[heiskanen weikko a.] geodesia fisica

8/12/2019 [Heiskanen Weikko a.] Geodesia Fisica

1/274

G E O D E S I A F I S I C A

WEIKKO A. HEISKANEN

Director, Instituto Isosttico de la Asociacin Internacional de Geodesia

HELMUT MORITZ

Profesor de Geodesia Superior y Astronoma, Universidad Tcnica de Berln

W. H. FREEMAN AND COMPANY

San Francisco y Londres


2/274

PREFACIO

Casi todas las mediciones geodsicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, elestudio de las propiedades fsicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodsicas, las cuales constituyen la base de lageodesia fsica, representa una parte esencial de la educacin de un geodesta.

En los diez aos que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, The Earth and ItsGravity Field (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el

tiempo resultaba cada vez ms difcil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto tericos como prcticos, en unanueva edicin del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El granaumento en la cantidad de informacin disponible requera que este se limitara concretamente a los aspectosgeodsicos; los adelantos tericos han hecho necesario un mayor nfasis en los mtodos matemticos. Asnaciestelibro, cuyo propsito es exponer los aspectos tericos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresin fsicaterica.

Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado, se debercontar con todos losconocimientos matemticos y fsicos requeridos por los departamentos de geodesia fsica. Los captulos del 6 al 8

presentan varios temas ms especializados y avanzados en los que actualmente se estn realizando muchasinvestigaciones. (Es posible que estos captulos sean ms parcializados que los dems). El lector que logre conocer estamateria a fondo estaren capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado uncaptulo sobre mtodos celestes o astronmicos; este material podra formar parte del curso bsico.

Hemos puesto todo nuestro empeo para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deduccionesdetalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de

los principios se han considerado ms importantes que los desarrollos matemticos formales pero sin omitir estosltimos.

Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser

obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los ltimos adelantostericos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el captulo 8.

Se han omitido intencionalmente aquellas tcnicas de observacin como las que se utilizan para lasobservaciones astronmicas o las mediciones gravimtricas ya que no tienen mucha relacin con una presentacin que,bsicamente es terica.

Al final de cada captulo hay una bibliografa de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cualespodran resultar tiles para un estudio ms detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el ao depublicacin por ejemplo, Kellogg (1929).

No ha sido nuestra intencin establecer prioridades. Los nombres relacionados con las frmulas debenconsiderarse principalmente rtulos o membretes convenientes. Asmismo, se ha indicado la obra de mayor acceso oms completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera.

La mayora de nuestras propias investigaciones que se han incluido en el libro se llevaron a cabo en laUniversidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revis cuidadosamente laredaccin en ingls de partes del manuscrito.

Diciembre 1966 WEIKKO A. HEISKANEN

HELMUT MORITZ


3/274

INDICE

1

Principios de la Teora del Potencial

1-1. Introduccin. Atraccin del Potencial. 11-2. Potencial de un Cuerpo Slido 31-3. Potencial de una Superficie Material 5

1-4. Potencial de una Doble Capa 6

1-5. Frmulas Integrales de Gauss y Green 91-6. Aplicaciones de las Frmulas Integrales de Green 111-7. Funciones Armnicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet 141-8. Ecuacin de Laplace expresada en Coordenadas Esfricas 171-9. Armnicas Esfricas 191-10. Armnicas Esfricas de Superficie 201-11. Funciones de Legendre 21

1-12. Funciones de Legendre del Segundo Tipo 261-13. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad 28

1-14. Armnicas Esfricas Totalmente Normalizadas 291.15. Desarrollo dela Distancia Recproca en Armnicas Zonales. Frmula de Descomposicin 331.16. Solucin del Problema de Dirichlet por medio de Armnicas Esfricas. Integral de Poisson 351.17. Otros Problemas de Valores Lmites 371.18. La Derivada Radial de una Funcin Armnica 381.19. La Ecuacin de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales 411.20. Armnicas Elipsoidales 43

Referencias 48

2

El Campo de Gravedad de la Tierra

2-1. Gravedad 49

2-2. Superficies de Nivel y Lneas de la Plomada 512.3. Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Lneas de la Plomada 532.4. Coordenadas Naturales 58

2-5. El Potencial e la Tierra en Trminos de Armnicas Esfricas 60

2-6. Armnicas de Grado Inferior 642-7. El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel 67

2-8. Gravedad Normal 70

2-9. Desarrollo del Potencial Normal 74

2-10. Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal 77

2-11. Valores Numricos. El Elipsoide Internacional 822-12. Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia 84

2-13. El Campo Anmalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical 852-14. Aproximacin Esfrica. Desarrollo del Potencial de Perturbacin en Armnicas Esfricas 902.15. Anomalas de la Gravedad 922.16. Frmula de Stokes 952.17. Formas Explcitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Funcin de Stokes en Armnicas Esfricas 98

2.18. Generalizacin a un Elipsoide de Referencia Arbitrario 1012.19. Generalizacin dela Frmula de Stokes para N 1032.20. Determinacin de las Constantes Fsicas de la Tierra 110


4/274

2.23. El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reduccin de Aire Libre al Nivel del Mar 1172.24. Determinacin Prctica del Valor de las Frmulas Integrales 120

Referencias 126

3

Mtodos Gravimtricos

3.1. Reduccin de la Gravedad 1293.2. Frmulas Auxiliares 1303.3. La Reduccin de Bouguer 1333.4. Isostasia 136

3.5. Reducciones Isostticas 1403.6. El Efecto Indirecto 144

3.7. Otras Reducciones de la Gravedad 146

3.8. Efectos Esfricos 1503.9. Determinacin Prctica del Geoide 155

Referencias 162

4

Alturas Sobre el Nivel del Mar

4.1. Nivelacin con Nivel de Burbuja 1644.2. Nmeros Geopotenciales y Alturas Dinmicas 1664.3. La Reduccin de la Gravedad de Poincary Prey 1674.4. Alturas Ortomtricas 1704.5. Alturas Normales 174

4.6. Comparacin de los Diversos Sistemas de Alturas 1764.7. Alturas Trianguladas 178

Referencias 182

5Mtodos Astrogeodsicos

5.1. Introduccin 1835.2. Proyecciones hacia el Elipsoide 184

5.3. Proyeccin de Helmert. Coordenadas Geodsicas y Rectangulares 1865.4. Reduccin delas Observaciones Astronmicas al Elipsoide 1905.5. Reduccin de los ngulos Horizontales y Verticales y de las Distancias 1945.6. Reduccin de las Coordenadas Astronmicas para la Curvatura de la lnea de la Plomada 1985.7. La Determinacin Astrogeodsica del Geoide 202

5.8. Interpolacin de las Desviaciones de la Vertical. Nivelacin Astrogravimtrica 2065.9. Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum 2095.10.Determinacin del Tamao de la Tierra 215


5/274

Referencias 230

6

Campo de Gravedad Fuera de la Tierra

6.1. Introduccin6.2. Gravedad Normal Frmulas Cerradas6.3. Gravedad Normal Desarrollos en Serie

6.4. Perturbaciones de la Gravedad Mtodo Directo6.5. Perturbaciones de la Gravedad Mtodo de Revestimiento6.6. Perturbaciones de la Gravedad Prolongacin Ascendente6.7. Otras Consideraciones

6.8. Anomalas de la Gravedad Fuera de al Tierra

Referencias

7

Mtodos Estadsticos en la Geodesia Fsica

7.1. Introduccin7.2. La Funcin de Covarianza7.3. Desarrollo de la Funcin de Covarianza en Armnicas Esfricas7.4. Influencia de Zonas Distantes en la Frmulas de Stokes y de Vening Meinesz7.5. Interpolacin y Extrapolacin de las Anomalas de Gravedad7.6. Precisin de los Mtodos de Prediccin. Prediccin Mnima Cuadrtica7.7. Propagacin del Error. Precisin de las Armnicas Esfricas7.8. Precisin de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalas de la Gravedad7.9. Precisin de las Anomalas Medias7.10. Correlacin con la Elevacin

Referencias

8

Mtodos Modernos para Determinar la Configuracin de la Tierra

8.1. Introduccin8.2. Reducciones de al Gravedad y el Geoide

8.3. El Problema de Molodensky8.4. Ecuaciones Integrales Lineales

8.5. Aplicacin de las Integrales de Green


6/274

8.8. Interpretacin Geomtrica8.9. Desviaciones dela Vertical

8.10. Prolongacin Descendente hasta el Nivel del Mar8.11. Reduccin de la Gravedad segn la Teora Moderna8.12. Determinacin del Geoide con las Anomalas a Nivel del Suelo8.13. Repaso

Referencias

9

Mtodos Astronmicos

9.1. Introduccin. Mtodos de Observacin9.2. Determinacin del Tamao de la Tierra con Observaciones de la Luna9.3. Efectos Dinmicos del Achatamiento de la Tierra9.4. Determinacin del Achatamiento a partir de la Precisin9.5. Orbitas de los Satlites Artificiales9.6. Determinacin de las Armnicas Zonales9.7. Coordenadas Rectangulares del Satlite y sus Perturbaciones9.8. Determinacin de las Armnicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones

Referencias


7/274

CAPITULO 1

1.1. Introduccin. Atraccin y Potencial

El propsito de este captulo es presentar los principios de la teora del potencial, incluyendo lasarmnicas esfricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir laplena comprensin de los captulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de losteoremas y de las frmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquierotra parte del textos sobre la teora del potencial (lanse las referencias al final de este captulo).Se ha tratado de hacer una presentacin sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa yexacta. Aun as, es posible que el lector considere este captulo ms bien abstracto y hasta msdifcil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prcticas ofrecern ms adelanteun concepto ms concreto de los temas expuestos en este captulo, tal vez el lector prefiera leerlo

por encima la primera vez para luego regresar a l cuando sea necesario.

