187

البــــاب الثــامن

ديناميكا النظام والجسم الجاسئ DYNAMICS OF A SYSTEM AND RIGID BODY

مقدمة في ديناميكا النظام والجسم الجاسئ والقوى المؤثرة عليه 1.8و مجموعة ثنين أو أكثر من األشياء المتفاعلة عادة بعضها مع بعض كالنظام الشمسي، أاالنظام هو فئة مكونة من

اعتبر فئة من ...... ومن المفيد على حد سواء، دراسة األنظمة بصورة عامة . األجزاء المكونة لجسم صلبأو /أو حركة كل جسيم فيها على مواضع و/الجسيمات المتفاعلة، أي عدد من الجسيمات، والتي يعتمد موضع و

.الميكانيكي حركات جميع الجسيمات األخرى، عندئذ ندعوها بالنظام

من جهة أخرى؛ تدعى مجموعة الجسيمات المادية، ذات العدد الثابت، والمحددة أبعادها بشكل دقيق بالنظام المتميز كما تدعى الجسيمات المرتبة بانتظام في الفراغ، وذات عدد غير محدد، ال . Discrete Systemأو المتقطع

وقد يشكل النظام المتميز جسما ماديا، ال تتغير . Continuous Systemنهائي وأبعادها متغيرة بالنظام المتصل ، أو تتغير أبعاده تحت تأثير القوى ويتشوه ئأبعاده تحت تأثير القوى أيا كانت، ويسمى حينئذ بالجسم الجاس

جموعة أجسام والنظام الجاسئ هو النظام المكون من م. Nonrigid Bodyميكانيكيا ليدعى بالجسم غير الجاسئ ولذلك؛ تعتبر الماكنات على . جاسئة، كما أن النظام غير الجاسئ هو النظام المكون من مجموعة أجسام غير جاسئة

.اختالفها والسيارات والطائرات والصواريخ والمركبات الفضائية أجساما جاسئة

188

المكونة له إلى قوى داخلية وقوى يمكن تقسيم القوى المؤثرة على نظام ما أثناء حركته، أو حركة الجسيماتأو أجسام ال تدخل في تكوين النظام المعين، على /فالقوى التي تؤثر بها جسيمات و. خارجية كيفما تؤثر هذه القوى

وعلى النقيض من ذلك، تعتبر القوى . أو أجسام النظام نفسه تعتبر قوى خارجية بالنسبة لهذا النظام/ جسيمات وولهذا . أو أجسام أخرى من نفس النظام قوى داخلية/أو أجسام من النظام على جسيمات و/ت والتي تؤثر بها جسيما

فالقوة الخارجية قوة تؤثر على النظام أو على جسيم فيه من خارجه، أما القوة الداخلية فهي قوة منشؤها وفعلها ا؛ أن تكون نفس القوة خارجية لنظام ومن الممكن طبع. ، كالهما من داخل النظام قيد الدراسة)سـببها ومسـببها(

فمثال قوة جذب الشمس لألرض هي قوة خارجية عند دراسة حركة األرض كجسم مفرد، أما في . ما وداخلية آلخر F)محصلة القوى(وعلى ذلك؛ يمكن تقسيم القوة . النظام المكون من الشمس واألرض فإن نفس القوة تعتبر داخلية

ما إلى جزأين داخلي وخارجي المؤثرة على نظامF = FIN + FEX

.رموز عليا تعرف محصلتي القوى الداخلية والقوى الخارجية على الترتيب EX و IN حيث إن

الخواص الرئيسية للقوى الداخلية

ا أو رياضي. لكل القوى الداخلية في أي نظام يساوي الصفر) المجموع الهندسي(المتجه الرئيسي -1

F F FIN IN

i ij

ii j

ji=1

n

=1

n

=1

n

0 1.8

على iقوة الفعل التي يؤثر بها الجسيم Fij ، ijالمتجه الرئيسي لكل القوى الداخلية في النظام، بينما FINحيث إن ، Fij ،Fjiمن النظام المعين يؤثران بعضهما على بعض بالقوتين jو iولذلك فالجسيمان . أو بالعكس jالجسيم

ولهذا فمحصلتهما تساوي صفرا . 1.8 كلـشقيمة والمضادتين اتجاها، المتكافئتين Fi

IN = Fij + Fji = 0 1.1.8 وألن جميع القوى الداخلية ترد في أزواج متوازنة، ومجموع أي زوج من هذه القوى يساوي صفرا، فإن مجموع

مختاران بشكل اعتباطي، فإن محصلة كل القوى j و iيث إن الجسيمين وح. كل هذه األزواج يساوي صفرا أيضا .صحيحة تماما 1.8الداخلية تؤول للصفر، أي أن المعادلة

Pi

Pj

Fi1

Fi2Fi3

Fi4

Fi5

Fin

Fij

Fji

FjnFj4

Fj1

Fj2

Fj3y

z

x yj

zjxj

yi

zi

xi

Pn

Pj

P1

P2

P3

Piri

rn

r2

r1

rjr3 Qhij

O

1.8كل ـش

189

أن مجموع القوى الداخلية يجب أن القوتين الداخلية والخارجية، مع قانون نيوتن الثالث يستلزم فورا، إن تعريفولذلك فالرجل الذي يركب عربة، يؤثر بقوة وزنه على . اخلية قوة مساويـة لها ومضادةفلكل قوة د. يكون صفرا

إن البحث في حركة الرجل . العربة لألسفل، وتؤثر العربة بدورها بقوة رد الفعل، المساوية لوزن الرجل لألعلىقوة داخلية عند بحث ) رد الفعل قوة(وحده يجعل من قوة رد الفعل قوة خارجية مؤثرة على الرجل، بينما تعتبر

.حركة النظام المكون من الرجل والعربةلكل القوى الداخلية في النظام حول أية نقطة ثابتة أو محور ثابت ) مجموع العزوم الهندسي(العزم الرئيسي -2

مثال، مساويا Qحول نقطة ما، jو iورياضيا؛ يكون عزم القوتين الداخليتين بين الجسيمين . يساوي صفرا للصفر

MQi = h h ( )=1

n

=1

n

ij

i

i ij ij ji

ii j

i j

F F FIN 0 2.8

وبالتالي فعزمهما حول . 1.1.8ومعادلة 1.8كل ـش، Fji = - Fij نومتضادتاوذلك ألن القوتين الداخليتين متساويتان Fij جسيمان مختاران بشكل اعتباطي من جسيمات النظام، فإن عزم أي قوتي تفاعل j و iوألن . أية نقطة يتالشى

إذ إن عزم أية قوة حول نقطة ما . ، وألي جسيمين من جسيمات النظام حول النقطة نفسها يساوي صفراFji ووبالتالي فمجموع عزوم جميع القوى الداخلية . يتالشـى لوجود عزم قوة أخرى مساو ومضاد حول النقطة نفسها

.صحيحة أيضا 2.8أي أن معادلة . في النظام حول النقطة نفسها يساوي صفرا

غير أنه، ال ينتج من الخاصتين المذكورتين أعاله، أن القوى الداخلية التي توازن بعضها بعضا ال تؤثر على حركة بل تؤثر هذه القوى على جسيمات مادية مختلفة، يمكن أن تسبب إزاحات متبادلة ألذرع وأجسام . أجزاء النظام . لية متوازنة التأثير عندما يكون النظام قيد الدراسة جسما جاسئاوتكون القوى الداخ. النظام نفسه

من ناحية أخرى؛ تستغل بديهيات القيود عند بحث حركة النظام المقيد، بحيث يدرس النظام المعين وكأنه تحرر من تحت تأثير القوى وردود وعليه يؤول النظام المقيد الحركة إلى نظام حر. القيد، واستبدل تأثير القيد بقوة رد فعله

. األفعال

هندسة الكتل، الكتلة الكلية، مركز الكتلة 2.8اعتبر فئة من . تعتمد حركة نظام ما على كتلته الكلية، وتوزيع كتله المكونة له، عالوة على القوى المؤثرة عليه

، ومتجه موضعه m1كتلته 1الجسيم دعنا نميزها، . الجسيمات المتفاعلة، أي عدد من الجسيمات المكونة لنظام ماr1 وسرجهته ،v1متغيرات الجسيمات األخرى بنفس الطريقة ما؛ كما نسرج الكتلة الكلية للنظام . ، وهلم مونسM

M = m ii =1

n

= m1 + m2 + .......... +mn 3.8

، فإن الخاصية الهامة األخرى Mاإلضافة إلى ب. والتي تسـاوي المجموع الجبري لكتل جميع جسـيمات النظام هي مركز كتلة النظام الذي يعرف بالعالقة االتجاهية

M mcr r i ii =1

n

r rcmM

ii

i =1

n

4.8

190

mحيث يعرف المقدار i iri =1

n

بالعزم االستاتيكي الئتالف كتـل كل جسيـمـات النظام ومتجهات مواضعها .

لكل riلمتجهات الموضع المفردة Weighted Averageهو المتوسط الموزون rcمتجه موضع مركز الكتلة وmكتل النظام، بينما معامالت المتوسط الموزون هي

Mi ،i =1,2,3,.....,n ومجموعها الجبري يساوي الوحدة ،

mM

i

i

1=1

n

وليس من . وصف مركز الكتلة بأنه الموضع المتوسط لكل الكتلة في النظام وعلى ذلك؛ يمكن.

الضروري بصورة عامة، أن يقع مركز كتلة النظام بأكمله عند أية نقطة في النظام، أو حتى يكون منطبقا على . مركز إحدى كتله

فمركز كتلة قضيب منتظم مثال، يقع . 4.8 ونســتطيع أحيانا أن نخمن بدقة مركز الكتلة دون اللجوء إلى المعادلةأما بالنسبة لألنظمة المركبة، . والمخروط وكل األجسام المنتظمة واألسطوانةعند مركزه الهندسي، وكذلك الكرة

إذا عرف مركز كتلة كل جزء من أجزاء نظام مركب، : اآلتيةفإحدى النتائج المفيدة، التي نذكرها دون برهان هي حساب مركز كتلة النظام برمته باعتبار أن كتلة كل جزء تقع عند مركز كتلة ذلك الجزء، وذلك فإنه يمكن

إن ذلك يتطلب معرفة . أو المعادالت القياســية الثالث المنبثقة عنها 4.8 االتجاهيةبالتطبيق المباشـر للمعادلة مركز كتلة النظام المكون من األرض والقمر على ولذلك ؛ ف. كتلة كل جزء ومتجه موضعه والكتلة الكلية للنظام

.1كيلو مترا من مركز األرض 4670سـبيل المثال، يقع على بعد

ومع أنه من الممكن أن يكون مركز الكتلة نقطة في . وعندما يتحرك نظام جسيمات ما يتحرك مركز كتلته أيضافمفاضلة المعادلة األخيرة . اما ولها سرجهة محددة أيضاالمكان ال ارتباط لها بأية مادة، إال أنها نقطة محددة تم

يعطينا صيغة لسرجهة مركز الكتلة 4.8

M Mdtcv

d

dtm

dc

1

nr ri

i

i

1.5.8

v c M M m

m1

n

1

ni

ii

i ii

v v= =

1 2.5.8

وبالمثل؛ فإن . ومن الواضح أن سرجهة مركز الكتلة هي المتوسط الموزون لسرجهات الجسيمات المفردة رعات الجسيمات المفردة يساوي تسارع مركز الكتلة المتوسط الموزون لتسا

m=1

n

i ia ai M c M

ddt

mddt

2c

21

n 2

2r r

ii

i 6.8

ومن هنا يتضح أن موضع مركز كتلة النظام يعتمد على توزيع الكتل وأبـعادهـا فقط داخل النظام، وأن القوى المؤثرة إن مركز كتلة النظام أو حتى . بتاتا على موضع مركز كتلة النظامعلى النظام ســواء الداخلية أم الخارجية، ال تؤثر

_________________________________

عن كتلة األرض جدول المعلومات الفلكيةوبالتحديد حركة الجسيم تحت تأثير القوة المركزية: الباب السادسانظر 1 .والقمر وباقي الكواكب

191

النظام، وهذا األخير يمثل نقطة تمر Center of Gravityة على مركز ثقل ال ينطبق بالضرور ئالجسـم الجاسـ .وقوى القصور أثناء الدوران حول األرض) الوزن(خاللها محصلة قوى الجاذبية األرضية

General Laws of Motionالقوانين العامة لحركة النظام 3.8

المعادلة التفاضلية لحركة النظام 1.3.8

، ... 3، 2، 1ا ذا فئة معينة من الجسيمات الماديـة نفترض نظام، r1، ومتجهات مواضعها m1 ،m2 ،m3....mn، وكتلها nعددها

r2 ،r3..... ،rn مقاسة من مركز اإلحداثيات الثابتـة ،Oxyz ،تـؤثر عليـه . من هذه الفئة iندرس حركة الجسيم .2.8كل ـش

الجسـيمات داخليـة مـن ومجموعة القوى ال Fi القوة الخارجية

Fijرىاألخ

ijj

=1

n

.

نكتب معادلة حركته iمن قانون نيوتن الثاني لحركة هذا الجسيم

C

O

iri

r’i

rc1

23 4

zi

xi

yi

zc

yc

xc

y

x

z

2.8كل ـش

m ai = Fi + Fij

ijj

=1

n

i, j= 1,2,3, ......,n , ji 7.8

نظام لكل جسيمات ال 7.8كما يمكن كتابة هذه المعادلة االتجاهية

m a1 = F1 + F1

1

jjj

=2

n

m a2 = F2 + F2

2

jjj

=1

n

j = 1,2,3, ......,n , j i 8.8

. . . . . . . . . . . . . . . m an = Fn + Fn

n

jjj

=1

n

ية لحركة النظام بطريقة المجاميع االتجاهية التفاضل) المعادالت( والتي بجمعها حدا حدا نحصل على المعادلة

m a ==1

n

=1

n

i i iii

F i = 1,2,3, ......,n 9.8

، انطالقا من الخاصية األولى للقوى 8.8حيث تتالشى محصلة مجاميع القوى الداخلية الناتج من المعادالت على المحاور 9.8أو حتى المعادالت 8.8و 7.8ويمكن إسقاط مجموعة المعادالت السابقة . 1.8الداخلية، معادلة

الديكارتية المتعامدة الثالث، أو أية مجموعة محاور ثالثية أخرى لنحصل على ثالثة أضعاف عددها من

192

حركة كل جسيم من جسيماته عند ) أو قانون(إن المسألة األساسية في ديناميكا النظام هي تحديد معادلة . المعادالتلكن، وباألخذ بعين . كداول زمنيةzi و xi ،yiأي بمعنى آخر إيجاد اإلحداثيات . ثرة عليهمعرفة القوى المؤ

االعتبار أن القوى الداخلية المؤثرة على جســيمات النظام تكون في حاالت كثيرة غير معروفة، وأن عدد إسقاط أي من المعادالت السابقة من المعادالت التفاضلية الناتجة من 3nالجسيمات بالعادة يكون كبيرا، فإن حل

معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية كمعادالت المساقط الناتجة من 3nفحل . يصبح عديم الجدوى وغير منطقيمن الثوابت التكاملية والتي تتحدد مقاديرها من الشروط 6nيدفعنا للبحث عن ضعف هذا العدد، أي 9.8معادالت

عن هذا النمط من المعادالت بمعرفة بعض خصائص حركة النظام بشكل عام، وليس ويستعاض. االبتدائية للحركةكما أن باإلمكان إيجاد خصائص حركة النظام من القوانين العامة . حركة كل جسيم من جسيماته بشكل خاص

معادلة حركة مركز القوانين، -ومن أهم هذه المعادالت. 7.8لديناميكا النظام، والتي تعتبر باألساس نتاجا للمعادلة كتلة النظام وقوانين زخم النظام وقوانين الزخم الزاوي للنظام، وأخيرا قانون تغير طاقة حركة النظام والتي

.سنوردها بقليل من التوسع تباعا مع بعض التطبيقات

حركة مركز كتلة النظام 4.8 معادلة حركة مركز كتلة النظام 1.4.8

جسيم مادي، والذي تؤثر على كل جسيم فيه مجموعة القوى الخارجية nام المكون من سندرس حركة النظوباستبدال مجموع للقوى الخارجية المؤثرة على النظام بمحصلتها .2.8كل ـش، 1.8والداخلية كما ذكر في البند

F ،F Fi i =1

n

m، و M ci ia ai =1

n

الشكل المقتضب التاليب 9.8، فإننا نستطيع كتابة المعادلة

M ac = F 10.8 ، وتؤثر عليه قوى Mتشـبه في صورتها الظاهرية حركة الجسيم المادي المفرد الذي كتلته 10.8 هذه المعادلة

يتحرك : وعلى هذا األساس يمكن صياغة معادلة حركة مركز كتلة النظام كاألتي. acويتحرك بتسارع Fتكافئ دي، كتلته تساوي المجموع الجبري لكتل كل جسيماته، وتؤثر عليه قوة تكافئ المتجه مركز كتل النظام كجسيم ما

: كما يمكن تسمية نفس المعادلة بقانون نيوتن الثاني للنظام ككل . الرئيسي لكل القوى الخارجية المؤثرة عليهكلية في تسارع مركز المتجه الرئيسي لكل القوى الخارجية المؤثرة على النظام يساوي حاصل ضرب الكتلة ال

يتحرك مركز الكتلة كما لو أن كل : ويمكننا التعبير عن هذه النتيجة الطريفة في بساطتها بصورة أخرى. الكتلةتكافئ ثالث 10.8والمعادلة نفسها . كتلة النظام قد تركزت هناك، وكما لو أن جميع القوى قد أثرت هناك أيضا

معادالت قياسية M acx = Fx , M acy = Fy , M acz = Fz 1.10.8

وتكمن أهمية . والتي تسمى بالمعادالت التفاضلية لحركة مركز كتلة النظام على محاور اإلحداثيات الديكارتية : ، أو حتى أي معادالت أخرى بما يلي1.10.8أو 10.8معادلة حركة مركز كتلة النظام، معادالت

ومحددة لطرق دراسة ديناميكا النظام واضحةيعطي القانون المذكور أسسا -1

.ال داعي لمعرفة القوى الداخلية المجهولة أصال، المؤثرة على جسيمات النظام - 2

193

قانون حفظ حركة مركز كتلة النظام 2.4.8

Fiإذا أثرت على النظام، مجموعة القوى الخارجية، مجموعها الهندسي أثناء الحركة يساوي صفرا 0i =1

n

،

تصبح 10.8فإن المعادلة ،2.8كل ـشM ac = 0 vc = const. 11.8

إذا كان المجموع الهندسي لكل القوى الخارجية المؤثرة على : وهذه تمثل قانون حفظ حركة مركز كتلة النظامأي يتحرك مركز نظام ما مساويا للصفر، فإن مركز كتلة هذا النظام يتحرك حركة منتظمة وفي خط مستقيم،

وكما . وبشكل خاص؛ إذا كان مركز الكتلة في البداية ساكنا، فإنه يظل كذلك. الكتلة بسرجهة ثابتة مقدارا واتجاها . ن تغير حركة مركز كتلة النظامأهو مالحظ ال يمكن للقوى الداخلية

ام ال يسـاوي صفرا، لكن مسـقطها من جهة أخرى، إذا كان المجموع الهندسي للقوى الخارجية المؤثرة على النظ على المحور المذكور يأخذ الصورة 11.8مثال، يساوي صفرا، فإن مسقط المعادلة Oxعلى محور ما،

M acx = 0 vcx = const. 1.11.8 للصفر، أي إذا كان مسقط المتجه الرئيسي للقوى الخارجية المؤثرة على نظام ما على أحد المحاور مساويـا

فإن مسقط سرعـة مركز كتلة النظام على المحور المذكور يكون مقدارا ثابتا، أي أن مركز كتلة النظام سيتحرك Oxكانت سرعة مركز كتلة النظام على محور ما، وفي حاالت خاصة ، إذا. حركة مـنتظمة على هذا المحور . كز كتلة النظام سيبقى ساكنا بالنسبة إلى ذلك المحور، فإن مرvcxo= 0مثال، في اللحظة االبتدائية صفرا،

امـظـنـم الـزخ 5.8 التي تساوي المجموع الهندسي لزخام كل جسيماته المكونة له Kيعرف زخم النظام بالكمية المتجهة

K = i =1

n

Ki =i =1

n

mi vi 12.8

بحيث تصبح 12.8يمكن استبدال المجموع األخير في المعادلة ، 2.5.8وبناء على المعادلة K = M vc 13.8

وهو كمية متجهة يكون اتجاهها .vcفي سرجهة مركزها Mزخم النظام يساوي حاصل ضرب كتلته الكلية أي أن . بنفس اتجاه سرجهة مركز الكتلة

يبقى مركز كتلته ثابتا ال يتغير، فإن زخمه ، أنه إذا تحرك نظام الجسيمات بحيث13.8ويتضح من المعادلة وعلى سبيل المثال يكون زخم الجسم الدائر حول محور دوران اعتباطي ثابت ويمر . K=0الرئيسي يساوي صفرا

أما إذا كانت حركة النظام مركبة، مستوية مثال، فإن زخمه الرئيسي ال يحدد جزء . بمركز كتلته مساويا للصفر . وراني حول المحور المار بمركز الكتلة، بل جزء الحركة االنتقالي للنظام أو الجسم الجاسئالحركة الد

194

قانون تغير زخم النظام 1.5.8

13.8المشتقة األولى لطرفي المعادلة ddt

d Mdt

Mddt

c cK

( )v v d

dtM c

K a

المتجه -حسب قانون نيوتن الثاني -الكتلة الذي يساوي فالطرف األيمن هو حاصل ضرب الكتلة وتسارع مركز وعلى ذلك يمكن استبدال المعادلة السابقة بالعالقة. الرئيسي للقوى المؤثرة على النظام

ddtK F 14.8

الرئيسي المشتقة األولى لزخم النظام تساوي المتجه :التي تعبر عن قانون تغير الزخم للنظام بصورة تفاضليةفإذا كان زخم . كما ويمكن صياغة قانون تغير الزخم لألنظمة بطريقة أخرى. للقوى الخارجية المؤثرة عليه

14.8بالترتيب، عندئذ بضرب طرفي المعادلة Kو t ،Koوالنهائية t0=0النظام الرئيسي في اللحظتين االبتدائية كورتين، نجد أن، ثم إجراء التكامل المطلوب بين اللحظتين المذdtفي

K - Ko = F F dt d tt t

0 0i

i =1

n

Pأو بداللة الدفع الرئيسي لمجموعة القوى الخارجية المؤثرة التي زود به النظام

K - Ko = P Pii =1

n

15.8

منية والذي يساوي المجموع الهندسي لدفوع القوى الخارجية المؤثرة الذي زود به النظام خالل تلك الفترة الزالتغير في زخم النظام خالل فترة :عن قانون تغير الزخم لألنظمة بصورة تكاملية 15.8وتعبر المعادلة . المحددة

