identification des parametres de la machin asynchr

8/17/2019 Identification Des Parametres de La Machin Asynchr

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Résumé

Le travail présenté dans ce mémoire traite de la modélisation, la commande vectorielle et

l’identification paramétrique de la machine asynchrone (à induction) triphasée. Une

commande vectorielle de la machine asynchrone devient performante du moment où les

paramètres du modèle mathématique sont connus. La modélisation tient en considération

les phénomènes de saturation magnétique et pelliculaires, la validation des modèles se fait

par superposition avec des essais réels. Avec les modèles conçus, nous procédons à l’étude

de la commande vectorielle à flux rotorique orienté. Une analyse concernant la sensibilité

des performances de commande face à la connaissance paramétrique de la machine étant le

but principal. Des techniques de commande adaptative ont été abordées, tout en évitant

l’identification en temps réel. Enfin, des méthodes d’identification paramétriques,

déterministes et statistiques (maximum de vraisemblance) non linéaires, sont abordées. La

validation des algorithmes conçus dans l’environnement MatLab / Simulink se fait par

l’identification basée sur essais réels.


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Avant-Propos

Ce travail de maîtrise a été accompli au Laboratoire d’Électrotechnique, d’Électronique de

Puissance et de Commande Industrielle (LEEPCI) du Département de génie électrique et de

génie informatique de l’Université Laval et au Laboratoire de Projets (LPR) de l’École

d’Ingénieurs et Architectes de Fribourg (EIA-FR) en Suisse. Je tiens donc à remercier

particulièrement les personnes suivantes :

Je remercie M. Hoang Le-Huy, pour avoir accepté la direction de ce mémoire. Je remercie

également mon co-directeur de recherche, M. René Wamkeue, pour son soutien financier et

technique, sa disponibilité et ses conseils professionnels, tout au long de ce travail, pour

m’avoir témoigné sa confiance en me proposant ce sujet.

Je suis reconnaissant à M. Mustapha Lakehal, Professeur au département de génie

électrique de l’EIA-FR, pour ses conseils judicieux et son soutien financier, et pour avoir

accepté d’être membre du jury de mémoire. Merci aussi à M. Innocent Kamwa pour son

soutien logistique et financier, et pour avoir aussi accepté de faire partie du jury.

Toute ma reconnaissance à ma mère Claire, à mon père Aldo, à mon frère Joël, à toute ma

chère famille, et à tous mes amis.

Davide Aguglia


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à Daniele Aguglia, Egidio et Palmira


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Table des matières

Résumé.................................................................................................................................... i

Avant-Propos........................................................................................................................ ii

Table des matières ............................................................................................................... iv

Liste des figures................................................................................................................. viii

Liste des tableaux................................................................................................................. xi

Introduction générale ........................................................................................................... 1

CHAPITRE I......................................................................................................................... 3

1 MODÉLISATION DE LA MACHINE ASYNCHRONE.........................................3 1.1 Introduction............................................................................................................. 3 1.2 Hypothèses simplificatrices .................................................................................... 4

1.2.1 Hypothèse du premier harmonique................................................................. 4 1.2.2 Circuit magnétique parfaitement feuilleté ......................................................4 1.2.3 Saturation magnétique négligée...................................................................... 4

1.3 Équations de la machine asynchrone triphasée....................................................... 5 1.3.1 Définition des enroulements de la machine asynchrone.................................5 1.3.2 Équations électriques et mécaniques en grandeur de phase ...........................6 1.3.3 Transformation de Park .................................................................................. 9 1.3.4 Mise en équations de la machine asynchrone en coordonnées de Park........11 1.3.5 Transformation des grandeurs en valeurs réduites (système en p.u.) ...........14 1.3.6 Généralisation au modèle à plusieurs enroulements rotoriques de la machineasynchrone .................................................................................................................... 16

1.4 Modélisation de la machine asynchrone par représentation d’état .......................19 1.4.1 Le système d’équation d’état ........................................................................ 19 1.4.2 Harmonisation des équations de tension et de flux.......................................20 1.4.3 Calcul des conditions initiales ...................................................................... 24 1.4.4 Prise en compte de la saturation magnétique dans le modèle d’état.............26

1.5 Mise en œuvre numérique du modèle d’état......................................................... 30 1.5.1 Outil numérique : Environnement MatLab...................................................30 1.5.2 Implantation dans l’environnement Simulink ...............................................32


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1.5.3 Prise en compte de la saturation magnétique dans les modèles Simulink .....34 1.5.4 Choix des variables d’état : flux versus courants .........................................35

1.6 Implantation de la saturation magnétique dans le modèle en courant ..................41 1.7 Simulations et validation des modèles conçus...................................................... 44

1.7.1 Différences entre simple cage, double cage, encoches profondes et effets de

saturation magnétique................................................................................................... 44 1.7.2 Simulations avec et sans saturation magnétique...........................................47 1.7.3 Validation des modèles par comparaisons entre les simulations et lesrésultats expérimentaux ................................................................................................ 57

1.8 Conclusion ............................................................................................................ 62

CHAPITRE II ..................................................................................................................... 63

2 COMMANDE VECTORIELLE DE LA MACHINE ASYNCHRONE................63 2.1 Introduction........................................................................................................... 63 2.2 Principes de la commande vectorielle par orientation de flux..............................64 2.3 Commande vectorielle à flux rotorique orienté ....................................................65

2.3.1 Contrôle vectoriel direct et indirect .............................................................. 69 2.3.2 Calcul des régulateurs de courant et de vitesse.............................................70

2.4 Simulations de la commande vectorielle à flux rotorique orienté ........................77 2.4.1 Contrôle vectoriel indirect en boucle ouverte...............................................77 2.4.2 Contrôle vectoriel indirect en boucle fermée................................................80

2.5 Sensibilité de la commande vectorielle aux variations des paramètres de lamachine asynchrone.......................................................................................................... 83

2.5.1 Dégradation générée par les effets thermiques .............................................83 2.5.2 Dégradation générée par les effets pelliculaires ...........................................84 2.5.3 Dégradation générée par la saturation magnétique.......................................88

2.6 Commande vectorielle adaptative......................................................................... 90

2.6.1 Estimation de la réactance magnétisante affectée par la saturationmagnétique.................................................................................................................... 90

2.7 Conclusion ............................................................................................................ 92

CHAPITRE III.................................................................................................................... 93

3 IDENTIFICATION DÉTERMINISTE.................................................................... 93 3.1 Introduction........................................................................................................... 93 3.2 Généralités sur l’identification paramétrique des systèmes..................................94

3.2.1 Identification paramétrique........................................................................... 94 3.2.2 Identification basée sur l’erreur de sortie .....................................................96

3.2.3 Identification basée sur l’erreur de prédiction ..............................................97 3.2.4 Le critère ou l’estimateur.............................................................................. 98 3.2.5 L’algorithme d’optimisation ......................................................................... 98 3.2.6 Identification en temps différé (off line).....................................................100 3.2.7 Identification en temps réel - méthodes récursives (on line) ......................101

3.3 Moindres carrés sur l’erreur de sortie ................................................................. 102 3.4 Moindres carrés pondérés................................................................................... 103 3.5 Méthode des moindres carrés simples ................................................................ 103


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3.6 Méthode des moindres carrées récursifs ............................................................. 105 3.6.1 Conditions initiales de l’algorithme des moindres carrés récursifs ............108 3.6.2 Paramètres variables dans le temps ............................................................ 108

3.7 Marche à suivre pour l’identification en temps différé.......................................109 3.8 Procédure d’identification par moindres carrées (MC) ......................................110

3.8.1 Les contraintes ............................................................................................ 110 3.9 Validation par essai simulé de l’algorithme basé sur les moindres carrés deserreurs de sortie............................................................................................................... 112

3.9.1 Construction d’essais simulés et validation ................................................112 3.9.2 Détermination des paramètres mécaniques.................................................117 3.9.3 Essai simulé bruité ...................................................................................... 120

3.10 Conclusion .......................................................................................................... 124

CHAPITRE IV.................................................................................................................. 125

4 INTRODUCTION À L’IDENTIFICATION STATISTIQUE .............................125 4.1 Introduction......................................................................................................... 125