De acuerdo con la ley de la gravitacin de Newton, dos puntos cuyas masas estn representadas por m1, m2,separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a

F=km1m2

l2 (1-1)

Esta fuerza estorientada a lo largo de la lnea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. Enunidades de egs, dicha constante tiene un valor de

k = 66.7 X 108 cm 2 g1 sec 2 (1-2)segn las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930.

Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simtrica, resulta convenientedenominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atrada. Para mayor sencillez podemos considerar la masaatrada igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La frmula

F=km

l2

(1-3)

Aunque las masas representan la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia lde m.

Ahora podemos incorporar un sistema de coordenadas rectangulares xyz, y denotar las coordenadas de la masaatrayente m por , , y las coordenadas del punto atrado P por x, y, z. La fuerza puede representarsemediante un vector con magnitud de F (fig. 1-1). Los componentes de F pueden expresarse as

X=Fcos =km

l2

x

l=km

x

l3

Y=Fcos=km

l2

y

l=km

y

l3 (1-4)

Z=Fcos =km

l2

z

l=km

z

l3

en donde

2 2 2


8/274

Luego incorporamos una funcin escalar

V= kml

, (1- 6)

conocida como el potencial de gravitacin. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarn porconsiguiente as

X=V

x, Y=

V

y, Z=

V

z, (1-7)

Esto puede verificarse fcilmente diferenciando (1-6), dado que

x

1

l=

1

l2

l

x=

1

l2

x

l=

x

l3

,. . . . . . . . (1-8)

El smbolo vectorial de (1-7) se expresa

F = (X,Y,Z) grad V (1-7)

Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la funcin escalar V.

Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (1-7), las tres componentes del vector F pueden sustituirse

por una sola funcin V. Especialmente cuando estamos considerando la atraccin de sistemas de masas puntuales o decuerpos slidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho ms fcil tratar con el potencial que con las trescomponentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son vlidas las relaciones (1-7); la funcin sera entoncesslo una suma de las contribuciones de las respectivas partculas.

De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . . . . . , m n , que si tenemos el potencial del

sistema sera la suma de las contribuciones individuales (1-6):

V=km

1

l1

km2

l2. . . . . . . . .

kmn

ln=k

i =1

n mi

l i (1-9)

FIGURA 1-1


9/274

1.2. Potencial de un Cuerpo Slido

Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v (fig. 1-2) con una

densidad de

=dm

dv , (1-10)

en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (1-9) se

convierte en una integral

V=kv

dm

l=k

v

ldv , (1-11)

En donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm = dv y el punto atrado P.

FIGURA 1-2Potencial de un cuerpo slido

Si denotamos las coordenadas del punto atrado por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de ( ,

, ), las coordenadas vemos que l estdada nuevamente por (1-5), y podemos escribir explcitamente

Vx , y , z =kv

, ,

x2y 2z2d d d , (1-11)

puesto que el elemento de volumen estexpresado porEsta es la razn por la que tenemos integrales triples en (1-11)Las componentes de la fuerza de atraccin estn dadas por (1-7). Por ejemplo,

=kv

, ,

x

1

ld d d .

Ntese que hemos intercambiado el orden de la diferenciacin y de la integracin. Si sustituimos (1-8) en la expresinanterior, obtenemos finalmente

X=kv

x

l3

d v .

Hay expresiones similares que son vlidas para Y y Z.

El potencial V es continuo en todo el espacio y se anula cuando tiende a infinito como 1/ l. Esto es obvio por el hecho

de que para distancias l muy grandes el cuerpo acta ms o menos como una masa puntual, con el resultado de que suatraccin est representada aproximadamente por (1-6). En consecuencia, los planetas se consideran generalmentemasas puntuales en lo que se refiere a la mecnica celeste.

Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, tambin son continuas en todo el espacio, pero noas las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las segundas


10/274

V=4 k (1-13)En donde

V=2V

x2

2 V

y2

2 V

z2 (1-14)

El smbolo , llamado el operador de Laplace, tiene la forma

2

x2

2

y2

2

z2

Analizando (1-13 y 1-14) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrque ser discontinua juntocon .

En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vaco, la densidad es cero y (1-13) se convierte en

V=0 (1-15)

Esta es la ecuacin de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armnicas. Por consiguiente, el potencialde gravitacin constituye una funcin armnica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas all satisface la ecuacin de Poisson.

1.3. Potencial de una Superficie Material

Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con un

espesor de cero y una densidad de

k=dm

dS

en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso ms o menos imaginario pero aun asde gran importanciaterica.

Al igual que (1-11), el potencial estdado por

V=kS

dm

l=k

S

k

ldS (1-16)

en donde l representa la distancia entre el punto atrado P y el elemento de superficie dS (fig. 1-3).

En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las

derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas

normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior.


11/274

FIGURA 1-3 Potencial de una Superficie Material

Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el lmite

dVdn=2 kkkS

k

n 1ldS ; (1-17a)si es desde el interior

dV

dn=+ 2 kkkS k

n 1

ldS. (1-17b)

Para efectos de este texto / n denotarla deriva en direccin de la normal exterior n (fig. 1-3).Por ende vemos que la derivada normal V/ n tiene una discontinuidad en S :

V n? V

n?=4 kk (1-18)Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (1-17a,b) y representan la discontinuidad en S dela

derivada de V a lo largo de una direccin arbitraria m :

V m =2 k kcos m , n kS

k m 1ldS. (1-19a)

V

m =+ 2 k kcos m , n k

S

k m

1ldS. (1-19b)

en donde (m,n) denota el ngulo entre la direccin m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (1-17a,b) y de lacontinuidad de las derivadas tangenciales.

Las discontinuidades ocurren nicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todaspartes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la ecuacin de Laplace para lasfunciones armnicas,

V=0 .En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo

slido, anulndose como 1/ l para l . El potencial de las superficies materiales tambin se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo

del potencial de doble capa que se explica continuacin.

1.4. Potencial de una Doble Capa

Imagnese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y m, separadas poruna distancia h pequea (fig. 1-4). En gravitacin, ste sera un caso enteramente imaginario puesto que no existenmasas negativas, no obstante, el concepto matemtico resulta til. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen enefecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva estdado por

V =km

l,

el potencial de la masa negativa porV =

km

h,


12/274

V=km 1l 1h .

V=V

Si denotamos la direccin del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylorcon respecto a h :

1

h=

1

l

n 1lh 12 2

n21

lh2. . . . . . . .

FIGURA 1-4 Potencial de un Dipolo

Al sustituir en la frmula anterior obtenemos

V=k. mh .

n 1

lk

mh2

2

2

n21

l. . . . . . . . .

o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio deM,

V=k.M.

n 1lkMh

2

2

n21

l. . . . . . . . .La cantidad mh = M se conoce como el momento dipolar. Supongamos ahora que la distancia h disminuye

indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolarM = mhpermanece infinito. En

consecuencia, los trminos de orden superior tienden a cero cuando h 0 y la expresin para V llega a un limite :

V=kM

n 1l (1-20)Este es el potencial de un dipolo.

Una doble capa en la superficie S podra considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequea.La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P que se encuentran muy cerca uno del otro y

cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 1-5). Por tanto, todo par de puntos

correspondientes P, P forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura

anterior estrepresentada por = k (hmuy pequea, k muy grande).Aplicando (1-20) y sumando una sucesin (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidosen forma continua sobre la superficie S, obtenemos

V=kS

n1l. dM=kS

n 1l. dS (1-21)Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.


13/274

FIGURA 1-5 El potencial de doble capa como lmite del potencialde dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas.

Es continuo en todas partes excepto en la superficie S; allobtenemos dos limites diferentes para el potencial,dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S :

Ve=2 k

S

n 1ldS. (1-22a) V

i=2 k

S

n 1ldS. (1-22b)La diferencia,

VeVi=4 k , (1-23)

es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasamos de afuera hacia adentro.Aunque las ecuaciones (1-22a,b) son similares a las (1-17a,b) la diferenciacin / n se refiere a la normal a

la superficie en el punto atrado P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las frmulas para el potencialde doble capa, y por consiguiente en (1-22a,b), la diferenciacin / n se toma a lo largo de la normal a lasuperficie en el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto

la direccin de la normal a la superficie hacia fuera.La doble capa deberdistinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que

existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el

mismo (se anulan como 1/ l), ascomo el hecho de que son armnicas tanto en el interior como en el exterior de S,satisfaciendo all la ecuacin de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezastotalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan

usarse matemticamente, especialmente con relacin a los teoremas de Green.

1.5. Frmulas Integrales de Gauss y GreenLos teoremas y frmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones bsicas de la teora delpotencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia terica.

Frmula de Gauss. Empezando por la frmula integral de Gauss,

v

div F. dv=S

Fn . dS , (1-24)

en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proyeccin del vector F sobre la normal exterior ala superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes

X, Y, Z, es decir,

F = (X, Y, Z)

entonces

divF=X

Y

Z

(1-25)


14/274

Como la frmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemticas para ingeniera o defsica matemtica, no es necesario desarrollarla aqu. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva.

La frmula (1-24) es vlida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado fsico. El caso enque F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden

existir fuentes de flujo donde ste se genera, o sumideros donde ste muere. La intensidad de las fuentes o sumiderosse mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (1-24) representa la cantidad de fluido generado (o muere)

en el tiempo unitario a travs de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempounitario a travs dela superficie S. La frmula de Gauss (1-24) expresa el hecho de que ambas cantidades sonequivalentes.

