxxxP

Al evaluar en 5.0x :

)0.15.0()1.05.0()6.05.0(0000000.4

)1.05.0()6.05.0(0000000.5)6.05.0(7400000.3304.0)5.0(3

P

1200000.03000000.03740000.0304.0)5.0(3 P

25.0)5.0(3 P

Los cuatro polinomios interpolantes de Newton de tercer grado obtenidos en este ejemplo

son iguales.

Ejemplo 3.14.

La tabla siguiente muestra los valores de una función (la función de Bessel de primera clase

de orden cero) en varios puntos. Se compararán las aproximaciones de )5.1(f obtenidas a

partir de varios polinomios de Newton.

x )(xf

1.0 0.7651977

1.3 0.6200860

1.6 0.4554022



1.9 0.2818186

2.2 0.1103623

Solución.

Se determina la tabla de diferencias divididas.

x )(xf Primeras Segunda Terceras Cuartas

1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623





1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623

De acuerdo con la ecuación (3.19), obtenemos el polinomio interpolante de primer grado:

)3.1(5489460.06200860.0)(1 xxP Diferencia dividida progresiva.

)6.1(5489460.04554022.0)(1 xxP Diferencia dividida regresiva.

Utilizando el polinomio interpolante de grado 1 )3.1(5489460.0620086.0)(1 xxP , se

sustituye 5.1x , para obtener:

)3.15.1(5489460.06200860.0)5.1(1 P

1097892.06200860.0)5.1(1 P



5102968.0)5.1(1 P





1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623


)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP Progresivas.


)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP , se sustituye 5.1x

, para obtener:

)6.15.1()3.15.1(0494433.0)3.15.1(5489460.06200860.0)5.1(2 P

0009889.01097892.06200860.0)5.1(2 P

5112857.0)5.1(2 P

Otras tres formas del polinomio de interpolación de Newton de grado 2 que pueden

utilizarse son:


)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(2 xxxxP

Zig-Zag hacia adelante:

)9.1()6.1(0494433.0)6.1(5786120.04554022.0)(2 xxxxP

Zig-Zag hacia atrás:

)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(2 xxxxP







1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623


)6.1()3.1()1(0658784.0

)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(3

xxx

xxxxP


)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0

)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(3

P

0006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(3 P

5118126.0)5.1(3 P


utilizarse son:


)3.1()6.1()9.1(0658784.0

)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(3

xxx

xxxxP


)1()6.1()3.1(0658784.0

)6.1()3.1(1087339.0)3.1(5489460.06200860.0)(3

xxx

xxxxP




)9.1()3.1()6.1(0658784.0

)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(3

xxx

xxxxP

Polinomio de cuarto grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cinco puntos a seleccionar y



1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623


)9.1()6.1()3.1()1(0018251.0)6.1()3.1()1(0658784.0

)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(4

xxxxxxx

xxxxP


)9.15.1()6.15.1()3.15.1()15.1(0018251.0)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0

)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(4

P

0000073.00006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(4 P

5118199.0)5.1(4 P


utilizarse son:


)3.1()6.1()9.1()2.2(0018251.0)6.1()9.1()2.2(0680685.0

)9.1()2.2(0118183.0)2.2(5715210.01103623.0)(4

xxxxxxx

xxxxP


)2.2()3.1()9.1()6.1(0018251.0)3.1()9.1()6.1(0680685.0

)9.1()6.1(0494433.0)6.1(5786120.04554022.0)(4

xxxxxxx

xxxxP




)1()9.1()3.1()6.1(0018251.0)9.1()3.1()6.1(0658784.0

)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(4

xxxxxxx

xxxxP

Fórmula de las diferencias progresivas de Newton.

La fórmula de diferencias divididas interpolantes de Newton pueden expresarse en forma

simplificada cuando se arreglan consecutivamente 0x , 1x , …, nx con espacios iguales. Al

introducir la notación ii xxh 1 para cada 1...,,1,0 ni y sea hsxx 0 , podemos

escribir la diferencia ixx como hisxx i )( . Por lo tanto, la ecuación (3.25) se

transforma en

n

k

k

k

nn xxxfhkk

sxfhsxPxP

1

1000 ],...,,[!][)()( (3.28)

A esta se le llama fórmula de las diferencias divididas progresivas de Newton. Otra

forma, denominada fórmula de las diferencias progresivas de Newton, se construye

utilizando la notación de las diferencias progresivas que definiremos a continuación.