4.2 Caractéristiques probabilistes du bruit................................................................ 126 4.2.1 Hypothèses sur les bruits du système d’identification................................127

4.3 Les critères stochastiques.................................................................................... 130 4.4 Observateurs déterministes et stochastiques, le filtre de Kalman.......................131

4.4.1 Observateurs de Luenberger ....................................................................... 131 4.4.2 Filtre de Kalman linéaire ............................................................................ 132 4.4.3 Filtre de Kalman en régime permanent (ou statique) .................................137 4.4.4 Filtre de Kalman-Bucy................................................................................ 138

4.5 Filtre de Kalman combiné à un algorithme d’identification...............................139 4.6 Estimation au maximum de vraisemblance de la machine asynchrone..............140

4.6.1 Formule de Bayes et fonction de vraisemblance ........................................140

4.6.2 Critère du maximum de vraisemblance ......................................................141 4.6.3 Procédure numérique de l’identification au maximum de vraisemblance..1424.6.4 Mise en œuvre de l’algorithme du maximum de vraisemblance ................145

4.7 Conclusion ..........................................................................................................148

CHAPITRE V ...................................................................................................................149

5 APPLICATION AUX ESSAIS REELS DES ALGORITHMESD’IDENTIFICATION......................................................................................................149

5.1 Introduction.........................................................................................................1495.2 Identification appliquée aux essais réels.............................................................150

5.2.1 Identification des paramètres électriques....................................................1515.2.2 Identification des paramètres mécaniques ..................................................1545.3 Validation croisée ...............................................................................................1555.4 Conclusion ..........................................................................................................157

Conclusion générale..........................................................................................................158 Perspectives ....................................................................................................................160


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vii

Bibliographie.....................................................................................................................161

Annexe A............................................................................................................................166 Listing des programmes Matlab et schémas Simulink pour la simulation de la machineasynchrone ......................................................................................................................166

Annexe B............................................................................................................................171 Listing des programmes Matlab et schémas Simulink pour la commande vectorielle de lamachine asynchrone........................................................................................................171

Annexe C............................................................................................................................175 Listing des programmes Matlab pour l’identification déterministe de la machineasynchrone ......................................................................................................................175

Annexe D............................................................................................................................179 Listing des programmes Matlab pour l’identification au maximum de vraisemblance dela machine asynchrone....................................................................................................179

Annexe E............................................................................................................................186 Photos installation de mesure pour l’identification de la machine asynchrone de Fribourg........................................................................................................................................186


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Liste des figures

Figure 1.1 : Représentation des enroulements d’une machine asynchrone ............................5Figure 1.2 : Représentation de la machine asynchrone de Park ...........................................11Figure 1.3 : Machine asynchrone de Park à plusieurs circuits rotoriques ............................16Figure 1.4 : Circuits équivalents généralisés de la machine asynchrone de Park ................17Figure 1.5 : Caractéristique d’une machine asynchrone entraînée au synchronisme ...........28Figure 1.6 : Facteur de saturation k ψ en fonction du flux de magnétisation.........................29

Figure 1.7 : Stabilité dans le lieu d’Evans ............................................................................32Figure 1.8 : Schéma de principe pour l’implantation dans l’environnement Simulink .........32Figure 1.9 : Schéma Simulink d’une machine asynchrone à double cage ............................33Figure 1.10 : Schéma Simulink d’une machine à double cage saturée .................................34Figure 1.11 : Schéma Simulink du calcul de k ψ , modèle en flux..........................................35

Figure 1.12 : Calcul du facteur de saturation pour le modèle en courant (modèle saturéapproximatif en négligeant la réactance dynamique) ...................................................36

Figure 1.13 : Courants statoriques au démarrage; étude en saturé des deux modèles..........37Figure 1.14 : Vitesse et couple au démarrage; étude en saturé des deux modèles ...............37Figure 1.15 : Calcul du facteur de saturation pour le modèle en courant (modèle exact) ....41Figure 1.16 : Schéma Simulink d’une machine saturée, modèle saturé en courant exact.....42

Figure 1.17 : Courants statoriques au démarrage; modèle en courant corrigé .....................43Figure 1.18 : Vitesse et couple au démarrage; étude en saturé, modèle en courant corrigé.43Figure 1.19 : Courants de démarrage simulés pour les trois types de rotor..........................45Figure 1.20 : Vitesses et couples de démarrage simulés pour les trois types de rotor..........45Figure 1.21 : Courant rotorique de la première cage dans un démarrage.............................46Figure 1.22 : Courant rotorique de la deuxième cage dans un démarrage............................47Figure 1.23 : Courants de démarrage et court-circuit triphasé symétrique...........................48Figure 1.24 : Zoom courant phase a: démarrage et c.c. triphasé symétrique .......................48Figure 1.25 : Vitesse et couple de démarrage et court-circuit triphasé symétrique..............49Figure 1.26 : Facteur de saturation, démarrage et court-circuit triphasé symétrique ...........49Figure 1.27 : Courants de court-circuit biphasé-terre...........................................................50

Figure 1.28 : Zoom courant phase a: c.c. biphasé contre terre.............................................50Figure 1.29 : Courants de court-circuit phase-terre ..............................................................51Figure 1.30 : Zoom courant phase a: c.c. monophasé contre terre.......................................51Figure 1.31 : Courants pendant l’échelon de couple mécanique (positif) ............................52Figure 1.32 : Zoom courant phase a: échelon positif de couple de charge...........................52Figure 1.33 : Vitesse et couple électromagnétique pendant l’échelon .................................53Figure 1.34 : Facteur de saturation pendant l’échelon de couple mécanique.......................53Figure 1.35 : Courants de démarrage et court-circuit triphasé symétrique – double cage ...54


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Figure 1.36 : Zoom courant phase a: démarrage et c.c. triphasé symétrique - double cage.54Figure 1.37 : Vitesse et couple de démarrage et court-circuit triphasé symétrique..............55Figure 1.38 : Facteur de saturation, démarrage et court-circuit triphasé symétrique – double

cage ...............................................................................................................................55Figure 1.39 : Schéma de mesure pour la validation des modèles.........................................57

Figure 1.40 : Tensions d’alimentation mesurées pendant le démarrage...............................58Figure 1.41 : Comparaison mesures-simulations des courants de démarrage ......................58Figure 1.42 : Zoom du courant de phase a pendant le démarrage ........................................59Figure 1.43 : Tensions d’alimentation mesurées pendant le c.c. triphasé symétrique..........60Figure 1.44 : Comparaison mesure-simulation entre les courants de c.c triphasé symétrique

......................................................................................................................................60Figure 1.45 : Tensions d’alimentation mesurées pendant le c.c. biphasé.............................61Figure 1.46 : Comparaison mesure-simulation entre les courants de c.c. biphasé ...............61Figure 2.1 : Relations entre flux-couple de consigne et courants de Park de consigne .......66Figure 2.2 : Schéma de principe de la commande vectorielle indirecte (boucle fermée).....68Figure 2.3 : Schématisation du régulateur PI de courant (réseau série) ...............................71Figure 2.4 : Principe de la compensation pour les régulateurs de courants..........................72Figure 2.5 : Schématisation de la régulation de vitesse........................................................74Figure 2.6 : Courbe typique de compensation PI pour un procédé intégrateur pur..............75Figure 2.7 : Schéma Simulink de la régulation de vitesse.....................................................76Figure 2.8 : Vitesse et couple pour un saut de consigne (0 à 1 p.u.) et régulation ...............76Figure 2.9 : Schéma Simulink de la commande à flux rotorique orienté en boucle ouverte.77Figure 2.10 : Allure du couple de consigne et simulé et vitesse mécanique – boucle ouverte

......................................................................................................................................78Figure 2.11 : Allures des flux rotoriques de Park – boucle ouverte ......................................78Figure 2.12 : Courants statoriques – boucle ouverte ............................................................79Figure 2.13 : Schéma Simulink de la commande à flux rotorique orienté en boucle fermée80Figure 2.14 : Allure de la vitesse et du couple (consigne et simulé) – boucle fermée .........81Figure 2.15 : Allures des flux rotoriques de Park (compensation présente)– boucle fermée