زمنية محددة يساوي المجموع الهندسي لدفوع القوى الخارجية المؤثرة الذي زود به النظام خالل فتـرة زمنية . 10.8 معادلةلنظام خالل الفترة الزمنية نفسها، الذي زود به ا Fيساوي الدفع الرئيسي للقوة ومحددة،

، يبين 15.8و 14.8، أو قانون تغير الزخم، معادالت 10.8إن النظر إلى معادلة حركة مركز كتلة النظام، معادلة ى إن استخدام أي من هاتين الصورتين لتعريف حركة الجسم الجاسئ، أو حت. لنا صورتين مختلفتين لقانون واحد

أما في الحاالت التي يكون فيها . أكثر سهولة ويسرا 10.8النظام يعطي نتائج مثلى، وإن كان استخدام المعادلة السوائل والغازات أو حتى األجسام متغيرة الكتلة، فإن استخدام معادلة حركة -كالموائع النظام وسطا متصال

ال منه لحل هذه المسائل قانون تغير الزخم للنظام، معادالت مركز الكتلة يصبح عديم المعنى والجدوى، ويستخدم بد .15.8و 14.8

قانون حفظ زخم النظام 2.5.8

وينتج عن ذلك أنه في حالة انعدام القوى . ستجابة للقوى الخارجية المؤثرة على النظامايتغير الزخم الكلي لنظام ما الرئيسي ثابتا ، يكون زخم النظام14.8الخارجية، ووفقا للمعادلة

ddtK

0 K - Ko = 0 16.8

195

وتكمن أهمية حفظ الزخم والذي يبدو متشابها مع قانون نيوتن األول لنظام ما إذا اعتبرنا أجزاء النظام المفردة

K K K K K K ii =1

n

1 2 3 ........... n 1.16.8

ع هذه الزخام يكون محفوظا، إذا كان النظام حرا من فيمكن ألي زخم أن يتغير بمفرده مع الزمن؛ إال أن مجمويكون ثابتا مقدارا الحظ أننا نتعامل مع مجموع اتجاهي، ولذلك فالزخم الرئيسي للنظام. رجيةاتأثير أية قوة خ

.واتجاهاولكن مسقطه على أحد إذا كان المتجه الرئيسي للقوى الخارجية المؤثرة على النظام أثناء حركته ال يساوي صفرا،

على المحور المذكور أن مسقط زخم 14.8مثال، يساوي صفرا، فإننا نستنتج من مسقط المعادلة Oxالمحاور، النظام يساوي مقدارا ثابتا

dkdt

Fxx 0

Kx - Kxo = const. 2.16.8

أي أن مركز كتلة النظام يتحرك حركة منتظمة . ون ثابتةوعليه فسرعة مركز كتلة النظام على المحور المذكور تكويمكن االستنتاج من قانون حفظ زخم . باتجاه ذلك المحور، أو يبقى ساكنا إذا كانت السرعة االبتدائية صفرا

ولذلك سنعرض لبعض األمثلة . ، أن القوى الداخلية غير قادرة على تغيير زخم النظام16.8النظام، المعادالت تطبيقية على ثبات الزخم لألنظمةال

تكتسب الرصاصة لحظة إطالقها زخما معينا لدفعها :ظاهرة االرتداد في البندقية عند إطالقها الرصاصة -1 األول في المقدار ومضادا له في وفي الوقت نفسه تكتسب البندقية زخما آخر مساويا للزخم. خارج البندقية

.لحركة العكسية في البندقية، أو ما يعرف بحركة االرتداد للخلفاالتجاه، وهذا يسبب ازخم . يندفع الغاز المحترق بسرعة كبيرة جدا من فوهة المحرك النفاث الخلفية :الحركة النفاثة في الصواريخ -2

م ولهذا تزدادالغازات المندفعة للخلف يقابله زخم مساو له في المقدار ومضاد له باالتجاه يدفع الصاروخ لألما . 3.5.8وهذا ما سندرسه في البند التالي . سرعته

حـل الـمـسـائـل يقوم حل مسائل وتمارين ديناميكا النظام على تحديد القانون أو المعادلة الذي يجب استخدامه للحالة

ت ، يمكن حساب سرجهات وتسارعا6.8 - 3.8فبواسطة المعادالت التي تحكم هندسة الكتل . المعينة، 10.8وإذا أضفنا إلى ذلك قانوني نيوتن الثاني للنظام، معادلة . النظام، بما فيها مركز الكتلة) جسيمات(عناصر

. ، فإن ذلك يمكننا من حل التمارين التي تربط بين اإلزاحة، القوة والسرجهة11.8وحفظ الزخم للنظام، معادلة فتالشي القوة في اتجاه ما، مثال، مع شروط ابتدائية معينة، . باروبالعادة تؤخذ الشروط االبتدائية للحركة بعين االعت

. يمكننا من حساب إزاحة مركز الكتلة أو أحد جسيمات النظاموحفظ 15.8 - 14.8وكما الحال في الباب الخامس، فبواسطة قوانين الزخم للنظام، تغير الزخم، المعادالت

ارين التي تربط بين القوة، زمن الحركة والسرجهتين االبتدائية والنهائية ، تحل المسائل والتم16.8الزخم، معادلة . لمركز الكتلة

196

أسـئـلـة مـحـلـولـة

1.8ؤال م ـسإذا تحرك الشخص األول ببطء . m2و m1، يوجد شخصان كتلتاهما moوكتلتها Lعلى طرفي عربة طويلة نسبيا طولها

x1همال االحتكاك إزاحة العربة وسرعتها بداللة إزاحة الشخص ألول إأوجد ب. ك مهروالنحو الشخص الثاني، الذي عمل ذل .سطح العربة عندما يلتقيان على

الـحــل

، mogتؤثر على النظام المكون من العربة والشخصين أوزانهما m1g وm2g باإلضافة لرد فعل الطريق على العربةN . وحيث

موديا على الحركة األفقية والوحيدة إن كال من هذه القوى تؤثر ع. Fx = 0 لهذا النظام، فإن مركبة القوى األفقية تساوي صفرا،

1.118وعليه فمن قانون حفظ حركة مركز كتلة النظام، المعادلة ، يكون

const.xM C 1

0xCoألن النظام كان ساكنا لحظة بداية الحركة ، و ، فإن هذا يعني

0xM C M xC =const. 2

S

CO

x

y

21

C2

1

x

L

xC

m1g + m2g

mo g

Mg

mogMg

O

O

N

m1g m2g

x2 = L -x1x1D

1رسـم

2رسـم

3رسـم

S

CO

x

y

21

C2

1

x

L

xC

m1g + m2g

mo g

Mg

mogMg

O

O

N

m1g m2g

x2 = L -x1x1D

1رسـم

2رسـم

3رسـم

1.8كل م ـش

المسافة التي يقطعها x2المسافة التي يقطعها الشخص األول، و x1إذا افترضنا أن . أي يبقى بعد مركز كتلة النظام ثابتاتبين أن إزاحة الشخص األول المطلقة ،2م ـرس، كما في Sإزاحة العربة لليمين بالمقدار . لشخص الثاني على سطح العربة

. Oبالنسبة لنفس النقطة S-x2، وتبلغ إزاحة الشخص الثاني المطلقة المقدار S+x1تبلغ Oبالنسبة إلى النقطة الثابتة يكون iولالتجاه 4.8وباستبدال هذه اإلزاحات في المعادلة

(mo + m1 + m2 ) xC = mo S + m1 ( S + x1 ) + m2 ( S - x2 ) 3

، يكون 3م ـرس، Dلكن، عندما يلتقي الشخصان في النقطة x2 = L - x1 4

يبين أن اإلزاحة الكلية للعربة عن الموضع االبتدائي 4و 3حل المعادلتين األخيرتين

S xm m x m L

m m mCo

( )1 2 1 2

1 2 5

Sبينما تتحدد سرعة العربة كمشتقة المسافة

197

2.8ؤال م ـسيقذف رجل واقف على العربة أكياسا من . ثانية/ متر 4.6ك عربة منزلقة على سكة حديد أفقية بسرعة ثابتة، مقدارها تتحر

بعد كم كيس يقذفه الرجل إلى األرض حتى تتعدى . ثانية بالنسبة للعربة/متر 1الرمل كيسا كيسا بسرعة قذف للخلف مقدارها كيلوغرام 2000كيلوغرام وكتلة العربة األولية مع الرجل 40كتلة كيس الرمل . يةثان/متر 5سرعة العربة الحد .

الـحــل

16.8سنحل هذا السؤال باستخدام قانون حفظ الزخم، معادلة iولالتجاه

Ki - Kio = 0 1 ألن محصلة القوى المؤثرة على النظام باالتجاه المذكور تساوي

دد األكياس المقذوفة، وهو يعبر عن ع iإذ يمثل الرمز . صفرا، يساوي i =1زخم النظام في اللحظة االبتدائية، . حالة العربة

voالعربة في السرعة االبتدائية ) النظام(حاصل ضرب كتلة

K1o = M vo 2 بينما زخم النظام بعيد قذف أول كيس رمل فيبلغ

K1 = (M - m) v1 - m v 3

سرعة v1كتلة كيس الرمل، mة اإلجمالية وكتلة العرب Mحيث

M vo

(M -m)v1

(M - 2m)v2

(M - 3m )v3

(M - 4m )v4

mv

mv

mv

mv

1

2

3

4

5 2.8كل م ـش

يكون 1في المعادلة 3و 2وبتعويض العالقات . 2 مـرس، vالعربة بعيد قذف أول كيس رمل بسرعة نسبية للعربة (M - m) v1 - m v - M vo = 0

v1والتي يبين حلها بداللة

v v v1

mM m

MM m o 4

ثانية، نحصل على سرعة / متر v =1كيلوغرام، m =40كيلوغرام، M =2000ثانية، /متر vo =4.6ستبدال القيم وبا العربة بعيد قذف أول كيس رمل منها

v1 = 4.714 [m/s] تكتسب العربة ، فv، يقذف الرجل الكيس الثاني من مؤخرة العربة بسرعة نسبية مقدارها v1بعد انطالق العربة بالسرعة

i = 2، 1قياسا على العالقة) العربة(زخم النظام . 3م ـرس، v2دفعا لألمام يجعلها تنطلق بالسرعة الجديدة K2o = ( M - m ) v1 5

زخم النظام بعيد قذف الكيس الثاني. ( M - m )حيث أصبحت كتلة العربة بعد رمي الكيس األول K2 = ( M - 2 m ) v2 - m v 6

يكون 1في المعادلة 6و 5وبتعويض العالقات. (M - 2 m) ألن كتلة العربة بعد رمي الكيس الثاني( M - 2 m ) v2 - m v - (M - m ) v1 = 0

لنجد أن سرعة العربة

198

v v v2 2 2

mM m

M mM m 1 7

وباستبدال القيم كما وردت أعاله نحصل على السرعة v2 = 4.833 [m/s]

لى نفس المنوال، نحصل على سرعة العربة بعيد قذف الكيس الثالث ثم الرابع وعv3 = 4.957 [m/s] , v4 = 5.087 [m/s]

.ثانية بعيد رمي الكيس الرابع/ متر 5أي أن سرعة العربة تتعدى

3.8ؤال م ـسلى سطح أفقي وأملس عندما بدأ تـأثير عدد كبير جدا من الصناديق المنتظمة والمتالصقة بعضها مع بعض، كانت مستقرة ع

الصناديق على السطح األفقي، ثم بدأت بالسقوط المتتـالي مـن الجهـة فتدافعت. كقوة دفع للصندوق األخير Fالقوة الثابتة . األخرى

على السطح ) الصناديق المتبقية(أوجد سرعة الصندوق األخير، Lساوي طول الصناديق مجتمعة ي. الصناديق 0.9عند سقوط

. Mبينما كتلة جميع الصناديق

الـحــل

الصناديق مجتمعة، فيسقط األول، األبعد Fتدفع القوة الثابتة . عن نقطة تأثير القوة ثم يليه الثاني والثالث وهكذا دواليك

وحيث إن القوة ثابتة والكتلة الكلية للصناديق المتبقية على لصناديق المتبقية السطح تتناقص فإن سرعة وتسارع ا

. سيزدادان بالتأكيد

L

x

F1

2

3

سطح املس

F

F

x

v vv

ML

[L- x -x] ML

[x]

L

xx

F1

2

3

سطح املس

F

F

x

v vv

ML

[L- x -x] ML

[x]

3.8كل م ـش

كتلة الجزء . لليمين Fمن تأثير قوة الدفع ةسقط من فوق السطح بسبب الحركة الناتج xنفترض أن عددا من الصناديق بطول ، وبالتالي يكافئ زخمه العالقة v، ويتحرك بسرعةM ( L - x ) / L المتبقي على السطح األفقي

K ML

L xo ( )v 1

، فإن v، حيث كانت سرعته األفقية قبل السقوط xوإذا تخيلنا، من جديد ، سقوط عدد آخر صغير جدا من الصناديق طوله . 3 مـرس، ( v + v )، أي تصبح vستزداد بالمقدار ( L - x - x )سرعة الجزء المتبقي الذي طوله على السطح األفقي

، ( v + v )الذي أصبحت سرعته M(L-x-x)/Lام في الحالة الثانية من كتلة الجزء المتبقي على السطح تتكون كتلة النظ وبالتالي فزخم النظام في الحالة الثانية. vحيث كانت سرعته M ( x ) / Lوكتلة الجزء الصغير جدا الذي سقط

)+) vv+v ()x(LM()xxL(

LMK 1 2

يكون iولالتجاه 1و 0بين الوضعين t ةللفترة المحدود 15.8ة وباستخدام قانون تغير الزخم، معادل

199

K1 -Ko = Ft t 3 3في المعادلة 2و 1وبتعويض العالقات . i ،Ft = Fباالتجاه ) الصناديق (محصلة القوى المؤثرة على النظام Ftحيث أن

نحصل على المعادلة التالية tF)xL()x(()xxL(L

M =vv)vv

دالة القوة على tمن الناتج نحصل بعد قسمة الطرفين على x v 0وباختصار

F ML

L xt

( )v 4

أو كصيغة نهاية

F ML

L xdd t

( )v 5

dوإذا استبدلنا dt

ddx

v v v ، فإننا نحصل بعد ترتيبها على 5، في المعادلة

vvdxL

dxMFL

6

التكامل أو بعد إجراء

Cln)xL(lnMFL

22v 7

، ولنجد أن سرعة الصناديق المتبقية x = 0عندما كانت vo=0ثابت نجد قيمته من الشروط االبتدائية Cحيث أن

v

2FLM

LL x

ln 8

، وبالتالي فالسرعة عندئذ x = 9 L / 10الصناديق يعني أن 0.9سقوط

102 lnMFL

v 9

4.8ؤال م ـس Oyzكيلوغرام في المستوى العمودي 25انطلقت قذيفة مدفع، كتلتها

بالسرجهة vo =192 j + 256 k [m/s]

انفجرت عند أقصى ارتفاع وصلته إلى ثالث شظايا القذيفةإذا علمنا أن A ،B وD كيلوغرام على 7.5كيلوغرام و 11كيلوغرام، 6.5، كتلها

ارتفعت Aالشظية : لشظايا بالشكل التاليوكانت حركة ا. الترتيبانطلقت أفقيا من موقع Bمترا، والشظية 490عموديا لألعلى المسافة

متارحداثياته على سطح األرض باألإاالنفجار لترتطم في موقع N(-6960, 8260, 0) . أوجد سرجهة الشظية الثالثةD بعيد

. االنفجارy

x

z

O

N

vB vA

C

P

vo vD

8260 [m]

6960 [m]P’

A B

D

h

4.8كل م ـش

200

الـحـل الت حركة المقذوفات نحدد أقصى ارتفاع تصله القذيفة بعد إطالقها من معاد

9.82256

2ghPP'22

zo

v PP’ = 3340 [m] 1

أما الزمن الذي تستغرقه القذيفة لوصولها إلى هذا االرتفاع

9.8256

gt zo v

t =26.12 [s] 2

P’Nو P’Cوتبعأ لذلك، نحدد البعدين

OP’ = vox t = 192 26.12 OP’ = 5015 [m]

P’C = OC - OP’ = 8260 - 5015 P’C = 3245 [m]

P N P C CN m' ' [ ] 2 2 2 23245 6960 7680

، أي أنPP’ = h لألرض هو الزمن الذي تستغرقه القذيفة لوصولها إلى االرتفاع األقصى Bزمن وصول الشظية t = 26.12 [s] .ذا األساس وعلى ه

vB = P’N / t = 7680 / 26.12 = 294 [m/s]

vB = - 266.43 i + 124.22 j [m/s] 3 لحظة االنفجار Aسرعة الشظية

v A Ag h m s 2 2 9 8 490 98. [ / ]

vA = 98 [m/s] k 4 ، حيث ال تؤثر أية قوة خارجية على 16.8الزخم للنظام، معادلة نستخدم قانون حفظ Dوحتى نحدد سرجهة الشظية الثالثة

النظام، إذ تعتبر قوة االنفجار قوة داخلية K = M vC = const. 5

، فإن سرجهتها، jوألن القذيفة لحظة انفجارها كانت تتحرك أفقيا وباالتجاه . سرجهة القذيفة قبيل انشطارها vCحيث vC = 192 [m/s] j

M vC = mA vA + mB vB + mDvD

25 192 j = 6.5 98 k + 11 ( - 266.43 i + 124.22 j ) + 7.5 vD 6 vDنحصل على مركبات السرجهة 6وبحل المعادلة

vD = 390.076 i + 457.81 j - 84.93 k [m/s] 7

بينما مقدار السرعة

vD 390 76 457 81 84 932 2 2. . . = 607.86 [m / s] 8

201

5.8ؤال م ـسما السرعة المشتركة . u، يتحرك عليها حامل متحرك بسرعة نسبية مقدارها voبينما تنزلق عربة بالقصور أفقيا بالسرجهة

v للعربة والحامل بعد توقف الحامل المفرمل؟ إذا كانت كتلة العربةmo وكتلة الحاملm في الحالتين التاليتين : . عربة والحامل بنفس االتجاهحركتا ال -1 . حركتا العربة والحامل متضادتان -2

الـحـل

عندئذ يكون زخم النظام المكون من العربة والحامل في اللحظة االبتدائية . حركتا العربة والحامل بنفس االتجاه -1Ko = { mo vo + m ( vo+u )} i 1

)يصبح الحامل لحظتها جزء من العربة ويتحرك بنفس سرجتها(ة بينما زخم النظام لحظة توقف الحامل على سطح العربK = { (m + m o ) v } i 2

16.8فإن قانون حفظ الزخم، معادلة ) تعتبر قوة االحتكاك قوة داخلية (، iوحيث ال تؤثر أية قوة باتجاه الحركة

Ko = K {mo vo +m (vo + u )} i = { (m + m o ) v } i 3

أو

mo vo + m (vo + u ) = ( + m o ) v 4 v بداللة 4وحل المعادلة

v v o

o

mm m

u 5

على نفس الغرار . والحامل متضادتان ةحركتا العرب - 2 5-1نكتب المعادالت

uvo

uvo

1رســم

2رســم

uvo

uvo

1رســم

2رســم

5.8كل م ـشKo = [mo vo + m (vo - u )] i & K = [ (m + m o )v ] i 6 Ko = K [mo vo + m (vo - u )] i = [ (m + m o ) v ] i 7

أو

mo vo + m ( vo - u ) = ( m + mo ) v 8

v بداللة 8وحل المعادلة

v v o

o

mm m

u 9

202

ديناميكا األجسام المتغيرة الكتلة 3.5.8

، حركة الصاروخ فاضلية لحركة الجسم متغير الكتلةالمعادلة الت 1.3.5.8

إال أن تكوين جسيمات بعض األنظمة . ت الكتلة حتى اآلن كمية قياسية ثابتة ال تتغير بمرور الزمنلقد اعتبرواألجسام قد يطرأ عليها تغيير بتغير الزمن، كأن ينفصل عنها أو يتحد بها أثناء حركتها جسيمات تنقص أو تزيد

ومن األمثلة العملية على األجسام المتغيرة . غيرا زمنيامن كتلتها اإلجمالية، وتؤول الكتلة تبعا لذلك، مقدارا متالكتلة الصواريخ الفضائية، وعربات المناجم التي تتغير كتلها تدريجيا وبشكل متصل، نتيجة استهالك الوقود أو

.زيادة األحمال وغيره

مع المسافات التي يقطعها هذا إذا أمكن أثناء الحركة إهمال أبعاد الجسم المتحرك ذي الكتلة المتغيرة بالمقارنة الجسم، عنـدئـذ؛ يمكن دراسة حركته كجسم متغير الكتلة ، تتحدد قيمة كتلته رياضيا بالعالقة

m = m ( t ) 17.8

ولتسهيل عملية اشتقاق المعادلة التفاضلية لحركة . ، متصلة زمنيا وقابلة للتفاضل أيضا17.8هذه الدالة، المعادلة األولى أن : تغير الكتلة واستيعاب التحليل المرافق لهذه العملية يضاف فرضيتان تؤخذان بعين االعتبارالجسم الم

، والثانية أن حركة النظام أو الجسم متغير الكتلة تتم في خط مستقيم، .g = const تسارع الجاذبية األرضية ثابت . سم منطبقة على مسارهالقوى الخارجية المؤثرة على هذا النظام أو الج) محصلة (و

5%ولتناسب التسارع األرضي عكسيا مع مربع البعد عن مركز األرض تصبح الفرضية األولى دقيقة في حدود والفرضيـة الثانية تلغي التأثيرات الداخلية على . 2كيلو مترا فوق سطح األرض 160لالرتفاعات األقل من

هذه المعادلة . اضلية التي تعرف حركة الجسم متغير الكتلة بسهولة ويسرالنظام، لكنها تسمح بإيجاد المعادلة التف .تعتمد بشكل رئيسي على التغيير الذي يحدث في الكتلة المتحركة للنظام

جدا من الجسم األساسي المتحرك، تتولد بين الجسم المتحرك واألجزاء ) جسيمات(عند انفصال أجزاء صغيرةالجسم المتحرك والجزء (وال يشكل أي من هذين الجزأين . ل أوليتان، يكون لهما تأثير متبادلالمنفصلة قوتا رد فع

فالجسم األساسي يدفع الجزء المنفصل إلى . نظاما معزوال، ألن كل واحد منهما يتفاعل مع الجزء اآلخر) المنفصلوتعتبر القوتان . معاكسة بقوة مساويـة ومضادةجهة ما، بينما يدفع الجزء المنفصل الجسم المتحرك إلى الجهة الوإذا اعتبرنا الجسم األساسي والجسيم المنفصل . اللتان تمثالن الفعل ورد الفعل قوتين داخليتين عند دراسة النظام

.الكتلة الثابتةعنه فئة واحدة تشكل نظـاما واحدا، عندئذ يمكن استخـدام قوانين ديناميكا األجسام واألنظمة ذات __________________________________

اعتمدنا في ذلك على الصيغة الرياضية التي تبين مقدار تسارع الجاذبية بداللة االرتفاع 2

gh = g - [ 0.30855 + 2.210-4 cos 2 - 7.2 10-5 h ]10-2 h

زاوية خط العرض، أنظر هامش ، و 2ثانية/ متر قيمة التسارع على األرض بال gاالرتفاع بالكيلومترات و hحيث .75الصفحة

203

، وتتحرك بسرجهـةm(t) كانت toوإلعطاء هذه األفكار صيغة رياضية، نعتبر كتلة الجسم المتحرك عند اللحظة مطـلقـةv وأن جسيما أوليا كتلته ،dm(t)التأم في تلك اللحظة مع الجسم األساسي وكانت سرجهته المطـلقـة ،

u ،زخم النظام عند اللحظة . 3.8كل ـشto Ko = m(t) v + dm(t) u 1.18.8

، بينما تتغير m(t) + dm(t)، لتصبح dm(t)، تتغير كتلة الجسم األساسي بالمقدارdtوبمرور الفترة الزمنية سم األساسي والجسيم ولذلك فزخم النظام المكون من الجزأين، الج. v + dvلتصبح dvسرجهته بالكمية المتجهة ، يصبحt ،t = to + dtالملتئم ، عند نهاية اللحظة

dm m(t) m(t) + dm

u v v +dv

T1 T2

to t = to + dt

y

3.8كل ـش

K = [ m(t) + dm(t)] [v + dv ] 2.18.8 يساوي الفرق بين الزخمين عندهما toو tبين الزمنيين dKتغير زخم النظام

dK = K - Ko =[m(t) + dm(t) ][ v + dv ] - [ m(t) v + dm(t) u ] 19.8

وبعد إلغاء األجزاء الصغيرة وإعادة ترتيب الباقي يصبح تغير الزخم dK = m(t) dv - dm(t) [u -v ]

، فهو المشتقةtoأما معدل تغير الزخم عند الزمن ddt

= m(t) ddt

dm(t)dt

K uv v [ ]

d، 14.8المعادلة حسب F فالطرف األيسر هو القوةdtK F .ير الجديد وإذا عرفنا المتغvr مثل السرجهةالذي ي ،

فإن المعادلة السابقة تؤول إلى أي من المعادلتين ، vr = [u -v] الجسيمات بالجسم األساسي) انفصال(النسبية اللتئام التاليتين

m(t) ddt

dm(t)dtr

v v F & m(t) ddtv F T 20.8

، تدعى غالبا في الهندسة 20.8هذه المعادالت . لحركة الجسم المتغير الكتلة إذ تمثل كلتاهما المعادلة التفاضلية ،2.3، وهي تشبه إلى حد بعيد معادلة حـركـة الجسم ذي الكتلة الثابتة، معادلة 3ميتشيرسكي بمعادلةالفضائية

______________________________________

ديناميكا"نشر دراسته، أطروحة الدكتوراه . عالم ميكانيكا روسي I. Meshchersky، 1935-1859ميشيرسكي إيفان 3 .20.8وفيها أورد المعادلة 1897-1904، بين عامي " األجسام متغيرة الكتلة

204

Tوقوة رد الفعل Fوالمتأثر بمحصلة القوتين الخارجية v rdmdt

، ناتجة من التئام أو Tإن قوة رد الفعل .

