implement bcs for mms liu

8/2/2019 Implement Bcs for Mms Liu

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I m p l e m e n t a t i o n o f B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r

M e s h l e s s M e t h o d s

F r a n k C . G u n t h e r

W i n g K a m L i u

y

D e p a r t m e n t o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g

N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y

2 1 4 5 S h e r i d a n R d .

E v a n s t o n , I L 6 0 2 0 8 - 3 0 1 9

U S A

A b s t r a c t

B o u n d a r i e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a n a s p e c t o f t h e n u m e r i c a l

s o l u t i o n o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h e r e m e s h l e s s m e t h o d s h a v e h a d

t o s u r m o u n t m a n y i n i t i a l d i c u l t i e s d u e t o t h e l a c k o f a n i t e - e l e m e n t -

l i k e K r o n e c k e r D e l t a c o n d i t i o n . F u r t h e r m o r e , i t i s f r e q u e n t l y d e s i r a b l e ,

e s p e c i a l l y i n u i d m e c h a n i c s , t o i m p o s e g e n e r a l , n o n l i n e a r b o u n d a r y a n d

i n t e r f a c e c o n s t r a i n t s . T h i s p a p e r d e s c r i b e s a c o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t a l -

g o r i t h m b a s e d o n d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t h a t c a n b e u s e d f o r g e n e r a l c o n -

s t r a i n t s b o t h i n m e s h l e s s m e t h o d s a n d n i t e e l e m e n t s . F i r s t , a m e t h o d o f

p a r t i t i o n i n g m e s h l e s s s h a p e f u n c t i o n s s u i t a b l e f o r i m p o s i n g l i n e a r b o u n d -

a r y c o n d i t i o n s i s d e v e l o p e d . S u b s e q u e n t l y , a n a n a l o g o u s m e t h o d i s d e -

v e l o p e d f o r n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s . S p e c i a l a t t e n t i o n i s g i v e n t o i m p o s i n g

g e n e r a l b o u n d a r y a n d u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s o n t h e N a v i e r -

S t o k e s e q u a t i o n s i n t e r m s o f c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s . N u m e r i c a l r e s u l t s u s -

i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e w i t h t h e R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d

( R K P M ) , i n c l u d i n g v i s c o u s , s u p e r s o n i c o w p a s t a N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l ,

a r e s h o w n .

T h e s u p p o r t o f t h i s r e s e a r c h b y A F O S R , O N R , a n d N S F i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d

y

C o r r e s p o n d i n g a u t h o r . E - m a i l : w - l i u @ n w u . e d u

1


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1 I n t r o d u c t i o n

B o u n d a r i e s a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e a n a s p e c t o f t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n

o f p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h e r e m e s h l e s s m e t h o d s h a v e h a d t o s u r m o u n t

m a n y i n i t i a l d i c u l t i e s . R K P M ' s b o u n d a r y c o r r e c t i o n t e r m 2 9 , 2 7 , 2 3 , 2 6 ] w a s

i n t r o d u c e d t o p r e s e r v e c o n s i s t e n c y c l o s e t o t h e b o u n d a r y , t h e r e b y a v o i d i n g a

d e c i e n c y o f S m o o t h P a r t i c l e H y d r o d y n a m i c s ( S P H ) 3 1 ] . H o w e v e r , t h e e n -

f o r c e m e n t o f e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s r e m a i n s a n a r e a o f o n g o i n g r e s e a r c h ,

s i n c e t h e s h a p e f u n c t i o n s i n m e s h l e s s m e t h o d s a r e n o t s t r i c t i n t e r p o l a n t s , i . e .

t h e y d o n o t s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n :

N

A

( x

B

) 6=

A B

6=

1 i f A = B

0 o t h e r w i s e ,

( 1 )

w h e r e N

A

( x

B

) i s t h e s h a p e f u n c t i o n o f n o d e A e v a l u a t e d a t n o d e B , a n d

A B

i s t h e K r o n e c k e r d e l t a . A c o n s e q u e n c e o f t h i s i s t h a t t h e a p p r o x i m a t e d v a l u e o n

t h e b o u n d a r y d e p e n d s o n i n t e r i o r n o d e s a s w e l l a s b o u n d a r y n o d e s . B o u n d a r y

c o n d i t i o n s a r e i n t e r m s o f l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f n o d a l v a l u e s . T h i s p r e v e n t s

t h e n i t e e l e m e n t t r e a t m e n t o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s , w h e r e b o u n d a r y n o d e s a r e

s i m p l y o m i t t e d f r o m t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e .

V a r i o u s w a y s o f i m p l e m e n t i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r m e s h l e s s m e t h o d s

h a v e b e e n s u g g e s t e d , s u c h a s c o m b i n i n g t h e E l e m e n t F r e e G a l e r k i n m e t h o d

( E F G ) 3 , 4 , 2 , 1 4 ] w i t h n i t e e l e m e n t s h a p e f u n c t i o n s c l o s e t o t h e b o u n d a r y 1 3 ] ,

t h e u s e o f a m o d i e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e 3 0 ] , t h e u s e o f w i n d o w o r c o r r e c t i o n

f u n c t i o n s t h a t v a n i s h o n t h e b o u n d a r y 7 ] , a n d t h e u s e o f L a g r a n g e m u l t i p l i -

e r s 3 , 2 9 ] . T h e s e m e t h o d s h a v e p r o v e n u s e f u l , b u t e i t h e r g i v e u p t h e m e s h l e s s

c h a r a c t e r o f t h e a p p r o x i m a t i o n c l o s e t o t h e b o u n d a r y , o r n e c e s s i t a t e t h e s o l u t i o n

o f a d d i t i o n a l a l g e b r a i c c o n s t r a i n t s t h a t r e p r e s e n t t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , o r

r e n d e r a s y s t e m w i t h a n i n c r e a s e d n u m b e r o f u n k n o w n s .

I n u i d m e c h a n i c s , i t i s f r e q u e n t l y d e s i r a b l e t o i m p o s e g e n e r a l b o u n d a r y c o n -

d i t i o n s t h a t c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f a s i n g l e v a r i a b l e . F o r e x a m p l e ,

i m p o s i n g a t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n a s y s t e m o f c o n s e r v a t i v e v a r i -

a b l e s i n v o l v e s i m p o s i n g a c o n s t r a i n t i n t e r m s o f t o t a l e n e r g y , m o m e n t u m , a n d

d e n s i t y . T h i s s i t u a t i o n i s s o m e w h a t s i m i l a r t o t h e o n e a r i s i n g f r o m s h a p e f u n c -

t i o n s t h a t d o n o t s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n . I n d e e d , d ' A l e m b e r t ' s

p r i n c i p l e c a n b e u s e d t o r e s o l v e b o t h p r o b l e m s , a s t h i s p a p e r a t t e m p t s t o s h o w .

D ' A l e m b e r t 1 5 ] w a s t h e r s t t o f o r m u l a t e a p r i n c i p l e o f r e p l a c i n g n d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n s o f t h e f o r m

M

x + f

i n t

( x ) = f

e x t

( x ) ( 2 )

a n d m c o n s t r a i n t s

g ( x ) = 0 ( 3 )

b y n m u n c o n s t r a i n e d e q u a t i o n s . I n e e c t , d ' A l e m b e r t a s s e r t e d t h a t , i f o n e

w e r e t o c h o o s e n m g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s y , ( 2 ) a n d ( 3 ) c o u l d b e e q u i v a l e n t l y

2


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constraint

l

x

x2

1

F i g u r e 1 : A n e x a m p l e f o r d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e

r e p l a c e d b y t h e s m a l l e r s y s t e m

@ x ( y )

@ y

T

T

M

@ x ( y )

@ y

T

y +

@ x ( y )

@ y

T

T

f

i n t

( x ( y ) ) =

@ x ( y )

@ y

T

T

f

e x t

( x ( y ) )

( 4 )

w h e r e

@ x ( y )

@ y

T

i s c a l l e d t h e J a c o b i a n m a t r i x J ( y ) . A c l a s s i c a l e x a m p l e f o r d ' A l e m b e r t ' s

p r i n c i p l e i s s h o w n i n F i g u r e 1 . A p e n d u l u m c a n b e d e s c r i b e d b y t h e s p a t i a l c o -

o r d i n a t e s o f i t s p o i n t m a s s ,

x =

x

1

x

2

=

l c o s

l s i n

( 5 )

w h i c h h a v e t o s a t i s f y t h e a d d i t i o n a l c o n s t r a i n t

g ( x ) =

x

2

1

+ x

2

2

l

2

= 0 ( 6 )

W e c a n c h o o s e g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s

y =

( 7 )

w h i c h l e a d t o t h e J a c o b i a n m a t r i x

J =

@ x ( y )

@ y

T

=

l s i n

l c o s

( 8 )

3


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1

u0 u1

F i g u r e 2 : D o u b l y s u p p o r t e d b e a m

T h i s p a p e r i s d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . F i r s t , w e d e v e l o p d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e

f o r m e s h l e s s m e t h o d s i n t h e s i m p l e r c a s e o f l i n e a r m a t r i x e q u a t i o n s w i t h l i n e a r

c o n s t r a i n t s a n d s h o w e x a m p l e s o f s u i t a b l y m o d i e d s h a p e f u n c t i o n s p a c e s i n o n e

d i m e n s i o n . I n t h e s e c o n d p a r t , w e e x t e n d d ' A l e m b e r t s p r i n c i p l e t o n o n l i n e a r

a n d t i m e - d e p e n d e n t c o n s t r a i n t s u n d e r s p e c i a l c o n s i d e r a t i o n o f t h e v i s c o u s , c o m -

p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a n d o f i n t e r f a c e c o n d i t i o n s f o r u i d - s t r u c t u r e

i n t e r a c t i o n .