......................................................................................................................................81Figure 2.16 : Allures des flux rotoriques de Park (compensation absente)– boucle fermée82Figure 2.17 : Dégradations du couple et de la vitesse dues aux effets thermiques...............83Figure 2.18 : Dégradations des flux rotoriques de Park dues aux effets thermiques ...........84Figure 2.19 : Dégradations du couple électromagnétique dues aux effets pelliculaires.......85Figure 2.20 : Dégradations des flux rotoriques de Park dues aux effets pelliculaires .........85Figure 2.21 : Facteurs d’augmentation de r D et de diminution de x D dû à l’effet pelliculaire

......................................................................................................................................87Figure 2.22 : Dégradation du couple électromagnétique due à la saturation........................88Figure 2.23 : Dégradations des flux rotoriques dues à la saturation et facteur de saturation89Figure 2.24 : Schéma Simulink de l’estimateur du facteur de saturation..............................91Figure 3.1 : Structure de l’identification basée sur l’erreur de sortie ...................................96Figure 3.2 : Structure de l’identification basée sur l’erreur de prédiction............................97Figure 3.3 : Principe de la recherche d’un optimum...........................................................100Figure 3.4 : Séquence globale de l’identification par moindres carrés (MC).....................111Figure 3.5: Tensions d’alimentation de l’essai simulé (PPT) pour l’identification aux MC

....................................................................................................................................113Figure 3.6 : Courants de phase–identification MC sur essai (PPT)....................................114


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x

Figure 3.7 : Courants de Park – identification MC sur essai (PPT) ....................................114Figure 3.8 : Résidus sur les axes de Park - identification MC sur essai (PPT) ..................115Figure 3.9 : Courants de phase– identification MC sur essai de démarrage.......................118Figure 3.10 : Courants de Park – identification MC sur essai de démarrage ......................118Figure 3.11 : Résidus sur les axes de Park – identification MC sur essai de démarrage ...119

Figure 3.12 : Tensions d’alimentation de l’essai simulé (PPPT) pour identification MC - bruité ...........................................................................................................................120Figure 3.13 : Courants de phase–identification MC sur essai (PPPT) - bruité...................121Figure 3.14 : Courants de Park –identification MC sur essai (PPPT) - bruité ....................121Figure 3.15 : Résidus–identification MC sur essai (PPPT) - bruité....................................122Figure 4.1: Explication graphique de bruit blanc gaussien.................................................127Figure 4.2 : Schéma bloc d’un observateur de Luenberger ................................................131Figure 4.3 : Schéma de principe de la combinaison du filtre de Kalman à un algorithme

d’identification............................................................................................................139Figure 4.4 : Schéma de principe de l’identification au maximum de vraisemblance.........144Figure 4.5 : Schéma Simulink de principe pour l’identification au maximum de

vraisemblance .............................................................................................................147Figure 5.1 : Identification sur essai réel PPN – courants de phase.....................................151Figure 5.2 : Identification sur essai réel PPN – courants phase a (zoom) ..........................152Figure 5.3 : Identification sur essai réel PPN – résidus phase a .........................................152Figure 5.4 : Identification sur essai réel de démarrage – courants de phase.......................154Figure 5.5 : Identification sur essai réel de démarrage – courants de phase a....................155Figure 5.6 : Validation croisée sur essai de court-circuit triphasé symétrique...................156Figure 5.7 : Validation croisée sur essai de court-circuit phase-neutre..............................156


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Liste des tableaux

Tableau 1.1 : Grandeurs de référence pour la transformation en p.u....................................14Tableau 1.2 : Paramètres de la machine asynchrone du laboratoire LEEPCI ......................30Tableau 1.3 : Matrice A du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI ..................30Tableau 1.4 : Matrice B du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI ..................31Tableau 1.5 : Valeurs propres de la matrice A – pôles du système.......................................31Tableau 1.6 : Valeurs des paramètres de la même machine pour chaque type de rotor.......44Tableau 3.1: Paramètres de l’essai simulé et conditions initiales.......................................112

Tableau 3.2: Résultats de l’identification sur essai simulé (PPT) sans bruit......................115Tableau 3.3: Résultats de l’identification sur essai simulé sans bruit – PPPT et PT..........116Tableau 3.4: Résultats de l’identification sur essai simulé sans bruit – paramètres

mécaniques faux .........................................................................................................117Tableau 3.5 : Résultats de l’identification aux MC sur essai simulé de démarrage ...........119Tableau 3.6 : Résultats de l’identification MC sur essai simulé bruité PPPT - 6667 points

....................................................................................................................................122Tableau 3.7 : Résultats de l’identification MC sur essai simulé bruité PPPT - 20000 points

....................................................................................................................................123Tableau 4.1 : Résultats de l’identification avec critère MC et MV sur essai simulé PPPT146Tableau 5.1 : Machine asynchrone de l’EIA-FR – paramètres identifiés par méthode

classique......................................................................................................................150Tableau 5.2 : Résultats de l’identification aux moindres carrés sur essai réel (PPN) ........153Tableau 5.3 :Éléments caractéristiques de l’identification .................................................153Tableau 5.4 : Paramètres mécaniques identifiés par essai de démarrage ...........................154


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Introduction générale

Depuis une quinzaine d’années, la recherche dans le domaine des machines électriques,

continue à viser la machine asynchrone (ou à induction) de manière assidue. Ce phénomène

a été la conséquence des évolutions que l’électronique de puissance et de commande ont

connu pendant ces années. Avant cette évolution, la machine à courant continu était la reine

du domaine des entraînements à vitesse variable, avec tous les problèmes et désavantages

qu’un moteur de ce genre peut causer (coût de fabrication, coût d’entretien, faible couple

massique, etc.) Ensuite l’arrivée des nouveaux convertisseurs statiques de fréquence, ont

permis l’utilisation des machines synchrones dans un premier temps, plus tard, grâce à la

mise au point de nouvelles stratégies de commande implantables sur microprocesseur ou

DSP, les machines asynchrones. Un exemple de cette évolution est donné par les

changements de stratégie à bord du Train à Grande Vitesse (TGV) entre les débuts des

années ’80 et la moitié des années ’90. Ce train disposait d’abord des machines à courant

continu, puis synchrones et enfin asynchrones, en passant d’une puissance de 6450 kW à

12200 kW avec l’ Eurostar TGV tout en limitant l’encombrement des locomotives.

La technique de commande la plus utilisée dernièrement de la machine à induction

triphasée, est connue sous le nom de contrôle vectoriel. Elle est l’évolution du contrôle

scalaire mais maintien ses performances aussi en régime transitoire. De plus, les techniques

de régulation de la vitesse mécanique se voient simplifiées (dans le contrôle scalaire le

régulateur de vitesse doit être adaptatif à cause des phénomènes électromagnétiques

transitoires qui sont négligés). Cette simplification de réglage et l’augmentation des

performances en dynamique, se payent chères. En effet, la grande différence entre ces deux

stratégies de commande, réside dans le fait que pour un contrôle vectoriel les paramètres de

la machine doivent être connus assez précisément. Les difficultés se déplacent alors, vers

les méthodes d’identification des paramètres du moteur. La dynamique du contrôle devient


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2

de plus en plus efficace avec une bonne connaissance paramétrique. Pour ces raisons, nous

allons présenter des techniques d’identification paramétriques basées sur le modèle de

Park . Les effets de saturation magnétique seront pris en compte.

La partie modélisation occupe une phase importante du travail car c’est sur elle quel’identification et la commande s’appuient. La commande vectorielle est présentée dans

l’objectif de prendre conscience de l’importance de l’identification paramétrique.

L’identification s’articule en deux étapes, la première considère un environnement

déterministe et la deuxième stochastique. La structure du rapport est la suivante :

Le chapitre 1 est consacré entièrement à la modélisation de la machine asynchrone

triphasée, prenant en considération les effets pelliculaires et de la saturation magnétique, le

tout dans l’environnement MatLab / Simulink . Nous effectuons la superposition d’essais

réels avec les simulations pour valider les modèles conçus.

Dans le chapitre 2, nous développons les principes de la commande vectorielle à flux

rotorique orienté, et nous proposons une technique de contrôle adaptatif. Dans un deuxième

temps, les simulations dans Simulink de ce contrôle sur la machine modélisée au chapitre 1

sont proposées.