ويساوي معدل . جسيمات بالجسم األساسي، وتعرف كحاصل ضرب السرجهة النسبية ومعدل تغير الكتـلةانفصال تغير الكتلة عدديا كتلة الوقود المستهلكة أو المستنفدة في وحدة الزمن، وهو كمية موجبة عند التئام الجسـيمات

dmبالجسـم األساسيdt

dmمية سالبة عند انفصالها عن الجسم األساسي ، في حين أنه ك 0<dt

<0 .

وعلى العموم، إذا كانت السرجهة النسبية مضادة للقوة في االتجاه، والكتلة الكلية متناقصة، فإن قوة رد الفعل لى النقيض من ذلك، إذا وع. ضافية، تدفع الجسم المتحرك لألمامإالناتجة من اندفاع الوقود للخلف هي قوة دفع

كانت السرجهة النسبية متسامتة أو موازية للقوة، والكتلة الكلية متناقصة، فإن قوة رد الفعل الناتجة من اندفاع وبالعادة ، تدعى القوتان المذكورتان أعاله في هندسة الطيران بالقوة . الوقود هي قوة كبح تعيق الجسم المتحرك

. ، إذا كانت قوة دفع لألمام، وبالقوة الكابحة إذا كانت تعيق الصاروخThrustالدفع -النفاثة

من جهة أخرى، إذا كانت السرجهة النسبية اللتئام أو انفصال الجسيمات عن الجسم األساسي تساوي صفرا vr = 0 كانت السرجهة وإذا. 10.8تؤول إلى معادلة حركة مركز كتـلـة النظام، معادلة 20.8، فإن المعادالت

تصبح 20.8، فإن المعادالت نفسها u = 0المطلقة اللتئام أو انفصال الجسيمات عن الجسم األساسي تساوي صفرا بعد ترتيبها واختصارها

m ddt

dmdt

v v F ddt

(m )vF

، نستخدم Tكن من حساب مقدار القوة اإلضافية وحتى نتم. 14.8والتي تكافئ قانون تغير زخم النظام، معادلة j، ولالتجاه 3.8كل ـش، dmقانون تغير الزخم الخطي بصيغة الدفع الذي زودت به الكتلة

- T1 dt = dm [ v + dv - u ] إلى dtتؤول المعادلة السابقة بعد قسمتها على dm dv 0وألن

T u u1 dm(t)

dtdm(t)

dt[ ] [ ]v v

أوT1 v r

dm(t)dt

T1 v rdm(t)

dtj 1.21.8

فتؤثر لليمين T1المساوية للقوة T2أما القوة

T2 v rdm(t)

dt , T2 v r

dm(t)dt

j 2.21.8

ثرة على موجبة، أي قوة إضافية تضاف إلى محصلة القوى المؤ T2ومن المهم دراسة الحالة التي تكون فيها وهي الحالة التي تكون فيها إشارة كل من السرعة النسبية ومعدل تغير الكتلة واحدة ؛ أي إما . الجسم المتحرك

.موجبتين وإما سالبتين في نفس الوقت

205

4معادلة تسيلكوفسكي 2.3.5.8. كذا ما فعله ه معادلة ميتشيرسكي،كيف يمكن إيجاد معادلة حركة الصاروخ المنطلق في الفضاء باستخدام

. تسيلكوفسكي

mgقوة وزنه : اعتبر الصاروخ المنطلق في الفضاء ضمن مجال الجاذبية األرضية تحت تأثير القوتين المميزتينكل ـشنسبة إلى القوى األخرى، قوة عديمة التأثير Fdإذا اعتبرنا . مع الوسط الذي يمر به Fdوقوة احتكاك الهواء

تكتب بالشكل التالي 20.8، فإن المعادلة 4.8m d

dtdmdtr

v v + mg 22.8

كتلة mo، حيث إن mo + mfmax، ومقدارها عند بداية حركته m(t)يتحرك الصاروخ، الذي كتلته متغيرة زمنيا ة وإذا أضـفنـا فرضية جديد. كتلة الحمولة القصوى من الوقود mfmaxجرم أو هيكل الصاروخ بدون أي وقود، و

- mfmax ، مضافا إليها كتلة الوقود المتبقيةmoوهي أن كتلة الصاروخ المتغيرة تساوي كتلة جرمه فارغا

mf(t) حيث إن ،mf(t) كتلة الوقود المستهلكـة حتى اللحظة المعينة m(t) = mo + m fmax - m f (t) 23.8

dm(t)وبداللة المشتقة األولى لطرفي هذه المعادلة dt

dm (t)dt

f وأخذ مسقط السرجهة النسبية على المحور ،y

vr = -vr j وحلها بداللة 22.8وتعويض ذلك في المعادلةdv يكون

ddm (t)

mrfv v - g dt 24.8

، وهي معادلة أساسية في هندسة الفضاء معادلة التفاضلية لحركة الصاروخال التي تمثلللصواريخ والمركبات الفضائية البعيدة جدا عن جميع كما تكون صحيحة. والصواريخ

بدون عنصر الجاذبية األرضية 24.8مراكز الجاذبية، عندها يمكن التعامل مع المعادلة g . إن حل المعادلة المذكورة يتم بإجراء التكامل المحدود لطرفيها ففي اللحظة االبتدائية

t0 = 0 تكون سرعة الصاروخ االبتدائية ،voكتلة الوقود المستنفدة صفرا ، وmf(t) = 0 .. mf (t)، وتؤول كتلة الوقود المستنفدة إلى v، تصبح سرعـة الصاروخ tوفي اللحظة

وللشروط السابقة نحصل على 24.8وعلى هذا األساس بإجراء التكامل لطرفي المعادلة

y

x

vr 4.8كل ـش

d gdtt

v vv

v

o

rf

o fmax f0

m (t)dm (t)

m m m (t)

f

0

_________________________________________________

اكتشاف الفضاء باالالت "نشر البحث . عالم ومخترع روسي K.Tsiolkovsky ،1935 -1857تسيلكوفسكي .ك 4، وفيه 1903في عدد أيار لعام التعليقات العلمية - نـاؤوتـشينـه أوبـوزورينيـهفي المجلة العلمية الروسية " النفاثة

.26.8وردت المعادلة المشهورة، معادلة

206

v = vo - g t - vr ln m m m (t) ]o fmax fm (t)f[ 0

أوv = vo - g t - vr ln

m m m (t)m m

o fmax f

o fmax

25.8

ومن األهمية بمكان، معرفة السرعة القصوى التي يـصلها الصاروخ . التي تعرف سرعة الصاروخ كدالة زمنية إلى الشكل األكثر اقتضابا 25.8دئـذ تؤول المعادلة ، عنmf(t) = mfmaxعند استنفاده كل الوقود المحمول؛

v = vo - gt + vr ln(1+m

m)fmax

o 26.8

سرعـة االنطالق االبتدائية -1، أن سرعة الصاروخ القصوى تعتمد على 26.8يتضح لنا من المعادلة األخيرة vo لصاروخ السرعـة النسبية الندفاع منتجات الوقود من فوهة محرك ا -2وvrالنسبـة - 3، أو سرعة العادم و

mبين كتلة الوقود القصوى وكتلة جرم الصاروخmfmax

oبعدد والمسمى عادة ) االحتياطي النسبي للوقود(

إن نظرة متفحصة لهذه المعادلة تثبت . بمعادلة تسيلكوفسكي 26.8كما تدعى المعادلة نفسها . NT تسيلكوفسكيسرعة الصاروخ القصوى في نهاية فترة احتراق الوقود، ال تعتمد على نظام عمل المحرك النفاث، وال كذلك أن

mعلى زمن احتراق الوقود داخل حجرات المحرك، بل على االحتياطي النسبيmfmax

oكل من وهنا تكمن قيمة.

رق المحتملة للحصول على السرعات الكبيرة ، في أنهما يبينان الطمعادلة تسيلكوفسكيو NT عدد تسيلكوفسكي .الالزمة للطيران في الفضاء

والالزمة على األقل للدوران حول األرض في مدار ، v =vcالفضائية األولىلتوصيل مركبة فضائية إلى السرعة وولعدم . vrبية والسرعة النس NT عدد تسيلكوفسكيوزيادة بتدائية االنطالق االسرعة دائري يستلزم نظريا زيادة

أما التحكم في . كما ويلغى المتغير الثالث لمحدوديته. voمواءمته لإلنسان المنطلق في الفضاء يلغى المتغير األول لهذا استعيض عن هذا ). 40أكبر من ( NT>40المتغير الثاني فيظهر أنه يجب أن يزيد عن أربعين ضعفا؛ أي

لحظة استهالكه الوقود الذي تحمله ) أجزاءه(الذي تنفصل مراحله الصاروخ الضخم بالصاروخ المتعدد المراحللقد ساعد هذا النوع من الصواريخ المتعددة المراحل الفضائيين على إطالق األقمار الصناعية . المرحلة بكامله

. والمركبات الفضائية حول األرض وإلى الفضاء

كما تعتمد السرعة النسبية . لة ليس من السهولة التحكم بهالصعوبات تقنية وهائ voوتخضع زيادة السرعة االبتدائية وهذه السرعة . الندفاع منتجات الوقود من الصاروخ على الصفات الكيماوية للوقود وتصميم الصاروخ نفسه

لهذا فإن أفضل الطرق للحصول على السرعات العالية للصواريخ . النسبية محدودة، ولن تزيد عن مقدار معينأي بزيادة الوقود المحمول على الصاروخ مع . NT تسيلكوفسكي ددعبفي الفضاء يكمن في التحكم المنطلقة

أيضا كما يظهر، يخضع لصعوبات تقنية خاصة بصناعة الصاروخ وهذا .فارغا) وزنه(تخفيض جرم الصاروخ . نفسه

207

، بسرعة ابتدائية لالنطالق من على vc = 8 [km/s]وإذا أردنا أن نصل بالصاروخ إلى السرعة الفضائية األولى . vr = 2.4 [km/s] ، وسرعة نسبية الندفاع منتجات الوقود من فوهة المحركvo = 0سطح األرض مساوية للصفر

للتغلب على قوة الجاذبية األرضية ومقاومة الوسط لحظة بـدايـة الحركة من % 15 - 10وإذا أضفنا ما بين وتـعويـض بدل هذه القيمة في المعادلة . vc = 9 [km/s]صبح السرعة عند التصميم ت عندئذ على سطح األرض،

26.8 9 [ km/s ] = 2.4 [ km/s ] ln(1+

mm

)fmax

o

عدد تسيلكوفسكي أو بداللةNT =

mmfmax

o = 41.5

لصاروخ عن أربعين ضعفا على أي يجب أن تزيد النسبة بين كتلة الوقود المحمول القصوى إلى كتلة جرم الهذا استعيض عن هذا الصاروخ الضخم، ذو الوقود السائل، المنطـلق . األقل، بما يتبع ذلك صعوبات تقنية إضافية

بالصاروخ المتعدد الـمراحـل 40أكبر من تسيلكوفسكي عدد، وvr = 2-2.5 [km/s]بسرعة نفث خلفية مقدارها Multistage Rocketهذا . كاملاللحظة استهالكه الوقود الذي تحمله المرحلة ب) أجزاؤه(ي تنفصل مراحله ، الذ

تكتسب فيه المرحلة األخيرة سرعة عدد تسيلكوفسكي،يعني عمليا تناقص كتلة الصاروخ، وتبعا لذلك زيادة ر الصناعية والمركبات على إطالق األقما ينيلقد ساعد هذا النوع من الصورايخ المتعددة المراحل الفضائ. إضافية

.الفضائية حول األرض وإلى الفضاء - 25.8من المعادلتين gوفي حالة الحركة البعيدة جدا عن جميع مراكز الجاذبية، فإننا نستطيع إلغاء العنصر

م وتسري المعادلتين نفسيهما بدون عنصر الجاذبية بصورة تقريبية للحاالت التي يكون فيها التغير في الزخ. 26.8 . الناتج عن العادم أكبر بكثير من التغير في الزخم الناتج عن الجاذبية في نفس الفترة الزمنية

حـل الـمسـائـل، وحساب قوة 20.8يقوم حل المسائل والتمارين على إيجاد وتعريف معادلة حركة النظام المتغير الكتلة، معادالت

، ثم حساب السرعة القصوى لحظة اكتمال عملية 21.8د، معادالت الدفع الناتجة من نفث الغازات واحتراق الوقو . 26.8االحتراق من معادلة تسيلكوفسكي

أسـئـلـة مـحـلـولـة

6.8ســؤال م نسبة كتلته فارغا . ، ينطلق رأسيا لألعلى من حالة السكون من سطح األرض moصاروخ ذو مرحلـة واحدة كتلته فارغا

mلقصوىإلى كتلة وقوده اm

o

fmax

15

أوجد . Tإذا استغرق احتراق الوقود الكلي . vrتدفق النفث من الصاروخ ة، وسرجه

وأوجد كذلك قيم الخصائص الكينماتيكية . بإهمال تأثير مقاومة الهواء على الصاروخ تسارعه وسرعته وارتفاعه كدوال زمنية .mo = 600 [kg] ،T = 100 [s] ،vr = 1600 [m/s]السابقة، إذا كانت

208

الـحــل

يكون ، F = mgحيث oyعلى المحور 20.8ميتشيرسكي بإسقاط معادلة : تسارع الصاروخ -أ

m( t ) ddt

m( t ) g dm(t)dt

v v r 1

23.8متغيرة، معادلة m(t)كتلة الصاروخ m ( t ) = mo + mfmax - mf ( t )

إن ف mfmax = 5moوألن m ( t ) = 6mo - mf ( t ) 2

معدل استهالك الوقود

T mTf

odm (t)dt

dm (t)dt

f f max5m

3

2وبمفاضلة المعادلة dm(t)

dtdm (t)

dtf dm(t)

dt

5mo

T 4

يعطي 3وربطها بالمعادلة m ( t ) = 6mo - 5 mo t / T 5

وحل الناتج 1في المعادلة الرئيسية 5تلة المتغيرة ولك 4وباستبدال المتغيرين، معدل استهالك الوقود أن moبداللة التسارع، ينتج بعد اختصار

vr

x

y

6.8ل م ـكـش

aT t

r

g +v

12. 6

باإلضافة إلى vrوسرعة تدفق النفث النسبية من الصاروخ gتمثل معادلة تسارع الصاروخ كدالة تسارع الجاذبية األرضية معروفة كثوابت لهذه الحالة الخاصة تمثل المعادلة Tو g ،vrوحيث إن المتغيرات . tوالزمن Tد الكلي زمن احتراق الوقو

.tدالة للمتغير المميز 6

سرعة الصاروخ -ب

ينتج dt، وضرب طرفيها في a = dv /dtفباستبدال . 6تتحدد سرعة الصاروخ النهائية من المعادلة

dT t

dtrvv

g dt +12.

7

vلتصل vo = 0، تتغير السرعة من tو to = 0االبتدائية : إجراء التكامل لطرفي هذه المعادلة بين اللحظتين وبعد

v v

g t + rT

T tln

..12

12 8

باإلضافة إلى زمن احتراق الوقود vrوسرعة تدفق النفث من الصاروخ gأو كدالة سرعة بداللة تسارع الجاذبية األرضية .tوالزمن Tالكلي

ارتفاع الصاروخ -ج

vحيث إن 8من المعادلة yيتحدد ارتفاع الصاروخ dydt

209

dy dtT

T tdtr

g t + v ln

..12

12 9

Bوإذا افترضنا، لتسهيل عملية إجراء التكامل الفرضية 5

6T ، فإن

y g t2

+B

(1 B t ) { ln (1 Bt) 1}2

r0t

v

y g +6

5

t T t

TtT

r2

21 5

61 5

61 1

v( ){ln( ) } 10

، نحدد قيم التسارع والسرعة واالرتفاع فتتحدد من المعادالت mo = 600 [kg]،T = 100 [s] ،vr =1600 [m/s]وللقيم تسارع الصاروخ. بالترتيب 10و 8، 6

a 9 8 1600100

. +120 -

= 70.2 [ m/s2] a = 7.16 g j 11

سرعة الصاروخ

v 9 - 1600. ln{ }8 100 1 5600

t vmax = 1.89 [km/s] j 12

ارتفاع الصاروخ

y + 6 1005

9 8 1002

1600 1 5 1006 100

1 5 1006 100

1 12

. ( ){ln( ) }

y = 53.7 [km] j 13

7.8ؤال م ـسيتكون هيكل الصاروخ من . للسماء من سطح األرض بدون سرعة ابتدائية Sounding Rocketالسبرينطلق صاروخ

؛ Cكيلوغرام، والمرحلة 30كيلوغرام، وكتلة خزانها 240؛ كتلة وقودها Bكيلوغرام، والمرحلتين 30، كتلته Aالرأس ثانية بين انتهاء المرحلة األولى وبداية المرحلة 16إذا مرت . كيلوغرام 40كيلوغرام، بينما كتلة خزانها 360كتلة وقودها

. ثابتة خالل الرحلة gالصاروخ؟ أهمل مقاومة الهواء في طبقات الجو العليا واعتبر ) رأس(الثانية، فما أقصى ارتفاع يصله .ثانية/كيلوغرام 12ومعدل استهالك الوقود vr1 = 2 [km/s]سرعة العادم النسبية : لمرحلة األولىا .ثانية/كيلوغرام 8ومعدل استهالك الوقود vr2 = 0.8 [km/s]سرعة العادم النسبية : المرحلة الثانية

الـحــلقاطعا وتحت تأثير دفع العادم يصل إلى النقطة. vo = 0بتدائية، انطلق صاروخ السبر من سطح األرض بدون سرعـة ي

مكتسبا بذلك ’1ثانية، بدون تأثير العادم، حتى يصل للنقطة 16لمدة v1من هناك، ينطلق بالسرجهة . h1رتفاع بذلك االيصل إلى ىحت v’1ينطلق الصاروخ وللمرة الثانية تحت تأثير دفع العادم بالسرجهة الجديدة ’1ومن النقطة . h’1رتفاع اال

، فيصل أقصى v2، بالسرجهة 2وأخيرا، ينطلق الصاروخ في الفضاء من النقطة . h2رتفاع ، مكتسبا بذلك اال2النقطة الزمن الذي تستغرقه المرحلة األولى . ومن الطبيعي أن قوة الجاذبية تعيق الحركة في جميع الحاالت السابقة. Hارتفاع له

210

tm

dm tdt

sf1

1

1

36012

30 max

( )[ ] 1

23.8، معادلة ةلة الصاروخ المتغيركتm1 (t) = m1o + m 1f max - m1f(t) m1o = 30 + 30 + 240 + 40 = 340 [kg] 2 m 1f max = 360 [kg] 3

بينما سرجهة نفث العادم للخلف للمرحلة األولىvr1 = - vr1 j = -2000 j 4

ينتج أن سرعة الصاروخ في نهاية 26.8في المعادلة الرئيسية 4 - 1عالقاتوباقي القيم من ال g = 9.8 [m/s2]وباستبدال voالمرحلة األولى تبلغ بعد إلغاء الحد

vfأقصى ارتفاع يــصــلــه الـصـاروخ = 0

y

B

A

Cالمرحلة األولى

االنتقالیة المرحلة

المرحلة الثانیة

h 1h’

1h 2

h

H2

H

v2

vo

v1

v’1

1

1’

2

g

vr1

a

a

a

g

vr2

g

a

g

30 [kg]

240 [kg]

40 [kg]

360 [kg]

الرأس 30 [kg]

H1

خزان

وقود

خزان

وقود

vfأقصى ارتفاع يــصــلــه الـصـاروخ = 0

y

B

A

Cالمرحلة األولى

االنتقالیة المرحلة

المرحلة الثانیة

h 1h’

1h 2

h

H2

H

v2

vo

v1

v’1

1

1’

2

g

vr1

a

a

a

g

vr2

g

a

g

30 [kg]

240 [kg]

40 [kg]

360 [kg]

40 [kg]

360 [kg]

الرأس 30 [kg]

H1

خزان

وقود

خزان

وقود

7.8كل م ـش

v1 = - g t1 + vr1 ln(1+m

m)fmax

o = - 9.8 30 + 2000 ln(1+ 360

340)

v1 = 1150 [ m/s ] , v1 = 1.15 [ km/s ] j 5

سرعة الصاروخ في نهاية المرحلة االنتقالية

v’1 = v1 - g t’1 = 1150 - 9.8 16

v’1 = 993.2 [m/s] 6

ولحساب السرعة القصوى التي يصلها الصاروخ لحظة نهاية المرحلة الثانية، نحدد معادلة تغير الكتلة في المرحلة الثانية m2 (t) = m2o + m2f max - m2f (t)

211

m2o = = 30 + 30 + 240 = 300 [kg] 7 m2f max = 240 [kg] 8

الزمن الذي تستغرقه المرحلة الثانية

tm

dm tdt

sf2

2

2

2408

30 max

( )[ ] 9

9 -6 سرعة الصاروخ في نهاية المرحلة الثانية، معادالت

v2 = v’1 - g t2 + vr2 ln(1+m

m)2f max

o = 993.2 - 9.8 30 + 800 ln(1+ 240

60)

v2 = 1987 [ m/s ] , v2 = 1.987 [ km/s ] j 10

رتفاع الذي يصله الصاروخ عند نهاية المرحلة األولى نكتب كتلة الصاروخ كدالة زمنية وإليجاد االm1 ( t ) = m1o + m1f max - m1f ( t )

m1 ( t ) = ( 30 + 30 + 240 + 40 ) + 360 - 12 t

m1 ( t ) = 700 - 12 t & m1o + m1fmax = 700 11

، ينتج السرعة كدالة زمنية 11 من معادلة بقيمهما 25.8 المعادلة الواردة في m1(t)و m1o + m2f maxوباستبدال

v1 = - g t1 - vr1 ln700 12

700 t v1 = - g t1 - vr1 ln ( 1 - B1 t ) 12

الذي يصله الصاروخ حتى نهاية المرحلة األولى يحدد h1االرتفاع . B1 = 12 / 700 = 0.01714ثابت، B1حيث 12كتكامل معادلة السرعة الزمنية، معادلة

h dtt

10

1

v1 = g dtB

B t dtt

rt

t -0

1

11

0

1 1

1v

ln ( )

ht

BB t B tr

112

1

11 1 1 19 8

21 1 1 1 . ln ( ) )

v 13

حتراق الوقود في المرحلة األولىاثانية، فترة t1 =30و B1،vr1 ،gل القيم الواردة أعاله وباستبدا

h129 8

230 2000

0 017141 0 01714 30 1 0 01714 30 1 1

..