2 L i n e a r B o u n d a r y C o n d i t i o n s f o r M e s h l e s s M e t h -

o d s

I n t r o d u c t o r y E x a m p l e

C o n s i d e r t h e o n e - d i m e n s i o n a l e x a m p l e p r o b l e m t h a t i s s h o w n i n F i g u r e 2 . T h e

p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k c a n b e w r i t t e n a s

Z

1

0

u

h

x

u

h

x

d x = u

h

( 1 ) u

h

x

( 1 ) u

h

( 0 ) u

h

x

( 0 ) = 0 ( 9 )

w h e r e t h e s u p e r s c r i p t h d e n o t e s a n a p p r o x i m a t e d f u n c t i o n ,

u

h

( x ) = N

T

( x ) d ( 1 0 )

i s t h e d i s p l a c e m e n t a p p r o x i m a t e d b y a s h a p e f u n c t i o n c o l u m n m a t r i x N a n d a

c o l u m n m a t r i x d o f n o d a l v a l u e s , a n d

u

h

( x ) = N

T

( x ) d ( 1 1 )

i s t h e v i r t u a l d i s p l a c e m e n t a p p r o x i m a t e d b y s h a p e f u n c t i o n s a n d n o d a l v a l u e s

d . A s u p e r i m p o s e d T d e n o t e s t h e t r a n s p o s e . T h e b e a m i s s u p p o r t e d o n b o t h

e n d s , w i t h x e d d i s p l a c e m e n t s u

0

a n d u

1

, l e a d i n g t o b o u n d a r y c o n d i t i o n s

u

h

( 0 ) = u

0

( 1 2 )

u

h

( 1 ) = u

1

( 1 3 )

a n d c o n s t r a i n t s

u

h

( 0 ) = 0 ( 1 4 )

u

h

( 1 ) = 0 ( 1 5 )

4


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o n a d m i s s i b l e v i r t u a l d i s p l a c e m e n t s . I n o t h e r w o r d s , u

h

b e l o n g s t o a n a p p r o x i -

m a t e d t r i a l f u n c t i o n s p a c e

S

h

S =

u u 2 H

1

u ( 0 ) = u

0

u ( 1 ) = u

1

( 1 6 )

w h e r e S i s t h e c o m p l e t e s e t o f a d m i s s i b l e t r i a l f u n c t i o n s , a n d H

1

i s t h e s e t o f

s q u a r e i n t e g r a b l e f u n c t i o n s 8 ] . A n a l o g o u s l y , u

h

b e l o n g s t o a n a p p r o x i m a t e d

t e s t f u n c t i o n s p a c e

V

h

V =

u u 2 H

1

u ( 0 ) = 0 u ( 1 ) = 0

( 1 7 )

O u r g o a l i s t o n d s u i t a b l e e x p r e s s i o n s f o r

S

h

N = f N

1

N

2

; : : : ; N

n

g ( 1 8 )

V

h

N ( 1 9 )

w h e r e N

i

a r e t h e e l e m e n t s o f t h e s h a p e f u n c t i o n v e c t o r , n i s t h e n u m b e r o f n o d e s

i n a m e s h l e s s a p p r o x i m a t i o n , a n d

S

h

= S \ N ( 2 0 )

V

h

= V \ N ( 2 1 )

U s i n g ( 1 0 ) a n d ( 1 1 ) , w e o b t a i n t h e m a t r i x e q u a t i o n

d

T

K d = 0 ( 2 2 )

w i t h t h e s t i n e s s m a t r i x

K =

Z

1

0

N

x

N

T

x

d x ( 2 3 )

T h e b o u n d a r y c o n s t r a i n t s c a n b e w r i t t e n a s

G

T

d = g ( 2 4 )

G

T

d = 0 ( 2 5 )

w h e r e

G =

N ( 0 ) N ( 1 )

( 2 6 )

a n d

g =

u

0

u

1

( 2 7 )

I n n i t e e l e m e n t s , t h e s h a p e f u n c t i o n s s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n

a n d G i s t h e r e f o r e s i m p l y a d i s t r i b u t i o n m a t r i x . T h i s p r o p e r t y m a k e s c h o o s i n g

a s e t o f i n d e p e n d e n t n o d a l v a r i a b l e s a n d a p p l y i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e 1 5 ]

e a s y . O n e c a n s i m p l y d i s t i n g u i s h \ b o u n d a r y n o d e s " a n d \ i n t e r i o r n o d e s " a s

s h o w n i n F i g u r e 3 . I n R K P M a n d o t h e r m e s h l e s s m e t h o d s , t h e s h a p e f u n c t i o n s

d o n o t a l w a y s s a t i s f y t h e K r o n e c k e r d e l t a c o n d i t i o n . C o n s i d e r f o r e x a m p l e t h e

s e t o f R K P M s h a p e f u n c t i o n s i n F i g u r e 4 . T h i s m a k e s t h e c h o i c e o f a s e t o f

i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s l e s s o b v i o u s . I n t h e n e x t s e c t i o n , w e s h a l l s h o w a w a y

o f a p p l y i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o m e s h l e s s m e t h o d s w i t h l i n e a r c o n s t r a i n t s ,

a n d s u b s e q u e n t l y w e s h a l l e x t e n d d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s

a n d s h o w i t s a p p l i c a t i o n t o t h e v i s c o u s , c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .

5


6/38

restraintboundary node

interior nodes

F i g u r e 3 : B o u n d a r y t r e a t m e n t f o r n i t e e l e m e n t s

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N(x)

x

set of RKPM shape functions

F i g u r e 4 : R K P M s h a p e f u n c t i o n s ( c u b i c w i n d o w f u n c t i o n , l i n e a r c o n s i s t e n c y ,

d i l a t i o n p a r a m e t e r 1 . 9 )

6


7/38

L i n e a r C o n s t r a i n t s

C o n s i d e r t h e m a t r i x e q u a t i o n , o b t a i n e d b y R K P M o r a n o t h e r m e s h l e s s m e t h o d ,

d

T

M

d + K d f

= 0 ( 2 8 )

w i t h m c o n s t r a i n t s

G

T

d = g ( 2 9 )

G

T

d = 0 ( 3 0 )

M i s a n n n m a s s m a t r i x , K i s a n n n s t i n e s s m a t r i x , f i s a n n 1

f o r c e v e c t o r , d i s a n n 1 v e c t o r o f n o d a l v a r i a b l e s , d i s a n n 1 v e c t o r o f

v i r t u a l v a r i a t i o n s o f n o d a l v a r i a b l e s , a n d a s u p e r i m p o s e d d o t s i g n i e s t h e t i m e

d e r i v a t i v e . G i s a n n m c o n s t r a i n t m a t r i x . W e a s s u m e t h e o r t h o g o n a l i t y

c o n d i t i o n

G

T

G = I ( 3 1 )

w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x .

I f ( 3 1 ) i s n o t s a t i s e d , i t c a n e a s i l y b e e n f o r c e d f o r a n y g i v e n l i n e a r c o n s t r a i n t s

b y m o d i f y i n g G a n d g , f o r e x a m p l e b y u s i n g t h e G r a m - S c h m i d t a l g o r i t h m s h o w n

i n F i g u r e 5 . F o r a d e s c r i p t i o n o f G r a m - S c h m i d t a n d o t h e r o r t h o g o n a l i z a t i o n

a l g o r i t h m s , s e e 3 2 ] a n d m a n y o t h e r s .

G i v e n o r t h o g o n a l c o n s t r a i n t s , o n e c a n n d a n n ( n m ) J a c o b i a n m a t r i x

J w i t h

J

T

G = 0 ( 3 2 )

J

T

J = I ( 3 3 )

G r a m - S c h m i d t o r t h o g o n a l i z a t i o n c a n b e u s e d t o o b t a i n J f r o m G . A p o s s i b l e

a l g o r i t h m i s s h o w n i n F i g u r e 6 . N o t e t h a t t h i s a l g o r i t h m c a n b e m a d e m o r e

e c i e n t b y u s i n g t h e f a c t t h a t a l l p

i

a s s o c i a t e d w i t h n o d e s t h a t h a v e n o i n u e n c e

o n t h e b o u n d a r y a r e a l r e a d y o r t h o g o n a l n o t o n l y t o e a c h o t h e r b u t a l s o t o a l l g

i

A n a c t u a l o r t h o g o n a l i z a t i o n p r o c e d u r e i s t h e r e f o r e o n l y n e c e s s a r y f o r b o u n d a r y

i n u e n c e n o d e s .

G i v e n J , o n e c a n w r i t e d a n d d u s i n g g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s y a n d g e n e r a l i z e d

v i r t u a l v a r i a t i o n s y a s

d = J y + G g ( 3 4 )

d = J y ( 3 5 )

T h e c o n s t r a i n t s ( 2 9 ) a n d ( 3 0 ) a r e s a t i s e d f o r a l l y a n d y . T h i s f o l l o w s f r o m ( 3 1 )

a n d ( 3 2 ) :

G

T

d = G

T

( J y + G g ) = G

T

J y + G

T

G g = 0 y + I g = g ( 3 6 )

G

T

d = G

T

( J y ) = G

T

J y = 0 ( 3 7 )

7


8/38

G =

g

1

g

m

g =

g

1

: : : g

m

T

g

1

=

g

1

g

1 2

g

1

=

g

1

g

1 2

f o r i = 2 ; : : : ; m f

f o r j = 1 ; : : : ; i f

= g

T

i

g

j

g

i

= g

i

g

j

g

i

= g

i

g

j

g

g

i

=

g

i

g

i 2

g

i

=

g

i

g

i 2

g

F i g u r e 5 : G r a m - S c h m i d t a l g o r i t h m t o o r t h o g o n a l i z e c o n s t r a i n t s

8


9/38

G =

g

1

g

m

J =

j

1

j

n m

p

i

=

0 1 0

T

| { z }

o n l y i

t h

e l e m e n t i s 1

r = 1

f o r i = 1 ; : : : ; n f

j

r

= p

i

f o r k = 1 ; : : : ; m f

= j

T

r

g

k

j

r

= j

r

g

k

i f j

r 2

= 0 e x i t l o o p

g

f o r k = 1 ; : : : ; r 1 f

= j

T

r

j

k

j

r

= j

r

j

k

i f j

r 2

= 0 e x i t l o o p

g

i f j

r 2

6= 0 f

j

r

=

j

r

j

r 2

r = r + 1

g

g

F i g u r e 6 : G r a m - S c h m i d t a l g o r i t h m t o d e t e r m i n e J

9


10/38

F r o m ( 3 3 ) , o n e c a n d e d u c e t h a t J h a s r a n k n m , a n d t h a t t h e r e f o r e , a l l

a d m i s s i b l e d a n d d a r e d e s c r i b e d b y ( 3 4 ) a n d ( 3 5 ) . U s i n g t h e s c a l a r p r o d u c t

t h e o r e m

y

T

r

y

= 0 8 y , r

y

= 0 ( 3 8 )

o n e c a n w r i t e ( 2 8 ) , ( 2 9 ) , a n d ( 3 0 ) e q u i v a l e n t l y a s

~

M

y +

~

K y

~

f = 0 ( 3 9 )

w i t h

~

M = J

T

M J ( 4 0 )

~

K = J

T

K J ( 4 1 )

~

f = J

T

( f K G g ) ( 4 2 )

E q u a t i o n ( 3 9 ) h a s n m u n k n o w n s , a s o p p o s e d t o n + m u n k n o w n s t h a t w o u l d

h a v e b e e n o b t a i n e d u s i n g L a g r a n g e m u l t i p l i e r s .