En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretacin intuitiva no es tan obvia, peromuchas veces puede aplicarse la analoga del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitacin las componentes X,Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (1-7) :

X= V

x, Y=

V

y, Z=

V

z,

Por tanto

divF=X

x

Y

y

Z

z=

2 V

x 2

2 V

y2

2 V

z2= V,

de manera que segn la ecuacin de Poisson (1-13)div F = -4 k ,Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad

de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa . La parte derecha de (1-24) se conoce como el flujode fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional anlogo tambin al flujo del fluido.

Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las ecuaciones (1-

7), es posible expresar la frmula de Gauss en trminos de la funcin V. Para el momento tomamos el eje x positivo enla direccin de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F serla componente X: Fn =X. Luego, como V/x= V/ n ; la derivada de V en la direccin de la normal n exterior, vemos que de acuerdocon (1-7)

F= V

nIncorporando esto y la relacin div F = V a (1-24), obtenemos

v

V.dv=S

V

n. dS. (1-26)

Esta es la frmula integral de Gauss para el potencial.Al deducir (1-26) de (1-24) nicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una

funcin V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuacin de Poisson para el campo gravitacional. Por lotanto, la integral de Gauss tambin es vlida para una funcin arbitraria V que sea suficientemente regular ydiferenciable.

Frmulas de Green. Estas frmulas se deducen de (1-24) mediante la sustitucin X=U

V

x, Y=U

V

y, Z=U

V

z,

en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) estrepresentado por

Fn=U

V

n.

Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (1-25) la

divergencia sera,

divF= U

x

V

x

U

y

V

y

U

z

V

zU V.

De esta manera (1-24) pasa a ser

v

U. V. dvv

Ux

Vx

Uy

Vy

Uz

Vz

. dv=S

U V n

. dS. (1-27)


15/274

v

U. VV. U dv=S

U V

nV

V

n dS. (1-28)

Esta es la segunda identidad de Green.

En estas frmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la regin espacial v(v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y

segundo orden.Es de gran importancia en el caso que

U=1

l,

en donde lrepresenta la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P estfuera de la superficie S, entonces 1/ lesregular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la

misma, entonces 1/ l se torna infinito en algn punto de v y (1-28) no podraplicarse directamente sino que debermodificarse. Pasando por alto la derivacin mencionemos solamente el resultado :

v

1

lV.dv=pV

S

[1

l

V

nV

n1l] . dS , (1-29)

en donde

p = 4 si P estdentro de S,2 si P esten S,0 si P estfuera de S.

Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (1-28) en el trmino pV. La razn por la que (1-29) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el trmino que contiene/ n (1/ l), el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidades en S. Si P estfuera de S,

entonces 1/ l es regular en v, y la ecuacin (1-29), con p = 0, es consecuencia inmediata de (1-28); v es el interior dela superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en direccin hacia fuera.

La tercera identidad de Green (1-29) y tambin resulta vlida si v es el exterior de la superficie S y la normal nes la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de ,

obteniendo as:

v

1

lV.dv=pV

S

[1

l

V

nV

n1l] . dS , (1-29)en donde

p = 4 si P estfuera de S, 2 si P esten S,

0 si P estdentro de S.

Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es vlida para las funciones V que,adems de satisfacer los requerimientos generales para las identidades de Green, satisfacen asimismo ciertascondiciones en infinito, como el de anularse all.

1.6. Aplicaciones de las Frmulas Integrales de Green

Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales.

1. En la tercera identidad (1-29), hacemos que V 1. De modo que

S

n

1l . dS= { 4 si P estdentro de S, 2 si P esten S 0 si P estfuera de S. (1-30)


16/274

Estas frmulas, que a veces resultan tiles , tambin fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremassobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como ste tiene un valorconstante dentro de la superficie y es cero fuera de sta, con la discontinuidad caracterstica (1-23) en S.

2. En este caso, V es una funcin armnica fuera de S : V = 0. Si el punto P tambin estfuera de S,

entonces la tercera identidad (1-29) resultara en (p = 4 ) :

V=1

4

S 1l V n . dS 14

S 1l n . dS. (1-31)

Esta frmula demuestra que toda funcin armnica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (1-16) con una densidad de

k= 1

4 k

V

n,

y un potencial de doble capa (1-21), con una densidad de =V/ k4 .

3. Aqutambin V resulta armnica fuera de S. Supongamos adems que S sea una superficie donde V= Vo = const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De

manera que para un punto P fuera de S, aplicamos (1-31), obtenemos

V=1

4

S 1l V n . dS V4

S

n 1l. dS.La segunda integral es cero de acuerdo con (1-30). Por tanto

V=

1

4

S

1

l

V

n. dS (1-32)

Esta frmula, atribuida a Charles, muestra que toda funcin armnica puede presentarse

como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si

V es el potencial de Newton de un cuerpo slido dentro de S, podemos decir que es posible

reemplazar cualquier cuerpo slido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies

equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 1-6).

Daremos a continuacin dos ejemplos algo ms elaborados que consideramos sumamenteimportantes desde el punto de vista de la geodesia fsica.

4. En la segunda identidad (1-28) hacemos que U 1. Volvemos a obtener la frmula de Gauss (1-26) :


17/274

v

V.dv=S

V

n. dS.

FIGURA 1-6.Teorema de Charles. En cualquier punto P fuera de S, el

potencial de una capa superficial cuya densidad

k=4 k 1 . V/ n es igual a la del slido atrayente en s.

Aplicamos esta frmula al potencial de gravedad W (gravitacin ms fuerza centrfuga; refirase a la seccin 2-1) :

v

W . dv=S

W

n. dS.

La funcin W satisface una ecuacin (2-6)

W=4 k 22,la cual es similar a la ecuacin de Poisson (1-13); representa la velocidad angular de la rotacin de la tierra S.Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que

v

4 k 22 . dv=S

gn. dS.

M= 1

4 k

S

gn . dS2

2 k v , (1-33)

en donde

M=v

. dv

M es la masa de la tierra y v su volumen. Bsicamente, esta ecuacin es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partirde la gravedad medida. Ntese que no es necesario conocer la distribucin detallada de la densidad en el interior de la tierra.

5. Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (1-29) a un punto sobre la

superficie terrestre. Entonces p = 2 , de manera que tenemos

1

[1 W 1 ]


18/274

Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos

v

1

l.4 k 22. dv2 W

S[W n 1l gnl] . dS=0

y segn (1-11),

W=kv

l. dv

1

22x2y2 ,

finalmente obtenemos

2 W S

[W n 1l g nl] . dS22 x2y222v

dv

l=0 (1-34)

Todas las cantidades de esta ecuacin hacen referencia a la superficie S.

La ecuacin (1-34) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, ser a razonablesuponer que la ecuacin anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podramos considerar esta ecuacincomo la base matemtica para determinar la superficie fsica S de la tierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdocon la famosa teora de Molodensky (refirase al captulo 8).


19/274

1-7. Funciones Armnicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet

Anteriormente se definieron las funciones armnicas como soluciones de la ecuacin de Laplace

V=0 .

Especficamente, una funcin se considera armnica en una regin v del espacio si satisface la ecuacin de Laplace en todos los puntos de v. Si dicha

regin consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendradems que anularse como 1/ l para l . Es posibledemostrar que toda funcin armnica es analtica (en la regin donde satisface la ecuacin de Laplace); quiere decir, que es continua y tienederivadas continuas de cualquier orden.

La funcin armnica ms sencilla es la que representa la distancia recproca

1

l=

1

x2y 2z 2

entre dos puntos ( , , ) y (x, y, z), la cual se considera una funcin de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en elpunto ( , , ); comparemos (1-5) y (1-6) para km = 1.

Puede demostrarse fcilmente que 1/ l es armnica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma maneraque (1-8) :

x;

x1l=xl1 ,

y1l=y l1 ,

z1l= l1

2

x2= 1ll

23x2

l2

, 2

y2= 1ll

23y 2

l2

, 2

z2= 1ll

23z 2

l2

Si sumamos las ltimas tres ecuaciones y aplicamos la definicin de , hallamos que

1l=0 ; (1-35)es decir que 1/ les armnica.

El punto ( , , ), en donde lequivale a cero y 1/ la infinito, es el nico donde no puede aplicarse la deduccin anterior; 1/ l noes armnica en este punto exclusivamente.

De hecho, el potencial algo ms general (1-6) de una masa puntual arbitraria m tambin es armnico excepto en ( , , ) dado que(1-35) no cambia al multiplicar ambos lados por km.

En el exterior de las masas atrayentes, no slo el potencial de una masa puntual es armnico sino tambin cualquier otro potencial

gravitacional. Consideremos ahora el potencial (1-11) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciaci n y de la integracin,hallamos que de acuerdo con (1-11)

V=k [v

l. dv ]=k

v

1l . dv=0 ;es decir, que el potencial de un cuerpo slido tambin es armnico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes.

Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deduccin anterior resulta nula puesto que 1/ lpasa a ser infinito para el elemento de masa dm (

, , ) que coincide con P (c, y, z), y (1-35) deja de ser vlida. Esta es la razn por la que el potencial de un cuerpo slido no es armnicoen su interior y ms bien satisface la ecuacin diferencial de Poisson(1-13).

De la misma manera podemos demostrar que el potencial (1-16) de una capa atrayente en una superficie S es armnico en todos sus puntoscon excepcin de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (1-21) de una doble capa es tambin armnico en todas partesexcepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el l mite del potencial combinado de dos capassuperficiales contiguas; comprese la fig. 1-5.