Le chapitre 3 traite de la technique de base utilisée dans ce travail concernantl’identification. Il présente les méthodes (déterministes) par moindres carrés basées sur

l’erreur de sortie. Les algorithmes bâtis sont validés par des essais simulés et l’influence du

bruit de mesure sur les résultats obtenus est exposée.

Le chapitre 4 est consacré à la théorie de l’identification par maximum de

vraisemblance qui fait face aux inconvénients des bruits de mesure. Le filtre de Kalman est

développé et utilisé dans l’algorithme d’identification pour prédire les états bruités du

modèle.

Dans le chapitre 5, nous appliquons les méthodes d’identification proposées à l’aide

d’essais réels obtenus sur la machine asynchrone du laboratoire de machine électriques de

l’école d’ingénieurs de Fribourg.


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CHAPITRE I

1 MODÉLISATION DE LA MACHINE

ASYNCHRONE

1.1 Introduction

Un modèle est un outil mathématique qui permet de représenter ou de reproduire plus ou

moins bien un système réel donné. L’intérêt d’un modèle est l’analyse et la prédiction du

comportement en régime stationnaire ou dynamique du système physique, sans

nécessairement y inclure toutes les contraintes qu’il présente (limites d’isolation,

thermiques, mécaniques, etc.) Dans ce travail, une modélisation fiable et suffisamment

précise de la machine à induction triphasée est proposée. Elle présente une importanceessentielle car il lui sera associé une commande vectorielle répondant aux exigences

actuelles d’entraînement des moteurs asynchrones. Une grande précision étant

généralement requise dans les systèmes de commande, un modèle répondant également aux

exigences de précision devient un impératif. Il est important de rappeler que toutes les

structures de commande et de régulation s’appuient sur un modèle du système à

commander. Dans le cas de la machine asynchrone le type de modèle couramment utilisé

pour développer sa commande est le modèle de reconnaissance ou d’état, construit à partir

des équations différentielles qui régissent le comportement de la machine (Chatelain 1983,

Kundur et al 1986, Boldea et al 1986, Barret 1987, Krause et al 1995, Caron et al 1999,

etc.) La machine électrique étant un système très complexe pour tenir compte dans sa

modélisation complète de tous les phénomènes physiques qu’elle contient, il est essentiel

de poser quelques hypothèses simplificatrices.


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4

1.2 Hypothèses simplificatrices

1.2.1 Hypothèse du premier harmonique

La répartition spatiale de la densité de flux (ou induction) magnétique au travers de

l’entrefer sera supposée parfaitement sinusoïdale. Ce qui se traduit par une variation

sinusoïdale, en fonction de la position du rotor, des inductances mutuelles entre stator et

rotor. Cette hypothèse implique une variation nulle de la perméance magnétique due aux

encoches.

1.2.2 Circuit magnétique parfaitement feuilleté

Les courants induits dans le circuit magnétique (courants de Foucault) seront supposés

négligeables en raisons des isolements électriques présents sur les plans décrits par la

direction de circulation du flux magnétique.

1.2.3 Saturation magnétique négligée

La saturation magnétique ne sera pas prise en compte dans un premier temps afin d’écrire

les flux propres de la machine comme des fonctions linéaires des courants, les inductances

étant supposées constantes. Elle sera ultérieurement intégrée dans le modèle de Park.


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5

1.3 Équations de la machine asynchrone triphasée

1.3.1 Définition des enroulements de la machine asynchrone

Le stator de la machine est constitué de trois enroulements répartis dans l’espace et séparés

d’un angle électrique de2

3

π radians. Le rotor que ce soit à simple cage d’écureuil ou

bobiné, est aussi formé de trois enroulements, car un système de courants triphasés

symétriques s’établi lors d’un fonctionnement en régime permanent. La Figure 1.1 présente

la schématisation des enroulements du stator et du rotor :

a

c

b

C

A

B

θ

Figure 1.1 : Représentation des enroulements d’une machine asynchrone

Il est à noter que les grandeurs rotoriques ont des indices en majuscule et celles du stator

en minuscule. L’angle électrique θ indique la position du rotor par rapport au stator. Si θ

est nul, l’enroulement de phase « A » de la partie mobile se trouve aligné à l’enroulement

« a » de la partie fixe, d’un point de vue magnétique. Par les hypothèses posées, seules les


18/199

6

inductances mutuelles entre stator et rotor sont fonction de l’angle θ (Chatelain 1983,

Ferfra 1993, Lakehal 2004), soit :

( ), , , , , , , ,

aa bb cc

AA BB CC

ab ac ba bc ca cb

AB AC BA BC CA CB

Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc

L L L cst

L L L cst L L L L L L cst

L L L L L L cst

L L L L L L L L L f θ

= = =

= = == = = = = =

= = = = = =

=

(1.1)

Comme dans toutes les machines électriques tournantes, la production d’un couple est la

conséquence de l’interaction entre deux forces magnétomotrices (en négligeant les couples

réluctants), l’une produite par le stator et l’autre par le rotor. Dans une machine à courant

continu ou synchrone ces deux forces magnétomotrices peuvent être indépendantes etréglables sans trop d’efforts mais la machine asynchrone à cage d’écureuil possède une

force magnétomotrice au rotor qui dépend de celle au stator et d’une grandeur qui exprime

la vitesse relative du rotor m

ω par rapport à la vitesse du champ tournant s

ω , le glissement

g :

s m

s

g ω ω

ω

−= (1.2)

Si le glissement est nul, alors le couple le sera aussi car aucun courant ne sera induit dans le

circuit rotorique et donc la force magnétomotrice de la partie mobile sera inexistante.

1.3.2 Équations électriques et mécaniques en grandeur de phase

1.3.2.1 Équations de tension en grandeur de phase

En appliquant la loi d’Ohm généralisée à chaque enroulement du système, nous obtenons

pour le stator:


19/199


20/199

8

1.3.2.2 Équations de flux en grandeurs de phase

Directement sous forme matricielle :

[ ] [ ][ ] [ ]

, , , , , ,

, , , , , ,

a b c s a b c sr A B C

T

A B C sr a b c r A B C

L I M I

M I L I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ψ = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.6)

Dans les équations en (1.6) nous devons définir les matrices d’inductances :

aa ab ac

s ba bb bc

ca ab cc

L L L

L L L L

L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.7)

AA AB AC

r BA BB BC

CA CB CC

L L L

L L L L

L L L

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.8)

[ ] [ ]

( )

( )

( )

max

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos

3 3

2 2cos cos cos3 3

T

sr rs sr M M M

π π θ θ θ

π π θ θ θ

π π θ θ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥

⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.9)

aa L est l’inductance propre de la phase a,

ab L la mutuelle entre la phase a et b,

sr M la

mutuelle entre stator et rotor et maxsr M l’inductance mutuelle maximale entre stator et rotor,

par exemple phase A et phase a alignées sur le même axe magnétique,

1.3.2.3 Équation mécanique

Comme la somme des couples à l’arbre est équivalente au couple inertiel, il s’ensuit :

me frot m

p

d J T T T T

p dt

Ω= = − −∑ (1.10)


21/199

9

Avec :

J Inertie de toutes masses tournantes ramenées au rotor de la machine

p

p Nombre de paires de pôles

eT Couple électromagnétique

frot T Couple dû aux frottements du système d’entraînement

mT Couple mécanique de charge

Le problème du traitement des équations en grandeur de phase est celui d’avoir un système

non linéaire à cause notamment des inductances mutuelles en fonction de l’angleθ (voir

équation(1.9)) Pour cette raison nous allons travailler par la suite avec un modèle

transformé dans un repère à trois axes orthogonaux qui va permettre de rendre toutes les

inductances constantes, la transformation est dite de Park (Park 1929), le système reste

néanmoins non linéaire.