. ln( . )

h1 = 14.7 [km] 14 أقصى ارتفاع يقطعه الصاروخ من سطح األرض إلى بداية اشتعال المرحلة الثانية

H1 = h1 + h’1 = h1 + v1 t’1 - g( t’1 )2 / 2

= 14700 + 1150 16 - 9.8 162 / 2

H1 = 31.85 [km] 15

رتفاع الذي يصله الصاروخ عند نهاية المرحلة الثانية نكتب كتلة الصاروخ كدالة زمنية وإليجاد اال

212

m2 ( t ) = m1o + m1fmax - m1f ( t )

m2 ( t ) = ( 30 + 30 ) + 240 - 8 t

m2 ( t ) = 300 - 8 t & m2 o + m2 fmax = 300 16

، ينتج السرعة كدالة زمن15 من معادلة بقيمهما 25.8 المعادلة الواردة في m2(t)و m2o + m2f maxوباستبدال

v2 = v’1 - g t2 - vr1 ln300 - 8 t

300 = v’1 - 9.8 t2 - vr2 ln ( 1 - B2 t ) 17

الذي يصله الصاروخ حتى نهاية المرحلة الثانية يحدد كتكامل h2االرتفاع . B2 = 8 / 300 = 0.02667ثابت، B2حيث 17معادلة السرعة الزمنية، معادلة

h dtt

20

2

v 2 =

993 2 8 800300 8

0 0 0

2 2 2

. . lnt t t

dt dtt

dt

9 t + 300 18

لمرحلة األولىحتراق الوقود في ااثانية، فترة t2 =30و B2،vr2 ،gوباستبدال القيم الواردة أعاله

h22993 2 30 9 8

230 800

0 026671 0 02667 30 1 0 02667 30 1 1 . .

.. ln( . )

h2 = 39.73 [km] 19 أقصى ارتفاع يقطعه الصاروخ من سطح األرض إلى بداية اشتعال المرحلة الثانية

H2 = H1 + h2 = 31.85 + 39.73 H2 = 71.58 [km] 20

2، للوضعين 25.5يكية، معادلة وإليجاد أقصى ارتفاع يصله صاروخ السبر نستخدم قانون حفظ الطاقة الميكان 2الطاقة الميكانيكية لوحدة كتلة الصاروخ للوضع . حيث يكافئ األخير أقصى ارتفاع يصله الصاروخ fوالنهائي

E2 = T2 + 2 E gRR H2

22 2

22

v 21

حدة كتلته عند أقصى ارتفاع الطاقة الميكانيكية لو. طاقة وضعه 2الطاقة الحركية للصاروخ بينما T2حيث

Ef = Tf + f E gRR Hf

02

22

يكون Hوحل الناتج بداللة 22مع المعادلة 21وبمساواة المعادلة

HgR R H

gR R HR

22

22

222

2

( )( )v

H

2 9 8 10 6370 6370 71582 9 8 10 6370 1987 6370 7158

63703 2

3 2 2. ( . )

. . ( . )

H = 284.4 [km] , H 284.4 [km] j 23 vr =1400خصائصها كالتالي ،جمعت المرحلتين األولى والثانية في مرحلة واحدةنتقالية ومن ثم إذا ألغيت المرحلة اال

600كيلوغرام وكتلة الوقود 70كيلوغرام لكل ثانية، كتلة الخزان الرئيسي 10ثانية ومعدل استهالك الوقود يساوي /متر ؟ ى الذي يصلهاألقصرتفاع االفما أقصى سرعة يصلها للصاروخ عند استهالكه الوقود و. كيلوغرام

mo = 30 + 70 = 100 [kg] 24

213

v'2 = - g t + vr ln(1+m

m)fmax

o = - 9.8 60 + 1400 ln(1+ 600

100) 25

v'2 = 2.136 [km/s]

v'2 = - 9.8 t + 1400

70010t700

ln 26

H'2 = dt (t)260

0'v H'2 = 39.1 [km] & H' = 283.7 [km] 27

8.8ؤال م ــس

أندي فقاد الطيار البريطاني . أجريت تجارب عديدة في الصحراء األردنية الختراق حاجز الصوت 2000/ في شهر تموزالتي تعمل بمحركي طائرة فانتوم من نوع Thrust Super Sonic Carالسيارة الصاروخية ثراست إس إس سي غرين

كيلوغرام وتحمل وقودا، كتلته 5520ت المعطيات األولية لهذه التجربة تشير إلى أن كتلة السيارة إذا كان. رولز رويزثانية؟ وهل يمكنها 50ما سرعة السيارة بعيد مرور . ثانية/ كيلوغرام 4كيلوغرام، تستهلكه بمعدل ثابت، يعادل 1280

2.025سرعة نفث العادم من الخلف و بدأ من السكوناعتبر الحركة تتخطي سرعة الصوت ضمن فترة استهالكها الوقود؟ FD2 = 0.0625 v2 و FD1 = 9 v افترض مقاومة الهواء للسيارة بداللة السرعة للحالتين .ثانية/كيلومتر

لـحـال كتلة السيارة المتغيرة

m(t) = mo + mfmax - mf(t) m(t) = 5520+ 1280 - 4 t m(t) = 6800 - 4 t 1

من المعادلة m(t)كما يلي، 20.8ذا استبدلنا المتغيرات في المعادلة إ

1 ،F = FD1 = - 9v ،vr = 2.025 [km/s] و dm/dt = 4 [km/s] يكون

FD

vr v

8.8كل م ـش

( 6800 - 4 t ) ddtv = - 9 v + 2025 4 2

وبترتيب هذه كمعادلة تفاضلية d dt

tv

v9 900 4 1700( ) ( )

3

ومن ثم إجراء التكامل19

1900

14

11700

ln ln

v t 4

يعطي الحل كدالة سرعة

v

900 1 1

1700

2 25t .

5

t2 = 320[s]ولحظة استنفاده الوقود t1 = 50[s]السرعة في الثانية

214

v50 = 58.47 [m/s] & v320 = 337 [m/s] 6 نحصل على المعادلة 2)في المعادلة 9v - بدل (، F = FD2 = - 0.0625 v2وللحالة الثانية، نستبدل

( 6800 - 4 t ) ddtv = - 0.0625v2 + 2025 4 7

وبترتيبها

d dtt

vv360

0 06254 17002 2

.( )

وإجراء التكامل يكون

12 360 360

0 06254

11700

ln . ln360 + vv

t 8

لنجد أن الحل كدالة سرعة يعطي

v

360

11700

1

11700

1

1125

1125

t

t

.

. 9

t2 = 320[s]ولحظة استنفاده الوقود t1 = 50[s]في الثانية السرعة

v50 = 59.89 [m/s] & v320 = 297.1 [m/s] 10

من سرعة الصوت بينما في الحالة الثانية ستصل 99.1 %أي أن سرعة السيارة الصاروخية ستصل في الحالة األولى إلى . كاملمن سرعة الصوت فقط لحظة استفاد الوقود بال 87.4 %إلى

215

ديناميكا الجسم الجاسئ 6.8من وجهتي النظر الكينماتيكية والديناميكية بالجسم الذي ال يتغير 1.8و 4.2لقد عرف الجسم الجاسئ في البندين

هائل من الجسيمات المنتظمة في الفراغ والمترابطة بعضها مع بعض بأبعاد شكله الهندسي والمكون من عددسنعتبر في أغلب الحسابات الهندسية والميكانيكية أن كتلة الجسم الجاسئ متركزة فقط في نقطة و. متساويـة وثابتة

.واحدة هي مركز الكتلة

إن البحث في حركة وديناميكا الجسم الجاسئ سيعتمد بالدرجة األولى على القوانين العامة لحركة النظام للحصول اسئ بالعالقة بين محصلة القوى المؤثرة ومجموع الحركات وتعرف حركة الجسم الج. على معادلته التفاضلية

ومع أن حركة الجسم الجاسئ في الفراغ تتحدد بست درجات حرية، أي يمكنه . المشتركة لجسيماته المكونة لهالتحرك ست حركات مستقلة بعضها عن بعض، إال ان ما يميز حركته هو اعتمادها بشكل أساسي على كينماتيكا

وقد قسمت حركته إلى حركة انتقالية وحركة دورانية حول محور ثابت وحركة مستوية وحركة . سئالجسم الجا . وسندرس الحركات الثالث األولى تباعا. دورانية حول نقطة ثابتة، وأخيرا الحركة العامة

الحركة اإلنتقالية 1.6.8

من) جسيم(عند حركة الجسم الجاسئ االنتقالية فإن كل جزء سيتحرك بنفس الطريقة التي تتحرك بها ) جسيماته(أجزائه

باقي األجزاء؛ ولهذا فإن كل خط في هذا الجسم سيبقى موازيا وتـبعـا لذلك؛ تكون . لنفس الخط في وضعه األصلي

ويكفي عندها لدراسة . مسارات األجزاء متشابهة ومتوازيةئه، حركة الجسم الجاسئ دراسة حركة جزء واحد من أجزا

. الذي من المفضل أن يكون مركز كتلة الجسم الجاسئ

z

y

x

Oj

k

i

r

rC - rCrC

F1

F2

F4 F3

Fi

Fj

Fn

Fa

P

S

6.8كل ـش

، وشامال لمركز الكتلة ، فيمكن تمثيل جميع القوى وازيا لمستوى الحركة اإلنتقالية، مSإذا افترضنا مقطعا رقيقا من جسيمات كل جسيم. 6.8كل ـش، ، متسامتة مع هذا المستوىF، ومحصلتها F1 ،F2 ، ... ،Fnالمؤثرة

للجسم الجاسئ عند 10.8لذلك نكتب المعادلة . aCالجسم الجاسئ يتحرك بتسارع يكافئ تسـارع مركز الكتلة حركته االنتقالية

F = M aC 27.8

، Fنقطة اعتباطية على خط عمل محصلة القوى الخارجية Pوإذا اعتبـرنا النقطة . كتلة الجسم الجاسئ Mحيث Oحصلة حول مركز اإلحداثيات القصورية فإن عزم هذه الم

216

MO = r F = r M aC 1.28.8

، محصلة عزوم كل القوى الخارجية المؤثرة على جميع جسيمات الجسم الجاسئ بالنسبة إلى نفس يساوي أيضا ورياضيا . المركز

M M r F r aO O m i i i i i i i i i=1

n

=1

n

=1

n

و ai = aC، فإن استبدال االنتقالية متساوية ئ عند الحركةوإلن تسارعات كل جسيمات الجسيم الجاس

i ii =1

n

m M Cr r يعطي 4.8من المعادلة

MO = rC M aC 2.28.8 مع بعض يكون 28.8وبربط المعادلتين

rC M aC = r M aC 29.8

ل األول إللغائه شرطا وبينما يشطب االحتما. rC = rأو aC = 0تكون صحيحة إذا كانت 29.8هذه المعادلة أو ( Pمنطبق على النقطة Cضروريا للحركة االنتقالية المتسارعة يبين االحتمال الثاني أن مركز الكتلة

إذا كانت حركة : ولذلك يمكن القول . Cيمر بالضرورة عبر النقطة Fوهذا يعني أن خط عمل القوة ) . بالعكسة القوى الخارجية المؤثرة عليه تمر بالضرورة في مركز كتلته ، بينما تساوي الجسم الجاسئ انتقالية فإن محصل

ورياضيا فإن حركة . محصلة عزوم جميع القوى الخارجية المؤثرة عليه حول محور يمر في مركز كتلته صفراومن . 29.8المعادلة و األخرى 27.8الجسم الجاسئ االنتقالية تستوفى بمعادلتين اتجاهيتين ، إحداهما المعادلة

الطبيعي أن تكتب تلك المعادالت كمعادالت قياسيةFx = M aCx , Fy = M aCx , Fz = M aCz 1.27.8

MCx = 0 , MCy = 0, MCz = 0 1.29.8

وعندما يتحرك الجسم في مستوى واحد حركة انتقالية ، بحيث توازي جميع متجهات القوى الخارجية مستوى لعزم القوى العمودي على مستوى الحركة 1.29.8وإحدى المعادالت 1.27.8فإن اثنتين من المعادالت الحركة،

، Oxأما إذا تحرك الجسم الجاسئ في خط مستقيم، وليكن على المحور األفقي . تعرف حركة هذا الجسم الجاسئ .1.27.8فإن المعادلة الوحيدة التي تعرف الحركة هي أولى معادالت

ئـلـة مـحـلـولـةأسـ

9.8ؤال م ـس، بواسطة منزلقين أملسين يحمالنه على قضيبين متوازيين وثابتين في المستوى الرأسي، Mينزلق قضيب متجانس، كتلته

للوضع المبين في الشكل Bو Aأوجد تسارع القضيب وردي فعل المنزلقين . عن الرأسي = 15ويميالن بالزاوية . همال وزني المنزلقينالمرافق، وذلك بإ

217

الـحـل

منطبق على القضيب الثابت ولألعلى، Ayعن األفقي، =15يميل بزاوية Axyz ،Axنحدد المحاور الديكارتية الثابتة لألسفل، ردا فعل Mgنحدد القوى المؤثرة على القضيب وهي قوة وزنه . Ayو Axعمودي على المحورين Azو

معادالت حركة القضيب . على القضيب، وهما متعامدان على القضيبين الثابتين لعدم وجود االحتكاك NBو NAالمنزلقين 29.8و 27.8قياسا على المعادالت

A

BA B

xy

z

C

a

NA

NB

l

l

Mg 2 رســـم 1 رســـم

2l

9.8كل م ـش

NA + NB + M g = M a 1

MC = 0 2

تنتج المعادلتان القياسيتان 1ومن المعادلة i : NA + NB - M g sin = 0 3 j : - M g cos = M ay 4

المعادلة Cبينما تعطي معادلة العزم حول مركز كتلة القضيب NA l sin - NB l sin = 0 5

حل المعادالت الثالث األخيرة . NBو NAأقصر مسافة عمودية من مركز الكتلة إلى خطي عمل ردي الفعل l sin حيث يبين أن

NA = NB = 0.5 M g sin , ay = - g cos NA = NB = 0.5 M g sin i , a = - g cos j [m/s2] 6

10.8ؤال م ـس

بكرة المربوط بحبل خفيف وعبر Dتؤثر على قضيب متجانس يتواجد على سطح أفقي أملس قوة الشد الناتجة من الثقل نيوتن وكتلة F =80إذا كانت . Pو Fالقضيب من الجهة األخرى القوتين ، بينما تؤثر على ملساء وعديمة االوزن أيضا

الالزمة لجعل حركة القضيب انتقالية وفي المستوى Pكيلوغرام، فأوجد القوة D ،30كيلوغرام بينما كتلة الثقل 50القضيب .األفقي

الـحـــل

ينتج أن 27.8دلة وبالتطبيق المباشر للمعا. 2رسم ، Axyzنحدد محاور اإلحداثيات S + F + P = M a 1

29.8، معادلة Cالمار بمركز الكتلة Czبينما معادلة عزوم القوى الخارجية حول المحور MCz = 0 2

218

10.8كل م ـش

المعادالت القياسية 2و 1حيث تعطي المعادلتان S - F - P = M ax 3

- P L/6 + F L /2 - S L/6 = 0 4

P = 3 F - S 5

ax = aD، وحيث إن 3م ـرس، Dومن حركة الثقل mD g - S = mD ax

أو بداللة الشد S = mD ( g - ax ) 6

6 - 3حيث يعطي حل المعادالت الثالثة األخيرة P = 3 F - mD ( g - ax )

a am g FM mx D

D

D

2 42

, ax = 2.44 [ m/s2 ] 7

ax = 2.44 i [ m/s2 ] , S = 220.8 i [N] , P = - 19.2 i [ N ] 8

11.8ؤال م ـس، فهل ان معامل االحتكاك بين الصندوق والسطح إذا ك. Pعلى سطح أفقي خشن بقوة mيدفع فتى صندوقا متجانسا ، كتلته

؟ P؟ وإذا حدث ذلك فما مقدار القوة aيحدث انقالب للصندوق عند تحركه لليمين بتسارع الـحــل

لألسفل، mgوهي قوة الوزن . a = a iالقوى المؤثرة على الصندوق لحظة تحركه االنتقالي لليمين بالتسارع 2 رسميبين من السطح على الصندوق ولألعلى، آخذين بعين Nللخلف، وكذلك قوة رد الفعل Fام، وقوة االحتكاك لألم Pوالقوة

معادالت حركة . على السطح األفقي انتقاليا) يتحرك (االعتبار الفرضية التي تقول إن الصندوق ال ينقلب، بل ينزلق الصندوق

Fx = M ax 1 Fy = M ay 2

Mcz = 0 3

CPP

F

FS

S y

x z

B

A

B

A

L/3

L/3

L/3

D

D

aC

m D g

a D

1رسم 3رسم 2رسم

مستوى أفقي بكرة

219

يكون ay = 0بينما ax = aات القوى المؤثرة على النظام ووبتعويض مركب

P - F = m a 4

N - m g = 0 5

N x - P h - F H / 2 = 0 6

5نحسب رد الفعل من المعادلة N = m g 7

وبالتالي فقوة االحتكاك

F = m g 8

فعينتج أن قوة الد 4والتي بتعويضها في المعادلة

P = m ( g + a ) 9

Pوقوة الدفع Fوقوة االحتكاك N، إذا استبدلنا كال من قوة رد الفعل وأخيرا يعطي xبداللة 6، فإن حل المعادلة 7 - 9من المعادالت

x = ( h + 0.5 H ) + a h / g 10 11.8كل م ـش

حتى يكون 9المكافئة للمعادلة Pحتى نؤثر على الصندوق بالقوة األفقية hفة أقل قيمة لالرتفاع ومن األهمية بمكان معرومن أجل تسهيل وفهم العملية على القاريء، ننطلق من القيم . ، أو حتى ينقلبAعلى وشك الدوران حول حافته اليمنى

= Wمتر، بينما العرض H =2، االرتفاع a = 0.27 gكيلو غرام، s =0.2 ،d =0.186 ،m =50المحددة التالية 7 - 9ولذلك نحسب القيم التالية من المعادالت . متر 0.96

N = 50 9.8 = 490[N] 12

P = 50 ( 0.186 + 0.27 ) 9.8 = 223.4 [N] 13

بينما اإلزاحة األفقية لنقطة تأثير قوة رد الفعل عن منتصف الصندوق

x = d ( h + 0.5 H ) + a h / g 14

A ،x > W / 2 = 0.48 [m]، دورانه حول حافته اليمنى 13، معادلة Pويتطلب انقالب الصندوق تحت تأثير قوة الدفع ، وعليه نكتب x = W / 2 = 0.48 [m]بينما يتطلب كونه على وشك الدوران حول نفس الحافة أن يستوفى الشرط اآلخر

14لمعادلة للحالة الحرجة من ا

0.48 = 0.186 ( h + 0.5 2 ) + 0.27 h 15

لنجد أن االرتفاع h = 0.645 [m] 16

، بينما ينقلب الصندوق فعال عندما يستوفى الشرط التالي 16أي يكون الصندوق على وشك االنقالب عندما يستوفى الشرط h > 0.645 [m] 17

.خاطئا 7 - 9وعندها يكون الحل

H

Ph

H

W

Ph C a

m g

x N

F

A

y

H/2

x

1رسم

2رسم

سطح خشن

220

الحركة الدورانية حول محور ثابت 8.2.6

عندما تكون حركة الجسم الجاسئ دورانية حول محور ثابت، فإن كل جسيماته تتحرك في مدارات دائرية وحول ، من إطار O1x1يدور حول المحور الثابت Cيبين أن الجسم الجاسئ، مركز كتلته 6.8كل ـش. المحور نفسه

، كنقطة تقاطع Oفي الفراغ إلى النقطة Oxyzنما يثبت إطار اإلسناد المتحرك ، بيO1x1y1z1اإلسناد القصوري وبالتالي فإن كال من المحورين . Oyzمحور الدوران مع المستوى الذي يتحرك فيه مركز الكتلة، أي المستوى