H o w c a n G a n d J i n t e r p r e t e d i n a s h a p e f u n c t i o n c o n t e x t ? U s i n g ( 3 4 ) i n

t h e a p p r o x i m a t i o n e q u a t i o n ( 1 0 ) , w e o b t a i n

u

h

( x ) = N

T

( x ) d = N

T

( x ) J y + N

T

( x ) G g ( 4 3 )

T h i s c a n b e i n t e r p r e t e d a s s p l i t t i n g t h e s h a p e f u n c t i o n s e t N i n t o t h e i n t e r i o r

s e t

N

J

= J

T

N ( 4 4 )

a n d t h e b o u n d a r y s e t

N

G

= G

T

N ( 4 5 )

a s s h o w n i n F i g u r e 7 . T h e n a l f o r m

u

h

( x ) = N

T

J

y + N

T

G

g ( 4 6 )

c l o s e l y r e s e m b l e s t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n t r e a t m e n t i n n i t e e l e m e n t s .

1 0


11/38

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N(x)

x

original shape functionsinterior setboundary set

F i g u r e 7 : D e c o m p o s i t i o n o f R K P M s h a p e f u n c t i o n s i n t o b o u n d a r y s e t a n d i n -

t e r i o r s e t

1 1


12/38

3 N o n l i n e a r B o u n d a r y a n d I n t e r f a c e C o n s t r a i n t s

f o r t h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s

T h i s s e c t i o n d e s c r i b e s t h e a p p l i c a t i o n o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o t h e v i s c o u s ,

c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . U s i n g a P e t r o v - G a l e r k i n p r o c e d u r e , a n

u n c o n s t r a i n e d m a t r i x e q u a t i o n i s d e v e l o p e d , t h e n t h e u s e o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n -

c i p l e t o i m p o s e n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s i s e x p l a i n e d i n d e t a i l . T h e p r o c e d u r e t h a t

i s u s e d c a n e a s i l y b e a d a p t e d t o o t h e r n o n l i n e a r p r o b l e m s .

T h e N a v i e r - S t o k e s E q u a t i o n s i n T e r m s o f C o n s e r v a t i o n V a r i -

a b l e s

F o r a f o r m u l a t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n t h a t i s b o t h c o n c e p t u a l l y a n d

c o m p u t a t i o n a l l y s i m p l e , o n e c a n d e n e t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s 3 3 ]

U =

8

>

>

>

>

>

>

>

:

U

1

U

2

U

3

U

4

U

5

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

1

u

1

u

2

u

3

e

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 4 7 )

H e r e , i s t h e d e n s i t y , u

1

u

2

, a n d u

3

a r e t h e v e l o c i t i e s i n t h e t h r e e c o o r d i n a t e

d i r e c t i o n s , a n d e i s t h e t o t a l e n e r g y d e n s i t y .

L e t u s d e n e t h e E u l e r u x e s

F

i

= u

i

8

>

>

>

>

>

>

>

:

1

u

1

u

2

u

3

e

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

+ p

8

>

>

>

>

>

>

>

:

0

1 i

2 i

3 i

u

i

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 4 8 )

a n d t h e d i u s i v e u x e s

F

d

i

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

0

1 i

2 i

3 i

i j

u

j

q

i

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 4 9 )

p i s t h e p r e s s u r e ,

i j

t h e K r o n e c k e r d e l t a ,

i j

a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e v i s c o u s -

s t r e s s t e n s o r , a n d q

i

a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e h e a t - u x v e c t o r .

T h e s o u r c e v e c t o r i s d e n e d a s

c =

8

>

>

>

>

>

>

>

:

0

b

1

b

2

b

3

b

i

u

i

+ r

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 5 0 )

1 2


13/38

w h e r e b

i

a r e t h e c o m p o n e n t s o f t h e b o d y f o r c e v e c t o r p e r u n i t m a s s , a n d r i s

t h e h e a t s u p p l y p e r u n i t m a s s . S u m m a t i o n o v e r d o u b l e i n d i c e s i s i n t e n d e d .

W i t h t h e s e d e n i t i o n s , t h e c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s c a n b e w r i t -

t e n a s

U

t

+ F

i i

= F

d

i i

+ c ( 5 1 )

T h e n e c e s s a r y c o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s a r e

e =

1

2

u

2

1

+ u

2

2

+ u

2

3

+ c

v

| { z }

s

( 5 2 )

p = ( 1 ) c

v

( i d e a l g a s ) ( 5 3 )

i j

= u

k k

i j

+ ( u

i j

+ u

j i

) ( N e w t o n i a n u i d ) ( 5 4 )

q

i

=

i

( 5 5 )

w i t h t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :

c

v

s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t v o l u m e

: : : a b s o l u t e t e m p e r a t u r e

s : : : i n t e r n a l e n e r g y d e n s i t y

: : : r a t i o o f s p e c i c h e a t s

; : : : v i s c o s i t y c o e c i e n t s

: : : c o e c i e n t o f t h e r m a l c o n d u c t i v i t y .

F o r S t o k e s ' s a s s u m p t i o n t h a t t h e r m o d y n a m i c a n d m e c h a n i c a l p r e s s u r e s a r e

e q u a l ,

=

2

3

( 5 6 )

T h e p r i m i t i v e v a r i a b l e s c a n b e r e c o v e r e d b y

= U

1

( 5 7 )

u

1

=

U

2

U

1

( 5 8 )

u

2

=

U

3

U

1

( 5 9 )

u

3

=

U

4

U

1

( 6 0 )

=

2 U

1

U

5

U

2

2

+ U

2

3

+ U

2

4

2 c

v

U

2

1

( 6 1 )

p = ( 1 )

U

5

U

2

2

+ U

2

3

+ U

2

4

2 U

1

( 6 2 )

R K P M F o r m u l a t i o n o f t h e U n c o n s t r a i n e d P r o b l e m

M u l t i p l i c a t i o n o f ( 5 1 ) b y t h e P e t r o v - G a l e r k i n w e i g h t f u n c t i o n

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

( 6 3 )

1 3


14/38

i n t e g r a t i o n o v e r t h e d o m a i n a n d i n t e g r a t i o n b y p a r t s y i e l d s t h e w e a k f o r m

Z

U

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

U

t

+

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

i

F

d

i

+

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

F

i i

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

c

d

=

Z

@

U

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

F

d

i

n

i

d ( 6 4 )

=

Z

@

U

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

K

i j

( U ) U

j

n

i

d

o r

Z

U

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

U

t

+ U

T

i

F

d

i

~

U

T

j

B

T

j

F

d

i i

+

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

F

i i

U

T

+

~

U

T

j

B

T

j

c

d

=

Z

@

U

U

T

F

d

i

n

i

d

=

Z

@

U

U

T

K

i j

( U ) U

j

n

i

d

( 6 5 )

d e p e n d i n g o n w h e t h e r i n t e g r a t i o n b y p a r t s i s p e r f o r m e d o n t h e w h o l e P e t r o v -

G a l e r k i n w e i g h t f u n c t i o n o r o n l y o n i t s r s t t e r m . I n o u r c o m p u t a t i o n s , w e h a v e

f o u n d b o t h f o r m u l a t i o n s t o l e a d t o e q u i v a l e n t r e s u l t s .

U

i s t h e u i d d o m a i n , U

i s c a l l e d t h e G a l e r k i n w e i g h t f u n c t i o n , @

U

i s t h e u i d b o u n d a r y , a n d n = n

i

i s

t h e o u t w a r d n o r m a l o n t h e b o u n d a r y . T h e p e r t u r b a t i o n s

~

U

j

c a n b e d e r i v a t i v e s

o r w a v e l e t f u n c t i o n s , a s w a s s h o w n i n 1 8 , 1 7 ] .

T h e m a t r i c e s B

i

a r e r e l a t e d t o t h e a d v e c t i v e m a t r i c e s

A

i

=

@ F

i

@ U

T

( 6 6 )

W e c h o o s e

B

i

=

i

A

T

i

( n o s u m ) ( 6 7 )

w h e r e

i

d e p e n d s o n t h e v e l o c i t y a n d d i s c r e t i z a t i o n p a r a m e t e r i n e a c h d i r e c t i o n .

F o r a d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f s e v e r a l p o s s i b l e c h o i c e s o f B

i

, a s w e l l a s r e l a t e d

m a t t e r s , s e e 3 5 , 1 1 , 1 0 , 9 , 3 3 , 1 ] .

U n l e s s t h e r e a r e n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e n o r m a l d i u s i v e u x F

d

i

n

i

i n t h e b o u n d a r y i n t e g r a l i s u n k n o w n a n d n e e d s t o b e e v a l u a t e d f r o m e q u a t i o n

( 4 9 ) a n d t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s .