1.3.3 Transformation de Park

La transformée de Park est une opération mathématique qui permet de passer d’un système

triphasé d’axes magnétiques décalés d’un angle électrique de cent vingt degrés, en un

système à trois axes orthogonaux. En fait ce n’est rien d’autre qu’un changement de base

pour les axes magnétiques du système (Park 1929, Chatelain 1983, Caron et al 1995,

Lakehal 2004). La transformation directe est la suivante :

( )

( )

0

2 2cos cos cos

3 32 2 2

sin sin sin3 3 3

1/ 2 1/ 2 1/ 2

da da da

d a a

q da da da b b

c c

f f f

f f P f

f f f

π π θ θ θ

π π θ θ θ

⎡ ⋅ ⋅ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.11)


22/199

10

Où f peut représenter une tension, un courant ou un flux magnétique, daθ est l’angle entre

l’axe de la phase a et l’axe d (axe direct) du référentiel de Park (voir Figure 1.2). L’indice q

représente l’axe de quadrature et l’indice 0 l’axe homopolaire. Le facteur2

3est présent dans

ce type de transformée pour permettre de conserver les amplitudes des courants, tensions et

flux, par contre il faudra faire attention dans le calcul des puissances et des couples dont

leurs valeurs ne sont plus conservés, qui vont nécessiter d’un facteur 3

2 (Caron et al 1995).

La transformée inverse de Park , qui permet de revenir dans le référentiel classique des

phases triphasé est définie comme suit :

( ) ( )

1

0 0

cos sin 1

2 2cos sin 1

3 3

2 2cos sin 1

3 3

da da

a d d

b da da q q

c

da da

f f f

f f P f

f f f

θ θ

π π θ θ

π π θ θ

−

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − − ⋅ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.12)


23/199

11

1.3.4 Mise en équations de la machine asynchrone en coordonnées de

Park

La représentation de Park de la machine asynchrone est schématisée à la Figure 1.2. Lesaxes magnétiques d et q sont perpendiculaires entre eux et l’axe 0 (ou homopolaire) l’est

par rapport au plan décrit par d et q, il est dessiné à côté pour des raisons de clarté visuelle.

axe phase a

axe phase A

q

d

Ud ωda

UQ

ωm

θda

UD

Uq

θ

θdA

0

U0

stator

rotor

Figure 1.2 : Représentation de la machine asynchrone de Park

Les angles da

θ et dA

θ se représentent respectivement l’angle électrique entre la phase a

statorique et l’axe d de Park et celui entre la phase A rotorique et l’axe d de Park .

L’enroulement homopolaire du rotor n’est pas représenté à cause de son influence

inexistante dans notre système.


24/199

12

1.3.4.1 Équations de flux en coordonnées de Park

Nous appliquons la transformée de Park aux équations de flux en(1.6), nous obtenons :

0 0 0

d d d md D

q d q mq Q

D D D md d

Q D Q mq q

L I L I

L I L I

L I

L I L I

L I L I

Ψ = +Ψ = +

Ψ =

Ψ = +

Ψ = +

(1.13)

Avec :

0

max

2

3

2

d aa ab

D A AA AB

aa ab a

md mq m sr

L L L

L L L L

L L L L

L L L M

= −

= = −

= + =

= = =

(1.14)

Les équations en (1.13) et (1.14) se réfèrent aux enroulements de la Figure 1.2, md L est

l’inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor sur l’axe d . Il est intéressant de

remarquer que cette inductance est constante car les enroulements du rotor et du stator dans

le référentiel de Park sont toujours alignés, de ce fait la résolution du problème est

facilitée. 0 L est l’inductance de l’enroulement homopolaire. L’équation de flux homopolaire

est manquante en (1.13), ceci est explicable par le fait qu’au rotor nous n’avons pas la

possibilité de connecter un neutre (pour un rotor à cage)


25/199

13

1.3.4.2 Équation de tension dans le référentiel de Park

Comme nous l’avons fait pour les équations de flux, nous appliquons la transformé de Park

aux équations de tension décrites en (1.3) et (1.4) :

( )

( )

0 0 0 0

0

0

d a d d da q

q a q q da d

D D D da m Q

D Q Q da m D

U R I p

U R I p

U R I p

R I p

R I p

ω

ω

ω ω

ω ω

= + Ψ − Ψ

= + Ψ + Ψ

= + Ψ

= + Ψ − − Ψ

= + Ψ + − Ψ

(1.15)

La vitesse angulaire du système d’axes de Park daω peut prendre n’importe quelle valeur,

pour autant queda

θ varie en conséquence dans les matrices de transformation de Park P et

P-1. Généralement le choix de daω se fait en vue d’une simplification de calcul des

équations de tension (1.15) en fonction de la stratégie de commande. Pour des fins de

simulations nous choisissons entre trois référentiels, soient :

0daω = Système d’axes liés au stator

da mω ω = Système d’axes liés au rotor

da sω ω = Système d’axes liés au champ tournant

Le choix de la valeur de cette grandeur dépend du type de commande vectorielle envisagée.

1.3.4.3 Équation de couple dans le référentiel de Park

Le couple électromagnétique eT s’exprime de la manière suivante :

( )3

2e p d q q d T p i i= Ψ − Ψ (1.16)


26/199

14

1.3.5 Transformation des grandeurs en valeurs réduites (système en p.u.)

La notion de valeur réduite « per units » repose sur le concept de grandeur de référence.

Ces grandeurs facilitent le calcul, la compréhension et l’évaluation des ordres de grandeurs

des variables par rapport à des grandeurs de référence (ou de base). L’utilisation des valeurs

réduites nous permet de simplifier l’élaboration des schémas équivalents. Les équations

suivantes (Chatelain 1983) représentent les valeurs de référence (ou de base) des machines

tournantes :

Tableau 1.1 : Grandeurs de référence pour la transformation en p.u.

Grandeur Calcul de la référence ou base UnitéTension 2réf N U U = [V]

Courant 2réf N I I = [A]

Puissance 33

2réf réf réf N N P U I U I = =

[VA]

Impédanceréf

réf

réf

U Z

I =

[ Ω ]

Inductanceréf

réf

réf

Z L

ω =

[H]

Flux réf réf réf réf réf

U L I ω

Ψ = = [Wb]

Pulsation 2réf n réf f ω ω π = = [rad/s]

Vitesse angulairedes axes

réf

mréf p

ω Ω =

[rad/s]

Coupleréf

réf

réf

PT =

Ω

[Nm]

Temps

réf réf

t ω

1=

[s]

Où N U et N I représentent la tension et le courant nominal de phase.


27/199

15

1.3.5.1 Équations de flux, de tension et mouvement de la machine asynchrone dans le

référentiel de Park en valeurs réduites (p.u.)

En divisant toutes les grandeurs dans les équations en (1.13) et (1.15) par leur référence au

Tableau 1.1, nous obtenons pour les flux magnétiques :

0 0 0

d d d md D

q q q mq Q

D D D md d

Q Q Q mq q

l i l i

l i l i

l i

l i l i

l i l i

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

= +

= +

=

= +

= +

(1.17)

Et pour les tensions :

( )

( )

0 0 0 0

1

1

1

10

10

d a d d da q

réf

q a q q da d

réf

réf

A D D da m Q

réf

A Q Q da m D

réf

u r i p

u r i p

u r i p

r i p

r i p

ψ ω ψ ω

ψ ω ψ ω

ψ ω

ψ ω ω ψ

ω

ψ ω ω ψ ω

= + −

= + +

= +

= + − −

= + + −

(1.18)

Toutes les grandeurs sont exprimées en p.u. à l’exception de réf ω qui est exprimé en [rad/s]

afin de rendre sans dimension le terme de tension de transformation dans lequel dt est

exprimé en secondes (Chatelain 1983) L’équation de mouvement devient :

( ) ( )12m e m m

p t t D H

ω ω = − − (1.19)

Avec H la constante d’inertie (Chatelain 1983) qui vaut :

21

2 2réf méc

réf

J H

P

τ Ω= = (1.20)


28/199

16

D est le coefficient de friction (frottement visqueux) et le couple électromagnétique en p.u.

s’obtient en divisant (1.16) par T réf :

e d q q d t i iψ ψ = − (1.21)