De manera que el potencial gravitacional es armnico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes y, por consiguiente, lo mismol t i l t d l ti i h i d l t f l f t f A t l d b l i t i ti


20/274

En general, es posible generar la misma funcin armnica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante conocido es eldel potencial externo de una esfera homognea:

V=kM

l,

en donde M representa la masa de la esfera y lla distancia desde su centro1.Por tanto, todas las esferas homogneas concntricas con la misma masa

total M, cualquiera que sea su tamao, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro,puesto que el potencial de una masa puntual se determina tambin con esta frmula.

Otro ejemplo sera el teorema de Charles (1-32). Tomemos cualquier potencial V de Newton y denotemos una de sus superficiesequipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sera el mismo que le de una capa superficial con una densidad

1

4 k .

V

n;

Vase la fig. 1-6.

Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una funcin V que sea armnica fuera de una superficie S estdeterminada por susvalores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un nmero infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la funcinarmnica V dada.

Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teora del potencial no

tiene una solucin nica (problema directo: determinacin del potencial a partir de las masas; problema inverso: determinacin de las masas a partirdel potencial). El problema inverso se presenta en la exploracin geofsica con las mediciones gravimtricas: se deducen masas invisibles basndoseen las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma m s completa, es necesario contar con informacinadicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geologa o de mediciones ssmicas.

Dada la importancia del teorema de Stokes, haremos aqu una prueba sencilla de su primera parte. Supongamos que determinadadistribucin de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos adems que una distribucindiferente de masa dentro de S genera un potencial V que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V V por U,

entonces, de acuerdo con nuestra hiptesis, U = 0 en S. Tomando la primera identidad de Green (1-27) y poniendo una funcin igual a la otra,

obtenemos

v

U. U. dvv

[ Ux2

Uy2

Uz2

] . dv=S

U. U

n. dS.

Esta ecuacin se aplica al exterior de S, de manera que v represente la regi n fuera de S.2

Dado que U = V V, siendo esta la diferencia de dosfunciones armnicas, tambin resulta armnica fuera de S y tenemos que U= 0 en v; adems, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera

integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos

Si solo una de las derivadas de U tiene

otro valor que no sea cero, esta ecuacindejarde ser vlida ya que el integrando debe ser siempre positivo cero. De manera que todas las derivadas de U tendrn que ser cero; es decir que Ues una constante. Dado que U, como funcin armnica, tiene que ser cero en infinito, la constante tendrque ser cero tambin. Por lo tanto, V V =0 o sea V = V en todo v, que es precisamente lo que se esttratando de demostrar.

El teorema de Stokes establece que hay una sola funcin armnica V que asume determinados valores lmites en una superficie S, siempreque dicha funcin armnica exista. La aseveracin de que para valores lmites asignados arbitrariamente existe siempre una funcin V que asume enS los valores lmites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armnica fuera de S y V armnica dentro de

S.

El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincary Hilbert; la demostracinresulta bastante difcil.

El problema de calcular la funcin armnica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores lmites en S se conoce comnmente como elproblema de Dirichlet, o el primer problema de los valores lmites de la teora del potencial. Se tratarcon mayor detalle en la seccin 1-16.

Finalmente quisiramos hacer notar que no hay funcin que sea armnica en todo el espacio (excepto en el caso de V 0) : siempre hay por lo menos una excepcin. El potencial de una masa puntual, V = km/ l, es singular para l= 0; el potencial de una distribucin superficial o de unadoble capa en una superficie S es armnico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S.

1Esto se ve enseguida analizando (2-39) : en el caso de una simetra esfrica, tanto Jnm como Knm debern ser cero.2Ello es posible si U es armnica, puesto que siendo ste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de

v

[ Ux2

Uy2

Uz2

]. dv=0


21/274

1.8. Ecuacin de Laplace expresada en Coordenadas Esfricas

Las funciones armnicas ms importantes son las llamadas armnicas esfricas. Para su determinacin, es necesario incluir las coordenadasesfricas: r (vector radial), (distancia polar), (longitud concntrica) (fig. 1-7). Las coordenadas esfricas estn relacionadas con las coordenadas rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones

x = r sin cos ,

y = r sin sin , (1-36)

z = r cos

o inversamente por

(1-37)

FIGURA 1-7.

Coordenadas esfricas y rectangulares.

Para expresar la ecuacin de Laplace por medio de las coordenadas esfricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento dedistancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos

dx =x r

rx

x

,

dy=y

r r

y

y

,

dz=x

r r

z

z

.

Diferenciando (1-36) e incorporndolas la frmula bsica

ds2=dx 2dy2dz2

Obtenemos

ds2=dr2r2 d2r2 sin2 . d2 . (1-38)

Hubiera sido posible hallar esta conocida frmula ms fcilmente por medios geomtricos, pero el mtodo utilizado es ms general y adems puede

r=x2y2z2,

=tan1x2y2

z,

=tan1y

x.


22/274

r = const., los con los = const. y los planos = const se intersecan entre sortogonalmente.

La forma general del elemento de arco expresado en coordenadas ortogonales arbitrarias q1, q2, q3 es

ds2=h

1

2. dq

1

2h2

2. dq

21

2 h3

2. dq

3

2. (1-39)

puede demostrarse que el operador de Laplace en estas coordenadas es

V= 1

h1

h2

h3[ q1

h2

h3

h1 q

2 h3 h1h

2 q

3 h1 h2h

3] (1-40)

Para las coordenadas esfricas, tenemos que q1=r , q2= , q3= . Una comparacin de (1-38) con (1-39) mostrarque

h1=1, h

2=r , h

3=r. sin .

Si sustituimos esto en (1-40), obtenemos

V=1

r

2

r

r

2 V

r

1

r

2

sin

sin

V

1

r

2

sin

2

2 V

2

.

Al efectuar las diferenciaciones, hallamos

V=2V

r2

2

r

V

r

1

r2

2 V

2

cot

r2

V

1

r2sin

2

2V

2=0 . (1-41)

que representa la ecuacin de Laplace expresada en coordenadas esfricas. Se obtiene una expresin alterna multiplicando ambos lados por 2r

r2

2V

r22r

V

r

2 V

2cot

V

1

sin2

2V

2=0 . (1- 41)

esta frmula resulta mucho ms conveniente para nuestro trabajo posterior.

1.9. Armnicas Esfricas

Trataremos de resolver la ecuacin de Laplace (1-41) o (1-41) separando las variables r, , por medio de una sustitucin tentativa

V(r, , ) = f (r) Y(, ) (1- 42)

En donde f es una funcin de r solamente, y Y es una funcin de y de solamente. Al sustituir esto en (1 41) y dividiendo por f Y, obtenemos

1

fr2 f''2 rf '=

1

Y 2

Y

2cot

Y

1

sin2

2 Y

2 ,en donde las primas denotan una diferenciacin con respecto al argumento (r, en este caso). Como la parte izquierda depende solamente de r y alparte derecha solamente de y , ambos lados debern ser constantes. Por consiguiente, podemos separar la ecuacin en dos:

r2

f'' r2 rf ' rn n1 f r=0, (1- 43)

2 Y

2cot

Y

1

sin2

2 Y

2n n1Y=0, (1- 44)

en donde hemos representado la constante por medio de n (n + 1). Las soluciones de (1- 43) estn expresadas mediante las funciones

f r=rn y f r=r n1 ; (1- 45)

esto deber comprobarse por sustitucin. Si denotamos las soluciones de (1- 44) hasta ahora desconocidas por Yn , vemos que laecuacin de Laplace (1- 41) se resuelve por medio de la funciones

V=rn Yn

, y V= Yn , r

n1 (1- 46)


23/274

Estas funciones se conocen como las armnicas esfricas slidas, mientras que las funciones Yn , se conocen como las armnicasesfricas de superficie (de Laplace). Ambas se llaman armnicas esfricas; del tipo al que se esthaciendo referencia por lo general se deduce delcontexto.

Ms adelante veremos que n no es una constante arbitraria sino que tiene que ser entero 0, 1, 2, .......... Si una ecuacin diferencial es lineal yconocemos varias soluciones entonces, como es bien conocido, la suma de estas soluciones ser tambin una solucin en s. Por lo tanto podemosconcluir que

V=n=0

rn

Yn

, y V=n=0

Yn

,

rn1

(1- 47)

son tambin soluciones de la ecuacin de Laplace V=0 ; es decir, funciones armnicas.

Lo importante es que toda funcin armnica con ciertas restricciones- puede expresarse en una de las formas indicadas en (1- 47).

1-10. Armnicos Esfricos de Superficie

Ahora tenemos que determinar las armnicas de superficie de Laplace Yn , .

Trataremos de resolver (1- 44) por medio de una nueva sustitucin tentativa

Yn , = g ( ) h ( ), (1- 48)

en donde tanto la funcin g como la h dependen de una sola variable. Efectuando esta sustitucin en (1- 44) y multiplicando por sin2 / gh

hallamos que

sin

gsin . g ''cos . g'n n1sin . g =

h ''

h,

en donde las primas denotan diferenciacin con respecto al argumento : en g, en h. La parte izquierda es una funcin de solamente, y la

derecha es una funcin de solamente. Por lo tanto ambos lados tendrn que ser nuevamente constantes; supongamos que la constante sea m2 . De

esta manera se divide la ecuacin diferencial parcial (1- 44) en dos ecuaciones diferenciales regulares para las funciones g ( ) y h ( ):

;0)(g.sinmsin)1n(n[)('g.cos)(''g.sin

2

=

+++

(1- 49)

h '' m2 h =0 (1- 50)

Las soluciones de la segunda ecuacin son las funciones

h =cos m y h =sin m, (1- 51)

tal como puede comprobarse por sustitucin. La primera ecuacin es ms difcil. Puede demostrarse que sus soluciones tienen significado fsicosolamente si n y m son nmeros enteros 1, 2, ........ y si m es menor que o igual a n. Una de las soluciones de (1- 49) es la llamada funcin de

Legendre Pnm cos la cual sertratada con ms detalle en la siguiente seccin. Por tanto

g =Pnm

cos (1- 52)

y las funciones

Yn , =P nm cos cos m y Yn , =Pnm cos sin m (1- 53)

son soluciones de la ecuacin diferencial (1- 44) para las armnicas de superficie de Laplace.