L e t u s r e p l a c e U

~

U a n d U b y a p p r o x i m a t i o n s w i t h N N P

U

n o d a l p o i n t s :

U

i

U

h

i

=

N N P

U

X

A = 1

N

A

( x ) d

i A

( 6 8 )

~

U

i j

U

h

i j

=

N N P

U

X

A = 1

~

N

A j

( x ) d

i A

( 6 9 )

U

i

U

h

i

=

N N P

U

X

A = 1

N

B

( x ) d

i B

( 7 0 )

1 4


15/38

a n d d e n e t h e f o l l o w i n g a r r a y s :

d

U

=

8

>

>

>

>

>

:

d

1 1

d

2 1

d

N V A R

U

; N N P

U

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 7 1 )

d

U

=

8

>

>

>

>

>

:

d

1 1

d

2 1

d

N V A R

U

; N N P

U

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 7 2 )

N

( A )

U

| { z }

N V A R

U

N V A R

U

= N

A

I ( 7 3 )

N V A R

U

i s t h e n u m b e r o f v a r i a b l e s a t e a c h n o d a l p o i n t . I n t h r e e d i m e n s i o n s ,

N V A R

U

= 5 , a n d i n t w o d i m e n s i o n s N V A R

U

= 4 I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x . T h e n

t h e u n c o n s t r a i n e d m a t r i x e q u a t i o n b e c o m e s

d

T

U

r

U

= d

T

U

M

U

( d

U

) d

U

+ f

i n t

U

( d

U

) f

e x t

U

( d

U

)

= 0 ( 7 4 )

w i t h

f M

U

g

A B

| { z }

N V A R

U

N V A R

U

=

Z

U

N

( A )

U

T

+

~

N

( A i )

U

T

B

T

i

N

( B )

U

d ( 7 5 )

f

i n t

U

A

| { z }

N V A R

U

1

=

Z

U

N

( A )

U

T

+

~

N

( A i )

U

T

B

T

i

j

F

d

j

+

N

( A )

U

T

+

~

N

( A i )

U

T

B

T

i

F

j j

d ( 7 6 )

f

e x t

U

A

| { z }

N V A R

U

1

=

Z

@

U

N

( A )

U

T

+

~

N

( A i )

U

T

B

T

i

F

d

j

n

j

d

o r , d e p e n d i n g o n h o w i n t e g r a t i o n b y p a r t s i s a p p l i e d ,

f

i n t

U

A

| { z }

N V A R

U

1

=

Z

U

N

( A )

U

T

j

F

d

j

~

N

( A i )

U

T

B

T

i

F

d

j j

+

N

( A )

U

T

+

~

N

( A i )

U

T

B

T

i

F

j j

d ( 7 7 )

f

e x t

U

A

| { z }

N V A R

U

1

=

Z

@

U

N

( A )

U

T

F

d

j

n

j

d ( 7 8 )

r

U

i s t h e u i d r e s i d u a l .

1 5


16/38

B o u n d a r y C o n d i t i o n s u s i n g d ' A l e m b e r t ' s P r i n c i p l e

W e u s e d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o i m p o s e b o u n d a r y c o n s t r a i n t s o f t h e f o r m

g ( d

U

t ) = 0 ( 7 9 )

o n t h e m a t r i x e q u a t i o n ( 7 4 )

1

T h e v a l u e s o f t h e c o n s e r v a t i o n v a r i a b l e s a t a n o d a l p o i n t A a r e

U

( A )

=

8

>

>

>

>

>

:

U

h

1

( x

A

)

U

h

2

( x

A

)

U

h

N V A R

U

( x

A

)

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 8 0 )

A s w e h a v e d i s c u s s e d b e f o r e , f o r m e s h l e s s m e t h o d s i n g e n e r a l

U

( A )

6=

8

>

>

>

>

>

:

d

1 A

d

2 A

d

N V A R

U

A

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 8 1 )

P r e v i o u s l y , w e h a v e s h o w n h o w t o n d g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s d i r e c t l y f r o m l i n e a r

c o n s t r a i n t e q u a t i o n s . T h e s a m e p r o c e d u r e c o u l d b e u s e d a f t e r l i n e a r i z i n g ( 7 9 ) f o r

e a c h s t e p o f a N e w t o n - R a p h s o n p r o c e d u r e . H o w e v e r , t h i s w o u l d m e a n r e p e a t i n g

t h e o r t h o g o n a l i z a t i o n p r o c e d u r e s i n F i g u r e s 5 a n d 6 a t e v e r y i t e r a t i o n s t e p .

A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n c h o o s e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s f r o m s p e c i c c o n s t r a i n t s

\ b y i n s p e c t i o n . " T h i s i s t h e m e t h o d w e a r e g o i n g t o e x a m i n e i n m o r e d e t a i l

n o w .

L e t u s d e n e m o d i e d n o d a l v a l u e s

d

i A

=

N

A B

d

i B

( 8 2 )

w i t h t h e b o u n d a r y s h a p e f u n c t i o n m a t r i x

N

A B

=

N

B

( x

A

) i f A B a r e b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s

A B

o t h e r w i s e

( 8 3 )

A n o d e A i s c a l l e d a b o u n d a r y i n u e n c e n o d e i f

9 x 2 @ N

A

( x ) 6= 0 ( 8 4 )

I t i s e a s y t o s e e t h a t

U

( A )

=

8

>

>

>

>

>

:

d

1 A

d

2 A

d

N V A R

U

A

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 8 5 )

1

A l t e r n a t i v e l y , t h i s c a n b e r e g a r d e d a s r e q u i r i n g t h e t e s t f u n c t i o n s U

h

i n t h e w e a k f o r m

t o b e l o n g t o t h e t a n g e n t s p a c e o f t h e t r i a l f u n c t i o n s U

h

1 6


17/38

f o r a l l n o d e s A 2 @ . A t r a n s f o r m a t i o n m e t h o d s i m i l a r t o ( 8 2 ) i s p r o p o s e d

i n 2 1 , 2 3 , 5 ] .

L e t u s a s s u m e t h a t t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a t a n o d a l p o i n t A a r e c o n -

s t r a i n e d b y

g

( A )

U

( A )

t

= 0 , U

( A )

= U

( A )

y

( A )

t

( 8 6 )

w h e r e y

( A )

i s a l o c a l v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s a s s o c i a t e d w i t h n o d e A

F o r e x a m p l e , a t m o v i n g w a l l b o u n d a r i e s , t h e r e i s n o s l i p a n d n o p e n e t r a t i o n ,

i . e . i n 2 D

g

( A )

U

( A )

t

=

(

U

( A )

2

U

( A )

1

u

w a l l

U

( A )

3

U

( A )

1

v

w a l l

)

= 0 ( 8 7 )

w h e r e u

w a l l

a n d v

w a l l

a r e t h e x - v e l o c i t y a n d y - v e l o c i t y o f t h e w a l l . T h i s i s

e q u i v a l e n t t o

U

( A )

=

8

>

>

>

:

U

h

1

( x

A

)

U

h

2

( x

A

)

U

h

3

( x

A

)

U

h

4

( x

A

)

9

>

>

=

>

>

;

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

y

( A )

1

u

w a l l

y

( A )

1

v

w a l l

y

( A )

1

y

( A )

1

y

( A )

2

+

u

2

w a l l

+ v

2

w a l l

2

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 8 8 )

i f t h e d e n s i t y a n d i n t e r n a l e n e r g y a r e c h o s e n a s g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s , i . e .

y

( A )

=

(

y

( A )

1

y

( A )

2

)

=

s

( 8 9 )

F o r u n c o n s t r a i n e d n o d e s , w e c h o o s e

y

( A )

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

y

( A )

1

y

( A )

2

y

( A )

N V A R

U

A

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

=

8

>

>

>

>

>

:

d

1 A

d

2 A

d

N V A R

U

A

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 9 0 )

D e n i n g a g l o b a l v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s ,

y =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

y

( 1 )

y

( A )

y

( N N P )

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

( 9 1 )

w e c a n o b t a i n t h e f o l l o w i n g e x p r e s s i o n s f o r t h e u n c o n s t r a i n e d v a r i a b l e s i n e q u a -

t i o n ( 7 4 ) :

d

U

= d

U

( y t ) ( 9 2 )

d

U

= J

U

( y t ) y +

@ d

@ t

( y t ) ( 9 3 )

d

U

= J

U

( y t ) y ( 9 4 )

1 7


18/38

w i t h

J

U

=

@ d

U

@ y

T

=

@ d

U

@

d

T

U

@

d

U

@ y

T

=

~

N

1

U

2

6

6

6

6

6

6

6

4

J

( 1 )

U

0

J

( A )

U

0

J

( N N P )

U

3

7

7

7

7

7

7

7

5

( 9 5 )

I n o t h e r w o r d s , t h e g l o b a l J a c o b i a n m a t r i x J

U

i s a s s e m b l e d f r o m t h e l o c a l

J a c o b i a n m a t r i c e s

J

( A )

U

=

@ U

( A )

@

y

( A )

T

( 9 6 )

a n d p r e - m u l t i p l i e d b y t h e i n v e r s e o f t h e b o u n d a r y m a t r i x

~

N

U

, w h i c h r e l a t e s

d

U

t o d

U

t h r o u g h

d

U

=

~

N

U

d

U

( 9 7 )

f r o m w h i c h

@ d

U

@

d

T

U

=

~

N

1

U

( 9 8 )

N o t e t h a t a l t h o u g h

~

N

U

f o r m a l l y h a s d i m e n s i o n s

( N V A R

U

N N P

U

) ( N V A R

U

N N P

U

)

i t i s i d e n t i t y f o r a l l n o d e s e x c e p t b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s . T h u s i t s i n v e r s i o n

o n l y r e q u i r e s t h e s o l u t i o n o f a s m a l l s y s t e m o f e q u a t i o n s .

F o r t h e e x a m p l e o f a m o v i n g w a l l b o u n d a r y ,

J

( A )

U

=

2

6

6

6

4

1 0

u

w a l l

0

v

w a l l

0

y

( A )

2

+

u

2

w a l l

+ v

2

w a l l

2

y

( A )

1

3

7

7

7

5

( 9 9 )

f r o m ( 8 8 ) .