Definición 3.1. Dada la sucesión

0}{ nnf la diferencia progresiva nf está definida por

nnn fff 1 para 0n .

Las potencias mayores )( 1

n

k

n

k ff , para 2k .

La definición anterior significa que

)()()()( 11211

2

nnnnnnnnnn ffffffffff

Por tanto,

nnnn ffff 12

2 2

Y de manera sucesiva:

)()(2)(2)2()( 112231212

23

nnnnnnnnnnnnnn ffffffffffffff

Por tanto,

nnnnn fffff 123

3 33

Y, en general,



k

i

ikn

i

n

k fi

kf

0

)1(

Con esta notación,

)(1)()(

],[ 0

01

01

10 xfhxx

xfxfxxf

)(1)()(

],[ 1

12

1221 xf

hxx

xfxfxxf

)(2

1)(

1)(

1

2

1],[],[],,[ 0

2

201

02

1021

210 xfh

xfh

xfhhxx

xxfxxfxxxf

y, en general,

)(!

1],...,,[ 010 xf

hkxxxf k

kk

Entonces, la ecuación (3.28) tiene la siguiente fórmula.

n

k

k

n xfk

sxfxP

1

00 )(][)( (3.29)

donde h

xxs 0 y

k

s es la notación del coeficiente binomial:

!

)1()...2()1(

!)(!

!)()1()...2()1(

!)(!

!

k

kssss

ksk

kskssss

ksk

s

k

s

Los polinomios interpolantes de Newton desde grado uno a cuarto grado son:

)(][)( 001 xfsxfxP

)(!2

)1()(][)( 0

2

002 xfss

xfsxfxP

)(!3

)2()1()(

!2

)1()(][)( 0

3

0

2

003 xfsss

xfss

xfsxfxP



)(!4

)3()2()1()(

!3

)2()1()(

!2

)1()(][)( 0

4

0

3

0

2

004 xfssss

xfsss

xfss

xfsxfxP

La determinación de las diferencias para puntos de datos tabulados se bosqueja en la

tabla siguiente. Se podrían encontrar dos cuartas diferencias y una quinta a partir de estos

datos.

x )(xf Primeras diferencias Segundas diferencias Terceras diferencias

0x )( 0xf

)()()( 010 xfxfxf

1x )( 1xf )()()( 010

2 xfxfxf

)()()( 121 xfxfxf )()()( 0

2

1

2

0

3 xfxfxf

2x )( 2xf )()()( 121

2 xfxfxf

)()()( 232 xfxfxf )()()( 1

2

2

2

1

3 xfxfxf

3x )( 3xf )()()( 232

2 xfxfxf

)()()( 343 xfxfxf )()()( 2

2

3

2

2

3 xfxfxf

4x )( 4xf )()()( 343

2 xfxfxf

)()()( 454 xfxfxf

5x )( 5xf

Ejemplo 3.15.

La tabla siguiente muestra los valores de una función (la función de Bessel de primera clase

de orden cero) en varios puntos. Se compararán las aproximaciones de )5.1(f obtenidas a

partir de varios polinomios de Newton.

x )(xf

1.0 0.7651977

1.3 0.6200860

1.6 0.4554022

1.9 0.2818186

2.2 0.1103623

Solución.

Se determina la tabla de diferencias.


1 0.7651977

-0.1451117



1.3 0.6200860 -0.0195721

-0.1646838 0.0106723

1.6 0.4554022 -0.0088998 0.0003548

-0.1735836 0.0110271

1.9 0.2818186 0.0021273

-0.1714563

2.2 0.1103623



diferencias correspondientes son los siguientes:


1 0.7651977

-0.1451117

1.3 0.6200860 -0.0195721

-0.1646838 0.0106723

1.6 0.4554022 -0.0088998 0.0003548

-0.1735836 0.0110271

1.9 0.2818186 0.0021273

-0.1714563

2.2 0.1103623

De acuerdo con la ecuación (3.29), obtenemos el polinomio interpolante de primer grado (

1n ):

)(][)( 001 xfsxfxP Diferencia progresiva.