Ox وO1x1 متسامتان . ، يحدد المقطع الرقيق ثابتالجاسئ حول محور وفي العادة، لتسهيل عملية اشتقاق المعادلة التفاضلية لدوران الجسم

S متعامدا مع محور الدوران وشامال للمركزO . متجها السرجهة الزاوية للجسم الجاسئ وتسارعـه الزاوي rCوبالتالي يدور مركز الكتلة في مسار دائري، نصف قطره . = iو O1x1 ، = iيوازيان محور الدوران

للحركة الدورانية، نضيف لمحصلة 10.8وحتى تتحقق صحة المعادلة . aCtو مماسي aCnع عمودي وبتسار فنكتب . N ،N = NA + NO1القوى المؤثرة محصلة ردود األفعال

FiO1

MOz

MOx MOy

y

z

x, x1

z1

y1

aCt

aCn

A

O

NO1z

NO1y

NO1x

S

F1 F2

C

FjFn

O1

y

z

z1

AO

y1

x,x1

hA

hOPi ai t

ain

NANAz

NAy

NO1

ri

rC

xi

yi

zi

6.8كل ـش

F + NA + NO1 = M ( aCn + aCt ) 30.8

متجه ri ،ri = xi i + yi j + zi k، و miتلته وباختيار جسيم ما بشكل اعتباطي ، ك. كتلة الجسم الجاسئ Mحيث 62.2وفقا للمعادلة Oموضعه ، فإن تسارعه بالنسبة إلى مركز اإلحداثيات المتحركة

ai = ri + ( ri ) = - ( yi 2 + zi ) j + (yi - zi

2) k 31.8 العزم الرئيسي

M M r FO O i i ii i=1

n

=1

n

rA NA + rO1 NO1 32.8

MO = n

1=i[ xi i+yi j+ zi k] mi [- ( yi

2 + zi ) j + (yi - zi 2) k] + rA NA + rO1 NO1

221

MO = i =1

n

mi ( yi2 + zi

2 ) i + i =1

n

mi ( xi zi 2 - xi yi ) j +

- i =1

n

mi ( xi yi 2 + xi zi ) k + rA NA + rO1 NO1 1.33.8

أو بصيغة تكاملية

MOM M M

y z dm xzdm xy dm [ ( ) ] [ ] 2 2 2i j

[ ] 2 xy dm xzdmM M

k + rA NA + rO1 NO1 2.33.8

) المجموعان(يمثل التكامالن Oxاألول عزم قصور الجسم الجاسئ حول المحور ) المجموع(وبينما يمثل التكامل اآلخران عزمي القصور النابذين بالنسبة للمحاور المناظرة

xy = xy dmM , xz = xzdm

M

إلى الشكل المقتضب التالي 33.8وبالتالي تؤول المعادالت MO = Ix i + [2 Ixz - Ixy] j - [2 Ixy + Ixz ]k + rA NA + rO1 NO1 34.8

، ومحور مستوى تماثل للجسم الجاسئ Oyzومن األهمية بمكان دراسة الحالة التي يكون فيها مستوى الحركه لمركز الكتلة وكل من عزمي القصور النابذين rCعندئذ يتالشى متجه الموضع . Cالدوران يمر في مركز الكتلة

Ixy وIxz أي أن ،rC = 0 ،Ixy = 0 وIxz = 0 . إلى الشكل التالي 34.8و 30.8وتؤول المعادلتان

F + NA + NO1 = 0 1.30.8 MO = Ix i + rA NA + rO1 NO1 1.34.8

. الذي يمكننا استخدام هذه المعادالت في تحديد قيم ردود األفعال الديناميكية في الدعامات والحوامل ونقاط اإلرتكاز

أســـئـلـة مـحـلـولـة 12.8ؤال م ـس

، Aأوجد تسارع القضيب ورد فعل القائم . Axالمحور األفقي متر حول 2كيلوغرام، وطوله 5يدور قضيب متجانس، كتلته .دائرية لكل ثانية 6مع الرأسي وتكون سرعته الزاوية =o30عندما يصنع الزاوية

الـحـل

نحدد تسارع القضيب بتسارع مركز . عمودي عليه Atمتسامتا مع القضيب و Ant ،Anنحدد محاور اإلحداثيات الطبيعية Cكتلته

aC = aCt + aC n 1

Aلألسفل ورد فعل القائم mgيؤثر على القضيب قوة وزنه NA = NAt + NAn 2

222

12.8كل م ـش

نجد أن 32.8و 30.8وبالتطبيق المباشر لمعادالت الحركة الدورانية M g + NAt + NAn = M ( aCn + aC t ) 3 MAx = I Ax i 4

كمعادلتين قياسيتين 3فنكتب المعادلة - M g cos + NAn = M aC n 5 - M g sin + NAt = M aC t 6

II.18، أنظر معادلة Axكعزم قصور القضيب حول محور الدوران IAxوبعد استبدال I Ax = ICx + M (AC)2 = M L2/12 + M (L/4)2 I Ax = 7ML2 /48

4) العزوم(كتابة معادلة نعيد

m g L mL4

748

2sin 7

7وهذا األخير تتحد قيمته مباشرة من المعادلة . والتسارع الزاويN ذات ثالثة مجاهيل هي رد الفعل 5-7المعادالت = - 4.2 [s-2] 8

a LC t

4 2

aC t = - 2.1 [m/ s2] 9

عمودي بالعالقة بينما يحدد التسارع ال]s/m[.Ra nC

222 18650

6و 5أما ردا الفعل فنحسبها من المعادلتين NAn = 132.4 [N] , NAt = 14 [N]

A

L/4

3L/

A

L/4

L/2

N A

N A t

Mg

a Ct

a C

L/4

C

n

1رســـم 2رســـم

223

Motion Planeالحركة المستوية 3.6.8

لمسـتوى موازية تعرف حركة الجسم الجاسئ بالمسـتوية إذا كانت كل جسـيماته تتحرك في مســـتويات، موازيا Sوبالعادة ، ومن أجل فهم واستيعاب هذه الحركة نفترض في الجسم الجاسئ مقطعا رقيقا . ابتمحدد وث

كما تتسامت . Cوشامال لمركز الكتلة O1x1y1z1من إطار اإلسناد القصوري O1y1z1للمستوى اإلحداثي الثابت نثبت في الفراغ إطار . 7.8كل ـش، ضةتركل القوى المؤثرة ومتجهات السرجهة والتسارع المف Sمع المقطع

متوازيين، والحركة Axو O1x1، بحيث يكون المحوران A) النقطة(، إلى المركز Axyzاإلسناد المتحرك .Axالدورانية تتم حول المحور

وكما هو معروف من الكينماتيكا، تتحدد حركة الجسم الجاسئ المستوية بثالث درجات حرية، أي ثالث حركاتانتقالية ودورانية، والحركة : وحيث إن الحركة المستوية هي حركة مركبة من حركتين. لة بعضها عن بعضمستق

ولذلك . لمركزه كافيان لتحديد الحركة االنتقالية yAو xAبمجملها تتم في مستوى، فإن تحديد قيمتي اإلحداثيين نكتب

F = M )zy( AA k+j 35.8

. كزاوية دوران وحيدة ومفردة ويتحدد جزء الحركة الدوراني بالبارامتر المستقل . الجاسئ كتلة الجسم Mحيث وكما هو الحال في الحركة . = iو = iوتبعا لذلك، نحدد متجهي السرجهة الزاوية والتسارع الزاوي،

،ri، ومتجه موضعه miكتلته S الدورانية، نختار جسيما منفردا من جسيمات الجسم الجاسئ في المقطعri = xi i + yi j + zi k . وباستبدال التسارعai 1.74.2، انظر المعادلة

ai = aA + ri + ( ri ) ai = aA - ( yi

2 + zi ) j + (yi - zi 2) k 36.8

في معادلة العزم الرئيسي ينتج أن

O1y1

z1

y

z

yi

zixi

rA

x

A

PiFi

mi

x, x1

r

O1y1

z1

y

z

rA

x

rC

A

S

Pi

F1

F2

F3Fi

Fn

C

mi

Ri

x, x1

Fi

7.8كل ـش

224

MA =i =1

n

MAi r Fi ii =1

n

=i =1

n

ri mi ai 37.8

أو

MA =i =1

n

(Ri + rC) mi aA +i =1

n

ri mi ai t +i =1

n

ri mi ai n

= i =1

n

rC mi aA +i =1

n

Ri mi aA + i =1

n

mi [ (yi2+zi

2 ) i

+ (xi zi 2-xi yi )j - ( xi yi

2 -xi zi )k] 1.38.8 أو بصيغة تكاملية

M M r a R aA AM

C AM M

d dm dmA

A + [ (y + z ) dm2 2

M ]i

+ [2 xz dm M - xy dm

M ]j -[2 xy dm

M + xz dm

M ]k 2.38.8

3.8التكامل األول وفقا للمعادلة r a r aC A

MC Adm M

بينما التكامل الثاني يساوي الصفر R a Adm

M

= R M aA = 0

ألن R في أحد نصفي الصفيحة تقاس بالنسبة إلى مركز الكتلة ، إذ يناظر كل حدS حدا آخر مساويا له في. وهذا يؤدي إلى تالشي تأثير التكامل المذكور ، أي أن التكامل يساوي صفرا . المقدار ومختلفا معه باإلشارة

Axعزم قصور الجسم الجاسئ حول المحور

IAx = i =1

n

mi [ (yi2+zi

2 ) = (y + z ) dm2 2

M

Axyzبينما عزوم القصور النابذة للجسم الجاسئ نسبة للمحاور المتحركة

xy =i =1

n

mi xi yi = xy dmM , xz =

i =1

n

mi xi zi = xz dm M

بالشكل المختصر التالي 38.8وعليه تكتب المعادلتان MA = rC M aA + Ax i + [2 xz - xy ] j - [ 2 xy + xz ] k 39.8

معادالت حركة الجسم الجاسئ المستوية إذا كان محور الدوران يمر في نقطة 35.8والتي تمثل مع المعادلة ا إذا كان جزء الحركة الدورانية يتم حول محور يمر عبر مركز كتلة الجسم . الكتلة ليست مركز اعتباطيةأم

إلى الشكل األبسط التالي 39.8، وتبعا لذلك تؤول المعادلة rC = 0الجاسئ فإن

MC = Cx i + [2 xz - xy ] j - [ 2 xy + xz ] k 40.8

225

، التي تمثل قانون نيوتن الثاني للجسم الجاسئ، 35.8مستوية للجسم الجاسئ بالمعادلة وتبعا لذلك، تستوفى الحركة الومن الطبيعي أن المعادلتين األخيرتين تمثالن العالقة بين . 40.8أو 39.8مضافا لها إحدى المعادلتين االتجاهيتين

كة الدورانية، التسارع الزاوي بداللة مميزات الحر Cxأو المحور Axالعزم الرئيسي للقوى حول المحور يبينان xzو xyوألن عزمي القصور النابذين . وخصائص الجسم الجاسئ كالتماثل أو عدمه والسرعة الزاوية

، فإن تماثل الجسم الجاسئ حول أي من )Cyzأو ( Ayzمقدار عدم تماثل لجسم الجاسئ حول مستوى الحركة وعندئذxy = xz = 0 . مساوييين للصفر، xzو xyعزمي القصور النابذين المستويين المذكورين أعاله ليجعل

تؤول المعادلتين األخيرتين إلى الشكل التالي

MA = rC M aA + Ax i 1.39.8

MC = Cx I 1.40.8

اسئ، مضافا مستوى تماثل للجسم الج Ayzومن األهمية بمكان دراسة الحالة التي يكون فيها مستوى الحركة لمركز الكتلة، وعزما القصور rCعندئذ يتالشى متجه الموضع . Cإلىذلك أن محور الدوران يمر في مركز الكتلة

قياسيا إلى 39.8و 35.8وتؤول المعادلتان . xy = xz = 0و rC = 0مساوييين للصفر، أي أن xzو xyالنابذين الشكل التالي

Fx = 0 , Fy = M Ayy , Fz = M Azy 1.35.8

MAx = IAx , MAy = 0 , MAz = 0 2.40.8

أسـئلـة مـحـلـولــة

13.8ؤال م ـسلصعود با Aكيلو نيوتن حتى تفتت العتبة F =1كيلوغرام إلى قوة أفقية مقدارها 400تحتاج عجلة مدحلة متجانسة، كتلتها

أوجد . سـنتيمترات، وتؤثر القوة األفقية عبر قضيب ناقل للحركة مربوط مع محور العجلة باحكام 8ارتفاع العتبة . فوقها . تسـارع العجلة االبتدائي ورد فعل العتبة

الـحـل

نحدد . إنتقاليا لليمين فهي باإلضافة لدورانها حول المحور المار في مركزها تتحرك. حركة عجلة المدحلة حركة مستوية Mgونحدد القوى المؤثرة على العجلة وهي قوة وزنها . tو nعمودي على المحورين Axوالمحور Antالمحاور الطبيعية

Cوباتجاه مركز العجلة Aفي النقطة NAوأيضا رد فعل العتبة Bلألعلى في النقطة NBلألسفل ورد فعل السطح NA = NAt + Nn

يتحدد تسارع مركز العجلة بالمركبتين ، العمودية والمماسية كما

aC = aCt + aC n tو nولإلحداثيين 35.8نكتب معادالت حركة العجلة الدورانية ، معادلة

M aC n = M g cos - NAn + F sin 1

M aC t = - M g sin + NAt + F cos 2

226

13.8كل م ـش

أما المعادلة الثالثة . A ،NB = 0في اللحظة التي تصعد فيها المدحلة على العتبة NBومن الطبيعي أن يتالشى رد الفعل 2.39.8فنكتب قياسا على المعادلة . Axفيمكن الحصول عليها من معادلة عزوم القوى حول المحور

MAx = Ax

1.6 F - 0.32 M g = 1.5 M R2 3 Axعزم قصور العجلة حول المحور Axحيث إن

Ax = 0.5 M R2 + M R2 Ax = 1.5 M R2

نجد التسارع الزاوي 3في المعادلة R = 0.68 [m]و F = 1[kN] ،M = 400 [kg]وباستبدال القيم = 1.24 [rad/s2 ] 4

64.2والتسارع المماسي والعمودي، معادالت aC t = R = 0.68 . 1.24 = 0.85 [m/s] 5

aC n = R 2 = 0 6

2 و 1في المعادلتين 6 - 4وباستبدال قيم مركبات التسارع من المعادالت. vC = 0ألن سرعة مركز العجلة االبتدائية صفرا، نجد رد فعل العتبة

NAn = 2930 [N] , NAt = 1300 [N] 14.8ؤال م ـس

مليمترا، يسمح 50متر، ذات تجويف محيطي منتظم وضيق، عمقه R =0.25كيلوغرام، و m =32متجانسة، إسطوانةإذا تدحرجت اإلسطوانة دون انزالق على سطح أفقي، أوجد تسـارع . لحبل عديم الوزن واالستطالة بااللتفاف حولها

أهمل تأثير التجويف على عزم القصور، والقوة تشد الحبل أفقيا . يمركزها، وما معامل االحتكاك الالزم بينها والسـطح األفق . نيوتن T =100بقوة

الـحــل، رد لألسفل Mg، وزن اإلسطوانة دد القوى المؤثرة على هذا النظامنح. Cxyzوالمتحركة C1x1y1z1نحدد المحاور الثابتة وانة والسطح األفقي بين سطح اإلسط Pvي نقطة التالمس ف F، وقوة االحتكاك االنزالقي لألعلى Nفعل السطح األفقي

35.8، وفقا للمعادالت Cyzقانون نيوتن لحركة مركز اإلسطوانة ولمستوى الحركة . وبعكس الحركة

F

C

B

A80

680

1[m]

F

C

BA

aCt

N A15

a

17

8

c

d

Mg aCn

N A320

NB = 0

t

n

1 ـمــرس

2 ـمــرس

227

14.8كل م ـش

F - T = CyM 1 N - M g = CzM = 0 N = M g 2

1.40.8بينما معادلة العزم الرئيسي معادلة

MCx = Cx r T - R F = Cx 3 Cxعزم قصور اإلسطوانة حول المحور Cxحيث أن

Cx = 0.5 M R2 = 1 [kg .m2] 4 التسارع الزاوي لإلسطوانة و

CC y

Ry

4 5

1، ثم ربط الناتج مع المعادلة 3، وتعويض قيمهما في المعادلة 5من المعادلة و 4ل عزم القصور من المعادلة وباستبدا ينتج مركبة التسارع الرأسية وقوة االحتكاك

Cy = - 0.416 [m/s2] 6 F = 86.66 [N] 7

ولنجد من المعادلة األخيرة معامل االحتكاك

FMg

86 6632 9 8

0 276.

.. 8

15.8ؤال م ـس، تركت تتدحرج على سطح أفقي خشن من وضع السكون االبتدائي، R، ونصف قطرها Mنصف كرة مصمتة، كتلتها

؟ 3 مـرسدورة، 0.25، وما قيمة السرعة الزاوية عندما يدور الجسم 2م ـرس، اكتب تعبيرا للسرعة الزاوية . 1م ـرس .لتدحرج بدون انزالقاعتبر ا

F

C

R

2

TPv

z1

y 1

E

r

N

MgT E

ay

x1

C1

z

y

x

5

2رســــم 1رســــم

228

15.8كل م ـش

الـحــلالقوى المؤثرة على نصف . عن األفقي DCلتعرف ميل خط التماثل ونحدد الزاوية Oxyzنحدد محاور اإلحداثيات الثابتة

والن الحركة تعرف فقط . A على نصف الكره في نقطة التالمس Nلألسفل ، ورد فعل السطح Mgقوة الوزن : الكرة هي يكتب بالمعادلتين القياسيتين Cفإن قانون نيوتن الثاني لحركة مركز الكتلة Oyzفي المستوى الرأسي

CyM = F 1

CzM = N - M g 2 1.40.8، معادلة Cلعزم الرئيسي للقوى المؤثرة حول مركز الكتلة

MCx1 = Cx1

Cx1 = N a cos - F ( R - a sin ) 3

Cxعزم القصور المحوري لكتلة نصف الكره حول المحور Cx1حيث

Cx MR1283

320 4

2 رسم، Cإحداثيات مركز الكتلة y

C = R + a cos 5

zC = R - a sin 6

وبمفاضلتهما مرتين 2 cosa)sinaR(yC 7

cosasinazC2 8

2و 1ثم تعويض هذا الناتج في المعادلتين 2 cosa)sinaR(MyMF C 9

gcosasinaM)gz(MN C 2 10

= o

D

x

Mg

D

y

C3R/

ON

F

D

C

A

ay

a z Mg

N

1رســـم

2رســـم

3رســـم

229

في المعادلة الرئيسة 10و 9دلتين وقوتا االحتكاك ورد الفعل من المعا 4من المعادلة Cx1أخيرا إذا عوضنا عزم القصور نحصل على المعادلة 3

cosagcosasinaR32083 22

2cosa)sinaR()sinaR(

أو

cos

Rg

Racos

Rasin

Ra1cos

Ra

32083 2

222

2

aوألنR

38

نستطيع كتابة المعادلة السابقة بالترتيب التالي

Rgcos15)sin3056( 2 11

وأ

sin3056

dcos15

Rg

d2

12

حيث استخدمنا العالقة

dd . البتدائية للحركة مع األخذ بعين االعتبار الشروط ا 12وبإجراء التكامل على المعادلة

يكون

sin3056C

Rg2 13

Cحيث تتحدد قيمة الثابت gR

ينتج أن السرعة الزاوية تتحدد بالمعادلة الرياضية 13المعادلة ، والذي بتعويضه في 56

sin1528

sin15Rg

14

= / 2أما قيمة السرعة الزاوية عند الدوران ربع دورة ،

Rg

1315

o90

15

. لنصف القرص المصمت 15.8السؤال م حل : تـمـريـن

16.8ؤال م ـسبدون انزالق على مستوى مائل، زاوية ميله عن األفقي R، ونصف قطرها Mمنتظمة ومتجانسة، كتلتها تتدحرج إسطوانة

. أوجد تسارع مركز اإلسطوانة وأقل قيمة لقوة االحتكاك التي تجعل اإلسطوانة تتدحرج بدون انزالق . الـحـل

والدورانية حول محور يمر yCرفة بإزاحة مركز كتلتها االنتقالية مع: كتين، مكونة من الحرحركة اإلسطوانة حركة مستوية N، رد فعل السطح المائل لألسفل Mg، قوة الوزن القوى المؤثرة على اإلسطوانة هي .في مركز كتلتها ومعرفة بالزاوية

230

ركة الجسم معادالت ح. المضادة للحركة F، والمؤثر في نقطة التالمس وأخيرا قوة االحتكاك العمودي على اإلسطوانة 1.40.8و 35.8الجاسىء المستوية

CyM = M g sin - F 1

CzM = - M g cos + N 2 41.8بينما معادلة العزوم

MCx1 = Cx1

وتبعا لذلك تكتب . Cx1 = 0.5 M R2، لمار بمركز هاا Cx1عزم قصور اإلسطوانة حول المحور العمودي Cx1حيث إن المعادلة األخيرة بالشكل التالي

16.8كل م ـش

F R = 0.5MR2 3

مركز اإلسطوانة على نفس البعد من المستوى المائل ، وهذا يعني أن zC = const. 0 CC zz

2ولذلك نحدد رد الفعل من المعادلة N = M g cos 4

تدحرج اإلسطوانة بدون انزالق على المستوى المائل يعني رياضيا أن yC = R

Ry&Ry CC 5 وحل الناتج بداللة قوة االحتكاك 3مع معادلة 5وبربط معادلة

22CyMRMF

6 ، فنجد أن 1وتعويضها في المعادلة 6ويحسب تسارع مركز اإلسطوانة بعد استبدال قوة االحتكاك من المعادلة

singyC 32 7

يمكننا من حساب رد الفعل 6مع المعادلة 7كما أن ربط المعادلة

F

y

zy

C

N

C

y C

R

CC

Mg

1 رســم

2 رســم

231

F Mg 13

sin 8 أي أن . ألجسام اإلسطوانية أقل من قوة االحتكاك عند االنزالقإن قوة احتكاك التدحرج بدون انزالق ل

F N 9 في المعادلة 4من المعادلة Nورد الفعل 8من المعادلة Fوباستبدال قوة االحتكاك . معامل االحتكاك االنزالقي حيث

، نجد أن 9

> 13

tan 10

.ك أكبر من ثلث ميل السطح حتى تتدحرج بدون انزالق على هذا السطح الخشنأي يجب أن يكون معامل االحتكا

تؤثر قوة احتكاك التدحرج بعكس إزاحة مركز كتلة اإلسطوانة إذا تحرك هذا المركز بتسارع ما تحت تأثير : هـيـبـنـتقوة اإلحتكاك فإن ،2.16.8م كلـش، Mأما إذا أثر على اإلسطوانة عزم دوراني . قوى مؤثرة ومعينة