U s i n g e q u a t i o n s ( 9 2 ) t o ( 9 4 ) , t h e u n c o n s t r a i n e d m a t r i x e q u a t i o n ( 7 4 ) b e -

c o m e s

r

y

= J

T

U

( y t )

M

U

( y t ) J

U

( y t ) y +

@ d

@ t

( y t )

+ J

T

U

( y t )

f

i n t

U

( y t ) f

e x t

U

( y t )

= 0 ( 1 0 0 )

W e h a v e o m i t t e d y , w h i c h d o e s n o t h a v e t o s a t i s f y a n y c o n s t r a i n t s , b y v i r t u e

o f t h e s c a l a r p r o d u c t t h e o r e m

y

T

r

y

= 0 8 y , r

y

= 0 ( 1 0 1 )

1 8


19/38

0

=

r rU

+

Jy J rwT T

U w= +

interface

fluid

structure

0

0

0

F i g u r e 8 : d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e f o r u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n

M o r e c o n c i s e l y , w e c a n w r i t e e q u a t i o n ( 1 0 0 ) a s

r

y

=

~

M y +

~

f

i n t

~

f

e x t

= 0 ( 1 0 2 )

w h e r e

~

M = J

T

U

( y t ) M

U

( y t ) J

U

( y t ) ( 1 0 3 )

~

f

i n t

= J

T

U

( y t ) f

i n t

U

( y t ) ( 1 0 4 )

~

f

e x t

= J

T

U

( y t )

f

e x t

U

( y t )

@ d

@ t

( y t )

( 1 0 5 )

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t , u s i n g d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e , w e h a v e r e d u c e d

a s y s t e m o f N V A R

U

N N P

U

d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 7 4 ) a n d N B C a l g e b r a i c

e q u a t i o n s ( 7 9 ) t o a s y s t e m o f N V A R

U

N N P

U

N B C d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

( 1 0 2 ) , w h e r e N B C i s t h e n u m b e r o f n o d a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h i s i s d o u b l y

b e n e c i a l s i n c e i t r e d u c e s t h e n u m b e r o f e q u a t i o n s a n d a v o i d s t h e n e c e s s i t y o f

s o l v i n g a s y s t e m o f d i e r e n t i a l - a l g e b r a i c e q u a t i o n s t h a t a r i s e s f r o m t h e m e t h o d

o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r s .

D ' A l e m b e r t ' s P r i n c i p l e f o r F l u i d - S t r u c t u r e I n t e r a c t i o n

T h e a p p l i c a t i o n o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e t o u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n i s a

s t r a i g h t f o r w a r d e x t e n s i o n o f t h e u i d - o n l y c a s e . C o n s i d e r t h e t w o - d i m e n s i o n a l

u i d - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n s y s t e m i n F i g u r e 8 . I n i t s R K P M o r F E M a p p r o x i -

1 9


20/38

m a t i o n , t h e u i d i s d e s c r i b e d b y e q u a t i o n ( 7 4 ) . I t i s a s s u m e d t h a t t h e s t r u c t u r a l

m a t r i x e q u a t i o n , a g a i n i n a n R K P M o r F E M a p p r o x i m a t i o n , c a n b e w r i t t e n a s

a s y s t e m o f r s t - o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

d

T

w

d

T

w

r

w

=

d

T

w

d

T

w

d

w

M

w

d

w

d

w

f

i n t

w

( d

w

) + f

e x t

w

( d

w

)

= 0 ( 1 0 6 )

w i t h

d

w

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

d

( w )

1 1

d

( w )

2 1

d

( w )

N V A R

w

; N N P

w

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 1 0 7 )

d

w

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

d

( w )

1 1

d

( w )

2 1

d

( w )

N V A R

w

; N N P

w

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 1 0 8 )

d

w

=

8

>

>

>

>

>

>

>

:

d

( w )

1 1

d

( w )

2 1

d

( w )

N V A R

U

; N N P

U

9

>

>

>

>

=

>

>

>

>

;

( 1 0 9 )

w

i

w

h

i

=

N N P

w

X

A = 1

N

A

( x ) d

( w )

i A

( 1 1 0 )

w

i

w

h

i

=

N N P

w

X

B = 1

N

B

( x ) d

( w )

i B

( 1 1 1 )

N V A R

w

= N S D : ( 1 1 2 )

f

i n t

w

a n d f

e x t

w

a r e t h e i n t e r n a l a n d e x t e r n a l f o r c e s , r e s p e c t i v e l y , a n d M

w

i s t h e

m a s s m a t r i x . N S D = 2 i s t h e n u m b e r o f s p a t i a l d i m e n s i o n s , w

i

i = 1 ; : : : ; N S D

a r e t h e d i s p l a c e m e n t s .

T h e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s f o r a s t r u c t u r e i n t e r a c t i n g w i t h v i s c o u s o w a r e n o

i n t e r p e n e t r a t i o n , n o s l i p , n o n o r m a l h e a t u x , a n d e q u i l i b r i u m o f t r a c t i o n s :

u

1

= w

1

( 1 1 3 )

u

2

= w

2

( 1 1 4 )

q

i

n

i

= 0 ( 1 1 5 )

i j

n

j

p n

i

=

i j

n

j

( 1 1 6 )

C o n d i t i o n s ( 1 1 5 ) a n d ( 1 1 6 ) w i l l b e e n f o r c e d w e a k l y .

2 0


21/38

I n o r d e r t o c o n c e n t r a t e o n t h e e s s e n t i a l s o f t h e f o l l o w i n g d e r i v a t i o n s , w e a s -

s u m e c o n s t r a i n t s w i t h o u t e x p l i c i t t i m e - d e p e n d e n c e . H o w e v e r , g e n e r a l i z a t i o n t o

e x p l i c i t l y t i m e - d e p e n d e n t c o n s t r a i n t s i s s t r a i g h t f o r w a r d . T o a p p l y d ' A l e m b e r t ' s

p r i n c i p l e , w e a s s o c i a t e a l o c a l v e c t o r o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s y

( A )

w i t h e a c h

n o d e , w h e t h e r i t i s i n t h e u i d d o m a i n , t h e s t r u c t u r a l d o m a i n , o r a t t h e u i d -

s t r u c t u r e i n t e r f a c e . F o r i n t e r f a c e n o d e s , o n e c a n c h o o s e

y

( A )

=

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

w

1

w

2

w

1

w

2

s

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

( 1 1 7 )

f r o m w h i c h i t f o l l o w s t h a t

U =

8

>

>

>

>

>

:

y

5

y

3

y

5

y

4

y

5

y

5

y

6

+

y

2

3

+ y

2

4

2

9

>

>

>

=

>

>

>

;

( 1 1 8 )

w =

y

1

y

2

( 1 1 9 )

w =

y

3

y

4

( 1 2 0 )

s a t i s f y e q u a t i o n s ( 1 1 3 ) a n d ( 1 1 4 ) . E q u a t i o n ( 1 1 7 ) g i v e s r i s e t o t h r e e l o c a l J a c o -

b i a n m a t r i c e s

J

( A )

U

=

@ U

( A )

y

( A )

@

y

( A )

T

=

2

6

6

4

0 0 0 0 1 0

0 0 y

5

0 1 0

0 0 0 y

5

1 0

0 0 y

3

y

5

y

4

y

5

y

6

+

y

2

3

+ y

2

4

2

y

5

3

7

7

5

( 1 2 1 )

J

( A )

w

=

@ w

( A )

y

( A )

@

y

( A )

T

=

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

( 1 2 2 )

H

( A )

w

=

@ w

( A )

y

( A )

@

y

( A )

T

=

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

( 1 2 3 )

w h i c h r e l a t e g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s t o u i d v a r i a b l e s , s t r u c t u r a l d i s p l a c e m e n t s ,

a n d s t r u c t u r a l v e l o c i t i e s , r e s p e c t i v e l y .

I t n o w r e m a i n s t o d e n e t h e l o c a l J a c o b i a n m a t r i c e s f o r n o d e s t h a t a r e n o t

a t t h e i n t e r a c t i o n b o u n d a r y , a n d t o a s s e m b l e t h e g l o b a l J a c o b i a n m a t r i c e s f r o m

t h e i r l o c a l c o u n t e r p a r t s .

F o r i n t e r i o r u i d n o d e s , J

( A )

U

= I , w h e r e I i s t h e i d e n t i t y m a t r i x , a n d J

( A )

w

i s

a 0 N V A R

U

p l a c e - h o l d e r . C o n v e r s e l y , i n t h e s t r u c t u r e i n t e r i o r i n g e n e r a l , J

( A )

U

2 1


22/38

i s a 0 N V A R

w

p l a c e - h o l d e r a n d J

( A )

w

= I . T h e p l a c e - h o l d e r s e n s u r e c o r r e c t

a s s e m b l y o f t h e g l o b a l J a c o b i a n m a t r i c e s , a s s h o w n i n F i g u r e 8 . F o r b o u n d a r y

n o d e s t h a t a r e n o t F S I n o d e s , t h e l o c a l J a c o b i a n m a t r i c e s d e p e n d o n t h e n a t u r e

o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , a s d e s c r i b e d a b o v e .

I n a n a l o g y t o e q u a t i o n ( 8 2 ) ,

d

( U )

i A

=

N

( U )

A B

d

( U )

i B

( 1 2 4 )

d

( w )

i A

=

N

( w )

A B

d

( w )

i B

( 1 2 5 )

w i t h t h e b o u n d a r y s h a p e f u n c t i o n m a t r i c e s

N

( U )

A B

=

N

B

( x

A

) i f A B b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s i n u i d d o m a i n

A B

o t h e r w i s e

( 1 2 6 )

N

( w )

A B

=

N

B

( x

A

) i f A B b o u n d a r y i n u e n c e n o d e s i n s t r u c t u r a l d o m a i n

A B

o t h e r w i s e

( 1 2 7 )

N o d e s w i t h i n u e n c e o n t h e u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e a r e c o n s i d e r e d b o u n d a r y

i n u e n c e n o d e s .