3.0h

5.1x

3

2

3.0

3.15.1

s

)1646838.0(6200860.0)5.1(32

1 P

5102968.0)5.1(1 P

Este valor coincide con el determinado en el ejemplo 3.13 utilizando un polinomio de

interpolación de Newton de primer grado y diferencias divididas hacia adelante.







1 0.7651977

-0.1451117

1.3 0.6200860 -0.0195721

-0.1646838 0.0106723

1.6 0.4554022 -0.0088998 0.0003548

-0.1735836 0.0110271

1.9 0.2818186 0.0021273

-0.1714563

2.2 0.1103623


)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP Progresivas.


)6.1()3.1(0494433.0)3.1(5489460.06200860.0)(2 xxxxP , se sustituye 5.1x

, para obtener:

)6.15.1()3.15.1(0494433.0)3.15.1(5489460.06200860.0)5.1(2 P

0009889.01097892.06200860.0)5.1(2 P

5112857.0)5.1(2 P


utilizarse son:


)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(2 xxxxP


)9.1()6.1(0494433.0)6.1(5786120.04554022.0)(2 xxxxP


)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(2 xxxxP







1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623


)6.1()3.1()1(0658784.0

)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(3

xxx

xxxxP


)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0

)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(3

P

0006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(3 P

5118126.0)5.1(3 P


utilizarse son:


)3.1()6.1()9.1(0658784.0

)6.1()9.1(0494433.0)9.1(5786120.02818186.0)(3

xxx

xxxxP


)1()6.1()3.1(0658784.0

)6.1()3.1(1087339.0)3.1(5489460.06200860.0)(3

xxx

xxxxP


)9.1()3.1()6.1(0658784.0

)3.1()6.1(0494433.0)6.1(5489460.04554022.0)(3

xxx

xxxxP



Polinomio de cuarto grado.

Puesto que se desea realizar la interpolación en 5.0x , los cinco puntos a seleccionar y



1 0.7651977

–0.4837057

1.3 0.6200860 –0.1087339

–0.5489460 0.0658784

1.6 0.4554022 –0.0494433 0.0018251

–0.5786120 0.0680685

1.9 0.2818186 0.0118183

–0.5715210

2.2 0.1103623


)9.1()6.1()3.1()1(0018251.0)6.1()3.1()1(0658784.0

)3.1()1(1087339.0)1(4837057.07651977.0)(4

xxxxxxx

xxxxP


)9.15.1()6.15.1()3.15.1()15.1(0018251.0)6.15.1()3.15.1()15.1(0658784.0

)3.15.1()15.1(1087339.0)15.1(4837057.07651977.0)5.1(4

P

0000073.00006588.00108734.02418529.07651977.0)5.1(4 P

5118199.0)5.1(4 P

Ejercicios propuestos.

41. [CC] Repita los problemas 15, 18 y 20 utilizando polinomios de Newton.

42. [CC] Repita el problema 23 usando el polinomio de Newton de grado 1 a 4.

43. [BF] Construir el polinomio interpolante de grado cuatro de Newton para los puntos

espaciados desigualmente dado en la siguiente tabla:

x )(xf

0.0 –7.00000

0.1 –5.89483

0.3 –5.65014

0.6 –5.17788

1.0 –4.28172



44. [BF] Suponga que se añade el dato 99583.3)1.1( f al ejercicio 37. Construya el

polinomio interpolante de grado cinco.

45. [BF] Aproxime )05.0(f usando los datos siguientes y la fórmula de diferencia dividida

progresiva de Newton.

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

)(xf 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 2.22554

46. [BF] Usando los datos del ejercicio 39 y la fórmula de diferencia dividida regresiva de

Newton, aproxime )65.0(f .