Dado que esta ecuacin es lineal, cualquier combinacin lineal de las soluciones (1- 53) sertambin una solucin en s. Dicha combinacinlineal tiene la siguiente forma general:

Yn

, = m=0

n

[ anm

Pnm

cos cos mbnm

Pnm

cos sin m],

en dondenma y bnm son constantes arbitrarias. Esta es la expresin general para la armnica de superficie Yn .


24/274

V r , , = n=0

m

rn

m=0

n

[ anm

Pnm

cos cosmbnm

Pnm

cos sin m ], (1- 54a)

V r , , = n=0

m1

rn1

m=0

n

[ anm

Pnm

cos cos mbnm

Pnm

cos sin m], (1- 54b)

son soluciones de la ecuacin de Laplace V=0 ; es decir, funciones armnicas. Adems, tal como se ha mencionado anteriormente, son enrealidad soluciones muy generales : toda funcin que sea armnica dentro de determinada esfera podrdesarrollarse para formar una serie (1- 54a), ytoda funcin que sea armnica fuera de determinada esfera (como por ejemplo, el potencial gravitacional de la tier ra) podrdesarrollarse para formaruna serie (1- 54b). Asvemos como las armnicas esfricas pueden resultar tiles en la geodesia.

1.11. Funciones de Legendre

En la seccin anterior se definila funcin )(cosPnm de Legendre como una solucin de la ecuacin diferencial de Legendre (1- 49). La ndenota el grado y m el orden de

nmP .

Resulta conveniente transformar la ecuacin de Legendre (1- 49) sustituyendo

t = cos (1- 55)

Para evitar confusiones, utilizamos una raya para indicar que g es una funcin de t. Por lo tanto,

g () = g (t),

g ' =dg

d=

dg

dt

dt

d=g ' t sin ,

g '' =g '' tsin2 g '' t cos2 .

Si insertamos esto en (1- 49), dividimos por sin , y luego sustituimos 2sin = 1- t2 obtenemos

1t2 g '' t2t . g ' t[n n1 m

2

1t2 ] . g t=0 . (1- 56)La funcin de Legendre g (t) =

nmP (t), definida por

Pnm

t= 1

2n

n ! 1t2 m/ 2

dnm

dtnm

t21n, (1- 57)

satisface (1- 56). Aparte del factor2/m2

)t1( = sinm y de una constante, la funcin nmP es la (n +m)-sima derivada del polinomion2

)1t( . De esta manera es posible determinar su valor numrico sin ninguna dificultad. Por ejemplo,

P11

t=1t21/ 2

21

d2

dt2

t21=1

21t22=1t2=sin .

El caso m = 0, tiene especial importancia. A menudo las funciones Pn t se denotan sencillamente por Pn t . Luego (1- 57) da

Pn

t=Pn t P nm t=

1

2n

n !

dn

dtn

t21n, (1- 57)

Como m = 0, no hay raz cuadrada, es decir, no hay sin . Por lo tanto, las son sencillamente polinomios de t. Se conocen como polinomios de

Legendre. Aqumostramos unos cuantos de los primeros polinomios para n = 0 hasta n = 2.

P t =1, P1

t =t , P2

t =3

t2

1t , P

3 t =

5t2

3t ,


25/274

P4

t=35

8t

415

4t

23

8, P

5 t=

63

8t5

35

4t

315

8t , (1- 58)

Recordemos que

t = cos .

Los polinomios podrn obtenerse por medio de (1- 57) o ms fcilmente usando la frmula de recursin

Pn

t=n1

nP

n2 t2n1

nt. P

n1 t, (1- 59)

mediante la cual es posible calcular P2 a partir de P0 y P1 , P3 a partir de P1 y P2 , etc. En la fig. 1-8 se muestran las graficadselos polinomios de Legendre.

Las potencias de cos pueden expresarse en trminos de los cosenos de mltiplos de , tales como

cos2 =

1

2cos2

1

2, cos

2 =1

4cos3

3

4cos .

Por consiguiente, tambin podemos expresar Pn (cos ) en esta forma, obteniendo

P2 cos =

3

4cos2

1

4,

P3 cos =

5

8cos3

3

8cos ,

P4 cos =

35

64cos4

5

16cos2

9

64,

P5 cos =

63

128cos5

35

128cos3

15

64cos ,

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1- 58)

Si el orden m no es cero, es decir, m = 1, 2, . . . . . , n, las funciones de LegendrenmP (cos ) se conocen como las funciones asociadas de Legendre.

Estas pueden reducirse fcilmente a polinomios de Legendre por medio de la ecuacin

Pnm

t= 1t2m /2d

mP

nt

dtm

, (1- 60)

que se desarrolla de (1- 57) y (1- 57). De esta manera es posible expresar las funciones asociadas de Legendre en t rminos de polinomios de

Legendre del mismo grado n. Aqudamos algunasnmP , escribiendo t = cos , 1t2=sin :

P11 cos =sin P21cos =3sin cos , P31=sin 152 cos2 32 , P

22 cos =3sin2 , P

32=15sin2 cos , P

33=15sin2 . (1- 61)

tambin mencionamos una frmula explcita para cualquier funcin de Legendre (polinomio o funcin asociada) :


26/274

Pnm

t=2n 1t2 m/ 2 k=0

r

1k 2n2k !

k ! nk! nm2k !t

nm2k. (1- 62)

donde r representa el nmero entero ms alto (n -m) / 2; v. g. r es (n -m) /2 o (n m -1) / 2, cualquiera que sea un nmero entero. Esta frmularesulta conveniente para la programacin de una computadora electrnica.

Puesto que es difcil encontrar esta frmula til en trabajospublicados hemos incluido aqusu deduccin la cual es bastante sencilla ysin complicaciones. La informacin requerida sobre factoriales puedeobtenerse de cualquier coleccin de frmulas matemticas.

FIGURA 1-8

Polinomios de Legendre como

funciones de t = cos . Arriba, n

es par; abajo, n es impar.

El teorema del binomio de Newton da:

t21n=k=0

n

1knk t2n2k=k=0n

1k n !

k ! nk!t

2n2k.

De esta manera se convierte en

Pnm

t=1

2n

1t2m /2 k=0

n

1k 1

k ! nk!t

2n2k,

Al suprimirse el factor comn n! La r-sima derivada de la potencia t8 es

dr

dtr

tr=s s1 . . . . . . . . . sr1 tsr= s !

s r!t

sr.

Si ponemos r = n + m y s = 2 n 2k, tenemos

dnm

dt

nm t2n2k=

2n2k !

nm2k !t

nm2k.

Al insertar esto en la expresin anterior paranmP (t) y notar que el exponente ms bajo posible de t es t t= 1, obtenemos (1- 62).

Las armnicas esfricas de superficie son las funciones de Legendre multiplicadas por cos m o sin m :

Grado 0 P0 cos ;

Grado 1 P0 cos ;

P11cos cos, P11 cos sin ;

Grado 2 P2 cos ;

P21

cos cos, P21

cos sin,


27/274

La representacin geomtrica de estas armnicas esfricas resulta til. Las armnicas donde m = 0, es decir los polinomios de Legendre, sonpolinomios de grado n en t, de manera que tienen n ceros. Estos n ceros son todos reales y estn situados en el intervalo -1 t +1, es decir 0

(fig. 1-8). Las armnicas donde m = 0 cambian por lo tanto de signo n veces en este intervalo; adem s no dependen de . Su representacin geomtrica es por consiguiente similar al caso a de la fig. 1-9. Como dividen la esfera en zonas, tambin se conocen como armnicas zonales.

Las funciones asociadas de Legendre cambian de signo n m veces en el intervalo 0 . Las funciones cos m y sin m tienen 2m ceros en el intervalo 0 2 , de manera que la representacin geomtrica de las armnicas para m 0 es similar a la del caso b. Dividen la esfera en compartimientos en los que son positivas y negativas alternativamente al igual que un tablero de ajedrez, y se conocen como armnicas teserales. En el caso particular de n = m degeneran en funciones que dividen la esfera en sectores positivos y negativos, en cuyo caso se conocen

como armnicas sectoriales(fig. 1-9, caso c).


28/274

FIGURA 1-9 Los diferentes tipos de armnicas esfricas : (a) zonales, (b) Teserales, (c) sectoriales.

1.12. Funciones de Legendre del Segundo Tipo

La funcin de Legendre no es la nica solucin de la ecuacin diferencial de Legendre (1- 56). Hay una funcin de naturaleza completamentediferente que tambin satisface esta ecuacin. Se le conoce como la funcin de Legendre del segundo tipo, de grado n y de orden m, y que se denota

por Qnm t .

Aunque Qnm t son funciones de naturaleza totalmente diferente, satisfacen relaciones muy similares a las que satisfacen las

Pnm t .

Las funciones zonales

Qn

tQn t

estn definidas por

Qn

t=1

2P

n t ln

1t

1t

k=1

n1

kP

k1 t P nk t, (1- 63)

y las otras por


29/274

Qnm

t=1t2 m /2d

mQ

n t

dtm

. (1- 64)

La ecuacin (1- 64)es completamente anloga a (1- 60); adems, las funciones Qn t satisfacen la misma frmula de recursin (1- 59) que lasfunciones .