G l o b a l l y , t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s a n d u i d / s t r u c t u r e

v a r i a b l e s a r e a s f o l l o w s , i f t h e c o n s t r a i n t s o n t h e s t r u c t u r e a r e a s s u m e d t o b e

l i n e a r :

d

U

= d

U

( y ) ( 1 2 8 )

d

U

= J

U

( y ) y ( 1 2 9 )

d

w

= d

w

( y ) ( 1 3 0 )

d

w

= J

w

( y ) y = d

w

( y ) ( 1 3 1 )

d

w

= H

w

( y ) y ( 1 3 2 )

d

U

= J

U

( y ) y ( 1 3 3 )

d

w

= J

w

( y ) y ( 1 3 4 )

d

w

= H

w

( y ) y ( 1 3 5 )

w i t h

y =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

y

( 1 )

y

( A )

y

( N N P )

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

( 1 3 6 )

J

U

=

@ d

U

@ y

T

=

@ d

U

@

d

T

U

@

d

U

@ y

T

2 2


23/38

=

~

N

1

U

2

6

6

6

6

6

6

6

4

J

( 1 )

U

0

J

( i )

U

0

J

( N N P )

U

3

7

7

7

7

7

7

7

5

( 1 3 7 )

J

w

=

@ d

w

@ y

T

=

@ d

w

@

d

T

w

@

d

w

@ y

T

=

~

N

1

w

2

6

6

6

6

6

6

6

4

J

( 1 )

w

0

J

( i )

w

0

J

( N N P )

w

3

7

7

7

7

7

7

7

5

( 1 3 8 )

H

w

=

@ d

w

@ y

T

=

@ d

w

@

d

T

w

@

d

w

@ y

T

=

~

N

1

w

2

6

6

6

6

6

6

6

4

H

( 1 )

w

0

H

( i )

w

0

H

( N N P )

w

3

7

7

7

7

7

7

7

5

( 1 3 9 )

w h e r e N N P i s t h e t o t a l n u m b e r o f n o d e s .

T h e b o u n d a r y m a t r i c e s

~

N

U

a n d

~

N

w

a r e d e n e d t h r o u g h

d

U

=

~

N

w

d

U

( 1 4 0 )

d

w

=

~

N

w

d

w

( 1 4 1 )

U s i n g e q u a t i o n s ( 1 2 8 ) t o ( 1 3 9 ) i n ( 7 4 ) a n d ( 1 0 6 ) y i e l d s t h e c o u p l e d u i d -

s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n m a t r i x f o r m

J

T

U

r

U

+ J

T

w

r

w

= 0 ( 1 4 2 )

o r

0

B

@

J

T

w

J

w

+ H

T

w

M

w

H

w

| { z }

s t r u c t u r e

+ J

T

U

( y ) M

U

( y ) J

U

( y )

| { z }

u i d

1

C

A

y = J

T

w

H

w

y

+ H

T

w

f

e x t

w

( y ) f

i n t

w

( y )

( s t r u c t u r e ) ( 1 4 3 )

+ J

T

U

( y )

f

e x t

U

( y ) f

i n t

U

( y )

( u i d )

T h e u n d e r l i n e d p a r t s o f e q u a t i o n ( 1 4 3 ) r e e c t t h e f a c t t h a t y c o n t a i n s v e l o c i t i e s

a s w e l l a s d i s p l a c e m e n t s f o r t h e s t r u c t u r e .

2 3


24/38

4 N u m e r i c a l E x a m p l e s

I t e r a t i o n M e t h o d

O u r g o a l i s t o n d n u m e r i c a l l y s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s o f t h e h i g h l y n o n l i n e a r

m a t r i x e q u a t i o n ( 1 0 2 ) w h e t h e r i t r e p r e s e n t s a u i d - o n l y o r a u i d - s t r u c t u r e s y s -

t e m . E x p e r i e n c e i n t h e e l d o f n u m e r i c a l u i d d y n a m i c s s h o w s t h a t a N e w t o n -

R a p h s o n o r s i m i l a r m e t h o d a p p l i e d w i t h y = 0 o n l y c o n v e r g e s t o a p h y s i c a l

s o l u t i o n u n d e r e x t r a o r d i n a r y c i r c u m s t a n c e s . H o w e v e r , c o n v e r g e n c e i s i m p r o v e d

i f t h e m a s s m a t r i x

~

M i s r e t a i n e d i n t h e s o l u t i o n p r o c e d u r e . W e b r i e y o u t l i n e

t h e s t a n d a r d p r o c e d u r e t h a t w a s u s e d t o o b t a i n t h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h i s

s e c t i o n .

C o n s i d e r a n o n l i n e a r o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n

r ( y y ) = M ( y ) y + f ( y ) = 0 ( 1 4 4 )

t h a t i s t o b e s o l v e d w i t h t h e i m p l i c i t b a c k w a r d E u l e r i n t e g r a t i o n s c h e m e

t y = y

n + 1

y

n

( 1 4 5 )

w h e r e t i s a t i m e s t e p , a n d t h e s u p e r s c r i p t n m e a n s \ a t t h e c u r r e n t t i m e s t e p " .

W i t h

y

n

= y ( 1 4 6 )

y

n + 1

= y + y ( 1 4 7 )

( 1 4 8 )

o n e c a n o b t a i n

y = y ( 1 4 9 )

w i t h a f a c t o r =

1

t

. F o r e a c h t i m e s t e p , t h e l i n e a r i z e d e q u a t i o n

r ( y y ) r ( y 0 ) +

@ r

@ y

T

( y 0 ) y = 0 ( 1 5 0 )

w a s s o l v e d u s i n g G M R E S 3 2 ] w i t h a K r y l o v s u b s p a c e o f d i m e n s i o n 1 0 a n d n o

r e s t a r t s . T h e t a n g e n t s t i n e s s w a s a p p r o x i m a t e d b y

@ r

@ y

T

( y 0 ) y

r

y

1

y

r

y

( y 0 )

( 1 5 1 )

w h e r e i s c h o s e n s u c h t h a t

1

y i s s m a l l 1 2 ] .

N o t e : F o r a n i n t e r p r e t a t i o n o f o t h e r t h a n t h e i n v e r s e o f a b a c k w a r d E u l e r

t i m e s t e p , c o n s i d e r e q u a t i o n ( 1 5 0 ) i n i n d e x n o t a t i o n ,

@ r

i

@ y

j

y

j

=

M

i j

+

@ M

i k

@ y

j

y

k

+

@ f

i

@ y

j

| { z }

K

i j

y

j

( 1 5 2 )

2 4


25/38

wall (no slip,

inflowprescribed

outflow

U = U8

no penetration)

0 0.5 1

X

-1

-0.5

0

0.5

1

Y

F i g u r e 9 : N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l : p r o b l e m s t a t e m e n t a n d g r i d

I f y i s s m a l l , t h e t a n g e n t s t i n e s s b e c o m e s

K

= M + K ( 1 5 3 )

w i t h

K =

@ f

@ y

T

( 1 5 4 )

T h u s , t h e t a n g e n t s t i n e s s K o f t h e s t a t i o n a r y e q u a t i o n i s m o d i e d b y M t o

i m p r o v e c o n v e r g e n c e .

M a c h 3 N A C A 7 0 1 2 A i r f o i l

T h e r s t p r o b l e m w e c o n s i d e r i s o w p a s t a N A C A 7 0 1 2 A i r f o i l a t M a c h 3 , a

R e y n o l d s n u m b e r o f 1 0 0 0 a n d z e r o a n g l e o f a t t a c k . T h e R e y n o l d s n u m b e r i s

d e n e d b a s e d o n t h e f r e e s t r e a m v a l u e s a n d t h e a i r f o i l c h o r d l e n g t h . P r o b l e m

s t a t e m e n t a n d c o m p u t a t i o n a l g r i d a r e g i v e n i n F i g u r e 9 . A t i n o w , t o p , a n d

b o t t o m v a l u e s f o r a l l f o u r c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e p r e s c r i b e d . A t t h e o u t o w ,

t h e r e a r e n o b o u n d a r y c o n d i t i o n s , i . e . t h e b o u n d a r y i n t e g r a l i s e v a l u a t e d f r o m

t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s . O n t h e a i r f o i l , t h e r e i s n o s l i p , n o p e n e t r a t i o n a n d n o

h e a t u x . T h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n w a s d i s c r e t i z e d u s i n g 4 8 1 3 n o d a l p o i n t s ,

w h i c h l e d t o a m o d e l w i t h 1 8 1 0 8 d e g r e e s o f f r e e d o m , a s o p p o s e d t o 2 0 3 9 6 d e g r e e s

o f f r e e d o m t h a t w o u l d h a v e b e e n o b t a i n e d h a d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s b e e n

2 5


26/38

i m p l e m e n t e d w i t h L a g r a n g e m u l t i p l i e r s . R K P M s h a p e f u n c t i o n s w i t h c u b i c

s p l i n e w i n d o w f u n c t i o n s a n d l i n e a r c o n s i s t e n c y w e r e u s e d . T h e r e l a t i v e d i l a t i o n

p a r a m e t e r f o r t h e i r r e g u l a r g r i d w a s c h o s e n t o b e a p p r o x i m a t e l y 0 7

F i g u r e 1 0 s h o w s t h e s o l u t i o n i n t e r m s o f d e n s i t y , v e l o c i t i e s , t e m p e r a t u r e ,

p r e s s u r e a n d M a c h n u m b e r . T h e R K P M s o l u t i o n c a p t u r e s t h e l e a d i n g e d g e

s h o c k a n d t h e b o u n d a r y l a y e r q u i t e w e l l . E v e n m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t t h e

s o l u t i o n c a n b e o b t a i n e d b y u s i n g R K P M ' s m u l t i r e s o l u t i o n c a p a b i l i t i e s t o d e -

c o m p o s e t h e s o l u t i o n i n t o l o w a n d h i g h s c a l e , a s i s d o n e f o r t h e p r e s s u r e i n

F i g u r e 1 1 . T h e h i g h s c a l e s h o w s t h e e x a c t l o c a t i o n o f t h e l e a d i n g e d g e s h o c k .

T h i s i n f o r m a t i o n a r i s e s n a t u r a l l y i n t h e c o u r s e o f R K P M c o m p u t a t i o n s a n d i s

n o t t h e r e s u l t o f a n y p o s t - p r o c e s s i n g . S i n c e t h e h i g h - s c a l e s o l u t i o n i s a v a i l a b l e

d u r i n g t h e s o l u t i o n p r o c e s s , i t c a n b e u s e d t o d e t e c t s h o c k r e g i o n s a n d i n s e r t

m o r e n o d e s t h e r e t o c a p t u r e h i g h g r a d i e n t s . T h i s t e c h n i q u e i s d e m o n s t r a t e d f o r

t h e n e x t e x a m p l e p r o b l e m .