في 41.8وتؤول معادالت الحركة . توازي إزاحة مركز الكتلة، أي تأخذ اتجاه التسارع نفسه Fالتدحرجي هذه الحالة إلى الصيغة التالية

CyM = F 11

CzM = N - M g = 0 12

0.5MR2 = M - F R 13

Mكقوة خارجية نتجت من العزم الدوراني Fإن قوة احتكاك التدحرج وحيث إن حركة ). الدورانية(المؤثر على اإلسطوانة كقوة مضادة للحركة

اإلسطوانة الدورانية لليمين ينتج للتو قوة مضادة من السطح الخشن تمنع .دوران اإلسطوانة لتلك الجهة

z

N

Mg

F

M

y

2.16.8كل م ـش

الزخم الزاوي للنظام 7.8فإن الزخم الزاوي 3.5للمعادلة i، وبإضافة الرمز 3.5و 1.5لقد ورد مفهوم الزخم الزاوي للجسيم في البندين

iللجسيم Li = ri mi vi

. r1 ،r2 ،.... ،rnومتجهات مواضعها m1 ،m2 ، ..... ،mn، كتلها nاعتبر فئة من الجسيمات عددها المجموع االتجاهي لزخام جميع جسيمات الجسم الجاسئ بالنسبة إلى نقطة األصل يمثل الزخم الزاوي لنظام

الجسيمات

L = Li L = i =1

n

ri mi vi = i =1

n

mi ri (ri )

، نكتب الزخم الزاوي للنظام 2.8 شكل، ri = rC + r’iوباستبدال

L = i =1

n

( rC + r’i ) mi vi = i =1

n

rC mi vi + i =1

n

r’i mi vi 41.8

232

مركزة Mلنظام ، يساوي الزخم الزاوي لكتلة ا5.8، فبعد ترتيبه وربطه بالمعادلة المجموع األول: أو كمجموعين vCعندما تتحرك بالسرجهة Cفي مركز كتلته

LC = rC i =1

n

mi vi = rC M vC 1.42.8

، والتي تربط بين سرجهتي مركز الكتـلة وسرجهة الجسيم المختار، 68.2، نستخدم المعادلة والمجموع الثانيvi = vC + viC فنكتب ،

L = i =1

n

r’i mi (vC + vi C ) = i =1

n

mi r’i vi C +i =1

n

mi r’i vC

أولهما ، يشكل مجموع الزخام الزاوية لكل جسيمات النظام بالنسبة إلى مركز الكتله : أو كمجموعين جديدين

L = i =1

n

mi r’i vi C 2.42.8

وثانيهما ، حاصل ضرب العزم االستاتيكي لمجموع كتل جسيمات النظام ومتجهات مواضعها يساوي صفرا، ألن

r’C=0 أي أن 4.8، وأيضا بالقياس على معادلة ،i =1

n

mi r’i = M r’C = 0 . وبالتالي يكون الزخم الزاوي الكلي

42.8مجموعين الواردين في المعادلتين للنظام مساويا لل

L = rC MvC +i =1

n

mi r’i vi C 43.8

، Oالزخم الزاوي للنظام بالنسبة إلى نقطة ثابتة، مركز إطار اإلسناد القصوري تبين أن 43.8هذه المعادلة ، vC، عندما تتحرك بسرجهة مركز الكتلة C، مركزة في مركز كتلته Mيساوي الزخم الزاوي لكتلة النظام الكلية

.مضافا إليه مجموع الزخام الزاوية لكل جسيمات النظام بالنسبة إلى مركز كتلة النظام

، أن متجه الموضع 2.8 كلـالشيتضح من . اعتبر اآلن ماذا يحدث إذا تغيرت نقطة األصل للنظام اإلحداثيوعلى ذلك . ، كما ال تتغير مشـتقاتها الزمنيةr’iيتغير، بينما ال تتغير متجهات الموضع النسـبية rcة لمركز الكتل

، يعتمد الحد األول على موقع نقطة األصل، كنقطة اإلسـناد 43.8ففي التعبير العام للزخم الزاوي للنظام، معادلة وفي سياق ذلك؛ نستطيع ادراج النظرية . نقطة المذكورةلتعريف الزخم الزاوي؛ بينما ال يعتمد الحد الثاني على ال

إذا كان مركز كتلة نظام ما من الجسيمات في حالة سكون فإن زخمه الزاوي يظل على حاله بالنسبة إلى : التالية. ساكناوإلثبات صحة هذه النظرية، سنعتمد الحالة الخاصة فقط التي يكون فيها مركز الكتلة .جميع نقاط اإلسناد

الكلي مساويا للحد الثاني الذي ال يعتمد على ويكون الزخم الزاوي 43.8عندئذ يتالشى الحد األول في المعادلة إذا كان مركز الكتلة ساكنا، فإنه يمكن حساب الزخم : وللتعبير عن ذلك بصورة أخرى نقول. اختيار نقطة األصل

. سناد وتكون النتيجة واحدة في جميع الحاالتالزاوي بالنسبة إلى أية نقطة إ

233

1.8ال ـثـميمكن التدليل على النتيجة العامة السابقة بمثال بسيط لنظام

Bو Aفالجسيمان . 8.8 كلـشمكون من جسيمين فقط ، وهما على . v، وسرعته mمتساويا الكتلة ، كتلة كل منهما

، الواقع على المحور Oالبعد نفسه من مركز كتلهما الساكن Oz . للجسيمين اويالز خموبذلك يكون مقدار الزA وB ،

Ozبالنسبة إلى المحور LA =LB = m v h

yx

z hh

A B

DE

dL

O

O’ F

8.8كل ـش

ولألعلى ، فإن مقداري المتجهين يجمعان عدديا للحصول على Ozوبما أن للزخمين الزاويين االتجاه نفسه ، مواز للمحور كلي المقدار ال

L = LA + LB = 2 m v h . ابالنسبة إلى النقطة الواقعة في منتصف المسافة بينهم Bو Aويساوي هذا المقدار الزخم الزاوي الكلي لزوج الجسيمات

أما . r = 0ه فال يكون لهذا الجسيم زخم زاوي بالنسبة إلى موقعه ذات. سناد تقع عند موضع أحد الجسيميناعتبر األن نقطة إمرة m v h 2، ويكون مجموع الزخمين الزاويين m v h 2، فيكون زخمه الزاوي2h الجسيم الثاني الذي يبعد اآلن المسافة

فيكون الزخمان الزاويان للجسيمين . Bعن الجسيم dبحيث تبعد المسافة DEعلى الدليل Fوأخيرا إذا اخترنا النقطة . ثانية A وBة إلى هذه النقطة اإلسنادية ، بالنسب

LA = m v ( 2 h - d ) , LB = m v d ليكون للمجموع مرة أخرى نفس القيمة

L = LA + LB = m v ( 2 h - d ) + m v d = 2 m v h

الزخم الزاوي المداري والزخم الزاوي المغزلييحتوي الجزء . زخم الزاوي الكلي لنظام ما إلى جزأين مختلفي الشكل تمامايمكن تقسيم ال 43.8وفقا للمعادلة

اويخم الزأو الدوراني األول على الكتلة الكلية فقط والخواص الكينماتيكية لمركزها، ويسمى الز المداريOrbital .اويخم الزللنظام بالنسبة إلى مر وأما الجزء الثاني فهو الز اويخم الزكز كتلته؛ ويسمى هذا بالز

نجد أن 43.8ولتلخيص النتائج السابقة باستخدام هذين اإلسمين ومعادلة . Spinالمغزلي أو غالبا مجرد الغزل

L = rC MvC +i =1

n

mi r’i vi C = Lorb + Lspin

حيث إن Lorb = rC M vC 44.8

الزاويالمداري ؛ بينما خم الز

Lspin = i =1

n

mi r’i viC 45.8

234

اويخم الزالمغزلي الز .اويخم الزل هو الزكان المركز والغز لنظام محسوبا بالنسبة إلى مركز الكتلة، سواءمثال -فإذا كان جسـم ما. ستقلة عن نقطة إسـناد المشـاهدساكنا أو متحركا؛ إذ إنه خاصية ذاتية للنظام، م

ها، فإن زخمه /يدور حول محور سـاكن يمر عبر مركز كتلته -خذروف أو مروحة طائرة جاثية في موقفهاي هذه الحالة يكون وبصورة أعم؛ فقد يكون مركز الكتلة متحركا، وف. الزاوي يكون مسـاويا لزخمه الزاوي الكلي

فالزخم الزاوي. على كل حال، فإن الغزل ذاته مسـتقل عن الحركة الجرمية. الغزل فقط جزء من المجموع . المغزلي لألرض، مثال، ال يعتمد على السرعة المدارية لألرض؛ ويحسب كما لو كان محور األرض ساكنا

، التي تعرف الزخم 3.5المداري لنظام، والمعادلة التي تعرف الزخم الزاوي 44.8إن التشابه واضح بين المعادلة اويلجسم مفرد الز .اويخم الزالمداري لنظام يساوي الز اويخم الزلجسيم، وعلى ذلك، نستطيع القول إن الزالزاوي المداري لألرض بالنسبة إلى الشمس، مثال، ولذلك حتى نحسب الزخم . مركز في مركز الكتلة Mكتلته

، MvCوبما أن الزخم الكلي لنظام يساوي . ، موضوع عند مركزهاMEتستبدل األرض بجسيم كتلته كتلة األرض ، فإنه يمكن تعريف الزخم الزاوي المداري بالعالقة29.8معادلة

Lorb = rC K

المداري، فالزخم الزاويL =r K .لمعادلة الواردة في الباب الخامس للجسيم المفرد التي تشبه إلى حد كبير ا . مثله مثل الزخم الزاوي لجسيم، يعتمد على نقطة اإلسناد المختارة

2.8ال ـثـم، Oyواز للمحور ، وبخط سير مv، يتدحرج على سطح أفقي أملس بسرجهة R، ونصف قطره mدحراج إسطواني، كتلته

عن نقطة األصل ) مسقط مركز كتلته على المستوى األفقي(في اللحظة التي تبعد فيها نقطة تالمس الدحراج . 9.8 شكل، أوجد الزخم الزاوي الدوراني والمغزلي، بالنسبة إلى نقطة األصل المختارة؟ وما زخمه الزاويL المسافة Oالمختارة

الكلي؟ . R = 50 [cm]و 2L = ،v = 2 j [m/s] ،m = 50 [kg][m] : المعطيات

الـحـل

نحدد خواص مركز الكتلة الكينماتيكيةrC = Lcos45i+Lsin 45 j +Rk =1.42 cos 45 i +1.42 sin 45 j + 0.5k rC = i + j + 0.5k vC = 2 j [m/s]

44.8لمداري ، معادلة وبذلك يكون الزخم الزاوي ا

Lorb = M rC vC = 50 i j k1 1 0 50 2 0

. = - 50 i +100 k [kgm2/s]

كيلوغرام متر تربيع لكل ثانية، يميل تقريبا بالزاوية 106.83وهذا متجه مقداره oعن االتجاه الرأسـي، وهو 26.56

. ، فنعتبر الحركة بالنسبة إلى مركز الكتلةLspinالزاوي المغزلي وإليجاد الزخم . vC ،rCعمودي على كل من المتجهيين حركة الدحراج دائرية ومنتظمة، ويقع كل عنصر كتلة على نفس البعد عن مركز الكتلة، كما يتحرك كل عنصر كتلة نسبة

وعليه؛ ومن . 9.8 كلـشفي نفس النقطة، إلى مركز الكتلة بنفس السرعة، وتتعامد سرجهة هذا العنصر مع نصف القطر

235

وهكذا فالزخم الزاوي المغزلي يساوي . هو نفسه لكل عنصر كتلة ivicيكون حاصل الضرب االتجاهي 45.8المعادلة المجموع

Lspin = i =1

n

mi i vi c =M vc

، ومقداره Oxوهذا متجه في االتجاه السالب لمحور Lspin=Mvc

Lspin = 50 0.50 2 = -50 i [kgm2/s] أما الزخم الزاوي . وهو ؛ بالطبع ال يعتمد على موقع نقطة األصل

الكلي فيكون L = -100 i + 100 k [kgm2/s]

R

r

L

x

z

y

y

x

45o

45o

O

R

9.8كل ـش

تغير الزخم الزاوي لألنظمة واألجسام الجاسئة 1.7.8وبشكل . تم تعريف مفهوم الزخم الزاوي لألنظمة 7.8وفي البند . 1.5بند لقد تم تعريف الزخم الزاوي للجسيم في

لقد اصبح واضحا أن الزخم الزاوي مفهوم اتجاهي، . عام يعرف الزخم الزاوي للجسيم بداللة زخمه وموضعهلزاوي لنظام معين هو المجموع االتجاهي والزخم ا. وإتجاهه هو االتجاه المحوري الذي يعرف بقاعدة اليد اليمنى

تحت أي ظرف يكون الزخم : لكن هناك أسئلة مهمة تتطلب اإلجابة. للزخام الزاوية للجسيمات المكونة للنظاماإلجابة على الزاوي محفوظا؟ وماذا نحتاج لتغير الزخم الزاوي لنظام؟ ثم ما هو قانون تغير الزخم الزاوي؟ إن

.السؤال األخير تعطي اإلجابة على السؤالين األوليين

ولذلك يمكن اشتقاق قانون تغيره رياضيا من . والحقيقة أن الزخم الزاوي يعرف رياضيا بداللة مفاهيم معروفة مجموعة القوى مع إضافة iللجسيم 8.5فنبدأ من معادلة . قوانين نيوتن دون الحاجة إلى أساس تجريدي جديد

الداخلية المؤثرة على هذا الجسيم

ddt

nLM M Fi

ijj i

ij

0

، ثم جمع المعادالت الناتجة هندسيا نحصل على i =1,2,.......,nوبكتابة نفس المعادلة لكل جسيمات النظام ddt

ddt

n

F

nnL LM M F

i

i ij

ji i

i1 01

( )

أو بشكل مختصر )(

dtd

F FMLML 46.8

236

قانون تغير 46.8وتمثل المعادلة . الثاني صفرا، انطالقا من الخاصية الثانية للقوى الداخلية حيث يساوي المجموع معدل تغير الزخم الزاوي للنظام يساوي عزم الدوران للقوى المؤثرة عليه :الزخم الزاوي للنظام بصورة تفاضلية

.زخم الزاوي وعزم الدوران إلى نقطة األصل نفسهاومن الطبيعي أن نسند كال من ال. حول نفس المركزعند دراسة الحركة الدوانية للجسم والنظام بشكل 46.8، معادلة وتكمن أهمية قانون تغير الزخم الزاوي للنظام

، إذ يتم حذف كل القوى الداخلية للنظام غير impactونظرية الصدمة gyroscopeعام، كحركة الجيروسكوب . المعروفة أصال

قانون حفظ الزخم الزاوي للنظام 2.7.8فإن الزخم الزاوي للنظام يكون ثابتا . ة على النظام المعين يساوي صفراإذا كان عزم الدوران لكل القوى المؤثر

مقدارا واتجاهاddt

constL L 0 . 47.8

وكما هو معروف، ينشأ . ندما يتالشى عزم الدوران الخارجيدارا واتجاها عأي أن الزخم الزاوي لنظام يثبت مقفغواص . العزم الخارجي من خارج النظام بينما ينشأ العزم الداخلي من داخل النظام، وهذا األخير يساوي صفرا

وهذا الدوران . قفزتههوائي هابط من طائرة في الهواء، مثال، يبدأ بالدوران حول نفسه بعد مرور بعض الوقت من ولو سقط الغواص في فراغ . ال يحدث من حركة عضالته أو أطرافه بل بسبب عزوم أثر بها الهواء على الغواص

.خال من الهواء، لما استطاع تغيير زخمه الزاوي بواسطة أي التواء لجسمه على اإلطالق

ى النظام ذا قيمة محددة، لكن إحدى مركباته وإذا كان عزم الدوران الرئيسي للقوى الخارجية المؤثرة عل تساوي مقدارا ثابتا Oz، فإن ذلك يستلزم أن مركبة الزخم الزاوي على المحور مثال Mfz = 0صفرا،

dLdt

constzzL 0 . 1.47.8

أسـئـلـة مـحـلـولـة 17.8سؤال م

باحتكاك Ozفي مستوى أفقي حول محور رأسي ثابت Mلتها وكت 2a2aتدور منصة خشبية مربعة الشكل، أطوالها ، مربوطة بخيط عديم الوزن mبعرضها، ويتواجد فيه كرة ملساء، كتلتها ABينصف سطح المنصة مجرى أملس . مهمل

MF = Fa k ، مقدارهإذا ابتدأ النظام الحركة من السكون متأثرا بعزم دوراني ثابت. A، إلى النقطة a/2واالستطالة طوله قطع الخيط الذي يربط الكرة بالمنصة، ثم تحركت الكرة داخل t = 2 [s]وفي تلك اللحظة . t = 2 [s] حتى اللحظة

المجرى حسب العالقة MoM = x1 = [a ( t - 2 ) / 4 ] t 2 a

.t = 4 [s]و t = 2 [s]ة الزاوية للمنصة في اللحظتين أوجد السرع. المسافة المقطوعة x1الزمن بالثواني و tحيث

_________________________________________________________________________

.أنظر المورد..... أداة تستخدم لحفظ توازن الطائرة أو الباخرة ولتحديد اإلتجاه: الجيروسكوب 5

237

z

x y

A

Mo

Ca/2

O

2a

aaa/2

FaM

t=2t

a/2

a/2

Mo

C

vo =vtr

vtr

vrel

x1

y1

M

2a

aa

a/2

O1z

x1

O1

17.8كل م ـش

الـحــل تحت تأثير عزم Ozحول المحور MOكون من المنصة والكرة الصغيرة المثبتة إليها في النقطة يدور النظام الم

الزخم الزاوي . لذلك نستخدم قانون تغير الزخم الزاوي لهذا النظام. t = 2 [s]دوراني ثابت من بداية الحركة وحتى الثانية للنظام

Lsys = LP + LM 1 وي للمنصة الزخم الزا

LP = Oz k 2 وهو يساوي وفقا لنظرية المحاور المتوازية Czعزم قصور المنصة حول محور الدوران Ozحيث إن

Oz = M [ (2 a )2 +(2a)2 ] / 12 + M (O1C)2 = M [ 8 a2 ] /12 +M a2 / 4

Oz = 11M a2 / 12 3

اوي للمنصة ينتج أن الزخم الز 2وبتعويضه في المعادلة

LP = [11M a2 / 12 ] k 4

Moعندما تكون في الموقع Ozالزخم الزاوي للكرة الصغيرة بالنسبة لمحور الدوران

LM = ro m vtr 5

) .من حركة المنصة (سرجهة الكرة المكتسبة vtr، و O1متجه موضع الكرة بالنسبة لمركز اإلحداثيات المتحركة roحيث rوباستبدال eo ra [ / ]2 vو 2 tr a [ / ]2 2 e ينتج أن 5في المعادلة

LM = (m a2 / 2) k 6

6و 4الزخم الزاوي للنظام ينتج من جمع الجزأين

L sysM m

a11 6

122 k 7

أو رياضيا . مشتقة هذا الزخم الزاوي تساوي العزم الدوراني

238

ddt

sysF

LM 11 6

122M m

a ddt

Fa

k k 8

من الطرفين aبعد اختصار البعد kأو كمركبة 11 6

12M m

a ddt

F

9

، وحل الناتج كتكامل محدود ضمن الشروط االبتدائية التالية 9وبإعادة ترتيب المعادلة t = 0 , = 0 & t = 2 , =2 10

يعطي11 6

120

2M m a d dt

= F0

2

11

11 612

22M m

a F

12

2بداللة 12حل المعادلة

224

11 6

F

M m a( ) 13

، نحدد موقع الكرة لحظتئذt = 4 [s] وإليجاد السرعة الزاوية للمنصة والنظام بشكل عام في اللحظة

x1 t=4[s] = [a ( t - 2 ) / 4] t=4[s] = [a ( 4 - 2 ) / 4]

x1 = a / 2 14

وتكون سرجهتها في تلك اللحظة مكونة من . )ABمنتصف المجرى ( Cأي تتواجد الكرة في مركز المنصة في النقطة المركبتين المكتسبة والنسبية

vM = vtr + vrel 15

سرجهة الكرة المكتسبة

vtr = - ( a 4 / 2 ) i 16 aسرجهة الكرة النسبية فتحسب من المعادلة .t = 4 [s]السرعة الزاوية للمنصة في اللحظة 4حيث

vrel = dx1 /dt = ( a / 4 ) i 17 خمين المكتسب والنسبيزخم الكرة يساوي مجموع الز

KM = Ktr + Krel = 0.25 m a ( 1 - 2 4 ) i 18

ثوان t =4وبالتالي فالزخم الزاوي للكرة في اللحظة

L r KM M M m a

a

ma

i j k

k02

0

1 24

0 0

2 18

4

4

( )

( )

19

t = 4 [s]، أي الزاوي للنظام في تلك اللحظةينتج الزخم = 4عندما تكون 4مع المعادلة 19وبجمع المعادلة

239

Lsys Ma ma4

24

2

41112 8

2 1

( ) k 20

فمن . ظام يكون محفوظا، فإن الزخم الزاوي للنMfz = 0على المنصة والنظام kوحيث ال تؤثر أية قوى في اإلتجاه 20و 7المعادلتين

Lsys 4 = Lsys 2 1112 8

2 1 11 612

24

2

42

2Ma ma M m a

( ) k 21

يعطي 4حيث حلها بداللة

4 223 1

2 11 3

mM m( )

( ) 22

. لنسبية للكرة داخل المجرى األملسأي أن السرعة الزاوية للمنصة تزداد بعد تالشي عزم الدوران وهذا نتيجة للحركة ا

18.8ؤال م ـس، حول محور أفقي ثابت Rونصف قطرها M، كتلتها ة دائرية ومتجانسةتدور إسطوان

ويلتف حول اإلسطوانة خيط عديم الوزن واالستطالة، يرتبط . Oيمر بمركز كتلتها . m، كتلته Aبطرفه اآلخر الثقل

أوجد معادلة حركة الثقل المعلق إذا ما تحرك النظام من السكون تحت تأثير قوة وزن .أهمل االحتكاك عند الدوران. M = - 0.5 m g Rkم الدوران الثقل وعز

الـحــل وذلك بأخذ . 46.8سنحل هذا السؤال باستخدام قانون تغير الزخم الزاوي للنظام، معادلة

Oxمركبتها بالنسبة لمحور الدوران

mg

R

Mg

A

A

O

v

M

18.8كل م ـش

dLox / dt = MRx 1 ، اإلسطوانة والثقل الزخم الزاوي ألجزائه Loxر على النظام بينما عزم الدوران الرئيسي المؤث MRxحيث أن