1.3.6 Généralisation au modèle à plusieurs enroulements rotoriques de la

machine asynchrone

Il existe plusieurs types de rotor à cage d’écureuil, simple cage, double cage et celle à

encoches profondes (Boldea et al 2001). Leur modélisation nécessite l’ajout de plusieurs

circuits rotoriques. Le courant dans une barre du rotor d’une machine asynchrone est

fonction des effets pelliculaires et de proximité. Pendant ce déplacement la section de la barre vue par le courant change, donc la résistance de la barre rotorique change aussi en

modifiant le couple électromagnétique. La forme des barres est déterminée en fonction de

la caractéristique couple-vitesse souhaitée, notamment le couple de démarrage. Si le

courant se déplace dans la barre rotorique en réalité, une solution est de simuler ce

déplacement aussi en simulation dans différents circuits rotoriques de résistance différente

(Ferfra 1993, Wamkeue 1998). La Figure 1.3 représente la machine asynchrone de Park à

plusieurs circuits rotoriques :

q

dD2 Dnd

Q1

Qnq

Q2

D1q

d

0

0

Figure 1.3 : Machine asynchrone de Park à plusieurs circuits rotoriques


29/199

17

Dans cette représentation nous avons séparé le stator du rotor par l’intersection des axes d

et q de Park . Nous allons maintenant traduire le schéma de la Figure 1.3 en circuits

électriques classiques, (Figure 1.4) (Wamkeue 1998) :

Figure 1.4 : Circuits équivalents généralisés de la machine asynchrone de Park

Les axes de Park d , q et 0 sont représentés respectivement en (a), (b) et (c) de la Figure 1.4.En se servant du Tableau 1.1 il est possible de prouver que la valeur d’une inductance en

p.u. est équivalente à la valeur de sa réactance en p.u., de plus par symétrie et par les

hypothèses posées (effets d’encoches négligés), les relations suivantes peuvent s’écrire :

u0

+i0

r a

xa

(c)

(a)

xDnd

r Dnd

xDnd-1

r Dnd-1

xD1

r D1xmd

xar a

eq+ -

+id

ud

emQ+ -

(b)

xmq

xar a

ed- +

+iq

uq

eQ1+

-eQnd-1

+

-eQnd+

-

xQnd

r Qnd

xQnd-1

r Qnd-1

xQ1

r Q1

emD+-

eD1+-

eDnd-1+-

eDnd+

-


30/199

18

; 1...

; , 1... ;

; , 1... ;

i

i i i i

i i i j j i

i i i j j i

md mq m

dd qq a m

DiDi md D

D D Q Q

dD D d D D D D m

qQ Q q Q Q Q Q m

x x x

x x x x

x x x i n

x x

x x x x x i j n i j

x x x x x i j n i j

= =

= = +

= + =

=

= = = = = ≠

= = = = = ≠

(1.22)

Oùd q

n n n= = est le nombre de circuits rotoriques qui ne dépasse généralement pas

trois(Ferfra 1993) car ce nombre suffit pour la modélisation d’une cage à encoches

profondes (théoriquement il faudrait un nombre infini de circuits rotoriques pour que le

modèle soit exact pour toutes fréquences). Les équations de flux peuvent être généralisées :

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 1

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 2 2 1

...

...

...

...

...

d dd d dD D dD D dDn Dn

D D d d D D D D D D D Dn Dn

Dn Dnd d DnD D DnD D DnDn Dn

q qq q dQ Q dQ Q dQn Qn

Q Q q q Q Q Q Q Q Q Q Qn Qn

Qn

x i x i x i x i

x i x i x i x i

x i x i x i x i

x i x i x i x i

x i x i x i x i

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

= + + + +

M

M

1 1 2 2

0 0 0

...Qnq q QnQ Q QnQ Q QnQn Qn

x i x i x i x i

x iψ

= + + + +

=

(1.23)

De même pour les équations de tension :

( )

( )1

0 0 0 0

1 1

1 1

1

1 10 ; 1,...,

10

l l l l l l l

l l l l l

d a d d da q a d d q

réf réf

q a q q da d a q q d

réf réf

réf

D D D D da m Ql D D D Ql mQ

réf réf

Q Q Q Q da m Dl Q Q

réf

u r i p r i p e

u r i p r i p e

u r i p

u r i p r i p e e l n

u r i p r i

ψ ω ψ ψ ω ω

ψ ω ψ ψ ω ω

ψ ω

ψ ω ω ψ ψ ω ω

ψ ω ω ψ ω

= + − = + −

= + + = + +

= +

= = + − − = + − − =

= = + + − =1

; 1,...,lQ Dl mD

réf

p e e l nψ ω

+ + + =

(1.24)


31/199

19

1.4 Modélisation de la machine asynchrone par représentation

d’état

La représentation d’état est un outil utile à la description des systèmes, à leur analyse, et à

la synthèse de lois de commande sophistiquées. C’est une vision élargie de la théorie des

systèmes reposant sur le concept d’énergie. En fait, à partir d’un instant donné, les systèmes

dépendent non seulement des entrées extérieures mais également de son état énergétique à

cet instant (Caron et al 1995, Grellet et al 2000).

1.4.1 Le système d’équation d’état

Les grandeurs, fonction du temps, représentant les états énergétiques du système sont les

composantes du vecteur d’état X . Les équations qui régissent le système sont :

U B X A X ⋅+⋅=& Équation d’état

U D X C Y ⋅+⋅= Équation d’observation

Avec :

A matrice d’évolution

X vecteur des variables d’état

B matrice d’application de commande

U vecteur des entrées

C matrice d’observation

Y vecteur des sorties

D matrice de transmission directe

Ce formalisme est beaucoup utilisé dans le domaine de l’automatique et de l’identification.


32/199

20

1.4.2 Harmonisation des équations de tension et de flux

Le formalisme que nous allons décrire ici pour le développement du modèle d’état a été

introduit par (Wamkeue 1998, Wamkeue et al 2002) pour la machine synchrone. Il permet

l’analyse de la machine en écrivant ses équations sous forme de matrices partionnées et

compactes. Les équations de flux de la machine deviennent donc :

0

1 1

1 1

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0... ... ... ... ... ... ... ... ......

0 0 0 0 0 0 0 0

d a

q a

h

D D

Dn Dn

Q D

QnQn

u r

u r

u r

u r

u r

u r

r u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢

⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

( )

( )

( )

( )

0 0

11 1

11 1

0

... ... ...

...... ...

da qd d

da d q q

da m Q D D

réf Dn Dn da m Qn

QQ da m D

QnQn da m Dn

i

i

i

i p

i

i

i

ω ψ ψ

ω ψ ψ

ψ

ω ω ψ ψ

ω ψ ω ω ψ

ψ ω ω ψ

ψ ω ω ψ

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ − −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ + + ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥− −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥

⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ −⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥

(1.25)

Oùd

pdt

= . De même les équations de flux de façon matricielle deviennent :

0

1 1

1 1

0 0 ... 0 ... 0

0 0 0 ... 0 ...

0 0 0 ... 0 0 ... 0

0 0 ... 0 0 ... 0... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

0 0 0 ... 0 ... 0

0 0 0 ... 0 ... 0

... ... ... ... ... .....

d d md md

qd md md

h

D md D

Dn md Dn

Q md D

Qn

x x x

x x x

x

x x

x x

x x

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

⎡ ⎤⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0

1

1

...

. ... ... ... ...