47. [BF] Dada la tabla de población

Año 1930 1940 1950 1960 1970 1980

Población (en miles) 123203 131669 150697 179323 203212 226505

Use el método de diferencia dividida apropiado para aproximar:

a) La población en el año 1965.

b) La población en el año 2000.

48. Dada la siguiente tabla de valores de un experimento:

x 120 122 124 126 128 130 y 234.56 240.50 243.25 246.45 253.20 255.46

a) Construya una tabla de diferencias divididas.

b) Con los valores de la tabla anterior interpole un valor de y para 125x , con todas las

diferencias posibles que le correspondan.

Aplicación a la probabilidad.

49. En la siguiente tabla se contemplan algunos valores de la probabilidad:

xt tdexXPxy

0

22)0()(

x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 y 0.8427 0.8802 0.9103 0.9340 0.9523 0.9661

Por medio de interpolación de Newton, aproxime el valor para )32.1(y .

a) Construya una tabla de diferencias divididas.

b) Con los valores de la tabla anterior interpole un valor de y para 32.1x con todas las

diferencias posibles que le correspondan.



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

41. 15) a) )4(0.088045760206.0)(1 xxP , 0.6901057)5(1 P

b) )5.4(0.08715026532125.0)(1 xxP , 0.6967876)5(1 P ; 18)

)5.5()5.4(0.0077153)5.4(0.08715020.6532125)(2 xxxxP , 0.6987164)5(2 P ;

20)

)5.5()5.4()4(0.0011939)5.4()4(0.0101032)44(0.10230500.60206)(3 xxxxxxxP

, 0.6990149)5(3 P

42. )3(250000.725.5)(1 xxP , )3()2(0000000.2)2(250000.14)(2 xxxxP ,

)5()3()2(25.0)3()2(0000000.2)2(250000.14)(3 xxxxxxxP ,

)3()2()1(2500000.0)2()1(0000000.1)1(7500000.075.4)(4 xxxxxxxP

Las estimaciones son:

5000000.21)4(1 P , 5000000.01)4(2 P , 0000000.10)4(3 P , 0000000.10)4(4 P

43. )6.0()3.0()1.0(4925397.55

)3.0()1.0(7705556.55)1.0(7608333.320517000.117)(4

xxxx

xxxxxxxP

44.

)0.1()6.0()3.0()1.0(3232.147846)6.0()3.0()1.0(4925397.55

)3.0()1.0(7705556.55)1.0(7608333.320517000.117)(4

xxxxxxxxx

xxxxxxxP

45. Polinomio interpolante de Newton:

)6.0()4.0()2.0(0619792.0

)4.0()2.0(2262500.0)2.0(6127500.01070000.11)(4

xxxx

xxxxxxxP

1.0512588)05.0(4 P

46. )2.0()4.0()6.0()8.0(0619792.0)4.0()6.0()8.0(2758333.0

)6.0()8.0(9140000.0)8.0(0171000.222554.2)(4

xxxxxxx

xxxxP

1.9155505)65.0(4 P

47. a) 192407; b) 571329.

48. a)



120 234.56

2.9700000

122 240.50

-0.3987500

1.3750000

0.0758333

124 243.25

0.0562500

–0.0014062

1.6000000

0.0645833

–0.0027604

126 246.45

0.4437500

–0.0290104

3.3750000

–0.1675000

128 253.20

–0.5612500

1.1300000

130 255.46

0244.463125)125(5 P

49. a)

1.0 0.8427

0.3750000

1.1 0.8802

–0.3700000

0.3010000

0.1666667

1.2 0.9103

–0.3200000

0.0000000

0.2370000

0.1666667

–0.0833333

1.3 0.9340

–0.2700000

–0.0416667

0.1830000

0.1500000

1.4 0.9523

–0.2250000

0.1380000

1.5 0.9661

0.9380611)32.1(5 P

08 interpolacion de newton

Education

mtodos de diferencia

polinomios de interpolacin

respecto a ix

evaluacin de f

primera diferencia dividida

notacin de diferencia

sima diferencia dividida

ii xfxf