Lox = LoxC + LoxA 2

الزخم الزاوي لإلسطوانةLoxC = Ox = MR2 / 2 3

vA = R بينما الزخم الزاوي للثقل ، LoxA = m vA R = m R2 4

خمالكليولذلك يكون الز اويالز Lox = ( M + 2 m ) R2 / 2 5

Oxالمؤثر على النظام هو العزم الناتج من وزن الثقل المعلق بالنسبة لمحور الدوران MRxمن جهة أخرى؛ العزم الرئيسي MRx = MFx - M = m g R - m g R / 2

MRx = m g R / 2 6

240

ينتج أن 1والتعويض بدل ذلك في المعادلة 6من المعادلة MRxو 5من المعادلة Loxوباستبدال مشتقة

( )M m

R dd t

mgR

2

212

2 7

وحيث أن dtdRy

كدالة تسارع 7، يمكننا كتابة المعادلة

.constgmM

my

2

8

وحل هذه المعادلة التفاضلية يبين بدون صعوبة أن

ym

M mgt C t C

12 2

21 2 9

إلى ما يلي 9وبالتالي تؤول المعادلة . C1 = C2 = 0تبدال الشروط االبتدائية ينتج أن وبعد اس

ym

M mgt

12 2

2 10

19.8ؤال م ـسفي السؤال السابق يرتفع لألعلى بعد ربط الطرف الثاني للحبل Aإذا افترضنا أن الثقل

. uبسرعة نسبية، مقدارها الحبل وصعد عليه Bإذا تسلق الثقل . m، كتلته Bبثقل آخر ، إذا ما تحرك النظام من السكون، وذلك باهمال االحتكاك في محور Aأوجد سرعة الثقل

. الدوران الـحــل

سنحل هذا السؤال باستخدام قانون حفظ الزخم الزاوي للنظام، وذلك ألن محصلة عزوم صفرا Oxالدوران حول المحور

MF = MFx i = 0 1

ولذلك فالزخم الزاوي يكون ثابتا

R

Mg

A

Ox

vrel= u

B

v

v

mg mg

19.8كل م ـشLOx = LOxo = const. 2

وألن النظام تحرك من السكون، فإن زخمه الزاوي االبتدائي يساوي صفرا LOxo = 0 3

ولهذا يؤول قانون حفظ الزخم الزاوي للنظام للشكل الرياضي التالي LOx = 0 4

اوية لإلسطوانة والثقلين يتكون الزخام الزللنظام حول محور الدوران من مجموع الز اويالز خمA وB

LOx = LOx C + LOx A + LOx B 5

الزخم الزاوي لإلسطوانة

LOx C = Ox = M R2 / 2 6

241

ا يعني أن حركته المطلقة تتحدد بفرق السرعة، فإن هذuيصعد على الحبل بالسرجهة النسبية Bوألن الثقل الثاني vB = u - vA للثقل اويالز خمولهذا فالز ،B بالنسبة لمحور الدورانOx

LOx B = m [ R2 - R u ] LOx B = m R (v - u ) 7 Aبينما يكون الزخم الزاوي للثقل

LOx A = m R2 LOx A = m R v 8

ينتج أن الزخم الزاوي للنظام هو 5في المعادلة 8 - 6وبتعويض الزخام الزاوية الواردة في المعادالت

LMR

mR m R uOx 2

2

22

9

، ينتج أن حل الناتج بداللة السرعة تبلغ 4بالصفر، معادلة 9وبمساواة المعادلة

umM

m4

2

v 10

20.8ؤال م ـسحول Oyzفي المستوى الرأسي 4Lيتحرك قضيب عديم الوزن، وطوله

، Bو Aويحمل القضيب ثقلين . Oالمار في النقطة Oxالمحور األفقي أوجد الزخم الزاوي للثقلين بالنسبة . على الترتيب 3mو mكتلتاهما ؟ وما المعادلة التفاضلية لحركة الثقلين؟Oللمركز

الـحــل الكينماتيكية انطالقا من مركز Bو Aنحدد خواص طرفي القضيب

Oاإلحداثيات rA = - L cos j - L sin k v j kA L Lcos sin

rB = 3 L cos j + 3 L sin k kjv sinLcosL 33B

3L

L

mg

vA

vB

3mg

O

z

x

y

A

B

20.8كل م ـش 44.8، معادلة يم الزاوي المدارالزخ

Lo = rA mAvA + rB mB vB

cosLsinL0Lsin33Lcos0m

cosLsinL0Lsin-Lcos-0mo

333

kjikjiL

i mLo228L 1

أما العزم الرئيسي للقوى المؤثرة على النظام فتحدد من المعادلة االتجاهية

MF = rA mAg + rB mB g

242

MF mg

mg

i j k i j k0 -Lcos -Lsin0

0 3Lcos 3Lsin0

0

30

MF = - 8 Lmg sin i 2

، حسب قانون تغير الزخم الزاوي، 2ومساواتها مع العزم الدوراني، معادلة 1شتقة الزخم الزاوي للمعادلة وباستبدال م ، ينتج أن 46.8والمعادلة

i i singmLmL 882 2 = 3 أو كمعادلة تفاضلية لحركة هذا النظام

072

sinLg+ 4

اسئالطاقة الحركية لألنظمة وللجسم الج 8.8 الطاقة الحركية للنظام 1.8.8

وحيث أنه من غير . لطاقات الحركية لمكوناته الجزئيةالطاقة الحركية لنظام هي الكمية القياسية المكافئة لمجموع اويكون للنظام طاقة . الممكن أبدا أن تكون سالبة، فإن أي طاقتين حركيتين تأتلفان معا لتعطيا طاقة حركية أكبر

فرية فقط إذا كانت جميع مكوناته الجزيئية ساكنةحركية ص . بسيطة ةمغير أن الطاقة الحركية لنظام ما لتتسم بس، vi = vC + vi Cوباستبدال . خلية وطاقة الحركة الجرميةطاقة الحركة الدا: واحدة، إذ يمكن فصلها إلى جزأين

وي مجموع الطاقات الحركية لكل الجسيمات المكونة له ، فإن طاقة حركة النظام تسا8.2كل ـشو 68.2معادلة

T mn

1

22

1i i

i

v = 12 1

m C C

n

i i ii

( ) ( )v v v v C C

T mn

C C 1

22

1

2i

ii i( )v v v vC C

2

أو كثالثة مجاميع

T m m mC

n

C

n

C

n

1

212

2 12

2

1 1 1i

ii i

ii i

i

v vv v C2 49.8

المجموع األول

12

12

12

2

1 1

2 2m m MC

n n

C Cii

ii

v v v

1.50.8

اوي نصف حاصل ضرب كتلة النظام الكلية ومربع سرعة مركز ، وهو يسلطاقة الحركية االنتقالية للنظاميمثل ا إذ يمكن كتابته على الصورة . 4.8أما المجموع الثاني فيساوي صفرا، قياسا على المعادلة . كتلته

12

2 01 1

m mC

n

C

n

i ii

i ii

v v v v C C 2.50.8

لداخلية كاهتزاز ، يساوي المجموع الثالث الطاقة الحركية لجسيمات النظام الناتجة من حركاتها اوأخيرا وباختصار؛ فإن طاقة حركة النظام . الجزيئات، وهذه تساوي صفرا

243

T M mC C

n

1

212

2 2

1

v vi ii

50.8

طاقة حركة النظام عند حركته المطلقة :Knig كينيجومن هذه المعادلة يمكن صياغة النظرية التالية التي صاغها إليها طاقة حركة كل الجسيمات المكونة للنظام عند حركتها تساوي طاقة الحركة اإلنتقالية لمركز كتلته مضافا

. النسبية بالنسبة إلى مركز الكتلة

الطاقة الحركية للجسم الجاسئ 2.8.8

ri ، متجهات مواضعهاmi، كتلها n ،nإذا كان الجسم الجاسئ مركبا من فئة من الجسيمات، عددها ن طاقة الجسم الجاسئ الحركية تعرف رياضيا بالمجموع الهائل ، فإ vi ،i = 1,2,...,nوسرجهاتها

T mnm

n

i

lim

0

2

1 2ii

i

v 1.51.8

وإذا كنا نعالج توزيعا مستمرا للكتلة ، فإن هذا المجموع يؤول إلى التكامل T dm

M

12

2v 2.51.8

: ونستطيع تمييز الحاالت الخاصة التالية . Mوهذا تكامل محدود ينبغي أن يشمل حداه الجسم بأكمله الحركة اإلنتقالية

نفس اإلزاحة ويتحرك بنفس إذا كان الجسم الجاسئ يتحرك حركة انتقالية فإن كل جسيم فيه يعاني وعليه فإن الطاقة الحركية الكلية. ؛ أي سرجهة مركز الكتلة السرجهة

T M C12

2v 52.8

. vCوسرعته Mلطاقة الحركية لجسيم مفرد ، كتلته والتي تكافئ ا

الحركة الدورانية حول محور ثابت

، فإن مثال Oz، الجسم الجاسئ يدور حول محور ثابتإذا كان ستدور في مدارات دائرية حول ) عناصر كتلته(كل جسيماته

viويمكن التعبير عن السرعة .10.8 كلـشالمحور نفسه، داللة مضروب بعده عن محور الدوران للجسيم االعتباطي ب

ai في السرعة الزاوية ،لدوران الجسم الجاسئ vi =ai . بصيغة مغايرة 1.51.8وعليه تكتب المعادلة

O y

x

z

ai

vi

ji

k

P

ri

10.8كل ـش

244

T m m anm

n

nm

n

i i

lim lim

0

2

1 0

2

1212i

i

ii i

i

v

T m anm

n

i

lim0

2

1

212 i i

i

1.53.8

إلى تكامل آخر 2.51.8وتؤول المعادلة الثانية

T dm a dm a dmM M M

12

12

12

2 2 2 2v ( ) 2.53.8

لتكامل المحدود في المعادلة الثانية، ألولى وا، وهما المجموع في المعادلة ا53.8ليتبين لنا أن معاملي المعادلتين من الجسيمات ) المتقطعة(يمثالن في الوقت نفسه عزم قصور الجسم الجاسئ أو النظام ذي الفئة المتميزة

z

n

m a i ii

2

1

للمادة ) متصل(مستمر ، أو عزم قصور جسم zM

a dm ولهذا نكتب . 2

T z12

2 54.8

ونقطة البداية هي قانون . ومن السهولة بمكان اشتقاق عالقة مهمة بين عزم الدوران ومعدل تغير الطاقة الحركيةيكون الزخم الزاوي مساويا Ozحول المحور فلحركة الجسم الجاسئ الدورانية. 46.8تغير الزخم الزاوي، معادلة

46.8للمعادلة المذكورة z، وتكون مركبة Lz =Iلحاصل ضرب عزم القصور في السرعة الزاوية ddt

ddt

MZ

F Z FzL M

( )

وبعد ضرب الطرفين في السرعة الزاوية وترتيبهما d

dtMz

( / )

2 2

أوdTdt

P 55.8

أي أن معدل تغير الطاقة الحركية يساوي القدرة، ولذلك نحصل على تعبير للقدرة التي يبذلها عزم الدوران على جسم جاسئ

P = Mz 56.8 هذا وقد لخصت الصيغ المتناظرة للحركتين االنتقالية . 19.8والمعادلة 56.8الحظ التشابة الواضح بين المعادلة

.التالي 1.8ل دوـالجوالدورانية في

245

الصيغ المتناظرة للحركتين االنتقالية والدورانية: 1.8جدول الحركة المستوية

لذلك فطاقة حركة الجسم . يمكن تمثيل الحركة المستوية كمجموع حركتين إحداها انتقالية واألخرى دورانية1كتلة الجاسئ تساوي المجموع الجبري لطاقة الحركة االنتقالية لمركز ال

22M Cv وطاقة الحركة الدورانية للجسم

1حول مركز كتلته 2

2C . أو رياضيا

T M C C 12

12

2 2v 57.8

. Cعزم قصور الجسم الجاسئ حول محور الدوران المار في مركز الكتله Cحيث

قانون تغير طاقة حركة النظام 3.8.8

يسري بصورة صحيحة لكل 25.5 - 23.5للجسيم المادي، والمعادالت 5.5سبق إثباته في البند إن القانون الذي، mi مثال، كتلته iوبالتالي؛ إذا درسنا حركة جسيم ما من جسيمات النظام، . جسيم من جسيمات النظام الميكانيكي

لقانون التغير في طاقة حركة iالرمز السفلي عندئذ ؛ بإضافة. viو vioوسرجهتاه في اللحظتين االبتدائية والنهائية ، نحصل على 1.24.5الجسيم بصورته التكاملية ، معادلة

12

mi vi2 - 1

2mi vi o

2 = Ai i + Ai e 58.8

، Aie، بينما الجسيمات في النظاممن باقي iشغل كل القوى الداخلية المؤثرة على الجسيم Aiiحيث يعرف المقدار إلى شغل القوى الخارجية Aiiلقد أضيف شغل القوى الداخلية . شغل كل القوى الخارجية المؤثرة على الجسيم نفسه

Aie ألن كل القوى المؤثرة من جسيمات النظام األخرى 1.24.5في المعادلة ،i j = 1,2,....n على الجسيم قوى . خارجية

فإن كتابة vi، وسرجهاتها mi، كتلها n ،i = 1,2,3,....nكون من مجموعة من الجسيمات، عددها وللنظام الم لكل جسيم من جسيماته، ومن ثم جمع كل المعادالت الناتجة حدا حدا يعطي 58.8المعادلة

12

12

2 2m v m v A Ai i i i i ii i i i=1

n

o=1

n

i=1

n

e=1

n

صيغة الحركة الدورانية صيغة الحركة االنتقالية الكمية الفيزيائية F التسارع a m m d

dtv Mz = I z = I z

ddt

T الطاقة الحركية M12

2v 12

2I

dA = F dS dA = Mz d الشغل P = F v P = Mz القدرة

246

أو بشكل أكثر اقتضاباT - To = Ai + Ae 59.8

بالترتيب tوالمعينة toالمجموعان الجبريان لطاقتي حركة نظام الجسيمات في اللحظة االبتدائية Tو Toحيث إن

T m vo

n

ii

i1

2o , T m v

n

ii

i1

2

Aالشغل الكلي لجميع القوى الداخلية المؤثرة على جسيمات النظام Ai من جهة أخرى، يمثل الرمز Ai i

n

ii 1

،

Aفيمثل الشغل الكلي لجميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام Aeا الرمز أم Ae e

n

ii 1

وعلى هذا األساس .

تغير الطاقة الحركيه لنظام جسيمات معين :قانون تغير طاقة حركة النظام بصورة تكاملية 58.8تعرف المعادلة الذي تبذله كل القوى الخارجية والداخلية المؤثرة على النظام عند معاناته إزاحة ما يساوي مجموع الشغل الكلي

التي 23.5ويمكن التعبير عن هذا القانون بداللة التغير في طاقة النظام الحركية؛ من معادلة .في هذه اإلزاحة تسري على أي جسيم من جسيماته

d (21 mi vi

2 )=dAi i + dAi e

أختير بشكل اعتباطي، فإن كتابة المعادلة المذكورة أعاله لكل جسيم من جسيمات النظام iجسيم وحيث أن ال وجمعها حدا حدا ينتج المعادلة

d m v d A d A12

2i i i i

i i i=1

n

i=1

n

e=1

n

1.60.8

أوdT = dAi + dAe 2.60.8

األولى لطاقة حركة النظام تساوي المشتقة: والتي تعبر عن قانون تغير الطاقة الحركية للنظام بصورة تفاضلية .الشغل الكلي المبذول على جميع أجزاء النظام خالل الفترة الزمنية المعينة

ة ـولـلـحـلة مـئـأس

.سنعتبر البكرات عديمة الوزن وملساء والحبال عديمة الوزن واالستطالة ما لم يرد عكس ذلك: تنبيـــه

21.8ؤال م ـسالسرعة االبتدائية النزالق vإذا كانت . فوق مستوى أفقي أملس) B(، الذي يتحرك Bق آخر ، فوق صندوAينزلق الصندوق

أوجد السرعة النهائية للصندوقين والمسافة التي يقطعها الصندوق . فوق األخر، الذي ابتدأ الحركة من السكون Aالصندوق mA = m ،mB = Mو معامل االحتكاك بين الصندوقين . Bالعلوي حتى تستقر حركته فوق

الـحــل يبدأ تباطؤه نتيجة االحتكاك إلى أن تصل Bوانزالقه فوق الصندوق vالسرعة االبتدائية Aحال إعطاء الصندوق العلوي

فيبدأ حركته من السكون ، تحت تأثير قوة االحتكاك الناتجة من Bأما الصندوق السفلي . vAB = 0سرعته النسبية صفرا

247

قد ) ي العلو( ، يكون فيه الصندوق اآلخر vfوتزداد سرعته إلى أن تصل حدا معينا ، سرعة نهائية Aوق حركة الصندفظ فمن قانون ح. حركة جسم واحد فوق السطح األملس، وتؤول حركة الجسمين لحظتها إلى استقر فوق الصندوق السفلي x، ولالتجاه 2.16.8، معادلة الزخم للنظام في اتجاه الحركة

Kx - Kox = 0 1 B، بينما يكون الصندوق vنتيجة دسره بالسرعة Aففي اللحظة اإلبتدائية ، ينطلق الصندوق العلوي : الزخم اإلبتدائي

مستقرا Kox = Kox A + Kox B Kox A = m v & Kox B = 0

Kox = m v 2 قد اكتسب سرعة B، بينما يكون الصندوق السفلي vAf = 0وي في اللحظة النهائية، تخمد حركة الصندوق العل: الزخم النهائي

vBf = vfمقدارها Kx = Kx A + Kx B = 0 + ( M + m ) vf

21.8كل م ـش

Kx = ( M + m ) vf 3 يكون 1في المعادلة 3والنهائي ، معادلة 2وبتعويض الزخمين، اإلبتدائي ، معادلة

( m + M ) vf - m v = 0 4 لنجد السرعة النهائية للصندوقين

v vfm

m M

5

ركان عندئذ بسرعة واحدة يتح(تتحدد المسافة التي يقطعها الصندوق العلوي فوق الصندوق السفلي حتى تستقر حركته 58.8، معادلة بالنسبة إلى السطح األملس من قانون التغير في طاقة حركة النظام ) ومنتظمة

T - To = A 6 طاقتا حركة النظام اإلبتدائية والنهائية

To = TAo + TBo =12

m v2 + 0 To = 12

m v2 7

T = TAf + TBf = T(A+B)f T = 12

( m + M ) vf2 8

قوة االحتكاك هي القوة الوحيدة التي . م يكافئ المجموع الجبري ألشغال مركبات القوة الخارجيةالشغل المبذول على النظا. Bفوق الصندوق dوتبعا لذلك ، يتوقف هذا الصندوق بعد إزاحته المسافة . Aتعمل شغال، إذ تعيق حركة الصندوق العلوي

Aشغل هذه القوة على الصندوق AFA = - m g d 9

، أي أن حركته تتم في الوقت الذي يتم فيه الصندوق العلوي نفس Aيتحرك وهو حامل الصندوق العلوي Bالصندوق لذلك تعتبر قوة االحتكاك هنا قوة داخلية . الحركة

احتـكاك بــدون احــتكاF

F’

F

NB

mgNA A

B

A

(M+m)g

، B

248

AFB = 0 10

10و 9الشغل الكلي، نجمع العالقتين A = AFA + AFB = - m g d 11

،6معدل تغير الطاقة في معادلة 11و 8، 7نعوض العالقات 12

( m + M ) vf2 - 1

2m v2 = - m g d 12

ثم حل الناتج بداللة المسافة ينتج أن 12، وتعويضها في المعادلة 5، بقيمتها من المعادلة vfوباستبدال

d Mg M m

v 2

2 ( ) 13

22.8ؤال م ـسمن جهةG . ، بواسطة حبل يلتف حول بكرة B، بدون انزالق على سطح أفقي، ساحبة معها الثقل Aة المجوفة تتدحرج العجل

متر، بحيث يناظر الوضع /نيوتن 164إلى حائط جانبي بواسطة زنبرك، معامل مرونته Oأخرى يشد مركز العجلة الهندسي أوجد سرعة مركز العجلة الهندسي عند دورانها نصف دورة باالتجاه . متر 0.8، شد الزنبرك بالمقدار 1م ـرساالبتدائي،

نصف قطر تدويم العجلة بالنسبة للمحور األفقي المار في مركز كتلتها . الموجب، وذلك إذا ما ابتدأ النظام الحركة من السكونC = 0.2 [m] ونصف قطرالعجلةR=0.32[m] ،mA = 20[kg] و mB = 4 [kg].