Si determinamos el valor de las primerasnQ por medio de (1- 63) hallamos que

Q0

t=1

2ln

1t

1t=tanh1 t ,

Q1

t=t

2ln

1t

1t1=ttanh1 t1,

Q2

t=

3

4t

21

4

ln

1t

1t

3

2t=

3

2t

21

2

tanh

1t

3

2t.

(1- 65)

Estas frmulas y la fig. 1-10 muestran que las funcionesnmQ son en realidad muy distintas a las funciones nmP . Por la singularidad

en t = (v. G. = 0 ) vemos que es imposible sustituir nmQ (cos ) por nmP (cos )si representa la distancia polar, ya que las funciones armnicas tienen que ser regulares.

No obstante, las hallaremos en la teora de las armnicas elipsoidales (seccin 1- 20), la cual se aplica al campo de gravedad normal de latierra (seccin 2- 7). Por este motivo necesitamos las funciones de Legendre del segundo tipo como funciones de un argumento complejo. Si elargumento z es complejo tendremos que sustituir la definicin (1- 63) por

Qn

z = 12

Pn

z ln z1z1

k=1

n

1k

Pk1z P nkz , (1- 63)

en

donde los polinomios de Legendre Pn z se definen mediante las mismas frmulas que en el caso de un argumento real t. As pues, el nicocambio en comparacin con (1- 63) es la sustitucin de

12

ln1t1t

=ttanh1 t ,

.


30/274

FIGURA 1- 10

Funciones de Legendre del segundo tipo. Arriba n es par; abajo n es impar.

Por

especficamente tenemos

(1- 65)

1.13. Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad

En esta seccin trataremos con las armnicas esfricas de superficie. En (1- 54a,b) desarrollamos las funciones armnicas en el espacio para formaruna serie de armnicas esfricas slidas. Similarmente es posible desarrollar una funcin f ( , ) arbitraria (por lo menos en sentido muy general) en la superficie de una esfera para formar una serie de armnicas de esfera de superficie :

(1- 66)

en donde hemos utilizado las formas abreviadas3

Rnm

, = Pnm cos cos m ,

Snm , = Pnm cos sinm. (1- 67)

1

2ln

z 1

z 1=coth1z ,

.

Q0

z =1

2ln

z1

z1=corh1z ,

Q1

z =z

2ln

z 1

z 11=z coth1z 1,

Q2

z =34 z214 lnz 1z 1 32 z=32 z212coth1z32 z .

f , =n=0

m

Yn

, = n=0

m

m=0

n

[ anm

Rnm

, bnm

Snm

, ],


31/274

Los smbolos a nm y bnm son coeficientes constantes que ahora procederemos a determinar. Para ello, son esenciales las llamadas relacionesde Ortogonalidad. Estas relaciones poco comunes significan que la integral sobre la esfera unitaria del producto de cualesquiera dos funciones

diferentes Rnm y Snm es cero :

Si s n, r m o ambos

Si s n, r m o ambos

En cualquier caso

En el caso del producto de dos funciones equivalentes Rnm Snm tenemos

[Rn

, ]2 . d=4

2n1;

[Rnm

, ]2 . d=

[ Snm

, ]2 . d=2

2n1

nm !

nm !

(m 0). (1- 69)

(No hay ninguna Sn0 , ya que sin 0 = 0.) En estas frmulas hemos utilizado la forma abreviada

==02

=0

para la integral sobre la esfera unitaria. La expresin

d = sin d d

denota el elemento de superficie de la esfera unitaria o el elemento de ngulo slido, el cual se define como el rea correspondiente en al esferaunitaria.

Ahora resulta fcil determinar los coeficientes a nm y bnm en (1- 66).

Si multiplicamos ambas partes de la ecuacin por un Rsr , e integramos sobre la esfera unitaria, obtenemos

f , Rsr

, ] . d=asr

[Rsr

, ]2 . d,

ya que en el lado derecho de la integral doble se anular n todos los trminos, salvo el que tiene n = s, m = r, de acuerdo con las relaciones deOrtogonalidad (1- 68). La integral del lado derecho tiene el valor dado en (1- 69) de manera que se ha determinado a sr . En forma similar

d l l b lti li d (1 66) S i t d b l f it i El lt d

Rnm , Rsr , . d=0

Snm

, Ssr

, . d=0

Rnm

, Ssr

, . d=0


32/274

(1- 70)

( m 0 )

Los coeficientes a nm y

bnm

pueden por lo tanto

determinarse mediante una integracin.

Notamos que tambin es posible hallar directamente las armnicas esfricas de Laplace Yn , en (1- 66) mediante la frmula

Yn

, =2n1

4 '=0

2

'=0

f ', ' Pn

cos sin '.d '. d ', (1- 71)

en donde es la distancia esfrica entre los puntos ( , ) y ( , ), de modo que (fig. 1-11)

cos =cos .cos 'sin sin ' (1- 72)

La ecuacin (1- 71) puede verificarse fcilmente mediante clculos directos, sustituyendo Pn cos de la frmula de descomposicin (1-82) de la seccin 1-5.

1.14. Armnicas Esfricas Totalmente Normalizadas

Las frmulas de la seccin anterior para el desarrollo de una funcin a una serie de armnicas de superficie son bastante difciles de manejar. Sianalizamos las ecuaciones (1- 69) y (1- 70) vemos que hay diferentes frmulas para m = 0 y m 0; adems, las expresiones son relativamentecomplicadas y difciles de recordar.

FIGURA 1-11

La distancia esfrica .

an=

2n1

4

f , Pn

cos . d;

anm

=2n1

2

nm !

nm !

f , Rnm

, . d;

bnm

=2n12

nm ! nm !

f , Snm

, . d;


33/274

Por consiguiente, se ha propuesto reemplazar las armnicas convencionales Rnm y Snm definidas por (1- 67) y (1- 57) (1- 62), por otrasfunciones que difieran por un factor constante y sean ms fciles de manejar. Aquconsideramos solamente las armnicas totalmente normalizadas 4

que parecen ser las ms convenientes ascomo las ms usadas. Las denotamos por Rnm y Snm ;estn definidas por

Rn , =2n1 .Rn , 2n1. P n cos ; (1- 73)

R

nm ,

Snm

, =2 2n1 nm ! nm !

Rnm

,

Snm

, ( m 0).

Las relaciones de Ortogonalidad (1- 68) son vlidas tambin para estas armnicas totalmente normalizadas, mientras que las ecuaciones (1-69) se simplifican completamente : se convierten en

1

4 R

2nm .

d=

S

2nm .

d=1 . (1- 74)

Esto significa que el cuadro de medio de cualquier armnica totalmente normalizada es uno, en donde el promedio se calcula sobre la esfera(promedio = integral dividida por el rea 4 ). Esta frmula para cualquier m sea esta cero o no.

Si desarrollamos una funcin arbitraria f ( , ) para formar una serie de armnicas totalmente normalizadas, anloga a (1- 66),

f , =n=0

m

m=0

n

[ anm

Rnm

, bnm

Snm

, ], (1- 75)

Entonces los coeficientes a nm nmb estarn dados sencillamente por

C=W0W

0

H

gdH (1- 76)

es decir, los coeficientes sern los productos medios de la funcin y la armnica correspondiente Rnm o Snm .

La sencillez de las frmulas (1- 74) y (1- 76) representa la ventaja principal de las armnicas esfricas totalmente normalizadas, hacindolas

tiles en muchos respectos, aun cuando las funciones Rnm y Snm (1- 73) sean algo ms complicadas que las Rnm y Snm

convencionales : tenemos que

Rnm

, = Pnm cos cos m ,

Snm

, = Pnm cos sinm . .

4 Las armnicas totalmente normalizadas han sido sencillamente normalizadas en la forma que establece la teora delas funciones reales; hemos tenido que utilizar esta expresin extraa porque el trmino armnicas esfricas


34/274

En donde

Pnm(t)= 2n1

n2k

k=0

r

1k 2n2k!/k ! nk ! n2k !talignl

(l-77a)

para m=0, y

2 2n1 nm !/ nm !2n 1t2m / 2 nm2k

k=0

r

1k 2n2k!/k ! nk ! n2k !talignl

(l-77b)

para m diferente de 0. Esto corresponde a (1-62): aqu, al igual que en (1-62), r es el numero entero mas alto (n-m)/2

Hay relaciones entre los coeficientes a nm y b nm para armnicas totalmente normalizadas y los coeficientes a nm yb nm para armnicas convencionales que por supuesto son las inversas de las expresadas en (1-73):

a

ng

= a

n0

/2n1 (1-78)

anm

bnm

1 /2 2n1 nm !/ n m ! { } {}m diferente de cero


35/274

La distancia entre dos puntos cuyas coordenadas esfricas son:

P(r, , ), P(r ,

esta representada por

l2=r2r 22 rrcos (1-79)

en donde es el ngulo entre los vectores radales r y r(fig. 1-12), de manera que segn (1-72),

cos - cos cos + sin sin cos - ).

Suponiendo que r' < r, podemos escribir

1/l=1/r22 rrcos r2 =1

r12 u 2

en donde hemos utilizado =r'/r y ,u=cos .Esto puede desarrollarse para

formar una serle exponencial con respecto a . Resulta notable que los

coeficientes de n sean las armnicas zonales (convencionales), o polinomios

de Legendre Pn(u)=Pn(cos)

1

t2 u2=

n=0

an

Pn

u =P0

u P1

u . . . . . . . . . , (1-80)

Por consiguiente, obtenemos

1

l=

n=0

r

n

rn1

Pn

cos (1-81)

que es una formula importante.