0 0 0 ... 0 0 ...

d

q

D

Dn

Q

md Dn Qn

i

i

i

i

i

i

x x i

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.26)

Pour la simplification nous allons utiliser les sous matrices suivantes :

2 3nréf

p I

ω +Π = (1.27)


33/199

21

3,2

2 ,3

0

0da n

n W

ω Ξ⎡ ⎤Ω = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.28)

0 1 0

1 0 00 0 0

−⎡ ⎤

⎢ ⎥Ξ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.29)

( ),

,

0

0n n n

da m

n n n

I W

I ω ω

−⎡ ⎤= − ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.30)

Dans cette formulation la matrice Ω est appelée, matrice de couplage des axes. n I est la

matrice identité de rang n. À l’aide des sous-matrices, les équations de tension et de flux se

résument de la manière suivante :

[ ]3,2

2 ,3

0

0s ns s s

n r r r r

Ru i

Ru i

Ψ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + Π + Ω⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.31)

s sr s s

T

sr r r r

X X i Xi

X X i

Ψ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= → Ψ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.32)

Avec :

0 0

( , , ) 0 0

0 0

a

s a a h a

h

r

R diag r r r r

r

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.33)

1 2, 1 2,( , ... , , ... )r D D Dn D D Dn R diag r r r r r r = (1.34)

0 0( , , ) 0 0

0 0

d

s d d h d

h

x X diag x x x x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.35)

,

,

0

0 D n n

r

n n D

X X

X

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.36)


34/199

22

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

D D D D D Dn

D D D D D Dn

D

DnD DnD DnDN

x x x

x x x X

x x x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.37)

[ ]1, 1,

1, 1, 1,

1, 1,

0

0 : 1......1

0 0

n n

sr m n n n n

n n

J

X x J avec J

⎡ ⎤⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.38)

Nous avons la possibilité de choisir les variables d’états flux ou courant dans l’équation

(1.31) grâce à la relation(1.32). Nous avons maintenant la possibilité d’écrire ces équations

sous forme d’état. Choisissons d’abord les courants comme variables d’état avec (1.32)

dans (1.31) et en mettant en évidence les dérivées des courants :

( )1 1s s sréf m m m réf mr r r

i i u p X R X X

i i uω ω − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + Ω +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.39)

Avec :

3,2

2,3

0

0s s sr

m m T

r sr r

R X X R et X

R X X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.40)

Nous sommes dans la condition d’extrapoler les matrices d’états correspondantes (l’indice i

sert à préciser les matrices avec les courants comme variables d’états) :

( )1

1

3 3,2

2 ,3 2 ,2

3 2 ,3 2

0

0 0

0

i réf m m m

i réf m

n

i

n n n

i n n

a X R X

b X

I c

d

ω

ω

−

−

+ +

= − + Ω

=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦=

(1.41)

Le passage aux variables d’état flux est simple, il suffit de modifier les matrices d’état de

(1.41) comme suit :


35/199

23

1

1

i

i

i

i

a Xa X

b Xb

c c X

d d

ψ

ψ

ψ

ψ

−

−

=

=

=

=

(1.42)

Évidemment la grandeur qui met en relation un flux avec un courant est une inductance (en

p.u. la réactance a la même valeur) Le système décrit en (1.42) a des variables d’états flux

et comme sortie les courants. Il reste encore l’introduction de l’équation de mouvement

pour rendre notre modèle électromécanique.

1.4.2.1 Prise en considération de l’équation de mouvement dans le modèle d’état

Nous reprenons l’équation (1.19) :

( ) ( )1

2m e m m p t t D

H ω ω = − − (1.43)

Le couple électromagnétique peut être développé comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1t

t t t t

e d q q d i i iT i i i G i X G X X G X Gψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ − − − −= − = = = = (1.44)

Avec :

1, 1,

1, 1,

1, 1,

2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 , 2 ,

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

d n m n

d m n n

i

n n

n n n n n n n

x x J

x x J G

− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.45)

1t

i

G X G X ψ

− −= (1.46)

Dans l’équation (1.44) nous observons que la matrice G est multipliée par le carré des

variables d’états, ceci implique que le modèle électromécanique n’est pas linéaire par

rapport aux variables d’états (équations différentielles non-linéaires). La matrice G peut

être introduite dans la formulation d’état comme suit :


36/199

24

2 3,1 2 3,1

1,2 3

0 0( ) 1 1

02 2 2

z n z n

t

m m z n

a b z u

p X Dt z G

H H H

+ +

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ω− ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.47)

2 3,1

1,2 3

00 1

z n

n

c y z+

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.48)

Soit :

2 3,10

1

2 2

z n

z t

z

a

A D z G

H H

+⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎣ ⎦

(1.49)

2 3,1

1,2 3

01

02

z n

z

n

b B

H

+

+

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.50)

2 3,1

1,2 3

0

0 1 z n

z

n

cC

+

+

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.51)

2 3,2 30 , z n n D avec z i ψ + += = (1.52)

Cette méthode permet une programmation plus simple et moins lourde car il suffit de

construire une sous-matrice après l’autre de grandeur limitée.

1.4.3 Calcul des conditions initiales

Lors des simulations numériques, l’objectif est de simuler des phénomènes transitoires en

partant d’un régime permanent. Il est donc important de calculer au préalable les conditions

initiales des variables d’états. Pour ce faire, nous considérons le régime établi à l’instant précédant, et donc que les dérivées des variables d’états étaient nulles. Il suffit de connaître

les valeurs des tensions et de la vitesse pour pouvoir calculer les courants ou les flux, le

couple électromagnétique et de charge initiale :


37/199

25

( ) ( ) ( )1 10 0 0s sréf m m m réf mr r

i u X R X X

i uω ω − −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + Ω +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.53)

( ) ( ) ( ) ( )

1

10 0 0réf ms s si

r r r réf m m m i

X i u ub

i u u X R X a

ω

ω

−

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ Ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.54)

iinit

i

bi u

a= − (1.55)

Deux façons de calculer les flux magnétiques initiaux sont envisageables :

init init

init

Xi

bua

ψ

ψ

ψ

ψ

=

= − (1.56)

À noter que le glissement g est présent dans les matrices a et b. Nous appliquons la même

procédure à l’équation de mouvement :

( )

0

10

2 einit m m

m einit m

t t D H

t t D

ω

ω

= − −

= − (1.57)

mt est donc le couple mécanique de charge en p.u. qui peut être déterminé si nous

connaissons la vitesse et le couple électromécanique initiaux :

init init init init einit d q q d t i iψ ψ = − (1.58)

Le coefficient de frottement D doit être connu comme tous les autres paramètres de la

machine (résistances, inductances et inertie)


38/199

26

1.4.4 Prise en compte de la saturation magnétique dans le modèle d’état

1.4.4.1 Saturation des flux de fuites

On assumera que les flux de fuites ne sont pas influencés par la saturation magnétique.

Cette supposition est acceptable car une bonne partie du trajet du flux de fuite se fait dans

l’air qui possède une perméabilité beaucoup plus faible que celle du fer.

La technique que nous allons utiliser dite technique de saturation croisée a été introduite par

(Krause 1986, Boldea et al 1987) et développée pour l’adapter aux modèles d’état par

(Wamkeue et al 2002). Dans la caractéristique B=f(H) d’un matériau ferromagnétique, la

pente de la droite qui passe au point de fonctionnement et à l’origine correspond à la perméabilité instantanée. Si la perméabilité varie dans le temps, alors l’inductance associée

varie aussi, dans notre cas cette inductance est celle du flux communm m

l x= . Ce que nous

allons faire est donc de modifier à chaque incrément de simulation cette inductance. Nous

partons des équations suivantes :

md md md

mq md mq

x i

x i

ψ

ψ

=

= (1.59)

Grâce à la perpendicularité des axes de Park , nous avons la possibilité de retrouver les

amplitudes des courants et des flux de la machine de manière quadratique comme suit :

2 2

2 2

m md mq

m md mq

i i i

ψ ψ ψ

= +

= + (1.60)

Et du fait de la géométrie du circuit magnétique de la machine asynchrone :

m md mq x x x= = (1.61)


39/199

27

Ce que nous faisons est donc de transformer le système à deux axes (d et q) en un système à

un axe. Nous pouvons exprimer la valeur de la réactance saturée en fonction de celle qui ne

l’est pas :

( ) 0m m m x k xψ ψ = (1.62)

Avec

( ) 0 0m m

m

m m m

xk

x x iψ

ψ ψ = = (1.63)

Où k ψ

est le facteur de saturation et 0m x la réactance magnétisante non saturée, évaluée

dans la zone linéaire de la courbe de saturation. La caractéristique à vide )( t t i f u = , doncla tension terminale (ou statorique) en fonction du courant terminal, s’obtient en régime

permanent lorsque la machine tourne à vide. Nous obtenons la relation en grandeurs

complexes suivante, en négligeant la chute de tension statorique:

( ) ,t a t t a a t m m m m m videu r i j r jx i jx i jx i jψ ψ = + = + + ≈ = (1.64)

Les grandeurs terminales sont définies comme suit :

1 1 1 2 2 2; ; ;t d q D Q D Q n Dn Qn

t d q

t d q

i i ji i i ji i i ji i i ji

u u ju

jψ ψ ψ

= + = + = + = +

= +

= +

(1.65)