ل الـحــ

، وبالتالي فإزاحة 4 و 1 انـمـالرس، متر xo =0.8تتدحرج العجلة إلى اليسار تحت تأثير قوة شد الزنبرك للمسافة وبينما يتطلب حل السؤال معرفة السرعة الزاوية للعجلة لحظة إنهائها اإلزاحة المذكورة فإن ذلك . النظام األفقية محددة

فنكتب . بالتحديد 59.8حركية للنظام، والمعادلة يستدعي استخدام قانون تغير الطاقة الT - To = A i + A e 1

كان النظام ساكنا لحظة بداية الحركة، ولذلك فطاقته الحركية االبتدائية تساوي الصفر . فنبدأ بتحليل عناصر هذه المعادلةTo = 0 2

Bوالثقل Cالعجلة : قات أجزائه المكونة له وتتحدد طاقة حركة النظام في اللحظة النهائية بالمجموع الجبري لطاT = TC + TB 3

57.8تتحرك العجلة حركة مستوية ، فطاقتها الحركية لحظة إنهائها نصف دورة ، معادلة

TC = 0.5 Cx 2 + 0.5 M vC2 4

Cعزم قصور العجلة بالنسبة لمركز كتلتها Cxسرعتها الزاوية النهائية بينما حيث

Cx = M 2 = 20 0.22 = 0.8 [kg m2 ] 5

3م ـرسسرعة مركز كتلة العجلة ،

vC = PC = 0.12 6

ينتج أن طاقة حركة النظام 4في المعادلة 6و 5وبتعويض القيم

TC = 0.5 0.8 2 + 0.5 20 0.122 2 = 0.544 2 [ J ] 7

249

52.8تقالية فقط من المعادلة ، حركته ان Bتتحدد طاقة حركة الجسم TB = 0.5 mB vB

2 8

3م ـرس، رعة نقطة التالمس العلوية للعجلةس Bحيث تساوي سرعة صعود الجسم vB = vE = 0.64

ينتج أن 8، في المعادلة vB = 0.64 وباستبدال . تمثل المركز اللحظي للسرعات Pألن

TB = 2 ( 0.64 )2 = 0.8192 2 [ J ] 9

ينتج أن طاقة حركة النظام 9و 7وبجمع الحدين T = 1.3632 2 10

22.8كل م ـش

، بينما شغل Ai = 0ولحساب الشغل المبذول من القوى المؤثرة الخارجية والداخلية نبدأ بشغل القوة الداخلية المساوي للصفر القوى الخارجية المؤثرة

Ae = AC + AB + AS 11 يبلغ yC = 2 0.2 = 0.4 [m]الشغل المبذول من قوة وزن العجلة نتيجة اإلزاحة الرأسية بالمقدار

AC = M g yC = 20 9.8 0.4 = 78.4 [ J ] 12 2م ـرس، yBالكتسابه اإلزاحة الرأسية Bالثقل ) الذي يخسره ( والشغل المبذول على

AB = mB g xE = 4 9.8 - 2 R = = - 78.4 [ J ] 13

B

D

Lo 0.8

xo 0.8 m

R =1 m

x1 =0.2

C 0.12

E

B

yB

P

D

R

0.2xE E

P

vE

vO

vC

B

E

E

R

C0.2

O A

O

C

العجلة : 3ســــم ر

الزنبرك : 4 ســــمرالوضع االبتدائي: 1 ســــمر

الوضع النھائي :2ســــم ر

250

وأخيرا ، الشغل المبذول من قوة الزنبرك يتطلب معرفة إزاحة مركز العجلة الهندسي

xo = 0.8 [m] x1 = xo - R = 0.8 - 0.32 = - 0.2 [m]

A c x xS o 2

1642

0 8 0 221

2 2 2 . ( . )

AS = 49.2 [ J ] 14 لينتج أن 12 - 14غل الكلي للنظام يتم بجمع وبالتالي فالش

A = 49.2 [ J ] 15 مع بعض ينتج أن 12و 10وبربط المعادلتين

1.3632 2 = 49.2

= 6 [rad / s ] , = 6 k[rad / s ] 16 ومنها نجد أن سرعة مركز العجلة الهندسي

vo = R = 0.32 6 = 1.92 [m /s ] 17

23.8ال م ؤـسمتر بينما نصفا x =0.4، من اسطوانتين متداخلتين بعضهما مع بعض باحكام، نصف قطره التدويمي Bيتكون الدوالب

المعلق بحبل يلتف حول اسطوانة الدوالب الصغرى الحركة Aوعندما يبدأ الجسم . R = 2 r = 1 [m]قطره الهندسيين أوجد . متر 0.1، بينما يكون الزنبرك لحظتها مشدودا بالمقدار Mبعزم دوراني ثانية، يتأثر الدوالب/متر 6لألسفل بسرعة

، ثابت mB = 100 [kg]و mA = 20[kg]اعتبر . لألسفل عندما يتوقف النظام عن الحركة Aمقدار إزاحة الجسم M = 358 i [N m]وأخيرا العزم الدوراني c = 200 [N.m]الزنبرك

23.8كل م ـش الـحـل

. باتجاه عقارب الساعة، وهذا يؤدي إلى سحب الزنبرك لليمين فيشده أكثر Bلألسفل، يتحرك الدوالب Aعندما يتحرك الجسم فإن ذلك يستدعي استخدام قانون تغير الطاقة الحركية للنظام، معادلة Aوبينما يتطلب حل السؤال معرفة إزاحة الجسم المعلق

فنكتب . بالتحديد 58.8

M

c

محور أفقي

AA

By

rR

vB

Ox x O

251

T - To = A 1 T = TA + TB

في اللحظتين االبتدائية والنهائية Aطاقتا حركة الجسم TAo = 0.5 m v2 , TA = 0.5 m vf

2 ,

TAo = 0.5 20 62 = 360 [ J ], vf = 0 TA = 0 2 ائية في اللحظتين االبتدائية والنه Bوطاقتا حركة الدوالب

TBo = 0.5 Ox 2 , TB = 0 3

السرعة الزاوية لدوران الدوالب و Oxعزم قصور الدوالب حول المحور Oxحيث Ox = M 2 = 100 0.42 = 16 [kg m2]

v

rrad sBo 6

0 512

.[ / ]

ج أن ينت 3وبتعويض ذلك في المعادلة TBo = 0.5 16 122 = 1152 [J] , TB = 0 4

الفرق في الطاقة الحركية بلغT = T - To = 0 - 360 - 1152 T = - 1512 [ J ] 5

أما الشغل الناتج من القوى المؤثرة على النظام فيتحدد بالمعادلة A = AA + AB + AS 6

وزن الثقل المعلق من قوة) المكتسب(الشغل المبذول AA = m g y = 20 9.8 y AA = 196 y 7

) بعكس الحركة ( Mوالشغل الذي يخسره العزم الدوراني AB = - M = - M y / r = - 358 y / 0.5 AB = - 716 y 8

وألن الزنبرك يزداد طوله ، مبتعدا عن وضع االستقرار فإنه يخسر شغال

A c x x yS o 2

2002

01 01 221

2 2 2 . ( . )

AS = - 40 y - 400 y2 9 ينتج أن الشغل الكلي 6، وتعويضها في المعادلة 7 - 9بقيمها من المعادالت ASو AA ،AMوباستبدال كل من

A = 196 y - 716 y - 40 y - 400 y2 A = - 560 y - 400 y2 10

ينتج المعادلة 5دلة ومساواة هذا مع فرق الطاقة ، معاy2 + 1.4 y - 3.78 = 0

والذي يعطي حلهاy = 1.366 [m] 11

24.8ؤال م ـسويلتف حولها حبل، . والمفرغة من الداخل بدون انزالق على سطح مائل، زاوية ميله Aتتدحرج اإلسطوانة المتجانسة

إلسطوانة بداللة إزاحته إذا ما تحرك النظام من السكون ؟ كتلة اإلسطوانة أوجد سرعة مركز ا. Bيرتبط بطرفه اآلخر الثقل M وكتلة الثقلm . نصفا قطري اإلسطوانةr وR.

252

24.8 كل مـش

الـحــل

Bوالثقل Aتتكون طاقة حركة النظام من مجموع طاقات حركة جميع عناصره، اإلسطوانة T = TA + TB 1

إذ تتحرك اإلسطوانة حركة مستوية ، ولذلك فطاقتها الحركية مكونة من الجزأين االنتقالي والدوراني TA = Ttran + Trot = 0.5 M vC

2 + 0.5 Cx 2 2

المار في مركز كتلتها Cxعزم قصور اإلسطوانة المفرغة حول المحور Cxحيث

Cx M R r 12

2 2( ) 3

لسرعة الزاوية ا بينما = vC / R 4

ينتج أن 2وتعويضهما في المعادلة 4من المعادلة و 3من المعادلة Cxوباستبدال

T M rR

A C

43

2

22v 5

Bالطاقة الحركية للثقل TB = 0.5 m vB

2 6

اني للسرجهات ، انظر الرسم السهم Dتساوي سرعة نقطة التماس مع اإلسطوانة Bحيث إن سرعة الثقل

vB = vD = vC + vDC vDC = R d / dt = vC

v2B = v2

C + v2DC - 2 vC vDC cos ( 90 - )

v2B = v2

D = 2 v2C ( 1 - sin ) 7

تبلغ Bينتج أن طاقة حركة الثقل 6وباستبدال ذلك في المعادلة TB = m v2

C ( 1 - sin ) 8

Mg

mg

A

y

C

z

Rr

yC

vC

B

90-

vDC

vC

vB

D

A

y

CyC

vC

vDC

B

y

yB

a

a

B

Ld

b

b

C

a,b & d الحبل

253

8و 5ة النظام تتكون من جمع العالقتين وعليه فطاقة حرك

T M rR

m C

43 1

2

22) ( sin ) v 9

الشغل المبذول من القوى المؤثرةA = AA + AB 10

الشغل الناتج من قوة وزن اإلسطوانة AA = M g yC sin 11

Bبينما شغل قوة وزن الثقل AB = - m g ( 1 - sin ) yC 12

وبالتالي فالشغل الكلي A = {( M + m ) sin - m } g yC 13

، لتحرك النظام من السكون ، ينتج To = 0حيث 13و 9، والعالقتين T = Aوأخيرا باستخدام قانون تغير الطاقة الحركية أن

M rR

m C43 1

2

22

) sin v = {( M + m ) sin - m } g yC

yCوإزاحة vCوحل هذا الناتج كدالة سرعة

v C Cg M m m

m M rR

y

44 1 3

22

( ) sin

( sin )

14

25.8ؤال م ـسدائرية لكل 3.6كيلوغرام ، بسرعة زاوية تساوي 40متر وكتلته 1.6، طوله ABيتحرك القضيب المتجانس

معامل المرونة األكبر للزنبرك : أوجد . 1 مـرسمتر عن وضع االستقرار ، 0.4ثانية عندما كان الزنبرك مشدودا بالمقدار الرسم للوضع األفقي، Bوضعا أفقيا باالتجاه السالب، وما سرعة القضيب الزاوية لحظة وصول طرفه حتى يأخذ القضيب

. c = 40 [N/m]؟ معامل مرونة الزنبرك على اليسار

25.8كل م ـش

الـحــل

عيه العمودي واألفقي ، فنكتب القضيب بين وض -نستخدم قانون تغير الطاقة الحركية للجسم الجاسئ T - To = A 1

L=1.6 [m]

0.40

0

A

BO

0.40

0

1.6 [m]

O

AB1

C

S ـمرســ

1 رســـم

2

254

االبتدائي -الطاقة الحركية للوضع العمودي

To = 0.5 Ax o2 = 0.5 34.13 3.62 = 221.16 [ J ] 2

Axعزم قصور القضيب حول المحور Axحيث إن

Ax = M L2 / 3 = 40 1.62 / 3 = 34.13 [ kg m2 ]

AB1األفقي -وعلى نفس المنوال نحسب الطاقة الحركية للوضع النهائي للنظام

T = 0.5 34.13 12

T = 17.07 12 4

yCاحتين، ولحساب الشغل المبذول من القضيب نتيجة إزاحته والشغل المفقود من الزنبرك نتيجة استطالته، نحدد أوال اإلز للزنبرك Sلمركز كتلة القضيب و

yC = 0.8 [ m ] , OB1 = S = 2.56 [ m ]

وعليه يكون الشغل الناتج من وزن القضيب AAB = M g y = 40 9.8 0.8 =313.6 [ J ] 5

بينما الشغل الذي يخسره الزنبرك

A c S cS

20 4

22 56 0 42 2 2 2 . . . = 3.197 c[ J ] 6

ينتج أن 1مع المعادلة 6 - 2العالقات وبربط

17.07 12 - 221.16 = 313.6 - 3.197 c 7

تؤول إلى 7يجب أن تكافئ الصفر ، ومعادلة 1وحتى يصل القضيب للوضع األفقي فإن قيمة 3.197 cmax = 534.76 [ J ] 8

أي أن معامل مرونة الزنبرك cmax = 167.32 [ N / m ] 9

، فإن السرعة الزاوية تأخذ القيمة 7نيوتن لكل متر في المعادلة = c 40أما إذا أستبدلنا 1 = 4.88 [ rad / s] 10

255

لنظام الجسيمات المقيد ر ـيـبـمـدأ دالـبـم 9.8ب تحرير إذ يج. رـيـبـمـدأ دالـبـميمكن تعريف وكتابة المعادلة التفاضلية لحركة الجسيم المقيد استنادا إلى

الجسيم من قيده، وإضافة قوة رد فعله وقوة قصوره المناظرة إلى القوة المؤثرة على الجسيم والتي يساوي من هذا النظام، مختارmi ، كتلته i، والجسيم nلنعتبر نظاما، ذا فئة جسيمات عددها . مجموعها الهندسي صفرا

رـيـبـمـدأ دالـبـمـ فطبقا ل. Riوقوة رد فعل القيد Fiتؤثر على الجسيم القوة الخارجية . بشكل اعتباطي لمتغيراتها يكون iبعد إضافة الرمز 54.4أو معادلة

Fi + Fi,in + Ri = 0 61.8

وبتكرار العملية لكل جسيمات النظام، وجمع المعادالت الناتجة حدا حدا نحصل على

F F Ri i ,i

iii

in

1

n

1

n

1

n

0 62.8

أوF + Fin + R = 0 63.8

Fنظام الجسيمات القوى الخارجية المؤثرة على) المتجه الرئيسي لكل(محصلة Fحيث إن F ii 1

n

R، و

Rمحصلة ردود أفعال القيود الخارجية المؤثرة علىالنظام R ii 1

n

محصلة قوى قصور جسيمات Fin، وأخيرا

Fiالنظامi

,in1

n

Fin = . في كل : لنظام الجسيمات المقيد مبدأ دالمبيرتمثالن 63.8و 62.8هاتان المعادلتان

Fلحظة زمنية أثناء حركة النظام المقيد يكون المجموع الهندسي للمتجهات الرئيسية الثالث، القوة الخارجية .مساويا للصفر Finوة قصوره المؤثرتان على نظام الجسيمات المتحرك وق Rوقوة رد فعل القيود الخارجية

؛ فإن O، المقاس من مركز اإلطار القصوري الثابت riبالمتجه iمن جهة أخرى؛ إذا حدد متجه موضع الجسيم من الجهة اليسرى يكون 62.8حاصل ضرب هذا المتجه في المعادلة اإلتجاهية

r F r F r Ri i i i ,i

i iii

in

1

n

1

n

1

n

0 64.8

أو بشكل مختصر

MF + Min + MR = 0 65.8

، MF = F rFعزم الدوران الرئيسي لمحصلة القوى الخارجية المؤثرة على نظام الجسيمات MFحيث أن ،Oويساوي محصلة عزوم الدوران لكل القوى الخارجية المؤثرة على جسيمات النظام بالنسبة للمركز الثابت

M F rF i ii 1

n

، ويساوي محصلة MR = R rRسي لمحصلة ردود أفعال القيود الخارجية العزم الرئي MRو

256

Rالنظام بالنسبة للمركز الثابت عزوم كل ردود أفعال القيود الخارجية المؤثرة على ri ii

1

n

Min، وأخيرا

م كل قوى قصور ، ويساوي محصلة عزوMin = Fin riالعزم الرئيسي لمحصلة كل قوى قصور جسيمات النظام

Fجسيمات النظام بالنسبة للمركز الثابت ri ii

,in1

n

Min = . يمكن القول 5ولهذا ؛ استنادا إلى المعادلة:

MFفي كل لحظة زمنية أثناء حركة النظام المقيد يكون المجموع الهندسي لعزم الدوران الرئيسي للقوى المؤثرة المؤثرة على النظام المتحرك مضافا إليهما العزم لقوى MRعال القيود الخارجية والعزم الرئيسي لقوى ردود أف

.مساويا للصفر Minقصوره

، وذلك لنظام الجسيمات غير المقيد بقيود خارجية، حينئذ؛ يتالشى 63.8ويمكن دراسة الحالة الخاصة لمعادلة كل المختصر وتؤول نفس المعادلة إلى الش. R = 0المجموع الثالث،

F + Fin = 0 66.8

، وتؤول المعادلة المذكورة إلى الشكل التالي MR = 0، 65.8كما يتالشى المجموع الثالث في المعادلة

MF + Min = 0 67.8

، بينما10.8أو 9.8قانون نيوتن الثاني لنظام الجسيمات الحر، لتكافئ أي من المعادلتين 66.8حيث تمثل المعادلة . 46.8قانون تغير الزخم الزاوي لنظام الجسيمات، والتي تكافئ المعادلة 67.8تمثل المعادلة

المستنبطتين من مبدأ دالمبير يسهل عملية حل المسائل إلنهما ال تحتويان أية 65.8و 63.8إن استخدام المعادلتين . ز أطر اإلسناد القصورية يساوي الصفرإذ إن محصلة القوى الداخلية ومحصلة عزومها حول مرك. قوى داخلية

فهما مناسبتان لدراسة الجسم الجاسئ أو نظام األجسام الجاسئة، وال تعتبر المعادلتان 67.8و 66.8أما المعادلتان إن استخدام مبدأ دالمبير يساعد على حل الكثير . نفسهما كافيتين لدراسة حركة النظام المتغير زمنيا دراسة وافية

أما . 65.8و 63.8ئل النظام المقيد، كإيجاد ردود أفعال القيود الخارجية، وذلك من مساقط المعادلتين من مسا . إيجاد ردود األفعال الداخلية، فيتطلب األمر فصل كل الجسيمات ودراسة كل جسيم على حدة

أسـئلـة مـحـلـولـة

26.8ؤال م ـس .في الخيط باستخدام مبدأ دالمبير للنظام Sلشد واحسب ا. بدون العزم الدوراني 18.8ؤال م ـس حل

الـحـل

، حركته انتقالية في خط مستقيم واإلسطوانة التي تدور حول المحور الثابت، حركتها Aيتكون النظام من الثقل المعلق ر الدوران التي ، وكالهما لألسفل، وقوة رد الفعل في محوmD g = Mgو mAg = mgيؤثر على النظام الوزنان . دورانية

aيتحرك الثقل المعلق بتسارع : نضيف للقوى األربعة الواردة أعاله قوى قصورية كما يلي. Zoو Yoتحلل إلى المركبتين لألسفل، لذلك تكون قوة قصوره مؤثرة لألعلى

257

FAin = - maA 1 العزم -كما يؤثر على اإلسطوانة الدائرة ازدواج قصوري

Min = - O i 2

عزم الدوران الرئيسي للقوى الفاعلة حول محور الدوران

MF = mA g R = m g R 3

والعزم الرئيسي لقوى القصور حول محور الدوران

Min = - m R2 - O 4

حول المحور Yoو Xo، المركبتين Rحيث إن العزم الرئيسي لقوتي رد الفعل Ox يساوي صفرا .

MR = 0 5

نحصل على 65.8في المعادلة الرئيسية 5-3تبدال العالقات وباس

m g R - m R2 - O = 0 6

يبين 6فإن استبدالهما في المعادلة O = 0.5 MR2و R = aA = aوحيث أن التسارع يكون

26.8كل م ـش

a am

m MgA

2

2 7

للشروط اإلبتدائية نفسها يعطي 7حل المعادلة ). بدون تأثير عزم الدوران( 18.8م ؤالـس ،8وهي تكافئ المعادلة

ym

M mg t

22 8

mg، مبقين القوة الفاعلة S، ونعرف قوة الشد بالرمز 2رسم ، Aلحساب الشد، نحرر طرف الخيط والثقل المعلق لألعلى jآخذين باالعتبار االتجاه 63.8دلة نكتب المعا. كما في الحالة األولى FAinوالقصورية

- m g + Fin + S = 0 9

S = m g - Fin = m g - m a

نجد أن الشد في الخيط 7من المعادلة aوباستبدال التسارع

SMmm M

g2

10

27.8ؤال م ـسالذي يتحرك على سطح أفقي خشن، معامل احتكاكه Cن إنزالق على سطح مائل وتسحب معها الثقل بدو Aتتدحرج العجلة

بواسطة البكرة الملساء ،B أوجد تسارع الثقل . المثبتة في أعلى المستوى المائلC تتكون العجلة : للمعطيات التاليةA من، ويميل السطح = R، ونصف قطر تدويمها يساوي 2Rو Rاسطوانتين متداخلتين ومحكمتا التركيب، أنصاف أقطارهما

.mA = 2 mو C = M , mB = mعن األفقي بالزاوية

R

O

mg

Mg

Yo

Zo

M in

A

v a

FAinA

va

FAin

S

y

mg

2رسم 1رسم

258

2R

R

RB

A

C

A

CxC

FCMg

2mg

aC

S2

S1

FA

S’2

S’1

MBin

YB

ZB

FAin

aA

MAin

NA

y1

B

NC

FCin

x

27.8كل م ـش الـحـل

.، ونحدد القوى الفاعلة والقصورية على كل جزءCو A ،Bنفصل عناصر النظام إلى أجزائه Aالعجلة

بعكس الحركة، FAعمودية على السطح المائل وقوة اإلحتكاك NAالفعل لألسفل، قوة رد2mg تؤثر عليها قوة وزنها والعزم الرئيسي aAبعكس اتجاه التسارع FAinكما يؤثر على العجلة قوة القصور . S1مضافا إلى كل ذلك الشد في الخيط

MAinلقوى القصور

FAin = 2maA & MAin = A A = 2m R2 A Bالبكرة الملساء

مـن S’1 ،S’1 = S1، والشـد فـي الخـيط RA ،RB=YB+XBلألسـفل، قـوة رد الفعـل mgتؤثر عليها قوة وزنها ، MBinكمـا يـؤثر علـى البكـرة عـزم القصـور C ،S’2 = S2من جهـة الثقـل S’2والشد اآلخر Aناحية العجلة MBin = BBبعكس الدوران ،

Cالثقل

بعكس الحركة، FCعموديا على السطح لألعلى وقوة اإلحتكاك NCلألسفل، قوة رد الفعل Mgثر عليه قوة وزنه تؤFC = Mg . في الخيط مضافا إلى كل ذلك الشدS2 . وأخيرا يؤثر على الثقل قوة القصورFCin بعكس اتجاه التسارعaC .

: لعناصر النظام الثالثة 65.8و 61.8والعزوم معادلتا القوى : نكتب معادالت دالمبير

Aالعجلة

2 m g sin - FA - S1 - FAin = 0 1

NA - 2 m g cos = 0 2 FA R - 2 S R - MAin = 0 3

Bالبكرة R ( S1 - S2 ) - MAin = 0 4

Cالثقل

259

S2 - FC - FCin = 0 5 نكتب ) تتدحرج بدون انزالق Aالعجلة ( ولدرجة حرية واحدة للنظام

AAA RRa & CCDA axxR 3 a

ACaR3

b

وتبعا لذلك يكون

FAin = 2 m aA = 23

maC c

FCin = MaC d

ثم كتابة األخيرة بعد جملة من االختصارات 5-1في المعادالت a - dوباستبدال العالقات

2 m g sin - FA - S1 - 23

maC = 0 6

FA - 2 S1 - 23

maC = 0 7

S1 - S2 - 12

m aC = 0 8

S2 - Mg - M aC = 0 9

matricesوتحل بواسطة نظرية المحددات . FAو aC ،S1 ،S2: ذات أربعة مجاهيل 9 - 6هذه المعادالت األربعة theory ر . ة تنحنية المتغيرات واحدا واحداعلى كل حال، سنحل هذا السؤال بطريق. لمن يمتلك ناصيتهافنبدأ بتنحية المتغي

FA منهما 7و 6من المعادلتين واحدة وهكذا ثالث معادالت بثالثة مجاهيل . فنحصل على معادلة 2S1 - 2 S2 - m aC = 0 8

S2 - Mg - M aC = 0 9

6 m g sin - 9 S1 - 4 m aC = 0 10

حلها يكون

am M

m MgC

62 3

17 18sin

11

SM M m

m Mmg1 2

4 3 217 18

( ) sin

& 12

Sm

m MMg2

17 1217 18

( sin )

13