Aun asi sera conveniente expresar Pn cos en esta ecuacin en trminos funciones de las coordenadas esfricas, y , que componen de acuerdo con (1-72). Esto se logra por medio de la formula de descomposicin.

Pn(cos)=Pn(cos )Pn(cos )

n !


36/274

Si sustituimos esto en (1-81), obtenemos 1-83

1

ln=0

P cos

rn1

r Pn

cos 2 m=1

n nm !

nm ![Rnm , /rn1 r nR nm , Snm , /rn

El uso de las armnicas totalmente normalizadas- simplifica estas formulas. Si reemplazamos las armnicasconvencionales de (1-82) y (1-83) por armnicas totalmente normalizadas por medio de (1-73) hallamos que

Pn

cos = 1

2n1m=0

n

[[R nm , R nm , Snm , Snm , ] ] ; (1-82')

1

l=

n=0

m

m=0

m1

2n1[R nm , /rn1 r nRnm , Snm , /rn1r n Snm , ]

(1-83')

La ultima formula resulta esencial para el desarrollo del campo gravitacinde la tierra con armnicas esfricas.

1-16. Solucin del Problema de Dirichiet Por Medio de Armnicas Esfricas. Integral de Poisson

En la seccin 1-7 se menciono el problema de Dirichiet, o sea el primer problema de valores limites de la teor a delpotencial: con una funcin arbitraria dada en una superficie S, determinar una funcin V que sea armnica ya seadentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la funcin preestablecida.

Si la superficie S es una esfera, entonces el problema de Dirichict podr resolverse fcilmente por medio de

armnicas esfricas. Tomemos primero la esfera unitaria, r = 1, y desarrollamos !a funcin preestablecida, indicadaen la esfera unitaria y denotada por V(1, , ), para formar una serie de armnicas de superficie (1-66);

V(1, , )= n=0

yn

(1-84)

habindose determinado Y ( , ) pormedio de (1-71). las funciones

V(r, , )= n=0

yn

rn (1-85a)

V(r, , )= n=0

yn

/rn1 (1-85b)

asumen los valores dados V(1, , )en la superficie r=1. La serie (1-84) converge y para r l

Yn

/ rn1Yn

.


37/274

el interior de la esfera r = l, y por V(r, , ) para su exterior. En el caso de una esfera de radio arbitrario r = R. lasolucin es similar. Desarrollamos la funcin dada

V(R, , )= n=0

yn

(1-86)

Las armnicas de superficie Yn se determinan por

Yn

=2n1

4 =2

2x

=0x

VR , , Pn

cos sin d d

Luego la serie .

V(r, , )= n=0

rR n

yn

resuelve el primer problema para valores limites para el interior y la serie

V(r, , )= n=0

Rrn

1

yn

(i-87b)

lo resuelve para el exterior de la esfera r = R.

De manera que siempre sera posible resolver el problema de Dirichiet para la esfera. Obviament esto esta

estrechamente relacionado con la posibildad de desarrollar una funcin arbitrarla en la esfera para formar una serie dearmnicas esfricas de superficie,yuna funcin armnica en el espacio para formar una serie de armnicas esfricasslidas.

Integral de Poisson: Hay una solucin mas directa la cual se explica a continuacin. Consideremos solamente elproblema exterior que tiene mayor aplicacin en la geodesia. Si sustituimos Yn( , ) de (1-71) en (l-87b),

Obtenemos

V r , , = n=0

Rrn1

2n1

4 =2

2

=0

VR , , Pn

cos sin d d

Esto lo podemos reordenar asi:

V r , , =14 =22x

=0x

VR , , [n=0

2n1 Rrn1

Pn

cos ]sin d d (1-88)

Es posible determinar el valor de la suma dentro de los parntesis rec-

tangulares. Denotamos la distancia espacial entre los puntos (r, , ) y (R, , ) por l.Luego, de acuerdo con (1-81)


38/274

1

2 20

1 1 1cos

2 cos

n

n

n

RP

l R rr R R

+

=

= =

+

Diferenciando con respecto a r obtenemos

rR cos

l3

=i

Rn=0

n1R

n1

rn1

Pncos

Si multiplicamos esta ecuacin por -2Rr, y multiplicamos la expresin para 1/l por -R y luego sumamos las dosecuaciones, obtenemos como resultado

R r2R2

l2 =

n=0

2n1

R

r

n1

Pn

cos

1a parte derecha es la expresin entre parntesis rectangulares de (1-88).Si sustituimos la parte Izquierda,obtenemos finalmente '

V(r, , )= R r2R2

4 =0

2

=0 VR , ,

l2

sen d d (1-89)

Esta es la integral de Poisson. Es una solucin explcita del problema de Dirichlet para el exterior de la esfera que tienemuchas aplicaciones en la geodesia fsica.

1-17, Otros Problemas de Valores Lmites

Hay otros problemas de valores lmites similares. En el problema de Neumann o sea el segundo problema de valoreslimites de la teoria del potencial, se da la derivada normal de V con respecto a nen la superficie S en lugar de la

funcin V misma. La derivada normal es la derivada a lo Iargo de la normal superficial n a S en direccin haciaafuera. En el tercer problema de valores Iimites, se da una combinacin lineal de V y de su derivada normal

hV+k*aV/an

en S.

En el caso de la esfera tambin es posible expresar fcilmente la solucin de estos problemas de valores limites enterminos de armnicas esfricas. Consideremos ahora los problemas exteriores solamente, ya que son de especialnteres en la geodesia.

En el problema de Nemmann desarrollamos los valores dados de aV/an en la esfera r = R para formar -una serie dearmnicas de superficie:

V

nr=R

=n=0

Y 1-90

La funcin armnica que resuelve el problema de Neinnann para el exterior de la esfera es por lo tanto


39/274

V r , , =R n=0

Rrn1

[ Yn , n1 ]Para verificarla, podemos diferenciarla con respecto a r. obteniendo

V n

=n=0

R

rn1

Yn

,

|Como en el caso de la esfera, la normal coincide con el vector radial tenemos que

V nr=R= V

rr=Ry por lo tanto vemos que satisface (l-l0).

El tercer problema de los valores limites es particularmente importante para la geodesia fsica, ya que la determinacinde las ondulaciones del geoide a partir de 1as anomalias de la gravedad esprecisamente este tipo de problema. Pararesolver el caso general desarrollamos nuevamente la funcin definida por los valores limites dado; para formararmnicas de superficie:

hVk V

n=

n=0

Yn

,

La funcin armnica

V r ,, =R n=0

Rrn1 Y

n

h k/R n1 1-91

V r.

resuelve el tercer problema de valores limites para el exterior de la esfera r=R. Su verificaci n es totalmenteanloga al caso de (1-91).

Al determinar las ondulaciones geoidales, las constantes h, k asumen los valores

h=2/R, k=-1

de manera que

V r ,, =R n=0

R

rn1 Y

n

n1 (1-92)

resuelve el llamado problema de 1os valores 1imites de la geodesia fisica.

Como hemos podido apreciar en la seccin anterior, tambin es posible resolver directamente el primer problemade valores limites por medio de la integral de Poisson. Existen asimismo formulas integrales similares para elsegundo y tercer problema. La formula integral que corresponde a (l-92) para el problema de los valores limitesde la geodesia fsica es 1a integral de Stokes que trataremos con mayor de-talle en el Capitulo 2.

1-18. La Derivada Radial de una Funcin Armnica

Para poder aplicarla mas adelante a problemas relacionados con la gradiente vertical de la gravedad, deduciremosahora una formula integral para 1a derivada a lo largo del vector radial r de una funci n armnica arbitraria quedenotaremos por V. Una funcin armonica como esta satisface la integral de Poisson (1-89):


40/274

V(r, , ) = R r2R2

4 =0

2

=0 VR , ,

l2

sen d d

Al formar la derivada radial aV/ar notamos que V(r , , ) no depende de r. De modo que solo necesitamos diferenciar(r2-R2)/l2 obteniendo

V r , ,

r

R

4=0

2

=0 M r. VR , ,

sen d d

en donde

M r ,

r

r2R2

l2

=1

l2

5R2r

3Rr2 cos 3R

2cos

(1-94)

Si aplicamos esta ecuacin a la funcin armnica especial

obtenemos

R

r2

= R

4=0

2

=0 M r.

sen d d

Multiplicando ambos lados de esta ecuacin por V(r, , ) y restndola de (1-93) nos da

V

r

R

r2

Vr= R

4=0

2

=0

Mr , vVr sen d d

en donde Vp=V(r, , ), V=(R, , , ),

Para hallar la derivada radial en la superficie de una esfera de radio R,tenemos que usar r= R. Luego ( pasa a ser (fig.

1-31)

l0=2Rsin

2

y la funcin M adquiere la forma sencilla

MR , = 1

4R2

sen2

2

= 2Rl

3

0


41/274

Para 0tenemos M(r, )0 y no podemos utilizar la formula original (1-93) en la superficie de la esfera f = R. En laecuacin ransformada (1-95), sin embargo, tenemos v - v.-> 0 para 0, y la singularidad de M para 0 seraneutralizada.- Siempre que V sea dos veces diferencable en P-. De esta manera obtenemos

V r

= 1R

VrR2

2=0

2 =0 vVr

l0

sen d d 1-97

esta ecuacin representa aV/ar en la esfera r = R en trminos de V en dicha esfera; de modo que ahora tenemos

Vr=(R, , ), V=(R, , ) 1-98

Soucin en trminos de armnicas esfricas. Podemos expresar Vrcomo

V

r=

1

Rn=0

Rrn1 Yn

1-99

Una diferenciacin nos da

V

r=

n=0

n1 R

n1

rn1

Yn 1-100

Para r=R esto se convierte en

V

r=

1

Rn=0

1 Yn

,

Esto es el equivalente de (1-97} en trminos de armonicas esfricas.De esta ecuacin obtenemos un resultado secundario interesante. La ecuacin (1-100) podria escribirse

V

r=

1

RV

p

1

Rn=0

nYn

,

Si comparamos esto con (1-97) vemos que si estuviera en una esfera de radioR .