Et vu qu’à vide les courants rotoriques sont pratiquement nuls (si possible nous entraînons

la machine au synchronisme) :

1 2 ,m md mq t n t videi i ji i i i i i= + = − + + + + = −L

(1.66)

En charge, la machine sature identiquement qu’à vide (dans le sens que la caractéristique à

vide est toujours valable). Le facteur de saturation est exprimé comme suit :


40/199

28

( ) ,0 0 0,

m videm t m

m m m t vide m t

uK

x i x i x iψ

ψ ψ ψ = = = (1.67)

La Figure 1.5 présente l’allure de la courbe à vide d’une machine asynchrone.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

um (p.u.)

i m (

p . u . )

Droite d'entrefer

Figure 1.5 : Caractéristique d’une machine asynchrone entraînée au synchronisme

De cette courbe nous pouvons obtenir celle de K ψ en faisant une approximation

polynomiale de l’équation (1.67) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2

0 1 10

... N

z N

m z m m m m N m

z

K ψ ψ β ψ β ψ β ψ β ψ β ψ =

= = + + +∑ (1.68)

Les coefficients z β sont identifiés par ajustement aux moindres carrés à la caractéristique à

vide sous la contrainte suivante :

( )0

1max 1

t

t m

m t i

duK x di

ψ ψ =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.69)

La relation (1.69) impose simplement à la courbe de saturation une inclinaison maximale

de 4/π [rad ] pour s’assurer qu’en tout temps nous n’amplifions pas le flux commun. La

Figure 1.6 présente l’allure du facteur de saturation :


41/199

29

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

ψm (pu)

k ψ

Figure 1.6 : Facteur de saturation k ψ en fonction du flux de magnétisation

En ayant à disposition ce facteur nous pouvons connaître à chaque moment la valeur de

l’inductance magnétisante :

0m m x k xψ = (1.70)

Comme nous allons le voir dans les sections suivantes, cette façon de tenir en compte les

effets de saturation permet une implantation aisée de la commande adaptative, surtout dans

un environnement comme Simulink .


42/199

30

1.5 Mise en œuvre numérique du modèle d’état

1.5.1 Outil numérique : Environnement MatLab

En un premier temps nous avons bâti un programme numérique en Matlab (fichier *.m en

annexe A) qui permet de calculer les matrices d’état numériquement. Avant de passer aux

simulations et à la validation par comparaison avec les mesures, un premier test consiste à

vérifier la stabilité du système. Dans la modélisation par représentation d’état, les valeurs

propres de la matrice A sont les pôles du système (Caron et al 1995). Pour effectuer cette

vérification il est nécessaire d’avoir des paramètres d’une machine asynchrone réelle et de

choisir une vitesse (le glissement est présent dans les matrices d’état). Pour cela, nousavons utilisé les paramètres de la machine asynchrone du laboratoire LEEPCI de

l’Université Laval qui ont été identifiés par des méthodes fréquentielles par (Ferfra 1993) :

Tableau 1.2 : Paramètres de la machine asynchrone du laboratoire LEEPCI

r a xa r D1 r D2 x D1 x D2 xm H D

0.03961 0.046 0.02097 0.96706 0.1321 0.14093 1.77187 0.41 0.001

Cette machine a été modélisée par deux cages rotoriques pour prendre en compte les effets pelliculaires. Ses valeurs nominales sont : 5-KVA, 220-V 13.1-A, 60-Hz et deux paires de

pôles, couplée en étoile. Les matrices d’états correspondantes pour un modèle avec les flux

comme variables d’états et un glissement de 50% sont les suivantes :

Tableau 1.3 : Matrice A du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI

-133.73 376.99 0 62.307 66.471 7.39E-12 9.09E-13 0

-376.99 -133.73 0 -7.39E-12 -9.09E-13 62.307 66.471 0

0 0 -1885 0 0 0 0 0

1521.2 -1.11E-11 0 -2090.4 529.71 188.5 2.96E-12 0

35.191 -9.32E-12 0 11.486 -47.591 9.78E-12 188.5 0

1.11E-11 1521.2 0 -188.5 -2.96E-12 -2090.4 529.71 0

9.32E-12 35.191 0 -9.78E-12 -188.5 11.486 -47.591 0

0 0 0 0 0 0 0 -0.0012195


43/199

31

Tableau 1.4 : Matrice B du modèle flux de la machine du laboratoire LEEPCI

376.99 0 0 -3.41E-13 -4.55E-13 0 0 0

0 376.99 0 0 0 -3.41E-13 -4.55E-13 0

0 0 376.99 0 0 0 0 0

-4.55E-13 0 0 376.99 -4.55E-13 0 0 0

0 0 0 2.27E-13 376.99 0 0 00 -4.55E-13 0 0 0 376.99 -4.55E-13 0

0 0 0 0 0 2.27E-13 376.99 0

0 0 0 0 0 0 0 -1.2195

Tableau 1.5 : Valeurs propres de la matrice A – pôles du système

-2139.6 + 192.75i

-2139.6 - 192.75i

-93.256 + 353.01i

-93.256 - 353.01i-38.827 + 208.23i

-38.827 - 208.23i

-1885

-0.0012195

C et D sont respectivement une matrice identité et une matrice nulle, pour un modèle en

courant. Les pôles du système ont un caractère oscillatoire qui peut varier selon la vitesse

mécanique, la vitesse du repère de Park et les flux. Les parties réelles restent négatives ce

qui vérifie la stabilité du modèle. De plus il est intéressant de remarquer le dernier pôle du

Tableau 1.5, c’est le plus lent et donc le dominant, effectivement il correspond à l’inverse

de la constante de temps mécanique, si nous négligeons la dynamique électromagnétique. À

la Figure 1.7 nous avons un rappel sur le lieu d’Evans :


44/199

32

Re

Imy

x

y

x

y

x

y

x

InstableStable

Figure 1.7 : Stabilité dans le lieu d’Evans

1.5.2 Implantation dans l’environnement Simulink

Les matrices calculées précédemment permettent de simuler le modèle par programmation

classique . Pourtant il est intéressant de concevoir un block Simulink complètement

indépendant de fichiers *.m pour des questions visuelles et de compréhension. De plus,

comme nous allons le montrer, l’implantation de la saturation magnétique est plus simple

dans l’environnement Simulink . Le problème d’une modélisation de la machine asynchrone

par représentation d’état, est que la non linéarité du modèle rend la matrice A variable dans

le temps. Pour expliquer cela, considérons le schéma suivant :

Figure 1.8 : Schéma de principe pour l’implantation dans l’environnement Simulink

B 1s

A

C+( ) y k ( ) x t ( ) x t & ( )u t


45/199

33

Dans le schéma de la Figure 1.8 le vecteur x(t) est composé de courants ou flux et de la

vitesse, dans l’équation mécanique il y a des carrées des variables d’états, ce qui veut dire

que la matrice A est fonction des variables d’états. La solution proposée dans Simulink , est

présentée à la figure suivante :

Ax

x

X'=AX+BuY=CX+Du

1

y

-C-

conditions initiales

1

sxo

C* u

B* u

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

1

uBU

X'

X

Figure 1.9 : Schéma Simulink d’une machine asynchrone à double cage

Où les matrices sont calculées de façon symboliques (Annexe A). La solution est

« d’ouvrir » la matrice A ligne par ligne à l’aide du bloc d’expressions générales. Avec ce

type de block de Simulink nous pouvons effectuer la multiplication de la variable d’état par

elle-même.


46/199

34

1.5.3 Prise en compte de la saturation magnétique dans les modèles

Simulink

Comme nous l’avons annoncé précédemment, pour prendre en considération les effets desaturation magnétique, il est nécessaire de changer la valeur de la réactance de flux

commun xm à chaque instant. Pour cette raison il est nécessaire d’avoir accès aux matrices

avec le multiplicateur k ψ . Le schéma de la Figure 1.10 permet d’illustrer l’implantation de

k ψ :

Ax x

X'=AX+BuY=CX+Du

matrice Ap si matri ce Cpsi

1

y

In1

Saturation

B* u1

sxo

[kpsi]

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)

f(u)f(u)

f(

identification des parametres de la machin asynchr

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