B o w S h o c k P r o b l e m w i t h A d a p t i v i t y

I n t h i s p r o b l e m , s u p e r s o n i c o w p a s t a b l u n t o b s t a c l e i s c o n s i d e r e d . T h e c o m p u -

t a t i o n a l d o m a i n i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 . A l l c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e p r e s c r i b e d

a t t h e i n o w a n d t h e t o p , s y m m e t r y i s p r e s c r i b e d a t t h e b o t t o m , a n d t h e r e i s

n o s l i p , n o p e n e t r a t i o n , a n d n o h e a t u x a t t h e o b s t a c l e . N o b o u n d a r y c o n d i -

t i o n s a r e p r e s c r i b e d a t t h e o u t o w . T h e f r e e s t r e a m M a c h n u m b e r i s 3 , a n d t h e

R e y n o l d s n u m b e r b a s e d o n f r e e s t r e a m v a l u e s a n d t h e d i a m e t e r o f t h e o b s t a c l e

i s 2 0 0 0 . F i g u r e 1 3 s h o w s t h e i n i t i a l c o m p u t a t i o n a l g r i d a n d s u b s e q u e n t r e n e -

m e n t s b a s e d o n t h e p r e s s u r e h i g h s c a l e . F i g u r e 1 4 s h o w s h o w t h e s h o c k g a i n s

m o r e a n d m o r e d e n i t i o n d u r i n g t h e s o l u t i o n p r o c e s s .

5 C o n c l u s i o n s

W e h a v e p r e s e n t e d a s i m p l e a n d c o m p u t a t i o n a l l y e c i e n t m e t h o d o f i m p o s i n g

e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r m e s h l e s s m e t h o d s . D ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e

u s e s a s e t o f g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s , a n d a J a c o b i a n m a t r i x t o p r o j e c t t h e r e s i d -

u a l o n t o t h e a d m i s s i b l e s o l u t i o n s p a c e . I t c a n b e u s e d f o r g e n e r a l , n o n l i n e a r

c o n s t r a i n t s . W e u s e i t f o r a l l o u r c o m p u t a t i o n s o f v i s c o u s , c o m p r e s s i b l e o w s .

F o r l i n e a r c o n s t r a i n t s , w e c u r r e n t l y f a v o r o b t a i n i n g t h e J a c o b i a n m a t r i x d i r e c t l y

v i a o r t h o g o n a l i z a t i o n o f t h e c o n s t r a i n t e q u a t i o n s . H o w e v e r , f o r p r o b l e m s w i t h

n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s , c h o o s i n g g e n e r a l i z e d v a r i a b l e s \ b y i n s p e c t i o n " l e a d s t o

d e c r e a s e d c o m p u t a t i o n a l c o s t . O u r c o m p u t a t i o n s d e m o n s t r a t e t h e v i a b i l i t y a n d

e c i e n c y o f d ' A l e m b e r t ' s p r i n c i p l e f o r m e s h l e s s m e t h o d s .

6 A c k n o w l e d g e m e n t s

T h e s u p p o r t o f t h i s r e s e a r c h b y t h e A i r F o r c e O c e o f S c i e n t i c R e s e a r c h

( A F O S R ) , t h e O c e o f N a v a l R e s e a r c h ( O N R ) , a n d t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n -

d a t i o n ( N S F ) i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .

2 6


27/38

F i g u r e 1 0 : N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l : S o l u t i o n f o r M a c h 3

2 7


28/38

F i g u r e 1 1 : N A C A 7 0 1 2 a i r f o i l : m u l t i p l e s c a l e d e c o m p o s i t i o n o f t h e p r e s s u r e

2 8


29/38

8

prescribedinflow

wall

symmetry

outflow

(no slip,no penetration)

U=U

F i g u r e 1 2 : B o w s h o c k p r o b l e m : p r o b l e m s t a t e m e n t

2 9


30/38

F i g u r e 1 3 : B o w s h o c k p r o b l e m : g r i d r e n e m e n t i n f o u r s t a g e s

3 0


31/38

F i g u r e 1 4 : B o w s h o c k p r o b l e m : p r e s s u r e a t t h e d i e r e n t s o l u t i o n s t a g e s

3 1


32/38

A I m p l e m e n t a t i o n o f d ' A l e m b e r t ' s P r i n c i p l e f o r

S e l e c t e d B o u n d a r y a n d I n t e r f a c e C o n d i t i o n s

i n V i s c o u s F l o w

I n t w o d i m e n s i o n s , t h e c o n s e r v a t i v e v a r i a b l e s a r e

U =

2

6

6

4

U

1

U

2

U

3

U

4

3

7

7

5

=

2

6

6

6

4

u

1

u

2

c

v

+

u

2

1

+ u

2

2

2

3

7

7

7

5

S o m e p r i m i t i v e v a r i a b l e s a r e

: : : d e n s i t y

u

1

v e l o c i t y i n 1 - d i r e c t i o n

u

2

v e l o c i t y i n 2 - d i r e c t i o n

: : : t e m p e r a t u r e

s : : : i n t e r n a l e n e r g y

T h e s p e c i c h e a t a t c o n s t a n t v o l u m e i s c

v

W e w i l l a l s o i m p o s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n t e r m s o f t h e v i s c o u s s t r e s s t e n s o r

a n d t h e h e a t u x v e c t o r q

F o r u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e c o n d i t i o n s , w e w i l l a s s u m e d i s p l a c e m e n t s w

1

a n d

w

2

, a s w e l l a s v e l o c i t i e s _w

1

a n d _w

2

T h e i n d e x n i s u s e d f o r q u a n t i t i e s n o r m a l t o t h e b o u n d a r y .

M o v i n g w a l l w i t h z e r o h e a t u x

B o u n d a r y c o n d i t i o n s :

q

n

= 0 n a t u r a l b o u n d a r y c o n d i t i o n

u

1

= g

1

u

2

= g

2

o r

U

2

= U

1

g

1

U

3

= U

1

g

2

W i t h

y =

y

1

y

2

=

s

3 2


33/38

w e o b t a i n

U ( y ) =

2

6

6

6

4

y

1

y

1

g

1

y

1

g

2

y

1

y

2

+

g

2

1

+ g

2

2

2

3

7

7

7

5

J =

@ U

@ y

T

=

2

6

6

4

1 0

g

1

0

g

2

0

y

2

+

g

2

1

+ g

2

2

2

y

1

3

7

7

5

M o v i n g w a l l w i t h g i v e n t e m p e r a t u r e


u

1

= g

1

u

2

= g

2

= g

3

o r

U

2

= U

1

g

1

U

3

= U

1

g

2

U

4

= U

1

c

v

g

3

+

g

2

1

+ g

2

2

2

W i t h

y =

y

1

=

w e o b t a i n

U ( y ) =

2

6

6

6

4

y

1

y

1

g

1

y

1

g

2

y

1

c

v

g

3

+

g

2

1

+ g

2

2

2

3

7

7

7

5

J =

@ U

@ y

T

=

2

6

6

4

1

g

1

g

2

g

3

+

g

2

1

+ g

2

2

2

3

7

7

5

S y m m e t r y b o u n d a r y

A s s u m e n o r m a l i n x

1

- d i r e c t i o n . B o u n d a r y c o n d i t i o n s :

q

2


1 2

=

2 1


u

2

= 0

3 3


34/38

o r

U

3

= 0

W i t h

y =

2

4

y

1

y

2

y

3

3

5

=

2

4

u

1

c

v

3

5

w e o b t a i n

U ( y ) =

2

6

6

4

y

1

y

2

0

y

3

+

y

2

2

2 y

1

3

7

7

5

J =

@ U

@ y

T

=

2

6

6

6

4

1 0 0

0 1 0

0 0 0

y

2

2

2 y

2

1

y

2

y

1

1

3

7

7

7

5

F l u i d - s t r u c t u r e i n t e r f a c e w i t h z e r o h e a t u x


q

n


u

1

= w

1

u

2

= w

2

o r

U

2

= U

1

w

1

U

3

= U

1

w

2

W i t h

y =

2

6

6

6

6

6

6

4

y

1

y

2

y

3

y

4

y

5

y

6

3

7

7

7

7

7

7

5

=

2

6

6

6

6

6

6

4

w

1

w

2

w

1

w

2

s

3

7

7

7

7

7

7

5

w e o b t a i n

U ( y ) =

2

6

6

6

4

y

5

y

3

y

5

y

4

y

5

y

5

y

6

+

y

2

3

+ y

2

4

2

3

7

7

7

5

3 4


35/38

J

u

=

@ U

@ y

T

=

2

6

6

4

0 0 0 0 1 0

0 0 y

5

0 1 0

0 0 0 y

5

1 0

0 0 y

3

y

5

y

4

y

5

y

6

+

y

2

3

+ y

2

4

2

y

5

3

7

7

5

w =

w

1

w

2

=

y

1

y

2

J

w

=

@ w

@ y

T

=

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

w =

w

1

w

2

=

y

3

y

4

H

w

=

@ w

@ y

T

=

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

3 5


36/38

R e f e r e n c e s

1 ] S . K . A l i a b a d i , S . E . R a y , a n d T . E . T e z d u y a r . S U P G n i t e e l e m e n t c o m p u -

t a t i o n o f v i s c o u s c o m p r e s s i b l e o w s b a s e d o n t h e c o n s e r v a t i o n a n d e n t r o p y

v a r i a b l e s f o r m u l a t i o n s . C o m p u t a t i o n a l M e c h a n i c s , 1 1 : 3 0 0 { 3 1 2 , 1 9 9 3 .

2 ] T . B e l y t s c h k o , Y . K r o n g a u z , D . O r g a n , M . F l e m i n g , a n d P . K r y s l . M e s h l e s s

m e t h o d s : A n o v e r v i e w a n d r e c e n t d e v e l o p m e n t s . C o m p u t e r M e t h o d s i n

A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 3 { 4 7 , 1 9 9 6 .

3 ] T . B e l y t s c h k o , Y . Y . L u , a n d L . G u . E l e m e n t - f r e e G a l e r k i n m e t h o d s . I n t e r -

n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g , 3 7 : 2 2 9 { 2 5 6 , 1 9 9 4 .

4 ] T . B e l y t s c h k o , Y . Y . L u , L . G u , a n d M . T a b b a r a . E l e m e n t - f r e e G a l e r k i n

m e t h o d s f o r s t a t i c a n d d y n a m i c f r a c t u r e . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S o l i d s

a n d S t r u c t u r e s , 3 2 : 2 5 4 7 { 2 5 7 0 , 1 9 9 5 .