Vp

=n=0

Yn

, (1-101)

entonces

R2

2=0

2

=0 vVr

l3

0

sen d d = 1

Rn=0

nYn

, (1-102)

Esta ecuacin se formula en su totalidad usando cantidades que hacen referencia a la superficie esfrica solamente.Adems, para cualquier funcion preestablecida en la superficie de una esfera podemos hallar una funcin en el espacioque sea armnica fuera de la esfera y asuma los valores de la funcion preestablecida en la misma. Esto se haceresolviendo el problema exterior de Diricnlet. Segn esto podemos concluir que (1-102) es valida para una funcinarbitrarla V definida sn la superficie de una esfera.

Esto se usara en las secciones 2-23 y 8-8.


42/274

Las armnicas esfricas son las mas usadas en geodesia porque son relativamente sencillas y la tierra es casi esfrica.Como la tierra se asemeja mas a un elipsoide de revolucin es de esperar que las armnicas elipsoidales, las cuales sedefinen en una forma similar a las armnicas esfricas, sean hasta mas apropiadas.- todo se reduce a un asunto deconveniencia la matemtica puesto que se pueden usar tanto las armnicas esfricas como las elipsoidales paracualquier cuerpo atrayente, cualquiera que sea su forma.- Como son mas complicadas, sin embargo, se usan solo en

ciertos casos especiales que no dejan de ser Importantes, especificamente en problemas que requieren el calculo

preciso de la gravedad normal.

Para ello, es necesario incluir las coordenadas elipsoidales (, , ) (F-fg. 1-14). En un sistema rectangular, el punto Ptiene las coordenadas x,y,z. Ahora pasamos por P la superficie de un elipsoide de revolucin cuyo centro es elorigen O, cuyo eje coincide con el eje zycuya excentriciflad lineal tiene un valor constante E. La coordenada esel semieje menor de este elipsoide, es el complemento de la latitud reducida" de P con respecto a este elipsoide(su definicin puede verse en 1a ,f1g. 1-14), y es la longitud geocntrica en el sentido normal de la palabra.- estascoordenadas(, , ) estan especialmente adaptadas a un elipsoide de revolucin; son distintas a las coordenadaselipsoidales de Lame que hacen referencia a un elipsoide de tres ejes diferentes. Por este,motivo nuestras armnicaselipsoidales son diferentes a las de Lame, las cuales son menos adecuadas para los problemas geodsicos-.

Las coordenadas elipsoidales (, , ) estan relacionadas con x. y,z por medio de las ecuaciones

x = 2E2 sen cos

x = 2E2 sen sen 1-103

z= cos

que pueden leerse de la figura, considerando que 2E2 es el semieje mayor del elipsoide cuya superficie pasa porP.

Si tomamos =const, hallamos

x2y2

2 2

z2

2


43/274

que representa un elipsoide de revolucin. Para = const. Obtenemos

Ck=

R 2 1 2 G [J2 J 1 ]

lo cual representa un hiperboloide de una hoja, y para = const. obtenemos el plano meridiano

La distancia focal constante E = OF1, la cual es igual para todos los elipsoides = const. caracteriza el sistema decoordenadas. Para E = O tenemos las coordenadas esfricas usuales =r como caso limite.

Para hallar el elemento de arco expresado en coordenadas elipsoidales se procede de la misma forma que con lascoordenadas esfricas, ec. (1-38) y se obtiene,

ds=u

2E2 cos2

u2E2

du2 u2E2cos d2u2E2 sen 2 d 2 1-104

El sistema de coordenadas (, , ) es aqui tambin ortogonal: los productos du, d ,etc. hacen falta en laecuacin para ds. Si aplicamos =q2,=q1, =q3 tenemos en (1-39)

h1

2=u

2E2cos2

u2E2

, h2

2=u2E2 cos , h

32=u2E2 sen 2

Ssustituimos esto en (1-40) obtenemos

V= 1

u2E2 cos2 sen {

u[u2E2 sen

V

u]

sen V

[ u

2E2 cos2

u2E2 sen

V

]}Si efectuamos las diferenciaciones y suprimimos el factor comn sin , obtenemos

V= 1

u2E2 cos2 [ u2E2 2

V

u22u

V

u

2 V

2cot

V

u

u 2E2 cos2

u2E2 sen2

2V

2 ](1-105)

que es la ecuacin de Laplace expresada on coordenadas elipsoidales. Se obtiene una expresin alternahaciendo caso omiso del. factor u2E2 cos2 1

0=[u2E2 2

V

u22u

V

u

2 V

2cot

V

u

u2E2 cos2

u2E2 sen2

2 V

2 ] 1-105En el caso limite E0, estas ecuaciones se reducen a las expresiones esfricas (1-41) y (1-41').

1-20 Armnicas Elipsoidales

Para resolver (i-105) o (l-105'l procedemos de manera totalmente ana1oga al mtodo utilizado para resolver la ecuacincorrespondiente (1-41') en coordenadas esfricas. Los pasos podrn resumirse de la siguiente manera. Por medio deuna sustitucin tentativa

V(r )=f(r)g()h( )

separamos 1as variables(r ) para descomponer la ecuacion diferencial parcial original (1-41') en tres ecuaciones


44/274

Para resolver la ecuacin dLaplace; en coordenadas elipsoidales (1-105') hacemos la respectiva sustituccion tentativa

V()=f()g()h( ) (1-106)

Sustituyendo y dividiendo por fgh obtenemos

0=[ u2E2 f2 uf 1g g gcot u2E2 cos2

u2E2 sen2

h

h]La variablesolo ocurre por el cociente h"/h, que por consiguiente deber

ser constante._1esto resulta mas claro si escribimos la ecuacin en la forma

u2E2 sen2 u

2E2 cos2 {1

f u

2E

2 f2 uf

1

g g g cot }=

h

h

El lado izquierdo .depende solamente de y y el lado derecho solamentede Los dos lados no pueden ser exactamente iguales amenos que ambossean iguales a la misma constante-.

h

h=m2

El factor por el que se multiplica h"/h puede descomponerse de la. si-

guiente manera:

u2E2 cos2

u2E2 sen2

= 1

sen2

E2

u2E2

,:

Si insertamos las ultimas dos expresiones en la ecuacin anterior y combinamos

las funciones de la misma variable obtenemos

'1

f u

2E

2 f2 uf

E2

u2E2

m2=

1

g gg cot

m2

sen2

Los dos lados son funcionas de diferentes variables independientes y por lo tanto deben ser constantes. Si

denotamos dicha constante por n(n+1) obtenemos finalmente . '

u 2E2 f u 2 uf u [n n1 E2

u2E2

m2]f u =0 (1-107)

sen g cos g [n n1 sen m2

sen ]g =0 (1-108)

h m2h =0 (1-109)

Estas son las tres ecuaciones diferenciales regulares en que se descompone la ecuacion diferencial parcial (1-105)mediante la separacion de variables (1-106)


45/274

t=cos transforman 1a primera y segunda ecuaciones en

1r2 f r2 rf r[n n1 m2

1r2 ]f r=0

1t2 f t2 tf t[n n1 m2

1t2 ]f t=0

en donde la raya inidica las funciones f y q estn expresadas en trminos de los nuevos argumentos r y t. Por lasarmnicas esfricas ya estamos familiarisados con la sustitucin t =-cos y con la ecu.icion correspondiente parag(t) en donde t=cos , las Qmn(t) "^fr) se cancela" por razones obvias, como hmos visto en la seccin 1-12.Paraf(r), sin embargo , ambos grupos de funciones Pnm( ) y Qnm(r) son posibles soluciones; corresponden a1as dos

soluciones diferentes, f = rny f =r1 n1 en el caso esfrico. . , .

Finalmente, (1-1.09) tiene como antes lassoluciones cos(m ) y sen(n ).

Resumimos todas las soluciones individuales:

f u= Pnm i

u

E

Qnm / i i

u

E

g u= P

nm cos ;

h =cos m senm

aqui n y m < n son nmeros enteros 0,1,2,...., como antes. Por lo tanto, las funciones

v u , , =Pnm i uEP nm cos {cosm, senm }

v u , , =Qnm i uEP nm cos {cos m, senm }

son soluciones de la ecuacin de LaplaceV=0

es decir, funciones armonicas. Con estas funciones y mediante

combinaciones lineales pdtemos formar' la Serie

V = m

n

p i u / Pnm (anmPnm(cos )cosm +hnmPnm(cos )senm );


46/274

V =n=0

m

m=0

n

pnmi aE /pnmi bE

Aqub es el semieje menor de n elipsoide arbitrario pero fijo que podra llamarse el elipsoide de referencia (fiq. 1-15).La divisin por Pnm(ib/E) Qnm(ib/E) es posible por ser constantes; su proposito es simplificar 1asexpresiones y lograr que los coeficientes anm y bnm seran reales.

SIla excentricidad E se reduce a cero, las coordenadas elipsoidales se convierten en coordenadas esfricas el elipsoideu = b se convierten en _la. esfera r = R [porque entonces los. semiejes a y. b sera'n jguales al radio R); y hallamos

limE 0

Pnm

Pnm

=

iu

E

ib

E

= ub n

[heiskanen weikko a.] geodesia fisica

Documents