5 ] J . S . C h e n , C . P a n , C . T . W u , a n d W . K . L i u . R e p r o d u c i n g k e r n e l p a r t i c l e

m e t h o d s f o r l a r g e d e f o r m a t i o n a n a l y s i s o f n o n l i n e a r s t r u c t u r e s . C o m p u t e r

M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 1 9 5 { 2 2 7 , 1 9 9 6 .

6 ] C . A . D u a r t e a n d J . T . O d e n . A n h - p a d a p t i v e m e t h o d u s i n g c l o u d s .

C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 2 3 7 { 2 6 2 ,

1 9 9 6 .

7 ] J . G o s z a n d W . K . L i u . A d m i s s i b l e a p p r o x i m a t i o n s f o r e s s e n t i a l b o u n d a r y

c o n d i t i o n s i n t h e R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d . C o m p u t a t i o n a l

M e c h a n i c s , 1 9 ( 2 ) : 1 2 0 { 1 3 5 , 1 9 9 6 .

8 ] T . J . R . H u g h e s . T h e F i n i t e E l e m e n t M e t h o d . P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d

C l i s , N e w J e r s e y , 1 9 8 7 .

9 ] T . J . R . H u g h e s , L . P . F r a n c a , a n d M . M a l l e t . A n e w n i t e e l e m e n t f o r m u -

l a t i o n f o r c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s : V I . C o n v e r g e n c e a n a l y s i s o f t h e

g e n e r a l i z e d S U P G f o r m u l a t i o n f o r l i n e a r t i m e - d e p e n d e n t m u l t i d i m e n s i o n a l

a d v e c t i v e - d i u s i v e s y s t e m s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d

E n g i n e e r i n g , 6 3 ( 1 ) : 9 7 { 1 1 2 , J u l y 1 9 8 7 .

1 0 ] T . J . R . H u g h e s a n d M . M a l l e t . A n e w n i t e e l e m e n t f o r m u l a t i o n f o r

c o m p u t a t i o n a l u i d d y n a m i c s : I I I . T h e g e n e r a l i z e d s t r e a m l i n e o p e r a t o r

f o r m u l t i d i m e n s i o n a l a d v e c t i v e - d i u s i v e s y s t e m s . C o m p u t e r M e t h o d s i n

A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 5 8 ( 3 ) : 3 0 5 { 3 2 8 , J a n u a r y 1 9 8 6 .

1 1 ] T . J . R . H u g h e s a n d T . E . T e z d u y a r . F i n i t e e l e m e n t m e t h o d s f o r r s t -

o r d e r h y p e r b o l i c s y s t e m s w i t h p a r t i c u l a r e m p h a s i s o n t h e c o m p r e s s i b l e E u -

l e r e q u a t i o n s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g

4 5 : 2 1 7 { 2 8 4 , 1 9 8 4 .

1 2 ] Z . J o h a n . D a t a P a r a l l e l F i n i t e E l e m e n t T e c h n i q u e s f o r L a r g e - S c a l e C o m -

p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s . P h D t h e s i s , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , 1 9 9 2 .

3 6


37/38

1 3 ] Y . K r o n g a u z a n d T . B e l y t s c h k o . E n f o r c e m e n t o f e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i -

t i o n s i n m e s h l e s s a p p r o x i m a t i o n s u s i n g n i t e e l e m e n t s . C o m p u t e r M e t h o d s

i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 9 9 6 . T o a p p e a r .

1 4 ] P . K r y s l a n d T . B e l y t s c h k o . E l e m e n t - f r e e G a l e r k i n : C o n v e r g e n c e o f t h e

c o n t i n u o u s a n d d i s c o n t i n u o u s s h a p e f u n c t i o n s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p -

p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 9 9 6 . S u b m i t t e d .

1 5 ] J . l e R o n d d ' A l e m b e r t . A b h a n d l u n g u b e r D y n a m i k , i n w e l c h e r d i e G e s e t z e

d e s G l e i c h g e w i c h t e s u n d d e r B e w e g u n g d e r K o r p e r a u f d i e k l e i n s t m o g l i c h e

Z a h l z u r u c k g e f u h r t u n d i n n e u e r W e i s e a b g e l e i t e t w e r d e n , u n d i n d e r e i n

a l l g e m e i n e s P r i n c i p z u r A u f n d u n g d e r B e w e g u n g m e h r e r e r K o r p e r , d i e i n

b e l i e b i g e r W e i s e a u f e i n a n d e r W i r k e n g e g e b e n w i r d . ( F i r s t p u b l i s h e d u n d e r

t i t l e \ T r a i t e d e d y n a m i q u e " , P a r i s , 1 7 4 3 ) . W . E n g e l m a n n , L e i p z i g , 1 8 9 9 .

1 6 ] S . L i a n d W . K . L i u . M o v i n g L e a s t S q u a r e R e p r o d u c i n g K e r n e l M e t h o d

( I I ) F o u r i e r A n a l y s i s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i -

n e e r i n g , 1 3 9 : 1 5 9 { 1 9 4 , 1 9 9 6 .

1 7 ] S . L i a n d W . K . L i u . M o v i n g L e a s t S q u a r e R e p r o d u c i n g K e r n e l M e t h o d

p a r t i i i : W a v e l e t p a c k e t a n d i t s a p p l i c a t i o n s . S u b m i t t e d f o r p u b l i c a t i o n i n

C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 9 9 7 .

1 8 ] S . L i a n d W . K . L i u . S y n c h r o n i z e d r e p r o d u c i n g k e r n e l i n t e r p o l a n t v i a m u l -

t i p l e w a v e l e t e x p a n s i o n . A c c e p t e d f o r p u b l i c a t i o n i n C o m p u t a t i o n a l M e -

c h a n i c s , 1 9 9 7 .

1 9 ] W . K . L i u , J . A d e e , a n d S . J u n . R e p r o d u c i n g K e r n e l a n d W a v e l e t P a r t i c l e

M e t h o d s f o r E l a s t i c a n d P l a s t i c P r o b l e m s . A d v a n c e d C o m p u t a t i o n a l M e t h -

o d s f o r M a t e r i a l M o d e l i n g , ( E d s . D . J . B e n s o n a n d R . A . A s a r o A M D 1 8 0

a n d P V P 2 6 8 A S M E ) , p a g e s 1 7 5 { 1 9 0 , 1 9 9 3 .

2 0 ] W . K . L i u , C . T . C h a n g , Y . C h e n , a n d R . A . U r a s . M u l t i r e s o l u t i o n R e p r o -

d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d s i n A c o u s t i c P r o b l e m s . A c o u s t i c s , V i b r a -

t i o n s , a n d R o t a t i n g M a c h i n e s ( A S M E D E - V o l . 8 4 - 2 , P a r t B ) , p a g e s 8 8 1 {

9 0 0 , 1 9 9 5 .

2 1 ] W . K . L i u a n d Y . C h e n . W a v e l e t a n d M u l t i p l e S c a l e R e p r o d u c i n g K e r n e l

M e t h o d s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d s , 2 1 : 9 0 1 {

9 3 1 , 1 9 9 5 .

2 2 ] W . K . L i u , Y . C h e n , C . T . C h a n g , a n d T . B e l y t s c h k o . A d v a n c e s i n M u l t i p l e

S c a l e K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d s . C o m p u t a t i o n a l M e c h a n i c s , 1 8 ( 2 ) : 7 3 { 1 1 1 ,

1 9 9 6 .

2 3 ] W . K . L i u , Y . C h e n , S . J u n , J . S . C h e n , T . B e l y t s c h k o , C . P a n , R . A . U r a s ,

a n d C . T . C h a n g . O v e r v i e w a n d A p p l i c a t i o n s o f t h e R e p r o d u c i n g K e r -

n e l P a r t i c l e M e t h o d s . A r c h i v e s o f C o m p u t a t i o n a l M e t h o d s i n E n g i n e e r i n g ;

S t a t e o f t h e a r t r e v i e w s , 3 : 3 { 8 0 , 1 9 9 6 .

3 7


38/38

2 4 ] W . K . L i u , Y . C h e n , R . A . U r a s , a n d C . T . C h a n g . G e n e r a l i z e d M u l t i p l e

S c a l e R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d s . C o m p u t e r M e t h o d s i n A p p l i e d

M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 3 9 : 9 1 { 1 5 8 , 1 9 9 6 .

2 5 ] W . K . L i u , S . J u n , S . L i , J . A d e e , a n d T . B e l y t s c h k o . R e p r o d u c i n g K e r -

n e l P a r t i c l e M e t h o d s f o r S t r u c t u r a l D y n a m i c s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r

N u m e r i c a l M e t h o d s f o r E n g i n e e r i n g , 3 8 : 1 6 5 5 { 1 6 7 9 , 1 9 9 5 .

2 6 ] W . K . L i u , S . J u n , D . T . S i h l i n g , Y . C h e n , a n d W . H a o . M u l t i r e s o l u t i o n

R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h o d f o r C o m p u t a t i o n a l F l u i d D y n a m i c s .

I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f N u m e r i c a l M e t h o d i n F l u i d s , 2 4 : 1 3 9 1 { 1 4 1 5 , 1 9 9 7 .

2 7 ] W . K . L i u , S . J u n , a n d Y . F . Z h a n g . R e p r o d u c i n g K e r n e l P a r t i c l e M e t h -

o d s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r N u m e r i c a l M e t h o d s i n F l u i d s , 2 0 : 1 0 8 1 { 1 1 0 6 ,

1 9 9 5 .

2 8 ] W . K . L i u , S . L i , a n d T . B e l y t s c h k o . M o v i n g L e a s t S q u a r e R e p r o d u c i n g

K e r n e l M e t h o d ( I ) M e t h o d o l o g y a n d C o n v e r g e n c e . C o m p u t e r M e t h o d s i n

A p p l i e d M e c h a n i c s a n d E n g i n e e r i n g , 1 4 3 : 1 1 3 { 1 5 4 , 1 9 9 7 .

2 9 ] W . K . L i u a n d C .

implement bcs for mms liu

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